Trabajo Estadistica Industrial 1

ESTADÍSTICA INDUSTRIAL

Facultad de Ingeniería Industrial

PRUEBA DE HIPOTESIS “ Z” PARA UNA MUESTRA

PROBLEMA 1 En una rama industrial se paga un salario promedio de 15.00 dólares por hora. En una muestra de 36 trabajadores de una empresa se determinó un salario promedio = 14.50 y una desviación estándar s = 0.60 dólares.

a. Un intervalo inter valo unila uni lateral teral de confi con fianza anza us a los res r esulta ultados dos de la muestra mues tra para esta es table blecer cer un límite s uperior uperi or o uno inferior infer ior para el valor valor del parámet parámetro ro poblacional poblacion al.. Para P ara es es te ejer ejerci cici cio o esta es tablezca blezca un lími límite te s uperior uper ior de confi anza de 95% para el salario por hora que paga la empresa. La forma de este intervalo unilateral unilateral de confianza requiere requier e tener, tener, cuando c uando menos, 95% de confianza confi anza en que la media de de la población población s ea este es te valor valor o menos. menos . ¿ C uál uál es la declaraci declaración ón de 95% de confi anza para para es te intervalo intervalo unila uni latera terall de confianza confi anza?? S OL UCIÓ UC IÓN N Datos

  1536 $ ℎ ℎ      ̅  14.140.6.05 $$  ℎ ℎ ): ≥15 ó    ℎó  : <15 0. ) 05 : ) í  : ;  ≥30. )   ó  ó  ó  ℎ(í)

PROBLE MAS RE SUELTOS SUELTOS

Página Página 1



)   í     ̅ ⁄√    14.0.650⁄√ 363156   55 ∴  ∈ ó ó  ℎ ℎ , ,     ℎ         ,: ̅   ∶ [   −⁄ . √  ,  −⁄ . √  ] [ 15  1,96 ∗ √ 0.36366 , 15  1,96 ∗ √ 0.36366 ]  14.8 ,15. , 15.19696 ∴ ̅      , ,      ℎ ℎ      Del mis mis mo modo:

   ∶ [ ̅   −⁄ . √  , ̅   −⁄ . √  ] [ 14.5  1.96 ∗ √ 0.36366 , 14.5  1.96 ∗ √ 0.36366 ]  14.30 ,14. , 14.69 ∴       , ,       ℎ ℎ      PROBLE MAS RE SUELTOS SUELTOS

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b. Us e el res ultado ultado del intervalo unilateral unilateral de confianza confi anza para para probar 15. ¿ C uál uál es s u conclus conclusión? ión? E xplíquel xplíquela a.

ó:      ó         95%                     ,          í                á      ,    : 1 4. 3 0 ,14. , 14. 6 9 ,                       .  á      95%       E mplea mpleando ndo minitab, minitab, podemos podemos observa obs ervarr lo sig s ig uiente: uiente:

Z de una muestra Prueba de mu = 15 vs. < 15 La desviación estándar supuesta = 0.6

N 36

Media 14.500

Error estándar de la media 0.100

Límite superior 95% 14.664

Z -5.00

P 0.000

Podemos observar que,

     ,     ℎ ℎ    < 

Y además el valor de p= 0.00.. el cual es menor a 0.05 , ; entonces concuerda en la decisión de rechazar la Hipótesis nula, y aceptar la Hipótesis Alternativa.


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PROBLEMA 2 En la Universidad Western la media histórica de la calificación de los alumnos que ingresan ha sido 900, con desviación estándar de 180. Cada año se toma una muestra de las solicitudes para ver si se conserva el mismo nivel de calificaciones que en años anteriores. La hipótesis nula que se prueba es = 900. Una muestra de 200 alumnos que ingresaron este año da como resultado una calificación promedio de 935. Use un nivel de significancia de 0.05.

a. Con el método del intervalo de confianza, lleve a cabo una prueba de hipótesis . S OL UC IÓN: Datos:

900 180 200 ̅935 ): 900   ó    ℎó  : ≠900 0. ) 05  : ) í  : ;  ≥30. )   ó  ó  ó  ℎ(í)

PROBLE MAS RE SUELTOS

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    ,:    ∶[ ̅  −⁄ . √  , ̅   −⁄ . √  ] [ 9351,96∗ √ 180200 , 9351,96∗ √ 180200 ]  910.0536 ,959.9464 ∴      ,     ℎ     ̅  ∶ [   −⁄ . √  ,  −⁄ . √  ] [ 9001,96∗ √ 180200 , 9001,96∗ √ 180200 ]  875.05 ,924.95 ∴ ̅     ,     ℎ       ó:       ,   ℎ  ó  ñ  ,         900                        á         De otro modo, obtenemos la mis ma conclus ión:

b. Us e un estadís tico de prueba para probar es ta hipótes is . S OL UC IÓN

)   í  

 ̅ ⁄√  900  935 180⁄√ 200  2.75 ∴ ∈ó í ,   ℎ    


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ó:          ó  í     ,    ℎ ,    ℎó ñ  ,                           á           900     c. ¿ Cuál es el valor p para esta prueba? S OL UC IÓN

2. 7 5

, entonces el área sería el valor de p p = 2*( 0.5 – 0.4970)

p = 0.006

2. 7 5 E mpleando Minitab, podemos observar lo si g uiente:


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Z de una muestra Prueba de mu = 900 vs. no = 900 La desviación estándar supuesta = 180

N 200

Media 935.0

Error estándar de la media 12.7

IC de 95% (910.1, 959.9)

Z 2.75

P 0.006

Podemos observar que,

     ,     ℎ   < 

Y además el valor de p= 0.006 el cual es menor a 0.05 , ; entonces concuerda en la decisión de rechazar la Hipótesis nula, y aceptar la Hipótesis Alternativa.


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RELACIONES PROPORCIONALES PARA UNA MUESTRA PROBLEMA 1 1) Se dan las siguientes hipótesis Ho: π=0.40 H1: π≠0.40

En una muestra de 120 observaciones se encuentra que p =0.30 ¿Puede rechazarse la hipótesis nula al nivel de significancia de 0.05? a) Establezca la regla de decisión b) Calcule el valor del estadístico de prueba c)¿Cuál es su decisión con respecto a la hipótesis nula?

Resolución: Paso1:

L a hipótesis nula, Ho, es que la proporción poblacional π sea 0.40. L a hipótesis alternativa, H1, es que la proporción poblacional sea diferente de 0.40.Es decir: Ho: π=0.40 H1: π≠0.40

Paso 2:

El nivel de significancia es 0.05. Esta es la probabilidad de que una hipótesis verdadera sea rechazada.

Paso3:

El estadístico adecuado es Z (prueba de hipótesis para una proporción)

Paso 4:

El valor crítico de Z constituye el punto divisorio entre las regiones de aceptación y de rechazo de Ho. Como la hipótesis alternativa establece dos direcciones, esta es una prueba de dos colas. El nivel de significancia fue 0.05. Esta probabilidad se encuentra repartida igualmente entre las dos colas y determina la zona de rechazo. Dirigiéndonos a la tabla de distribución Z, y buscar 0.475 se obtendrá el valor de z cual es -1.96 para el lado izquierdo y 1.96 para el lado derecho. Como α=0.05, no se rechaza la Ho si z > 1.96 o z < -1.96, caso contrario se rechaza la Ho. Como podemos ver en el siguiente gráfico.


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL PASO 5:


RE SPUESTA B

Los datos calculados manualmente mediante la fórmula es:

Formula:

0.4  2.236   00..43(10. ) 4 120 Ahora lo resolveremos usando el paquete estadístico minitab 16. Para obtener los datos calculados de z, se emplea el paquete estadísticos, ingresando los datos correspondientes siguiendo los siguientes pasos. 1. En la barra de Menú hacer clic de la siguiente manera: Estadística, luego estadística básica y finalmente 1 proporción.   


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2. Luego ingresar los datos: Numero de eventos: Numero de ensayos: Proporción Hipotética:


36 120 0.40

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Luego clic en opciones> Nivel de confianza: Hipótesis alterna:

0.05 No es igual a

3. Finalmente clic en Aceptar , los resultados obtenidos son:

Paso 6: Se observa que el valor calculado de z es : -2.24 mientras que el valor estaditico z es de [1.96 a 1.96] zona de aceptacion. Por lo tanto se rechaza la hipotesis nula por caer en la zona de rechazo de Ho.

-2.24


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PROBLEMA 2 Se hace un experimento para determinar el efecto del peróxido de hidrógeno sobre el tiempo de germinación de semillas de pino (el peróxido de hidrógeno se suele emplear para matar el germen). Si el 53% de las semillas tratadas germinaron en día y medio o menos, ¿parece razonable con el 5% de nivel de significancia, el suponer que la mitad de una muestra de 300, de tales semillas tratadas germinarán en un día y medio a lo más en las condiciones del experimento?

S OL UCIÓN: 1.- Planteamiento de la Hipótesis H0: p = 0.53 Proporción de semillas que germinaron al día y medio, a lo mas. H1: p ≠ 0.53

2.- Nivel de Significancia 3.- Estadístico Z

=0.05



“Proporciones”

4.- Regla de Rechazo Punto Critico: Z(  /2) = Z(0.25)=±1.96 Si Z es menor que 1.96 y mayor que -1.96, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa.

5.- Calculo del estadístico

  ̂ .  300 ̂   0.5


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  0.0.550.3(0.5437) 300 1.04 Entonces como Z pertenece a la región de aceptación, pues es mayor que -1.96 y menor que 1.96, por lo tanto se acepta la hipótesis nula. 6. Conclusión:

De la muestra de 300 semillas, es confiable decir que a un nivel de si g nifi cancia del 5% la mitad de es tas , germinaran en un día y medio a lo más . Usando Minitab:


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Observamos que el valor de P es mayor que α, además también se observa que

nuestra nues tra proporción proporc ión de la mues muestra tra 0.5 se s e encuentra dentro dentro del intervalo de confianza al 95%, por lo tanto tanto aceptamos aceptamos la hipótes hi pótesis is nula.


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PRUEBA DE HIPOTESIS “Z” PARA DOS MUESTRAS

PROBLEMA 1 En las zonas costeras de Estados Unidos, Cape Cod, Outer Banks, las Carolinas y la costa del Golfo, hubo, durante los años 90 un crecimiento relativamente rápido de la población. Los datos recolectados son sobre la personas que viven tanto en zonas costeras como en zonas no costeras de todo EEUU (USA today, 21 de julio de 2000).Suponga que se obtuvieron los resultados muestrales siguientes sobre las edades de estas dos poblaciones de personas. Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las dos medias poblacionales. Use α=0.05.

Zona costera n1=100 x1=39.3 s1=16.8

Zona no costera n2=175 n2=35.4 s2=15.2

¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor-p? ¿A qué conclusión llega?

Formule For mule la la hipótes hipótes is nula y alternat alternativ iva a. S OL UC IÓN: IÓ N: Datos:

H0: µ1= µ2 H1: µ1≠µ2 ii) Nivel de Significancia:


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C uál es el valor valor del estadís tico de prueba. S OL UC IÓN IÓ N

¿ C uál es el valor-p? valor-p?

¿ A qué q ué conclus conc lusión ión llega? lleg a?

E mplea mpleando ndo Minitab, Minitab, podemos podemos observa observ ar lo sig s ig uiente: uiente:


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PROBLEMA 2 Un ingeniero industrial desea saber si se producen más unidades en el turno nocturno, que en el diurno. En una muestra de 54 días del turno diurno, el número medio de unidades producidas fue 345, y la desviación estándar, 21. En una muestra de 60 días del turno nocturno vespertino, la media fue 351 unidades y la desviación estándar, 28 unidades. En el nivel de significancia de 0.05, ¿es mayor la cantidad de unidades producida por el turno nocturno? Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: u1 = u2 Ha: u1 > u2

2) Nivel de significancia: α = 0.05 3) Determinar estadístico: z 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo

R.A.

R.C.

351345   112    2  28  21  1.3 02 > 0.0 968 1 2 60 54 >    ℎ  

5) Calculo del estadístico:

Conclusión: Basándose en las muestras recogidas en esos días el ingeniero industrial puede afirmar con seguridad que el turno nocturno produce mayor cantidad de unidades.


