BAB 1 TEORI BILANGAN 1. BILANGAN ASLI N 1, 2, 3,
Sifat Aljabar k , m, n N . (i ) (k m) n k (m n)
(i ' ) (k .m).n k .(m.n) (Asosiatif )
(ii) m n n m
(ii' ) m.n n.m
(Komutatif )
(iii) k .(m n) k .m k .n)
(iii' ) n.1 1.n n
(Distributif - unsur identitas )
(iv) m k n k m n
(iv' ) m.k n.k m n (Hk. Penghapusan )
Sifat Urutan (i) (ii) (iii) (iv)
Untuk setiap m, n N berlaku (tepat satu) : m n, m n, n m (Trikotomi) Jika k m dan m n, maka k n (Transitif ) Jika m n , maka m k n k , k N (Monoton ) Jika m n , maka m.k n.k , k N (Monoton .)
Sifat Terurut Rapi: Setiap subset tak kosong dari N mempunyai unsur terkecil.
Prinsip Induksi Matematika (i) Prinsip Induksi I
Misalkan
P(n)
n N himpunan pernyataan.
(1) Jika P(1) benar dan (2) jika P(k ) benar mengakibatkan P(k 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar n. (ii) Prinsip Induksi II
Misalkan
P(n)
n N himpunan pernyataan.
(1) Jika P(1) benar dan (2) jika P(k ) benar m k mengakibatkan P(k 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar n.
CONTOH n(n 1) , n N 2 n(n 1)(n 2) 2. 1.2 2.3 3.4 n(n 1) , n N 3 n(n 1)(2n 1) 3. 12 2 2 32 n 2 , n N 6 1 1 1 1 n 4. , n N 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1
1. 1 2 3 n
a (r n 1) , r 1 r 1 1 1 1 1 1 6. 2 2 2 2 2 , n N 1 2 3 n n
5. a ar ar 2 ar n 1
1
7. n N (2 3 ) n (2 3 ) n adalah bilangan bulat 8. n N (3 5 ) n (3 5 ) n habis dibagi 2 n 9. a n b n (a b)(a n 1 a n 1b ab n 2 b n 1 ), n N n n n n a b n 1 b n 10. (a b) n a n a n 1b a n 2 b 2 a n k b k 1 2 k n 1 n n! C kn dan n! n(n 1)(n 2) 2.1 k!(n k )! k
Penyajian Bilangan 1. Setiap bilangan asli a dapat ditulis dalam basis 10,
a an (10n ) an1 (10n1 ) a1 (101 ) a0 (100 ), 0 ai 9; i 0,1, n an an1 a1a0 Contoh : 3624 3000 600 20 4 3(103 ) 6(102 ) 2(101 ) 4(100 ) 2. Misalkan b 1 adalalah basis sistem bilangan. Untuk setiap bilangan asli a dapat disajikan dalam basis b sebagai a anb n an1
n 1
a1b1 a0b 0 , 0 ai b 1 (i 0, 1,, n)
(an an1 a1a0 )b Contoh : 221 3(64) 3(8) 5 3(82 ) 3(81 ) 5(80 ) 3358
Jadi, ekivalensi bilangan berbasis 8 (oktal) dari bilangan desimal 221 adalah 335.
2. BILANGAN BULAT Z ,3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Sifat Aljabar Untuk setiap a, b, c Z . berlaku : (i ) (a b) c a (b c) (i ' ) (a.b).c a.(b.c) (ii) a b) b a
(ii' ) a.b b.a
(iii) a 0 0 a a
(iii' ) a.1 1.a a
(iv) a b 0 (b invers dari a terhadap )
Terdapat N Z Z dengan sifat (i) a Z
berlaku ( tepat satu) : a N , a 0 atau a N
(ii) Jika a, b N, maka a b N (iii) Jika a, b N, maka ab N
Untuk setiap a, b Z, a b b a N
Untuk setiap a N, 0 a 2
Sifat Urutan (i) a, b Z berlaku (tepat satu) : a b, a b, b a. (ii) Jika a b dan 0 c, maka a c b c (iii) Jika a b dan 0 c, maka ca cb
3. KETERBAGIAN
Definisi
a 0 , a dikatakan membagi b jika terdapat
Untuk bilangan bulat a dan b di mana
bilangnan bulat lain c sehingga b ac . Dengan kata lain, a pembagi dari b atau b kelipatan dari a atau b habis dibagi a dan ditulis sebagai a b .
