ECONOMETRIE
CURS
Cuprins Capitolul 1 ............................................................................................................. 7 Introducere în modelarea econometrică ................................................................ 7 1.1 Ce este econometria? ................................................................................... 7 1.2 Ce poate şi ce nu poate realiza econometria ................... ............................. .................... ................... ......... 8 1.3 Repere istorice ............................................................................................. 9 1.4 Concepte .................................................................................................... 10 1.5 Demers metodologic ......................... ................................... ................... ................... ................... ................... ................... ......... 15 Capitolul 2. .......................................................................................................... 16 Modelul unifactorial ............................................................................................ 16 2.1 Relaţiile de cauzalitate în economie ...................... ............................... ................... .................... ................. ....... 16 2.2 Modelul liniar simplu................... ............................. ................... ................... .................... ................... ................... .............. .... 17 2.2.1 Prezentarea problemei. Exemple din economie ................... ............................ ............... ...... 17 2.2.2 Model şi ipoteze .................................................................................. 17 2.3 Estimarea parametrilor modelului .......................... .................................... .................... ................... ............... ...... 19 2.4 Noţiuni privind datele şi soluţiile .............................................................. 21 2.5 Metoda celor mai mici pătrate ................................................................... 21 2.5.1 Interpretarea parametrilor estimaţi ...................................................... 22 2.5.2 Analiza de regresie şi modalitatea de estimare a parametrilor............ ............ 23 2.6 Alte metode de estimare ................... ............................. ................... ................... ................... ................... ................... ......... 25 Capitolul 3 ........................................................................................................... 28 Modelul multifactorial ......................................................................................... 28 3.1 Cazul liniar multifactorial ............ ...................... ................... ................... .................... ................... ................... .............. .... 28 3.2 Etapele demersului:................ ......................... ................... .................... ................... ................... .................... ................... ........... 29 3.2.1 Specificarea ................... ............................. ................... ................... .................... ................... ................... .................... .............. 30 3.2.2 Estimarea parametrilor .................... ............................. ................... .................... ................... ................... .............. .... 31 3.2.3 Interpretarea estimaţiilor obţinute pentru parametri ........................... ........................... 33 3.3 Aplicarea modelului econometric multifactorial ................... ............................. ................... ........... 34 3.3.1 Datele numerice ..................... ............................... ................... ................... .................... ................... ................... .............. .... 34 3.4 Modele neliniare .................... ............................. ................... .................... ................... ................... .................... ................... ........... 35 3.4.1 Modele neliniare în raport cu variabilele dar liniare în raport cu parametrii ...................................................................................................... 35 3.4.2 Modele neliniare, neabordabile prin MCMMP .................... ............................. ............... ...... 36 3.5 Variabile calitative în economie .................... ............................. ................... .................... ................... ............... ...... 38 3.5.1 Variabilele dichotomice ................... ............................. .................... ................... ................... .................... .............. 39 Capitolul 4 ........................................................................................................... 44 Verificarea semnificaţiei statistice a rezultatelor estimării. Testul t, testul F ..... 44 4.1 Necesitatea etapei verificării ................................................................. 44 4.2 Verificarea semnificaţiei statistice a fiec ărui parametru estimat; testul t ....................... ..................................... ........................... .......................... ......................... ................ .... 46 4.2.1 Principalele noţiuni specifice ................... ............................. .................... ................... ................... .............. .... 46 4.2.2 Testul t ................................................................................................. 48 3
Cuprins Capitolul 1 ............................................................................................................. 7 Introducere în modelarea econometrică ................................................................ 7 1.1 Ce este econometria? ................................................................................... 7 1.2 Ce poate şi ce nu poate realiza econometria ................... ............................. .................... ................... ......... 8 1.3 Repere istorice ............................................................................................. 9 1.4 Concepte .................................................................................................... 10 1.5 Demers metodologic ......................... ................................... ................... ................... ................... ................... ................... ......... 15 Capitolul 2. .......................................................................................................... 16 Modelul unifactorial ............................................................................................ 16 2.1 Relaţiile de cauzalitate în economie ...................... ............................... ................... .................... ................. ....... 16 2.2 Modelul liniar simplu................... ............................. ................... ................... .................... ................... ................... .............. .... 17 2.2.1 Prezentarea problemei. Exemple din economie ................... ............................ ............... ...... 17 2.2.2 Model şi ipoteze .................................................................................. 17 2.3 Estimarea parametrilor modelului .......................... .................................... .................... ................... ............... ...... 19 2.4 Noţiuni privind datele şi soluţiile .............................................................. 21 2.5 Metoda celor mai mici pătrate ................................................................... 21 2.5.1 Interpretarea parametrilor estimaţi ...................................................... 22 2.5.2 Analiza de regresie şi modalitatea de estimare a parametrilor............ ............ 23 2.6 Alte metode de estimare ................... ............................. ................... ................... ................... ................... ................... ......... 25 Capitolul 3 ........................................................................................................... 28 Modelul multifactorial ......................................................................................... 28 3.1 Cazul liniar multifactorial ............ ...................... ................... ................... .................... ................... ................... .............. .... 28 3.2 Etapele demersului:................ ......................... ................... .................... ................... ................... .................... ................... ........... 29 3.2.1 Specificarea ................... ............................. ................... ................... .................... ................... ................... .................... .............. 30 3.2.2 Estimarea parametrilor .................... ............................. ................... .................... ................... ................... .............. .... 31 3.2.3 Interpretarea estimaţiilor obţinute pentru parametri ........................... ........................... 33 3.3 Aplicarea modelului econometric multifactorial ................... ............................. ................... ........... 34 3.3.1 Datele numerice ..................... ............................... ................... ................... .................... ................... ................... .............. .... 34 3.4 Modele neliniare .................... ............................. ................... .................... ................... ................... .................... ................... ........... 35 3.4.1 Modele neliniare în raport cu variabilele dar liniare în raport cu parametrii ...................................................................................................... 35 3.4.2 Modele neliniare, neabordabile prin MCMMP .................... ............................. ............... ...... 36 3.5 Variabile calitative în economie .................... ............................. ................... .................... ................... ............... ...... 38 3.5.1 Variabilele dichotomice ................... ............................. .................... ................... ................... .................... .............. 39 Capitolul 4 ........................................................................................................... 44 Verificarea semnificaţiei statistice a rezultatelor estimării. Testul t, testul F ..... 44 4.1 Necesitatea etapei verificării ................................................................. 44 4.2 Verificarea semnificaţiei statistice a fiec ărui parametru estimat; testul t ....................... ..................................... ........................... .......................... ......................... ................ .... 46 4.2.1 Principalele noţiuni specifice ................... ............................. .................... ................... ................... .............. .... 46 4.2.2 Testul t ................................................................................................. 48 3
4.2.3 Etapele verificării ................................................................................ 49 4.3 Verificarea semnificaţiei rolului ansamblului factorilor asupra variabilei efect .................................................................................................................. 51 4.3.1 Testul F ................................................................................................ 51 4.3.2 Etapele aplicării testului F ................................................................... 52 4.3.3 Coeficientul de determinaţie ............................................................... 53 Capitolul 5 ........................................................................................................... 54 Verificarea confirmării ipotezelor ................... ............................ ................... .................... ................... ................... .............. .... 54 5.1 Ipoteze privind modelul şi metoda de estimare .............. ........................ .................... ................. ....... 54 5.2 Date suficiente, neafectate de erori sistematice ................... ............................. .................... .............. 55 5.2.1 Consideraţii asupra necesităţii abordării problemei datelor ................ ................ 55 5.2.2 Verificarea şi aprecierea datelor numerice ................... ............................ ................... .............. .... 55 5.3 Independenţa variabilelor factoriale din ecuaţia de regresie ................... ....................... 56 5.3.1 Semnale care atrag atenţia multicoliniarit ăţii:................................ ................ ..................... ..... 57 5.3.2 Soluţii .................................................................................................. 58 5.4 Ipoteza privind liniaritatea modelului şi corecta sa specificare................. ................. 58 5.4.1 Verificarea prezumţiei liniarităţii ........................................................ 59 5.5 Verificarea confirmării ipotezelor privind comportamentul variabilei reziduale ........................................................................................................... 60 5.5.1 Verificarea împrăştierii valorilor variabilei reziduale (homoscedasticitatea / heteroscedasticitatea ..................... ............................... .................... ................. ....... 60 5.5.2 Testul GQ (Goldfeld, Quandt) ................... ............................. ................... ................... .................... .............. 61 5.5.3 Prezumţia neautocorelării valorilor reziduale ...................... ............................... ............... ...... 62 5.5.4 Variabila reziduală urmează o repartiţie normală de medie zero........ 63 Capitolul 6 ........................................................................................................... 66 Aplicarea modelului de regresie în analiza şi prognoza economică ................... .................. 66 6.1 Coordonatele analizei economice şi analizei statistice ................... ............................. ............ 66 6.2 Prognoza economică bazată pe modelul de regresie ................... ............................. .............. .... 67 6.3 Modele econometrice utilizate în domeniul cererii de bunuri şi servicii .. 68 6.4 Producţia, factorii determinanţi şi funcţiile de producţie ................... .......................... ....... 70 6.4.1 Ipoteze şi caracteristici în elaborarea şi utilizarea funcţiilor de producţie în studiile economice................... ............................. ................... ................... ................... ................... ............ 71 6.4.2 Indicatori utili analizei economice bazate pe funcţii de producţie...... 72 6.5 Relaţii financiar - bancare şi reprezentarea lor prin ecuaţii ....................... ............... ........ 75 6.5.1 Masa monetară şi factorii care determină cererea de bani ........... .................. ....... 76 6.5.2 Rata dobânzii şi investiţiile ................................................................. 76 6.5.3 Impozitele şi transferurile........................ ................................. ................... .................... ................... ............... ...... 77 6.5.4 Preţurile şi costurile ............................................................................. 77 Capitolul 7 ........................................................................................................... 79 Evoluţia proceselor economice în decursul timpului ................... ............................ ................... .............. .... 79 7.1 Problema tendinţei generale ....................................................................... 79 7.2 Noţiuni specifice analizei seriilor cronologice ................. ........................... ................... ............... ...... 79 7.3 Modelul liniar unifactorial şi calculul tendinţei generale ................. .......................... ......... 80 4
7.4 Clasificare a seriilor cronologice în raport cu existenţa sau inexistenţa tendinţei generale ............................................................................................. 83 7.5 Dependeţe în economie manifestate în mod sincron sau cu decalaje în timp .......................................................................................................................... 84 7.5.1 Seria integrată, serii cointegrate privind procese economice evolutive ...................................................................................................................... 84 7.6 Modele dinamice destinate includerii efectelor decalate în timp .............. 86 7.6.1 Stabilirea unităţii de timp .................................................................... 87 7.6.2 Estimarea parametrilor ........................................................................ 88 7.7 Autodeterminarea proceselor economice în timp; modelele stochastice de tip ARMA ........................................................................................................ 90 7.7.1 Considerente economice şi statistice pe care se bazează modelul ARMA .......................................................................................................... 90 7.7.2 Obţinerea prognozelor ......................................................................... 92 7.8 Fluctuaţii sistematice în economie – măsurare, analiză, prognoză ........... 92 7.8.1 Depistarea grafică a variaţiilor sezoniere ............................................ 93 7.8.2 Ajustarea prin medii mobile ................................................................ 94 7.8.3 Indicii de sezonalitate .......................................................................... 95 7.8.4 Coeficienţii sezonieri ........................................................................... 95 7.9 Elemente de analiză spectrală pentru studierea fluctuaţiilor sistematice 100 Capitolul 8 ......................................................................................................... 103 Modelul econometric cu ecuaţii simultane ....................................................... 103 8.1 Formele de prezentare ale modelului cu ecuaţii simultane; modele clasice ........................................................................................................................ 104 8.2 Stabilirea variabilelor, funcţiilor şi identităţilor ...................................... 110 8.3 Identificare, estimare şi verificare în cazul modelelor cu ecuaţii simultane ........................................................................................................................ 112 8.3.1 Verificarea modelului din perspectiva identificării fiecărei ecuaţii .. 112 8.3.2 Estimarea parametrilor ...................................................................... 114 8.3.3 Etapa de verificare ............................................................................. 118 8.4 Analiză, simulare şi prognoză.................................................................. 120 8.5 Modele macroeconometrice ..................................................................... 124 Bibliografie ........................................................................................................ 126 Anexe ................................................................................................................. 127 Distribuţia normală redusă (standard) ........................................................... 127 Distribuţia t Student în funcţie de probabilitatea P şi de numărul gradelor de libertate........................................................................................................... 128 Valori critice pentru repartiţia F .................................................................... 129 Distribuţia χ2 …………………………….………………………………. 129
5
6
Capitolul 1 Introducere în modelarea econometrică Modelele econometrice analizeaz ă calitatea şi cantitatea proceselor economice şi evoluţia lor. Econometria prin caracterul s ău general creeaz ă modele abstracte ale fenomenelor economice. Econometria este disciplina care s-a conturat ca o sintez ă între analiza matematic ă, statistica matematic ă şi economie.
1.1 Ce este econometria? Termenul econometrie a fost introdus în anul 1926 de c ătre economistul şi statisticianul norvegian R. Frisch prin analogie cu termenul „biometrie" utilizat de Galton şi Pearson. Aşa cum "biometrie" desemna cercet ările biologice cu ajutorul statisticii şi matematicii, econometria avea s ă însemne studiul economiei cu ajutorul acestor ştiinţe fundamentale. Econometria este o disciplin ă care s-a conturat ca o sintez ă între economie, matematic ă şi statistic ă. Din economie provin teoriile economice, din matematic ă modelele teoretice care exprim ă teoriile economice, iar din statistic ă datele empirice şi metodele de prelucrare a acestora. Pe baza datelor din economie, econometria construie şte modele (expresii cantitative) pentru realit ăţile economice studiate care au un corespondent în teoriile economice. Prin procedeele de inferen ţă statistică, econometria estimeaz ă parametrii modelelor şi realizează predicţii asupra realităţii studiate. Obiect: Aria de studiu a econometriei este realitatea economic ă privită ca un ansamblu de rela ţii şi intercondiţionări. Econometria studiază legăturile dintre fenomenele economice, dintre diferitele componente ale economiei în ansamblul s ău. Metodă:
Econometria studiaz ă realităţile economice sub aspect cantitativ, utilizând metoda statisticii. Econometria contribuie la 7
cunoaşterea realităţii economice prin modul s ău specific de a surprinde cantitativ rela ţiile din viaţa economică reală cu ajutorul unui instrument specific: modelul econometric. Scop: estimarea şi
Scopul principal al econometriei este identificarea, testarea modelelor prin care se surprind rela ţiile dintre fenomenele economice reale.
1.2 Ce poate şi ce nu poate realiza econometria Metodele de
prelucrare a datelor urm ăresc îndeosebi măsurarea, cuantificarea unor rela ţii dintre procesele economice, având în vedere mai ales relaţiile de tip cauz ă-efect. Rolul econometriei rezult ă din soluţionarea unor obiective precum: • Evidenţierea, pe baze mai obiective, a rela ţiilor de cauzalitate din economie; • Exprimarea numerică a efectului datorat cre şterii cu o unitate a factorului; • Stabilirea proporţiei în care unul sau mai mul ţi factori determină evoluţia unei variabile-efect, precum şi ordonarea factorilor dup ă importanţă; • Previziunea unui fenomen economic în raport cu factorii determinanţi sau ţinând cont de comportamentul fenomenului în perioadele anterioare; • Aprecierea prin expresii numerice a implica ţiilor pe care o acţiune de politic ă economică o are asupra mai multor sectoare economice; • Stabilirea intensit ăţii şi direcţiei fluctuaţiilor din economie; • Aprecierea elementelor semnificative din economie de elementele nesemnificative (datorate hazardului). Aspecte pe care econometria nu le poate rezolva sau înc ă nu le poate rezolva satisf ăcător sunt următoarele: • Încorsetarea într-un model generalizator, de mare amploare, a tuturor relaţiilor existente în economie;
8
•
Introducerea în calcule a variabilelor calitative cu o suficient de mare acurateţe, astfel încât rolul acestora sau amploarea modific ării lor să poată fi măsurate cu suficient de mare precizie; • Departajarea suficient de precis ă a rolului fiecărui factor asupra unui proces economic, în situa ţiile în care factorii evolueaz ă foarte asemănător (prezintă un grad înalt de coliniaritate); • Prognoza suficient de precis ă în situaţii conjuncturale diferite sau în situaţii în care interac ţiunea factorilor reprezint ă ea însăşi un factor; • Econometria nu î şi propune stabilirea de valori numerice privind indicatorii economici (agregate de tip PIB, Venit na ţional, etc.), unele stări de lucruri din economie (concentrarea, corela ţia, proporţia unor realizări) şi nici obţinerea de soluţii optime (stocul optim, ruta optimă în transporturi) sau solu ţii care nu aparţin domeniului relaţiilor de cauzalitate, manifestate la un moment dat sau în decursul timpului.
1.3 Repere istorice Econometria este o disciplin ă ştiinţifică relativ nou ă, dezvoltată începând cu mijlocul secolului trecut. Totu şi, primele încercări de a cuantifica şi exprima cantitativ rela ţiile dintre fenomenele reale sunt mult mai vechi şi datează din secolul al XVII-lea. Şcoala Aritmeticii politice engleze : Un studiu asupra genezei econometriei ne-ar conduce la începuturile secolului al XVII-lea când englezul W. Petty pune bazele "aritmeticii politice" prin care se foloseau sistematic fapte şi cifre în elaborarea unor studii legate de populaţie, finanţe, comerţ exterior sau impozitare. Laboratoarele biometrice engleze: La sfârşitul secolului al XIX-lea şi începutul secolului al XX-lea, în Anglia se desf ăşura o activitate ştiinţifică remarcabilă de cercetare a legilor naturii şi a geneticii umane. Printre figurile ilustre ale acestei şcoli se numără F. Gallun, K. Pearson , R.A. Fisher, F.Y. Edgeworth, ale căror lucrări fundamentale au contribuit la dezvoltarea metodelor de analiz ă a legăturilor dintre variabile. Societatea de econometrie : La 29 decembrie 1930, la Cleveland (S.U.A.) a fost întemeiat ă "Societatea de Econometrie", institu ţie care a creat şi promovat termenul de "econometrie" . 9
Dintre membrii societ ăţii, menţionăm cele mai importante figuri: Irving Fisher, R. A. Fisher (matematician şi biolog, care a dezvoltat analiza dispersional ă), Jan Timbergen (fizician olandez), T. Haavelmo, R. Frisch (primul preşedinte al societ ăţii) ş.a. Mari gânditori ai secolului XX : Econometria se dezvolt ă prin contribuţia unor cercetători importanţi, din diferite direc ţii ale cercetării: producţie: Cobb C.W. şi Douglas P.H.; cererea de consum: K. Schultz, P.A. Samuelson; teoriile economice şi construirea modelelor: J. Timbergen, T. Haavelmo, R. Frisch, L.R. Klein, H.Theil; studiul riscului şi incertitudinii în economie, modele macroeconomice: J.M. Keynes.
1.4 Concepte În cercetarea econometric ă se utilizează o serie de concepte, noţiuni şi termeni specifici: model, variabile, parametri, estimator, estimaţii, ca şi termeni statistici. Modelul econometric: Modelul este o schem ă simplificată a realităţii care are rolul de a explica realitatea studiat ă în dimensiunile ei fundamentale, esen ţiale. Modelul econometric este o prezentare formalizată a problemei sau a realit ăţii economice studiate. De regul ă, modelul econometric este o ecua ţie sau un sistem de ecuaţii construit pe baza variabilelor statistice. Exemple
Relaţie dintre vânz ări şi preţ: Vânzări = a + b Preţ + u Evoluţia producţiei în raport cu factorii determinan ţi: Producţie = a ⋅ Capital ⋅ Munca Variabile:
În cercetarea econometric ă se utilizeaz ă variabile statistice între care exist ă relaţii de interdependen ţă. Variabilă = însuşire, element caracteristic care poate înregistra diverse niveluri exprimate, de regul ă, numeric.
10
Exemple:
preţul produsului, rata dobânzii, cantitatea produs ă, valoarea tranzac ţiilor la bursă. Variabile de tip calitativ (nenumerice): culoarea, religia, anotimpul. Variabila aleatoare prezintă drept element caracteristic faptul că poate înregistra orice valoare într-un ansamblu de valori specificat corespunzător unei repartiţii de probabilitate. Exemple: cursul de schimb, vânz ările pe o piaţă liberă, abaterea (eroarea) dintre nivelul preconizat şi cel realizat. Tipuri de variabile: − variabilă endogenă ,
numită şi variabilă dependentă, rezultativă sau efect, rezultat. Este variabila pentru care modelul, în urma estimării, poate genera valori. Variabila endogen ă este poziţionată în stânga semnului egalit ăţii în ecuaţia în care ea reprezintă obiectivul, dar poate s ă apară şi în postura de factor în alte ecuaţii. Se notează de regulă cu y. − variabila exogenă , numită şi variabil ă independent ă, factorială, factor de influenţă sau regresor, care determină un anumit efect asupra variabilei rezultat. Este variabila aflat ă în postura de cauză a evoluţiei variabilei endogene, având valori preluate din statistici. Locul variabilei exogene este în dreapta semnului egalităţii şi este, de regulă, notată cu x. Alături de aceste dou ă categorii de variabile, în econometrie se utilizează o categorie special ă: variabilele reziduale sau eroare. De regulă, aceste variabile apar în model ca sum ă a tuturor influenţelor necunoscute sau care nu apar explicit în model. În cercetarea econometric ă, variabila eroare este o variabil ă aleatoare care respectă anumite proprietăţi numite şi ipoteze clasice. Variabila reziduală se
obţine în urma calculului abaterilor dintre valorile empirice ale variabilei endogene ( y) şi valorile generate de model ale aceleia şi variabile ( yˆ ). Locul variabilei rest este, de regul ă, în partea finală a ecuaţiei şi este notată cu u, dar se mai foloseşte şi v sau e. Este denumită perturba ţ ie sau eroare.
11
nivel central ob ţinut în urma unui calcul privind un ansamblu de valori ale variabilei analizate. Se utilizeaz ă media aritmetică: xi f i x = i f i
Medie =
∑ ∑ i
unde xi reprezintă valorile variabilei, iar f i frecvenţa de apariţie. Media variabilei aleatoare (speranţa matematică, aşteptarea) rezultă ca o sumă a valorilor variabilei aleatoare ponderate cu probabilităţile asociate posibilelor valori: M ( x ) = ∑ xi Pi i cu ∑ Pi = 1 i
Dispersie
= indicator sintetic destinat m ăsurării împrăştierii valorilor variabilei de la medie. Dispersia este notat ă σ 2 , dar şi “var” sau s2 (numită şi varianţă). ( x − x) 2 f ∑ σ 2 = ∑ f i
i
i
i
i
Dispersia variabilei aleatoare x: 2
σ 2 ( x ) = M [ x − M ( x )] Abaterea medie pătratică:
σ = σ 2 Covarianţa (cov) măsurare a variabilit ăţii relaţie de dependen ţă:
variabilelor x1 , x2 reprezintă un indicator de conjugate privind dou ă variabile aflate într-o
Cov ( x1 , x2 ) = M [( x1 − M ( x1 ))( x2 − M ( x2 ))] Coeficientul de corela ţie (r ) reprezintă un indicator de m ăsurare pe o scară numerică cuprinsă între – 1 şi + 1 a legăturii (dependen ţei, analogiei) dintre dou ă variabile. În varianta Pearson, coeficientul de corelaţie este definit astfel:
r xy
x − x ) y − y ) ∑ = nσ xσ y
12
= subansamblu de elemente (unit ăţi, cazuri) extrase (la întâmplare) dintr-un ansamblu (popula ţie). Deseori o secvenţă de valori ale unei variabile urm ărite (înregistrate) în decursul timpului este asimilată cu eşantionul. Se noteaz ă cu n numărul de unităţi din eşantion. Eşantion
Estimare
= calcul sau suit ă de calcule (algoritm) destinate obţinerii unei mărimi numerice (coeficient, parametru) pe baza datelor unui eşantion. Se noteaz ă estimaţiile cu ˆ , r ˆ. aˆ , bˆ, α Estimarea parametrilor unei func ţii se situeaz ă în centrul aten ţiei econometricienilor. Test = verificare a unei prezum ţii (ipoteza nul ă H 0, a negării existenţei unei calităţi a estimaţiei), în condiţiile existenţei unei repartiţii proprii estimaţiei analizate. În urma test ării, ipoteza nul ă poate fi acceptat ă sau poate fi infirmat ă (respinsă) în favoarea ipotezei alternative H 1. frecvent utilizate în econometrie sunt testele: t – 2 Student, F – Snedecor, χ (hi-pătrat). Parametru: Parametrii modelului econometric, numi ţi şi coeficienţi de regresie, sunt mărimi reale şi necunoscute care apar în model în diferite expresii al ături de variabile. Parametrii fac obiectul procesului de estimare şi testare statistică. Parametrul este o mărime considerată constantă, rezultată în urma unui calcul bazat pe datele presupuse de variabilele ecua ţiei / ecuaţiilor modelului. De regul ă, se au în vedere estima ţii ale parametrilor, motiv pentru care se ata şează literei un accent
circumflex. Locul parametrului în model este al ături de variabila factorial ă la care se referă (excepţie face parametrul liber). Se noteaz ă cu a, b, a0, a1, α, β. Este denumit şi coeficient sau estima ţ ie. Estimatori:
Estimatorii sunt variabile aleatoare, convenabil construite în procesul de estimare, cu distribu ţii de probabilitate cunoscute şi cu proprietăţi specifice în baza c ărora se realizează procesul de estimare a parametrilor modelului econometric. 13
Notăm parametrul cu simbolul θ şi un estimator al acestuia cu θ ˆ În procesul de estimare, cele mai importante propriet ăţi ale estimatorilor sunt: nedeplasarea - un estimator este nedeplasat dac ă media sau • speranţa matematică a acestuia este egal ă cu parametrul. Un estimator nedeplasat verific ă relaţia: M ( θ ˆ ) = θ . Dacă relaţia nu este respectat ă, atunci estimatorul este deplasat. convergen ţ a - un estimator este convergent dac ă pentru un • eşantion cu volum suficient de mare şirul estimatorilor converge către parametru. Pentru un estimator convergent are loc rela ţia: lim P θ ˆn − θ < ε = 0, ∀ε ∈ (0,1). n →∞
• eficien ţ a – estimatorul θ ˆ este eficient dac ă are dispersia sau varianţa cea mai mică dintre toţi estimatorii posibili pentru parametrul θ . Autocorelaţie, autoregresie = noţiuni care se referă la dependenţa dintre termenii pozi ţionaţi la o anumită distanţă de timp. Aşadar, este presupusă dependenţa modificărilor variabilei în raport cu propriile modific ări realizate într-un trecut mai mult sau mai pu ţin
apropiat. Autocorelaţia implică determinarea intensit ăţii corelaţiei dintre termenul înregistrat în perioada t şi termenul din perioada t – 1 (coeficientul r 1), respectiv din perioada t – 2 (coeficientul r 2), etc. Autoregresia presupune analiza gradului de dependen ţă dintre seria de date yt şi aceeaşi serie decalat ă cu 1: yt = a + byt-1+ ut , unde t = 2, 3, ...,n Pot fi considerate variabile explicative seriile decalate, în succesiune cu 1,2,...,k perioade de timp: yt = a + b1 yt-1+...+ bk yt-k + ut
14
1.5 Demers metodologic Modelarea econometric ă se poate rezuma sintetic la parcurgerea următoarelor etape: • formularea problemei în termeni economici, pornind de la o teorie sau o problem ă economică; • identificarea variabilelor care instrumenteaz ă problema; • identificarea tipului şi formei legăturii dintre variabile, dup ă o analiză atentă a fenomenului real şi a teoriei economice; • propunerea unuia sau a mai multor modele care explic ă realitatea studiată prin relaţii de dependen ţă între variabile; • estimarea parametrilor modelului sau modelelor propuse, pe baza metodelor statistice cunoscute; • testarea modelului sau modelelor şi alegerea celui mai bun model; • aplicarea în practic ă sau realizarea de predic ţii pe seama modelului. • •
Notaţii y- variabila dependent ă; xi - variabilele independente, i = 1, 2, ..., k ,
de factori; • u - variabila rezidual ă sau eroare; • y = f(xi) + u - modelul econometric; • a ,i bi - parametrii modelului, i = 1, 2, ..., k; n - volumul eşantionului. •
15
unde k este numărul
Capitolul 2. Modelul unifactorial 2.1 Relaţiile de cauzalitate în economie Situaţiile în care un proces economic depinde de un singur factor nu sunt prea frecvente în economie. Se va aborda dependen ţa începând cu un singur factor, de la unifactorial la multifactorial, de la particular la general, de la rela ţia liniară la alte tipuri de dependen ţe. Exemple de relaţii din economie care implic ă un efect şi un factor important într-o dependen ţă liniară: • Cererea de alimente strict necesare depinde de num ărul populaţiei; • Producţia depinde de num ărul de ore utilizate efectiv pentru realizarea ei; • Rata dobânzii la b ăncile comerciale este influen ţată de rata dobânzii de referin ţă; • Exportul unui produs depinde de nivelul pre ţului; etc. În majoritatea cazurilor: • Dependenţa nu este totală, (o anumită variabilă depinde sau este influenţată îndeosebi de...), aspect care implic ă recunoaşterea existenţei şi a altor cauze de o mai mică importanţă sau prea puţin cunoscute; • Deseori este specificat ă existenţa unor condiţii care se menţin aceleaşi, ceea ce poate fi valabil în condi ţii de laborator, dar numai temporar poate fi constatat în via ţa reală pe un segment de cazuri. • Dependenţa unui proces în raport cu factorul determinant se poate manifesta diferit în decursul timpului, în raport cu gradul de stabilitate al celorlal ţi factori importanţi. • La aceasta se adaug ă influenţa elementului perturbator provocat de cauze minore, puţin cunoscute, mai mult sau mai pu ţin accidentale. 16
2.2 Modelul liniar simplu Modelul liniar simplu presupune c ă între cele două variabile există o dependen ţă după modelul unei ecua ţii de gradul întâi sau c ă între variabile există o relaţie de proporţionalitate. 2.2.1 Prezentarea problemei. Exemple din economie
Modelul liniar simplu este cel mai simplu model econometric sau cea mai simplă schemă explicativ ă a dependenţei dintre dou ă variabile. În economie există situaţii în care un rezultat sau un fenomen poate fi explicat într-o propor ţie ridicată doar de influenţa unui singur factor. Acest factor apare în modelul econometric drept variabil ă independentă, iar restul influen ţelor este preluat de variabila rezidual ă. Exemple din economie de modele liniare simple 1) Func ţ ia de consum - cererea sau consumul popula ţiei pentru o anumită categorie de mărfuri este o funcţie de venit C i = a + b V i+ ui, unde parametrul b arată de câte ori cre şte consumul unui anumit produs (C i) la o creştere cu o unitate a venitului şi este de regulă
pozitiv.
