VIBRACIONES LIBRES Y FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO PROBLEMAS DE PROPUESTOS
1.
El bloque mostrado se baja 1.2in. desde su posición de equilibrio y se suelta. Si se sabe que después de 10 ciclos el desplazamiento máximo del bloque es 0.5in. determine! a" El #actor de amorti$uamiento amorti$uamiento c%c c b" El &alor del coe#iciente de amorti$uamiento &iscoso. &iscoso.
2.
'n bloque de ()$ se deja caer desde una altura de *00 mm sobre un bloque + de ,)$ que está en reposo. El bloque + está soportado por un resorte de cons consta tant nte e ))-1. 1.50 500 0 %m %m y se encu encuen entr tra a unid unido o a un amor amorti ti$u $uad ador or con con coe#iciente c-2/0s%m. c-2/0s%m. Si se sabe que no ay rebote determine determine la máxima distancia que se mo&erán los bloques después del impacto.
3.
'na barra uni#orme de ( lb se sostiene mediante un pasador en y un resorte en y se conecta a un amorti$uador en +. 3etermine! a" 4a ecuación di#erencial de mo&imiento para pequeas oscilaciones. b" El án$ulo que #ormará la barra con la orizontal 5 s después de que el extremo + se empuja 0., in. acia abajo y se suelta.
4.
'n elemento de máquina de 1.100 lb se sostiene mediante dos resortes cada uno de constante i$ual a /.000 lb%#t. 'na #uerza periódica de /0 lb de amplitud se aplica al elemento con una #recuencia de 2.* 6z. Si el coe#iciente de amorti$uamiento es de 110 lb s%#t determine la amplitud de la &ibración de estado estable del elemento.
5.
'n motor de 15)$ se sostiene mediante cuatro resortes cada uno de constante i$ual a (5)%m. El desbalance del motor es equi&alente a una masa de 20$ ubicada a 125mm del eje de rotación. Si el motor está restrin$ido a un mo&imiento &ertical determine la amplitud de la &ibración del estado estable del motor a una &elocidad de 1.500 rpm suponiendo a" 7ue no se presenta amorti$uamiento. b" 7ue el #actor de amorti$uamiento c%cc es i$ual a 1./
PROBLEMAS RESUELTOS
1. 'na placa del$ada y cuadrada de lado a puede oscilar alrededor de un eje + localizado a una distancia b de su centro de masa 8. a" 3etermine el periodo de pequeas oscilaciones si b - 90.5"a
Solución:
Se deja $irar la placa a tra&és del án$ulo a alrededor del eje como se muestra!
+ ↺ Σ M AB= Σ ( M AB ) :inemática!
mgbsinθ =− I´ α −( m a´ i )( b )
!
e##
α =θ´ α i =bα = b θ´ sinθ ≈ 0
;omento de
´= I Entonces!
1 12
ma
2
( I ´ + mb ) ´θ + mgbθ =0 2
(
1 12
)
2 2 a + b θ´ + gbθ= 0
θ´ +
12 gb 2
2
a + 12 b
θ =0
=recuencia circular natural 12 gb W n= 2 2 a + 12 b 1 16 ga 3 g = a ¿ b = a W n= 2 2 2 2a a +3 b
√
√ √
√
>eriodo de ?ibración 2 π 2a τ n = τ n =2 π W n 3g
2. Se obser&a un periodo de @s para las oscilaciones an$ulares de un rotor de $iroscopio de (oz. suspendido de un alambre como se muestra en la #i$ura. Si se sabe que al suspender una es#era de acero con 1.25in. de diámetro en la misma #orma se obtiene un periodo de /.*s determine el radio de $iro centroidal del rotor. 9>eso especA#ico del acero - (,0 lb%#t /."
Solución!
+ ↻ Σ M = Σ ( M )
e##
´ ´θ − K θ= I
!
K =0 ´ θ I K 2 W n = ´ I θ´ +
√
´ ´ K τ I 4 π I ´= 2 τ =2 π K = 2 I K τ 4 π 2
2
>ara la es#era! d −3 r = =0.625 ∈ .= 52.083 x 10 ft 2
?olumen! 4
4
V S = π r = π ( 52.083 X 10 3
3
−3
3
3
) =591.81 x 10−
3
3
ft
>eso!
(
W S =rV S= 490
lb 3
ft
)
( 591.81 x 10−
6
ft ) =0.28999 lb 3
;asa! mS =
W S
=
0.28999
=9.0059 x 10−3 lb.s2 / ft
g 32.2 ;omento de inercia! 2
´= m r I s
2
5
=
2 5
−3
>eriodo! τ s=3.80 s 3e la se$unda ecuación! −6 2 4 π ( 9.7719 x 10 ) =26.716 x 10−6 lb.ft / rad K = 2
( 3.80)
>ara el rotor! 4 1 W =7.764 x 10−3 lb.s2 / ft m= = 16 32.2 g τ =6.00 s 3e la tercera ecuación!
