FISICA II
VIBRACIONES FORZADAS PRESENTADO POR OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM 2010
OBJETIVOS
Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz de
Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento
Resolver ejercicios y problemas de vibraciones forzadas
Comprender el efecto de resonancia
II. INTRODUCCIÓN •
Hemos visto que la energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa.
•
Es posible compensar la pérdida de energía aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema.
•
En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.
•
Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse e movimiento por medio de impulsos sincronizados de manera apropiada.
•
La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que pierde por la fricción
II. INTRODUCCIÓN •
Existen varios tipos de vibraciones forzadas, destacando las siguientes: (a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Aquellas vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningún tipo pero son producidas por fuerzas externas (b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento. Aquellas vibraciones producidas o fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Fuerza armónica de excitación .
Consideremos una partícula de masa m unida a un k yy a la cual se aplica una resorte ideal de rigidez k fuerza externa F externa F = F o t ) tal como se muestra o Sen ( t en la figura. Donde Fo es la amplitud de la vibración armónica y es la frecuencia de la vibración externa
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Fuerza armónica de excitación .
Aplicando las segunda ley de Newton se tiene
F
x
max
F0 sen t kx mx mx kx F0 sen t (1)*
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Fuerza armónica de excitación .
La ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: i) una solución complementaria; y ii) una solución particular .
La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación y resolviendo la ecuación homogénea, es decir.
mx kx 0
(2)
La solución de esta ecuación es de la forma
x
xm sen(n t )
(3)
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Fuerza armónica de excitación .
Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma
xP Bsen t
(4)
Determinando dos veces esta ecuación y remplazando en la ecuación (1) se tiene
B Bm m se sen nt k bse sen nt F0se sen nt 2
Despejando el valor de la constante B resulta
F0 / m F0 / k B 2 k 2 1 ( ) m
(5)*
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO
Fuerza armónica de excitación .
Remplazando (5) en (4) resulta F0 / k xP sen t (6) 2
1 n
La solución general será x xC xP Asen nt
F0 / k
1 n
2
sen t
(7)
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Fuerza armónica de excitación . De la ecuación (7) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωn figura a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura c.
III.
VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO
Factor de amplificación En la ecuación (6) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática. MF
( xP ) max
F0 / k
1
1 n
2
De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es /n =1 . El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Desplazamiento excitador periódico
Las vibraciones forzadas forzadas también pueden surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura, representa la vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ0senωt.
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Desplazamiento excitador periódico
•
En la figura, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento general del resorte será (x –δ0senωt)
III. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Desplazamiento excitador periódico •
Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tiene F x max
k x 0 sen t mx mx kx k 0 sen t
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =P0senΩ, tal como se muestra en la figura.
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.
F
x
max
P0 sent kx cx mx mx cx kx P0 sent
(1)
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
La ecuación diferencial (1)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una solución complementaria y una solución particular . La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total se escribe x(t ) xC (t ) xP (t ) (2)
La solución complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. Así si el movimiento es subamortiguado
x
t
x0e
Sen
t
d
(3)
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
La solución complementaria estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada por
xP xm sen t
(4)
Derivando esta ecuación se obtiene
xP xm cos t xP xm sen t 2
(5) (6)
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Remplazando (4), (5) y (6), resulta
m2 xm sen t cxm cos t kxm sen t P0 sent
Haciendo (Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y /2 /2,, resulta
cxm P0 sen (7)
k m x 2
m
P0 cos (8)
Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores y sumándolos, resulta
k m
2
2
2 2 c xm P0 2
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
De la ecuación se obtiene la amplitud la misma que está dada por
xm
P0
k m 2
2
c
El desfasaje está dado por
tg
c k m
2
2
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe P0 x sen se n t 2 2 2 k m c Pero la frecuencia natural está dada por, = k/m , y el valor del coeficiente crítico de amortiguamiento es ccr = 2mωn, el factor de amplificación será
MF
xm P0 / k
1
2
1 / n 2 c / ccr / n
tg
2
2
2 c / ccr / n 1 / n
2
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
En la figura, se muestra el factor de amplificación en función de la razón de frecuencias para distintos valores de la razón de amortiguamiento.
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
IV. VIBRACIONES FORZADAS PARA MOVIMIENTO DE ROTORES DESEQUILIBRADOS
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: Resonancia
IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: Resonancia
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Un bloque que tiene un peso W = 20 lb es unido a un resorte de constante k = 20 lb/pie. lb/pie. Si una fuerza F = Fo Cos t es aplicada al bloque, t determine la máxima velocidad del bloque para oscilaciones pequeñas. Desprecie la fricción si Fo = 6 lb y = 2 rad/s y g = 32,2 pies/s
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Un bloque que tiene una masa m es unido a un resorte de constante k . Si una fuerza F = Fo Cos t es t aplicada al bloque, determine la ecuación diferencial de las vibraciones. ¿Cuál será la solución general de esta ecuación
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Un bloque de 5 kg está suspendido de un resorte de constante k = 400 N/m. Si el resorte se somete a una fuerza vertical dada por F = [5 sen8t] N, donde t se mide en segundos. Determine la ecuación que describe el movimiento del bloque cuando este se jala hacia abajo 100 mm a partir de la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo en t = 0
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Una esfera de 25 lb de peso está fija a una barra que pesa 50 lb. La barra se encuentra sometida a la acción de una fuerza periódica F = [100 sen15t] lb como se muestra en la figura. Determine la amplitud de la vibración de estado estacionario de la esfera. Desprecie el tamaño de la esfera.
