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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SOLUCIONARIO
A. KI SEL ION - M. Krsnov Krsnov - G. MAKARENKO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA LIMA - PERÚ PERÚ
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PROLOGO IMPRESO EN EL PERU
La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones
Fecha de publicación 0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros Ejemplares impresos 3 a EDICIÓN Númáfo de edición Eduardo*Espinoza Ramos Autor*
Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su 3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.
de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace. El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formaci ón de los futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos
DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 822
Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados RUC Ley Ley de Derechos Derec hos del Autor Aut or Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú co n el núm ero
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científicos, como técnicos relacionadas con la impresión. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos,
N° 20072007-12 12593 593
a fin que el beneficiado sea el estudiantado. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicacio nes, las que emanan del deseo de que encuentr en en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos
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INDICE Pag.
1.
Concepto s Fundamentales.
i
2.
Ejercicio s de Verificació n.
2
3.
Ecuació n con Variable separable y ecuacione s reducible s a ellas
14
4.
Ecuaciones Homogénea s y Reducibles a ellas
48
5.
Ecuacion es lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli
72
6. 7.
Ecuacion es Diferencia les Exactas, factor integrante
100
Ecuacion es Diferencia les de primer orden no resueltas con respecto a la derivada.
8.
Ecuació n de Lagrange y Clairout
9.
Compo sición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problema s de Trayectorias.
130 143 143
154
10 .
Soluciones Singulares
166
11.
Diversos Problemas
175
12 .
Ecuaci ón Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación.
196
13. 13.
red ucci ón del orden de la Ecuación
210
14. 14.
Ecuacion es Diferencia les Lineales de orden n
245
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15.
Ecuacio nes Lineales Homogéneas de coeficientes constantes
260
16.
Ecuacio nes Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes
272
17.
Ecuación de Euler
333
18.
Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Coeficientes Variables
345
19.
Compo sición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones Soluciones
394
20.
Integración de las Ecuaciones Diferenciales Diferenciales mediante mediante series series
396
21.
Sistemas de Ecuación Diferencial Diferencial de coeficientes coeficientes constantes
430
22.
Reducción de un sistemas sistemas a una Ecuación Ecuación Diferencial Diferencial de de orden n
431
23.
Método Operacional y su su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial
454
24.
Propiedades de Transformada De Laplace
455
25.
Ecuaciones Diferenciales de de Coeficientes Constantes (con 470
Transformada de Laplace). 26.
27.
489 510
Apéndice í
j nói38U33 «i 3b ksé
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función y^n ): es decir: es una ecuación de la incógnita y = y(x) y sus derivadas; forma.
Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación. Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junt o con sus derivadas suce sivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación. La forma general de una ecuación de primer orden es:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales lineales con Transformada de Laplace
ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!
F ( x , y ; f ) = 0
Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta; . . . (2)
Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.
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Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. 11.-
sen* y = -------, xy' +y = eos* x
y - scn£ scn£
(l- jr 2). 2).y'+j '+jrv = -( l- x 2)—^ = r + x(2 x(2 + cV l-x2 ) = -V l- x 2cc 2cc +VT- x 2cx 2cx + 2x V l --x J 2’
(1 - j t 2)j^'+jcv +jcv = 2jc
Solución
y' = x cos * se.n.£ 9 reemplazando reemplazando en la ecuación dada.
14.14.-
j = xV l-x 2",
>y’ >y’= x -2 x 3 Solución
jceos jc- se n * X2
sen * *y
x 2 cosx-xsenx *v 2
sen* .y = W l - * 2 => / = V l -x - x 2 — í ------ = —T —T 2* V i- * 2 V i- * 2
senx senx = eos X ----------------- + ------- eos X X
X
--
r.
5". 1 —2jc
= W l - s (■ ,
-----
,
- ) = s-2 x3
.*. xy'-Hy xy'-Hy = cosx co sx >y' = JC-2:c3
12.-
>>= ce“2 ce“2jr+ jr+ — , y + 2j = e* e*
15.15.-
, =
, x/=>;tg(lnj;) Solución
Solución j; = ^are ^arese sene nerr ^
l=
_ c e ~2jr ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazan do en la ecuaci ón dada.
'Jl-(cx )2
i "\lpfii-
X c e « * m c x
X ex y' +2y = -2ce~lx +— + 2ce~Z 2ce~Zrr +2 +2 — = ex
3
aresenex
xy -
3
xcy
r ■- = ^ = tg(l tg(ln_ n_v) v).^ .^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2
y' +2 y = ex x} = J'tg (ln y) donde: se n( lny ) = cx => lny = arc.sen ex =>
13.-
>>= 2 + cV l-x 2 , (l -jc 2)y+xy = 2x tg(lny) tg(lny) = —
Solución y = 2 + cV c V ii - * 2 =>
y=
v h
-e x 16.16.-
f* ^ = e J0
2
^F
dt +ce X > y ' - y = e
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19.-
Solución y
=
e * J
*
e
' 1 d t +
ce*
= >
y ' = e x £
e ' 2 d t + e * . e * ' + c e *
, _ / (O _ eos/ *'(0 sení *+
^
sen/
, eos/ = cos/ + sen /(---------) = co s/-c os / = 0 sen/ JC+ J> /= 0
20.-
Sen t v —xl ------ dt ^ y J0 t
,
cosí
x y = y + xsenx
Solución ex
L x+ y y' = 0 Soiución
y ' - y = e x+j;2
f* sen t y = x\ — ~ d t , Jo t
y = sen /
, reemplazando
y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e~* * .e*1
17.-
X = COSÍ
Cx sen i sen x dt + x y' = I X 7 Jo t
r > sen t . Jo t
- Idt +sen x
x = í e t y = e
(l + xy)y'+y2 =0
Solución
r* sen t
r*sení xy’=x( ------ <* + senx) = x -------dr + xs en x * Jo t Jo t x y '= y + x senx 18..
... y\ -e" y =—r = —--------------7 => y ' = — , reemplazan do en la ecuación ' - ' e (1+t) -
_ -/ (l + xy)/+j>2 =(l + í)(-----------) + e~2' = -e “2'+ e 2' = 0
te* J x
v = x( — dx + c), x y '- y = xe
e' 0 + 0
Solución
y _
X
J
(1 + xy )y '+ y2 =0
m¿>X
dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada. x = e »rctg(f)
21. x
€* xy' -y = x( í — dx +x + ex) - x ( | — dx + c)
J x
f
L y + xy’=0
^ = e -arctg(,)r*
Solución
J x
Í e x
f ex
X
J X
— dx •+■ xc + xc —x I —— - dx —xc —xc
x y '- y = xex
jx =esrctg<') | y = e-««8(0 ^
arctg(/)
I = — e 1 +r
xXt
e -arctg(/)
>!=-
1+ / 2
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, >>} 1 +íeosr = - ---------- = t=>y'=t r ‘ _____ 1+ ícosí_
y ' = — = e‘ 2arct8(') = > /= _ e - 2arct8(')
y + jcy’= É -arc,8(,) + earct*<')(_e -2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0
l n y + s e n / = l n í + s en í = . x = lny+sen y’
y + xy' = 0
22 .-
x = t ln í
y’ f> y in — = 4x y = í (21n í + l)j 4
x = t + aresen í
2
, x = y+ aresen /
Solución Solución
jt = / ln / => jcJ = l n f+ 1 y = f2(2 1n/ + l) => y} = 2f(21n/ + l) + 2f = 4í(ln / + l)
'
y[= 4r(ln/ + l) =4¿ ^ x1 ln í+ 1
x; = 1+
x = í + aresení
1 1
y,= 4,
í(l+
y in — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 4 4
/ . i 1+
1
= t=>y'=t
y' ln— = 4x
4
y'+ aresen y' = t + aresen r = x
23.-
jc = ln / + sen í , x = ln v’+ se n j'’ y = r(l + senO + cosíJ
x = y'+a resen/
Solución , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- -----
y = /(l + sen í) + cos í ^ .V/ = 1+ sen l + t eo s/ —sen / = l + f eos/
x = t 2 + er
2í 3 y = — + ( r- iy
y +ey' = x
Solución
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x = t2 +e '
3 y = * - + ( , - l ) e ‘
s
x\* =2t +e' y'(t) = 2t2 +e' + (í-l)e' =t( 2t + e‘)
28.-
y = ln( c+ ex ) ,
y ' = e x~y
Solución y - ln(c +ex )=t>y ’= --------, además y= ln (c + ex )=>c + ex = ey c+ex
, y\ t( 2 t+ e' ) , , y= - — — - = / = > / = í x\ 2t + e ‘ ----
ex c+ex
y'-.----------
y ’2+ey' = t 2 + el = x y '2 +ey = x
29.-
--
ex = e '- ' ey
----
=> y ’= ex~y
y = -Jx2 -e x , (x2 + y2)dx -2 xy dy -0
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas. 26.-
Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — r l : . c dx x 1 - e x
y = -------, y '-tg x .y = 0 cosx Solución
( 2 x - c ) d x - 2 ^ J x 2 - c x d y = 0 , dedonde ( 2 x 2 - x c ) d x - 2 x y d y = 0
y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx
y '- tg x .y = c s e c x .tg x -tg x .
Q ------
cosx
= c.secx.tgx-csecx.tg.t = 0
( x 2 - x c + x 2 ) d x - 2 xy d y = 0 entonces
30.-
j = x(c -ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0
y-tgx .^ = 0 27.-
=
3x + c
Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c-\v\ x\)dx -dx
y ' = 3 y 2
x d y = x( c - \ n \ j f y d x - x d x , como y - x { c - lnjx|) entonces:
Solución i y = 3x + c (3x + c) 3 = 3(——— ) 2 = 3 ( - y ) 2 = 3 y 2 (3x + c) 3x+ c
x d y = y d x - x d x => ( x - y ) d x + x d y = 0
y = / =
( y 2 + x 2) dx -2 xy dy = 0
••• y '= 3 y 2
31)
x = y e * * \ / =
x(lnx-ln^) Solución
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x - y e
\ n x - \ n y = cy + \ =>
ln— = cy + \, dedonde
( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33)
x = ye V +l => e ^ 1 = -
e~y -ex = 1, jty'+l = e y
Solución jc = l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 + 00 /
= ~ (in x - ln .y ) y
e~y - 1
e y - ex - 1 => --------= c derivando x -
1
= —(ln jc -ln y )/ entonces: ^
y '= x(lnx-lny)
-xe~ yy'-(e~y -\ ) x
n
_v , _v .
„
------------ -----------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 -
32)
* = >>lncy, / ( * + >>) = .V
x y '+ l - e y = 0 => xy' +l = e y
Solución
x ey x = yhi cy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y
y e h * ^ f ) - ¿ y ' y
------------------------- = 0
y
y
, a \
*4)
y
_
y
3
1
c
X
Xó
dx 2j 3f , xy dy + y dx = — X
Solución
x y '
simplificando - ----- —- / = 0 => y -x y '- y y '= 0 y '(x+y)y'=y
>>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3
La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determ ina la solución general que se llam a integral general de la ecuación diferencial de primer orden.
3x2y 3dx + 3x3y 2dy -2 xd x = 0 => x y 2dx + x 2yd y =
La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial.
Luego no es integral de la ecuación.
El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = - * dx dy f( x, y)
35)
x3 - 4 x 2y + 2x y 2 - y 3 = 0,
3 y
( 3 x2 - 8 x y + 2 y 2 ) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y 2 ) d y = 0 Solución
x 3 — 4 x 2y + 2x y2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene: 3x 2 dx - Sxydx - 4x 2 d y + 2 y 2 dx + 4xyd y - 3 y 2 dy - 0
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(3x2 - i x y + 2 y 2 ) d x - ^ x 2 - 4 x y + 3 y 2) dy = O
38)
x = yj^ se nt 2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2
Si es integral de la ecuación diferencial. Solución 36)
y 2 + 2cx - c 2y yy '2 +2 xy '= x +1 x = y ¡ se n í2dt => f sen t 2dt = — , de donde
Solución
»0
y 2 + 2c x = c 2 => c = x ± J t x 2 + y 2 derivando se tiene:
0
= 1 ±—^ M = J x 2 + y 2
x=yj 0sen12^
=>
x 2 + y 2 = x 2 +2 xy y'+ y2y ' 2 de donde y 2 = 2 xy y' +y 2y' 2
l = 2xy'+yy'2
No es integral de la ecuación dif erencial. 37)
*=y' JQsenr2dt
+ y sen x 2, reemplazando se tiene:
= / y + . y s e n x 2 => y = xy'+ y2 se n x2
Si es integral de la ecuación diferencial.
39)
Cx sen t —-— d í - y \ n y , xy' +xi ny = x senx + y ln y
arctg—- \n (c J x 2 + y 2 ) = 0, (x + y ) d x ~ ( x - y ) d y = 0 x
Solución f*senr
Solución
y
Jo
f*senr
yln v
------ di = ------ — x \ —— dt = y\ n y => t t X Jo
a r ct g ~ - l n c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x
cx sen t cx sen t J x Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene:
xdy - yd x
x2 ^ | y 2 x 2
c.(xdx + ydy)
= 0 , simplificando
J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y
y ln y — ---- hsen x - (ln y + l)y' => y \ n y + xsenx = x( \n y + l)y'
No es integral de la ecuación diferencial.
xdy - yd x
xdx + ydy
x 2 + y 2
x 2 + y2
= 0 de donde x d y -y d x - x d x -y d y = 0
(x - y)dy - (x + y)dx = 0 entonces
Si es integral de la ecu ación diferencial.
(x + ^ ) á r - ( x -
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ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
f dx
f
dy
J777r +J77 ^J = C
arctgx + arctg.v = c x + y = c( l - x y )
dy Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y ) dx se reduce a la forma:
tgA + tgB
Nota.-
tg (A + B) =
82)
(l +y 2)dx+xydy = 0
1-tg A. tg B
M(x)dx + N(y)dy = 0 donde M es una función solo dle x, y N es una funci'ón sola de y, a esta ecuación sé conoce con el nombre de “Ecm ición Diferencial Ordin aria de Variable Separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es clecir:
Solución (1 + y )dx + xy dy = 0. Separando la variable.
j M ( x) dx + J[ N( y) dy = c
dx y dy \ ? — + ------ - = 0 integrando lnx + —ln( l+ v ) = A: ° 2 X l +y 2
Donde c es una constante cualquiera. La ecuación diferencial de la forma:
21nx + ln(l + >'2) = 2k de donde ln x2(l + y 2)=¿
— = f( a x + by + c) dx
83)
(y2 +xy2)y’+x2- y x 2 = 0
donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitució n z = ax + by + c.
Solución ( y 2 + x y 2 ) y ' + x 2 - y x 2 = 0 , agrupando
Integrar las ecuaciones: 81)
=> x( l + y 2) = c
(\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0
y 1(\ + x) - ~ + x 2( l - y ) = 0 . Separando la variable.
Solución (1 + y 2)d x + (1 + x 2)d y = 0 , separando la variable dx
dy
„ . 1+ y 2
,
------ r- + ------ —= 0 integra ndo
1
+ x
1
^-+— ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c . De donde se tiene: - y 1+ x j 1- y i 1+ X
y
l +x ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n=c 1- y
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84)
(1 + y 2)dx = xd y
v r ^ +v n = *
=> * = i
Solución V i- * 2 + V i -.v 2 = i (1 + y 2)dx = xd y separando las variables 87)
dx dy — = ------ y , integrand o ln xk = arctg y x 1+y
Solución
y = tg(ln(fcc))
85)
e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i
x j l + 'y2 + yy 'y fl + x 2 = 0
— = dx Solución
Vl + *2
- 1, separando las variabl es, -— -- = d: , integrando se tiene: ey -1
t dy c c e ydy i ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A:
x ^ l + y 2 + y ^l + x2 ^ = 0 . Separando las variables. xdx
< r'(l + / ) = l
l n ( l- e ^ ) = x+A: => l - e - * » ^ * - e V
ydy
r + -jrr-r = 0 , integrando +y 2
/.
r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde
+
-c
88)
=¡ e * = - L ( l - e - y ) e
ex = £(1 - 0
>>ln.y<& + ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1 Solución
86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1
y ln y dx + x dy = O , separando las variables
Solución
dx dy . . 1-------- = O, integran do x y \ n y
----
X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables xdx yd ydyy -= = = +- = = ^ 7 a/T v
= 0 , integrando
cr xdx xdx
—
c c yd ydy
J VT ^r J VTT >2
•= c
-----
ln(x ln(>>)) = k => xln y = c de donde ln y = - => y = ex
para dé donde, -\fl-x 2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1
c dx r dy v I ------- = k => ln x + ln(lny) = k => I * x J yin y
x = 1, y = 1 => l = ec => c = O x ln y = O => lny = O => y = 1
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89)
92)
y ' = a x+y(a > O, a * \ )
(1 + y 2)(e2xdx - ey dy) - (1 + y)d y = 0 Solución
Solución
(1 + >>2)(e2xdx - eydy) - (1 + y) dy = 0 , separando
dy + — = a x y = a x .a y separando las variables dx a~ yd y - a x dx => a x d x - a y dy = 0 integrando
J a x d x - J a~ydy = k
e2xdx -
ax +a~y =c
90)
l +>>2
dy = 0 , integrando
j e2xdx- je yd y - j Y ^ T dy = c
ey (\ + x 2)dy-2 x(\ + ey )dx = 0
e 2x ^ - e y - a r c t g y - l n ^ l + y 2 = c
Solución e y (1 + x 2)dy - 2x(l + e y )dx - 0 . Separando las variables.
93)
(xv2 - y 2 +x-l) dx + (x 2 y - 2 xy + x 2 + 2 y - 2 x + 2 )dy = 0
Solución
f eydy r 2xdx ----------------- —= 0 , integra ndo ------7 - ------ 7 = k , de donde: l + ey 1+ x2 J l + e y J 1+ x 2
(xry2 - y 2 + x -l) ¿* + (x2jy -2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando
ln(l +ey )- ln (l + x2) = k
[y1(*-]) +(x-V¡\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando
l + ey . l +ey , ln ------ T = k => ------ t ~ —c 1 +x 1+ x l +ey =c(l + x 2)
(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2- 2x + 2).dy = 0 , separando la variable
eydy
2xdx
y+1 , ( x - 1 )dx dy - o , integrando -------------- + ---x2 ~2x + 2
91)
----
y2 +l
(l + ex )y y'= ey , y\x=0 = 0 ( x - 1 )dx f 7+1 — I -------------------------------------------- + ~~í ---- dy = k de donde J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ? ~-ln(x + 2x + 2) + —ln(j/ + 1) + arctg y = k f I
Solución dy (1 + ex )y — = ey , separando las variables dx dx r _v , c dx ye ydy = ------ integrando f ye ydy = í J J 1 l +e x -
de donde (1 + y) e~y = ln( *
)+1- x
- + c
ln(x2 -2 x + 2){y2 +l) = -2 arctg y + k= >( x2 - 2 x + 2) (y 2 +1) = e -2tICX*y+k entonces:
( x 2 - 2 x + 2 ) ( y2 + l)e2arct8y = c
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94)
y=sen(x-j>)
96)
(x + y )2y' = a2
Solución dz ( , _ Sea z = x - y => — = 1- y entonces dx
Solución
. . dz y =1 dx -----
S ea z = x + y =>
Como y = se n( jc -y ) reemplazando se tiene:
dz — = 1+ y' entonces: dx
dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces
\ - — = se n z => 1- sen z = — , separando las variables: dx dx
2 2 dz z (— - 1) = a separando las variables: dx
dz dz — = 1- sen z => ---------- = d x , integrando dx 1- sen z
z Z — — dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k a +z a
í — —— = [d x + c=> f(se c2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J J 1-senz J
y
simplificando x + y = a . tg(—+ c)
tgz + secz = x + c => tg(jc-y ) + sec(jc-y) = x + c 2
95)
y' = ax + by + c , a,b,c constantes
97)
( l - y ) e y y '+ ^ — = 0 x \ n x
Solución
Solución
Sea z = ax + by + c => — = a + by’ dx y - i. - a) reemplazando en y' = ax + by + c entonces b dx
(1 - y ) e y — + — — = 0 separando las variables dx xlnx (l- y) ey
- ( — - a ) = z => — - a =b z => — = a+ bz b dx dx dx
a + Z>z
= dx integrando
separando la variable
í ---- ---= f dx + k ,de donde J 0 + ¿?z J
y L
+ c) + a =
.
x lnx
r (l-y) ey j
------ -
----
y ¿
r
~ln(a+Z> z) = * + /: => ln(a + bz) = bx +bk => a+ bz = cebx b
dx
------ ----- d y + ---------- 0 , integrando
ey
r
dx
dy+ —— = c=> J xln x
r(y -l)e y J
------
----- dx + ln(ln x ) - c
y 2
ey
- J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c ey ln(lnx) = — + c y
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98)
( l - y 2)dx = (y -- J\ + y 2)(l + x 2)'/idy
Z3 Q2X2 i >%2 x2 +k — = -------- + c=> ~2x3 y 3 =3a 3 2 '
Solución (1- y 2)dx = ( y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variable s
100)
Solución
dx y- yi+ y2 ------- = ---------------- ñ dy integrando ----
f
0 Sea
l+ y2
(1+X2)A
dx , ------- —rr = ----------^— dy + c entonces
J (1+ *2)X
J
(z 2 +l)dx + 2x2(* -Z y ^ ) =0 => (z 2 + \)d x + 2xdz —2z¿/z = 0
x
)dy+c
(z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—-= 0 , integrando 2x
'l + y 2
* -ln +c J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _
(Z-l )2
1 =c —m x ---------
2
ioo)
z , xdz - zdx z = xy => y = — => dy = ------ ----- x x2
(x 2y 2 +1)dx + 2x2dy = 0 , reemplazando
l +y 2
r =^ Irf(7v i+=x r ) =I{r1+^h - ~ V1+^
(x 2y 2 +l)dx +2x 2dy = 0
xy- 1
jty2 ( V + > O = 02
Solución
Sea z = xy
101)
(1 + x y )y + ( x y - l ) xy '= 0
dz
Solución
z => y = — => y' = — — 2"
x
-----
Como x y 2(x y' + y) = a2 , reemplazando se tiene z X
dz dx
z x
X ------- ZH-----
= a , simplific ando
z 2dz = a2xdx , integrando se tiene:
dz
z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando x dz x ---- z (1 + z 2) —+ (z - 1)2x(— — ) = 0 , simplificando * x2 x
-----
(1 + z 2)z + (z - 1)2x — - (z - 1)2z = 0 entonces dx
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103) (z - l) 2xdz 2xdz + 2z2dx 2z2dx = O =>
—— + x
z¿
dz = O integr integrand andoo
Solución Sea y = tx => dy = td x + x dt
2 \ n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21ny 21ny = — - x v + k => Z
102)
( x6 x 6 - 2 x 5 + 2 x4 x4 - y 3 + 4 x 2y) dx + (x y2 - 4 x 3)d y = 0
JCJ>
entonces reemplazando se tiene: tiene:
(x6 - 2 x 5 + 2 x 4 - f V + 4txi )dx + (xi í2 - 4jc3){tdx + xdt )
.3ty l n c y 2 = * y - — = > cy1 ^ e gr xl.3t *y
x3(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t * + 4t )d x+ x3( t2 -4 ){ td x+ xd t) = 0
( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0
(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t + í i - 4 í ) d x + ( / 2 - 4 ) x d t = 0, simplificando (x3- 2x + 2) d x + ( t 2 - 4)dt = 0 , integrando
Solución dz x ------z
Sea Sea z = xy =>
/ =—
—
X3 3
2f 3 3
------ x +2x-\ ------- 4t = c
ento ntonces nces
*3 3
por lo tanto: -
y3
4y x
------ x + 2 x + — ,------ — = c
* 2y 3 + j>+ jc-2 + (jc (jc3y 2 + jc)— jc)— = 0 , reemplaz reemplazando ando se tiene: tiene: dx
Z
3
104)
dz
Z
1
JC-------- Z dx
y+ i=
(x+ ^ (x+.>>)'’+(*+>')'’
— + —+ x - 2 + (xz +* )( — ) = 0 , simplificando X X x2 3
— + —+ —+ x - 2 + (z 2 + 1)(—— X X
---------
X
dz zn zn +zp (— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando z m z"+z* rzn+z ' r J ----- - — dz = jd x + c , de donde
- -2 x = c 3x2 -l 2 + 2x3y 2x3y 3+6xy = c
n - m + 1 / 77-/W + 1
(c
y = _ i . Reemplazando Reemplazando en la ecuación diferencial dx
) = 0 entonces
( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x- 2)d x + (z2 +l)dz = 0 dx
integr integrand andoo - - + z +
Solución Sea z = x + y =>
dz
Z --------Z
3x
= x + c , n m * -1, -1, p - m ^-1
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105)
x d t - t d x _ ^ / r (x + -------- -------- ------- + —)¿¿t + (2/ + 1)(
(ln x + y 3) d x - 3 x y 2dy = 0
tí
x x
------
x
)=0
Solución (x 2 + 2t2 + t)dx + (2t+ l)(xd t-tdx ) = 0 => x 2dx + (2t + l) xdt = Q
i
Sea z = ln x + y => — = —+ 3 y y dx x 3 x y 2y %=
dz
1 ^ 2 . xá* + (2/ + l)rfí l)rfí = 0 integrando
- 1 reemplazando en la ecuación diferencial: diferencial:
dx
,
+ 1 + 1 = Cj entonc es:
2x2 + 4/2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1)2 = c por lo tanto:
lnx + y3 - 3 x y 2 — = 0 => => z - ( x ^ - l ) = 0
áx
x 2
/.
¿x
107)
2x2 + (2xln y + 1)2 1)2 - c
y - x y ' = a(\ + x 2y' )
Solución ln|z ln|z + lj-l nx = lnc =>
ln ^ -^ = lnc =>
y - x y ' = a + ax 2y' => y - a = (x + ax 2)- ^- separando las variables dx
z + l = x c de dond dondee y 3 - e x - l n x - 1 — Y ~— = —^— integr integrand andoo ax +x y - a 106) 106)
(xy+ 2xyln2 y + yln y)d r + (2x (2x 2 \n y + x)dy = 0
xc
ax + \
Solución
I0K)
Sea xln y = t => lnj> lnj> = — => y = etlx x
=y -a
f ( - ----- — t )dx = — lnc ento entonc nces es ax + l J y-a
J x
. y = a + ex por 1lo .tanto
ax + l
(a2 +y 2)dx + 2x ^J ax-x ax -x 2dy =0, } \x=a = 0 Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx
Reemplazando en la ecuación diferencial dada: lx 2e 2e ‘l ‘l xt xt 2 í et et /x /x w , t lx ^ # . tl xdí-ídx (xe 1x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e (-r— ) = 0
x
x
x
2 simplificando
f
dy ------ - = 0 integrando + — -----integrando x ^ a x - x 2 a 2 + y
dx
r
dy
Sea x = - => dx = —
f
*
2x^ox--x^ -2
110) 110)
, reemp reemplaz lazand andoo en la integ integral ral
dt J lyfat-l
'Jat-l a
.-f.
*-1 -
Solución
( 2)
El coeficiente coeficiente angular de la tangente tangente en cualquier cualquier punto = — ,,y de acuerdo a dx las condiciones del problema se tiene: tiene: dy dy ' s = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonce s y = ke como dx
reemplazando (2 ) en ( 1 )
-y - 1
i.
y
— —+ —ar —arct ctgg — = c, x = a , y = 0 entonces a a a
pasa p or (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2 e 3 x II I)
0 + 0 = c => c = 0, Luego - — a
-----
109)
a
+ —arctg(—) = 0 a a
Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el el eje OX y las dos ordenadas x = 0, 0, x = x, sea una función dada de Y. Y. Q = a 2 ln — a
-- 1
* -1 a
Hallar una curva que que pase por el punto (0,-2) de modo que que el el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces.
Solución
=> y = a. a. tg
y = f(x)
y % + sen( “ “ ) = s en en (^ (^ y ^) ^)
Solución
— + sen sen(— (—) cos( cos(— —) + se n A co s¿ ) = sen( sen(^) ^) co sÄ - sen(^) sen(^) cos ¿) dx 2 2 2 2 2 2 2 1 2
sen( se n(^) ^) cos(™) separando las variables
integr ando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+c ^ = - 2 cos(—)dx integrando 4 2 y 2 sen — 2
Q =
= a 2 ln(—) ln(—) , derivando se tiene:
a dy y - — •— , ento entonc nces es ay dx
de donde : y = c-x
J a1 a1 dx - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c y y ----
(hipérbola)
112)
Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg v t = 10 seg. v = 50 cm/seg. 1. 4
= Ar— => k = 20 y 50
X Como y = bx
b ,l x
=,
x Separando las variables se tiene:
m ^ - = 2 0 - => dt v
dy
y dx + x dx = 0, integrand o se tiene: x 2 + y 2 - k v2 = 201 2 + c , para t = 10 seg. , v = 50 50 cm/seg. 502 =20(10 =20(10)2 )2 +c
=> c = 500 entonces
v
2 = 20
114) í
2
+500 +500
x _,
para t = 60 seg. v = ? de donde: v = -^20(6 0)^+ 500 = a/72 a/725Ó 5ÓÓ Ó cm / seg k \
113)
''t -Vv>
\
\
*v v ' ^
,
* ‘
^
Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas todas sus normales pasa n po r un pu nto co nstante es u na circun ferencia. Solución Sea L n : y = b x , de donde mLN =b Además mL, = — , y com comoo LN IX ,, entonce entonces: s: dx 1 = —d*- , es Adecir mLN = --------decir que que h£>= - — dy dy N mL,
Una bala se introduc e en una tabla de h = 10 cm. de espeso r con la veloc idad VQ= 200 m /s eg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución F = ma = m
dv dt
condición del problema: m dv T = dt k v
d^ = kv . 2 m — dt
integrando:
k vj
-----
-r*
m rvi dv _ r' Jo k Jv f2 f2 V
v0
* V,
... (1) k
v0v.
d 2x dv además m — = m dt dt 2
dv dv dx 2 kv = m — = m —r •" •" dt dx dt
entonces:
Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es prop orcion al a l a abscis a del pu nto de contacto, es una p arábol a.
m dv dx = — .— k v
r dv dx dv k v2 = m — = mvdx dx dt
Solución Se conoce que:
... (2) *
1» A > v0
mLt = k x . Luego ~ =
^ ln(— ln(— )
Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es propo rcion al a la diferen cia entre la tempera t empera tura T d el cuerpo c uerpo y l a tempe t empe ratura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C. Solución
(Zl ^2.) ^2.) f reemplazan do el valor de t es. es. V0V1 __ __
v0
í= 115)
40 ln(2.5)
seg.
Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la r e s i s t e n c i a del ag^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se h ara 1 m. seg. seg. Solución La desc descri ripc pció iónn m,Km idc, c. f tiene: V = = Ae
- * > ' * dt'” dt'”d' d' al reso resolv lver er '*
Sean
T = tempera tura del cuerpo. Tm= temperatura del aire aire = 20°C. T0 = temperatura inicial. inicial.
La descripción matemática es: “
dT — = ~k(T -T m ), de donde la la solución solución es: es:
T = m)e~kt = Tm + (r 0 - T m)e~k
-kt
Para t = 0, v = 10m/seg., 10m/seg., se tiene t = 5 seg.,
entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,
que es una parábola.
reemplazando (2) en (1) j _
mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene
e° => A 10 =>V 10e 10 - A e° para 1 8 -5k k = — ln(— ) entonces: entonces: v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e 5 10
F = 10eí/5, 10eí/5,nn(8/10 /10) = 10. 10. ( ^ y /5
para t = 2 0’, r = r 0 =6 0° C entonces: 40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto:
60 = 20 + (1 00 -20 )éT 2°* T = = 20 + 80e~(ln2 80e ~(ln2/20 /20)í )í
r = 20 + 80.2'//2°
Sean
para t = ? , T = 30°C
s = el camino recorrido t = el tiempo en seg.
30 = 20 + 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’
v = ~ = velocidad del cuerpo
8
118)
ds la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es: dt s = Aeh , para t = 10 seg. , s= 10 0m . => 100 = Áe i0k
Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. Solución
de donde
=
.. .( 1)
e
para t= 15 seg. , s = 200 m. =>
200 = ,4e15*
de donde se tiene : A = 15A e a /(1) n y (2) se tiene: compara ndo
... (2)
1 ^0 0
e
2 0¡^70 => ki = -l n 2 =—
reemp lazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorri do será: dx
s = 25.2r,s
te 0 = n tg a entonces: — = n (—) => dy = n(—)dx , de donde dx x x
— = —dx integrando ; ln y = n ln x + ln c => y x
In y —ln x nc , por lo tanto:
y - e x
119)
Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. Solución
120)
El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad , esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora. Solución Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. x La concentración de la disolución saturada = -----; 300
— = velocidad con que se disu elve la sal, la desc ripció n mate mática es: dt — - - k l - — — ) dt 3 300
122)
Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto .
k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación
Solución
diferencial se tiene: jc = 100( - A e k,' m ) ,
encontraremos
la
y 2 Como mLt = ------- = ----- , entre los puntos P y A x x X
constante Ap ar at = 0, x = 0 =>
A =100 , luego x = 10 0-1 00e *'/30° , para determinar la constante k, para 1 1 299 t = l m i n . , x = - k g . se tiene - = 10 0-10 0« *'300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU
-----
2
Además ~~ = mL, => — = - ^ dx dx
de donde — + — = 0 x y x
x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(2 99)' para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18. 154 2 ¿g. po rlo tanto: x = 18.1542 kg. 121)
Cierta cantida d de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros). Solución Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condici ones del dt dx 1 0 -x 1 prob lema la descrip ción matem atica es: — =
Integran do se tiene: ln y + ln x = ln c 123)
=>
xy = c
Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substanc ia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? Solución Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia
De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg.
(3 —s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire.
Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,
12 = humedad del aire saturado para 100 m 3
entonces: ds
1.98 = 2( - ) '/5 => 0.99 = (- )v/5 luego: 2
2
t = 1M ?’99) mirL
La descripción matemática es: — = -ks(-s + 6-12) = ks(s + 6) 125) de donde resolviendo se tiene:
para t = 0, s = 3 => A =
— = Ae 6kt s+6 par a t —1, s —1.5 entonces:
1
ln — 2
Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la depen dencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1m 2 ) al exterior durante un día. Solución
k = - ln(— ) = -0.085 1, para t = 2 entonces s = 0.82kg.
6
Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es:
7.5
Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros deagua,después de 5 minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal.
de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015 ).
Solución
dT O Luego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante dx kA
Sea s = cantidad de sal por disolverse. ds La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la
Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene: 2 T = —x ; 86400 0 cal/día. 3
propor cionali dad, la solución de la ecuaci ón dife rencial es: s = A e kt, determin aremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2
126) Luego s = 2e kt, determinaremos k. Para t = 5 min ., s = lk g .
Demostrar que la ecuación
— con la condic ión inicial vi _n = 0 tiene x 1•r_u ’ infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyj x=0 —y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. T razar las curvas integrales. dx
=> k = - l n — Solución
Por lo tanto: s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~)r/5
dy y dy dx . J t — —~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x
para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualqu ier v alor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para }\ x=o =
* 0 =>
= 0>
128) dx
Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la cond ición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única.
cua^contradice por lo tanto:
Solución
cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna. ~~ ~ y Iln y |° => dx
— —— = dx integrando | ln |a
| ln v |1_a i — --------=x + c => y = 0 , x = 0 => ------- 1ln v | “ = 0 + c 1- a I-« ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y
,
0
El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una soluci ón única. 129) Demostrar que el problema
~~ = y a ,
y\ x=o —0, tiene al menos dos
Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = xtg+1, en los puntos de sus intersecciones con el eje O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY.
soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para
Solución -Stgxdx r ftgjratr
Solución
i-«
.
— = y a => y~ady = dx integrando ------ = x +c
dx
si x = 0, y = 0 3
gl-a
y = e
[Je
(x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal.
y = e ln
(tg x sec x+sec x^d x + ^ efectuancj0 ia integral,
1 -a
------ = c solo si 1 - a >0
y = eos x[x sec x + c] = x+ c eos x entonces:
1- a
ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c y De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución.
y = x + c. eos x , interceptandocon el eje Y, para mL, = — ' dx
= (1 -e se n x)\p = 1 => mL, = 1
L, : y - c = l(x -0 )
de donde
L, : x - y + c = 0
x = 0 , y = c => P(0,c)
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 130)
133)
ln /= x Solución
co sy f= 0 ln y '= x
Solución
=> y '= e x
dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c
K
Como y eo s y ' = 0 => / = arccosO = —(2n + l) 134)
tg / =0
— = —(2« + l) => dy = — (2n + l) dx , integrando. dx 2 2
Solución t g / = 0 => y ’= arctgO = nn
y = ^(2 n + l)x + c, n e Z. 131)
dy — = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c
ey =l Solución
ey =1 => y'= 0 =>
dy = 0 => y = c dx
135)
Solución
donde c es constante. 132)
=jc
e
~ x
^
y =\ nx
de donde
dy = l n x d x ,
ahora integrando
j d y = J ln xdx => y = x l n x - x + c
sen /= x Solución se n /= Jt => /= ar cs en jt + fl7r entonces:
136)
tgy'=x Solución
— = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx integrando
Jdy = J(aresen x + n n)dx + c
y = jt a rc s e n x - V l - * 2 + m x + c donde n = 0,± l,± 2,.
tgy' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, ± 1, ±2,... dy = (aiclgx +nn)dx integrando se tiene y = ^{t tctg x + njz)dx+c entonces: y = x 2 x c tg x - ^ \ n ( \ + x 2) + njtx + c
En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. 137)
,
139)
Solución
16
x y ' eo s>>+ 1= 0 , y - > — n => x-»+°o
x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variable dx
Solución
dy
1 +sen.y
1 16 n parax ->+oo => c = sen — 16» cuando y - * — — .luego sen . y - —-s e n l6n ^
2x
140)
por lo tanto y = 2 arctg(l — i—)
(l + x2)y-|cos22y = 0 , y ~ ^~ti , x->-oo
10 x 2 /+ c o s2 ^ = l , y- + — n => x->+*>
Solución
Solución
(l + x2)y--cos22^ = 0 , separando la variable se tiene:
x2/+ c o s2y = 1 => x 2y = l- e o s 2>', separando la variable
dy eos 2y
___ = — => —
— = —j integrando 2 sen y x
l - c o s 2 >' x 2
r dy r dx -— ----- = — + c * l+senj> J x
para y -+ 5n , x -H-oo => c = 1
1 dx eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c x x
138)
dx x
--------- = —r integrando
x 2 v’cosy+l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable
x
jr3 y - s e n y = 1, y -* 5 it => x-H-oo
dx = 0 integrando 2 (1 + x )
2
tg 2 y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x 2
1
¿
cuando y - * — n , x —H-ao => c - — j~
141) 2
1
Luego c t g y = —+ —j^ => y - arct^¡T+ ^J'*
= k
y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» —n , x ->-oc¡ => c = — 2 2
f——— = l —^r ~ c de donde ctg y= —+c J sen 2 y x x 10
2
2
1
e y = e4yy'+1, y es acotada para x —>+oo Solución
=> y = — arctg(— + arctg x) 2 2
e y = e4yy'+l ; e4yy'= ey -1
eAydv entonces --------= dx ey -1
y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando y + n
r e4y f integrando J — dy = J dx + c entonces:
Í y + n = J
----
jr2
y + n =k e
í ^ y + e 2y + ey + — -— )dy = x + c y calculando la integral e y -1 J
e3y 3
e2 2
-----+ — + ey + ln(l + e y) = x + c ,
ent°nces ln (y+n) =x2 +c entonces: , y es acotado par a x —>00 entonces k = 0
Luego y+ n= 0 => y = -n 144)
2
11 4
x y'+ sen 2y = 1, y - * — rc => x-M-oo
como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. (x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo
Solución 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l-sen2ydx separando la variable
Solución
dy
dx
dy _ dx integrando se tiene: y - \ Jt + 1
f dy 2 y se c2 v 1 (• dx J l ^ 2 i 72 y = JJ x^2 ' C => t g 2 - - - — — X + c 2
ln(y —1) - ln(x + 1) + ln c
iln ------ = lni c => ------y -i =c y + 1 x +1
- sen 2 y
=> integrando se tiene: x2
(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = (y - 1)dx separando la variable
1
cuando y —>— ;r , x —>+oc se tiene que:
cuando x —>oo enton ces —— — >0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í. o * +1
=» y . 1
y ' —2x (n
+ y ) , y es acotada para x-H-oo
Solución
x) y = arctg(—
[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|
El método indicado no es aplicable cuando las rectas a 2x + b2y + c2 = 0
son pparalelas, en este caso
a¡x +b{y + cx =0
y
— = ^ - = A a la ecuación (2) se a x bx
puede es cribir en la forma: A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad.
dy _axx + bxy + cx x ^ f x — ~ ------- r ------- ) = F( axx + bxy) dx Á(a xx + bxy) + c2
... (3)
que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. ión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y) Una ecuación dx H es una función homogénea de grado cero.
Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma:
La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma:
Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.
dx
Introduciendo una nueva variable incógnita
... (1)
x
u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la
ecuación con variable separable: du , x x - — = \¡/ (u) -u dx
P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0
A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1 a la derivada — . dx Integrar las Ecuaciones: 145)
Obs ervac ión.-
Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.
Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy _ ^ axx-\-bxy + cl ^ dx a 2x + b2y + c2
4* - 3y + y' (2 y - 3x) = 0 Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces:
. . . (2)
se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x 0, y 0) de intersección de las rectas: a xx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z. + x0 , y = w + y
Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribirem os así: (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene: (4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando (4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando
(2u 2 -6u+4)dx + x(2u - 3)du = O, separando la variable
simplificando
separando
las
dx 4u2 —u + 1 .cdx c 4u2 —u + \ 4 — 4*---- --------- du = 0, integrando: 4 — 4- - — -------- d u = c entonces: X u3+ 1 J X J u 3 +1
dx 2 u - 3 , , „f dx f , 2 « - 3 NJ 2 -----1-— -----------du = 0 , integrando 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c x u -3 u + 2 J x J u - 3 u + 2
entonces: 21nx + ln(w2- 3w 4 2) = c => \ n x 2 ( u 2 - 3 u + 2) = c, levantando el logaritmo se tiene:
(4u 3 + 4 )dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0,
41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u + l u - u + \
.\ y 2 - 3 xy + 2x 2 = k lnx44-21n(w4l)4ln| u 2- u + l\=c => lnx4(w4 l) 2 ( u 2 - u 4 l) = c
146)
xy' = y + -yjy 2 - x 2
Solución A la ecuación escribiremos así:
x* (u + l)( u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto:
xdy = (y + ^ 2 - x " ) d x , es homogénea.
148)
Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = ( ux +J u 2x 2 - x 2 ) d x , du dx simplificando xdu = J u 2 - \ d x separando las variable s ------V«2-1 X 9
integran do se tiene : ln | u + Vu2 - 11= ln x +ln c entonces:
(x 4 y )( x 3 + y3) = k
4x2 + x y - 3 y 2 + y ' ( - 5 x 2 + 2x y + y 2 ) = 0
Solución (4x + xy —3 y2)dx + {—5x 2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplaza ndo en la ecuación (4x24x2w —3x 2u 2)d x 4 (—5x2 + 2x 2w4x V)(w rf*4x rfw) = 0, simplificando:
ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x
(u 3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u —5)xdu = 0, separando las variables se tiene: u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde
/. 2cy = c 2x 2 +1 dx
147)
*
4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2 ) = 0 Solución La ecuación homogénea
diferencial
(4x2 - xy + y 2)dx + (x2 -x y + 4y 2)dy = 0,
sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación. (4x2 - u x 2 +u2x 2)dx + (x 2 -u x 2 + 4u2x2)(udx + xdu) = 0
u2+2u-5 J ^ . + —^----- 1-----------du = 0, integrando W -W -4W4-4
c dx
es
J x
"+
f
u2 + 2u -5 ----- 5----------- d u = c , integrando por fraccione s parciales se tiene; J u - u - 4 ^ 4-4
••• ( y - x ) * ( y - 2 x f = c ( y + 2 x )5
variables
Solución 9
151)
x y '= j y 2 - x 2
2'
Ixy dx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces:
Solución
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazan do en la ecuación
xd y = ^ y 2 - x 2d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du
2x2udx- (3x 2 - x 2u2)(udx +xdu) = 0 => (u3-u)dx + (u2-3)xdu = 0
ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2dx , simplificando
separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du J x J u3 ~u x u 3 - u
udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable
¿/w f — + f (— --------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) J x J u u - 1 w+ 1 ----
^ |l i2 - l - U
-
150)
<¿x x
integrando
f
du
Cdx
¡— ........ = — + c J ^Ju1 J. .2 - l1- u_ J x ..
..
J (-y/w2 -1 + u)du = ln x + c , calculando la integral se tiene:
2xy'(x2+ y2) = y( y2 +2x2) y(y+Jy2~x2) y + ^ y 2 - x 2 = cx 3e
Solución
2x(x2 + y 2)dy = y (y 2 -h2x2)dx , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplaza ndo en la ecuación
152)
ax 2 +2bxy + cy2 + y (fox2 + 2cxy + f y 2) = 0 Solución
2x (x 2 + x 2u2)(udx +xdu) =ux( u2x 2 +x 2)dx 2(1 + w2)(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando
(ax2 + 2bxy +cy 2)dx + (bx2 +2cxy +f y 2)dy = 0, es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(u 3 + w)rfx + 2(1 + u2)xdu = 0 , separando las variables (ax2 +2bx2u+c x2u2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2)(udx+xdu) = 0 , simplificando , cf dx C2{u ftfx r dx dx 2¿(i* (u 2 + l1)) , , _ .. c 2(u 2 + 11)) . _ du d u - c => — + 2 — - + — --------du = 0 9integrando — + — u3+u J x J u3 +u J x J u ------
2 y = c po rlo tanto: y 2 entonces: lnx+21nw=c => lnx.w =c => x — x
(a + 2ftw+ cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable , dx b + 2cu + fu 2 1--------------- — -------- — d u - 0 , integrando * <2+ 3¿w + 3ck + yi*
----
Solución
r dx C b + l eu + f u 1 — + 1 ---------------- - -------- du = c entonces fu J x J a + 3bu + 3cu + fu
Sea y = z a => rfy = az a-1, reemplazando en la ecuación
i y 2 3 \n x + —\n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene: x 3
z 3a¿¿r + 2(x 2 - x r 2a )a za_1¿/z = 0 , agrupando z 3adx + 2( x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogéne a debe cumplir:
f y 3 +3cxy2+ 3bx2y + ax3 - c
153)
1 3 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~d2 x + (x 2 -x)dz = 0 , es homogénea,
( y 4 - 3 x 2 ) d y = -xydx
Solución
x = uz => dz = u dz + z du, simplificando
y = z a => dy - a z a ld z , reemplazando en ( y 4 - 3 x 2)dy = - xydx (z4a -3 x 2)aza~1dz = -x zadx
zdu + u 2dz = 0 , separando la variable
=> (z5a~l -3 x 2za l )odz = -x za dx
para que sea homogénea debe cumplir: integrando 1
2
2
5 a - l = ct+ l = a + l => a = — => (z —3jc
)¿/ z
(z
2
155)
- 3u 2z 2 )dz = -2z 2u(udz + zdu) =>
(1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w)
(w2 -l) rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando * w2-l * ¿z r 2u f — = \ — ^— du + c =>
J ^ J w2- i
lnz = ln(w2 -l ) + c
para w = — , z = y 2 por lo tanto: z 154)
y 3dx + 2( x2 - x y 2)dy = 0
+— =0 z
1
— + lnz = c de donde para w 1 reemplazando en - —+ ln z = c por lo tanto: u
= - I x z d z , es homogénea
x = uz => dx = u dz + z du entonces:
u2
X
u= — ,
2
(y-xy')2=x2+y2 Solución ( y -x y ') 2 = x 2 + y2 => y -x y' = ^j x2 + y 2 , es homogénea
y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazan do en la ecuación
( u - ^ | l - - u 2 ) d x - u d x - x d u = 0 , simplificando T , dx du r -V l + w dx - xdu = 0 => — + —- ■ : = 0 , integrando -Y Vl + t/ 2 ___
2
y = x ln ky
(mx- -y/x2 + w2x2 )d x - x(u dx + xd u ) = 0 enton ces: x 2 = y 4 +c:y6
z - y
z
se tiene 1
í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |- c
dy = du - dx => (2u - 1)dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces
J* J
x(u + 4\~+u2) = k , para w= — se tiene:
x
156)
y + J x 2 + v2 = &
v
u 2 2x+y Jdx + J- — - d u - c => x + y + l = ce 3
3* + >,- 2 + j>,(j t- l) = O Soiución Z1:3x + ^ -2 = 0l Sean ^ L2 : x - \ J
(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0
LX^ L 2 entonces existe un punto
Solución
Lx : 3 y - l x + l = 0 l > => L2 : 3 x - ly - 3 = 0 ¡
/>(*o>J o ) GA n ¿2 YPara encontrar el P(x 0, y {)) se resuelve el sistema:
Sean
x 0 =1 3x + y-2 = Oj x _ 1 = 0 j - y 0 = - l ’ Lueg°
3 P(xü,ya)&Lx a ! 2 de donde: = P(1’~l )
Sean x = z+ 1 , y = w - 1 => (3x + y-2 )dx + (x- l)dy =0 (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = ud z + zdu
1
2
entonces
X q —\ 3v -7jc + 7 = 0l n ' . n => 3x -7> '-3 = 0J J>0 =0
x = z+l , y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy (3w —7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea,
(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazand o en la ecuación
(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:
(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:
du „ . dz r dz rr du — + --------= 0 , integrando — + =c z 2u + 3 J z J 2u +3
(7w2 -l) dz + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:
entonces: 157)
(u + 1)dx + (u - 2 )du = 0 => dx + — du = 0 integrando u -1
(x - l)(3x + 2y - 1) = k
_ d z l u - 3 . . , 7 — + ——— du = 0, integrando Z U2 -i dedonde:
2x + 2 y -l + /( jt + y - 2 ) = 0 Solución (2x + 2y —l)dx + (x + y —2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:
.\
_f dz c l u - 3 . 7 — + I — ----du = c J Z J u 2 + 1
(x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c
(y + y ^ 2y4 + l)dx + 2xdy = 0
Solución
c z , xdz - zdx , reemplazando en la ecuación aea xy - z => y = — => dy = ----- x x2
Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación
-----
4xz2adx + (3x2za -\ )a za~ldz = 0 , agrupando
(—+ —J — T- + l)dx + 2x(— Z ZC^X) = 0 9 simplificando X x \ j x 2 *2
4jcz2of ¿£c + (3jc 2z2a_1 - z a~l )a dz = 0 para que sea homogénea debe cumplir: 2a + 1 = 2a + 1= a —1 => a = -2, reemplazando en la ecuación
, Z Z [~~4 2x ^ ( xdz - zdx) y ^ z + x )dx + 2 --------------= 0 entonces: (—+ — X X2 X
4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz ) = 0, simplificando
z(Vz4 + x2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu
2 jcz dtc- (3jc2 - z 2)tfz = 0 , es homogénea
z( y]z 4 + u 4 - u 2)2udu + 2u4dz = 0, simplificando
sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazan do en la ecuación
z(*J~z^+u 2 -u )d u + u}d z = 0 , es homogénea
2uz2(udz +zdu )-(3u 2z2 - z 2)dz = 0, simplificando
sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazan do en la ecuación
(-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw= 0 => —
z
z(>/z4 + z4w2 - z 2w2)(zchi’+ wdz) + z 3w3dz = 0 wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 dz ----
Z
h
■dz C 2u í — - í du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = c J Z J w2 -1
= 0 , separando la variable
4l + w 4 - w 2
... —dw = 0 integrando W l + VV4
----
l n z + l n w — l n \ w 2 + ^ l + w 4 \=c 2
du = 0 y integrando u -1
----
Jlf 1 de donde para w= —, z = -p r se tiene:
r dz f 1 w — + I (---------=====?)dw = c
.\
^
y (x ^y -l)
2
=£
ZW^/1+ w4
=> l n z w - — \ n \ w 2 + ^ l + w 4 |=< 2
161)
(jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 Solución
para w = ^ , u = v x ,z = xy,
se tiene: .\ ^ x 2^ 4
=cy2x 2 - \ y = za
4xy2dx + (3jc2jk -l)dy = 0
dy = az a~ld z , , reemplazan do en la ecuación
(x + z3a )¿£c + (3z5° -3 z2 1) oz a_1¿/z = 0 , agrupando Solución (x+z3a )dx+ (3z6a~1- 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir:
1 - 3 a - 6 a —l = 3 a => a = \ ' reemPlazan<^° en *a ecuaci ón
163)
(2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0
Solución
(x + z)dz + (z —x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando
Sean
(u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando
2x - 4y = 0 | x + ^ - 3 = 0j
(u 2 + 1)dz + z( u + \)du = 0 , separando las variables dz z
=>
L x4 fL 2 =>3 P (x Q, y 0) e L x n L 2de donde
*o = 2sea x = z + 2 , y = w + 1, reempl azando Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rf y = 0
u+1
~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du = c J z J u 2 +1 U2 + 1
(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
1 2 x lnz + — ln(w + 1) + arctgu = c , para u = — , z = y 3 2
z
se tiene:
162)
Lx : 2 x- 4y = 0 1 > L 2 : x + y - 3 = 0 J
y 3
1
x
2
?
