1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 1. Dada la dirección de los vectores que se indican en la figura 32, ¿cuál podría ser la dirección del vector A 2B C ?
B
A
a)
C
b)
c)
d)
e)
Figura 32
2. Para los vectores u , v y w de la figura 33, ¿cuál de los siguientes vectores representa mejor al vector u 2 v
w 4
?
u w v
a)
b)
c)
d)
e)
Figura 33 3. Sean los vectores A y B no nulos, entonces el vector C A B está representado por: B
A
a)
b)
c)
Figura 34
d)
e)
4. Para los vectores mostrados en la figura 35, la opción que mejor representa la dirección del vector X Y Z es:
X
Z
Y
a)
b)
c)
d)
e)
Figura 35 5. Del diagrama de vectores mostrados, indique cuál de las ecuaciones vectoriales es falsa. a) a – g – f = 0 b) b + h + g = 0 c) i = e + d d) i + c = – h e) f + e + d – a – b – c = 0
e
d i
f
g
a
h
c
b
Figura 36 6. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para el diagrama vectorial mostrado? a) c = a + b b) c = d + f + g + i c) c = d + h + i d) h = i + c + d e) a – e + f = i + c
d
b
c
f
h
e
a
g
i
Figura 37 B
F
7. A partir del diagrama de vectores adjunto y dado que A = B y C =D. Encuentre el vector resultante. a) A b) B c) F d) D e) C
D
E C
A
Figura 38
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
8. Los vectores mostrados en la figura 40 tienen igual magnitud. La magnitud del vector suma resultante es:
Figura 40 (A) 0
(B) 2
(C) 5
(D) 7
(E) 10
Tomado de la Olimpiada de Física de Colombia del 21 de septiembre de 1993
9. Sobre los lados de un hexágono regular de lado L se encuentran vectores como se indica en la figura 41. La magnitud del vector suma resultante es:
Figura 41 (A) L
(B) 2L
(C) 3L
(D) 4L
(E) 6L
Tomado de la Olimpiada de Física de Colombia del 22 de septiembre de 1992
10. Si se suman los cuatro vectores de la figura 42, la magnitud del vector resultante es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
Figura 42 11. Tomando el lado de una cuadrícula como unidad, la suma de los vectores de la figura 43 tiene un valor igual: a) 0 b) 2 c) 10 d) 20 e) 28
Figura 43
1.2. Ley del Seno y del Coseno EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2 La siguiente información está dada para los siguientes cuatro ejercicios: P es un vector de 20 unidades en dirección este y Q un vector de 15 unidades en dirección 60º al norte del este. 1. La magnitud del vector P Q es: a) 35.0 unidades. b) 30.4 unidades. c) 25.0 unidades. d) 18.0 unidades. e) 5.00 unidades. 2. La dirección del vector P Q es: a) Al norte. b) Al este. c) Al noreste. d) 25.3º al norte del este. e) 25.3º al este del norte. 3. La magnitud del vector P Q es: a) 35.0 unidades. b) 30.4 unidades. d) 18.0 unidades. e) 5.00 unidades.
c) 25.0 unidades.
4. La dirección del vector P Q es: a) Al sur b) 46.2º al sur del este. c) 46.2º al este del sur. d) 60º al sur del este. e) 60º al este del sur. 5. La magnitud de la suma entre los vectores A y B del gráfico está dada por R 2 A2 B 2 2 ABCos . a) Verdadero. b) Falso.
A
B
Figura 83
6. El teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley del coseno. a) Verdadero. b) Falso. 7. Para
el
diagrama
mostrado C A2 B 2 2 AB cos . a) Verdadero. b) Falso.
