VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS LA RESPUESTA DE UN SISTEMA VIBRATORIO SOMETIDO A LA ACCION DE UNA FUERZA PERIODICA
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD CON VIBRACION FORZADA
• Es la solución particular a la función forzada. forzada. Llamada de estado estacionario, porque permanece a lo largo del tiempo, aun cuando la vibración transitoria desaparece. constantes No contiene constantes arbitrarias
• Es la función complementaria Llamada transitoria porque en presencia de amortiguación va desapareciendo. constantes arbitrarias Tiene dos constantes La solución ya fue estudiada
Los métodos para la obtención de la respuesta del estado estacionario para ambos sistemas forzado no amortiguado y amortiguado se
Ecuación diferencial de movimiento Ecuación diferencial de segundo orden no homogénea Función complementaria
ℎ
Particular Integral
La función complementarias es la solución de la ecuación homogénea
ℎ :También llamada solución Transitoria
:solución de estado estacionario
VIBRACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA
Amplitud de la fuerza La función armónica tiene un período que se calcula según la expresión
Frecuencia de la fuerza armónica Función Armónica
Ecuación diferencial de un sistema de un grado de libertad con vibración forzada no amortiguada
Se determinan usando la solución completa y a partir de las condiciones iniciales
Proporcionalidad de frecuencia
Factor de magnificación, que depende de la frecuencia
∞
r=1
Resonancia
Solución completa
Constantes arbitrarias
Derivando respecto al tiempo Combinando las ec. del desplazamiento y velocidad para t=o Condiciones iniciales
Forma alternativa de
Constantes que dependen de las condiciones iniciales Sustituyendo en la forma alternativa de la diapositiva anterior
Datos: M=5 kg
k=2500 N/m 0 =10 N =18 rad/s condiciones iniciales de la masa
Determine el desplazamiento de la masa a t=1 s
Ecuación de estado Solución
Sumando las ecuaciones complementaria y particular
Según dato y los valores encontrados
Dividiendo ambas ecuaciones
Amplitud
Desplazamiento para t=1
Desplazamiento
La barra delgada uniforme que se muestra en la Fig . tiene una longitud I y masa m, se sostiene en el punto 0 y está conectada a un resorte lineal que tiene un coeficiente de rigidez k. Si la barra se somete al momento M = Mo sen Wft , obtener la respuesta en estado estacionario de este sistema.
Oscilación angular
Para resolver el problema asumimos unas oscilaciones pequeñas Ecuación lineal diferencial del movimiento
Frecuencia circular
Respuesta al estado estacionario
Donde
También llamado relación de amplitudes, porque a mayor frecuencia menor amplitud y viceversa
RESONANCIA
0 0
r(
f
,
n)
:=
f
( r )
n r
:=
:=
f
<
<
n
<
<
4
4
1
(1
-
)
2
r
0 , 0.001 .. 5
10
7.143
s
4.286
e d ut li p
1.429
a
m
( r )
n
d
e
0 -
1.429
-
4.286
-
7.143
0.571
1.143
1.714
2.286
2.857
o ar
z
-
10 r
razon de frecuencia traza 1
3.429
4
ANALISIS
A frecuencias bajas cercanas a cero, la amplitud del movimiento es aproximadamente igual a F1 / k que es la deformación que el sistema elástico tendría si F1 fuera una fuerza estática, esta amplitud se denomina también st. Incrementando la f llegamos a un punto en que la frecuencia forzante y la frecuencia natural son casi iguales y se obtienen amplitudes de vibración muy grandes y destructivas, a partir de fuerzas que pueden ser pequeñas. La condición f = n en la que la relación de amplitudes es infinita se conoce como resonancia. A altas frecuencias cuando terminan tendiendo a 0.
f n
las amplitudes se reducen cada vez más y
Para el sistema masa resorte mostrado en la figura, m=10kg, k=400 N/m, F0=40 N, =20 rad/s. Las condiciones iniciales son: 0 = 0.02 m y 0 =0 Determine el desplazamiento de la masa después de t=0.5 s y para t= 1s Solución
Resonancia es un caso especial por lo que tiene una ecuación de estado estacionario diferente.
