Analisis Real
- Fungsi-funpi Kontinu
FUNGST-FUNGSI KONTINU
5 5.1 Fungsi-fungsi Kontinu Pada bagian ini akan dibahas mengenai perilaku dau sifat-sifat yang dimiliki oleh sekelompok fungsi yang sangat berperan dalam Analisis Real yaitu fungsi-fungsi kontinu. Kekontinuan fungsi merupakan salah satu topik inti dalam
Analisis Real.
Istilah kontinu sudah dipokenalkan sejak jaman Isaac Newton ( 16421747) yang mengaitkan dengan grafik kurva yang tak terputus. Tetapi pengungkapmnya masih belum tepat. Kerrudian pada tahun 1817 Bernhard Bolzano ,lan tahun 1821 Augustin Louis Cauchy mengidentifikasi bahwa kekontinuan sebagai suatu sifd yang sangat berarti dari fungsi dan mencoba membuat definisi yang lebih tepat. Tetapi pendefinisiannya dikaitkan dengan konsep limit. Oleh kaena itu pada tahun 1870 Karl Weierstrass mencoba menyempumakan pengertian atau ide/gagasan mengenai kekontinuan ini.
Bagian pertama, pada uraian di bawah ini, dibahas mengenai di satu titik dan kekontinuan fungsi pada suatu himpunan. Selanjutqa diperlihatkan kombinasi dri fungsi-fungsi kontinu yallg mengftasilkan fungsi baru yang juga kontinu. Selain itu terdapat suatu sifat yang mendasar dan penting, bahwa suatu fungsi png kontinu pada suatu interval kekontinuan fungsi
tertutup terbatas mempunyai nilai maksimum dan minimum. Demikian pula akan dituqiukkan, bahwa untuk suatu firngsi kontinu, jika diberikan sebarang dua nilai fungsi itu, maka terdapat suatu titik pada daerah asalnya sehingga nilai fungsi di titik itu merupakan nilai pertengahan dari dua nilai fungsi yang diberikan. Sifatsifat seperti yang diuraikan di atas tidak dimiliki oleh fungsi-fungsi secara umun. Pada bagian selanjutnya, diperkenalkan istilah kekontinuan serag:rm
dengan beberapa aplikasiny4 salah satu diantaranya adalah mernbuat aproksimasi firngsi kontinu dengan menggunakan fungsi-firngsi elementer (misalnya fungsi polinom).
Pada bagian terakhir, dibahas mengenai kaitan antara kekontinuan, kernonotonan dan fungsi invers.
5.1.1 Definisi
Misallan Ac R,fungsi f :A+ Rserta c e A Fungsif disebut kontinu di titik c jika dan hanya jika untuk setiap e> 0 terdapat 6> 0, sehinggajikax € A dan lx-.1 .6, maka l(*) -(.) I . ".
Jika fungsi f tidak kontinu di c, dikatakan bahwa fungsi f diskontinu di c. Seperti halnya dengan definisi limit, definisi kekontinuan di satu titik dapat diformulasi dengan menggunakan notasi/istilah lingkungar-L seperti diungkapkan dalmr teorema di bawah ini. Kosim Ruhneta
- hrDikMa UPI 2006
r21
An ulisis Real
- Fangsi'f*ngsi Kontinu
5.1,2 Teorcma
f : A -+ R lantinu di titik ce A iika dan hanya iika diberilran sebarang linglatngan-e %(f(c) dari f(c\ terdapat lingkungan-E Vs(c), maka f(x) e Y"(f(c)) atau Y6(c) dari c, sehingga jika x e A ^ q V*((c)) dengan kata lain (A.t %(c))
Statu fungsi
Ilustrasi dari teorema di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
y: (x)
Gambar5.I.l
Lingkungan
%(f(c)
menentukan lingkungan Vs(c)
Catatan: (1) Jika c e A dan c titik limit dari A maka dengan membandingkan definisi 4.1.4 dan definisi 5.1.1, dapat dikatakan bahwa, fungsi f kontinu di c
jika dan hanya jika f(c) = limf(x)
x-+c Jadi,
jika c titik limit dari
,\
maka tiga kondisi berikut harus dipenuhi supaya
funggsi f kontinu di c: (i) f terdefinisi di c (f(c) nilainya ada) (ii) limit dari f di c ada ( i m f(x) ada di R)
x->c
: I i m f(x)) x-)c (2) Jika c e A dan c bukan titik limit dari A maka (iii) nilai di (i) dan (ii)
harus sama (f(c)
terdapat suatu lingkungan-6 Vs(c) daric sehinggaAnVs (c) =c. Jadi jikac e Adan c bukan titik limit dari A "secara otomatis" fiurgsi f kontinu di c. Ini menjadi kurang menarik, sehingga kondisi (1) dipandang sebagai suatu karakteristik untuk kekontinuan fungsi dititik
c.
Dengan sedikit modifikasi dari bul$i teorerna lfunit fungsi 4.1.8, berikut ini diberikan teorema kriteria barisan untuk menguji kekontinuan fungsi di satu titik.
t22
Kosim Rubnnna
- JurDikMn WI 2006
Anatitis Real
Fanpi'fungsi Kontka
-
5.1.3 Krtteria barisan untuk Kekontinuan Suatu fimgsi
ika untuk j f : A' -+ R kontinu di titik c e L ika dan lgya i
setiapbaisant*"la,Ayangkotwergenlrea,barisan(f(x"))konvergen ket(c).
Berikut
ini
merupakar teorema yang -( -o
d* ;;e;ta
suatu konnsekuensi 4.1.9 (a) dengm L =
sebagai dengan kriteria divergensi
triteria kediskontinuan
ua, uu"ai"gt*
(c) ).
5.1.4 Kriteria Kediskontinuan MisalkanAcR,f:A+R'danceAFungsifdiskontinudititikc A'yang konvergen ke
io'"
baisan (xJ ai tetapi barisan (f(c)) tidak k'onvergen kc f(c)'
dnl norryo'ii*o'i)a'yi iika "c,
suatu fungsi di Iika semua pembahasan di aus mengeryr,\e'koryinual kekontinuan fungsi pada suatu satu titik, maka berikut ini akan rlibahas mengenai
himpunar.
Secara sederhana, suatu fungsi disebut
jika
.. _- _r^ kontinu pada suatu himpunan
dan
nada hi-pllq'P' himmrnan itu- Secara formal .l il*v" jin" firngsi itu kontinu di setiap titik pada
kekontinuann,"g'ipuau'"utoht-p,*-rlinyaakmolehddrnisiberikutini'
5.1.5 Definisi MisaltanesR,danf:A-+R.FungsifkontinupadaA'iikadanhanya fungsif kontinu di setiap
titikx e A'
5.1.6 Contoh
I.
: b kontinu pada R (a) dapat dilihat bahwa' jika c +.t.1 Pada contoh lim f(x)=b.
Fungsi konsan f(x)
x-tc
Krcna f(c) = b, maka I i m f(x) = f(c)'
Jadi fungsi
e R' maka
f kontinu di
x->c
setiaptitikcdiRBerdasrkaudefinisi5.l'5diatas,makafungsif
kontinu Pada R 2. Fungsi d*gu, aturaxr g(x) = x kontinu pada R' jika e R' c Parla cont& 4.1.7 (b) dapat dilihat bahwa'
lim g(x):c. x-)c
Karena g(c) = c, maka I i
Kosim Rnhlfluna
m g(x) = g(c)'
maka
Jadi fungsi g kontinu di
x-)c
- JurDiklWst WI 20M
123
Analhis Real
-
Fangsi-fungsi Kontinu
setiap titik c di R. Berdasarkan ddrnisi 5.1.5 di atas, maka fungsi g kontinu pada R.
3.
Fungsi dengan atur:m h(x): x2 kontinu pada R. Pada contoh a.I.7 (c) dapat dilihat, jika c e R, maka I i Karena h(c)
:
c2, maka
I i m h(x)
:
m
x-)c
h(x)
: 62.
h(c). Jadi fungsi h kontinu di
x-)C setiap
titik c di R. Bqdasarkan definisi 5.1.5 di
atas, maka fungsi h
kontinu pada R.
4.
