BASIS BILANGAN BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Sistem bilangan yang umumnya digunakan sekarang ini adalah sistem desimal. Sistem ini dinamakan sistem desimal, karena sistem ini berdasarkan kepada pengelompokan bilangan diatas sepuluh-sepuluh. Disamping sistem desimal ini terdapat pula beberapa macam basis bilangan yang pernah atu masih digunakan orang. Seperti sistem biner, sistem octary ( basis lima ), sistem duo desimal (basis dua belas), sistem vigesimal (basis dua puluh), dan sistem sexagesimal (basis enam puluh). Dalam bab ini penulis akan membicarakan beberapa diantara bilangan ini. Mudah-mudahan makalah ini bermanfaat untuk kita semua.
2. Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk melatih mahasiswa supaya lebih memahami tentang bilangan biner. Disamping itu penulisan makalah ini ditujukan untuk melengkapi tugas mata kuliah Teori Bilangan.
1
BAB II PEMBAHASAN
BASIS BILANGAN 1. Sistem Desimal
Sistem desimal mempunyai sepuluh lambang pokok atau angka, yakni 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Untuk melambangkan bilangan yang lebih besar dari 9. Untuk melambangkan bilangan yang lebih besar dari 9, digunakan kombinasi dari spuluh angka tersebut. Himpunan yang mempunyai anggota yang lebih dari sembilan, dikelompokan menjadi menjadi kelompok sepuluhan dan kelompok satuan. Contoh:
Himpunan yang mempunyai lima belas anggota, dilambangkan dengan 15, yang artinya satu kelompok dengan sepuluh anggota dan lima kelompok dengan satu anggota.
Himpunan yang dengan banyak angggota sembilan puluh sembilan, dilambangkan dengan 99, yang artinya sembilan kelompok sepuluhan dan sembilan kelompo satuan.
Untuk melambangkan bilangan yang lebih besar dari sembilan puluh sembilan, dilakukan pengelompokan sepuluh-sepuluhan, atau kelompok ratusan. Sistem desimal mempunyai sifat posisi (nilai tempat). Angka yang paling kanan sekali disebut kelompok satuan, nomor dua dari kanan kelompok puluhan, nomor tiga dari kanan kelompok ratusan, dan seterusnya kelompokm ribuan, puluh ribuan, ratus ribuan, dan kelompok jutaan.
2
Contoh: a. 3456789 3
4
5
6
7
8
9 Satuan Puluhan Ratusan Ribuan Puluh Ribuan Ratus Ribuan jutaan
Jadi, 3456789 = 1. + 4. + 5. + 6. + 7. + 8. + 9 b. 135432 = 1. + 3. 3. 10 + 2
Operasi Bilangan Desimal a. Operasi penjumlahan
Contoh: 1. 37
= 30
+
7
22 + = 20
+
2 +
59
+
9
= 50
2. 3462
= 3000 3000 + 400 + 60 + 2
5229 + = 5000 + 200 + 20 + 9 + 8691
= 8000 + 600 + 80 + (10 + 1) = 8000 + 600 + 90 + 1
3
b. Operasi Pengurangan
Contoh: 1. 729
= 700 + 20 + 9
413 _ = 400 + 10 + 3 _ 316
2. 615
= 300 + 10 + 6
= 600 + 10 + 5 = 500 + (100 + 10) + 5
243_ = 200 + 40 + 3 = 200 + 372
=
40
+ 3 _
300 + 70
+ 2
c. Operasi Perkalian
Contoh: 1. 24 2
= 20 + 4 x=
2
48
= 40 + 8
2. 27
= 20 + 7
3 x= 82
3
x
x
= 60 + 21 = 60 + (20 + 1) = 80 + 1
d. Operasi pembagian
Contoh: 1.
32 12
30 + 2
384 36
12 _
300 + 60
24 24
300 + 80 + 4 _
20 + 4 _
20 + 4
0
0
4
_
2.
123 37
100 + 20 + 3
4551 37
37 _
3000 + (1000 + 500) + 50 + 1 3000 + 700
851 74
800 + 50 1 _
700 + 40
111 111
_
_
111 _
111
0
_
0
B. Sistem Biner ( Binary system, dyadic system) Sistem biner ini secara sederhana pertama kali di perkenalkan oleh seorang filosof cina bernama POHI. Sistem ini mempunyai sistem numerasi sendiri yang sangat sederhana, yang hanya mempunyai 64 lambang bilangan yaitu lambang bilangan nol sampai lambang bilangan enam puluh tiga. Hasil karya POHI ini merupakan perintis terbentuknya sistem biner. Angka yang digunakan dalam sistem biner ini hanya dua angka saja, yakni 0 dan . Hubungan antara sistem biner dengan sistem desimal. Sistem Desimal
Sistem Biner
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
5
9
1001
10
1010
11
1011
12
1100
13
1101
14
1110
15
1111
16
10000
17
10001
18
10010
19
10011
20
10100
DAN SETERUSNYA
Kalau di perhatikan apa yang di kemukakan PO HI, sebenarnya dia hanya mempunyai dua lambang saja, sepertinya halnya dengan sistem biner, lambang itu adalah
untuk menyatakan nol (0) dan
untuk
menyatakan 1. Jadi lambang untuk bilangan nol (0) sampai dengan enam puluh tiga pada prinsipnya sama dengan sistem biner. Pada sistem biner “10” dibaca “satu nol”, bukan sepuluh pada sistem desimal. “10” pada sistem biner berarti satu kelom pok kelom pok duaan dan nol kelompok satuan. “101” dibaca “satu nol satu”, satu kelompok dua -duaan ( ), nol kelompok duaan, dan satu kelompok satuan, atau 1( 0(2) + 1 = 5. Begitu sterusnya “11101” berarti 1( 0(2) +1 =16 + 8 + 4 + 0 +1 = 29. Untuk membedakan penulisan sistem desimal dengan sistem biner, bilangan dengan sistewm biner dilambangkan dilambangkan dengan Contoh. ( (
6
Merubah Sistem Biner kedalam bentuk sistem desimal.