2) Legea cererii - cererea populaţiei pentru o anumit ă categorie de mărfuri este în funcţie de preţul acestor produse C i = a + b Pi+ ui, unde parametrul b este de regulă negativ şi arată cu cât scade cererea la o creştere a preţului cu o unitate. 2.2.2 Model şi ipoteze
Modelul prin care se exprim ă dependenţa în raport cu un singur factor trebuie să conţină: • Variabila efect, notat ă cu yi; 17
•
Variabila cauzal ă considerată determinantă pentru procesul analizat, notat ă cu xi; • Variabila care poate perturba rela ţia dintre principalele variabile, expresie a acţiunii cauzelor minore, numit ă abatere sau eroare şi notată cu ui. Modelul de regresie liniar ă simplă exprimă legătura liniară dintre variabile, de forma: yi = a + b xi + ui
Relaţia de mai sus se numeşte ecuaţie de regresie şi reprezintă funcţia liniară y x = a + bx plus eroarea u. Parametrii (constantele, coeficien ţii) notaţi a, b urmează să fie determina ţ i corespunzător datelor numerice ce privesc ansamblul ( N ) de cazuri sau urmeaz ă să fie estima ţ i dacă datele se referă la un e şantion (n) de cazuri. a reprezintă ordonata la origine, care arat ă valoarea lui y când x = 0; b reprezintă panta dreptei, numit şi coeficient de regresie.
Parametrul de regresie b arată gradul de dependen ţă dintre variabile, respectiv cu cât cre şte sau scade y la o creştere a variabilei x cu o unitate. Variabilele din ecua ţie sunt: • y - variabila dependent ă , aleatoare; • x- variabila independent ă , nonaleatoare; • u - variabila aleatoare eroare sau reziduu. Ipotezele modelului de regresie vizeaz ă variabila rezidual ă şi variabila independentă. Cele mai importante ipoteze sunt: • normalitatea erorilor : ui ≈ N (0, σ 2 ) , adică variabila rezidual ă urmează o lege de reparti ţie normală de medie zero şi varianţă σ 2 ; • homoscedasticitate: 2 var( ui )=σ , adică dispersia (varian ţa) erorii este constantă. • necorelarea erorilor: cov(u ,i u j) = 0 , adică erorile nu se influenţează reciproc; 18
• lipsa corelaţiei dintre variabila independent ă şi variabila eroare: cov( x ,i ui ) = 0.
2.3 Estimarea parametrilor modelului În practică, determinarea parametrilor la nivelul popula ţiei totale nu este posibil de realizat, fapt care impune estimarea parametrilor. Folosind date înregistrate asupra unui e şantion de n perechi de observaţii asupra variabilelor x şi y , se calculează estimaţiile aˆ şi bˆ ale parametrilor a şi b . Pentru diverse eşantioane de volum n se obţin diverse estimaţii pentru parametrii modelului de regresie liniar ă. Mulţimea acestora descrie a şa-numiţii estimatori ai parametrilor a, b. Estimatorii sunt variabile aleatoare a c ăror distribuţie se poate descrie în anumite ipoteze impuse modelului. Exemplu Se caută să se verifice în ce măsură numărul populaţiei x determină vânzările unui produs de uz curent y. Datele culese din 16 localităţi sunt următoarele: x-populaţia (zeci de mii loc.) y-vânz ări (mii kg)
2
3
3
5
6
6
6
7
8
8
9 10 10 11 12 13
10 12 14 28 30 32 28 35 40 45 45 52 55 54 58 60
Reprezentarea într-un sistem de axe a punctelor de coordonate x ,i yi descrie un nor de puncte a c ărui formă urmează mai curând o dreaptă decât o linie curb ă. Acest fapt ne îndrept ăţeşte s ă acceptăm drept model a relaţiei de dependenţă funcţia yˆ = a + bx
19
Diagrama împr ăş tierii 80 i r
ă
60
z n â V
40
y-vânzări (mii kg)
20 0 0
5
10
15
Populaţia
De la fiecare punct ( x ,i yi ) până la dreaptă se constată existenţa unor distanţe mai mari sau mai mici, reprezentând abateri generate de acei factori considera ţi nesemnificativi, accidentali, având un rol perturbator. Se notează distanţa de a fiecare punct ( x ,i yi ) până la punctul corespunzător de pe dreaptă ( xi , yˆ i ) cu ui. Atunci mărimea abaterii este diferenţa: ui = yi − yˆ i În continuare se caut ă obţinerea de soluţii pentru parametrii a şi b, deschizând perspectiva analizei statistice, analizei economice, prognozei vânz ărilor. Pentru realizarea acestor obiective se urm ăreşte obţinerea unor estimări (pentru că se dispune doar de secven ţe / eşantioane de date) care să conducă la: • Obţinerea unui grad de determinare (a efectului de c ătre cauză) cât mai mare; • Abaterile dintre valorile empirice ale variabilei efect y şi valorile aceleiaşi variabile ob ţinute pe baza modelului şi poziţionate pe dreaptă ( , valori ajustate, yˆ teoretice), să fie cât mai mici; • Estimaţiile obţinute pentru parametri s ă fie cât mai precise, s ă tindă spre adevăratele valori ale parametrilor pe m ăsură ce eşantionul creşte. 20
• • •
Metode de estimare care îndeplinesc condi ţiile enumerate sunt: Metoda celor mai mici p ătrate (MCMMP); Metoda verosimilit ăţii maxime (MVM); Metoda bayesian ă.
Metoda celor mai mici p ătrate implică cele mai mici costuri pentru aplicarea ei.
2.4 Noţiuni privind datele şi soluţiile Se numesc valori / niveluri empirice ale variabilelor y sau x acele mărimi numerice obţinute din statistici. Se noteaz ă cu x ,i yi, iar pe grafic apar sub formă de puncte de coordonate ( x ,i yi). Se numesc valori / niveluri ajustate sau teoretice, acele valori care urmează să fie generate de model, notate .Ele yˆse ob ţin după estimarea parametrilor. Se numesc valori adevărate ale parametrilor acele solu ţii la care s-ar ajunge dacă s-ar cunoaşte toate valorile pe care le iau x, y . Aceste valori se notează cu a şi b, iar numărul total de cazuri cu N . Se numesc valori estimate ale parametrilor acele solu ţii care rezultă în urma utilizării datelor pe care variabilele x ,i yi le-au înregistrat într-un eşantion. Aceste solu ţii se notează cu aˆ , bˆ , iar numărul de cazuri incluse în e şantion cu n. În marea majoritate a cazurilor se lucreaz ă cu eşantioane, astfel încât se obţin, frecvent, estima ţii. Doar în sfera teoriei ne referim la valori adev ărate ale parametrilor. i
2.5 Metoda celor mai mici pătrate Metoda celor mai mici p ătrate consideră abaterea următoare ~ drept element cheie: ui = yi − y i Ridicarea la pătrat şi însumarea pătratelor abaterilor conduce la calculul sumei: n n 2 ~ )2 S = ∑ ui = ∑ ( yi − y i i =1
i =1
21
Condiţia este ca estimaţiile să fie astfel alese încât aceast ă sumă să fie minimă. Întrucât y~ = aˆ + bˆ x se rescrie expresia astfel: n 2 ˆ S = ∑ [ yi − (aˆ + b xi )] i =1
Punctul de extrem se ob ţine prin egalarea cu zero a derivatelor parţiale în raport cu necunoscutele aˆ şi bˆ . Rezultă sistemul: n ∂S (aˆ , bˆ ) = 2∑ ( yi − aˆ − bˆ xi )⋅ (−1) = 0 ∂aˆ i =1 n ˆ ∂S (aˆ , b ) = 2 ( y − aˆ − bˆ x )⋅ (− x ) = 0 ∑ i i i ∂bˆ i =1 Ceea ce devine: n n naˆ + bˆ ∑ xi = ∑ yi i =1 i =1 n n n 2 ˆ aˆ ∑ xi + b ∑ xi = ∑ xi yi i =1 i =1 i =1 Se notează: 1 n 1 n x = ∑ xi , y = ∑ yi n
i =1
Se obţine soluţia: aˆ = y − bˆ x
n
i =1
ˆb = ∑ ( yi − y )( xi − x ) 2 ( ) x − x ∑ i 2.5.1 Interpretarea parametrilor estima ţi
bˆ indică cu câte unităţi naturale (în care este exprimat y) se modifică variabila – efect (cre şte pentru bˆ > 0, scade pentru bˆ < 0) dacă factorul x creşte cu 1 (adică cu o unitate natural ă în care este exprimat x). bˆ indică panta dreptei de regresie (slope). aˆ nu are interpretare economic ă ci doar semnificaţia sa de ordonat ă la origine (intercept). 22
Exemplu x 2 3 3 5 6 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 13 7.438
y 10 12 14 28 30 32 28 35 40 45 45 52 55 54 58 60 37.375
y-M(y) -27.375 -25.375 -23.375 -9.375 -7.375 -5.375 -9.375 -2.375 2.625 7.625 7.625 14.625 17.625 16.625 20.625 22.625
x-M(x) -5.4375 -4.4375 -4.4375 -2.4375 -1.4375 -1.4375 -1.4375 -0.4375 0.5625 0.5625 1.5625 2.5625 2.5625 3.5625 4.5625 5.5625
b=
4.942493
(y-M(y))(x-M(x)) 148.8515625 112.6015625 103.7265625 22.8515625 10.6015625 7.7265625 13.4765625 1.0390625 1.4765625 4.2890625 11.9140625 37.4765625 45.1640625 59.2265625 94.1015625 125.8515625 800.375 a=
(x-M(x))2 29.566406 19.691406 19.691406 5.9414063 2.0664063 2.0664063 2.0664063 0.1914063 0.3164063 0.3164063 2.4414063 6.5664063 6.5664063 12.691406 20.816406 30.941406 161.9375 0.6152065
2.5.2 Analiza de regresie şi modalitatea de estimare a parametrilor
În procesele economice se observ ă că pentru un nivel oarecare al factorului se constat ă o diversitate de valori privind efectul declan şat. Acest aspect poate fi constatat fie pentru mai multe cazuri în care factorul, deşi constant ca nivel, genereaz ă efecte diferite, fie în situaţiile în care se analizeaz ă mai multe eşantioane, iar un nivel identic al factorului de la un e şantion la altul genereaz ă efecte diferite. Relaţia dintre cauz ă şi efect nu este de tip determinist. Pe lângă factorul cu rol determinant exist ă şi un element aleator care perturbă relaţia dintre cauz ă şi efect.
23
Relaţia de dependen ţă este dată de funcţia stochastică (stochastic = aleator, întâmpl ător): y = a + bx + u
În situaţia în care datele se refer ă la întreaga popula ţie se obţine o funcţie de regresie a popula ţiei (FRP): y = a + bx + u unde coeficien ţii a, b reprezintă valorile adev ărate ale parametrilor. În practică rareori se apelează la toate cazurile care formeaz ă populaţia, întrucât aceast ă variantă de lucru implic ă eforturi deosebite. Este de preferat utilizarea datelor unui e şantion: • În optica transversal ă: 35 firme sau 60 familii sau 80 clien ţi
bancari; • În optica temporal ă: 20 trimestre în care s-au realizat importuri; 18 ani în care s-a înregistrat evolu ţia producţiei; 16 luni în care se cunoaşte rata dobânzii; etc. Pe baza datelor unui e şantion se pot ob ţine doar estimări ale parametrilor care apar în func ţia stochastică a eşantionului (FSE): yˆ i = aˆ + bˆ xi Obţinerea valorilor estimate pentru constantele func ţiei stochastice deschide perspective cum ar fi: • Cuantificarea rolului variabilei factoriale ( x) asupra variabilei efect, exprimată de nivelul bˆ ; • Obţinerea de valori ajustate ale nivelurilor variabilei efect adică valori yi datorate exclusiv influen ţei factorului determinant; • Calculul abaterilor ui = yi − yˆ i este util, analiza acestei serii de valori reziduale conduce la aprecieri privind calitatea modelului; • Determinarea unor previziuni privind evolu ţia variabilei efect în condiţiile în care nivelul viitor al factorului este previzibil şi nu se întrevăd schimbări majore în relaţia dintre x şi y. Astfel de perspective sunt de interes pentru analiza şi prognoza în economie. Ele justifică importanţa atribuită estimării în econometrie, dar şi interesului acordat verific ării modului în care au fost ob ţinute estimările, calităţile acestora şi, în general, aprecierea performan ţelor modelului.
24
2.6 Alte metode de estimare Între metodele de estimare, MCMMP se particularizeaz ă prin: frecvenţa utilizării, existenţa unui număr relativ mare de variante, atracţia pe care o exercit ă asupra economiştilor. Există şi alte metode, ca de exemplu: metoda verosimilit ăţii maxime, metoda bayesian ă, metoda punctelor perechi. Metoda verosimilităţii maxime
Metoda verosimilit ăţii maxime este recunoscut ă ca un procedeu de estimare dintre cele mai performante. MVM urm ăreşte obţinerea unor astfel de estima ţii pentru parametri încât probabilitatea reproducerii valorilor (datelor) e şantionului, folosind estima ţiile, să fie maximă. Se urmăreşte obţinerea acelor solu ţii (pentru parametri) pentru care funcţia de verosimilitate corespunz ătoare, rezultat ă din repetate sondaje, atinge valoarea sa maxim ă. Funcţia de verosimilitate se refer ă la probabilitatea simultan ă de realizare a valorilor yi privite ca funcţie de unul sau mai mulţi parametri. În cazul modelului unifactorial, probabilitatea simultan ă reprezentată de densitatea de reparti ţie a valorilor y1 , y2 , ..., yn date fiind constantele a, b, σ 2, este reprezentat ă de: f ( y1 , y 2 ,..., y n / a , b, σ
2
n
) = ∏ f ( y ) i
i =1
întrucât independen ţa evenimentelor implic ă produsul probabilit ăţilor. Dacă se are în vedere repartiţia normală a valorilor yij în cazul fiec ărui xi, (se lucrează pe mai multe eşantioane) de medie M(y/x) = a + bx şi de dispersie independent ă de x, atunci densitatea de reparti ţie a valorilor yi este reprezentat ă de funcţia de verosimilitate: [ y −( a +bx )]2 n 1 ∑ − n − 2 2 2σ 2 L = f ( y1 , y2 ,..., yn / a, b, σ ) = ∏ f ( yi ) = (σ ⋅ 2π ) 2 e i
i =1
În continuare, se urmăreşte estimarea valorilor a, b, σ 2 care conduce la maximizarea probabilit ăţii de reproducere a datelor eşantionului ( y1 , y2 , ..., yn). 25
Aceasta presupune maximizarea func ţiei de verosimilitate. Se pune deci problema g ăsirii unui extrem al unei func ţii, ceea ce se rezolvă prin egalarea cu zero a derivatelor par ţiale în raport cu fiecare dintre cele trei necunoscute. În acest scop, se prefer ă reprezentarea în formă logaritmată: 1 n 2 ln L = − ln (2π ⋅ σ ) − 2 ∑ [ y − (a + bx )]2 2 2σ Ecuaţiile la care se ajunge prin egalarea cu zero a derivatelor parţiale sunt următoarele:
1 ∂ ln L = 0 ⇒ − 2 ∑ ( y − a − bx )(− 1) = 0 ⇒ na + b∑ x = ∑ y ∂a σ 1 ∂ ln L = 0 ⇒ − 2 ∑ ( y − a − bx )(− x ) = 0 ⇒ a ∑ x + b∑ x 2 = ∑ xy ∂b σ 1 1 ∂ ln L n 2 2 2 [ ] ⇒ ⇒ 0 0 σ ( ) = − + − + = = y a bx u ∑ ∑ n 2σ 2 2σ 4 ∂σ 2 Pentru a şi b ecuaţiile sunt identice cu cele rezultate în cazul MCMMP. Se mai adaugă relaţia de estimare a necunoscutei σ 2. Metoda bayesiană de estimare
Metoda bazată pe analiza bayesian ă are în vedere atât datele eşantionului (privind y ,i xi) cât şi informaţiile apriori cunoscute privind parametrii (din teoria economic ă sau cercetări anterioare). La acestea se adaugă, învederea estimării, şi o funcţie a pierderii (costului, riscului) datorată abaterilor valorilor estimate de la cele adev ărate. Estimaţiile punctiforme rezult ă prin introducerea în calcule a ambelor categorii de informa ţii: • informaţii apriorice care conduc la probabilit ăţi apriorice, P(b/I 0); • informaţii bazate pesondaj, c ărora le este specifică o funcţie de verosimilitate P(y/b). Ambele tipuri de informa ţii conduc la ob ţinerea aşa-numitelor probabilităţi revizuite P(b/y,I 0). Regula lui Bayes face posibil ă obţinerea funcţiei densităţii de repartiţie revizuită: 26
P(b / y , I 0 ) =
P( y / b ) ⋅ P (b ) P( y )
.
Introducerea în calcul a func ţiei pierderi L = L bˆ, b este motivată de considerentul c ă abaterea estimaţiei de la valoarea adevărată provoacă o pierdere (un cost, un risc) propor ţională cu mărimea abaterii (în valoare absolut ă). Metoda punctelor pereche
În vederea estimării parametrilor funcţiei liniare sunt strict necesare două perechi de valori y x i i (existând 2 parametri) alese în zone distincte şi, pe cât posibil, neafectate de abateri accidentale semnificative. În cazul în care func ţia este neliniar ă, se alege un număr de perechi de valori egal cu num ărul necunoscutelor (parametrilor). Pentru o cât mai bun ă aproximare a constantelor modelului se recomandă extrageri de perechi de valori din zone caracteristice relaţiei dintre variabile. Astfel, pentru cazul liniar se recomand ă perechile de la începutul, respectiv sfâr şitul seriei de date; pentru polinomul de gradul II: 2
y = a + bx + cx + u
se aleg perechi de valori y x i i aflate la începutul seriei, la mijlocul acesteia şi în zona finală. Sistemul de ecuaţii la care se ajunge permite obţinerea soluţiilor.
27
Capitolul 3 Modelul multifactorial O apropiere a modelului econometric de diversitatea şi complexitatea proceselor economice presupune analiza rela ţiei dintre variabila efect şi un ansamblu de factori determinan ţi, precum şi includerea unor rela ţii de tip neliniar.
3.1 Cazul liniar multifactorial În practică sunt puţine fenomene economice care depind în mod semnificativ de un singur factor. Situaţia mult mai frecvent ă este aceea în care nivelul fenomenului economic este rezultanta mai multor factori importan ţi la care se adaugă şi rolul unor factori mai pu ţin cunoscuţi, presupuşi a fi nesemnificativi. Este necesară includerea în mod explicit a factorilor cu influen ţă determinantă, astfel încât să se reducă perturbaţia. Exemple
• Producţia industrială este influen ţată de cantitatea şi calitatea fondurilor fixe, ca şi de numărul salariaţilor; • Producţia vegetală din agricultură depinde de cantitatea de îngrăşăminte, umiditatea solului, utilajele folosite, calitatea lucr ărilor; • Volumul investi ţiilor depinde de cuantumul economiilor, rata dobânzii, investi ţiile începute; • Cererea de mărfuri este funcţie de ofertă, venituri, publicitate, preţuri. Atât în teoria economic ă, cât şi în practică se găsesc astfel de factori determinan ţi, inclusiv direc ţia în care fiecare dintre ei influenţează variabila-efect.
28
Ceea ce nu se cunoa şte este măsura în care fiecare factor influenţează variabila-efect. În realizarea unei astfel de m ăsurători intervine econometria. Relaţia este de tip multidimensional, în care apar k factori:
~ = f ( x , x ,..., x ) y i ki 1i 2i Funcţia de regresie este de forma:
M ( yi / x1i , x2 i ,..., xki ) = f ( x1i , x2i ,..., xki ) unde M ( yi / x1i , x2i ,..., xki ) reprezintă media distribu ţiei variabileiefect condiţionată de modificările de nivel constatate în ce prive şte factorii importanţi luaţi în calcul. În cazul în care rela ţia dintre variabila-efect şi fiecare dintre cauze este de tip liniar se ob ţine: M ( yi / x1i , x2i ,..., xki ) = a0 + a1 x1i + a2 x2i + ... + ak xki
Forma stochastică a modelului de regresie include şi variabila reziduală u prin intermediul căreia sunt eviden ţiate influenţele accidentale, minore ca importan ţă, întâmplătoare (aleatoare, stochastice) ca mod de comportare, dar care pot genera o abatere oarecare asupra variabilei-efect: yi = a0 + a1 x1i + a2 x2i + ... + ak xki + ui De remarcat faptul că atunci când se face referire la un caz aparte şi nu la medie, elementul perturbator u este luat în calcul, iar introducerea lui confer ă modelului atributul de stochastic, apropiindu-l de modalitatea real ă de desf ăşurare a proceselor economice. În cele ce urmeaz ă se abordează un caz multifactorial în care variabila-efect depinde de 2 factori, printr-o relaţie de tip liniar.
