Distribusi kontinu Distribusi kontinu merupakan salah satu macam distribusi probabilitas, yaitu model matematik yang menghubungkan nilai variabel dengan probabilitas terjadinya nilai itu. Dimana untuk distribusi kontinu variabel yang diukur dinyatakan dalam skala kontinyu. Oleh karena itu distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi kontinu . Distribusi kontinu terdiri dari :
1. Distribusi Normal Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, probabilitas yang paling banyak digunakan dan paling penting
adalah distribusi
Jika variable acak kontinu X mempunyai fungsi densitas X = x dengan persamaan :
Dengan : π = nilai konstan yang bila di tulis hingga 4 desimal π = 3,1416. e = nilai konstan yang bila di tulis hingga 4 desimal e = 2,7183. µ = parameter , yang merupakan rata-rata distribusi. σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi. dan nilai x mempunyai batas - ∞ < x < ∞ , maka dikatakan bahwa variable X berdistribusi normal. Cukup dengan mengetahui µ dan σ, maka seluruh kurva normal diketahui. Sifat- sifat penting distribusi normal adalah
Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x. Bentuknya simetrik terhadap x = µ Mempunyai satu modus ,jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ sebesar
Grafiknya mendekati ( bersimtutkan ) sumbu datar x dimulai dari x = µ + 3 kekiri Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi
Distribusi normal baku adalah bentuk transformasi dari distribusi normal umum , bentuk transformasinya menjadi :
Distribusi normal baku dapat dicari dengan :
Hitung z sehingga dua decimal Gambar kuva seperti berikut
Letakkan harga z pada sumbu datar ,lalu tari garis vertical hingga memotomg kurva Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini denan garis tegak di titk nol Dalam daftar , daftar F , lampiran , cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satu decimal dan decimal keduanya dicari pada baris paling atas Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah , maka di dapat bilangan yang didapat harus di tulis dalam bentuk ) , x x x x ( bentuk 4 desimal
Karena seluruh luas =1 dan kurva simetrik terhadap µ = 0 , maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun kanan adalah 0,5. Beberapan contoh penggunanan daftar normal baku Akan dicari luas daerah Antara z - 0 dan z = 2.15
.
=
Gunakan daftar f , dalam lampiran. Dibawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan di atas sekali angka 5 dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5 menurun , di dapat 4842 Luas daerah yang dicari , lihat daerah yang diarsir 0,4842
Antara z = 0 dan z = -1,86 Karena z bertanda negative,maka pada grafik di letakkan di sebelah kiri 0 Untuk daftar digunakan z = 1,86 .di bawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan di atas angka 6 Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah di dapat 4686 . luas daerah = luas daerah diarsir = 0,4686
Antara z -1,5 dan z = 1,82
Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari luas dua kali ,lalu jumlahkan Mengikuti cara di 1) untuk z =1,82 dan cara 2) untuk z=-1,50 masing –masing di dapat 0,4656 dan 0,4332 Jumlahnya = 0,8988
Contoh soal Berat bayi yang baru lahir rata rata 3,750 gram dengan simpanan baku 325 gram , jika berat bayi berdistribusi normal , maka tentukan : a) Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram b) Berapa bayi yang beratnya antara 3500 da 4500 gram , ,jika semuanya ada 10000 bayi c) Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram jika semuanya ada 10000 bayi d) Berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada 5000 bayi
Penyelesaian Dengan X = berat bayi dalam gram , µ = 3,750 gram , σ =325 gram maka
a) Dengan transformasi untuk x = 4500 maka:
Berat yang lebih dari 4500 gram , pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 Luas daerah ini = 0,5 -0,4896 = 0,0104 , jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram
b) Dengan x = 3500 dan x=4500 didapat
Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,489 = 0,7690 Banyak bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram diperkirakan ada (0,7690)(10000) = 7690
c) Beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram , maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,5 gram
Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4000 gram = 0,5 + 0,2794 = 0,7794 Banyak bayi =(0,7794)(10000) = 7794 d) Berat 4250 gram berarti antara 4294,5 dan 4250,5 gram , jadi untuk x =4294,5 dan x = 4250,5 di dapat :
Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012 Banyak bayi = (0,0012)(5000) = 6
2. Distribusi Student Distribusi student atau distribusi t, memiliki variable acak kontinu sama seperti distribusi normal baku. Sampel acak diambil dari suatu populasi terhingga berukuran N yang berdistirbusi normal mempunyai rata-rata (µ) dan simpangan baku (e), untuk ukuran sampel acak n yang cukup besar rata-rata (Ẋ) akan mendekati distirbusi normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku Fungsi densitasnya adalah
( ) (
)
Berlaku untuk harga- harga t yang memenuhi - ∞ < t < ∞ dan K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n,sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n – 1 ) yang dinamakan derajat kebebasan ,atau biasa disingkat dengan DK.Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti di atas ,maka populasi itu berdistribusi t dengan DK = ( n – 1 ). Contoh penggunaan distribusi t 1) Untuk n=13 , jadidk = 12 dan p = 0,95 maka t=1,78 Ini di dapat dengan jalan maju ke kaan dari 12 dan menurun dari 0,95
2) Untuk n = 16 , tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95 , dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kanan dan luas ujung kiri = 10,95 =0,05.kedua ujung ini sama luas, jadi luas ujung kanan , mulai dari t ke kanan = 0,025 . Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975 , harga p inilah yang di pakai untuk daftar.
