VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS UNIVERSIDAD PRIVADA P RIVADA DE TACNA TACNA
FACULT ACULTAD DE INGENIERI INGE NIERIA A
ESCUELA PROFESIONAL
: INGENIERIA INGENIERIA CIVIL
TEMA FORZADAS NO AMORTIGUADAS
:
CURSO
: DINAMICA
Docente Doce nte
ESTUDIANTE Re"aa$o
: Ing. AVELINO PARI P.
:
Brau!o
TACNA%PERU
&. RESUMEN U.P.T.
VIBRACIONES
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A"torga
Ma#an!
VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS
Los conc!"os # $i%&acions 'an si#o (sa#os !o& )(c'os sig*o ig*os s n a!*i a!*ica caci cion ons s !&ác" &ác"ic ica as. M(c' (c'os # *os *os &ci cin n"s "s #sa&&o**os n * ca)!o # $i%&acions son )o"i$a#os +(i,á !o& #os #os &a,o &a,on ns s !&in !&inci ci!a !a* *s: s: (na (na #%i #%i#o #o a +( +( *as *as $*o $*oci ci#a #a# #s s # o!&aci-n # )a+(ina&ia s 'an #o%*a#o n *os *"i)os /0 aos2 consc consc(n (n") ")n" n" *as ca&gas ca&gas # $i%&ac $i%&aci-n i-n gn&a gn&a#as #as #%i#o #%i#o a 3ci"aci-n &o"aciona* 4 #s%a*anc !(#i&an 'a%&s c(a#&(!*ica#o si *as accions # #iso 4 con"&o* '(%isn si#o ina!&o!ia#as2 4 *a o"&a2 o"&a2 !o&+( !o&+( *os #iso #isos s -!"i)o -!"i)os s # )a+(in )a+(ina&i a&ias as 4 s"&(c s"&(c"(& "(&as as consis consis"n "n # )i)%& )i)%&os os *ig&o *ig&os s con a*"os a*"os s5(& s5(&,os ,os22 "a*s "a*s co)o co)o !(n" !(n"s2 s2 #i6ci #i6cios os a*"os2 a*"os2 "*57 "*57&ic &icos2 os2 a$ion a$ions. s. Una $is(a* $is(a*i,a i,acici-n n gn gn&a &a** &$ &$*a *a +( +( *as *as $i%& $i%&ac acio ion ns s son son i)!o i)!o&" &"an an" "s s n s"o s"os s #isos. E* o%8"i$o # 7s" "&a%a8o 'a si#o *a c&aci-n # !&ác"icas 3!&i)n"a*s +( ca!aci"n a 5("(&os ingni&os n * ca)!o # $i%&acions2 á&a i)!o&"an" !a&a * c&ci)in"o 4 a$anc # *a cincia. La )"o#o*og9a )!*a#a 'a si#o * #iso 4 c&aci-n # $a&ias !&ác"icas +( #%n s& #sa&&o**a#as n 5o&)a sc(ncia* !o& * s"(#ian"2 a s( $, san a)nas )in"&as a!&n#n. S c&- (n so5"a& +( !&)i"n *a a#+(isici-n 4 !&ocsa)in"o # *as sa*s # *os ins"&()n"os )!*a#os. La co)!a&aci-n n"& *os &s(*"a#os 3!&i)n"a*s con *os "-&icos 'a !&)i"i#o $a*i#a& *os #isos.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS
'. INTRODUCCION La $i%&aci-n s (n )o$i)in"o osci*a"o&io. Es" ca!9"(*o &s()n *as &s!(s"as '()anas a *as $i%&acions # c(&!o co)!*"o2 *as "&ans)i"i#as a *as )anos 4 *as ca(sas #* )a&o2 inc*(i#o !o& * )o$i)in"o. En s" "&a%a8o s 'a%*a # n"& o"&os ")as: a< *a 'is"o&ia i)!o&"ancia # *as $i%&acions )cánicas2 * !&sn" 4 5("(&o #* s"(#io # *as $i%&acions2 *a c*asi6caci-n # *as $i%&acions2 * !&oc#i)in"o !a&a *a *a%o&aci-n # (n )o#*o )a")á"ico. E* %(n 5(nciona)in"o # *os a)o&"ig(a#o&s # (n a("o)-$i*. E* )a* ais*a)in"o # )a+(ina&ia +( !(#a #aa& *a in5&as"&(c"(&a # *a )is)a 4 ,ona a*#aa2 &(i#o ca(sa#a !o& )a+(ina&ia. Son 8)!*os # a*g(nos 8)!*os. Un 5n-)no # *a c(a* *as )a+(inas ")n s *a **a)a#a &sonancia2 c(4as consc(ncias !(#n s& s&ias. Po& o"&o *a#o * %(n 5(nciona)in"o # *a )a+(ina&ia in#(s"&ia* s (n 5n-)no +( &+(i& # (na cons"an" ins!cci-n2 s #ci&2 * )an"ni)in"o !&#ic"i$o= s" 8(ga (n !a!* i)!o&"an" n * c&ci)in"o con-)ico # (na )!&sa2 4a +( !&#ci& (na 5a**a s sin-ni)o # !&og&a)aci-n # $n"os +( !&)i" a *a )!&sa #ci#i& * )o)n"o a#c(a#o !a&a #"n& *a )á+(ina 4 #a&* * )an"ni)in"o. E* aná*isis # $i%&aci-n 8(ga (n !a!* i)!o&"an" n * )7"o#o !&#ic"i$o2 s" consis" n "o)a& )#i#a # $i%&aci-n n #i5&n"s !a&"s # *a )á+(ina 4 ana*i,a& s( co)!o&"a)in"o. Las $i%&acions )cánicas !&sn"an "a)%i7n a!*icacions2 co)o !o& 8)!*o n 5&&oca&&i*s= *as s(s!nsions # &so&" in#(cn $i%&acions n $'9c(*os n )o$i)in"o2 co)o n s" ca&&o # 5&&oca&&i*2 s !o& so +( !a&a !&#ci& s( co)!o&"a)in"o s ncsa&io ana*i,a& *as $i%&acions.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS
(. ASPECTOS BASICOS DE LAS VIBRACIONES MECANICAS S #ic +( (n c(&!o $i%&a c(an#o 3!&i)n"a ca)%ios a*"&na"i$os2 # "a* )o#o +( s(s !(n"os osci*n sinc&-nica)n" n "o&no a s(s !osicions # +(i*i%&io2 sin +( * ca)!o ca)%i # *(ga&. Co)o o"&o conc!"o # $i%&aci-n2 s !(# #ci& +( s (n in"&ca)%io # n&g9a cin7"ica n c(&!os con &igi#, 4 )asa 6ni"as2 * c(a* s(&g # (na n"&a#a # n&g9a #!n#in" #* "i)!o. Es" in"&ca)%io # n&g9a !(# s& !&o#(ci#o !o&: ? Ds+(i*i%&io n )á+(inas &o"a"o&ias ? En"&a#a # En&g9a Acs"ica ? Ci&c(*aci-n # F*(i#os o )asas ? En&g9a E*c"&o)agn7"ica Sa c(a*+(i&a *a ca(sa # *a $i%&aci-n2 s( &#(cci-n s ncsa&ia #%i#o a &a,ons n"& *as c(a*s s "inn: ? La 3csi$a $i%&aci-n !(# *i)i"a& *a $*oci#a# # !&ocsa)in"o. ? La $i%&aci-n s &s!onsa%* # *a !o%& ca*i#a# # *os !&o#(c"os *a%o&a#os !o& )a+(inas@'&&a)in"as. ? La $i%&aci-n # )a+(ina&ias !(# &s(*"a& n &a#iaci-n # &(i#o. ? La $i%&aci-n !(# a*can,a& a o"&os ins"&()n"os # !&cisi-n # o"&as 5(n"s2 4 ca(sa& 5a**as # 5(nciona)in"o. La M#ici-n # *a $i%&aci-n2 8(ga (n !a!* )(4 i)!o&"an" n * #sa&&o**o # "7cnicas !a&a )i"iga&*a o &#(ci&*a2 4 n * s"a%*ci)in"o # *9)i"s n *os ni$*s # &(i#o # *a )a+(ina&ia 3is"n" n (na ins"a*aci-n in#(s"&ia*. A!&o3i)a#a)n" * /0 # *a a$&9as n )á+(inas &o"a"i$as s #%n a #sa*inacions n *os 8s. Las )á+(inas )a* a*ina#as gn&an ca&gas 4 $i%&acions a#iciona*s2 ca(san#o #aos !&)a"(&os n &o#a)in"os o%"(&acions 4 aco!*a)in"os2 "a)%i7n a()n"a * cons()o # n&g9a. G&acias a *os a$ancs # *a *c"&-nica2 ac"(a*)n" s "inn ins"&()n"os # )#ici-n a*"a)n" so6s"ica#os +( !&)i"n c(an"i6ca& *a $i%&aci-n # )an&a !&cisa2 a "&a$7s # #i$&sos !&inci!ios. Es !o& s"o +( s U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS )(4 i)!o&"an"2 (n %(n n"n#i)in"o # *os "&ans#(c"o&s )!*a#os !a&a *a )#ici-n # $i%&aci-n2 4 s( in"&5a, con *os so6s"ica#os +(i!os # ins"&()n"aci-n 4 # a#+(isici-n # #a"os.
o4 n #9a2 (no # *os !(n"os i)!o&"an"s a consi#&a& n * %(n 5(nciona)in"o # *os !&ocsos in#(s"&ia*s s"a %asa#o n"& o"&as cosas n &g*as !&oc#i)in"os o )"o#o*og9as # )an"ni)in"o2 n s!cia* (no conoci#o co)o )an"ni)in"o !&#ic"i$o 4a +( !&)i" sa%& * s"a#o ac"(a* 4 5("(&o # (na )a+(ina&ia o # s(s *)n"os= * aná*isis # $i%&acions # )a+(ina&ia s (na # *as )"o#o*og9as a)!*ia)n" (sa#as n * )an"ni)in"o # )a+(ina&ia2 # "a* )an&a +( * s"(#io # *as $i%&acions )cánicas s 'a con$&"i#o n a*go sncia* !a&a * s"(#ian" # ingni&9a )cánica 4a +( * !&)i" co)!&n#&2 ana*i,a& 4 !&o!on& so*(cions so%& #i$&sa !&o%*)á"ica &*aciona#a con !&ocsos in#(s"&ia*s. En s" ca!9"(*o s !&sn"an *os conc!"os in"&o#(c"o&ios # *as $i%&acions )cánicas co)o *o s: s( 'is"o&ia2 !&sn"2 a!*icacions i)!o&"ancia n"& o"&as cosas.
EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES Es #i59ci* s"a%*c& * o&ign # *a cincia # *as $i%&acions )cánicas2 ni si +(i&a A#8(#ica& a (na so*a !&sona * "9"(*o #* !a#& # *a cincia # *as $i%&acions 4a +( a "&a$7s # *a 'is"o&ia g&an#s cin"96cos &a*i,a&on i)!o&"an"s a!o&"acions +( 'ici&on 'o4 n #9a #* 5n-)no # *as $i%&acions "o#a (na cincia. A con"in(aci-n s !&sn"a (n %&$ &co&&i#o # a*g(nos !&sona8s # cincia +( 'ici&on a!o&"acions so%& * 5n-)no # *as $i%&acions. R)on"án#os n *a 'is"o&ia2 (n !&sona8 c*%& # *a an"ig(a G&cia so&!&n#9a con g&an#s i)!o&"an"s a!o&"acions 6*os-6cas 4 )a")á"icas2 so%& "o#o n * á&a # a&i")7"ica= 'o4 n #9a "o#os conoc)os # * g&acias a (n 5a)oso "o&)a #a#o n s( 'ono& conoci#o co)o * "o&)a # Pi"ágo&as. Pi"ágo&as /0 H a.C.< #sa&&o**- *a "o&9a # *os n)&os 4 *a "o&9a # *a )sica 4 # *a a&)on9a n #on# a6&)a%a *a &*aci-n n"& s"as #os cincias. C(n"a *a 'is"o&ia +( (n #9a !as- !o& (na '&&&9a 4 s +(#- so&!&n#i#o a* #a&s c(n"a # *a &9")ica &g(*a&i#a# con *a +( * '&&&o 'ac9a &!ica& * )a&"i**o so%& * 4(n+(= "a* 5( s( a#)i&aci-n +( **ga#o a s( casa s !(so a 3!&i)n"a&2 'acin#o $i%&a& $a&ias ag(8as #* )is)o s!so& 4 )is)a "nsi-n2 U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS !&o # #is"in"a *ongi"(#. D s"a )an&a !(#o conc*(i& +( *as no"as #!n#9an # *a 5&c(ncia # $i%&aci-n2 s"o )is)o Pi"ágo&as *o ca*c(*- 4 conc*(4- +( *a )sica no &a )ás +( (na &*aci-n )a")á"ica # *as $i%&acions )#i#as sgn in"&$a*os.