3.2 Etapele demersului: • • • •
Elaborarea modelului; Estimarea parametrilor; Verificarea semnificaţiei rezultatelor estim ării; Utilizarea modelului în vederea analizei şi prognozei. 29
3.2.1 Specificarea
Se presupune că studiul se referă la analiza cererii de servicii de către populaţie în raport cu cauzele care determin ă o astfel de cerere. Din sursele teoretice şi practice rezult ă doi factori: veniturile disponibile ale popula ţiei şi oferta de servicii existent ă pe piaţă. Datele de care dispunem se refer ă la valori trimestriale privind: • Ponderea cheltuielilor destinate serviciilor în bugetul familiei – reprezintă variabila-efect notat ă cu y; • Venitul mediu ce revine pe membru de familie (în mii lei) – reprezintă primul factor, notat cu v; • Investiţiile în domeniul serviciilor destinate popula ţiei (în milioane lei) – reprezint ă al doilea factor, notat cu z. Datele pentru n = 15 trimestre succesive: y% v (mii lei) z (mil. lei)
10 1.5 0.8
11 1.5 1
12 2 1.5
14 2 2
15 2 1.8
16 2.2 1.8
16 2.5 2
17 2.4 2.4
16 2.4 2.1
18 3 2.1
18 3 2.6
18 3 2.4
19 3.2 2.5
19 3.3 2.2
21 3.5 2.8
Se acceptă varianta liniar ă. Specificarea modelului conduce la urm ătoarea reprezentare: yi = aˆ0 + aˆ1vi + aˆ 2 zi + ui unde aˆ0 , aˆ1 , aˆ 2 reprezint ă estimaţii ale parametrilor întrucât se utilizează date pentru un e şantion. Menţiuni: 1. Stabilirea factorilor şi a funcţiei reprezintă o bază de pornire, în sensul că opţiunile f ăcute în faza specific ării urmează să fie verificate în etapele următoare (în etapa verific ării şi a utiliz ării modelului). 2. Important în aceast ă etapă: • Asigurarea unui num ăr suficient de mare de cazuri n ≥15 , superior numărului de parametri din model; • Stabilirea factorilor cu rol realmente determinant şi independenţi între ei; • Eroarea de specificare ar putea consta fie în alegerea unui num ăr prea mic de cazuri, fie alegerea unui num ăr prea mare de factori, fie alegerea greşită a funcţiei. 30
3.2.2 Estimarea parametrilor
• Se caută soluţii pentru necunoscute, adic ă obţinerea de estimatori de calitate aˆ0 , aˆ1 , aˆ.2 • Se utilizează metoda celor mai mici p ătrate, adică suma pătratelor abaterilor s ă fie minimă: n
∑1
n
2
ui =
2 ˆ ˆ ˆ ( ) [ ] y a a v a z − + + ∑ i 0 1i 2i i =1
i=
• Se egalează cu 0 derivatele par ţiale în raport cu fiecare necunoscută. • Se obţine punctul de minim al expresiei. ∂ ∑ ui2 =0
i
∂aˆ 0
2∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1vi − aˆ 2 zi ) ⋅ (− 1) = 0 i
∂ ∑ ui2 =0
i
∂aˆ1
2∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1vi − aˆ 2 zi ) ⋅ (− vi ) = 0 i
∂ ∑ ui2 =0
i
∂aˆ 2
2∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1vi − aˆ 2 zi ) ⋅ (− zi ) = 0 i
Rezultă sistemul de ecua ţii normale: naˆ 0 + aˆ1
∑ v + aˆ2 ∑ z = ∑ y i
i
i
aˆ 0
i
∑ v + aˆ1 ∑ v 2 + aˆ2 ∑ v z = ∑ v y i
i
aˆ 0
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
∑ z + aˆ1 ∑ v z + aˆ2 ∑ z 2 = ∑ z y i
i
i i
i
i
i
i
i
31
i
Sistemul se poate scrie în formă matriceală astfel:
n ∑v z ∑
∑ v ∑ z aˆ0 ∑ y 2 v ∑ ∑ vz ⋅ aˆ1 = ∑ yv 2 yz ˆ vz z a ∑ ∑ 2 ∑
Se notează: • matricea coeficien ţilor cu X • matricea necunoscutelor cu A • matricea termenilor liberi cu Y Sistemul se scrie astfel: XA = Y Soluţia se obţine: A = X – 1 Y
Exemplu
y 10 11 12 14 15 16 16 17 16 18 18 18 19 19 21 240
v 1.5 1.5 2 2 2 2.2 2.5 2.4 2.4 3 3 3 3.2 3.3 3.5 37.5
z 0.8 1 1.5 2 1.8 1.8 2 2.4 2.1 2.1 2.6 2.4 2.5 2.2 2.8 30
v2 2.25 2.25 4 4 4 4.84 6.25 5.76 5.76 9 9 9 10.24 10.89 12.25 99.49
z2 0.64 1 2.25 4 3.24 3.24 4 5.76 4.41 4.41 6.76 5.76 6.25 4.84 7.84 64.4
vz 1.2 1.5 3 4 3.6 3.96 5 5.76 5.04 6.3 7.8 7.2 8 7.26 9.8 79.42
32
yv 15 16.5 24 28 30 35.2 40 40.8 38.4 54 54 54 60.8 62.7 73.5 626.9
yz 8 11 18 28 27 28.8 32 40.8 33.6 37.8 46.8 43.2 47.5 41.8 58.8 503.1
Matricele
37,5 30 15 X = 37,5 99,49 79,42 30 79,42 64,4 240 4,104588 Y = 626,9 A = 2,842506 503,1 2,394573 3.2.3 Interpretarea estimaţiilor obţinute pentru parametri
• Interpretarea lui aˆ1: La o creştere a venitului cu o unitate (o mie de lei), cererea pentru servicii ( y) creşte, în medie, cu 2,842506%, în condi ţiile în care oferta ( z) rămâne constantă. • Interpretarea lui aˆ 2 : La o creştere a ofertei (redată prin investiţii) cu o unitate (1 milion lei), cererea pentru servicii cre şte, în medie, cu 2,394573%, în condiţiile în care veniturile r ămân aceleaşi. Interpretarea se referă şi la semnul parametrului. Dac ă semnul este plus, relaţia dintre y şi x este de acelaşi sens (creşte x, creşte şi y; scade x, scade şi y). Dacă semnul este minus, rela ţia este de sens invers (creşte x, scade y). Parametrul aˆ0 nu are o interpretare economică, dar se poate considera ca fiind nivelul variabilei-efect când factorii determinan ţi sunt nuli. În general, în modelul multifactorial, interpretarea parametrului estimat aˆ j indică cu cât se modifică (creşte sau scade, în func ţie de semnul parametrului) în medie variabila-efect ( y) la o creştere cu o unitate a factorului x j în condiţiile în care ceilal ţi factori determinan ţi introduşi în model sunt considera ţi constanţi.
33
3.3 Aplicarea modelului econometric multifactorial Alegerea variabilelor independente din model (a variabilelor factoriale) reprezint ă o primă problemă care se cere rezolvat ă. Sursele de informaţii care pot sugera cele mai importante cauze care determină variabila dependent ă sunt: • Manualele de economie, fie c ă se referă la teoria economic ă în general, fie la macroeconomie sau microeconomie, la sectoare ale economiei sau domenii de activitate, includ informa ţii referitoare la factorii determinan ţi; • Reviste sau publica ţii ştiinţifice în care pot ap ărea cercetări similare, dar şi unele care au doar tangen ţă cu tema propusă. Exemple: Studii şi cercetări de calcul economic şi cibernetică economică, Revista Română de Statistic ă, Piaţa de capital, Economistul, Revista financiară, etc; • Periodice în care sunt publicate trimestrial sau lunar date şi analize conjuncturale, precum buletinele Comisiei Na ţionale de Statistică sau ale BNR. 3.3.1 Datele numerice
O altă problemă o reprezint ă datele numerice şi accesul la un număr suficient de date de calitate. Sursele cele mai importante de date pot fi: f i: • buletinele statistice (produc ţia, comerţul exterior, pre ţurile); • anuarele statistice (date privind indicatorii macroeconomici, situaţia pe judeţe, indicatorii resurselor, comer ţul internaţional); • buletinele B ăncii Naţionale a României (serii de date privind inflaţia, dobânzile, creditul, exportul, importul); • buletinele diverselor institu ţii, privind calitatea vie ţii (statistica bugetelor de familie) • evidenţele agenţilor economici (bilan ţul); • anchetele pe teren prin care pot fi ob ţinute şi date cu privire la factorii laten ţi, de natură psihologică, etc. În etapa culegerii datelor, pot s ă apară următoarele aspecte: 34
a) posibilitatea de a utiliza serii cronologice de date (valori anuale, trimestriale, lunare) sau de a utiliza serii transversale (un e şantion de localităţi, familii, întreprinderi). Pentru a opta între cele dou ă alternative se are în vedere existen ţa de date în aceea şi alternativ ă pentru toate variabilele. Se opteaz ă pentru serii cronologice dac ă scopul este ob ţinerea de prognoze în timp, respectiv optica transversală pentru analizarea rolului fiec ărui factor. b) datele la care avem acees nu se refer ă exact la variabilele preconizate spre a forma modelul, dar exist ă posibilitatea de a le înlocui cu variabile foarte apropiate ca şi conţinut. Exemplu: venitul permanent disponibil se poate înlocui cu venitul brut, cererea cu vânzările, oferta cu produc ţia. c) datele sunt mult prea pu ţine, nu se pot forma serii de cel pu ţin 1520 termeni. Se recomand ă înlocuirea datelor anuale cu cele trimestriale sau lunare sau suplimentarea num ărului de cazuri din eşantion pentru seriile transversale. d) datele sunt susceptibile de erori, ceea ce implic ă verificarea lor atât din perspectiva cantitativ ă (absenţa de valori în unele cazuri, absen ţa unităţii de măsură, greşeli de calcul), cât şi calitativ ă (valori aberante total atipice, indicatori ob ţinuţi în condi ţii diferite în ce prive şte metoda sau aria de cuprindere) Se recomand ă efectuarea de corec ţii (completări, corectarea calculelor, eliminarea valorilor aberante). O atenţie deosebită trebuie acordată valorilor exprimate în preţuri curente. În frecvente cazuri este necesar ă deflaţionarea datelor (împărţirea valorilor exprimate în pre ţuri curente la indicele de pre ţuri, în vederea exprimării valorilor în pre ţurile anului de baz ă la care se referă indicele).
3.4 Modele neliniare Pentru descrierea unui num ăr mare de procese economice sunt necesare modele neliniare. 3.4.1 Modele neliniare în raport cu variabilele dar liniare în raport cu parametrii
Parametrii sunt la puterea 1. Aceste modele pot fi convertite în modele liniare prin transformări corespunzătoare. 35
Exemple: Producţia vegetal ă = a + bX + cX 2 + u, unde X este umiditatea solului. Pentru X 2 = Z , modelul devine: Producţia vegetal ă = a + bX + cZ + u
Preţul produsului = a + b(1/Q) + u, unde Q = cantitatea existent ă pe piaţă. Pentru 1/ Q = Z , modelul devine: Preţul produsului = a + bZ + u Producţia industrială Q = AM aK beu , unde Q = producţia, M = = munca, K = = capitalul, e = 2,71... . Se logaritmează şi se noteaz ă: lnQ = y, ln M = = x, lnK = z, lne =1, ln A = c. Modelul devine: y = c + ax + bz + u Pentru fiecare exemplu de model neliniar s-a ajuns la o form ă liniară de reprezentare, abordabil ă în ceea ce prive şte estimarea parametrilor prin metoda celor mai mici p ătrate. 3.4.2 Modele neliniare, neabordabile prin MCMMP
Variantele neliniare neabordabile prin metoda celor mai mici pătrate sunt fie modele neliniare în raport cu parametrii (cel pu ţin un parametru e la o putere diferit ă de 1), fie în raport cu parametrii, dar şi cu variabilele, fie reprezent ări în care variabila rezidual ă este inclus ă în model într-o formă care împiedic ă liniarizarea. Exemple Funcţia de cost de forma:
y = a + b X + u
unde b este la puterea 1/2, model neliniar în parametrul b. Funcţiile de consum de forma: 2
y = aX + a Z + u 36
model neliniar în parametrul a. sau: y = a + bx c + u sau: 1 y = +u ax + b 1+ e Funcţia de producţie: b c y = ax z + u
unde variabila rezidual ă u este inclusă în variantă aditivă, ceea ce face dificilă liniarizarea. În astfel de situaţii nu se recomand ă utilizarea MCMMP, din următoarele motive: • pentru reprezentările în care cel pu ţin un parametru apare la o putere diferită de 1, nu este sigur c ă estimaţiile sunt compatibile cu un minim global în ce prive şte suma pătratelor reziduurilor; • pentru reprezentările în care modalitatea de includere a variabilei reziduale nu permite liniarizarea, nu pot fi argumentate prezum ţiile conform cărora variabila rezidual ă este normal distribuit ă, având media egală cu zero şi dispersia finită şi relativ constant ă pe segmente de valori. Pentru obţinerea de estimaţii privind parametrii se apeleaz ă la algoritmi care aplic ă metode numerice în vederea ob ţinerii de solu ţii în cazurile de neliniaritate. Etapele algoritmului Iniţializarea parametrilor; Determinarea sumei p ătratelor valorilor reziduale ob ţinute; Modificarea valorilor ultimelor estima ţii, astfel încât suma s ă
1. 2. 3. se diminueze; 4. Se compară ultima sumă cu cea anterior obţinută şi se reia procesul de la pasul 3 pân ă când mărimea sumei converge spre o valoare stabilă.
37
3.5 Variabile calitative în economie În economie, al ături de procese cantitative, care pot fi m ăsurate, există şi variabile a căror intensitate este exprimat ă prin atribute: serviciu satisf ăcător / nesatisf ăcător; apreciere excelent ă, foarte bună, bună, mulţumitoare, negativ ă; risc maxim, moderat, minim. Variabilele care se refer ă la însuşiri, calităţi, categorii, a c ăror intensitate este exprimat ă prin atribute, grade de compara ţie, aprecieri sunt variabile calitative. Rolul factorilor de natur ă calitativă este important pentru analiza şi prognoza proceselor economice. Exemple
• Producţia depinde de dotarea cu utilaje şi de numărul de angajaţi, dar şi de managementul procesului de produc ţie; • Economiile populaţiei sub formă de depozite la o anumită bancă depind de rata dobânzii, dar şi de încrederea deponen ţilor în banca respectivă; • Vânzările de bunuri durabile depind de pre ţ, dar şi de calitate sau de temerile cumpărătorilor cu privire la accentuarea infla ţiei; • Exportul unui produs pe o pia ţă depinde de preţul ofertei, cursul de schimb, dar şi de renumele mărcii şi încrederea existent ă pe acea piaţă privind calitatea produsului; • Situaţia de a fi acceptat sau nu în urma unui interviu depinde de prestaţie, vârstă, putere de convingere; • Starea de spirit a popula ţiei depinde de frecven ţa conflictelor sociale, venituri, gradul de stabilitate şi competenţa guvernanţilor, etc. În termenii econometriei, introducerea factorilor de natur ă calitativă, în situaţiile în care rolul lor este presupus semnificativ, conduce la cre şterea gradului de determinare şi la un plus de calitate a estimaţiilor obţinte pentru parametri. Problema cuantificării (exprimării prin numere) variabilelor calitative reprezint ă o etapă de a cărei rezolvare depinde calitatea analizei economice bazat ă pe modelul econometric.
38
3.5.1 Variabilele dichotomice
O variabilă dichotomică (“dummy”, simbolizată prin D) admite doar două alternative: da/nu; promovat/nepromovat; masculin/feminin; înainte de momentul t / după momentul t . Exprimarea cantitativ ă se face astfel: se atribuie nivelul 1 unei alternative şi nivelul 0 celeilalte. Exemplu
Cheltuielile familiilor destinate turismului sunt analizate în raport cu situaţia de a avea automobil ( D = 1) sau de a nu avea automobil ( D = 0). C = a + b D(1,0) Cheltuieli (sute lei) 20 40 50 10 10 50 0 1 1 0 0 1 D Factorii introdu şi în model sunt exclusiv de natur ă dichotomică În exemplul anterior: 20 40 50 10 10 50 y x 0 1 1 0 0 1 Se obţine aˆ = 13,3333 bˆ = 33,3333 Media cheltuielilor ( y) pentru servicii în turism a celor care nu deţin autoturism ( x=0) este de (20+10+10):3=13,3333, iar media pentru x = 1 este (40+50+50):3=46,6666 aˆ = y x =0 = 13,3333 aˆ + bˆ = y = 46,6666 x =1
Factorii introdu şi în model reprezint ă o variabilă cantitativă şi o variabilă calitativă Exemplu:
• • •
Consumul de cafea C Vârsta consumatorului v Sexul D(1,0), unde D = 1 (F) şi D = 0 (M) 39
C = a0 + a1v + a2 D(1,0) + u
Datele C
2 0 4 2 8 8 12 3 6 4 1 6 6 1 2
v
20 18 30 21 40 50 60 42 35 51 19 62 44 25 40
D
1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
Dacă într-o primă variantă se face abstracţie de variabila D, adică se consideră relaţia de forma: C = a0 + a1v + u Se obţine: aˆ 0 = −2,12503 aˆ1 = 0,173924 În varianta a doua, considerând ecua ţia de forma: C = a0 + a1v + a2 D(1,0) + u Se obţin valorile: aˆ 0 = −2,726331823 aˆ1 = 0,16098503 aˆ 2 = 1,802923988
Gradul de determinare prin prisma influen ţei celor doi factori a crescut. De asemenea, estima ţiile sunt mai apropiate de calit ăţile estimatorilor, comparativ cu prima variant ă. Posibilităţi de măsurare a variabilei dichotomice
a) Introducerea în calcule a unei alternative (dintre cele dou ă) sub formă de fecvenţă sau pondere; b) Modelul Logit. a) Pentru a exprima intensitatea prezen ţei unei variabile alternative se poate recurge la însumarea apari ţiilor uneia dintre alternative (de exemplu, numărul persoanelor feminine) sau la ponderea frecven ţei 40
înregistrate pentru o alternativă (ponderea rebuturilor, ponderea posesorilor de automobile). b) Modelul Logit este destinat exprim ării într-o formă operaţională (rezultate numerice ob ţinute din calcule bazate pe un model matematic) a acelor situa ţii în care creşterea unui factor numeric are drept efect schimbarea unei atitudini de tip dichotomic. Exemple Pe măsură ce,
în mod experimental, se procedeaz ă la creşterea preţului unui produs, o parte tot mai mare dintre amatori î şi schimbă intenţia de a cumpăra în contrara acesteia (a nu cump ăra). O creştere treptată a impozitelor într-un interval dat poate avea drept efect renunţarea unor plătitori de impozite de a mai pl ăti prin lichidarea activit ăţii impozabile fie în mod real, fie în mod declarativ. Relaţia de dependen ţă este de tipul y=f(x), unde y poate prezenta două alternative (nu sau da), iar pe m ăsură ce x înaintează pe scara valorilor xi ne apropiem de un punct de cotitur ă de la care alternativa iniţială se modifică radical. Modelul de descriere a unui astfel de proces se bazeaz ă pe funcţia logistică. Ponderea răspunsurilor ca urmare a modific ării valorilor xi poate fi reprezentată de egalitatea: Pi = M ( y = 1 / xi ) =
1 1 + e −(a +bx ) i
Se notează: a+bxi = zi L = Pi / (1 – Pi) atunci L = e z, iar ln L = z = a + bxi În aplicaţii, Pi = ni / N ,i unde ni = nr. de răspunsuri da în eşantion N i = mărimea eşantionului.
Exemplu
Pentru 4 eşantioane de clien ţi bancari care inten ţionau să solicite un credit au fost propuse contracte de creditare cu dobând ă diferită de
41
la un eşantion la altul. Situa ţia acceptării împrumutului în raport cu rata dobânzii se prezint ă astfel: Nr. persoane în eşantion
Rata dobânzii
Nr. celor care au acceptat
20
2-6
19
30
6-10
24
20
10-14
14
25
14-18
5
Se organizează datele şi se fac calculele: xi
N i
ni
Pi
1- Pi
L
ln L
4
20
19
0.95
0.05
19
2.944439
8
30
24
0.8
0.2
4
1.386294
12
20
14
0.7
0.3
16
25
5
0.2
0.8
Se obţin valorile:
2.3333 0.847298 0.25
-1.38629
a = 4,330733 b = −0,33828
Funcţia logistică are forma:
y =
1 1 + e −(4,330733−0,33828 x )
O altă posibilitate utilizat ă în vederea exprimării numerice a unei variabile calitative presupune înlocuirea acesteia printr-un reprezentant numeric, numit ă variabilă reprezentant (proxy-variable), intens corelată cu variabila calitativ ă sau fiind un rezultat (un 42
subprodus, o implica ţie) a acesteia, dar care are avantajul exprim ării numerice. Exemple
Variabila calitativ ă îndemânare (în profesie) este reprezentat ă de vechime în acea activitate; Variabila motivare la locul de munc ă este reprezentată de evoluţia câştigurilor; Variabila instruire este reprezentat ă de numărul anilor de studii şcolare. Introducerea variabilei reprezentant comparativ cu neintroducerea ei ( şi implicit absen ţa totală a variabilei calitative din model deşi rolul ei este important) conduce la cre şterea gradului de determinare. O altă modalitate de măsurare a variabilelor caliative este prin atribuirea de numere formând un şir corespunzător creşterii intensit ăţii calităţii unui proces exprimat prin atribute sau categorii de calitate. Exemple Şirul ordonat
1, 2, 3, ... corespunde categoriei de încadrare care poate fi hotel de 1 stea, 2 stele, etc.; Atribuirea de note alternativelor existente într-o scalogram ă: 1,2,3,4,5, reprezentând acord cu o afirma ţie: de loc, slab, mediu, puternic, foarte puternic.
43
Capitolul 4 Verificarea semnifica ţiei statistice a rezultatelor estimării. Testul t, testul F 4.1 Necesitatea etapei verificării • Datele utilizate provin dintr-un e şantion care nu întotdeauna este reprezentativ; • Rolul cauzelor accidentale ca şi cel al întâmpl ătoarelor analogii în ceea ce prive şte evoluţiile factorilor inclu şi în model poate conduce la estimaţii ale parametrilor care fie contrazic aspecte evidente şi anticipate din economie, fie exprim ă deformat rolul factorilor; • Lipsa de experien ţă şi subiectivismul celui care elaboreaz ă modelul econometric, sl ăbiciuni care se manifest ă fie la alegerea factorilor (deseori influen ţată de dificultăţile în obţinerea de date), fie la alegerea funcţiei (predilecţia pentru func ţia liniară nu este întotdeauna suficient argumentat ă). Se recomandă: • Verificări prin confruntarea cu realitatea economic ă cunoscută din teorie sau din practic ă; • Verificarea în sens statistic a semnifica ţiei rezultatelor estim ării; • Verificarea modalit ăţii în care o serie de ipoteze (prezum ţii, aşteptări) se regăsesc în semnalele pe care le transmit rezultatele aplicării modelului. Verificări ale rezultatelor model ării prin compararea acestora cu realitatea economică
Semnul parametrului poate confirma sau infirma cele cunoscute din teoria şi practica economic ă. Exemple: În relaţia
• preţ-vânzări, semnul parametrului corespunz ător preţului ar trebui s ă fie minus. • Într-o funcţie de producţie, semnul ataşat factorilor care determină producţia ar trebui s ă fie plus. 44
Generarea de valori yˆ pe baza modelului estimat şi compararea lor cu datele empirice (rezultate din observarea pe teren a variabilei y). Generarea de valori implic ă înlocuirea în model a simbolurilor aˆ j cu estimaţiile obţinute pentru parametri şi atribuirea de valori factorilor. Este de aşteptat ca valorile ajustate ( yˆ ) s ă fie asemănătoare cu cele empirice ( y), abaterile să fie relativ mici, având o evolu ţie (în succesiunea obţinerii) întâmplătoare, atât ca semn cât şi ca mărime. Dacă, dimpotrivă, abaterile sunt relativ mari sau prezint ă o succesiune sistematic ă (fie în creştere, fie într-o alternan ţă a semnului neîntâmplătoare, fie predomin ă acelaşi semn), atunci trebuie rev ăzute fie calculele, fie datele, fie specificarea. În exemplul unifactorial, dependen ţa vânzărilor de numărul populaţiei, se obţin următoarele rezultate: x
2
3
3
5
6
6
6
7
y
10
12
14
28
30
32
28
35
y ajustat
10.50019
15.44269
15.44269
25.32767
30.27016
30.27016
30.27016
35.21266
u=y -yajustat
-0.50019
-3.44269
-1.44269
2.672329
-0.27016
1.729836
-2.27016
-0.21266
7
8
8
9
10
10
11
12
13
35
40
45
45
52
55
54
58
60
35.2126575
40.15515
40.15515
45.09764
50.04014
50.04014
54.98263
59.92512
64.86762
-0.2126575
-0.15515
4.84485
-0.09764
1.959864
4.959864
-0.98263
-1.92512
-4.86762
45
Exemplul multifactorial: v
1.5
1.5
2
2
2
2.2
2.5
z
0.8
1
1.5
2
1.8
1.8
2
y
10
11
12
14
15
16
16
y ajustat
10.28401
10.76292
13.38146
14.57875
14.09983
14.66833
16
u
-0.28401
0.23708
-1.38146
-0.57875
0.900169
1.331667
0
2.4
2.4
3
3
3
3.2
3.3
3.5
2.4
2.1
2.1
2.6
2.4
2.5
2.2
2.8
17
16
18
18
18
19
19
21
16.67358
15.95521
17.66071
18.858
18.37908
19.18704
18.75292
20.75816
0.326422
0.044794
0.339291
-0.858
-0.37908
-0.18704
0.247082
0.241837
4.2 Verificarea semnificaţiei statistice a fiecărui parametru estimat; testul t Obiectivul verific ării constă în aprecierea în sens statistic a mărimii estimaţiei obţinute astfel încât s ă se poată afirma, în mod obiectiv, că respectiva estimaţie relevă ceva semnificativ, care nu se datorează întâmplării (erorii de sondaj) şi, ca urmare, factorul al c ărui rol este cuantificat este realmente determinant pentru procesul analizat. 4.2.1Principalele noţiuni specifice Semnificaţie = importanţă, rezultatului estimării (cu privire la
relevanţă, deosebire marcantă a rolul unui factor) în raport cu ceea ce ar rezulta ca urmare a întâmpl ării. similar poate fi apreciat ă abaterea dintre dou ă mărimi de aceeaşi natură (două medii de selecţie, un nivel estimat şi un nivel adev ărat, etc.) în sensul aprecierii dac ă abaterea este semnificativ ă, datorită unei cauze relevante, sau este nesemnificativă, datorită întâmplării.
46
Test statistic =
procedeu ale c ărui etape conduc la o concluzie cu privire la o ipotez ă preformulată (ipoteza nul ă, care neagă semnificaţia) care poate fi confirmat ă sau respinsă în baza unei 2 repartiţii (normale, t, F, χ etc.) şi a unei probabilit ăţi de a greşi ( α ) în ceea ce priveşte concluzia. Nivel (prag) de semnificaţie = probabilitate, de regul ă, prestabilită cu privire la riscul de a gre şi în concluzia final ă. Astfel, acceptăm că în 5% din cazuri (dac ă α = 0,05) concluzia prin care se afirmă c ă ipoteza nulă este falsă, poate fi greşită (ceea ce înseamnă c ă ipoteza nulă este corectă). Întrucât apelăm la datele unui e şantion este necesar să stabilim o limit ă superioară α (prag de semnificaţie) până la care acceptăm inerenta incertitudine, r ămânând un nivel de
încredere rezonabil de mare ( 1 - α ). Interval de încredere =
distanţă dintre 2 valori (notate z1 şi z2, funcţii ale valorilor observate, care pot s ă difere de la un eşantion la altul) în cadrul c ăreia se plasează cu o probabilitate rezonabil de mare parametrul care formează obiectul estimării. Dacă un astfel de interval îl denumim bilateral, întrucât se extinde de o parte şi de alta a unui nivel-pilot, intervalul unilateral se refer ă la distanţa dintre nivelul-pilot şi una dintre limitele extreme (z1 sau z2). Repartiţie statistică = mulţimea perechilor ordonate de valori xi şi pi, reprezentând, fiecare pereche, nivelul variabilei aleatoare ( xi ) şi probabilitatea ( pi), pozitivă sau nulă de realizare a respectivului nivel, Σ pi = 1. Grade de libertate =
coordonate independente în sensul de valori liber alese pe care le poate înregistra o variabil ă dacă este restricţionată de condiţii ce pot fi prestabilite. De exemplu, dependen ţa unei variabile y de evoluţia a k factori (independenţi între ei) conduce la pierderea unui num ăr de posibilităţi de a evolua liber (egal cu num ărul factorilor), astfel c ă rămân (n – k) grade de libertate (unde n = numărul de cazuri din e şantionul de date). Ipoteza statistică = presupunere cu privire la reparti ţia urmată de o variabilă sau cu privire la parametri şi semnificaţia acestora. 47
Astfel de presupuneri urmează să fie verificate aşa încât să rezulte fie acceptarea ipotezei nule ( H 0), de tip negativist, fie acceptarea ipotezei alternative ( H 1) a confirmării supoziţiei iniţiale. Nivel calculat / nivel tabelat = dacă nivelul calculat rezult ă în urma aplicării, de către cel interesat, a unei formule care, de regul ă, generează valori comparabile cu cele specifice unei anumite reparti ţii, nivelul tabelat rezult ă în urma preluării dintr-un tabel, corespunz ător repartiţiei, nivel pozi ţionat la intersec ţia pragului de semnifica ţie acceptat şi gradele de libertate.