(2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplifica ndo se tiene:
¿
(w2 - 3« + 2)dz + (m+ 1)zdu = 0, separando la variable
arc tg-— = —ln(x + y ) + k
— 4- . “ + * du = c => ( j ;- 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 z t/ - 3w+ 2 ----
2(x2y+ ^ \+ x4y 2)dx +x3dy = 0 Solución
Sea z=x2y => x 2dy= dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial:
164)
(x —2y —l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0 Solución
2(z +Vl + z 2 )dx +x(dz - 2zdx) -
0, simplificando
+ xí/z - 2z¿/x = 0
2{z+4ü-z2)dx
de donde 2^1 +z 2dx +xdz = 0, separando las variables
dx
dz
_
2 — + —= , = 0, integrando * Vi+z2
J 2 — + f — = lnc => x 2(x 2y + ^ l + x 4y 2 ) = c Vl + z 2 x
Sea z = x —2y => dx = dz + 2dy, reemplazand o en la ecuación (x - 2y —l)dx + (3x —6y + 2)dy = 0, se tiene: (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando (z —l)d z + 5z dy = 0 , separando las variable s (1- — )dz + 5dy = 0 ; integrando z z- ln z + 5 y -c , como z = x -2 y entonces: x + 3y -ln |x- 2y| = c
en
:
165)
z dx + (z —l)(dz —dx) = 0, separando la variab le
( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución
dx + (z—l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z -\)dz = c entonces
Lj : x -y + 3=0 1 L2 - 3x +y +l = 0\ ^
^
2
Ll entonces 3 ^ o J o )g £ i n ¿2 de donde
x -y + 3 = 0 ] x0 = -l -» 1 * r =* ^ » sea x = z —1 , 3x + y + l= 0J .Vo =2
y= w+ 2
x + - - ~ - - = c porlotanto: 167)
2x + (x + y - l ) 2 =k
y cosx dx + (2y —sen x)dy = 0 Solución
(x —y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación (z —w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea
(z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando
sea y = uz
(1 —u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando
uz dz + (2uz —z)(u dz —z du) = 0, simplificand o
(w2 + 2w+ Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables
u dz + (2u - 1)(u dz + z du)= 0, agrupando
r dz r u —1 dz u —3 — + ~ 2— ------du = 0 , integrando — + — ----------- ¿w = c J z J u 2 + 2w+ l z w + 2w+ l
2
dy u dz + z du, reem plazando en la ecuación
, r dz c 2u - 1 , , , dz 2u - \ J h - — du = 0 , integrando — + —du■= c de donde z 2u2 J z J 2u
----
----
2
2y ln y + sen x = 2cy
ln z + ln(w + 1) ------- = c entonces ln z(u + 1) ------ — = c donde «+1 «+1
w y- 2
w= — = set iene z x+1 ------
2x+2 -----y = 1- x + ce r+>’
168)
((x -y )c os y—)¿/x+ xcos y— dy = 0 x x Solución
166)
(x + y)dx + (x + y - l)dy = 0 Solución Sea z = x + y
dy = dz —dx, reemplaza ndo en la ecuación
y Sea u = — => y = ux x
=> dy = u dx + x du, reemplaza ndo en la ecuación
(x —ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0
(1 —u eos u)dx + u eo s u dx + x eos u du = 0, simplificando
udx + (2Vu x 2 - x )( ud x + xdw) =*0 , simplifica ndo
dx + x eos u du = 0, separando las variables 2u^füdx + x(2 Vw - l)rfw = 0 , separando las var iables — + eos udu = 0 , integ rando f — + f eos udu = c x J x J
2dx
2a/w -1 , u^lu
.
. ,
c dx c du f du I — + ------ —— = c J x J u J u3 2
----- h------- j=—du = 0 , integrando
In x + sen u = c, como
X
V V u = — => ln x + sen —= c x x
2 [x 21nx + 21ni/H— j=r = c de donde ln y - c - — Vw v y
por lo tanto x = ke~SQnylx
y =
y 3dy +3y 2xdx +2x 3dx = 0 Solución y = ux
dy = u dx + x du, reemplazan do en la ecuación
171)
entonces
y
e
=
entonces
k
Hallar la curva que teíiga la propied ad de que la magnitud de la perpendicu lar bajad a del origen de coorden adas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. Solución
w3x 3 ( udx + xdu) + (3x 3m 2 + 2x 3 )dx = 0, simplificando
u 3(udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u 2 + 2)dx + u3xdu = 0, separando las variables
dx ----
x
J x
, u3 1_—__—— -----du - 0 , integrando u4+3u2+2
— U — ----- du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 + J u4 +3u +2 Por dato del problema d = x0
ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0 Solución y = ux => dy = u dx + x du, reempla zando en la ecuación
Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: Lt : y - y o = m L t ( x - x 0 )
Lt : xy' (x0 ) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por di stancia de punto a recta d ( 0 , L , ) J ^ = o/(*o)|
VO’(
o))2+l
por condici ón del problem a se tiene: ¿/(O, Lt ) = x 0
J \yxo/(xoÍ F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene:
- M * o))2+i
y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \
simplificando
>’2 ~ * 2 —2xv;v' = 0 de donde ( y 2 —x 2)<¿v —Ix yd y = 0 , es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazan do en la ecuación (u 2x~ —x ‘’)d x —2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando
La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde
Lt : y = y '( x 0) x - y ' ( x 0K x0) + y 0 pa ra x = 0, se tiene d 1 = y Q - y ' ( x 0 ) ( x 0 ) 7 Vn ~ y'(^o)(xn) = V*o “ .Vo » lueg° : 1— =*==— = 4xo+y¡ v - y ' x =C => y -x y , =c^Jx +y j i * 2 +j V2
además (u -1 )dx — 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando
— (u ~ + l)¿¿r — 2uxdu = 0 , s eparando las variables.
r r
--
rr~ r
^ = 0a , integrando •* ^ — + f ------- ¿fa=lnc , — + 2w du i x J u2+1 * u2 +l
(c-jx1+y2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea
lnx+ ln£/2-+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc x
sea y = ux
Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio ve ctor es una cantidad constante.
(c\Jx2+ x 2u - yx)dx + x(ud x + xdu) = 0 , simplificando ,
----
Solución
generali zando se tiene:
dy = u dx + x du, reemplaza ndo en la ecuación
(c^l + u2 -u)d x + udx + xdu = 0 , agrupando
c^ l + u2dx + xdu = O, separando las variables dx
du
*
é +u 2
c --4- - ^ ^
174)
Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
= 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln&
Solución
x c(u +*K+u2 ) =k dedonde y +^Jx2+y 2 - k x l c x 2 +y 2 = k 2x 2^~c>i -2kyxl~c +y 2 , dedonde 1 / 1— v (T ----1 x 1+C ... y = —k k 2 * 173)
Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Solución dy , Á t a O-*)+472 +(i-*)2 — = tg^ = c tg 0 = -----------2----------------dx y
Dato del problema d x = d 2, la ecuación de la tangente es: L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o)
ecuación de la normal: L N : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y \ x o) J J y = ----------X + ---------*0 1-y 0 de donde / ( * 0) /( * » )
pa ra x = 0, dx =—^ - — + y 0 además d2=Jxo + y l y' ( x 0) como dx = d2 => ———+ y 0 =Jxo +.Vo »generalizando + y = -jx2+ y \ * 0) ' dy
xdx +(y- -J x2 + y2 )dy = 0 , es homogénea ydy-( l-x) dx --p— ■.
...
4 y 2 +( l - x ) 2
_ . „ r ~5 “ 7 = dx integrando ^ y + (l- jt)~ = jt + c, parax = y = 0, 1= <
y = 4 cjc
y = ux => dy = u dx + x du , simplificand o (1 + w2 -u ^ l + u2)dx + x( u- ^\ +u2)du = 0
dx x
U- V l + M2 du= O, integrando y reemplazando 1 + u 2 -u V l + W^ / 2 —K) u = y— se tiene: y =1—(cx x 2 c
175)
Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
Solución
x 0d 1 = 2 d \ => x n( -X°
v (jc0 )
+ y (i) = 2(Jx¿ + yl )2, generalizando
„ , 2+ y 2 \ x 2 —dx+x y = 2(x ) dy
x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplaza ndo en la ecuación
x 2dx + (x2u-2x2-2x2u2)(udx +xdu) = 0 , simplificand o dx +( u - 2 - u 2)(udx +xdu) = 0 , agrupando (u 2 - 2u - u 3 + \)dx + x(u - 2 - u2)du = 0 , separando la variable dx u-2-u2 * u 2- 2 u - u 3+\
„ .
A
t ,
y x
— + — ---------- ----- du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene:
Condición del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es:
Ly - y - y o = y \ x 0)( x - x 0) ecuación de la normal es: LN : y - y 0 = — 77 — ( x - x 0) /(*o) *o x l n ' y = — 77— y (Xfí) y (* 0) para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto: y' (x 0)
ECUACIONES ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER DE BERNOULLI
ORDEN:
Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: 176)
y ’+2y = x 2 +2 x
Solución La ecuación diferencial de la forma: La solución es: ^ - + P(x)y = Q(x) dx
donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden.
y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c]
...(1)
donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x
... (2)
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por:
- í 2 dx r ' f 2 dx
y = e J [ \ eJ
2
(x +2x )dx + c] , efectuando la integral
- f p(x)dx
y = ce J
y = e~2x[j e 2x( x 2 + 2x)dx + c ]
si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión.
y = e~2x[— —
2
— - e 2x +—1-c] por lo tanto: 4 2x2 + 2x
V=
Ecuación de Bernoulli.
La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma: ^ + p ( x ) y = Q ( x ) yn dx
{x2+ 2x-\)y'-{x + \)y =x - \
Solución
..(2)
donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución. i-«
177)
— + ce - 2 v
4
/ 2
n , /
,
x+l
JC—1
(x¿+ 2x-l)y'-(x + l)y = x - \ => y '— ---------- = — ----------- la solución es: x + 2 x - l x + 2 x - 1 -\p(x)dx r (p(x)dx
y = e J
[ \ e J
Q(x) dx + c ]
donde P(x) =
+ *—
----
+2x-l
x
y O(x ) = - x
-\ -—^±—dx , y = e } x +2x- l r \ e ' x +2x- l
,
“i ------- ¿fo + c]
[\e
y = V *2 + 2 * - l [ f
y = ln x[f í/( -^ --) + c] => y = lnx(-^—+ c) J lnx lnx
x + 2 x - l
iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l
y = e mn x) [ j e -‘n(ln*> jr2(31nx U dx + c]
- \
x - \ f_ J ----rfX + C]
J y = e2
1— , reemplazando se tiene:
2 + 2 x
por lo tanto:
..
x + 2x -1
y = x 3 -f-clnx
(a2 - x 2)y'+xy- a 2 Solución
J (x2+ 2x -l)
y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ (
j
/ 22^ (a -jc» Xy+xy2= a-
X ; = ) + c], integrando ^ x 2 + 2x - l
=>. y +*—----- - y =# ^ a2_x2
como la solución es: y = e ^ P!> [ J e ^ * g (x )í/ x + c] y = a/ t 2-4-?r -1 (— * —- + <") por lo tanto: 4x2+2x-l
178)
y = x + c ^ x 2 + 2 x - l x a2 donde p( x) = — ----- — y Q(x) = — ----- —, reemplaza ndo se tiene: a -x2 a2 - x 2
x ln xy '-y = x 3(3 ln x - 1) - J - r - i * r f1* ~2 [ I V *2- ' 2 - - — dx + c] J a -x
y = e a x
Solución , 1 x 2(31nx-l) xlnx .y'-y = x (3 1nx -l) => y --------- v = ------- --------xlnx mx
Un(a2-x2) r y = e 2
-
p(x) dx f
como la solución es: y = e J
[p(x)dx
T
[I e JQ(x) ax + c ] donde:
[ \ e 2— -d x + c] a -x -
J
i j
1 x 3(31nx -l) y Q(x) = x ln x ln x
f
y = ^ja 2 - x 2[ a2 — -—— — + c] entonces J ( a2 - x 2 )3/2
P(x) = — -—
_f— dx - rf—dx x '2(( :31 nx -l ) reemplazando se tiene: y = e xlnx [J e AlnA ^— dx + c] Inx 74
y = 4 a 2^ x 2 ( [ d ( ^ L = ) + c) Va - x
por lo tan to:
y = x +c ^ a 2 - x 2
=> y = V «2 - x 2 ( ^ j L - ^ +c) -\la~ - x
180)
f 2
2xy'-y = 3x2
reemplazando se tiene:
y = e
r 2¿r
x+l[ je x+l (x + l)3dx +c]
Solución y = e2ÍBix+l)[ je - mx+ l)( x+ l) i dx +c ]
^ ,-y = 3x -» 2 => v------y ,1 2xv = — 2x '
2
y = (x+ 1)2[J (x+\)dx+ c] = (x + 1)2 como la solución es: y = e ^ H
f dx
2x[je
182)
r dx
2x — dx + c\
1, x ^ — ln x —ln
181)
/ = ---------- L ----xsen>> + 2sen 2y Solución
r— j r r—•
[J e 2 x dx + c] => y = ^ Jx (—j ^ x d x + c)
y = e2
t (x + 1)^ y = — — +c(x +l) 2
,
por lo tanto:
3x 1 donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene: 2x 2 =e
+ c)
* Q(x)d x + c]
1
1
y = ----------------------------
x sen y + 2 sen 2y
dy n> J L = ----------------------------dx
x sen y + 2 sen 2^
y = -Jx(x */2 + c) => y = x 2 +c*Jx
¿/je — = x + sen>> + 2sen 2y = > ----------------(sen y)x = 2sen 2v «V úfv
(x + \) dy -[ 2y + {x +\)*]dx = ti
la solución es: x = e
Solución
(x + \)dy ~[ 2y + (x + \)A]dx - 0
de donde P(x) = -se ny , Q(y) = 2s en 2y , reemplazando se tiene: f sen v’rfv f
x=e J dy dx
2 Jt + l
f sen yrfy
[J e J
2 sen 2ydy + c]
V= ( jc -h l) 3, como la solución es:
’= e ~ ^ x)Jx[ \ J P^ dxQ(x)dx + c]
donde P(x) = — — y Q(x) = (.v + 1) 3 x+1
x = e cos>'[4j ecos>’ sen y co s y d v + c] x = í T cos> [ ( 4 - 4 c o s
por lo tanto:
\e * * y + c ]
=>
x = ü n 2 -- + cí> C0S1'
x=
4 ( l - e o s >■) + « > - cos v
183)
y' -2xy = 2xe*2
* r f X ~ 2 ¿jX x J +l J x 3
y = - 3 — - [ I ------- —
n
x (x , + —1 + x 3 +l x2
+ c] = -y —
C)
Solución y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq (x)d x + c]
donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex
- f - 2 xdx r i-2.xdx
reemplazando se tiene: y - e J
ex por lo tan to: y = —— - + — x +1 X
[ \ei
JJ.2
185)
2xe dx +c ]
y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1 Solución
y = exl [^2xdx +c] =e * \ x 2+c) por lo tanto:
y = e /p(vWr[Je^p(x)d' q(x)dx +c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x
2
y - (x 2 +c)ex
.
184)
.
.
- I eos xd x f
reemplazando se tiene: y = e J
x 3 —2
x( x3 + l)y'+(2x3-l)y = --------
x 2 —2
y = e~' senA[sen xe senv- e senA + c]
dividiendo entre x( x 3 + 1) entonces:
para x = 0 , y = l = > y'+ — -r—— y = , ecuación lineal en y, la solución es: x(x +1) X (x +1) y = e \ p(x)=-^y— y J x(x + 1) f 2. v3 - l ^
reemplazando se tiene:
y = e
, jr3+l . ,*3+l. -ln ------- r ln( ------- )
[ i e
J
x
y=e
-----
x2(x3+l)
f 2/- 1 ^
+1) [f e r(< " J
, 3 (x - 2) , dx + c] ~ 2— í
sen x eo s x dx + c]
y = e~ *en x [J esen x sen x eos x d x + c]
Solución x(x3+ l)/+(2x3+ l)y = --------
í eos xd x
[\eJ
?(*) = 2 3 x (x + 1)
y = sen x-l + céTsenK
1 = 0 —1+ c entonces c = 2, por lo tanto: y = 2e~scnx + sen x-l
186)
x ln * /- (l + ln x)y + ^ ~Jx(2 + ln x) = 0 Solución
3
* • ^— dx + c]
x 2( x 3 +l )
xln x.y'-(\ +lnx)y +~ (2+lnx ) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene: 1+ lnx
(2 + lnx)
..
i
i
y _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es: 2^¡xlnx xlnx '
y = e ^p{x)
_jr
reemplazando se tiene:
v=e
l+ln.v — d.x
r
' ln t [- e
J
y = eln(vln-*,[ - f e [n{xAnx) 2^1x In x J
f 1+ln.r I— — dx
cuya solación es: z - e
2 +ln x
x [\e
x x~d x + c] entonces:
'[Jífr + c] z = e 2lnx[ \ dx +c]
vln x — j= ----- dx + c]
2Vxlnx
.dx +c ]
- f - - d x c f -d x
188)
=> v 3 = x y + c x 2
8 xy '- y = 1 yl )x + \ Solución
^ = x.ln x[ - f —^ ^n X-— dx + c] = x. In x[ f d (—= ------ ) + c] J 4 x\n x J 2Vxxln x
y = x. In x( -j J- + c) por lo tanto :
3xy'-2 y = — y•2
Solución , 2
=> y '
-----
x2
y = — r- ecuación de Bernoulli
3x
\ dz \ 1 — —— — z = ------7 = = - ~
4 ¿x
dz 1 1 ., .. --------z = 7= , ecuación lineal => — dx 2x 8x vx + 1 2xVx + l
8x
3v
cuya solución es:
—lmr
z - e 1
3= *2 3x’ 3
__
dx
y 3— - — v4 = - * 8xa/x+T dx 8x ‘
se az = y 4 entonces — = 4^ 3— , reemplazando en la ecuación se tiene: ¿/x ' dx
¿/v-------2x 2y =_2 r , , — — y w. multiplicidad por y 2 dx 3 x ' 3 2
dy--------i v = ----------y^— i _1 entonces — i , ^Bernoulli ■■p=^L , ecuación de %xy\lx + l títe 8x
y^Jx + 1
multiplicando por y 3 se tiene:
3xy'~2y = — y
x 3
---
y - Jx + ex ln x
-v/x ln*
187)
o8 x y. - y =
sea z = v 3 => '
— = 3v2 , reemplazando se tiene: dx dx
2 ^ = xí L1 dz _ JL 3 dx 3x 3
=> dz — - 2-- _z = xi2, ecuación lineal . dx x
/•
z=e
ln.r
[ -\e 2
J
f^
2* [ - 1e J
f ¿r
^ 2* ----- ........ + c] 2xvx + l
- + c] entonces 2xVx+l
-----
z = V x[-f— j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]
J 2V*W* + 1
’= V^(— 7=~ + c) =
Vx
J
V*
por lo tanto:v4=4x+\+c^fx
189)
y = ex[j2xex dx+c] entonces y = ex(ex +c)
(Jty + x 2y3)y '= l Solución
y = e x x + ce
por lo tanto: (xy + x 2y 3)y '=l
=> (xy + x2y3) ~ = \ 191)
xy' = y + x 2 senx
1 —— entonces — dy = -------dx =xy +x 2y 3 — dx xy + x y dv
Solución
2 ., dy 1 xy = y + x sen x => — ----- y = x sen x , ecuación lineal dx x
-------por x-> - xy = x 2y 3 multiplicidad
dy
la solución es: y = e
dx x -2 dx yjc - 1= y3 , sea z = x -1 => — = -xv-2 — dy dy dy
-----
r dx
y - e
— - vz = v3 => — + yz = - y 3, la solución es:
dy
r dx
x [ f e x xse nx dx +c]
^y
r
f
, zi
y = elnx[j e~lnxx sen x dx + c] = x( - eos x +c)
^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ -J e V ^ + c l
_zl
¿
=>
¿
por lo tanto: 192)
z = c 2 [- y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:
y = -x eos x + ex
x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x 2)
Solución
1 2- y 2+ce"T2 —= 190)
x2y'+2x3y = y 2(1+2jc2) entonces y'+2xy = y 2
/ - y = 2*e*+x2
multiplicando por y~ 2 se tiene: y~ 2y'+2xy ~x
Solución
Como y = e ^/(r)í/r[ | e ^ (v)í/X^(jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe* Reemplazando se tiene: y = e ^
[ Je ^
2 xe v+v dx + c ]
x
- , ecuación de Bemoulli
x 2
sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando
dx
dx
+2xz= — -— = > ----- 2xz=------ - — , ecuaci ón linea l dond e la solució n es:
x2
dx x2
- f - 2 xdx r fr [\-2xdx - 2 xdx ((ll ++ 2x~) 2x2)
[I—-U I p Jj
Z —e J
---------
J
,
_
4 x + c] -d
z = - y 2 + a 2 +cy porlotanto:
----
x 2 + y 2 - a 2 =c y
X
= ^ [ - j
194)
dx + c] = e"2[ J r f ( ^ - ) + c]
2se n x. y'+ y eos x = y 3( x eo s x - sen jc) Solución
1 —+ ce —+
por lo tanto:
1
*
y
*2
2
sen x. /+ y eos x = y 3(jc eos x - sen x) de donde
dy ctgx 3,xeos*-sen * .., — + —-— y = y (----- ----------- ), ecuación de Bernoulli dx 2 2 sen * -
2
2
x - y
-a
2
Solución multiplicando por y 3 se tiene: dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx 1__ y 2 +a2, — = ------- -------- d e d o n d e --------- x = x dy dy 2y 2y 2xv
2xy y — -------- ----- x 2 - y 1 - a 1 -
sea z - x
0
sea z = >,-2 =* — = -2y~3— re emplazando - 1 ^ + £Í M ÍZ = £ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx
dx \ 2 v2 + ¿z2 x —— — x = ------ ----dy 2y 2y
dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A A => — = 2x— , reemplaza ndo ——— ——z = ----- de donde dy dy 2 dy 2y 2y
dz —— c tg x.z = -(x c tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx
-----
z - e dy y p ( y ) =
_
----- - ----
-
. . multiplicando por x se tiene: y
y 3— + c ^ x y 2 —j [cosx s enx dx 2 2 sen x
y
1 ----
1 cuya solución es:
y q(y) =
r
J v y
2
2
[-le J
2+ a2
-----a
J « y' * «, ) dy + c] donde J reemplazando se tiene:
+a y - -------- dy + c] v
z_ - e
y
y 2
—- dv + c] = y ( - y + — + c) entonces := e ln;l'[-1 — J y 2 ' ' y
_2
—2
-\-cX%xdx
f
f J e
f-rtgjr
dx
X)dx+ c] (xctg x —
lnsenjc«-
. [- \f e -ln sen jr/(xctgx -l)ax + c]n
r fx c o s x -s e n x , = sen x[- 1 --------- -------- dx + c] entonces: J sen x XX
= sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------hc) por lo tanto: sen x sen x l — = x + c sen x
1
•*+ —
/t
y“V + J^C — — y ~ l + *+1 Solución
sea sea z = y 1 =>
x3 +y- — + l de , don , 3x2 dx = -----=> — d, onde de y' = ----------x3 + y +1 3x dy
dz dx
- —x = - +— x 2 , ecuación de Bernoulli 3 dy 3 2 . multipli multiplicand candoo por x se tiene tiene::
= —
2 \
—
*
dx
2x +\ + 1)
l-x2 + 1) 3/ 2
(x 2 +jc
2 ( jc jc 2 + j c
dz 2x +l x 2 -1 ^ = —i— ------ t t t , ecu ación lineal cuya solución es: es: dx 2(x2 +x + l) (x2 +x +l)3/2 +l)3/2
2 <^X 1 2 V+1 .v ^ " 3 * = —
r
2x+\
c
2x+\
(*2-D ^ +c] (x2+ *+ i)3/2 i)3/2
J
2 => — V+ l dz . dx . , 1 dz 1 = 3x — reempl reemplazan azando do - - - z = —— 2
tfy
dy
3 dv 3
3
—lníjc-+jc+ jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2 - l ) —i----------ttv dx + c] z —e —e * [ \e J
de donde ----- z = y +1, +1 , ecuación lineal lineal cuya solución solución es: dy
2
+Ca/x2 +Ca /x2 + JC+ 1 Z = 4 x 2 + JC+ 1(----- - + C) = ---- j- * jc + jc + 1 V* 2 +x + l
z = ey[ ey [ je y(y + l)dy +c ] => x 3 =e-'[~e v(y +l ) - e y +c] +c]
■
X+ 2
----
_
..
n +jc + 1 y -i = — p- x 7+c^x ^x 2+x +l
x 3 = -y - 2 +cey cey
d-*V
^ je2 H-a:-I-1 (x2+ (x2+JJf + l)3 l)3//2
(x2+x+d3/2
l [ f —— ---- ^-— z ^ - J x 2 + jc+ l[ ^-— dx + c] =^lx2 ^lx2^ x +l[ [- d (——— -----) + c] J (x 2 + * + l )3/2 J JC2 +JC+ 1
z = e ^ dy[j e^ dy (y + l)dy + c]
por lo tanto: tanto:
m
3 y ^ ^ L --L ^ - f> X(x~ —ci^)
y2
x —a~
Solución Solución
Multiplicando por y 2 se tiene:
—d) —d )
— = -y 2yV reempl reemplaza azando ndo en (1)
z.
sea z = x
3/2
(JC + * + l)3 2
,
2
Multiplicando por y ¿ se tiene:
. x2 +a 2
3y y +
1
^
>' “
* (3 (3 jc jc 2 - g 2 ) ^2 _ a 2
——ln(l-f-Ar2> ln(l-f-Ar2 >
M e2
z = e 2
r iln(l+^2) ~ 2
---- 7¿* +c]
J
sea z = y 3 => —
=
djc
ffe , ■y2 y2 +fl2
al reemplazar se tiene:
3 y 2 y \
-_
j
^ JC - f l
ln_ ^ f f ln¿±íl) ^3 ,2- fl2) fl2)
z=e ¿-'[W J
r
/
xx “ - a
jc2
.- . [- dx + c] por lo tanto: J
ecuación lineal cuya solución es:
[fe
í * (** -*)
1
4 i+ 7
_r_ _r_££±5l_rf l_rf,, , f x? fl ~< ~
■
=
1 + jc2
i
-^ - d x +c]
A
i
(- —Vl + x2 + —ln —ln[x + Vl + x2 ] + c
f - ±2 < * + » V
1 + jc
Solución
'dx +c] Multiplicando por y
_2
2 y 1 ? +1) y " v'+ —— = — ( jc +1)
se tiene:
1
z = - ^ [ \ O x 2 - a 2)dx +c) = ^ - T [xi [x i - a 2x +c] x 2 - a 2 3 x -a 2
y - x +
por lo tanto:
_fl2
2
CX
—
(l + x2)y ' = xy + x 2y2
2
_ _
£ —_ y= —— _ yy2 umultip mul y —— i u n tiplic i p ulicand v aando u u uo ppor v i jy
1+JC2
1 + jc
¿x r dx
Solución y
= - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , 2
¿ jc
1 + jc
2
dx fc dx
z = e J l+x[j e J ,+x ,+x ~ ( x + l) 3dx + c] —2 , x— 1 X se tiene tiene:: yy y. / - ^ r ~2 i J y 1
ow i,vu v.
1+x2
. y2
1 *
z = e ,n(,+ ,n(,+*)[ f e -' n(,+x>± (l + x )3dx + c] c]
2
sea z = y- ' =* — = - y _2y' entonces entonces ^ z = ^ , ecu ac ión lineal. dx d* l+x l+x ----
- [ - 1 —dx ,
f-A r*
v;2
z = e ¡ ,+x2 [f e 1+jr c] +jr ( ------- T)d x + c] j
1+ JC
2
sea z = y “1 => — = - y ”2y', reempl reemplaza azando ndo en la ecuaci ecuación: ón: dx
¿/ jc
198) 198)
+ jc
z = (1 + x)[ J
+ ^ dx + c] por lo tanto:
1 = — —— + + c(l + x) — V
O
ecuación lineal cuya solución e
200)
x 2 + y 2 +1)dy + xyd x = 0 ( x
z=e
-J-
f
J -
v f j e y (21n y + \)d y + c] entonces:
Solución ,z ~ e ln) [Jelnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = —[J (2 y ln y + y)d y + c] c] xy — + x2 + y2 +l = 0 =» — + — x = dy dy y
x 1, ecuación de Bernoulli y Q
por lo tanto: dx 1 2 y +1 x = ----multiplicando por x se tiene: x — + — dy y y
x = y ln y + —
----
202)
x(x - l)y ’+y = x 2(2 x - 1)
sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación dy dy
Solución 1
1 dz+__Z= 1 ==_Z-----y 2 + -1 ^ ----+__Z _Z----2 ¿y y
y
~
y
¿/y+ c]
z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] c] => => x2 x2 = - ^ f " 2^
J
v
v
4
+
2
(2 j c - 1)
^ +ñ ^ = c u a c i° n ü n e a lc u y a solución es: --X - ~ rX x’e — 1J
dz 4— 2 z = _2(i------ ), ecuación a vlineali cuya solucion i - ^es: — dy y . y
=e
(
r dx
r dx
4 * 4 ) [ í j ^ ) x < ^I ^ I ±) ±) dx d x + c] c] J x-l
1/ x X , JC— 1 jxc-T1 rf / 2 x ~—l w y = e jc [je Tx x(— )dx )dx + c] J x-l
+ c]
y = -^ — [ \ ( 2 x - l) d x + c] c] => X - l
J
por lo tanto: / =
•*W)
2y lny + y-j c
y ' - y tgx = sec;c, sec;c,
y|^=o= y|^=o= 0
Solución ¿/;t _ 2xln y + y - x dy x
— + L x = 2\ n y + l , ecuació n lineal cuya solución es:¡ es:¡ dy y
= - ^ — ( x 2 - x + c) xx -- ll
, CX y = x.22 + x - l
por lo tanto:
201)
y
Solución y = e
- f - t g xdx f f - t g j xdx
\ \ e J
c] sec xd x + c]
y = e Ulc:>s lc:>s;c[J e lnsec* sec xd x + c] entonces:
/ + 2 sen —^os —^os —+ 2xc os2 —= 0 2 2 2
C sec sec x y = L . x x ( ------ dx +c) =se cx(x + c) , parax = 0 setienec = 0
y 2x = 0 entonces: sec se c 2“ y — y1’+2 +2 tg t g —+ 2 2
l sec x
por lo tanto: 204)
sea z = 2 tg — => — = sec 2 —.y', reemplazando en la ecuación: ecuación: 2 dx 2
X
y = sec x (x + 0) => y = eos X
dz — + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: es: dx
y' eos eos y + sen y = x + 1
Solución [ - 2 ^ e^ ‘lXxd x + c] c] => z = e~x[-2(xex e~x[-2(xex - e x) + c]
z - e
Sea z = sen y =>
— = eos y. y ' , reemplazando en en la ecuación: ecuación: dx 2 tg 2' =
dx
^+
* entonces
ig~- = ke x - x + l
+ z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es:
z - e ^ [je^
c] => z - e *[Je* (x + l)dx + c] (x + l)dx + c]
206)
/ - - ^ = é>*(l + x)'1 x)'1 x+l Solución
sen y = x + ce' -x
por lo tanto:
——dx - f —— <¿r /• f ——dx
205)
y = e ' x+l [I e x+l ex (l + x ) ndx +c]
y'+ sen y + x eos y + x = 0
y = e -ninu+De -ninu+De X(i + Jc)»í¿c Jc)»í¿c+ c] entonces:
Solución Sea
y y sen y = 2 sen —eos sen —eos —,
2
2
y y eos y = eos 2 —sen 2 —
2
y y + x e o is ---y xsen 2 —+ y x = 0^ y '+2 sen —eos — 2
2
2
>- = (x + l)"(c -t +c )
2
2
’07)
|V(ctt)¿/a = ny/(x)
Jo
Solución y'+2 y'+2 se n—eos —+ x eos 2 —-x ( l- e o s 2 —) + x = 0 , simplif simplifican icando do 2 2 2 2
En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas. indicadas. J i i/(ax)da = nilf(x) reemplazando 1 ex
— \\i r{z) dz = n\¡f{x) x Jo
como
1 f x
V(x)
lf(z)dz + => — •lf(z)dz X Jo x
f y/ (z )d a= nx yf '( x) Jo (1-« )
= n\¡/(x) , derivando:
,
209)
x
->oo ->oo
Solución -f-2xdx f f-2xdt f-2xdt v =e J ( eeoo sx s x -2 -2 xs x s en en x) x) dx dx +c] [I e J
,/ x
ny /(x )
y = eA [Je ~x (eos x - 2 x se n x) dx +c ] entonces:
ento entonc nces es — ^(nxy/(x)) ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - n y / ' (x) ( x) X2
¥ {x { x )L )L - - = n ¥ {x) entonces:
y' -2 xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotad a cuando
y - e x [J d( d~ x sen x) + c] => y = ex (e x senx + c)
y / ' ( x ) _ \ - n —
.
x2 y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x
integrando ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c n 210)
i -n
ln y/( x) = ln c.x "
entonces: y/(x ) = c.x
-x 2
y' + xs en 2y = xe
i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo ->oo
n
Solución
,
eos 2 y
1 2v*
senV *+ cosV * 2V*
. , ..
y ----- t=y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: Solución 2
y'+xsen 2y = xe~x ' eos2 y => sec2 y. y’+2xtg y = xe~ x
_
y = ee~^TJ7{
£±cow f,l^~V sen^x+cos^x sen^x+co s^x« 1
i4 x
sea z = tg v => — = sec1 xy. y\ reemplazando se tiene J - + 2xz = dy “X
J z = e ~i 2xáx\ 2xáx\ j J 2xdxX 2xdxXe~x~dx e~x~dx +c\ entonces tg y = e~x [J x dx + c]
por lo tanto:
xe~x tg y = —- — + ce
-x1
2V jc
y = e^[J (e“^ (e“^ co sVx ) + c] =>
y -
eos~Jx+c) eos~Jx+c)
y = eos a/x a/x + ce ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando
x-H-ao=>c = 0 por lo tanto
> = eos Vx
211)
ln 2 = 2sen x (eos x -1 ) ln 2, y es acotada cuando x -*+oo
por lo tanto:
y = -~n*
Solución , sen 2 x y se n x - y eo sx -------- — , y —> 0 cuando x -> oo x
y = e - \ - la2
-
Solución
y = exln2 [ j e - x l a2 2 seBX (eos x -1) ln 2 dx + 1]
. * sen x y c tg x. y - ------— , ecuación lineal cuya solución es: x
y = exla2[ j d (e ~x]n2 2 ieax )+ c]
- j - c t g x d x f j- ct gx d x
y = e J
y = e xln2(e~xln2 2 senx + c) => y = 2 senx +ce xln2
como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0
.. _
y - e
por lo tanto: 212)
2 x co sx -3 sen x 2x
por lo tanto:
- f f f t 2 x c o s x - 3 s en x , y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]
J
/— r
L“ J e J
f lnsenjr^COSX
(— Y ~ )* + x
y =
(1-f x 2) ln(l + x 2 )y'- 2 xy = ln(l + x 2) - 2x aretg x , y - ^ - ~ cuando x->-oo Solución
r —t- 2xeosx-3senx 2 (--------------5--------)dx + c] 2x
/—^sen x
r=> c = 0
senx
lnx
sen x
entonces:
como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x
y ------ y = ------------ ---------
lnjr
ln(senx)r
x¿
senx y„ = senx[-J —f dx c] i => y = — — + c se nx
Solución
— v = e 2 [ \e
( -r~)d x + c]
J
>' = 2sen'
2 x 2 y '- x y = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo
1 2x
senxv,
[\e}
sen x
y = Jx [ ] d ( - j j Y ) + c ] => y = 'Jx (—^ jY + c) = -
r~
dy 2 x //v ,1 . 2x, * 27^ dx (l+xz)ln(l+x2)
1 2xarctfíc — 2“ ~ ---------r »ecuación lineal, la so lución es: 1+x2 (1+x )ln(l+x )
+cV*
f
f
-2xdx
-2 a ¿v
v = í? MMbO+j:2) rf J(l+*2)ln(l+jr2W 1 como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0
J
2x.arctgx
1+ x2 (l + x2)ln(l + x2)
= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g
y x + c ,j
216)
y ' - y l n x = -(l + 21nx)x *, y -* 0 cuando x-»+qo
j (l + x2 )ln (l + x - ) (1+ x )ln( l + x ) - f - ln .v
f
í -lnjrár
y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^ _) + c] •> ln(l + x )
y = e J
n, r arctgx , y = ln(l + x )[------^ + ^1 ln(l + x )
y = e xlDX- x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx + c]
y = arctgx+ cln(l + x2) , para y - > - |, cuando x ->*> => c
y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x ~ 2 xd x+ c]
por lo tanto: 215)
Solución
y = arctg x
sen —-e * eos —)dx +c]
y = e€ [[ e~ e (-^-sen —-e * eos —)dx +c]
*
x
y = ke\J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = e e [ e e cos ^ + e]
y = eos —+ ce 6 cuando y ->2, x -> -oo
x
c
1 ^ - eos — _ _________ £
=>
c
= 2 - 1 => y=e
C=
y - x ~ x + cx xe~x para y- >0 , cuando x-> oo => c = 0
por lo tanto:
Solución
x 2
(l + 21nx)x dx + c]
y -X xe~x[jd(e xjc~ 2 x )+ c] => y = x*e~ *(e* jc~2x +c )
y' - e xy = -y se n —-e* eos—, y —>2, cu ando x —>-oo x x *
= ^ f e dx[J e ^
[-1 e J
1 , por lo tanto:
1 -heos — x
y - x~ x
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR in t e g r a n t e
Primer Caso.-
Si u es una función solo de x.
!
^u dM dN du r: f ) = N — Entonces: — = 0 => u( -----------dy dy dx dx
La ecuación diferencial de la forma: ... (1)
M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0
Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y)
du i M — - — ( dx N y
N x
du u
1 dM dN J N dy dx \
) de dond e — = — (— ----- —
ln u = J f (x ) d x => u = e¡ f {x)dx du du Mdx + Ndy = du = — dx + — dy ox oy
Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces:
la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición. dM dy
dN dx
. . . (2)
dU . . ,d M dN ^ t r du — = 0 luego m(— ------- — ) = - M — ox dy dx dv du _
u
dM
dN
, J 1 dM dN ^ d edonde v = _ ¥ (1 7 “ & "Mv = g (v )^ ’ mtegrand0 du
La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien. ln u = \ g ( y ) d y =» u = J sWdy ... (3)
í M (*, y) dx + P N( x, y)d y = c Jx0 Jy0
En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) po r ella, resulta una diferencial total:
217)
x( 2 x 2 + y2) +y( x 2 + 2 y 2 )y'=0
Solución
... (4)
du = u Mdx + u Ndy
Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se tiene: du M d Ar A . . K1du A du.dM ------- —)u = — uN de donde N - — M — = (— dy dx ox oy oy ox
Integrar las ecuaciones.
dN.
¡M = x (2 x 2 + y 2 ) [N = y( x 2 + 2 y 2 )
------
consideremos los siguiente casos:
Luego
dM = 2 xy dy dN = 2 xy dx
dM _ dN la ecuación es exacta dy dx
»
3 f ( x , y ) tal que
f ( x , y ) —-V3 +3 x 2 y 2 + g(y ) derivando respecto a y
df(x,y) df(x,y) v. • = M y
5v
Sx
df (x ,y ) á 2 — = 6x y + g (y) ,= N , r dy ----
d/f o- jj. = x(2x2 + y2) integrando respecto a x. cfcc 4
2
6 x y + g '( y) = 6 x 2y + 4 y 3 entonces g'(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c
2
f ( x , y ) = j x ( 2 x 2 + y 2)dx + g(y ) = ^ + ~ - + g (v ), derivando
5v
- x 2y + g' (y) = N entonces x 2>y + g'(v) — y( x +
g ’(^) = 2 ^3 => g(y ) =
)
f ( x , y ) —x 3 + 3x 2_y2 + y 4 + c por lo tanto:
2I9)
< - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - (' V* + / x y 4* + y y y ' Solución
+ c , reemplazando en la función 1 1 — = + —+ ^ y i _____ i_ __ X
M = .— f ( x , y ) = — + ^—^
2
2
+ — + c porlotanto:
2
/. x * + 3 x 2 y 2 + y 4 =k
x* + x ~ y 2 + y
x
yfx2 T y 2
y
dM dy
xv (x 2 + y 2)3/2
y2
xy
y1
( 3 x 2 + 6 x y 2 )dx+( 6 x 2y + 4;y3 )dy = 0
218)
Solución d
M _ \m = 3 x 2 +6xy 2
dy
= 12xy
[N = 6 x 2y + 4 y ì
8 N 10 — = 12xy . dx
Luego la ecuación es exacta = df(x,v) ,, d f ( x , y ) = N Entonces dy3 /(x dx , v) tal que — ^ - — = M y —
T dM dN 1 Luego —— = —- la ecuación es exacta <7y dx Entonces 3/(x ,_y ) tal que df{X'y) =M y Q B g É . = n dy ox àf(x,y) _
3x
f { x ,y )
1
1
Vx2 +y 2
*
.V
integrando respecto a x.
f( i~—----------- _ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ + y 2 +lnxH---------- h g(y), derivando r + y2 v¿ x* y> y J JVx2
3/(x,y) _ y) _ 2 x 1 + 6 x y 2 integrando respecto a x. dx
x
de donde
y
= — + g '( y) = N
^jx2+y2 y g'(y)
= i.
r +«'CK) =
1 X r + -----J 7 + 7 y y
¥(x,y) 32 3y,, „ Ar — ------ = x sec y + - y - + g( y) = JV oy x 3
=> g( y) = ln y + c', reemplazando en la función:
3
2
2
x3sec2y + -^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4y 3 + -=y
f ( x , y ) = Jx ^ + y ^ + ln x + — +ln y + c por lo tanto
g ’(y) = 4y 3 entonces
entonces
g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función:
/(x ,y )= x 3 tgy + -y + y 4+ c por lo tanto: x
J x 2 + y 2 +ln xy + — = k v ' y
3
x tgy + y 4 + V~ = k, . x 3
220)
(3x2tgy-^Y -)dx + (x2sec2y + 4y3+ ~ -)d v = 0 221) Solución
(2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^ x2y xy2 Solución
2 dM ~2 6y -----= 3 x sec y ------ rdy x
2/ — M = 3x 2 tg y ----x N = x 3 sec 2 y + 4y 3 h
Lueg0
dy
dx
1 3
dN , 2 2 6.v2 ---- = 3x sec y ------ y dx x
la ecuación es exacta, entonces:
a*
x3
integrando con respecto a x.
f ( x , y ) = \ ( 3 x 2t g v - ~ - ) d x + g (y ) = x3 tg y+ ^y + g(y), derivando
rW 1 1 ■—+ —r dy y xd N ____ I_ ax " / + x 2
x 2y x2+y2 N = A^2
dM dN t Luego ----- = ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx
3 / 0 , y) Qf (*> y ) _ 3x2 tg y -
x2 + v2
M = 2x +
tal que —- = M y —■ ox
=
A/- de donde
x 2 + y 2 . d/(x,y) ------ — = 2x + — - — integrando respecto a x se tiene: S* x y /•
f ( x , y ) = (2x+
^
|
y ^
y
—— )dx+g(y) = x 2 + ----- —+ g (y ), derivand o y“ x x y
----
dy
y 1
X
eos 2x sen2 x — — + g W = y -------— 2 y 2 y2
x X
1
•—r --------------------------------------------------------------------------------- f- g' (y ) =---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando: ,, . sen2 * eos2 x sen2 x v2 * j '2 * g (y ) = y -------- ^-------------- 5 - + — y2 2y 2 2y2 f ( x , y ) = x 2 + —- —+ c por lo tanto:
.V x
8 ' (.v) = y ------ r 2 v
* V x 2 + ------= k y x
=> g(y ) =
2
+ -^ - + c, reemplazando en la función
2y
--
222)
/ ( x , v )= - ^ + i L + X + > - + t; -= --COS X+ Sen~ JC+ f _ ± Z l + _ L = ^ 2_y 2 2>> 2 2y 2 2y
sen 2x sen2x x, . (— ------ + x)d x + (y — —x— )dy = 0 y
y
1 sen2 jc x 2 + iy 2 1----1 = fc 2 2y 2 y + y
Solución sen 2x
M = -------- + x N = v -
sen2 x
----
dM dy
sen 2x
dN _ dx
2 sen x. eos x
por lo tanto:
y 1
sen 2x
y 2
y 2
223) dM dN Luego ----- = ----- la ecuación es exacta. dy dx
Entonces 3 /( x , y) d f (x, y) _ sen 2x
5x
^ dy
^
2 y 2
dx
= M y
(■•-— + 2 x y - —)dx + (-Jl +x 2 + x 2 - \ n x ) d y = 0 Vl + * 2 Solución
dv
^ - = N de donde
SM M = - A = + 2 xy - y
Vi + x
+ x integrand o respecto a x
sen 2x
l d
tal que
+ x)ífr + g(.y) = -
+ g <( y ) = N
cos2x . — + _x+ g^y} ^ derivando 2y 2
----
sen2 x x 2 + y2 . , -------- + ------ =---= k
+ x2 + x2-lnx
^ av
—
^
x
+ 2x^/l + x2 x , i
= - 7=
+ 2 x —
“vi + x 2
x
dM dN , Luego ——= —— la ecuación es exacta, entonces : dy ñr
3 /( x ,
tal que — ■*»^ = Af y ese
dy
= TV de donde
ñ — — X_V---- 1- 2 x y —— integrando respecto a x se t iene '
M = sen y + y sen x + —
*
dy dN_ = cosy + senx dx
N = x eos y - eos x + —
f ( x , y ) = y- jl + x 2 + x2y - y ln x + g( y ), derivando
7
dM dN , Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces : dy ¿k
Qf(x' y ) =-y/l + x2 + x 2 -ln x + g'(y) = N
dy
-Jl+~x* + x 2 - l n x + g ' ( y ) = Vl + * 2 + x 2 - l n x
g' (y ) = 0
eos y + sen x
x
3 /( x , y) tal que d^ x ' y) = m dx
y S Í J ^ I l = N de donde dv
=> g(y) = c reemplazando en la función: df(x,y) OX
/(x , y) = yV1+ x 2+ x 2y - y ln x + c , por lo tanto:
f ( x>y) -
y j l + x 2 + x 2v - y \ n x = k xdx+ydy + xdy - vdx _ p- + y 2 +
1 . = sen y + y sen x + — integrando respecto a x. X
J(seny+ y senx+
+
g(y) = x seny —y cosx+ lnx + g(y) derivando
df(x,y) = xco sy-c osx + g’(y) = N dy
*2
Solución xcos y-cosx + g'(y) = xcosy -cosx + — y
agnlpando +.V2
*
g'(y) = —
d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integran do término a términ o
v
'
x
=>
g(y) = ln y + c reemplaza ndo en la función:
f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto:
xse ny -yc os x + ln(xy) = £
|d (^ /x 2 + y 2") + Jrf( —) = ¿* entonces: -sjx 2 + y 2 + ~ = c
(sen v + yse nx + —)dx + (xcos y -c o sx + —)dy = 0 r x y
Solución
226 )
y + senx cos xv . eos2 xy
,
x
------------ -ax + (------------- ---- + seny)dy = 0 -
eos xy
Solución
y + sen x. eos xy M = eos xy N =
eos 2 xy
----- = sec2 xy + 2 xy sec2 xy. tg xy dy SN = sec 2 xv + 2o xy sec 2 xy. t tg xy — dx
+ sen v
dM dN . Luego ——= —- la ecuación diferencial es exacta, entonces: dy dx
dM = ----dN ,la ecuación ., diferencial es exacta . como ----dy dx
entonces 3 f ( x , y ) d f (x, y) dx
tal que
dx
y ■
dy
- N de donde
y + sen x. eos xy integrando eos2 xy
/ ( x , y ) = J ( y s e c 2 xy + senx)dx + g(y) = tgx y-c osx +g (y)
d f (X y) dx
y + sen x eos 2 xy .
