STATISTIKA DAN PROBABILITAS UJI Z DAN UJI T
OLEH: HANI CHRISTOPHER
(1220620123)
JANWAR CHRIS
(1220623046)
DEBY RIZKYAWAN
(1010623032)
JURUSAN MESIN UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat serta penyertaanNYA kepada penulis dari awal hingga akhir pembuatan makalah, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Statistika dan Probabilitas tentang Uji Z dan T. Adapun makalah Statistika dan Probabilitas tentang Uji Z dan T ini telah kami usahakan semaksimal mungkin dan tentunya dengan bantuan berbagai pihak, sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami tidak lupa menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan makalah ini. Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadar sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari segi penyusunan bahasanya maupun segi lainnya. Pembaca diharapkan dapat memberikan saran dan kritik kepada kami sehingga kami dapat memperbaiki makalah ini.
Akhirnya penulis mengharapkan semoga dari makalah Statistika dan Probabilitas tentang Uji Z dan T ini pembaca mendapat ilmu dan dapat bermanfaat bagi pembaca.
Malang, Mei 2013
Penyusun
PENDAHULUAN
Latar Belakang Seperti yang kita ketahui bahwa Uji Z dan Uji T merupakan pengujian parametrik. Jika suatu pengujian secara persis tidak diketahui apakah terdistribusi normal atau tidak, atau jumlah < 30, maka pengujian harus dilakukan secara non parametrik. Uji Z adalah salah satu uji statistika yang pengujian hipotesisnya didekati dengan distribusi normal. Menurut teori limit terpusat, data dengan ukuran sampel yang besar akan berdistribusi normal. Oleh karena itu, uji Z dapat digunakan untuk menguji data yang sampelnya berukuran besar. Selain itu Uji Z digunakan untuk menganalisis data yang varians populasinya diketahui. Uji T merupakan statistik uji yang sering kali ditemui dalam masalah – masalah praktis statistika. Uji T dapat dibagi menjadi dua yaitu yang pertama Uji T yang digunakan untuk pengujian hipotesis 1 sampel dan yang kedua uji T uang digunakan untuk pengujian hipotesis 2 sampel. Untuk membandingkan nilai tengah populasi dengan nilai tertentu atau dengan nilai tengah populasi lainnya bisa dilakukan dengan Uji Z. Namun Uji Z hanya bisa digunakan apabila data berdistribusi normal serta ragam populasai diketahui. Pada kenyataannya, jarang sekali kita bisa mengetahui nilai parameter suatu populasi dengan pasti, sehingga kita hanya bisa menduga parameter populasi tersebut dari sampel yang kita ambil. Karena kita tidak mengetahui berapa simpangan baku populasi,
, maka nilai ini ditaksir dengan simpangan
baku sampel, s, yang dihitung dari sampel. Hanya saja, untuk sampel berukuran kecil, s bukanlah nilai taksiran yang akurat untuk
sehingga tidak valid lagi apabila kita
menggunakannya untuk Uji Z. Untuk ukuran sampel yang kecil, kita bisa mendekatinya dengan menggunakan Uji T. Dengan adanya makalah Uji Z dan Uji T ini diharapkan dapat membantu dalam mengidentifikasi uji mana (antara Uji Z dan Uji T) yang tepat yang digunakan dalam menghadapi suatu persoalan.
Tujuan Tujuan dari makalah tentang Uji Z dan Uji T ini adalah: 1. Mengetahui perbedaan Uji Z dan T 2. Diharapkan dapat memilih penggunaan uji yang tepat yang dipakai dalam mengehadapi persoalan.
PEMBAHASAN
1. Uji Z Uji Z adalah salah satu uji statistika yang pengujian hipotesisnya didekati dengan distribusi normal. Menurut teori limit terpusat, data dengan ukuran sampel yang besar akan berdistribusi normal. Oleh karena itu, uji Z dapat digunakan untuk menguji data yang sampelnya berukuran besar. Jumlah sampel 30 atau lebih dianggap sampel berukuran besar. Selain itu, uji Z ini dipakai untuk menganalisis data yang varians populasinya diketahui. Namun, bila varians populasi tidak diketahui, maka varians dari sampel dapat digunakan sebagai penggantinya. Kriteria Penggunaan uji Z: 1. Data berdistribusi normal 2. Variance 3.