4.2.2 Testul t
Întregul demers presupus de testul t se bazează pe prezumţia conform căreia abaterile estima ţiei aˆ de la media sa M (aˆ ) care s-ar obţine în cazul repet ării estimării pentru mai multe e şantioane de volum identic, urmeaz ă o repartiţie normală. Abaterea de la medie împ ărţită la abaterea medie p ătratică aˆ − M (aˆ ) σ urmează, pentru eşantioane de volum mic ( n < 30), repartiţia Student. Se caută o asemenea transformare a estima ţiei obţinute încât s ă devină comparabilă cu nivelul t – tabelat pentru ( n–k) grade de libertate şi un risc α (alfa) apriori ales. De regulă nu dispunem de mai multe e şantioane ci avem date pentru un singur eşantion. În acest caz consider ăm abaterea estimaţiei în raport cu zero: aˆ − 0 σ Relaţia de calcul, folosind nota ţiile: aˆ j pentru estimaţia supusă verificării şi σ aˆ pentru abaterea medie pătratică a estimaţiei, este următoarea: j
t (calculat ) =
aˆ j
σ aˆ
j
48
Rezultatul se compară cu nivelul tabelat pentru un risc acceptat, de exemplu, α = 0.05 şi un număr de grade de libertate egal cu numărul de cazuri (n), minus numărul de parametri din model ( k ). 4.2.3 Etapele verificării
1. Stabilirea ipotezei nule ( H 0): estimaţia rezultată nu diferă semnificativ de zero. 2. Eşantionul fiind mic, n < 30, se are în vedere repartiţia Student. 3. Se determină t – calculat, conform rela ţiei. 4. Se preia din tabel t – tabelat 5. Se compară: • dacă t –calculat < t –tabelat se confirm ă ( H 0) • dacă t –calculat > t –tabelat se infirmă ( H 0). Verificarea modelului unifactorial
În cazul modelului unifactorial y = a + bx + u abaterea medie pătratică rezultă astfel:
σ bˆ =
σ u2 2
∑ ( x − x )
= 0,228485
2 1 x 2 σ aˆ = σ u + 2 = 1,8579 n ∑ ( x − x )
t - calculat pentru parametrul bˆ este 4,9425 / 0,228485 = 21,63. t- tabelat, pentru 15 – 2 = 13 grade de libertate şi α =
0,05
este 2,16. Se infirmă ipoteza nulă şi se acceptă alternativa conform c ăreia bˆ diferă semnificativ de zero, fiind un factor determinant.
49
Verificarea modelului multifactorial 2 σ Dispersia u
se înlocuieşte cu estimatorul ei s2(u), care se obţine
astfel: 2
∑
s (u ) =
u
2
n − k
Pentru a calcula dispersiile parametrilor care apar în modelul multifactorial se înmul ţesc elementele de pe diagonala matricei inverse X -1 cu s2(u), considerând factorii în succesiunea apari ţiei lor în model. Abaterea medie p ătratică este dată de estimaţia ei: s (aˆ j −1 ) =
s 2 (u )d jj
Modelul multifactorial este: yˆ = 4,1046 + 2,8425v + 2,39457 z
∑
2 u = 6,221939
s 2 (u ) = 6,221939 : (15 − 3) = 0,518495 s(u ) =
0,518495 = 0,72
Elementele de pe diagonala matricei X -1 sunt, în ordine: d 11 = 1,16 d 22 = 0,7693 d 33 = 1,0036 de unde rezultă: s (aˆ1 ) = 0,72 ⋅ 0,7693 = 0,6315 s (aˆ 2 ) = 0,72 ⋅
1,00356 = 0,72128 t calc (aˆ1 ) = 2,8425 / 0,6315 = 4,5 t calc (aˆ 2 ) = 2,39457 / 0,72128 = 3,3198 Se preia din tabelul reparti ţiei Student valoarea lui t . Numărul gradelor de libertate este: n⋅ g ⋅ l = n – k = 15 – 3 = 12
Riscul acceptat α = 0,05 t 0,05; 12 = 2,179 Se compară t-calculat cu t -tabelat. În cazul ambelor estima ţii t-calculat > t -tabelat.
50
Se infirmă ipoteza nulă, a nesemnificaţiei şi se acceptă alternativa conform c ăreia cei doi factori sunt determinan ţi în studiul efectuat. Observaţii
• Semnul fiecărui parametru nu influen ţează rezultatul compara ţiei dintre t -calculat şi t -tabelat, întrucât în calculul raportului, estima ţia este în valoare absolut ă, deci raportul este pozitiv; • În cazul eşantioanelor mari, n > 30, se poate apela la reparti ţia normală redusă, pentru care apare variabila z care va fi considerat ă nivelul t -tabelat (numărul gradelor de libertate nu mai reprezint ă o coordonată); • Riscul notat cu α poate fi egal cu 0,05. Dac ă se doreşte o precizie mai mare, se poate alege o valoare mai mic ă pentru α, 0,01 sau 0,001, sau, dacă se acceptă un risc mai mare, se poate opta pentru α=0,1.
4.3 Verificarea semnificaţiei rolului ansamblului factorilor asupra variabilei efect 4.3.1 Testul F
Testul F urmăreşte verificarea semnifica ţiei simultane a tuturor estimaţiilor obţinute pentru parametri. Rezultatul verific ării se referă la aprecierea pe ansamblu a modelului, considerat ca o reprezentare care descrie un mecanism relaţional complet diferit de ceea ce ar putea fi atribuit întâmpl ării. Modelul de regresie descrie rolul factorilor determinan ţi prin parametrii de regresie, iar efectul conjugat al factorilor determinan ţi rezultă înlocuind parametrii cu estim ările obţinute şi atribuind valori factorilor. Se obţin astfel valori ajustate: yˆ = aˆ0 + aˆ1 x1 + ... + aˆ k xk
51
Valorile ajustate yˆ se abat de la medie y în măsura în care factorii se abat la rândul lor de la medie, ac ţionând mai intens sau mai puţin intens. Abaterile ( yˆ − y ) se datorează factorilor determinan ţi incluşi în model. Suma pătratelor acestor abateri se noteaz ă cu SSR: SSR =
2
∑ ( yˆ − y )
Un alt gen de abateri care pot interveni s-ar datora perturba ţiei, acţiunii factorilor reziduali, exprima ţi prin u. Suma pătratelor acestor abateri datorate întâmpl ării se notează cu SSU şi reprezintă suma pătratelor diferenţelor dintre valorile ajustate, generate de model ( yˆ ) şi valorile empirice, reprezentate de datele numerice ( y):
∑
2
∑
2
( y − yˆ ) SSU = u = Este de aşteptat ca rolul factorilor sistematici ( x1 , x2 ,..., xk ) să fie net superior rolului factorilor perturbatori ( u), aspect care poate fi verificat prin raportarea celor dou ă sume. Se apelează la repartiţia raportului dispersiilor (reparti ţia Snedecor), ceea ce implic ă transformarea sumelor în dispersii şi acceptarea unei probabilit ăţi α legate de riscul de a gre şi în ceea ce priveşte concluzia. Raportul dispersiilor se noteaz ă F calc, iar k reprezintă numărul de parametri: 2
( yˆ − y ) /( k − 1) ∑ SSR /( k − 1) = = 2 SSU /( n − k ) ∑ ( y − yˆ ) /( n − k ) i
F calc
i
i
i
i
4.3.2 Etapele aplicării testului F
Se stabileşte ipoteza nul ă, a nesemnificaţiei: dispersia de la numărător nu se abate semnificativ de la dispersia de la numitor; Se determină F -calculat: 52
SSR = 131,778 SSR/(k -1) = 131,78/2 = 65,88902 SSU = 6,221939 SSU/(n-k) = 6,221939/12 = 0,518495 F – calculat = 65,88902/0,518495 = 127,0775 Se caută în tabel: pentru α = 0,01, k – 1 = 2 grade de libertate (coloan ă),
n – k = 12 grade de libertate (linie), se găseşte valoarea F – tabelat = 6,93 Se compară F calc cu F tab: • Dacă F calc > F tab, se infirmă ipoteza nulă, ceea ce confirmă modelul ca fiind valid; • Dacă F calc < F tab, ipoteza nulă este confirmată. În cazul nostru, F calc = 127,0775, mai mare decât F tab = 6,93. Se poate afirma, cu un risc de a gre şi de 1% că estimaţiile sunt , în general, semnificativ diferite de zero, iar modelul în ansamblu este validat. 4.3.3 Coeficientul de determinaţie
Coeficientul de determina ţie exprimă ponderea rolului factorilor determinanţi din model în raport cu varia ţia totală a variabilei efect. Se notează suma tuturor abaterilor SST , unde SST = SSR + SSU, iar SSR SST − SSU SSU 2 R = = = 1− SST
SST
SST
În exemplu, SST = 131,778 + 6,222 = 138 2 R = 131,778 / 138 = 0,9549, adică 95,49% din varia ţia efectului este determinat ă de cei doi factori. Pentru comparaţii se recomandă varianta ajustată a coeficientului de determinaţie: Rˆ = 1 − {[SSU / (n − k )] : [SST / (n − 1)]} 2
În exemplu:
Rˆ 2 = 0,9473 53
Capitolul 5 Verificarea confirm ării ipotezelor 5.1 Ipoteze privind modelul şi metoda de estimare 1. Datele sunt ob ţinute corect (f ără erori sistematice de m ăsurare) şi în număr suficient de mare (dep ăşind numărul parametrilor), astfel încât soluţiile să prezinte stabilitate; 2. Variabila factorial ă ( x) este nestochastică şi prezintă aceleaşi valori în eventualitatea repetării sondajului; 3. Factorul ( x) prezintă variabilitate în ceea ce prive şte nivelurile înregistrate în cadrul unui e şantion de date (dispersia sa fiind un număr pozitiv finit), astfel încât rolul factorului s ă poată fi pus în evidenţă; 4. Modelul de regresie este linar în raport cu parametrii; 5. Modelul de regresie este corect specificat în sensul alegerii func ţiei potrivite (liniare sau neliniare) şi includerii factorilor determinan ţi astfel încât gradul de determinare ( R2) să fie suficient de mare; 6. Variabila rezidual ă este de medie zero şi urmează o repartiţie normală, M(u) = 0, u ≈ N 0, σ 2 ); 7. Variabila rezidual ă prezintă o dispersie (împr ăştiere) egală pentru diferitele valori xi, adică este homoscedastic ă; 8. Variabila rezidual ă nu este corelată cu variabila factorial ă ( x), astfel încât covarianţa dintre ui şi xi este zero; 9. Variabila rezidual ă nu este autocorelat ă, Cov(u ,i u j / x ,i x j) = 0; 10. Factorii inclu şi în model (varianta multifactorial ă) sunt independenţi unii în raport cu ceilal ţi, nefiind corela ţi între ei. Verificările cu privire la confirmarea ipotezelor pot oferi explicaţii cu privire la motivele pentru care verificarea semnifica ţiei (testul t, testul F) nu a condus la rezultatele a şteptate. Dacă aprecierea modelului este pozitiv ă, confirmă din perspectiva semnifica ţiei şi ipotezelor, se poate trece la etapa utiliz ării lui pentru analize, prognoze, simul ări. 54
Obstacolele de care se love şte cercetarea econometric ă pot fi redate astfel: • Multicoliniaritatea; • Autocorelarea (valorilor reziduale); • Lipsa datelor; • Timpul şi banii cheltui ţi; • Heteroscedasticitatea; • Unicitatea ecua ţiei şi neidentificarea; • Specificarea incomplet ă sau incorectă.
5.2 Date suficiente, neafectate de erori sistematice 5.2.1 Consideraţii asupra necesităţii abordării problemei datelor
Modalitatea de ob ţinere a datelor nu îndepline şte condiţiile unei observări riguroase (din perspectiva model ării econometrice) similare celor de laborator. Înregistr ările numerice la care avem acces au fost realizate în diverse scopuri (eviden ţe financiar-contabile, raport ări statistice, anchete sociale) şi în diverse conjuncturi (metodologii modificate în decursul timpului, întârzieri în consemnarea realiz ărilor, durate inegale de activitate economic ă, situaţii excepţionale); Imposibilitatea ob ţinerii de date privind unele dintre variabilele modelului econometric sau absen ţa unor înregistr ări pentru o parte dintre cazuri sau perioade; Importanţa datelor, atât din perspectiva num ărului de cazuri, cât şi în ce prive şte calitatea măsurătorilor, pentru acurate ţea soluţiilor. Este posibil ca existen ţa unor date eronate, fie şi pentru un singur caz, să modifice estimările, să schimbe rezultatele testelor de semnifica ţie şi, în final, să pună sub semnul întreb ării utilitatea modelului. 5.2.2 Verificarea şi aprecierea datelor numerice
Existenţa de date care se refer ă indubitabil la variabila-efect, respectiv la fiecare dintre factorii inclu şi în model. În cazul în care datele nu corespund acestui deziderat (nu exist ă sau nu pot fi 55
procurate date suficiente pentru una dintre variabile), se recurge la variabila cea mai apropiat ă ca sens şi mod de a evolua (variabila reprezentant), în vederea evit ării apariţiei unei zone neexplicate. Controlul cantit ăţii, în sensul aprecierii dac ă numărul da cazuri pentru care avem date este suficient de mare, iar pentru fiecarecaz datele sunt complete (exist ă înregistrarea privind y ,i respectiv xi). Dacă numărul de cazuri este mult mai mic decât n = 15 (nivel apreciat ca satisf ăcător, la limită) urmează să mai adăugăm cazuri sau să înlocuim datele anuale cu date trimestriale sau lunare. Dacă pentru unele cazuri (perioade din seria cronologic ă, unităţi din eşantion) datele nu sunt complete sau prezint ă suspiciuni, procedăm la corecţii, dacă acestea pot fi f ăcute, sau la excluderea cazurilor respective, dac ă aceasta nu conduce la un volum prea mic ( n < 15) de cazuri. Verificarea omogenităţii sub aspectul unit ăţii de măsură, definirii indicatorului şi exprimării în preţuri constante (pentru exprimări valorice). O astfel de verificare se refer ă la fiecare variabil ă în parte, aşa încât pe întreg intervalul sau pentru întreg e şantionul variabila să fie exprimată unitar, să rezulte în urma aceluia şi mod de calcul. Neglijarea verific ării ipotezei privind corectitudinea datelor poate conduce la urm ătoarele: • Dacă eşantionul este prea mic, estim ările pentru parametri sunt instabile (un alt e şantion ar putea oferi estima ţii complet diferite), iar factorii pot prezenta analogii (evolu ţii paralele foarte asem ănătoare), ceea ce poate afecta de asemenea calitatea estima ţiilor; • Renunţarea la unele variabile din lips ă de date va s ărăci analiza şi ar putea mări gradul de nedeterminare sau distorsiona estima ţiile; • Dacă, fie şi pentru o variabil ă, datele sunt exprimate într-o form ă neomogenă sau prezintă erori sistematice, aceasta afecteaz ă grav soluţiile modelului.
5.3 Independenţa variabilelor factoriale din ecuaţia de regresie Dacă între variabilele factoriale ale modelului exist ă asemănări frecvente în ceea ce prive şte evoluţia în timp sau în ceea ce prive şte 56
modificările de la o unitate de observare la alta (familie, jude ţ, firmă), se cosideră că ipoteza cu privire la independen ţa variabilelor cauzale incluse în modelul de regresie este infirmat ă. Termenul de multicoliniaritate acoperă atât cazul existen ţei în model a unui număr de 2 factori coliniari (perfect sau par ţial coliniari) cât şi la cazul existen ţei de legături intense între 3 sau mai multe variabile factoriale din ecua ţia respectivă. Astfel de leg ături între variabilele explicative incluse în reprezentări de forma y = a0 + a1 x + a2 z + a3k + u, pot fi expresii ale unei relaţii de cauzalitate ( x determină pe z, sau atât x cât şi z depind intens de factorul w neinclus în model), pot reprezenta combina ţii liniare de forma k = x + 2z, sau pot fi simple analogii în evolu ţia înregistrată pe segmentul de n valori de care dispunem. Toate aceste situa ţii produc acelea şi efecte dacă asemănările sunt foarte intense: • estimaţiile obţinute pentru parametri pot fi deformate; • imprecizia acestora cre şte; • rezultatele testului t sunt distorsionate în direc ţia nesemnificaţiei. 5.3.1 Semnale care atrag aten ţia multicoliniarităţii: • În cazul utiliz ării unui model în care apar 2 factori, de forma: y = a0 + a1 x + a2 z + u: - Coeficientul de corela ţie calculat pentru factori ( r xz) întrece, în valoare absolut ă nivelul de 0,85 sau chiar de 0,9; - Reprezentarea grafic ă (diagrama împrăştierii), privind exclusiv factorii, semnaleaz ă o suspectă ordonare a punctelor de coordonate x z i i
în jurul unei drepte. • În cazul în care apar mai mulţi factori: - Coeficientul de determina ţie ( R2) prezintă valori apropiate de 1 în condiţiile în care estima ţiile pentru parametri (una sau mai multe) nu trec testul t (nu diferă semnificativ de zero); - Coeficientul de determina ţie (forma ajustată) este inferior ca mărime coeficienţilor de determinaţie pentru regresiile auxiliare.
57
Un semnal este dat şi de determinantul matricei X , în sensul că nivelul determinantului devine extrem de mic pe m ăsură ce gradul de coliniaritate între doi factori cre şte (pentru coliniaritatea perfect ă, determinantul este egal cu 0, ceea ce face imposibil ă rezolvarea sistemului). În plus, valorile foarte mici ale determinantului conduc la valori foarte mari ale elementelor inversei, ceea ce face ca împrăştierea valorilor estimate s ă fie foarte mare, iar eficien ţa estimatorului este afectat ă. •
5.3.2 Soluţii
• Dacă se pot suplimenta datele, m ărind astfel numărul de cazuri în eşantion sau numărul perioadelor în seriile cronologice, aceasta acţionează în direcţia creşterii mărimii determiantului, mai ales dac ă întâmplătoarele analogii în evolu ţia factorilor se atenueaz ă; • Dacă în loc de date culese în timp se pot utiliza date în optica transversală, atunci acestea ne a şteptăm să fie mai puţin afectate de corelaţii între factori; • Dacă se poate renunţa la unul dintre factorii care prezint ă o intensă corelaţie cu un alt factor, atunci eliminarea acestui factor ar fi o soluţie. Condiţia este ca eliminarea factorului s ă nu afecteze analiza printr-o pierdere de informa ţie şi nici gradul de determinare în mod semnificativ; • Dacă nu urmărim în mod expres interpretarea parametrilor ci ne interesează doar atenuarea efectelor multicoliniarit ăţii, atunci aşa numita regresie ridge poate fi o solu ţie. Procedeul constă în adăugarea unui scalar elementelor de pe diagonala inversei şi estimarea în urma unei astfel de modific ări.
5.4 Ipoteza privind liniaritatea modelului şi corecta sa specificare Liniaritatea rela ţiei de dependen ţă dintre variabila efect ( y) şi factorul determinant ( x), respectiv combinaţia de modificări simultane a factorilor ( x1 , x2 , ..., xk ), prezintă interes îndeosebi din perspectiva utilizării metodei celor mai mici p ătrate în vederea estim ării. 58
Adesea prin model liniar avem în vedere varianta transformat ă a modelului neliniar în raport cu variabilele, utilizând logaritmii sau alte procedee. 5.4.1 Verificarea prezumţiei liniarităţii
Pe cale grafică, în sensul că diagrama împrăştierii este deseori elocventă, mai ales în cazul unifactorial. În cazul multifactorial (cu deosebire cazul bifactorial) se poate analiza dac ă valorile y, respectiv x ce revin pe unitate de factor partener z urmează forma liniară: y z
x z
= f ;
În urma constatării nivelului aproximativ constant al raportului modificărilor paralele de genul: y2 − y1 x2 − x1
≈
y3 − y2 x3 − x2
≈
y4 − y3 x4 − x3
Deseori elaborarea modelului în mai multe variante face posibil ă analiza comparativ ă din perspectiva coeficien ţilor R2, testul t , testul F . Rezultatele analizei pot confirma sau infirma liniaritatea modelului în situaţii în care exist ă cel puţin 2 variante (una liniar ă, alta neliniară). În ceea ce priveşte factorii luaţi în calcul, aceştia trebuie s ă îndeplinească condiţii precum: influenţa fiecăruia să fie determinantă pentru variabila efect, factorii s ă nu prezinte analogii intense în evoluţie (multicoliniaritatea trebuie evitat ă), să prezinte variabilitate. Verificarea incorectei specific ări din perspectiva factorilor atra şi în model are în vedere: • Coeficientul de determina ţie; • Semnificaţia în sensul testului t , dar şi a testului F . Un model econometric confirmă a ştept ările în ceea ce prive şte 2 func ţ ia liniar ă adoptat ă dacă gradul de determinare (R ) este apropiat de 1 (100%), testele de semnifica ţ ie (t, F) confirmă modelul, iar abaterile reziduale se comport ă precum valorile unei variabile aleatoare. 59
5.5 Verificarea confirmării ipotezelor privind comportamentul variabilei reziduale Ceea ce se aşteaptă de la valorile reziduale ob ţinute în final, după estimare, sub forma unor abateri (diferen ţe) y − y~i = ui constă în manifestarea lor aleatoare, f ără a mai include nimic sistematic. Modelul poate fi astfel apreciat şi prin prisma modului în care reproduce datele empirice ale variabilei rezultative ( y) astfel încât abaterile (erorile) yi − yˆ i să se caracterizeze prin: • Egala împrăştiere a valorilor ui, în prealabil ordonate în raport cu mărimea factorului şi segmentate în dou ă sau mai multe grupe. Termenul grecesc homoskedastic (egal împr ăştiat), în limba română homoscedastic , caracterizează în econometrie o egală împr ăştiere, spre deosebire de heteroscedastic, care semnaleaz ă inegala împrăştiere; • Independenţa oricărei valori ui în raport cu valoarea / valorile precedentă, astfel încât autocorelarea valorilor reziduale s ă nu poată fi constatată; • Repartiţia normală, de medie zero a valorilor ui , ceea ce ar însemna că valorile pozitive sau negative ale abaterilor mici sunt frecvent poziţionate în jurul mediei ( M(u)=0), iar pe măsură ce se abat tot mai mult de la zero, frecven ţa lor scade. 5.5.1 Verificarea împrăştierii valorilor variabilei reziduale (homoscedasticitatea / heteroscedasticitatea
Împrăştierea este apreciat ă numeric prin dispersie σ 2 = ∑ u întrucât M (u) = 0; n Calculul dispersiei implic ă un ansamblu de valori, precum şi media acestora. Pentru a constata egala sau inegala împr ăştiere, este necesar să formăm grupe egale de termeni în cadrul şirului de valori u1 ,u2 , ..., un; Formarea grupelor (în număr de 2, rareori 3 sau mai multe) este precedată de o ordonare a valorilor ui în raport cu valorile în creştere (sau descreştere) ale factorului. De regul ă, de la bun început, nivelurile xi sunt ordonate fie cresc ător, fie descrescător; u2
60
Problema comportamentului valorilor reziduale se complic ă întrucâtva în situaţiile în care: • Există mai mulţi factori; • Interesează şi verificarea prezum ţiei privind independen ţa variabilei reziduale în raport cu evolu ţia factorului (a oric ărui factor din model). 5.5.2 Testul GQ (Goldfeld, Quandt) Etapele testului:
Ordonarea datelor y x i i, astfel încât valorile xi să fie ordonate crescător; Eliminarea unui num ăr de valori centrale de cel mult c = n / 3, dacă seria de date include suficient de multe cazuri (etapa nu este obligatorie). Rezult ă două secţiuni de date ordonate în raport cu xi şi situate spre extreme, de ( n – c) / 2 cazuri fiecare; Aplicarea MCMMP fiecărei secţiuni separat în vederea estim ării ~ prima sec ţiune, parametrilor, obţinerii de valori ajustate din y respectiv din cea de a doua sec ţiune, iar, în final, ob ţinerea de valori reziduale (ui) în fiecare dintre cele dou ă secţiuni; Obţinerea mărimii F calculat , numărătorul fiind pentru sec ţiunea de împrăştiere maximă: (n −c ) / 2 2 ∑ u j : ( g ⋅ l ) j =1 F calculat = (n −c ) / 2 2 ∑ u j : ( g ⋅ l ) j =1 unde g⋅ l = număr grade de libertate g ⋅l =
n−c
2
− k
Compararea valorii calculate ( F calculat) cu valoarea tabelat ă de coordonate n−c n−c α , − k ; − k ,
2
2
unde k = numărul de parametri. 61
Dacă F calc < F tab, prezumţia homoscedasticităţii erorii (ui) este confirmată; Dacă F calc > F tab, prezumţia homoscedasticităţii erorii (ui) este infirmată, se acceptă alternativa: eroarea ( ui) este heteroscedastic ă. Dacă erorile (ui) diferă semnificativ ca împr ăştiere pe segmente de valori ordonate în raport cu m ărimea factorului, estima ţiile rezultate prin MCMMP pierd din precizie (heteroscedasticitatea afecteaz ă eficienţa estimatorului), iar prognozele sunt imprecise. Remedii în vederea diminuării sau eliminării heteroscedasticităţii În situaţiile în care num ărul de cazuri este suficient de mare (n>30) se poate proceda la elaborarea de modele distincte pentru
fiecare dintre segmentele de valori supuse testului. 2 Transformarea valorilor y x i i prin raportarea lor fie la x , i fie la σ u (i ) . 5.5.3 Prezumţia neautocorelării valorilor reziduale
Reprezentarea grafic ă poate să semnaleze situaţii de posibilă dependenţă sau de independen ţă a abaterilor. Verificarea existenţei sau inexisten ţei autocorelării erorilor (abaterilor sau valorilor reziduale) se poate ob ţine prin testul DW (Durbin-Watson). Restricţiile aplicării testului • n > 15; • Existenţa de valori tabelate; • Existenţa parametrului liber a0; • Relaţia liniară dintre ui şi nivelul imediat anterior ui-1. Etapele testului DW
• Stabilirea ipotezei nule ( H 0): valorile reziduale nu sunt autocorelate; • Obţinerea nivelului calculat: n ∑ (ui − ui −1 )2 DW =
i=2 n
∑1 u 2 i
i=
62
• Aprecierea nivelului calculat în raport cu apropierea sa de valoarea 2: − Apropiat de 2 – cazul neautocorel ării; − Apropiat de 0 sau de 4 – cazul autocorel ării. • Autocorelarea reziduurilor afecteaz ă eficienţa estimatorului MCMMP. Metode de eliminare/atenuare a autocorela ţiei • Înlocuirea valorilor y x i i cu diferenţele de ordinul pentru fiecare variabil ă în parte:
1 calculate
yi = ∆ yi = yi +1 − yi
•
xi = ∆ xi = xi +1 − xi
Utilizarea de valori transformate, rezultate astfel: yi* = yi − ryi −1 xi* = xi − rxi −1
unde r este coeficientul de autocorela ţie a erorii: n
∑2 u u i
r uiui−1 =
i −1
i=
n
∑1
2
ui
i=
• Adăugarea de cazuri suplimentare sau respecificarea modelului în sensul acceptării unei alte funcţii sau introducerii de noi factori dacă există motive suplimentare de a recurge la astfel de variante ale modelului. 5.5.4 Variabila reziduală urmează o repartiţie normală de medie zero
Caracteristica variabilei reziduale de a evolua întâmpl ător se datorează acţiunii factorilor minori, accidentali, neinclu şi în mod explicit în modelul econometric.
63
Abaterile valorilor empirice de la valorile generate de model ar trebui să fie unele pozitive, altele negative, compensându-se reciproc, astfel încât media s ă fie zero. Predominanţa valorilor mici, apropiate de zero, şi raritatea abaterilor mari ar trebui s ă apropie repartiţia abaterilor de reparti ţia unei variabile normal distribuite.