la
magnitud
del
vector
C
es
C
A
B
Figura 84 8. Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y b de la figura adjunta dan como resultado una resultante nula a) 25 b) 19 c) 9 d) 5 e) 14
a = 20 40 60
b = 10
Figura 85 9. Dos vectores A y B tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la resultante de la suma de los dos vectores tiene 20 unidades, el ángulo entre los vectores es: a) 25.4º b) 55.4º c) 75.5º d) 87.32º e) 124º 10. El vector resultante de otros dos tiene un módulo igual a 10 u nidades y forma un ángulo de 35° con uno de los vectores componente cuya magnitud es 12 unidades. Hallar el otro vector componente y el ángulo entre ellos. a) 6.88; 123.52° b) 8.66 56.48º c) 12.4 100.1º d) 10.3 25.8º e) 15.3 132.2º
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
11. En un campo de golf horizontal, un jugador necesita dar dos golpes a la bola para acertar en el hoyo. El primer golpe mueve la bola 3.66 m al norte y el segundo la mueve 1.83 m al sudeste. El lanzamiento que hubiera necesitado efectuar el jugador para meter la bola en el hoyo al primer golpe es: a) 0.51 m, 30° al Noroeste b) 1.81 m, 21° al Noreste c) 2.69 m, 61° al Noreste d) 5.72 m, 60° al Noreste a) 0.51 m, 30° al Noreste 12. Si A B A B , el ángulo entre los vectores A y B es: a) b) c) d) e)
30° 45° 60° 90° 120°
13. Qué vector sumado a la diferencia de A B da un vector resultante nulo a) 13.23 u; 158.44° b) 13.23 u; 199.11° A = 10 m 120° c) 13.23 u; 19.11° d) 8.66; 19.11° m 5 = e) 8.66; 199.11° B
Figura 86 14. Un avión desarrolla una velocidad máxima de 800 km/h en ausencia de viento. Las velocidades del viento y del avión se encuentran en el plano xy. Determine la velocidad resultante de un avión cuando el viento sopla a 200 km/h y a 250° de dirección, para cuando el avión se mueve en la dirección indicada. Magnitud (km/h) Dirección y – 14.4° a) 755 b) 755 – 22.8° c) 755 14.4° d) 755 22.8° e) 755 10.5° x Figura 87 15. Si M + N = – R y |M| = |N| = |R |, entonces es cierto que a) – = 80° y b) – = 60° c) – = 50° N R d) – = 40° 70° e) – = 30° 60°
x
M
Figura 88 16. ¿Cuál debe ser el ángulo formado por dos vectores de magnitudes iguales para que la magnitud del vector suma sea 12/10 de uno de ellos? a) 74 b) 106 c) 150 d) 16 e) 122 17. El vector resultante de otros dos tiene 30 unidades de magnitud y forma 25 y 50 con ellos. Encuentre la magnitud de los dos vectores.
MÉTODO DE LAS COMPONENTES EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3. 1. Un barco sale de puerto a las 7h00; a las 7h30, se encuentra a 12.5 km al sur y 7.8 km al oeste del lugar de donde salió. A las 8h20 el barco se encuentra a 23.1 km en una dirección 23° al norte del este. ¿Qué tan lejos llegó, con respecto al punto de salida? 2. Dos vectores tienen iguales magnitudes de 7.5 unidades. Si el vector resultante forma un ángulo de 12° con uno de los vectores encuentre el vector suma (magnitud y dirección). 3. Dos vectores, A y B, de 12m y 14m respectivamente, forman un vector diferencia, A – B, de 6.46m, encuentre el vector suma, A + B. 4. Un estudiante, en su afán de llegar a tiempo a clases, realiza los siguientes recorridos en línea recta: 200 m en una dirección de 13° al oeste del sur; 322 m en una dirección de 217°, y 128 m en una dirección de 47° al norte del este. Si el colegio está ubicado a 850 m en una dirección de 34° al sur del oeste medidos desde la casa del estudiante, ¿cuál debería ser el cuarto recorrido en línea recta del estudiante para poder llegar al colegio? 5. Un vector j tiene una magnitud igual al doble de la magnitud de un vector a. Si al sumar los vectores anteriores resulta un vector de magnitud igual a 3/2 de la del vector a, determine el ángulo entre los vectores a y j. 6. ¿Qué ángulo deben formar entre sí tres vectores de la misma magnitud para que la suma entre los tres de cómo resultado al vector 0? 7. Para los vectores mostrados en la figura 113, determine el vector 2m – n + 3p. n = 15
y m 23°
48° 68°
12
x
p = 16.3
Figura 113 8. 9.
Para los vectores graficados en el ejercicio anterior, suponga que la magnitud y dirección del vector m son desconocidas. Encuentre al vector m, si se sabe que la suma de los tres vectores es cero. Encuentre la suma de los lados de un hexágono regular, si los vectores están ubicados como se muestra en la figura. El lado del hexágono es a.