eos xy
integrando respecto a x se tiene:
f ( x , y) = J (j se c 2xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -co sx + g(y) entonces:
derivando
¥ { x , y ) = x sec xy + g' (y ) = N dy
9
df(x,y) = xsec xy + g' (y )= N dy
x sec xy + g' (y) =
X
- — + sen y eos“ xy
----
g ,(j ) = sen>; => g (y ) = -co sy + c reemplazando en la función xs ec 2 xy + g ’(>>) = ----- :— + se n y eos2 xy g ’( y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función: f ( je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto:
tg*y -cosx-cos y = k 228)
^ d x + 2- — y > y \ X
110
dy = 0 ,
_Ht=1=1
Solución
f ( x , y ) = tgx y- co sx -co s.y + c , por lo tanto:
tg xy - eos x - eos y = k [n eos (nx + my) -m sen(wx + ny)]dx + [m eos (nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O
Solución M = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny) N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny)
[dM nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny) dy dN = -wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny) dx
como
dy
= — - la ecuación es exacta, entonces: dx
3 f(x,y) tal que dí^ x,y) = M y cbc
dx
— n cos(nx + my) - w sen(mx+ny)
d(arc sem /x2 + y 2) + d(aresen—) + e ' vd( —) = 0 , integrando término a término y y
- = JV de donde
d(arcsen Jx 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = c J
y
J
y
integrando respecto a x se i ene aresen J x 2 + y 2 + aresen —+ eJf'/
y
f ( x , y) = J[ n cos( mx + m y ) - m sen (ms + ny )]dx + g(y)
= sen (nx + my) + eos (mx + ny) + g( y) , derivando respecto a y se tiene
231)
(—sen -------eos —+1)dv + ( - eos - -------- sen —+ -^r-)dv = 0 y y x 2 X X v2 y y 2 ’ X
Solución
fo.Zl = cos(nx + my) - n sen(mx + ny) + g' (y) = N dy
g'(j;) = 0 =>
g(y) = c
m 1 X ---- = — -s e n dy y y
1 x v y . =—sen “ Cos—+1 x y y x 2 1 „ X y 1 y —cos - sen—+— X X y 2 y y 2
m eos (nx + my) - n sen (mx + ny) + g'(y) = m eos (nx + ny) - n sen(mx + wy)
y 1 y y eos—h—— sen— x y x 2 x x dN _ 1 X x x 1 y y y _ sen — eos------ - eos^ +-~ sen^ dx~" y jt v v y x x v3
-----
reemplazando en la función
------
y ) = sen (nx + my) + eos (mx + «y) + c , por lo tanto:
sen (nx + wy) + eos(mx + wy) = k 230)
xdx + ydv +( 1 + ^ l L ) . ( y d x - x dy ) = 0 ^í(x2~+v2)(\^ í ^ ?~ + y2 ) ^ l - x2 x 2 - y 2) 2 ) yyjJ}y 2- x 2 -v"
5M fflV como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que
Solución dx
xdx + ydy J ( x 2 + y 2 ) ( l - x 2 - y 2)
+ (— + — r-).(ydx- - xdy ) = 0 yj v 2-x _ _
d (^x 2 + y 2 ) [ y d x - x d y ^ _x/v (y dx -x dy ) v2 -Ji—(x 2 + y 2) y^Jy —*
dx
=M y
1 X —sen — y y y x 2
d^ * 'y) = N de donde dy
,z. x
1 X í—sen—-- - y~ c y y X 2 df(x,y)
x
x
y
1
y
--------- dy ~ — y2 sen ~ y + ~x c os —+ x g (y) = N
x x 1 y x . 1 y x 1 -se n —+ -c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5v2 V x x x x v .V J' g(y) = + c
g' (y ) = - \ y
. x 4 x 2 y 2 a 2 x 2 v 4 a 2 y 2 f ( x , y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c
reemplazando en la función
1 + c , por lo tanto: y V -------- x 1 se n eos — + x —- = k
x
4
2
2
4
2
x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 - 2 a 2 x 2 + l a 2 y 2 - k
por lo tanto:
y
f( x , y ) - - eos —+ sen —+ x y x
y 4 a 2 v2 => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función
g' (y ) = y +a2y
----
----
233)
( x 2 + y 2 + \)d x-2 xy dy = ti,
n =
----
Sk>lución 232)
y ( x 2 + y 2 + a 2 )dy+x(x 2 + y 2 - a 2 )dx = 0
Solución
\M = x ( x 2 + y 2 - a 2) \ N = y ( x 2 + y 2 + a 2 )
dM = 2y dy dN = -2v dx
M - x 2 + y 2 +1 N = -2 xy
dM = 2 xy dy dN = 2 xv dx
dM dN , , Luego ——* —— la ecuación no es exacta dy dx
dM dN . .. , Luego ----- = — la ecuación es exacta, entonces: dv dx
Sea
3 f(x,y) tal que
u = e
=
N y dy
dx
=
- 2 xy
=
x
2d x
dx
= M y
— = N de donde
df (x ,y ) = x ( x 2 + y 2 - a 2) integrando respect o a x se tiene: dx x A x 2 v 2 a 2 x 2 f f ( x , y ) = jx ( x 2 + y 2 - a 2 )dx+g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando
df( x,. v) = x 2y + g' (y) = N entonces: x ¿y + g '( y) = y( x 2 + y 2 +a2) dy
*
( x + y 2 + l ) d x— — dx —0 ósea M =\ + ~ - + -^— entonces:
dM dy
*
x2
2 y x 2
dM dN , como ——= —— la ecuació n es exacta, entonces: oy dx
x2
M = - y - V x 2 ’ N = y - x
3 f(x,y) tal que íO íl Z i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrando dx dx x x f ( x , y ) = x - — x
-----
-?^L+g'(y) = x
x
-+g(v) derivando
x
dy
- - = - — + g' (v) = N entonces: x
=>
dM = -1 dy dN =-1 dx
dM dN como ----- = ----- la ecuación es exacta, entonces dv dx
=> g' (y ) = o => g(y ) = c reemplazando en la función
3 f(x,y) tal que
y 2 1 .f(x, y) = x- ~ --------+ c , por lo tanto: x x
df(x,y) dx
1 x 2
- m y
dx
= N de donde
dv
y , integrando respecto a x se tiene:
y 2 - x 2 +1 = kx 234)
f ( x , y ) = - ~ - xy + g ( y ), derivando
x
( \ - x 2y )d x+ x ( y - x ) d y - 0 , n =
Solución
^
\ M = \ - x ly
U
= x 2( y - x )
-*+£'00 = y - x
= -* 2
dy dN . 2 — = 2.W-3.V dx
/(x,y) =
dv
= -x + g' ( y) = W
g\(y) = y => g(.V )=- ~- + c reemplazando en la función
1 ----
x
v he , po r lo tanto: -xy + -------2
xy 2 - 2 x 2 y - 2 - k x dM dM , como -—- * ----- la ecuación no es exacta. dy dx
235) _ n . 1 .dM dN Sea f ( x ) = — (— " — ) = 2 N dy dx x '(y -x ) ... ,
2
f ( x ) = —
X
¡f(x)dx
=> y = eJ
-¡j- (1- X 2 y) dx + (y - x)d y = 0
Solución
x (y -x )
1 = — , multiplicando a la ecuación diferencial
X
(3x2y + y 3)dx + (x3 +3x y2)dy = 0
dM dy ¿w
_ 2
-----= 3x +3v
dt
2
= 3x2+3 v2 117
u = y/(x 2 + y 2)
como ® L = P1 L la ecuación es exacta, entonces dy dx
=> u = \|/(z) => lnu = ln\|/(z)
31nw 3l n u dz _ 31nw — — = — — = 2 x ------dx dz dx dz
w-
31nwdlnw dz . Slnw r — = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: dy dz dy dz df(x,y) _ ^ 2 y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: dx f ( x , y ) = x 3y + x y 3 +g(y) derivando
^
dM dN xrdlnu dlnu ---------— = N — M ------dy dx dx dy ------
-
= x 3 +3xy- + g'(y) = N
x 3 + 3 y 2x + g ' ( y ) = x.3 3 +, 31..2 y zx entonces g'(y) = 0 => g(y)-c reemplazando
dz
f(x ,y) = x3y + xy3+c
-3 x = (2x 3 + 2 x y - 2 x y + 2 x y 2)
/. x*y + xy3 =k
por lo tanto:
3 , 2 , 2x3(lnw) + 2 dz
--.(X
236)
dz
xdx + y d y + x(xdy- ydx) = 0 ,
u-\j/(x2+y )
d(\nu) dz
d(ln u) dz
=>
3 2
-i —
-z
zn \ 3<*z t 3, 1 d(lnu) = —— => lnw = - — l n z entonces u - — r r r - => u =
Solución
2z
2
z3/2
i (j ’ + j ,*)*'2
A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente: (x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante: (x - yx)dx + (x 2 + y) dy = 0 entonces: -----
m -= - x dy dN dx
M *=. x-yx U = x 2+y
como
x 2 - x y x 2 + y J ^ TI ivv/T + ^ TTrT = ®* poniendo bajo diferencial ( o r (x ¿ + y ) j /
. , g(~ 7=* “ 1 = )v = ()„ integrando — y -1 f 2
±,-£L la ecuación no es exacta. dy ' dx
237)
(x2 + y ) d x - x d y = 0, n =
Solución 2
Sea z = * + y
2
=>
dz
->
’
dz _ ? v
>
2
^
dM _
/( x ,y ) = je- —+ c, por lo tanto: x
dy
\M = x 2 + y \ N = - x
8 N_ = . dx
_ i
238)
{x + y 2)dx-2xydy = 0 , ji =
Solución
dM dN , como ----- * — la ecuación no es exacta dy dx ..
sea
/(*)
1 m
dN
1
2
= — (— — - r - ) = — ( l - ( - l ) ) dx x x
N
dy
-
dM „ ^ r = 2 -v
\M = x + y 2 [TV= -2 xy
,a¡T u~-e
- e
x 2¿
x - l = k
=>
W='xT
V
1
( x 2 + y)d x-x dy = 0 => (1+—\)dx — dy = 0 X
X
1 dy oc2 éw=J_ Cbr " x 2
*
dM dN , como ——* —— la ecuación no es exacta dy dx
, 1 ,d M dN , 1 2 sea /(* ) = — ( - — ) = - — 2 ; + 2 j ) = 2 xy N dy dx x ----
dM
u = e fJ f(*)d* =e Í ~ T x =e
(x + y )d* - 2xydy = 0 como= —— la ecuación es exacta, en tonces: dy dx U -
3 f(x,y) tal que
d /(*..y)
dx
. y
x 2
-- = N de donde = M y d^ X' V dy
dx
f ( x , y ) = x - — + g ( y ), derivando
x
—= - - + g '( y ) = N entonces: x
dy
x
+ g'O 0 = - — => áf'OO = 0 => g(y) x
U¿
*
x2
_ 2 Z
■ y (*+y 2 >d x - — dy = 0 entonces
d M _ _ 2 y_ dy x 2 dN _ 2 y dx -2 2 x
dM dN , como ——= —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx
3 f(x,y) tal que
dx
= M y
dy
= N de donde
df(x,y) dx
1 y = —+ x x
integrando respecto a x se tiene: j í — (2 y ( x 2+1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0 x ' + l
x* +1
fi
y2
v2
f ( x , y ) = ( - + -^r)dx + g( y ) = In x - — + g(y) denvando J x x 1 x
dy
(2 y-\ — -— )dx+ 2 xdy = 0 entonces: x2+1
M = 2y +
— +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función x x f ( x , y ) = l n x - y - — + c , por lo tanto:
239)
dM 2 dy dN 2 dx
x
=
x2+l
N = 2x
=
dM dN , como ----- = ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx
x ln x -y i =k x
(2x2y + 2y+5)d x + (2x 3 +2x)dy = 0, n = cp(x)
ctr
Solución
5 . df (x ,y ) ---------- = 2_v + — ----- integrando con respecto a x se tiene: dx x2+1
dM = 2x +2 dy dN_ = 6 x 2 + 2 dx
\M = 2 x 2 y + 2 y + 5 \ n = 2 x 3 + 2 x
/ ( x , y) = 2 yx+ 5 arctg x + g( y) derivando
¥(x,y)
dM dN corno ----- * — no es exacta; entonces dy dx .dM ^ (— sea /(rix )\ = — N dy
ay
dy
-4x¿ dN —) = — T1-------(2x 2 + 2o-z6-x2 - 2 ) = dx 2 x 2 +2 x 2x3+2x
= 2x + g' (y ) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=»
/(x ,y ) = 2xy+ 5arc tgx+ c, por lo tanto:
- 2 x
------
-
u = e ^ ()
2 +1
2xy + 5 arctg x - k
r -2xdx
= e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — -
(2 x y + 2 y + 5)dx + (2x3 + 2 x) dy = 0 entonces 122
x
x2+l
240)
(x 4 ln x -2 x y 3)
= 0 => g(y) = c
m
\ m
~ x a
l n x - 2 x y 3
[jv=3*y
-----= -6 jcv dy dN 2 — = 6 xy dx
3V2 d/ (x, y) 3y 2 í v2 — r — = ~ + g ( y ) = N entonces: -±-+g'(y) = J L .
2
-y
1 .dM SN. sea f ( x ) = — (-—— — N dy dx j / M d x
= e u=
1 ,(-6xy . 2-to y 2)==-—— 12xy = —4 =>/(*)=—4 x
3x2v
x
-7-(x4 \ n x - 2 x y i )dx + ^ — dy = 0 => dM 3y AV 5«
(lnx--^ -)
6y¿ x3 6y2 x3
af(x,y) dx
2 y3 x3
x
241)
(*+sen x+se ny)< it+cos y
M = jr+sen x+sen y N = cosy
[dM = eos y dy dN = 0 dx
dM dN , como —— * —— la ecuación no es exacta. dy dx 1 (.dM -0 sea f(r .x ). = — _ _ dN,) = c o s Ly-------j = eos y N dy dx ----
(xe* + sen x £x + sen y ¿ x )dx + ex eos ydy = 0
dM dN , c o m o -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx
dx
jc3(ln jc -l )+ y 3 = k x 2
w= —r factor de integración.
(x4 In x - 2 xy ^) dx + 3 x 2 y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante
3 f(x,y) tal que
=> g(y) = c
Solución
f--d*
3/ jV =
X
x
3x v
— e~ O X' — = = e 4lnJr en tonces
M = In x - 2 /
X
f ( x , y ) = x \ n x - x + ^ —+c , por lo tanto:
dM dN como -----* — la ecuación no es exacta. dy dx ,
X
- yf y —í —1;2 = ¿V de donde dy .
como dM dy
------- — = ln x ----- — integrando respecto a x se tiene:
2 v3 3 f ( x , y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + + g(y ) J x x
derivando
dM = e cosy dy dN[ = e x cosy dy
I M = xe x + sen x e x + sen y.e => N = e x eos y
dN la ecuación es exacta, entonces: dx
3 f(x,y) tal que 8^ * ' y ) =A/ y dx
dy
= w de donde
entonces u = e x
df(x,y) = xe* + e x senx + e x sen y integrando respecto a x se tiene: dx f ( x , y ) = J (xe x + e * sen x + ex sen y) dx + g(.v)
¡g(y)dv í I 1 u = e J =e } = —-
2 ( xy - - 3 y 3 )dx + (7 - 3 xy 2 )dy = 0 , multiplicando por el factor integrante
f ( x , y ) = xex - e x + e x sen y + e* (sen* ~ cosx2 + g ( v) derivando ( 2 x - 3 y ) d x + ( — - 3 x ) dy = 0 df(x,y) _ gx CQS y + g' (y )= N dy
dM = -3 dy dN = -3 dx
M = 2x - 3 y e x eos y + g' (y ) = e x eos y entonces g(y) = c reemplazando en la función
r
X/senx-cosx
N = ^ - - 3 x y
^
f ( x , y ) = xe x - e + e sen y- he (------- ------- ) + c, por lo tanto: -
2 ex sen y + le x (x - 1) + e x (sen x - eos x) = k
242)
(2xy 2 - 3 y 3)dx + (7 -3 xy 2)dy = 0, p = cp(Y)
dM dN como — - = ---- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y ) tal que
dx
'V) = M y d/(*,.v ) = N de donde d\>
Solución
\m = 2x y 2 - 3 y * [N- 3=V27- 3x y 2 ™=
como
SM A ----= 4xv - 9oy
2
df (x ,y) = 2 x - 3 y integrando respecto a x se tiene: dx
dv
f ( x , y) -
J (2 x - 3y)dx + g(y) - x " - 2 xy + g(y )
derivando
.dX
dM dN * — la ecuación no es exacta. dy dx
----
sea s iy )= - - r 7 ^ - - ^ - ) = ~ ~2 i - j ( 4 xy ~ 6 y 2) M dy dx xy - 3 y g iy)= _ ^ z l y i = - l y \ 2 x - 3 y ) y
g(y) =— y
df(x,y) = -3 x + g'( y) = N dy
./
7 g (y) = —y v
-3x +g'(y) = — -3x
7
=> g( y) = ---- + c , reem plazando en la función y
f ( x , y ) = x - 3 x y
----
y
+c
x 2 - 3x v~ — = k y
243)
(3 y 1 -x )d x + (2 y3 -6xy )d y = 0, u=y /( x + y 2) ,
\M = 3 y z - x [N = 2y 3 - 6 xy
,
a
, d l n u -------
dz
. . ? d(lnw) entonces: ~3 = ( y “ + x ) --------dz
------ ------(3 y 2 - x)d x +^ y dv = 0
(*+ y )
3z
'
O+V; )
u = - ^ - = — — 2
z*
i
z - x + y => u = \f/(z) => — = 1 => dx
dM dy
du SW _. 5a /v ------- M ----- entonces: dx wdy «dx
dM dy
dN dx
(* + y )
dlnu _
dz
3 z
entonces:
agrupando se tien e:
x- 2 x - V2 d( —- —:~T_r) = 0 integrando se tiene: ------ 1— - = c (x + y 2 )2 (x+y2r
Sea
------------
3
d(lnw ) = “ —~ => lnu = -31nz de donde z
dM = 6v dy a N = -6v dx
dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta. dy dx 2
a
12y = (-4v -4xv)
Solución
x - y 2 = c( x + j 2 ) 2
dz —- = 2y dv
--
^d(\n u) dx
dlnu dy
u = vj/(z ) => lnu = in(y( z)) d l n w _ d l n w dz dz dy dy dlnu dx
d(ln«) 'V
dlnu dz _ dz dx
dz
dlnu dz
íS y - ( - 6 y ) = ( 2 y 3 - 6 x y ) - ^ ^ - - ( 3 v 2 - x ) 2 v ^ * n dz dz
12 y = (2y3 - 6 x y - 6 y3+ 2xv) - ^ dz
128
129
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN» NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA D ERIVADA I.-
245)
xy '2 +2 xy '- y = 0
Solución ,2 ,-
Ecuación de Primer Orden y de Grado n con respecto a y ' .
(/)" +J°i(x,;yX/)" 1+... +
,
„
xy +2 xy - y - 0
, -2x±J4x 2+4xy -x±Jx2+xv => y = ------------------------------------------------------------2 x x
(x ,y ) y + P„(x, y) = 0 - x ± J x 2 + xv y = — ---- ---------
resolviendo esta ecuación respecto a / , e s decir sean y ' = f \ ( x , y ) , y'= f 2 (x,y),..., y ’= f n(x,y) , (k < n)
... (2)
las soluciones reales de la ecuación (1).
=>
r—-,-----( x ± ^ x ~ + x y )d x + x dy = 0
sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación { x í j x 2
+ ux 2 ) dx + x{ud x + xdu) = 0, simplificando
El conjunto de las integrales. (¡)l (x, y, c) = 0 , <¡>2( x,y, c) = 0, ... , k (x, y, c) = 0
(1 ± -J¡ +u )d x + udx + xdu = 0 ... (3) reemplazando se tiene:
=> — + ------- — =0, X t/ H- 1di a/ 1 W (y - c) 2 = 4ex
donde (¡>¿(x, y, c) = 0 es la integral de la ecuación. 246)
4y ' 2 ~9x = 0
y' = f j ( x , y ) (i = l,2, ..., k) representa la integral general de la ecuación (1).
Solución Integrar las siguientes ecuaciones. 244)
y '2 ~(2x + y) y'+(x 2 + xy) = 0
Solución 2x+ y±^J(2x+ y )2 - 4 ( x 2 +x y) _ 2 x + y ± ; 2 2 y '= x + y
=» y' ~y - x => y - c e ~ x - x - 1
147)
y ’2 - 2 y y ' = y 2 ( e x - l )
Solución y ' = x 130
=>
v = — +c 2
y ,2 - 2 y y '= y 2 (ex -1)
=> y' = y ±y e xi2
integrando y
--
---
— = ([±exll)dx =>
v
250)
ln ve = x±2 ex' 2
/ 2 - 2 xy ' - 8 x 2 = 0
Solución 248)
x 2 y '+3xyy'+2y 2 =0
_ / =, ----------------------2 x ± ^ 4 x 2 + 32x2 2x±6x I Q 2 =0A => y |2 -2Oa >’-8 = -----------, entonces x
Solución
2 2 , , 2 ^ , - 3 x v ± J 9 x 2 v 2 - 8 x 2v2 -3xy±.Ty ¿ V +3xvv'+2.y =0 => v = ----- — ----- -------------------------------------:— = ---- — , entonces y'=4x 2x
y y ~ - ± . x
/ =
r=>
dv dx — =— y x
dy 2dx 4- =» -<- = -------=> >’= cx
y = 2x2 +c
/ = ~2x => y = - x 2 +C
=> xy = c entonces
4 xy -----
=>
2x
251)
_2
y 'r +(x '+2) ey =0 Solución
249)
y l3+(x + 2)ev =0 => y' = -( x + 2)173e v/3, separando la variable
xy ' 2 -2yy'+x = 0
Solución ,
xy ¿- 2 yy'+ x = 0
=>
e~yl3dy = -( x + 2 )113 dx integrando -3 e ~ v/3 = - — (x + 2)4/3 +c 4
2 v ± J 4 v 2 - 4 x 2 v ± J y 2 - x 2 y'= — ----- — ----------- = :------ ------------, entonces 2*
de donde
4e ”>,/3 = (x + 2) 473 + k
x
(y ± *[y2 - x 2 )dx - jcrfy . La ecuación es homogénea
212)
/ 3- j y 2- * V + * V = 0
Sea y = ux => dy =udx + xdu, reemplaza ndo en la ecuac ión
Solución
( u x ±4 u 2 x 2 - x 2 )dx- x(ud x + xdu) = 0 , simplificando ? 3- y / 2- x 2y + x 2y = 0
=>
v'2( v'->’) - x 2(y'-y) = 0
(u ± Vw2 -1 )dx - udx - xdi/ = 0, separando lavariable 2
2
( y ' —x )( y' -y ) = 0 entonces n 7, ±Vw -l d x + xdw = 0
dx du _. c ? 1 => — + - = = = =0, integrando y = ~ x + — * V«2- i 2 2c
y ' = y
X2
y' = ±x entonce s y = ± ----- 1-c
2
=> y = c e x 133
II.-
Ecuaciones de la forma f(y, y') = 0 y f(x, y’) = 0. V V) dt +c x= | -—— - i V(t) y = y/(t)
Si en estas ecuaciones se puede despejar y f, resultan ecuaciones de variables separables. Por consiguiente, son de interés los demás casos. a)
por analogía con el caso b, se puede resolve r la ecuación / ( * , / ) = 0 introduciendo un parámetro t.
En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 se puede despej ar y, y = y/ ( y ’) haremos
y' = P
=> y = v(P ), diferenciando esta ecuación y sustituye ndo
dy por Pdx obtenemos pdx = y/' (p) dp
de donde
' ( p ) dp , dx = y ———
y
Integrar las siguientes ecuaciones: 253)
y= Solución
x _ f V (P\ dp + c , obtenemos la solución general de la ecuación en forma J P paramétrica.
dy ,2 v' y = y ey => ~ = P
dx
=> dy = pdx
y = p 2e p => d y = (2 p e p + p 2ep)dp
y = v(P )
b)
pd x = ( 2 p e p + p 2e p ) dp
En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 no se puede despejar y ni y' (o se despejan con dificultad) pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t. y = y(t) ,
+ p e p )dp = ep (p + 1) + c , por lo tanto:
\x =e p {p +\) +c
dv y’=y/ (0 , (p = , ) dx
entonces dy = p dx = V|/(t) dx , p or otra parte dy = y/'(t)dt de modo que: \i/(t)dx = \j/'(t)dt
x - J
ly = y 2e p
254)
y ' = e y'/y
=> dx = ^ -- - di de donde:
Solución
Y( t)
J y/(t)
por consigu iente, obtene mos la solución general de la ecuación diferencial dada en forma paramétrica.
=> d x = ( 2 ep + pep)dp entonces:
dy_ - p dx yl/y
=> dy = pdx
P = e ply
In p = -
y =
x =
255)
\ n p - \ , \ n p - \ dy = — -—— entonces pd x = ------- — (ln/>) (In V)
in p
dx
dy
---------- J dP
/>(ln p )
x = ln(ln p)-\ ------- + c In p
f ln/7-1
----------- d p
J P( ln p) 2
y =
= (2 p - 2 )dp
=> dy = { 2 p 1 - 2 p) dp
y = j ( 2 y 2 - 2 p)d p
=> y = ^ - - p 2 + c, porloitanto:
In p
x = lny'+sen y'
Solución
257)
y = y' \n y'
Solución
x = In p + sen p diferenciando dx = — + cos pdp P
y = p In p => dy = (l + ln p )d p => pdx = (1 + lnp)dp dy — = p dx
dy => dx = — entonces: p
l + ln/7
-J
dx = (-------- ) d p — = (— + cos p)d p P P y
=>
dy = (1 + p cos p)d p , integrando (1+ ln /?)
2
y = p \ n p
y = arcsen / + ln(l + y t2 ) Solución
Solución x - p 2 - 2 p + 2 dy dx = 2 pd p - 2dp , dx = — , reemplazando en la ecuación P
136
entonces:
(1 + ln p) x = --------^-L— + c
M K)
x = y' 2 -2y'+2
d/?
+ c , por lo tanto:
= J (1 + p cos p) dp = p( l + sen /?) + cos p + c y por lo tanto: x = In p + sen p y = /?(! + sen /?) + cos /? + c
256)
1+ In/?
y = arcsen p + ln(l + p ) , diferenciando se tiene dy =
dp
2 pd p
- J i - p 2
i + p 2
dp , entonces pd x = ■Ji~ 2
1
2 pdp ì+p 2
d x - — p f i l p i
259)
tintegrando x = í (— = L = = +
1+ P 2
J p ^ p 2
j ) d p por lo tanto 1+ /»
------
x{\ + y' 2) = \
Solución
1+ J l - p , x = 2 arctg /? - ln | --------------1+c P
x(l + / 2 ) = l => x = — i — => — = p l +y ' 2 dx
y = arcsen /? + ln(l + /?2)
1 , -2 pdp x -------- — ==> dx = ------- - - - - entonces: i+P2 a + p 2) 2
=> dx = ~ p
y = (y '- \) ey
Solución y = (p - l) ^
dy 2 p dp — ----------- T -r /> (1+ P 2) 2
diferenciando d y - e p dp + ( p - \ ) e p d p - p e p dp
pd x = p e pdp => dx = ep dp
=> x - e p +c
\x = e p + c \ \ y = (p - l ) e p
por lo tanto:
=>
2 p 2 dp . _ ífy = ----- integrando (1+ P 2) 1
f
y = - 2 — - - - - — haciendo p = tg 0 => dp = sec¿ 0 dO J (1+ P ) y
f tg20.sec20 d 6 e < c - 2 \ ------------— -— = -2 i sen 9d0 = -F (1- eos 20)¿0 1 J (1 + tg 0) •>
y = —(0 - sen 0 cosQ) + c = -(arctg p ----- ^ —-) + c
260)
1+
y 2 * - « 1"*
p
Solución p 2x = eVp
vp
=>
\
+
por lo tanto:
p ¿
=>
P
y = — — - - arctg p + c x =
eVp (\ + 2 p ) dx = - j - ^ - dp P
1 ----
l + p 2
x(l + / 2)3'2 =a dy
=-j
e 1 / p ( l - 2 p) , ------ —— dp
. t
.
Solución
por lo tanto: y = e V p (\ + - ) + c P
ellp
X =
----
r-
x( \ + y u )i l ¿ =a dy — = p dx
p
=> x -
(1+ / 2 ) 3/2
dy => dx = — entonces: p
x = -------1. (1+ P 2)V2
=> A dx =
£' y = ----- ^pdp P a V ) s,!
Sea y '= y t reemplaza ndo se tiene: y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando
~ 3PdP (1+ P 2)5'2
, _ 3p dp J « V ) !'! -----
=>
y - y t 4 - t 2 = 0
integrando:
=> dy =
>>= 1-t*
y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdO
como y ' - p
J ( \ + p 2) 512
y ( l - ; 4) = / 2 2 i 5 + 2 t
(1 ~ t A)2
dt
...(1)
=> y = -
y efectuando operaciones se tiene: y + c = -fl sen3 r
|
x = acos3 r
263)
¿fy = ----- T*dx i-í4
... (2)
>>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s de (1) y (2) se tiene:
Solución Sean y = ac os 5 t y / = f l s e n 5 í = p
dx = -
dy /?
-5a co s4 í.sení , asen* f
c . 4 , j,
dx = ^ - = ------------ ------- dt = -5c tg rdr -
t 2 r + 2í dt = ----- r dx de donde a - i 4 )2 '" i - í 4
2 (t +l)dt
. , ^C, A B C D El F , integrando x = —2 1(— i------------- h--------- + + — +— )di J t t t t + 1 - 1 t 1 04-l)í2 2 . t +1 x = - —+ ln | — - 1-2arctg t + c .2 y = .
dx = - 5ctgAt dt => * = -5 - ^ ^ -5 c tg / + 5í + c porlotanto:
i + r ¿65)
(p = yt)
x = y+ se n y
- _
^ -i. - 5c tg t + 5í + c 3 y = fleos 5 í. 264)
y * - y ' 4 - y y ' 2
Solución dy — = p dx
= 0
Solución
dy => dx = -±p
x = p + sen p => dx = dp + eos p dp
dy
= (1 + eos p) dp
=> dy = p (1 + cos p)dp , integrando:
ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll a)
1= J p( 1+ eos p)d p =
L a e cu ac ió n d e L ag ra ng e es d e la f or ma :
+ p sen p + cos p + c , por lo tanto: }>= ■ */(/) + (/)
x = p + sen p p 2 y = - y + />sen /? + cos p + c
266)
dy para re solve r estas ecuaciones se hace — = p de donde dy = pdx, reemplazando en la dx ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal de donde al resolverla se tiene la solución en forma paramétrica.
y = y '(1 + y'eos y' )
x = \i/( p,c ) p es un paráme tro {y = y/(p ,c)f (p) + g( p )
Solución Sea y ' - p
=> dy = pdx => y = p( 1+ p cos p) entonces
l>)
La ecuació n de Cl airo ut es de la form a y = xy'+ $(y ')
dy = (1 + 2/7cos p - p 2sen p) dp pd x = (1 + 2 p cos p - p 2 sen p )d p , separando la variable dx = (— h2 cos p - p sen p) dp integrando P x = (-—+ 2 cos p - p sen p) dp + c , por lo tanto: P x = ln p + sen p + p cos p + c y = p( 1+ p cos p)
... (1)
el método de resolver es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairout tiene la forma: y = ex + g(c) I a ecuación de Clairout puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones. y = xp + g(p) , x + g' (p ) = 0 Integrar las siguientes ecuaciones: 207)
2 y = xy'+y' ln y’ Solución y y \n y dy y = x — + -------- sea y = — = p => dy = pdx
2
142
2
dx
143
idiferenciando r P dx, + x—. h-----dp 1------\n p dp • j se tiene: dv7 = —
P i-------— P lnP y —x — 2
2
*
2
2
2
Sea y' = — = dx
2
dx 1 lnp + l , ---------x = ----------, que es lineal, entonces la solucion es: dp
p
entonces dy = pdx
y = x(l + p) + p 2 diferencian do dy = (1 + p)dx + xdp + 2pdp
p
pdx = (1+ p)dx + xdp + 2pdp entonces dx + xdp + 2pdp = 0 de dond e , ln p + 2 x ^ , x = p{ ------------- \-c) = c p - m p - 2 , luego: P x - pe - ln /? - 2
dx . — + x = - 2 p ecuación lineal cuya solución es: dp x = e l Jp[ j e l dp (~ 2 p) dp + c], entonces:
268)
j>= 2 ^ '+ ln /
x = e~p[- 2 j p e pdp + c] , por lo tanto:
Solución j x = 2(1- p)c e~p
Sea
y %= —
dx
- p
=> dy = pdx
y = 2xp + ln p diferencian do ¿/y = 2 pdx + Ix dp + — , de donde P
\ y = 2 {\ -p ) + ce p (1+ p) + p 2
270)
y = 2xy'+ sen y 1
Solución — + — x = ----- — es lineal, entonces la solució n es: p /> 1 r[—p + e]i = — C-------1 , por lo, tanto: x = —— P P P c 1
Sea y' = — = p entonces: dy = pdx dx y = 2xp + sen p , diferencia ndo dy = dxdp + 2pdx + cospdp pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp simplificando 2xdp + pdx + cospdp = 0 fa + 2 x _ +— = dp p
269)
. _ ; Í 7 , (J— , ecuación lineal x = e p [J p ( - ^ — ^-)dp + c]
y = x(i + y ) + y 2
Solución 144
eos p
x = e~'Dp[ - ¡ e lnp( ^ - ) d p + c] J
D
x = —y [ - í p eos pdp + c] , por lo tanto:
x = ----- —:- [ -( - — h — í—) + c ], por lo tanto: /i 2/7 ( p - 1)2
c eos p x = - —- — - sen p + - y P P 2 c 2 eos p y --------------- —- sen p P P
271) y
cp + 2 / ? - l
2 p 2 ( p - l )2 cp 2 + 2 / 7 + 1
1
2(/7-l)
p
y = xy '2- - i
272)
y = - x y ,+e>;
Solución Solución dy y' = — = p entonces dy = pdx dx
y ' = ^ - = p => dy = pdx dx
y = x p 2 —— diferenciando dy = p 2 dx + 2 pxd p + ~ , reemplazando P P pd x = p 2dx + lp xd p + ^r - dedonde ( p 1 - p)dx + 2 pxd p + —^ j = 0 p P — + ——— x = --------- ------- , simplificando dp p 2 - p p 2( p - p )
3 xp + y = — 2
3 3 pdx + ep dp , reemplazando diferenciando ¿(y = — xdp + — 2 2
pd x + e pdp de donde y dx + y xdp = -e pdp />dx = — xdp + —
dx 3 ep J— 2 ^ — +—x= -2 — , ecuación lineal cu ya sol ución es: x= e p [| e p ()dp+cl dp p p J P ----
— — — * = -------- í------, ecuación lineal cuya solució n es: dp p 1 p \ p - 1) x = e 3lnp[-2 í e 3Xnp — dp + c ] =-^—\- 2 p 2ep + 2 pe p - 4 e p + c ], por lo tanto: J P p
.f-L* j V 1 [ í e p (-------------- )dP+c]
J
p3(p~l)
x = e - w p - » [J e i w p - » _ j E _ + c ] = i p \ p - 1)( p - 1)2
x= c P _
' {J P - ± dp+ c] J p 3
2^ epp (A-------2 + —2) P P P
y = * - 2 ^ ( 1 - A + J _ )
2P ¿
P
P
275) xy' 2- y y ' - y ' + 1= 0
273)
Solución o dy = p y , = — Sea dx
y = xp + P
Solución xy '2 -yy'-y'-t -1= 0, expresamos en la forma siguiente:
dy = pdx
dV , 1 t y = xy + — 1 , -f-=7? y dx
dp , reemplazando diferenciando dv = xdp + pd x * P
pd x = xdp + pd x - —^ dp de donde (x - ~~ )dp = 0 P P
y = xp-\ ------ 1 diferenciando dv = xdp + pdx - P ' p
=> x = —— P
pd x = xdp - pdx -
dp = 0 => p = c, Luego: x =
y + ]= x c + -
y - xy ’+y'
como * = - y c
Solución
y - x p + p
=> dy = pdx
276)
=> (y + l)2 =4 x
y = xy '+ a^ l + y '2
Solución »2
i -yy'-y'+ 1= 0 , expresamos en la forma siguiente:
1 i , y
luego:
y = xy + - - l
[ y = XC + C
c-l , ademas: c
-------
(y + l ) 2 = x2c2 + \ + 2 x c2
diferenciand o dy = xdp + pdx + 2pdp
pdx = xdp+ pdx+2 pdp de donde (x + 2p)d p = 0 => x = -2p => dp = 0 => p
148
=>
reemplazando
de donde (x — \~)d p = 0 => x = - í - p = c, x = — P P c1
y = xc -f — 1 => y - xc c
C
dy Sea y' = — = p dx
P
1 f
2 a
v = xc + 274)
=> dy = pdx
V= xp + — -1
dy ~j~ = p
dx
=> dy = p dx
diferencian do dv = xdp + pdx -
reemplazando
pdx = xdp - pd x -
1 t
y = xc + —-1 c V+ 1=XC
dp
1 ~ 1 1 de donde (x — , dp = 0 => x = — , p = c, * = — p : P c
p 2
c -1
=>
y = xc - —
278)
Solución , ademas;
C
+ ™ => c
(y
+U2
^ ---1; * = —+ y y ’2
- X 2C 2 + - ^ r +
c
2x
J 1 X= - + 3 7
dx .dx. 2 => x = y — + (— ) ¿ dy dy
dx o Sea —- = p dy
=>
dx = pdy
x - p y + p 2 => dx - pdy + ydp + 2pdp reemplazando
pdy = pdy + ydp + 2pdp entonces: (y + 2p)d p = 0 => y = -2p 277)
xy'+
üy
dy = 0 => p = c => y = -2c
J 7 / 2
x = cy +c 2 , 4 x = - y 2
Solución Sea y' - — = dx
¿/9)
=> dy = pdx adp . . diferenciando av = /wx + .rap + , ■v1+ /,:
ap y = xp + —-----
Vl + P 2
apdp
----
----- j- y y
(1+ -P }
Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante s = 2 a 2 . Solución ^ 2 be s = 2 a = —
, . , a(l+ p 2 ) - a p 2 pd x = pd x+ xd p+ -------,— dp
4 a 2 = be
d (* + --------r—7-T-)dp = 0 => (1 + /J2) 3/2
4a2 —= b 2 además v'= — c c
(\ +p 2)v2
dp = 0
Cl JC=- ----- , (1+ /?2 )3/2
4 a 2 y ' = b 2
=> p = c
4 a 2 - = b
=> b - 2 a y ' x n
La ecuación de la recta tangent e es y = mx + b que al reemplazar se tiene: y = xc +
l
*Í=
^ +c2
,
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 y = y' x + 2 ay 'x' 2
Sea — = p dx
2
=> dy = pdx
L2
a = b +c
y = px + 2 ap 112 => dy = pdx + xdp t- ap 1 2dp , reemplazando
2
, b a2 b2 , b 2 L l í b 2 ; ——= —- + 1 entonces: a — = b (— + 1); pero y = — c c c c C
a 2 y '2 = b 2 (y ' 2 +l)
;
b=-^L=
Vi+y2 pd x - pd x + xdp + ap ~i n dp , simplificando a (a + —==)dp =0
=>
La ecuación de la recta tangente es: y = mx + b reemplaza ndo
a x = — =
VI+ / 2
dp = 0 => p = c =>
2a2
c=
x- 4~c a 2x
y = ex + 2
a1
2a 2 , simplificando * a y 27 = —
=>
aP y = p x + - ¡i +=p r pd x= pd x+
x 22y 22 = a 4
por lo tanto:
aP 2 J J -> / a VJ d y= p d x + x d p + ii^ jr\ +^ p~ i (i T +7 p ^) 2 )dp
*
adp~~ +xdp => (x + ------ ^ r j j j ) d p = 0 => x = -------- (l+ />2)3/2 (l+ />2) 2 (1+ p 2)V2
----
a (i+/ 72)3/2
y = P(~ —----- TTTT ^+ r
xy = ±a
Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a.
=> dy = pdx
además dp = 0 => p = c .
280)
de donde — = p dx
y = y' x + ty -- .
V/7
ap
-----
^/T+7
, ap + ap(l + p 2) ’ simplificando 7 . 3/2
------
3
_ 1 /3
r ------- =» (l+/> )
_ 2/ 3„
(1+ /? )
Solución x —
(i+ /?2)
2 3/2 (i+/> )
*
1/3
=
a„ 1 / 3
(i + p )
=•
-< l)
1+ ^ „2/3 2/3
i + p
de (1) y (2) se tiene: _ 2/3
2/3
2
x 2 / 3 + y 213 = ----- —+ ------- simplificando
1+ /72
1+ /?2
x2/3+ y 2/3= a2/3í l ± 4 2 = «2/3 por lo tanto:x 2/3 + y 2/3 =a 2/3 l + />
^
i 1/2^ X =2~••
COMPOSICION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAS FAMILIAS DE CURVAS, PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
donde a¡, a 2 ,—,a n son parámetros, derivando (6) respecto a x, n veces y eliminando los parámetros a 1 , a 2 ,. .., an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma: F(x, y, y' ,y ",. .., y(n)) = 0
1.
Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas.
esta es la ecuación diferencial de la familia n-paramétrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6) es la integral general de la ecuación (7).
Consideremos la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas. Y l|r(x,a)
(a es un parámetro)
... (1)
2.
... (1)
... (2)
dependiente de un parámetro “a”. La curva que en cada una de sus puntos forma un ángulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto, se llama trayectoria
eliminando el parámetro “a” entre (1) y (2) se tiene la ecuación diferencial. f ( x , y , y ' ) = 0
... (3)
71
isogonal de la familia. En particular, si a = —, se obtiene una trayectoria ortogonal.
esta ecuación expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1). La ecuación (3) es la ecuación diferencial de curvas se determina por la ecuación.
... (4)
se obtiene la ecuación diferencial eliminando el parámetro “a” entre las ecuaciones. ... (5)
154
a)
Trayectorias Ortogonales.Se forma la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas. F( x,y ,y’) = 0
F ( x , y - — ) = 0
y
(2)
... (3)
la integral general de esta ecuación es:
Supongamos ahora que se da la relación <¡>(x,y,al, a 2,... ,an ) = 0
Suponiendo la familia (1) buscaremos las trayectorias isogonales.
La ecuación diferencial de la trayectoria ortogonales tiene la forma:
(¡>(x, y,a ) = 0 A d + d ± . y ' = 0 dx dy *
Problemas de Trayectorias.Consideremos una familia de curvas planas.
Derivando (1) respecto a x, se tiene: y' = v[ ( x , a )
... (7)
... (6)
0, U ,y,c) = 0
... (4)
proporcio na la familia de trayecto rias ortogonales . Supon iendo que la familia de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares.
282)
x 2 - y 2 =a x
Solución ... (5) x 2 - y 2 - a x
d(¡) donde a es un parámetro, eliminando el parámetro “a” entre (5) y = 0, d\f/
x 2 - y 2 => ---------- = a derivando
----
obtenemos la ecuación diferencial de la familia (5).
x (—
F ( p , y / , p ' ) = 0
Jt
\ yy ) - ( x 2 - y 2 ) = 0 => 2 x 2 - I x y y ' - x 1 + y 2 = 0
por lo tanto: x A +. y,.2 - 2 xyy' = 0 Sustituyendo en este p' p o r
obtenemos la ecuación diferencial de la
----- -
familia de las trayectorias ortogonales. F(p,v
b)
p
283)
Solución o
y = aexla =>
Trayectorias Isogonales.-
a=— y
Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada bajo un ángulo a, donde tg a = k. Se puede demo strar que la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma:
l + ky’
v'= — a
'
=> y = — e x/a => y ' = e x/a y
por lo tanto: 284)
X
= a =>
y = -^ — e lny entonces y l n y '= x e lny ln y
Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas. y = -
ex/a
lny'= — => a = ------ como y = aexla entonces: a ln y'
y' -k F ( x , y , - f - — ) = 0
281)
y = aexla
y ln y'' = xy'
y = c x - c - c 2 Solución
Solución Entonces y - — => xy = a, derivan do y + x y' = 0 x
y = c x - c - c 2 => y' = c => y = y ' x - y ' - y '2 entonces: y '2 -xy'+y'+y = 0
285)
2c 2 3 _ y - —y x / ' = 2c2 derivando
y = ex (ax + b)
Solución 3* 2y + * V ,,8=o => y = e x (ax + b) =>
/" + -/ '= o X
— = ax + b derivando 289)
(x-a)2+(y-¿)2=1
6 ^ .. .... = a => ^™— = a derivando
e..S Z. — ¥-1 — e ^
286)
Solución
?).. = 0 entonces y' - 2 y' +y = 0
y 2 = 2 cx + c 2 y 2- y 2 ( x - a ) 2 = ( x - a ) 2 =>
Solución y 2 = 2 cx + c 2
=>
yy' = c
y
=> y 2 = - 2 cx-hc 2 entonces
y 2 = 2 xyy' '+ y 2 y '2 por lo tanto: y y '2 Y2xy'-y = 0
287)
y - a x 2 +bx + c
290)
y
= *~a
y = ( i + y 2 ) 3/2
a * / 2.)3 =>
288)
=> y " = 2 a
Solución Cj y = qx + — + c3 X
c2 , => y = c 1 — y X
----------- 7TT37T = 1
y - c xex +c2e x Solución
=>
y'
y = c¡ex +c2e
=>
exy = cle 2 x +c 2 entonces
e x y + y ' e x - 2 cxe lx =>
y = c1x + — + c3 x
=>
y ,2 = ( i + y 2 ) 3
Solución y = ax2 +bx + c => y ' = 2 ax + b
y 2 = (l + / 2 ) ( x - a )2
e x ( y '' + / ) ” ( y + y y * ...
y \ xu
por lo tanto
= 0 =>
y ' f- y = 0
= 2c¡ derivando
y ’+y '-y'-y = o
291)
„
y = asen( x +a)
É L - n - i,
y = ax ” => — = a derivando --------------- — , -= 0 X n
Solución y = a sen(x + a )
=>
y
cambiando
- ------= a derivando sen(x + a )
-----
sen(x + a) /-y co s(x +_ g )=0 sen (x + a)
^
tg(x + a) = ^ y
294)
dx
por — — se tiene: dy
— - n y = 0 integrando
-x
- ^ - - n y =0 dx
d y '
x2
y
+ ny 2 = c J
y = ae** , constante
Solución
y' 2-yy"
x+a = aretg^- => 1 = — ^— entonces 1 = - y' 1 +( Z )2 / 2V y' de donde y 2 +yy " = 0 => y" +y = 0
=> y' 2+ y 2 = y ' 2~yy"
y = aeca => — e u- t dy cambiando —
dx
Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas. 292)
entonces
X 2n
e°*$L-aea*y — ----------= 0 => — ~ ay = 0 e dx
- a derivando
-----
dx dy
dx dy
dx dy
p o r ----- se tiene: ---------- ay = 0 = > --------- t-av = 0
=>
2 dx + aydy = 0 integrando x + ~ ~ = b entonces 2 x + a y 2 =c
y 2 +2ax = a 2 , a> 0
Solución 295) y 2 + 2 ax = a 2 =>
eos y = ae x
2 yy'+ 2 a = 0 => yy '= ~a
Solución reemplazando en y 2 + 2ax = a 2 se tiene y 2 - 2 x y y ' = y 2 y '2 => y - 2 xy' = y y '2 eos y = ae~x => e x eos y - a derivando dy dx ,dx. 2 , . . dx cambiando — p o r se obtiene y + 2 x — = y( — ~) dx dy dy dy -----
resolviendo la ecuación se tiene: 293)
y 2 - 2 bx - b 2
y = ax n, a es un parámetro.
Solución
e x eos y ~ e x seny.y= 0 => cos y-se ny — = 0 dx
u• a cambian do
dy dx —- por — — se tiene: dx dy
ln se ny + x = b
=> sen y = c.e~x
dx eos y + sen y — = 0 => ctgy dy + dx = 0 ' dy
296)
?
1 7
2
x + 2 y
dy
o
=>
4 t - 4 t ‘ 0 y kA x k~l
Solución 2 x + yy' = 0 77
=> 2 x +
dy dx dy y — = 0 cambiando — por - — se tiene: dx dx dy
y k~2 ( k —2)
+
*-------= 6 entonces: — ------ -í-—= b(k - 2 ) para k * 2 x a_2(A:- 2) x ^ 2 y * '2
dx dy dx para k = 2 => x - y — = 0 = > ----------= 0
2 x - y — = 0 => dy
2— y
x
dy
= 0 , integrando 21ny- lnx = lnc , entonces:
y
x
lny — lnx = lnc => y = ex
y 2 = c —
=> y 2 - e x 299)
297)
x 1 + y 2 = 2ay
x 2 - y 2 = a 2
Solución
Solución
2 rs ? x 2 + y2 . x ~ + y = 2 ---------- = 2¿z derivand o
y
x 2 - y 2 = a 2 => 2x -2 yy ' = 0 entonces:
dy dy dx x —y —-—= 0, cambiando — por — — dx dy * dx
y ( 2 x + 2 y — ) - ( x 2 + y 2 )— = 0 entonces:
dx . x + y — = 0 => dy
2xy + 2.y2 ^ - - ( x 2 + .y2) — = 0 dx dx
dy dx — +— = 0 y x
integrand o lny + lnx = lnc, p or lo tanto: yx = c 298)
x k + y k = a k
Solución
162
dx
dx
dx , • j dy cambiando — p o r entonces: dx dy -----
dx 2 xy + (x2- y 2)— = 0 de donde (x2- y 2 )dx + 2xydy = 0 dy
x k + y k = a k => kx k~x + ky k~xy '= 0 entonces:
sea y = ux => dy = udx + xdu entonces (x 2 -w 2x2)dx + 2x 2«(wdx + xdw) = 0
x k~x + y k~x — = 0 cambi ando — por —-77 dx dx dy
(1 -u )dx + 2 u dx + luxdu = 0 => (u +l) dx + 2 uxdu =0 163
—+ . du = 0 => x 1+ u x(\ + u 2) - c
300)
lnjc + ln(l + « 2) = lnc 302)
=> x 2 + y 2 = c x
y 2 = 4 ( x - a )
Solución dy y a dy dx 2 ^ „ y = 4 ( x - a) => 2 yy = 4 entonces y — - 2 cambiando — p o r -----dx dx dy
x 2 - j y 2 = a 2
Solución x 2 - i y 2 = a 2 => 3
2x -^ y~ =0 3 dx
dv dy 3 x - y — = 0 cambiando — por y dx dx 3x+y— = 0 dy
301)
ln y 2 = —x 4-c entonces y 2 - b e ~ x
dx — — dy
=> 3 ^ - + — = 0 integ rando 31ny + lnx = c => y 3 y x
p = a(l + cosy )
p = a( l+ co s\ |/)
dx . dy - y — = 2 entonces -d x = 2 — entonces -x = 21ny + c dy y
Solución =>
----
1
----
-
= a derivando
+ eos y
dp
(1 + eos y/) ——+ sen y/ .p dw (1 + cost//)2
------------------------------ = 0
entonces:
dp (1 + cosí//)— + sen y /. p = 0 cambiando dp
-
dp p 2 = ------ dy p
2 (1 + eos y/)(— ) + sen y/.p = 0 => (1 + eos y)pd\|/ = seny dp = 0 P'
1t 22 ^Ld\¡/=— integrando ln|cos^a//-ctgy/|+ln|seri//(=ln/?r => l-cosv|/ p seny/ 164
A la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia (4), siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia (4).
SOLUCIONES SINGULARES) Una solución y = \j/(x) de la ecuación diferencial.
Si (4) es la integral general de la ecuación (1), la envolvente de la familia de curvas (4), en caso de que exista, será una curva integral singular de esta ecuación.
f ( x 9 y ,y ') = 0
Se llama singular, si en cada uno de sus puntos, se infringe la propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0)» además de esta solución, pasa también otra solución y = \|/(x), pero que no coincide con esta última en ningún entorno del punto ( jc0 , y0) arbitrariam ente pequeño. La gráfica de una solución singular se llamará curva integral singular de la ecuación (1). dF 3F Si la función F(x, y, y') y sus derivad as parciales y son continuas con dx ^ 9 / respecto a todos los argumentos x , y, y ', cualquier solución singular de la ecuación (1) satisface también a la ecuación.
En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x , y, y1 coinciden con los valores correspondientes a la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y); por consig uiente, en cada punto de la envolven te los valores: x ,y ,y ' satisfa cen a la ecuación F ( x , y , y ’ ) = 0, es decir, la envolvente es una curva integral, por otra parte, en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto de la misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección: La envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto considerado. lis consecuencia, la envolvente es un a curva integral singular. Por el curso de análisis matemático se sabe que la envolven te forma parte de la curva c-discriminante (abreviadamente CCD) determinada por el sistema de ecuaciones.
dF(x, y, y ) =0 dy'
y/ (x ,y ,c ) = o ' dy(x, y , c) de
por consigui ente, para hallar las solucio nes singular es de la ecuación (1) hay que eliminar y’ entre las ecuaciones (1) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y’ : ... (3) Se denomina P-discriminante de la ecuación (1), y la curva determinada por la ecuación (3). Curva P-discriminante (abreviado, escribiremos: CPD).
Una rama de la CCD es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones Niguientes: I-
Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone en unas cuantas ramas. En este caso se debe averiguar si cada una de éstas por separado es solución (1) y en caso afirmativo se debe de comprobar si es solución singular es decir, si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos. Se llama envolvente de una familia de curvas. <¡)(x,y,c) = 0
Las derivadas parciales,
dx
y
dy
, existen y sus módulos están acotados.
| ^ | Ú M , \ ~ \ ^ N dx dy
...(6)
donde M y N son constantes. '
... (4)
...(5)
W „ di „ — * 0 , o sino — * 0 dx dy
. .. (7) 167
Observación 1.- Las condiciones 1) y 2) solamente son suficientes, por lo cual, pueden ser envolventes. También las ramas de la CCD en las que no se cumple alguna de estas condiciones.
Luego:
A la envolvente (E) Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (c Al lugar geométr ico de los puntos cuspidale s (o de retroceso)
Ap = E£2.R
... (1) ...(2)
2 Ahora eliminando y 1 de estas dos ecuaciones de (2) se tiene y' = — y reemplazando en (1).
Obs ervac ión 2.- En el caso general, el P-discriminante contiene: 1 2.3.-
f(l + y 2 ) y 2 ~4yy' - 4x = 0 l yy '= 2
). (R).
4 7 o (1h— j ) y -8 -4 x = 0 ==> y + 4 - 8 - 4.x = 0, de donde y
-.(8) y 2 = 4*+ 4
El c-discriminante contiene: 1 2.3.-
A la envolvente (E) Al lugar geométrico de los puntos anocdados al cuadrado (A ). Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (i? ) .
304)
y '2 - 4 y = 0
Solución y ’2 - 4 y = 0 , derivando con respecto a y 1
Ac =E.A2.Ri
(9)
2 y' = 0 entonces y' = 0
Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación diferencial.
