DISTRIBUSI DISKRIT DAN DISTRIBUSI KONTINU MAKALAH UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Proses Stokastik Yang dibina oleh Bapak Swasono Rahardjo
Oleh Heni Dwi Sarminten
( 140312602200 )
Khotijah
( 140312600211 )
Susi Andayani
( 140312600457)
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA FEBRUARI 2017
1.4 DISTRIBUSI DISKRIT Definisi Peubah Acak Diskrit: Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai-nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tetapi dapat dicacah. Definisi Fungsi Peluang Peubah Acak Diskrit : Apabila himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, Fungsi π(π₯) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang dari peubah acak π jika untuk setiap kemungkinan hasil π₯ berlaku: 1. π(π₯) β₯ 0 2. β π(π₯) = 1 3. π(π = π₯) = π(π₯) Definisi Fungsi Distribusi Peubah Acak Diskrit : Misal π suatu peubah acak , maka dungsi distribusi dari π adalah πΉ(π₯) = π(π β€ π₯) = Ξ£π‘β€π₯ π(π‘) Dengan π(π‘) adalah fungsi peluang dari π₯ di π‘ Ilustrasi dari distribusi diskrit sebagai berukut :
Ciri-ciri distribusi diskrit adalah : 1. Jumlah total peluangnya sama dengan 1 2. Peluang dari suatu hasil adalah antara 0 sampai 1 3. Hasilnya tidak terikat satu sama lain
Distribusi Binomial (Ilustrasi B-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengankematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalahseperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakanmukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang untuk dapatbertahan hidup sampai hari esok sebesar πΌπ , dengan menyatakan orang ke-π, π = 1, 2, . .. . Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapapeluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup? Limit dari frekuensi relatif peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang 2
masih hidup adalah π(π = 2) = 5 (Ilustrasi B-2) Misalkan sebuah mesin dari pesawat akan rusak (saat terbang)dengan peluang 1-p, saling bebas antara mesin satu dan yang lain. Misalkansebuah
pesawat
akan
melakukan
penerbangang
sukses
jika
setidaknya50% mesin bekerja dengan baik (tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah pesawatdengan 4 mesin akan lebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan pesawat dengan 2 mesin? Misalkan X menyatakan banyak mesin baik (tidak rusak). Untuk pesawat bermesin 4: Pdfnya adalah 4 π(π₯) = ( ) π π₯ (1 β π)4βπ₯ π₯ π(π β₯ 2) = π(π = 2) + π(π = 3) + π(π = 4) = 6π2 (1 β π)2 + 4π3 (1 β π) + π4 β¦ β sedangkan untuk pesawat bermesin 2: π(π β₯ 1) = 1 β π(π = 0) = 1 β (1 β π)2 β¦ ββ 2
Syarat: * lebih besar dari **. Diperoleh π > 3. Distribusi binomial adalah suatu distribusi peluang yang dapat digunakan jika suatu proses sampling dapat disesuaikan dengan proses bernouli.Peubah acak X yang menyatakan banyaknya sukses dan gagal dalam suatu uji coba. Misalkan π = {π π’ππ ππ , πππππ}adalah ruang sampel yang dinotasikan βsuksesβ atau βgagalβ dari suatu percobaan.Definisikan π(π π’ππ ππ ) = 1 dan π(πππππ) = 0 dan ππ₯(1) = π(π = 1) = π
ππ₯(0) = π(π = 0) = 1 β π dimana 0 β€ p β€ 1 adalah banyaknya peluang sukses yang diperoleh. πdikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter π. Jika dilakukan πpercobaan independen dan jika πmenyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka πdikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (π, π), dimana ππ₯(π) = π΅(π; π, π) = πΆππ ππ (1 β π)πβπ Ilustrasi grafik fungsi distribusi binomial seperti gambar 1
Gambar 1
Ciri-Ciri Distribusi Binomial 1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil yaitu :sukses (hasil yang dikehendaki) dan gagal (hasil yang tidak dikehendaki). 2. Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian 3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu 4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n. harus tertentu jumlahnya 5. Percobaan bernouli yang berulang-ulang sampai n kali dan percobaannya saling bebas. Contoh : Peluang seseorang selamat dari suatu operasi jantung yang rumit adalah 0,9 di antara 100 pasien yang menjalani operasi ini, berapa peluang bahwa: a. Antara 84 dan 95 orang berhasil selamat b. Kurang dari 86 orang yang selamat