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN La barra uniforme de masa m y longitud L tiene un eje de oscilación en su centro. El resorte de constante k de la izquierda está sujeto a una superficie inmóvil, pero el de la derecha también de constante k, lo está a un soporte sometido a un movimiento armónico dado por y B B = b Sen t. t. Determine la pulsación excitadora de resonancia
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Dos barras uniformes iguales cada una de masa m están soldadas formando un ángulo recto y están suspendidas, tal como se muestra, de un eje horizontal que pasa por O: hallar la pulsación excitadora crítica ωC del bloque B capaz de producir en el sistema unas oscilaciones de amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es m.
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Dos esferas de 2 kg de masa cada una están soldadas a una barra ligera que está articulada en el punto B. Una segunda barra ligera AC está soldada a la anterior. Se aplica una perturbación en el punto A igual a F=F0 Senωt. En el otro extremo C, se encuentra un muelle que cuando AC está horizontal no presenta deformación. Si la amplitud de la rotación estacionaria del sistema se mantiene por debajo de 20.10-3 rad, ¿Qué rango de frecuencias ω está permitido?. Utilizar los siguientes datos: L= 300 mm; K = 7000N/m; a = 100 mm.
F 0 = 10 N;
Solución •
En la figura se muestra el DCL para un
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Hallar la amplitud X del movimiento estacionario de la masa de 10 kg si (a) c = 500 N.s/m y (b) c = 0.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN EL elemento de fijación B recibe un movimiento horizontal xB = b cos ωt. Deducir la Ecuación diferencial del movimiento de la masa m y definir la pulsación crítica ωC para la cual las oscilaciones de la masa se hacen excesivamente amplias.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN El bloque de 20 kg está sometido a la fuerza armónica F = (90 Cos6t) N . Escriba la ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque. Considere que k = 400 N/m y c = 125 N.s/m
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN Los dos bloques mostrados en la figura pende, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si se aplica al punto D de la barra una fuerza P(t) = 20 sen( Ωt), determine la máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de 50 N.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN El bloque que pesa 12 N se desliza por una superficie sin fricción tal como se indica en la figura. El resorte tiene una longitud natural cuando la barra AB está vertical y BC horizontal. Las masas de las barras son despreciables. Suponiendo pequeñas oscilaciones, determine: (a) El dominio de pulsaciones para el cual el movimiento angular estacionario de la barra AB es inferior a 5o (b) La posición del bloque en función del tiempo si se desplaza 5 cm hacia la derecha y se suelta a partir del reposo cuando t = 0 y = 25 rad/s.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN El motor de 3 kg descansa sobre un resorte (k = 150 kN/m) y un amortiguador (c = 120 N. s/m) según se indica en la figura. En el borde de la polea del motor (e = 25 cm) está fija una pequeña masa (m = 0,5 kg). Determine la máxima amplitud de la vibración forzada resultante del motor.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Las dos masas de la figura se deslizan por superficies horizontales lisas. La barra ABC es de masa despreciable y está vertical en la posición de equilibrio. Si al punto D de la barra se aplica una fuerza P(t) = [50 senΩt] N, determine la máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de 10 kg. kg.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN El sistema representado en la figura se ajusta para que se encuentre en equilibrio cuando AB esté horizontal y x E sea igual a cero. La masa del cuerpo B es 25 kg, la constante del resorte es 1200 N/m y el valor del coeficiente de amortiguamiento es c = 300 N.s/m. La posición del punto E varía de acuerdo con la ecuación x E =0,125 sen 5t, donde x E y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la amplitud del movimiento de B y su velocidad máxima.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN •
Los dos bloques de la figura penden, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si a = 15 cm y se suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento crítico
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN •
•
El movimiento del bloque E de la figura es armónico y lo define la ecuación y E =0,15 sen10t, donde y E y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. La constante de R 1 es 150 N/m y la constante de R 2 es 250 N/m . Se considera despreciable la masa de las barras que soportan al cuerpo W de 15 kg. Halle la solución estable que describe el movimiento del sistema.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN •
•
La polea cilíndrica maciza y homogénea tiene una masa m1 y un radio r. Si el punto de fijación B está sometido al desplazamiento armónico indicado, escribir la ecuación diferencial del movimiento del sistema en función de la variable x . La cuerda que enlaza la masa m2 al resorte superior no resbala en la polea.
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