Aplicaţie – serii cronologice afectate de sezonalitate Considerăm seria cronologică privind sosirile trimestriale de turişti la hotelul “Creasta” dintr-o zona montană, in perioada 2005-2007: Numărul turiştilor cazaţi Anul I II III IV 2005 940 650 1934 1360 2006 952 706 2072 1406 2007 992 734 2088 1478 Anul Trimestrul Perioada t I 1 II 2 2005 III 3 IV 4 I 5 2006
2007
yt y1 =940 y 2 =650 y 3 =1934 y 4 =1360 y 5 =952
II
6
y 6 =706
III
7
y 7 =2072
IV
8
y8 =1406
I
9
y 9 =992
II III IV
10 11 12
y10 =734 y11 =2088 y12 =1478
Atunci când seria cronologică prezintă fluctuaţii regulate (sezoniere sau ciclice), componenta trend a unei serii cronologice se estimează prin metoda mediilor mobile (MM), pentru a netezi evoluţia fenomenului. Trendul se determină sub forma unor medii, calculate din atâţia termeni (p), la câţi se 1
manifestă o oscilaţie completă. Mediile se numesc mobile sau glisante, deoarece în calculul unei astfel de medii, se lasă în afară primul termen al mediei anterioare şi se introduce următorul termen. Se observă că o oscilaţie completă se realizează într-un număr de 4 perioade (trimestre), atunci trendul va fi determinat prin metoda mediilor mobile din patru termeni, valorile y t ale seriei cronologice modificându-se după formula: 0.5 ⋅ y t − 2 + y t −1 + y t + y t +1 + 0.5 ⋅ y t + 2 y tT ( MM ) = , t = 2,3,..., n − 2 4
I II
Perioada t 1 2
y1 =940 y 2 =650
III
3
y 3 =1934
IV
4
y 4 =1360
I
5
y 5 =952
II
6
y 6 =706
0.5 ⋅ yt − 2 + yt −1 + yt + yt +1 + 0.5 ⋅ yt + 2 4 * * 0.5 ⋅ y1 + y 2 + y 3 + y 4 + 0.5 ⋅ y 5 =1222,5 y 3T ( MM ) = 4 0. 5 ⋅ y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + 0. 5 ⋅ y 6 =1231 y 4T ( MM ) = 4 0. 5 ⋅ y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + 0. 5 ⋅ y 7 =1255,25 y 5T ( MM ) = 4 y 6T ( MM ) =1278,25
III
7
y 7 =2072
y 7T ( MM ) =1289
IV
8
y8 =1406
y8T ( MM ) =1297,5
I
9
y 9 =992
y 9T ( MM ) =1303
II
10
y10 =734
y10T ( MM ) =
III IV
11 12
y11 =2088 y12 =1478
Anul Trimestrul
2005
2006
2007
yt
ytT ( MM ) =
2
0.5 ⋅ y8 + y 9 + y10 + y11 + 0.5 ⋅ y12 =1314 4 * *
Pentru a măsura efectul sezonier, vom determina devieri (abateri) sezoniere (pentru modelul aditiv al unei serii cronologice) sau indici de sezonalitate (pentru modelul multiplicativ al unei serii cronologice. Devierile sezoniere măsoară, în medie, abaterile fiecărui sezon de la trend, iau valori pozitive şi negative, astfel încât suma devierilor sezoniere, pentru toate sezoanele, să fie egală cu zero. Indicii de sezonalitate măsoară, în medie, de câte ori se abate variabila, în fiecare sezon, de la trend, iau valori supraunitare sau subunitare, astfel încât produsul lor să fie egal cu 1. Pentru determinarea abaterilor sezoniere se parcurg următorii paşi: Pasul 1. Se elimină din valorile observate ( y t ) componenta de trend ( y tT ) determinată prin MM, adică se elimină y tT (MM ) :
y t = y tT + y tS + y tR , t = 1,2,..., n (modelul aditiv pentru o serie cronologică) ⇒ y t − y tT = y tS + y tR , t = 1,2,..., n
Pasul 2. Pentru fiecare sezon (trimestru) se calculează media valorilor obţinute la Pasul 1 (prin calculul mediei se înlătură cea mai mare parte din variaţiile reziduale). Pasul 3. Mediile se vor ajusta astfel încât suma lor să fie egală cu 0, adică se calculează abaterile sezoniere corectate, ce reprezintă componenta sezonieră a seriei cronologice.
