INTRODUCCIÓN: LAPLACIANO.
Para encontrar la función T = (x,t) (x ,t) nos basabamos en:
⃗ ⃗
El témino Es el laplaciano, el cual representa la transferencia de calor al interior de la placa, barra, etc. etc. Así llegaremos a esta igualdad:
este término es un escalar, y representara la diferencia entre los vectores de entrada ( entra calor, aumenta la temperatura) y los vectores de salida ( la placa pierde calor consecuentemente disminuye la temperatura). ,
Cuando se tiene una barra comúnmente se analiza la temperatura en una variable, que es la longitud:
Cuando analizamos para una placa ( rectangular o circular) se considera las dos variables (largo, ancho, o, radio, ángulo)
En el caso de hablar de un sistema en estado estacionario, la acumulación es cero, es decir que el término
es 0, también es claro decir que no hay condiciones iniciales.
De manera contraria si es un estado transitorio, si existe acumulación y el termino es diferente de 0. aquí si existe ex iste condiciones iniciales. La ecuación si se considera que existe ex iste condiciones iniciales y acumulación.
La ecuación si se considera que no existe condiciones iniciales y no hay acumulación.
Condiciones de borde pueden ser las siguientes:
La temperatura en el extremo inferior es 0.
La temperatura en el extremo superior es igual a f(x).
= 0 ; la derivada evaluado en un determinado punto significa que en ese punto
o ese extremo esta aislado
LAPLACE EN COORDENADAS POLARES
Se va a centrar en el analisis del problema de Dirichlet en el interior de un circulo unidad 0 ≤ r ≤1, ademas se comentara acerca de cpondiciones de contorno, o de regiones de estudio. Debiddo a las condiciones de simetria del problema parece razonable el manejo de coordenadas polares, por lo que la ecuacion de Laplace adopta la forma:
Recordemos que utilizar coordenadas polares implica que la función además de mantenerse finita en la región de estudio (en este caso el circulo) debe ser periódica en la variable angular 2π, para que la solución sea físicamente aceptable. Por ultimo deberemos poner las condiciones de contorno, que en el problema de Dirichlet interior del círculo unidad toman la forma:
u(1, ) = f( ) Para la solución: 1. Debemos encontrar todas las soluciones fundamentales 2. Se forma una serie con todas ellas 3. Las constantes se encuentran mediante el uso de las condiciones de contorno.
DEDUCCIÓN:
Las relaciones que existen entre las coordenadas polares en el plano y las coordenadas rectangulares están dadas por:
Y
A continuación se usa derivadas parciales, regla de la cadena y regla del producto para obtener
La derivadas parciales se denotarán con subíndices y misma letra para simplificar.
como función de
Inicialmente se usa la regla de la cadena para obtener:
Al derivar otra vez respecto a y aplicar la regla del producto se obtiene:
Al aplicar nuevamente la regla de la cadena se encuentra:
Y
√
Para determinar las derivadas parciales
es necesario derivar:
Y
Entonces:
√ Derivando una vez más éstas 2 formulas se obtiene:
por la
( )
Todas estas expresiones se sustituyen en (1). Suponiendo la continuidad de las derivadas parciales primera y segunda, se tiene y al simplificar:
De manera similar se sigue que:
Al sumar (2) y (3) se puede obtener el Laplaciano de en coordenadas polares, entonces:
O
( )
SOLUCION GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES.
Para hallar la solución de la ecuación de Laplace se tiene que:
Se encuentra la solución mediante el método de separación de variables, entonces:
Al sustituir en la ecuación de Laplace, y dividir entre ella se tiene:
Donde es:
( ) es una constante de separación. Entonces la ecuación separada para la variable
Con solución:
Mientras que la parte de la ecuación dependiente de la coordenada queda como:
Para , si se propone como solución una función se tiene una ecuación cuadrática para p, con soluciones:
De tal manera que la solución general para la parte radial, con
Si
, la ecuación para la parte radial resulta:
La cual, al integrar directamente, tiene como solución:
, al sustituir en la ecuación
es:
Mientras que la ecuación correspondiente a la parte angular para
es:
Con solución:
Por lo tanto la solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas polares es:
∑[ ][][ ] ]
EJEMPLOS. EJEMPLO 1: TEMPERATURAS ESTABLES EN UNA PLACA CIRCULAR.