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RELACIONES PROPORCIONALES PARA DOS MUESTRAS PROBLEMA 1 A una muestra a nivel nacional (en Estados Unidos) de ciudadanos influyentes de los partidos republicanos y demócratas, se les pregunto, entre otras cosas, si estaban de acuerdo con la disminución de los estándares ambientales para permitir el uso del carbón con alto contenido de azufre como combustible, los resultados fueron: Republicanos

Demócratas

Cantidad muestreada

1000

800

Cantidad a favor

200

168

Al nivel de significancia 0.02 ¿Puede decirse que hay una proporción mayor de demócratas a favor de reducirlos estándares?

Resolución: Paso 1: Establecer la hipótesis nula, en este caso L a hipótesis nula, Ho, es que la proporción de republicanos es mayor o igual a la proporción de demócratas frente a la aceptación de la disminución de los estándares ambientales para permitir el uso del carbón con alto contenido de azufre como combustible. Es decir: Ho: πd ≤ πr H1: πd>πr

Paso 2: El nivel de significancia es 0.02. Esta es la probabilidad de que una hipótesis verdadera sea rechazada. Paso 3: El estadístico adecuado es Z (prueba de hipótesis acerca de la proporción de dos poblaciones) Paso 4:

Formula de la reg la de decis ión:

Como la hipótesis alternativa establecida en el paso 1 indica una dirección, cola derecha. Para determinar el valor critico se resta el área del nivel de significancia (0.02) de la cola derecha (0.5 – 0.02 = 0.48) y se busca este resultado en la tabla de distribución Z.


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Se rechaza la Ho Se acepta la Ho

Paso 5: Primero lo resolveremos usando la formula especifica. Donde:

La fórmula general para dos proporciones es:

  +  168 200  800 1000   0.204(10.204)  0.204(10.204)  0.0.019101 0.523 800 1000

Reemplazando los datos:

Entonces el valor de Z calculado manualmente es 0.523. Ahora usando el paquete estadístico Minitab 16. Para obtener los datos calculados de z, se emplea el paquete estadísticos, ingresando los datos correspondientes siguiendo los siguientes pasos. 1. En la barra de Menú hacer clic de la siguiente manera: Estadística, luego estadística básica y finalmente 2 proporciones...   


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2. Luego ingresar los datos: Hacer clic en datos resumidos, luego: Eventos Ensayos Primero: 168 Segundo: 200

800 1000

E s tos datos s on respectivamente: X1: X2: N1: N2:

168 200 800 1000

-> cantidad a favor de parte de los demócratas. -> cantidad a favor de parte de los republicanos. -> número total de demócratas. -> número total de republicanos.

Seguir los pasos como se muestra en la imagen.


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3. Finalmente clic en Aceptar , los resultados obtenidos son:

Paso 6: No se rechaza la hipótesis nula(Ho), Debido a que no hay diferencia entre las proporciones de demócratas y republicanos que están a favor de la disminución de los estándares ambientales para permitir el uso de carbón con alto contenido de azufre como combustible.

Se acepta la Ho

0.52


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PROBLEMA 2 La National Association of Purchasing Managers (Asociación nacional de gerentes de compras en EUA) publica el índice NAPM. Una pregunta que se les hace En la encuesta a los agentes de compras es:” ¿Cree usted que la economía se está expandiendo?” El mes

pasado de 300 encuestados, 160 respondieron que sí. Este mes, 170 de 290 encuestados dieron una respuesta afirmativa. Al nivel de significancia 0.05, ¿puede concluirse que este mes es mayor la proporción de compradores que piensa que la economía, en EUA, se está expandiendo? Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: p1 ≥ p2 Ha: p1 < p2

2) Nivel de significancia: α = 0.05 3) Determinar estadístico: z 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo

R.A. R.C.

R.C.


          0.559   (1) (1)   0.559(10.0.559)530. 0.586559(10.559)  1.36   300 290 >    ℎ  


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Conclusión: Se puede concluir que ha aumentado la proporción de compradores que piensa que la economía de EUA de está expandiendo. SOLUCION CON MINITAB:

R.A. R.C.


R.C.

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PRUEBA DE HIPOTESIS “T” PARA UNA MUESTRA

PROBLEMA 1 Durante la última estación, se ha criticado a la Liga Mayor de Beisbol por la duración de los juegos. Un informe indica que la duración promedio de un juego es 3 horas y 30 minutos. En una muestra de 17 juegos, las duraciones fueron las siguientes. (Observe que lo minutos se transformaron en fracciones de horas, de manera que una duración de 2 horas y 24 minutos, se transformó en 2.40 horas). 2.98 2.40 2.70 2.25 3.23 3.17 2.93 3.18 2.80 2.38 3.75 3.20 3.27 2.52 2.58 4.45 2.45 ¿Puede concluirse que la duración media de un juego sea inferior a 3.5 horas? Use el nivel de significancia 0.05. Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: u = 3.5 Ha: u < 3.5

2) Nivel de significancia: α = 0.05

G.L. = n-1 =17 – 1 = 16

3) Determinar estadístico: t 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo.

R.A.

 /√   2.0.5960/553.√ 175  4.01 >ℎ      



Página 25



Conclusión: Podemos afirmar que la duración media de cada encuentro de beisbol es menor a las 3.5 horas o 3 horas con 30 minutos. SOLUCION CON MINITAB:

R.A. R.C.


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PROBLEMA 2 Un estudiante universitario (de Estados Unidos) toma en promedio 27 galones de café por año, o 2.25 galones por mes En una muestra de 12 estudiantes de una determinada universidad se encontraron las siguientes cantidades de consumo de café por mes: 1.75

1.96

1.57

1.82

1.85

1.82

2.43

2.65

2.60

2.24

1.69

2.66

En el nivel de significancia 0.05 ¿hay una diferencia significativa entre el consumo promedio general y el consumo promedio de los estudiantes de esta universidad? Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: u = 2.25 Ha: u ≠ 2.25


G.L. = n-1 = 12 – 1 = 11

3) Determinar estadístico: t 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo.

R.A.

R.C.

R.C.

2 5  /√   2.0.04872. 05/√ 27  2.09 >ℎ      



Página 27



Conclusión: Basados en los datos recopilados podemos afirmar que si hay una diferencia significativa entre el consumo promedio de café general con el promedio de consumo de café de los estudiantes de esta universidad. SOLUCION CON MINITAB:

R.A.

R.C.


R.C.

Página 28



PRUEBA DE HIPOTESIS “ T” PARA DOS MUESTRAS DEPENDIENTES

PROBLEMA 1 La empresa renta & alquileres desea comparar las 2 agencias que utiliza para realizar alquileres de locales. Para esto selecciono una muestra de 10 locales y programo un precio por agencia. Los resultados reportados en miles de dólares, son: Local 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El Futuro 135 110 131 142 105 130 131 110 125 149

La Mirada 128 105 119 140 98 123 127 115 122 145

Al nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluirse que hay una diferencia en los precios medios en los alquileres de las casas? Solución: a) Ho:

 0  ≠0  0. 0 5

Hi: b) c)

Local

El Futuro

La Mirada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

135 110 131 142 105 130 131 110 125 149

128 105 119 140 98 123 127 115 122 145


Diferencia d 7 5 12 2 7 7 4 -5 3 4

Diferencia al Cuadrado d2 49 25 144 4 49 49 16 25 9 16

Página 29



  ∑  4610 4.6  ∑ 386  (46)  (∑ (∑ ) )  46  ∑        1    101 10 4.402

El valor de t= 3.305, que se obtiene de:

d)

  ⁄√   4.4024.⁄6√ 1010 3.305   10   9   0.05 La regla de decisión es: Rechazar la Ho si el valor de t calculado es menor que -2.262 o mayor que 2.262

e) Como el valor calculado se encuentra en la zona de rechazo, es decir más allá del valor crítico, se rechaza la hipótesis nula. Se concluye que si hay diferencia entre los precios medios en los alquileres de los locales. f) Para encontrar el valor de p utilizamos el apéndice F y la sección para la prueba de 2 colas. En el reglón correspondiente a 9 grados de liberta, se localizan los valores de t cercanos al valor calculado. Para el nivel de significancia 0.01.el valor t es 3.250.el valor calculado es superior a este dato, pero se reporta que el valor p es menor que 0.01.esta información información se resume en la siguiente tabla.


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g) Hallamos el t en MINITAB Paso 1: Ingresar los precios respectivos en las columnas.


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Paso2: Seleccionar el menú estadísticas menú estadísticas

Paso 3: Elegir 3: Elegir Pairet t Cuando aparezca el cuadro de dialogo pairet t (prueba de intervalo de confianza) Seleccionar muestras en columnas. Ingresar C1 en el cuadro de primera columna. Ingresar C2 en el cuadro de segunda columna. Seleccionar opciones.

Paso4: Cuando aparezca el cuadro de dialogo pairet t-opciones: Ingresar 95 en el cuadro nivel de confianza. Ingresar 0 en el cuadro de media de la prueba. Ingresar no es igual en en el cuadro de hipótesis alternativa. Clic en aceptar


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El valor calculado para t es 3.30 y el valor para p par dos colas es 0.009.como p es menor que 0.05, se rechaza la hipótesis de que sea cero la diferencia entre los precios medios en los alquileres de los locales. El valor p es, en realidad, inferior a 1.0%.es muy probable que la hipótesis nula sea verdadera.


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PROBLEMA 2 Varios accidentes automovilístico menores ocurren en diversos cruces de alto riesgo en un distrito urbano, a pesar de los semáforos. El departamento de tránsito afirma que una modificación en el tipo de semáforo reducirá los accidentes. Los integrantes de la junta municipal han aceptado probar esta propuesta. Se eligieron aleatoriamente 8 cruces y se modificó sus semáforos. El número de accidentes menores durante un periodo de 6 meses antes y después de las modificaciones fue:

A 5 3 2

Antes de la modificación Después de la modificación DIFERENCIAS

Número de accidentes por cruce B C D E F G 7 6 4 8 9 8 7 7 0 4 6 8 0 -1 4 4 3 0

H 10 2 8

Utilice el nivel de significancia 0.01, ¿es razonable concluir que la modificación redujo la cantidad de accidentes de tráfico? Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: ud = 0 Ha: ud > 0

2) Nivel de significancia: α = 0.01 3) Determinar estadístico: t 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo.

R.A. R.C.


Página 34




(∑)   ∑  +    −  2.93 đ ∑ 2.5  /đ√   2.92.3/5√ 8  2.42 >    ℎ  

Conclusión: Es razonable concluir que la cantidad de accidentes disminuyo gracias a las modificaciones realizadas a los semáforos.

SOLUCION CON MINITAB:

R.A. R.C.


Página 35



PRUEBA DE HIPOTESIS “ T” PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES

PROBLEMA 1 Un determinado banco desea analizar el uso de sus cajeros automáticos. Le interesa, en especial, saber si los adultos jóvenes (menores de 25 años) usan más de los cajeros automáticos que los adultos mayores. Para investigar esto se tomaron muestras de clientes menores de 25 años y muestras de clientes mayores de 60 años. Se determinó el número de transacciones realizadas a través del cajero automático por cada persona seleccionada. Los resultados se dan a continuación. Con un nivel de significancia de 0.01, ¿la gerencia del banco puede concluir que los adultos jóvenes utilizan los cajeros con mayor frecuencia? Edad (años) Menor de 25 Mayor de 60

10 4

10 8

Número de Transacciones 11 15 7 11 10 9 7 7 4 5 1 7

4 10 5

Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: u1 = u2 Ha: u1 > u2


R.A. R.C.


Página 36




    ( (81)(2. 1) ( 1) 2 6) (111)(2. 4 6)          2  5.67 8112   ( 1  1 )   10.5.637(85.1 61)4  4.28   8 11 >ℎ       Conclusión: La conclusión del gerente del banco es correcta con respecto a que los jóvenes usan más los cajeros automáticos que los clientes mayores. SOLUCION CON MINITAB:


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R.A. R.C.