( )( )
´ =( 26.716 x 10−6 ) ( 6.002) =24.362 x 10−6 l b . s 2 . ft I 2
4 π
Badio de $iro! ´ =m ´k 2 I ´ ´ = I =0.056016 ft k m
√
−3 2
( 9.0059 x 10 ) ( 52.083 X 10 ) = 9.7719 lb . s
2
. ft
/. 'n bloque + de 1.5)$ está conectado mediante una cuerda a un bloque de 2)$ el cual está suspendido de un resorte con constante i$ual a /)%m. Si el sistema se encuentra en reposo cortar la cuerda determine a" 4a #recuencia la amplitud y la &elocidad máxima del mo&imiento resultante. b" 4a tensión mAnima que ocurrirá en el resorte durante el mo&imiento. c" 4a &elocidad del bloque 0./s después de cortar la cuerda. Solución:
ntes de cortar la cuerda la tensión en el resorte es! m (¿ ¿ A + m B) g=( 2 + 1.5 ) ( 9.81 ) =34.335 N 0 =¿ 4a elon$ación del resorte es! " 0 34.335 = =11.445 x 10−3 m ! 0= 3 k 3 x 10 3espués de cortar la cuerda la tensión en la posición de equilibrio es! " 0 = m A g=( 2.0 ) ( 9.81 )=19.62 N 4a elon$ación correspondiente es! " 0 19.62 " =6.54 x 10−3 m ! 0= = 3 k 3 x 10 Se mide x acia abajo desde la posición de equilibrio " = 0+ kx 9a" m x´ = m A g − ´ + m A g −kx − 0 =−kx m A x ❑
W n=
√
´ + kx -0 m A x k -/*.C2,* rad%s m A W n 38.7298
f n=
El mo&imiento resultante es! x = x m s!n ( W n+ # ) x´ =W n xm cos ( W i + # ) :ondición inicial ❑ " −3 x 0=! 0 −! 0= 4.905 x 10 m x 0=0 −3
0.75375 x 10 0
=W n x m %&s#
= x m s!n#
=
2 π
2 π
al
#=
π
2 x m= 4.905 m
(
−3
x =4.905 x 10 sin W n t +
(
π 2
)
m
)
π x´ =0.18997 cos W n t + m / s 2
b" Densión mAnima que ocurre cuando x es máximo. " −3 3 min= 0− k x m =19.62−( 3 x 10 )( 4.905 x 10 ) min= 4.91 N c" ?elocidad cuando t-0./ s π W n t + #=( 38.7298 ) ( 0.3 ) + =13.1897 rad. 2
x´ =0.18997 cos ( 13.1897 ) x´ =0.1542 m / s
(. 3emuestre que para un pequeo &alor del #actor de amorti$uamiento c%c c la amplitud máxima de una &ibración #orzada ocurre cuando
wf=wo
&alor correspondiente del #actor de ampli#icación es 0.59c%c c". Solución:
=actor de aumento! x m 1 'm k
=
√[ ( ) ] [ ( )( )] 1−
W f
2
2
W 0
W 0
x m
para el cual
2
( ) ] ( ) ] = = ( ) {[ −( ) ] +[ ( )( )] } ( ) () d
0
( ) [[
2
W 0
W f
Encontramos el &alor de
xm
W f
+ 2 % %%
'm k
W f d W 0
0 =−2 + 2
−
W f
2 1−
W 0
2
1
W f W 0
2
+4
W f W 0
% %%
2
2
2
3
(−1 ) + 4 % 2 %%
2
% 2 %%
W f W 0
2
'm es máximo! k
y que el
>ara el pequeo
% %%
W f
≈ 1 W f ≈ W n W n >ara! W f W n x m
=1
'm k x m 'm k
=
√
1
[( )]
[ 1−1 ] + 2 % 1 %% 2
2
=1 %
2 %%
5. 'n motor de 100)$ se sostiene por medio de cuatro resortes cada uno de constante i$ual a ,0)%m y se conecta al suelo mediante un amorti$uador que tiene un coe#iciente de amorti$uamiento
[email protected] s%m. El motor está restrin$ido a mo&erse &erticalmente y se obser&a que la amplitud de su mo&imiento es de 2.1mm a una &elocidad de 1.200 rpm. Si la masa del rotor es de 15 )$ determine la distancia entre el centro de masa del rotor y el eje de la #leca.
x m=
'm
√ ( k −mW f )+( % W f ) 2
2
W f =
(
[
2
( 1200 )( 2 π ) 60 3
k =4 90 x 10
)
]
2
=15,791 s−2
N =360 x 10 3 m
'm= m ! W f =( 15 kg ) ! ( 15,791 s "
−3
2 x 10
−2
2
m=
236,856 !
√[(
360 x 10
) =236,856 !
3
)−( 100 ) ( 15,971 ) ] + ( 6500 ) (15,791 ) 2
=0.16141 !
−3
! =13.01 x 10 =13.01 mm