Nuestro primer ejemplo es el problema de Dirichlet aplicado a un disco. Deseamos resolver la ecuación de Laplace para encontrar la temperatura de estado estable en un disco de radio c cuando la temperatura de la circunferencia es
Resolvemos la ecuación de Laplace sujeta a:
Antes de intentar la separación de variables, podemos observar que la única condición de frontera es no homogénea. En otras palabras, no existen condiciones explícitas en el enunciado del problema que nos permitan determinar los coeficientes de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias por separado o los valores propios requeridos. Sin embargo, hay algunas condiciones implícitas.
En primera instancia, nuestra intuición nos lleva a esperar que la temperatura continua y, por ende, acotada dentro de un círculo
sea
. Además, la temperatura
debe tener un solo valor, lo cual significa que el valor de u debe ser el mismo en un punto específico del círculo sin importar la descripción polar de dicho punto. Como es una descripción equivalente del punto Esto es,
producto
debe ser periódica en
debemos tener
con periodo de 2π. Si estamos buscando una solución
entonces es necesario que
sea periódica en 2π.
Con todo lo anteriormente, optamos por escribir la constante de separación en la separación de variables como λ.
Las ecuaciones separadas son por lo tanto:
Estamos buscando una solución al problema
A pesar de que (6) no es un problema normal de Sturm-Liouville, el problema genera valores propios y funciones propias. Estas últimas forman un conjunto ortogonal en el intervalo [0, 2π].
Existen tres soluciones generales posibles para
que son.
Podemos eliminar (8) como inherentemente no periódica a menos que . De manera similar la solución (7) es no periódica a menos que definamos . A la solución constante que permanece , puede asignársele cualquier periodo; y así
es un valor propio. Por último, la solución (9) será periódica en 2π 2π si tomamos , donde . Los valores propios de (6) son entonces y . si hacemos que . Correspondan con , las funciones propias de (6) son:
Cuando Euler son:
, las soluciones de la ecuación diferencial de Cauchy-
Ahora se observa que en (11)
. En cualquiera de las soluciones (10) y (11)
debemos definir con la finalidad de garantizar que la solución esté acotada en el centro de la placa (el cuál es ). Así, las soluciones producto para la ecuación de Laplace en coordenadas polares son:
Donde hemos sustituido por para ; la combinación por . Por lo tanto a partir del principio de superposición obtenemos.
Al aplicar la condición de frontera en
se ha sustituido
al resultado de (12), es posible reconocer recono cer
Como una expansión de es una serie de Fourier completa. En consecuencia, podemos expresar las igualdades
La solución al problema consta en la serie dada en (12), donde los coeficientes se definen en (13), (14), y (15). En el ejemplo 1 observe que, correspondiendo a cada valor propio positivo, , existen dos funciones propias diferentes, las cuales son caso, los valores propios a veces son denominados de nominados valores propios dobles.
. En este
EJEMPLO 2: TEMPERATURAS ESTABLES EN UNA PLACA SEMICIRCULAR:
Encontrar la temperatura de estado estable la figura.
en la placa semicircular que se muestra en
El problema de valores en la frontera es:
Al definir
y separar variables obtenemos
Sabemos que:
Constituye un problema normal de Sturm-Liouville, este problema tan conocido tiene valores propios de y funciones propias , asimismo, al reemplazar por la solución de (16) es . En el razonamiento
utilizado en el ejemplo 1, esperábamos que una solución acotada en nos sugiriera definir . Por lo tanto
La condición de frontera que permanece en
del problema que estuviera y
nos da la serie seno
En consecuencia
Y, por lo tanto:
De modo que la solución del problema está dada por:
CONCLUSIONES •
Al trabajar en coordenadas polares es más fácil la resolución de los problemas y los cálculos no son tan complejos.