PROBLEMA 2 El departamento de ingeniería industrial del Sima Software, Inc. ha producido 2 soluciones químicas para aumentar a vida útil de discos para computadora. Una muestra de discos duros tratados con el primer liquido duro: 86 78 66 83 84 81 84 109 65 102 (horas) h. Los discos a los que se les aplico la otra solución, durante: 91 71 75 76 87 79 73 76 79 78 87 90 76 72 (horas) h. Al nivel de significancia de 0.10, ¿Se puede concluir que hay una diferencia en la duración de las dos tipos de tratamiento? Solución: 1) Planteo de hipótesis: Hipótesis nula Hipótesis alternativa

 

H0: u1 = u2 Ha: u1 ≠ u2



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R.A. R.C.

R.C.


    ( (101)(13. 1) ( 1) 6 8) (141)(6. 7 1)          2  103.16 10142 29  1.09   ( 1  1 )   183.03.9179. 6(101  141)   >    ℎ   Conclusión: Podemos concluir que no hay una diferencia en la duración de los dos tipos de tratamientos para aumentar la vida útil de los discos.


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SOLUCION CON MINITAB:

R.A. R.C.


R.C.

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ANOVA (UNA DIRECCION) PROBLEMA 1 Un analista de una cadena de supermercados quiere saber si las tres tiendas tienen el mismo promedio en dólares por compra. Se elige una muestra aleatoria de 6 compras en cada tienda. La siguiente tabla presenta los datos recolectados de esta muestra junto a las medias muestrales para cada tienda y la media global de todos los datos. Haga una prueba anova con una significancia de 95%

Datos Tienda 1 12,05 23,94 14,63 25,78 17,52 18,45

Tienda 2 15,17 18,52 19,57 21,40 13,59 20,57

Tienda 3 9,48 6,92 10,47 7,63 11,90 5,92

S OL UCIÓN: 1.- Planteamiento de la Hipótesis H 0: µ1 = µ2 = µ3 El promedio de lo devengado por los empleados son similares H 1: Al menos uno de los promedios es diferente. 2.- Nivel de Significancia

3.- Estadístico F

=0.05



“ANOVA”

4.- Regla de Rechazo Numerador g.l = k-1 = 3-1 =2 Denominador g.l = N-k = 18-3 = 15


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Punto critico: F(0.05,2,15) = 3.68

Si F es menor a 3.68 se acepta la hipótesis nula y rechaza la alternativa. 5.- Calculo del estadístico

Tienda 1 12.05 23.94 14.63 25.78 17.52 18.45

Tienda 2 15.17 18.52 19.57 21.40 13.59 20.57

Tienda 3 9.48 6.92 10.47 7.63 11.90 5.92

∑   273.51 ∑  4748.4525 18  ∑ ()   (∑)  .  .  . . 378.381  ∑   (∑)  4748.4525 . 592.468 Tabla de Anova F. Variación Tratamiento Error Total

S uma de Cuad.

G .L

Media de Cuad.

378.381 214.087 592.468

2 15 17

189.191 14.272

 189.14.217291 F = 13.256

F pertenece a la región de rechazo, por lo tanto se acepta la hipótesis alternativa. 6. Conclusión: No podemos decir que las tres tiendas tienen el mismo promedio en dólares por compra, al menos una es distinta a las demás.


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Usando Minitab podemos observar lo sig uiente: Paso1: Escribimos los datos en la hoja de trabajo.

Paso 2: En la barra de menús escogemos Stat .

Paso 3: Elegir One-Way Analysis of Variance


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Paso 4: El programa nos arroja lo siguiente.

PROBLEMA 2 He aquí lo devengado en ocho semanas consecutivas (en dólares) por tres vendedores de aspiradoras a domicilio, empleados por una empresa determinada:

S r. J uárez

S r. L eón

S r. A lfaro

153 192 169 176 212 185 178 200

176 182 173 187 199 188 169 184

165 201 177 195 189 173 182 198

Contrastar al nivel de significancia 0.05 si las diferencias entre los promedios semanales devengados por estos vendedores son significantes.


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S OL UCIÓN: 1.- Planteamiento de la Hipótesis H0: µ1 = µ2 = µ3 El promedio de lo devengado por los empleados son similares H1: Al menos uno de los promedios es diferente.

2.- Nivel de Significancia

3.- Estadístico F

=0.05



“ANOVA”

4.- Regla de Rechazo Numerador g.l = k-1 = 3-1 =2 Denominador g.l = N-k = 24-3 = 21 Punto critico: F(0.05,2,21) =

3.47


S r. J uárez 1 2 3 4 5 6 7 8 Tc nc

153 192 169 176 212 185 178 200 1465 8


S r. L eón

S r. A lfaro 176 182 173 187 199 188 169 184 1458 8

165 201 177 195 189 173 182 198 1480 8

Página 45



∑   4403 ∑  811981 24  ∑   (∑)            31.58  ∑   (∑)  811981   4213.95 Tabla de Anova F. Variación Tratamiento Error Total

S uma de Cuad.

G .L

Media de Cuad.

31.58 4192.37 4213.95

2 21 23

15.79 199.16

 199.15.7196 F = 0.079

F pertenece a la región de aceptación, por lo tanto se a cepta la hipótesis nula y rechaza la alternativa 6. Conclusión:

Lo deveng ado en ocho semanas por los tres vendedores de as piradoras, en promedio son ig uales , es decir no existe una diferencia sig nificativa entre la cantidad de dólares que recibieron por s us s ervicios .


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Usando Minitab

Observamos que el valor de P es mayor que , además observamos que los intervalos de confianza están uno dentro de otro, por lo tanto aceptamos la hipótesis nula. Es decir lo devengado en 8 semanas por los vendedores en promedio es igual.


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PROBLEMA 3 Para Estudiar el efecto de la temperatura en el rendimiento de un proceso químico, se produjeron cinco lotes con cada uno de los tres tratamientos. Los resultados se presentan a continuación. De la tabla para el análisis de varianza. Use α=0.05 para probar si la

temperatura afecta al rendimiento medio del proceso. TEMPERATURA 60ºC 30 31 34 23 27

50ºC 34 24 36 39 32

71ºC 23 28 28 30 31

S OL UCIÓN: 1.- Planteamiento de la Hipótesis H 0: µ1 = µ2 = µ3 Los efectos de la temperatura no afectan el rendimiento, son similares. H 1: Al menos uno de las temperaturas afecta el rendimiento del proceso químico. 2.- Nivel de Significancia

=0.05



3.- Estadístico: F (ANOVA) 4.- Regla de Rechazo Numerador g.l = k-1 = 3-1 =2 Denominador g.l = N-k = 15-3 = 12 Punto crítico: F(0.05,2,12) =

3.89


∑   450 ∑  1380615  ∑ ()   (∑)           70  ∑   (∑) 


Página 48



13806  306 Tabla de Anova F. Variación Tratamiento Error Total

S uma de Cuad.

G .L

Media de Cuad.

70 236 306

2 12 14

35 19.6

 19.356

F = 1.779 F pertenece a la región de aceptación, por lo tanto no se acepta la hipótesis alternativa. 6. Conclusión: No podemos decir que las tres temperaturas difieren significativamente, en otras palabras, no podemos decir que la temperatura afecta el rendimiento promedio del proceso.

Usando Minitab podemos observar lo sig uiente: Paso 1: Escribir los valores de los tres lotes de temperaturas en una misma columna y en la siguiente, a que tratamiento pertenece.


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Paso 2: Seleccionar Stat . , luego One – Way …

Paso 3: Seleccionar TEMPERATURA y su factor RENDIMIENTO y dar clic en Aceptar .

Paso 4: Esto nos sale en la pantalla.


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL ANOVA (DOS DIRECCIONES)

PROBLEMA 1 La empresa Brunner Manufacturing Co. opera 24 horas al día, cinco días a la semana. Los trabajadores cambian de turno cada semana. La gerencia está interesada en saber si hay alguna diferencia en el número de unidades producidas cuando los empleados laboran en diversos turnos. Se seleccionó una muestra de cinco obreros y se registró su producción en cada turno. Al nivel de significancia de 0.05. ¿se puede concluir que hay una diferencia en la producción media por turno y en la producción media por trabajador? Empleado Skaff Lum Clark Treece Morgan

Unidades producidas Tarde 25 26 24 29 26

Mañana 31 33 28 30 28

Noche 35 33 30 28 27

Solución:

X2 961 1089 784 900 784

X 31 33 28 30 28 150 5

Tc nc X2

X 25 26 24 29 26 130 5

4518

∑() (∑)  ∑   (∑)  ∑() (∑) 

SSB=

=33.73

SStotal=

= 12639 -

SST=

=62.53

X2 625 676 576 841 676 3394



X 35 33 30 28 27 153 5

X2 1225 1089 900 784 728 4727

Br 91 92 82 87 81 433 15 12639

=139.73

SSE=SStotal-SST-SSB=43.47 MST=SST/k-1=31.265 MSE=SSE/ (b-1) (k-1) =5.43375 MSB=SSB/b-1=8.4325 F=MST/MSE=5.7539 F=MSB/MSE=1.551


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL TABLA ANOVA Fuente de variación Tratamientos Bloques Error Total

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

F

62.53 33.73 43.47 139.73

2 4 8 12

31.265 8.4325 5.43375

5.7539 1.5519

Por turno: 1) Planteo de hipótesis: H o: u1=u2 =u3 (El promedio de producción por turno son iguales) H 1: No todas las medias son iguales 2) Nivel de significancia: α = 0.05

∝,  1,(1)1 =F

3) Estadístico: F (

)

(0.05,2,8)=

4.46

4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo. Gráfica de distri bución F; df1=2; df2=8 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

R.A. R.C.

0.0

0.05 0


4.459

5.7539

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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL 5) Cálculo del estadístico:

∈

Fk=5.7539……….. Fk R.C. Rechaza la Ho y acepta la Ha Conclusión: Las producciones medias por turno son diferentes Por empleado: 1) Planteo de hipótesis: Ho: u1=u2=u3=u4=u5 (El promedio de producción por empleado son iguales) Ha: No todas las medias son iguales 2) Nivel de significancia: α = 0.05

∝,  1,(1)1 =F


(0.05,4,8)=

)

3.84

4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo. Gráfica de distribución F; df1=4; df2=8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 R.A.

0.2 0.1 R.C.

0.0

0

1.5519

0.05

3.838

5) Cálculo del estadístico: Fk=15519……….. Fk

∈

R.A.

Acepta la Ho y rechaza la H a

Conclusión: Las producciones medias por empleado son iguales


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL REGRESION SIMPLE

PROBLEMA 1 El señor James McWhinney, presidente de la empresa Daniel-Jmaes Financial Services, considera que existe relación entre el número de entrevistas con clientes y el importe en dólares de las ventas. Para documentar este aserto, recopiló la siguiente información muestral. La columna X indica el número de entrevistas con clientes durante el mes pasado, y la columna Y muestra el valor de las ventas (en miles de dólares) del mes en cuestión para cada cliente en la muestra. Número de contactos X 14 12 20 16 46

Ventas (miles de dólares) Y 24 14 28 30 80

Número de contactos X 23 48 50 55 50

Ventas (miles de dólares) Y 30 90 85 120 110

a) Determine la ecuación de regresión b) Evalué las ventas estimadas si hay comunicación con 40 clientes Solución:

De los datos obtenemos:

∑  ∑ ∑  ∑  ∑ 

=334 =611

=13970

=51581

=26.584



Coeficiente de correlación (r)

∑−∑∑  ∑−(∑) ∑−(∑) ()−()  ()−()()−() r=

r=


=0.9754

Página 56

ESTADÍSTICA INDUSTRIAL 

Coeficiente de determinación: r 2=0.9514 Coeficiente de no determinación: 1- r 2 = 0.0486



Hallamos la ecuación de regresión Y=a+bX



∑−∑∑ ∑−(∑) ()−()() ()−   .() 

b=

a=


∑  ∑

b=

=2.1946

a=

= -12.1996

RSPTA: Y= -12.1996+2.1946X 

RSPTA:



Error estándar de estimación: SYX=



Si X=40 entonces Y=75.5844

 −(−.  )()−.  ()  ∑ −∑−∑  − − =

=9.3120

Inferencia sobre los coeficientes de Regresión de la Población 1) Planteo de hipótesis: Ho: β1=0 (no hay relación) Ha: β1≠0 (si existe relación) 2) Nivel de significancia: α = 0.05

3) Estadístico: t (α,n-2)=t(0.05,8)=2.305 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo.


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Gráfica de distribución T; df=8 0.4

0.3

0.2

R.A.