SIFAT 1) Untuk setiap a Z,
(refleksif)
aa
2) Untuk setiap a, b, c Z ,
a b dan b c a c
3) Untuk setiap a, b, c, x, y Z ,
Untuk setiap a, b, c Z, a b ca cb
5)
Untuk setiap a, b, c Z, ca cb dan c 0 a b
6)
Untuk setiap a Z, 1 a
(perkalian) (kanselasi/pencoretan)
a0
8) Untuk setiap a, b Z ,
a b dan a c a ( xb yc) (linear)
4)
7) Untuk setiap a Z,
(transitif)
a b dan b a a b
(a dan b disebut berasosiasi)
SIFAT 1. Uji Bilangan Habis Dibagi a. Suatu bilangan habis dibagi 2 digit terakhirnya habis dibagi 2 (yaitu: 0, 2, 4, 6 atau 8). Contoh: 21570, 149752, 3987484, 2974596, 3974638 habis dibagi 2, sebab digit terakhirnya masing-masing adalah 0, 2, 4, 6, 8. b. Suatu bilangan habis dibagi 2n n digit terakhirnya habis dibagi 2n. Contoh: 356568 habis dibagi 8 (= 23), sebab 568 habis dibagi 8 (568 : 8 = 71). 4971248 habis dibagi 16 (= 24), sebab 1248 habis dibagi 16 (1248:16=78). c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 3 . Contoh : 653535 habis dibagi 3, sebab 6+5+3+5+3+5=27 dan 27 habis dibagi 3. d. Suatu bilangan habis dibagi 9 jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 9. Contoh : 2326752 habis dibagi 9 sebab 2+3+2+6+7+5+2=27 dan 27 habis dibagi 9. 3
e. Suatu bilangan habis dibagi 5 digit terakhirnya habis dibagi 5 (yaitu: 0 atau 5). Contoh: 621580, 24649775 habis dibagi 5. f. Suatu bilangan habis dibagi 5n n digit terakhirnya habis dibagi 5n. Contoh: 2457375 habis dibagi 125 (= 53), sebab 375 habis dibagi 125 (375:125=3). g. (i) N bilangan yang dapat dipartisi ke dalam bilangan-bilangan 3 digit dari kanan ( , d 4 d 5 d 6 , d 7 d 8 d 9 ). Jumlah alternating ( d 7 d 8 d 9 d 4 d 5 d 6 ) habis dibagi 7
N habis dibagi 7. Contoh: 1369851 habis dibagi 7, sebab 851-369+1=483 habis dibagi 7 (483:7=69). (ii) Suatu bilangan habis dibagi 7 Kurangi 2 kali digit terakhir dari digit sisanya habis dibagi 7. Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48-(3x2)=42 habis dibagi 7. (iii) Suatu bilangan habis dibagi 7 Tambah 5 kali digit terakhir ke digit sisanya habis dibagi 7. Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48+(3x5)=63=7(9) habis dibagi 7. h. (i) Suatu bilangan habis dibagi 11 jumlah alternating dari digit-digitnya (selisih antara jumlah digit pada posisi ganjil dan jumlah digit pada posisi genap dari bilangan tersebut) habis dibagi 11. Contoh: 3718814 habis dibagi 11, sebab (3+1+8+4)-(7+8+1)=16-16=0 habis dibagi 11 (ii) Suatu bilangan habis dibagi 11 Tambah 2 digit terakhir ke digit sisanya habis dibagi 11. Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 6+27=33 habis dibagi 11. (iii) Suatu bilangan habis dibagi 11 Kurangkan digit terakhir dari digit sisanya habis dibagi 11. Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 62-7=55 habis dibagi 11. 2. Jika bilangan N habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka N akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya. Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.