Anul
1998
Trimestrul
Perioada t
yt
y tT (MM )
I
1
*
II
2
y1 =940 y 2 =650
III
3
y 3 =1934
y 3T ( MM ) =1222,5
y 3 − y 3T ( MM ) =711,5
IV
4
y 4 =1360
y 4T ( MM ) =1231
y 4 − y 4T ( MM ) =129
I
5
y 5 =952
y 5T ( MM ) =1255,25
y 5 − y 5T ( MM ) =-303,25
II
6
y 6 =706
y 6T ( MM ) =1278,25
y 6 − y 6T ( MM ) =-572,25
III
7
y 7 =2072
y 7T ( MM ) =1289
y 7 − y 7T ( MM ) =783
IV
8
y8 =1406
y8T ( MM ) =1297,5
y8 − y8T ( MM ) =108,5
I
9
y 9 =992
y 9T ( MM ) =1303
y 9 − y 9T ( MM ) =-311
2000
II
10
y10 =734
y10T ( MM ) =1314
y10 − y10T ( MM ) =-580
III
11
IV
12
y11 =2088 y12 =1478
* *
*
1999
* *
3
y t − y tT (MM )
* *
Anul
I
II
III
2005
*
*
y 3 − y 3T ( MM ) =711,5
y 4 − y 4T ( MM ) =129
2006
y 5 − y 5T ( MM ) =-303,25
y 6 − y 6T ( MM ) =-572,25
y 7 − y 7T ( MM ) =783
y8 − y 8T ( MM ) =108,5
2007
y 9 − y 9T ( MM ) =-311
y10 − y10T ( MM ) =-580
Mediile pe trimestru (Abaterile Sezoniere brute)
(− 303,25) + (− 311) =
(− 572,25) + (− 580 ) =
Abaterile sezoniere corectate
2
2
IV
*
*
711,5 + 783 = 2
129 + 108,5 = 2
Suma devierilor (abaterilor ) sezoniere=
= -307,125
= -576,125
= 747,25
= 118,75
=Suma mediilor= = -22,667≠0
y S I = −307,125 − S
y S II = −576,125 − S
y S III = 747,25 − S
y S IV = 118,75 − S
=-302,8125
=-571,8125
=751,5625
=123,0625
Suma abaterilor sezoniere corectate = 0
Media devierilor sezoniere este
− 22,667 4 = -5,667
S =
Abaterile sezoniere în trimestrele I şi II sunt negative (niveluri sub trend), iar abaterile sezoniere pentru trimestrele III şi iV sunt pozitive (vârfuri de activitate). Rezultatele arată că factorul sezonier deviază numărul de turişti ce se cazează la hotelul „Creasta” astfel: - în trimestrul I cu 302,8125 ≈ 303 turişti sub linia de trend, - în trimestrul II cu 571,8125 ≈ 572 turişti sub linia de trend, - în trimestul III cu 751,5625 ≈ 752 turişti peste trend, - în trimestrul IV cu 123,0625 ≈ 123 turişti peste trend. Componenta sezoniera ytS este data de
y tS
( (
) )
− 302,8125 = y S I , pentru t = 1, 5, 9 (Trimestrul I al fiecarui an ) ) − 571,8125 = y S II , pentru t = 2, 6, 10 (Trimestrul II al fiecarui an ) = 751,5625 = y S III , pentru t = 3, 7, 11 (Trimestrul III al fiecarui an ) 123,0625 = y S IV , pentru t = 4, 8, 12 (Trimestrul IV al fiecarui an )
Observatie:
( (
) )
y S I + y S II + y S III + y S IV = 0 . 4
Previzionarea fenomenelor afectate de sezonalitate În cazul fenomenelor afectate de sezonalitate, nivelurile previzionate, pentru tendinţa pe termen lung pe sezoane, trebuie corectate cu factorul sezonier. După determinarea abaterilor sezoniere, se parcurg următorii paşi în vederea previzionării: Pasul 1. Se determină seria desezonalizată prin eliminarea componentei sezoniere y tS din valorile
,
adică se calculează: y t − y tS , t = 1, n , ce reprezintă termenii seriei desezonalitate. Pasul 2. Se determină trendul ( yˆ t ) al seriei desezonalizate y t − y tS , t = 1, n prin metoda analitică, de regulă. Unul dintre cele mai utilizate este trendul linear: Trend ( y t − y tS ) = yˆ t = a + b ⋅ t . Pasul 3. Se previzionează componenta de trend astfel determinată pentru perioadele viitoare: yˆ n +1 , yˆ n + 2 , yˆ n +3 , yˆ n + 4 Pasul 4. Se adună valorile previzionate pe sezoane de la pasul anterior cu abaterile sezoniere, pentru a obţine previziunea finală: y n +1( previzionat ) = yˆ n +1 + y S I ,