0.1 R.C.

R.C.

0.025 0.0

0.025 -2.306

0

2.306

12.50

5) Cálculo del estadístico:

− .  −  . .  ∑ −(∑)   −

t=

=

Sb1= tk

∈

R.C.

=12.50 =

=0.1755

Rechaza la Ho y acepta la H a

Conclusión: Si existe relación entre los coeficientes de la población 

Prueba de hipótesis para el coeficiente de correlación 1) Planteo de hipótesis: Ho: ρ=0 (la correlación en la población es nula) Ha: ρ≠0 (la correlación en la población no es nula) 2) Nivel de significancia: α = 0.05

3) Estadístico: t (α,n-2)=t(0.05,8)=2.305 4) Identificar los valores críticos y la zona de rechazo .


Página 58




0.3

0.2

R.A.

0.1 R.C.

R.C.

0.025

0.025

0.0

-2.306

0

2.306

12.5144

5) Cálculo del estadístico:

√ √ −− .√ .√ −

t= tk

=

∈

R.C.

=12.5144

Rechaza la Ho y acepta la H a

Conclusión: El coeficiente de correlación no es nula.


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL EN MINITAB:

Gráfica de línea ajustada Ventas = - 12.20 + 2.195 Contactos S R-cuad. R- cu ad .(aju stad o)

120

9.31045 95.1% 94.5%

100 80 s a t n e V

60 40 20 0 10

20


30

40 Contactos

50

60

Página 60



PROBLEMA 2 La empresa Reliable Furniture es un negocio familiar que realiza ventas al menudeo, en chicago, durante muchos años. Se anuncia ampliamente por radio y televisión, destacando sus bajos precios y accesible condiciones de crédito. Al dueño le gusta analizar la relación entre las ventas y lo que gasta en publicidad. A continuación se encuentra la información acerca de las ventas y gastos de publicidad durante los últimos 4 meses. MES JULIO AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE

GASTOS EN PUBLICIDAD 2 1 3 4

INGRESOS POR VENTAS 7 3 8 10

a) Determine la ecuación de regresión b) Interprete los valores de a y b c) Calcule los importes de las ventas cuando se gastan 3 millones de dólares en publicidad.

S OL UCION a) Para tener una mejor apreciación de los datos, los colocaos en un diagrama de dispersión (regresión simple).

X 2 1 3 4 10


Y 7 3 8 10 28

XY 14 3 24 40 81

 

4 1 9 16 30

49 9 64 100 222

Página 61


()−()  (∑)−(∑)(∑)    (∑ )−(∑) ()−  ∑ ∑  2.21.5


= 2.2

′  ′ 1. 52.2

b) la pendiente es 2.2. Esto indica que un aumento de 1 millón de dólares en publicidad resultara en un incremento de 2.2 millones en ventas. La intersección es 1.5. Si no hubiera gastos en publicidad, las ventas serian de 1.5 millones de dólares únicamente. c)

′ 1. 5 2. 2(3)8.1

en millones de dólares.

SOLUCION POR MINITAB PASO 1. Ingresar en la columna C1 y C2 los datos de X(Gastos de Publicidad) e Y (Ingresos por ventas) respectivamente. PASO 2. Hacer click en “Estadísticas” PASO 3. Seleccionar “Regresión”. PASO 4. Seleccionamos “Regresión”. PASO 5. En el cuadro de dialogo “Regresión”: En la etiqueta “Respuesta” seleccionamos “Ingreso por Ventas” En la etiqueta “Predictores” seleccionamos “Gastos en Publicidad”.

Le damos click en Aceptar.


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Página 64



REGRESION MULTIPLE PROBLEMA 1 El señor Mike Wilde es presidente del sindicato de profesores del Distrito escolar de Otsego. Al prepararse para futuras negociaciones, a Mike le gustaría investigar la estructura de los sueldos de personal docente en el distrito. Considera que existen tres factores que afectan el pago laboral de un profesor: años de experiencia, una calificación de la efectividad en la enseñanza-asignada por el director-y si el enseñarte tiene o no grado de maestría. Una muestra aleatoria de 20 profesores dio como resultado los siguientes datos: Sueldo (m’dd)

Y

Años de experiencia

21.1 23.6 19.3 33.0 28.6 35.0 32.0 26.8 38.6 21.7 15.7 20.6 41.8 36.7 28.4 23.6 31.8 20.7 22.8 32.8

X1 8 5 2 15 11 14 9 7 22 3 1 5 23 17 12 14 8 4 2 8

Calificación del director X2

Maestría

35 43 51 60 73 80 76 54 55 90 30 44 84 76 68 25 90 62 80 72

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

*Y3

*1=si, 0=no Nota: m’dd0 miles de dólares

a) Determine la ecuación de regresión. ¿Qué sueldo estimaría usted para un profesor con cinco años de experiencia, una calificación de 60 dada por el director, y sin maestría? b) Realice una prueba global de hipótesis para determinar si algunos de los coeficientes de regresión netos difieren de cero. Utilice el nivel de significancia de 0.05 c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes de regresión. ¿Consideraría eliminar cualesquiera de las variables independientes? Use el nivel de significancia de 0.05


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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Solución

Correlaciones: Sueldo; Años; Calificación; Maestría Sueldo 0.868 0.000

Años

Calificación

0.547 0.013

0.187 0.430

Maestría

0.311 0.183

0.208 0.380

Años

Calificación

0.458 0.042

a) La ecuación de regresión es: Sueldo = 9.92 + 0.899 Años + 0.154 Calificación - 0.67 Maestría Entonces si: Años=5 Calificación=60 Maestría=0 Obtendríamos Sueldo = 23.655 b) Prueba global de hipótesis para los coeficientes de regresión 1) Planteo de hipótesis: Ho: β1= β2= β3=0

Ha: No todas son iguales a cero 2) Nivel de significancia: α = 0.05


∝,,1

) =F (0.05,3,16)= 3.24

4) Definición de R.A. y R.C.


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Gráfica de distribución F; df1=3; df2=16 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 R.A.

0.2 0.1 0.0

R.C.

0

0.05 52.72

3.239

Tabla ANOVA Análisis de varianza Fuente Regresión Error residual Total

GL SC CM FK P 3 903.19 301.06 52.72 0.000 16 91.37 5.71 19 994.56

∈

Fk R.C. Rechaza la Ho y acepta la Ha Se concluye que los coeficientes de regresión difieren de cero. c) Prueba de hipótesis individuales para los coeficientes de regresión 1) Planteo de hipótesis: Ho: β1=0

β2 =0

β3=0

Ha: β1≠0

β2≠0

β3≠0


3) Estadístico: t (α,n-k-1)=t(0.05,16)=2.120 4) Definición de R.A. y R.C.


Página 67




0.3

0.2 R.A.

0.1

0.025 0.0

R.C.

R.C.

-2.120

0

0.025

2.120

(∑)  .∑ −   −() 

Sb= Sb1=

=0.0853

Sb2=0.0278 Sb3=1.0687

β  β t =β t =   

t1= Entonces:

..− 

t1= t2=6.9280 t3=0.2439

=11.449

tk1

∈ ∈∈

2

3

R.C.

Rechaza la Ho y acepta la Ha

tk2 R.C. tk3 R.C.

Rechaza la Ho y acepta la H a Acepta la Ho y rechaza la H a

Se concluye que la 3º variable se eliminaría para posteriormente realizar nuevamente el análisis


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PROBLEMA 2 El gerente de ventas distrital de un importante fabricante de automóviles está estudiando las ventas. Específicamente le gustaría determinar qué factores afectan el número de autos vendidos en una distribuidora. Para investigar, selecciona al azar 12 distribuidores. De ellos obtiene el número de vehículos vendidos el último mes, los minutos de publicidad radiofónica comprados en dicho período, el número de vendedores de tiempo completo empleados en la distribuidora, y si ésta se localiza en la ciudad o no. La información es la siguiente: Automóviles vendidos el último mes Y 127 138 159 144 139 128 161 180 102 163 106 149

Publicidad X1

Fuerza de ventas X2

Ciudad X3

18 15 22 23 17 16 25 26 15 24 18 25

10 15 14 12 12 12 14 17 7 16 10 11

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1

a) Determine la ecuación de regresión. ¿Cuántos autos esperaría que se vendieran en una distribuidora con 20 vendedores, que paga 15 minutos de publicidad y se localiza en una ciudad? b) Realice una prueba global de hipótesis para determinar si alguno de los coeficientes de regresión neta es diferente de cero. Sea α = 0.05 c) Efectúe una prueba de hipótesis para los coeficientes de regresión individuales ¿consideraría eliminar alguna de las variables independientes? Sea α = 0.05 Solución: a) La ecuación de regresión es Automóviles vendidos = 31.1 + 2.15 X1 + 5.01 X 2 + 5.67 X 3 Si: X1=15 X2=20 X3=1 Entonces se obtendrá Automóviles vendidos = 195.6989 b) Prueba global de hipótesis para los coeficientes de regresión


Página 69



1) Planteo de hipótesis: Ho: β1= β2= β3=0

Ha: No todas son iguales a cero 2) Nivel de significancia: α = 0.05


∝,,1

) =F (0.05,3,8)= 4.07

4) Definición de R.A. y R.C. Gráfica de distribución F; df1=3; df2=8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 R.A.

0.2 0.1 0.0

R.C.

0

0.05

4.066

Tabla ANOVA Análisis de varianza Fuente Regresión Error residual Total

GL 3 8 11

SC 5504.4 420.2 5924.7

CM 1834.8 52.5

FK 34.93

P 0.000

∈

Fk R.C. Rechaza la Ho y acepta la Ha Se concluye que los coeficientes de regresión difieren de cero.


Página 70



c) Prueba de hipótesis individuales para los coeficientes de regresión 1) Planteo de hipótesis: Ho: β1=0

β2 =0

β3=0

Ha: β1≠0

β2≠0

β3≠0


3) Estadístico: t (α,n-k-1)=t(0.05,8)=2.306 4) Definición de R.A. y R.C. Gráfica de distribución T; df=8 0.4

0.3

0.2 R.A.

0.1

0.025

Sb=

(∑)  ∑ .−  −() 

Sb1=

R.C.

R.C.

0.0

-2.306

0

0.025

2.306

=0.5168

Sb2=0.7682 Sb3=4.4383


Página 71


   β β t= t= t = β    ..− ∈  ∈∈ 1

2


3

Entonces:

t1= = 13.0103 tk1 R.C. t2= 14.1392 tk2 R.C. t3= 25.0002 tk3 R.C.

Rechaza la Ho y acepta la Ha Rechaza la Ho y acepta la Ha Rechaza la Ho y acepta la H a

Se concluye que ninguna variable se consideraría para eliminar.


Página 72



PROBLEMAS DE CHI CUADRADA PROBLEMA 1 Una organización de investigación de la opinión desea determinar si hay alguna relación entre la calidad de la labor de los entrevistadores y sus puntuaciones en un test de personalidad introvertido-extrovertido. Cada entrevistador es calificado por su superior como sobre el promedio, promedio o por debajo del promedio basándose en factores como la perseverancia, la necesidad de supervisión, quejas de entrevistados, escrupulosidad en cumplir programas, etc. Los resultados se ven en la tabla que sigue:

Introvertido Promedio Extrovertido

Trabajo por encima del promedio 18 37 15

Trabajo promedio 28 63 29

Trabajo inferior al promedio 14 30 16

Contrastar, a un nivel de significancia de 0.05, la hipótesis de que no hay relación entre la personalidad medida por el test y la calidad del rendimiento en el trabajo. ¿Qué se puede concluir sobre la eficacia del test para predecir si un posible entrevistador hará una labor de buena calidad? SOLUCIÓN:

i.

 )  (  )(  



Sabiendo que:



Del cuadro, hallamos:


  60×70 250 16.8   130×70 250 36.4   60×70 250 16.8   60×120 250 28.8   130×120 250 62.4 Página 73



  60×120 250 28.8   60×60 250 14.4   130×60 250 31.2.   60×60 250 14. 

Haciendo un nuevo cuadro con los datos hallados:

Introvertido Promedio Extrovertido total

ii.