4. BILANGAN PRIMA
Definisi Suatu bilangan bulat p 1
disebut bilangan prima jika p hanya memiliki pembagi
1 dan p sendiri. Jika bilangan bulat n > 1 bukan prima, maka n disebut bilangan komposit
4
Bilangan prima : 2, 3, 5, 7, Bilangan komposit : 4, 6, 8, 9,
TEOREMA: 1) Ada tak hingga banyak bilangan prima. 2) Teorema Faktorisasi Prima. Sebarang bilangan bulat n > 1 mempunyai penyajian tunggal sebagai perkalian bilangan prima. 3) Misal bilangan asli n memiliki penguraian prima n p1 1 . p2 2 . p3 3 ....pk n
n
n
nk
dengan
p1, p 2 , p3 ,...., p k adalah bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka
a) Banyaknya faktor berbeda dari n adalah ( n) ( n1 1) ( n2 1) ( n3 1)....(nk 1) . b) Banyaknya cara berbeda untuk memfaktorkan n adalah 1 1 ( n) ( n1 1) ( n2 1) ( n3 1)....(nk 1) . 2 2
4) Jika n bilangan komposit, maka n memiliki faktor prima p dengan p n .
5. FPB, KPK DAN ALGORITMA PEMBAGIAN
Definisi (i) Bilangan c disebut faktor persekutuan bilangan a dan b jika c membagi a dan b. (ii) Bilangan d disebut faktor persekutuan terbesar bilangan a dan b jika (1) d faktor persekutuan a, b (2) Untuk setiap faktor persekutuan e dari bilangan a dan b, maka e d , Notasi: d ditulis sebagai (a,b) atau FPB(a,b) atau gcd(a,b). (iii) Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima atau koprima jika FPB(a,b)=1.
Definisi (i)
Bilangan k disebut kelipatan persekutuan bilangan a dan b jika k dapat dibagi oleh a dan b.
(ii) Bilangan k disebut kelipatan persekutuan terkecil bilangan a dan b jika (1) k kelipatan persekutuan a, b (2) Untuk setiap kelipatan persekutuan l dari bilangan a dan b, maka k l , Notasi: k ditulis sebagai KPK(a,b) atau lcm(a,b). Contoh: 1. FPB(45,75)=15. 2. Bilangan 8 dan 9 adalah relatif prima, sebab FPB(8,9)=1. 3. KPK (12,20)=60.
SIFAT 1) Algoritma Pembagian 5
Misalkan b bilangan positif, maka untuk setiap bilangan bulat a ada tunggal bilangan q dan r sehingga a qb r , 0≤ r< b.
Jika b a , maka r=0. 2) Jika a dan b bilangan bulat dan d= FPB(a,b), maka ada bilangan m dan n sehingga d ma nb
3) Jika p bilangan prima, a, b bilangan bulat dan p ab , maka p a atau p b .
a c , b c dan FPB(a, b) 1, maka ab c .
4) Jika
5) Pemfaktoran Tunggal Setiap bilangan bulat a dengan a 1 , maka a dapat ditulis sebagai perkalian bilangan prima (Penulisan ini tunggal kecuali urutannya).
TEOREMA 1. Teorema Bachet Bezout, Faktor persekutuan terbesar dari sebarang bilangan bulat a dan b, dapat ditulis sebagai kombinasi dari a dan b, yaitu ada bilangan bulat x, y sehingga (a, b) ax by . 2. Lemma Euclid Jika a bc dan ( a, b) 1, maka a c .
a b 3. Jika (a, b) d , maka , 1. d d 4. Misalkan c adalah bilangan bulat positif, maka ca, cb c a, b . 5.
a , b a, b 2
2
2
6. Jika a p1 1.... pk
k
dan b p1 1.... pk
min(1,1)
FPB(a, b) p1
7. Jika a p1 1.... pk
KPK(a, b) p1
k
.....pk
min( k , k )
.....pk
max( k , k )
, i , i 0, i i 1 , i 1, 2, ..., k maka
k
, i , i 0, i i 1 , i 1, 2, ..., k maka
.
dan b p1 1.... pk
max(1 , 1 )
k
.
8. Jika a = b q + r, maka FPB(a, b) FPB(b , r ) 9. Jika a1, a2, a3 , ...., an bilangan bulat yang tidak semuanya nol, maka
a1, a2, a3, ..., an 1, an a1, a2, a3, ..., an 1, an . 10. FPB dari dua bilangan asli berurutan adalah 1. FPB(n,n+1) = 1 dengan n bilangan asli.
6. BILANGAN BULAT TERBESAR
Definisi Jika x bilangan real, maka x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. 6
Contoh : 7,25 7 dan 3,74 4 .
Nilai x x jika dan hanya jika x bilangan bulat.