Fungsi
f terdefinisi pada R dengan atuan: t iika x bilanganrasional r/*\ _ r\^'' - |[ o lita x bilangan irrasional
Fungsi dengan aturan seperti di aas disebut/angsi Diichlet. Fungsi Dirichlet di_skontinu di setiap titik di R. Sebagai bukti, jika c bilangan rasional, misalkan ( x, ) suatu baiisan bilangan irasional yang konvergen ke teorema kepadatan menjamin keberadaan barisan seperti ini Karqa f(x,) = 0 untuk setiap n e N, diperoleh lim sedangkan f(c) 1. Oleh karena itu fungsi f diskontinu di setiap bilangan rasional c. Di sisi laiq jika b bilangan irasional, misalkan ( y" ) suatu barism
(""):0,
c( ).
:
bilangau rasional yang konvergen ke b. Karena f(yo) = 1 untuk setiap n e N, diperoleh lim (f(y,) = 1, sedangkan (b) = O. Oleh karEra itu fungsi f diskontinu di setiap bilangan irasional b. Jadi ftssinpulannya funggsi f diskontinu di setiap titik di R.
5. Misalkan A = { x e R I x > 0 }. Untuk setiap bilmgm irasional x > 0 definisikan h(x) = g. Untuk bilangan rasional di A dengan bentuk rnln, dimana bilangan asli m, dan n tidak mempunyai faktor posekutuan kecuali 1, definisikan h(nr/n) : l/n ( kadang-kadang tlidefinisikan juga h(0) = 1). Fungsi h kontinu disetiap bilangan irasional di ,\ dan diskontinu di setiap bilangan rasional di A Sebagai bukti, misalkan a > 0 bilangm rasional sembarang, dan ( x"
)
suatu barisan bilangan irasional di A yang konvergen ke a. Kaena lim (h(x") = 0, sedangkan h(a) > 0, maka h diskontinu di a. Di sisi
lain, misalkm
b
bilangan irasional senrbrang dan
a>
0.
Berdasarkan sifat Archimedes terdapat bilangan asli ne sehingga l/no < e. Terdapat hanya sejumlah hingga bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari no pada interval (b 1, b + 1). ( Mengapa?). Oleh karena itu 6 > 0 dapat dipilih cukup kecil sehingga lingkungan O - 6, b - 6) tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih
-
kecil dari no. Jika!* -bl<6, x e An makalnf.> -fiOil.e. Jadi dengan demikian ftngsi h kontinu di bilangan inasional b. 124
Kosim Rabnma
- JurDi*Md
UPI 2006
Analitis Real
-
Fnngsi-fu ngsli Kontinu
5.1.7 Bahan Diskusi 1. Buktikm teorema 5.1.3 tenAng
kritoia barisan untuk kekontinuau-
2. MisalkanAc R dan f : A+ R kontinudititikc e A.
Tunjukkanbahwa
jika x, y e A untuk setiap e > 0, terd4at suatu lingkungan-8 vo (c) sehingga < n vs (c) maka lfu) - f0) I e.
3.
kontinu di c dan(c) > 0. Tunjukl€n, bahwatodapat > 0' suatu lingkungm$ Vs (c) sehinggajika x e Vs (c), maka (x)
\disalkan
5.{.8
f :R + R
Latihan
a
1. l4isalkan
Misalkan pula frrngsi f kontinu pada [q b], dan fungsi g o] serta f(b): g(b). Definisikan h pada [a, c] oleh h(x) =
c.
(x)unhrkxe[a,b]danh(x)=g(x)untukx€(b,c].Buktikanbahwa h kontinu pada
2.
Jika
[a c].
x e R, didefinisikan I x ]
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
+
]
[ x disebut fungsi bilangal bulat terbesar' atau sma dengan x. Fungsi x dari fungsi-fungsi di bawah ini: kekontinuan Tentukanlah titlt-titit
(x)=[x] O) g(x):xlxl (d) k(x)= [ Ux] (c) h(x)= [sinx] 3. Mirutt* Ac & dsrf : A+ R kontinu dititik c e A (a)
Turi,kkm, untuk jika x, y e An s 5ehingga d6i lingkungm$ %(c)
setiap e > 0 terdapat yrlst,maka l(*) -r0)l .r. 4.Misalkanf:R-+Rkontinudicdanf(c)>0'Tunjukkan,terdapat 5.
> lingkungan-S %(c) dari c sehingga jika x e V6(c), maka (x) 0' R dan g adalah restriksi dari f pada A ( g(x) Misalkan A c B c & f : B
+
:
untuk setiap x e A). (a) Jikafkonyinu di c e A" tunjukkan bahwa g kontinu di cini tidak perlu G) r*j,'tt- dengan contoh bahwa jika og kontinu di c, maka
(x)
6. 7.
mermgakibatkar f kontinu di c. Misalkan f : R + R kontinu pada R dan f(r) = 0 untuk setiap bilangan rasional r. Buktikan, bahwa (x) = 0 untuk setiap x e R' Misalkan A = (0, @) dan k: A -+ R didefinisikan sebagai berikut, untuk x e rasional dengan d x irrasional didefinisikan k(x) = 0, dan untuk x e A xmempunyai faktor n tidak m dan asli, m, n bilangan bentuk m/n dengan pada k terbatas tak bahwa Buktikan, n. k(D = sekutu kecuali t, Aaennisltan dali titik di sebarang k diskontinu kkan pula bahwa Tunj r setiap interval di A
A 8. Misalkm f
: (0,1)
-+ R terbatas tetapi limimya di x = 0 tidak ada Tunjukkan,
0 terdapat dua barisan (x") dan (yJ di (0,1) dengan masing-masing limitrya sama. tidak tetapi ada masing-masing teapilim ((xJ) dan lim ( f(y")
Kosim Rt&lnans
- JurDiHtId UPI 2006
125
Analisis Real
-
Fungsi-fungsi Kontinu
5.2 Kombinasi Fungsi-fungsi Kontinu Misalkan A c R, f dan g masing-masing adalah fungsi yang didefinisikan pada A ke R ssta b e R. Jumlah, selisih, hasilkali, dan kelipatan fungsi yang boturut-turut dinyaakan oleh f + g f - g, fg, dan bg pada bab terdatrulu telah diddrnisikan. Demikian pul4 jika h: A + R sehingga h(x) * 0 untuk semua x € A telah didefinisikan hasil bagi fungsi yang dinyatakan oleh flh.
Di bawah ini diperlihatkan suatu teorema yang berkaitan dengan penddnisian di atas. Jika diperhatikan, teorema ini serupa dengan tgorema 4.2.4 pada bab 4 mengenai
52.1
limitfungsi.
Teorcma Misalkan A c R, f dan g masing-masingfungsi dari Ake R serta cr e R. Jika c e d f dan g kontinu di o, maka : (a) f + g, f - g,fg, dan af kontinu di c
(b) Jika h: A-+ Rkontinu dic e Adanh(x) + 0untuk
setiap
xe
d
maka flh kontinu di c
Bukti: (a) Jika
c e A bukan titik limit dari A
maka secara 'ootomatis"
kesimpulan terbukti. Oleh karena itu misalkan c adalah Karena f, dan g kontinu di c, maka '
titik limit dari A.
lim(x) = (c) dan limg(x)=g(c) x-+c x-)c
Berdasarkan teorema I .2.4 (a), maka:
tim (f+
x-+c
gXx): limf(x)
+ lim
g(x):(c)
x-+c x-)c
+ g(c) = (f + gxc)
Oleh karena itu f + g kontinu di c. Dengan cara yang serupa, untuk yang lainnya silakan penrbaca mernbuktikan sendiri sebagai latihan. (b) Karena c € A, makah(c) * 0. Teapi karenah(c;
:1i-
h(x), dan
x -+c (b) diperoleh: (flexc) = f(c/h(c) = lim (x)Aim
berdasarkan teorerna 4.2.4
oleh karena itu flh kontinu di
c.
