ANUITAS KONTINU
Anuitas Kontinu Telah kita pelajari anuitas yang pembayarannya m kali setahun dan dinyatakan
atau a , tergantung atas apakah anuitas tersebut awal atau akhir. Bila dengan a m
m
anuitas tersebut dapat dibayarkan setiap saat dan jumlah pembayaran setahun sebesar 1 maka anuitas tersebut disebut anuitas kontinu. Simbol anuitas kontinu untuk seseorang yang berusia x adalah a x .
Karena m dibayar setiap saat atau m maka m
a x lim ax m
lim
m
1
m
t 1
tm
E x
t Ex dt 0
D xt
dt
D x
0
vt . t px dt . 0
Selanjutnya kita definisikan simbol komutasi kontinu sebagai berikut: 1
D x Dxt dt 0
D
N x
Dx t dt
x t
t 0
0
S x
N
x t
t 1 Dx t
t 0
t 0
1
1
x t
C x v
lx t x t dt
0
x t
x t dt
0
M x
D
C
x t
t 0
Dx t x t dt , dan 0
R x
M
x t
.
t 0
18
Jadi, anuitas kontinu a x
a x
D x t
D
dt
x
0
1
D
x t
D x
dt
0
N x D x
.
Kita memerlukan rumus hampiran untuk lambang-lambang komutasi kontinu yang akan kita nyatakan dalam bentuk diskrit. Bila kita asumsikan fungsi D x t terhadap t adalah linear dengan 0 t 1 , sehingga 1
D x Dx t dt 0
1
D x t
2
1 2
Dx Dx 1 dan
Dx t Dx t 1
Oleh karena itu,
N x Dx t dt
D
x t
t 0
0
1 Dxt Dxt 1 t 0 2
1
1
2
2
Dx Dx Dx 1
1
Dx 2 Dx
1
Dx 2 Dx 2 Dx 3 ....
Dx 2 Dx 3 ...
1
Dx Dx 1 Dx 2 Dx 3 ... 2
N x
1 2
Dx N x 1 .
Atau kita bisa menuliskan N x
1 2
Dx Dx 1 Dx 2 Dx 3 ... 1
Dx Dx Dx 1 Dx 2 Dx 3 ... 2
1
Dx N x 2
N x N x
1 2
Dx .
Atau lebih lanjut, kita dapat menuliskannya menjadi 19
N x N x
1 2
Dx
1 1 1 N x Nx Dx 2 2 2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
N x N x1 .
N x N x Dx N x
Dx Dx
Dx 2 Dx 3 ... Dx
1
N x Dx 1 Dx 2 Dx 3 ... N x N x1 N x
Untuk a x
Untuk a x
N x
2
dan N x N x
D x
a x
N x
a x
N x
D x
D x
N x
N x
Dx
2 Dx
2
Dx maka
N x
Dx
1
1
1
1
2
2
2
2
ax ax 1 ax
, atau
1
. 2
1
dan N x
D x
1
1
2
N x N x1 atau N x 1
1 N N x 1 a x x atau D x 2
a x 2
1 2
Dx N x 1 diperoleh
D x N x1 D x
N x 1 Dx
1
. 2
Selanjutnya n
a x:n vt t px dt 0
n
0
0
D x t D x
D x t D x
1
D x
dt
dt
n
Dx t Dx
D
x t
0
dt
1
Dx
dt
D
x t
dt
n
20
1
1
N x
D x N x
1
N x n , dengan N x N x
Dx
N x n
2
D x
1 2
1 2
Dx dan N x n Nx n
1 2
Dx n
Dx n
Dx 1
a x:n
N x Nx n Dx Dx n 2 D x
atau
dengan mensubstitusikan N x 1
a x:n 2
a x:n
1 2
1
N x N x1 dan N xn Nx n N x n 1 didapat 2
1
N x Nx n Nx 1 N x n 1 2 D x
, atau ekuivalen
1 N x N x n
2
1 Nx 1 N x n 1 1 1 ax:n ax :n . Dx 2 2 2
D x
n
a x v t px dt t
n
n
D x t D x
dt 1
N x n D x
2
Nxn N x n 1 Dx
Contoh Hitunglah a47 dengan menggunakan tabel mortalitas CSO 1941. Solusi: a x
N x D x
a47
N 47 D47
1 2
1
6.70 6.708. 8.57 572 2, 66
2
328.983,61
Coba gunakan formula a x
0,5 19,891 19,89181 81.