Penyelesaian : Diketahui
: Jumlah pasien (n) = 100 Peluang selamat (p) = 0,9
Ditanya
: Berapa peluang jika
a. Antara 84 dan 95 orang berhasil selamat b. Kurang dari 86 orang yang selamat jawab
:
soal tersebut dapat di ilustrasikan sebagai berikut : Distribution Plot
Binomial; n=100; p=0,9 0,14 0,12
Probability
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00
80
85
90
95
100
X
a. Antara 84 dan 95 orang berhasil selamat Peluang pasien yang selamat dari operasi jantung di antara 100 pasien tersebut adalah p = 0,9. Bila X menyatakan banyaknya pasien yang selamat dari operasi jantung tersebut, maka P(84 β€ X β€95) = β95 π₯=84 π(π₯; 100, 0,9) Dengan menggunakan hampiran kurva normal dengan ΞΌ = np = (100)(0,9) = 90 q = 1 β p = 1 β 0,9 = 0,1 Ο = βπππ = β(100)(0,9)(0,1)= β9= 3 Kita harus menghitung luas daerah antara x1 = 83,5 dan x2 = 95,5. Kedua nilai z padanannya adalah:
π β π 83,5 β 90 β6,5 = = = β2,17 π 3 3 π β π 95,5 β 90 5,5 π§2 = = = = 1,83 π 3 3
π§1 =
Peluang pasien operasi jantung antara 84 dan 95 pasien yang berhasil selamat dari operasi jantung, berdasarkan Tabel A.3 diperoleh : P(84 β€ X β€ 95) = β95 π₯=84 π(π₯; 100, 0,9) = π(β2,17 < π < 1,83) =π(π < 1,83) β π(π < β2,17) = 0,9664 β 0,0150 = 0,9557 Jadi, peluang pasien operasi jantung antara 84 dan 95 pasien yang berhasil selamat adalah 0,9557. Distribution Plot
Binomial; n=100; p=0,9 0,14
0,9557
0,12
Probability
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00
80
84
X
95
98
b. kurang dari 86 orang yang selamat untuk mendapatkan peluang yang dicari, kita harus menghitung luas daerah di sebelah kiri π₯ = 85,5. Nilai z padanannya π₯ = 85,5 adalah : π§1 =
πβπ 85,5 β 90 β4,5 = π§1 = = π§1 = = β1,5 π 3 3
Dari (a) diketahui bahwa π = 90, π = 0,1 dan Dengan demikian, peluang bahwa yang selamat dari operasi jantung kurang dari 86 pasien yaitu: P(X < 86) = β85 π₯=0 π(π₯; 100, 0,9) ; π = π(β2,17 < π < 1,83) = π(π < β1,5) = 0,1239
Jadi, peluang pasien operasi jantung kurang dari 86 yang berhasil selamat adalah 0,1239 Distribution Plot
Binomial; n=100; p=0,9 0,14 0,12
Probability
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
0,1239
0,00
86
98
X
Distribusi Poisson (Ilustrasi P-1) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter π = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Penyelesaian : Misalkan π menyatakan banyak kecelakaan. π(π = 0) = π β3
30 = π β3 0!
(Ilustrasi P-2) Misalkan π peubah acak Poisson dengan parameter π. Tunjukkan bahwa π(π = π) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i yang semakin besar. Penyelesaian : Misalkan π berdistribusi Binomial dengan parameter (π, π) π(π = π₯) = πΆπ₯π π π₯ (1 β π)πβπ₯ dan misalkan π = ππ Maka
π!
π(π = π₯) = π₯!(πβπ₯)! π π₯ (1 β π)πβπ₯
π π₯
π!
π πβπ₯
= π₯!(πβπ₯)! (π) (1 β π)
=
π π(πβ1)β¦(πβπ+1)ππ₯ (1β )π π ππ₯ β¦π₯!(1β )π₯
π
π
βπ
βπ
ππ₯ π₯!
Petunjuk : Untuk π besar dan π moderat (karena π kecil) π π π(π β 1) β¦ (π β π + 1) (1 β ) = π ππ π π₯ π(π β 1) β¦ (π β π + 1) (1 β ) = π ππ₯ Jika π berdistribusi binomial (π, π) dengan π β β dan π β 0 Maka π mendekati berdistribusi poisson dengan parameter π = ππ Sehingga jika π(π = π) akan naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i yang semakin besar. Distribution Plot Poisson; Mean=5
0,20 0,9614
Probability
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
X
9
13
Definisi : Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang ππ(π) = π βπ
ππ π!
untuk i = 0, 1, 2, ... dan ΒΈ π > 0. π disebut peubah acak Poisson dengan parameter π. Ilustrasi gambar distribusi poisson dengan mean 200 dari data acak minitab sebagai berikut : Distribution Plot Poisson; Mean=200
0,030 0,025
Probability
0,020 0,015 0,010 0,005 0,000
150
175
200 X
225
250
Sifat-sifat distribusi poisson : 1) Peluang terjadinya 1 kali sukses dalam setiap selang yang sempit, sebanding dengan βlebarβ selang. 2) Peluangnya sangat kecil (dapat diabaikan) untuk terjadi lebih dari 1 kali sukses dalam setiap selang yang sempit. 3) Jika π΄ dan π΅ dua buah selang dimana π΄ β© π΅ = β
maka banyaknya sukses dalam π΄ inde- penden dengan banyaknya sukses dalam π΅.