x
-) c
x
.F(x) =
-) c
lim x
(
-)
flhXx) c
Teorema berikut ini merupakan konsekwensi dari teorema 5.2.1, digunakan untuk setiap titik dari himpunan A Secaa formal, teorema tersebut dinyaakan sebagai berikut: 126
Kosim Ruhrnana - JurDikMot UPI 2006
Analitis Real
-
Kofiiw
Ftngsi-fingsi
5.2.2 Teorema yang kontinu dari A ke R' Jika Ae R' dan f, gmasing-masing fungsi serta b eRmaka: kontinu pada A (a) Fungsi-fui6, * E, f - E, fg' danbf masing-masing @)
A"maka Jikah: e'+ yiintto" pia" ldanh(x)*0 untukxe
A fungsi hasilb agi flh lwntimr Pada
Catatan: Jikarp:
A+R,
Ar =
didefinnisikan pada hinopunan Ar Jika
I
kontinnu
{ x e AIQ(X) t0 }'
makahasilbagiflrp
oleh:
,,*\
""""""(-') igqXrl = 1x/9(x) untukxeAr pada Ar iugakontinu di dari a ,*urortri 9r di titik;A;
ceAr
eA (b) digunakan pada gr' maka flrpr fontinu di c e Ar flrp kontinu di c e-er' Karcna (f/q)(x) = (Agt)l;i;*i x .mata A maka fimesi f/o yang ppada tdan.q. kontinu
Berdasarkan teorema 5.2.1
Dengan.*u.r.*pu,'i*
aiAehnisitan pada At, kontinu pada
A1
5.2.3 Gontoh
1.
p(x) = aoxo + Jika P suatu firngsi oolinom sehingga
a"-tx"-t * '."' * a1x*
8o
';}.l1*d^iri* rii"it untuk tungsi polinim vaitu p(c) untuksetiaPxeR, = I i mp(x)
x-+c untuk sembarang c €
&
pada R maka fungsi polinim p kontinu
2. Jika p da q masing-masing fuirgsi polinom hinggatl,r,..., +
0
pada R' maka terdapat sejumlah
Jikax # {
*'rt*-'t*;d;tiq'
cr1'
"''cuo}
makaq(x)
ryang dinlatakan oleh: sehinggu Ouput OiJtn'isikan firngsirasional cr.' } untukx 4 { ct'1, r(x)
"',
=p(x/q(x),
Oleh karena itu diPeroleh:
R(c) = P(c)/q(o) =
sehingga fungsi rasional
Karena
r
lim P(x/q(x)=limr(x) x ->c x-)c
kontinu di c'
merupakan akar dari q, dapat r-kontinu di setiap bilargan real vang
, .*uu*og"tl*g* r*"r yang bukan
disimpulkan
bah;;;;i;;d
merupakan domainnYa.
3,
pada R' Akan ditunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu Untuk setiaP x, r,, dan I cos sendiri ) (buktiuntuk lsinrl < lzl silahtan penrbaca membuktikan
jrt rtruti,
Kii* not**a
-
JutDikltld WI 2006
,l
127
An alisis Real * Fun gsi-fangsi Kontinu
-sin y = 2 sin(ll2(x-y)) ms (1/2(x +y). Oleh lkarena iitu, jika c G R, diperoleh: lsin*-sincl < z.ll2lx-.1.t = sin x
l*-.
I
Dari sini dapat disimpulkan fuagsi sinus kontinu di c ( mengapa? ). Karcna c sembarang, maka firngsi sinus kontinu pada R Untuk sela4juhy4 silahkan pembaca membuktikan sendiri, bahwa fungsi
kosinus kontinu pada
Rl Demikian
pula untuk fungsi-fungsi tangen,
cotangm, secan dan cosecan masing-masing kontinu pada domainnya ( ingat, tan x = sin x/ cos x ).
5,2.4
Teorema
MisallanAcR, f :A+R dq lfl aiar@"itikanoleh: I rl r*l = l(*) | ,untuk x e A
(r) (ii)
Jika f kontinu di titikc e Aa matm ltl lantinu at c Jika f lCIntinu pada Aemata ltl *rntin pada A
Bukti: Ini merupakan konsekuensi dari bahan diskusi 4.2.10 Q)
5.2.5
Teorema
untuk setiap x e A Misalkanpula {f didefinisikanoleh: ({0(*) = {(r), x e A (r) Jika f kantinudititikce ly mata.,lf kantinudic (ii) Jika f trontinu pada A, matra ,l f trontinu pada A
MisalkanAc R, f : A -+ R dm(x) > 0,
Bukti: Ini merupakan konsekuensi dari bahan diskusi 4.2.10 (4)
Komposisi dari Fungsi-fungsi Kontinu
Di bawah ini diberikan suatu teorema mengenai kekontinuan fungsi komposisi dari dua buah fungsi yang dibaikan yang masing-masing kontinu. Secara formal teorema tersebut dinyatakan sebagai berikut: 5,2.6 Teorcma Misalkan A, B cR, f : A-+R dang: B+R masing-masingadalah fungsi sehingga (A) c B. Jikaf kontinu di c e \ dan gkontinu dib:f(c) eB , mala knmposisi
gof:A-+R
128
kontinudic. Kosim
ktkmota - JurDikMut WI 2006
Analisis Real
-
Fan gsi-fanpi Konthu
Buliti:
g Misalkan V"(gO)) adalah sembarang lingkungan+ dari g(b)' Karena yaitu atau b dai %O) : lingkungan-8 kontinu di b f(c), maka terdapat suatu Vs(f(c) sehingga jikay e B n V6@) maka g(v) e v"(g(b))' """ :""(*) Karerla f kontinu di c, maka untuk lingkungan %(f(c) di atas, terdapat lingkungan-y dari c yaitu Vr(c) sehingga jika x e A n Vr(c) ' maka r1x) e VoG(c)).
Selmjutnya,karemf(x)eBmakaf(x)eBnvo(f(c))'Berdasarkan(*) : g(x)) e %(g(b)). %(g(b)) sembarang lingkungan-e dari g@) maka (g o 0
(g o D(x) ini mengakibatkan -Karena
kontinu di
52.7
c.
Teorcma MisalkanA, B E padaB
R, f : A + R kontinupada Adan g:B +R
kontinu
Jikat(A)c.Bmatrafungsilramposlsigof:A+RkontinupadaA. Bukti:
Teorema di atas merupakan akibat dari teorema 5.2.6,iikafi'rngsi berturut-turut kontinu di setiap titik dari A dat B'
Teorema
5.2.6
dan
5.2.7
f dan g
sangat bennanfaat dalam menentukan bahwa
pada contoh suatu fungsi tertentu adalah kontinu iebagaimana dipolihatkan banyak dalam digunakan sering atas di berikut dibawah ini. Kedua teorema langsung secara kekontinuan jika definisi dengan digunakan situasi fli mana akan menjadi sulit.
5.2.8 Gontoh 1. Misalkang(x)= lxl, x e R.
Dengan menggunakan ketidaksarnaan,segitiga akan diperoleh:
- g(c)l < I * -"1 untuk setiap x, c e R' Oleh karena itu g kontinudi c e R (mengapa?) Jika f : A + R sembarang fungsi yang kontinu pp+ A, maka berdasarkan pada A. Ini teorema 5.2.7 akan mengakibatkan g o f = lfl kontinu I
g(*)
merupakm juga sebuahbukti lain dari teorcma5'2'4'
untuk x >0 dm teore,ma 3.2.10 Dari teorema brisan > kontinu di sebarang c 0.
2. Misallkanh(x)={x,
5.1.3
maka diperoleh bahwa h
Jikaf:A+RkontinupadaAdanjika(x)>0untuksetiapxed maka dari teorema 5.2.7 ;kandiperoleh hasil bahwa h o f = { f kontinu pada
A
Ini
merupakan sebuah bukti lain dari teorema 5'2'5
Kosim Rubnqna - JurDikMd UPI 2006
r29
Analhis Reol - Fungsi-fungsi Kontinu
:
sin x untuk x e R. Dalam contoh 5.2.3 Q) terlihat bahwa s kontinu pada R. maka bardasarkan teorema 5.2.7, fungsi Jika f : A -+ R kontinu pada s o kontinu pada A. Secara khusus, jika (x) = llx uutuk x * 0, maka fungsi g(x) = sin (1/x) kontinu di setiap titik c * 0
Misalkan s(x)
A
f
52.9
1.
,
Bahan Diskusi
Misalkan
Pulal im
f,g
masing-masing didefinisikan padaR dan f(x) =b dan gkontinu di b.
x -+c
Tunjukkan, bahwa I i m (g o 0(x)
:
ceR.
Misalkan
(4),
apa yang
gO)
x -)c
Bandingkan dengan teorema 5.2.7 dan soal latihan 5.2.10 dapat dikomentari dari hasil ini?
2. Misalkan f, g -
3.
(r) :
masing-masing kontinu dari R ke R, dan Benarkah pernlataan bahwa f(x) setiap bilangan rasional setiap x e R.
r.
g(r) untuk
= g(x) untuk
{ g : R + R masing-masing kontinu di titik c, dan h(x) = sup } untuk x e R. Tunjukkan bahwa h(x) = %(f(x) + g(x)) + yrlf$) - g(x) | untuk setiq x e R. Gunakan ini untuk menunjukkan bahwa MisalLan
{ f(x), g(x)
h kontinu di c.