Po& o"&o *a#o (n i)!o&"an" 6*-so5o in$s"iga#o& **a)a#o A&is"-"*s >@ >// a.C.<. T&a%a8o con *as *4s #* )o$i)in"o2 sc&i%i- * !&i)& sc&i"o &*aciona#o con *a acs"ica **a)a#o On Aco(s"ic2 in"&o#(8o * !&inci!io #* "&a%a8o $i&"(a*. En * !&sn" sig*o (no # *os !&sona8s # cincia )as in+(i"a#os !o& s" 5n-)no s conoci#o co)o Ga*i*o Ga*i*i 1/J@1J;<. Ga*i*o ncon"&- *a &*aci-n 3is"n" n"& *a *ongi"(# # c(&#a # (n !7n#(*o 4 s( 5&c(ncia # osci*aci-n2 a#)ás ncon"&- *a &*aci-n n"& *a "nsi-n2 *ongi"(# 4 5&c(ncia # $i%&aci-n # *as c(&#as. S c(n"a +( ci&"a $,2 )in"&as o%s&$a%a #s!&oc(!a#a)n" *as osci*acions # (n can#*a%&o n *a ca"#&a* # Pisa Ga*i*o Ga*i*i s in"&s- n )#i& * "i)!o # ca#a osci*aci-n co)!a&án#o*o con * n)&o # *a"i#os # s( !(*so n sa 7!oca "o#a$9a no s in$n"a%a *os &*o8s ni *os c&on-)"&os<. P(#o co)!&o%a&2 so&!&n#i#o2 +( a(n c(an#o *as osci*acions 5(&an ca#a $, )ás )no&s2 * "i)!o # ca#a osci*aci-n &a si)!& * )is)o. A* &!"i& * 3!&i)n"o n s( casa2 co)!&o%*o an"&io& ("i*i,an#o (n !7n#(*o (na !i#&a a"a#a a* 3"&)o # (na c(&#a<2 ncon"&an#o a#)ás +( * "i)!o # *a osci*aci-n #!n#9a # *a *ongi"(# # *a c(&#a. En *a #7ca#a # *os 0 #* sig*o KVII 3is"i- (no # *os g&an#s cin"96cos # *a 'is"o&ia **a)a#o Isaac N"on 1J;@1;<2 )a")á"ico 4 59sico %&i"ánico2 consi#&a#o (no # *os )ás g&an#s cin"96cos # *a 'is"o&ia2 +( 'i,o i)!o&"an"s a!o&"acions n )(c'os ca)!os # *a cincia. S(s #sc(%&i)in"os 4 "o&9as si&$i&on # %as a *a )a4o& !a&" # *os a$ancs cin"96cos #sa&&o**a#os #s# s( 7!oca. N"on 5(2 8(n"o a* )a")á"ico U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS a*)án Go""5&i# i*'*) Li%ni,2 (no # *os in$n"o&s # *a &a)a # *as )a")á"icas #no)ina#a cá*c(*o. Ta)%i7n &so*$ic(s"ions &*a"i$as a *a *(, 4 *a -!"ica2 5o&)(*- *as *4s #* )o$i)in"o 4 ##(8o a !a&"i& # **as *a *4 # *a g&a$i"aci-n (ni$&sa*. En * ca)!o # *as $i%&acions * (so # *as *4s # N"on 5o&)a (n !a!* i)!o&"an" n * aná*isis # sis")as 4 *a #"&)inaci-n # 5&c(ncias # osci*aci-n. P(%*ic- s( "o&9a n P&inci!ios )a")á"icos # *a 6*oso59a na"(&a* 1J<2 o%&a +( )a&c- (n !(n"o # in3i-n n *a 'is"o&ia # *a cincia2 4 con *a +( !&#i- * ")o& a !(%*ica& s(s "o&9as. Con *a a!a&ici-n # *a o%&a # N"on T' !&inci!ia i)!*ic- a N"on n (n Dsag&a#a%* !iso#io con o"&o g&an 6*-so5o 4 59sico **a)a#o Ro%&" oo 1J>/@101<.
En 1J oo a6&)- +( N"on * 'a%9a &o%a#o *a i#a cn"&a* #* *i%&o: +( *os c(&!os s a"&an &c9!&oca)n" con (na 5(&,a +( $a&9a in$&sa)n" a* c(a#&a#o # *a #is"ancia n"& **os. Sin )%a&go2 *a )a4o& !a&" # *os 'is"o&ia#o&s no ac!"an *os ca&gos # !*agio # oo. Sin )%a&go2 s" cin"96co s &conoci#o !o& s(s in$s"igacions n * ca)!o # *a *as"ici#a#. En 1J2 * "a)%i7n **a)a#o Lona&#o Ing*7s2 !(%*ico * *i%&o: U" Pon#(s Sic Tnsia co)o * !so as9 s *a "nsi-n< +( &!&sn"a (n !&i)& n(ncia#o # s( conoci#a *4 # *a *as"ici#a# a n (na 7!oca &cin" Dani* B&no(**i 100@1;<2 s"(#io *a 5o&)a # $i%&a& # a*g(nos c(&!os (san#o * !&inci!io # s(!&!osici-n # a&)-nicos. Dani* B&no(**i 'i,o (na s"&c'a co&&s!on#ncia con s( a)igo E(*& n *a +( "&a"a&on ")as # *a )cánica # *os )#ios 3i%*s 4 *ás"icos2 n !a&"ic(*a& *os !&o%*)as # !+(as osci*acions # c(&#as 4 $igas. Pa&"ic(*a&)n" a"&ac"i$a s *a !o*7)ica +( s a%&i- so%& * ")a # *a c(&#a )(sica*2 no s-*o n"& E(*& 4 Dani*2 sino con *a inco&!o&aci-n # (n 8o$n g-)"&a Qan * Ron# DA*)%&"2 +(in !&on"o 5( consi#&a#o n"& *os )ás !&s"igiosos g-)"&as # F&ancia n * Sig*o # *as L(cs. E* #%a" so%& *a c(aci-n # *a c(&#a2 so)"i#a a (na $i%&aci-n n (n )is)o !*ano2 s i)!o&"an" #s# * !(n"o # $is"a )a")á"ico2 no s-*o !o&+( &!&sn"a * !&i)& aná*isis # *a so*(ci-n # (na c(aci-n #i5&ncia* n #&i$a#as !a&cia*s2 sino a#)ás !o&+( *a #isc(si-n U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS **$- a* c(s"iona)in"o # *as nocions s"a%*ci#as # 5(nci-n 4 # &!&sn"aci-n # 5(ncions )#ian" s&is "&igono)7"&icas. En !a&"ic(*a& n *as i#as # Dani* s"a%a * g&)n # *a "o&9a # &!&sn"aci-n n s&is # Fo(&i& +( s s"a%*cin * sig*o KIK con *os "&a%a8os # Fo(&i&2 Di&ic'*"2 Ri)ann 4 o"&os.