Tanda dapat digunakan untuk menentukan nilai k bulat terbesar sehingga a membagi
k
n! dengan a merupakan bilangan prima dan “!” menyatakan faktorial. n n n Nilai k terbesar = 2 3 a a a k
Contoh: Nilai k terbesar sehingga 3 membagi 28! Adalah 28 28 28 k 2 3 9 3 1 13 . 3 3 3
Untuk setiap bilangan real x, y berlaku x y x y .
n n 1 2n Untuk setiap bilangan bulat positif n, k (k>1) berlaku . k k k
Untuk setiap bilangan rteal x dan bilangan asli n berlaku n 1
nx . x x x x n n n 1
2
Jika p, q dua bilangan bulat yang relatif prima, maka
p 2 p 3 p (q 1) p ( p 1)(q 1) . q q q q 2
7. RELASI KONGRUENSI
Definisi Misalkan m > 0. Jika a dan b adalah bilangan bulat sehingga a-b dapat dibagi m, maka a dan b dikatakan kongruen modulo m dan ditulis a b (mod m)
Dengan kata lain, a-b=km untuk k bilangan bulat.
Definisi Misalkan m > 0. Bilangan bulat a dikatakan invers dari bilangan bulat b jika ab 1 (mod m)
Contoh: (1) 31 1 (mod 6) , sebab 31-1=30=6(5) (2) 100 2 (mod 7) , sebab 100-2=98=7(14). (3) 2 adalah invers dari 6 modulo 11, sebab 2.6 12 1.11 1 2.6 1 (mod 11)
Sifat Misal a, b, c, d , m Z , m > 0 , k Ζ dengan a b (mod m) dan c d (mod m) . Maka: 1) a c b d (mod m) 7
2) a c b d (mod m) 3) a.c b.d (mod m) 4) a k b k (mod m) 5)
a b m (mod ) , e adalah bilangan bulat positif yang membagi a dan b. e e FPB (m, e)
6) Jika f polinomial dengan koefisien bilangan bulat maka f (a) f (b) (mod m) Jika a b (mod m) , maka untuk setiap bilangan p berlaku: 1) a p b p (mod m) 2) a p b p (mod m) 3) ap bp (mod m) Jika a, b, c, dan m bilangan yang memenuhi ca cb (mod m) dan FPB(c,m)=1, maka a b (mod m) .
Jika a, b, n, m adalah bilangan bulat dan m > 0, maka ( an b ) m b m (mod n ) .
8. TEOREMA FERMAT, WILSON’S, & EULER 1. Teorema Kecil Fermat Jika p adalah bilangan prima dan FPB( p, a) 1 , maka a p 1 1 (mod p ) [atau a p 1 1 0 (mod p) ].
2. Akibat Jika p bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat a berlaku a p a (mod p ) [atau a p a 0 (mod p) ].
3. Lemma Jika a 2 1 mod p , maka berlaku tepat satu a 1 (mod p) atau a 1 mod p . 4. Teorema Wilson Jika p bilangan prima, maka ( p 1)! 1 0 (mod p) [atau ( p 1)! 1 (mod p) ]. 5. Kebalikan Teorema Wilson Jika ( p 1)! 1 0 (mod p) , maka p adalah bilangan prima. 6. Fungsi Euler
Jika n p1 1 . p2 2 .... pk
( n) n 1
k
adalah faktorisasi prima dari n > 1, maka
1 1 1 . 1 ......1 p1 p2 pk
7. Teorema Euler Jika FPB(a,n) = 1, maka a ( n ) 1 (mod n ) .
8
8. Persamaan kuadrat
x 2 1 0 (mod p) dengan p bilangan prima ganjil mempunyai jawab jika
dan hanya jika p 1 (mod p)
9.
PERSAMAAN DIOPHANTINE Definisi Persamaan Diophantine adalah persamaan yang solusinya harus dicari di himpunan bilangan bulat. Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat. Contoh: 56 x 72 y 40 .
Jika persamaan Diophantine mempunyai solusi banyak tak hingga, maka bentuk parametrik digunakan untuk menyatakan relasi antara variabel-variabel persamaan. Contoh: Solusi dari 56 x 72 y 40 adalah
x 20 9t dan y 15 7t , t bilangan bulat.