y n + 2 ( previzionat ) = yˆ n+ 2 + y S II ,
y n +3 ( previzionat ) = yˆ n +3 + y S III , y n + 4 ( previzionat ) = yˆ n+ 4 + y S IV . În exemplul considerat, pe baza datelor trimestriale din perioada 2005-2007, t = 1, n, n = 12 trimestre , privind numărul de turişti cazaţi la hotelul „Creasta”, s-au calculat termenii seriei desezonalizate y t − y tS , t = 1, n , iar apoi, pentru seria desezonalizată s-a determinat componenta trend folosind metoda analitică - trendul linear: Trend ( y t − y tS ) = yˆ t = a + b ⋅ t . Coeficienţii a şi b reprezintă soluţia sistemului de ecuaţii normale: n n n ⋅ a + b ⋅ ∑ t = ∑ ( y t − y tS ) t =1 t =1 , n n n a ⋅ ∑ t + b ⋅ ∑ t 2 = ∑ t ⋅ ( y − y ) t tS t =1 t =1 t =1 n
unde
∑ t = 1 + 2 + ... + n = t =1
n ⋅ (n + 1) 2
n
si
∑ t 2 = 12 + 2 2 + ... + n 2 = t =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1) . 6
Atunci, sistemul ecuatiilor normale este:
12 ⋅ a + b ⋅ 78 = 15312 a ⋅ 78 + b ⋅ 650 = 101300,5 cu soluţia a=1195,43 şi b=12,40, deci trendul seriei desezonalizate este Trend ( y t − y tS ) = yˆ t = 1195,43 + 12,40 ⋅ t . 5
Calculele intermediare sunt prezentate în tabelul următor:
Anul
y tS
y t − y tS
(componenta sezoniera)
(seria desezonalizata)
Trimestrul
Perioada t
I
1
y1 =940
y1S =-302,8125
y1 − y1S = 1242,8125
1242,8125
1
II
2
y 2 =650
y 2 S =-571,8125
y 2 − y 2 S = 1221,8125
2443,625
4
III
3
y 3 =1934
y 3S =751,5625
y 3 − y 3S = 1182,4375
3547,3125
9
IV
4
y 4 =1360
y 4 S =123,0625
1236,9375
4947,75
16
I
5
y 5 =952
y 5 S =-302,8125
1254,8125
6274,0625
25
II
6
y 6 =706
y 6 S =-571,8125
1277,8125
7666,875
36
III
7
y 7 =2072
y 7 S =751,5625
1320,4375
9243,0625
49
IV
8
y8 =1406
y8 S =123,0625
1282,9375
10263,5
64
I
9
y 9 =992
y9 S =-302,8125
1294,8125
11653,3125
81
II
10
y10 =734
y10 S =-571,8125
1305,8125
13058,125
100
III
11
y11 =2088
y11S =751,5625
y11 − y11S = 1336,4375
14700,8125
121
IV
12
y12 =1478
y12 S =123,0625
y12 − y12 S = 1354,9375
16259,25
144
yt
t ⋅ ( y t − y tS )
t2
2005
2006
2007
12
12
12
12
12
∑t =
∑ yt =
∑ ( yt − ytS ) =
∑ t ⋅ ( yt − ytS ) =
∑t2 =
t =1
t =1
t =1
t =1
t =1
=78
=15312
=15312
6
=101300,5
=650
7
Pentru a previziona numarul de turisti pentru cele patru trimestre ale anului 2008, procedam astfel: 1. Previzionam valorile componentei trend: Trend ( yt − ytS ) = yˆ t = 1195,43 + 12,40 ⋅ t
t t t t
= 13 (trimestrul I, 2008), yˆ13 = 1195,43 + 12,40 ⋅ 13 = 1356,63 turisti , = 14 (trimestrul II, 2008), yˆ14 = 1195,43 + 12,40 ⋅ 14 = 1369,03 turisti , = 15 (trimestrul III, 2008), yˆ15 = 1195,43 + 12,40 ⋅ 15 = 1381,43 turisti . = 16 (trimestrul IV, 2008), yˆ16 = 1195,43 + 12,40 ⋅ 16 = 1393,83 turisti .
2. Corectam valorile previzionate prin adunarea abaterilor sezoniere corectate: t = 13 (trimestrul I, 2008), y13 ( previzionat ) = yˆ13 + y S I =
= 1356,63 + (− 302,8125) = = 1053,8175 ≅ 1054 turisti
t = 14 (trimestrul II, 2008),
y14 ( previzionat ) = yˆ14 + y S II = = 1369,03 + (− 571,8125) = = 797,2125 ≅ 797 turisti
t = 15 (trimestrul III, 2008),
y15 ( previzionat ) = yˆ15 + y S III = = 1381,43 + 751,5625 = = 2132,9925 ≅ 2133 turisti
t = 16 (trimestrul IV, 2008),
y16 ( previzionat ) = yˆ16 + y S IV =
= 1393,83 + 123,0625 = = 1516,8925 ≅ 1517 turisti
8