Luego:
Esta figura tanto en la curva P-discriminante como en la curva c-discriminante a la prim era poten cia, circuns tancias que fa cilita l a averiguación de la solución singula r. ,
En los siguientes problemas, se necesita hallar las soluciones singulares, si esta» existen. 303)
y '3 - 4xyy'+Sy 2 =0
Solución y' 3 - 4xyy'+%y 2 = 0 , derivando con respecto a y'
(1 + y'2 )y2 -4yy'-Ax = 0 .
305)
¡y '2 - 4y = 0 < , de donde y = 0 [ /-O
Solución 3 y '2 - 4 xy = 0 => y ' =
(1 + y a ) y 2 - 4 y y' - 4 x = 0 , derivando respecto a y' i 2y' y - 4 y = 0 => y '= —
2
2 ,— ,— SxyJxy 8 xy Jx y ,— * — 3*j3 -----------------------------------------T¡3 ^+ =^entonces: x^Jxy-
3 x^Jxy + 3^3
9x10
- 2x-sfxy + 3-JJy ■ O 3 ^ 3 y - 2x*Jxy
=> 2 1 y 2 =4x2.xy => >’(27 >'—4x3) = 0
entonces: y = 0 => 306)
4* 3
4y + x 5 =0
309)
y(y-2j^’)2 =2y Solución
y ' 2 - y 2 ** 0
y ( y - 2 xy ') 2 = 2 y' derivando respecto a y \
Solución
2 y ( y - 2 xy ’)( - 2 x) = 2 => 2 y ( y - 2 xy ') x = -1
y 2-y 2 =0 , derivando con respecto a y \ 2 y' = 0 => y = 0 de donde y = 0, de acuerdo a las condicio nes establecid as no tiene solució n singular. 307)
Q 3 9x 10 -1 3x 5y = 0 => - ^ — ( x 5 - 2 x 5 - 4 y ) = 0 2 4 "
2xy2+l entonces 2^ xy 2 - 4Ax 2y y , ——l1 => y , = — — 4x2y
y ^ ^ J y 2 + a . ¿Para que valores del parámetro a tiene esta ecuación solución
singular?
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: Solución
_
, 2 x y 2 + lvx2
_
+ a » de acuerdo a las condiciones establecidas para hallar soluciones singulares se tiene que los valores de a es a = 0.
y - ^ ¡ y
308)
4x y
- » /2 x y 2 + L
)) = 2(— ..
2xy +1 2 _ 2xv +1 2^ 2 x 2y
(xy'+y )2 + 3jc5(xy'-2y) = 0
Solución
......
4 x j
)
2 xy - 2 xy -1 2 2 xy }
/ 1 2xy +1 1 2 xy + 1 y{ — t ~ j ) = ;— => — r~ = ------------?— 2x y 4 x y 2x y 4 x y
(xy'+y )2 + 3x5(*y-2>0 = 0, derivando respecto a y '
2 x y 2 +l 2 x 2y
entonces: 1= 4xy2+2
por lo tanto: 4 x y 2 = -1 2x(xy’+ y) + 3x6 = 0 => y '■ -
2 jc
310)
8y3-12y2=27(y-x)
Luego reemplazando en la ecu ación diferencial 3x^ ■+*2y
2 ^ 5/
+ 2 y
------ — - + y )2 + 3jT (-----------
170
A - 2 y) - 0
Solución
8y3-12y 2 = 2 1 ( y - x )
derivando con respecto a y' 171
2 4/2-24 /=0 entonces:
=> y ( y - 1) = 0 => y'= 1
8 -1 2 = 27 (y- x) por lo tanto:
313)
(xy'+y )2 = y y \
y(c -x) =c 2
Solución
4
y = x ~ —
Eliminando c del sistema 311)
íy(c -x) =c 2 \ y = 2c
(/-l)2=y2 Solución (y -1 )2 =
y ( c - x ) = c 2 => y ( - - x ) = — 2 4
de donde (1-1)2 =>'2
entonces y = 0 pero esto de acuerdo a las condiciones estable cidas no es solución singular por lo tanto no tiene solución singular. Mediante el c-discriminante, hallar las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden, sabiendo sus integrales generales. 312)
y = xy'+ y' 2,
314)
ic x + c 2 = y^
(
=>
x2 4
„ o,.
y 2y , 2+ y 2 = l
Eliminando del sistema:
= >
y
=
^
c= x
2 reemplazando en ex + c .-=, y reemplazando en la ecuación 0 + y 2 = 1 => y = ±l
2 y
^
, (X- C)2 + y 2 =\
j ( * - c ) ! + / - l [-2(x-c) = 0
como satisface en la ecuación diferencial entonces y = ± ls on soluciones singulares.
x2 4
---- --- --- -—
x2 x2 es como y = ------ es solución de la ecuación diferencial entonces y m ~ 4 solución singular. 172
_
Solución
x c=—
x + 2c = 0 ---------- =
y
y = cx + c 2
Eliminando c del sistema
x2 2
^
como es solución de la ecuación diferencial entonces y = 4x es solución singular.
Solución
------------- +
2
reemplazando en la ecuación
y 2 derivando con respecto a y'
2 ( / - l ) = 0 => / - I
c = y_
315)
y ' 2 -yy'+ex = 0 , y = cex + c
Solución
4 x 2 - 9 y 2 + 6 x y - x
Eliminando c del sistema 1 y = ce , + — c =>
=0 simplicando 3x2 +6;c y-9y 2 = 0
x 2 + 2 x y - 3 y 2 = 0 c = e_-.t/2
(x + 3y)(x —y) = 0 =>
como son soluciones de la ecuación diferencial entonces y - - — , y = x son 3 las soluciones singulares.
reemplazando en y = ce* + - => y = e" " V + eJr/2 c y = ex l l + e xn = 2 e x' 2
317)
como y = 2eJt/2 es solución de la ecuación diferencial entonces es solución singular. 316)
y =- | , y=x
y = Xy '+^a2y '2 +b2 , y = cx ^ a 2c 2 + b 2
Solución Eliminando c del sistema:
3xy' 2 -úyy'+x +2y = 0 , x2 + c(x-3y ) + c2 = 0 y = c x ^ a 2c 2 + b 2
Solución 0
= W a V + ¿ 2 + ,* -,• ...(2) VaV+62 de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos c, obteniéndose la ecuación:
Eliminando c del sistema. x 2 + c(x-3 y) + c 2 = 0 x - 3 y + 2c = 0
x2 y2
_ 3 y - x 2
——+ ——= 1 la cual es so lución de la ecuación diferenci al, p or tanto: a b
reemplazando en la ecuación
x 2 y2
— h— —= 1 es la solució n singular. a b
x 2 + c(x-3y) + c2 =0
2 ✓ ^ x 3 y - x , 3 y - x x2 x ¿ + ( x - 3 y )— ----- + (— -----) 2 = 0 2
x2(
^ 2
+( W 4
...(1) 2 2
Diversos Problemas
2
Integrar las siguientes ecuaciones
=0
118)
( y - y 3 )dx + (I xy 2 - x - a y 1 )dy = 0
Solución
2
x’ - S 'z f L . o 174
( y - y 3 )d x + ( 2 x y 2 - x - a y 2 )dy = 0 entonces:
r sen jr-jrcos;r ,
( y - y ^ ) — + 2 x y 2 - x - a y 2 = 0
dy
----
~ln
*.e¿zp.jsL cslinM,
dy
y- y
----
J
y- y
-
r ln-----senxcosx-x , sen x x------------------ dx + c] sen
x ‘ = e s e n xsen [ \ xef |
xsenx xsenx
sen x r r sen x eos x - x , x J sen x
t 2 y -1 [ 2 y -1 JJ — I ------J rT»? dy r ct Jj^ ~ rT°y dy n.v2 v-v V- V - V L ^ dy+ c] = [je y~y
*
r sen x- * eos .v
_ ------------dx r I — ---- dx senxc osx-x , _ Y\ e xsenv ------------------dx + c] x - e J x se n x J x sen x
entonces:
x = ---- [ ---------------- dx + c]
entonces:
y - y
sen x (jn sen x + xc tg x - ln sen x + c) por lo tanto: y --------
319)
esenx
y = eos x + --------
y '= (x - y ) 2 +1
Solución
321)
Sea z = x —y => y ' = \ - — entonces dx y ' - ( x - y )2 + 1 => dz ---- 7 ~
z
^
1 z
1 — — —z 2 + 1 dx
— = X+C =>
entonces: i 1 => A- y = -------JC+ C x + c
z = ------
de donde y - x — * x + c 320)
x
x - a y 2 + c y ^ l - y 2
calculando las integrales se tiene:
— + y c o s x = y n senl lx , n * l dx
Solución — + y c o s x = y n sen2x dx
=>
.y
sea z - y Xn => — = (l-w )y dx
dx
dx
* ^2 + eos x.z = sen 2x entonces: 1-n dx
x senxy'+(sen x - x eo s x) y - se n x eo s x - x Z
=e
-f(l-n)cosjr¿r
J
f
í(l-«)cos *áx
[ eJ
-fcos x.j;1 " =s en 2x
— + (1- n) eos x.z = (1 — n) sen 2x dx
(1- w ) sen 2x dx + c]
Solución x sen xy'+ (sen x - x eos x) y = sen x eos x - x dy s e n x -x c o s x senx-cosx -x _ + ---------------- = -------------------------- entonces: dx xsenx xsenx
z = e (n_1)sen x[ j e (1~n)sen* (1 - n ) 2 sen x. eos xd x + c] 2 ^ (n-l)senx y 1- n = 2se nx + ------+ cev ' «-1
177
322)
Es una ecuación homogénea
(jc3 -3 xy 2)dx +(y* - 3 x 2y)dy = 0
Sea x = uy => dx = udy + ydu reemplazando en la ecuación diferencial
Solución
(5uy 2 - 4 y 2 - 6u 2 y 2){udy + ydu ) + ( y 2 - 8 uy 2 + 2.5w2y 2)rfy = 0
dM = - 6 xy dy dN_ = - 6 xy dx
M = x i - 3 x y 2 N = y 3 - 3 x 2 y
(5w2-4j/^6w3 + \-%u + 2.5u2)dy + y (5 u -4 -6 u 2)du = 0, simplificando
dM dN , como -----= — la ecuación es exacta entonces dy dx
(6 u 3- 7.5u 2 +12« -1 )dy + y( 6u 2 - 5u + 4)du = 0, separando la variable
3 f(x,y) tal que
dy 6«2 -5« + 4 „ . — + — ---------------- — du = 0 , integrando se tiene: y 6« -7. 5« + 12« -1
dx
= M
-
de donde - - - - - - - = x 3 - 3 x y 2 integrando dx / ( * , y) = J ( x3 - 3 xy 2 )dx + g ( y )
x
3x
/(*> y) = —-----— y 2 + g( y) dy g' (y) = y
lny + —ln|6 «3 -7.5« 2+ 12 «-l|= lne 3
entonces:
po rlo tant o:
derivando
324)
i
(3x^2 - x 2) + (3jt2.y-6j>2 -l)rfy = 0 Solución
r4
ÍA/ = 3xy2 - x 2
y =>g( y )= — + c entonces 1x2 v 2
v4
[w = 3x2y-6j> 2 - l x 4 + y 4 - 6 x 2 y 2 = k
de donde —= « v
15x2j'-2 4x> >2 -1 2 x3 + 2y 3 =c
=- 3x 2y+ g'(y) = N => - 3 x 2y + g ' ( y ) = y i - 3 x 2y
f ( x , y ) = — — + ^ - + c po rlo tanto:
323)
+ ydw) + (1 - 8« + 2.5u 2 )dy = 0
(5w - 4 - 6 «2
SAZ , —— = 6 xy dy dN £ — = 6xv dx
dM dN . como ----- = ----- la ecuación es exacta entonces dy dx
( 5 x y - 4 y 2 - 6 x 2)dx + ( y 2 - 8 xy + 2.5 x2) dy = 0
Solución
3 f(x,y) tal que
dx
= M , dé donde:
dx
- = 3xy2- x 2 integrando V
f 3.x2y2 x3 2 2 /(x, y)= J (3xy - x )dx+g{y) entonces: f ( x , y )=—^----- -+g(y) derivando
326)
(2xyex -xse nx) dx + ex dy = 0
Solución ~ ^ - = 3 x2y + g ' ( y ) = N 5y g' (y) = -6>’2- 1 2 2
=> 3 x2y + g '( y) = 3 x 2y - 6 y 2 -1
fdM
1 M = 2xyex - x s e n x
=> g(>’) =
N = e x2
3 - y + c entonces
3
f{ xyy ) - —~ - - —2y3-j>+ c por lo tanto:
=* dN
1* dx
= 2 xe* = 2 xe x
dM dN y .. , , como ----- = — la ecuación es exacta entonces dy a*
9x 2 y 2 -3 x 2 - I 2 y * - 6 y = k
325)(j> - jcy2 In x)d x + xdy = 0
3 f(x,y) tal que
Solución
Se
=M de donde:
dx
-- = 2xv^ -xs en x , integrando
f ( x , y ) = | (Ixye *1 - x sen x)d x + g(y)
2 2 dy xdy + ( y - x y lnx)d x = 0 => x — + }>= xy In x , Bernoulli
dx
f (x, y ) = y e * + xcosx -senx + g( y) derivan do con respecto a y se tiene: dy 1 2 2 — + —J = }> In x , multiplican do por y dx x y
-2
4y -l , - + -1 y = ln x, sea z = y-l
dx
x
dz 1 — — + —z = ln x dx x r
z - e
dx r
df(x,y) = ex + g\ y) = N de donde ex + g \y ) = ex => g(y ) = c entonces dy
dz dy = y _2 -f => - — dx dx
dz 1 .,t ., = > -------z = - In x , ecuación lineal cuya solucion es: dx x
f (x, y) = yex +x cos x-s enx +c , por lo tanto:
327)
2y'+yl + \ = 0
Solución
dx
x [J e x (- In x) dx + c ], efectuando la integral
2 y '+ y 2 +—j = 0 r 1f ----ln* dx j + c]1 => y -1 —x(/--------t o2 x + c) z = x[J x 2
1 , In 2 x + k ^ _ , 2 —= x( ------------- ) => 2+ x^ ln x = kxy
/. yex +x cos x-s enx = A:
=>
2 x.i¿ ~dy+ ,(/x„ 2¿y. . 2i +l ) = 0 *
2 x 2dy + (( xy )2+1 )dx = 0 entonces u sea u = xy => y = — => x
, xdw - udx dy = ------ -----x
181
_ 2.xdu-udx. . 2 ^ 2x (------ -----) + (u + \)dx ~ O entonces: x -
330)
4x3y2dx + (x4 -2 x 4y-l) dy = 0
Solución 2 x d u - 2 udx + (u 2 + l)dx = 0 => 2 xdu + (w-l) 2dx = 0 du dx
2 jc v -1
328)
y’=-
^
= c- lnx
2
=>
dx t x ( l - 2 y) _ 1 dy 4 y 2 4 x 3y 2
dx + x 4 - 2x 4y - l _ ^ dy 4 x 3y 2
, 2 ---------- + — = 0= > ---------- + ln x = c (w-1) x M-l ^
3 dx 1—2 y _2 1 . c — -»------ r - x = — — entonces: dy 4 y 2 4 y 2
(l-xy)(c-lnx ) = 2
sea z = x 2 =>
1 2 x - y L
-
2dx
= x 3— , reemplazando en la ecuación dy
dz 1- 2y 1 dz 2y -1 1 .. ,. , = > -----h------- z = - , ecuación lineal -------- 1------- —z =
Solución
-----
2
dx ^2 1 y = -------- — => — = 2 x - y entonces: dy 2x-y
dx4 y2 4y 2
dx 2y 2
.... .
2y 2
-jlZZÍdy jlllldy j 2 = e 2y [ [ e 2y ( —r~) + c ] , efectuando la integración J 2y ----
— ~ 2 x = - y 2 => x = e 2 y[ f e 2 y ( - y 2) dy + c ] dy J
i
i
z = e " ' * 5 [
de donde 329)
J
x = — + —+ ce2y + — 2 2 4 331)
x2 +xy'=3 x + y'
e
(x -l)y '= 3x -x 2
182
=>
y = 2 x - ^ - + 21n 11 -x |+ c
V
J
Í „ ] 2y
Solución — - —y = x 3y 1 multipli cando por y dx x dy 1 2 3 2 y — — y =x sea z = y => dx x
3x —x 2 x —1
dy = ----------dx integrando
J* dy = J ——y -d x + c
onceS:
xyy' -y 2 =*4
Solución x2 + xy'=3x + y' =>
M 2y2
1 dz 2 dx
1 x
-----------z = x
3
dz . dy — = 2y — dx dx
dz 2 3 de do nd e ---------z = 2x dx x 183
r 2dx
ecuación lineal z = e
[__2dx
x [J e
z = e~1 XTÍX[ j 2 xdx + c] entonces: z = x 2[x 2 +c]
332)
y = eln(2T-i)[f
1 4* dx+c] => y = (2 * -l)c + J (2x —1)3jc2 x
x 2 x 3dx + c\
=>
y 2 = x A + c x 2
(x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución
dx _ dy x 2 - x y - h y 2 2 y 2 - x y
Sean Solución
: x -y + 3 = 0
y L 2 : 3x+j> + l= 0
como LXU L 2 => 3 p ( x 0 yy 0) e L x a L 2
(2 y 2 - xy)d x = (x 2 - x y + y 2)dy es homogénea
y = ux =>
334)
de donde:
dy = udx + xdu , reemplazando en la ecuación diferencial
x - y + 3 = 0 1 i 3 x + v + l = 0J
=>
p(-l ,2) F
sean x = z ~ l , y = w + 2 entonces: ( l u 2 x 2 - x 2 u)dx = (x 2 - x 2 y 2 + x 2u 2)(udx + xdu) , simplificando dx
u 2 - u +1
*
w3 - 3w2 + 2w
(z —w)dz + (3z + w)dw = 0, ecuación diferencial homogénea du = 0 integrando
f — + f —r -----— dw=c J x J u 3 - 3 u2+2u 333)
dedonde
w = uz => dw = udz + zdu, reemplazando en la ecuación diferencial .\
— 2 a :) 3 = c ( y - x ) 2
(u + 2u + 1)dz + (u + 3)zdu = 0, separando la variable dz u +3 , A , — + -------- du = 0 , integrando Z (m+ 1)
Solución — — y = — -———r ecuación li neal cuya s olución es: dx 2 x - l ( 2 x - l ) x
184
(z —uz)dz + (3z + uz)(udx + xdu) = 0, simplificando (1 —u)dx + (2 + u)(udz + xdu) = 0, agrupando
(2x -l)/-2y = l ^
z - e
(x - y + 3)dx + (3x + y + l) dy = 0
. f_i^L i - 4 x 2x~l [ \ e 2jc_1------------- dx+c] (2x-l)x2 J
integrando tenemos
f — + f — ~ ^ — d u - c J ^ J (tt + 1)
entonces
lnz + ln|w + l |
— = c de donde: «+ 1
----
2 jt+2 u = — =.—------? z = x + 1 por lo tanto: x + y - l = cex+y~l Z
Jt+1
185
335)
,
y + cos
x + y
x-y —= cos 2 2
337)
----
Xy 2 y ' - y ì = —
Solución x y , y + cos —eos 2
2
-----
y= 2sen ysen y
Solución
x x v x v y sen —sen —= cos —eos —+ sen —sen — 2
=>
2
2
2
2
X dy------1 — y = — y dx x 3
2
cosec —dy = 2 sen — dx integrando
_2
- . i* j multiplicando y
2
2 dy dz 2 dy 1 3 x 3 3 t , >> — - -----y = — sea z - y = y — , reemplazando => dx x 3 3Jjc -----
y x c entonces: ln(cos ec — - c tg ~y ) = - 4 cos —+
fife
1
x 3
3dx
x
3
dz á
3 x
3
----------z = — = > ------------ z = x , ecuación diferencial lineal
cosec— - c t g — = ke 4cosxi2 2
336)
r 3dx
2
z = e *
y' (3 x 2 - 2 x) - y ( 6 x - 2) + - (9x - 4) = 0 X
.,.tl.,
r 3dx
[j e
x x 3dx + c] =>
z = e3ìnx[j dx + c]
entonces z = x 3(x + c) por lo tanto:
.\ y 3 = x A + c x 3
Solución 338)
_ dy (6x-2) 2(9x-4) ^ = ---------- , ecuación diferencial lineal dx 3x 2 - 2 x ' ( 3x 2 - 2 x ) x
y' =X g2( ax + by + c ) , b * 0 , a b > 0
----
y = e
f (6x -2) 2) (6*~
(6x2-2) , ) f r(6 x~ 3x2-2x [ t j 3x2-2x (
Solución
2(9*-4) )dx + c], iintegrando ( 3x z - 2 x ) x
----
y ' = \ g 2(ax + by+c) =>
— dx + c] integrando y = e ln|3 ' 2x1[-2 f ----- — J (3 x 2 - 2 x ) 2x y = (3x 2 - 2x)[ f 2 d (■ ■ ------- ) + c] calculando la integrai J (3x - 2x )x 2
y = (3 x 2 - 2x )(—— + C) por lo tanto: (3 x 2 - 2 x ) x
dz 1 Sea z = ax + by + c => / = (------a) — dx b
2
y = —+c (3 x 2 - 2x) x
ox
o
= tg2 z
— = a + è t g 2 z de do nde ----- — = dx integrando 6 dx a + bt g z dz a + b tg2z
- J ì£c + c
entonces: 187
x + c = —^—[ a x + b y + c - J — arctg[J—tg(ax+6y + c) + c]] a-b \a \a
339)
(\+exly)dx+exly(\-^ )d y = 0 ,
141)
(x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 Solución Sea z = x - y => dx = dz + dy, reemplazando en la ecuación diferencial
^ =1=1
(x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 =>
(z + 2)(dz + dy) + (z + 3)dy = 0
Solución z +
y
2
Sea —= « => x = uy => dx = ydu + udy, reemplaz ando en la ecuación .
(z + 2)dz + (2z + 5)dy = 0 => --------dz + dv = 0 integrando 2z + 5
(1 + eu)(udy + ydu ) + e u (1- u)dy = 0 entonces:
í dz+ [ dy =c => J 2z + 5 J
(u + ue" )dy + eu (1- u)dy + (1 + eu)ydu = 0, agrupando
z 1 ~ - — ln(2z + 5) +y = c => 2 z - ln(2z + 5) + 4y = k
(u + eu)dy + (eu + \)ydu = 0
2x - 2y —ln(2z - 2y + 5) + 4y = k => 2y + 2x - ln(2x - 2y + 5) = k
ln y + ln(eu +w) = lnc
=>
=> — + - — dy = 0 integrando y e" + u ..
>'(e "+« ) = c
=>
y(e jr/;’+-^) = c
por lo tanto: 142)
í( ——-( — í— ))dz + y = c entonces 2 2z + 5 '
J 2
ln(2x - 2y +5) - 2(x + y) = k
(x y 2 +y)d x-xdy = 0
Solución p a r a x = l , y = l
=>
e + l = c por lo tanto: .*. x + yex,y = l +e y(xy + l)dx - xdy = 0 sea xy = u => y = — entonces
340)
(x2+ y2)d-xydy = 0 Solución Sea u = yx => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial
xd u - u d x dy = ------ ---- -
x2
=>
u\
.x du -u dx -(w + l)dx -x( ------ ------) = 0 x 2 x
u(u + 1)dx —xdu + udx = 0 => (u 2 + 2 u)dx - xdu = 0 entonces
(x2 +u2x2)d x -x 2u(udx + xdu) = 0 => (l +u2)d x- u2dx-uxdu = 0 dx dx —ux du = 0 = > ------udu = 0 x
u2 => ln x ------ = c entonces 2
dx du -------- - -------= o => x u 2 + 2u
,
1
,
2
entonces
2x2ln x - y 2 = k x 2
,
u +2
x 2(u +2) 2/ , x 2(u + 2) = c => x (xy + 2) = xyc ln ------------ = in c => -----------
21nx -w2 =0
2
ln x — l n------- = ln c
7 => x y + 2x = cy 189
343)
( x 2 4- y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0
x = y 2 ev ’' [[ e- V y ^ r + c }
=> x = .yV ' > ( e u r + c)
Solución por lo tanto:
* = >'2(1 + ce1 1)
( x 2 + y 2 + 2 x)d x + 2 ydy = 0 => ( x 2 + y 2)dx + 2 xdx + 2 yd y = 0 dx+
x + y
= 0
x + ln (x 2 + y 2 ) = c
344)
346)
dx + dln (x 2 + y 2) = 0 integrando
y cosx dx + (2y - senx)dy = 0
Solución => i n (x 2 + y 2 ) = c - x
=> x 2 + y 2 =ke~
Sea z = senx
=> dz = cosx dx, reemplazando en la ecuación diferencial
ydz +(2y-z)dy = 0, es homogénea
(x-l)(y2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy
sea y = uz => dy * udz + zdu entonces: uzdz + (2uz —z)(udz + zdu) = 0
Solución
udz + (2u - 1 )(udz + zdu) = 0, agrupando
( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy separando la variable
2 u 2d z + (2 u - \)zdu = 0, separando las variables
x
entonc es 345)
u
2x +1 2y—i 1 t x 2 +X+1 rr —ln — ----------- V3 (arctg — -==- + arctg —■= -) = c 2 y 2 - y +l V2^3
21nz + 21nw+—= c => ln z2w2 + - = c entonces
(jc - 2 xy - y 2 )y'+y 2 = 0
a iln y +■senx = cy ln y 2 + sen x = c por lo, tanto: 2y ------
Solución ( x - 2 x y - y 2) — + y 2 = 0 dx
=>
dx 1-2y — + — if- x = 1 es lineal x = e dy y x = g2In>'+1/>'[ f e~2]ny~1/ydy + c]
v2 — + x - 2 x v - y 2 = 0 ' dy r l - 2 y
y
2— + (—— \r) du = 0 integrando
u
t\ -2 y
r J— [ le y j
347)
y - l = e x+2y
Solución
.
dy + c] entonces
Sea u = x + 2y => y’= —(— - 1) , reemplazando en al ecuación diferencial 2 dx — 2 dx
(— -1 ) -1 = e" de donde dx
= 2 e u +3 => ——— = dx 2eu +3
integrando:
-^ ln (2 + 3e u) = x+ c
=> ln(2 + 3e “) = ~3x + c
sea z - x 1 =>
+3e~u = ke~3x => 2+3e ^ 2y =ke~3x
2
dy
_2 dx — dy
=x
dz 2 dz 2 n --------- z = —y => — + —z dy
2ex + 3 e ly = ke~2x 348)
dz
dy
y
y
0 — f — d y m f — d y z = e y [J e y y ndy+c] , efectuando la integración z = e~2hly[ I y n+2dy+c\
2(x5+2 x 3y - y 2x)dx + (y 2 + 2x 2y - x 4)dy = 0
Solución i r f y n+3 + c] i => z — —[I ------
Sea y = tx 2 => dy = x 2dt + 2x tdx , reemplazando en la ecuación diferencial
2(x5 +2x 5t2)dx +(x4t2 + 2x*t-x4)(x2dt + 2xldx) = 0 , simplificando
v J w+ 3
350)
(2 + 4/ - 2t2)dx + (f 2 + 2/ - 1)(xí* + 2/¿Ét) = 0 entonces
1 ------>;"+1 + c —= 2 «+3
(J l + x 2 +rty)dx+(sj l + y 2 + ny)dy = 0 , y\ x () = n
Solución
(2 + 4/ -2 /2 +2t3 + 412- 2t)d x + (t2 + 2t -l) xd t = 0
y¡l +x 2dx +nydx + + y 2dy +nydy = 0 agrupando se tiene
(2í3 +2t 2 +2í +2)dx + (l 2 +2t -l) xd t = 0, separando la variable
•fl + x 2 dx+ -Jl+y^ dy + n(xdy + ydx) = 0
„dx í2 + 2í-1 j f ^ d x ( / 2+ 2/ -1 2 — + _ ----- --------------- dt = 0 integrando 12—-+| —------- ;-d l - c / 3 + í 2 + í + i x i x J t i + t ¿ +t + 1
~sj\ + x 2 dx + -Jl + y 2 dy + nd(x y) = 0 integrando
2 ln x + f (—1— + ?l -— )dt = c de donde se tiene: J t + 1 / 2 + l 349)
jc
J ^ \ + x 2 dx + J -Jl + y 2dy + J nd (xy) = c entonces
x 4 +y 2 = c( x2 + y)
i[x^Gi + x2 +ln x] + 4 x 2 + l[ v A/Í + .v2 +ln_v] + V^+> '2 +nxy = c
x 2y ny' = 2x y '- y , n*-2
Solución x 2y ny' =2x y' -y
=> y = ( 2 x - x 2y n)y'
paE0„»x = 0 , y = n => c = n^íl + ñ 2 + \n[n + ^[\ + ñ 2 ] por lo tanto: entonces: v j l + x 2 + l n |x W l + * 2 \ + y ^ + y 2 +ln|- y/l+>>2 |+2nx= W l+«2 +ln |«+V l+« 2
j „ => v ------2 x = - x v dx
' dy
‘
2 n dx 2 -2 dx — => x ------- x = -x y dy ¿V V
2 x y
------
=-y
n
351)
[3(x+y) + a 2 ]y'= 4(x + y) + b 2
Solución
2as — = -(s - at - b) ± J (sat - b )2 +4 ast ds
Sea z = x + y =>y'= — -1 reemplazando en la ecuación diferencial dx (3z + a 2)(— -l ) = 4z + 62 => dx
efectuando operación, agrupando e integrando y reemplazando. be • que: y 2 - e x 2 = -------- x 2 —s 9 y 2 = t se tiene
(3z + a 2) — = 7z + a 2+ b 2 dx
3 z + a 2 , r 3z + a 2 dz = dx integrando f — — —dz = í dx + c por lo tanto: lz + a 2 + b 2 J 7z + a 2+¿>2 J
1+ ac
353)
( x - y 2)dx+2xydy = 0
----
352)
Solución
f ■)' - ? * + ¿ (4a2 - 3 ¿2 ) l n l 7(^ + ^ ) + a2 + A2 I = c
2 xyd y + ( x - y 2)dx = 0 =>
axyy'2+(x2 - ay2 - b ) y ' - x y = 0 (lasustitución x 2 = .y, y 2 = f )
dy 1 y — + — -—- = 0 2 y 2 x dx ----
2 x y - + x - y 2 = 0 entonces: dx
dy 1 ------ y = 2 — dx x
=>
1 , ecuación de Bernoulli
-----
y
Solución axyy'2+(x2- a y 2 - b ) / - x y = 0 despejando y ’ se tiene:
y
=
- ( x 2 - a y 2 - b ) ± J ( x 2 - a 2 - b )2 + 4 ax 2 y 2
----------------------------------------------------^
multiplicando por y, se tiene : 2y — - —y 2 = -1 dx x sea z - y
2
------------------------------------------------------------------
dz dy => — = 2y — , reemplazando en la ecuación diferencial dx dx
2axy sea
^ = x 2 => ds = 2xdx =>
t - y 2 => dt = 2ydy
-------- z = -1, es una ecuación diferencial lineal cuya solución es: dx x r dx
dy _ [s dt
de donde — = ------ sustituyendo en la ecuación diferencial : dx Vr ds
z = e
* [Je
f_^x
* (-<&) + c] => y 2 = elnjc[ J - ~ + c] 2
y
~ ( x 2 - a v 2 - b ) ± S ( x 2 - ay 2 )2 + 4ax 2 y 2 -------
1—
y 2 = x [ - \ n x k ]
=> — = -l n jt ¿ = ln(jcfc)-1
e yl ' x = ( x k y x
=> x e y I / x =c
2axy
s dt
- (s - at - b ) ( s - at - b )2 + 4ast
t ds
2a j s t
195
y = e lx (c1eos 2x + c2 sen 2x ),
- 4/+8>> = 0
Solución
REDUCCION DEL O RDEN DE LA ECUACION]
y = e 2* (cj eos 2jc + c2 sen 2x) entonces
Las ecuaciones diferenciales de n-esimo orden son de la forma: F ( x , y , y ' , y " , . . . , y M ) = 0
y = e lx[2(ci +c2)cos2x + 2(c2 - c 1)sen2x] ... (1)
y = -S c^ 2* senx por lo tanto: y " - 4y'+%y = 0
Donde al despejar y (n) se tiene: y = x(senx —cosx), y' '+y = 2(eos x + sen x) y (n) = f ( x , y , y ' , y " , - , y (n 1})
...(2)
Demostrar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas. 354)
y = e~x (3 eos x - 2 sen x ) , / ’+2 y'+2 y = 0
Solución y - e ~ x (3 eos x - 2 sen x ) , derivando con respecto a x
Solución y = x(senx - cosx) => y ’= s e n x - co x + x(eos x+ sen x) yM= cosx + sen x + cosx + senx + x( co sx - sen x) y = 2 sen x+ 2 cosx + x(cos x - sen x) y '+y = 2 sen x +2 eos x + x(cos x - sen x) + x(sen x - eos x) por lo tanto: y ' '+>> = 2( co sx + sen x)
y' = -e~x (3 eos x —2 sen x) + e~x (-3 sen x - 2 eos jc) = e~x (-5 eos x - sen jc) y = (C\ + c 2 x)e~ 3x ; y ’'+6y'+9y = 0 y" = e~x (5 sen x - eos x ) - e ~ x (-5 eos x - sen x)
Solución y" = e ~x(4 eos jc + 6 sen x)
.y ^C i + c2x)e-3jr y"+2y'+2y =
= £“*(4 eos x +ó senx-lO cos x - 2 sen x + 6cosx-4 sen x) = e-Jf(10 cosx -lOc os x + 6s en x- 6 sen jc ) = 0 por lo tanto:
=>
y = - e “3jf(2c2x+ 3c1)
(4co sx+ ósenx) + 2£~*(-5cosx - senx) + 2e~xQco sx - 2senx)
y' '+2 y'+2 y = 0
y s ^ ^ í ^ x + P q - 2 c 2 ) por lo tanto: y = x 2 ln x , xyM,= 2 Solución
y"+ 6y' +9y = O
y = x 2 ln x
=> y ' = 2 x \ n x + x
y " '= - 3> X
xy'”= x(-) = 2 X
=> y" = 21n*+ 3 entonces
y' ’=
—- entonces: (>-+i)3
----
=> xy"'=2 yy ”+y'ì - y '2 = y ( ^ T ) + (- ZT )3 - ( - ^ r ) 2 = 0 (y+l)
359)
y+1
y+l
x = y * + y ,
Solución x=y2+y
por lo tanto:
yy ’’+y'3-y '2= 0
=> 1= 2yy'+y' => 1= 2 yy ’+ y’ entonces .162)
1 -2v' y’= — => y"= ------- de donde 2y+l (2y+l)
y = c, + c21 y d t ,
xy"+(l - x)y' = 0
-----
Solución -2
=>
y " = -----------
(2 y + l)3
y'y'"=
12 , (2y+ l)
por lo tanto:
12
v,M= ----------- entonces (2y + l) => y /" = 3 ( ----- —y)2 = 3y"2 (2y + l)
f*
y = cì + c2 j — dt => e*{x-\) M y = c 2 — ~ —-
/ y " ' = 3 y '' _ Ì £ z ll C2e^ =0
x+ c = e~y , y" = y'2 por lo tanto:
Solución x+c = e_>' => y■»"=" = - e^>.y
361)
entonces
A i. / \ i / (jc —1)x . e* entonces xy +(-x) y = x(c2—^ — ) + 0 “"*)c2— X X
X2
x " + (l-x )y '= c2 360)
e* y' = c2 —
=>
1= -e_>,y y " = e l y
=> y = -ey
entonces
x v"+ (l -x )y ,= 0
f2 c* »63)y = q x + c2x — d t , x > 0 ,
= y 2 => y = ( y ) 2
Solución
x = y + ln y, yy ”+y ’3-y '2 =0 y = C1X-fC2X
Solución x = y + lny
=>
1= y'+ — => y
y '= - ^ r entonces y+1
1 ~> x~y”-(x +x)y'+(x + l) = (
/•2
Jx
---
t
=>
y = cl+ c2 '
|*2£>*
---------- dt -
e x e x = - e J (r -----/ * + 1 \) entonces: y = -------x x
Jx
t
x 2y' '-(x2+ x)y '+x (x + l)y = x 2(- £ _ Í £ Í Ü ) - (* +x)(c, + c ,í - d t - e * ) + A t x
+ (x + l)(cix+ c2x j
365)
x = J(21n í-l)+c. I I , J y = t ]n t+ c2
y ( l + 2 1 n /)- l
Solución
di )
dx = 1+ 2 ln í dt dy_ — = 2 í lní + 2í di
fx = í(2 lní-l)+ C j
xy'
[.y = í2ln í+ c2
J
*e ¿¡í ------
,
X> 1
dy_ dy _ dt _ <0 + 2 lní) = í dx dx_ l + 2lní dt
* lní
x 2 ln 2 x. y' '- x ln x./+(ln x + 1)>' = O
Solución y'(l+21n /) =
y = C\ ln x + c2 ln x f Jjr lní
derivando con respecto a x
dy
d 2y = dy' = dt => dx2 dx dx dt
1 1+ 2 ln í
1 (1+ 2 ln í ) = 1, por lo tanto: 1+ 2 ln í / ' ( l + 2 1 n /) = l
, . , c\ c2 te dt .y = — + — I c2 nuevamente denvando x x Jx ln í ------
x2
r dt x 2 Jjf l ní
c2 x ln x
366)
x = (í + l)e '+ Cl
y = t 2e '+ c 2 j
y " e y (y'+2) =1 Solución
X2 ln2 x y " = -c i ln2 x - c 2 ln2 xj" ^ - - c 2x \n x
dx íx = (r + l)e' + q
- x \ n x . y ’ = - c 1 \ n x - c 2 lnx f —- + c2xlnx Jx lnr
(lnx + lXy = Cj ln2x+ q lnx + c2 ln2x f —- + c2 lnx f Jx lní Jx lní Sumando las tres ultimas ecuaciones. x2ln2 x. y' '-x lnx./+(lnx +1 )y = 0
l y = t2e' + c 2
~dl
dt
= e‘ (t + 2) = te1(í + 2)
dy_ cjy _= j L = fg,(<+2) = í
dr dt
fk
e'(í + 2)
=>
dy dx
= í
201
d 2y dx2 dt
d y = j^ t _ 1 _ 1 d x dx_ e ' ( t + 2) (/ + 2)e'
y ’ey ( y +2) = -----
----
(í + 2)e'
por lo tanto:
368)
x = —ln í h —— r 2 4í r 3
e ' ( t + 2) = 1
Solución lní
y " e y ( y ’+2) = 1
3
dt
4/
í
sen2r * = C2 +C ,(í ------ — )
3
x = -----+ —— 2
367)
y 2 - 2 / y ,+ 3 =o
21 2 í3
3
r-3 2í3
1
9
(f2 -3 )(f2 +3)
4 í4
"
4 /4
2 ( 1 - j 0 / ’= 1 + / 2
y = l - c 2 sen2 t
4y ¿V
Solución
dt
ate
2/3(r2—3)(r2 +3)
r2+3
4r4(í2 - 3)
2t
dt x = c2
sen 2r + c , (,r -----— )
dy'
— = -c ? sen 21 dt 2
y = l- c 2 sen2í dy dy dx dt
dx „ — = c, (1 - eos 2r) dt 1
2 r ± J L = V = dt_ = _______
dx2
dx
dx
f2-3 2í3
<* dt dx_
- c 2 s en 2r c1(l-cos2f)
entonces:
í +3. y " ¿ - 2 y y + 3 = í ¿ - 2 í ( 1- ^ p ) + 3 = í 2 - í 2 - 3 + 3 = 0 por lo tanto:
2
d y dy’ _ dt _ - 2cz eos 21 dx 2 dx dx^ q (1 - eos 2t) dt
= 2(1 -1 +c. sen2Q(-:f o cos2*) = 2g2* n* (-2c2eos2Q q (1- eos 2r) Cj (1- eos 2t) por lo tanto: 202
2f2-f2-3
2(1 - y ) y " = 1+ y ' 2
y ,2 - 2 / y' ’+3 = 0
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones correspondientes. 369)
y = cl sepx + c2 cosx,
y" +y = 0
Solución y = cx sen x + c2 eos x
=> y' = c x eos x - c 2 sen x entonces
203
y '= -c¡ sen x - c2 eos x entonces
<72)
y = >/(x + c1)2 + c2 , yy"+y,2= l
y '+y = -c x sen x - c2 eos x + cx sen x + c2 eos x por lo tanto:
Solución
y" +y = 0
y = -J(JC+ Cl) 2+C 2
=>
/ = ^ / (X + Ci ) 2 + C 2
370)
y = —(cxe x + c 2e x) , xy" +2y '-xy = 0 X
c, y '' = ----------- ------ —((x+q) +c2)
Solución
entonces:
yy' '+y '2 = ^ [(x + c ^ y ---------- y -----((x+ci) +c 2)
/ = — \ ( c xex + c2e x)+ —(c1ex - c 2e x) x l x
+— ( x + Cj ) 2 + c 2
y " - —j ( c xe x +c 2e x) — ~¡r(c¡e x - c 2e x) + - ( c 1ex +c2e x) X
X
X
>73)
+
----- = 1 por lo tanto:
yy ' '+y '2 = 1
(x+Cj) 2 +c 2
x + c2 = y i +c ly , y"+6yy,3=0
Solución
por lo tanto: xy ' \ 2 y ' - x y = 0 x + c2 = y3 +cly 371)
+ ■■(x+ c^ — (x+ci) +c 2
=>
l = 3 y 2y’+c¡y' entonces
y = c1x - tc 2 l n x , x 2( l- ]n x) y" +x y' -y = 0 1 => _ y'= — -----3y 2 + c,
Solución i c y = CjX-f c 2 ln x => y i = cx + — => x
y »» = — 7x2
por lo tanto:
x 2(1- ln x)y ' '+xy' -y = 0
~6yy' (3y2 + c , )2
6y (3y2 + c 2) 3
- + 6y(— ------- )3 = 0 por lo tanto: y''+6y y'3 = —-— (3y + q ) 3y +c
x 2 ( l - l n x ) / ,+ x y'- y = x 2 ( l -l n x ) ( - - ^ - ) + x c1 + c 2 - q x - c 2 l n x x = -Cj + c2 ln x + x q + c2 “*CjX-~c2 lnx
y.... =
y"+ 6y y' 3 =0
374)
x + c 2 =lnsen(y+C!), y " ~ y '(1 + y '2 ) Solución
205
x + c 2 = ln se n( y+ c¡ )
=> 1= — P +Ci )y ' entonces; sen(^ + c ,) ,
y - tSCv+ci ) => y ”= sec 2( y + c¡ )y entonces
Verificar que las relaciones dadas son integrales (generales o particulares) de las ecuaciones indicadas.
176)
(*-ci)2 +(y-c2)2 = 1, y=(i+y2)3/2 Solución
y ' ' = sec2( j +c ,) tg(>> + c,) (je-C j)2
y ' = seo2(y +c¡) tg(x+c¡) = tg(y+c1) + tg3(y+ c¡)
y—
y - c 2 = t J \ - ( x - C
+ ( y - c 2 ) 2 =1 =>
, = Cl) , ^ ~ ( x ~ ci )2
=>
i)2
.derivando
y 2( l-( x -c ,)2) = (x -c ,)2
y " = y '( l+ y 2) => y " = y ( i + / 2)
-v
= (x - Cj) 9 => x - c l = y , nuevamente derivando i+ y 2 v " 1 Ví + y 2 ----
sen t J -x d t , x sen x. y' '- x eos x. y '+ eos x.y = 0 0~
/2
*y-
V-----i+y 1= ------------------! — 1+ / 2
Solución
entonces
( i + y 2 ) 3/2 = y + / 2 y - y y
poriotanto:
y = ( i + y 2 ) 3/2
=> y = c 1+ c2j * ^ d t + c2 sen* 377)
y 2 = l + (l-x )2, y 3y" = l
Sei1^ y - c2 -------+ c2 eos x entonces: x y - x eos xy'+ eos x. y = — ---------+ c2 eos x - c xx eos x x 1
J
. sen t —— d t - c 2xc o sx .s e n x + cxxc o s x + c2xco s (**—nf dt 1 Jo t
Solución 2yy'=2(l-x)
=>
x —1 y = ------ , derivando nuevament e; entonce s: y y - ( x - 2) 2
>>-(x-i)y
^
.2
„2
,v2 - ( x - i ) 2 „3
y % x eos x.y'+ eos x. y - 0 y 3y” = y 3
^
= y 2 - (x - 1)2 entonces:
y 3y " = y 2 - ( x - í ) 2 como y 2 =l + ( l - x ) 2 entonces
(l+e* ) y 2 —(1—x ) 2 =1 porlotanto:
378)
y 3y" = 1
y'ln j> + —— K y= 2x ejr
entonces:>’"lnj>+
sen( y - c 2 ) = e x~c , y " = y ' ( l + y ' 2 ) 2yxe^_ -( l + e*2)2
Solución se nQ -c 2) _c — € => e* y '~ lS ( y ~ c 2 ) =>
/ ‘( l n j ' + l ) -
(l" ^ ^
„ ---------------------= 0 e2x
.
. .
.
2xytS - ( l + e ^ ) 2
-
ex cos(y-c2)y'-ex sen(y-c2)
—
y = s e c 2(jv-c2)y
entonces:
(l^ + 1 ,!
y (ln y + 1)
(2xyexl ~(l + e '2))
.2 _ (ln_y+l)2 , ( l + e x )2 ^(1 + ln y)_y"+_v’ = ^( l + l n j ) ---------------------------1y(ln_y+l) (lny + 1)
y ’= sec2(J - c2 ) tg(y - c 2 ) = tg(7 - c 2) + tg3( y - c 2 ) y = y + y 3 = y ( i + y 2 ) porio tanto: 379 )
y = y (i+ y 2)
CiX + C2 =ln(CjJ-l), y y '' = y ,2+y'
por lo tan to:
Solución cix + c2 = ln(cly-l) /= ^ -l
=> q = — qy-1
entonces
=> y = c 1y = c 12y = c1
yy' '= yy 'c de donde al reemplazar se tiene: 380)
>- l n = x +
Cx 2
yy " = y ■2
e' d t, y{\ + ln y) y' '+ y' 2 = 2 xy ex
2
Solución y \ n y = x + ^ e ' dt => y in j9>'= l+ e ^
208
y C + l n y ) / ' + / 2 ■=
entonces:
>1 „
(ln;; + l)2 ?
r2
y( \ + ln y) y' '+y' = 2xye
(ln_y+l)
La sustitución y' - p permite reducir el orden de la ecuación en una unidad. En este caso se considera p como una nueva incógnita de y. p = p(y) expresamos todas las derivadas.
REDUCCION DEL ORD EN DE LA ECUACION! Se consideran los siguientes casos:
■ y ' . y w 00 mediante las derivadas con respecto a y de la nueva función incógnita F.
I.
d ny dx"
m
donde f(x) es función solo x o constante.
, dy y = ^ = p
La solución se obtiene integrando n veces. ^
M_ dp _ dp dy dx dy dx
dp ^ dy
y - (...( ( f ( x ) d x + cx) + c2) „¿ n)dx dx
II.
Cuando la ecuación no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta el¡ orden k - 1 inclusive.
se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución y (k) (x) = p( x) , después de la cual la ecuación toma la forma:
IV.
dy dx
dy
dy
La ecuación F(x, y , y '',..., y (w)) = 0 , es homogénea respecto a los argumentos y , y ' , y " , . . . , y;(/l) (n) ósea. ósea. ..
se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la sustitución:
de esta ecuación determinamos: ?^2»***’cn~k )
y - e
siempre que esto sea posible, y hallamos después y de la ecuación y^k) = f ( x , c x, c 2,..., cn_k ) integrando k veces. III.
dy
ponien do estas expre siones en la ecuación en lugar de y'.y,,, .. ., y('l ), resulta una ecuación diferencial de orden n - 1.
F ( x , p , p ' ..... p (n~k)) = 0
P —f
dy
La ecuación no contiene la variable independiente. F ( y , y ’ , y '' , . . ., y m ) = 0
f zdx
donde z es una nueva función incógnita de x. z = z(x) V.
La ecuación es tal, que al escribir la mediante diferen ciales. F(x, y, dx, dy, d 2 y,.. ., d ny) = 0
211
resulta
que
F
es
homogénea
respecto
de
sus
argumentos
382)
x , y , d x ,d y ,d 2y, .. ., d ny , donde se supone que x, dx son de primer grado e
Solución
y , d y , d 2y, .. .f de grado m. dy d 2y En estas condiciones, — será de grado en m - 1, — — de grado m -2 , etc. dx dx1
y ,v =x
Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e l , y - ue mt, como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre u y t que no contiene a t explícitamente, la cual permite reducir su orden en una unidad.
y" = J (— + cl)dx + c2 = — + c1x+ c2 entonces:
=> y '”= ^x dx +c x = ^Y + c l
X3
r x2
* 3 ■+ clx+c2)dx+c3 Cj X 2 + c2x+ c3 v. => y, = xj 4- + — y . =]f ,(—
Integrar las ecuaciones. 4
^
y = J"(~~ + x 2 +c 2x + c 3)dx + c 4 por lo tanto:
381)
y " = xe x , y ( 0) = y '( 0) = /'(O ) = 0 x C,x c2x y = ------ + —— h--------+c-,x + c4
Solución
120
0
2
y " = xe x => y" = ^ x e xdx + cx 383) y %= e x (x —l) +Ci9 y ' ' (0) = 0 entonces:
/"= x ln x ,
0 = -l + cx => c¡ = 1
y(l) = / ( l ) = y"(l ) = 0 Solución
y = e x( x - 1) + 1 => y ' = f ( e x ( x - l )+ l) d x + c y " ' = x ] n x y ' = x e x + x + c , y ' = x e x +x
y '( 0) = 0 ento nces:
0=0+
c
=> y = J (xex + x)dx + c , dedonde x2
y = xex - e x + — + c , y(0) = 0 => 0 = 0 - l + 0 + c => c = 1
y = (x-l)e* + — 212
=> y ”= J x l n xd x+ c entonces:
=>c = 0 y" = ^— ln x - —— f-c, y"(l) = 0 entonces 0 = 0 - —+c 2 4 4
=> c = 4
x 2 x2 1 x 2 1 r x2 y "= — l n x - — + - => y ' = \ { — \ n x - — + - ) d x + c 2 4 4 J 2 4 4 x 3x 3 x 3 X y'= — ln x -------------+ — + c entonces: ^ 6 18 12 4
y' (1) = 0
1 => c = — 6
f .x3 , 5x3 x 1 ^ J (T ln ,t“ l 6 - + 7 + 6 |,i,+ c X 96
5x 144
X 8
X
y = — ln x h— +—+c,
A n 0
--
5= 0+ —i1— 1 ye 144 8 6
por lo tanto: 384)
6
/ ' = ------- - r-+ — r + c , / ’(1) = 0 3(x+2) 4(x+2) -----
y(l) = O 0a = — 1- + — 2 - + c 3 4.3
37 => c = ---
144
„
1 3(x+ 2)
=>
c = -----1 162
1 2(x + 2)
1 162
y = ------------ -+ ----------- -+ ----- , integrando
x 45 x3 x x 37 v = — lnx ------ -i---- 1-—+ ----96 36 4 6 144
1 r + -----------r 1 1 w)í£c + c V■- ír ( -----------+ -----
/ " = x + cosx
J
3(x+ 2)
2(x + 2)
162
Solución y' = ------ 1 —
y '" = x+ cosx
X 2
=>
y " = — ■+•sen x +=> y'=
f x (— + sen x + cl )dx + c2 J 2
x3 r x3 y = eos x + Cj x + c2 de donde y = (-------------- eos x + c 1x + c 2)¿£t + c 3 6 J 6 . por lo tanto:
r4 rCi X r2 X = — -s e n x + —— + c2x + c3
-
J —
6(x + 2)
y” = J (x + eos x)dx + cl entonces:
+ J L + C / ( 1 ) = 0
6(x + 2)162
3 0n = -—1 — - +1 — —+1 c => c —--------6.3 6.3 2.3 162 -
1 1 x 3 v = ---------- --------------- —+ ------1------, integrando 6( x+ 2)
f.