10. SOAL LATIHAN 1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah ……. 2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ? 3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak... 4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p terbesar adalah … 5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah.... m 6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk n ,
di mana m, n bilangan-bilangan bulat, n 0 .Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah m+n ? 7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9? 8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N. 9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. 10.Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah... 11.Nilai dari
2009 k 1
FPB(k ,7) adalah .....
12.Jika 10999999999 dibagi 7, maka sisanya adalah.... 13.Carilah sisa hasil bagi jika 61987 dibagi 37? 14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3 9
105
105
+4
15. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan . Jika x dan y bilangan real sehingga
x 9
dan
y 12 , maka nilai
terkecil yang mungkin dicapai oleh y x adalah? 16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi a menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih
kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi x 3 x
3 ,
maka x x tidak akan lebih besar dari ….. 17.Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Tentukan bilangan tersebut. 18.Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut. 19.Diketahui bahwa 5k n 2 2005 untuk k dan n bulat serta n2 adalah bilangan yang terdiri dari tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua nilai n2 yang mungkin. 20.Tentukan A dan B jika AB B ___ BA
10
10. SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah ……. (OSP, 2007) Jawab: 2006=2.17.59 Banyaknya faktor prima berbeda dari 2006 adalah 3. 2007=32.27 Banyaknya faktor prima berbeda dari 2007 adalah 2. 2008=23.251 Banyaknya faktor prima berbeda dari 2008 adalah 2. Jadi, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah 2006. 2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ? Jawab : Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis dibagi 9) Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada bilanganbilangan tersebut yang habis dibagi 9. 3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak... (OSK, 2004) Jawab: 2004 4 .501 2 2. 3 .167
(2, 3 dan 167
bilangan prima)
Banyaknya faktor positif dari 2004 (termasuk 1 dan 2004) adalah (2+1)(1+1)(1+1)=12. adi, faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak (12-2)=10. 4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p terbesar adalah … (OSK, 2008) Jawab: Jumlah empat bilangan asli berturutan senantiasa dapat dinyatakan dengan (n 1) n (n 1) (n 2) 4n 2 2(2n 1) , n>2.
Dengan demikian, 2 senantiasa membagi habis jumlah empat bilangan asli berurutan.
11
Andaikan p>2, maka p harus membagi 2n+1. Hal ini tidak mungkin karena nilai p tetap sedangkan nilai n berubah-ubah. Jadi, nilai p terbesar adalah 2. 5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah.... (OSK, 2007) Jawab: 2007=9.223=32.223 Banyak faktor positif=(2+1)(1+1)=6. Maka H 6 dan banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong=26-1=63. m 6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk n ,
dimana m, n bilangan-bilangan bulat, n 0 . Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah
m n ?
(OSP, 2002) Jawab: Misalkan
x 2,525252..... Maka 100x 252,5252....
100x x 252,5252.... 2,525252... 99 x 250 250 x 99 Karena 250 dan 99 relatif prima, maka m=250 dan n=99. Jadi, m+n=349. 7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9? (OSP, 2003) Jawab:
... 2003 Misalkan a 20032003 . k
Agar a dapat dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 9. Jumlah digit a adalah k(2+0+0+3)=5k. Jadi, bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9 adalah k=9. 8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N. A. 4
B. 8
C. 13
D. 22
(OSK, 2003) Jawab: 12
E. 40
N 5k 2, k Z N { ,8, 3, 2, 7, 12 , 17 , 22 , } N 7m 3, m Z N { ,11, 4, 3, 10 , 17 , 24 , } Bilangan persekutuan terkecil adalah 17. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5 dan sisa 3 jika dibagi 7 berbentuk
N (5.7)n 17, n Z N { ,18, 17, 52, 87, 122, 157, 192, } . (*) N 9n 4, n Z N { ,5, 4, 13, 22, 31, 40, 49, , 148, 157, 166, } (**) Dari (*) dan (**), bilangan persekutuan terkecil adalah 157. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7 dan sisa 4 jika dibagi 9 berbentuk
N (3.5.7)t 157 135t 157, t Z
.
Nmin terjadi jika t=0, yaitu Nmin=157. Jadi, jumlah digit N adalah 1+5+7=13. 9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. Jawab: 72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2. Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bilangan tersebut adalah 36792.
10. Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah... (OSK, 2008)
11. Nilai dari
2009 k 1
FPB(k ,7) adalah .....