1 N x N x 1
2
D x
N
1
x 1 ! atau a x 2 D x
21
Asuransi Kontinu Dalam asuransi, kita asumsikan bahwa uang pertanggungan atau santunan
dibayarkan pada akhir tahun polis. Akan tetapi dalam prakteknya pembayaran uang asuransi tersebut tidaklah demikian, pembayaran tidak dilakukan pada akhir tahun kematian polis. Misalnya pembayaran santunan suatu asuransi swumur hidup dilakukan pada akhir tahun
1
m
bagian tahun dari tahun polis meninggal. Ini berarti, bila m 4 misalnya,
pemegang polis meninggal pada kuartal ke-3 dari suatu tahun polis maka pembayaran santunan dilakukan pada akhir kuartal ke-3 tahun polis tersebut. Lambang yang biasa digunakan untuk nilai tunainya atau premi tunggal bersihnya m
adalah A x . m
A x
1
m2 m3 v lx l 1 v l 1 l 2 v l 2 l 3 ... . x l x m x m x m xm xm 1
m
Dengan memisalkan l
x
m
A x
1
l x
v
t 1
l
x
m
t 1 m
l
x
t 2
maka
m
t m
l
t 1
x
t 1
.
m
Bila m maka kita peroleh asuransi dengan pembayaran santunan tiap saat, yaitu pada saat meninggal, dan dinotasikan A x . Jadi m
A x lim Ax m
1 mt lim v l t 1 m x m l x t 1
1
v l
t
dl x t
x 0
Karena dl x t lx t x t dt maka A x
1
v l
t
lxt x t dt
x 0
v 0
t
t
l x t l x
x t dt vt t px x t dt . 0
px menyatakan peluang seseorang berusia x akan hidup mencapai usia x t .
22
t
px x t menyatakan peluang (x) akan meninggal pada saat mencapai usia x t . Pada
saat tersebut, santunan sebesar 1 dibayarkan. Jadi nilai tunainya diperoleh dengan mengalikannya dengan faktor diskonto v t (ingat v
1 1 i
) kemudian dijumlahkan (atau
diintegralkan) atas semua t. Dengan menggunakan integral parsial maka untuk asuransi seumur hidup diperoleh 1
v l
A x
t
dl xt
x 0
1
1 t v l v l d t , dengan l n l n v x t 0 x t 1 i ln 1 i 0 l x t
A x 1 ax .
Dengan cara yang sama, untuk asuransi berjangka n tahun n
1 x:n
A
vt t px x t dt 1 n Ex ax :n . 0
Sedangkan untuk asuransi dwiguna n tahun A x:n Ax1:n n Ex 1 ax :n .
Perhatikan bahwa 1
1
x t
C x v
lx t x t dt
0
D
x t
x t dt
0 1
v
x
v
t
l x t x t dt
0
Misalkan y vt maka dy vt ln v dt vt dt dan dz l xt x t dt maka z l x t .
Dengan demikian, menurut integral parsial 1 t 1 C x v v lx t vt lx t dt 0 0
x
v x vl x1 lx Dx v x 1l x 1 v xlx Dx 1
D x 1 Dx Dx , ingat D x Dx Dx 1 2
23
1
D x Dx 1 Dx Dx 1 . Atau 2
C x 1
i C x 2
C
M x
x t
t 0
Dx t 1 Dx t Dx t t 0
N x 1 N x N x D x N x . (ingat N x N x
M x 1
1 2
Dx , N x
1 2
N x N x1 atau N x
1 2
Dx N x 1 ), atau
i M x . 2
Dengan demikian dapat diturunkan formula komutasi sebagai berikut A x
M x D x
A x:n 1
n
M x M x n D x
A x
A x:n
M x n D x
M x M x n Dx n D x
.