Figura 114 ¿Cuál sería la resultante de la suma de los seis vectores, si el vector horizontal, cuya dirección es 180°, del hexágono anterior gira 60°, en dirección: a) Antihoraria. b) Horaria.
10.
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
Encuentre la magnitud y dirección de un vector que sumado a los vectores f y g dé un vector de magnitud de 20 u en la dirección suroeste.
11.
y
f = 12 u 37°
x
23° g = 17 u
Figura 115 12. Si rotamos los ejes X y Y 30° en sentido antihorario, sin rotar a los vectores a y b, tendremos un sistema de ejes coordenados X´Y´, encuentre la relación de la magnitud de la suma del vector a b en el sistema
a b
de referencia X – Y con la magnitud de la suma en el nuevo sistema de referencia, esto es
X Y
.
a b a = 12 m
X ´Y ´
y 38° x
77°
b = 13 m
Figura 116 13. En la figura 117 los vectores libres del plano u y v son: u = AB = (2,1) y v = AC = (-4,1) Además el vector w = AE se obtiene de la relación w = 2 u + v . Determinar los datos que faltan en el gráfico.
Figura 117
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.3 1. Un vector A está dirigido a lo largo de la diagonal de un cubo. Calcule el ángulo que este vector forma con su proyección sobre el plano Y – Z. a) 65° b) 55° c) 45° d) 35° e) 25° 2. Hállese un vector cuyas componentes tengan la misma dirección que el vector 8 i + 9 j + 12k y cuyo módulo sea 51. a) 49i + 10 j + 10k b) 10i + 10 j + 49k c) 24i + 27 j + 36k d) 30i + 21 j + 1260 k e) 21i + 30 j +
1260
k
3. Para el gráfico de la figura 161 determine el vector unitario del vector a + b + c. a) – (3/ 14 ) i – (2/ 14 j + (1/ 14 )k b) – i – j + k c) (1/ 6 )i – (2/ 6 ) j + (1/ 6 )k z d) (3/ 17 )i – (2/ 17 ) j + (2/ 17 )k e) (3/
14
)i + (2/
14
) j – (1/
14
c
)k
b
-1
1
y
a 1 2 x
Figura 161 4. Si el vector v tiene una dirección tangente a la trayectoria circular, que es paralela al plano x – y, entonces es cierto que los ángulos directores son: a) b) c) d) e)
30° 120° 120° 30° 30°
0 0 30° 60° 90°
z
30° 30° 90° 90° 60°
y
v x
30°
Figura 162 5. Para el sistema de coordenadas mostrado en la figura 163 determine la dirección del vector 2a + b – c. y a) b) c) d) e)
113.6° 66.4° 125.1° 134.2° 140.5°
25.4° 27.6° 48.2° 105.2° 70.2°
98.7° 75.7° 120.2° 40.2° 104.2°
6 b
c
a
4 3 z
Figura 163
x
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
6. El vector F de la figura 164 se dirige de acuerdo a la diagonal del paralelepípedo. Las componentes ortogonales del vector F son: a) 10i + 5 j + 10k b) 200i + 100 j + 50k c) 50i + 200 j + 100k d) 200i + 100 j + 200k e) 50i + 100 j + 50k
z 5m
F= 300 N
10 m
y 10 m x
Figura 164
7. Para los vectores mostrados en la figura 165, encuentre el vector que representa a la suma a – b/2. a) 6i – 9 j + 12k b) 3i + 12 j + 6k y c) 6i – 9 j + 4k 6 d) 4i + 8 j + 12k e) 8i + 5 j + 10k b
4
x
a
8 z
Figura 165 8. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula. a) i – 10 j + 3k y b) 2i - 5 j + 6k c) 5 j + 6k b d) 10 j - 3k a e) - 10 j + 3k 5
3
7
z
x
Figura 166 9. Determine el valor de la suma F1 + F2. Se sabe que F2 = 2F1 = 100 unidades a) 73i + 62.9 j – 100.6k y b) 123i + 62.9 j – 15.6k c) 10i + 10 j – 16k 5 d) 73i + 62.9 j – 15.6k e) 83i – 62.9j + 100.6k F 1
F2
z
10
8
x
Figura 167
10. Dados los vectores L = 2i – 3 j + 2k y M = i + 2 j – K , el vector de magnitud 3 que se encuentra en la dirección del vector L + M es: a) (3/ 11 )(3i + j + k ) b) 3i + j + k c) (3/ 11 )(3i - j + k ) d) 3i - j + k e) i + j + k