Trabajo por encima fo fe 18 16.8 37 36.4 15 16.8 70

Trabajo promedio fo fe 28 28.8 63 62.4 29 28.8 120

Trabajo inferior fo fe 14 14.4 30 31.2 16 14.4 60

total 60 130 60 250

1) H 0 = Si existe relación entre la personalidad medida por el test y la calidad del rendimiento en el trabajo de cada entrevistador. H 1 = No existe relación entre la personalidad medida por el test y la calidad del rendimiento en el trabajo de cada entrevistador. 2) Nivel de significancia:

∝0.05

3) 

Hallando el ji-cuadrado x 2 :

   ( )  

Reemplazando los datos obtenidos:

  (3736.4)  (1516.8)  (2828.8)  (6362.4) ) 8   (1816. 16.8 (2928.36.8)4 (1414.16.48) (3031.28.2)8 (1614.62.4)4    

28.8


14.4

31.2

14.4

Página 74



  (1.16.28)  (0.36.64)  (1.16.88)  (0.28.88)  (0.62.64)  (0.28.28)  (0.14.44)  (1.31.22)  (1.14.64)

  1.16.448  0.36.364  3.16.248  0.28.648  0.62.346  0.28.048  0.14.164  1.31.442  2.14.564  0.08570.00990.19290.02220.00580.00140.01110.04620.1778  0.553 4)





Hallando su grado de libertad:



Reemplazando los datos:



Entonces, según tabla:

(# 1)(# 1) (31)(31) (2)(2) 4 (4;0.05)9.488

Determinando la gráfica:


Página 75

ESTADÍSTICA INDUSTRIAL 


Reemplazando en la gráfica el x 2 hallado con los datos y la distribución jicuadrada:

5) Por tanto del x 2 hallado se puede plantear:

 ∈.. →    ℎ   6) En conclusión: Puesto que el valor calculado de la ji-cuadrada(x 2 =0.553) se encuentra en la región ubicada a la izquierda de 9.488, se acepta la hipótesis nula (H 0 ) al nivel de 0.05. Se concluye que si hay relación entre la personalidad medida por el test y la calidad medida en el trabajo de cada entrevistador. Para el test elaborado a los entrevistadores, el resultado de este arroja que en promedio la personalidad de cada entrevistador esta relacionado con la calidad del rendimiento en su trabajo.

iii .

De la pregunta: ¿ Qué se puede concluir sobre la eficacia del test para predecir s i un posible entrevistador hará una labor de buena calidad? 

Como aquí se espera una labor de buena calidad, por ello se trabaja con la columna de “Trabajo encima del promedio”, y se calcula el promedio de cada

personalidad ubicada ahí con respecto del total por fila o por personalidad. 

Hallando sus promedios:


 1860 0.3 → 30%  13037 0.2846 → 28.46% Página 76



 1560 0.25 → 25% 

Entonces concluimos: 





iv.

Los entrevistadores con personalidad introvertida presentan un 30% de probabilidad de que cumplan un trabajo por encima del promedio, o sea una labor de buena calidad. Los entrevistadores con personalidad promedio presentan un 28.46% de probabilidad de que cumplan un trabajo por encima del promedio, o sea una labor de buena calidad. Los entrevistadores con personalidad extrovertida presentan un 25% de probabilidad de que cumplan un trabajo por encima del promedio, o sea una labor de buena calidad.

Resultado del aplicar el ejercicio al el paquete estadístico Minitab:

Prueba Chi-cuadrada: Trabajo por encima, trabajo promedio, trabajo inferior Los conteos esperados se imprimen debajo de los conteos observados. Las contribuciones Chi-cuadradas se imprimen debajo de los conteos esperados Trabajo por encima 1 18 16.80 0.086

trabajo promedio 28 28.80 0.022

trabajo inferior 14 14.40 0.011

Total 60

2

37 36.40 0.010

63 62.40 0.006

30 31.20 0.046

130

3

15 16.80 0.193

29 28.80 0.001

16 14.40 0.178

60

Total

70

120

60

250

Chi-cuadrada = 0.553, GL = 4, Valor P = 0.96


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PROBLEMA 2 El departamento de reclamaciones de la aseguradora Wise Insurance Company considera que los conductores de auto más jóvenes tienen más accidentes y, por tanto, se les debe cobrar cuotas de pólizas más altas. El análisis de una muestra de 1200 personas aseguradas por Wise se revelo la siguiente clasificación referente a si se había tramitado una demanda en los últimos tres años y la edad del reclamante asegurado. ¿es razonable concluir que existe relación entre la edad de la persona con póliza y si ha presentado una demanda (pago por seguro) o no ?Utilice un nivel de significancia de 0.05. Grupos de edades 16 a 25 25 a 40 40 a 55 55 o mayores Total

No hubo demanda 170 240 400 190 1000

Si hubo demanda 74 58 44 24 200

Solución:

Ho: No existe una relación ente la queja y la edad de la persona. Hi: existe una relación ente la queja y la edad de la persona .

3 0. 0 5 (21)(41)1∗33 

La regla de decisión es: Rechazar la Ho si el valor de


calculado es mayor que 7.81

Página 78


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Grupos de edades 16 a 25 25 a 40 40 a 55 55 o mayores

No hubo demanda fo fe 170 203.3 240 248.3 400 370 190 178.3

fo 74 58 44 24

fe 40.6 49.6 74 35.6

fo 244 298 444 214

Fe 244 298 444 214

Total

1000

200

200

1200

1200

1000

Si hubo demanda

  (2435. (170203. 3 ) 6 7)    203.3 ⋯ 35.67 53.639

Como el valor calculado se encuentra en la zona de rechazo, es decir más allá del valor crítico, se rechaza la hipótesis nula. Se concluye que la edad está relacionada con la presencia de un reclamo. Hallamos el valor estadístico en MINITAB Paso1: Ingresar los datos de las frecuencias observadas

Paso2: Seleccionar menú estadística/prueba chi cuadrada (tabla de dos factores)


Página 79



Paso3: cuando aparezca el cuadro de diálogo prueba de chi cuadrada Ingresar C1 y C2ene l cuadro columnas de contiene la tabla Clic en aceptar

Podemos observar que el valor de p=0.0119<0.05, calculado.


 7.340

,y con ellos comprobar lo ya

Página 80


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL PRUEBA DE SIGNO: (MUESTRA PEQUEÑA)

PROBLEMA 1 Una gran cadena de tiendas departamentales, Cornwall & Hudson, desea vender sólo una marca de reproductor de discos compactos de alta calidad. La lista de equipos reproductores de CDs se ha reducido a dos marcas: Sony y Pioneer. Para ayudar en la toma de decisión, se reunió a un grupo de 16 expertos en audio. Se hizo la reproducción de un pasaje musical usando componentes Sony (marcados A). Después se reprodujo el mismo pasaje utilizando componentes Pioneer (marcados B). Un signo “+” en la tabla siguiente indica la preferencia de una persona por los componentes Sony, y un signo “ -“

señala predilección por Pioner, y un 0 significa que no hay preferencia. Experto 1 2 + -

3 +

4 -

5 +

6 +

7 -

8 0

9 -

10 +

11 -

12 +

13 +

14 -

15 +

16 -

Realice una prueba de hipótesis al nivel de significancia 0.10 para determinar si hay diferencia en la preferencia entre las dos marcas. SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

  y la

:

 ≠0.5 0.5 : :

∶

: No hay diferencia en la preferencia entre las dos marcas de componentes. Si hay diferencia en la preferencia entre las dos marcas de componentes.

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.10. Paso 03: Definir el estadístico de prueba. El estadístico de prueba será el número de signos más (“+”) que se obtengan en el

experimento (8 en este caso) Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo.


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Gráfica de distribución Binomial, n=15, p=0.5 0.20

0.15 d a d i l i b a b o r P

0.10

0.05 0.01758 0.00

0.01758 3

12 X

Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el número de signos positivos (+) en la muestra queda en la región crítica es decir si es mayor o igual a 12 o menor o igual a 3. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si el número de signos positivos queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica:

.  :<3, 1 2> .: 0,3  12,∞> Paso 05: Toma de decisión mediante el cálculo del estadístico de prueba: Distribución binomial. 1º Se completa la tabla anterior añadiendo la probabilidad de éxito y la probabilidad acumulada para determinar el valor crítico de la distribución binomial. El número de ensayos se reduce a 15 debido que el dato 8 de la muestra no evidencia cambio. Número de éxitos

Probabilidad de éxito

0 1 2 3 4 5 6

0.000 0.000 0.003 0.014 0.042 0.092 0.153

Probabilidad Acumulada (de abajo hacia arriba) 1 1 1 0.997 0.983 0.941 0.849

7

0.196

0.696


Probabilidad Acumulada (de arriba hacia abajo) 0.000 0.000 0.003 0.017 0.059 0.151 0.304 0.5

Página 82



8

0.196

0.5

0.696

9

0.153

0.304

0.849

10 11 12 13 14 15

0.092 0.042 0.014 0.003 0.000 0.000

0.151 0.059 0.017 0.003 0.000 0.000

0.941 0.983 0.997 1 1 1

Entonces el valor crítico de la Distribución Binomial determinado en la tabla anterior es 3 y 12 por el motivo de que la probabilidad acumulada del número de éxitos 3 y 12 es menor que 0.05. p=0.017<0.05 Experto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 + + + + 0 + + + + -


Dato

S ig no

1

+

2

-

3

+

4

-

5

+

6

+

7

-

8

0

9

-

10

+

11

-

12

+

13

+

14

-

15

+

16

-

Página 83



En la tabla anterior se eliminó del análisis el dato 8 debido a que no se evidencia el cambio, esto reduce el número de ensayos a 15 (n=15). También se observa que el número de signos positivos es 8. Se e INTERPRETACIÓN Como el número de signos positivos (en este caso 8) pertenece a la región de aceptación entonces se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa. Es decir no hay diferencia en la preferencia entre las dos marcas de componentes Sony y Pioneer. PROBLEMA 2 Una compañía que produce alimentos para el control de peso ofrece desayunos, comidas y cenas bajos en calorías. Sus afiliados recibirán dos alimentos por día. La compañía, Calorie Watchers, asegura que se puede comer lo que se desee como tercer alimento, y aun así perder cuando menos cinco libras de peso corporal durante el primer mes. A los participantes se les pesa antes de comenzar el programa y nuevamente al final del primer mes. La experiencia de los integrantes de una muestra aleatoria de 11 participantes es:

Nombre

Cambio en el peso

Foster Taoka Lange Rousos Stephens Cantrell Hercher Camder Hinckle Hinkley Justin

Pérdida Pérdida Aumento Pérdida Sin cambio Pérdida Pérdida Pérdida Pérdida Pérdida Pérdida

Se quiere saber si ha habido pérdida de peso como resultado del programa. a) Establezca las hipótesis nula y alternativa. b) Usando el nivel de significancia 0.05, ¿cuál es la regla de decisión? c) ¿Cuál es su conclusión respecto a este programa?. SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

  y la

:

 >0.5 ≤0.5 : :

∶

: No ha habido pérdida de peso como resultado del programa Ha habido pérdida de peso como resultado del programa


Página 84


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Definir el estadístico de prueba.

El estadístico de prueba será el número de signos más (“+”) que se obtengan en el

experimento (9 en este caso) Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo.

Gráfica de distribución Binomial, n=10, p=0.5 0.25

0.20 d a d i l i b a b o r P

0.15

0.10

0.05 0.01074 0.00

1

9 X

Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el número de signos positivos (+) en la muestra queda en la región crítica es decir si es mayor o igual a 9. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si el número de signos positivos queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica:

..:9,:0,9∞>>


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Paso 05: Toma de decisión mediante el cálculo del estadístico de prueba: Distribución binomial. 1º Se completa la tabla anterior añadiendo la probabilidad de éxito y la probabilidad acumulada para determinar el valor crítico de la distribución binomial. Número de éxitos

Probabilidad de éxito

0 1 2 3 4 5 6

0.001 0.010 0.044 0.117 0.205 0.246 0.205

Probabilidad Acumulada 1 0.999 0.989 0.945 0.828 0.623 0.377

7

0.117

0.172

8

0.044

0.055

9

0.010

0.011

10

0.001

0.001

Entonces el valor crítico de la Distribución Binomial determinado en la tabla anterior es 9 por el motivo de que la probabilidad acumulada del número de éxitos 9 es menor que 0.05.