(σ2) diketahui
Ukuran sampel (n) besar, ≥ 30
4. Digunakan hanya untuk membandingkan 2 buah observasi. Langkah Pengujian Hipotesis 1. Merumuskan Hipotesis Ada tiga rumusan hipotesis 1. Uji satu pihak/sisi (one tail) kiri Yaitu ketika kita mempunyai hipotesis lebih kecil dari apa yang berlaku H0 : θ = θ 0 Ha : θ < θ 0 2. Uji dua pihak/sisi (two tail) Yaitu ketika kita mempunyai hipotesis tidak sama dengan apa yang berlaku H0 : θ = θ 0 Ha : θ ≠ θ0 3. Uji satu pihak/sisi (one tail) kanan Yaitu ketika kita mempunyai hipotesis lebih besar dari apa yang berlaku H0 : θ = θ 0 Ha : θ > θ 0
2. Menghitung Statistika Uji Statistika uji yang di gunakan bermacam-macam, tergantung jenis pengujian dan skala
pengukuran datanya. Seperti uji Z, t, F, χ 2 dan sebagainya 3. Menentukan Kriteria Uji Kriteria uji di tentukan berdasarkan besarnya tingkat keyakin an menggunakan tabel sesuai dengan statistika uji yang digunakan. Jika di gambarkan : 1. Uji satu pihak/sisi (one tail) kiri
daerah penerimaan H0
γ daerah penolakan H0
- tabel
2. Uji dua pihak/sisi (two tail)
daerah penerimaan H0
γ daerah
daerah
penolakan
penolakan
H0
H0
- tabel
tabel
(γ) yang ditentukan dan
3. Uji satu pihak/sisi (one tail) kanan daerah penerimaan H0
γ daerah penolakan H0
tabel
Misalkan di gunakan tabel Z maka :
Jika ditentukan γ = 95% Untuk membuat kriteria uji, maka terlebih dahulu harus di tentukan nilai tabel Z 1. Pada uji dua pihak/sisi maka :
Jika tingkat keyakinan γ = 95 %, maka di badan tabel di lihat
= 0,95/2 = 0,4750
2
Kemudian lihat titik di sebelah kiri dan atas, diperoleh nilai z = 1,96 95%
0,4750
z
0 , 95
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
z
2
,06
0, 4750
,07
1,96
,08
,09
1,0 ,3413 ,3438 ,3461 ,3485 ,3508 ,3531 ,3554 ,3577 ,3599
,3621
1,1 ,3643 ,3665 ,3686 ,3708 ,3729 ,3749 ,3770 ,3790 ,3810
,3830
1,2 ,3849 ,3869 ,3888 ,3907 ,3925 ,3944 ,3962 ,3980 ,3997
,4015
1,3 ,4032 ,4049 ,4066 ,4082 ,4099 ,4150 ,4131 ,4147 ,4162
,4177
1,4 ,4192 ,4207 ,4222 ,4236 ,4251 ,4265 ,4279 ,4292 ,4306 ,4319 1,5 ,4332 ,4345 ,4357 ,4370 ,4382 ,4394 ,4406 ,4418 ,4429 ,4441 1,6 ,4452 ,4463 ,4474 ,4484 ,4495 ,4505 ,4515 ,4525 ,4535 ,4545 1,7 ,4554 ,4564 ,4573 ,4582 ,4591 ,4599 ,4608 ,4616 ,4625 ,4633 1,8 ,4641 ,4649 ,4656 ,4664 ,4671 ,4678 ,4686 ,4693 ,4699 ,4706 1,9 ,4713 ,4719 ,4726 ,4732 ,4738 ,4744 ,4750 ,4756 ,4761 ,4767 ,4750
Sehingga kriteria ujinya adalah
daerah penerimaan H0 0,95 daerah
daerah
penolakan
penolakan
H0
H0
- 1,96
1,96
2. Pada uji satu pihak/sisi maka :
Jika tingkat keyakinan γ = 95 %, maka di badan tabel di lihat (γ – 0,5) = 0,95 – 0,5 = 0,4500
Kemudian lihat titik di sebelah kiri dan atas, diperoleh nilai z = 1,64
95%
0,4500
z
( 0 , 95 0, 5)
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
z
0, 4500
,07
1,64
,08
,09
1,0 ,3413 ,3438 ,3461 ,3485 ,3508 ,3531 ,3554 ,3577 ,3599
,3621
1,1 ,3643 ,3665 ,3686 ,3708 ,3729 ,3749 ,3770 ,3790 ,3810
,3830
1,2 ,3849 ,3869 ,3888 ,3907 ,3925 ,3944 ,3962 ,3980 ,3997
,4015
1,3 ,4032 ,4049 ,4066 ,4082 ,4099 ,4150 ,4131 ,4147 ,4162
,4177