4.
Misalkan g : R -+ R mernenuhi hubungan g(x + y) = g(x)g(y) untuk setiap x, y di R. Tunjukkan, jika g kontinu di x = 0, maka g kontinu di setiap titik dari R. Juga tuqfukkan, jika g(a) : 0 untuk suatu a e R, maka g(x) : 0
untuksetiapxeR.
5.2.10 Latihan
:A+ Rkontinupada Ac R, n e N, makafungsi f " yang didefinisikan oleh f "(x) : (f(x))" untuk x e A, kontinu pada A Berikan contoh suatu fungsi f dan g keduaqa diskontinu di titik c e R
1. Tunjukkanbahwajikaf
2.
sehingga:
(a) jurnlah f + g kontinu di c. (b) hasil kdi fg kontinu di c.
3. Misalkan x -+ [ x ]
menyatakan fungsi bilangan bulat terbesar
( lihat soal
latihan 5.1.S (2) ). Tentukan titik-titik kekontinuan dari firngsi f(x) = x - [
*]
,
xeR. 130
Kosim Rulonana - JurDihMa UPI 20M
Anolisis Real * Fungsi-fanpi Kontinu
4.
jika x * 1' Misalkan firngsi g diddlrisikan pda R oleh g(1) = 0, dan g(x) = 2 Misalkan pula f(x) = x * I untrksetiap x e R' Tunjukkan I i m (g o 0G) * G o 0(0). Mengapatidak berte,ntangan dengan
x +0
teorcma5.2.6?
5.
Berikan contoh suatu fungsi f : [0, l] tontinu Pada [0, ll. [0, 1] tetapi
6.
Misalkan h : R
+ R yang diskontinu
di setiap titik dari
lfl
m e Z,n e N.
R kontinu pada R dan menrenuhi h(rrtlr) = 0 untuk setiap Tunjul&ao, bahwah(x):0 untuk setiap x e R'
+
?. Misalkanf:R+R Jika c e
n I (x)>0}'
kontinupadaR, danmisalkanP={xe
P, tunjukkan,
bahwa terdapat suatu lingkungan Vo(c)
c
P'
I
g.
Jikafdang keduanyakontinupad4& danmisalkanS=txen g(x) ). Jika (s,) c S dan lim (s") = s, tunjukkaq bahwa s e S'
9.
*additivd' jika dan hanya jlta Suatu fungsi f : R + R disebut frram f(x + y) = rtx) + f(y) untuk setiap x, y di R Buktikan, jika f kontinu di suat, titik xo, maka f kontinu di seti4 titik dari R.
f(x) >
(l),
tunjul&an suatu fungsi additive kontinu pada R' Jika c = bahhwa tunj'rkkan dahulu, Terlebih ( Peunjuk cx untuk setiap x e R. (r) cr. jika r bilangan rasional, maka = ).
10. Misalkan f f(x) :
5.3 Kekontinuan Fungsi pada lnterval Fungsi-firngsi yang kontinu pada interval
u**"yrl
perti"g
,
nnempunyai sejumlah sifat-
yaog tiaak dimiliki oleh fungsi-fungsi kontinu paaa Uanasan Ai Ui*uU ini, akan dibahas beberapa sifat-sifat penting
sifat yang sangat
itu dengan beberapa aPlikasinYa.
5.3.1 Definisi suatu fungsi f : A + R disebut terbatas pada Aiika dan hanya iika terdapat suatu bilangan realM> 0 sehingga l(x) I < M , untuk setiap
xeA jika Dengan perkataan lain, suatu firngsi terbatas pada suatu himpunan fungsi suatu bahwa Ilntuk mengatakan R. rangenya (dieralr,hasil) terbatas dalam At terlaEs pada himpunan ymg diberikan adalah dengan mengatakan bahwa Kosim Rthmana -
JurDikMd UPI 2006
131
- Fungsi-fungsi Kontina
An alisis Real
tidak terdapat bilangan yang menjadi batas untuk rangenya Secara matematis formal, suatu fungsi tak terbatas p@ himpunan A jika diberikan sernbarang M > 0, terdapat titik xr.,r e A sehingga l(x) I > M. Sebagai contoh, fungsi f yang diddefinisikan pada interval A = (0, oo) oleh f(x) = l/x adalah tak terbaas pada Ao sebab untuk setiap M > 0 terdapat (dapatdiammbil)xua: l/(M+ l) sehinggaf(xy):l/xu=M+ I >M. Contoh ini menunjulkan bahwa fungsi kontinu tidak perlu terbatas. Pada teorema di bawah ini, ditunjukkan bahwa suatu fungsi kontinu pada suatu interval totentu perlu terbatas.
5.3.2 Teorcma Keterbatasan Jikal=[a"bl interval tertutup
terbatas danf
:I->R
kontinupadal,
malu fungsi f terbatas padaI.
Bukti: Andaikan fungsi f ak terbatas pada I. Ini berarti untuk sembarang n e sehingga lr(*Jl terdappat Karena I terbatas, maka barisan X = (*") terbatas. Menurut teorema Bolzano-Weierstrass yang konvergen ke (untuk barisan) terdapat baisan bagian X' (x-) dri suatu bilangan x. Kemudian, karena I tertutup dan unsur-unsur dri X' tedetak pada maka x e I (torema barisan dalam Bab 3). Karena f kontinu di x e I, maka baisan ( (&") konvergen ke Oleh karena itu barisan ( (x*) ) haruslah terbatas. Tetapi ini konfiadiksi dengan I fG-) + > untuk r e N. Jadi pengandaian ftakterbatas padaladalah salah, yangbenaradatah fterbatas
to.
x,eI
N,
:
I,
)
X
(x).
l,
r
padaI. Dapatlah pembaca memberikan beberapa contoh, bahwa invers dari teorema di atas belum tentu berlaku.
Teorcma Maksimum-Minimum bawah
Sebelum sampaibpada t@rema mengenai maksimum-minimum, di terlebih dahulu diberikan definisi yang menerangkan pengertian
ini
maksimum mutlak dan minimum mutlak.
5.3.3 Definisi Misalkan A c & dan f : A -+ R. Fungsi f disebut mempunyai malaimum mutlak pada Ajika dan hanya jika terdapat suatu titikx* e Asehingga (x*) > f(x), untuk setiap x e A. Fungsi f disebut mempunyai minimum mutlak pada A jika dan hanya jika terdapat suatu titik x. e A sehingga (x.) < f(x) , untuk setiap x e A Titik x* adalah titik nalaimum mutlak untuk f pada A dan titik xadalah titik minimum mutlak untukf pada A" jika masing-masing titik ada.
t32
Kosim Rukrnqna
- hrDikMa UPI
2006
An alisis Reol - FungsLfangsl Kontina Perlu dicaUt bahwa suatu ftngsi kontinu pada A tidak perlu memrpunyai tidak Sebagai contoh, f(x) maksimum atau minimum mutlak pada
: l/x
A
mempunyai maksimum mutlak dan minimun mutlak pada himpunan/interval A = ( 0, co ) ( lihat gambar 2.3.1). Fungsi f tidak merrpunyai maksimummutlak dan tidak m€muat titik 0 ( 0. co krena f tak tobatas di atas pada oada inf { f(D [ * e A Fungsi di atas juga tidak mempunyai maksimum mutlak teapi firngsi itu dan minimum mutlak.jika dibatasi pada himpunan (0,
:
)
A:
A
].
l),
mempunyai maksiiltum mutlak dm minimum mutlak bila dibatasi pada tr, z]. selanjunya fungsi (x) = l/x mempunyai rnaksimum mutlak * tetapi tidakme,mpunyai minimum mutlak bila dibatasi pada himpunan [1' ) dT tiAui -atsi*r* mutlak it41 minimum mutlak bila dibatasi pada
ni^p**
...p*ya
(1, .o ).