Dato

Nombre

Cambio en el peso

1

Foster

Pérdida

+

2

Taoka

Pérdida

+

3

Lange

Aumento

-

4

Rousos

Pérdida

+

5

Stephens

Sin cambio

0

6

Cantrell

Pérdida

+

7

Hercher

Pérdida

+

8

Camder

Pérdida

+

9

Hinckle

Pérdida

+

10

Hinkley

Pérdida

+

11

Justin

Pérdida

+


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En la tabla anterior se eliminó del análisis el dato 5 debido a que no se evidencia el cambio, esto reduce el número de ensayos a 10 (n=10). También se observa que el número de signos positivos es 9. Se e INTERPRETACIÓN Como el número de signos positivos (en este caso 9) pertenece a la región crítica entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa. Es decir Ha habido pérdida de peso como resultado del programa, es un programa efectivo, porque hubo 9 personas que perdieron peso.


Página 87


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL PRUEBA DE SIGNO (MUESTRA GRANDE)

PROBLEMA 1 Un restaurante anunció que en la noche del jueves el menú consistirá en platillos nuevos propios de gourmets: calamar, liebre, caracoles de Escocia y verduras diente de león. Como parte de una investigación más amplia, se preguntó a una muestra de 81 clientes habituales si preferían el menú normal o el menú nuevo para gourmet; 43 eligieron este último. Utilizando la prueba de signo y el nivel de confianza 0.02, pruebe si a los clientes les agradó más el nuevo menú que el común. Justifique su conclusión. SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

  y la

:

 >0.5 ≤0.5 : :

∶

: No hay mayor preferencia en el nuevo menú que el común. Hay mayor preferencia en el nuevo menú que el común.

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.02. Paso 03: Definir el estadístico de prueba. El estadístico de prueba sigue una Distribución normal siempre y cuando el tamaño de la muestra sea mayor que 20 (n=81>20). Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.02 0.0

0

2.054

X


Página 88



Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica:

  

..:<2. :<∞,054,2.054∞>

Paso 05: Toma de decisión mediante el cálculo del estadístico de prueba. A la preferencia por el menú especial se le asignó un “+”, y a la preferencia por el menú normal, un “ -“. De los 81 consumidores en la muestra, se tiene que 43 prefirieron el menú

especial. En consecuencia, hay 43 signos positivos. Puesto que 43 es mayor que n/2=81/2=40.5, se usa la siguiente fórmula para calcular z: Se tiene que: Tamaño de la muestra: n=81 Media: = 0.5*n = 0.5*81=40.5 Desviación Estándar: =



 √ 0.25∗ √ 0.25∗81 =

=4.5

Entonces procedemos con el cálculo de z:

 0.556  0.556

   5  4340. 4.5 0.556

Se observa que pertenece a la región de aceptación, entonces se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa. INTERPRETACIÓN Como pertenece a la región de aceptación entonces se acepta la hipótesis nula. Por lo tanto a un nivel de significancia de 0.02 se concluye que no hay mayor preferencia por los clientes en el nuevo menú que en el menú normal.


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PROBLEMA 2 El citrus Council (consejo de cítricos de EUA) desea averiguar si los consumidores prefieren jugo de naranja simple o con un poco de pulpa. Se seleccionó una muestra aleatoria de 212 consumidores. Cada persona de la muestra probó el contenido de una taza pequeña, sin marca, de un tipo, y después probó una taza del otro tipo. Doce consumidores dijeron que no tenían preferencia; 40 prefirieron el jugo simple, y al resto le gustó más el jugo con pulpa. Pruebe al nivel 0.05 que las preferencias por el producto simple y por el producto con pulpa, son iguales. SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

  y la

:

 ≠0.5 0.5 : :

∶

: Son iguales las preferencias por el producto simple y por el producto con pulpa. No son iguales las preferencias por el producto simple y por el producto con pulpa.

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Definir el estadístico de prueba. El estadístico de prueba sigue una Distribución normal siempre y cuando el tamaño de la muestra sea mayor que 20 (n=212>20). Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo.

Gráfica de distri bución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.025 0.0

0.025 -1.960

0

1.960

X


Página 90



Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica:

   .  :  1. 9 60, 1 . 9 60 .:<∞,1.960><1.960,∞>

Paso 05: Toma de decisión mediante el cálculo del estadístico de prueba. A la preferencia por el jugo con pulpa se le asignó un “+”, y a la preferencia por el jugo simple, un “ -“. De los 212 consumidores en la muestra, se tiene que 160 prefirieron el jugo

con pulpa. En consecuencia, hay 160 signos positivos. Puesto que 160 es mayor que n/2=212/2=106, se usa la siguiente fórmula para calcular z:

Se tiene que: Tamaño de la muestra: n=212, pero como 12 no prefieren nada se determina que n=21212=200. Media: = 0.5*n = 0.5*200=100. Desviación Estándar: = = =7.07.



 √ 0.25∗ √ 0.25∗200     160100 7.071 8.49  8.49

Entonces procedemos con el cálculo de z:

Se observa que pertenece a la región crítica, entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa. INTERPRETACIÓN Como pertenece a la región crítica entonces se acepta la hipótesis alternativa. Por lo tanto a un nivel de significancia de 0.05 se concluye que no son iguales las preferencias por el producto simple y por el producto con pulpa.

 8.49


Página 91



PRUEBA DE RANGO CON SIGNO DE WILCONXON

PROBLEMA 1 El campeonato de los jugadores de la PGA tuvo lugar , del 23 al 26 de marzo de 2006 , en el campo de golf TPC Sawgrass en Ponte Vedra Beach , Florida. A continuación se presentan las puntuaciones obtenidas, en la primera y segunda rondas, por 11 golfistas de una muestra. Use α = 0.05 y determine si existe una diferencia significativa ent re las puntuaciones obtenidas por los golfistas en la primera y segunda rondas ¿Cuál es su conclusión?

G olfis ta Fred C ouples J hon Daly E rnie Els J im Furyk Phil mickelson Rocco Mediate Nick Pri ce Vijay Sing g h S erg io G arcia Mik e Weir Tig er Woods SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

Pr imera ronda

S egunda ronda

69 70 72 65 70 69 72 68 70 71 72

73 73 70 71 73 74 71 70 68 71 69

           y la

:

Ho:

Ha:

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Distribución muestral de T para poblaciones idénticas. Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. De la tabla de la distribución normal con un nivel de 0.05, encontramos:

.  :  1. 9 6, 1 . 9 6 .  :<∞,  1.96><1.96 ,  ∞>


Página 92



Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.025 0.0

0.025 -1.960

0

1.960

X

Golfista

Primera ronda

Segund a ronda

Fred Couples Jhon Daly Ernie Els Jim Furyk Phil mickelson Rocco Mediate Nick Price Vijay Singgh Sergio Garcia Mike Weir Tiger Woods

69 70 72 65 70 69 72 68 70 71 72

73 73 70 71 73 74 71 70 68 71 69


Diferenci a

-4 -3 2 -6 -3 -5 1 -2 2 0 3

Valor absoluto Rango

Rango con signos

4 3 2 6 3 5 1 2 2 0 3

8 6 3 10 6 9 1 3 3

-8 -6 3 -10 -6 -9 1 -3 3

6

6

Página 93


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Eliminamos el que no tiene cambio, por tanto n =10; La suma de rangos es: -29 Como n>= 10; y nt=0; Entonces:

σT =

Tenemos que: ZK =

( )()()  ()(+)(+)   

−− .

=19.62

=

-1.48

RESULTADOS CON EL MINITAB Prueba de clasificación con signos de Wilcoxon: C1 Prueba de la mediana = 0.000000 vs. la mediana no = 0.000000 Número de Estadística Mediana N prueba de Wilcoxon P estimada C1 11 10 13.0 0.154 -1.500 INTERPRETACIÓN Como el ZK calculado se encuentra en el rango de aceptación , se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa , es decir las poblaciones si son idénticas. Lo cual nos indica que no hubo una diferencia significativa entre las puntuaciones de los 11 golfistas entre la primera y segunda ronda. En los resultados del Minitab se observa que p es mayor que el nivel de significancia por lo tanto también se verifica que se acepta la hipótesis nula.


Página 94



PROBLEMA 2 Como parte de una investigacion de mercado que tenia por objeto evaluar la efectividad de una campaña de publicidad , se seleccionaron 10 ciudades para una prueba de mercad. Las ventas en dolares en cada una de estas ciudades, en la semana anterior a la campaña y se registran las ventas que hubo en la primera venta , inmediatamente despuesd de la campaña. Use α =0.05 ¿ A que conclusion llega acerca del valor de la

campaña?

Ciudad

Ventas antes campaña

Kansas City Dayton Cincinnati Columbis Cleveland Indianapolis Louisville St. Louis Pittsburg Peoria

130 100 120 95 140 80 65 90 140 125

SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

de la Ventas despues de la campaña 160 105 140 90 130 82 55 105 152 140

           y la

:

Ho:

Ha:

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Distribución muestral de T para poblaciones idénticas. Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. De la tabla de la Distribución Normal con un nivel de 0.05, encontramos:

.: 1.96,1.96 .  :<∞,  1.96><1.96 ,  ∞>


Página 95




0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.025 0.0

0.025 -1.960

0

1.960

X

Ciudad

Primera ronda

S eg und a ronda

Kansas City Dayton Cincinnati Columbis Cleveland Indianapolis Louisville St. Louis Pittsburg Peoria

130 100 120 95 140 80 65 90 140 125

160 105 140 90 130 82 55 105 152 140


Diferencia

Valor absoluto

Rango

Rango con s ig nos

-30 -5 -20 5 10 -2 10 -15 -12 -15

30 5 20 5 10 2 10 15 12 15

10 2.5 9 2.5 4.5 1 4.5 7.5 6 7.5

-10 -2.5 -9 2.5 4.5 -1 4.5 -7.5 -6 -7.5

Página 96


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL n =10; La suma de rangos es: -32 Como n>= 10; y nt=0; Entonces

σT =

Tenemos que: ZK =

( )()()  −−()(+)(+)   

=19.62

.

=

-1.63

RESULTADOS EN MINITAB Prueba de clasificación con signos de Wilcoxon: C2 Prueba de la mediana = 0.000000 vs. la mediana no = 0.000000 Número de Estadística Mediana N N* prueba de Wilcoxon P estimada C2 10 1 10 11.5 0.114 -7.500

INTERPRETACIÓN Como el ZK calculado se encuentra en el rango de aceptación , se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa , es decir las poblaciones si son idénticas. Lo que nos indica que la campaña no tuvo un valor significativo en las ventas antes y después de ella. En los resultados del Minitab se observa que p es mayor que el nivel de significancia por lo tanto también se verifica que se acepta la hipótesis nula.


Página 97



PRUEBA DE KRUSKALL WALLIS PROBLEMA 1 Un fabricante de motores fuera de borda para embarcaciones, inventó un proceso de recubrimiento con pintura epóxica para protección contra la corrosión de los componentes del sistema de escape. Los ingenieros quieren determinar si las distribuciones de los tiempos de duración de la pintura son iguales bajo tres condiciones diferentes de uso: agua salada, agua dulce sin vegetación y agua dulce con gran concentración de vegetales. En el laboratorio se realizaron pruebas activadas de duración y se registraron los tiempos de estado útil de la pintura antes de que empezara a desprenderse.

Ag ua s alada

Ag ua dulce

A g ua dulce vegetación

167.3 189.6 177.2 169.4 180.3

160.6 177.6 185.3 168.6 176.6

182.7 165.4 172.9 169.2 174.7

con

Aplicando la prueba de Kruskall – Wallis y el nivel de 0.01, determine si la duración de la pintura es la misma para las tres condiciones acuáticas. SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la



  y la

:

: Son iguales las distribuciones de las duraciones de la pintura para las tres condiciones acuáticas. : No todas las distribuciones son iguales.