Merubah penulisan bilangan dari sistem biner kedalam bentuk sistem desimal. Angka yang pertama dari kanan menunjukkan kelompok satuan, angka kedua menunjukkan kelompok duaan, angka ketiga mmenunjukkan kelompok dua-duaan ( ), dan seterusnya kelompokm ( ), kelompok ( ), dan sebagainya. Contoh. 1. ( = 1. + 1.2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 2. ( = 1. 1 = 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 57
Merubah Sistem Desimal Kedalam Sistem Biner
Untuk merubah penulisan bilangan dari sistem desimal kedalam bentuk sistem biner dapat dilakukan dalam dua cara. Cara pertama:
1. Tentukan suatu bilangan yang besarnya mendekati bilangan dalam desimal tersebut, lalu kurangi bilangan itu dengan tersebut. 2. Tentukan bilangan ( n < m ), yang besarnya mendekati selisih langkah pertama. 3. Lakukan cara ini terus menerus, sehingga sisa akhirnya 0 atau 1. 4. Akhirnya akan diperoleh 1. . . . dan seterusnya.
Contoh. Tuliskan 79 dengan sistem biner ! Penyelesaian 1. yang paling mendekati dengan 79 adalah = 64, jadi ada 1. 79 – 79 – 64 64 = 15
7
2. yang paling dekat dengan 15 adalah = 8 atau 1. . Dalam hal ini tidak ada kelompok dan kelompok , ini artinya 0. dan . 15 – 15 – 8 8=7 3. yang terdekat dengan 7 adalah = 4 atau 1. 7 – 4 – 4 = 3 4. yang terdekat dengan 3 adalah = 2 atau 1. 2 3 – 2 – 2 = 1 5. Sisanya dadalah 1 atau kelompok satuan Jadi. 79 = 1. + 1 = (
Cara Kedua
Cara kedua ini adalah cara yang sangat sederhana dibandingkan dengan cara yang pertama, terutama untuk merubah bilangan desimal yang besar-besar. Caranya adalah dengan cara membagi terus menerus bilangan tersebut dengan dua dan untuk setiap pembagian tersebut ditentukan sisanya. Apabila semua sisa pembagian tersebut dibaca dari bawah keatas, maka terdapatlah penulisan bilangan itu dengan sistem biner. Contoh. Tuliskanlah 79 dengan sistem biner ! 2
2
2
2
2
2
8
2
Jadi, 79 = (
Operasi Bilangan dengan Sistem Biner 1. Operasi Penjumlahan
Contoh.
+
2. Operasi Pengurangan
Contoh.
(
3. Operasi Perkalian
Contoh.
(
x
00000 11110 11110
+
9
4. Operasi Pembagian
Contoh.
/ (11)
_
11 11
_
0 C. Sistem Bilangan dengan Basis Lima (Quinary) Pada sistem bilangan dengan basis lima angka yang dipergunakan hanyalah lima angka saja, yaitu 0, 0, 1, 2, 3, dan 4. 4. Seperti halnya dengan sistem desimal dan biner, untuk menuliskan bilangan yang lebih besar dari empat, digunakan kombinasi dari lima anggota tersebut. Nilai tempat dari sistem bilangan dengan basis lima ini dari kanan ke kiri adalah kelompok satuan, kelompok limaan, kelompok lima-limaan ( ), kelompok ( ), dan seterusnya. Pada sistem dengan dengan basis lima pada prinsipnya adalah sama dengan pecahan desimal biasa, yaitu anggota dibelakang koma dari kiri kekanan adalah kelompok kelompok , kelompok , dan seterusnya. Hubungan antara sistem desimal dengan sistem basis lima adalah sebagai berikut.
Sistem Desimal
Sistem Basis Lima
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
10
6
11
10
7
12
8
13
9
14
10
20
11
21
12
22
13
23
14
24
15
30
Dan seterusnya....
Seperti halnya dengan sistem biner, untuk membedakan sistem basis lima ini dengan sistem desimal, digunakan lambang ( , misalnya ( dan sebagainya.