1
6(x + 2)
1
162
y = (---------- ---------------- +
J 6(x +2)
6(x + 2)
1 12(x + 2)
1 12(x + 2)
162
x ----
162 x 4.3
y = ------------- + ------------ - + - —- +
385)
/" =— 1 (x + 2)
y(l)=/(l) = y (l) = 0
214
J (x + 2)
3x .... t + c , y(l) = 0 2.34
----
1 1------1 — -i1------—H 3 ------- + c entonces: * 0 = --------c= 1 12.3 12.3 3.3 2.3 243 -----
Solución
(x + 2)
3
+ ----- )dx 162'
(x + 2)
, por lo tanto:
1 1 12(x + 2 )212(x + 2)
y = ------------ ----------------+
4 .34
x
3x 2.34
1 243
386)
p-
/ ,2- 5 / + 6 = 0
c — x
c — X :=> dy = -------d x , integrando miembro a miembro: + cx l + cx
-----
1
Solución
. x In 11+ ex | y = ln(l + cr)— + -------= + k c cl -----
y = p => v"= ~ de donde (— )2 -5/? + 6 = 0 entonces dx dx
388) dx
=^ +
/ ' 2- 2 y ”y'+3 = 0
=> - ~ = = dx => - ^ 5 p + 6 = x + cx 4$ p + 6 5w
4(5 p + 6) = 25(x + q )2 entonces:
Solución dy d y dp , , j — = p => — í- = — = t de donde dx1 dx
20 — + 24 = 25(x + cx)2 dx
20dy = [25(x + c¡)2 - 24]¿£t, integrando tenemos: dx
25 2 20 y = - j - ( x + c1) -2 4 x + c2 , por lo tanto
dx
dp
5 ,x5 6x c2 y =— (* + Ci)3 ---+ — U 520 12 387)
- 2 d- ? - . p + 3 = 0
^ , 2P ± V V - 1 _2! dx 2
r r ^
= dx integrando y reemplaz ando se tiene:
1, |,r |. h — 3- + q x = —ln 2 4r / 3 y = T +1 —y: + c 2 4 4í
(l+x 2) / ’+ / 2+l = 0 Solución
--- ----
i dy y ' = —~ = p dx
dp => y" = — , reemplazando en la ecuación diferencial dx
389)
x y" = /ln — X
(1 + x ) — + p 2 +1 = 0, separando la variable se tiene: dx p f c +1 +7l T+Zx T¿ = 0 integrand0
de donde:
\J p ^¿ +1 + J¡ 7I +^X J = c'
arctg p + arctg x = arctg c arctg p = arctg c - arctg x
216
Solución Sea z = ln — =>
dz dx
xy"-y' y" 1 xy' y' x
y” 1 y' V xy"= y ’ln— => — = —ln — , reemplazando se tiene: x y' x x 217
y'
x
x
=>
x
— y
x
dz 1 — = —(z -1 ), separando la variable dx x
entonces:
_y= Js ec íx + cV it + c,
(üi— - i ) x
x
391)
dz dx = — => ln(z —1) = In xc entonces : z —1 X
e cjr+1 y' = x -------dx c
y " =
se tiene
-
p
y " ' =
eac+\ e xc+1 => y —x -------------C e
... y = e ^
1 Solución
-----
y ) = 1+ xc z —1= xc => z = l+ x c => ln(-—
y ” 2 + y " ' 2 =
=> y + c2 = ln |t g (^ + c,) |
=>
Jl-y2
^
dp dx
entonces:
y ' " = - J -
=>
— dx
=
2
, separando la variable
= d x, integrando:
= [¿r + c1 =>
\ ) +k
J l - p
aresen/; = jc + q
=>
/? = sen(x + q )
C c
390)
y " 2+y '2 = y 4
— j- = sen(jc + cj) => / = -c os( * + q ) + C2 entonces dx y = c 2x - sen(jc + Cj) + c3
Solución dy — = p dx
d 2y dp => — r- = p — , reemplazando en la ecuación diferencial: dx2 dy
392)
/ ’(l + 2 1 n / ) » l
Solución =►
dy dp r~^ — = vP dy
7
dp =>' —f =
&dy 2 - p 2 - 1
p = sec(x+c )
dx
2J8
d 2y dp => — = — , d e donde dx2 dx
= dy> integrando
— (l + 21n/?) = l => dx
1 x + c => —1=cos(;c + c) árceos—= P P
dy
dy — = p dx F
=>
— = sec(x +c), integrando
J (\ + 2\n p) dp = Jd x+ c
(l + 21n/?)d/? = dx =>
2 p \ n p - p - c +x
x+ c = p(2 ln j?- l)
^ + c = /?ln/?
393)
'
dp du — = — + u => dx d i
x = v "2+1
d 2p ~ i,d 2u du — , = e (— -- + - —)» reemplazando en la ecuación dx2 d z2 dz
Solución .du 2 x - t , d 2u du. i e2z .. . (— + u) - ue £ (— - + — ) = u —-—, simpli ficando dz d z2 dz e
=> y ”= 4 x - ^ => / = - ( x - l ) 3 /2 +C!
y ' ,2 = x - l
d d d2 (— ) 2 + --------- —= 0 de donde haciendo la sustit ución yd z dz d z 2
entonces: y = — (x~ l) 5/2 + cxx + c2 394)
du — = w dz
4y'+y"2=4y"=4xy”
Solución
w2 + w
#
Sea — = p *
=>
dx2
Ap + (— )2 = 4jc— dx *
— = 2 x ±2 J x2 - p 2 dx
dx
y = c 2(x e“* - - e c'* )+ c3 C\
396)
de donde
^ = p dx
es homogénea de donde al resolver esta ecuación se ^ = ~3~ + c
x
d w2
dx
=> — (/? + 2 )^ = 1 entonces: dx ^ J
(p + 2)epdp = j dx + c
ep (p - l) +2ep =jc + c entonces:
=> — ^ = — de donde / ' ' = , reemplazando dx2 dx dx 2 '
dx 1
=>
(p + 2)epdp = dx integrando
x + c = ep (p + 1)1
Solución
dx
y" (y '+ 2) ey' =1
Solución
y 2- / y = ( 2 L ) 2
— = p dx F
2 dw _ => w + w ------ = 0 entonces dz
= dz resolviendo y reemplazando se tiene:
, reemplazando en la ecuación diferencial:
obtiene: y = c1jc(x-c*1) + c2 => 395)
d 2u dw => — - = -— dz dz
X . .- , p =
y + cx = p V* e
397)
I
P
dy dx
y = ^ + 4 , y(2) = 0, y (2) = 4 JC >> Solución 221
y ' - p
d p
ln| p + p 2 + 1 |= x + c => p + ^ p 2 +1 = e*+r despejando se tiene:
=> y" = — de donde ^ — entonces: dx dx x p 1
2
*
2
dp
2
p —— — — p = x l => 2/7 — — P dx x dx x
sea z = /?2 =>
2
2x
dy
= 2/7 ^ , reemplazando en la ecuación
— - —z = 2 jc 2 es una ecuación lineal cuya solución es: dx x r 2<¿¡r z = e J~ [ j V
_*-(*+*> 2
e x+c-e~ (x+c)
& ”
399)
y " = y 'L n y ' , y \ x=0= 0 , y ' \ x=0=l
~ 2jc2
Solución , , dz y" ,dz ln y '= z => — = — => y — = y dx y dx
dz , « i n . . dz , y = y in y =s> y — = y z => — = dx entonces dx z
~ = ^¡2x* +cjc2 , y'(2) = 4 => 4 = -Jl6+4c => c = 0 dx
ln z = x + c
=> y = — x s/ 2 + k , y(2) = 0 => £ = - — 3 5
ln y ’= e
2x2 /-— 16 y= ------ V 2x -----5 5
por lo tanto: ^ 398)
2
f r e x+c-e ~ (*+c) integrando J dy + c = J -----------------dx entonces: y + q =senh(x + c).
z = jc2(2x+c) = 2jc3+cx2 => p 2 =2jc3+cx2 => p = x-Jlx+ c
dx
dy p = — , entonces se tiene dx
p ------------------- como
l
400)
x+c
=> z = e x*c => ln (lny ’) = e*+c de donde => y ’= 1 para x = 0, c = 0 e integrando se tiene:
2 / 1ln y = y , y | ^
= -6e
y" = ^l + y'2
2, y' \ ^
y = x.
= e “2
Solución
Solución dy
dy - -
—
dx
d 2y _d p
dx~
dx
— = p dx
_
dp d2y => — r = /7— d x2 dy
dp dy
21n p. p — = p entonces:
dx 2 ln p.dp = dy => 2J ln pd p = J dy + c => 2p in p - 2p = y + c
= dx
222
I
= dx + c
í l = r =í
entonces: 2 — ln — - 2 — = y + c entonces: 2e~2ln~2 -2 e -2 = -6e~2 + c => c = 0 dx dx dx
» y = 2p In p - 2p diferenciando dy = 2dp + 2 ln p.dp - 2 dp
402)2 / / ’= l + / 2 , ^ L=0 = l n 2 - l , / | , =0 =- 1 Solución
pdx = 2 In p dp => dx = — -— dp integrando P
— = p dx
jc = ln 2 p + c > x = 1 , y' = e -2 entonces 1 = 4 + c => c = -3 ln 2 /? = x + 3 => p = e ^ c => ^ = dx
y " +y ^ y T- ¡ = 0 ,
^ ^ = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx dx
f 2/?d/? dp , 2pdp 2 ' ~ ~ = 1+ /? => = dx => dx 1+ /? J L-h/7
integrando
ln(l + /?2) = x + c, y' —P — “ 1> x = 0 , ln2 = c
■= -2(Vx+3 + l)e 401)
=>
ln ^ - — =jc => l + /?2= e2* => p = ^ e 2x -1 => — = ^ e 2x - 1 2 dx
=0,i dy = ^ e 2x -Idx integrando se tiene:
j; = x - ^ 2 e x -1 +ln2
Solución 403)
jcy,,,+ y ,- * - l = 0 Solución
y = p => y = — , reemplazando en la ecuación dada dx y" = p
— + P^j~P2 - 1 = 0 dx
. = -d x integrando: ' J 7 -.2
=> y '" = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx
x — + p - x - 1= 0 =>
dx
J —
----
dy_ = sec(c- x), x = t i , y = Fl dx
=> c = 2ti
dj> = sec( 2/r -x) dx , integrando se tiene y = c - ln | tg( - ~ -— ) + ~ | => y = 0 para x = t i => c = 0
f , ,271-x ^
K ,
j = - ln | tg(— -— ) + — |
x
d 2 y x 1 Ci — —= — h 1H------+ — d x2 2 2x x X
224
ecuación lineal cuya solución es:
= - j* ¿fcr + c =>arc sen /? = c - x => p = sec(c —x) p - e
por lo tanto:
— + —/; = dx x x
3
X
2
X
dy x 2 1, . entonces: — = — + x + —lnx + Ci lnx + c2 dx 4 2 X
_y= — + — + —ln x — + q x ln x - c]x + c 2x , por lo tanto : J.2 2 2 2 1 (x 1 + 6x 2) + clxl n x + x(c2 - c 1) + c3 y = — 225
404)
4 06)
y' y" '- 3 y” 2 =0
x V M+ 2 x V ' = l
Solución Solución /•= /?
dy d 2y dp — = p => — —= p — dx y dy dx 2
de donde
2 p = —1 -¿P £L+ — dx x x
d^y dp 2 ,, dp . 2 , d 2p „ „ i ,d p 2 n ¿ 2P — f = M I ): + p — f = />(M ) + />(— f )) - 3/»2M ) = 0
dx
¿V
dy2
4v
dy2
=> y ' " = ^ - de donde x 4 ^ - + 2x3/> = 1 dx dx
¿V
p = e~2Xnx[ \ ^ r + c] => p = -Xr [ —- + c] entonces: J
resolviendo se tiene:
405)
r f í “* — + 0], ;,=*> - Í V*[] J xA
=>
x = cxy 2 + c2y + c3
Y
2
X
rf2y 1 c ' ,
* íX4 x y'27 / ’= / 3+ _
se tiene:
y = - — - c l n x + ci x 2x
1
Solucién 407)
V l - x V ’+ V T - / 2 = 0
/ = /> => y * = ^ de donde x/ j 2 ^ = />3 + — dx dx 3 de donde — p = — p 2 multiplicando por p 2 dx x 3 2 dp 3 3 3 3 p p = x sea z - p dx x
=>
3
dz - 2 dp — - 3 p — dx dx
dz 3 3 - 3 Í - - f J— 3 x [ \ e x x dx + c] — ------ z = x entonces z = e dx x J z = x 3(x + c ) => p 3 = x A+ cx 3
z = e 3]nx[j e ~ 3lnxx 3dx +c] =>
dy = xlj x + c integrando y = — lj (x + c) 4 - — (x + c) 7/3 + q
4
4
Solución
y ' —p dp
=> / ' = — => V i - * 2 - ^ + J l + />2 = 0 dx ¿foc
- —r +
VTV
dx
......
„
.
= 0 integrando
arcsen p + arcsen x = arcsen k, despejand o se tiene: p = k cos(arcs en x) - cos(arcs en k)x entonces: dy =■ [k cos(arcsen x) —cos(arcs en k)x]dx, integrando se tiene: 1 £ 2 2 kx r 2 k y - — VI - x x + — VI- x + —arcsenx 2
2
2
227
408)
(jc - \) y'' '+ 2/' = ~ Y
y' = p => y ”= p —
de donde y p - - p 2 - 1= 0
ay
Solución entonces:
j => y " ' = — , reemplazando en la ecuación diferencial dx
y" = p
/( x - l1)^ -dP * +— 1 => —+ 2/? = — dx 2x2 1 2dx
~Í~¡T7r f J^T dx >= e x l[ |e x 1 — 2x 2 J
dp 2 l — + p = — r-, ecuación lineal dx x -1 2x -
l n | l+ p 2 l - ln y 2 = l n i 2 =>
,
p = 4 k 2y 2 -1
12dx-%
l
— = 0 => -^ln(l + ^ 2)- ln y = lnAr J
1+ p"
rC(X~ l) , P ----------t U v ” dx + c] ( x - l )2 J 2jc
=>
>2 .
- ** - k 2 => p 2 = k 2y 2 y
^~-=^jk2y 2 -1
<£t
=>
^ -----= rfr
-----
d 2y 1 x 1 — —= —[— h* x + c] integrando dos veces se tiene: dx 2 ( x - l) 2 2 2x
-1 |=;r+c
-------
l n | ^ + 7 * V 2^ -l N f cc +q
x y = —lnx + cln| jc-1 \+c 3x + c 2
409)
411)
y " y 3 = l
3 / / ’= 2 y , y (0 ) = y ( 0 ) = l Solución
Solución
y ”y 3 = 1
'=>
y = -y
y3
_y'— = ~—— => y 3 entonces '% = ¿fe
yk + ^j k2y ^ ~ l = e**+C|
y ' - p => y " = p —
de donde 3p.p — = 2y dy
dy
y3
entonces 3 p 2dp = 2yd y => p 3 = y 2 +c x entonces: y2 1 , I 1 — = - —-j-.+ Cj => y = J c2 2 y y2 2 2y2 ----
setiene: 410)
P =^¡yT+ci
=>
‘d x = ^ y 2 + C i ’ x = 0 , - y - 1
c 2y 2 - 1 = (c2x+c3)2 d y _ 1= J/l+Cj d x
yy ”- y ’2- 1= 0 Solución
228
lntegrand0
=> C[ = 0
=>• — = íf y 2^ entonces:
y~ í l i dy = dx integrando: 3y1/3 = x + c
=> 7y = (x + c) 3, x = 0, y = 1 229
i
de donde: 412)
c = 3 => y = (^ + 1)2
dv' dv' y " = y '~ — de donde 3 y ' ~ - = y ~ s n entonces: dy dy
y " - a e y
Solución y' —p => y " = y ' — dy
3y'dy' = y 5lidy entonces —— = - — y~2 /} +c 2 2
de donde y ' ^ - = aey dy
y
=> y' —-Jk —y 2/3
—k —y
c2
entonces y' dy' = aeyu integ rando —— = aey +cx => y' =' J aey + c *•15) dy
,
.
1+ y'2 =2yy”
Solución
...
y a e y + c
y' = P => y " ~ P ~ dy
41 3)
4 /'=
) = i(2 c2>’2/3 +1)-Jc 2>,2/3 —1
. l , i \ a ey+ c2 - c x - —l1U i n ||------------------A+ 1ft.k------ —-- --------c y a e y + c 2 +c
,
= dx integrando »V se UW tiene: --- —( U lULbglOlIUU UV.
integran do se tiene:
1
1 ¿y 2 ^ dp _
p 27
de donde l + p 2 =2 y» -~ ^ dy
, ent°nCeS:
dp
—
1
1 , ecuación de Bernoulli
Solución y " = y ' ~
dy
8 y ' 2 = y + c
=>
4 y ^ = —L dy 4^ y
=> y'
=> 16 y' dy ’=dy
y + c
dy
8
-Jy + c
_ dx 2^/2
-) 1 p l2 = -1 sea z —p 2 => _ ífe= 2 o -£¿fo 2/>-------^ y y '¿ y ¿z 1 1 3 ------- z ~ — , ecuación lineal cuya solución es: dy y y
z = e
entonces: i J y + c = —4 = + k entonces: i4 x
4-JxJ y + c =x +2kyfx
z = -l + c y
l d y + c] = elDy[j e- lay± + c] =>
entonces
/?2= - l + cy => p =
dy dy i— — 2 i-----~ = J c y - \ => ^ z ¡ = dx =* - j y ^ ^ x + k -
414)
3 y " = y ~ s n Solución
230
- \
por lo tanto:
4c1( ^ - c 1) = (x + /t) 2
'
1
416)y V = - 1. y ( l) = 1, / ( 1 ) = 0
y 2 = / + c , y '= 1, y = 1 => 1 = 1 + c => c = 0 entonces:
Solución y ”= y ' ~ dy
/
i
=> y 2 = ~ - i y2
íl ,2 => / = — y
y y " - y ’1
dp 2 2 y" = p — dedonde y p - - p = y p dy dy
y'= p =>
dy
*"(<>)-1
— p y
_f_4v y
p - e
y
ecuación lineal cuya solución es:
[Je
f fZ ^
.
+ c] =>
=
eln>?[j dv + c]
Solución y " = p
=!> y ' " = p — dy
~ - = y(y + c) => ——— = dx integrando dx y(y+c)
dedonde P ~ j - = 3yp dy
419)
y^ - =^y2
y
se tiene:
entonces dp = 3y dy integrando p = ^ y 2 +c para y =1, y ”= \ => 2
cx+k = In | —^ —! y + c
y y '' = y '2
—- y = -^^2 entonces dx 2
=> 2 y' d y' =3 y2d integrando:
y
Solución
0 = 1 + c => c = -1 => —
y ’" = 3 y y '\ y(0) = y'(0) = l,
porlotanto:
=y2y'
= dx => - - J l - y 2 = x + c para x = 1, y = 1
1 -y 2 = x2 -2x + l porlotanto: y = 4 l x - x 2
417)
=> - J y = -----V *-2
—%? = x - 2 f y
418)
=> - 2 y ~ 112 = x + c
para x = 0, y = 1 => -2 = 0 + c =í c = -2
— p - = x + c J y
1 = — + c, y = 1, y'- Q
o = i + c => c = -i
entonces:
2
^ r = - 1 => ? < % ' = - - % => y 3y ' dy y
integrando:
yd y
y ' = y i n => y 3l2dy = dx
Solución y ’= p
dp => p — = y " dy
2 dp dedonde y p — = p dy
4 “ ( x -2 ) 2
y— = p
=> — = ^ => lnp = Incy => p = cy /> >>
v 4^¿/v + c] , integrando tenemos
p 2 = .v 2[ - —+<■] » y
y = « 2' , y( 0) '= 0 , / ( 0 ) = 1
integran do se tiene:
y
Solución y" = y’— ' ' ¿y
422)
p = -¡ ty l - 4 y
y 2 = e 2>,+ c
para
=> -T * É = = dx ^ T y
>’eos2 (x + c) = k
y=i+y2
=> v’— = e 2y de donde: ¿y
y ' d y '= e 2ydy =>
Solución
y=l,
dp => y 1= — dx
y ,= p
ys 0
2 dp de donde — = ! + /?“ , separando la variable dx
dp —= dx, integrando: i+p1
1 = 1+ c => c = 0 => y = e y => e ~ y d y - d x
entonces
- e -y = jc+ c, x = 0, y =0 => 1 = 0 + c => c = -1 => - e y = x - \
dy arctg p = x + c => p = tg(x + c) => — = tg(x + c) dx
y
ey =
1 1 -x
. . 1 .1=ln ^ = .ln .|—— |—1 - 1 entonces: 1—x x-1
y = - ln¡x —11
de donde 423)
421)
^ [Je
— = cy => “ = cdx => In y = ex + k => y = Aec
dx
4 20 )
z=e
-----
y + k - ln |cos(x + c)| = 0
x y '( y y " -y ' 2 ) - y y ' 2 = x * y 3
2yy"-3y’2 = 4y2
Solución
Solución y ' - p
=> y = p — dedonde 2 y p - - 3 p 2 - 4 y 2 dy dy
dy t < ^ dy dt x = e , y = ue => — = ~ dx dx
.du . , (— + u)e dt ^ --------- = —du+ u e' dt
dt dp 3 — dy 2y
sea z - p
2y p 2
=>
dp 3 2 A 2 p - f - ------- p = 4 y dy y
dz _ dp => — = 2/7— dy ¿V
dz 3 ' r i = > -------- z = 4 y , ecuación lineal dy y
d dy d 2u du (— ) du. d j y d — t_ d t _ dt 2 + 'í/r = e ' ( d x 2 dx d í2 + * >
Ut
después de reemplazar en la ecuación dada se tiene en la forma:
/>'+ — - - x p 3 X
d 2u _ dp d t2 P du
du d u du ,du .2 — —+ — = (— ) => — dt dt dt dt du , , 2 de donde p — + p - p dp
dp =p -\ du
sea z = p
2
=> - 2 p ' dp’+ - p 2 =2x X
dz
-
entonces:
e 4 dx
ecuación lineal z - e dp -d u p - 1
,
_i
=> — = —2p p => dx
dz 4 — — z = 2x dx x
c Adx
x [J e
r 2xdx + e\ entonces
=> ln ¡p -l | = u + c => p - l = e u+c entonces: z = x A\ ¡ —~d x + c] => p ~ 2 = x a ( - A t + c ) => p~ 2 = cx A~ x J V
p = l + e u+c
du = 1+ e u+c resolviendo y reemplazando se tiene: dt x^cx -1
(x2+c)}n
x^cx -1
x
y = ke
424)
x ^ c x 2 -1
x 4y " = ( y - x y ' ) 3 ; y(l) = y' (1) = 1
1
Solución x 4y " = ( y ~ x y ' f
x 4y"
dy dx xy - y = O => — = — y x
y = (xy ~ y o
X 2
'
X 2
—
236
, y v 3 =_>
- - ( — )
X
2p + xp' ------------ --------- = --
x2
425)
3 =_>
y" + y’2+2y' = 0, ^
p ' , 2 p
_ 3
— + — - = - p
X
x2
y=x
= ln 2 , y j ^ - l Solución
=> / ' = p + p + xp'
dy -p
,
=> lny = lnx + c, parax=l, y= i
In I ~ ln 1 + c :r > c ~ 0 => Iny = lnx
y " - 2p + xp' por lo tanto:
x 2
o
*
= - (^ - )3 => ( ~ ) '= p ( x ) => ^ = ^ p ( x) d x y = x j p d x derivando y ’= J pd x + xp
X = 0 ==> c = oo luego para x - 1, c —>oo ==> — =====. ->
entonces
=> x 4y ” = -( x y ' - y ) i
(x y' -y )3 (x2)3
^cx2- ¡
y' = p
dp -> y = /? — de donde se tiene
p - —+ p 2 + 2p = 0 => - - ± p + 2 = 0 => ^ + dy = 0 dy p +2 dy
237
entonces: ln|p + 2 | + y = c => ln|p + 2| = c - y => p + 2 = ke y
y - p => y '= p —
rfy
de donde 3p~— = (l + /?2) 3/2 dy
— = k e y - 2 , para v'=-1, y = ln2 => - 1 = —- 2 entonces: entonces: k = 2 => — = 2(e
— dp = dy => - = J L = r = y + c (i+/>2)3'2 J iV
----
- 1) = 2(-—— ) — ^ y = (>' + c) 2 i+p
------- dy = - 2<¿x integrando ln | e y - 11= —2x + c
-------- —-1
O'+e)
e y -1 = Ae ~2x, x = 0, y = ln 2 => 2 - l = A => A = 1
7 = ln 11+ e~2jr |
=» ^ = J — y ( y + c ) 2
_
ey - 1
= l + e _2jr =>
=> P 2 + 1 = ^ 9 (y+c)
428)
y '(l + 21ny ) =
l,
integrando se tiene:(jc + k) + (3/ 4-c) = 9 y\ x=0 = 0, y \ ^ = l
Solución 426)
y = y a+ y * ) y’= p
Solución y = p
dp dp ? => y " = p — de do nde p — = /?(1 + P ) dy dy
p( l + 21np )d p~ dx => J p( \ + 2 ln p)d p = j dv + c y ' 2 l n y ' = y + c , y = 1, y = 0 => 0 = 0 + c => c = 0
—'— = ¿V => arctg p = y + c => p = tg(y + c) 1
+
/7
dy — = tg(^y * dx
=» y " = p — de donde p — (l + 21n/?) = l dy dy
y ' 2 l n y ' = y => y - p 2
diferenciando
dy = (2p ln p + p)dp => p dx = (2p ln p + p)dp entonces:
=> ctg(y + c)dy = dx por lo tanto:
dx = (2 lnp + l )dp integrando x + k = 2p ln p - p, x = 0, y'= 1 ln |sec(y +<)(/- x + k 0 + k = 0- l 4 27)
3 / ’= ( l + y 2 ) 3/2
429) Solución
238
=> k = -l
y"( y'+2)ey' = 1, y |x=0
=> x = 2pI n p - p + 1
y' |x=0 =- 1 Solución 239
y ' - p => y" = p — de donde p — (p + 2)ep = l dy ay (p 2 + 2p) epdp = dy =>
entonces: p ' - t - v c
Jcp2 +2p)epdp = jdy + c => p 2e‘ ~ y + c
y y
y = — t + cr + k , —
+ c ln x + & integrando:
p e p ‘2 - J y - c , y ' - - l , x = 0, y = e_1 entonces:
,ln2x
J— =J ^
- e 12 = ye 1+c => e ¡ = e 1+ c = > c = 0
=> p = — + cf+£ 2
y = c2e*(-j~ln2 x + cl nx + A)
+ c \ nx +k) dx+ cx
entonces
\x = (p + \) e‘’
431)
\ y = p 2ep
Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde la altura de 400,000 km. (aproximadamente esta es la distancia desde la luna hasta el centro de la tierra), si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de la misma es de 6,400 km. aproximadamente. Solución r = 400,000 km. R = 6,400 km.
Solución
t~ y ( y y " ' - y ' y " ) - 2 y ' ( y y " - y ' 2 )+ ^ ( y y " - y ' 2 ) = 4
y
2 x V (^ " - y 2 ) | y y2
y2
Condicion del problema: F = ma de donde:
y2
M — - ma => a = — r r CM d 2r entonces: „2 d t 2
-
GMm
-----
x2(— )’-2 jc 2 (—)(—),h-a :(^-),= 1, x 2(/?'+ p 2)'-2jc2 pp'+x p' = 1 => x 2( p '' + 2 p p ') -2 x2pp '+x p '=1
resolviendo el problema aplicado:
d 2r
.dr' - = r'~^~ se tiene que: t = 122 horas.
x 2p"+ xp' = l sea x = e ' es una ecuación de Euler
■I <2) dr2
¿í
dt
=. á í f „ , dt2
Hallar la ley del movimiento de un punto material de masa m que se mueve por una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamente proporcional al cubo de la distan cia del pun to x=0 cm hast a el centro i nmóvil 0. 241
Solución ni —#-
Ni
HN
Condición del problema: F = —— = m
d 2x d i1
resolviendo la ecuación se tiene: S
d x k « /(í + c2), 2 +c { donde j j m — x 2 = — —= — d i1 X Cj
Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad v. Durante la caida, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.
2y'
Solución
k = (—.v) —= ¥— V 2 2 /
; = k¡oydx derivando ÿ 2- y 2" = 2 k y ÿ 2 entonces
2 ÿ 2 - y y ” = 2 ky ' 2 sea p = ÿ => y" = p — reemplazando
dy
-|v„
Condicion del problema:
2P 2 ~ y p ^ - = 2 kp 2 => - y p ^ ~ = ( 2 k - 2 ) — ay dy y
d 2x m — y- = mg - k( —~) di2 di
mg
-\n pc x= \n y2k~2 => ~^— = y 2k 2 entonces:
al resolver esta ecuación se tiene: m ea t+ é ' ca x = —ln(— — ----- ), k 2
2
Condición del problema:
a=
-fig m
-----
PC i
tx í
4_ Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, ordenada del mismo punto y el eje OX , sea proporcional al área del trapecio mixtiiineo formado por la curva, el eje OX , y la ordenada de este punto. Solución
d x - c xy 2k~2dy =>
435)
xc = y 2k~l
Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constante. Solución Sea p el radio de curvatura ( p = ~ ) donde k
,
/"( *)
,
ECUACIONES ORDEN “n”l
(! + /'(x)2)3/2
( i + / ' w 2) 3/2
r w
tond ición del problenlá p = a, a constante VM'V,
DIFERENCIALES
r : r v 'M*:5 * / f r t H p ,
-
LINEALES
PEÍ
;y-7.AS r,
¡DETERMINANTE DE WRONSKY (WRONSKIANO)I (1+ / ',(, / V — = á = * ( l + / ’W 2) 3/ 2= / " W a
/"(*)
Consideremos un sistema finito de n funciones JiC*), y2 (*),
sea f ' ( x ) - ^ - = p => /" (* ) = -^
( l +/?2)3/2 = a — =>
dx = — ^ ~ r p r entonces: (l + /> )
t
~-----
—
—
^
j
+ ¿y =
. (x+ C l)dx
........
—
a / o
2
definidas en el intervalo (a,b), diremos que son linealmente dependientes en el intervalo (a,b), si existen constantes oc^,cx2,•••,#„ que no son todos iguales a cero tales que para lodos los valores de x de este intervalo se cumple la identidad. a 1 ?! (*) + g2y2 (*) + - + a ny n (*) = 0
■■■■-
—(x + Cj)2 => y + c2 =
-(x +
‘.i en esta igualdad se tiene que: C j ) 2
(x +c ,) 2 + (y + c2) 2 = .R, /í = a 2 constante.
a l = a2 =... = a n = 0
diremos que las funciones:
-Ja2-(x-c¡)2 por lo tanto:
(*)
y i t o , y 2M ^ y n( x)
son lineaímen te independiente en el intervalo (a,b).
Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definición. 436)
4,x
> Solución
4 a + Px = 0 derivando se tiene: P = 0 => a = 0 como a = P = 0 => 4,x son lineal mente independiente. 437)
1, 8, x, x 2 Solución
a x + 2 a2 + a 3x + a 4x 2 =0 derivando a 3+ 2a 4x = 0 derivando a A =0
441)
l,se nx , cos2x Solución
=> a 5 = 0 => a l = -2 a1 son linealmente independíente.
a x + a 2 se n x+ a3 cos2x = 0 derivando a 2 cos x-2 a 3sen2x = 0 a a 2 - 4 a 3 senx = 0 derivando -4 a 3cosx = 0 => a 3 = 0
Solución
a 2 =0
ax + 2/ix + yx2 = 0 derivando a + 2p + 2yx = 0 derivando
442)
e x , x ex , x 2ex
=> a x = a 2 = a 3 = 0
por lo tanto las funcio nes son linealm ente in dependien te.
y = 0 => a = -2P p or lo tanto no es linealmente independien te. 439)
=> aj = 0
5, cos2 x, sen2 x
5«! + a 2 eos2x + a 3 sen2 x = 0 derivando
aex +xex +yx2ex = 0 => a + /2r + )ct2 = 0 derivando
- 2 a 2 sen xeos x + 2a 3 sen xeos x = 0 entonces a 2 = a 3
P + 2yx = 0 => y = 0 = > P = 0 => a = 0 p or lo tanto:
entonces 5«! * a 3 entonces: a 3 = -5 a}
a = p = y = o entonces las funciones son linealmente independiente.
por lo tanto son lineal mente dependiente.
senx, cosx, cos2x 443)
Solución
cosx, cos (x+ l), cos (x- 2) Solución
a x se n x+ a 2 eo s x + a 3 eo s 2x = 0 derivando
acos x + Pcos(x + 1) + ycos(x - 2) = 0 derivando
a x c o s x - a 2 s e n x - 2 a 3 s en 2x = 0 => a x - a 2 t g x - 4 a 3 s e nx = 0
-asen x - Psen(x + 1) - ysen(x —2) = 0 por lo menos uno de los a,p ,y son diferentes de cero por lo tanto son linealmente dependiente.
derivando - a 2 sec2 x - 4 a 3 eos x = 0 de donde - a 2 -4 a 3eos3x = 0 derivando 12a3eos2xsenx = 0 entonces: a 3 =0 => a 2 = 0
* '
Solución
Solución
440)
«
=> a! =0
=> CL\ = a 2 = a 3 = 0
por lo tanto las fu nciones son lin ealmente independie nte.
444)
1, sen2x, (se nx -co sx )2 Solución a + /?sen2x + /(se nx -co sx )2 =0
=> a + Psen2x + y(l-se n2x ) = 0
derivan do 2|fcos2 x - 2ycos2x = 0
p=y
por lo tanto son lineal mente de pendiente
X
X
449)2 t i , arctg— , arctg— 2n 2n
Boioniñ n as! oup KornegnoquZ Solución
445)
x, a 108"* *
x x 2na + p arctg— + yarcc tg — = 0 derivando
Solución
2n
1
p — 2 * ---- r _ 2 | ----
por lo tanto no son linealmen te inde pendiente.
i
446)
2n
1
ax + /fa logax = 0 deriv ando se obtiene que a = V|/(P)
logflx, loga *2> x > 0
13
+ <2 Í ) !
o =. p-r
,+ < 2 Í )2
las funciones no son linealmente independiente Solución
al og a x +P loga x 2 = 0 => a loga x +2/? loga x = 0 = > a = -2p
450)
e 'fl,2/í f Xea,1' 1dt Jo Solución
las funciones no son linealmente independiente. 447)
1, arcsen x, árceos x
x2 /l
px
ae-aX 1+pe~aJ 1^ e a,2,1dt => a+ p¡ *e a,2/2dt = 0 Solución derivando fie n*2' 1 = 0
a + P arcsen x + y árceos x = 0 derivando:
=>p =0 = > a = 0
las funciones son linealmente independiente i h
~
i h
=0
* P=Y
las funciones no son linealmente independiente 448)
451)
fi x, x \ ■— r- d i , x > 0 J*0 t
Solución
5, arctg x, arcetg x Solución 5a + p arctg x + y arcetg x = 0 derivando: P l
Y = 0 => p = y las funciones no son linealmen te independ iente +x 2 l+ x2
f1 e* f1 e 1 a x + p x \ - j d t = 0 => a + fi I — d í = 0 derivando Jxo t XQt
se tiene
P = 0 => a = 0
las funciones son linealmente independiente 249
Supongamos que las n funciones y\( x), y2(x) ..... y„ (x)
admiten derivadas hasta el
454)
l, 2 ,x 2
orden (n—1)
Solución
El determinante: y 2(x) y[ (x ) y ! (*) yiW
y n(x) y lw
k
i 2 x2 w = 0 0 2x \ 0 0 2
=
w =o
0
M . y i , y i , ~ , y n ) ss
455)
^„-X e -x , xe
y r{ l)(x)
Solución
se llama determinante de Wronsky (o Wronskisniano), de estas funciones se observa que el Wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres fondones, el Wronskiano tiene la forma:
1 H 1
yi (x ) y 2(x) y 3{x) w i y i , y 2. y i ) =
y[(x) y\( x) y \(*) y\(x) . y ' w
1, x.
W=
456)
w= 1
x, -
X
Solución
1
1 H
-—C e ~2 7
X
“ 1 R "
= e2jr(l -x + x)
'"i e*, 2 e \ e ~ x
ex w = ex ex
457)
1 1 1 2 ex e x 2ex 1 1 -1 = 0 entonces: W = 0 2 ex - e x = 2ex e~x i 1 1 1
2, cosx, cos2x
Solución
cos2jc 0 -se n* - 2 sen 2x = 2(4 sen x eos 2x - 2 eos x sen 2x) 0 Lcosx - 4eos 2x 2
453)
1
Solución
Solución = 1 , 0 = 1 =>
1 *
1
W ~e~--2x
En los siguientes ejercicios se pide hallar el Wranskiano de los sistema de funciones indicadas. 452)
1 H
> <
cosx
= 4(2senx.eos2jc-2sen 3jt-4sen x.cos 2 x) W = ~8sen(sen2 x + eos2 x) = -8 sen x
458)
71,
aresen x
ti
sen x, sen(x + —)
1
W=
Solución
J T - x 2 -2 x (l-x2)3'2
se n*
sen(x + -—) / Ü \ 4 = sen x cos(x + K ) - eos x sen(x+ —) W= 71, 2 2 eos* cos(x+—) 4
W =-
arccos x 1 4i-72 2x
(l -x 2)3/2
2/Tt = 0 por io tanto; W = 0 (1 -X 2) 2 í l - x 2) 2
W = — 461)
7DC
4, sen2 x,cos 2x Solución
459)
X x arese n— , aresen — 7t 71
4
sen2 A' sen 2x 0 2 eos 2*
w = 0
Solución
entonces:
W = -4 sen2x.cos2x + 4 sen2x.cos2x = 0 W: i
arccos—
aresen —
1
1
71
462)
71
x, inx Solución
71
W=
x
i
x X W = ....... - ....... (arccos — haresen —) entonces
V*2- * 2 w =-
71
w=0
X
X
*
*
'163)
x
In x
I
= 1- ln x => W = 1—1n x
x
e Mx Solución
, |x| < 71
- yj 7T 2 - X 2
A i x
460)
ti, aresen x, arccos x
W=
Solución
J ' x
eV x eUx — + — X ¿ x
e \ !x =
_
_ ( *
X
464)
e x senx, e x cosx
467) Solución
sen(~ - x) , cos(- - x) 4 4 Solución
W=
e' cosx
e senx + e cosx e cosx-e senx
sen x eos x entonces W=e~ sen x + eos x eos x - enx W = e2v(senxcosx-sen2x-se nx cosx -cos 2 x) = - e 2x
entonces:
W =
^ - sen 2(—~ x) + cos 2(—- x) = 1 por lo tanto: W =1 4 4
W = - e I x
TEO REM A.465)
e 3x sen 2 x , e 3x cos 2x
Solución W=
e 3x cos 2x e 3x sen 2x -3e~3x sen2x + 2e“3x cos2x -3e 3x co s2 x- 2e ~3Asen2x
W = e- 6 x
sen 2x cos 2x - 3 sen 2x + 2 cos 2x - 3 cos 2x - 2 sen 2x
W - e 6x[-3sen2xcos2x-2sen22x + 3sen2xcos2x-2cos22x] w = e 6x (-2(sen2 2x + cos2 2x)) = -2 e' 6x
466)
cosx, senx Solución W
sen(---x) cos(—-x) 4 4 ~ cos(~—- x) sen(— - x) 4 4
cos x sen x = cos2x + sen2x = 1 entonces W = 1 - sen x cos x
Si el sistema de funciones y , (x),y2(x),...,yn(x) es linealmente dependiente en el segmento [a,b] su Wronskiano es idénticamente
nulo en [a,b]. Asi, pues, el sistema de función sen x, sen(x + —), se n( x- —) es 8 8 emente aependiente en el intervalo <-oo,oo> y como fácilmente se comprueba, su Wronskiano es igual a cero. I.ste teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de funciones. El reciproco no se cumple, puesto, que el Wronskiano, puede ser nulo, sin embargo el sistema de funciones son linealmente independiente. I n los siguientes problem as se pide de mo strar q ue las funciones dad as son Ilnealmente independiente y su Wronskiano es idénticamente cero, construir las gráficas de estas funciones.
x 2 si - l < x ¿ 0 [ o si - l< x < 0 y i ( x ) ~ r J‘ , y 2( x )= . 2 \ x 2 si 0 < x < 1 [0 si 0 < x < 1 ‘
Solución
Y t
yi Para demostrar que:
aafx(x)+ Pf2 (x) = 0 =>
ax2 +P>0 - 0
+ a =0
a .0 + p ( x - 2 )2 = 0
si x e [0,1 ] => af x(x) + Pf2 (x) = 0 entonces:
oj
J\ y f 2 son linealmente independiente.
2x o|.
pe rio ta nt o: 469)
=0 , W=
0 x0 2x
=
entonces:
Consid eremos el wronskiano en [0,2] y en <2,4] w =
0 (x-2)2 (x-2)2 0 =0 , W= = 0 por lo tanto: 0 2(x - 2) 2(x-2) 0
W[ y x, y 2 ] = 0
0
y i w =
W [ f x, f 2] ~ 0 en[-1,1]
0s i 2 < x < 4 (x-2Y -> ’ y 2Í*) = 0 l(x-I>2 si 0 < x á 2
>'¡ (*) = ■{
Solución 256
P = 0 => x g <2,4]
por lo tanto a = p = 0 las funcio nes son linealmen te independien te.
Consider emos el wronskiano W en [-1,0] y en [0,1]
X 2
=> a = p = 0 => si x g [0,2]
a . ( x - 2 ) 2 +p.O = 0 => a = 0
a.O + P jc 2 - 0 r=> p = 0
W-
4
Por demostrar que:
qfx+P /2 = 0 => a = (3= 0 si x e[- l,0 ]
luego a = P = 0
2
s i 0 < x < 2 si 2 < x < 4
JE3 SÍ - 2 < x < 0 . o V X V I [V SI
>
í°
si
i*
si
Solución Por demostrar que: ay 1(x) + Py2 (x) = 0 => a = p = 0
si
xg
[-2,0] entonces 257
aje3 +P. 0 = 0 =* a = O si x e < 0,1] entonces por lo tanto a son linealmente independiente. a . 0 + /3 j c 2 = 0
=>
p = 0
= p = 0
entonces y \ ( x ) , y 2(x )
Por demostrar que: ayx(x) +fiy2(x) = 0 => ot = p = 0
si x e[ -l ,0 > entonces:
aje2 + P (- x2) = 0 => a —p =0 si x e [0,1] entonces: a a 2 4- P j c 1 =0
Consideremos el wronskiano en [-2,0] y en <0,1]
W=
471)
0 x2 x 3 d , i1 - 0 . w = 0 2x 3x 2 0!
por lo tanto:
yj(x) = JC2, y2(x) = x |x |, - l á x á l
a-p=0 a + fi =0)
Luego:
W[y{, y 2] = 0
=> a + p= 0 => a = p = 0
por lo tanto las fiinci ones y x(x ) , y 2(x) son linealmente independiente. Consid eremos el wronskia no en los intervalo s [-1,0] y en [0,1] W =
X2
-X2
2x
-2x
= -2 x3 + 2 x } = 0 => W = 0
Solución W= í- x 2 si — l á x < 0 y 2(x) = x\ x \ = \ 2
¡xz
si
0 < x < 1
X2
X 2 = 2x} -2 x 3 = 0 => W = 0 2x 2x
por lo tanto:
W\yx, y 2] = 0
y las demás son reales. Entonces el sistema fundamen tal de soluciones es: eax eos /&,£** sen cosSx^e** sen 8xye S*x ,.. ., eXfíX
Ie TITACTONES L INEA LE S HOMO GENEA S PEI [COEFICIENTES CONSTANTES.]
y la solución general es: Es la ecuación diferencial de la forma: 4 g0y (/l)+q [y (w 1}+... + flwy = oj
y = cle ax cos ßx + c2eca sen ßx + c ^ eo sáx + c4e & se nö x + c5e X*x +. .. + cneX”x
... ( 1) d)
donde a 0, ax
an , son constantes reales.
e™ eos
. . . (2)
sen fk^ xe0“ eos fk .x e™ sen fixJ.. ., xn~le ax eos )3r, x^ 'e ™ sen
,.. ., eXnX
supong amos que Alt A2,...,An so n las raíces de la ecuación (2), en las cuales se present an los sigu ientes casos:
y la solución general es:
a)
y = cle ax eo s Px + c2e
Si Ai, A.2 e\x ' e^x
K son reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es,
^e -x„x y ja soiuci5n general es: y = cxeKx + c2e ^ x +... +cneX'x
b)
Si Aj,A2,...,A n son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo A, = A2 = ... = At = A, de modo X es una raíz k = múltip lo de (2), mientra s que m - k reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es:
+ c 2 kx k~le axfíx + Cu +i X^ e0“ sen fix + ... + cne X"x
Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus ecuaciones características. 473)
A2 + 3A+ 2 = 0 Solución
e **, x e * * x k-xe**, e^k*, x eKx d 2y n d y - +3 — + 2y = 0 dx dx
y la solución general es: y = cle*x + c 2xe*x +... + cne Kx
c)
Si alguna de
, A2
A„ son raíces imaginarias supongamos que:
Aj =C£ + //3,A2 = ex—iß , A3 = A + íA,A4 - y - iS
entonces
A2 = a - i ( 5 también será una raíz k-múltiplo y el sistema fundamental de soluciones es:
Consideremos la ecuación característica
a0 An+axhn 1+ ... + an - 0
Si A j= a + i/3 es una raíz k-múltiplo de la ecuación (2) (k <
474)
2A2 -3 A -5 = 0 Solución 2A2 - 3A - 5 = 0 => 2 y' '—3y'—5y = 0
480) 475)
Solución
\(X + l)(X + 2) = 0 Aj = 3 -2 /, A2 =3+ 2/
Solución
y = c,e3* eos2x + c2eix sen 2x (solución general)
= 0 =» y"'+ 2y" +2/= ° 481)
" 6> . < A 2 + 1) 2 =0 (A2 +1)2 =0
Solución =>
=> (A -3)2 = -4
A2 - 6A + 9 + 4 = 0 => y '-6y'+13_y = 0 entonces
A(A+l )(A + 2) = 0 => A(A2 +3A + 2) = 0 A j + 3A2 +2A
.
Aj = 3 -2 /, A2 = 3+2 /
Aj =1 , A2 =1 , A3 =1 Solución
•
Ai =1, A2 =1, A3 =1 => ( A -l)3 =0
A4 +2A2 + 1 = 0 => y ^ y ’+ y -o
A3-3A2+3A-1 = 0 => y- 3 y" + 3y -y = 0 477)
A3 =0
y = c¡ex + c2xex + c3x 2ex (solución general)
Solución
Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones. "
sus ecuaciones características y escnoir 478)
r” “ S “
482)
Solución A = - 1, A = 1 => (A + 1)( A-1) = 0 => A2 -1 = 0 => y " - y = 0
A) =1 , A2 =2 Solución (X-l)(X-2> = 0 =» A! - 3 i + 2 -0
483) => ¡ r - W
Solución
A = o , X= i => A2 - A = o => y - y = o 484)
A, =1 , A2 = l
1,
*
y = Clex + c2e x (solución general)
479)
e~x, ex
e~2x , xe~2x
Solución
Solución
A = -2, A = -2 => (A + 2) 2 = 0 => A2 +4A + 4 = 0 entonces: At = 1 ,
=> W ' 1 )! = ° *
V. . 2v.+1 .0 entonces: y - ¿y + i - u
*r- W +1‘ °
por lo tanto: y « , « '« , » ' (solución gonertf
y ”+4y’+4y = 0 263
485)
sen3x , eos 3x
Solución
491)
Solución
A, = 3 /, A2 = -3i => A2 =0 =>y = 0 486)
l,x
¿i -O , A2 = i , A3 ± - i
po r lo tanto:
Solución
X = 0, X = 0 => A2 =0 => / '= 0
1, senx, cosx
492)
=> A(A2 +1) = 0 => A3 +A = 0
/" + /= 0
e2x, senx, cosx
Solución 487)
e* , e 2jt / e 3*
Solución
A2= 2 , A2 = / , A3 = - i =>
Aj =1 , A2 = 2 , A3 = 3 => (X - 1)(X - 2)(X - 3) = 0 A3 - 6A2 +1 1A- 6 = 0 => y " ' - 6 y ”+l ly '+ ll y' -6 y = 0 488)
e x , xe x , x 2e x
A -2A + A- 2 = 0 => 493)
Solución —
® » A2 = —1+ / , A3 = —1 —i => A(A2 +2A + 2) = 0 entonc es
A3+2A2+2A = 0
A3 -3A 2 +3 A- 1 = 0 => y" '- 3y " + 3 y' -y = 0 ex , xex , e2x
y' "- 2y "+ y' -2 y = 0
se ax , e~x cosx
Solución
Aj =1 , A2 = 1 , A3 = 1 => (A -l)3 =0
489)
1,
(A-2 )(A2 +1) = 0 entonces
=>
/ ”+ 2/'+ 2/= 0
Integrar las siguientes ecuaciones Solución
494)
y=o
Solución
Aj = 1 , A2 = 1 , A3 = 2 => (A -l) 2(A -2 ) = 0
A2 -1 = 0 => X = ± 1 => _y= CleJr+C2g-Jr A3 -4A 2+ 5A -2 = 0 => y' " -4 y" + 5 y' -2 y = 0 495) 490)
l,\, ex
Solución
Solución
At = 0 , A2 = 0 , A3 = 1 => A2 ( A - 1) = 0 A3 - A2 = 0
3y"-2y'-Sy = 0
=> y' "-y "= 0
3A —2A —8 = 0
(3A. + 4)(X - 2) = 0 entonces:
496)
/ ”-3 /'+ 3/ + j/ = O, y(0) = 1, / ( 0) = 2, y "(O) = 3
e - c ¡ e x +c 2e3x
Solución
=> y'=c ¡ex +3c2e3x
para x = 0, y' = 10 = >1 0= c!+ 3c 2
A3 -3 A 2 + 3A -1 = 0 => (A —1)3 = 0 => Á, = 1 de multiplicidad 3
de (1) y (2) se tiene:
j c ¡ + c 2 - 6 [c, +3 c 2 =10
y = c¡e* +c 2xex +c 3x 2ex => l = q => y = ex +c2xex +c3x 2ex
1
Luego: y = 4ex +2e3x
y '= ex +c2ex +2c 3xex +c3x 2ex => 2 = 1+c2 => c2 =1 499)
y"'+6 y"+ny '+6 y = 0
y'= 2e x + xe x + 2c3xex + c3x 2ex entonces:
Solución A3 + 6A2 +1 1A+ 6 = 0
y "= 2e x +ex +xex +2 c3ex +2c3xex +2c3xe x +c}x 2ex
1
y ”=3 ex + xe x +2c3ex +4c3xe x +c3x 2ex => 3=3 + 2c3
1
c3 = 0 => por lo tanto: y = ex +xex 497)
...(2 )
6 -1 5
11 6 -5 -6 6 0
-1 = Aj
A2+ 5A + 6 = 0 => (A + 2)(A + 3) = 0 => A2 = - 2 , A3 = -3
/'+2 /+j> = 0
Luego A, = -1 , A2 = -2 , A3 = -3
Solución
La solución general es: y = c, e “x + c2e ~2x + c3e~3x
A2 +2A + 1= 0 => (A + l)2 =0 => A. = -1 de multiplicidad 500)
la solución general y = cx~x + c2
y ”-2 y '- 2 y = 0
Solución
498)y ,-4y + 3y = 0, y(0) = 6, y(0) = 10
A2~2A-2 = 0 =» (A—1)2 =3
=> A, =1 + ^3, A2 = l - V 3
Solución La solución general es:
y = cxe(1+^ * + c 2e(1- ^ )x
A2 -4A +3 = 0 =s> (X- l)(A -3) => Aj = I, A2 =3 501)
y * +2yv +yiv = 0
la solución general es y = c¡ex +c2e3x pa ra x = 0, y = 6 => 6 = c , + c 2
Solución .. . (1)
A + 2A + A = 0
=> A(A +1 )2 = 0
de donde:
X = O de multiplicidad 4
505)
y '+2^ = 0, y(0) = 0, /( 0 ) = 1
X = -1 de multiplicidad 2
la solución general es: 502)
Solución = Cj + c2x + c3x 2 + c4x3 + c5e * + c6xe
A2 - 2 A4-2 = 0
4y"-%y'+5y = 0
la solución general es: Solución
(A —l ) 2 = —1 7
Aj = 1 + i ; A2 = l - i
eos x + c2ex sen x
para x = 0 , y = 0 => 0 = c¿+0 =>
4A2 - 8A+ 5 = 0 => A = l ± ^ / la solución general es:
cx = 0
y = e x (c \c 0sx + c2senx) = > / = £ * c o s x í q + c2) + ex s en x( c2 - q )
x x * x y = cíe eos —+ c ?e sen — y 1 2 2
503)
=>
para x = 0, >’’=1 => l = q + c 2 +0 por lo tanto:
y -8 jy = 0
=> c2 =1
y = ex senx
Solución A3 - 8 = 0
=> (A-2 )(A2 + 2A + 4) = 0 entonces:
Aj = 2 , (A *f 1) 2 ——3
A2 ——1+ '\/3/ ^
y iv + 4 / M+10/'+12/+5.y = 0
Solución
Solución A“ ~2A + 3 = 0 => (A -l) 2 = -4
=> Aj = 1+ 2/ ^
la solución general es:
y = cxex eos 2x + c2e* sen 2x
para x = 0, y - 1 =>
1= ^ + 0
=> q =1
A4 + 4A3+ 10A2+ 12A + 5 = 0=> (A + 1)2(A2 +2A + 5) = 0
y = ex (c j eos 2x + c2 sen 2x)
Aj = -1
y %= 2 x eos x2x(c2+ 2c 2) + e x sen x(c2- 2cx )
de multipli cidad 2.