Paso 02: Nivel de significancia: α=0.01. Paso 03: Definir el estadístico de prueba: Estadístico de Kruskall Wallis. Se tiene que: Grado de libertad (g.l) = k-1=3-1=2 Tamaño de la muestra: n=15 Donde: K: Es el número de tratamientos. Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. El valor de Ji Cuadrado crítico


 (.,) 9.210 es:

Página 98



Gráfica de distribución Chi-cuadrada, df=2 0.5

0.4 d a d i s n e D

0.3

0.2

0.1

0.0

0.01 0

9.210 X

Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de H queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si H queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica:

.  :  0, 9 . 2 10 .:<9.210,∞>

Paso 05: Toma de decisión mediante el estadístico de prueba Kruskall Wallis. Procedimiento para el rango: Se combina todos los valores de la muestra. Se ordena todos los valores combinados de menor a mayor. Rango (

Agua salada

167.3

3

160.6

189.6 15

177.6

177.2

10

185.3

6

168.6

12

176.6

169.4

  = 

→ → → → →

)

180.3 46


Rango (

Agua dulce

39

→ → → → →

 )

Agua dulce con vegetación

1

182.7

11

165.4

14

172.9

4

169.2

9

174.7

→ → → → →

Rango (

 )

13 2 7 5 8

35

Página 99



Ahora mediante la siguiente fórmula hallamos H:

   ∑ ∑ ∑ 12     (1)       3(1)  5 ,  5,  5 15.  ()     3(16)0.62 0.62 Sean:

y Luego operando quedaría así:

El valor de cae en la región de aceptación entonces se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa. RESULTADOS EN EL MINITAB Prueba de Kruskal-Wallis: C1 vs. C2 Prueba de Kruskal-Wallis en C1 Clasificación C2 N Mediana del promedio 1 5 177.2 9.2 0.73 2 5 176.6 7.8 -0.12 3 5 172.9 7.0 -0.61 General 15 8.0

Z

H = 0.62 GL = 2 P = 0.733

INTERPRETACIÓN Como el es menor que el punto crítico de =9.210, esto quiere decir que se encuentra en la zona de aceptación, por lo tanto la hipótesis nula se acepta y la hipótesis alterna se rechaza, a un nivel de significancia del 0.01, entonces se concluye que son iguales las distribuciones de las duraciones de la pintura para las tres condiciones acuáticas: agua salada, agua dulce sin vegetación y agua dulce con gran concentración de vegetales.

0. 6 2



PROBLEMA 2


Página 100



Se investigará la inestabilidad de los ejecutivos en las casas de bolsa, en empresas de servicio, en la industria de la construcción pesada y en las empresas de transportación aérea. Se seleccionaron muestras de cada una de estas industrias, y se expresó como un índice, el número de veces que un ejecutivo cambió de empresa durante un periodo de 10 años. Un índice de 0 indicaría que no hubo ningún cambio, mientras que 100 indicaría un cambio casi constante de una empresa a otra. Los índices en los cuatro grupos son:

Mercado valores

de S ervicios

4 17 8 20 16

3 12 40 17 31 19

Construcción pes ada

Trans porte aéreo

62 40 81 96 76

30 38 46 40 21

No se puede suponer que los índices están distribuidos normalmente. Por tanto, se deberá utilizar una prueba no paramétrica. Usando el nivel 0.05, determine si los índices de inestabilidad de las cuatro poblaciones son idénticos. SOLUCIÓN Paso 01: Plantear la

  y la

:

 

: Las poblaciones son idénticos en lo que concierne a los índices de inestabilidad. : Las poblaciones no son idénticos en lo que concierne a los índices de inestabilidad.

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Definir el estadístico de prueba: Estadístico de Kruskall Wallis. Se tiene que: Grado de libertad (g.l) = k-1=4-1=3 Tamaño de la muestra: n=21 Donde: K: Es el número de tratamientos. Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. El valor de Ji Cuadrado crítico


 (.,) 7.815 es:

Página 101



Gráfica de distribución Chi-cuadrada, df=3 0.25

0.20

d a d i s n e D

0.15

0.10

0.05 0.05 0.00

0

7.815 X

Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de H queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si H queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica:

.  :  0, 7 . 8 15 .:<7.815,∞>

Paso 05: Toma de decisión mediante el estadístico de prueba Kruskall Wallis. Procedimiento para el rango: Se combina todos los valores de la muestra. Se ordena todos los valores combinados de menor a mayor. Mercado de valores

Rango (

 )

→ → → → →

Servicios

→ → → → → →

Rango Construcción ( pesada

 )

→ → → → →

Rango (

)

Transporte aéreo

)

→ → → → →

4 2

3 1

62 18

30 11

17 6.5

12 4

40 15

38 13

8 3

40 15

81 20

46 17

20 9

17 6.5

96 21

40 15

16 5

31 12

76 19

21 10

93

66

   =

Rango (

19 8 25.5

46.5


Página 102


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Ahora mediante la siguiente fórmula hallamos H:

   ∑ ∑ ∑ 12     (1)       3(1)  5 ,  6,  5,  5 21.  () .  .    3(22) 14.30 Sean:

y

Luego operando quedaría así:

14.30

El valor de cae en la región crítica entonces se acepta la hipótesis alternativa y se rechaza la hipótesis nula. RESULTADOS EN EL MINITAB Prueba de Kruskal-Wallis: C3 vs. C4 Prueba de Kruskal-Wallis en C3 Clasificación C4 N Mediana del promedio 1 5 16.00 5.1 -2.44 2 6 18.00 7.8 -1.52 3 5 76.00 18.6 3.14 4 5 38.00 13.2 0.91 General 21 11.0

Z

H = 14.30 GL = 3 P = 0.003 H = 14.34 GL = 3 P = 0.002 (ajustados para los vínculos) INTERPRETACIÓN Como el es mayor que el punto crítico de =7.815, esto quiere decir que se encuentra en la zona de rechazo, por lo tanto la hipótesis nula se rechaza y la hipótesis alterna se acepta, a un nivel de significancia del 0.05, entonces se concluye que las poblaciones de los índices de inestabilidad de los ejecutivos en las casas de bolsa, en empresas de servicio, en la industria de la construcción pesada y en las empresas de transportación aérea no son idénticos.

14.30




Página 103



PRUEBA DE MAN WHITNEY-WILCONXON: MUESTRA PEQUEÑA

≤

PROBLEMA1 Para probar el efecto de dos aditivos sobre el rendimiento de la gasolina, siete automóviles usan el aditivo 1 y nueve automóviles el aditivo 2. En los datos siguientes se presenta el rendimiento en millas por galón obtenido con cada uno de los dos aditivos. Use y determine si existe una diferencia significativa en el efecto que tiene los dos aditivos sobre el rendimiento.

0. 0 5

ADITIVO 1 17.3 18.4 19.1 16.7 18.2 18.6 17.5


 

  y la

ADITIVO 2 18.7 17.8 21.3 21.0 22.1 18.7 19.8 20.7 20.2

:

: No existe diferencia significativa en el efecto que tiene los dos aditivos sobre el rendimiento de la gasolina en millas por galón. : Existe diferencia significativa en el efecto que tiene los dos aditivos sobre el rendimiento de la gasolina en millas por galón.

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05.

  (  1)   7  9   (,, .) 41  7(791)4178

Paso 03: Definir el estadístico de prueba: (valor crítico para la prueba de Mann Whitney Wilconxon).

Como ésta es una prueba con una muestra pequeña porque obtenido en tablas es (valor crítico). Remplazando:




y

, el valor de

Página 104



Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Ordenar por rango las muestras combinadas y hallar la suma de rangos de cada muestra: Aditivo 1 17.3 18.4 19.1 16.7 18.2 18.6 17.5

Rango 2 6 10 1 5 7 3

Total

34

Aditivo 2 18.7 17.8 21.3 21.0 22.1 18.7 19.8 20.7 20.2

Rango 8.5 4 15 14 16 8.5 11 13 12 102

 ………………………  < 50 > 78 .:  41 ,78  .  :<∞ ,41>< 78 ,  ∞>

Si o , se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alternativa Ha. Se define la región de aceptación y de rechazo:

Paso 05: Toma de decisión mediante la prueba T de Mann Whitney Wilconxon. En este último paso calculamos y comparamos la suma de rangos de ambas muestras con el intervalo de aceptación, como 34 y 102 pertenecen a la región de rechazo, por tanto se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alternativa Ha. RESULTADOS EN EL MINITAB Prueba de Mann-Whitney e IC: ADITIVO 1, ADITIVO 2 ADITIVO 1 ADITIVO 2

N 7 9

Mediana 18.200 20.200

La estimación del punto para ETA1-ETA2 es -2.100 95.6 El porcentaje IC para ETA1-ETA2 es (-3.500,-0.499) W = 34.0 Prueba de ETA1 = ETA2 vs. ETA1 no es = ETA2 es significativa en 0.0081 La prueba es significativa en 0.0081 (ajustado por empates)


Página 105



INTERPRETACIÓN Como la suma de rangos es 34 y 102 , esto quiere decir que se encuentra en la zona de rechazo, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, para un nivel de significancia de 0.05, se puede concluir que existe diferencia significativa en el efecto que tiene los dos aditivos sobre el rendimiento de la gasolina en millas por galón, es decir hay diferencia significativa en el rendimiento de la gasolina. Se llega a la misma conclusión usando el Minitab, como el valor de la probabilidad p= 0.0081 (ajustado por empates) es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, es decir que hay evidencia estadística para concluir que existe diferencia significativa en el efecto que tiene los dos aditivos sobre el rendimiento de la gasolina en millas por galón. PROBLEMA 2 La National Association of Home Buiders proporciona datos sobre los más frecuentes proyectos de remodelación. Use la prueba de MWW para determinar si se puede concluir que el costo de remodelación de una cocina difiera del costo de remodelación de una recámara. Use 0.05 como nivel de significancia.


 

Cocina

Recámara

25 200 17 400 22 800 21 900 19 700 23 000 19 700 16 900 21 800 23 600

18 000 22 900 26 400 24 800 26 900 17 800 24 600 21 000

  y la

:

: No existe diferencia significativa entre el costo de remodelación de una cocina y el costo de remodelación de una r ecámara.

: E xiste diferencia significativa entre el costo de remodelación de una cocina y el costo de remodelación de una r ecámara.

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05.

  (  1) 

Paso 03: Definir el estadístico de prueba: (valor crítico para la prueba de Mann Whitney Wilconxon).


Página 106



 10  8 (, , .) 73  10(1081)73117

Como ésta es una prueba con una muestra pequeña porque obtenido en tablas es (valor crítico). Remplazando:



y

, el valor de

Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Ordenar por rango las muestras combinadas y hallar la suma de rangos de cada muestra: Aditivo 1 25 200 17 400 22 800 21 900 19 700 23 000 19 700 16 900 21 800 23 600 Total

Rango 16 2 10 9 5.5 12 5.5 1 8 13 82

Aditivo 2 18 000 22 900 26 400 24 800 26 900 17 800 24 600 21 000

Rango 4 11 17 15 18 3 14 7 4 11 89

 ………………………  < 73 > 117 .:73 , 1 17  .  :<∞ , 73>< 117 , ∞>

Si o , se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alternativa Ha. Se define la región de aceptación y de rechazo:

Paso 05: Toma de decisión mediante la prueba T de Mann Whitney Wilconxon. En este último paso calculamos y comparamos la suma de rangos de ambas muestras con el intervalo de aceptación, como 82 y 89 pertenecen a la región de aceptación, por tanto se acepta la hipótesis nula Ho y se rechaza la hipótesis alternativa Ha. RESULTADOS EN EL MINITAB Prueba de Mann-Whitney e IC: COCINA, RECAMARA COCINA RECAMARA

N 10 8

Mediana 21850 23750

La estimación del punto para ETA1-ETA2 es -1650 95.4 El porcentaje IC para ETA1-ETA2 es (-5000,1900) W = 82.0 Prueba de ETA1 = ETA2 vs. ETA1 no es = ETA2 es significativa en 0.2667 La prueba es significativa en 0.2665 (ajustado por empates)


Página 107



INTERPRETACIÓN Como la suma de rangos es 82 y 89, esto quiere decir que se encuentra en la zona de aceptación, por lo tanto se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, para un nivel de significancia de 0.05, se puede concluir que no existe diferencia significativa entre el costo de remodelación de una cocina y el costo de remodelación de una recámara. Se llega a la misma conclusión usando el Minitab, como el valor de la probabilidad p= 0.2665 (ajustado por empates) es mayor a 0.05, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, es decir que hay evidencia estadística para concluir que no existe diferencia significativa entre el costo de remodelación de una cocina y el costo de remodelación de una recámara.