Verificarea
• Se însumează erorile şi se calculeaz ă media pentru a constata dacă media este zero sau foarte apropiată de zero; • Se aplică testul JB (Jarque şi Bera). Notaţii: S = coeficientul de asimetrie • M (u ) − M 0 media − modul = = S abaterea medie patratica σ u •
k = coeficientul de boltire
1 k =
4
(u − u ) ∑ n (σ 2 )2 u
•
Se calculează:
S 2 (k − 3)2 + JB = n 24 6 Nivelul obţinut pe baza acestei rela ţii urmează asimptotic (pe măsură ce mărimea eşantionului cre şte) distribuţia χ 2 cu două grade de libertate. 64
În cazul în care corespondentul JB în tabelul distribu ţiei (cel mai apropiat nivel pe rândul 2) se situeaz ă pe coloana α < 0,3 sau, mai bine α < 0,2 (ceea ce implică o probabilitate de 0,7, respectiv 0,8) se afirmă că abaterile ui urmează o repartiţie normală. În situaţia în care nu se confirm ă prezumţia conform căreia abaterile ui urmează o repartiţie normală, de medie egală cu zero, rezultatele testului t şi ale testului F sunt discutabile. Aceste teste se bazează pe prezumţia normalităţii repartiţiei erorii în condiţiile unui eşantion suficient de mare. Soluţia cea mai indicat ă în astfel de situa ţii este suplimentarea numărului de cazuri. O verificare a datelor utilizate ar putea eviden ţia fie valori atipice, fie erori de calcul sau de observare care, prin eliminare, ar reduce numărul de abateri mari, apropiindu-se de confirmarea prezumţiei.
65
Capitolul 6 Aplicarea modelului de regresie în analiza şi prognoza economică 6.1 Coordonatele analizei economice şi analizei statistice Rezultatele ob ţinute cu privire la parametrii modelului, dar şi în ceea ce priveşte nivelul unor indicatori ob ţinuţi în urma parcurgerii etapei verificării sunt utili îndeosebi analizei economice, analizei statistice, precum şi prognozei. Analiza economic ă beneficiază îndeosebi de rezultatele estim ării parametrilor de regresie. Faptul că o estimaţie aˆ j ( j = 1, 2, ...) semnalează în ce direcţie şi în ce măsură se modifică variabila-efect ( y) la o creştere cu o unitate a factorului x j, în condiţiile în care ceilal ţi factori incluşi în model sunt consideraţi constanţi, reprezintă o informaţie deosebit de util ă pentru economistul preocupat de analiza cauzelor care determin ă un proces. Ponderea în care factorii determinan ţi introduşi în model explic ă modificările variabilei-efect (exprimat ă de indicatorul R2) constituie o informaţie utilă în analiză. Din perspectiva statisticianului, de un interes aparte se bucur ă rezultatele etapei de verificare. Testul F şi măsura în care F calc depăşeşte nivelul tabelat d ă informaţii referitoare la puterea de influenţă a factorilor. O analiză performantă bazată pe rezultatele regresiei multifactoriale presupune confirmarea unor a şteptări privind: • Semnificaţia atât pe ansamblu (în sensul testului F ) cât şi individual, privind fiecare parametru (testul t ); • Mărimea coeficientului de determina ţie ( R2>0,8); • Gradul de corelare existent între factori s ă fie mic, astfel încât corelaţia, în valoare absolut ă să nu depăşească 0,85, iar variabilele factoriale să nu fie dependente. 66
Analiza comparativ ă privind factorii sau variantele de model se bazează pe indicatorii: • Coeficienţii beta care permit clasificarea factorilor în raport cu importanţa acţiunii lor asupra variabilei-efect; • Coeficientul de determina ţie în varianta ajustat ă, care poate constitui un reper în situa ţii în care exist ă mai multe variante de model pentru a explica aceea şi variabilă-efect. Se alege varianta cu Rˆ 2 maxim; • Coeficientul menţionat prin simbolul AIC (criteriul Akayke) care oferă posibilitatea de a aprecia fiecare variant ă de model prin prisma preciziei (apropierii valorilor ajustate de cele reale). Se opteaz ă pentru varianta pentru care AIC este minim. Se noteaz ă cu k numărul de factori.
∑ u2 i
AIC = ln
i
n
+
2k n
6.2 Prognoza economică bazată pe modelul de regresie Prognoza având la baz ă rezultatele regresiei statistice are în vedere prezumţia menţinerii şi în viitor a influen ţei fiecărui factor aşa cum este exprimată în estimaţiile parametrilor de regresie pentru perioada la care se referă datele. Se consideră că valorile anticipate privind nivelul viitor al fiecărui factor determinant ( x’ ) nu provin dintr-un proces net diferit de datele folosite la estimare, iar anticiparea lui este corect ă. Prognoza rezultă în urma introducerii în modelul specificat a estimaţiilor pentru parametri, iar pentru factori se iau în calcul valorile anticipate (planificate, preconizate, rezultate din alte calcule de prognoză): y ' = aˆ 0 + aˆ1 x1 '+ aˆ 2 x2 '+... + aˆ k xk '
La fel cum valorile ajustate nu coincideau cu valorile reale (empirice) y, existând abateri notate ( u), se poate presupune c ă nici prognozele nu vor coincide cu valorile înregistrate de y în viitor. 67
Eroarea de prognoză se notează cu e şi este direct propor ţională cu distanţa la care se va situa nivelul anticipat ( x’) al factorilor în raport cu nivelul lor mediu din perioada trecut ă şi invers proporţională cu numărul de cazuri din etapa estim ării.
6.3 Modele econometrice utilizate în domeniul cererii de bunuri şi servicii Prezumţii care stau la baza abordării econometrice a cererii • Orice formă statistică sau economică corectă de exprimare a legăturii dintre cererea de consum a popula ţiei şi factorii care o determină poate fi redusă la o funcţie: C = f ( x1, x2 , ..., xk ) + u • Factorii care determin ă consumul pot lua orice valoare real ă pozitivă; • Consumatorul (cump ărătorul) procedează, în general, într-un mod raţional, căutând să-şi maximizeze beneficiul subiectiv, presupus de achiziţionarea produsului, investind cât mai pu ţin;
• Se poate afirma, îndeosebi pentru cazul cererii globale a populaţiei, că funcţia de consum este omogen ă de gradul n, este derivabilă, cu derivata I pozitiv ă, iar derivata a II-a negativ ă, (admiţând un maxim). Factorii care determin ă consumul sunt de o mare varietate. În cele mai multe cazuri se consider ă cererea (consumul) ca fiind func ţie de venit, precum şi funcţie de preţ. Alături de aceste cauze trebuie avute în vedere şi alte variabile factoriale, cum ar fi: tradi ţia, reclama, înzestrarea, moda, sezonul etc., a căror influenţă poate să difere în raport cu produsul/serviciul, categoria de consumatori, starea general ă a economiei. Produse de strictă necesitate (alimente obi şnuite, îmbrăcăminte) C = cerere; PO = populaţie C t = a0 + a1 PO + a2C t −1 + ut Produse de uz curent C t = a0 + a1 Pt + a2 Pinlocuitor + a3V t + ut 68
unde V = venit; P = preţ C t = a0 + a1 PO + a2V + a3C t −1 C t = V t (a1 log V t + a0 ) , funcţia lui Konius
log C t = a0 + a1 log CT + a2 log MF , funcţia Hauthakker, unde: CT = cheltuieli totale; MF = oferta de mărfuri. C t = a0 + a1 POt + a2 R + a3CRt + ut unde R =reclama; CR = concurenţa.
∆V t ∆V t −1 C C t = a0 − a1 + + ... + a2 + ut V t −1 V t −1 V t C t = a0 + a1 POt + a2TM t + ut
unde TM = temperatura. Produse de uz îndelungat C t = a0 + a1V t + a2 Pt + a3 Z t + ut unde Z = înzestrarea C t = a0 + a1V t + a2OF t + a3 POt + ut
unde OF = oferta Pentru autoturisme: C t = a0 + a1Vnt + a2 I t ( / p0) + a3 RS t + ut
unde Vn = venit net; I(p)t/0 = indice de preţuri; RS = rata şomajului. Produse de lux C t = a0 + a1V t + a2OF t + a3 A + ut
unde A = anotimpul (sezonul); OF = oferta.
69
Cererea la nivel macroeconomic (nivel global) C t V t −1
= a0 + a1
unde V = venitul
V t V t −1
+ a2
C t −1 V t − 2
+ ut
V + a2 POt + a3TX t + ut PO
C t = a0 + a1
unde TX = taxe şi impozite Forma liniară a funcţiilor, cât şi prezenţa repetată a unor factori (venit, preţ, numărul populaţiei, cererea din perioada anterioar ă) arată că există invarianţi în acest domeniu. O anumită diversitate a reprezent ărilor este necesară, dată fiind complexitatea domeniului cererii de m ărfuri. Un factor deosebit de activ în acest domeniu este factorul psihologic.
6.4 Producţia, factorii determinanţi şi funcţiile de producţie Primele studii cantitativiste ale evolu ţiei producţiei în raport cu factorii determinanţi au început cu analize ale cre şterii producţiei agricole în raport cu cre şterea volumului de îngr ăşăminte şi a cantităţii de precipitaţii. Tot în agricultur ă a fost elaborat studiul teoretic al autorilor Knut şi Wicksel privind evolu ţia producţiei funcţie de numărul de muncitori, suprafaţa cultivată, capitalul utilizat. Cobb şi Douglas (1928) au exprimat printr-o formul ă dependenţa statistică dintre venitul na ţional (variabila efect) şi factorii muncă şi capital. Era luat în calcul venitul na ţional al SUA ( y) în funcţie de cuantumul salariilor (exprimând valoric munca – M ) şi valoarea fondurilor fixe disponibile (exprimând capitalul – K ) înregistrate în economia SUA pentru o perioad ă de n ani. α
β u
y = AM K e
70
Prin logaritmare se obţine:
ln y = ln A + α ln M + β ln K + u = a + α X 1 + β X 2 + u unde: a = ln A, X 1 = ln M , X 2 = ln K
Modelul fiind liniar în raport cu parametrii, este posibil ă estimarea acestora prin MCMMP. Parametrii α şi β reprezintă elasticităţile parţiale şi exprimă cu cât la sută se modifică producţia ( y) la o modificare cu 1% a unuia dintre factori, în condi ţiile în care celălalt factor este considerat constant. Chenery H.B., Arow R.J. Minchas B.S. Şi Solow R.M. Generalizează funcţia de producţie Cobb Douglas şi elaborează în 1961 funcţia CES, în care elasticitatea substituirii factorilor este considerată constantă: y = A(α M
− ρ
)
1
− ρ − ρ K
+ β
unde α + β = 1, ρ > −1.
6.4.1 Ipoteze şi caracteristici în elaborarea şi utilizarea funcţiilor de producţie în studiile economice
• Factorii care determină producţia sunt nenegativi şi, în mare parte, substituibili; • Procesul de producţie se desf ăşoară pe baza unei tehnologii care reduce la maxim consumul de factori şi resurse; • Funcţia de producţie presupune un randament global nedescrescător; f ( M + K ) ≥ f ( M ) + f (K ) este omogenă de gradul I, ceea ce • implică o creştere a producţiei în aceeaşi măsură cu creşterea factorilor: f (mM , mK ) = mf ( M , K ); • Funcţia este derivabilă, având derivata I pozitiv ă, ceea ce face posibilă obţinerea cuantumului produc ţiei suplimentare la o cre ştere cu o unitate a unuia dintre factori; • Derivata a doua este negativ ă, funcţia fiind concav ă, adică este conformă legii randamentului descresc ător, în sensul că, depăşind un punct de maxim, producţia înregistrează creşteri din ce în ce mai mici la o creştere constantă a factorilor. Men ţinerea creşterii economice, în condiţiile unor resurse limitate, presupune cre şterea continu ă a eforturilor de cercetare ştiinţifică, tehnologizare, organizare, calificare. 71
6.4.2 Indicatori utili analizei economice bazate pe funcţii de producţie Norma de substituire
Norma de substituire sau rata marginal ă de substituire a resurselor este util ă în vederea cunoa şterii raportului în care un factor poate fi înlocuit de un altul f ără ca producţia să se diminueze. Se calculează derivatele parţiale: f M ' ( M , K )dM + f K ' ( M , K )dK = dy În ipoteza menţinerii producţiei la acelaşi nivel, adic ă dy = 0, rezultă: '
α
y
M = − α K = − ' y dM f K β M β Rezultatul arat ă câte K unităţi de factor K (milioane lei fonduri
S =
dK
=−
f M
fixe) pot înlocui o unitate de factor M. Exemplu
Fie funcţia de producţie: y = 2 + 0,5 M + 0,2 K atunci: S =
dK dM
=−
0,5 = −2,5 0,2
unităţi de capital sunt necesare pentru a substitui un salariat. Elasticitatea
Elasticitatea exprim ă proporţia în care se modific ă producţia în cazul în care factorul cre şte cu 1%. ∆ y ∆ x j ∆ y y : : ; dar pentru ∆ x j → 0 = E y / x = ∆ x j x j y x j j
E =
dy
:
y
dx j x j
72
Elasticitatea este dat ă de raportul dintre randamentul marginal al factorului x j şi randamentul mediu. Pentru funcţia Cobb-Douglas coeficien ţii de elasticitate sunt: α −1
E y / M = α AM
α
β M
K
y
β −1
E y / K = β AM K
K y
= α
= β
În cazul funcţiei CES se obţine: E y / M =
α
E y / K =
ρ
M α + β K
β ρ
K α + β M
Randamentul marginal
Randamentul marginal reprezint ă indicatorul care ofer ă posibilitatea de a cunoa şte până la ce nivel este recomandabil s ă se mărească factorul x j astfel încât rezultatul (produc ţia) să fie maxim. Pentru o dependen ţă multifactorială se consideră că toţi ceilalţi factori se menţin constanţi ca nivel. Pentru a determina punctul extremal se egaleaz ă cu 0 derivata parţială a funcţiei în raport cu x j :
∂ f ( x1 , x2 ,..., xk ) RE ( x j ) = ∂ x j Exemplu
Funcţia care descrie dependen ţa recoltei medii de porumb în raport cu cantitatea de îngr ăşăminte chimice este: 2 y = 3,539 + 0,2527 x − 0,002827 x Pentru obţinerea randamentului marginal se egaleaz ă cu 0 derivata funcţiei:
73
∂ y = 0,2527 − 2 ⋅ 0,002827 x = 0 ∂ x
0,2527 ⇒ x = = 44,694 2 ⋅ 0,002827 Rezultatul ob ţinut reprezint ă nivelul optim al cantit ăţii de îngrăşăminte chimice care conduce la o produc ţie maximă în condiţiile în care ceilal ţi factori, neluaţi în calcul, nu vor prezenta modificări care să perturbe semnificativ rezultatul (recolta). În cazul în care astfel de factori erau introdu şi explicit în func ţia de producţie, nivelul lor ar fi fost considerat constant. O situaţie specială o reprezintă cazul când factorii sunt lega ţi printr-o relaţie restrictivă, urmare a limitării disponibilit ăţii, capacităţile de producţie, etc. În astfel de cazuri se apeleaz ă la metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Exemplu
Se consideră performanţa calitativă ca funcţie de îmbinarea a două resurse F şi G astfel: y = 2 logF + 4 logG În cazul în care pre ţurile resurselor sunt: pF = 4 şi pG = 12, iar bugetul nu poate dep ăşi 100 u.m., adică 4 F + 12 G = 100, se formează funcţia auxiliară: y(m) = 2 logF + 4 logG + m(4F + 12G – 100) Se egalează cu 0 derivatele par ţiale obţinute în raport cu F, G şi multiplicatorul m şi se obţine un sistem de 3 ecua ţii cu 3 necunoscute. Soluţia este F = 8,3; G = 5,5 şi m = - 1,9. Aplicaţiile concrete ale func ţiilor de producţie în studiul evoluţiei variabilelor macroeconomice, ca şi în analiza activit ăţii întreprinderilor, au scos în eviden ţă unele aspecte concrete care prezintă un interes deosebit: • În ceea ce priveşte datele despre rezultate şi factori, se recomandă utilizarea unor serii suficient de lungi privind perioade de stabilitate economic ă;
74
• În mod frecvent sunt utilizate valori procentuale, indici cu baz ă fixă; • Când se urmăreşte evitarea multicoliniarit ăţii se apelează la transformări de genul: yt ' =
yt +1 − yt yt
, xt ' =
xt +1 − xt xt
;
• Funcţiile neliniare fac necesar ă parcurgerea etapei de liniarizare, după care se poate aplica MCMMP pentru estimarea parametrilor; • În ceea ce priveşte domeniile din economie în care rezultatele obţinute prin utilizarea func ţiilor de produc ţie au fost remarcabile, se menţionează că îndeosebi la nivel de ramur ă soluţiile obţinute au fost deosebit de utile. Aceasta şi pentru că datele au fost accesibile, iar rezultatele mai u şor de interpretat. Îndeosebi calculele de eficien ţă în agricultură au beneficiat de pe urma acestor reprezent ări.
6.5 Relaţii financiar - bancare şi reprezentarea lor prin ecuaţii Existenţa şi rolul banilor în economie, precum şi problemele care ţin de echilibrul bugetar, dar şi de politicile economice, genereaz ă o serie de relaţii de influen ţă care pot fi analizate şi prognozate cu ajutorul reprezent ărilor econometrice. Realizarea de bunuri şi servicii, ca şi tranzacţiile care au loc au un corespondent în forma b ănească. Este necesară determinarea cantit ăţii de bani în circula ţie, stabilirea vitezei de circula ţie a banilor, rolul şi cauzele infla ţiei, influenţarea fluxurilor de venituri spre buget, stabilirea rolului cheltuielilor bugetare, a injec ţiei de bani în economie, etc. Banii în şişi sunt generatori de rela ţii precum cele legate de costul împrumutului, investirea capitalului, cursul de schimb, etc. Teoria economică se referă explicit la o serie de rela ţii de cauzalitate între astfel de variabile, iar politicile economice (politica monetară, politica fiscală, politica cursului de schimb) se bazeaz ă pe cunoaşterea şi controlul unor astfel de dependen ţe. 75
6.5.1 Masa monetară şi factorii care determină cererea de bani
În ceea ce priveşte oferta şi cererea de bani, Mayes consider ă c ă volumul tranzac ţiilor, precauţia, scopurile speculative, infla ţia reprezintă factorii care trebuie inclu şi în model. Cererea de bani = f (modificarea veniturilor, rata dobânzii din perioada curentă, precum şi din perioada precedent ă) Cererea de bani a popula ţiei (Maddala): CBP = 3,9 + 3438 PIB + 0,8 Rata dobânzii + 0,8 Infla ţ ia + u Variantă neliniară (Chiarini): α
β
CBP/Indicele de pre ţ uri = a(Venit / Rata dobânzii )
Oferta de bani reprezentat ă în mod frecvent de masa de bani în sens restrâns ( M 1) este redată în coresponden ţă cu creşterea economică şi rata dobânzii. Modelul Brunner-Meltzer: M 1 = a + b Cre şterea rezervelor băncilor comerciale la banca centrală + c Numerar în circula ţ ie + d Depozite la termen + + e Rezerve speciale + u
6.5.2 Rata dobânzii şi investiţiile
Rata dobânzii şi rolul ei asupra investi ţiilor apare în reprezent ări de forma (Wharton, modelul italian): Rata dob.(t)= f(Rata scontului(t)/Rata dob. titlurilor de valoaret(t1),Rata dob.(t-1))
Modelul FRB St. Louis: Rata dob. pe termen lung = f(Masa monetar ă , Rata dob. din perioada ant., Produc ţ ia(t-1))
Rata dobânzii reprezint ă de asemenea un factor care apare în func ţiile ce privesc investi ţiile. Modelul Klein: 76
Investi ţ ii = a + b PNB + c Rata dobânzii nominale + d Stocul de capital +u
6.5.3 Impozitele şi transferurile
Impozitele şi transferurile sunt influen ţate în mod determinant de venituri (salarii, profit) şi de intensitatea activit ăţilor specifice economiei reale (produc ţie, export, import). Klein utilizeaz ă relaţiile: Impozit popula ţ ie = a + b(Venituri popula ţ ie din sector privat + +Venituri popula ţ ie din sector public) + u Impozit pe profit = a + b Vânzări + c Export + d Import + +eAmortizări + u
Fiscalitatea determin ă evoluţia unor variabile economice, ceea ce face ca variabila impozit s ă fie regăsită în postura de factor, fie în mod explicit, fie ca element de formare a venitului disponibil sau, în general, a realizărilor nete exprimate valoric. De exemplu (Chiarini): Solicit ări băne şti pentru investi ţ ii = a + b (Profit – Impozite) + +cTrend + d Impozite indirecte + u
Transferurile bugetare sunt dependente de rata şomajului, inflaţie, salariul minimal. De exemplu (Maddala): Transfer plăţ i = f(Popula ţ ie, Rata şomajului, Indicele de pre ţ uri, PNB per capita)
6.5.4 Preţurile şi costurile
Factorii determinan ţi pentru evolu ţia preţurilor sunt: salariile, preţul importului, impozitele indirecte, oferta. Exemple de funcţii de preţuri: Pre ţ = a+ b Salarii + c Indicele pre ţ urilor de import + d Impozite + u
Modelul FRB St. Louis: Indice de pre ţ uri = 2,05 + 0,8 Consum în perioada anterioar ă + +1,01 Infla ţ ie anticipat ă + u 77
Costurile sunt considerate ca func ţie de condiţiile specifice de activitate (grad de epuizare a z ăcământului, cota de pia ţă a produsului), dar şi funcţie de factorii comuni precum: salariul mediu, evoluţia preţurilor la import, puterea sindicatelor în negocierea salariilor. În marile modele, alături de ecuaţiile care formează secţiunea economiei reale, în sensul c ă se referă la consum, produc ţie, investiţii, export, se întâlnesc şi ecuaţiile care se referă la secţiunea preţurisalarii şi cele care se referă la relaţiile de natur ă financiar-bancară din economie.
78
Capitolul 7 Evoluţia proceselor economice în decursul timpului 7.1 Problema tendinţei generale Problema evoluţiei proceselor economice în timp intereseaz ă datorită următoarelor: • Măsurarea rolului unor factori calitativi care î şi desf ăşoară acţiunea în decursul timpului (progresul tehnic, acumul ările de bunuri, procesele de înv ăţare) poate fi abordat ă luând în calcul variabila timp privită ca un şir de numere în progresie aritmetic ă; • Acţiunea unor cauze care nu afecteaz ă instantaneu variabilaefect, ci după un interval de timp (lag) mai mult sau mai pu ţin îndelungat. De aici interesul pentru cunoa şterea distanţei în timp la care se manifestă influenţa factorilor, intervalul dintre evolu ţia unor variabile-semnal (variabile precursoare) şi modificarea variabileiefect, întârzierea la care apar implica ţiile economice generate de măsurile guvernamentale; • Evidenţierea invarianţilor (tendinţa evolutivă, oscilaţiile sistematice) în sensul măsurării intensităţii acestora şi modelării rolului lor în evolu ţia viitoare a procesului economic.
7.2 Noţiuni specifice analizei seriilor cronologice Seria cronologică (de
timp, dinamic ă) reprezintă o secvenţă de niveluri ordonate în raport cu succesiunea perioadelor (momentelor de timp). Nivelurile se noteaz ă cu y ,t t = 1,2, ..., n. Analiza seriilor cronologice (engl. TSA – time series analysis) o metodă generală de caracterizare a seriei cronologice din
este perspectiva componentelor sistematice sau aleatoare în vederea măsurării intensităţii şi continuit ăţii lor, astfel încât procesul analizat 79
din perspectiva temporal ă să devină predictibil. Analiza recurge la metode specifice: medii mobile, indice de sezonalitate, modele stochastice. Cronograma este reprezentarea grafic ă destinată descrierii evoluţiei unui fenomen în decursul timpului. Se utilizeaz ă un sistem de axe rectangulare, axa orizontal ă fiind pentru evolu ţia timpului (variabila independent ă), reprezentat ca o succesiune de perioade/momente ordonate, iar axa vertical ă este destinată măsurării
procesului economic reprezentat. Tendinţa generală (trend) este evolu ţia în timp a fenomenului analizat, exprimat ă într-o formă stilizată care reţine aspectul general, de creştere, respectiv de descre ştere, neafectat de abaterile temporare. Sezonalitatea este evoluţia manifestată prin oscilaţii repetabile ca sens şi amploare, fie în jurul tendin ţei, fie în jurul unui nivel mediu,
urmare a unor factori care revin periodic la intervale mai mici de 1 an. Lag
este o întârziere exprimat ă în unităţi de timp, între modificarea variabilei cauzale şi manifestarea efectului.
7.3 Modelul liniar unifactorial şi calculul tendinţei generale Reprezentarea evolu ţiei în decursul timpului a unei variabile economice este seria cronologic ă, sub forma unui tabel cu date şi cea grafică (cronograma). Anul
2007
2008
2009
2010
trim. I II III IV I II III IV I II III IV yt
t
2 3
7
4
4 5 8
8 7 10 10 12
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
80
4
5
I 13 6
14 12 10 8 6 4 2 0 I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
Atât datele din tabel cât şi reprezentarea lor grafic ă evidenţiază faptul că, pe măsură ce trece timpul, amploarea fenomenului, în general, creşte. În alte situa ţii fenomenul descre şte în intensitate în decursul timpului. Acestea sunt cele dou ă tendinţe de bază. Variabila independent ă este timpul, notată cu t, şi exprimată în unităţi de timp, de perioad ă egală, prezentând o succesiune ordonat ă pe scara timpului. Variabila dependent ă, yt este variabila economic ă a cărei evoluţie se studiază. Abaterile, influen ţele perturbatoare asupra tendin ţei se notează cu ut . Modelul devine: yt = a + bt + ut Timpul creşte cu un spor constant egal cu 1 (o lun ă, un trimestru, an), astfel încât exprimarea sa numeric ă poate fi reprezentat ă de
un şirul numerelor naturale t = 1, 2, ..., n, dar şi de şirul t = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (n impar) sau t = ...,-2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; ... ( n par) astfel încât Σt = 0. 81
În vederea estimării parametrilor a, b din modelul yt = a + bt + ut , se aplică metoda celor mai mici p ătrate, ceea ce implic ă Σu2 = minim. În situaţia în care Σt = 0, sistemul de ecua ţii normale se simplifică şi se obţine estimarea parametrilor: y ∑ aˆ = n
ˆb = ∑ y ⋅ t
∑
t 2
Dacă se atribuie timpului valori în afara celor n unităţi sau perioade pentru care avem date, se pot ob ţine pe baza modelului, în urma estimării, niveluri extrapolate ale tendin ţ ei. Acestea pot fi considerate drept predic ţ ii pentru procesul analizat ( y) dacă se acceptă continuitatea condi ţiilor care au imprimat tendinţa procesului. Exemplu
• Se exemplifică determinarea şi extrapolarea tendin ţei generale pe baza datelor anterioare. • Se au în vedere următoarele: • aspectul general de tip liniar al evolu ţiei descrise de cronogram ă; • existenţa unui număr impar de trimestre; • calculul produselor y ⋅ t, t 2 şi obţinerea sumelor Σ y; Σ yt ; Σt 2. Anul 2007 trim. I II III IV yt 2 3 7 4 t -6 -5 -4 -3 2 36 25 16 9 t yt -12 -15 -28 -12 Se obţin estimaţiile:
I 4 -2 4 -8
2008 II III IV I 5 8 8 7 -1 0 1 2 1 0 1 4 -5 0 8 14
aˆ = 7,1538 bˆ = 0,824
iar tendinţa:
~ = 7,1538 + 0,824 ⋅ t y 82
2009 II III 10 10 3 4 9 16 30 40
2010 Sume IV I 12 13 93 5 6 0 25 36 182 60 78 150
Valori extrapolate privind tendin ţa: ~ = 12,9212 trim. II 2010 y t = 7
~ = 13,7458 trim. III 2010 y t =8
~ = 14,5698 trim. IV 2010 y t =9 Observaţii
•
Nivelul mediu exprimat de ordonata la origine este de 7,1538 pe trimestru; • Panta exprimată de b = 0,824 indică o creştere (fiind pozitiv ă) medie trimestrială de 0,824; • Extrapolările pot fi considerate valori a şteptate în viitor dac ă prezenţa altor componente sistematice (sezonalitate, ciclicitate) este exclusă, iar schimbări majore ale condiţiilor din trecut nu intervin.