Hampiran untuk A x diberikan juga oleh A x
i
Ax ; A x 1
i Ax ; atau A x 1 ax . 2
i Dalam praktek, bentuk A x 1 Ax yang sering digunakan.
2
Analog A x1:1
i
Ax:1 dan A x1:n
A x1:1 1
i
i
Ax:n ;
1 Ax:1 dan A x:n 1
2 1
i
Ax:n ;
2 1
1 1 A x:1 1 i 2 Ax:1 dan A x:n 1 i 2 Ax:n .
24
A x:n 1
i Ax:n Ax :n . 2
Contoh Dengan mmenggunakan tabel CSO 1941, i=2,5%, hitunglah nilai taksiran A40 ! Solusi: A x
i
Ax
A40
i A x 1 Ax 2 A x 1 ax
0, 025 M 40 0, 02 02469 D40
0, 025 0, 02 02469
,502638 8 0,50889 ,508895 5 0,50263
0,025 M 40 A40 1 1, 0125 0, 502638 0, 508921 2 D 40
N N 41 1 66 6.379.589, 05 05 6.708.572, 66 A40 1 40 1 0, 02469 2 D40 2 328.983, 61 491181 81 0,50881 ,508819 9. 1 0, 4911
Cadangan Kontinu Cadangan premi untuk asuransi kontinu penulisannya sama halnya cadangan premi
asuransi tidak kontinu. Cadangan akhir tahun ke- t untuk asuransi seumur hidup tidak kontinu
x t Cadangan prospektif: tV BA BAxt Px a Cadangan retrospektif : tV Px Cadangan Fackler :
N x N xt D x t
V tV Px t 1
B
N x Nx t D x t
M x M x t Dx t
B
M x M x t Dx t
Cadangan akhir tahun ke-t ntuk asuransi seumur hidup kontinu (pembayaran premi setiap saat) Cadangan prospektif: tV Ax BAx t P Ax ax t
A B x t P A x ax t a x t
B P A x t P Ax ax t
25
Cadangan retrospektif : tV Ax P Cadangan Fackler :
N x Nx t
D xt
V Ax tV P Ax
t 1
B
M x M x t Dx t
N x N x t D x t
B
M x M x t Dx t
Asuransi Endowment n tahun: V Ax:n B. Ax n:n t P Ax :n .ax t :n t , untuk t n
t
V Ax:n 1 , untuk t n .
t
Asuransi berjangka n tahun: V Ax1:n B. Ax1n:n t P Ax1:n .ax t :n t , untuk t n
t
V Ax1:n 1 , untuk t n .
t
Premi Kontinu Tarif premi asuransi jiwa dibayarkan sesuai dengan keinginan sipemegang polis,
yang mana dapat dibayarkan tahunan, enambulanan, bulanan, ataupun mingguan. Pandang simbol komutasi: P x
: premi bersih kontinu asuransi seumur hidup. Santunan dibayarkan pada akhir
polis P A x : Premi bersih kontinu asuransi seumur hidup. Santunan dibayarkan segera pada
saat tertanggung meninggal.
P A x Px
A x
P A x P x
A x
x a a x
M x
M x
Nx
Nx
1
x a 1
ax
d maka , ingat A x 1 ax dan ln 1 i .
Untuk asuransi endowment, premi bersih kontinu diberi simbol P A x:n P A x:n
A x:n a x:n
1 ax:n
ax:n
1
ax :n
.
26
Beberapa simbolpremi kontinu dan premi diskrit
Asuransi
Kontinu
Diskrit
Semi kontinu
Seumur hidup
P A x
P x
P x
Endowment
P A x:n
P x:n
P x:n
Berjangka
P A x1:n
P x1:n
P x1:n
P A x:n P A x
P
N x N x n
M x
A x1:n a x:n
M x M x n N x N x n
P x:n P x
N x
P A x1:n 1 x:n
M x M x n Dx n
M x M x n Nx N x n
N x N x n
M x N x
1 P x:n
P x
M x M x n Dx n
M x M x n N x N x n
A x a x
M x N x
.
27