Jika suatu fungsi fungsi mempunyai titik maksimum mutlak, maka titik ini tidak perlu nik (tuigeal).iebagaicontoh fungsi g(x) = x2 yan di4efial5ikan yangmasinguntukx e A= [-1, I merrpunyaiduatitikx=-l danx= mana titik 0 x = titik pada dan mutlak masing muupakan titit matsimum -di contoh Suatu gmbar 5.3.2). ( pada lihat A itu meiupakan titik minimum mutlak titik e merupakan R x titik setiap khusus/&sdms yaitu ftngsi konstan h(x) = maksimummutlak dan minimum mutlak dai h
]
-l
A
l,
Gambar 5.3.1 Fungsi
f(x): l/x
Gambar 5.3.2 Fungsi g(x) =
(x>o)
r
l*l < t;
12
5.3.4 Teorcma Maksimum-minimum Jikal= [ a, b ] interval tertutup terbatas danf :l
-+ R kontinu padaI, malraf mempinyai mataimum mutlalc dan minimum mutlak'
Bukti:
:
Misalkan f(D { f(x) I x e I }. Menurutteorema 5'3'2, f(D terbatas pada R. Selaniutrya, misalkan s* = sup (D dan s. = inf f(f)' Akan tlitunjukkan, terdQat titik x+ dan titik x' di I sehingga s* = f(x*)
dm Kosim
s,
= f(x,).
Rubnsta-JwDikllld WI 20M
133
Analisis Real
- Fungsi-fangsi Kontinu
Karena s* = sup (D, iika n e N, maka s* - l/n bukan batas atas dari F(t). Akibahya terdryatbilangan x" e I sehingga : ........,(1) s*-iln
(f(u)
= s*. Oleh karena itq diperoleh: f(x*) = lim ( (x*) ) - s+ = sup f@ sehingga x+ perupakan titik maksimum mmutlak dari f pada I.
lim
Di
bawah
ini
dibberikan suatu teorema yang bermanfaat untuk
menentukan lokasi/letak akm-akar dai suatu fungsi kontinu atau menemukan solusi dari persamaan dengm bentuk f(x) = 0, di mana f merupakan firngsi yang kontinu. Pmbuktian teoremanya, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
5.3.5 Teorema ( MengenaiLokasi Akar
)
Misalkan I = [a, bl dan f : I -+ R fungsi kontinu padn I. Jikaf(a) < 0
0>f(b), makn terdapat bilangan c e (a, b) sehingga f(c) = 0. Generalisasi dari teorerna yang dinlatakan sebagai berikut.
di
atas dapat diungkapkan dengan teorema
5.3.6 Teorema Nilai Pertengahan dari Bolzano Misallan I suatu interval dan f : I -+ R fungsi kontinu pada I. Jika a,b el dan k e R memenuhi f(a)
Bukti: Misalkan a<
b
(x)
-k. Diperoleh g(a) < 0 < gO). 5.3.5 terdapat titik c dengan a < c < b dan g(x) =
Menurut teorema sehingga g(c) = (c) - k : 0 atau dengan ungkapan lain (c) = ft. Jikab
0=h(c)=k-(c). Akibatnya
134
(c)
= k. Kosim Rubnina
- JurDikMd aPI 20M
An alisis Real
-
Fangsi-fungsi Kontku
5.3.7 Akibat Misatkanl= [q bJ intental tertutup terbatas danf l.Jil(ak eRmemenuhi:
:l-+R
kontinu pada
Inff(I)
malea terdapat bilangm c
el
sehingga
(c) = k
Bukti:
dil
Benlasarkau teorr€,ma Maksimum-Minimum sehingga:
2.3.4,
t€rdapat
c'
dan c*
Infru):(c.) < k < f(c*) = suPf(!.
Grnakan selanjutrya-teorenna Bolzano 2.3.7 dM terbuktilah apa yang akan dibuktikan. Teorema yang akan dinyahkan berikut di bawah ini, mengungkapkan peta dari iot.*a tertutup terbatas oleh suatu fungsi yang kontinu akan bahwa interval tertutup tertitas pula. Titik+itik ujung dari interval peta nilai minimum mutlak-dan nilai maksimum mutlak dari frrngsi
ilt
*"*pui* **rputr,
kontinu itu.
5.3.8 Teorcma Jika I intterval tertutup f(t) = { f(x) I x e I J Bulrti:
terbatas dan f : I -+ R l
fCI dan M :
I,
maka
Akibatnya (D c [q M]' M , k sembarang, maka menurut teore'ma 5'3'7 terdapat titik c e I sehingga f(c) = k. oleh karena itu k e I(D dan
\dlsalkan m : inf Selanjueya, jika k e [q
( Akibat ) inimenunjul&anbahwa
suP
f0.
tqM cf(D. Jadi (t) = [m,M.
Perhafian! 1. Jika I : [a, b] suatu interval dan
f:
I -+ R kontinu pada
bahwa f(I) adatah interval [q Mi. Ilhati-hati, bahwa f(D + t (a), f(b)
I
I,
telah ditunjukkan
( lihat gambar 5'3'3 )'
Z.
Peta dari intterval terbuka oleh suatu funsi korrtinu belum tentu interval + 1) I1 (-1, 1), maka = terbuka lagi. Sebagai ontoh, jika terbuka f(Ir) = QlL,ll, ini bukan interval
3.
Peta dari interval tertutup tak terbatas belum tentu interval tertutup' Contohnya, untuk f(x) = Il(* + 1), jika Iz = [0, oo) makaf(Iz) = (0, U,
(x)
ll(*
, :
ini bukan interval tertutup ( lihat gambar 5.3.4). Kosim Rnhnana
- JurDihllld UPI 2006
135
Analhis Real - Fangsi-fangsi Konlinu
Gambar 5.3.3
f(D
= [no,M]
Gambar5.3.4 Grafikf(x):171*z+ 1)(x e R
5.3.9 Teorcma ( Pengawetan lnterval ) Jika I suatu interval dan f : I -+ R kontinu pada 1,
maka f@
merupakan interval.
5.3.10 Bahan Diskusi
1.
2. 3.
Misalkan f kontinu pada interval [0, 1] ke R. jika f(0) = f(1), tunjrrkkan terdapat c e [0, Yzl sehingga (c) = f(c + YS. Interpretasi soal ini adalah: bahwa pada setiap waktu terdappat dua tempat yang antipodal ( bedawanan/bertolak belakang) di khatulistiwa di permuk6sa $t mi yang mempunlai suhu ymg sama ). Untuk me,njawab soal ini: Tentukan g(x) = (x) - t(x + Y) Misalkan Idide]Erdsikan oleh [0, nl2l danf : I+R f(x) = sup { x2, cos x }. Tunjullcan todapat titik minimum mutlak xo € I untuk f. Tuqiukkan pul4 bahwa xe su?tu solusi dari ppersam&m cos x = x'. Susun suatu pembuktian lengkap dan formal dari eorrema 5.3.9.
5.3.11 Latihan Misalkan I = [q b] rlan f : I -+ Rfungsi kontinu sehingga(x)> 0 untuk I. Buktikan terdapat suatu bilangan o > 0 sehingga f(x) > cr,
1.
setiap x di
untuksetiapxel 2.
Misalkan I = [a,
.
136
b]
dan
f :I -+R, g:I -+R
masing-masingkontinuppadal
Tunjukkanbahwahimpunan E = { x e t I f(x) = g(x) } mempunyai sifat: Jika (x") S E dan xn J Xo, maka xe € E Kosim Rabnons
- JurDikMd UPI 2006
An alisis Real
3. 4. S.
-
Fungsi-funpi Konrina
I:[qbl
danf :I-+nf.u"gsikontinSpa4al sehingga untuk setiap x di I todapatydi I sehingga lfo)l < Ul(Dl. Buktkanterdapat suatu titik c di I sehingga (c) = 0
fiisalkan
Tut$t'kkan setiap polinom yang berderajat mempunyai paling sedikit satu akarreal. Tunjukkam p-oli"i* p(x) = sa + 7x3 -
9
ganjil
dengan koefisien real
mempunyai paling sedikit dua akar
real.
6. 7.
Tunjr t'kan persaruun x = cos x mempunyai solusi dalam interval 10, %xl Misalkan I = [a, b] dan f:.I -+ R kontinu pada serta (a) < 0, f(b) > 0'
I
DidefinisikanW={
8.
xell(x)<0},
danmisalkan
w = supW. Buktikan
bahwa f(w) = 0. Misalkan f : R+R kontinupadaR dan
lim
Buktikan bahwa minimumpadaR
(x) = 0 dan lim f(x) :
0
r t.tutur'p?au? au, -.*#***rurri-o*
uot'
Misalkan f:R+R kontinupadaR dan pe R. TunjukkanjikaxoeR sehingga f(xo) < P, -aka terdapat suatu lingkunganS dari xo yaitu Vo(xo) sehingga (x) < F untuk setiap x € V6(xo). 10. Jika f : [0, 1] -+ R kontinu dan hanya me,mpunyai nilai rasional, maka tunjukkan bahwa f merupakan firngsi kkonstan.