Dengan v= 5 kita maju ke kanan dan dari p = 0,975 kita menurun , didapat t=2,13 jadi antara t = -2,13 dan t = 2,13 luas yang diarsir = 0,95 3) Tenttukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 , dengan dk = 9 , umtulk ini p yang digunakan = 0,95 , dengan dk = 9 didapat t=1,83 . karena yang diminta kurang dari 0,5 maka t harus bertanda negative jadi t= -1,83
3. Distribusi chi kuadrat Distirbusi variable acak kontinu yang lain adalah ditribusi chi kuadrat yang disimbokan dengan (baca: chi-kuadrat). Distribusi ini berasal dari distirbusi normal baku (z) yang memiliki rata-rata sama dengan nol (0) dan variansi sama dengan satu (1). Apabila harga z dikuadratkan dan dijumlahkan akan membentuk distirbusi gamma yang disebut dengan chi-kuadrat.Persamaan distribusichi kuadrat adalah
( )
⁄
⁄
Deangan u = untuk memudahkan menulis dan harga u >0 , v = derajat kebebasan , k = bilangan tetap yang bergantung pada v , sedemikian sehingga luas daerah dibawag kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183 Beberpa contoh penggunaan daftar distribusi chi-kuadrat 1) Untuk mencari X² dengan p = 0,95 dan derajat kebebasan v = 14 , maka di kolomkiri cari bilangan 14 dan di baris atas 0,95 . dari 14 maju ke kanan dan dari 0,95 menurun , di dapat X² =23,7. 2) Grafik distribusi X² dengan dk = 9 a) Jika luas daerah yang diarsir sebelah kanan = 0,05 , maka X² = 16,9 , ini di daapat dari dk = 9 dan p = 0,95 b) Jika luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0,025 , maka X² = 2,70 . didapat dari dk = 9 dan p = 0,025.
c) Untuk jumlah luas yang diarsir = 0,05 , bias terjadi banyak hal , karena distribusi X² tidak simetrik , maka luas ujung daerah kanan bias 0,04 dan luas ujung daerah kiri 0,01 ; atau ujung kanan 0,03 dan ujung kiri 0,02 dan seterusnya , dalam beberapa hal , kecuali dinyatakan lain , bias diambil luas daerah ujung kanan sama dengan luas daerah ujung kiri . dalam hal ini masing – masing 0,025 . untuk luas ujung kiri 0,025 dengan v = 9 ,
maka X²1 = 2,70 . untuk luas ujung kanan 0,025 kita pakai p = 0,975 dengan v = 9 di dapat X²2 =19,0
4. Distribusi F Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi probabilitas kontinyu.
F merupakan
distribusi
Fungsi densitasnya mempunyai persamaan : ⁄ (
( ) (
)
) ⁄ (
)
Dengan variable acak F memenuhi batas F > 0 , K bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1 dan v2 , sedemikian sehingga luas di bawah kurva sama dengan satu , v1=dk pembilang dan v2=dk penyebut . jadi distribusi F ini mempunyai dua buah derajat kebebasan . grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Contoh Untuk pasangan derajat kebebasan V1 =24 dan V2=8 , ditulis juga (V1, V2) = (24,8) , maka untuk p = 0,05 didapat f =3,12 sedangkan untuk p = 0,01 didapat F = 5,28 . ini di dapat dengan jalan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri . jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan , maka didapat bilangan – bilangan tersebut . yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawahnya p = 0.01 Notasi lengkap untuk nilai-nilai F daftar distribusi F dengan peluang p dan dk =(V1, V2) atau Fp(V1, V2) Demikian untuk contoh kita didapat F0,05(24,8) = 3,12 dan F 0,01(24,8) = 5,28
Daftar Pustaka Dr.BUDI SUSETYO, M. (2010). STATISTIKA UNTUK DATA PENELITIAN. In M. Dr.BUDI SUSETYO, distribusi normal, distribusi student , distribusi chi kuadrat ,distribusi f (pp. 95-105). Bandung: Redaksi Refika. Prof. DR . Sudjana, M. M. (2005). Metoda Statistika. In M. M. Prof. DR . Sudjana, distribusi normal, distribusi student , distribusi chi kuadrat ,distribusi f (pp. 136-150). Bandung: Tarsito.
“ DISTRIBUSI KONTINU” TUGAS PEMODELAN DAN SIMULASI
Disusun Oleh : Yugi Apriyanto
KELAS MOSI-3
10111008
TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA 2014