A2 + 2A + 5 = 0 => la solución general es:
268
y' '-2y'+3y = 0 , y(0) = 1, /( 0 ) = 3
A3 ——1—->/3i
la solución general es:>>= cxe 2x + c2e x eos -s/3jc + c3e x sen -\¡3x 504)
506)
A2 = -1 + 2/ , A3 = -1 -2 / y — cxe~x + c2xe x + c$e x eos 2x + cAe x sen 2x
entonces se tiene:
para x = 0, / = 3 => 3 = cx + 2c2 => por lo tanto:
.y = e* (eo s2x + sen 2x)
c2 = 1
A2 = 1- 2 /
507)
511)
y ” '+2 y '1'+4y'1'-2y'-5y = 0
y ' " - y = 0
Solución
Solución A4 + 2A3+ 4A2 - 2A - 5 = 0
508)
=>
A -1 = 0
(A+1)(A-1 )(A2 +2 A + 5) = 0
(A2+ 1)(A" -1 ) = 0 de donde:
Aj = —1, A2 —1, A3 = —1+ 2¿, A4 = —1~2/
Ai = 1, A2 ~ —1, A3 =i*, A4 = —j la solució n general es:
la solución general es:
y - q e * +c2e~x +c3 cosx + c4sen*
y = c¡e~x + c2ex +c 3e x cos2 x + c 4e~x sen 2x
512)
y v + 4 y iv + 5 / ' '-6y'-4y = 0
Solución
Solución
Ai0 = 0 => A, = 0 de multiplicidad 10.
A5 + 4A4 + 5A3 - 6A - 4 = 0 => (A2 -1)(A'+ 2)(A2 + 2A + 2) = 0
La solución general es:
dedonde: Aj = -1 , A2 =1, A3 = -2 , A4 = -l + i , A5 = .-l -i la solución general es: y =
y = c¡ + c2x+ c 3x 2 +c4x 3+ c5x4 + c6*5 +c 7x 6 +c%x 1 +c 9;t8+ c10x 9
+ c 2e* +c 3e“2* + c4e~x co sx + C5e~* sen*
10
509)
/ " + 2 y " - y ' - 2 y = o
y = Y s c¡xi ~l
i=l
Solución A3 + 2A2 - A - 2 = 0
A2(A + 2) - (A+ 2) = 0 =¡> (A2 -l)(A + 2) = 0
513)
y ' ”-3 y '- 2 y =*0
Solución
Aj = —1, A2 “ 1, A3 = -2 la solución general es:
A3 -3A--2 = 0
y = q e '1 + c2ex + c3e~lx
I 510)
y ”- 2 y + 2/ = o 1
Solución A3 - 2A2 +2A = 0
=>
Aj —0 y A2 = 1+ 1, A3 la solución general es:
A(A2 -2A + 2) = 0
de donde: —1 i
y = q + c2e* eo s x + c3ex sen x
0 1 1
-3 1 -2
2 2 0
1
A3- 3 A -2 = (A-1)(A + 2)(A-1)
=>
A3- 3 A -2 = (A -l) 2(A + 2)
de donde A = 1 de multiplicidad 2 y A, = -2 la solución general es:
y = cxe x + c 2xe x + c3e~2x
514)
Para que sea posible emplear el método de selección, el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tiene que tener en el caso general la forma:
2 /"- 3 /'+ /= O Solución
f ( x ) = e°*íPn (x ) eos f k + Q n ( x ) sen fk ]
2A2 -3 A 2 + A = 0 => A(2A2 -3 A + 1) = 0 entonces:
(2)
La solución particular es de la forma: X(2X - 1)(A - 1) = 0 => A, = 0 , A2 = - ~ , la solución general es:
A3 =1 y p ~ x se 0*[Pk (x)e os f3x + Qk (x) se n fix]
—jt/2 + c3^ x
y = q + c2£
Donde k = max {m,n} y s es el orden de multiplicidad de la raíz.
ECUACIONES LINEALES NO HOMOG ENEAS (O CO MPL ETAS) DE C O E F Í l i l S f i s CONSTANTES.Son las ecuaciones de la forma: d ny
a^dn ly
Donde a 0, a x,..., an son constantes reales.
Resumiremos en un cuadro las formas de soluciones particulares para las distintas formas de segundos miembros. N° de Segundo Miembro Raíces de la ecuacián Orden de la ecuación característica. diferencial. I 1) El # 0 no es raíz de la W ecuación característica. 2) El # 0 es raíz de la ecuación característica. 11 1) El # a no es raíz de la eaxPm(x) ecuación característica. (a es real) 2)
La solución general de ia ecuación no homogénea (1) (llamado también completa es igual a la suma de la solución general de la solución homogénea correspondiente y de cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas expuestas anteriormente. Por lo tanto el problema de la integración de ia ecuación (1) se reduce al problema de la búsqueda de una solución particular y p de la ecuación no homogénea. En el caso general la integración de la ecuación (!) puede realizarse por el método de la variación de las constantes arbitrarias. No obstante cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor facilidad por el método de selección.
III
IV
1
Forma de la Soludon particula r, donde k = max {m, n}
W x sPmM ea Pmíx)
El # a es raíz de la x se m Pm{x) ecuación característica. Pn(x ) eos ¡3x + 1) El # s ± ip no raíces de la l \ (-V) eos (ix + ecuación característica. +Qm(x)s enft x +Qk (x) sen [ix 2) El # s ± i(3 no raíces de la x s (Pk (x) eos [be + ecuación característica. +Qm(x) sen (3x) eax(Pn(x)cosíix + 1) El #s a ± ip no son raíces e,a (Pk (x) eos /ir + de la ecuación +Qm(x) sen ¡¡x) +Qk (x ) sen fa ) característica. 2) El #s son raíces de la x seca( Pk
Determinar la forma de ia solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea, si se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo miembro f(x). 515)
A¡ = 1, A2 = 2 , f( x ) = - a x 2 +b x+ c
Solución a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = x 2e'x(Ax+B)
521)
Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) - sen x + eos x
Solución
Solución
La solución particular es: y p - A x 2 + Bx +C 516)
Como ± i no es raíz entonces: y p =A sen x + B eos x
Aj = 0, A2 =l , f ( x ) = ax ¿ + bx +c
522)
Aj = -; ,
Solución
A2 =i , f ( x ) - se n x + eos x Solución
Como el cero es raíz de la ecuación característica entonces la solución parti cular es: y p = x( Ax 2 + Bx + C)
Como ± i es raíz de la ecuación característica entonces: y p ~ x( A sen x + B eos x)
517)
Aj = 0 , A2 = 0, f ( x ) = ax2 +b x+ c 523)
Solución
Aj = -2 /,
A2 = 2/, f ( x ) = A sen 2x + B eos 2x Solución
El cero es raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es:
Como ± 2i es raíces de la ecuación característica y p = x 2(Ax2 + B x + C )
y p = x( Al se n2 x + B1 cos2jií)
518)
Aj =l , A2 =2 , f ( x ) = e~x( ax +b )
524)
Aj - - k i ,
h 2 = k i 9 f (x ) - A sen Joc+ B eos kx
Solución Solución a = “1 no es raíz => y p - (Ax+ B)e~x Como ± ki es raíz de la ecuación característica. 519)
Aj = -1 , A2 = 1, f ( x ) = e~x( ax + b)
y p =x (A { sen kx + B¡ eos kx)
Solución a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = xe
(Ax + B)
525)
Aj= l, A2 =l, f ( x ) ^ e~x (A sen x + B eos x) Solución
520)
Aj = -1 , A2 = -1 , f ( x ) = e X(ax + h)
531)
Como -1 ± i no es raíz de la ecuación, entonces: y
526)
A2 = - / , /(*) —senx+ eosx
Solución
= e~x (Ax sen x + Bx eos x)
Como ± i es raíz de la ecuación característica.
A, =- 1- /, A2 = -1 + i, f ( x ) = e* (A sc nx + B c os x)
^ = x( As en x + Bc os x)
Solución 532)
Como -1 ± i es raíz de la ecuación, entonces:
Ax = - 1 , A2 = U A3 = 2 , f ( x ) = ae~x +bex
Solución y p = xe~x (Ax senx + BX c osx)
527)
Como -1 es raíz y 1 también es raíz entonces:
A, = A2 = A3 =1 , f ( x ) = ax 2 +bx + c
y p =
Solución Como cero no es raíz de la ecuación y p = A x2 + Bx + C 528)
533)
+ Bx ex = x( Ae~ x +
x )
A! = A2 = 1, A 3= 2, /( x ) = 0 senx + ¿cosx Solución
A, =0 , A2 =l , Aj = 2, f ( x ) = ax 2 + bx +c
Como ± i no es raíz de la ecuación característica,
Solución
y p
El cero es raíz de la ecuación característica. y p = x( A x 2 +B x + C) 534) 529)
Aj = 0 , A2 = 1, f( x ) = (ax 2 +bx+c) ekx, k * 0 , k * 1
A, =A 2 = 0 , A3 = 1 , f ( x ) = ax 2 +b x+ c
Solución
Solución Como k no es raíz de la ecuación característica . y p El cero es raíz de multiplicidad 2 de la ecuación
530)
(Ax2 +Bx+C)ekx
y p = x 2( A x2 +B x + C)
A, =A2 =A3 = 0 , f ( x ) = ax 2 + bx +c
535)
Aj =3 -2 /, A2 = 3+2 i, /(x ) = -e*(sen2x + cos2x)
Solución
Solución Como el cero es raíz de multiplici dad 3 entonces, y p = x 3(Ax 2+ Bx + C)
3
e3x sen 2 x + B eos 2x) ± 2i es raíz de la ecuación característica y . p = x (A
Determinar la forma de la solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 536)
541)
Solución
/'+ 3 /= 3 A"' - 10A + 25 = 0
Solución A2+3A = 0 => Aj =0 , A2 = -3 ei cero es raíz entonces: 537)
entonces:
y p = A x
=> (A - 5 ) 2 = 0
=> X = 5 es raíz de multiplicidad 2,
y p = x 2Ae 5x es decir y p = A x 2e5x 3
/ ’- 7 / = ( x - l ) 2
542)
Solución A2 - 7A = 0
4 / ’- 4 / = j t e 4* Solución
Aj = 0 , A2 = 7 como el cero es raíz de la ecuación
características entonces: 538)
y" -\ 0y '+ 25 y = e 5x
4A2 -3A = 0 => Aj =0 , A2 = — como a = — es raíz entonces: 4 4
y p = x( Ax 2 + Bx + C)
-jr
2
y p =( Ax + B) xe 4 =(Ax2 +Bx)e 4
y"+3 y = e x Solución 543)
y ,-y -2 y = ex + e'2x
A2 + 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 como a = I no es raíz ento nces:
Solución
y p = A e x
A2 - A - 2 = 0 => (A. - 2)(X + 1) = 0 => X= -1,2 => y p =A e~ x + B el x 539)
y ”+l y' = e~ lx
544)
Solución
y " - 4 y = x e Ax
Solución A2 + 7A = 0 => Aj = 0 , A2 = -7 como a = -7 es raíz entonces: r 2 - 4 r = 0 =» y p =A x e- 7*
540)
y p = x( Ax + B) eAx
y '- iy '+ 16 v = (1 — x) eAx
545)
Solución A2 - 8A+16 = 0 entonces: 278
=>
(A - 4) 2 = 0
= 0 , rj = 4 como a = 4 es raíz entonces: => y p = (Ax 2+ Bx)eAx
y M+25y = c o s 5 jc Solución
X = 4
es raíz de multiplicidad 2,
= x 2(A x + B)e~Ax es decir y p = (Ax * + B x2 )e~Ax
2 A +2 5 = 0 => A, = ± 5i como ± ip es raíz de la ecuación entonces: y p = x( A eos 5jc + B sen 5jc)
546)
551)
y' '+y = sen x - eos x
/ ’+A2>' = *sen(ADc+a)
Solución
Solución 12 . .2 A +k2-0
A2 +1 = 0 => X = ± i como ± i|3 es raíz, entonces:
entonces:
y p = x(i4senx + ¿?cosx) 547)
552)
y" +l 6y = sen(4x+a)
=> A . - ± k i como ± ip es raíz de la ecuación característica sen &r + 5 cos to)
y " + k 2y = k
Solución
Solución A2
A2 +16 = 0 => X = ± 4i es raiz de la ecuación.
entonces:
y p = x( As zn 4x + B eos 4x) 548)
y"+4y' +iy = e2x (sen2x+ cos2x) Solución A2 +4A + 8 = 0
553)
y " + 4 y
de donde el cero no es raíz de la ecuación y p - A
= sen x.sen 2x Solución
=> X. = -2 ± 2i como a ± ip no es raiz de la ecuación
característica entonces:
2 = 0= > A = ±k i
senx.sen2x = senx + sen3x
=>
A2 +4 = 0 => A = ±2i luego ±i pn o e s
raíz de la ecuación característica entonces:
y „ = e 2' (A sen 2x+ B eos 2x)
y p = A¡ sen *+ 5, cosx + /í2sen 3x + B2 cos3x
549)
y ’-4y'+&y = e2x(sen2x + cos2x) Solución A2 -4 A + 8 = 0
=> X = 2 ± 2i
característica entonces:
554)
Solución
como a ± ip es raíz de la ecuación
/'- 4 /= 2 c o s 2 4x = l + cos8x => A2- 4A =0 entonces: A, =0 , A2 =4
y „ = x e 2x (A sen 2 x + B eos 2x)
entonces: 555)
550)
y' '~4 y ' = 2 eos2 4x
y p = Ax + B sen 8 x + C eos 8.r
y" '+y = x Solución
y ’’+6y'+ 13 y = e 3x eos 2x
Solución A2 +6A + 13 = 0
=> X = -3 ± 2i
característica, entonces:
como a ± ip es raíz de la ecuación
y p = xe 3v(/í sen 2 x + B eos 2x)
A +1 = 0 => A, = - 1 , A2 = - + £ , , A3 = i - ^ / , e n t o n c e s : y p = x(A x + B)
536)
y '”+6y "+ ll y' +6 y = l
562)
/ ”-/" = 4
Solución
Solución
A3 + 6A2 + 11A+ 6 = 0 => A1 = - l , A2 = - 2, A3 = - 3 entonces: y p = A 557)
A 563)
/"+ /= 2
A —0 => A - 0 , de multiplicidad 3, A = 1 entonces:
y v+ 4 / ’'+4 /' = 1
Solución
558)
Solución
=> A, =0 , A2 = í\ A3 = - i entonces: yp =/ü :
A3+ A = 0
= Ax3
A4+ 4A3+ 4A2 = 0
/" + /'= 3
entonces:
=> A= 0 de multiplicida d 2, X = -2 de multip licidad 2
= /íx2 .
Solución A3 + A2 = 0
=> A , = 0 de multiplicidad 2, A2 = -1 entonces:
y p - x 2A
=>
564)
y iv + 2 y” ’+ y " = e x
Solucion
y p = A x 2
A4 + 2A3+ A2 = 0 559)
y iv- y = 1
entonces:
Solución A4 —1= 0
=> Aj = , A2 = -1 » A3 = i , A4 = —i
entonces: 560)
565)
y v - f 2 y ,,+ y , = ^ Solucion A4 + 2A3+ A2 = 0
Solución
entonces:
y p =
/ v + 2 / " + / ’ =*£>-*
y iv - y " = 2
Solución Solución
A4 - A 2 = 0
=> A = 0 de multiplicid ad 2, X = -1 de multiplicidad 2
=> A[ = 0 , X.= 1, A2 +A + 1= 0 entonces: y p = Ax 566)
561)
>. = -1 de multi plicida d 2
y^ = Ae 4x
y p - A
y iv - y ' = 2
A4 - A = 0
=>• A = 0 de multiplicid ad
=> A, = 0, A2 = ±1 de multiplicidad 2 entonces: y p = Ax 2
A4 + 2A3 + A2 = 0 entonces:
=> A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2
y p = x 2(A x+ B) e~ x
567)
y lv + 4 y '+4 y = sen 2x
A4 - 2n2A2+?iA = 0 Solución
A4 + 4A2 +4 = 0 entonces: 568)
entonces:
=> (A2 + 2)2 = 0 entonces A= ±^2i de multiplicidad 2
572)
=>
(A2 - n 2) 2 = 0
= A sen nx + B eos nx
y v + 4 / " + 6 y ,+ 4 / + y = senx
y p =(^ísen2x + ^cos2x)
Solucion
y lv + 4 / '+4y = cos x
A4 + 4A3 + 6A2 + 4A +1 = 0 => Solución
entonces:
=> A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:
A4 + 4A2 +4 = 0
573)
y iv - 4 / ,,4 4 / ,- 4 / +
Solucion
y lv + 4 / '+4y = x sen 2 jc
A4 - 4 A3+ 6A2—4A + 1= 0(A —l) 4 = 0 de donde X = 1de multiplicidad Solución
A4 + 4A2+4 = 0
(A + 1)4 = 0de Aj = -1 de multiplicidad 4
y p = A sen x + B eos x
y p = (,4 se n* + 2?cosx)
569)
=> A = ±« de multiplicidad 2
4
=> A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:
574)
entonces: y p = A x Ae x
y iv -4y"+4y"-4 y+y = x e x
= (A x + i?) eos 2x + (Cx + D) sen 2x Solución 570)
y lv + 2n 2y" +n Ay = asen( nx + a)
A4 —4A3+ 6A2—4A +1 = 0 => (A —l) 4 = 0de donde X = 1 de multiplicidad 4
Solucion entonces: A4 +2 « 2A2 + / j 4 = 0
=>
(A2 + h 2)2 =0
y p = x 4 (,4x + £)*
=> A = ± ni de multiplicidad 2 Resolver las siguientes ecuaciones.
entonces: 571)
y
= x 2(A se n nx +B eos nx)
575)
v"+ 2/+ j; = -2
y lv - 2 n 2y"+) iAy = eos(/ix + a )
Solución
Solución A2 + 2A +1 = 0 =>
A = -1 de multiplicid ad 2
x2 1 0 + 2A = 1 ==> A - — => y p = — entonces: 2 2
y g = cxe x + c2xe x además y p = A = - 2 por lo tanto:
2
y = y p + y g de donde
= q + c 2* + c 3e
y = cxe~x + c2x e x - 2
579) 576)
5y "' -ly "—Z - 0
y"+2 y'+ 2 = 0'
Solución Solución 3
A2+ 2A = 0 =>
=
A
=>
y \
=
A = -1 => y p = -* 577)
0
=>
=
=*2* -*
=
3x2
580)
+ yp
3yiv+y'"=2
Solución
^
3A4 + A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 y A = - j entonces:
= cx cos3 x + c2 sen3x + l
X
578)
7 A= —
y " + 9 y - 9 = 0
A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde= cx cos3x + c2 sen3 x, y =
de multiplicidad
1 3*2 por lo tanto : y = y g + y p = cl + c 2 +c i e 5x -------
Solución
y
A= 0
3 de donde 0 - 14A - 3 = 0 => A = ~ — => 14 =>
0 + 2A + 2 = 0
=>
=>
y" "+ y" = 1
íg =c, + c2x + ci x 2+ c4e 3 y ad em ás y
Solución A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicid ad 2 y A = -1 de donde = Cj + c2jc + c3e~v yademá s y p = A x 2 => y p =2 Ax entonces:
y p = 2A
entonces:
7 — jr ^ = c, + c2x + c3es yademás y p = A x 2 => y' =2y4x => y* =2^4
y g = cx + c2e~lx además y p - Ax entonces: y pl
2
5A -7A =0
Aj = -2 , A2 = 0 entonces:
= Ax3
entonces: y pl = 3A x2 => y*p =6 Ax => y* = 6A 1 x3 de donde: 0 + 6A = 2 => A = — => y „ = — / p 3 3 _ í 3 po rlo tan to: >' = >'g + y p =c, + c2jc + c3x2 +c 4e 3 + ^ -
581)
/ v - 6 / ”+6 = 0
entonces 4Ax2 + ( 4 5 - 8 A)x +2 A -4B + 4C = x 2
Solución A4 - 6A3 =0
=> . A = 0 de multiplicid ad 3 y A = 6
Por lo tanto: A = ±
* =i , C=| . 2 »
Dedonde:
-íl+ í+ 2 4 2 8
entonces: y g = c¡ + c2x + c3x 2 +c 4e6x y además y p = Ax 3 entonces:
y = y g +y = c¡e2x+c 2xe 2x+ - + ± +1 4 2 8
Entonces y^p = 3A x2 => y pn =6 Ax y® = 6A 1 x3 de donde 0 - 12A + 6 = 0 => A = — => v„ = — 2 2
584)
y"+8y' =8x
x3 y = >'s +y /, =Cj+c2x+c 3x2+ c4e6t+ —
Solución A + 8A = 0 => A] = 0 , A2 = —8 . De donde
582)
/ v- 2y ’’+ 2 / '-2/+>> = 1
y g =c i+ c 2e 6x,
y p
= x(Ax + B) = Ax2+Bx, donde:
Solución
y P = 2Ax+B => y p = 2A . De donde 2A + 16Ax + 8B = 8x
A4 - 2A3+ 2A2- 2A +1 = 0 . De donde A, = 1 de multiplicidad 2 y A2
entonces: A = ±, B = - ~ , entonces:
A3 = -/ donde: y g = c¡ex + c2x e x + c3cosx + c4 senx, y ^, = ,4 = 1
2
^ ~ y g +yP = c¡ex + c2xe'r + c3 cosx + c4 senx+1 583)
8
=íl_£
y ’
p
2
8
Dedonde: y = y g + y =C) +c2e~(,x + £ _ _ £ 2
y' ' -4y '+ 4y = x
8
Solución 585)
y"-2k y'+ k2y = ex , ( k * l )
A2+ 4A + 4 = 0 => A = 2 de multipl icidad 2 Solución = c¡e 2x +c 2xe 2x y
= Ax 2 + Bx+ C entonces:
A - 2£A + k 2 = 0 => A. = k de multi plicidad 2 y p = 2Ax + B => y \ = 2 A .
De donde: 2 A - 8 A x - 4 B + 4 A x 2 + 4 Bx + 4C = x 2
g =c\ekx +c2xekx, también, ^ = Aex , dedonde: Ae x -2 kA ex + Ak 2ex = le x => A-2 kA + A k 2 =1
A( k —1) 2 =1 => A —
589)
1 — => y p — e 2 (¿ -1 )2 (£ -1)
y" +3 y' =3 xe ~ix
Solución A2-i-3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 de donde: donde :
ex py = yg + y P = c\ek c\ekx +c 2xelx xelx + ( ~ - ¡ p-
= C j+ c2e _3jr y además además .y^ .y^ = (/ lx 2 +fi x)e ~3j ~3jr obteniendo obteniendo 586) 586)
y+ 4y +4 y = 8e'2j 8e'2jr Solución +4 = o
y p =
x2
x
1v y la solución general es:
=> X= -2 de multiplicidad 2 y = y g + yP y P = c\ c \ + ci ^ x - ( ~ + ~ )e )e ^x ^x
^ = cxe~2x+c2xe~2x, y ^ ^ V
2' de donde: y , = 4 x V * 590)
entonces: 587)
y+ 5y +6 _y = 10(1-x)e~2x Solución
y ~ y g + yp = ci e ~* + c2xe 2x + 4 x2e
A2 + 5A+ 6 = 0 => Aj = - 2 , A2 = - 3 , de donde: y g = c ^ -2* -2* + c2e~3 c2e~3** ,
y"+ 4y' +3y = 9 e~ix
Solución además A2 +4A +3 =0
= (Ax2 + Bx)e~ l x , obteniéndose y = (20x - 5jc2)e~2jr, 5jc2)e~2jr,
=> A, = - 1, A2 =- 3 . De donde donde:: y la solución general es: es:
y g = cte~x +c 2e~ix y y p =Ax e~i , entonces: c2e~3x +( 2 0 x -5 x 2)e~2x 2)e~2x y = yg +y p = c\ + c2e~3x y p = - ^ - x e 3x dedonde:
y = y g + y p = cxe x +c 2e ix -
o s I o t
591)
y '+ 2 y + +2y = l + x
Solución 588)
ly"-y'=\4x
Solución
A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1 ± /, de donde A
7
A2 - A = 0 => A, = 0 , A2 = ^ . De donde y e = c x+ c2e 1
y p = A x 2 +B x .entonces: y p = - 7 x 2 -9 Xx entonces: X
y = y g + y p =
+ c2e 7 —lx ~ —9Sx
y g = c xe~x co sx + c2e~x sen* además además y p = Ax + B x obteniéndose y p = — y la soluci solución ón genera generall es: 2
cxe~x c os x + c2e~x senx + ^ y = y g +y p = cxe~x
291
592)
= (x+ x2)ex
y " + y '+ y
594)
y %'+y = 4x eos x
Solución
Solución
A2 +A + 1= 0 => A = - - ± a/3 i dedonde:
A2+1 = 0 => A = ± / de donde:
2
= q cosx + c2 senx y además:
y p = x[04x + 2?)co sx + (Cx + 2?)senx] obteniéndose :
V3 i V3 = q e 2 e o s — x + c 2e s en en —
y p = x2 sen x + x eos x y la solución solución general es: es:
además
— (Ax2 + Bx + C)cx obteniéndose
y = y g +yp = cx eosx + c2senx + xse n2 x + xcosx X X
1
—)e x y la solución general es: v = (----------i- —)e
y p
V 3
3 3
595) 595)
y '-2my'+m2y = sen /zx Solución
( q c o s — x + c 2e2 e ~~~2 s e n ■\/3 — x ) + X ( —2 - X- + 1- ) * x*
——
y = y g + y P = e 2
A2A2 - 2/wA 2/wA + m 2 = 0 => A = m , de d e multipli mult ipli cidad cida d 2, 2, 593)
de donde: y = q e wt + c2xemx , y además y p = A sen nx + 2? eos /zx
y' ' +4 y'- 2y = 8 sen 2x
Solución
. ., , (/w2 (/w2 - w 2) se n« x+ 2/wfl. 2/wfl.co cos/2 s/2x obteniendose: y = - ---------- -------------------------(m2+n2)2
A2 + 4 A- 2 = 0 => A = -2±-J(> dedonde:
y la solución general es: mx,
v (/w (/w2 -w 2)sen«x 2)sen«x + 2/w« 2/w«co cosw swxx (q + c2x) c2x) + --------------------- — -----------(m +n )
y g = c1e(_2 c1e(_2+^ )x + c2e ("2‘ ("2‘ ^ )Jr y además:
>>p = /4 sen 2x + 5 eos 2x obteniéndo se: v _
l 2sen2 :c+1 6cos 2:y y ia solución general es: 25
y >
=
(-2+ (-2+V6), V6), + „ -(2+t/6) -(2+t/6)jtjt 12sen 2x +1 6c os 2x = c ie +C2e +C2e25
596)
y '+2y'+5y = e~x sen 2x
Solución A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedond e: y g = qe~* eos 2x + c2e~x sen 2x además:
y p = xe~* (A s e n lx + B c o s lx )
obteniéndose y p = - — e~x c o s lx
y la
599)
(sen x + eos x) x) y ’+2y =4ex =4 ex (sen Solución
solución general es:
A2 + 2A = 0 =>
y = y g + yp = (cl eos2 x + c 2 se nl x) e~ x ~ ~ e * cos2x
597)
Aj = 0 , A2 = -2
y g = cl + c2e 2x además: y p = e x( A se nx + B co sx ) obteniéndose:
y" + a2y = 2costfw 2costfw + 3senmx, m * a
e y p = — (6 sen x - 2 eos x) y la solución general es: es:
Solución A2 + a 2 =0
y
600)
+ c 2e
2 e' + --(6senx-2cosx)
y ’+ 4/ + 5y = 10e_2 10e_2jr eos x
Solución
2cosmx + 3senmx , ' ., . = --------- --------------, a * m y la solucion general es: a2-m -
y
598)
y = y g + y p =
=> A =±a / de donde donde yg =Cj =Cj eos ax + c2 sen ax
y además y p = A eos ms + B sen mx obteniéndose:
de donde
- y
8
A^+4 A + 5 = 0 => A = -2 ± i dedonde: dedonde:
2 eos mx + 3se n mx ------- c x eos ax + c2 senax + --------- ------r ------a -m
+ y
y = c¡e 2a cos x + c 2 e 2*senx además: y = xe 2x (A eos x+ B sen sen x) x) de donde se obtiene:
y " - y ' = e x senx
y
Solución A2 -A = 0 => A! =0 , A2 =l dedonde dedonde y g = cl + c2e x además: y = ex (yís enx+j Bcosx) obtenié obteniéndos ndose: e: y p = —— (sen x + eos x) y la solución general es:
= 5xe * sen x y la solució n general es: c2e 2*senx + 5xe v senx y - y g +y p - c xe 2xco sx + c2e
601)
y '+2y'+5y = e x (2x + sen 2x)
Solución A2 +2A + 5 = 0 => A = -1 ± 2/ dedonde: dedonde:
y = y g + y "
p
e = cx + c2x c2x +—2 (senx + cosx)
y g = cxe cxe xcos2 x + c%e c%e Xsen2x además
yp - (Ax + B)e x + ye X(C sen sen 2x + B eos 2x) obteniéndose y P
x - x
604) /
Solución
x co s2* + —e * y la solución general es:
? 1 3 A + A - 2 = 0 => A= — ± —/ de dond dondee 2 2
y = c¡e~x cos2 x + c 2e x s en 2x - —e~r —e~r cos2x + — e~ 4 2 4y''+y' = = x sen x
602)
y' '+ y' -2 y = x 2e4x
-
-
3
—
3
3
y a = Cíe 2 cos —cos x además —cos —x —x + es e 2 sen —
1
x
2
2
2
Solución 4
y
A2 + 8A = 0 => Aj = 0 , A2 = - 2 de donde
2 7 e 4* y„ = (x -x +— ) ----- y la solución general es: es: J p 18 18 5
y g = cx + c2e~lx además: y p = (.4x + 2?)senx + (Cx-f £>)cosx ,
7 y i x obteniéndose: y = -( ---------- > s e n xx- ( — + — ) cos x , p 20 50 10 50 y la solución general es y = y g + y p es decir: / = c ,+ c 2e ** 603)
20
50
-J 3 -t 3 2 7 e 4x v = Cíe Cíe 2 cos —x + ese z sen sen —x+ (x - x + — ) — ' 2 2 2 18 18
605)
Solución A2— A2 —3A+ 2 = 0 => At = 1, A2 = 2 de donde: = ^ 2* +c2elx además y = (A x2 +B x+ C) e 3jc
Solución
3x
C
A~ - 3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2 de donde don de
y p
y la solución general es:
x 2
y = yg +y p
= cxe* +c2e2x-( +c2e2x-( — + x)ex x)ex
2
obteniéndose: y p = --------(x --------(x - 2x + 2) y la solución solución general es: e 3x y = cxe cxe x + c2e 2x + - y ( x - 2 x + 2)
además y p (Ax + Bx)e x obteniéndose
= —(.* —2 + x)e x
y' '- 3y' +2y = ( x2 + x)e3j x)e3jr
Sen x - ( — + — ) c os o s x 10 50
y' ' -3 y'+ 2y = x ex
y g = c¡e + c2e
= (A x2 +B x +C)4 x de donde:
606)
y " ’-y " + y '- y = x 2 + x
Solución
A3 - A2 + A -1 = O => A2(A-1) + (A-1) = 0 entonces: (A2 (A2 +1)(A-1) = 0 =>
Aj =1 , A2 = /, A3 = -/
y p = x 3 + 6x 2 + 18x + 24 y la solución general es:
de donde donde
y - c xex + c2 cosx + c3 senx además además:: y p = Ax 2 + Bx + C
y - y g + y p = c¡ex + c2x ex + x3 +6 x2 +18 + 24 24
609)
5y''-6y'+5y = \3e x coshx Solución
obteniéndose: y = - x 2 - 3x + 1 y la soluc solución ión general general es: es: 5yM-6y '+5 y =
y = y g + yp = c1ex +c2 cosx cosx + c3se c3se nx- x2 -3x + l
607)
-1 ) => 5A2 5A2 -6A + 5 = 0 entonces
3 3 jc 3 4 -x 4 — 4 x + Cie Cie 5 s e n - x A = —± —± —1 —1 de donde y a = c }e5 eos — 5 5 '* 1 5 1 5
y iv -2 y' "+ 2y "- 2y '+ y = ex
e2x+ 1.3 además y p = A e2x +B obteniéndose: y p = -----
Solución A4 - 2 A3+ 2A22A2- 2A+1 = 0 de donde donde (A2 (A2 + 1)(A-1)2 = 0 entonces entonces A = ld e
y la solución general es: 3
multiplicidad 2 y A2 = i , A3 A3 = - i de donde se tiene
~x 4 e2x , e 5 eos —x„ + —^ + yv_ y = yv_g + p = cc1e5 —^ - + 1.3 —X
5
2
y g = cl e~x + c2xe~ x + c3eosx + c4 sen* además además
610) 610)
y, v+y M= x z +* Solución
x2
2
y p = Ax e x de donde y p = — e x y la solución general es:
"A4 + A2 = 0 => y
608) 608)
x2
= c¡ex + c2xex +c3 eo s x + cA senx senx + — e x
A2 = i , A3 A3 = -i de donde: yg = C! +c 2x + c3 cosx + c4 senx ademá ademáss y p = x 2( Ax 2 + £x + C)
y "- 2y,+y 2y,+y = x 3 Solución A2 - 2A +1 = 0 => A= 1 de multiplic multiplicidad idad 2, 2, de donde donde y
Ai = 0 de multiplicidad 2
=Clex =Clex +c 2xe x además y p = Ax" + B x 2 + Cx + D obteniéndose
x4 x3 obteniéndose y „ = — h------- x 2 y la solución general es: p 12 6 y = y^
x4
= Cj + C 2 X + C3 COSX + C 4 S e n x + —
x3
+ —
- X
2
611 )
2 A + 2A +1 = 0 => A = -1
y v - y iv = xe x - l
de multiplicidad 2 de donde:
y g - c xe~x +c2xe~ x además:
Solución A5 - A4 = 0 => A = 0 de multiplicidad 4, A = 1 de donde:
y p = e~x[(Alx 2 + A2 x +A3) c o s x +(B\X2+ B2 x + B3 ) senx]
y g =c, +c2x + c^ xl + c4x 5 + c5e* , además:
obteniéndose: y =e~ x (- x 2eos x + 4x sen x + 6 eos x) ,
x2 y p = x( Ax + B)e x + Ax 4 obteniéndose y p = (— - 4x)ex
y la solución general es: y = c¡e~x +c 2xe~x +e~x ( - x 2 cosx + 4xsenx + 6cosx)
y la solución general es: x 2 y = y g + y p = q +c 2x + c3x 2 +cAx 3 + c5ex + (—— 4x)ex
614)
y '" -4 y '= x e lx + senx + x2
Solución 612)
y" +y = x 2 senx
A3 - 4A = 0 => Ax - 0 , A2 = 2, A3 = -2 de donde
Solución A2+1 = 0 => A = ±i dedonde y g = c¡ eosx + c2 se n x
y g = cl +c 2e 2x +c 3e~2x además se tiene:
además y p = x[( Ax2 + B x + C ) se n x + (Cx2 + Dx + E)eosx]
y Pi =( Ax + B) xe 2x , y ?i = Csenx + Dcosx,
de donde se obtiene que:
Ded ond e:
x
x3
x2
£ 2*
y p = (———) eos x + — sen x y la solución general es:
613)
1
4
6
Solución
21
X3
X
X3 X y = c1 -hc2e 2 x' + c 3é?- 2 x + e 2 * (2x 2 - 3x)x h COSX ----- — - -
4
615)
y ',+2y '+y = x 2e x co sx
+
j, obteniéndose:
= -----(2x - 3x) + —eos x -------------, y la solución general es: 32 5 12 8
x x3 x2 v = Ci cos+ c-j sen x + (---------) eos x + — sen x
J
=
= ( ^ x 2 +A 2x + A3)x .
y->>=senx Solución
A3 -1 = 0 => A. = 1, A2 =■-—+ — I, A 1 2 2 2
2
d
2
e
A4 - 2A2 +1 =0
donde
=> (A "- l)2 => A, =1 de multiplicidad 2, A2 = -1 de
multiplicidad 2. De donde: y g = c, ex + c 2xe x + c3e~x + cAx e x además V3 x + c3e 22 s en — V3 x ademas = q e JC+ c2e T 2 cos —
eos X
y p = A eos x + B sen x de donde: y p = — y p = y4senx-f ¿?cosx obteniéndose y p = —(cosx -senx )
y la solución general es y = y g + y p es decir:
y la solución general es:
y = cxe x+ c 2xe x +c 3-r + c4xe -r +
618)
cosjc ------
4
y '+y = 2 sen x. sen 2x
1 Í x)\ y - c xe x +c 2e ~T2 c o s -V^3- jc + c2e 22 sen-^-Jt + ~(cosx-sen
Solución 2senx.sen2x = cosx - cos3x => y '+y = eos x - eos 3x
616)
y '+2y' +2y = e~x eos x + xe x
2 A +1 = 0 => A = í / de donde se tiene:
Solución
y p - cx eos x + c 2 sen x además y Pi = x( Ax eos x + A2 sen x)
A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1 ±/ ' de donde: y g =c¡e ~x co sx + c2~x senx
y P2 = Bx eos 3x + B2 sen 3x de donde y p = y Pl + y Pi
además
-
= xé~ x (A sen x + B eos x ) ,
j
obtemendose:
=(A x + B)e~x de donde
xsenx 2
, .,
x sen x eos 3x y = Ci cos x + c2 sen x-f ---------+ -------2 8
_
= — e * sen x+ xe * y la solución general es:
619)
/ ’+4y = jtsen2 x
x e x
y = y g + y p =e x (c¡ eosjc + c2 senx)h— -— sen x+ xe
617)
cos3x 8
---------------------------------------------------------------------- ----1- -------------- y
y p
y p = y Pl + y p2 obteniéndose que: jc _
Solución * XCOS2XA + 4 =-20 y +4y = x sen 2 x = ---------------
j ‘v-2 /'+ .y = eos*
2
Solución
=>
de donde
2
= cx eos 2x + c2 sen 2x además y
^
=> A = ±2/ = Axx + A2
la solucion
y Pi = 4(SiX + C,) eo s 2x + (B 2 x + C2) sen 2x] de donde:
A2 + A = 0
=>
Aj = 0 , Aj = -1
de donde:
yg =c1+c2e~x además yP{ = A¡ co s 2x + A2 senx.sen2x
y p = y Pí + y Pl obteniéndose:
% x xcos2x x 2 sen2 x , , ., f v ---------------------------------y la solucion general es: ^ 8 32 16 x xcos2x x2 sen 2x = q eos 2x + c2sen2x + — ----16 ~
y Pi =A3ex , y p3 =x(B ¡x2 + B2x + B3) dedonde: yp = ypi +yp i +yp , obteniéndose que:
-----
620)
ex + (,x5 X 2+ 2 ~x ) sen2x cos2x + --- y - ----------------------- p 20 10 2 3
/ v + 2 y 1' '+2y '+2 /+.y = xe* Solución A4 + 2A3 + 2A2 + 2A +1 = 0 de donde (A2 +1)(A + 1)2 =0 => A = —1
y la solución general es: y = y g + y p es decir: sen2x cos2x e x x 3 2^ y = c1+ c2e x + ------------- ------ + — + ------- x +2x 20
de multipl icidad 2. A = ±i de donde: j;g = cxe~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx además: ^
= (^ x +
)** =*
x 1 x y „ = (-------)e x — cos x y la s olució n general es: y P v8 4 8 X 1 J y = c1e~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx + (— ~ ~ ) e * " cosx
621)
Solución 7
% *
9
• COS 2 x r 2 => y +y = -------- +-e' + x~ -
3
Solución A5 + 4A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 => A = ±2/ de donde: y g = c¡ + c2x + c3x + c4 cos 2x + c5 sen 2x además y P¡ = A e x, y Pl = *(^2 sen 2* +
de donde: y p =
cos 2x), y p¡ = /í 4x 5
+ y pi + y p¡ obteniéndose
e x 3x x3 = — + — sen 2x + — y la solución general es:
/ ' + / = c o s 2 x + e* + x 2
y + y = eos x + e +x
2
y v + 4y M= ex +3sen2x + l
.V/>2 = X(B\ sen x + B 2 cos x )
de donde y p - y p + y Pi obteniéndose que:
10
623)
y ''-3y ’+3 y '- y = e x cos2x
625)
y " + y '= x 2 - e ~ x + ex
Solución A3 - 3A2 + 3A -1 = 0 => (A - 1)3 = 0
Solución => A = 1
de multiplicidad 3, de
A2 + A = 0 => A) = 0 , A2 =-1 de donde _ve = íj+ c 2e~
donde: y g = cxe* +c2xe* +ci x 2e* además: además yp¡ ~x(A,x2 +A2x+A 3) =>
e* sen 2x y =ex ( A eos 2x+ B sen 2x} obteniéndose y p = ” O
yPx =B xe X, y p =ce * de donde y p = yp¡ + y p¡ + y p¡
Jf3 1 obteniéndose: y --------x 2 + 2x + xe x + —ex 3 2
y la solución general es: e* y = y g + y p = cxex + c2x ex + c3xe x - — sen 2x
y la solución general es: y = y g + y p es decir: 624)
y 1' '- 2y '+ 4y = ex eos x + x 2 + sen 2x y = c{ +c 2e x + — - x 2 + 2x + xe * + ~
Solución
3
A3 - 2 A + 4 = 0 => (A + 2)(A2 - 2 A + 2) = 0 de donde
626)
2
y '- 2y '- 3 y = 2x + íTx - 2e3x
Ax = -2, A2 = 1+ / , A3 = l- / y además:
Solución
^ rreje ”2^ + c2ex cosx+c3ex senx ; y
A2- 2A - 3 = 0 => Aj = -1 , A2 = 3 de donde
j; ^ = Ax x 2 + A 2 x + A 3 entonces y f2 = Bx sen 2x + B 2 eos 2 x ,
y g - c xe~x + c2e 3x además:
(cj eos x + c2 sen x) de donde .v„ = y P¡
+ y P3
y pi
= A 4xe ~x,
y p ~ y p , +ypr obteniéndose y
obteniéndose que: 1
y Pl = Axx + A2 ,
2
1
x
y„ = —(2x2+ 2x+l) + — (sen 2x + 3 eos 2x + ----- -(3 senx-e os* )) 8 40 20
y p}
= Ax e3x de donde:
x i 4 xc~x + -----------------e 3jr 3 9 4 2
2x ------
-
y la solución general es: y = y g + y p es decir
y p
y la solución general es: y = y g + y p
y = c,e
-x
+c2e
3 X 2x 4 x e x xe 3x + ------------------3 9 4 2
-----
627)
629)
y"+4y = ex + 4sen2x + 2co s2 x - l
y' '+y = eos 2 2a: + sen 2 ^
Solución
Solución
2* 1+ cos4jc 1- co s* 2 x + sen —= ----------- + ---------v + v = eos 2 ^
y"+4y = ex + 4sen2jc + 2cos2 j c - 1
2
y"+4y = ex +4s en2 x + 2cos2jt => A2+ 4 = 0 => A = ±2/
« COS4;t COSJC
= c{ eos 2x +c2 sen 2x además y Pi =A ex
1
y la solución general es:
de donde y p = y p¡ + y Pi + y
4
= y g
y
+ yp
, cos4x xsen x
es decir:
--
628)
-
y = yg +y P = ci
4
y%'+3y'+2y = 6x ex (1-e "'r )
630)
*senx , cos4jc eos x + c2 senx + 1 ----- --------- —
y' - 4y' +5y = e 2x (sen x + 2 eos x)
Solución
y+3y+ 2y = 6e~x -6xe~ 2x => A2+ 3A+ 2 = 0 , entonces: Aj = -1 , )t 2 De donde y g = x(A2x +B2)e~2x además ypx = x( Axx + B l ) e
obteniéndose:
;
y pi = x( A 2x+ B 2) e ~2x,de donde y p = y
obteniéndose
, ., y la solucion general es:
y p = 1 ---------- --- —
1 2x - eos 2x) y = c j eos 2* + c 2 sen 2x + ---- + jc(—sen 5
, donde , => A, = ±i de
y Pí = A ¡ , y Pi = (yí2 eos 4x + A3 sen 4 x ) ,y P3 = *(¿?j eos x + B 2 sen x)
y = — + *(—sen 2jc - eos 2x) 5
,2 ,
2
y g = Ci eos x + c2 sen x además
y Pi = x(B eos 2jc+ C sen 2jc) de donde y p = y
obteniéndose:
2
y +y = \ + ---------------- => A + 1 = 0 2
de donde
2
Solución =-2
A2-4A + 5 = 0 =>
A = 2±/ de donde
y g = c xe 2x eos x + c2e2x sen* además y p = xe 2x (A sen x + B eos x) obteniéndose
y p = 3(x2-2x)e~x +3(x2 + 2x)e~lx X
9
y p = (x sen x - —eos x)e x y la solución general es:
y la solución general es: 2x
y ~ . y g + y p = c{e~x + c2e~lx + 3(x 2 -2x ) e~x +3( x 2 +2x) e~2x
308
y = c¡e eos x + c 2e
2x
2 x /
se nx + xe (sen*
COS^f. ----
—)
631) y' '- 4y '+5y = 1+ eos 2 x + e 2x
c xc sen x y p = yp + y pi ------------- ------ , y la solución gene ral es: X
Solución A2 -4A + 5 - 0 y
X
j jr y = y g +y p = cxe cosx+c2e s e nx + — e*
=> A = 2 ±i dedonde 633)
= cxe 2x eo s x + c2elx s en x además:
2
y " - 3 y '= l+ e x +cosx+senjc
Solución A2 - 3A = 0
„ ^ 3 eo s2* 2 x Como y -4y +5y = —+ -------- + e , entonces tenemos:
=> At = 0 , A2 = 3 dedon de
2
y g = Cj +c2eix además y p¡ = Ax , ^
y P i = A l9 y Pi = A2 eo s 2x + A2 sen 2x + A$ sen 2 x , y P i = B e2
y P} = C s e n x + D eosx de donde:
de donde y^ = yPi + yP2 + y o b te n ié n d o se y w= e
2x
yp
3 1 4 + — + cos2x ------ sen2x 10 130 65
2x
1
2
y M-2 y'+ 2y =e
y = c, +c2e 1 2
3c o s 2 jc
4sen2x
10
130
sen 2 ^
^
=>
x e x eos x - 2 sen x — = — + -----------------3 2 5
y '-2y'+5y = e* (1 - 2 sen 2 x) +10*+1 Solución y -2y +5 ^ = ex{l - 2 sen 2 x) + 10x + l
e* ff , * 2* y - 2 y+ 2 y = r s en ‘ - = - ------ — eos x
A2 -2 A + 2 = 0
634)
:\x
65
Solución
además y
^
----
y = Cie cosx + c^e senx + e + — + --------------------
632)
= 5e "
x eos x _ 2 sen x obteniéndose, y p - - —— — + -------------------------------------------------- ---------- y l
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
y
xe* sen x - -----
A = l± / de donde y g = cxex e os x + c 2ex s en x
= A ex , y pi = xe x (B eos x + C sen x) dedonde:
y ,-2>'+5>' = ex c o s 2 x +1 0 jc + 1 ^
A2 -2A + 5 = 0 entonces A = 1± 2/
y g = cxex eos 2x + c2ex sen 2x además y Pi = x ex (A co s2 x- hB se n2 x)
=> y pj =C x + D dedonde
y p = y p t +y p1 obteniéndose
x y p = —e x se n2 x + 2x+ l
, ., , eos 2x + 7 sen 2x = 1+ sen x h---------- — --------- y la solucion general es:
y la solución general es: y = y g + y p es decir: £
y = (q eos 2x + c2 sen 2x)ex + — sen 2x + 2x +1
4
y' l-4y*+4y = 4* + sen x + sen 2x
y = c1e
+ c2xe
jc . i . . eos 2x - 7 sen 2x + l + sen;t + 25 ___
y" + y + y + l = se n x + x + x 2
Solución A2 - 4A + 4 = 0
=>
Solución
A = 2 de multiplicida d 2.
^ = q e 2* + c 2 xe 2x además y Pi =A x + B
A2+ A +1 = 0 => A = ——± 2
2
/ de donde
y p - C s e n x + D c o sx , y Py = 2scos2x + Fsen2 jc de donde y p ^ y p i + y p i + y * obteniéndose y p = x +1 + — (4 eos jc+ 3 sen x) + - eos2x y la solución general
25
8
y p = As cn x + B c os x + Cx2 + Dx +E de donde:
2
y s q e 2* +c2xelx + x + l + — (4cosjc + 3sen x)+ —cos2x 25 8 y' ' +2y'+y = 1+ 2 eos x + eos 2x - sen 2x
y = c{e Í z e o s S - ^ -x + c2e L sen — x + x - x - 2 - c o s x y' ' +6y'+9y = 9xe~3x +1 + 9 sen x
Solución
Solución A2 + 2A +1 = 0 => A = -1
de multiplicid ad 2.