Contoh : Suatu proses produksi menghasilkan sejenis barang. Peluang barang tersebut cacat adalah 0,001. Hitung peluangnya di antara 8000 buah barang yang dihasilkan, terdapat lebih dari 6 buah yang cacat ?
Penyelesaian : Sesungguhnya ini merupakan percobaan binomial dengan π = 8000dan π = 0.001. Karena π sangat besar dan π sangat kecil, kita akan menghampirinya dengan sebaran poisson. π = π Γ π = 8000 Γ 0.001 = 8 6
π(π > 6) = 1 β π(π β€ 6) = 1 β β π₯=0
π π₯ π βπ π₯!
π(π > 6) = 1 β π(π β€ 6) = 1 β 0.3134 β 0.6866 Jadi Peluang diantara 8000 buah barang yang dihasilkan, terdapat lebih dari 6 buah yang cacat adalah 0.6866 Distribution Plot
Distribution Plot Poisson; Mean=8
0,14
0,14
0,12
0,12
0,10
0,10 Probability
Probability
Poisson; Mean=8
0,08 0,06
0,3134
0,08 0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0,00
6
X
18
0,6866
0,00
1
7
X
Distribusi Geometrik Ilustrasi G-1 Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat sebelumNurul menikah. Katanya βAyahku meninggal waktu usiaku tiga tahun.Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiridan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu punmeninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranakdua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tirikuβ. Pertanyaanyang mungkin adalah... ο·
Berapa peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul tidak memiliki hubungan darah?Limit dari frekuensi relatif peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul 6
tidak memiliki hubungan darah adalah 9karena ada 6 yang tidak memiliki hubungan darah ο·
Jika Nurul tidak ingin menikah dengan saudara sedarah, berapa peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang yang bukan saudara sedarah?
Limit dari frekuensi relatif peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang 6
yang bukan saudara sedarah adalah9karena ada 6 bukan saudara darah (Ilustrasi G-2) Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukansiapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkankoin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lainwajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknyalantunan koin yang harus dilakukan, tentukan (π) π(π = 3) (ππ) π. π(π > 4)Peluang βsuksesβ (ada 3
yang lantunannya berbeda alias ada yang bayar) adalah4. Dengan demikian 3
π ~ πΊππ(4). 1 3 3 π(π = 3) = ( )2 ( ) = 4 4 64 π(π > 4) = 1 β π(π β€ 4) =
1 256
Definisi Distribusi Geometrik: Misalkan percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses π. Misalkan π menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka π dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter π. Fungsi peluangnya adalah π(π) = π(π = π) = (1 β π)πβ1 π, untuk π = 1,2 β¦ dan π > 0. Ilustrasi gambar distribusi geometrik dengan π = 0,05 dari data acak minitab sebagai berikut : Distribution Plot Geometric; p=0,05
0,05
Probability
0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
0
20
40
60 X
X = total number of trials.
80
100
Contoh : Peluang seorang pemain basket memasukkan bola ke dalam keranjang adalah 0,7. Karena dilanggar oleh lawan ia mendapat hadiah kesempatan memasukkan 3 bola. Anggap masing-masing kesempatan memasukkan bola adalah bebas. Berapakah peluang ia memasukkan bola pada kesempatan ketiga? Berapakah peluang ia paling sedikit memasukkan satu bola pada ketiga kesempatan? Penyelesaian : Misal kejadian memasukkan bola sebagai kejadian sukses, dan π peubah acak yang menyatakan banyak percobaan sampai sukses pertama. Kita peroleh π(π = 3) = π(3; 0,7) = (0,3)2 (0,7) = 0,063. Peluang paling sedikit ia memasukkan satu bola pada ketiga kesempatan adalah π(π β€ 3) = πΊ(3; 0,7) = 1 β (0,3)2 (0,7) = 0,973.
Distribution Plot Geometric; p=0,7
0,7 0,6
Probability
0,5 0,4 0,3 0,2
0,973
0,1 0,0 X = total number of trials.