7.4 Clasificare a seriilor cronologice în raport cu existenţa sau inexistenţa tendinţei generale •
Seria staţionară – caracterizată prin oscilaţii, mai mult sau mai puţin întâmplătoare, ca mărime şi direcţie, în jurul unui nivel de referinţă, media. O serie staţionară este rezultatul unui proces stochastic staţionar pentru care media şi dispersia sunt constante,
indiferent de momentul de la care începe seria. Seria nestaţionară – care prezint ă tendinţă de creştere sau de • scădere, ceea ce face ca media valorilor yt să difere, funcţie de momentul de început al seriei. Tendin ţa specifică seriei nestaţionare poate fi: • de tip determinist – fiind invariabil ă pe un interval mare de timp, atât ca direc ţie câtşi ca pantă. O astfel de serie este uşor de prevăzut, valorile extrapolate satisfac din perspectiva preciziei; • de tip stochastic - în sensul că pe segmente de timp, dispuse în succesiune, poate prezenta unele modific ări, îndeosebi în ce priveşte panta. În modelare se urmăreşte izolarea tendin ţei generale în vederea analizei fluctua ţiilor sistematice (sezonalitatea, analiza spectral ă) sau 83
în vederea analizei propag ării abaterilor de la tendin ţă (modele stochastice de prognoz ă). În raport cu modalitatea recomandat ă în vederea eliminării tendinţei, se deosebesc: • Seria nestaţionară de tip T.S.P. (tred stationary process) pentru care trendul se recomand ă să fie eliminat prin scădere ~ ) sau împărţire Y = ( y / y~ ) Y = ( y − y ceea ce ar conduce la seria sta ţionară yt ; • Seria nestaţionară de tip D.S.P. (difference stationary process) pentru care trendul se elimin ă prin calculul diferen ţelor de ordin 1: sau 2. Y t = ( yt − yt −1 ) = ∆ yt t
t
t
t
t
t
7.5 Dependeţe în economie manifestate în mod sincron sau cu decalaje în timp 7.5.1 Seria integrat ă, serii cointegrate privind procese economice evolutive
Seria integrată este o serie care poate fi redat ă prin părţi componente care pot recompune seria original ă prin însumare. Seria yt care urmează un trend liniar, prin calculul diferen ţelor de ordinul 1 devine sta ţionară. Este considerată serie integrată de ordinul I ( I (1)). Y t = ∆ yt = yt +1 − yt , (t = 1,..., n − 1) Readucerea şirului termenilor yt la forma originală implică o însumare a componentelor: y1 + Y 1 = y2 ; y1 + Y 1 + Y 2 = y3 ;...; y1 +
n −1
∑1 Y = y t
n
t =
Este posibil să se constate şi alte ordine de integrare decât 1: • serie integrată ordinul zero ( I (0)) – seria staţionară; • serie integrată de ordinul doi ( I (2)) – presupune ca şirul valorilor yt să ajungă la starea de a fi sta ţionar după transformări care implică determinarea diferen ţelor de ordinul doi. 84
Exemple
Cazul 1 yt : 2; 3; 2; 3; 2; 2; 3; 2; 3 întrucât este sta ţionară este considerat ă integrată de ordinul zero ( I (0)) ; Cazul 2 yt : 20; 22; 23; 25; 27; 27; 30; 32 întrucât prezint ă tendinţă care poate fi eliminată prin diferenţe de ordinul 1, seria este integrat ă de ordinul 1 ( I (1)): ∆ yt : 22-20=2; 23-22=1; 2; 2; 0; 3; 2 Cazul 3 yt : 8; 9; 12; 14; 16; 19; 25; 33; 43 întrucât pentru a fi transformat ă în serie staţionară este necesar calculul diferen ţelor de ordinul 2, adic ă într-o primă fază: ∆ yt : 9-8=1; 12-9=3; 2; 2; 3; 6; 8; 10, iar în faza a doua: ∆(2) yt : ∆ yt+1 - ∆ yt = 3-1=2; 2-3=-1; 0; 1; 3; 2; 2 se consideră seria ca fiind integrat ă de ordinul 2. Serii cointegrate sunt considerate acele serii cronologice care, pe lângă faptul că sunt serii integrate de acela şi ordin, admit o combinaţie liniară care este integrat ă de ordin zero, sau, în orice caz, este integrată de ordin mai mic decât ordinul de integrare al seriilor iniţiale. Exemplu
Fie seriile: ∆ yt : 1; 1; 1; 1; 1 yt : 1; 2; 3; 4; 5; 6 ∆ xt : 2; 2; 2; 2; 2 xt : 8; 10; 12; 14; 16; 18 ambele integrate de ordinul 1. Combinaţia liniară: zt = 2 yt + (1 – 2) xt este o serie integrat ă de ordin zero: zt : - 6; - 6; - 6; - 6; - 6; - 6 ∆ zt = 0 Seriile y ,t xt sunt cointegrate de ordin(1,0), notate CI (1,0). Din perspectiva econometriei, seriile cointegrate conduc la o analiză de regresie de calitate, în sensul c ă estimatorii sunt consisten ţi, iar testele t şi F sunt performante. 85
Din perspectiva analizei statistice şi economice, seriile cronologice cointegrate semnaleaz ă o stare de echilibru pe termen lung în ceea ce prive şte stilul de a evolua în timp. Astfel de serii trădează o relaţie de influen ţă reciprocă, evoluează în acelaşi ritm.
7.6 Modele dinamice destinate includerii efectelor decalate în timp Efectul celor mai multe dintre impulsurile date economiei prin intermediul factorilor exogeni se resimte dup ă trecerea unui interval de timp. Motive care provoac ă întârzieri în manifestarea ac ţiunii unui factor pot fi: • motive de natură psihologică: obiceiurile, iner ţia, teama. De exemplu, o creştere bruscă a venitului nu determin ă o modificare totală a consumului, pe de o parte datorit ă obişnuinţelor şi gusturilor încetăţenite, iar pe de alt ă parte temerilor c ă aceasta nu va dura; • motive de natur ă tehnologică: adaptarea liniilor de fabrica ţie, reconversia forţei de munc ă, fac ca un impuls privind capitalul sau mâna de lucru să producă un impuls care se va manifesta pregnant după un timp; • motive de ordin institu ţ ional – legate îndeosebi de obliga ţiile contractuale (care condi ţionează aprovizionarea, livrarea, încasarea drepturilor, încasarea dobânzii pentru depozite la termen) au, de regulă, darul de a întârzia schimbarea în raport cu modificarea rapid ă a unor condiţii. În raport cu durata de a şteptare a efectului, întârzierile pot fi: • de durată scurtă, de regulă mai mică de 1 an (intensificarea reclamei, vânzările; stimulentele materiale şi producţia; creşterea depunerilor şi creşterea veniturilor din dobânzi; cre şterea inflaţiei şi accelerarea circuitului banilor); • de durată medie, între 1-3 ani (modernizarea tehnologiei şi producţia; modificări de legisla ţie şi comportamentul economic; îmbunătăţirea calităţii produsului şi creşterea vânzărilor; industrializarea şi calitatea mediului); 86
• de lungă durată (investiţiile în transporturi şi rentabilizarea transporturilor; dezvoltarea înv ăţământului şi creşterea productivit ăţii şi calităţii activit ăţilor). Pentru a eviden ţia efectul ap ărut cu întârziere de 1, 2, ... perioade, se foloseşte termenul lag, iar reprezent ările care includ factori cu efect întârziat sunt considerate modele lag sau modele dinamice.
Problemele de măsurare care apar în specificarea şi utilizarea modelului lag în analiza şi prognoza economic ă sunt: • stabilirea unit ăţii de timp la care se refer ă fiecare nivel al variabilelor modelului; • delimitarea întârzierii apari ţiei efectului în urma modific ării cauzei; • estimarea parametrilor. 7.6.1 Stabilirea unităţii de timp
Stabilirea unit ăţii de timp căreia îi corespunde un nivel yt presupune alegerea între posibilit ăţi de a obţine date anuale, trimestriale, lunare, s ăptămânale, eventual cincinale sau decenale. O unitate de timp prea mare face inaccesibil ă depistarea de influenţe cu întârzieri de durate scurte, iar alegerea unei unit ăţi prea mici poate provoca dificult ăţi pentru obţinerea datelor sau delimitarea întârzierilor de durată lungă. Opţiunea pentru o anumit ă unitate de timp trebuie s ă se bazeze pe particularit ăţile fenomenului, obiectivele demersului econometric şi pe posibilit ăţile existente de a ob ţine date privind unitatea de timp considerată revelatoare. Delimitarea întârzierii apariţiei efectului în urma modific ării cauzei
Cronograma privind evolu ţia variabilei cauzale, suprapus ă cronogramei variabilei efect, poate pune în eviden ţă (prin simpla deplasare a uneia pe axa timpului) o analogie care apare dup ă una sau mai multe unităţi de timp. 87
Un procedeu bazat pe sensibilizarea coeficientului de determinaţie (varianta ajustat ă) prin introducerea unui factor suplimentar, în sensul de cre ştere cu încă o perioadă a întârzierii de la care se simte efectul presupune următoarele etape: • prestabilirea unui interval rezonabil ca m ărime după trecerea căruia factorul nu mai poate exercita practic nici o influen ţă notabilă asupra variabilei efect; • se procedează la estimarea parametrilor, urmat ă de calculul coeficientului de determina ţie Rˆ 2 pentru cele k+1 ecuaţii (se presupune că după k+1 perioade de timp factorul nu mai are efect): y (t ) = b + a0 x(t ) + ut y (t ) = b + a0 x(t ) + a1 x(t −1) + ut
.................................... y (t ) = b + a0 x(t ) + a1 x(t −1) + a2 x(t − 2 ) + ... + ak x(t − k ) + ut În final se constată pentru care dintre ecua ţii s-a obţinut cel mai mare nivel al coeficientului de determina ţ ie (ceea ce corespunde variantei cu cea mai mică dispersie a valorilor reziduale) şi această ecuaţie va fi reţinută în vederea analizei şi prognozei. 7.6.2 Estimarea parametrilor
În ceea ce prive şte parametrii modelelor cu efect întârziat, aceştia sunt variabili ca num ăr în raport cu tipul de model rezultat în urma specificării. Tipuri de modele
Modele unifactoriale în care efectul se simte dup ă o întârziere de o unitate de timp: yt = a0 + a1 xt −1 + ut unde y poate fi: productivitate, ofert ă, recoltă, iar x poate reprezenta: utilaje, cerere, umiditatea solului. Modele autoregresive în care întârzierea este distribuit ă pe mai multe unităţi de timp: 88
yt = a0 + a1 yt −1 + a2 yt − 2 + ut unde y reprezintă consumul sau acumul ările sau profitul. Modele mixte în care variabilele cauzale, cu sau f ără efect întârziat pot fi de natură exogenă ( x) sau autocorelate ( yt-1):
yt = a0 + a1 xt + a2 xt −1 + a3 yt −1 + ut unde y poate fi cererea sau calitatea, respectiv x poate fi venitul sau utilarea. Modele în care variabila factorial ă ( x) î şi transmite efectul în mod treptat, atât în perioada t cât şi pe parcursul unui număr finit de perioade de întârziere (lag distribuit sau întârzieri e şalonate): yt = a0 + a1 xt + a2 xt −1 + a3 xt − 2 + a4 xt −3 + ut unde y – producţia, x – investiţiile; y – inflaţia , x – creşterea ofertei de bani; y – mărimea depozitului, x – dobânda cu capitalizare. Între variantele modelului cu lag distribuit cel mai frecvent apar în studiile aplicative următoarele două reprezentări: a) varianta descre şterii în timp a efectului generat de modificarea factorului: 2 yt = a0 + a1 ( xt + kxt −1 + k xt − 2 + ...) + ut unde k este constantă subunitară; b) varianta creşterii treptate a efectului urmat ă de o descreştere până la anulare: yt = a0 + b1 xt −1 + b2 xt − 2 + ... + bk xt − k + ut b1 < b2 < ... < b j > b j +1 > ... > b j + k
89
7.7 Autodeterminarea proceselor economice în timp; modelele stochastice de tip ARMA 7.7.1 Considerente economice şi statistice pe care se bazează modelul ARMA
Seria cronologică stochează suficientă informaţie încât s ă facă posibilă prognoza f ără să fie strict necesar ă cunoaşterea evoluţiei viitoare a factorilor determinan ţi pentru procesul urmărit în timp. Modelul stochastic de prognoz ă presupune eliminarea tendin ţei generale din seria de date, dar aceasta nu înseamn ă că ar trebui să fie neglijată, ci se urmăreşte obţinerea unei serii sta ţionare, utile predicţiei. Autodeterminarea este înţeleasă în următoarele sensuri: 1. Autodeterminare ca manifestare a unui anumit grad de dependen ţă în raport cu propriile realizări anterioare, urmare a unei particularităţi a evoluţiilor din economie de a men ţine un proiect odată început, dar şi de a repeta un comportament devenit tradi ţie. Exemple
•
În comerţul exterior, intrarea pe o pia ţă externă are drept urmare dezvoltarea exportului pe acea pia ţă cel puţin 2-3 perioade succesive, după care poate urma o stagnare, urmat ă de perioade de cre ştere sau descreştere. • Pe piaţa valutară, o apreciere a monedei se men ţine, de regulă, mai multe zile în şir, după care poate fi observat ă o perioadă de recul. • În domeniul producţiei, o reutilare a sectoarelor productive sau o pierdere de pieţe de desfacere se reflect ă în date, prin valori succesive care depind una de alta. Valorile şirului staţionar se succed înregistrând, pentru un interval oarecare, semnul plus (primul caz), respectiv minus. • Pe piaţa de capital pot fi constatate valori în alternan ţă de semn mai ales pe o pia ţă volatilă într-un interval dat. 90
Un astfel de comportament al evolu ţiei în timp, caracterizat prin legături cu ceea ce s-a realizat în trecut, poate fi reprezentat de un model autoregresiv (AR) de forma: yt = a0 + a1 yt −1 + a2 yt − 2 + ... + a p yt − p + ut 2. Autodeterminarea sub formă de ac ţ iuni compensatorii în vederea contracarării unor ingerin ţe din afara sistemului. Exemple
•
Absenţa temporară a unui produs solicitat pe pia ţă are drept urmare o vânzare în exces în perioadele urm ătoare. • Declanşarea unei greve care diminueaz ă producţia într-o perioadă declanşează o creştere a producţiei în perioadele urm ătoare, în vederea compensării stagnării acesteia şi realizării obligaţiilor contractuale. • O acţiune speculativ ă de amploare la burs ă poate declanşa o abatere semnificativ ă a cotaţiei dincolo de nivelul fluctua ţiilor normale. Ea va fi foarte probabil urmat ă de o abatere în sens contrar, un fel de corec ţie, în vederea situ ării în jurul nivelului de echilibru. În reprezentările formale specifice modelelor stochastice de prognoză, astfel de manifestări reparatorii sunt redate de modelul de medie mobilă (MA) (movie average). Se consider ă că nivelul procesului din perioada t depinde de erorile din trecut (abaterile de la normal, de la medie) astfel încât devierea accidental ă este urmată de o redresare:
yt = y + b1ut −1 + b2ut − 2 + ... + bq ut − q + ut Bazat pe aceste elemente, modelul ARMA este definit ca un agregat ce include impulsurile receptate cu întârzieri de 1, 2, ..., p intervale de timp, ca şi reacţiile, exprimate în medie, la abaterile accidentale ( ut ) de la evoluţia liniară, manifestate în urmă cu 1, 2, ..., q intervale de timp. Se notez ă ARMA( p,q): yt = a0 + a1 yt −1 + a2 yt − 2 + ... + a p yt − p + b1ut −1 + b2ut − 2 + ... + bqut − q + ut În cazul prezen ţei tendinţei generale în valorile originale ( yt ), reprezentarea este dat ă de modelul mixt ARIMA( p,d,q), 91
unde d = 1 dacă diferenţele de ordinul 1 sunt sta ţionare sau d = 2 dacă diferenţele de ordinul 2 au condus la sta ţionarea seriei. Modelul ARIMA( p,d,q), prin transformarea seriei nesta ţionare în serie staţionară devine ARMA( p,q), f ără a se uita ordinul diferen ţelor (d ) care au transformat seria. 7.7.2 Obţinerea prognozelor
Previziunile ob ţinute în urma utiliz ării modelului de tip ARMA prezintă o serie de particularit ăţi: • previziunea este o m ărime medie, condiţionată de niveluri înregistrate în trecut; • prognoza se obţine pas cu pas, în succesiune, întrucât componenta AR oblig ă includerea în calcul a previziunii pentru perioada n + t în vederea ob ţinerii prognozei pentru perioada n + t + 1; • abaterile reziduale ( ut ) influenţează prognoza (în modelul MA) doar cu valorile înregistrate pân ă în perioada n (ultima perioadă pentru care avem date); • prognoza finală ( yn+t *) integrează toate componentele care au fost eliminate în etapa de identificare şi estimare (tendinţa, precum şi media y ).
7.8 Fluctuaţii sistematice în economie – măsurare, analiză, prognoză Cunoaşterea variaţiilor sezoniere necesit ă depistarea componentei sezoniere (prin metode grafice), m ăsurarea lor (prin indici şi coeficienţi de sezonalitate) şi analiza diferitelor cauze care definesc ritmul producerii lor (de exemplu, periodicitatea lucr ărilor agricole, a concediilor, a s ărbătorilor etc). Ajustarea seriilor cronologice cu varia ţii sezoniere se bazeaz ă pe descompunerea seriei, pe de o parte, în componenta trend ( f t) şi componenta ciclic ă C (când este cazul) şi, pe de altă parte, în
92
componenta varia ţie sezonieră ( S t ) considerând influen ţa aleatoare nulă Σut =0), adică: yt = f t + S t (pentru un model aditiv) yt = f t ⋅ S t (pentru un model multiplicativ) Ajustarea
componentei sezoniere presupune eliminarea influen ţ ei sezoniere. Ajustarea seriilor sezoniere const ă în înlocuirea termenilor reali ai seriei cu termeni calcula ţ i şi are ca rezultat ob ţ inerea unei serii cronologice cu varia ţ ii sezoniere riguros identice de la o perioad ă la alta şi cu influen ţă nulă la nivelul fiec ărui an. Această operaţie se face, de regul ă, prin metoda mediilor mobile. Prin această metodă se definesc componenta trend şi componenta ciclică. Pentru "capturarea" componentei sezoniere se calculeaz ă
indicii de sezonalitate. Pentru izolarea componentei sezoniere se calculează coeficienţii sezonieri (S j) , pe baza cărora se desezonalizează seria iniţială. Această operaţie se face prin raportarea valorilor aberante ( yi ) la coeficien ţii sezonieri. Resezonalizarea este operaţia inversă desezonaliz ării, aplicată asupra valorilor calculate prin ajustare. Resezonalizarea se realizeaz ă în funcţie de modelul de compunere admis, în sens previzional. 7.8.1 Depistarea grafică a variaţiilor sezoniere
Grafic, seria ajustat ă se prezintă sub forma unei linii ondulatorii, cu bucle riguros identice, mai aplatizate fa ţă de cronograma ini ţială, repetabile în jurul liniei de trend.
93
7.8.2 Ajustarea prin medii mobile
Ajustarea seriilor cronologice cu varia ţii sezoniere prin metoda mediilor mobile const ă în înlocuirea termenilor empirici cu termeni rezulta ţ i în urma calculării mediilor mobile pentru seria dat ă. Prin înlocuirea termenilor reali cu termeni calcula ţi va rezulta o curb ă mai rotunjită sau o dreaptă de tendinţă, cu condiţia ca să se fi determinat corect periodicitatea de varia ţie a fenomenului. Periodicitatea este evidenţiată de punctele de maxim sau de minim. Calculul mediilor mobile const ă în aflarea mediilor aritmetice dintr-un număr impar sau par de termeni lua ţ i succesiv, în funcţie de mărimea unui ciclu de varia ţie. Când numărul de termeni luaţi în calcul este impar, mediile ob ţinute cad pe termeni reali pe care-i vor înlocui. Când se cuprinde în calcul un num ăr par de termeni, mediile
cad între doi termeni reali. Pentru a afla ce termen va fi înlocuit se face centrarea mediilor mobile, adică se determină media aritmetică din dou ă medii mobile consecutive. Procedeul de determinare a mediilor mobile este evidenţiat în tabel.
Numărul termenilor din seria ajustat ă prin medii mobile este egal cu: N - (n - 2) -1 , respectiv N - (n - 2) - 2 , unde: 94
N , reprezintă numărul termenilor din seria empiric ă, n numărul termenilor cuprin şi în calculul mediilor mobile. Prima relaţie este pentru un n impar, iar a doua pentru un n par. De exemplu, când N = 7, iar n = 3 , respectiv n = 4 , rezultă că seria ajustată poate avea 7 - ( 3 - 2 ) -1 = 5 termeni, respectiv
7 - (4 - 2) - 2 = 3 termeni. 7.8.3 Indicii de sezonalitate
Devierile faţă de valoarea medie, datorate sezonalit ăţii, pot fi măsurate prin indici de sezonalitate. Indicii de sezonalitate se determin ă ca raport între termenii reali şi cei ajustaţi: i=
yi y i −1
⋅100, respectiv i =
yi y i − 2
7.8.4 Coeficienţii sezonieri
Variaţiile sezoniere ( S t ) se repetă, teoretic, identic de la o perioadă la alta (lun ă de lună, trimestru de trimestru) şi se compensează la nivelul anului, conform principiului de conservare a ariilor. Practic, variaţiile sezoniere nu se repet ă absolut identic. Pentru a ajusta o serie real ă, respectând exigen ţele modelului teoretic, variaţiile sezoniere S t observate se înlocuiesc cu valori calculate numite coeficien ţ i sezonieri, S j , j =1,..., p perioade ( j=1,..., 12 , pentru luni, respectiv j =1,..., 4 , pentru trimestre). Calculul coeficien ţilor sezonieri Coeficien ţ ii sezonieri se calculează ca o medie aritmetică a varia ţ iilor sezoniere, lună de lună sau trimestru de trimestru, pe ansamblul a n ani: 1 n S j = S ij n i =1
∑
unde S ij=S ,t j este luna sau trimestrul pentru care se calculeaz ă coeficientul sezonier, iar i reprezintă anii observaţi.
95
Conform principiului compensării variaţiilor sezoniere la nivelul anului, suma, respectiv media coeficien ţ ilor sezonieri, pe an, trebuie să fie zero. În calcule apar rezultate u şor diferite, ca urmare a aproxim ărilor. Efectul lor poate fi compensat printr-un corector „ d t ” rezultând un coeficient sezonier corectat, S j′ .
În cazul modelului aditiv, corectarea coeficien ţilor sezonieri presupune calculul diferen ţelor: S j ′=S j – d t , unde: d t =
1
p
S ∑ p 1
j
j =
Rolul coeficientului corector „ d ” este de a repartiza eroarea de aproximare pe ansamblul perioadelor, astfel devenind posibil ă respectarea principiului compens ării:
∑
'
S j = 0
În cazul modelului multiplicativ, corectarea coeficien ţilor sezonieri presupune calculul raportului: '
S j =
S j d t
iar media lor este egal ă cu unitatea: S = 1 Exemplu
Datele înregistrate trimestrial, pe durata a doi ani, cu privire la cifra de afaceri a unei firme sunt prezentate în tabel. Admitem ipoteza continuităţii trendului, a stabilit ăţii sezoniere şi a lipsei influen ţelor accidentale. Se cere: • să se determine tendin ţa seriei • să se calculeze indicii de sezonalitate şi coeficienţii sezonieri • să se desezonalizeze seria; • să se extrapoleze seria pentru trimestrul I al anului urm ător celor observaţi.
96
Anul Trim.
1
2
1
1
2
2
3
5
3
4
7
4
2
4
1. Determinarea tendinţei Reprezentarea grafic ă a seriei eviden ţiază clar o evolu ţie sezonieră, cu valori maxime în trimestrul 3 şi minime în trimestrul 1. De asemenea, se observă o evoluţie medie liniar ă f t = a + b t.
Elementele de calcul pentru linia de trend şi valorile estimate ( yti ):
97
Ecuaţia de trend liniar pentru seria considerat ă este: yt =1,16 + 0,52 t. 2. Calculul indicilor de sezonalitate şi a coeficienţilor de sezonalitate
Indicii de sezonalitate sunt calculaţi ca raport între valoarea observată yi şi valoarea calculat ă corespunzătoare a trendului f ,t respectiv yt . Se observă că indicii de sezonalitate variaz ă în jurul unit ăţii. Valoarea lor medie la nivelul unui ciclu sezonier (al unui an, în cazul nostru) este egal ă cu unitatea. De asemenea, se observ ă că valorile primului şi ultimului trimestru, din fiecare an, sunt subunitare, în celelalte trimestre sunt supraunitare, şi că valorile lor din fiecare trimestru sunt diferite. Coeficienţii de sezonalitate se calculeaz ă ca medie aritmetică simplă a variaţiilor sezoniere pentru fiecare trimestru ( Sj ), în cursul celor doi ani considera ţi (cicluri sezoniere) şi anume:
0,595 + 0,532 1,364 + 1,168 = 0,564 S 2 = = 1,266 2 2 1,470 + 1,458 0,617 + 0,752 S 3 = = 1,464 S 4 = = 0,685 2 2 S 1 =
98
Observaţii
Media celor patru coeficien ţi de sezonalitate trebuie s ă fie egală cu 1, evidenţiind faptul că variaţiile sezoniere în interiorul unui ciclu se compensează. În cazul nostru, valoarea medie a coeficien ţilor de sezonalitate este egal ă cu 0,995, valoare ce poate fi admis ă, ţinând cont de aproximările luate în calcul. 3. Desezonalizarea seriei Desezonalizarea seriei presupune calculul valorilor corectate şi are ca scop obţinerea tendin ţei f ără influenţa sezonieră. Seria desezonalizată se obţine prin raportarea valorilor empirice, yi la valoarea coeficien ţilor de sezonalitate corespunz ători, (S j). Rezultatele sunt prezentate în tabel, coloana 7. 4. Prognoza nivelului cifrei de afaceri pentru trimestrul 1 al anului următor celor observaţi
Folosim modelul de compunere multiplicativ yt = f t· S t unde: f t trendul; S t – componenta sezonier ă. a. Extrapolarea trendului. Valoarea prognozat ă, prin extrapolarea trendului, pentru t i = 9 (trimestrul 1 al anului 3), este: y9 = 1,16 + 0,52 · 9 = 5,84. b. Corectarea valorii prognozate. Corectarea valorii extrapolate cu influen ţa sezonieră presupune resezonalizarea valorii, adică: (1) y9 = y9 · i 1 = 5,84 · 0,564 = 3,7376 În concluzie, ne putem a ştepta ca cifra de afaceri a firmei "A" s ă atingă, în trimestrul I al anului trei considerat, valoarea de 3,7376 sute milioane lei, numai dac ă se respectă ipotezele admise ini ţial, şi anume: continuitatea trendului, p ăstrarea stabilităţii sezoniere şi lipsa influenţelor accidentale.