= cxe~x +c2xe~x además:
A2+ 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplici dad 2. y g
3* + c 2*e 3jr además
y Pi = A x , y Pi = i?cosx + Cs enx, y Pj = D eo s 2x + E se n 2x
yp\ = A > y Pl = x [(51 x + cx)e 3x], y P} = (B 2 senx + C2 cosx)
de donde: y p = y Pl + y Pl + y P3 obteniéndose
de donde y p = y pi + y f i + y Pi obteniéndose
y D = —+ —x 3e x + — (36sex-21 cosx) 9 2 50
y g = cxe 2x + c2e 3x además y p = ( A x + B ) e x obteniéndose
y la solución general es:
y p = xe~ x y la solución general es:
y - c ye
1
_3 r
+C ixe
-3 r
2
y = y + y p es decir: 1 3xe 1 , __ + —+ + — (36 sen jc-27cosjc) 9 2 50
y = y g +yp = cxe2x + c3*3* +xe~x, para x =D, y = 0
x
Se tiene que: 639)
y %'+2y +l = 3 sen 2x + eos x
cx + c2 =0
... (1)
y = 2cxe 2x +3 c2e3x +ex -xe~x entonces:
Solución
y ’= 2c¡e2x +3c2e3x +e~x -xe~x p a ra x = 0, v!=Q A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 entonces: Se tiene que: y g = q + c2e~2* además
= .4 , >^2 = B sen 2x + C eos 2x
+ 3c2 +1 = 0
de (1) y (2), se obtiene: c x - 1 ,
... (2) c2 *»-1
y P3 = Dc os* + £s en x de donde: y p = y p¡ + y Pi + y P}
por lo tanto: ., t x eos * 2 3, obtemendose: v„ = ------------------- h— senx — (sen 2*-e os 2x) 2 5 5 8 y la solución general es: y = y g + y p
y = c¡e 2x + c2e 3x +xe ~x entonces: y = e2x - e 3x +xe~ x
es decir: 641) y' *+9 y = 6e3 x, y( 0) = y (0) = 0
x 3 , _2r 2s en x co sx v = Ct+Coe ' + ----------------------------(sen2x + cos2x) 7 1 5 5 2
Solución
8
A2+ 9 = 0 => A = ±3/ de donde: En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas. 640) y '- 5 y '+ 6 y = (\ 2 x - l ) e x , y ( 0) = y (0) = 0
y g = cx eos3 x + c 2 sen3x además y p = Á e3x de donde
e 3x
y p = -y - y la solución general es:
Solución A2 -5 A + 6 = 0 => Aj = 2 , A2 = 3 de donde 314
e 3x — ); =y g +y p = cx cos3x + c2sen3x + —
643) par a x = O, y = O => 0 = c , + ”
yv,+ 6y f+9y = 10 sen x , y( 0) = f (0) = 0
=> c 1 = - ^
Solución 'y ^ e A A cos3x v * ——*------ + csen3x + derivando y 3 3
A2+ 6A + 9 = 0 =>
----
y = c¡e~3x+c2xe~3x además y p = ,4 senx + 2?cosx
y’=sen3x + 3c2cos3x + e3* p ar ax -0 , yf= 0 0 = 3c2 +1 => c2 = - j
de donde y^ = - (4 sen x - 3 eos x) y la solución general es:
por lo tanto: 1
y =r- —(cos3x+sen3x-e
A = -3 de multiplic idad 2
3x
y = c¡e 3x + c2xe 3x + -^(4senx-3co sx)
)
3 3 para x = 0, y = 0 => 0 = q - - => ci = “ 642)
y' '- 4y '+ 5y = 2x 2e x , y(0) = 2, ,v’(0) = 3 y ' = - Z c xe 3jr+3 c2xe 3x + j ( 4 c o s x + 3 s e n x )
Solución i
4 para x = 0, y' = 0 => 0 = - 3 q + c2 + — => c2 = 1
A2 - 4A + 5 = 0 => A = 2 ±i de donde y g = q e 2x cosx + c2e2* senx
además y p = (ylx2 +Bx + C)ex por lo tanto: y = y e 3x +xe 3x + y (4senx-3co sx)
obteniéndose y p = (x + l) 2e x y la solución general es para x = 0, y = 2 entonces 2 = c¡ +1 => q = 1 el x (cosx + c2 senx) + (x + \) 2ex , derivando tenemos:
y = 2 e2r(cosx + c2 senx) + e2x(-se nx +c >x os* ) + 2(x + l)eA+ (x + l)2eA
644)
y"+ y = 2c os x, y(0) = 1, y'(0) = 0
Solución A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde yg = q cosx + c2 senx
pa ra x = 0, yf= 3 => 3 = 2 +c2 + 2 + 1 => c2 =
además y p = x(^ eos x + B sen x) obteniéndose
por lo tanto:
y^ = x sen x y la solución general es:
y = e 2A(eos x - 2 sen x) + (x +1 )2e*
317
y = y g + y p = q co sx +c 2 senjc + jrsenac, parax = O, y = 1
A2 - 6A + 9 = 0 => A = 3 de multiplicidad 2
entonces:
.yg = c¡e3x + c2xe3x además y p = A x 2 + Bx + C obteniéndose
1= c,
y'= -C j senjc + c2 cosx + senx + xc os x, para x = 0, y ' = 0 entonces: 0 = c2 por lo tanto:
y
p
x 2 + — jc + _1 y la solución general es: 9 27 3 J 6
- —
y = eos x + x sen x 3x
645)
^ = Cie 1
y ’'+4y = sen x , j,(0 ) = .y’(0) = l
Solución A2+ 4 = 0 =>
y ^ y g +y p =
4 =C 1 i+ — 3 1 3
A = ±2/ de donde y g = cx eos 2x + c2 sen 2 x , además
y p = A sen x + B eos x , obteniéndose y p =
sen x
4
x h — 1 => Ci =1i entonces: y = e 3* + c ? x3xe + X2 — + ----1 7 2 9 27 3
647)
, 3X+ — X2 + — X + -1 y = e 3X- 3xe 9 27 3
y" -4 y' + 4y = e 2xy y(0)= 2, /(O ) = 8
A2 -4 A + 4 = 0 => A = 2 de multipl icidad 2
sen2x
senx
y = eos 2x + — - — + — -—
y = q e 2* + c2xe2x además y = A x 2e2x obteniéndose jc
y " - 6 y ' + 9 y - x 2 - x + 3 , y( 0) = y
1
Solución
1 entonces 1= 2c 2+ — => c2 = — 2 3 3
646)
X
-----
1 .tanto: . por lo eos X
X 2
+ — + — + —, para x = 0, y = — 9 27 3 ' y 3
—1 = 3^+ c2 h 1 => c7 = -3 27 2 27 2
sen x cos2x + c2sen2x+ ——
y = - 2 c x sen 2x + 2c2 eos 2x + —^ p a r a x = 0, y' =1
3*
y = 3e3r + c2e 3x +3 c2xe 3x + — + — para x = 0, y' = — , entonces: 9 27 27
y la solución general es:
para x = 0, y = 1 => 11 = q
por lo tanto :
+ c2x 2
y' (0 ) = ~
Solución
2
y p = — e 2x y la solución general es y = y g + y p x 2 es decir: y = c¡e2x +c 2xe2x + — e 2x, para x = 0, y = 2 => 2 = q
y
= 2e lx + c2x lx +
y = 4 e lx
x 2 y = 2elx + 4x e2x +~J~e2*
para x = 0, y = - 4 => - 4 = c x = c2 - 2 => c x + c2 = -2 / = c 2e x - e ~x(senx - 2 eosx)+ e~x (eosx + 2 sen x)
Solución => A =±2 /
para x = 0, y' = 5
de donde: yg =Cj eos2x + c2 se n2 x, además
y p - x( A sen 2x + C eos 2jc) obteniéndose y^ =
por lo tanto:
=>
5 = c2 +2 +1
y = -4 + l e x + e~x (sen x -2 eosx)
y ”-2y '+ 2y = 4ex cosx, y( n) = ne n , y ( ^ ) = e *
y = y g + y p es decir:
y = c¡ eos 2x + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) para x = n, y = 2n => 2 n ~ c x - n
=> c2 = 2, c, = -4
sen 2x - eos 2x) 650)
y la solución general es:
(/í sen x+ B cosx ), obteniéndose: y p ~ e~*(senx-2cosx)
y la solución general es: y = c¡ + c 2e* + e~ x( s e n x - 2 c o s x ) ,
=> c 2 = 4
y" +4 y = 4(sen 2x + eos 2x ) , y( n) = y'Or) = 2/r
A2 +4 = 0
0 => A[ = 0 , A2 = 1 de donde y g - c¡ + c 2e *
además: y p =
+c 2xe 2x + xe 2x + x 2e2x y para x = 0, y 1=8
entonces: 8 = 4 + q por lo tanto:
2 A -A =
e 2x, derivando se tiene:
=> cx=3n
Solución Az -2 A + 2 = 0 => A = 1± í de donde: y g = (Cíe* cosx+c2e* senx) además: y p = xe x( A c o s x + B sen x), obteniéndose: y p =2xexsenx
y = 3k eos 2* + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x)
y la solución general es: y = y g + y p - e x (cx eos x + c2 sen x ) + 2 x x sen x y = - 6n sen 2x + 2c2 eos 2x + sen 2x - eos 2x + 2x(cos 2x + sen 2x)
para x = / r , y = jten para x = re, y'= 2;r
=> rten = encx => q = n
=> 2n = 2c2 —1+ 2/r => c2 = ~
sen 2x , y = 3^r eos 2x H----t- x(sen 2x - eos 2x)
y '= e x (cx cosx+c2sen x) + ex (~c x senx + c2 eos x) + (2e*x senx)
-----
para y ' - y ' - -5 é~ x (sen x + co sx) , y(0) = -4, y'(0) = 5
x = k ,
y ' = e n => e* =en{-cx - c 2) entonces:
c2 = 1—c¡ =>
c2 =1 -«-
por lo tanto:
Solución y = ex {n cosx + (l-7T) senx ) + 2xejr senx 321
651)
y " ' - y ' = - 2 x , y(0) = 0, /( 0 ) = 1, /'(O ) = 2
obtenién dose v;, = 2xex y la solución general es:
Solución
y = cxe x + c2e~x + c3 cosx + c4 senx + 2xex,
A3 - A = 0 => Aj = 0 , A2 = l, A3 = - l
de donde:
para x = 0 , y = 0 ¡=>
- l= c ,+ c 2 +c
y g = cl +c 2ex +c3e~x además y p -x (A x + B) de donde
y ’=c ¡e x - c 2e x - c 3 se n x + c4 cosjc + 2í’ r + 2 x e 1
y p = x 2 y la solución general es: y = y g +yp = cx +c2ex +c 3e~
para x = 0, / = 0 => 0 = q - c 2 + c4 + 2
para x - 0, y = 0 entonces:
0 = c¡+ c2 +c3
c2-c3=1
( 2)
y ”= c2ex + c3e x de donde para x = 0, y" =2 2 = c 2 + c 3 =>
... (3)
c2+c3=2
, c3 =
. . . (2)
para x = 0, y ”= 1 =>
l = c ! + c2 - c 3 +4
Cj +Cj —c3 = —3
... (3)
y " '= c ¡e x - c 2e r +c3 sen x- c4 cosjc + 6er +2xex
para x = 0, / " = 0 => 0 = c , - c 2 - c 4 +6
de (2) y (3) se tiene:
c2 =
Cj Cj + c4 = —2 y' '= c¡ e +c 2e x - c 3 c o s x - c 4 seax + 4ex +2x ex
y'= c 2ex - c 3e x de donde para x = 0, y ’=l l = c2 - c 3 =
( 1)
..(1)
c, -c 2—c4 =-6
, c, = —2, por lo tanto:
... (4)
desarrollando (1), (2), (3) y (4) se tiene: 3 x h —1 e -x + x 2 v = -2^ + —e 2
652)
2
y ív - y = 8ex, y(0) = -l, / ( 0 ) = 0 , / ’( 0 ) -l . /" ( 0 ) = 0
Solución A4 -1 = 0 =» Aj =1, A2 = - l , A3 = í , A4 = -i y = c,e* +c2e~x + c3 cosx + c4 sen* además y p = A xe x
= -3, c2 = 1, c3 = 1, c4 = 2 por lo tanto: y = -3e r + é~x + cosx + 2 sen x + 2xe x y " ’- y = 2x , y( 0) = y' (0 ) = 0 , y " ( 0) = 2
Solución
,
'I
V3
~
-73
y g =c ¡e + c2e 2 eos— x + c 3e ¿ sen— x
además y p = Ax + B obteniéndose y p = 2.v
En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen en el infinito las condiciones dadas. 655)
/' - 4 /+ 5 y = senx , y es acotada para x -H -00 Solución
y la solución general es: y - y g + y p es decir: Sea p( r) - r 1 - 4r + 5 = 0 y=
,
-f V3 i V3 , + c2e 2 cos -^-x + c3e 1 sen-~~x+2x
2v = qe ‘ eos x + c2e
=> ^ = 2 + /, r2= 2 -i
2v• sen x . La solución particular es de la forma:
empleando las condiciones dadas se obtiene la solución particular. y p = A cosx + B sen x ^ x + 2x v = — 4¡= e _f¿ sen — -73 2
654)
/ v->> = 8 e \ y(0) = 0, /(0 ) = 2, / ’(0) = 4, /" (0 ) = 6 Solución
= -/íse nx + i?cosx \ y \ = -./í cosx- £ senx
ahora reemplazando en la ecuación diferencial. - A eos x - B sen x + 4 A sen x - 4 B eos x+ 5A eos x + 5 B sen x = sen x (4 A + 4 B) sen x + (4 A - 4 B ) eos x = sen x entonces:
A4 -1 = 0 => Aj = -1 , A2 =1 , A3 = i\ A4 = -/ dedonde
,
Í4A + 4B = l
^ = cxe~x +c2ex + c3 cosx + c4 senx además y p = Ax ex
=>
[ 4 .4 - 45 = 0
^
1
g =l 8
obteniéndose: y p = 2xe* y la solución general es:
cosx
senx
8
8
y = cxe~x + c2ex + c3 cosx + c4 senx + 2xex
La solución general es: para x = 0 , y = 0 para x = 0 , y f= 2 para x = 0 , / ’=4 para x = 0 , y ' 1= 6
==> => => =>
c1 + c 2 + c3 =0 C j + c 2 + ^ 4 = 0 cx + c 2 - c 3 = O - c 1+ c 2 - e 4 =0
entonces: cx = c2 = c3 = c4 = 0 de donde y = 2x ex
..
y = y g + y p
y = cxe
2x
eos x +se nx eo s x + c2e 2x senx + -----------------------
y es acotado cuando x ->00 o q = c 2 = 0 de donde la solución general es eos x + sen x de la forma siguiente: y = ^ 325
656)
y '+2y'+5 y = 4 eos 2x + sen 2 x , y es acotada para x ->-oo
Solución
y g = cxe x + c2e *, la soluciónparticular y y pl = 0 => y*p =0
Sea /?(r) = r 2 + 2r + 5 = 0 => rx = -1 + 2/, r2 = -1 -2 / ^ = q e -* cos2x + c2e~* sen 2x , la solución particular es de la forma:
=> O —A = 1 =S> A = - 1
por lo tanto l a soluc ión part icular es y p = -1 y la solución general de la ecuación diferencial es: y = y g + y p de donde:
y p = ,4cos2x + i?se n2 x, de donde: y p = -2,4 sen 2x + 25 eos 2x
=>
= A , de donde:
y —cxe x + c2e~x -1
= -4 ^ eos 2x - 4B sen 2x
reemplazando en la ecuación diferencial.
y es acotado cuando x —>oo <=> c¡ = c2 = 0 por lo tanto:
y = -1
-4Ac os2x —4Bsen2x-4Asen2x+4B cos2x + 5Acos2x + sen2x = 4cos2x + sen 2x (A + 4 B) eo s 2x + (B - 4A) sen 2x = 4 eos 2x + sen 2*
L4 + 4 5 = 4 \ - 4 A + B = l
Solución
f¿ = 0 [5 = 1
^
y r — y = - 2 eos x , y es acotada para x —>oo
Sea p ( r ) - r 2 - 1 = 0
y p = sen2x
j y = C ie *+ c2
La solución general es:
y - y g + y p
La solución particular es de la forma:
y = cxe~x eos2 x + c2e~x sen2x + sen2x
ahora y es acotado cuando x ->-oo o es: y = sen 2x 657)
rj= l, r2 =-1
y p = - A c o s x - B s e n x
cx = c 2 = 0 por lo tanto la solución
y' - y = 1, y es acotada para x ->oo
Solución Sea p( r) = r 2 - 1 = 0
{
>>* =- As enx + B cosx
=> ^ = 1 , r2 = - l
reemplazando en la ecuació n diferencial. - A eos x - B sen x -
eos x - 5 sen x = - 2 eos x
- 2 A eos x - 2 B sen x = -2 eos x => A = 1, B = 0 y p =cosx
La solución general de la ecuación diferencial es: y = cíe x + c2e~* +cosjí
Por lo tanto la solución particular es: y p - e x + 3
y es acotada para x ->oo
La solución general de la ecuación diferencial es:
por lo tanto:
cx = c 2 - 0
<=>
c¡ =c 2 = 0 por lo tanto:
659)
00 si y solo si
+e * + 3, y ->3 cuando x
y = y g + y p = c\e x + c2e
y = eo s x
y = ex + 3
y" -2 y' +' y = 4e~*, y-*0 para x-»+oo
661)
Solución Sea p( r) = r 2 - 2r +1 = 0
y %'-y ' -5 y = 1, y
para x ->oo
=> r = 1 de multiplicidad 2.
Solución
y g - cl e x + c2xex la solución particular es y p =A e~ x => y \ = - A e - x
=>
Sea p( r) = r2 - r - 5 = 0
y \ = Ae~x
^ g = c ,e
=> r , = 1+ ^ * , r2 =^ - ~
1+V2ÍJf 1-V21 ------ JC 2 +c2e 2
-- ---
Ae~x + 2Ae~x + Ae~x = 4e~x entonces: A = 1, ó sea y p =e ~x
La solución particular es: y p = ^ => y p = o, ^
La solución general de la ecuación diferencial es:
0
y = y * + y p = °ieX + CiXex + e"x
y —>0 cuando x —>00 <=> cx = c 2 = 0 por lo tanto: y = e 660)
—0 —5A = 1 => A = — — => 5 p
=0
v = —— 5
La solución general de la ecuación diferencial es:
y ' ’+4y’+ 3y = 8e* + 9, y- > 0 para x->-a>
1+V2T
1+V2I
2
2
> ' = -Ví r + -v /> = = c l e
X+ C2e
*
Solución Sea p( r) = r 2 + 4r + 3 = 0 yg = Ahora
+ c2e“3*, la solución particular es de la forma: derivando
tenemos:
y p] = Ae x , y J, =
¿£?*+4ér*+3e*+3¿J = 8é?JC+ 9 = > A = l, B = 3 328
V
=> ^ = -1 , r2 = -3 y
,
í>62) entonces:
1
—> - j
I
parax~>oo <=> c x = c 2 =0 por lo tanto: y = - —
y"+4 y'+4y = 2eA(senx + 7c os x) , y -» 0 para x-»-oo
Solución
p( r) = r 2 + 4r + 4 = 0
=> r =
-2 de multiplicidad 2.
y p = e 2x (A eos 2x + B sen 2 x ) , ahora derivando tenemos:
y g = c 1e~2x +c 2xe~2x
y \ = e~2x[(-2A - IB )sen 2x + ( 2 B - 2 A ) eo s 2x ]
La solución particular es: y p - e x (A eos x + B sen x)
y®, = e~2jt (8 A sen 2x - 85 eos 2x)
y^p = e*[,4(c osjc- sen jc) + 5(senx + cos x)]
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial: y \ = e~2x (% Ase n2x -%B eo sx 2x )
yp = e x[ 2B co s x- 2 A se nx ] entonces:
- 5 y p[ =e~ lx [(\ 0A + \ 0 B) sen 2x + (1OA - 1OB) eos 2x]
ex[2B eos x - 2 A sen x + 4yí(cos jc - sen jc) + 42?(sen x + eos x) +
6
+ 4^(cos x + B sen x)] = 2 e x (sen x + 7 eos x)
y p = e~2x (6,4 eos 2x + 65 sen 2x)
" 5 y'p + 6 y p = íT2*[(18/1 + 16 5) sen 2x + (16A -12 5)eos 2x] =
e x [(8 B - 6 A) sen x + (6B + 8,4) eos x] = 2 e x (sen x + 7 eos x)
= 2 e 2'<(9 sen 2 jc + 4 eos 2x)
ex[(8B - 6 A) sen x + (6 B + 8^) eos x] = 2ex (sen x + 7 eos x) [%B-6A = 2
{65 + 8,4 = 14
(18v4 + 165 )sen 2x + (16,4 -12 5) eos 2x = 18 sen 2x + 8co s2x
A = 1
^
5= 1 Í18.4 + 165 = 18 [16.4-125 = 8
^ = e r(cosjc + senjc)
y '-5'+6y = 2éT2* (9 sen 2jc + 4 eos 2 x ) , y-»0, para x -> +oo
por lo tanto:
Solución Sea p( r) = r 2 -5 r + 6 = 0 => r x = 2 , r 2 = 3 ^ = q e 2* + c2e3* , es lá solución general de la ecuación homogénea La solución particular es de la forma:
664)
, ^
43
59
5 =ü 59
y = e “2jr(— eos 2* + — sen 2x) p 59 59
/ ,-4/+4>' = (9x2 + 5 x - l 2 ) e ~ x , y—>0 para x —> oo Solución Sea p( r) = r2 - 4 r + 4 = 0 => r = 2 de multiplicidad 2
y = cxelx + c 2Jte2* , solución general de la ecuación homo génea.
La solución particular es de la forma:
e c
f y \ =e ~x (A x2 + ( B -4 A ) x + 2A - 2 B + C)
i o
n e s d e e u l
e r
I
Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:
y p = ( A x 2 +B x+ C) e ~x, derivando tenemos y \ = (2Ax + B)e~x + ( - A x 2 - B x + C )e ~x = e_Jr ( - A x 2 + (2A - B ) x + B - C )
i j a g
n d ny n - \d n~Xy dy a„x -— + an_lx - — ¡- + ..-+ alx — + a0y = 0 dx dx dx
donde an,an_x,...,ax,a0 son constant es. Para resolver estas ecuaciones se reducen a ecuaciones diferenciales lineales homogéneasde coeficientes constantes, mediante la sustitución.
e ~x [ Ax 2 + ( B - 4 A ) x + 2 A - 2 B + C ] - 4 e ~ x ( - A x 2 + ( 2 A - B ) x + B - C ) + x - e
+ 4(Ax 2 +Bx + C)e~x = e~*(9x2 + 5 x - \ 2 ) 9 A x 2 + ( 9 B - 1 2 A ) x +2 A - 6 B + 9 C = 9 x 2 + 5 x - 1 2
A = 1
9A = 9 9B-12A = 5 2 A - 6 B + 9 C = -12
^ = ( x 22 + -1 7x - - ) e /
8 a
5=H 9
=>
C = —— 9
dy_ dy _ dt = e-t dy _. d y _ e_, dy dt dx dt dx dx dt
dy' d^y_ _ dy' _ dt = e-t d y__ e-t
dt d 2y _ - i , ( d 2y ¿y. dx2 d t 2 dt
-
La solución general de la ecuación diferencial es: 17 8 >' = 3;g +JV = 9e 2* + c 2x e 2x + ( x 2 + — x - - ) e y —»0 cuando x -*oo o por lo tanto:
=> t = lnx además
cx = c 2 - 0
17
8
y = (x2+ — x - —)e *
También son ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales de la forma: „ d ny , d n~l \ an (ax + b) — — + an_l (ax + b )n — ^ - + ... + a0 y = 0 dx dx estas ecuaciones diferenciales se resuelven en forma análoga al caso anterior, mediante la sustitución. ax+b = e‘ => t = ln(ax + b)
Las ecuaciones diferenciales no hom ogéneas de Euler son de la forma:
666)
x 2y' '+3xy'+y = 0
Solución
anx n ^- ^ - + ... + a1x ^ - + a0y = xa Pm(ln(*)) cbt" _________ dx __________________
Sea x = e* => t = lnx además:
donde m es el grado de Pm(ln(x)) También estas ecuaciones se resuelven en forma similar al caso anterior.
dy_ = e-,d y_.
<*2y _ - 2>(<¡2y
dx
d t2
dt '
dy
d t2
dt
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: Integrar las siguientes ecuaciones de Euler. 665)
e 2t.e~2t
dt
dt
) + 3e'.e-' — + y = 0, simplificando dt
x 2y" + xy '- y = 0 d 2y dy — r- + 2 — + y - 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes d t 2
Solución Sea x = e* => t = lnx además:
dy _ .,d y dx
d 2y _ dt
dt
lt d^y dt
A2 + 2A +1 = 0 => A = - l de multiplicidad 2.
dy
/x _/ —t i * + X 0 = ^i^ + c2te de donde:
dt
que reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
667)
^1 x
^9 ln x — x -----
x 2 y' ' +2xy’+6y = 0 Solución
e 2t ,e~2t (—— - — ) + - e l ,e~* — - y = 0 , simplificando d t2 dt dt
Sea x = e* => t = lnx además: d 2y — - y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes. dt2
dy ~—-e dx
dy d y _2, , d 2y dy — ; — —= e (— ------ —) reemp lazando dt dt2 d t2 dt
A2- 1 = 0 => Aj =1 , A2 = -1 la solución es:
y(t ) = c^e1 + c1e~t
e » £ - » (£ z - ± )+ 2e' £ - , ! ! y +6, , 0 d t2 dt dt d 2y dy — r-+ — + 6y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: d t¿ dt
335
2
e 2' .e-2' (~ 7y - - 37) + 3e' .e“' — - 3y = 0, simplificando
1 423 A2 +A + 6 = 0 => A = — ± ------i de donde: 2
„ ¿V d izy +2 + 2 -j—- -3 ^ = 0 —
4 V 23 , V23, (1 -3 y( 0 = c1e 2 eos —— f 4-c2e 2 sen - — r 1 -723 , V23 . por lo tanto: y = — [cxeo sln x 4- c 2 sen ———ln x] - J x 2 2
dt
/
2
dt2
donde:
.
dt
ecuación homogénea de coeficientes constantes de
A2+2A-3 = 0 => A] = -3 , A2 = 1 => >»(/)«scj«' +c2e~3'
y =ci (x +2) +- C2 668)
xy "+ y' =0
( x + 2 3 )
Solución
670)
(2x + l)2y ’- 2(2jc+ l)y+ 4^ = 0 Solución
Sea x = e x => t = lnx además: 72, dx
d
y
dt ’ d i2
. r - 7t ( d
reemplazando se tiene:
y
dt2
Sea 2x + l = e' = > t = ln(2x + l) además:
^ di
— = 2e~' — ; úi*
t -21 ,d y dy _t dy e .e (— —) 4- e — = U d i2 di di
669)
dt1
=> j/ = cj4*c2 lnx
dt
dt
dt
d2y ady . A d 2y „ dy — f - 8 - f + 4 ^ = 0 => — f - 2 — dt
Solución
d2y _ r-2 '(J2y dt 2 d t 2
dy , dt
dt
dt
dt
sea A2 - 2A +1 = 0 => A = l d e multiplicidad 2.
y(t) = cle‘ +c2te‘ dedonde:
Sea x 4- 2 = er => t = ln(x 4- 2) además:
dt ’
dt2
e21Ae~2'(~—t~- — ) - 2e'2e~' — + A y ~ 0 , simplificando
(* + 2) 2y ’'+3( jc 4- 2 )/- 3 y = 0
dx
dx2
reemplazando en la ecuación diferencial
2^
1 2 = 0 ==> A = 0 de multiplicidad 2. d y =A 0 _=> A2 .2 di1
y( t) = cl + c2t
í/í
671)
y - c l {2x+l) +c2(2x +l)ln(2x+l)
x 2y"'-3xy'' +3y'=0 Solución
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 337
A - 3A2 = 0
Sea x = e‘ => t = lnx además: dy
, dy d 2y _ 2 l d 2y _ d y d' y _ * h i ? - e * ■ ' i ¡ ’ * r _ {w
V
y * d\ y
dy
V
<*
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
=> Aj = 3, A2 = 0 de multiplicidad 2.
7 (í) =C] + c2f + c3e3' de donde
673)
>»= C i+ c2 lnjc + c3*3
(x+ l)V "- 1 2 /= 0 Solución
d t 3
d t2
dt
d t2
dt
dt
Sea x + l = e' => t = ln(x + 1) además: ^ Z - 6^ -Z + 8— = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, d t 3 d t2 dt dx
de donde:
A3 —6A2 + 8A= 0
Aj = 0, A2 = 4 ,, A3 = 2
y la solución es: y( t) =Cj + c2^ 4í
dx 3 dt 3
í/í2
í/í
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
por lo tanto: e2í£ 3, (-^H p-3 -^-^ +2 -^-)-1 2e ' — = 0 , simplificando í* 3 rf/2 * <*
y - C i + c2x 4 + c 3x 2
672)
dt
± J3L- -3, — Í J t— L - l(¡± 37 = ® d t 3 d i2
x2y " = i y Solución
ecuación diferencial homogénea de coeficientes
constantes. A3 - 2 A2 -10A = 0 => A, = 0, A2 = 5 , A3 = -2 ,
Sea ax^ e* => t = lnx además: y la solución general es: y( t) = cx + c2e 5' + c3e “2' , por lo tanto: ± . ,- á L ; ífo
£ ! f , e -3 -(£ !z -e £ i + 2 ^ i dx dt dt dt
y = c1+ c2 (x + iy +
(x+l)2
reemplazando en la ecuación diferencial dada e 2' £~3' (r- ^- - 3 — —+ 2 — ) = 2e~' — , simplificando dt dt A3 <*2
674)
(2x+i)2y"+2 (2x+ i)y’+y =o Solución
3
2
— Z. _-3^ _ ü = o ecuación homog énea de coeficiente s cons tantes, de donde: <*3 ¿ í2 338
Sea 2x +1 = e x => t = ln(2x + 1) además: 339
2
É L . u - ± dx dt
,
dx2
dt
dt
dt
+
= ( 6 -r)er, sea A2 +1 = 0 => Aj = / , Á2 = - i
y g (t) = q eos t + c2 sen t d t 3
dt 3
dt2
dt
1 7 ™ t ^ = ( ^ + 5 ) * ' => y P = - - + j =>
reemplazando en la ecuación diferencial dada , * * - * ( í ! f - 3+ 2 ± ) + V .4«-" & d t2 dt d i3
se tiene:
- * ) + 2« - ÉL , o d t2 dt dt 676)
4
y g = q eos ln x + c 2 sen ln x lnx
7
.F= .V* + .F» = c i cos(ln x) + c2 sen(ln x) *
^
2
+ — 2
x 2y"-;xy,+y = 2* Solución
- 8 ^ -4 - + 5 — = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de d t 3 d t2 dt
Sea x = er => t = lnx además: donde: 4 A - 8A + 5A = 0 => A. = 0 , A2 = 1h — , A3 = 1— 2 2
¿/y — = e dx
2 2 - 2r,d y 4y. , úíy
_y(í) = Cj + 02«* cos-^ + c 3e' s e n -j, de donde ,, ln(2x + l) ln(2x + l) y = c¡ + c2 (2x+l)cos— --------- + c3(2x + l)se n -----------675)
x 2y' '+xy '+y = x(6 - ln x)
e 2t .e~2t
¿ í2 Solución
-
entonces:
¿r2
— + v = 2e ', simplificando
dt
dt
2 — + y = 2e ', de donde A2 - 2A +1 = 0 dt
A = 1 de multiplicidad 2.
Sea x = e' => t = lnx además: y g (t) = q e ' + c2e' ^L =e-'^y dx dt ’
d y = e - 2,( - - — d x2 d t 2 dt
reemplazando en la ecuación dadas se tiene:
=>
yg =q x + c2xln x
además y p (t) = A t 2et => y p (t) = t 2et y p = xln 2 x y la solución general es:
, 2
e 2' £ 21 340
d t2
dt
+e ' £ ' — + y = e ' ( 6 - 1) , simplificando dt
y = yg + y^ es decir que:
y = q x + c2xlnx + x ln 2x
677)
2 ,,
, „
16 lnx
reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene
x 2y" -x y '- 3 y = ---------- x
Solución ~ ~ ^ e' £ ' ~¡~ + 2.v = e 2'- 2 e '+ 2, simplificando
e £ 21
Sea x = e{ => t = lnx además: Q L = e -<É>L dx dt ’
<(d2 y d t2
dx2
-^--3 -^+ 2j> == é>2'- 2 e '+2 entonces A2 -3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 =2
dy dt
y g (t )= c 1e ‘ + c2e 2' => y g = cxx + c 2x 2
reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene e2t£~2t
d i2
dt
y p (í) = At e2' + Bte ' + C
) - e t.e ' — -3y = -16e ' X , simplificando dt
dedonde y p (t) = te 2‘ +2 te l + \ => y p = x 2 \n x + 2\n xj c + \ entonces: (L j L - 2 — - 3 y = -16te dt1 dt A¡ = 3, A2 = -1
v^= c 1x3 + —
sea A2 -2 A -3 = 0 entonces: y = yg + y p = ci x + c2x 2 + (x 2 + 2 x)inx+i
y g (t) = C\eht + c2e ' entonces:
además y p (t) = t(At + B)e '
679)
x 2y' '+ xy '- y = x m, |m|* 1
y ^ í O = 2r2e ' + íe /
2 ln x ln x . . , siendo y = ---------+ y la solucion general es: p x x
Solución Sea x = e‘ => t = lnx además:
-----
, . 3 c2 . ln“ x ln x y = y_ + y_ es decir: y = cxx h------ 1-2-------- H----^ ^ x x x 678)
x 2y' f-2xy'+2 y = x 2 - 2x + 2 Solución Sea x = e{ => t = lnx además:
dx
dt ’
tic2
e -2t(^ y d t2
^ y . = e ~‘ ^ L dx dt ’
d— y . = e - 2‘ ( ^ l z d x2 d t2
d y. dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada. e .e 1(
dt
-¿-) + e r.e 1- y = e mt, simplificando se tiene: dt
dt
d 2y mt ~ T ~ y - e y ecuación diferencial no homogénea. % dt
A2 -1 = 0 => A¡ = 1, A2 = -1
de donde:
y g(t) = cle' +c 2e~'
y
F
( í ) = A e m
Porlotanto:
680)
=>
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPEl COEFICIENTES VARIABLES.
y g = ci* + y e m1
=> y p ( O = - 5 —
m -1
e nto nc es :
xm
Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:
y p = - 5 —
m -1
c2 xm + y p = CjX+ — + —^ 7 x w —1
y=
a n
d ny d n ly dy (x) “TV + a n - 1 W — — + ... + a¡ (x) —- +a0(x )y = f( x ) dxn dxn dx
Dondea0(x),ax(x),...,an(x) y f(x) son funciones de variable realy continuas en un intervalo. Suponiendo que an(x) * 0 entonces se tiene:
x 2y"+ 4y' +2y = 2l n 2 x + l2 x
d ny
d n~ly dy + bx(x) — — + ... + bn_x(x) — + (x)y = g (x) dxn dxn 1 dx
Solución Sea x = e' => t = lnx además:
(a)
La solución de la ecuación (a) es la suma de las soluciones particulares y la solución general de la ecuación homogénea correspondiente.
g2' £ - 2 t(— ^ - ^. ) + 4e'.e~f — +2y = 2/2+12e', simplificando dt vd,2 dt
Si se conoce una solución particular y x(;t) de la ecuación.
^ Z + 3 ^ + 2y = 2í 2 +1 2e' => A2 +3A + 2 = 0 entonces: rfí2 A. = -1 , A2 = -2 de donde: y (í) = c xe ^ + c2e 2'
...
d ny + (x) ~ - ~J +... + b„_¡ (x)^f + bn(x)y = 0 dx dx dx n
=> y g = - ^ + - j X
X
... ( 1)
Se puede rebajar el orden de esta ultima en una unidad (sin dejar de ser lineal), haciendo, donde z es una nueva función incógnita y poniendo después z' = u [se puede hacer directamente la sustitución].
y p (t) = A t 2 +B t + C+ D e' => y p (t) = t 2 -7>t + l + 2 e ' y p = ln2 x - 3 ln x +7 + 2x y la solución general es:
y = y g +yp = — + -^y+ ln2x -31n x + 7 + 2x x
X
Porlotanto: y = — + —^-+ln2 x - 3 ln x + 7 + 2x x x 2
Si se conoce un sistema fundamental de la ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la ecuación no homogénea (a), se puede hallar mediante cuadráticas por el método de var iación d e las constantes. La solución general de la ecuación (1) tiene forma: y = cl y 1+ c2y 2 +... + cn y n
...(2)
Donde c¡,c 2,..., c„ son constan tes arbitrarios. 345
La solución particular de la ecuación (a) es: y = cl (x )y 1+ c 2(x )y 2 +...+ c n( x) yn
w[ yi, y2] =
.. . (P)
Donde c¡ (x), c2 (x),..., c„ (x) son funciones incógnita de x por determinarse. Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema:
c|(x) =
Sea c¡(x)yl+ c2(x)y2+.~+cn(x)yn =0
y xc\ (x) + y 2c\ (x) + ...+ y nén (x) = 0 y\ c\ ( x ) + y \ c \ (x) +... +y[c[ (x) = 0 (I)
0 y 2 R{x ) y 2
W[yi,y2] y\
cj2(x) =
Entonces:
y 1 y 2 y\ y 2'
entonces:
' ■ y \ y \ - y \ y2
-R(x)y2 f - R ( x ) v 2 , = ™ --------- entonces: c, ( jc) = -----¿ dx W[yx,y2] W Tv„y,l U J ^ b w 2]
o
y\ *(x) W[yx,y2]
yi &(x ) W [y u y 2]
entonces¡s: c2 (x) = J , M ( x ) dx w[yx,y2}
Integrar las siguientes ecuaciones ( y j, y 2) son soluciones particulares de la ecuación homogénea. 681)
x V ’'-3x2/ '+6xy'-6y = 0, y l = x , y 2 = x 2 Solución
y¡ n' l)c\ (x) + y { 2 nc[ (x) +. ..+ y („n~l)c[ (x) = f ( x ) x = e
dx
al resolver el sistema (I) se tiene: — -1^ ~ = f j ( x ) , i = 1,2,..., n dx donde: c{ (x) = J
(x)dx , este resultado se sustituye en ((3).
Veremos para una ecuación de segundo orden. y" +P (x )y '+ Q( x) y = R(x) Donde y Xfy 2 es un sistema de soluciones.
Luego la solución particular es: y p = cx(x)yx + c2(x)y2 donde cx(x) y c2 (x) Son funciones por determinarse, para esto formaremos el sistema siguiente: W w + w iM -o
(r|cj i*) + 7 I3C2(x) = R(x )
dedonde
dt ?
dx
4 dt> '
dx
dt
dx
dt
dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada.
d r
dt
d t2
dt
dt
-
d 3y d 2y dy T T - — T +11 —— 6y = 0 , ecuación diferencial homogénea. dr dt2 dt
A3 -6A2 + llA -6 = 0 =>
A, =1, A2 = 2, A3 =3
y ( 0 = c¡er +c 2e2' + c3e 3' dedonde y = cxx + c2x+ c 3x 3
682)
(x 2- 1 ) /' = 6 y , y es un polinomio.
686)
x 2( ln x- l) y" -x y' +y
Solución
=0
, y¡ = x
Solución
Como y x es una solución particular luego otra solución particular es y 2 = y xz donde z es una función incógnita que se encuentre derivando y reemplazando en la e cuación dada obteniéndose la solución general.
y = y xz => y ' = y [ z + y xz' => y\ = y f z + 2y ¡z + y,z " x 2( ln x- lX y' }z + 2 y[ z' + y1z " ) - x y \ z - x y íz '+ y1z = 0
y = c¡ (x 3 -
x
) + c 2 ( 6 x 2
- 4 -3 ( x 3 - x ) l n | ^ j | ( x 2(lnx- l)yf - xy\ + y x)z + 2 x 2 (lnx - l)j>{ z' +x 2(ln x - l)y, z" = xy¡ z' = 0
En el mismo criterio se calcula los siguientes ejercicios. 683)
y¡ es solución =>
x 2(ln x-1 )^] 1- xy\ + y¡ = 0
(2 x + 1)y' '+(4x - 2)y'-Sy = 0, y x =e mx 2x 2 (ln x - l)j>| z'+x 2 (ln x - l)y, z' '- xy l z'= 0
Solución y = cxe~2x + c 2 ( 4 x
684)
2
2 x 2 (ln x -1 )z'+x3(ln x - l) z" ~ x2z' = 0, simplificando
+1)
(2(ln x -1) - l)z’+x(ln x -1 )z' ’= 0, separando la variable
en cuyo derojminador figuran factores lineales (los divisores del coeficientes de y '').
(x2-x )y"+(2x -3)y'-2y = 0,
y x es una fracción racional
zM 2 ( \ n x - l ) ~ k „ . -----------= o , integrando se tiene: _ + z x(lnjc-l) ---- -
Solución
ln z ’+2 ln x - ln(ln x -1) = ln c entonces:
Sea y j = y xz de donde la soluci ón general es: y = c1y 1+ c2y 2 de donde:
685)
i , x 2 i i n z - -------- = ln c
Ci
y = — + c2 ( 2 x -3 ) x
\ n x - l
x2
(3jc + * 2)y ' -6(1 + x)y '+ 6y = 0, y x es un polinomio Solución Sea y 2 = y xz la otra solución particular donde z esla funciónincógnita donde la solución general es: y = cx jc3 +c2(x + \) -x
348
, c(ln jc-l) . => z = ------ ------ , integrando se tiene:
y = ciyi + c2z = c1x +c 2 lnx
de
687)
y'' +(g x - 2c tg x ) y’+2c tg 2x.y = 0, y x = sen x
Solución 349
y = zy¡ => y ' = y \ z + y xz \
y" = y \ z + 2y \z '+ yxz"
(.Vi + tg XA + eos 2 x.y¡ )z + y¡ z' '+2 y\z' + tg x.y xz'= 0
y' '+(tg x - 2c tg x)y' +2c tg 2 x. y - O
como y 1 es solución entonces: y \ + tg x. y J -feos x. yx = 0
y fz + 2 \z '+ y 1z " + ( tg x -2 c tg x )y \z + (t g x - 2 c tg x )y ¡ z '+ 2 c tg 2 x.y¡ = 0
de donde y xz' '+(2y J + tg xy) z' = 0
0>{ + (tg x -2 ct g x )l1+ 2 c tg 2 x. yx)z + y xz"+{2y \ + tgx-2 ctgx)z' = O
cos(sen x) z' '+(-2 sen(sen x). eos x + tg x. cos(sen x)z' = 0
como y x es solución entonces: .yj1+ (tg x - 2c tg x)y¡ + 2c tg x. yx = O
z" — - 2 eos x. tg(sen x) tg x = 0
de donde:
ln z’+2 ln(cos( sen x)) + ln sec x = ln c
y xz’ '+(2_vJ + (tg x - 2c tg x)_y, )z' = O
sen x.z' '+(2 eos x + tg x sen x - 2c tg x. sen x)z' = O
entonces:
ln z'. eos2(sen x). sec z = lnc
sen .z’’+(2 eos x + tg x. sen x - 2 eos x) z ’= O
, .
z = k
co sx ---------- = 1+ cos(2 sen x) , integrando eos (senx)
----
zf* — + tg x = O => ln z'+ ln sec x = ln c z' z' sec x = c =>
z' = co sx
f
por lo tanto y 2 = y xz = sen x sen x la solución general es:
y = clyl + c2y 2 = Cj cos(sen x) + c2 cos(sen x). tg(sen x)
y = c¡ senx + c2 sen2x
Solución >>j = cos(sen x) y = z.y¡
=> y \ = ~ sen(sen x) eos x
=> y' = zy\ + z ' y x , y'=^ }z + 2^ Jz ’+ >'1z"
y \ z + 2y[ z'+y¡ z ''+ tg x .y \z + tg x.z' y x + co s2 x._y,z = 0
,
---- -
=> z = sen x
y ' t g x . / + eo s2 x. y = 0, y x = cos(senx)
cosx
--------- d x - k tg(sen x) z = l J eos (senx)
y x = cx cos(sen x) + c2 sen(sen x)
689)
(1+ x 2)y"+xy'-y + 1= 0,
=x Solución
y = zyx => y'= zy [+ z'y x, y''= y \z + 2y\ z\ +y lz " (1 + x 2) 0' Jz + 2_y|z’+.V! z") + x(zy| + z ' y 1 ) - 2 y 1 +1 = 0
((l + x 2)yf +x yl1 -y 1) + z + (l + x 2)(2 y[ z'+y¡ z" ) + xy¡ z'+1= 0
como y x es solución entonces se tiene: ((l + x 2XyJ +xy\ -j |)z + l = 0
691)
x
(4 x z - x) y' '+ 2( 2x -1 ) y ' ^ y = \ 2 x ¿ - 6 x , y , = -
de donde (1+ x 2 )(2y\z' +yxz" ) +xyxz '= 0, simplificando
Solución En forma similar que el ejercicio anterior se tiene:
(l+x2)(2z'+xz")+x2z'=0 entonces:
y = 2y x obteniéndose:
(2 + 3x2)z'+x(l + x 2)z" = 0, separando la variable
z" + ----------------------------------------3x2+2 — = 0 entonces:ln z' x 2 +l
z'+3x - arctg x = c
692)
Cj y = cl (2x -1) + — +
x
y y'- y' +y e2x = xe lx - 1, y x = sen e x
Solución 2x 2 z = x arctg- - J l + x ------- entonces: ___
Sea
2
y ’= z y \ + z ' y l ==> / ’= j^j1^ h - 2 j ^ j 2T1’
que reemplazando en la ecuación dada se tiene la solución general.
y = cxx + c 2( x 2 a r ct g x -W l + x 2 - - y - )
y = y g + y p es decir: y = x + cx co se x + c2 se n e x
690)
x 2y' ' -x y ’- 3 y = 5x4, y x =
693)
y +y tg x = ---------
senjc
Solución
Soiución
e 2' _e~2r (— —- — ) - e ' ,e~' — - 3 y = 5e4' , simplificando <*2 di í/í
C dy = p => — d 2y Sea — —= dp — de dondei dx d x2 dx
^ !z _ 2 ^ .- 3 y = 5e4' => d i2
dp — + tg x. p - c tg x. cos x dx
>-g(0 = c13'+ c 2e-' =>
A2- 2A -3 = 0 => A, =3, A2 =-1
y? =c,Ar3+ ^ -
y p (t) = A e 4' => jy,(í) = e4'
=>
P~ e ^8
c 2
ctgx. cos xdx + c ] , integrando
p = eln(cosjc)[J e ln(SQCx)ctg x. co sx dx + c ]
^ = ^ 4 3
ecuación lineal, cuya solución es:
4
y = ^ + y P =c xx +-—+x
p = cos x[ f c tg x. cos x sec xdx + c] — = cos x[ln(sen x) + c] J dx
69 5)
x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ,+ 2y = x ( 2 x - 3 ) ,
— = eos x. ln(sen x) 4- c. eos x integrando: dx y - J
Solución Sea y =
(eos x. ln(sen x) + c. eos x)d x + k entonces:
==> y¿= yjz + z 'y i, / '= yj,z + 2yjz'+y1zlf
x(x - 1)0/Jz + 2y {z'+j/j z’’) - (2x - l)(y{ z + z ' y l ) + 2y lz = x 2 (2x - 3)
v = c. sen x + sen x. ln(sen x) + k 694)
^ =x 2
(x(x-l)y}1-(2x -l)y J +2 y1)z+2 x(x -l)y lz,+x (x- l)y 1zM-
(x +1)3 y" '+3(x + 2)2y+ (x + l) y = 6 ln(x +1) Solución Sea x + \ = el => dy__
rfx
dy_ dt '
- ( 2 x - l ) z ' y 1 = x 2(2 x -3 )
t = ln (x + l)
como y x es solución entonces se tiene:
¿ V = - n J 2) ’ dy dx2 dt2 dt
(x(x- l)y} - (2x- l)j/J + 2 y 1) = x 2(2x - 3)x x2 (2x - 3)z + 2x(x - l)y\ z '+x(x - l)yt.zf!-(2 x - l)z' y x = x2(2x - 3)
reemplazando en la ecuación dada.
x 2(2x - 3)z + 2x(x - l)2xz'+x(x - l)x 2¿ '-(2 x - l)x 2z' = x 2(2x - 3)
e~2t (— ^ - — ) + 3e2í .e 7 + e* y = 6 t , simplificando ~ ' d t1 dt dt *3r
(L j L + 2 — + y = 6?e_í ¿f2
*
=> A2+2A + 1= 0 => A = -1 de multipl icidad 2.
.
=. >-«—
= í 204r + 2?)e_í => -
x+1
x 3(x - l)z' '+2x2(2x - 3)z'+x2(2x - 3)z = x 2(2x - 3)
’
+<*«
y
x 3 ( x - l ) z ,f+ ( 4 x3 - 4 x 2 - 2 x 3 + x 2 ) z '+ x 2 ( 2 x - 3 ) z = x 2(2 x - 3 )
c,
+
x(x - l)z' '+(2x - 3)z'+(2x - 3)z = (2x - 3)
cln (x +1) x +1 -
resolviendo la ecuación se obtiene que:
vp (t) = t 3e~t
y - c\ y\ +^2^1 + yp de donde al sustituir se tiene la solució n general: y = x 3 +cxx 2 +c2(2x-l)
de donde la solución general es: 696) q + c2 ln(x +1) + ln3(x +1) y= >y**+ y p^ = x+ 1
Una cadena de 6m. de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento. Si el movimiento comienza desde el momento en que cuelga lm. de la cadena. Cuanto tiempo tardara en deslizarse toda la cadena. 355
Solución
*L dt
integrando y reemplazando sus valores se tiene:
y +c
t = I— ln(6 + ~j35)seg
697)
Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia a la aceleración del tiempo se expresa por la formula a = 1.2 t, si para t = 0, la distan cia s = 0 y para t —5 la distancia s = 20 Solución m
a = 1.21
a= 1.21 M W = m g = (— —)y donde y es la longitud del trazo de la cadena que cuelga.
d t 2
▲T
~ = 0.61 2 +c dt
Wy -T = mya . . . (2 )
T = mHa
698)
M . Como Wy = (——)y
Solución dt
356
d r
Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la acción de un golpe que ha originado una velocidad inicial V. Sobre el cuerpo actúa la fuerza de rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo.
Ma =
d y
,dy'
=> í = 0.2 í3 +ct + k pa rat = 0, s = 0
entonces: 20 = 25.5 + 5c de donde c = -l por lo tanto: s = 0.2ti -t
Wy =(mH +my )a = Ma
d 2y
ds _ r 1.2 td t + c d t~ J
entonces: k = 0 => s - 0.2í3+ ct para t = 5, s = 20
W„
Wy - m Ha =mya
Como
= 1.21 =>
g
g
= t y y ' 2 = — y2 +c L 7
t= 0
t
V
F = -km = ma => a = -k de donde a =
d 2x
= -k
~dt2
357
dv d x . . a = — = -—=- = -/ : => v = -kt + c dt di 2
Entonces:
700)
Solución
Para t = 0, v = v0 => c =v0 v = -k t + vfì => 0
A2+ 4 = 0 => Aj = 2/ , A2 = -2 /
v = — = -/ri + v{) ==> v = 0 dt
t = -
fV0/* dx = -kt + v0 => x = Jo (-/t f + v0)di di / kt
699)
v00
=>
X =
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
eos 2xr{ (x) + sen 2 x.c[ (x) = 0
Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a kx (x es la distancia del = ka . Hallar la ley del movimiento.
- 2 sen 2x.cj (x) + 2 eos 2 x j c \ (x) =
0 sen 2x eos 2x 2 eos 2x eos 2x sen 2x - 2 sen 2x 2 eos 2x
. V
, x
=
cx(x) =
además x/r2— x =ma
f sen 2x, ~ sec ~2x dx, = ----------ln co s2 x+ cx
------
¿ 2X f2
dx I 2 2 * ’dx' , 2 => ------ x => — = ^Jk x +c dx dt
Integrando y reemplazando los datos se tiene: x = ae
----
/
\
x ,
c2(x) = —+ Ci 2
. / ln(cos2x) ,v . , x ----- *+ q ) + sen 2x(—+ c2 )
y = eos 2x(
-----
kt
Empleando el método de variación de las constantes integrar las siguientes ecuaciones. 358
sen 2x.sec 2x
cos2x 0 Ì - 2 sen 2x eos 2x 1 4(x>= --------------- - — entonces: 2 eos 2x + 2 sen 2 x 2
V w — —= £i 2x para m = 1 , se tiene: ¿ r2 — - = k x d t1
1 eos 2x
resolviendo el sistema se tiene:
Solución
x0 = x|
= q eos 2x + c2 sen 2x
son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema:
2*
punto al centro) para t = 0, x = a,
=>
y - c¡ (x) eos 2x + c2(x) sen 2x donde cx (x ), c2 (x)
v0/A X = ( - -----— +
1 eos 2x
y"+4y =
por lo tanto :
eos2x.ln(cos2x)
x
y = ---------- -- ---------+ - sen 2x + c¡ eos 2x + c2 sen 2x
359
701)
~ex 702)
y" +y = ì g2 x Solución
A2 +1 = 0 => A! = / , /*2 ”
de donde
y = q O) eos x + c2(*) sen x donde cx(x) , c2 (x ), son funciones incógnitas de x, para hallarlas, formamos el sistema:
0 sen* tg2 x eos x = -tg~ x.senx *!(*)« eos x sen x -senx eos* C\(x) = j* —tg 2 x. se nx dx = J - ( s e c 2 x -1)sen xdx) cx (x) = - J (tg x. sec x —sen x) dx —~ sec x —eos x+ q
eos* 0 - s e n * tg 2 X = eos X. tg X eos* senx - s e n * cosx
c2(x) = - J t g 2 x.cosxdx = J ( s e c x - e o s x) dx c2 (x) = ln[tg(-^ + ^) ] - sen X+ c 2
4 2
,n x . >>= ( - sec x - eos x + c¡ ) eos x + (ln[tg (—+ —)] - sen x + c 2 ) sen x
360
Solución
= q cosx + c2 senx
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
,n x_ y = c\ eos x + c 2 sen x + sen x ln[tg( ~ + —)] - 2
v" -v = - — e* - l
A2-1 =
0 => Aj = 1, A2=-1 de donde _)/ = Cje* + c2e~x ,
la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = Cj (x)e ^ + c2 M e “*, donde cx(x), c2(x)
son funciones incógnitas de x, para hallar las formamos el sistema. exc\ (x) + e~xc2 (x) = 0 e*c\ (x) -e~ xc2 (x) =
0
e~x
2e x e x - i
o *2
....