EL PRESENTE MEC)NICAS
E
IMPORTANCIA
DE LAS
VIBRACIONES
En *a &a )o#&na2 n #on# *os a$ancs "cno*-gicos s"án a *a !(&"a2 g&an#s a!o&"acions )a")á"icas 4 )7"o#os # aná*isis $ini&on a &so*$& a*g(nos !&o%*)as n * ca)!o # *as $i%&acions )cánicas. Po& 8)!*o n 102 F&a') !&o!(so (na 5o&)a # &#(ci& *as $i%&acions )cánicas )#ian" *a i)!*)n"aci-n # sis")a ag&ga#o sis")a )asa@&so&". S"o#o*a A(&* 1/H1>< 'i,o a!o&"acions i)!o&"an"s &*aciona#as con *as $i%&acions # ))%&anas2 $igas 4 !*acas. Ti)os'no 1;@1;< &a*i,a!o&"acions i)!o&"an"s n *a "o&9a # $i%&aci-n n $igas. Po& o"&o *a#o2 i)!o&"an"s a!o&"acions )a")á"icas a)!*ia&o consi#&a%*)n" * á&a # in$s"igaci-n #* ca)!o # *as $i%&acions )cánicas2 !o& )nciona& a*g(nos2 *os )7"o#os # Ra4*ig' +( si&$n !a&a #"&)ina& *as 5&c(ncias # &sonancia # a*g(nos *)n"os %asán#os n c(acions # n&g9a2 *as $a&ia%*s # s"a#o +( !&)i"n &so*$& 4 ana*i,a& !&o%*)as %asa#os n c(acions #i5&ncia*s no *ina*s2 * *)n"o 6ni"o +( consis" n #isc&"i,a& c(a*+(i& *)n"o !a&a !os"&io&)n" )o#*a& 4 ana*i,a& s( co)!o&"a)in"o co)o !(#i&a s& *os )o#os # $i%&a&2 c(acions s"a#9s"icas +( 5aci*i"a&on * s"(#io # $i%&acions a*a"o&ias. Es"os )7"o#os )o#&nos (ni#os a *os a$ancs "cno*-gicos !o& 8)!*o2 a< Las co)!("a#o&as2 %< Los PLCs2 c< Ana*i,a#o&s # $i%&aci-n2 #< so!ia& # )oni"o&o 4o )an"ni)in"o2 "c. 'acn 'o4 n #9a # *as $i%&acions "o#o (n ca)!o # in$s"igaci-n "a* +( 3is"n asociacions2 &$is"as2 s)ina&ios2 c(&sos s!cia*i,a#os. D#ica#os a* s"(#io # s" 5n-)no. U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS En *a ac"(a*i#a# * s"(#io n s" ca)!o s "an g&an# +( %as"a con $& a*g(nos # s(s ca(sa@5c"o !a&a n"n#& s( i)!o&"ancia. La gn" # (na ( o"&a 5o&)a s"a cons"an")n" &*aciona#a con s" 5n-)no2 !o& 8)!*o2 * %(n 5(nciona)in"o # *os a)o&"ig(a#o&s # (n a("o)-$i* !&)i" (n )8o& )an8o n"& *os "&i!(*an"s2 * )a* ais*a)in"o # a*g(na )a+(ina&ia in#(s"&ia* !(# #aa& *a in5&as"&(c"(&a # *a )is)a 4 ,ona a*#aa !(#in#o s& con8(n"os 'a%i"aciona*s2 &(i#o ca(sa#o !o& )a+(ina&ia +( !(# a5c"a& 59sica 4 !sico*-gica)n" a !&sonas # *a )!&sa inc*(si$ a !&sonas a8nas a *a )is)a2 &(i#os noc"(&nos !&o#(c"o # *as $i%&acions )cánicas # a*g(nos o%8"os 4 +( n a*g(nas ocasions son con5(n#i#os 4 &*aciona#os a*g(nas $cs con so"&is)o 4 5an"as)as. P&o !a&a a)!*ia& *o an"&io& $a)os a consi#&a& a'o&a *a ca(sa@ 5c"o # *as $i%&acions )cánicas n *a in#(s"&ia )cánica. P&i)&o consi#& +( 3is"n #i5&n"s "i!os # )a+(ina&ia +( !(#n s& ca(san"s # $i%&aci-n n a*g(nos casos ca(sa#o !o& a*g(nos # *os *)n"os - !o& a*gn !&ocso= a*g(nos 8)!*os # $i%&aci-n ca(sa#a !o& *)n"os son: #s%a*anc &o"a"i$o2 co!*s )a* a*ina#os2 c'()ac&as #aa#as2 ng&ans #5c"(osos2 %an#as )a* a*ina#as2 n"& o"&os. Po& o"&o *a#o2 a*g(nos 8)!*os ca(sa#os !o& !