3 X
5
1.5 DISTRIBUSI KONTINU Suatu fungsi pdf dibentuk sedeikian sehingga integral daerah dibawah kurva keseluruh X memberikan luas sebesar satu. Penentuan nilai peluang dalam rentang peubah acak antara π dan π. Distribusi peluang kontinyu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinyu. Ruang sampel kontinyu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Definisi PDF Distribusi Kontinu : suatu fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinyu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R jika : 1. πΉ(π₯) β₯ 0 untuk semua π₯ β π
β
2. β«β π(π₯) ππ₯ = 1 π
3. π(π < π < π) = β«π π(π₯)ππ₯ Definisi CDF Distribusi Kontinu : Distribusi peluang kumulatif πΉ(π₯) dari suatu peubah acak kontinu π dengan fungsi pdf π(π₯) diberikan oleh 1. π(π < π < π) = πΉ(π) β πΉ(π) 2. π(π₯) =
ππΉ(π₯) ππ₯
Gambar dari distribusi kontinu sebagai berikut :
Distribusi Normal Ilustrasi : Riset
bidang
psikologi
melibatkan
pengukuran
perilaku.
Hasil-hasil
pengukuranakan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian,sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu.Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalahbahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitarmean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh darimean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentukbel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL. Ketika hasil pengukuran membentuk suatu distribusi normal, ada beberapahal yang dapat diprediksi. Pertama, mean, median dan modus sama. Kedua,seseorang dapat memperkirakan seberapa jauh (dari mean) hasil pengukuranakan terjadi. Dengan demikian, akan dapat ditentukan skor/nilai mana yanglebih mungkin terjadi dan peluang/proporsi nilai diatas atau dibawah nilaitersebut. Kebanyakan hasil pengukuran perilaku mengikuti distribusi normal. Misalnya,nilai IQ. Meannya 100 dan umumnya IQ seseorang akan berada diantara 85-115 atau 15 nilai dari mean. Jika psikolog mengetahui mean dan deviasistandar maka akan dapat ditentukan proporsi skor/nilai yang berada disetiapdaerah jangkauan (range). Tentu saja, terlepas dari keumuman distribusinormal, terdapat beberapa kasus dengan nilai/hasil pengukuran yang tidakberdistribusi normal. Kenormalan atau ketidaknormalan data sangat pentingdalam menentukan uji statistik yang bersesuaian. Mula-mula kita perhatikan integral β
πΌ = β«ββ exp (β
π¦2 2
) ππ¦.
Kita tentukan nilai integral tersebut seperti ini. β π¦2 π¦2 πΌ = β« ππ₯π (β ) ππ¦. β« ππ₯π (β ) ππ¦ 2 2 ββ ββ 2
β
β
β π¦2 π§2 = β« ππ₯π (β ) ππ¦ β« ππ₯π (β ) ππ§ 2 2 ββ ββ
β
β
= β« β« ππ₯π (β ββ ββ
π¦2 + π§2 ) ππ¦ππ§. 2
Serupa dengan cara untuk mendapatkan nilai dari Ξ(1β2), jika ubah integral itu menjadi integral kutub, yaitu dengan mengambil π¦ = ππππ π dan π§ = ππ πππ, diperoleh β
β
π2
πΌ 2 = β« β« π 2 ππππππ = 2π. ββ ββ
Karena I Positif, maka πΌ = β2π β
β« exp (β ββ
π¦2 ) ππ¦ = β2π. 2
Jika kedua ruas dari persamaan tersebut kita bagi dengan β2π, maka diperoleh persamaan β
π¦2 β« ππ₯π (β ) ππ¦ = 1. 2 ββ β2π 1
Kita ubah integral menjadi peubah baru, misal x, di mana π₯βπ π¦= , π > 0, π Maka persamaan integral di atas menjadi β
β«
1
ββ β2π
ππ₯π (β
(π₯ β π)2 ) ππ₯ = 1. 2π 2
Oleh karena itu jika diambil β
π(π₯) = β«
1
ββ β2π
ππ₯π (β
(π₯ β π)2 ) , π > 0, ββ < π₯ < β, 2π 2
Maka f(x) mendefinisikan pdf dari peubah acak X, karena: (i)
π(π₯) > 0, ββ < π₯ < ββ,
(ii)
β«ββ π(π₯)ππ₯ = 1.