1,4 ,4192 ,4207 ,4222 ,4236 ,4251 ,4265 ,4279 ,4292 ,4306 ,4319 1,5 ,4332 ,4345 ,4357 ,4370 ,4382 ,4394 ,4406 ,4418 ,4429 ,4441 1,6 ,4452 ,4463 ,4474 ,4484 ,4495 ,4495 ,4505 ,4515 ,4525 ,4535 ,4545 1,7 ,4554 ,4564 ,4573 ,4582 ,4591 ,4599 ,4608 ,4616 ,4625 ,4633 1,8 ,4641 ,4649 ,4656 ,4664 ,4671 ,4678 ,4686 ,4693 ,4699 ,4706 1,9 ,4713 ,4719 ,4726 ,4732 ,4738 ,4744 ,4750 ,4756 ,4761 ,4767
Sehingga kriteria ujinya adalah
daerah penerimaan H0 0,95 daerah penolakan H0
1,64
Hasil perhitungan statistika uji kemudian di bandingkan dengan nilai kriteria uji dan lihat apakah jatuh di daerah penerimaan H 0 atau jatuh di daerah penolakan H 0 - Jika H0 di terima berarti apa yang kita hipotesiskan salah dan apa yang berlaku yang benar - Jika H0 di tolak berarti apa yang kita hipotesiskan benar, dan ini yang di harapkan
4. Membuat Kesimpulan Buatlah kesimpulan berdasarkan hipotesis yang di buat. Contoh Penggunaan Uji Z 2. Uji Z satu pihak
Contoh kasus Pupuk Urea mempunyai 2 bentuk, yaitu bentuk butiran dan bentuk tablet. Bentuk butiran lebih dulu ada sedangkan bentuk tablet adalah bentuk baru. Diketahui bahwa hasil gabah padi yang dipupuk dengan urea butiran rata-rata 4,0 t/ha. Seorang peneliti yakin bahwa urea tablet lebih baik daripada urea butiran. Kemudian ia melakukan penelitian dengan ulangan n=30 dan hasilnya adalah sebagai berikut:
Hasil gabah padi dalam t/ha 4,0
5,0
6,0
4,2
3,8
6,5
4,3
4,8
4,6
4,1
4,9
5,2
5,7
3,9
4,0
5,8
6,2
6,4
5,4
4,6
5,1
4,8
4,6
4,2
4,7
5,4
5,2
5,8
3,9
4,7
Hipotesis H0 : = (rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet sama dengan padi yang dipupuk dengan urea butiran) HA : >
(rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet lebih tinggi dari
padi yang dipupuk dengan urea butiran) Analisis yt= 4,0 t/h yb= 4,9 t/h S
= 0,78 digunakan sebagai estimasi σ
Zhit = (yt – y b)/(σ/√n) = (4,0 – 4,9)/(0,78/√30 = – 6,4286 Ztabel = Zα= Z0,05 = 1,645 Kriteria Pengambilan Kesimpulan Jika |Zhit| < |Ztabel|, maka terima H0 Jika |Zhit|
≥ |Ztabel|, maka tolak H 0 alias terima HA
Kesimpulan Karena harga |Zhit| = 6,4286 > harga |Ztabel | = 1,645, maka tolak H 0 alias terima HA Jadi, rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet nyata lebih tinggi dari padi yang dipupuk dengan urea butiran
2. Uji-Z dua pihak
Contoh kasus Sebuah pabrik pembuat bola lampu pijar merek A menyatakan bahwa produknya tahan dipakai selama 800 jam, dengan standar deviasi 60 jam. Untuk mengujinya, diambil sampel sebanyak 50 bola lampu, ternyata diperoleh bahwa rata-rata ketahanan bola lampu pijar tersebut adalah 792 jam. Pertanyaannya, apakah kualitas bola lampu tersebut sebaik yang dinyatakan pabriknya atau sebaliknya? Hipotesis H0 :
= μ (rata ketahanan bola lampu pijar tersebut sama dengan yang dinyatakan oleh
pabriknya) HA :
≠ μ (rata ketahanan bola lampu pijar tersebut tidak sama dengan yang dinyatakan oleh
pabriknya) Analisis
Nilai Ztabel dapat diperoleh dari Tabel 1. Dengan menggunakan Tabel 1, maka nilai Z0,025
adalah nilai pada perpotongan α baris 0,02 dengan α kolom 0,005, yaitu 1,96. Untuk diketahui bahwa nilai Zα adalah tetap dan tidak berubah-ubah, berapapun jumlah sampel. Nilai Z0,025 adalah 1,96 dan nilai Z0,05 adalah 1,645.