&ocsos in#(s"&ia*s !(#n s&: !&ocsos # )a+(ina#o o # )á+(inas '&&a)in"as2 !&ocsos # 3"&(cci-n2 !&ocsos # cn"&i5(ga#o2 !&(%as )cánicas2 "c. P(s %in2 s"as $i%&acions !(#n i)!*ican !&o%*)as # #i5&n" 9n#o* co)o *o s: a< !7&#i#as con-)icas2 %< #aos n )a+(ina&ia2 c< con"a)inaci-n !o& &(i#o2 #< acci#n"s *a%o&a*s2 n"& o"&os. Es !o& so +( !a&a * %(n 5(nciona)in"o # *a )a+(ina&ia s &+(i& # (na cons"an" ins!cci-n !a&a $i"a& 5a**as n *a )is)a 4a +( !(#n ca(sa& !7&#i#as con-)icas a *a )!&sa inc*(so #aos 59sicos a *as !&sonas. o so4 * #oc"o& # s" 'os!i"a* 4 *as )a+(inas son )is !acin"s 5( *a 5&as (sa#a !o& (n co*ga # *a in#(s"&ia )in&a 4 con )ás # ;0 aos # 3!&incia in#(s"&ia* n * &a)o # *a $i%&acions )cánicas2 E* !o&+(7 (na )a+(ina "in ")!&a"(&a2 si (na )a+(ina $i%&a U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS !o& +(7 "in 5&9o2 si (na )a+(ina gn&a &(i#o !o& +(7 **o&a2 "c son a*g(nas 3!&sions (sa#as !o& s"a !&sona 4 +( #an (n !ano&a)a # *a i)!o&"ancia #* %(n )oni"o&o 4 5(nciona)in"o # *a )a+(ina&ia in#(s"&ia*. Uno # *as 5o&)as # )oni"o&a& * %(n 5(nciona)in"o 4 $i#a "i* # *as )á+(inas s !o& )#io #* aná*isis # $i%&aci-n2 s" consis" n "o)a& )#i#as # $i%&aci-n # *as )á+(inas 4 )#ian" * (so # g&á6cos 4o 3!&incia2 #"&)ina& *a $i#a "i* # *a )á+(ina o # (no # s(s *)n"os. Es"o con**$a a cons&$a& (n 'is"o&ia* g&á6co 4 %i"áco&a con * 6n # !&#ci& 5a**as 5("(&as 4 &a*i,a& *as accions co&&c"i$as co&&s!on#in"s. Po& o"&o *a#o2 (n 5n-)no %in conoci#o n * a)%in" # *as $i%&acions )cánicas 4 n * c(á* "o#o ingni&o #* &a)o # *a ingni&9a )cánica #%&9a !on& a"nci-n s * conoc co)o &sonancia2 s" 5n-)no s # g&an in"&7s n * s"(#io # *as $i%&acions )cánicas 4a +( 'a s"a#o &*aciona#o con #i5&n"s $n"os #s"&(c"i$os n *a 'is"o&ia # *a in#(s"&ia 4 s"&(c"(&as2 s" 'a si#o * ca(san" # !&o%*)as n s"&(c"(&as2 )á+(inas 4 con"a)inaci-n !o& &(i#o.
LAS VIBRACIONES MEC)NICAS COMO CIENCIA APLICADA Las $i%&acions )cánicas 'an !asa#o a s& #s# (na cincia !(&a 'as"a **ga& a (na cincia a!*ica#a !asan#o !o& * !&ocso "cno*-gico o "cno*og9a2 +(7 +(i& #ci& s"o2 !(s %in2 !&i)&o #6na)os a *a cincia co)o (n con8(n"o coo&#ina#o # 3!*icacions so%& * !o&+( # *os 5n-)nos +( o%s&$a)os o sa2 # *as ca(sas # sos 5n-)nos. Pa&a cons"&(i& *a cincia s in$s"igan *as ca(sas 4 #"&)ina s( o&#na)in"o. La cincia s *a a!*icaci-n #* **a)a#o )7"o#o cin"96co a *a in$s"igaci-n # a*gn sc"o& # *a &a*i#a#. La cincia "in co)o o%8"i$o c&a& conoci)in"o !a&a n"n#& * (ni$&so2 *a na"(&a*,a 4 !(%*ica& * conoci)in"o. La "cno*og9a s * con8(n"o # conoci)in"os2 "7cnicas 4 !&ocsos !a&a * #iso 4 cons"&(cci-n # o%8"os 4 "i*s +( si&$n !a&a sa"is5ac& *as ncsi#a#s # *a '()ani#a#. La "cno*og9a s !&ci% con *os sn"i#os2 s #ci&2 !o#)os o%s&$a&*a 4 $&*a2 a)%as.