Producto entre vectores. 1.5.4.1. Producto escalar. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.4. 1. Encuentre el vector unitario perpendicular a los vectores V (1,2,3) y W (-1,0,2). 2. Un vector A tiene de componentes (1,2,3). Otro vector B tiene de módulo 3 y su componente x, B x vale 1. Determinar B para que sea perpendicular a A . 3. ¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector A (-2,m,2) forme un ángulo de 75.52º con el vector 2 i - j + k ?. 4. Dados A (5,3,4) y B = 6 i - j + 2 k , calcular: ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a) su producto escalar b) el ángulo que forman 5. Siendo los vectores A (A x,5,3) y B(Bx,1,0) y sabiendo que A – B =4 j + 3 k y que el módulo de su suma vale 9. Determinar el ángulo formado por los dos vectores. 6. Dados los vectores A = 3 i -3 j + 2 k y B(3,4,0), calcular: ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a) A xB y Bx A . b) Área del paralelogramo formado por ambos vectores. c) Un vector de módulo 3 perpendicular al plano formado por A y B. d) ( A +B)x( A -B) 7. Sean los vectores m y n mostrados en la figura 181, encuentre el área del triángulo sombreado por medio del producto escalar y por medio del producto vectorial.
y 3
5 Q x 5 z
Fig. 181
8. Sean los vectores P = 2 i - j + 3 k , Q = - i + 5 j - 2 k y R = i + j + k , encuentre el volumen del prisma formado por estos tres vectores, de tal manera que la base la formen los vectores P y Q. Sugerencia: El volumen de un prisma está dado por Vol. = Área de la base Altura. ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
9. El vector H forma un ángulo de 35º con el eje x, 69º con el eje de las z y es negativa su componente en el eje y, mientras que el vector L forma 76º con el eje z, 22º con el eje y, y su componente en el eje x es positiva. Encuentre el ángulo entre los dos vectores. 10. Sean los vectores S y T de magnitudes 10 y 12 unidades, respectivamente, y además se cumple que (3S – 2T)(2S + 5T)=0, encuentre el ángulo entre los dos vectores, S y T.
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
11. Los vectores c, d y f , tienen magnitudes de 3m, 4m y 5m, y forman entre ellos ángulos de 23º y 65º, respectivamente, entonces es cierto que 2c 3d es un vector dirigido en la dirección de f. – c 2f es un vector de magnitud aproximadamente igual al vector d. Si los tres vectores son coplanares, entonces (c x d) y (d x f ) tienen la misma dirección. (2c 3d)<(2f 4c) Todas las anteriores proposiciones son falsas.
a) b) c) d) e)
12. Para el gráfico vectorial mostrado en la figura 182, determine cuál(es) ecuación(es) vectorial(es) es(son) verdadera(s), sabiendo que representa a un vector saliendo del plano del libro, y representa a un vector que entra al plano del libro. Los vectores a, b, c y d tienen la misma magnitud. a
e
a) b) c) d) e)
f
d
b h
(e f ) h = (a d) (a e) = ( b g) (f g) = (f + b) g = (h – d) e (a b) x (f g) =
f) (a b) (d c) = - a
g
4
c
Fig. 182 13. Encuentre el valor que debe tomar a para que los vectores f ai 2 j k y g 4i 4 j 2k sean paralelos. 14. Sean los vectores no nulos m , n y p , el vector que se obtiene del doble producto vectorial m ( n p ) es: a) Paralelo a m . b) Perpendicular a n . c) Coplanar con n y p . d) Perpendicular a n y p . e) Paralelo a n y p .
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
15. Si R , S y T son tres vectores no nulos y su producto mixto R ● ( S T ) es nulo, la proyección de R
en la dirección perpendicular al plano formado por S y T es nula. a) Verdadero. b) Falso.
16. Si R , S y T son tres vectores no nulos y su producto mixto R ● ( S T ) es nulo, los tres vectores son coplanares (se encuentran en el mismo plano). a) Verdadero. b) Falso.