Tabel 1. Nilai Z dari luas di bawah kurva normal baku 0
α
0.001 0.002
0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
3.090 2.878 2.748 2.652 2.576 2.512 2.457 2.409 2.366
0.00 0.01
2.326
2.290 2.257 2.226 2.197 2.170 2.144 2.120 2.097 2.075
0.02
2.054
2.034 2.014 1.995 1.977
0.03
1.881
1.866 1.852 1.838 1.825 1.812 1.799 1.787 1.774 1.762
0.04
1.751
1.739 1.728 1.717 1.706 1.695 1.685 1.675 1.665 1.655
0.05
1.645
1.635 1.626 1.616 1.607 1.598 1.589 1.580 1.572 1.563
0.06
1.555
1.546 1.538 1.530 1.522 1.514 1.506 1.499 1.491 1.483
0.07
1.476
1.468 1.461 1.454 1.447 1.440 1.433 1.426 1.419 1.412
0.08
1.405
1.398 1.392 1.385 1.379 1.372 1.366 1.359 1.353 1.347
0.09
1.341
1.335 1.329 1.323 1.317 1.311 1.305 1.299 1.293 1.287
0.10
1.282
1.276 1.270 1.265 1.259 1.254 1.248 1.243 1.237 1.232
1.960 1.943 1.927 1.911 1.896
Kriteria Pengambilan Kesimpulan Jika |Zhit| < |Ztabel|, maka terima H0 Jika |Zhit|
≥ |Ztabel|, maka tolak H 0 alias terima HA
Kesimpulan Karena harga |Zhit| = 0,94 < harga |Ztabel | = 1,96, maka terima H 0 Jadi, tidak ada perbedaan yang nyata antara kualitas bola lampu yang diteliti dengan kualitas bola lampu yang dinyatakan oleh pabriknya.
2. Uji T Uji T digunakan untuk menilai apakah rata
– rata dua kelompok secara statistik
berbeda satu dengan yang lain. Penggunaan Uji T cocok ketika kita akan membandingkan rata – rata dua kelompok serta untuk menganalisa desain eksperimental posttest dua kelompok yang dipilih secara random. Yang dimaksud dengan perbedaan rata
– rata
secara statistika adalah adanya perbedaan variabilitas atau sebaran data antara kelompok yang dibandingkan. Maksudnya dua kelompok mempunyai perbedaan rata
– rata jika
sebaran data atau variabilitas berbeda dengan yang lain. Analisis Uji T digunakan untuk menguji perbedaan tersebut. Kriteria penggunaan Uji T: 1. Data harus berdistribusi normal. 2. Data berskala interval atau rasio. 3. Ada kesamaan dengan menggunakan pengujian F atau pengujian Levene. 4. Sampel dapat dependen atau independen tergantung pada hipotesis dan jenis sampel. Sampel independen biasanya dua kelompok yang dipilih secara random. Sedang sampel dependen dapat dua kelompok yang dipasangkan pada variabel tertentu atau orang sama yang diuji dua kali atau disebut sebagai pengujian berulang.
Contoh Soal Misalnya Seorang Kepala Puskesmas menyatakan bahwa rata-rata perhari jumlah kunjungan pasien adalah 20 orang. Untuk membuktikan pernyatan tsb, kemudian di ambil sampel random sebanyak 20 hari kerja dan diperoleh rata-rata 23 orang dengan standar deviasi 6 orang.
Sekarang kita akan menguji apakah rata-rata jumlah kunjungan pasien sebelumnya berbeda secara statistik dengan yang saat ini.
Langkah-langkah pengujian. 1. HIPOTESIS
Ho = 20 ( tidak ada perbedaan kunjungan pasien tahun lalu dengan saat ini)
Ha ≠ 20 ( ada perbedaan kunjungan pasien tahun lalu dengan saat ini )
2. STATISTIK UJI Uji t satu sampel
KETERANGAN : x = rata-rata sampel µ = rata-rata populasi/penelitian terdahulu S = Standar Deviasi n = jumlah (banyaknya) sampel
Perhitungan :
DF = n – 1 → 20 -1 = 19, di tabel T, p value terletak antara 0,025 dan 0,001.
3. KEPUTUSAN STATISTIK
Karena nilai P pada tabel (< 0,025) yang berarti kurang dari nilai α = 0,05, maka Ho dapat kita ditolak
4. KESIMPULAN Secara statistik ada perbedaan yang signifikan antara kunjungan pasien tahun lalu dengan saat ini.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDsQFj AD&url=http%3A%2F%2Fkk.mercubuana.ac.id%2Ffiles%2F93030-8 838051301263.doc&ei=llOaUaTaDIHRrQfGzoGoBQ&usg=AFQjCNEJXFJtdZiAQ70R_7hI 5br7LUi-QQ , diakses pada tanggal 18 Mei 2013 http://www.smartstat.info/statistika/uji-t-student/uji-t-student.html , diakses pada tanggal 18 Mei 2013 http://uchiaja.blogspot.com/2012/01/uji-t-dan-uji-z.html , diakses pada tanggal 18 Mei 2013 http://www.igcomputer.com/perhitungan-uji-t-uji-z-dan-uji-f-pada-statistik-inferensi.html , diakses pada tanggal 18 Mei 2013 http://hatta2stat.wordpress.com/2010/12/29/uji-z-2/ , diakses pada tanggal 18 Mei 2013