(OSK, 2009) Jawab: FPB(a,7) = 1 bila a bukan kelipatan 7 FPB(b,7) = 7 bila b kelipatan 7 Jumlah bilangan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 287, jumlah bilangan bukan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 1722. Maka FPB(1,7) + FPB(2,7) + .. + FPB(2009,7) = 287 . 7 + 1722 . 1 = 2009 + 1722 = 3731. 12. Jika 10999999999 dibagi 7, maka sisanya adalah.... (OSK, 2009) Jawab: Karena 7 membagi 1001, maka 10 3 1 (mod 7) . 10 999...9 (1) 333...3 (mod 7) 1 (mod 7) 6 (mod 7)
13
Jadi, sisanya 6.
13. Carilah sisa hasil bagi jika 61987 dibagi 37 Jawab: Akan dicari b sedemikian hingga 61987 b (mod 37 ) . Karena 6 2 1 mod 37 dan 61987 6. (6 2 )993 maka
61987 6. 6 2
993
6.(1)993 mod 37 6 (mod 37) 31 mod 37
Jadi, b = 31.
14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3
105
105
+4
.
Jawab : Karena 105 ganjil maka 3 105
3
105
+4
3 35
105
3 35
105
+4 35
habis dibagi 3 + 4 = 7. 35
= (3 ) + (4 ) = 27 + 64
Karena 35 ganjil maka 3
105
105
+4
habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3
105
105
+4
habis dibagi 13. 105
3
105
+4
5 21
5 21
Karena 21 ganjil maka 3 105
3
105
+4
21
21
= (3 ) + (4 ) = 243 + 1024 105
105
+4
habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka
habis dibagi 181.
15. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan . Sebagai contoh 4,9 4 dan 7 7 . Jika x dan y bilangan real sehingga
x 9
dan
y 12 , maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh
y x adalah?
(OSK, 2003) 16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi a menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih
kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi x 3 x
3 ,
maka x x tidak akan lebih besar dari ….. (OSP, 2005) Jawab:
17. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Tentukan bilangan tersebut. 14
Jawab: Misalkan bilangan tersebut adalah ab, maka 10a + b=4 (a+b) 2a=b b-a=2 2a-a=2 a=2 dan b=4. Jadi bilangan tersebut adalah 24.
18. Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut. Jawab: Misal bilangan tersebut adalah abc dengan 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; 0 ≤ c ≤ 9, maka : 100a + 10b + c = 12 ( a + b + c) 88a = 2b + 11c 2b = 11 (8a − c) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) Karena a, b dan c bilangan bulat, maka b kelipatan 11 atau b = 11k dan (8a − c) = 2k. Karena 0 ≤ b ≤ 9, maka nilai k yang memenuhi adalah k = 0 b = 0 dan c = 8a Karena 0 ≤ c ≤ 9, maka a = 0 (tidak memenuhi) atau a = 1 (memenuhi) c = 8 ⋅ 1 = 8. ∴ Bilangan tersebut adalah : 108. 2
2
19. Diketahui bahwa 5k = n + 2005 untuk k dan n bulat serta n adalah bilangan yang terdiri dari 2
tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua nilai n yang mungkin. Jawab: 2
Karena 5k dan dan 2005 habis dibagi 5 maka n habis dibagi 5 yang berakibat n habis dibagi 5. n tidak akan habis dibagi 10 sebab akan membuat dua angka terakhirnya 00. 2
n < 1000 n < 34. Nilai n yang mungkin adalah 15 atau 25. 2
2
2
Karena 15 = 225 yang membuat terdapat dua digit yang sama maka n = 25 = 625 sebagai 2
satu-satunya nilai n yang memenuhi. 20. Tentukan A dan B jika : AB + B = BA Jawab: (10A + B) + (B) = (10B + A) dengan 1 ≤ A ≤ 9 ; 1 ≤ B ≤ 9 ; A dan B bilangan bulat. 9A = 8B A = 8t dan B = 9t dengan t adalah bilangan bulat. 1 ≤ 8t ≤ 9 Nilai t yang memenuhi hanya t = 1. ∴ A = 8 dan B = 9
21. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M - m ? (OSP, 2002) Jawab: 15
Misalkan bilangan yang ditanyakan adalah abcd dengan a+b+c+d=9. Agar bilangan abcd sebesar-besarnya, haruslah a=9 Karena a+b+c+d=9, maka b=c=d=0. M 9000 . Agar bilangan
abcd sekecil-kecilnya dan a 0 , haruslah sekecil mungkin, yaitu a=1.