β
Peubahacak X yang mempunyai pdf seperti ini dikatakan bersebaran normal. Dari penjelasan diatas dapat diperoleh definisi seperti berikut : Definisi : Peubah acak kontinu π adalah peubah acak normal atau GAUSS dengan parameter π dan π 2 jika fungsi peluang ππ sebagai berikut:
1
ππ (π₯) =
β2ππ
exp(β(π₯ β π)2 2π 2
, ββ β€ π₯ β€ β
Kurva distribusi normal dengan (a) ο1<ο2 dan ο³1 = ο³2; (b) ο1 = ο2 dan ο³1<ο³2; (c) ο1<ο2 dan ο³1<ο³2
Gambar 2 Pada gambar 2 melukiskan kurva normal yang berbentuk seperti lonceng. Begitu parameter ο dan ο³ diketahui, maka seluruh kurva normal dapat diketahui dan kurvanya dapat digambarkan. Misalkan jika diketahui ο = 0 dan
ο³ = 1, maka ordinat f(x) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambarkan. Pada gambar 2 (a) telah dilukiskan dua kurva normal yang mempunyai simpangan baku sama, tetapi rataannya berbeda. Kedua kurva bentuknya persis sama, tetapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar. Pada gambar 2(b) terlukis dua kurva normal dengan rataan yang sama tetapi simpangan bakunya berbeda. Kedua kurva mempunyai titik tengah sama tetapi kurva dengan simpangan baku yang lebih besar tampak kurvanya lebih landai/rendah dan lebih menyebar. Pada gambar 2 (c) memperlihatkan lukisan dua kurva normal yang baik rataan maupun simpangan bakunya berlainan. Jelas keduanya mempunyai titik tengah yang berlainan pada sumbu datar dan bentuknyapun mencerminkan dua harga simpangan baku yang berlainan.
Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x)= n(x ; ο ; ο³ ), maka dapat diperoleh lima sifat kurva normal sebagai berikut:
Grafik pdf sebaran normal ini mempunyai ciri-ciri: a. Titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x =
ο b. Kurva simetris terhadap garis tegak yang melalui ο c. Kurva mempunyai titik belok pada x= ο ο± ο³ cekung dari bawah untuk
ο ο ο³ οΌ X οΌ ο ο« ο³ , dan cekung dari atas untuk harga x lainnya d. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar, jika harga x bergerak menjauhi ο baik ke kiri maupun ke kanan; e. Seluruhluas di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1. Dalam hal khusus, yaitu dalam hal π = 0, dan π 2 = 1, maka pdf-nya ditulis sebagai π(π₯) =
1 β2π
π‘2
π 2 , ββ < π₯ < β,
Sebaran normal seperti ini disebut sebaran normal baku, ditulis π~π(0,1). Jika nilai x diketahui, maka cdf dari sebaran normal baku ini dapat diperoleh dari tabel sebaran normal, atau dari minitab. Sebagai contoh π₯ = 2, maka π(2) = 0.9772, diperoleh dari minitab, π merupakan simbol cdf dari sebaran normal baku.
Contoh : Misal peubah acak X menyatakan nilai ujian Statistika Matematis mahasiswa UM, yang dianggap dapat didekati sebagai peubah acak bersebaran normal dengan purata π = 75 dan varians π 2 = 25. Maka peluang mahasiswa mendapatkan nilai di atas delapan puluh adalah Penyelesaian : π(π β₯ 80) = 1 β π(π < 80) 80 β 75 = 1βπ( ) 5 = 1 β π(1)
= 1 β 0.8413 = 0.1587 Jadi peluang mahasiswa mendapatkan nilai di atas delapan puluh adalah 0.1587 Distribution Plot
Normal; Mean=75; StDev=5 0,09 0,08 0,07
Density
0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,1587
0,01 0,00
75 X
80
Teorema Limit Demoivre-Laplace Definisi : Jika ππ menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada π percobaan independen dengan peluang sukses adalah π, maka untuk setiap π < π, π (π β€
ππ βππ βππ(1βπ)
β€ π) β π(π) β Ξ¦(a), untukn β β
(pendekatan Normal untuk Binomial akan baik jika ππ(1 β π) besar, ππ(1 β π) β₯ 10) Misalππ variabel random, maka ditulis ππ = βππ=1 ππ Andaikan ππ adalah 1 dengan kemungkinan p dan 0 dengan kemungkinan q=1-p π (π β€
ππ β ππ βππ(1 β π)
β€ π) β π(π) β Ξ¦(a)
Disini π(π) β Ξ¦(a) = P{a β€ π β€ π} ketika Z variabel random standar normal
Interpretation of the de Moivre βLaplace Central Limite Theorem Theorem 1 (de Moivre-Laplace Cental Limite Theorem). Misal π, π β β βͺ {Β±β} dengan π < π, Maka lim βπ [π β€
πββ
ππ β ππ βππ(1 β π)
β€ π] =
1 β2π
π
β« π
β
π₯2 2
ππ₯
π
Dan secara umum konvergen di π dan π. Jika π¦ β β, π β β€ dan 0 < π < 1 Definisi π(π¦) = [ππ + π¦βππ(1 β π)] Maka π(π¦) π lim βπ=0 ( π ) π π (1 πββ
β π)
πβπ
=
β(π₯βππ)2
ππ+π¦βππ(1βπ) π 2ππ(1βπ) β« ββ β2π 1
ππ₯.