Merubah Sistem Basis Lima Kesistem Desimal
Pada prinsipnya adalah sama dengan apa yang dilakukan dengan sistem biner. Contoh. 1. ( = 2. + 4. 5 + 4 = 2. 125 + 3. 25 + 20 + 4 = 250 + 75 + 20 + 4 = 349
2. ( = 3. + 2. 5 + 4 = 3. 625 + 0 + 0 + 10 + 4 = 1875 + 10 + 4 = 1889
11
Merubah Sistem Desimal Kesistem Basis Lima
Metode yang digunakan untuk merubah penulisan bilangan dari sistem desimal kesistem basis lima sama dengan metode yang digunakan pada sistem biner, yaitu dengan membagi bilangan yang akan di robah tersebut terus-menerus dengan lima. Sisa setiap pembagian dibaca mulai dari bawah keatas adalah penulisan itu dengan basis lima. Contoh. Tuliskanlah 3456 dengna menggunakan basis lima 5
5
5
5
5
5
0 Jadi, 3456 = Operasi Bilangan dengan Sistem Basis Lima 1. Operasi Penjulahan
Contoh.
+
12
2. Operasi Pengurangan
Contoh.
_
3. Operasi Perkalian
Contoh.
x 34332 14404
+
4. Operasi Pembagian
Contoh.
/ = 23
_
212 202
_
101 101 _ 0
D. Sistem Duodesimal (Basis Dua Belas)
Sistem duo desimal atau sistem bilangan dengan basis dua belas mempunyai lebih banyak pembagi murni (faktor), yaitu 2, 3, 4, dan 6. Sedangkan sistem desimal hanya mempunyai 2 pembagi saja, yakni 2 dan 5. Contoh sistem duodesimal. 1 Tahun = 12 Bulan
13
1 Lusin = 12 Buah 1 Kaki = 12 Inci Dan sebagainya. Pada sistem duo desimal, disamping sepuluh angka yang digunakan dalam sistem desimal, ditambah dengan dua angka lagi, yaitu untuk melambangkan bilangan sepuluh dan bilangan sebelas. Lambang itu diambil dari huruf-huruf huruf-huruf awal dari nama bilaangan, yaitu t (dari perkataan tan) untuk melambangkan bilangan sepuluh. Dan e (dari perkataan elemen) untuk melambangkan bilangan 11. Hubungan antara sistem desimal dengan sistem duo desimal asdalah sebagai berikut. Desimal
Duodesimal
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
T
11
E
12
10
13
11
14
12
15
13
16
14
Dan seterusnya
14
Merubah Sistem Duodesimal menjadi Sistem Desimal
Pada sistem duo desimal, bilangan dikelompok- kelompokan atas kelompokkelompok belas-belasan. Jadi urutan nilai angka pada sistem duodesimal dari kanan ke kiri adalah kelompok satuan, kelompok dua belasan, kelompok dua belas kuadrat, kelompok dua belas pangkat tiga, dan seterusnya. Contoh. 1. = 1. + 5. 12 + 7 = 144 + 60 + 7 = 211 2. = 2. + 5. 12 + 11 = 2. 1728 + 10. 144 + 60 + 11 = 3456 + 1440 + 60 + 11 = 4967
Merubah Sistem Desimal menjadi Sistem Duodesimal
Merubah sistem desimal menjadi sistem duodesimal dilakukan dengan cara-cara seperti sebelumnya. Contoh. 1. Tuliskanlah 974 dengan sistem duodesimal 12
12
12
0 Jadi, 974 =
15
Operasi Bilangan pada Sistem Duodesimal a. Operasi Penjumlahan
Contoh.
b. Operasi Pengurangan
Contoh.
_
c. Operasi Perkalian
Contoh.
x 148 34
+
d. Operasi Pembagian
Contoh.
/ = 50
_
84 84
_
0
16
Disamping sistem desimal, sistem biner, sistem quinary, dan sistem duodesimal, terdapat sistem bilangan lainnya yaitu sistem octary, sistem vigesimal, dan sistem sexagesimal. Sistem octary digunakan pada jenis-jenis komputer tertentu. Sistem sexagesimal (basis enam puluh) pernah digunakan pada messopotamia, yaitu bilangan asli yang lebih besar dari lima puluh sembilan dan untuk bilangan pecahan. Contoh 8, 49 berarti 8 satuan, 4 perenam puluh, 9 perttigaribu perttigaribu enam ratus.
17
BAB III PENUTUP
1. Kesimpulan
Sistem bilangan yang umumnya digunakan sekarang ini adalah sistem desimal. Sistem ini dinamakan sistem desimal, karena sistem ini berdasarkan kepada pengelompokan bilangan diatas sepuluh-sepuluh. Disamping sistem desimal ini terdapat pula beberapa macam basis bilangan yang pernah atu masih digunakan orang. Seperti sistem biner, sistem octary ( basis lima ), sistem duo desimal (basis dua belas), sistem vigesimal (basis dua puluh), dan sistem sexagesimal (basis enam puluh).
2. Saran
Penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan, oleh sebab itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan makalah dimasa yang akan datang. Demikian makalah ini, penulis berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca terutama bagi penulis sendiri.
18