VIBRACIÓN CAUSADA POR FUERZAS EN ROTACIÓN NO EQUILIBRADAS Una fuente obvia de vibración forzada, la constituye el desequilibrio de partes en rotación, por ejemplo turbinas, ventiladores, etc. Si el centro de gravedad de una masa mo no equilibrada tiene una excentricidad radial, a partir del eje geométrico de rotación, e, la fuerza externa es una fuerza centrífuga F(t) = mo e 2 sin( t). mo e w^2
e
mo
m kx
La figura muestra una masa no equilibrada mo girando alrededor de un eje geométrico en O. Toda la masa m, que incluye el rotor está restringida a moverse verticalmente. Se ignora el movimiento lateral. Si éste se hallara presente, añadiríamos un grado de libertad al sistema
La ecuación diferencial es: ∗ + ∗ = 0 ∗ e ∗ 2 *sin( ∗ )
El desplazamiento de estado estable toma la forma de: =
∗∗
*sin ∗
− ) ∗(
Redisponiendo términos, se puede expresar el desplazamiento máximo como: ∗∗ =∗( − )
∗ ∗
=
=
1− 3
1−
m*X /mo*e, es la relación d e amplific ación del sistema
∗ ∗
=
1− 3
la zona de trabajo es antes de la resonancia
la zona de trabajo es antes de la resonancia
Frecuencia natural: 680,557 rpm Desbalance: 8,526 x 10^-3 Masa efectiva: 117,288 m^-1
m/moe=1/desbalance
Empeoraron las condiciones, es necesario aumentar la
Fuerza de transmisión
INTRODUCCION Ya se han estudiado dos métodos para controlar las vibraciones:
El conocimiento y control de las frecuencias naturales del sistema para evitar la presencia de resonancias bajo la acción de excitaciones externas. La introducción de amortiguamiento o de cualquier tipo de mecanismo disipador de energía para prevenir una respuesta del sistema excesiva (vibraciones de gran amplitud), incluso en el caso de que se produzca una resonancia.
La transmisibilidad tiene su fundamento en: • El uso de elementos aislantes de vibraciones que reduzcan la transmisión de las fuerzas de excitación o de las propias vibraciones entre las diferentes partes que constituyen el sistema • La incorporación de absorbedores dinámicos de vibraciones o masas auxiliares neutralizadoras de vibraciones, llamados también amortiguadores dinámicos, con el objetivo de reducir la respuesta del sistema.
AISLAMIENTO DE VIBRACIONES
Introducción de un elemento elástico (aislante) entre la masa vibrante y la fuente de vibración
CONTROL ACTIVO
CONTROL PASIVO
CONTROL PASIVO:
Incorpora un elástico que (incorpora una rigidez) Y un elemento disipador de energía (que aporta un amortiguamiento). Ej. Un muelle metálico, un corcho, un fieltro, un resorte neumático, un elastómero
CONTROL ACTIVO
Formado por un servomecanismo, que incluye un sensor, un procesador de señal y un actuador. El control mantiene constante una distancia entre la masa vibrante y un plano de referencia Cuando la fuerza aplicada al sistema varía esa distancia, el sensor lo detecta y genera una señal proporcional a la magnitud de la excitación (o de la respuesta) del sistema. Esta señal llega al procesador que envía una orden al actuador para que desarrolle un movimiento o fuerza proporcional a dicha señal.
La efectividad de un aislante de vibraciones se establece en términos de su transmisibilidad. La TRANSMISIBILIDAD (Tr) puede definirse como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida y la de la fuerza de excitación. Los problemas principales que el aislamiento de vibraciones plantea, pueden encuadrarse dentro de una de estas dos situaciones:
Aislar un sistema que vibra, de la base que lo soporta para que ésta no sufra y/o no transmita la vibración a su entorno
Aislar el sistema mecánico a estudiar, de la base que lo soporta y que está vibrando (excitaciones sísmicas)
FUERZAS TRANSMITIDAS Y AISLAMIENTO DE VIBRACION
Es lógico que no se puede permitir el funcionamiento de ningún equipo en o cerca de la resonancia. Es importante la cuestión de qué cual debe ser la n de un sistema para que sea segura la operación. La fuerza perturbadora de características dinámicas puede ser transmitida a través de los resortes al piso, solamente si el resorte se ha extendido o acortado: La transmisibilidad (Tr) puede definirse como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida y la amplitud de la fuerza de excitación.
TRANSMISIBILIDAD
=
∗
=
∗
∗∗
1
= 1−
Claramente podemos distinguir que la fuerza transmitida es menor
Que la fuerza perturbadora solo cuando:
Esto significa que, para una operación suave, la frecuencia natural de la estructura de soporte debe ser considerablemente más baja que la frecuencia de excitación.
Para seleccionar adecuadamente un aislamiento para instalar un equipo industrial, podemos regirnos a las siguientes recomendaciones:
Transm isibilidad recomend ada en %
Velocid ad de operación (RPM) 300
Pis o d e Sótan o
500
28 %
13 %
9%
7%
800
28 %
10 %
6%
4%
1200 1800
14 % 12 %
5% 3%
3% 1%
2.5 % 1%
3600
10 %
1%
0.3 %
0.2%
7200
2%
0.3 %
0.085 %
0.068%
35 %
Pis o d e Piso superior Piso de m adera Ho rm ig ón rígi do d e e d i f i c i o s d e Hormigón ligero 15 % 13 % 10 %
Nota : En áreas críticas como oficinas, escuelas, hospitales la transmisibilidad no debe superar el 5 %
De la expresión siguiente podemos determinar el estático que puede soportar el aislador 1
%= 1−
∗ ∗ 6 ∗ ∆
A ISL ADORES DE VIB RA CIÓN A USA RSE DE A CUERDO A L A DEFEL EXION ESTATICA ENCONTRADA G RU PO S A
Hasta 1.6 mm, se sugiere usar corcho, caucho, fieltro, almohadilla de plomo asbesto o fibra de vidrio
B
Hasta 6.35 mm, se sugiere usar capas de planchas de neopreno, planchas gruesas de fieltro o corcho
C
Hasta 38 mm, se recomienda usar resortes de acero o capas múltiples de caucho o neopreno
D
Hasta 355 mm, se deben usar resortes de acero en espiral o en hojas
*100
Ejercicio de Aplicación: Hallar la deformación estática que deberían tener los resortes que soportan un compresor de 1800 rpm que se encuentra en un segundo piso.