Los siguientes tres ejercicios tienen como base la información siguiente: Los vectores d , f , g , h , mostrados en la figura 183, forman un rectángulo que tiene de base x unidades y de alto la mitad de la longitud de la base.
f
g
d
h
Fig. 183
17. Para la gráfica dada ( d + f ) g = – h ( f + g ) a) Verdadero. b) Falso.
18. ( d - f ) g < f h a) Verdadero. b) Falso.
19. El resultado del producto – ( g + f ) h es: a) x2/8 b) 5 x2
c)
x
2
5 8x2
d) e) x2 20. ( d + f ) g = – h ( f + g ) a) Verdadero. b) Falso.
21. El producto ( A B)C da como un escalar (un número). a) VERDADERO b) FALSO 22. La proyección escalar de la suma de los tres vectores de la parte superior inscritos en la circunferencia, sobre la suma de los dos vectores restantes es 4R, donde R es el radio de la circunferencia. a) VERDADERO b) FALSO
Figura 184 23. La proyección vectorial es igual al producto escalar de los vectores unitarios de los vectores dados, multiplicados por el unitario del vector sobre el que se realiza la proyección. a) VERDADERO b) FALSO 24. Si los ángulos directores son menores a 90°, la suma de estos es 180°. a) VERDADERO b) FALSO 25. Cuando la proyección de un vector sobre otro es cero, los vectores son perpendiculares a) VERDADERO b) FALSO 26. La proyección de un vector A sobre otro, B, puede en algún momento ser igual a la proyección del vector B sobre el vector A . a) VERDADERO b) FALSO 27. Una partícula pasa de un punto de coordenadas (3,-2,1) al punto (-1,4,3). El ángulo que forma el desplazamiento efectuado con el vector de posición inicial de la partícula es: a) 10.2° b) 25.7° c) 75.4° d) 102.7° e) 141.8° 28. Un vector A forma un ángulo de 40° con el eje x y 80° con el eje Y; otro vector, B, forma un ángulo de 30° con el eje x y 60° con el eje Y. Encuentre el ángulo entre A y B.
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
a) b) c) d) e)
10.0° 20.4° 41.4° 83.2° 141.2°
29. Obtenga un vector unitario que esté dirigido en el sentido del vector ( A B)C, donde A = 3i – 5 j + 2k ; B = 2i + 3 j + 4k ; C = 3i – 4 j – 5k . a) (-3/5 2 )i + (4/5 2 ) j + (1/ 2 )k b) (-1/ 14 )i + (2/ 14 ) j + (3/ 14 )k c) (1/ 14 )i - (2/ 14 ) j - (3/ 14 )k d) (3/5 2 )i - (4/5 2 ) j - (1/ 2 )k e) (2/ 29 )i - (3/ 29 ) j + (4/ 29 )k 30. Dados los vectores A = 2i + 2 j + k y B = 2i – 3 j + 6k , determine el vector que representa a la proyección del vector A sobre B. a) (8/49)i - (12/49) j + (24/49)k b) 8i - 12 j + 24k c) (8/7)i - (12/7) j + (24/7)k d) (2/49)i - (3/49) j + (6/49)k e) (2/7)i - (3/7) j + (6/7)k 31. Determine la altura del paralelepípedo formado por los vectores A , B y C, si la base está formada por los vectores A y B. A = i + j + k ; B= 2i + 4 j – k y C= i + j + 3k a) 0.32 b) 0.65 c) 1.6 d) 4.0 e) 6.2 z 4 32. Encuentre un vector perpendicular al plano sombreado. a) 16i + 16k b) - 2 /2i + 2 /2 j + 2 /2k c) 2 /2i + 2 /2k d) 2 /2i + 2 /2 j e) i + j + k
4 y 4 x
Figura 185 33. Sean los vectores A = 2i + 3 j – 5k y B= - 2i – 2 j + bk , determine el valor de b de tal forma que A y B sean ortogonales. a) – 0.5 b) 2 c) – 2 d) 4 z 3 e) 6 34. Para el gráfico de la figura 186, determine el valor del ángulo sombreado. a) 90° b) 72° c) 67° d) 60° e) 55°
4
2 x
Figura 186
35. Sean los vectores a= -2i + 3 j + 5k ; b= 4i – 2 j + 3k . Determine la proyección del vector a x b sobre el eje positivo de las y. a) 24 b) 26
y