99
7.9 Elemente de analiză spectrală pentru studierea fluctuaţiilor sistematice Caracteristic proceselor economice evolutive în timp este faptul că fluctuaţiile sezoniere, cele ciclice, oscila ţiile de perioad ă săptămânală sau de perioadă zilnică se petrec simultan, astfel încât întreaga evoluţie în timp poate fi privit ă ca un agregat de oscila ţii sinusoidale de diferite frecven ţe şi amplitudini. Perioade de oscila ţie completă constatate în diverse sectoare de activitate economic ă sunt: • în comerţ: segmentul de 8 ore, ziua, s ăptămâna, luna, trimestrul, anul; • în transporturi: înainte de mas ă, după masă, intervalul de 24 de ore, săptămâna, anul; • în producţie, productivitatea oscileaz ă în prima parte a zilei, în cea de a doua parte, în decursul s ăptămânii, dar şi a anului; • în producţia vegetală: anul, trimestrul, s ăptămâna, ziua; • în activitatea băncilor cu clien ţii: ziua de munc ă, anul. Agregatul de oscila ţie de diverse frecven ţe într-un interval dat de n unităţi de timp poate fi exprimat de un polinom trigonometric. Astfel, seria cronologic ă, după o transformare a ei într-o serie staţionară, este reprezentată de o sumă finită de funcţii sinus şi cosinus, de forma: p a0 2π 2π + ∑ a f cos yt = f ⋅ t + b f sin f ⋅ t + u t n n 2 f =1 unde: t reprezintă timpul cu valori t = 1, 2, ..., n; f = frecvenţa (numărul de oscilaţii complete în intervalul de n unităţi de timp) cu valori prestabilite aflate în rela ţie armonică; a0 , a f , b f = parametri: 2π n
⋅ f = frecvenţa redată în radiani.
Frecvenţa oscilaţiilor de diverse perioade trebuie determinat ă în prealabil. În acest sens este important ă cunoaşterea anumitor elemente privind procesul economic, dependen ţa sa de vreme, tradiţie, comportamentul uman, practicile institu ţionale repetate (începerea activităţii în învăţământ, periodicitatea târgurilor, încasarea 100
impozitelor şi taxelor în regim preferen ţial, concediile celor care lucrează în străinătate etc). Datele statistice urm ărite în timp, dar şi cronogramele aferente lor, pot da informa ţii despre oscila ţiile care apar, perioada fiec ăreia şi, prin raportarea intervalului total la durata fiecărei perioade, pot fi stabilite frecven ţele. De regulă, o oscilaţie de bază de frecvenţă f poate avea supraoscila ţii ale căror frecvenţe sunt reprezentate de dublul, triplul etc. frecven ţei respectivei oscila ţii. Relaţia armonică a frecvenţelor înseamnă consonanţa dintre undele de frecvenţă aflate într-un raport care implic ă multiplii unei oscila ţii de bază. Ca urmare, f = 1, 3, 6, 9, 12, ... sau f = 1, 2, 4, 6, 8, ... . În ceea ce priveşte estimarea parametrilor, se caut ă obţinerea de estimaţii aˆ f bˆ f care să conducă la cea mai bun ă aproximare a funcţiei periodice f (t ) printr-o sumă finită de funcţii sinus şi cosinus care se notează y (t ). Prin analogie cu MCMMP, se are în vedere integrala: 1 2π 2 f t y t dt [ ] ( ) − ( ) n ∫ 2π 0
care atinge un minim atunci când aˆ f , bˆ f sunt coeficienţii EulerFourier ai funcţiei f (t ). Coeficienţii se determin ă astfel: 2 n 2π aˆ f = ∑ y t ⋅ cos f ⋅ t n
t =1
n
n ˆb f = 2 ∑ yt ⋅ sin 2π f ⋅ t
n
aˆ 0 =
n
t =1
∑ y
t
n
Pe baza estimaţiilor astfel ob ţinute, poate fi determinat ă amplitudinea oscilaţiei de frecven ţă f : 2 2 A f = aˆ f + bˆ f O amplitudine mare la perioade subanuale
n f
≤ 4 trimestre
sau
12 luni semnaleaz ă sezonalitatea; la perioade mai mari de 1 an, pentru care
n f
≥ 4 trimestre sau 12 luni, este semnalat ă ciclicitatea; pentru f =
1, o amplitudine relativ mare semnaleaz ă prezenţa tendinţei generale în seria de date. 101
Etape de urmat în aplicarea analizei spectrale
1. Culegerea de date pentru un num ăr suficient de mare de unităţi de timp (serie lung ă de date cu n > 40). 2. Eliminarea tendin ţei dacă seria este nestaţionară fie prin scădere, fie prin împ ărţire, fie prin diferen ţe de ordinul d . 3. Stabilirea frecven ţelor ( f ) în raport cu perioadele pentru care pot fi admise oscilaţii complete, fie din teoria şi practica economic ă, fie observate în reprezent ările grafice. 4. Estimarea parametrilor. 5. Verificarea gradului în care seria cronologic ă poate fi reprodusă de componentele agregate. 6. Determinarea amplitudinii. Analiza spectral ă permite o structurare a procesului evolutiv în timp, în raport cu intensitatea vibra ţiilor (oscilaţiilor) de diferite frecvenţe şi amplitudini. O astfel de abordare a analizei evolu ţiilor descrise de seriile cronologice poate conduce la concluzii interesante pentru manageri, planificatori, cercet ători în domeniul conjuncturii şi prognozei.
102
Capitolul 8 Modelul econometric cu ecuaţii simultane Modelele pezentate în capitolele anterioare nu satisfac în toate situaţiile, datorită următoarelor considerente: a) În economie există numeroase procese interdependente, fiecare presupunând o bucl ă feed-back cu influen ţe bidirecţionale. Exemple: • Creşterea venitului conduce la cre şterea impozitului, iar modificarea impozitului influen ţează venitul. Fiscalitatea exagerată descurajează obţinerea de venituri suplimentare şi invers. • Cererea depinde de modificarea pre şului, dar şi de al ţi factori care, amplificând-o, antreneaz ă creşterea preţului. • Creşterea economică este influen ţată, prin intermediul investiţiilor, de rata dobânzii şi influenţează, prin solicitările de bani, preţul creditului, adic ă rata dobânzii. • Modificarea cursului de schimb, în direc ţia aprecierii leului, influenţează atât exportul (descurajare) cât şi importul (încurajare), iar fluctua ţia soldului, prin excedentul sau nevoia de valută, influenţează cursul de schimb. b) Economia naţională, dar şi economia sectorial ă sau economia firmei, presupun numeroase leg ături între procese, precum şi obţinerea de transformări (materia primă şi energia se transformă în produse manufacturate, marfa se transformă în bani şi invers). Pentru a cunoaşte şi controla mai bine astfel de transform ări, modelul econometric, prin includerea de ecua ţii care se referă la funcţii de producţie, funcţii de consum, func ţii de cost, dar şi la unele echilibre economice, reprezint ă o soluţie. Având în vedere faptul c ă economia poate fi privită ca un păienjeniş de dependenţe între variabile care formează un lanţ de efecte şi cauze, reprezentarea formal ă trebuie să reflecte acest sistem complex. c) Realizatorul sau beneficiarul modelului econometric poate urm ări obiective multiple dintr-un domeniu, dar poate fi interesat şi de implicaţiile dezvolt ării domeniului respectiv şi de rolul unor măsuri 103
care pot influen ţa întreg lan ţul cauzal în care se înscrie domeniul. Reprezentarea prin multiple ecua ţii apropie modelul elaborat de sistemul reflectat (procesul economic) şi face posibilă realizarea de simulări.
8.1 Formele de prezentare ale modelului cu ecuaţii simultane; modele clasice Se prezintă în cele ce urmează câteva modele econometrice clasice. 1. Modelul inspirat de teoria lui M. Keynes de determinare a veniturilor la nivel macroeconomic: Consum = a0 + a1 Venituri + u Venituri = Consum + Investi ţii + Cheltuieli guvernamentale + Sold comerţ exterior Observaţii: Acest model con ţine o ecuaţie de regresie şi o identitate. Veniturile apar în dubl ă ipostază: de factor în prima ecua ţie şi de efect în cea de a doua. Consumul este pe post de efect în prima ecua ţie şi de componentă factorială în cea de a doua. Venitul şi consumul se influenţează reciproc, evoluând împreună, simultan. O cre ştere a venitului conduce la modificarea consumului, iar creşterea consumului face ca veniturile s ă crească. Înlocuind în a doua ecua ţie consumul cu expresia sa din prima ecuaţie, se obţine o formă redusă a reprezentării: Venituri = (a0 + a1 Venituri + u) + Investiţii + Cheltuieli guvernamentale + Sold comer ţ exterior Dacă se izolează variabila Venit, se ob ţine: VEN =
1 1 − a1
(a0 + INV + CG + Sold Cex )
104
1
Raportul 1 − a se numeşte în teoria economic ă multiplicatorul 1 veniturilor, propus de Keynes. 2. Modelul echilibr ării preţului şi ofertei pe piaţa produselor cu ciclu lung de fabrica ţie Un astfel de proces poate începe cu situa ţia în care oferta este mică (qt = 2), ceea ce face ca pre ţul să fie mare ( pt = 10); preţul determină producătorii să realizeze şi să ofere o cantitate mult mai mare (qt+1 = 12). Cererea fiind dep ăşită, preţul scade mult ( pt+1 = 4). Scăderea preţului descurajeaz ă producătorii, astfel încât qt+2 = 6; ceea ce face ca preţul să crească, devenind pt+2 = 7, etc. Preţ
10 8 6 4 2 2
4
6
8
10
12
Cantitate
Un nivel de echilibru se va situa în jurul valorilor p = 5,5; q = 7. Modelul care descrie un astfel de proces este urm ătorul: pt = a0 + a1qt + u1 qt = b0 + b1 pt-1 + u2
Preţul şi cantitatea sunt interdependente, dar existen ţa întârzierii conferă modelului un caracter dinamic.
105
Dacă se înlocuieşte în prima ecuaţie cantitatea cu expresia sa, rezultă: pt = a0 + a1( b0 + b1 pt-1 + u2 ) + u1 = α0 + α1 pt-1 + v1
ceea ce reduce influen ţele în sensul eviden ţierii unui singur factor pt-1. 3. Modelul axat pe fluxurile comer ţului exterior EXP = a0 + a1CS + a2PIB(K) + u1 IMP = b0 + b1CS + b2PIB + u2 CS = c0 + c1(INFL – INFL(K)) + c2(rataPIB – rataPIB(K)) + +∆CEX + u3 ∆CEX = EXP – IMP
unde: CS = cursul de schimb; INFL = inflaţia; K = ţara în care se exportă; ∆CEX = sold comerţ exterior. Şi în aceast ă reprezentare se regăseşte o simultană determinare între cursul de schimb (CS ) şi soldul comerţului exterior. Modelul este format din trei ecuaţii de regresie şi o identitate. Sunt patru variabile endogene: EXP, IMP, CS, ∆CEX. 4. Modelul IS – LM investiţii, economii – cerere de bani, masa monetară Invest = a0 + a1 Rata dob. + a2 Venituri + u1 Consum = b0 + b1 Venituri disponibile + u2 Impozite = c0 + c1 Venituri + u3 Venituri disponibile = Venituri – Impozite Venituri = Consum + Investi ţii + Chelt. guvern. + Sold com. ext. Între Impozite şi Venituri exist ă o interdependen ţă întrucât o creştere a Veniturilor duce la cre şterea Impozitelor, iar acestea, la rândul lor, modific ă Consumul şi, implicit, Veniturile. Modelul este format din trei ecua ţii de regresie şi două identităţi. Conţine variabilele de tip endogen: Investi ţii, Consum, Impozite, Venituri disponibile, Venituri şi variabilele de tip exogen: Rata dobânzii, Cheltuieli guvernamentale, Sold comer ţ exterior. 106
Aceste modele cu ecuaţii multiple eviden ţiază unele aspecte caracteristice: a) Descriu economia ca o structur ă de componente şi de relaţii între componente (relaţii de dependen ţă, relaţii de identitate sau de echilibru) prin forma structural ă a modelului. b) Variabila-efect într-o ecua ţie poate fi variabil ă factorială întro altă ecuaţie şi invers, fapt pentru care este preferat ă denumirea de variabile endogene şi variabile exogene (sau predeterminante dac ă între factori există şi variabile cu efect întârziat). Variabila endogen ă apare într-o ecuaţie în stânga egalit ăţii, ceea ce face posibil ă ob ţinerea de valori generate de model pentru o astfel de variabil ă; cele exogene apar numai în dreapta egalit ăţilor, iar datele pentru ele provin exclusiv din surse externe (statistici, eviden ţe). Modelul include atâtea ecua ţii câte variabile endogene are în vedere. c) Adesea se caută obţinerea unei forme reduse a modelului, ca urmare a înlocuirii acelor variabile endogene care apar în postura de factori, cu expresiile lor. d) Variabila endogen ă aflată în postura de efect (rezultat) într-o ecuaţie de regresie care apare şi în postura de factor în alte ecua ţii implică dependenţa unui astfel de factor de variabila rezidual ă. În consecinţă, metoda de estimare trebuie adaptat ă în aşa fel încât ipoteza independenţei factorului de variabila rezidual ă să fie confirmată. e) Existenţa de interdependen ţe între variabile, manifestat ă sub forma unor bucle de conexiune invers ă atrage problema identific ării fiecărei ecuaţii. Formele de prezentare ale modelului se pot analiza pe urm ătorul model care conţine două ecuaţii de regresie şi o identitate: y1 = a0 + a1 y2 + a2 x1 + u1 y2 = b0 + b1 x2 + u2 y3 = y2 – y1
Reprezentarea aceasta urm ăreşte descrierea unor rela ţii constatate (în practic ă sau fundamentate în teoria economic ă) pentru a explica comportamentul unor variabile y1 , y2 , eventual y3. Întrucât se referă la un proces economic, sistemul de ecua ţii redă forma structurală a modelului. 107
Forma structurală este important ă nu numai pentru descrierea formală a procesului economic (varianta de baz ă a modelului), ci şi prin posibilit ăţile de analiză economică (interpretarea estimaţiilor), precum şi de analiză statistică ( R2, testele F, t, etc.). Utilizarea nota ţiilor matriceale conduce la o form ă mai concentrată de prezentare, formă care are şi calităţi legate de generalizarea demersului şi descrierea unor transform ări, calcule destinate estimării. Se notează parametrii ataşaţi variabilelor endogene cu aij, iar cei ataşaţi variabilelor exogene, inclusiv parametrul liber, cu bij. Cu aceste notaţii, modelul devine: y1 = b11 + a11 y2 + b12 x1 + u1 y2 = b21 + b22 x2 + u2 y3 = y2 – y1
Ecuaţiile de regresie includ necunoscutele (parametrii). Pentru aceste ecuaţii se izolează variabila aleatoare şi se ordonează pe coloane variabilele: y1 – a11 y2 – b11 – b12 x1 = u1 y2 – b21 – b22 x2 = u2
Aceste relaţii se pot transcrie în forma matriceală astfel: AY + BX = U
Redată explicit, relaţia se prezintă astfel:
1 − a11 y1 − b11 − b12 + 0 1 y 2 − b21 0
1 0 u1 x1 = − b22 u 2 x 2
a modelului reprezint ă o modalitate de prezentare care implic ă o transformare a formei structurale într-o variantă care conduce la redarea explicit ă a fiecărei variabile endogene (aflate în stânga egalit ăţilor) în raport cu variabilele exogene la care se Forma
redusă
108
adaugă variabilele cu efect întârziat. Aceasta implic ă înlocuirea în dreapta egalit ăţilor sistemului de ecua ţii simultane a tuturor factorilor exprimaţi de variabile endogene prin expresiile lor exclusiv bazate pe factori exogeni sau cu efect întârziat. În forma structurală a modelului se constat ă prezenţa variabilei endogene y2 în postura de factor. Înlocuirea acestei variabile cu expresia sa şi a componentelor y1 şi y2 în ultima relaţie conduce la forma redusă. y1 = b11 + a11( b21+ b22 x2 + u2) + b12 x1 + u1 = b11 + a11 b21+ b12 x1 + +a11 b22 x2 + a11 u2 + u1 y2 = b21 + b22 x2 + u2 y3 = (b21 + b22 x2 + u2) – (b11 + a11 b21+ b12 x1 + a11 b22 x2 + a11 u2 + u1) = (b21 – b11 – a11b21) – b12 x1 + (b22 – a11b22)x2 + (u2 – a11u2 – u1)
Se notează: 0
= b11 + a11b21 ; α 1 = b12 ;
2
= a11b22 ; v1 = a11u 2 + u1
β 0 = b21 ; β 1 = b22 ; v 2 = u 2 γ 0 = b21 − b11 − a11b21 ; γ 1 = −b12 ; γ 2 = b22 − a11b22 ; v3 = u 2 − a11u 2 − u1
Cu aceste notaţii, forma redusă devine: y1 = α 0 + α 1 x1 + α 2 x2 + v1 y2 = β 0 + β 1 x2 + v2 y 3 = γ 0 + γ 1 x1 + γ 2 x2 + v3
Dacă interesează doar forma redus ă a ecuaţiilor de regresie, atunci ecuaţiile: y1 = α 0 + α 1 x1 + α 2 x2 + v1 y2 = β 0 + β 1 x2 + v2
pot fi redate în form ă matriceală.
109
Din relaţia: AY + BX = U , rezultă: AY = – BX + U, care se înmulţeşte din stânga cu A- 1 şi se obţine: -1
-1
-1
A AY = – A BX + A U se notează: – A- 1 B = H; A- 1 U = V, iar A- 1 A = I , astfel încât: Y = HX + V
Forma redusă este utilă în perioada de estimare a parametrilor, iar, în final, dup ă estimare şi verificare, este recomandat ă pentru obţinerea de prognoze şi simulări.
8.2 Stabilirea variabilelor, funcţiilor şi identităţilor Pentru a elabora un model econometric format din zeci sau sute de ecuaţii, este necesar ca speciali ştii din statistic ă, economie, matematică şi informatică să colaboreze. Într-o primă etapă se stabilesc obiectivele urmărite prin modelul respectiv. Acestea ar putea fi: analiza economic ă din perspectiva rolului factorilor determinan ţi din economie, analiza şi prognoza pentru un sector de activitate economică (ramură, firmă, instituţie), prognoza proceselor economice, simularea de politici economice în vederea realiz ării unor obiective macroeconomice. Apoi se stabilesc resursele în ceea ce prive şte: datele statistice şi acurateţea acestora, gradul de detaliere a unor indicatori, resursele umane, documenta ţia (care se referă la modul în care s-a procedat în situaţii similare în alte institu ţii sau centre de cercetare), resursele materiale (dotarea cu calculatoare şi posibilităţile de prelucrare în diverse faze, existen ţa programelor de estimare, testare). O a doua etap ă o constituie stabilirea variabilelor endogene. Opţiunile în această privinţă depind de: obiectivele urm ărite, gradul de detaliere urmărit, posibilităţile pe care le oferă baza de date în ceea ce priveşte existenţa de date privind variabilele endogene din model. Între variabilele endogene mai pot fi introduse şi acele variabile factoriale care sunt, la rândul lor, determinate de al ţi factori cunoscu ţi ca importanţi sau sunt din categoria celor manevrabili de c ătre guvern sau patron. 110
În etapa următoare se stabilesc factorii care determină fiecare variabilă endogenă. Cu alte cuvinte, se stabilesc variabilele care vor figura în fiecare ecua ţie de regresie în partea dreapt ă a semnului de egalitate. Se va ţine seama de ceea ce recomand ă teoria economică. Întrucât trebuie s ă ne restrângem la factorii cei mai semnificativi, fiecare dintre variabilele poten ţial explicative este verificat ă din perspectivele următoare: • existenţa de date statistice corecte şi care să acopere numărul de cazuri (perioade sau unit ăţi teritoriale, familiale din e şantion); • creşterii gradului de determinare în urma introducerii lor în model, precum şi diminuării abaterii medii p ătratice a valorilor reziduale; • independenţei sau absenţei corelaţiei foarte intense a variabilei candidate la rolul de factor cu o alt ă variabilă factorială deja inclusă în ecuaţia de regresie; • semnificaţiei în sensul testului t , mai ales în situa ţiile în care trebuie să optăm pentru alegerea unei variabile dintre doua candidate pe acela şi loc. Alegerea funcţiei (formei legăturii) se bazeaz ă pe elementele de teorie economică: • creştere / descreştere proporţională cu evoluţia factorului; • existenţa procesului de satura ţie frecvent constatat în zona cererii, dar şi a producţiei; • evoluţii explozive într-o direc ţie sau alta în anumite situa ţii sau pe intervale limitate; • semnalele oferite de unele metode statistice sau econometrice (reprezentări grafice, testul DW în caz de autocorelare, testul GQ când eroarea este heteroscedastic ă, testul Box-Cox când se alege între varianta liniară şi cea logaritmică, etc.). Identităţile sunt introduse în model fie în vederea ob ţinerii unor informaţii suplimentare, fie pentru a facilita şi consolida în acela şi timp forma redusă a modelului. Relaţiile de identitate se pot referi la:
• componentele unei variabile economice; • modul de calcul al unor indicatori; • echilibre de natur ă economică. 111
Etapa specificării poate fi considerat ă încheiată, într-o primă fază, în situaţia în care: • numărul de variabile endogene aflate pe lista obiectivelor urmărite prin crearea modelului este egal cu num ărul de ecuaţii
din model; • factorii fiecărei ecuaţii sunt suficient de puternici, dar şi de singulari ca rol (independen ţi de ceilalţi factori din ecua ţie) încât să avem convingerea c ă dintre variantele permise de datele statistice am ales varianta cea mai bun ă; similar se pune problema în ceea ce prive şte funcţia (forma legăturii) pentru fiecare ecuaţie. Într-o a doua fază care urmează etapei identific ării, estimării, testării, specificarea poate fi reevaluat ă în raport cu rezultatele diverselor teste (F, t, DW ). Unele modificări în ceea ce prive şte factorii sau tipul func ţiei pot fi avute în vedere, astfel încât testele s ă confirme fiecare ecuaţie în condiţiile unui grad de determinare suficient de apropiat de 100%.
8.3 Identificare, estimare şi verificare în cazul modelelor cu ecuaţii simultane 8.3.1 Verificarea modelului din perspectiva identificării fiecărei ecuaţii
Etapa identificării este necesară pentru a ne asigura c ă fiecare ecuaţie de regresie din model este distinct ă, nu se repetă în ansamblul ecuaţiilor modelului. Din perspectiva estimării, caracterizarea fiecărei ecuaţii drept identificată confirmă faptul că unei anumite ecua ţii din forma redus ă îi corespunde o anumit ă ecuaţie şi numai una în forma structural ă a modelului. Ca urmare, parametrii formei structurale pot fi estima ţi pe baza estimaţiilor obţinute pentru parametrii formei reduse apar ţinând respectivei ecua ţii. 112
O ecuaţie de regresie din model este considerat ă identificată atunci când nici o alt ă ecuaţie asemănătoare (în ceea ce prive şte variabilele incluse şi tipul de func ţie) nu este regăsită în model şi nici nu poate fi formată utilizând diverse combina ţii liniare între ecua ţiile
sistemului. Modelul în general este considerat identificat atunci fiecare ecuaţie de regresie este caracterizat ă drept identificat ă.