Diilustrasikan seperti gambar berikut : Distribution Plot 0,25
Distribution n p Binomial 12 0,4 Distribution Mean StDev Normal 4,8 2,88
Density
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-5
0
5 X
10
15
Gambar 3 Gambar 3 merupakan perbandingan dari distribusi binomial dengan π = 12, π = 4 10
dengan distribusi normal dengan rata-rata ππ dan variansi ππ(1 β π). ππ = 12 (
4 48 )= 10 10
ππ(1 β π) =
48 4 288 (1 β ) = 10 10 100
Distribusi seragam Definisi : Distribusi Seragam peubah acak kontinu. Misalkan π nilai yang terdefinisi pada selang terbuka (π, π), dan anggap bahwa kesempatan nilai π jatuh pada selang tersebut adalah sama (seragam). Maka kita dapat mengatakan bahwa pdf dari π adalah konstan, yaitu π(π₯) = π πΌ(π < π₯ < π)
Selanjutnya dengan menggunakan sifat kedua dari Definisi fungsi kepadatan peluang : Misalkan π peubah acak dengan ruang π, yang merupakan selang dari bilangan real. Maka X disebut peubah acak kontinu, dan fungsi π sehingga i.
π(π₯) > 0, π₯ β π,
ii.
β«π π(π₯)ππ₯ = 1,
iii.
Untuk sebarang π΄ β π, π(π΄) = β«π΄ π(π₯)ππ₯,
Kita peroleh π
β« πππ₯ = 1 π
Solusi dari integral ini adalah π =
1 πβ π
Peubah acak yang mempunyai pdf seperti itu disebut bersebaran seragam kontinu, distribusi seragam kontinu disimbolkan sebagai X ~UNIF (a,b), dan pdf-nya disimbolkan sebagai 1
π(π₯; π, π) = πβ πI(a< π₯ < π) Sehingga dari penjabaran diatas dapat kita ketahui sebagai berikut: Definisi:
Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang(a, b) jika fungsi peluang fxnya sebagai berikut: ππ₯(π₯) =
1 ,π β€ π₯ β€ π π β π
Distribusi Seragam kontinu adalah distribusi peluang kontinu yang paling sederhana. Fungsi padat peluang dari peubah acak seragam kontinu X pada selang [a, b] adalah: 1
f (x,a,b)={π β π 0,
,
πβ€π₯β€π π₯ yang lainnya
Kurva fungsi kepadatan peluangnya dari distribusi seragam
Gambar 4 Rataan dan variansi dari distribusi seragam kontinu adalah: π=
(π+π)
(πβπ)2
2
12
danπ 2 =
Fungsi kumulatif: 0 π’ππ‘π’π π₯ < π π₯βπ π’ππ‘π’π π β€ π₯ < π πΉ(π₯) = { πβπ₯ π’ππ‘π’π π₯ β₯ π 1 Kasus khusus: jika a = 0 dan b = 1, maka distribusinya disebut distribusi seragam baku (standar uniform distribution), dilambangkan dengan U(0,1). Ciri-ciri distribusi seragam 1.
Variabel acak seragam Y = salah satu nilai dalam interval a β€ y β€ b
2.
Setiap Y memiliki nilai peluang seragam dalam selang a β€ y β€ b
Contoh : Misal satu titik dipilih dari selang (0,1). Maka X ~ UNIF(0,1) dan pdf-nya adalah π(π₯; 0,1) = πΌ(0 < π₯ < 1) a) Tentukanlah cdf dari X, dan buatlah grafiknya. Penyelesaian : Cdf-nya adalah β
πΉ(π₯) = β« π(π₯; 0,1) ππ₯ ββ
= π₯ πΌ(0 β€ π₯ < 1) + πΌ(1 β€ π₯)
Gambar:
b) Tentukanlah peluang bahwa nilai X kurang dari 0,5. Jawab: 0,5
π(π₯ < 0,5) = β« π(π₯; 0,1) ππ₯ = [π₯]0,5 0 = 0,5 0
Distribution Plot
Uniform; Lower=0; Upper=1 0,5
1,0
Density
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
0,5 X
1
c) Tentukan P(0,1 < π₯ < 0,9). Jawab: 0,9
P(0,1 < π₯ < 0,9) = β«0,1 π(π₯; 0,1) ππ₯ = [π₯]0,9 0,1 = 0,9 β 0,1 = 0,8 Distribution Plot
Uniform; Lower=0; Upper=1 0,8
1,0
Density
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
0,1
X
0,9
1
Contoh/Latihan : 1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (β1,1), tentukan π (|π| > 1/2), tentukan fungsi peluang dari |π|. Penyelesaian: οΌ Fungsi peluang dari |π| Perhatikan bahwa pdf dari suatu peubah acak kontinu X, yaitu : 1
f(x; a,b) = πβ πI(a< π₯ < π) oleh karena itu, diperoleh : 1 , β1 β€ π₯ β€ 1 π = β1, π = 1, π πβπππππ π(π₯; π, π) = { 2 0, π₯ ππππππ¦π οΌ tentukan peluang π (|π| > Β½), 1 β π (|π| < Β½) = 1 β π (β
1 1 1 1 <π < )=1β = 2 2 2 2
Distribution Plot
Uniform; Lower=-1; Upper=1 0,5
0,5
Density
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-1
-0,5
0,5
X
1
2. Misalkan lama (dalam menit) mahasiswa mengikuti kuliah TP adalah peubah acak dengan fungsi peluang seperti gambar dibawah berikut. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti kuliah lebih dari 15 menit? Antara 20 dan 35 menit? Penyelesaian : Karena tidak ada gambar maka kita tidak dapat menyelessaikan soal nomer 2. Inverse Transformation Method Definisi: Misalkan π peubah acak Uniform (0,1). Untuk setiap fungsi distribusi konyinu F, jika kita definisikan peubah acak π sebagai berikut : π = πΉ β1 (π) Makapeubah acak π memiliki fungsi distribusi πΉ. Contoh : Jika πΉ(π₯) = 1 β π βπ₯ maka πΉ β1 (π) adalah nilai π₯ sedemikian hingga 1 β π βπ₯ = π’ atau π₯ = β log(1 β π’)
Penyelesaian : Jadi jika π peubah acak Uniform (0,1) maka πΉ β1 (π) = β log(1 β π) Adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter1).