T IP OS D E A IS L A DO RE S S EG ÚN D EF L EX IÓN E STA TI CA
Durante la instalación de un motor de 60 ciclos con masa de 200 kg se determina por medio de un nivel, que la deformación del piso bajo el motor es de 0.13 mm. Si la velocidad nominal de velocidad de inducción es de 1800 rpm, recomendaría un aislamiento contra vibración?
ANALISIS ARMÓNICO • Existen casos en que la función o perturbación externa, es periódica pero no armónica simple. Como sería el caso por ejemplo de las fuerzas, torques de sacudimiento o fuerzas explosivas en un motor de combustión interna, o las fuerzas de sacudimiento que se sienten en cualquier máquina compuesta de eslabonamientos.
Si el movimiento o función forzante es periódico, siempre podremos representar la función por una Serie de Fourier de las funciones de tiempo seno y coseno, cada una representativa de cierto múltiplo de la función fundamental. En un sistema lineal, cada armónica actúa entonces como si estuviera excitando por sí sola al sistema de masa y resorte, y la respuesta del sistema será la suma total de las excitaciones de todas las armónicas. Una serie de Fourier se puede escribir
La función y (ωt) puede representar una fuerza o un desplazamiento. La frecuencia fundamental es ω
se conoce entonces como la función forzante fundamental
. La
frecuencia de la tercera armónica es 3ω
Es la tercera armónica Así sucesivamente
La frecuencia de la segunda armónica es 2ω
es la segunda armónica
Para determinar la respuesta dinámica de un sistema sometido a una función periódica pero no armónica deberemos, entonces obtener la serie de Fourier de la función, para lo cual debemos determinar:
La magnitud del termino ½ A0 es el valor promedio de “y (ω t)” a través de todo el periodo.
Los coeficientes armónicos An y Bn ya sea por integración cuando las funciones son simples o en forma numérica para funciones complejas. Para el periodo de ω t = 0 a ω t = 2 π,
Aplicando el análisis de Fourier sobre la función forzante, y conociendo la respuesta del sistema a la perturbación senoidal, se puede obtener la respuesta total de todas las armónicas, sumando las respuestas individuales para cada armónica.
=
Aquí se utiliza el ángulo de fase α en lugar de ambos términos seno y coseno
aclaración
Resolviendo término a término la respuesta de estado estable a la excitación será:
La ecuación diferencial para un sistema masa resorte de un grado de libertad se plantearía como: la respuesta de estado estable a la excitación
será, similarmente
En forma general, la respuesta en estado estable a la excitación
será:
La respuesta total del sistema de grado único de libertad será x = x1 + x2 +x3 +….+ xn O:
Es claro que la armónica más cercana a la frecuencia natural del sistema, influirá desproporcionadamente en la respuesta de éste.
SOLUCIONES NUMERICAS PARA COEFICIENTES ARMONICOS
En la mayor parte de los casos es imposible la integración directa de una función periódica. Por cálculo manual, el análisis armónico es difícil y consume mucho tiempo, si se requiere obtener más de la tercera armónica. Con el advenimiento de las computadoras y software apropiado se puede obtener
Un método es dividir una función periódica cualquiera en partes iguales. La función y (ω t) se repite después de un periodo τ. Este periodo se divide en N partes iguales, τ/N = Δt, y ω τ / N = Δ ω τ. Reemplazamos entonces las integrales An y Bn por la sumas finitas:
Para entender el método vamos a diseñar un programa en MathCAD que nos permita hacer el análisis armónico de la función periódica triangular, que se repite cada dos segundos En primer lugar dividimos en 100 o cualquier número de segmentos
El diferencial de tiempo es 0.02 segundos :
El valor A0 es el valor promedio de la función
La tercera armónica es
Y su gráfico respectivo:
La expresión aproximada es, por tanto:
Como vemos los términos senos están ausentes debido a que la forma de onda es una función par.
Lo mismo se puede conseguir usando una serie truncada específica para representar F (ω t). Por ejemplo podemos usar la serie :
Puesto que esta serie usa 6 términos, dividiremos en 6 partes el eje de las abscisas. Y luego con los respectivos valores de f (t), plantearemos un sistema de 6 ecuaciones, para resolver ½ A0, A1, A2, A3, B1, B2 , Los ángulos que se usaran serán términos de π / 3. Las ecuaciones pueden resolverse de cualquier manera, pero los métodos matriciales simplifican la solución.