când
Din perspectiva identific ării, ecuaţiile pot fi de următoarele tipuri: • ecuaţii identificate (perfect identificate); • ecuaţii supraidentificate; • ecuaţii neidentificate. Criteriul de departajare îl reprezint ă condi ţ ia de ordin: • pentru ca o ecua ţie din forma structurat ă a modelului s ă fie considerată identificat ă este necesar ca, din ansamblul variabilelor incluse în ecua ţiile de regresie ale modelului, numărul celor absente din ecua ţia respectivă să fie egal cu numărul de ecuaţii de regresie minus 1; • dacă ecuaţia omite mai multe variabile (decât num ărul ecuaţiilor de regresie minus 1) este considerat ă supraidentificat ă. • dacă ecuaţia omite mai pu ţine variabile, este considerat ă neidentificat ă. Se consideră modelul din paragraful 8.1, din care se re ţin doar ecuaţiile de regresie: y1 = a0 + a1 y2 + a2 x1 + u1 y2 = b0 + b1 x2 + u2
Ansamblul variabilelor este format din y1 , y2 , x1 , x2 , deci 4 variabile, iar numărul de ecuaţii este 2. În prima ecuaţie sunt prezente 3 variabile, a şadar 1 variabil ă absentă, egal cu numărul de ecuaţii minus 1. În concluzie, prima ecuaţie este identificat ă (perfect). În a doua ecua ţie sunt prezente 2 variabile, deci 2 variabile sunt omise, mai multe decât 2 ecua ţii minus 1. Această ecuaţie este supraidentificată. 113
Pentru ca una dintre ecuaţii să fie neidentificat ă, ar trebui să nu se înregistreze nici o variabil ă omisă, deci ecuaţia să fie de forma: y1 = a0 + a1 y2 + a2 x1 + a3 x2 + u3
Întrucât din ansamblul celor 4 variabile din model se reg ăsesc în această ecuaţie 4 variabile prezente, conform condi ţiei de ordin, 0 < 2 – 1, ecua ţia este neidentificat ă. Eliminarea neidentific ării şi aducerea ecua ţiei la forma identificată sau supraidentificat ă se poate realiza prin includerea de noi variabile în model (mai ales în alte ecua ţii decât cea neidentificată). o astfel de operaţiune trebuie să se justifice fie din perspectiva teoriei economice, fie din perspectiva criteriilor şi testelor statistice. O altă soluţie ar consta în excluderea unor variabile din ecua ţia neidentificată, în vederea cre şterii numărului de variabile absente. Ar mai putea fi o solu ţie opţiunea pentru o alt ă funcţie, dacă se justifică din perspectiva specific ării modelului. Condi ţ ia de rang este un alt criteriu pentru stabilirea identificării: o ecuaţie dintr-un sistem de G ecuaţii structurale este identificată, dacă se poate forma cel pu ţin un determinant nenul de ordin G – 1, luând în considerare parametrii prezen ţi în alte ecua ţii şi care corespund variabilelor absente din ecua ţia respectiv ă. 8.3.2 Estimarea parametrilor
Marea majoritate a modelelor cu ecua ţii simultane sunt supraidentificate. Pe de alt ă parte, circularitatea unora dintre variabile în sensul că ele pot fi reg ăsite, fiecare, în postura de variabil ă endogenă, dependentă de anumiţi factori inclusiv de variabila reziduală (u), dar şi în postura de variabil ă factorială în alte ecua ţii, cu valori dependente în continuare de variabila rezidual ă reprezintă o neconfirmare a unei ipoteze privind modelul. Este vorba de ipoteza independenţei factorului în raport cu eroarea ( u). Neconfirmarea ipotezei conduce la consecin ţe nedorite asupra estimatorului MCMMP (imprecizie, consisten ţă afectată). Astfel, MCMMP în varianta obi şnuită nu conduce la estimaţii satisf ăcătoare, motiv pentru care se recurge la alte variante de estimare. 114
Metoda celor mai mici pătrate în două stadii (etape) (MCMMP-2)
Etapele metodei sunt urm ătoarele: Stadiul 1: - în forma redus ă a modelului se aplic ă MCMMP pentru fiecare ecuaţie de regresie în vederea ob ţinerii estimatorilor ˆ 0 , α ˆ1 ,..., β ˆ0 , β ˆ1 ,... . Pe baza acestor solu ţii estimate, precum şi pe baza α valorilor variabilelor predeterminate (exogene + variabile cu efect întârziat), se obţin niveluri ajustate pentru variabilele endogene ( yˆ1 , yˆ 2 ,...) ; Stadiul 2: - în forma structural ă, în dreapta egalit ăţilor sunt căutate acele variabile factoriale care sunt de tip endogen. Toate aceste variabile endogene-factoriale ( y) sunt înlocuite cu variabilele ajustate ( yˆ ) obţinute în finalul primului stadiu, dup ă care se trece la aplicarea MCMMP pentru fiecare ecua ţie structurală astfel adaptat ă. Menţiuni: • se operează numai în partea dreapt ă a egalităţilor, înlocuind valorile yi pentru variabilele endogene factoriale cu valorile ajustate yˆ i obţinute pe baza variabilelor predeterminate în forma redusă; • prin includerea de valori ajustate ( yˆ ) s-a rupt legătura nedorită dintre evoluţia factorului (de tip endogen) şi eroare – ui. Valorile ajustate, generate de model, se deosebesc de cele empirice ( yi) prin faptul că exclud rolul variabilei reziduale. Exemplu: Modelul cu ecua ţii simultane y1 = b11 + a11 y2 + b12 x1 + u1 y2 = b21 + b22 x2 + u2 y3 = y2 – y1
poate fi utilizat în vederea analizei şi prognozei cheltuielilor şi veniturilor familiei, unde: y1 = cheltuieli; y2 = venituri; x1 = servicii utilizate; x2 = ore de activitate remunerate; y3 = sold (economii). Datele sunt următoarele: y1
y2 x1 x2
2 2 3 4 5 5 0,5 0,5 0,8
4 5 1
4 6 1
3 6 1
5 4 6 7 0,8 1
5 8 2
4 7 1
5 8 2
6 9 2
6 10 2
6 9 2
160 160 165 170 170 170 180 180 200 180 200 200 190 200
Stadiul 1: în forma redus ă: 115
y1 = α 0 + α 1 x1 + α 2 x2 + v1 y2 = β 0 + β 1 x2 + v2
se aplică pentru fiecare ecuaţie MCMMP. Rezultă: α 0 = −8,13; α 1 = 0,4083; α 2 = 0,0656; β 0 = −12,3686; β 1 = 0,1062. Se înlocuiesc parametrii ob ţinuţi: y1 = – 8 ,13 + 0,4083 x1 + 0,0656 x2 y2 = – 12,3686 + 0,1062 x2 Se determină valorile ajustate. Stadiul 2: în forma structural ă se înlocuiesc valorile y2 din membrul drept cu valorile ajustate yˆ 2 şi se estimează cu MCMMP parametrii din ecuaţia formei structurale: y1 = a 0 + a1 yˆ 2 + a 2 x1 obţinându-se: aˆ 0 = −0,49; aˆ1 = 0,6177; aˆ 2 = 0,4083. Pentru ecuaţia a doua din forma structural ă, bˆ0 = β ˆ0 ; bˆ1 = β ˆ1 . Metoda celor mai mici pătrate în trei stadii (etape) (MCMMP-3)
Varianta metodei în 3 stadii include un filtru suplimentar în vederea înlăturării eventualelor elemente comune ale variabilelor reziduale din diversele ecua ţii legate prin prezen ţa unor variabile în dublă postură (efect într-o ecuaţie, cauză în alta). Filtrul suplimentar este reprezentat de matricea varian ţelor-covarianţelor, notată cu M . Etapele metodei sunt urm ătoarele: Stadiul 1: - în forma redus ă se aplică MCMMP, se obţin estimaţii ˆ 0 , α ˆ1 ,... , precum şi valori ajustate yˆ1 , yˆ 2 ,... ; Stadiul 2: - în forma structural ă sunt înlocuite, în dreapta egalit ăţilor, variabilele endogene factoriale cu cu valorile ajustate ob ţinute în etapa 1. Se aplică MCMMP, se obţin estimaţii aˆ 0 , aˆ1 ,... , valori ajustate pentru toate variabilele endogene, precum şi valori ale variabilelor reziduale obţinute prin sc ădere y i − yˆ i în fiecare ecuaţie de regresie. Deci, se repetă etapele MCMMP în dou ă stadii. Un calcul preg ătitor pentru stadiul 3 ar presupune ob ţinerea dispersiilor reziduurilor 2 u ∑ / (n − k ) , rezultate din fiecare ecua ţie, precum şi covarianţa pentru ecuaţii luate câte dou ă. 116
- destinat obţinerii simultane a estima ţiilor aˆ 0 , aˆ1 ,... pe ansamblul formei structurale. În acest scop este utilizat ă formula generalizată elaborată de A. C. Aitken: ˆ −1 Z Z ' M ˆ −1Y Bˆ = Z ' M unde: Bˆ - vector coloan ă al tuturor parametrilor ecua ţiilor structurale din model; Z - matrice diagonal ă a variabilelor factoriale (endogene ajustate, exogene, variabile cu efect întârziat, variabila artificial ă, de element 1, destinată estimării parametrilor liberi a0 , b0, ..., etc.); Y - vector coloan ă al valorilor variabilelor endogene. Dimensiunile enorme ale elementelor rela ţiei fac ca aplicarea ei să fie condiţionată de existenţa unui model adecvat în programele de calculator. Stadiul 3:
Metoda celor mai mici pătrate indirectă
Varianta indirect ă a MCMMP este recomandat ă în cazurile în care modelul include ecua ţii identificate (perfect). Procedeul prezint ă interes din punct de vedere teoretic, pentru c ă aceste cazuri sunt rareori întâlnite în practic ă. Metoda presupune ca în forma redus ă să se obţină estimaţii ˆ 0 , α ˆ1 , β ˆ0 ,... prin MCMMP. Soluţiile sunt utilizate în vederea α estimării parametrilor în forma structural ă, dar prin o nouă aplicare a MCMMP, ci avându-se în vedere diferitele rela ţii de natură algebrică dintre parametrii formei reduse şi parametrii formei structurale. În exemplul anterior, prima ecua ţie este identificat ă. Forma redusă a acesteia y1 = α 0 + α 1 x1 + α 2 x2 + v1 , în urma estimării (α 0 = −8,13; α 1 = 0,4083; α 2 = 0,0656) va reprezenta în stânga egalit ăţii variabila y1, iar y2 = – 12,3686 + 0,1062 x2 + u va înlocui variabila y2. Prima ecuaţie a formei structurale: y1 = a0 + a1 y2 + a2 x1 + u1
se rescrie astfel: α 0 + α 1 x1 + α 2 x2 + v1 = a0 + a1 ( β 0 + β 1 x2 + v2 ) + a2 x1 + u1 Se regrupează termenii şi se obţine: 117
α 0 + α 1 x1 + α 2 x2 = ( a0 + a1 β 0 ) + a1β 1 x2 + a2 x1 + (u1 + a1v2 − v1 )
Dar aˆ 2 = ˆ1 = 0,4083 . α 2 = a1 β 1 , de unde rezult ă: α 0,0656 = 0,6177 aˆ1 = 2 = β 1 0,1062 α 0 = a0 + a1β 0 = a0 + 0,6177 ⋅ (− 12,3686) , de unde rezultă: aˆ 0 = −8,13 + 7,64 = −0,49.
Estimarea parametrilor a avut în vedere cazul liniar. Introducerea de reprezentări neliniare pot dep ăşi etapa estimării prin utilizarea unor algoritmi specifici. O particularizare a reprezent ărilor cu ecuaţii simultane care complică estimarea constă în prezenţa ecuaţiilor liniare al ături de cele neliniare, precum şi a celor relativ independente în sistem, al ături de ecuaţii legate de alte ecua ţii prin variabile comune, aflate într-o dubl ă postură. În principiu, etapa estimării în astfel de situa ţii presupune o prealabilă grupare a egalit ăţilor, astfel încât rezult ă: • grupa ecuaţiilor independente – pentru care MCMMP poate fi aplicată în varianta obi şnuită; • grupa ecuaţiilor interdependente, care, la rândul ei se subdivide în blocuri de ecuaţii în raport cu leg ăturile presupuse de circularitatea unor variabile. Pentru fiecare dintre blocurile astfel formate se aplică MCMMP-2 sau MCMMP-3; • grupa identităţilor formate din egalit ăţi care includ rela ţii de definire. 8.3.3 Etapa de verificare
Înainte de a se trece la utilizarea modelului econometric este parcursă etapa de verificare, axat ă pe următoarele direcţii: − verificarea statistic ă a semnificaţiei rezultatelor estimării, precum şi a confirmării ipotezelor modelului şi a metodei de estimare; 118
− verificarea din perspectiva gradului de determinare, precum şi a
preciziei valorilor generate de model în raport cu valorile empirice; − verificarea prin simularea de situa ţii şi comparaţii în raport cu aşteptările. În ceea ce prive şte testarea statistic ă, procedura presupune aplicarea testelor t , F , GQ, DW, JB etc. asupra rezultatelor (estima ţii, valori reziduale) fiec ărei ecuaţii de regresie din forma structural ă. Modalitatea de verificare este cea a modelului cu o singur ă ecuaţie, dar testele se aplic ă de un număr de ori egal cu numărul de ecuaţii. La fel se pune problema în ceea ce prive şte determinaţia ( R2) şi criteriul AIC. Verificarea prin simulare urmăreşte testarea modelului în ansamblul său, privit ca un produs care are calitatea de a reproduce realitatea din care provine. În general, modul de lucru are în vedere: − atribuirea de valori variabilelor exogene, valori apropiate de cele reale, pentru a ob ţine un prim set de niveluri ajustate pentru variabilele endogene; − introducerea de influen ţe indirecte printr-un procedeu iterativ care presupune ca într-o a doua etap ă să se înlocuiasc ă variabilele endogene factoriale cu valorile generate de model în prima etapă şi obţinerea de noi valori ajustate pentru toate variabilele aflate în stânga egalit ăţilor în forma structural ă; − compararea valorilor generate de ultima itera ţie cu ceea ce s-a obţinut în precedenta itera ţie: dacă diferenţele se menţin mari se reia procesul iterativ; dac ă diferenţele sunt acceptabil de mici se încheie acest proces. Printr-o astfel de verificare se pun în eviden ţă sectoarele fragile ale modelului, adic ă acele ecuaţii pentru care abaterile dintre valorile generate de model şi valorile empirice se men ţin mari în urmamai multor iteraţii. Îm cazul în care modelul econometric este destinat ob ţinerii de previziuni cât mai precise, se recomand ă verificarea calit ăţii specificării modelului în raport cu precizia prognozelor ex-post. Acest gen de prognoze se refer ă la perioade pentru care se cunosc date reale şi posibilitatea test ării preciziei prognozei. Ultimele s perioade 119
din întregul interval de n perioade formează segmentul de timp martor destinat verificării preciziei prognozei. Previziunea se bazeaz ă pe estimaţii obţinute pentru n – s valori şi se referă la evoluţia viitoare a ultimelor s valori ale variabilei endogene. În cazul în care au fost elaborate dou ă sau mai multe variante de model, se optează pentru acea variant ă care generează predicţiile cele mai apropiate de nivelul datelor reale din segmentul martor. Dup ă ce s-a ales varianta de model, se reia procesul de estimare şi elaborare de predicţii, utilizând toate cele n valori din setul de date.
8.4 Analiză, simulare şi prognoză Analiza economică bazată pe rezultatele modelului cu ecua ţii simultane se focalizeaz ă îndeosebi pe solu ţiile ce privesc parametrii de regresie. Interpretarea fiecărui parametru estimat în forma structural ă a modelului se recomandă să fie precedată de o apreciere critic ă a soluţiei care să ţină seama de: • semnificaţia estimaţiei în sensul testului t ; • semnul parametrului (plus, minus) şi concordanţa acestuia în raport cu ceea ce se cunoa şte din teoria şi practica economic ă cu privire la sensul leg ăturii (sens direct proporţional sau sens invers proporţional) dintre variabila factorial ă şi variabila endogenă din stânga semnului egal; • gradul de determinare al variabilei explicate ( y) de către factorii incluşi în ecuaţia structurală respectivă ( R2); • aprecierea posibilit ăţii ca multicoliniaritatea s ă afecteze estimaţiile (un grad sc ăzut de interdependen ţă a factorilor din ecuaţia respectivă, un nivel R2 apropiat de 1 coroborat cu un nivel DW foarte apropiat de 2 ar fi de dorit în cazul ecua ţiilor cu mai mulţi factori inclu şi). Dacă în urma unor astfel de aprecieri nuapar suspiciuni întrucât: estimaţia este semnificativ ă, semnul parametrului este cel a şteptat, determinaţia este mare, iar riscul multicoliniarit ăţii este mic, se poate avea încredere în interpretarea economic ă a estimaţiei. O astfel de
interpretare se poate referi la:
120
• aprecirea rolului fiec ărui factor (estimare a coeficientului
marginal) inclusiv a însemn ătăţii acestuia în raport cu al ţi factori incluşi în ecuaţie; • analiza comparativ ă a rolului factorilor în raport cu alte perioade sau cu alte ţări; • opţiunea pentru factorii care ar putea avea însemn ătate pentru simulare datorită rolului lor în structura procesului descris de sistemul de ecuaţii; • aprecierea legăturilor existente între diversele blocuri de ecua ţii ale modelului (blocul de ecua ţii privind produc ţia sau consumul sau sectorul financiar-bancar) prin urm ărirea rolului variabilelor de legătură (acele variabile care într-un bloc de ecua ţii apar ca efecte, iar într-un alt bloc apar în postura de factori). În acest sens, prezintă interes eviden ţierea relaţiilor de conexiune invers ă (feed-back), ca şi a lanţurilor cauzale din economie. reprezintă etapa cea mai interesant ă în demersul econometric întrucât prin intermediul ei pot fi cunoscute cu anticipa ţie implicaţiile pe care le genereaz ă în economie modificarea unor variabile de tip exogen, precum: impozitele, rata scontului, cheltuielile guvernamentale etc. Prin modificarea unor astfel de variabile guvernul î şi pune în aplicare politica sa economic ă şi este interesat în cunoa şterea din timp, dacă se poate înainte de punerea în practic ă a unor decizii, a efectelor acestor decizii. În eventualitatea existen ţei unor alternative de politic ă economică, guvernul este interesat, în op ţiunea sa, de efectele anticipate ale acestor politici. La nivel de firm ă există, de asemenea, interesul pentru cunoa şterea din timp, în urma unor calcule, a rezultatelor anticipate, fie şi cu aproximaţie, pe care unele modific ări în strategia firmei (privind investiţiile, personalul, reclama, promovarea vânzărilor) le vor aduce, precum şi a influenţelor acestora asupra profitului. Simularea de natur ă econometrică permite astfel de experimente şi, în măsura în care modelul este corect specificat şi suficient de detaliat, se poate ajunge la solu ţii care permit o conducere anticipativă, mereu în cuno ştinţă de cauză cu privire la urm ările deciziilor puse în aplicare. Simularea
121
Simularea presupune ca în forma redusă a modelului să se procedeze la modificarea unor variabile exogene (cele de comand ă, în sensul că pot fi modificate prin decizii, legi, ordonan ţe) în limita posibilităţilor de manevr ă ale acestora. Corespunz ător, vor rezulta modificări ale variabilelor endogene. Pot fi avute în vedere mai multe alternative de modificare a variabilelor exogene şi, corespunzător, se va ajunge la mai multe alternative de r ăspuns în ceea ce prive şte efectele. Din aceste încerc ări aplicate modelului, cu ajutorul calculatorului, pot rezulta alternative de real interes pentru cel preocupat de realizarea unor obiective într-un proces complex cum este cel economic. Prima etapă a simulării constă în stabilirea unei evolu ţii-martor, de bază, la care s-ar ajunge dac ă totul rămâne cum a fost, respectiv dacă modificările sunt cele care s-ar ob ţine în condiţii obişnuite. Alături de endogenele din varianta de baz ă pot fi menţionate nivelurile-obiectiv la care urm ărim să ajungem prin politica economică promovată. Simulările bazate pe modelul econometric pot fi realizate şi în alte scopuri sau pot presupune interven ţii asupra altor elemente din model. Astfel, pot fi avute în vedere: • simulări privind verificarea capacit ăţii modelului de repreducere a realităţii (a datelor empirice); • modificări de amploare asupra unei singure variabile exogene (celelalte fiind men ţinute constante); • modificări asupra valorilor estimate ale parametrilor dac ă există motive cu privire la diminuarea / amplificarea influen ţei unor factori într-un context schimbat, posibil a fi realizat în viitor; • generarea de valori reziduale aleatoare, corespunz ător unei repartiţii prestabilite şi stabilirea limitelor între care se vor situa variabilele endogene dac ă se ţine seama şi de elementele aleatoare din economie. Obţinerea de valori simulate presupune un rol activ al celui care exploatează modelul, în sensul explor ării efectelor diverselor modificări ale factorilor pe care se bazeaz ă politica economic ă şi căutării acelei variante care, cu costuri materiale şi sociale minime, s ă apropie procesul economic de obiectivele preconizate.
122
evoluţiei fenomenelor economice reprezint ă, de cele mai multe ori, obiectivul final în cadrul model ări econometrice. Ea constituie proba validit ăţii modelului elaborat. Spre deosebire de prognozele bazate pe studiul seriilor cronologice, al c ăror caracter inerţial este recunoscut, predic ţiile generate de modelul econometric cu ecuaţii simultane urm ăresc să prefigureze viitorul unor importante variabile economice în raport cu influen ţele directe şi indirecte exercitate asupra lor de c ătre variabilele exogene. Întrucât predicţia se bazeaz ă pe un număr mare de elemente (variabile exogene, influen ţe întârziate, influen ţe indirecte), abordate în interacţiune în contextul rela ţiilor cauză-efect, se poate afirma c ă modelul econometric cu ecua ţii simultane reprezint ă o modalitate relativ bine fundamentat ă de cunoaştere anticipativ ă în economie. Predicţiile rezultate dintr-un sistem de ecua ţii simultane se ob ţin astfel: în forma redus ă a modelului econometric se atribuie variabilelor exogene valori preconizate (rezultate din calcule preliminarii, aloc ări planificate de resurse, procese în curs de finalizare, inten ţii sau ipoteze de lucru) pentru perioada de prognoz ă; variabilelor cu efect întârziat li se atribuie valori empirice (pentru perioadele ..., n – 2, n – 1), respectiv valori previzionate dac ă predicţiile sunt pe termen mediu sau lung. Se determin ă apoi viitoarele valori pentru variabilele endogene, corespunz ător relaţiei: ˆ 0 + α ˆ 1 x1( 0 ) + ... + α ˆ k x k ( 0 ) y* = α unde x(0) reprezintă valori preconizate pentru viitor. Predicţiile astfel ob ţinute depind, în ceea ce prive şte precizia, de realizarea următoarelor condiţii: • valorile atribuite variabilelor exogene se vor realiza; r ealiza; • comportamentul constatat în trecut, mai precis în intervalul t = = 1, 2, ..., n, în ceea ce prive şte relaţiile dintre variabilele modelului, nu se va modifica substan ţial, astfel încât structura exprimat ă prin parametrii de regresie va r ămâne, în general, neschimbat ă; • nu vor interveni noi factori semnificativi şi nici situaţii ăşurare catastrofale care s ă modifice esenţial condiţiile de desf ăş ale procesului prognozat. O modalitate de îmbun ătăţire a performanţelor prognosticate ale acestui tip de model const ă în depăşirea cadrului strict aritmetic al determinării predic ţiilor. Ieşirea din acest cadru presupune: Previziunea
123
• luarea în considerare a rezulatelor simul ării şi cu deosebire a
soluţiilor simulate pentru cele mai recente perioade de timp, în sensul reevalu ării şi ajustării predicţiilor; • utilizarea informa ţiilor de natur ă calitativ ă în vederea ajust ării prognozelor şi apropierii lor de realitate; • asigurarea unui rol în previzionare experien ţei şi intuiţiei economiştilor şi aceasta îndeosebi în stadiul de finalizare a rezultatelor. În elaborarea unor studii concrete privind viitorul, se recomand ă următoarele etape în realizarea prognozei prin modelul cu ecua ţii simultane: • pregătirea: analiza atent ă a rezultatelor etapei de verificare şi cu deosebire a preciziei prognozelor ex-post; ob ţinerea de date preconizate (anticip ări, obiective prestabilite, valori plauzibile a fi realizate în viitor); • elaborarea prognozei în varianta ini ţială şi analiza solu ţiilor obţinute. În forma redus ă a modelului se ob ţin predicţii utilizând cele mai plauzibile niveluri privind evolu ţia variabilelor exogene în viitor. La aceasta poate fiad ăugată o variantă optimistă (valorile atribuite variabilelor exogene sunt cele considerate optime), precum şi o variant ă pesimistă (valorile atribuite sunt cele la care s-ar ajunge într-o conjunctur ă nefavorabilă). Analiza prognozelor ini ţiale din diverse perspective (a economistuluianalist, a viitorologilor, a beneficiarilor) poate conduce, în final, la stabilirea unei variante de baz ă; • întreţinerea modelului în sensul actualiz ării sale prin introducerea de noi date, verific ări periodice, reluarea etapelor estimării, actualizarea percep ţiei cu privire la valorile anticipate atribuite variabilelor exogene.
8.5 Modele macroeconometrice În decursul timpului s-au creat modele econometrice de mari proporţii, intens dezagregate, care au fost şi continuă să fie utilizate, dar şi perfecţionate în diverse ţări ale lumii. Modelul Klein-Goldberger oferă o primă reprezentare concentrată a tot ceea ce ulterioarele ansambluri au încercat s ă redea, 124
într-o formă dezagregată, prin sute de ecua ţii. Modelul este de tip keynesian clasic şi include 12 ecua ţii de regresie şi 5 identităţi. Ecuaţiile se referă la economia reală (consum, investiţii, venit), la preţuri-salarii, iar prin rela ţiile privind cererea de lichidit ăţi este prefigurat blocul monetar-financiar. Modelul Bookings SSRC a fost iniţial destinat controlului economiei naţionale în vederea men ţinerii economiei SUA în stare de stabilitate. Dezvoltarea ulterioar ă a modelului a urmărit, pe de o parte, conectarea la marile modele (SCN, BLR), iar pe de alt ă parte, realizarea unui grad de detaliere deosebit şi îmbinarea diverselor blocuri de ecuaţii prin bucle care descriu influen ţa reciprocă. Modelul Wharton EFU se referă de asemenea la economia SUA, include sute de ecua ţii şi este destinat îndeosebi prognozei. Principalele blocuri de ecua ţii se referă la consum, investi ţii, export, import, preţuri, salarii, depreciere, impozite, rata dobânzii etc. Ecuaţiile sunt, în general, neliniare în raport cu variabilele. Metoda de estimare utilizat ă cu precădere este MCMMP-2. Modelul metric se referă la economia Fran ţei şi se particularizează prin: numărul mare de identităţi, variabile ale c ăror niveluri provin din anchete conjuncturale, includerea de numero şi factori cu efect întârziat sau care includ valori anticipate. Modelul Bank of England (BE) , fundamentat pe teoria keynesiană, se particularizeaz ă prin detalierea rela ţiilor financiar bancare. Modelele menţionate sunt câteva dintre cele care au ap ărut în anii 1960-70. În general, fiecare ţară dezvoltată şi-a creat propriul model în vederea simul ării de politici economice, prognozei şi analizei. Modelul cu ecua ţii simultane elaborat de c ătre academicianul Emilian Dobrescu privind economia României se înscrie în aceast ă arie de preocupări. De asemenea, băncile centrale (BNR în ţara noastră) şi-au creat propriile modele care continu ă să fie perfecţionate.
125
Bibliografie Andrei T., 2008, Econometrie, Editura Economica Bucureşti; Andrei T., Spircu L., 2010, Aplica ţ ii în econometrie, Editura Economica Bucureşti; Andrei T., 2004, Statistică şi econometrie, Editura Economică, Bucureşti; Andrei T., Bourbonnais R., 2009, Econometrie, Editura Economica, Bucureşti; Cristache, S. E., Serban D., 2007; Lucrari aplicative de statistica sieconometrie pentru administrarea afacerilor ; Ed. ASE Bucuresti Despa, R., Solomon O., Caraiani P., Din M. A., 2010, Econometrie, Editura Universitară, Bucureşti; Gâf-Deac I., 2007, Econometrie, Editura Fundaţiei „România de Mâine”, Bucureşti; Iacob A. I., Tănăsoiu O., 2005, Modele econometrice, Editura ASE, Bucureşti; Iacob A. I., Tănăsoiu O., 2005, Econometrie. Studii de caz, Editura ASE, Bucureşti; Jemna D., 2009 ; Econometrie Editia II-a; Editura Secom Libris, Iasi .Jemna D., Pintilescu C., Turturean C., 2009; Econometrie.Probleme si teste grila; Editura Secom Libris, Iasi Nenciu E., Gagea M., 2010; Lectii de econometrie; Ed. Tehnopress ,Iasi Niculescu-Aron, I. G., Mazurencu-Marinescu, M., 2007; Metode econometrice pentru afaceri; Ed. ASE Bucuresti Pecican E. Ş., 2006, Econometrie, Editura C. H. Beck, Bucureşti; Pecican E., 2004, Econometrie... pentru economi şti. Econometrie. Teorie şi aplica ţ ii, Editura Economică, Bucureşti; Pecican E., Tănăsoiu O, Iacob A. I., 2001, Modele econometrice, Editura ASE, Bucureşti; Spătaru S., 2007, Modele şi metode econometrice, Editura ASE Bucureşti; Spircu L., Ciumara R., 2007, Econometrie, Editura Pro Universitaria, Bucureşti; Spircu, L., 2008, Econometrie, Editura Pro Universitaria, Bucureşti; Tasnadi, A., 2005, Econometrie, Editura ASE Bucureşti; Tomescu Dumitrescu C., 2008, Econometrie generală şi financiar ă , EDP Bucureşti; Voineagu V., Titan E., 2007, Teorie şi practică econometrică , Editura Meteor Press, Bucureşti. Zait D., Nica P., 1995; Introducere in modelarea econometrica; Ed. Univ. "Al. I. Cuza" Iasi ASE Bucureşti- cursuri în format digital http://www.biblioteca-digitala.ase.ro
126
Anexe Distribuţia normală redusă (standard)
127
Distribuţia t Student în func ţie de probabilitatea P şi de numărul gradelor de libertate
128
Valori critice pentru repartiţia F
129
130