U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS Sin )%a&go *a "cno*og9a 4 *a cincia2 ncsi"an # (n )7"o#o 3!&i)n"a* !a&a s& con6&)a#as 4 +( !(# s& #)os"&a%* !o& )#io # *a &!"ici-n2 sin )%a&go !o#)os #ci& +( 3is" (na "cno*og9a !a&a ca#a cincia2 s #ci&2 ca#a &a)a !os (n sis")a # "cno*og9a #i5&n"2 +( !&)i" (n )8o& #sa&&o**o !a&a ca#a (na # s"os. En "a* sn"i#o2 #%)os n"n#& * conc!"o Wcincia !(&aW2 co)o *a ac"i$i#a# # 'ac& cincia a* )a&gn # s( a!*icaci-n2 s #ci&2 c(an#o s &a*i,a *a in$s"igaci-n cin"96ca con * nico !&o!-si"o # !&o#(ci& conoci)in"o cin"96co. L(go2 *a con8(gaci-n # in"&ss socia*s2 con-)icos 4 !o*9"icos nc(n"&a a!*icaci-n a *os conoci)in"os a*can,a#os2 *o c(a* #a *(ga& a *a in$s"igaci-n "cno*-gica2 +( a s( $, #a o&ign a *a "cno*og9a2 +( s *a Wcincia a!*ica#aW. Es #ci&2 c(an#o *a cincia s(&" s( 5(nci-n !&ác"ica2 a* s&$icio # +(in *a !os 4 a* )a&gn # c(a*+(i& consi#&aci-n 7"ica2 s con$i&" n "cno*og9a. Es !(s *as $i%&acions )cánicas (na cincia a!*ica#a2 c*a&o +( si. An"s +( na#a 4 !a&a )!,a& &co&#)os +( g&an#s *os g&an#s cin"96cos +( &a*i,a&on 4 5o&)(*a&on conc!"os +( &ign 'o4 *as $i%&acions )cánicas s &igi&on %a8o "o#o (n !&ocso cin"96co2 s #ci&2 a!*ica%an *a cincia a "o#o *o +( !os"(*a%an. P&o a#)ás *as %ass o !&inci!ios %ásicos #* s"(#io # *a $i%&acions )cánicas c()!*n con * !&oc#i)in"o #* )7"o#o cin"96co2 !o& *o "an"o s (na cincia. P&o con *a a!a&ici-n # "cno*og9as +( 'an !&)i"i#o no "an so*o &5o&,a& a*g(nos conc!"os cin"96cos #* á&a # $i%&acions2 co)o !o& 8)!*o2 *os )o#os # $i%&a& *)n"os con"in(os2 sino +( a#)ás s"os conoci)in"os 'an si#o a!*ica#os )o$i#os !o& in"&ss socia*s2 con-)icos2 n"& o"&os2 !o& 8)!*o: •
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Msas $i%&a"o&ias %asa#os n * !&inci!io # *a 5&c(ncia na"(&a*. Ais*a#o&s # $i%&aci-n +( s %asan n * !&inci!io # sis")as # $a&ios g&a#os # *i%&"a#. Aná*isis # 5a**as n )a+(ina&ia %asa#o n * !&inci!io #* "o&)a # Fo(&i&. Ca*c(*o # 5&c(ncias na"(&a*s # a*g(nos *)n"os # )á+(inas %asa#os n c(acions # n&g9as. Página 11
VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS •
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E#i6cios +( so!o&"an "&&)o"os %asa#os n * !&inci!io # 5&c(ncias na"(&a*s 4 #* a)o&"ig(a)in"o. Es"(#ios c*9nicos %asa#os n * !&inci!io # &sonancia. So*(ci-n a a*g(nos !&o%*)as # )a+(ina&ia %asa#os n * !&inci!io #* i)!(*so - i)!ac"o.
Es !o& so +( 'o4 n #9a s"a cincia s nc(n"&a "an 5(n#a)n"a#a # )an&a +( co)!&n#: • • •
T)á"icas o&#na#as 4 co)!&nsi%*s. Mo#*os )a")á"icos &!&sn"a"i$os. So*(ci-n a !&o%*)as s"a%*ci#os.
@T)á"icas o&#na#as 4 co)!&nsi%*s E* s"(#io # *as $i%&acions )cánicas2 a* ig(a* +( o"&as cincias2 $a nca)ina#o #s# *o %ásico2 si)!* 'as"a *o co)!*8o2 *os ")as 3!(s"os !(#n c*asi6ca&s co)o")as: a< in"&o#(c"o&ios2 %< %ásico2 %< in"&)#io 4 c< a$an,a#o.
T)as in"&o#(c"o&ios. o
Es"a%*cn *os conc!"os 4 *a "&)ino*og9a gn&a* #*ca)!o # *as $i%&acions )cánicas 5o)n"an#o * in"&7s 4 *a i)!o&"ancia # s"a cincia. S #an *as %ass cin)á"icas 4 #iná)icas +( 5aci*i"an *a co)!&nsi-n # *os )o#*os 4 )7"o#os. S 3!*ican *os *)n"os +( 5o&)an (n sis")a $i%&a"o&io.
T)as %ásicos. o
S s"(#ian *os sis")as $i%&a"o&ios %asa#os n (n )o#*o # (n so*o g&a#o # *i%&"a# !a&a !+(as osci*acions= a#)ás s #6nn )7"o#os # aná*isis !a&a )o#*a& sis")as $i%&a"o&ios con s"as ca&ac"&9s"icas. Los ")as in$o*(c&a#os son: $i%&aci-n *i%& a)o&"ig(a#a 4 no a)o&"ig(a#a2 )7"o#os !a&a * cá*c(*o # 5&c(ncias na"(&a*s2 $i%&aci-n 5o&,a#a con 3ci"aci-n a&)-nica 4 !o& #s%a*anc 4 *a "&ans)isi%i*i#a# # $i%&aci-n.
T)as in"&)#ios. o
U.P.T.
A+(9 s s"(#ian *os sis")as # $a&ios g&a#os # *i%&"a# &!*an"an#o a*g(no # *os ")as %ásicos 4 #6nin#o Página 1;
VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS )7"o#os a#c(a#os !a&a s" "i!o # sis")as. Los ")as &*aciona#os con * con"&o* # $i%&acions 4 * aná*isis # $i%&aci-n son consi#&a#os.
T)as a$an,a#os. o
Es"os ")as co)!&n#n * s"(#io # *os sis")as no *ina*s # (no a $a&ios g&a#os # *i%&"a#2 )7"o#os )o#&nos # aná*isis co)o *)n"o 6ni"o 4 $a&ia%*s # s"a#o2 aná*isis )o#a* # *)n"os s"&(c"(&a*s2 $i%&aci-n n sis")as con"in(os2 "c.