9.
5.4 Kekontinuan Seragam Misalkan Ac R, dan f : A+R. Defnisi 2.l.l
manyatakanbahwa
pernyataan berikut ekuivale,n; fkontinu di setiap titik u
(1) @
eA jikaditberikan t> 0 dapu e d terdqat6> 0 sehinggauntuk setiap x e A, l*-ul <6maka l(x)-(u)l
(x)=sin(l/x);x>o).
Untuk selanjutnya, akan dibahas firngsi-fungsi dengan kondisi bahwa 6 > 0 dapat d-ipilih sehingga tidak tergantung dri titik u e A ( hmya tergantung dari : 2xe ). Sebagai mntoh" jika f(x) = 2x untuk setiap x e R, maka lf(x) - (u) |
= 2lx-ol. Ot"nt&arenaitudapatdipilih yang diboikan dm u e R. Di sisi lain, jika g(x) = l/a x > 0, maka :
2u
6=el2 untuksetiape>
l,*-ul
... (-) lrir.>-iir>l = l(r-xyuxl =.I/ux .6 diperoleh l*-ol. *aiadari lx-ol 6=inf Jikadiaurbil {%i,yro'e}, Z u sehinnesayzu
- J*rDikLId WI
0
i/* l'*-rl
2006
137
An alhit Re al
- F un gs i-fu n gs i K ont in u
Di sini terlihat bahwa 6 yang diambil nilainya tergantung dari e dan u. Situasi di atas dapat ditampilkaa dengan ilustasi di bawah ini. Ilustasi ini memperlihatkan bahwa untuk suatu e > 0, pemilihan 6 yang berbeda untuk titik u yang berbeda. Jika u mendekati nol, maka nilai 6 yarg diambil juga mendekati nol.
%(2)
_Gambar5.4.l g(x):
l/x, x)0
Gambar5.4.2 g(x)=
l/x,
x>
0
5.4.1 Definisi Misalknn Ac & f :A-+ R. Fungsif disebutkontinu seragampada A, jika dan hyya j e > 0, terdapal 6 > 0 sehingga iika x, y lka untuk setiap ed l*-yl <6,maka lf(x)-f(y)l 0 ). Ini berguna untuk memformulasikan suatu kondisi ymg ekuivalen dengan pemyataan f tidak kontinu seragam pada A seperti yang dinyatakan di bawah ini ( buktinya maka
f
diserrahkan kepada pembaca sebagai ktihan).
5.4.2 Kriteria Kekontinuan Tidak Seragam Misalkan Ac & f :A-+k. Pernyatoanbeilatt (l) f tidak kontinu seragam pada At Q) Q)
ehtivalen:
0 sehingga untuk setiap 6> 0 terdapat x, u <6rctapi l(*)-(o)l>"0.
Terdapat suatu en>
A
l*-ol
Terdapat suatu en> 0 dan dua barisan (x") dan (u") pada Adengan
lim(x"-u,) = 0, tetapi lrt*,,1-(Ul >eo untukserrapn
Kriteria ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa g(x) =
kontinuseragamnada 138
e
e N.
l/x
={ x eRl x>0}, Amhil(.r-):(l/q)dan Kosim Rabnana
- Jr.rDikMd
tidak dan
WI 2006
An olicis Real
- Fungsi-fungsi Kontkt
(u,)= ( l/(n+ 1) ). Lim (xo-u,) = 0, tetapi I g(*") -g(u") untuk setiap n e N. (adi dapat diambil s4=yr).
Di
bawah
ini
| = ln-1n+
diberikan suatu teorema yang berkaitan
1)
|=
1
dengan
kekontinuan seragam suatu frmgsi pada suatu interval tertutup t€6atas I.
5.4.3 Teorema Kekontinuan Seriagam Jika I suatu interval tertutup terbattas dan f : I malra f kontinu seragam pada l.
+ R lcontinu pada I,
Bukti:
f tidak kontinu semgam pada I. Berdasarkan twrelrlra 5.4.2, > maka tadapat Eo 0 dan dua barisan (x,) dan (uJ padal sehinggga l*"-*l < l/n dan l(*J - (u") I > eo untuk setiap n e N. Karena I terbatas, maka barisan (x) terbatas. Dengan menggunakan teore,ma Bolzano-Weierstrass, terdapat barisan bagian (&,k) dari (x") yang konvergen ke suatu unsur z. Kemudian , karena I tertutup, maka z terletak Andaikan
pada I.
Selanjutnya, dari ketidaksanuumlo* - rl < lo* - x*l + lr* - ,l maka dapat {isimpulkan bahwa barisan bagian (u*) dm (uJ juga konvergen
kez.
kontinu di titik z, mak kedua barisan ( (x*) ) dan ( f(u*) ) Tetapi ini bertenungan dengan lffr"l - fu") I > eo untuk setiap n e N. (mengapa?). Jadi peng;andaian di atas adalah salah, yang benar adalah fkontinu seragam pada I. Jika
f
konvergen ke
f(z).
Fungsi Lipschitz Jika suatu fungsi kontinu seragam pada suatu himpunan yang bukan interval tertutup terbatas, maka kadang-kadang didapat kesulian dalam
menentukan kekontinuan seragamnya. Meskipun demikian, teorema png akan dinyatakan di bawah menjamin k*ontinuan seragam fungsi tersebut. Sebelumnya di berikan definisi mengenai fungsi ymg mmenuhi suatu kondisi tertentu yang selanjutnya disebut fungsi Lipschitz.
ini,
5.4.4 Definisi Misalkan A c R, f :A+R. Fungsif disebutfungsi Lipschitz (memenuhi kondisi Lipschitz) pada A jika dan hanya jika terdapat lanstantaK> 0 sehingga lq*>-f<"> lsf I * -ul, untuksetiapx, u
eA
A: t
dan I suatu interval, fungsi Lipschiitz seperti yang didefinisikan di atas dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai berikut. Kosim Rabnota-JurDikMd UPI 20M 139
Untuk
Analisis Real
- Fungsi-fungsi Kontinu
Jika kondisi Lipschitz dipenuhi, maka I ( f(x) - (u) )(x - u) I < K, x, u x * u. Nilai ( f(x) - f(u) /(x - u) adalah gradien dari ruas ggaris yang menghubungkan titik ( x, (x) ) dan (u, (u) Jadi fungsi f memenuhi kondisi gradien dari semua ruas yang Lipschitz jika dan hanya (x) atas terbatas oleh K. menghubungkan dua titik dari $afik
€
I,
).
jika y:
gds
I
5.4.5 Teorcma Jilcaf : A -+ R suatufungsi Lipschrtz, makafkontinu seragatn pada At
Bukti: Misalkan e > 0 diberikan sembarang. Ambil6 = e/I(. Jika x, u e A dan I x - o I . 6 maka I f(x) Jadi flrngsi fkontinu seragam pada A
-(o)
I
<
r
I
*-oI
. K.6 = K.eA( = e.
5.4.6 Contoh
l.
Jika f(x) =
*
padaA: [ 0, b ],
maka
:
l(*)-r("ll = I *'-o'l = l** ul l*-"1 0,bl
Dengan demikian firngsi f meme,nuhi kondisi LipschiE dengm K = 2b Oleh krena itu fungsi kontinu seragam pada A = [ 0, b ]. Catatan: Fungsi f tidak kontinu seragam pada [ 0, o ] ( mengapa? ).
>
0.
2. Tidak
setiap firngsi kontinu sercgam merupakan fungsi Lipschitz. Misalkan g(x) : {x, untuk x e [ 0, 2 ]. Karena g kontinu pada interval tertutup terbatas I A, 2l, maka g kontinu seragam
pada[0,2].
Selanjutnya perhatikan pemyataim : Terdapat K > 0 sehingga I gC) -g(u) | < K I x - u Ambil x e [ 0, 2f, x* 0 dan u = 0, maka :
l, *, u e [ 0, 2 ]
... .... ( * )
)
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap
K>0selalutodapat
x e [0,2], x*0sehingga(**) tidakberlah. Untuk 0 1,terdapat x:Ll4* e [0,2] sehinggaf |{*|=K.|l2K=Yz<| Ini artinya bahwa pernyataan ( * ) adalah salah yang benm adalah tidak terdapat K > 0ymg *smenrrhi lg(x) -e(u)ls fl* - rl, *, u e [ 0, 2 ]. Dengan d€xnikian fungsi g bukan ftngsi Lipschitz. Kosim Rubnana - hrDihMd UPI 2006 t40
Analirts Reo,
3.