Página 108



PRUEBA DE MAN WHITNEY-WILCONXON: MUESTRA GRANDE

≥

PROBLEMA 1 Business Week publica estadísticas anuales sobre las 1000 empresas más grandes. El cociente P/E (cociente de rendimiento por acción )de una empresa es el precio actual de las acciones de las empresas dividido entre la ganacia por acción en los últimos 12 meses. En la siguiente tabla se presenta el cociente P/E de 10 empresas japonesas y 12 empresas estadounidenses de una muestra. ¿ Existe diferencia entre los dos países? Use la prueba MWW y α=0.01 para dar sus conclusiones. JAPON Empresa Sumitomo Corp Kinden Heiwa NCR japan Suzuki Motor Fuji Bank Sumito Chemical Seibu Raiway Shiceido Toho Gas

Cociente P/E 153 21 18 125 31 213 64 666 33 68

ESTADOS UNIDOS Empresa Gannet Motorola Schlumberger Oracle Systems Gap Winn-Dixie Ingersoll-Rand American electric Hercules Times mirror WellPoint Health Nothem States

Cociente P/E 19 24 24 43 22 14 21 14 21 38 15 14

SOLUCIÓN

              aíses  é            í   é

Paso 01: Plantear la Ho:

y la

:

Ha:

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.01. Paso 03: Definir el estadístico de prueba: Emplear una aproximación normal de la distribución para el análisis en la prueba de Mann Whitney Wilconxon. Ésta es una prueba con una muestra grande porque y .




 10  12

Página 109



Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Ordenar por rango las muestras combinadas y hallar la suma de rangos de cada muestra: JAPÓN 153 21 18 125 31 213 64 666 33 68

Rango 20 8 5 19 13 21 17 22 14 18

TOTAL

157

EE.UU 19 24 24 43 22 14 21 14 21 38 15 14

Rango 6 11.5 11.5 16 10 2 8 2 8 15 4 2 96

Suma de rangos de Japón : 157 Suma de rangos de Estados Unidos: 96 Mediante las siguientes fórmulas hallamos z:

  12 ∗(  1)    ∗10(10121)115→ 115    121 ∗( ∗)(  1)

   121 ∗(10∗12)(10121)14.57 → 15.17    Entonces:


    157115 15.17 2.77 Página 110



Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica con un nivel de significancia de 0.01.

   .  :  2. 5 76, 2 . 5 76 .:<∞,2.576><2.576,∞> Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1

0.4

0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.0

0.005

0.005 -2.576

0

2.576

X

Paso 05: Toma de decisión mediante la Distribución aproximadamente normal. Como pertenece a la región crítica se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.

 2.77

RESULTADOS EN EL MINITAB Prueba de Mann-Whitney e IC: C3, C5 C3 C5

N 10 12

Mediana 66.0 21.0

La estimación del punto para ETA1-ETA2 es 45.5 99.1 El porcentaje IC para ETA1-ETA2 es (3.0,189.0) W = 157.0 Prueba de ETA1 = ETA2 vs. ETA1 no es = ETA2 es significativa en 0.0062 La prueba es significativa en 0.0061 (ajustado por empates)


Página 111



INTERPRETACIÓN Como pertenece a la región crítica se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, para un nivel de significancia de 0.01, se puede concluir que las poblaciones de los cocientes de las empresas de los dos países no son idénticas. Se llega a la misma conclusión usando el Minitab, como el valor de la probabilidad p= 0.0061 (ajustado por empates) es menor a 0.01, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, es decir que hay evidencia estadística para concluir que las poblaciones de los cocientes de las empresas de los dos países no son idénticas.

 2.77

PROBLEMA 2 Los hornos de microondas de una determinada marca se venden en Dalias y en San Antonio. Los precios se presentan a continuación. Use un nivel de significancia de 0.05 y pruebe si los precios en Dallas y en San Antonio son los mismos.


Dallas

S an Antonio

623 687 748 638 713 645 726 700 794 662 814 674

752 582 781 805 723 728 674 766 908 737 796 724

              é              é y la

:

Ho: Ha:

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Definir el estadístico de prueba: Emplear una aproximación normal de la distribución para el análisis en la prueba de Mann Whitney Wilconxon. Ésta es una prueba con una muestra grande porque y .




 12  12

Página 112



Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Ordenar por rango las muestras combinadas y hallar la suma de rangos de cada muestra: Dallas 623 687 748 638 713 645 726 700 794 662 814 674 TOTAL

Rango 2 8 16 3 10 4 13 9 20 5 23 6.5 119.5

San Antonio 752 582 781 805 723 728 674 766 908 737 796 724

Rango 17 1 19 22 11 14 6.5 18 24 15 21 12 180.5

Suma de rangos de Dallas: 157 Suma de rangos de San Antonio: 180.5 Mediante las siguientes fórmulas hallamos z:

  12 ∗(  1)    ∗12(12121)150→ 150    121 ∗( ∗)(  1)    121 ∗(12∗12)(12121)17. 3 2→ 17.32    Entonces:


    180.17.53150 2 1.76 Página 113



Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica con un nivel de significancia de 0.05.

   .:1. 9 60 ,1. 9 60 .:<∞,1.960><1.960,∞> Gráfica de distri bución Normal, Media=0, Desv.Est.=1

0.4

0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.025 0.0

0.025 -1.960

0

1.960

X

Paso 05: Toma de decisión mediante la Distribución aproximadamente normal. Como pertenece a la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa.

 1.76

RESULTADOS EN EL MINITAB Prueba de Mann-Whitney e IC: C6, C8 C6 C8

N 12 12

Mediana 693.5 744.5

La estimación del punto para ETA1-ETA2 es -52.5 95.4 El porcentaje IC para ETA1-ETA2 es (-104.0,11.0) W = 119.5 Prueba de ETA1 = ETA2 vs. ETA1 no es = ETA2 es significativa en 0.0833 La prueba es significativa en 0.0832 (ajustado por empates)


Página 114



INTERPRETACIÓN Como pertenece a la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, para un nivel de significancia de 0.05, se puede concluir que las poblaciones de precios en Dallas y en San Antonio son idénticas. Se llega a la misma conclusión usando el Minitab, como el valor de la probabilidad p= 0.0832 (ajustado por empates) es mayor a 0.05, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, es decir que hay evidencia estadística para concluir que las poblaciones de precios en Dallas y en San Antonio son idénticas.

 1.76


Página Página 115


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL CORRELACIÓN CORRELACIÓN DE RANGO DE SPEARMAN

PROBLEMA 1 Nuevos representantes comerciales de la empresa John Ford Metal & Wheel CO., asisten a un programa de capacitación antes de ser asignados a una oficina regional. Al término de uno de estos programas, cada representante fue clasificado con respecto a su futura potencialidad en ventas. Al final del primer año en ventas, sus calificaciones se compararon con sus ventas anuales:

Representante

Calificación Ventas anuales (miles prog pr og rama US$) capacitación

Kitchen Bond Gross Arbu A rbuck ck le Greene Arden A rden Crane Arthu A rthurr Keene knopf

319 150 175 460 348 300 280 200 190 300

en

el de

3 9 6 1 4 10 5 2 7 8

a) Calcule e interprete el coeficiente de correlación de rango de Spearman. b) Al nivel de significancia 0.05, ¿puede concluirse que hay una asociación positiva entre los rangos? SOLUCIÓN 1º Calcular el el coeficiente de correlación de rango de Spearman mediante la siguiente fórmula:

 ∑ 6    1  (  1)

Para ello realizamos la siguiente tabla:

Ventas Representante anuales Rango (miles (mil es US $)

Rango de d capacitación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 9 6 1 4 10 5 2 7 8

319 150 175 460 348 300 280 200 190 300


3 10 9 1 2 4.5 6 7 8 4.5

0 1 3 0 -2 -5.5 1 5 1 -3.5 Total

 0 1 9 0 4 30.25 1 25 1 12.25 83.50

Página Página 116


ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Donde:

10

Remplazando tenemos:

 ∑ 6    1  (  1)  ∑ 6  5 0   1  (  1)  1  6∗83. 10∗99 0.494

CONCLUSIÓN El coeficiente de correlación de rango de Spearman es igual a 0.494, esto significa que existe una correlación positiva moderada. 2º Prueba de correlación de rango. Paso 01: Plantear 01: Plantear la y la :

    0 ( ℎ  ó    ) )  ≠ 0 (  ó    ) ) Ho:

Ha:

significanci a: α=0.05. Paso 02: Nivel de significancia:

Paso 03: Definir 03: Definir el estadístico de prueba: Distribución Normal (z). Paso 04: Definir 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica con un nivel de significancia de 0.05.

   .: . : 1. 1. 9 60 ,1. , 1. 9 60 60  .:<∞,1.960><1.960,∞> Gráfica de distri bución bución Normal, Media=0, Desv.Est.=1

0.4

0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.025 0.0

0.025 -1.960

0

1.960

X


Página Página 117



Paso 05: Toma de decisión mediante la Distribución Normal. Mediante las siguientes fórmulas procedemos a calcular Sean:

 0    11

.

Donde:

  −   0.33 =

Entonces:

Remplazando se tiene:

         0.40.940 33 1.50

 1.50  1.50  ℎ ó   

Como pertenece a la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa. INTERPRETACIÓN Como pertenece a la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, para un nivel de significancia de 0.05, se puede concluir que es decir la correlación poblacional entre los rangos podría ser cero.


Página 118



PROBLEMA 2 Al principio de la temporada de basquetbol (en EUA), 12 equipos parecían sobresalir. Se pidió a un grupo de cronistas deportivos y a uno de entrenadores de baloncesto universitario que calificaran a los 12 equipos. Sus calificaciones compuestas son las siguientes.

E s tudiante Gromney Bates MacDonald White Harris Cribb S mythe Arquette Govito Grankowski bonfigilo Hineman

Orden de terminación

Calificación (50 posi ble)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

48 48 43 49 50 47 39 30 37 35 36 33

Determine la correlación entre las calificaciones que otorgaron los entrenadores y las que asignaron los cronistas. Al nivel de significancia 0.05, ¿se puede concluir que esta correlación es diferente de cero? SOLUCIÓN 1º Calcular el el coeficiente de correlación de rango de Spearman mediante la siguiente fórmula:

 6∑  1 ( 1)

Para ello realizamos la siguiente tabla:

Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Calificación (50 posible) 48 48 43 49 50 47 39 30 37 35 36 33


Rango

Rango de d terminación

3.5 3.5 6 2 1 5 7 12 8 10 9 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.5 1.5 3 -2 -4 -1 0 4 -1 0 -2 -1 Total

6.25 2.25 9 4 16 1 0 16 1 0 4 1 60.5



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ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Donde:

12

Remplazando tenemos:


 6∑  1 ( 1)  6∑ 6∗60.5 0.788  1 ( 1) 1 12∗143

CONCLUSIÓN El coeficiente de correlación de rango de Spearman es igual a 0.788, esto significa que existe una correlación positiva moderada. 2º Prueba de correlación de rango. Paso 01: Plantear la y la :

   0 ( ℎ ó   )  ≠0 (  ó    ) Ho:

Ha:

Paso 02: Nivel de significancia: α=0.05. Paso 03: Definir el estadístico de prueba: Distribución Normal (z). Paso 04: Definir la Zona de Aceptación y la Zona de Rechazo. Por consiguiente la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, si el valor de queda en la región crítica. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si queda en la región de aceptación. Se define la región de aceptación y la región crítica con un nivel de significancia de 0.05.

   .:1. 9 60 ,1. 9 60 .:<∞,1.960><1.960,∞>


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0.3 d a d i s n e D

0.2

0.1

0.025 0.0

0.025 -1.960

0

1.960

X

Paso 05: Toma de decisión mediante la Distribución Normal. Mediante las siguientes fórmulas procedemos a calcular Sean:

 0    11

.

Donde:

  −   0.30 =

Entonces:

Remplazando se tiene:

         0.70.880 30 2.63

 2.63  2.63 ℎ  ó    

Como pertenece a la región crítica se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa. INTERPRETACIÓN Como pertenece a la región crítica se acepta la hipótesis alternativa y se rechaza la hipótesis nula, para un nivel de significancia de 0.05, se puede concluir que es decir hay una correlación positiva entre los cronistas deportivos y los entrenadores.


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Trabajo Estadistica Industrial 1

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