Demikian juga b dan c, yakni b=c=0. Karena a+b+c+d=9, maka d=8. m 1008 . Maka M m 9000 1008 7992 8 (999 ) 8 (27 ) (37 ) 2 . 3 .37 . 3
3
Jadi, faktor prima terbesar dari M - m adalah 37. 22. Misalkan a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda yang kurang atau sama dengan 9. Jika jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran nilainya sama, tentukan nilai a+d+g.
(OSK, 2003) Jawab: Karena a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda dengan 1≤ a, b, c, d, e, f, g, h, i ≤9, maka a b c i 1 2 3 9 45 . Misalkan n adalah jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran. Maka
(1 a i ) (2 b a ) (3 c b) (9 i h) 9n (1 2 3 9) 2(a b c i ) 9n 45 2(45) 9n 135 n 15. 9 Perhatikan 1 a i 15 a i 14 (a, i ) : (5, 9), (6, 8), (8, 6), (9,5) 9 h i 15 h i 6 (h, i ) : (1, 5), (2, 4), (4, 2), (5,1)
Dari (*) dan (**), diperoleh nilai i=5, a=9 dan h=1. 16
(*) (**)
2 a b 15 b 15 2 a 4; 5 d e 15 e 15 5 d 7; 3 b c 15 c 15 3 b 8;
6 e f 15
f 15 6 e 2
4 c d 15 d 15 4 c 3; 7 f g 15 g 15 7 f 6,
Jadi, a d g 9 3 6 18 .
23. Tentukan sisa pembagian jika
dibagi 73.
Jawab: 73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat's Little Theorem kita tahu bahwa
.
Maka, kita kelompokkan berdasarkan modulo 73. . Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.
_________ _________ _________ _________
.
Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.
24. Tentukan dua angka terakhir dari 31234 Jawab: Dua angka terakhir 31234 sisa pembagian 31234 oleh 100. 31234 3 5 x 206 4 (mod 100 )
35
206
. 3 4 mod 100
CONTOH: 1. Untuk menentukan FPB dari tiga bilangan bulat 105, 140, dan 350, kita gunakan sifat 8) untuk melihat bahwa: 105, 140, 350 105, 140,350 105, 70 35 . 2. Tentukan FPB(252, 198) dengan menggunakan algoritma pembagian. JAWAB
252 1.198 54 198 3.54 36 54 1.36 18
36 2.18 Jadi FPB(252,198)=18
17
3. Misalkan (a,b) = 1, maka buktikan a b, a 2 ab b 2 1 atau 3 . JAWAB
Misal d a b, a 2 ab b 2 . Sekarang d membagi ( a b )2 a 2 ab b 2 3ab . Olehkarena itu d membagi 3b( a b) 3ab 3b2. Dengan cara yang sama d 3a 2 , maka
d 3a 2, 3b2 3 a 2, b2 3 a, b 3 . Jadi, d = 1 atau 3. (Terbukti) 2
4. Barisan bilangan 101, 104, 109, 116, .... adalah barisan yang berbentuk an 100 n2 , n 1, 2, 3, 4, 5, .... untuk masing-masing n misal d n an , an 1 . Tentukan nilai max d n . n 1
JAWAB
Karena dn 100 n2, 100 (n 1)2 100 n2, 100 n2 2n 1 100 n2, 2n 1 . Jadi
d n 2(100 n2 ) n(2n 1) 200 n . Jadi, dn 2(200 n) (2n 1) 401. Ini berarti dn 401
untuk semua n. Apakah ini yang paling maksimum? Jawabnya ya... Misal untuk n = 200, maka a200 100 2002 100(401) dan a201 100 2012 101(401) . Jadi Max dn 401 n 1
6. Tentukan angka satuan bilangan 1997 1991 Jawab: Angka satuan 1997 1991 sisa pembagian 1997 1991 oleh 10. (199 x 10 7)1991 (mod 10 ) 71991 (mod 10 ) 7 4 x 497 3 (mod 10 )
74
497
. 73 (mod 10)
(2421) 497 . 343 (mod 10 ) 1.3 (mod 10) 3 (mod 10)
Jadi angka satuan 1997 1991 adalah 3.
18