- FangsLfangsi Kontinu
Teorema Kekontinuan Seragam dan teorema
5.4.5
kadang-kadang dapat
digabungkan untuk menentukan kekontinuan seragam suatu fungsi pada
suduhiryrman.
Misalkan g(x) : {x, x e [ 0, o). Fungsi g kontinu seragam pada interval I = [ 0, 2
],
sebagaimana ditunjukkan
pada contoh 2.
Jika
J: I l, @ ), maka'r4tuk
x e J, diperoleh
I g(x) -e(u)
l:l!* - {+
:
l*
|
-ulll{*
+
{"1
Jadi fungsi g merupakan fungsi Lipschitz pfu I ( dengan K= Y.), dan dengan menggunakan teorema 5.4.5, dapat disimpulkan bahwa fungsi g kontinu seragampada J.
KamaA=Ir;Jdandenganmengambil6-inf { 1, &(s), &(e) } makag kontinu s€ragam pada A Bukti detail untuk ini diserahkan pada pembaca sebagai latrhan.
Teorcma Perluasan Kontinu Telah diperlihatkan contoh dirnana suatr ftngsi yang kontinu mungkin
l/x, x e (0,1 )). Disisilain,
tidakkontinuseragam(f(x) =
dengan
menggmakan teorema kekontinuan, suatu fungsi 5ang kontinu pada interval tertutup terbatas selalu kontinu seragam pada interval tersebut. Sekarang mungkin muncul pertanyaan: "Dengan kondisi bagaimana suatu frmgsi kontinu seragam pada suatu interval terbuka?" Jawaban atas pertanyam di atas dapat dinyatakan sebagai teorema berikut di bawah
ini
5.4.7 Teorcma
+ R kontinu seragam padahimpunan Ac R, dan (xn)suatu barisan Cauchy pada A,, maleo (f(x")) merupakan barisan Cauclry pada
Jilraf : A R.
Bukti: Misalkan Karena
(n)
f kontinu seragrm pada d
Amernenuhi
A
dan misalkan e > 0 diberikan. maka dapat dipilih 6 > 0 se.hingga jika x, u €
barisan Cauchy pada
[*-ul <61,
maka
l(rl-f(u)l
(x,)
bmisan Cauchy, maka terdapat H e N sehingga I *, - ** I . a uotot setiap n, m > H. Ini mmgakibatkan l(*J - f(uJ I < e. Oleh karena itu d4at disimpulkan bahwa barisan ( f(x") ) adalah barisan Cauchy.
:
lix tidak kontinu seragam dengan persanuran f(x) ( 0, 1 ). Barisan yang diberikan oleh xo = 1/n di ( 0, I ) adalah barisan Cauchy, teapi barisan ( (x") ) = ( n ) bukan barisan Cauchy.
pada
Untuk fungsi
Kosim Rrbnaaa
f
- JurDilcltlu WI
2006
,
741
Analhis Real
Fangsi-fangsi Kontinu
-
5.4.8 Teorcma Perluasan Kontinu Suatu fungsi f adolah kontina seragam pada interval (a, b) iika dan hanya j i ka fiin gs i f i ni dap at di defi ni s i kan di t i ti k uiung a dan b s ehi ng ga
fungsi perluasan dari f kontinu.pada
lubl
Bukti:
(e )
Ini adalah trivial ( teorema 5.4.3 ) Misalkar f kontinu seragam pada (a b). Akar ditunjukkan dipoluas untuk titik a ( serupa untuk titik b). Caranya adalah
(= )
bagaimana f dengan menunjuli&an bahwa 1i f(*) =
m x-)a
L
ada ( dengm menggunakan kriteria barisan ).
b) yang konvergen ke a. Ini berarti barisan dan dengan menggunakan teorern 5.4.7 1x") adalah barisan Cauchy
Misalkan
(x")
suatu barisan di (a,
mengakibatkan barisan ( f(x") ) juga barisan Cauchy. Oleh kharena itu barisan ( f(x") ) konvergan. Misalkan lim ( f(x) ) L. jika (u") sembarang barisan lain yang konvergen ke a maka lim ( u" - xo ) = a - a 0. Karena f kontinu seragrun, diperoleh:
:
:
Lim((u"))= lim(f(u") - (x")) + lim((""))
=0+L=L
Jadi untuk setiap barisan (x") di konvergen ke L, dan ini artinya
Dengan mmendefinisikan
(a)
(q b) yang konvergen ke q maka barisan ( (x") )
lim (x) = L x -+a
: L,
maka
f
kontinu
serupa,
dmikian pula untuk b, yaitu dengan mengambil fO)
di
a.
: lim
Dengan cara yang
f(x)
x-+b Oleh kmena itu perluasan f pada [a"
b]
kontinu pada [a, b].
lim sin (1/x ) tidak ada maka berdasarkan teorema di atas ( 5.4.8 ) x+0 dapat disimpulkan bahwa flmgsi (D : sin (1/x) tidak kontinu seragam pada Karena
untuk setiap b > 0. Di sisi lain, karena lim x sin (1/x (0,
bl,
x-+0 bl
kontinu seragam pada (0,
):
0
maka fungsi g(x) = x sin (1/x) adalah
untuk setiap b > 0
5.4.9 Bahan Diskusi
1.
Gunakan kriteria kontinu tidak seragam 5.4.2 untuk menunjukkan bahwa fungsi di bawah ini tidak kontinu seragam pada himpunan yang diberikan.
(a) (x) = X' , A=[0,.o). O) g(x) = sin (1/x) , B = ( 0, co ).
t42
Kosim Rabnana
- JarDikMd UPI 2006
Analfuis Real-
2.
Fungsi-funpi Kontinu
Buktikan,
f
jika
konnposisi fungsi
3.
dan g masing-masing kontinu seragam pada f o g kontinu seragam pada R.
A+
R,
maka
Misalkan Ac R dan f : Rmempunyai sifat-sifat sebagai berikut: "Untuk setiap e > 0,terdapat suatu fungsi g; : A R sehingga g" kontinu seragampadaA aan l(x) - g"(x) | < e untuk seti4 x e Buktikar bahwa
+
A
fkontinu seragam pada A
5.4.10latihan
1. 2.
Tunjrrkkan bahwa firngsi f(x) = l/x kontinu seragam pada himpunan A = [u, .o ), di mana a konstanta positif.
Tunjulkan bahwa fungsi f(x) = 1/x2 kontinu seragam pada himpunan ), tetryi tidak kontinu seragam pada B : (0, oo ).
A = [1, o
3.
Tunjukkan bahwa firngsi f(x)
: ll(* + 1) untuk xeR kontinu seragam
pada R.
4. Tunj,lkkan, jika f dan g kontinu seragampadaAc R, seragam pada A
5.
Tuqi,kkan, jika terbatas pada
A
f dan g kontinu
seragan pada
A
makaf + g kontinu
c R, dan jika keduanya A
maka perkalian fg kontinu seragam pada
6.
Jika f(x) = x dan g(x) = sin x , tunjukkan f dan g keduanya kontinu seragam pada R, tetapi perkalian fg tidak kontinu seragam pada R
7.
Jrkafkontinu seragampada A c R, Oan l(x) I tunjukkm, bahwa l/f kontinu seragampada A
8.
Bultikan jika f kontinu seragam pada suatu himpunan bagian A dari R yang
>t,
0
untuk setiap x e
d
terbatas, maka fterbatas pada A.
9.
f kontinu pada [0, o ) dan kontinu seragam pada [a, untuk suatukonst nta positif a, maka f kontinu seragam pada [0, o ). Tuqinlrk6, jika
o
)
10. Suatu fungsi f: R -+ R disebut periodik pada R jika terdapat bilangan p > 0 sehingga (x + p) = (x) untuk setiap x e R. Buktikan, bahwa fungsi periodik yang kontinu pada R terbatas dan kontinu seragam pada R.
Kosim Ryhnana.