c) 28 d) 30 e) 32 36. Sean los vectores a= 2i + 3k ; b= 4i + 2 j y c= - 5i + 3 j – 4k . Obtenga el resultado de (a x b)c. a) – 82 b) 82 c) 50 d) 22 y e) – 10 6
37. Determine el área del plano formado por los vectores a, b y c. a) 37.50 u 2 b) 32.30 u2 c) 18.80 u 2 d) 16.15 u 2 e) 14.20 u 2
b
a
c
x
4 3 z
38. Para el gráfico de la figura 188, determine el ángulo (menor de 90°) que forman el plano sombreado y el plano x – y. a) 22° b) 44° c) 68° d) 72° e) 82°
Figura 187 z
4
8 y 5 x
Figura 188
39. Sean los vectores a= 5i – 2 j + 3k y b= 2i + 5 j + 6k , entonces la proyección del vector a sobre el vector b es: a) 4.6 b) 3.2 c) 2.8 d) 2.2 e) 1.2 40. Considere la línea que une los puntos extremos de los vectores A = 2i – j – k y B = - i + 3 j – k . ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera? a) La línea es paralela al plano YZ. b) La línea es perpendicular al plano YZ. c) La longitud de la línea es 10 unidades. d) La línea es paralela al plano XY. e) Ninguna de las anteriores. 41. Con los vectores A = (2i + 6 j + 3k ) cm y B= (3i + 4 j + 8k ) cm, se forma el triángulo mostrado en la figura 189. ¿Cuál es el valor de la altura h? a) 5.4 cm b) 8.6 cm c) 9.7 cm d) 3.7 cm e) 2.5 cm
B
h
A Figura 189
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
42. El vector A es un vector unitario que tiene sus tres ángulos directores iguales y están entre 0° y 90°, mientras que B= (2 3 ,- 3 , 3 ), entonces podemos afirmar que: a) A B= 0 b) A B= 2 c) A B= 2 3 d) A B= 2i + 3 j – 3k e) Ninguna de las anteriores 1.5.5. EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN 1. Demostrar que los segmentos AB y CD son paralelos y hallar la relación entre sus longitudes siendo A el extremo del vector A i j k ; B 2i 3 j ; C 3i 5 j 2k y D j k
Respuesta: AB = -
1 3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
CD
2. En un sistema de ejes que forman entre ellos 60º un vector v tiene de componentes (3,1). ¿Cuál es el módulo de dicho vector? ¿Qué ángulo forma con el eje OX? ¿Cuáles serían las componentes de ese vector en unos ejes ortogonales XY con el mismo origen y los ejes X coincidentes? ¿Cambia el módulo de v en estos nuevos ejes? ●
3.
Respuesta: V = 13 , = 13.89º; v = (3.5, 0.86), evidentemente el módulo no cambia. Que condición deben de cumplir los vectores para que se cumplan: a) A + B = C y A + B = C b) A + B = A – B c) A + B = C y A 2 + B2 = C2
Respuesta: a) son paralelos; b) B = 0; c) los vectores son perpendiculares 4. Encuentre la suma de los desplazamientos vectoriales a, b y c, cuyas componentes en kilómetros, según tres direcciones perpendiculares son: ax = -7 a y = 4 az = 0 bx = 9
b y = -3
bz = 1
cx = 6
c y = 4
cz = 7
Calcular todos los productos escalares y vectoriales entre los tres vectores Respuesta: S =(8, 5, 8); A B =-75; A C = -26; B C=49; AxB= 4 i +7 j -15 k ; A x C = 28 i + 49 j - 52 k ;B x C = -25 i - 57 j + 54 j ˆ
ˆ
5.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
¿Cuál es el ángulo que forman dos vectores de igual módulo si su resultante tiene el mismo módulo que ellos?
Respuesta: = 120º 6. Un automóvil se mueve al este una distancia de 80.5 km, después al norte 48.3 km, y después en una dirección 30º al este del norte 40.2 km. Dibuje el diagrama de vectores y determine el recorrido total del automóvil a partir del punto de salida. Respuesta: d = 130.5 km. 7.
