Kalkulus Peubah Banyak
Apa itu Kalkulus Peubah Banyak ? Kalkulus Peubah banyak adalah matematika yang membahas fungsi lebih dari satu variabel (multi variabel) baik dalam menentukan nilai fungsi, limit, kontinu, derivatif, integral, deret beserta aplikasinya. Untuk mempela- jarinya diharapkan
sudah
pernah
mengambil
matakuliah kalkulus 2. 2
Peubah = Variabel Sesuatu
yang
kita
ukur,
kendalikan
atau
manipulasi dalam penelitian. - dapat berubah-ubah, berbeda-beda, bermacam-macam (tt mutu, harga, dsb); - sesuatu yg dapat berubah; faktor atau unsur yg ikut menentukan perubahan Dalam Kalkulus : F(x) = x2 + 3x + 4 ; x R F(.) : fungsi X : Variabel R : Domain 3
-
Contoh2 : Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h ): ): V = r 2 h .
- f merupakan fungsi dari 2 variabel(perubah) x dan y : f(x,y) = x + y , x, y, f(x,y) R - Fungsi 4 perubah: Sejumlah panas ( A) dilepaskan ke udara pada waktu t=0 dalam suatu medium dg difusi k , maka suhu (T ) di titik (x,y,z ) pada saat t > 0 adalah T ( x, y, z, t )
A
4 kt 3 / 2
x 2 y 2 z 2 , A dan k konstanta exp 4 kt 4
Materi yang dibahas pada pertemuan 1
1. Fungsi dua perubah 2. Limit dan kontinuitas
5
Fungsi dua perubah Diketahui D daerah di dalam R 2 pada bidang XOY. Fungsi f (x,y) untuk f :: D . didefinisikan z = f (x,y)
setiap (x,y) D disebut fungsi dua perubah(variable), dengan x dan y perubah bebas.
6
Definisi: Fungsi dua variabel terdefinisi pada bidang domain D adalah suatu aturan pemetaan dimana setiap titik (x,y) di dalam D berasosiasi dengan satu bilangan real(nyata) z =f(x,y) R . Contoh 1: Tentukan domain fungsi f ( x, y) 25 x 2 y 2 f ( x, y)
2 x y 1
D ( x, y ) R 2 | x 2 y 2 25 D ( x, y) | x 0, y R {1} 7
Fungsi2 dua variable umum diketahui dan dikenal: Tekanan atmosfir disekitar suatu pulau adalah fungsi dari longitudinal dan ketinggian di atas permukaan air laut.
Pada senar gitar, posisi suatu titik sejauh x pada saat t dapat dimodelkan untuk selang waktu singkat sebagai f(x,t)=A sin(x) cos(t) 8
Contoh 2.
Fungsi f didefinisikan : z = f (x,y) (x,y) =
xy x 2 2xy y 2
.
nilai fungsi f , di titik(2,1) adalah
f (2,1) =
2 9
yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang didefinisikan
9
Contoh 3.
Dengan cara yang sama untuk z = f (x,y) (x,y) = x2 + y2 nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah f (1,-1) (1,-1) = 2
10
Soal: Gambarkanlah pd bidang-xy domain dari 1. f ( x , y ) y / x xy 2. g ( x , y ) x s in y 3. h( x , y )
y x 2
( x 1) ( y 2)
Menentukan domain: - hindari akar bilangan negatif - hindari pembagian dengan 0 Range dari fungsi dua perubah membentuk suatu permukaan. 11
Visualisasi fungsi dua variabel sulit, dibutuhkan tehnik2 sistematis. Fungsi dua variable dapat dimengerti melalui
Tabel Plot daripada peta kontur Plot daripada irisan kurva permukaan Plot kurva permukaan
12
Z S
Z= f (x,y) (x,y)
c d
a
b
X
(x,y)
Y
f : D , (x,y)D dan z = f (x,y) (x,y)
pada bidang S.
13
Contoh 4.
Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan persamaan z = f (x,y) (x,y) = x2 + y2 menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:
14
Misalkan f(x,y) fungsi dg dua perubah; dan c adl konstanta. Himpunan semua titik ( x,y) dimana fgs bernilai c: x,y)| f(x,y) = c} {( x,y)| disebut kurva tingkat dari fungsi f . Himpunan kurva2 tingkat disebut peta kontur. kontur.
15
Kontur Kontur dari f(x,y) = x + y
16
Gambarlah kurva tingkat z = k untuk nilai2 k yang diberikan:
z x 2 y 2 ,
k 0,1,2,3,4
17
z x 2 y 2 ,
k 0,1,2,3,4
18
Permukaan paraboloid z = g(x,y) = x 2 + y 2 dan peta konturnya
19
Bola
20
21
Ellipsoida mempunyai bentuk umum sebagai berikut
22
Gambar Ellipsoida 23
Hiperboloida berdaun satu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
24
Gambar Hiperboloida berdaun Satu
25
Hiperboloida berdaun dua mempunyai persamaan umum sebagai berikut.
26
Gambar Hiperboloida berdaun 2
27
28
29
30
2. Limit dan kontinuitas a. Limit : Definisi- 1.1. Fungsi f dikatakan mempun mempunyai yai limit L untuk (x,y) (x0 ,y0) yang ditulis lim f ( x, y) L
( x, y)
(x
0
,y
0
)
jika untuk setiap >0 terdapat >0. sehingga untuk setiap (x,y) yang memenuhi 0< maka
(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 δ
(1.1)
| f (x,y) (x,y) - L | < .
Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat (x0,y0) dan berjari-jari . 31
Contoh 1.4. Tentukan nilai limit f (x,y) (x,y) = x2 + y2 untuk (x,y) mendekati di titik (2,1) Jawab : lim
( x , y ) ( 2 ,1)
f ( x , y)
lim
( x , y ) ( 2 ,1)
(x 2
y2 )
5
32
Limit dan kontinuitas b. Kontinu : Definisi- 1.2. Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0 ,y0) , jika
1.
2. 3.
f (x0 ,y0) ada dan f (x lim (x, y )(x
0
f ( x , y), ,y
0
ada
)
f (x 0 , y 0 ) lim f (x, y) (x, y) (x , y ) 0 0
apabila salah satu sifat tidak dipenuhi maka f maka f dikatakan dikatakan tidak kontinu di titik (x0 ,y0) 33
Contoh 1.5. Selidiki apakah fungsi f (x,y) (x,y) = x2 + y2
kontinu di titik (2,1)
untuk titik (2,1) ke sifat – sifat sifat kontinu yaitu Jawab : Subtitusikan nilai x dan y untuk
1. f (2,1) (2,1) = 5 < 2. 3.
lim
( x , y ) ( 2,1)
lim
( x , y ) ( 2,1)
f ( x, y)
f ( x, y)
ada 5 lim (x 2
( x , y )( 2,1)
y
2
)
= 5
karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka maka fungsi f kontinu di titik (2,1) 34
Soal Latihan a. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasan 1. a. Jika f (x,y) = 6 – 6 – 2x – 2x – 2y tentukan nilai f(1,1) dan (1,2) serta gambar luasan yang terjadi. b. Diberikan fungsi f (x,y) (x,y) = sin (3x + 2y), tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (0 , /2). 2x y c. Diberikan fungsi tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (4,3). f(x, y)
d. Diberikan fungsi
x 2 y2
f(x, f(x, y) e y s in x tentukan nilai f (x,y) (x,y) pada saat (x,y)= ( /4, /3).
2. Gambarlah luasan a. f (x,y) (x,y) = 2y – 2y – x2 – y2 b. Gambarkan daerah R pada bidang XY yang dibatasi oleh X 2 + Y2 = a2 ; X 2 +Y2 = b2 ; X = 0 dan Y = 0 dimana 0< a
b.Limit Fungsi Dua Perubah Hitunglah nilai limit sbb: a.
lim ( x , y)
b.
d.
( 4,
lim ( x , y)
c.
x s in
)
( x, y)
x
=
2x y = 2 2 (1,0) x y
lim (3x ( x , y) (1,3)
lim
y
2
y
3x (1,0) 2x
xy
2y
3
)
3y
36
c.Kontinuitas
Apakah fungsi f kontinu di titik (1,2) jika x2 + 2y, (x,y) (1,2) f (x) (x) =
0
, (x,y) = (1,2).
37
1. Apabila 1. Apabila D daerah di dalam
2
atau bidang XOY, fungsi f : D
didefinisikan
z = f (x,y)
untuk setiap (x,y) D disebut fungsi dua variabel, dengan x dan y variabel independen. 2. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk (x,y) lim f ( x, y) ( x, y) ( x , y ) 0 0
jika untuk setiap >0 terdapat
0<
maka
(x
| f (x,y) - L | <
>0.
x0 )2
(x0 ,y0) yang ditulis
L
sehingga untuk setiap (x,y) yang yang memenuhi (y y 0 ) 2
δ
(1.1)
Dalam hal ini, ketaksamaan ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat pusat (x0,y0) dan berjari-jari
.
3 Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0 ,y0) , jika f (x (x0 ,y0) ada dan .
lim f (x, y) (x, y) (x , y ) 0 0
f(x 0 , y 0 )
38
Definisi Fungsi f dapat dideferensialkan di p jika terdapat suatu vektor q sedemikian hingga f(p f(p+h) f(p f(p) = q.h + |h |h|(h) 0 dan h → 0 Dengan (h) JIka f dapat dideferensialkan dideferensialkan di p ia mempunyai gradien
–
→
f (p) dan f (p h) f (p) f (p).h | h | . (h) 39
Operator nabla
operator didefinisikan dalam koordinat Cartesius sebagai:
i j k x y z
Misalkan ada fungsi dengan tiga variabel T(x,y,z) yang menunjukkan suatu suhu pada suatu ruangan. maka gradien suhu T T T T = T = i j k x y z Seperti halnya vektor biasa, operator dapat bekerja dengan 3 bentuk perkalian: Bekerja pada fungsi skalar: T disebut gradien Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian dot: .V disebut divergensi Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian silang: x V 40 disebut rotasi atau curl.
Gradien
Gradien suatu fungsi scalar adalah suatu vector yang harganya merupakan turunan berarah maksimum di titik yang sedang di tinjau, sedangkan arahnya merupakan arah turunan berarah maksimum di titik tersebut.
i
x
j
y
k
z
41
Contoh : Gradien suatu fungsi r 2 2 2 Ambil f(r) = f x y z
f r i
Dengan
sehingga
f r f r f r j k x y z
2 2 2 x f r df r r r x y z dan dx r x x x x
x y z df r r df df f r i j k r 0 r dr dr r r r dr ˆ
42