- JarDihMd UPI 2A06
143
An alisis Reol
* Fun pi-fangsi Kontinu
5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi lnvers Pada bagian ini akan dibahas kaitan antara kekontinum suatu ftngsi dengan sifat-sifat kemonotonan fungsi inr, dilanjutkan kaitan antaxa kekontinuan suatu ftngsi dengan keberadaan fimsi invasnya.
5.5.1 Definisi MisalkanA-cR,
(i).
f:A+R.
Fungsi f disebut naik pada Aiika dan hanyaiika untuk setiap x1, x2
dan Xr (xz maluf(x) < f(xz). (i) Fungsi f disebut naik lwat pada Aiika dan hanyaiika untuk setiap xt,Y,ze A'dan Xt (xz nakaf(x) < (xr). (iiD Fungsi f disebut turun pada Aiika dan hanya jika untuk setiap x1, x2 c A dan xt <* mala (xr) > f(xz). (rO Fungsi f disebut turun kuat pada A jika dan hmya jika untuk setiap X1, x2 € Adan xr (x). (v) Fungsi f disebut monoton pada Aiikn dan hanya jika salah satu dipenuhi: fungsi f naik ataufungsi f turun pada A(vr) Fungsi f disebut monoton kuat pada A,iika dan hanyaiika salah satu dipenuhi: fungsi f naik htat atau fungsi f turun htat pada A* Catatan: (1) Jikaf : A + R naik pada Amaka g = -f turun pada A dan jikah : A+ R turunpada Amaka s = - h naik pada A (2) Fungsi monoton tidak perlu kontinu. Sebagai contoh, (x): 0 untuk x e [0, 1l dan (x) = 1 untukx e (1, 21. Fungsi fnaikpada [0, 2] meskipundi x: 1 fungsi ftidak kontinu. e
A
Teorema
di
bawatr
mempunyai kedua dai domainnya.
limit
ini
ftngsi monotton selalu tittik yang bukan titik ullung
menunjukkan bahwa
ssepihanya
di
setiap
5.5.2 Teorcma
Misallanlc\
I interval danf : I -+R adalahnaikpadal. Jika c titikyang bukan merupalean titik ujung dari I, mala (r) Lim f(x) : sup { f(x) lx e I, x
x-+c-
(ii) lim (D : inf{f(x) lxeI,x>c} x-+c +
Bukti:
(r) Misalkanxel,x(c. Karena f naik pada I, maka f(x) < f(c). Selanjutrya, definisikan A= { f(x) lx e I, x 0 diberikan sernbarane.
i44
Kosim Rulemsrra
- JarDikMd
UPI 20M
Ansllsk Real
-
Failgsi-fungsi Koninu
Berdasarka4 teorema supremum ( Analisis Real 1) maka L Olehkarcnaitu,terdapaty"e I, yu
e
bukan batas atas
L- e < f(yJ < t''
driA
Ambil6"=c-y" >0. Iika 0
maka:
L-e < f(YJ < f$) < L+
s
Olehkaenaitu lf[y)-Ll0 s€mbarang maka lim
x-)c -(r)
(ii)
,
lxe I,x
Dengan qua yang serupa, bukti secara detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
merupakan akibat dari teorema 5.5.2 di atas, bekontinuan di suatu titik yang bukan untuk memberikan suatu kriteria yang menjadi domainnya da'i suatu fungsi int€rval suatu merupakar titik ujung Teorema
di bawah ini
naik.
5.5.3 Akibat
Misalkan Ic R suatuintervaldanf :I -+Radalahftngsinaikpada I. Jika c e I bukan titik ujung dari I, maka pernyataatr berikut ekuivalen: (r) f kontinu di o
(ii) lim (*): (c) = lim (x) x-+c* x-)c(iil) sup{f(x) lxeI,xc}
untuk buktinya diserahkan kepada pe,mbaca ( gunakan teorema 5.5'2 dm 4.3.3 ).
Misalkan I suatu interval dan f : I -+ R suatu fungsi naik pada I. Jika a titik ujung kiri dari I, dapat ditunjukkan bahwa: fkontinu di a jika dan hanya jika f(a) = I i
1x->a . 1?
Dengan cara serupa, untuk suatu titik ujung kanan b untuk fungsu turun. Iika?: I -+ R naik pada dan c bukan titik ujung dari I, didefinisikan loncatan di c ('Jump" f di c ) yaug dinyatakan oleh j(c) dan ( lihat gambar 5'5'1 ) f(x) =
I
i(c)
li m
x-+a
f
li m f(x)
+
x-+a
Berdasarkan leorema 5.5.2 diperoleh:
i(r) = irf i(lr) lxeI,x>c) = sup{f(x) lxel'x
untuk fungsi naik.
tiri a dari I terletak palol, didefinisikan loncatan f di a yaitu i(a) = lim f(x) - (a) x-+a Jika titik ujung kanan b dari I terletak pada I, didefinisikan loncatan f di b
Jika titik ujung
yaitu
Kosim RabnCIta
j(b): lim (x)-f(b) x+b- JarDikMd UPI 2006
145
AnalTcis Rcal
-
Funpi-fungsi Kontinu
c
Gambar 5.5.1 Loncatan f di c
5.5.4 Teorema
Ic & I interval danf:I-+R naikpadal. Jika c kontinu di c jika dan hanya jikaj(c) = 0
Misallan
el, makaf
Bulrti:
2.5.1) kontinu di c jika dan
Jika c bukan titik ujung interval, ini trivial ( Akibat
Jika c e [, titik ujung hanya jika f(c)
:
m (x) x-)a*
Ii
kiri dari I,
maka
f
yang mana ini ekuivalen dengani(c)
:
0
Cara serupa untuk kasus c titik ujung kanan dari I.
Fungsi lnvers Akan ditentukan eksistensi dari invers untuk firngsi konr\tinu pada suuatu interw'al I c R. Perlu diingat kembali dari Analisis Real 1, bahwa fungsi f: I -+ R mempunyai suatu funggsi invers jika dan hanya jika fungsi f injektif ( satu-satu ) yaitu untuk setiap 4 y e I, x ;c y maka f(x) :e f(y) atau untuk setiap x, y e I, (*) : f(y) maka x =y. Selarjufirya fungsi yang monoton kuat adalah satu-satu sehingga mempunlai fungsi invers.
ini,
ditunjukkan bahwa jika
f: I -+ R g pada J = invers flrngsi kontinu monoton kuat, maka f mempunyai suatu frrngsi juga kontinu monoton kuat f(t) = { f(x) | x e I } dan fungsi invers g ini Pada tteorema berikut
di bawah
pada J.
5.5.5 Teorcma lnverc Kontinu Jika I g R, I interval dcn f: I --> R monoton kuat dan kontinu pada l, malu fungsi invers g dari f adalah monoton htat dan kontinu pada t46
Kosim Rakmana
- JurDikMd WI
2006
Analhit Real- Fangsi-fungsi Kontka
5.5.6 Bahan Diskusi
l.
Susun suuatu bukti fomral untuk teorema
5.5,5 di atas!
Tunjult g(x) untuk setiap x e I. Jikay e f(D g(D, tunjukkan f-r (y) < g-'(y).
2.
^ di attas Petunjuk! Interpretasikan p€nryataan
secara geometris.
5.5.7 Latihan t. Jika I = [a b] suaruintervaldant I + R firngsi nnaikpadal maka titika merupakan titik minimum mutlak dari f pada I. Jika f naik kuat, maka a
2.
satu-saturya ( unik ) merupakan titik minimum mutlak dari f pada I. masing-masing dan g(x) = x Tunj\kkan bahwa fungsi f(x) = merupakan firngsi naik kuat pada I = [0, 1], tetapi pokalian fg tidak naik
- 1,
x
pada I.
3.
Tunjul*an jika I = [q b] dan f: I -+ R naik pada I, maka f kontinu di jikadanhanyajikaf(a) = inf{f(x) lx e(a,b]}.
4.
Misalkan I
a
: [0, U dan f : I -+ R didefnisikan oleh f(x) = x untuk x rasional : (x) I - x untuk x irrasional. Tunjukkan, bahwa f firngsi satu-satu dan pada I dan((x) = xuntuk setiap x e I. Tunjrrkkaor pula bahwa fkontinu hanya di
titik x = 1/2 .
5.14isalkanf(x): xuntukxe_[0,1], dan f(x) Tuniiukkan bahwa
f
= l+x untukxe(1,2]. f dan f -' kontinu di
1 dan f - naik kuat. Apakah
setiap titik?
Kosim
Rahuna - JurDikMd UPI 2006
147