Distribusi gamma Sebelum kita membahas tentang sebaran gamma terlebih dahulu kita bahas fungsi gamma. Sebaran gamma diturunkan dari fungsi gamma. Definisi Suatu fungsi gamma, dinyatakan sebagai Π(π‘) untuk semua π‘ > 0, adalah β
π€(π‘) = β« π₯ π‘β1 π βπ₯ ππ₯ 0
Catatan: π€(π‘ + 1) = π‘ π€(π‘), π‘ > 0
Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya βsuksesβ yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita melihat banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh sukses ke-r, maka kita mendapatkan peubah acak yang beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif.Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r. Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang π(π₯) =
ππΌ π₯ πΌβ1 π βππ₯ , π₯ > 0 (π€(πΌ))
β
dimana π(π₯) > 0, π₯ > 0, β«0 π(π₯) ππ₯ = 1, dan πΌ dan π adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter bentuk πΌ dan parameter skala π; π₯ βΌ πΊππππ(πΌ, π). Peubah acak kontinu X mempunyai distribusi gamma, dengan parameter Ξ± dan π½, jika fungsi padat peluangnya diberikanoleh: βπ₯β 1 π‘β1 π½, π₯β₯0 π₯ π π(π₯) {π½ πΌ π€(π‘) π’ππ‘π’π π₯ π¦πππ ππππππ¦π 0,
dengan πΌ > 0 dan π½ > 0 Grafik fungsi gamma:
Gambar 5 Fungsi sebaran dari π ~ πΊπ΄π(π, ΠΊ) atau fungsi sebaran kumulatif (cdf) gamma adalah π₯
πΉ(π₯; π, ΠΊ) = π(π β€ π₯) = β«0
π‘
1
π‘ ΠΊβ1 π βπ ππ‘. πΠΊ Π(ΠΊ)
π‘
Subtitusi π’ = π dalam integral di atas menghasilkan π₯
1
π₯
1
π₯
πΉ(π₯; π, ΠΊ) = β«0π πΠΊ Π(ΠΊ) (π’π)ΠΊβ1 π βπ’ π ππ’ = β«0π Π(ΠΊ) (π’)ΠΊβ1 π βπ’ ππ’ = πΉ (π ; 1, ΠΊ), π₯
yang bergantung pada π yang terletak pada peubah . Sehingga parameter ini π
biasa disebut sebagai parameter skala. Jika parameter skala sebuah sebaran gamma π = 1 diperoleh suatu sebaran gamma standard. Maka jika X adalah variabel peubah acak kontinu dari distribusi gamma standard, pdf-nya adalah
1 ΠΊβ1 βπ₯ π₯ π πΌ(π₯ > 0) Π(ΠΊ) untuk π₯ yang lain.
π(π₯; ΠΊ) = { 0
Sedangkan fungsi sebaran kumulatif (cdf) gamma standard adalah π₯ 1
πΉ(π₯; ΠΊ) = π(π β€ π₯) = β«0
Π(ΠΊ)
π‘ ΠΊβ1 π βπ‘ ππ‘.