¿Cuál es el ángulo que forman las direcciones del vector A de componentes cartesianas (2,1,3) y del B cuyo origen es el punto (0,2,1) y su extremo el (3,0,1)?.
Respuesta: = 72.75º 8. Probar que si los módulos de la suma y la diferencia de dos vectores a y b son iguales, entonces los dos vectores son perpendiculares.
9.
Dados tres vectores A, B y C de componentes: ax = 3 a y = 3
az = -2
bx = -1
b y = -4
bz = 2
cx = 2
c y = 2
cz = 1
Calcular A x B, A (B x C), A (B + C). Respuesta: A x B = -2 i - 4 i - 9 k ; A (B x C) = - 21; A (B + C) = - 9 ˆ
ˆ
ˆ
10. Demostrar la siguiente igualdad: ( A xB)xC = ( A C)B – (B C) A 11. Dados los vectores A = 3 i + 3 j y B = 2 i + girados 30º con respecto a los ejes de A y B . ˆ
ˆ
ˆ
j calcular ˆ
su producto vectorial con relación a unos ejes
Respuesta: - 3 k ˆ
12. Dados dos vectores a y b, demostrar que el área del paralelogramo construido sobre ellos coincide con el módulo del vector a x b. Utilizando el resultado anterior calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (1,2,3), (0,1,1) y (3,2,0). Respuesta: 3.937 u 2. 13. Demostrar mediante el cálculo vectorial, que en un triángulo plano se cumple que sen A a
sen B b
sen C c
14. Dados los vectores (-1, 3, 4) y (6, 0, -3) calcular los vectores unitarios paralelos a ambos vectores. Calcular el ángulo que forma su suma con su producto vectorial. 15. La suma de los vectores A y B es un vector C que tiene de módulo 24 y como cosenos directores 1/3, 2/3 y 2/3. Además el vector 3 A – 2B tiene de componentes (7, 9, 3). Calcular las componentes de A y B. Respuesta: A =
23
i
ˆ
5
+ 23 5
j
ˆ
+
35
k ˆ
5
B=
17
i
ˆ
5
+ 57 5
j
ˆ
+
45
k ˆ
5
16. Un vector A tiene de módulo 36 y sus cosenos directores proporcionales a 2, -3, -1; otro vector B tiene de componentes (2, -3, 4) determinar su producto escalar y el ángulo que forman. Respuesta: A . B =- 86.59; = 116.53º 17. De un cierto vector A se conoce su módulo que es 2, el valor de su componente según el eje Y que es 1 y el ángulo que forma con el eje OX = 60º Calcular las otras dos componentes del vector, así como los ángulos que forma con los ejes OY y OZ. Respuesta: A x = 1; A z =
2
; = 45º o 135º
18. Dados los vectores a, b y c demostrar que el producto mixto a ( b x c) es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores. Utilizando el resultado anterior demostrar que c (a x b) = b (c x a) = a ( b x c). Demostrar también esta propiedad expresando el producto mixto de tres vectores en forma de determinante. ¿Cuál es la condición para que los tres vectores sean coplanarios?. Respuesta: La condición para que sean coplanarios será que el producto vectorial sea nulo.
1.5. VECTORES EN TRES DIMENSIONES.
19. Demostrar que si V es el volumen del tetraedro definido por los tres vectores A , B, C, se verifica A (B x C) = 6V 20. Calcular el vector producto vectorial de los vectores A y B de componentes cartesianas (3, 2, 2) y (1, 3, 2) respectivamente. Demostrar que dicho producto vectorial es perpendicular a cualquier combinación lineal de la forma C = A + B. ¿Cuál es la interpretación geométrica del resultado? Respuesta: A x B = -2 i - 4 j + 7 k ˆ
ˆ
ˆ
21. Demostrar, utilizando relaciones vectoriales conocidas, que las diagonales del rombo son perpendiculares. 22. Existe la posibilidad que la suma de dos vectores dé como resultado un vector unitario. i. Verdadero ii. Falso 23. El producto vectorial de dos vectores no nulos es siempre un vector no nulo. b) Verdadero c) Falso 24. Si tres vectores tienen la misma magnitud y suman cero, entonces el ángulo entre cada par de vectores es 120º. a) Verdadero b) Falso 25. Solamente el producto escalar permite calcular el área de un triángulo formado por dos vectores. a) Verdadero b) Falso