*+UE SON VIBRACIONES, Una )an&a snci**a # #sc&i%i& *o +( s s" conc!"o s&9a: * )o$i)in"o con"in(o 4 &!"i"i$o # (n o%8"o a*&##o& # (na !osici-n # +(i*i%&io. La !osici-n # +(i*i%&io s a *a +( s **ga&á c(an#o *a 5(&,a +( ac"a so%& * o%8"o sa c&o. E* 5n-)no # $i%&aci-n s %n76co !a&a a*g(nas si"(acions co)o * caso #* 5(nciona)in"o # ins"&()n"os )(sica*s con c(&#as co)o *a g(i"a&&a 4a +( !o& )#io # s" s !&o#(c * soni#o 4 s 'ac "&a%a8a& #ic'o ins"&()n"o= sin )%a&go *a )a4o&9a # *as $cs s"o no &s(*"a #sa%* !(s n o"&os casos !o& * con"&a&io !&8(#ica sis")as **$án#o*os a !&#& !a&"s2 ao8a& (nions o inc*(so #snsa)%*a&s !o& ca(sa #* )is)o )o$i)in"o. Es" "i!o # $i%&aci-n s **a)a $i%&aci-n # c(&!o n"&o2 *o +( +(i& #ci& +( "o#as *as !a&"s #* c(&!o s )($n 8(n"as n *a )is)a #i&cci-n 4 n c(a*+(i& )o)n"o. E* )o$i)in"o $i%&a"o&io # (n c(&!o n"&o s !(# #sc&i%i& co)!*"a)n" co)o (na co)%inaci-n # )o$i)in"os in#i$i#(a*s # J "i!os #i5&n"s. Esos son "&as*acions n *as "&s #i&ccions o&"ogona*s 32 42 ,< 4 &o"acions a*&##o& # *os 8s 32 42 ,<2 c(a*+(i& )o$i)in"o co)!*8o +( * c(&!o !(#a &!&sn"a& s !(# #sco)!on& n (na co)%inaci-n # sos sis )o$i)in"os. D (n "a* c(&!o s #ic +( !os sis g&a#os # *i%&"a#. Es i)!o&"an" )nciona& +( !a&a !o#& n"n#& *o +( ocasionan *os #i5&n"s "i!os # $i%&acions s #% conoc& s(s co)!onn"s %ásicos +( son: s( )asa 4 s( 5(&,a &s"a(&a#o&a. O"&a )an&a # 3!*ica&*o s +( *os )o$i)in"os $i%&a"o&ios n )á+(inas s !&sn"an c(an#o so%& *as !i,as *ás"icas ac"an 5(&,as $a&ia%*s. Gn&a*)n" s"os )o$i)in"os son in#sa%*s2 a(n c(an#o n a*g(nos casos s #isan # )an&a #*i%&a#a n *a )á+(ina. U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS E* aná*isis # *as $i%&acions &+(i& * sig(in" !&ocso gn&a*: E$a*(a& *as )asas 4 *a *as"ici#a# # *as !i,as a s"(#io. • Ca*c(*a& *a can"i#a# # &o,a)in"o ac"(an". • I#a*i,a& * i)!*)n"o )cánico &a*2 &)!*a,án#o*o • !o& (n sis")a a!&o3i)a#a)n" +(i$a*n" # )asas2 &so&"s 4 a)o&"ig(a#o&s. Esc&i%i& *a c(aci-n #i5&ncia* # )o$i)in"o #* sis")a • i#a*i,a#o. Rso*$& *a c(aci-n in"&!&"a& *os &s(*"a#os. •
E* sis")a i#a* )ás snci**o consis" # (na )asa nica2 (n &so&" nico 4 (n a)o&"ig(a#o& co)o s )(s"&a n *a 6g(&a. Es" sis")a s #6n co)o (n sis")a # (n g&a#o # *i%&"a#.
D-ne: #: )asa /: cons"an" #* &so&" 5(&,a !o& (ni#a# # #5o&)aci-n< c: cons"an" # a)o&"ig(a)in"o 5(&,a !o& (ni#a# # $*oci#a#<. S s(!on +( * a)o&"ig(a)in"o s $iscoso2 s #ci&2 +( *a 5(&,a &sis"n" s !&o!o&ciona* a *a $*oci#a#. F 0t1: 5(&,a 3"&na2 5(nci-n #* "i)!o 2: #s!*a,a)in"o # *a )asa #s# *a !osici-n # +(i*i%&io s"á"ico K: #&i$a#as !&i)&a 4 sg(n#a &s!c"i$a)n" # 3 con &s!c"o a "
´ ´
´
m x + c x + kx = f ( t )
C(a*+(i& sis")a # (n so*o g&a#o # *i%&"a# !(# #sc&i%i&s !o& )#io # *a )is)a 5o&)a # c(aci-n #i5&ncia* sc&i"a U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS an"&io&)n"2 si *a 5(&,a #* &so&" s !&o!o&ciona* a* #s!*a,a)in"o 4 *a 5(&,a # &o,a)in"o s !&o!o&ciona* a *a $*oci#a#. Pa&a * sis")a gn&a* # (n so*o g&a#o # *i%&"a# !o#)os sc&i%i&: ´´
´
me x + ce x + k e x = f ( t )
Don# )2c2 son *a )asa +(i$a*n"2 *a cons"an" # a)o&"ig(a)in"o +(i$a*n" 4 *a cons"an" #* &so&" +(i$a*n"2 &s!c"i$a)n". E* #s!*a,a)in"o K !(# s& *ina* o ang(*a&. E8)!*o:
Grao
e !3erta:
S !(# #6ni& co)o * g&a#o # *i%&"a# a *as $a&ia%*s ncsa&ias 4 s(6cin"s !a&a s!ci6ca& *a !osici-n # (n sis")a )cánico. En gn&a* s c*asi6can *as $i%&acions co)o:
En genera "e ca"!4can a" 5!3rac!one" co#o:
U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS
Co)o #i8i)os an"&io&)n" (na $i%&aci-n s !&o#(c c(an#o * sis")a n c(s"i-n s #s!*a,a#o #s# (na !osici-n # +(i*i%&io s"a%*2 * sis")a "in# a &"o&na& a #ic'a !osici-n2 %a8o *a acci-n # 5(&,as # &s"i"(ci-n *ás"icas o g&a$i"aciona*s2 )o$i7n#os # (n *a#o a o"&o 'as"a a*can,a& s( !osici-n # +(i*i%&io .E* in"&$a*o # "i)!o ncsa&io !a&a +( * sis")a 5c"(7 (n cic*o co)!*"o # )o$i)in"o s **a)a !&io#o # $i%&aci-n2 * n)&o # cic*os !o& (ni#a# # "i)!o #6n 5&c(ncia 4 * #s!*a,a)in"o )á3i)o #* sis")a #s# s( !osici-n # +(i*i%&io s #no)ina a)!*i"(# # $i%&aci-n. Los sis")as osci*a"o&ios !(#n c*asi6ca&s n *ina*s o no *ina*s. Pa&a *os sis")as *ina*s &ig * !&inci!io # s(!&!osici-n 4 *as "7cnicas )a")á"icas !a&a s( co)!o&"a)in"o s"án %in #sa&&o**a#as L4 # oo<. Po& * con"&a&io *as "7cnicas !a&a * aná*isis # *os sis")as no *ina*s son )ás co)!*ica#as 4 !oco conoci#as.
6. VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS Las $i%&acions 5o&,a#as co)o * )is)o "7&)ino )nciona s &6&n a +( 5(&,as 3"&nas son *as &s!onsa%*s # *as $i%&acions +( s !&o#(cn n * sis")a. A*g(nas ca&ac"&9s"icas # s" "i!o # $i%&acions son: @co)!nsaci-n # !7&#i#a # n&g9a # *a osci*aci-n a)o&"ig(a#a @5(&,as 3"&nas A* ig(a* +( *as $i%&acions *i%&s2 *as $i%&acions 5o&,a#as s #i$i#n n: • •
U.P.T.
A)o&"ig(a#as No a)o&"ig(a#as
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS
V!3rac!one" For$aa" e un "!"te#a "!n A#ort!gua#!ento:
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS To)an#o n c(n"a *a c(aci-n !&inci!a* # *as $i%&acions 5o&,a#as # sis")as a)o&"ig(a#os !o#)os ##(ci& "a)%i7n +( La c(aci-n #i5&ncia* +( #sc&i% * )o$i)in"o #* sis")a s:
D-ne:
a"< - 5)< s *a 5(nci-n # 3ci"aci-n
Pa&a !o#& &so*$& *a c(aci-n !&inci!a* s ncsi"a "n& *as so*(cions 'o)og7na 4 !a&"ic(*a& #:
7 78 ; 79 La so*(ci-n 'o)og7na 78 s *a so*(ci-n gn&a* # *a c(aci-n !&inci!a* 4 !a&a &so*$&*a s #% ig(a*a& a c&o * sg(n#o )i)%&o. La so*(ci-n !a&"ic(*a& 79 s (na so*(ci-n +( c(aci-n !&inci!a*.
sa"is5ac
*a
Pa&a 'ac& )ás 3!*9ci"o *o an"&io& !o#)os consi#&a& (n !&oc#i)in"o # *a sig(in" )an&a:
S!#9!4cano ecuac!one" !n!c!ae" Pa&a si)!*i6ca& *as con#icions inicia*s 'ac)os:
La "ouc!-n genera
Consi#&an#o *a c(aci-n 'o)og7na asocia#a: S( so*(ci-n s:
Souc!-n 9art!cuar Si *a 5(&,a 3"&na s (na 5(nci-n # a)%as $a&ia%*s s!acia* 4 ")!o&a*<2 * aná*isis )a")á"ico #* !&o%*)a s "o&na co)!*8o n gn&a*2 4a +( &s(*"a&9a (n !&o%*)a no *ina* o # co6cin"s $a&ia%*s. E8)!*os # s"o son: U.P.T.
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS a< 542"< X Fo 4 " %< 542"< X Fo 4; sn
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c< 542"< X Fo 4; En * caso a< s "in (na c(aci-n #i5&ncia* con co6cin"s $a&ia%*s2 n %< *a c(aci-n s no *ina* con co6cin"s $a&ia%*s 4 n c< s no *ina*.
<. APLICACIONES A LA INGENIERIA CIVIL
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VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS J.
CONCLUCIONES E* Ingni&o #% s& ca!a, # "&a%a8a& so%& $i%&acions2 ca*c(*a&*as2 )#i&*as2 ana*i,a& * o&ign # **as 4 a!*ica& co&&c"i$os. ac )ás o )nos 0 aos2 *a ")á"ica # $i%&acions )cánicas s cons"i"(4- n !a&" in"g&a* # *a 5o&)aci-n # ingni&os )cánicos n *os !a9ss in#(s"&ia*i,a#os. E* 5n-)no # *as $i%&acions )cánicas #% s& "ni#o n c(n"a !a&a * #iso2 *a !&o#(cci-n 4 * )!*o # )a+(ina&ia 4 +(i!os # a("o)a"i,aci-n. As9 *o 3ig (n &á!i#o #sa&&o**o "cno*-gico #* !a9s. A(n+( s" a&"9c(*o s n5oca 'acia *as $i%&acions n sis")as )cánicos2 * "3"o 4 *os )7"o#os ana*9"icos )!*a#os son co)!a"i%*s con * s"(#io # $i%&acions n sis")as no )cánicos. Las $i%&acions )cánicas !(#n c*asi6ca&s #s# #i5&n"s !(n"os # $is"as #!n#in#o #: a< *a 3ci"aci-n2 %< *a #isi!aci-n # n&g9a2 c< *a *ina*i#a# # *os *)n"os 4 *as ca&ac"&9s"icas # *a sa*. D!n#in#o # *a 3ci"aci-n Vi%&aci-n Fo&,a#a Vi%&aci-n *i%& Una Vi%&aci-n *i%& s c(an#o (n sis")a $i%&a #%i#o a (na 3ci"aci-n #* "i!o ins"an"ána2 )in"&as +( *a $i%&aci-n 5o&,a#a s #% a (na 3ci"aci-n #* "i!o !&)ann". Es"a i)!o&"an" c*asi6caci-n nos #ic +( (n sis")a $i%&a *i%&)n" si so*o 3is"n con#icions inicia*s #* )o$i)in"o2 4a sa +( s()inis"&)os *a n&g9a !o& )#io # (n i)!(*so n&g9a cin7"ica< o #%i#o a +( !os n&g9a !o"ncia*2 !o& 8)!*o #5o&)aci-n inicia* # (n &so&".
=. BIBLIOGRAFIA •
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'""!:oc.(!).singni&ia@ag&o5o&s"a*6sica@a!*ica#a@a@*a@ ingni&iacon"ni#os")a@$i%&acions!&o%*)as@so*(cion.!#5 '""!:.)onog&a6as.co)"&a%a8os1$i%&acions$i%&acions.s'") *YLIBRE '""!:oc.(!).singni&ia@ag&o5o&s"a*6sica@a!*ica#a@a@*a@ ingni&iacon"ni#os")a@$i%&acions!&o%*)as@so*(cion.!#5 '""!:%oo%&os.co)")a@1@$i%&acions@)canicas@!a&"@i@!#5@ #;>0//
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