Fungsi sebaran kumulatif gamma standard disebut juga fungsi gamma tak lengkap. Fungsi ini juga digunakan untuk menghitung probabilitas dari sautu sebaran gamma yang tidak standard karena untuk sebuah variabel peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran gamma dengan parameter
dan π berlaku
hubungan: π₯
π(π β€ π₯) = πΉ(π₯; π, ΠΊ) = πΉ (π ; ΠΊ). Contoh : Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan π = 8 dan π = 15. Maka, probabilitas suatu bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembebana dinamik pada putaran kerja tersebut adalah: Penyelesaian : P(60 β€ X β€ 120) = P(X β€ 120) - P(X β€ 60) = FG (120; 8, 15) - FG (60; 8, 15) = FG (120/15; 8) - FG (60/15; 8) = FG (8;8) - FG (4;8) = 0,5470 β 0,0511 = 0,4959 Distribution Plot
Gamma; Shape=8; Scale=15; Thresh=0 0,010
0,4959
Density
0,008
0,006
0,004
0,002
0,000
0
60
120
X
Diskusi. 1. Jelaskan/Buktikan: a) Ξ(n) = (n β 1)! , untuk n = 1, 2, . . . Bukti : β
Π(π) = β« π₯ πβ1 π βπ₯ ππ‘ 0 β πβ2 βπ₯ = [βπ₯ πβ1 π βπ₯ ]β π ππ‘ 0 + π β 1β« π₯ 0 β
= (π β 1) β« π₯ πβ2 π βπ₯ ππ‘ 0 β
= (π β 1)(π β 2) β« π₯ πβ3 π βπ₯ ππ‘ 0
= (π β 1)(π β 2)(π β 3). Π(π β 3) = (π β 1)(π β 2)(π β 3). β¦ .2. Π(1) = (π β 1)(π β 2)(π β 3). β¦ .2.1 = (π β 1)! Jadi terbukti bahwa Π(π) = (π β 1)!, untuk n = 1, 2, . . . 1
(2π)!
b) Π (π + 2) = π!22π βπ Bukti : β
1 1 Π (π + ) = β« π₯ π+2β1 π βπ₯ ππ‘ 2
0
1
β
= β«0 π₯ πβ2 π βπ₯ ππ‘ β
1
1
β
3
= [βπ₯ πβ2 π βπ₯ ] + π β 2 β«0 π₯ πβ2 π βπ₯ ππ‘ 0
1
3
β
= (π β 2) β«0 π₯ πβ2 π βπ₯ ππ‘ 1
3
β
5
= (π β 2) (π β 2) β«0 π₯ πβ2 π βπ₯ ππ‘
2. Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi Gamma jika Ξ± = 1, Ξ± <1, Ξ± >1? Penyelesaian : Jika Ξ± = 1 maka akan mendekati distribusi eksponensial
Jika Ξ± <1 maka akan mendekati 0 dan menjadi garis lurus dan karena alfa tidak boleh kurang dari 0 maka akan menjadi bentuk seperti berikut :
Distribution Plot
Gamma; Shape=0,75; Scale=1; Thresh=0 2,0
Density
1,5
1,0
0,5
0,0
0
1
2
3
4
X
Distribution Plot
Gamma; Shape=0,5; Scale=1; Thresh=0 3,5 3,0
Density
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0
0,0
0,5
1,0
1,5 X
2,0
2,5
Distribution Plot
Gamma; Shape=0,25; Scale=1; Thresh=0 4
Density
3
2
1
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
X
Distribution Plot
Gamma; Shape=0,15; Scale=1; Thresh=0 3,5 3,0
Density
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8 X
1,0
1,2
1,4
Distribution Plot
Gamma; Shape=1e-007; Scale=1; Thresh=0 0,012 0,010
Density
0,008 0,006 0,004 0,002 0,000
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006 X
0,0008
0,0010
0,0012
Jika Ξ± >1 maka akan mendekati distribusi normal
3. Jika Ξ± membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang Normal. Berikan ilustrasi pada Ξ» = 2 dan Ξ± = 1/2, 1, 5/2, 5 ?
Distribution Plot
Gamma; Shape=0,5; Scale=2; Thresh=0 1,6 1,4
Density
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0
0
1
2
3
4
5
X
Distribution Plot
Gamma; Shape=1; Scale=2; Thresh=0 0,5
Density
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
2
4
6 X
8
10
Distribution Plot
Gamma; Shape=2,5; Scale=2; Thresh=0 0,16 0,14
Density
0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00
0
5
10 X
15
20
Distribution Plot
Gamma; Shape=5; Scale=2; Thresh=0 0,10
Density
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
5
10
15 X
20
25
30
Berdasarkan ilustrasi diatas maka dapat kita simpukan Jika Ξ± membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang Normal.
DAFTAR PUSTAKA Susiswo. 2009. Teori Peluang. Malang : UM PRESS. Syudha dan khreshna. 2011. Pengantar Proses Stokastik.Institut Teknologi Bandung. Bain. L. J. and Engelhardt. M. 1992. Introduction To Probability And Mathematical Statistics.America.
Lampiran