H
ex
—
e x -1
e x - 1
1 e-1-1
2
1 H
-e~x
ci (x ) = j ~ - = in(ex - l ) - x + c,
0 2ex 2ex ex e x - 1 ex-l ex
ex ex
1 H
-2
ex ex-
-e~x
c2 (x) = - ¡ ^ - p ^ = j ( e x +l + - ^ — )dx • e -1 J e -1 361
|1
c2(x) = ~
0
lo ex + l 1 e J 0
c 2 (x ) ~ e x - l n ( e x -1 ) + c2
1 ex(ex +l)
y = (- e x - \n(e x - 1) + c2) sen x + (ln(e* - 1 ) - x ) c l ) eos* c2 (x)=
y = C\ eo s x + c 2 s e n x - ( e x +l n(ex -l)s en x + (ln(eA-1) - x ) cosx
703)
y " -y '= -
dx
dx
ex
ex +1
c2(x) = — —+ ln (e x +1) —x + c2
1 e x +l
'• y = c2 senx + (ln(ex+ l)-eJ - x ) senjí + q cosx + flnCe* +l)-x)cosx
Solución 704) A2 -A = 0
dx ex(ex +l)
1
y" + y =
sen' x.cosx
=> A!= 0, A2 = 1 dedonde y g = c1 + c2e x
Solución
y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = c¡ (x) + c2(x)e x, donde c, (x ), c 2(x)
A2 +1 = 0
son funciones incógnitas, para hallarlas formaremos el sistema:
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
0 1 e x +1 q(x) = 1 e* 0 e'
C\ (x) = -
dx J l + ex
A j= /, A2 = -/ dedonde
= q cosx + c2 senx
y = ci (x)cos * + c2 (*) sen x donde( x ), c2 (x) son funciones incógnitas
c\ (x) + e*c 2(x) = 0
0r} ( x) + exc 2(x )
=>
de x, para hallarlas formaremos el sistema siguiente:
1
cos x.c\ (x) + sen x.c[ ( x ) = 0
e x +1
- sen x.c[ (x) + cos x j c \ (x) = sen' x.cosx \ + ex
0 1
l + ex
cj(x) = = ln(ex + 1) - x+c,
sen x cosx
sen' x.cosx cos x sen x -senx cosx
senx Vsen5xcosx
sen x cos x
cx (x) = _ j
0 senx 1 cosx (cos 2x) 3/ 2 c\ (x) = cosx senx - sen x cos x
...p . ------- = 2 ^ t g x T c 1
Vsen x.cosx cosx -senx
sen‘ x.cosx Vr*“5 cosx senx - sen x cos x
4(x) =
c2 (x) = J
0 1
cos xd x
cosx (X) =
sen xcosx -v/r—5
_ f sec2 xt¿c _ _
___
2
tg3x
Visen5x.cosx
sen x dx - J (cos2x) 3/2 -
cosx
r = T = + ci Veos2x
cosx -senx
+ c2
(cos 2x) 3/ 2 cos x sen x -senx cosx
4(x)=
>>„ = cos x ( 2J c tg x + c, ) + sen x( — +c2) 3^/tg' x
r
_y= c i cos x + c 2 sen x + 2 cos x-Jct g x +
2 sen x tg 3 x
l y+_v = (eos 2x) 3 / 2
cosx
/ co sx senx 7 = (— p = = - + c1)cosx + (-^=-----+ e2)senx Vcos2x vcos2x
>' = q cosx+ c2 senx-Vcos 2x 2x 3 h- jc 2 - 4 x - 6
=Cj cos x + c2 sen x , y la solución general de la ecuación diferencial dada q(*)»
ci(x)
incógnita de x, para hallar formaremos el sistema siguiente: cos x.cj (x) + sen x.c2(x) = 0
, integrando
senx + c2 Vcos2x
J (cos2x)
A2 +1 = 0 =» Ai = z, A2 = - i dedonde:
donde
COSX
(cos 2x) 3/ 2
=----Cl (x)1= = I ----------. T-T-dx . . -----------
Solución
es: y = q(x )co sx + c2(x)senx
senx , integrando (cos 2x) 3/ 2
son funciones
Solución A3 -2 A 2 -A + 2 = 0
=>
y g = cxe~x +c2e x +c 3e 2x
dada es:
A, = -1 , A2 = 1, A3 =2 y la solución general de la ecuación diferencial
y = cl (x)e ~x + c2 (x )e x + c3( x) e2x
donde c¡(x),c2(x),c3(x)
- sen x.c\ (x) + cos xjc\(x) = — ------ rr 1
(cos 2x)^
son funciones incógnitas en x , para hallarlas formaremo s el sistema.
707)
e Xc\( x +e xc[(x) + e2xc\(x) = 0
y" + y
I ---- ------mm mm t ___8 x 'sen x.cos -
3 / s_ _ 7 „
-e ~xc\ (x) + exc[ {x)+2 elxc\ (x) = O 2x
\
e~xc\ (x) + exc\ (x)+ 4 e iXc\ (x) =
Solución
2x3+x2-4x-6
A2+1 = 0 => A¡ = i , A2 = -i de donde: e~x W = -e~x
ex ex ex
=c¡ eos x +c2 se nx , y la solución general de la ecuación diferencial dada
e2x 2x 2e 2x = 6e 4e 2x
es: y = q (x) eos x + c2 (x) senx
donde
c¡ (x ) ,
c2 (x)
son funciones
incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. i, ^ 3X/2x 3 + x 2 —4x —6 c¡W = e (--------j-------> - 2x1
eos x.cj (x) + sen x.c \ (x) = 0 - sen x.c{ (x) + eos x r 2(x) =
e~ ',2x 3 ---------------+ x2 - 4 x -6 ) .integrar
6
c^(x) = 3e*(-
x
0 1
1 entonces: 2x3 + x 2 - 4 x - 6 ^) -----6e
----
senx cosx
sen7x.cos8x cosx sen x - s e n x cosx
c (x) =
i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . c [ ( x ) --------- — «------- integrar: 2exx ,1 = 2(c\(x)
* ........... Vsen7x.cos8x
senx ate
senx Vsen7x.cos8x
r 1csc2x dx
c A x)~->vsen - t x.cos :..., x, -J . .
l í —- ) —L— entonces: 2a*
f
q (x) = 3^/dg x+C j entonces: i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . „ 4 ( x ) = -------- — -------- integrar
cosx
3e2x
0
1 -------—sen r --------------
de donde la solución se tiene: y = Cje*
+
2* +
Vsen7x.cos8x cosx senx - sen x eos x
cos* Vsen7x.cos* x
3 / 4 Vi 'v'sen x. eos x
eos xd x I I 7 o ' \¡sen x. eos x f
c 2 ( * ) =
0
dx ___
f ~ J
____
3/
7
„X
8
tg x. ^s en x.cos x c \ (x)=
sec2 xd x c 2(*)= J tgx. ^ 7
+c2
4 tg 4/3x
y = Cj eo sx + c2 sen x + 3ljc tgx -
708)
(X) = J
4/3^
x2+l xe ex(x+l)
e ex
dx
—=------, integrando x2+l
c2 (x) = arctg x + c2
777
y = ex ( ~ l n 4 x 2 + l+ c1 ) +xe x (arc tgx + c 2)
y " - 2 y + y = — x l +1
y = e x ( - ln ^/ x2 +1 + CJ ) + xeJC(arc tgx + c 2)
Solución A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2. y g = c¡e x + c2xe *, y la solución general es: y = Cl(x )e* +c 2(x )xe* donde q (x ), c2(x) son funciones incógnita de x,
para hallarlas formarem os el sistema. e*c\ (x) + xe*c2(x) = 0
I
J' = eJr(-ln -Jx 2 +1 + Cj + xarctg x + xc2) 709)
y"+ 2y' +2y =
1 e senx
Solución A2 +2A + 2 = 0 => A j= -1 ± / dedonde y g = ce x c os x+ ce x senx la solución general de la ecuación dada es:
I
e*c\ (x)+ e x (x + \) c\ (x) = - y —-
x +1
y = c¡ (x)e~ x e os x + c 2( x)e~ x sen x , donde c¡ (x ),
c2(x)
son fondones
incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema.
xe e x (x + X)
- x e 2x
*2+l = * ±.L = ----- í — , integrando q(x) = x2+1 e lx e" xe ex ex (x + X )|
e x eos X jc \ (x)+e x sen x r 2(x) = 0
- e~x (eos x+ sen x)c¡ (x) +e~x (eos x - sen x) c\ (x) =
1 e senx
Resolviendo el sistema y reemplazando se obtiene la solución general. ci(x) = J
-xdx
^
ci(x) = - ^ ln(x2 +1) + Cl
y = (cl - x ) e ~ x eo s x + (c2 +in (sen x)e x senx
710)
712)
y " - y = e - x cos e*
y ”+3y' +2y =
Solución A2 - A = 0
=>
^=0,
Solución
A2 = 1 de donde y = c1+ c2ex y la solución
A2 +3A + 2 = 0
general de la ecuación diferencial dada es: y = c¡( x) + c 2( x) ex , donde
c,( x) ,
c2(x)
funciones incógnitas de x,
son
y ~c¡ (x)e ~x + c2 (x)e~2x, donde
e~xc\ (x)+ e~2xc[ (x) = 0
[0c{(x) + e*c2 (x) = e2x cosex
(*+l)2
resolviendo el sistema se tiene la solución general: y = c1e x + c2 - eos e '
resolviendo el sistema se tiene: 713)
/ ' + / = - —
f e 2x y - cxe~x + c2e~2x + e~2x | -dx
Jx+l
y" + y = \ X
Solución
Solución A2 +A = 0
(x ), c2 (x)
son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema.
ílc| (x) + e x c 2(x) = 0
711)
=> A¡ = -1 , A2 = -2 , y = c¡e~x +c 2e~2x
y la solución general de la ecuación diferencial es:
para h allarlas formamos el sistema.
x
X (x+1)2
=> A¡ = 0, A2 = - l de donde y = cl + c2e~x
2 A +1 = 0
=> A!= /, A2 = -i de donde: y = cx eos x + c2 sen x
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y = Cj (x) + c2(x)e~x , donde c, (x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x,
y = ci (x)cosx + c2(x)senx , donde cx(x ) , c2(x) son funciones incógnitas
para hallarlas formamos el sistema.
de x, para hallarlas se forma el sistema.
c[ (x) + e~xc2 (x) = 0 Y
0r! (x)-e ~xc[(x) = — x
, por la regla de Cramer
resolviendo el sistema se tiene la solución general. y = cx+c 2e' x +e~xj^ —d x - ln|x|
eos x.c[ (x) + sen x. c\ (x ) = 0 , , i , por la regla de Cramer, - sen x.c\ (x) + eos xj c \ (x) = — x resolviendo el sistema se tiene: r cosx ,
r senx ,
y = cx eosx + c2se nx-co sx ------ ¿üx-senx ------- dx j X j X
dy = —s x :c 2 x + tg x + Cj sec 2 x integ rando i se tiene;
xy'- {\ + 2 x2 )y '=4x i ex
Solución Sea y ' = p => y" = ~
y = cl tgx + ^-(l + xtgx ) + c2
reemplazando en la ecuación diferencial dada 716)
x - - ( \ + 2 x 1) p = 4 x yexl dx p = e
- í - ( —+2jt)aLt f
*
[je
í- (—+2jr)it
— ~ x e x l[ [4 xd x+ c]
*
x l n x . / ’- y ^ l n 2 x
=> — - { —+ 2x )p = 4x 2exl ecuación lineal d x x -
Solución
2
y’= p => v " = ™ reemplazando x l n x — - p = ln2 x dx dx
4x ex dx+c], integrando
=> — = se* [2x2 +c]
¿y = xe** (2x 2 + c) integrando por partes se tiene:
— -— p = dx x ln x
x
f
f
^ =e
dx
ecuación lineal cuya solución es: ^ ^
jrln* [j*c *lnx - ^ d x + Cj ], efectuando la integración
y = c¡ex2 +(x2-l)ex +c2 p = ex mx ){ \ e A^ x) — dx + Cl}
y " - 2 t g x . y ’=l
J
Solución i
X
dy — = ln x(ln x + Cj) integrando se tiene: dr
J„
y'= p => y"= — reemplazando — - 2 tgx./? = 1 dx dx
y = c1(lnx~l)x+x(ln2x -21 nx -2) + c2 .
- f -2 tg jr.títr ff - 2 t g x. dx
ecuación lineal p - e J
[ \ e J
dx + c]
717)
xy ”+( 2 x - \ ) y ' = - 4 x 2
p = e 21n(secjc)[ j z i^ ^ d x r+ c ] entonces:
Solución
p = sec 2x[J eos2 x dx + c] entonces:
y'= p => y M=
2 .x dy . — = sec x(—+ sen x eos x + Ci) d* 2 1
x — + (2x- l)/? = -4 x 2 de donde —- + (2 - —)/? = ~4x dx dx x
dx
reemplazan do en la ecuación diferenci al dada
373
ecuación lineal p = e
-f(2 ~ ) d x
f
1 [ l e
[(2--)dx
x
719)
{-A x)d x + cx]
y"+ /+e -'xy = e-3x, y¡ = cose “'
Soiución p = xe~2x[—j 4e lx dx+ cx]
718)
=> p = xe~2jr[-2 e2* + c j
Sea y = jiz
=> j^ ^ jz + ^ z ’, / ,= y{lz + 2j;jz,+ yIz"
— = -2 x + cxxe~2x integrando tenemos: y = cx(x + \ ) e ~ 2x - x 2 + c2 dx 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
(' x - l ) y " - x y' + y = ( x - l ) 2 e x , y x = e x
y \ z + 2y[ z' +yl z' '+y \z + y¡ z'+e~2xy xz = 0
Solución Sea
(x-í)y"-x y'+y = 0
{y\ +y[ +e~2xy i)z + y lz''+2y\z'+ylz'=0
de donde y = y¡ z
siendo z una función por
determinarse es decir. y = y¡z => y '= y [ z + y{z' => y" = y \ z + 2y \z '+ yxz"
como y j es solució n entonc es se tiene: y \ +y[ +e~2xy¡ = 0 de donde
(x - l)Cyj1z +2y\z'+yxz " ) - x( y {z + y xz ') + y xz = 0
y¡ z' '+ 2y \z ’+y¡ z" = 0 => .yj = e~* se ne -*
(( x- l)_y}' - xy[ + y l ) z + ( x - 1)(2 y\ z' +y xz" ) - x y xz'= 0
cose~*.z"+(2e~'t sen e’ -' + cos e 'Jr)z'= 0
como y¡ es solución entonces: ( x - l ) y \ - x y \ + v x - 0
de donde
_ 7" _ — + 2e x tg +1 = 0 integrando ;
{ x - \ ) { 2 y \ z \ y xz " ) - x y , z ' = 0
lnz'+21ncose~* +x = 0 => lnz'.c os2 e~x = - x entonces:
(x -\)(2exz'+exz") - xexz' = 0 => (x-l)(2 z'+z" )-xz'= 0
(x - l)z' '+2xz'-2z'-xz' = 0 => entonces:
z" 1 — + 1-------- = 0 z' x —1
z'= e~x .se c2 e~x => x = \ge ~x
(x-l)z" +(x -2)z '=0
Luego y 2 = y¡ z = cose ~x tge~x =sene~x
=> lnz'= ln(x -l)-x +C !
y g =c x cos e~x + c2 sen e~x
entonces: z = -c e' * => y 2 = -e x entonces:
solución general:
+ c2>'2 =c1ex +c2x y mediante variación de las constantes se encuentra la solución general es decir: x2
y = cxex + c2x + (— - x ) e x 374
y por variación de las constante s se tiene la
y = c1c ose ~x + c 2 sene~x +e~x 110)
(x4 - x 3)_y"+(2x3-2 x 2 - x ) y '- y -
X
i yx = -
X
375
Solución
y 2 = y xz~ el/x dedonde y = cxellx +
Para ara (x4(x4- x 3)/'+(2x3 3)/'+(2x3 -2 x2 - x ) y ' - y = 0
=
=>
y la solución general de la ecuación diferencial por medio de variación de las constantes. Se tiene; l/jr c2 1 l n x
y ' = y\ z + y i z' > y " —y\ z + 2y \ z+ y \ z
yxz')-^yxzz - 0 (x4 - x 3)0>Jz 3)0>Jz + 2_ 2_y[z y[z,+iy1 +iy1z") z") + (2x3 - 2 x 2 -x){y\z + yxz')-^yx
( (x (x 4 - x 3) ^ 1+ ( 2 x3 x3 - 2 x 2 - x ) y \ - ^ ) z + (x4- x 3)(2 3)(2^} ^}z' z'++>'1 >'1z") z") + + (2x3-2 (2x3-2 x 2 - x ) y \ z ' como y x es solución entonces se tiene:
Kn los problemas que siguen se indica el el sistema fundamental de soluc iones y lf y 2 de la ecuación homogénea correspondiente. 721) 721)
(eos (eos x - sen sen x ) / '+2 + 2 sen sen x./- (se n x + eos x) y = e x (eos x - sen x )2, y 2 = senx . Solución
y x = e x ,
La ecuación diferencial escribiremos en la forma: ) y \ - y x =0 de donde: (x4- x 3)j 3)j>» +(2x3 -2 x 2 - x )y
2 senx , sen sen x +co sx y = e x (eos x - senx) -y-' eos x - sen x eos x - sen x
( x 4 - x 3 ) ( 2 .y. y | z '+'+ v 1 z , ,), ) + ( 2 x 3 - 2 x 2 - - x ) ^ 1 z ' = 0
La solución general de la ecuación dada es; x 2 ( x 2 - * ) ( - — x ' + - z " ) + ( 2x 2x 2 - 2 x - l ) z '= '= 0 x2 x - 2 ( x 2 -x)z'+xz”(*2 -x ) + (2x2-2 x- l)z '= 0
y = cx{x)yx + c2(x)y 2, donde donde cx (x), c2 (x) son funciones incógnitas de x por determinarse.
ento entonc nces es:: c\ =
0 senx e* (c (c o sx sx - se se n x) x) c os os x e x senx e x cosx
x (x (x 2 - x ) z" z " - z '= '= 0 =s> 4 7 = — T — 7 z x( x - x) ln z' = f ( - ~ — L. h— — ) dx = - ln x + ln(x -1 ) + — x J x jc2 x - l i , i x - \ t ln z = ln---ln-------++ 1 x
=>
t
z' x ln--ln--- = 1 x-l
jn I .JL - _L _L => z '= e l/x ——— ——— integr integrand andoo z = el /x x x - l x x
cx = ~se nx
c\ =
- e x sen x(cos x - sen x)
=>
(cosx -se n x) e x (cosx
q (x) = eos x + cx
e*
0
ex
ex(cosx- sen x)
e 2x (cosx (cosx -senx )
e x sen x e x cosx
e x (cosx-senx)
377
c \ = e x => c2 (x) = ex + c 2, reemplazando en la solución general
722)
xy"-y~4x V = 16 xV 2, y x = e v‘ v‘ ,
-y = (cosx + c1)eA+ (ex + + c2)senx
>2 = e '*2 .
Solución
/. y - c¡ex + c 2 sen x + e x (cosx + sen sen x) y " - —y ' - 4 x 2y = l6 x2eJf x2eJf . La solución general es:
722)
xy ”-y ' - 4 x i y = I6 x3ex , y ¡ = e x , y 2 - e ~ A .
Solución
c2(x)_y2 y2 >; = c i W J i + c2(x)_
=> ^ =
c,(x) + e 'AÍ 'AÍc2(x)
... (1)
1
y " — 4x v = l6x ex . La solución general es: — v'_ 4x x ' y = c¡( x) y1 + c2 (x )y 2 => y = e' c¡ (x )+ e~ x c2 (x)
... (1)
é?a c{(x)+e jc2c 2( x ) = 0 2xex cj(x)-2xe_Jr2c2(x) = 16x2eJr¡
ex cj(x) + e a’ c 2( x ) = 0 2xex‘c\(x)-2xe x c\(x) = \6 x~ e
c\ (x) (x) =
0 \ 6 x 2ex 2xex
c{(x) = -2 x e~ x
- 16x 16x = 4x -4 x
- 2xe x
0 16xV: 2xex
e~x -2xe~x*
-16x = 4x -4 x
- 2xe 2xe
cj (x) = 4x => c¡ (x) = 2x 2 + C]
c}(x) = 4x => c1(x) c1(x) = 2x ‘ + q e x' 2xe 4(*)= xl e 2xexl
0 lóxV' e
ex*
16xV*2 = -4xe 2 x ¿ -4 x
-2xe“*2
c \ (x)=
2xexl exl
2xe
0 1 6 x V ’ \6x2e2xl -X2 ~4x e -X2 -2xe~x*
Cj (*) = 4xe2j 4xe2j:2 => c2 (x) = e 2j2 2j2 + c2 , reemplazando reemplazando en en la solución solución general general
c 2 (x) - ^ x e
y = (2x ¿ +c 1)ex + ( - e lx + c2 )e
e2x' +c2 )e~ )e~ J>= (2x +c1)ex + (- e2x'
+c 2e-A +(2x +(2x - l ) e x
= ~4xe I x 1
=> c 2 (x) = e*r +c2> reemplazando en la solución general
/. y - c xe x + c2e x + (2 x2 - l ) e x
723)
V)y = ( l - x l n x ) 2e x , y \ - e x , ,y x ( l - x l \x) y" +( \ + x 2 \n x) y' -( x + V)y ,y2 -ln x
4 (x 2 + x)) ' '+2(2x +1 +1 ) y' -y = 2^ 2^1x 1 +x
I
Solución
, _ 2^2 i > y ] ^
Wx--i
42’
l + x 2 lnx , x + l (l-xlnx)e* y = y ^ x(l —jclnjc) ■' x (l -x ln x )
,,
y - c¡ ( x x ) y x + c2(x) y2 = e*C e*C\ \ (x) (x) + ln x r 2(x) exc\ (x) + ln x.c 2(x) = 0
X
X
e* e*
lnx I
e* c\ (x) = ex =>
1-xlnx
v,
----------- .e .lnx ----- - = -ln x x ex(— -lnx)
Vxc j ( x) + -y/x -y/x+ lc[ (X) = 0
i 2~sfx
c[ (x) +
x
1-xlnx
-----------£
i ,;. i 4(x) = 2^ x + l 2^[x/ + x
0 1
Cj (x) = -x ln x + x +c¡
e x lnx
1
formando el sistema:
x
e* 0 1-x lnx , e -----------e
,
La solución de la ecuación diferencial es:
X
c\ (x) = —ln x =>
c \ (x)=
(2x + l)
y = c\ (x) y\ + c2( x )y 2 de donde y = -Jxc{ (x) -~Jx+ \c \ c 2 (x) (x) + -~Jx
r i 1 i, 1 -x ln x x e *c (x) + - c\ (x) =-------------e x x
C (x) =
Solución 1 y + — ------- — y ----------------v = — ===== 2-slx2 + x 2(x2+ x) 4(x2+ x)
La solución de la ecuación diferencial es:
lnx ln x 0 1- x ln x /»•** 1
y i = a/ x , >>2 = Vx + 1
c\ (x) (x) =
2x
—= —= e e x ( — — lnx ) x
y = cxex + c 2 lnx + (l(l + x-xlnx )e*
2^x2 + x Vx 1 2-Vx
Vx+1 1 2^Jx + l
cJ(x) cJ(x) = Vx + 1 =>
c2(x) = ex +c2, reemplazando en la solución general
y = (- x l n x + x+ c¡ )e x + (e x + c2 ) lnx
Vx + 1 1 2-^x + l
cj, (x) =
1 2^[x rx
i 2^[x
1 2->/x 1
= Vx + 1
2^x2+ x
c1(x c1(x)) = |( x + l)3/2+c1 l)3/2+c1 0 1
2^x2+ x
Vx + 1 1 2-Vx + l
1 2Vx + 1 1 2^/x2+ x
= -VxTT
c\ (x) = tgx. secx
c[ (x ) = -yjx + Í => c2 (x) = — ( x + l)3/2 + c 2 , reemplazando en la solución
=>
c 2(x) = sec x + c 2
y = (* - tg x + q ) sec sec x+ (sec (sec x + c2) tg x
V= (—(x + l)3/2 +C]) J x + ( c 2 - ^ - { x + l ) i , 2 ) 4 x +1 3
y = xsec x + q secx + c2 tgx , para para x = 0, 0, y = 1 => 1 = cl
y = cl -J x + c2^ x + l+ —J x ( x + lhJ x + l - —(x + l)
725)
eos x. y " - sen x eos x.y’x.y’- y = sen x , ^jí= ^jí=0 =
y = x sec x + sec x + c2 tg x , derivando derivando tenemos:
y'=secx + xsecx.tgx + secx.tgx secx.tgx + c2sec2x
=s ec x’ ^ 2 = tS;
para x = 0, y' = 1 =>
Solución
* * por ilo tanto:
y ' t g x y '- sec2 x. y = tg x. sec x
La solución de la ecuación diferencial dada es:
726)
l = l + 0 + c2 => c 2 = 0
y = x sec x + sec x = *+1fcosx -----
sen x. y ”+ 2 eos x. y '- sen x.y = 2 eos 2x
V= c, (*)> (*)>>>! + c2(x)j>2 es decir: y = sec x.q (x) + tg x.c 2( x ) , calculan calculando do los
se tiene el sistema:
q (x ),
c2(x),
y \ x= x=i = ° >
2
2
í sec x.cj (x) + tg x.c 2(x) = 0
x sen x
y \ = —
1 sen x
. vi i —
Solución
sec x. tg x.c| (x) + sec xj c \ (x) (x) = tg x. sec x
...
.
~ co co s2 s2 x senx
,
y +c tg x. y - y = 2 -------- , cuya solucion general es:
tg x 0 tgx. secx sec2x q I< (*) (*r )\ = tg x secx sec x. tgx sec2x c¡(x) c¡(x) = -t g 2x =>
tg2x.secx secx
= -tg
x
x 1 y = -------.C\ (x) (x) + ---------------c 2 (x ), donde c, (x) , c2 (x) sen x sen x
q(x) = x -tg x + q
secx 0 sec x. tg x tg x. sec x c'2(x) = tg x sec x secx. tgx sec2 x
y = c¡ (x)y { + c2 (x)y2, reemplazando el y 1, y el y 2 se tiene: tiene:
te x. sec x — ----------sec x ----------- = tg x. sec secx
se calcula formando el sistema de ecuaciones: ecuaciones: x .c\ (x) 1 rJ 2- (x) = 0 (x) + ------sen x sen x
! = £ ! ! £ * i M - f S i *5 *5 ( ; r ) . ! 2 i ? í sen x sen x sen x
y ''+
cj(x) =
sen* ctgx sen x 1 sen x ctgx sen*
2 c o s 2 jc sen x
sen x 1-xctgx sen* c¡(x) = 2cos2x
2 eos 2x = 2cos2x -T "
y = q (x)_ (x)_v, v, + c2(x)_ c2(x)_y2 y2 de donde al reemplazar se tiene: tiene: 7 = sen -Jx£¡ (x) + eos 4 x jc 2 (x ), sistema de ecuaciones siguiente:
i, „ sen V x , , 1 , por la regla de Cramer - r j ( x ) - — = - 4 ( x ) = — 2-Jx 2yX 4x
2xcos 2x sen2x _ 2xeos2x -1 sen2x
2 eos 2x senx 1 senx ctgx senx
0 1 4x
c{(x) =
eos Vx sen Vx 2Vx
sen Vx eos Vx 2-[x
I/ \
eos Vx
ci \x) = j=~ => 2-Jx -
-21n(senx)+*2 +*2 c2(x) = x 2 + 2 xctgx+x2 -21n(senx)
c2 (x) = 2 x 2 + 2 x £ tg x - 2 ln(senx) +k 2 4(x)= senx
para calcular calcular c, (x ), c 2(x) se forma el
c o s a / x
0
sen2 x
V =
y'+ -7- y = — , la solución solución general general es: 4x 4x
sen a/ x .c {(x ) + eos eos -Jx~c\ (x) (x) =• 0
=> c,(x) = sen2x +*,
X senx 1-xctgx senx 4(x) = X senx 1-xctgx senx
2x
(sen 2x+k x)+ —— (2x (2x 2+ 2x c tg x.2 ln(sen x ) +k 2) sen*
sen Vx eos Vx 2Vx sen Vx eos Vx 2Vx
eos Vx sen Vx 2Vx
eos -Jx 4x 1 2^fx
d (x) = sen -Jx + kx 0 1 4x eos Vx sen Vx 2-[x
sen Vx 4x 1 2Vx
eosVx l4 x
¡—
sen Vx 2 Vx
para x = ^ , y = l , y'= y '= 0 se tiene: y = senx i/ \
727)
4xy"+2y'+y - 1,
lim y = 1,
y -++oo
= se n jx , y2 =cos* cos*Jx Jx
Solución
sen y x 2Vx
c 2 (*) = ------ 7=~
/—
=> C2 (x) = eos Vx + k2
j- ( s e n V x +kl)sQn-fx + (cosVx +k2)cos^[x , de donde:
para x =
y = 1+ c, sen J x + c 2 eo s Jx , de las condiciones se tiene:
dy arctgx — = ----- Zjdx 1+ x
Jim y = l => C[ = c2 = 0 por lo tanto: y —1 jr->+o o
728)
4xy ' ’+2y ’+y = ^
0 , y '= 0 => 0 = c
como
y = 1
/z/w y = — *->+00 8
por lo tanto:
Solución 730)
6+x , , , 1 ....* ____ 6 + x 4 xy' '+2y' +y = - J - , de donde / ' + — / + — y -
arctg2 x f 5— +¿ 2 rr2 rr n2 f t tc => — = — + ¿ => k = 0
=> y =
y =
----
8
(l-x)/'+x /-y = (x -l) V ,
72
729)'
y = cx( x) yx + c2 (x)v 2, al calcular c, (x),
1 (1 + x 2)y"+ 2xy'= y ' 1+ X -----
1
de donde:
(1+ *2)
^ + - ^ r P = ------V t dx 1+x (1+ x )
f 2xdx
dy
—
J 1
d2y
dP
dx
dx
T T _X
ecuación Unea1’ cuya solución es:
, __ ___ .
arctg x (arctg x+ c) = _
>efectuando las integrales
\c[ ( x ) - e x c \ (x) = - ( x - \ )e
c{(x) =
e‘ 0 -(x -l)e x e} x e 1 e1
X
c2(x) —
c
cx(x),
c2 (x) se calcula mediante el
, por la regla de Cramer
e2x(x-l)
e'(x-l)
=e
c[(x) = ex => c 1 ( x ) = e * + k 1
+ c j
(1+X2)2
de donde
sistema de ecuaciones siguientes:
r2xdx
p ~ e T+”? [J e ’ !+Jt2 ___ ^ 2 +
dy__ dx
y' ----- — = ~{x ~l)ex , la solución general es: l-x 1-x
-----
\x .c \(x )+ e* ¿ [( x) = 0
v" + ------T y ' = -------Y T sea y z z p ^
l + x2
y '
y = cl (x )y 1+ c2 (x )y 2
* lim y ~ ~ T ’ ^*= 0 '=0 x-*+oc O Solución
'
=1, y x = x , y 2 = e x
c2(x)
lim y = 1 obteniéndose la solución: ,v = — X X->+00 _
?r
lim y = 0, y\
y —>-o o
Solución
Como la solución es tomamos
8
arctg2 x
1
0 i T i H v V- x ( x - l ) e x
x e x
1 e*
ex{x-\)
= - X
I ^ Ci(* ) = -T7T => Cj(x) = -= + C i Vx x _
c!j(x)=-x => c1 (x) = - ^ Y + k 1
y
lnx 1
x2 = ( e x +kl )x + (— — +k2)ex entonces: 4(x>= 2
x2
y = clx + c2ex + xe x
731)
>' = ^ +x
2x (2 - ln x)y +x (4 - ln x ) y - y
(2-lnx)2
I , -v
------ j=—
lim y - 0 , y x = l n x + y 2 =- Jx
..
ln x(2 - ln x) 2x 2-7x 2-lnx
'
c2 (*) =
lnx TT
2-fx
lnx
1
................................. en la solución general.
~ + ^ 2 >reemplazando
>>= (— ^ + c , ) l n x + ( — + - + c 2) 4 x Jx
Solución 1
ln x
c2 W = —
y - > + 00
„ 4 -ln x ,
0 2 -ln x 2 x 24 x lnx -Jx _1_ 1 x 2-Jx
X X
y = cl \ n x + c 2J x - ^ í - + - ^ -s/x Vx
2 - ln x
para que
lim y = 0; c, y c 2 deben ser y-^+cc
cx = c2 = 0 de donde la solución es: 1-lnx
La solución general es: y = c¡ (x)y¡ + c2( x) y2 es decir:
y = ln x£\ (x) + 4~xc2(x) y formaremos el sistema para calcular c, (x ), c2(x).
4~x
732)
y + l y - y m 4 e * t X' x
¡¡m
^=0, ^
v— >— oo
' ljr=~
— I , , j , » £ £_ e ' *'1
'■*-O 2
j, » J _
x
Solución
ln x.c\ (x)+ -Jx£ 2(x) = 0 1 i/ \ 1 | ¡ -v 2 -ln x 2 r~ — £ J (x) + — r - £ 2(*) 2Vx 2x V* x 0 2-lnx 2 x l ' [x c}(x) = ln x 1 X
Jx
diferencial dada es:
es decir: >^= c 1( x) — + c 2( x) —
donde
Calcular mediante el sistema siguiente:
1
2-Jx rx
La solució n de la ecuación
0 2-Jx 2Vx
2-lnx 2x2 _ 1 2-lnx x3/2
c \ (x ) + ~ z r + —xr c 2 W = 0 -x
i
eí( jc- 1)c| rr'i e' x(*+1) e_jt CjW 5-------------
cx (x), c2(x).
+ c 2(xXv2
e x x c}(x) = e —
- r *(* + !) x2
e ~ 2
2cl e 1 — = -------+ — entonces: e e 2 ~-2x ci =-
- X
e2+2
tomando
lìm y - 0 se tiene la solución general de la ecuación
y—>-oo
- e ' x ( x+ \)
x
diferencial dada,
ex{x-\) X 733) -2 x
x 3(In x - l)y''-x2y'+xy = 2In x,
e 2x C\(X) = — + q
c}(x) = -
C[(X):
y = (x - \ ) e x lim y = 0,y¡ =x, y 2 =\nx
y-++oo
----
— X e*{x-X) X2 e x
Solución
0 e~x X -e
y
..
1
— ~ x ( l n x - l ) -
,
1
~y =
-
x 2( l n x - l )
2 In* x 3( l n x - l )
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
e'(jc-l) -e *(*+!) y = ci (x )y x + c 2 (x)y2 , donde c¡ (x ), c2(x) se calcula mediante el sistema
1 c\ (x) = - — =>
X c2(jc) = - —+ c2 , reemplazando en la solución general. x.c\ (x) + ln x.c\ (x) = 0
, e 2x .e x x e x y = ( — + c,)— + (- —+c2)—— 4 x i x ----
ex e~x e~x e~x v = c , ------------ + e-, -------------- , derivando ' x 4x 2 x 2 (x-1) e ' ( x + l ) ex(x+l) t e — -j-------- ------ c2 ------ ^------ *— 4x¿ para x = -l, / = — se tiene: e
c ¡( ,) + l 4 , „ , 2 In ^ _ x x (lnx-1) 0 ln x 21nx 1 21n2 x x3(lnx-l) X 1 x3(lnx-l) 7 a x In x i i, X
I
21n2x X
X
, ,
X
C1 ( X ) =
In X ln x 1 ------ r----------- + x L X2 X
------- —
Cj
x j
O
2 lnx
2x lnx x3(lnx-l) 1-lnx
x (lnx-l) x lnx
c\ (x ) =
_ _
c\ (x) = -2(x -1) => c1(x) = -( x -l )2 +c,
2 lnx x 2
x 2x
i i
x
l/ ^ 21nx cUx) = r— =>
c2 (x) = -----------------21nx + c2
r2
, ln2 x
X
lnx
1
x2
x
y = (----- y -------- 2— " +
x2
4(x) =
21nx
v
.21nx
+
-----------2lnx + c2)lnx
2 ln2x lnx i v = cix + c2 ln+ ---------------- -2 In x —1 X
734)
(x2- 2 x ) /f+(2“-x2)/-2(l-xXy = 2 (x -l),
X
Vi=x 2, y 2 = e x
Solución „
y -
2 - x 1 , 2(1 - x ) _ 2 ( x - l ) x2-2 x' x 2 ~ 2x x2 -2x
La solución general de la ecuación dada es: y = Cj (x)y1 + c7(x)>’2, donde c¡ (x ), c 2(x) se calcula mediante el sistema x í c\ (x) + exc\ (x) = 0
2xcJ (x) + exc\ (x) = e’ 0 2(x-l) , x2-2x c[ (x)= x 2 er 2x ex 392
'
- :x -2x
2e*(x-l) x 2 - 2 x = —2(x —1) e*(x2- 2x)
0 2(x-l) x2-2x
2 x 2 (x - 1 )
J - 2 x e*(x2-2x)
x 2x
2 4 ( » ) = 2* 1 — ‘i e*
=>
2x2(x-l) e*
c2(x) = -2e _Jt (x3+ 2x 2+ 4x -1) + c2
_y= (—(x —1)2 +cx)x2 + -2e~*(x3+2 x2 + 4 x- l + c2)e* y = clx 2 +c 2ex - 2 e ~ x ( x s + 2 x 2 + 4 x - l ) - x 2 ( x - l ) 2
COMPOSICION DE LA ECUAC ION DIFERENCIAL! ""d
736)
y x(x) = senh x , y 2 = cosh x
EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE|
a d o
s o l u c io n e s
Solución
!
senh a: cosh a y cosh x senh x = 0 entonces: senh a coshx y
Si el sistema de función y,(.v).y:(x).....y„(x) linealmente independiente en el segmento |a.b], que tiene derivadas hasta el orden n inclusive. Entonces la ecuación.
se nh x( se nh xy 'coshx./!') - coshx(coshx.y' '-sen x. y' ) +y (cosh- senh2x) = 0
y, (.v) y¡(.v)
y; (.v) vU-v)
... ...
>„
y y'(.v)
senh 2 x. y' cosh2 x . y ' senh x cosh x. y’+ cosh .y'+y - 0 =0
...(1 )
-y"+y = 0 entonces:
y' '-y = 0
| v,
(a)
y
2
(v)
...
y n
(a)
y
(a)
737)
yi (x ) = x , y 2(x ) = e*
Solución
donde y(x) es una función incógnita, es una ecuación diferencia! lineal, para !os cuales v, ( j c ) , y 2 ( a ) , . . . , y n ( a ) forman un sistema fundamental de soluciones.
x
El coeficiente de
1 e* y = x( exy " - e xy ' ) - e x (y"-0) + y ( e x -0 ) = 0 0 £?* y
y ( w) ( a )
en (1) es el Wronskieno. VV[ v, ,y 2.....v„ 1 del sistema
Los puntos en que se anula este determinante, son puntos singulares de la ecuación construida. Formas las ecuaciones diferenciales, para los cuales los sistemas dados de funciones forman los sistemas fundamentales de soluciones. 735)
y ,(a)
= 1
, y2( a ) = a ,
v3(a) = a
Solución 1 0 0 0
•y y X X 1 2x y 0 2 y’ 0 0 y"
ex
y
e x ( x y " - x y ' - y " + y ) = 0 entonces: (x - l)y"-xy'+y = 0
738)
yj(x)=se nx2, y,(x) =cosx2 Solución senx cosx y 2x eos2 -2 x s e n x 2 y' - 0 entonces: - 4 x 2 s e n x 2 - 4 x 2 c o s x 2 y" sen* (-2xy"se nx2 + 4x2y' eos x 2) - eos x 2(2xy '' eos x 2 + 4x 2y ’sen 2x) + + y(-8x3eos2x 2-8 x3 sen2x2) = 0
-2.rv"sen 2 .r2 -2.vy"cos 2 .v: +4x 2y'sen.v 2 cos.v 2 - 4 * 2 / e o s * 2 sen a 2 -
Supongamos que los coeficientes P(x) y q(x), se expresan en forma de series, dispuestas según las potencias enteras positivas de x, de modo que la ecuación (1) ,e pueda escri bir en la forma.
-8.vJycos2x2-y8.r sen2 x 2 = 0 - 2xy ' ( sen2.v2+ cos2 v2)-8.t\v(co s2 x 1 +sen ‘ V ) - 0
y' '+ (a0 + a1x + a 2x 2 +...) y'+(b0 + blx + b2x 2 +. .. )y = 0
busquemos la solu ción de esta ecuación en forma de una serie de potenci as.
jrv" +4jr\v = 0 => y"+4.v"y = 0
00
y
739)
y, ( v) = x , y 2(x) = e
<-12
Solución
xe x 12 y =0 1 0 e x l 2 ( x 2 + 1) y'
entonces:
...(3)
*=0
00
OO
£ * ( * ■ ! )c ***~2 + £ « * * * k=0 k=1 A2
00
A=0
00
k=0
=o
- (4>
multiplicando las series de potencias, reuniendo los términos semejantes e igualando a cero los coeficientes en las distintas potencias de x, se obtiene una regla de recurrencia.
^ • • ^ i/2 -y (x 2+ i ^ í/2)-e‘J/2(y"-0) + > V í,2 +Jc2+i)- 0 = 0
ex 12(x 2 y" -x y' (x 2 + 1)- y "+y(jc2 + 1)) = 0 ( x 2 - l)y "-(x J + .t)y’+(.v2 +l)y = 0
I n la practica es conveniente proceder del modo siguiente, por el esquema señalado se busca dos soluciones y x(x) e y 2( x) , para y x{x) se toma c0 =1 y c \ = 0 y para y 2 (x) se toma c0 = 0 y cx = 1, lo cual es equivalente a las siguientes condiciones iniciales. y\
INTEGRACION PE LAS ECUAClONEjj DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES^ 1)
=
poniendo en (2) la expresió n de Y y de sus derivadas, obtenemos . 00
. x - 12
... (2)
Este método resulta muy usual al aplicarlo a las e c u a c i o n e s diferenciales lineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones de segundo orden. Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden. y" +P (x )y '+ g( x) y = 0
(0) = 1 ,
y2(0) = o ,
y¡
(0 ) = o |
y \ { o) = il
... (5)
Toda solución de la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones viW e y 2 0*0 • Si las condicio nes iniciales so n de la forma y(0) = A, y '(0) = B entonces es evidente que: y = Ay i (x) + By 2(x)
l inalmente enunc iaremos (sin exp oner la demos tración) el teorema de existencia de soluciones de la ecuación (1) en la forma de serie (3).
Para hallar el exponente p y los coeficientes ck es necesario poner la serie (8) en la TEO REM A.-
Si las series p( x) =
ak x k y q(x) = * son convergentes =o *=o para |x| < R, la serie de potencia (3 ) constru ida del modo indicado anteriorme nte tambi én es convergente para estos mismos valores de x y es solución de la ecuación (1). k
En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x. 2)
ecuación (1), simplificar por x p e igualar a cero los coeficientes en distintas potencias de x (método de los coeficientes indeterminados). En este caso, el numero p se halla de la ecuación llamada determinativa. p ( p - l ) + a0p + b0 =0
Donde
Desarrollo de la solución en una serie de potencias generalizada .
DEFINICION.- Una serie de la forma.
a0 = lim xp (x ), b0 = lint x 2q(x)
... (10)
x- > 0
*->0
y
7
suponiendo que P\ y p 2 son las raíces de la ecuación determinativa (9) QO
x p ^ c kx k , (c0 *0) k=
...(6)
0
00 donde p es un numero dado y la serie de potencia ' ^ ¡c kx k es convergente en cierto *=o recinto |x| < R, se llama serie de potencia generalizada. Si p es un número entero no negativo, la serie de potencia generalizada (6) se convierte en una serie de potencia ordinaria. TEO RE MA .-
...(9)
Distinguiremos tres casos. I o.-
Si la diferencia p x - p 2 no es un numero entero o cero, se pueden construir dos soluciones de la forma (8) 00
00
y i( x ) = xP l^ c l x k , (c o * 0 ) , k=0
2o.-
Si x = 0 es un punto singular de la ecuación (1) cuyos coeficientes p(x) y q(x) ad miten los desarro llos.
y 2 ( x ) - x A
Xk , (A 0 * 0 ) k-Q
Si la diferencia p x - p 2 es un entero positivo, por lo general, solamente se puede constru ir una serie (solució n de la ecuación(l)). 00
00 2> .*‘ * * '— .
00 Z
X
y \ { x ) = x p' ^ c kx k m
*=0
‘
—
-m
X
Donde las series que figuran en los numera dores son converg entes en cierto recinto jxj < R, y los coefici entes ¿Zq, y bx no son simultáneamente iguales a ^ero, entonces la ecuación (1) posee al menos una solución en la forma de serie de potencia generalizada. 00
y = x p ^ c kx k , k= o
que es convergente al menos en el mismo recinto |x| < R.
(c00)
...(8)
3o.-
...(íi)
Si la ecuación (9) posee una raíz múltiple p x = p 2 también se puede construir solamente una serie (la solución (10)). Este claro que en el prime r caso las soluciones y x(x) e y 2 (x) construidas son iinealmente independiente. En el segundo caso y tercer caso, se ha construido solamente una solución (10) señalemos sin exponer la demostración, que si la diferencia p x - p 2 es un número entero positivo o cero, además de la solución (10) habrá una solución de la forma.
399
00
y 2 =Ayx(x)\n x + xPi'YáAkxk
. ( 12)
k =0
q + | > + 2 ) c B+2* ”+1- ¿ 2 ÍVt'’+1 = n=0
n=0
Vemos, pues, que ahora y 2 (*) contiene un sumando complementario de la forma Ay 2(x ) In x
C i+ ¿ (( « + 2)cn+2-2 cn)xn+1=o »=0
donde y x(jc) se expresa en la forma (10)
ci = 0
OBSERVACION.- Puede ocurrir que la constante A en (11) sea igual a cero, y entonces, para y 2 resulta una expresión en forma de una serie de potencia s genera lizada.
( n + 2 ) c b+2 =
para
2c„ c»+2 - •
2c„
n +2
n = 0a ,
c2 = 2c0 = c0
n = 1i ,
- = 0 c3 = - j2ci
n=2 ,
c4
n= 3 ,
2c3- = «0 cs = — 5
n= 4 ,
c6
n= 5 ,
2c 5 c7 =- — . = 0
n= 6
c
regla de recurrencia.
Integrar mediante series las siguientes ecuaciones diferenciales. 768)
y' -2 xy = 0, y(0) = 1
Solución oo Suponiendo que y = ^ cnxn es la solución de la ecuación diferencial. n=0
2c2 4
Cq 2
oo y' =^ T^ nc nx n~l , reemplazando se tiene n=i
00
00 ncnx n~l - 2 x ^ cnx n = O, poniendo en una misma potencia a x
n=l
’
n=0
00 ^ (n + 2) cn+1x n+l n= -1
2 c4
C4
C0
4+ 2
3
2.3
n=0
00 00 £ ( n + l)cn+xx n = ^ 2 c nxn+l = 0 n~0
-
00 2cnx n+l = 0 , poniendo los inicios iguales n- 0
„ _ c 0
c2n ~
.
n\
*
2Cfi 8
c° 4!
£o 3!
00
y = 'YJ c2nx n = X ^ 7 * 2" =c°eX n=O
n=O H’
- x 2n y = ^ tl\
para x = O, y = 1= c0, de donde 769)
00
4*]> \(flM)c„;t"“2+ 2^ > jcnx'’“1+ ]£c„;c" = 0 «=2 n=l n=0 ~
^
orí)
2 ] 4w(w - l)cnx nA + n=2 n=1
4 x /’+2/+>> = 0
+ 2 ] cnx” = 0 «=0
ponien do en una misma poten cia a x. Solución
00
00
Y j 4»(» + l)c n+1JC" +
»=1
Como x = 0 es un punto singular regular entonces la solución en la serie
00 2(n + l)cn+1x n + Y j cnx n = O
«=o
igualando los inicios se tiene: 00
y = ^T/ cnx n+r , donde
r(r - 1) + p 0r + q0 = O y
p 0 = lim^xP{x)
B=0
x—>0
y
OO
00
4«(« +1 )c n+1x n + 2c, + cn + ]T 2(» + l)cn+1x" + Y JCnx n = O W=1 «-1
q0 = lim x 2Q( x )
00
Luego
v"+ — v'+ — y = O siendo /*(*) = — , £?(*) = -r 4x 2x 4x 2x
P0 = lim xP(x) = lim x(— ) = —, 2 0 jr_>0 w x->0 y2x
q0 = lim x2Q(x) = /iw x 2 — = O x->0 *-+o 4x
2cx + c0+ ^ [2 (w + l)(2« + l)c„+1 +cn]xn =0 n=O
aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
2c1+c0 =0 2(w + l)(2w + l)cn+1+c„ = 0
r ( r - 1)+—+ 0 => r 1 - r +— = 0 2 2
1 ^ ^ » 4-1
r
1
2
2
r 2 — = 0 => r (r — )=0
para rx se tiene:
1 => r{ = 0 , r 2 = —
2
y = ^ ^ c nxn , de donde n=0
00
00
»=1
n=2
2! _ c„ «> 1 2(« + l)(2« + l) ’
—
~
para n = 1, c2 = — — = + - ^ !—= — 2.2.3 2.3.4 4! como
=
= C o + C j X + C2 X 2 + c 3 x 3 + . . . n= 0
y ' = ^ n c nx"~1 => _y"= ^ n ( n - l ) c nx n~2 , reemplazando en la ecuación
2
nPara
La otra solución es para r = ~
00 i n_ i Y ( n + -)c„x 2
*=0
00 =»
v
” = ^
2
1 (
k
--
co n = 2, c2 = —ci—= — 2 4.5 5!
n+-1 y = ^ cnx n+r = ^ J cnx 2 » derivando rc=0 n=0 / =
c0 -----c0 n ~ 11, c\ = -----1 2.3 3!
\
1 como y ^ c nx 2 = 4 x ( c 0 +c lx + c2x2+...)
n--
+ - ) ( « - - ) c „ x
n=0
2
*=0
y = 4x(c0 - —+
3!
reemplazando en la ecuación diferencial.
«c0V?(l -- +- --- •••)
5!
3!
5!
Luego la solución general es: n~— V““"< 1 1 4*]T(n + -)(n ---)c nx 2 + 2 ¿ j (n + - ) c nx „=0 2 n=0
¿ 4 ( « + i )( n -|) c „ x „=0 2 2
2 + ¿ ^ c nx
n+~Z
n=0
2 + ¿ 2 {n + ~) cnx 2 + Y JCnAx 2 =0 »=0 «=1
n L n—i 00^ y 'i4 «(« +—)c„x” 2 + y c „ _ 1x 2 = 0, poniendo los inicios iguales _
^ = q (1- —+ 2! 4! 770)
) + c2V*(l- —+ — 3! 5!
(1+ x) y' -k y = 0 Solución oo Suponiendo quecnx ” es la solución en series de potencia s n=0
0° J 0+ ^4«(n+ -)c„x
00 n_I 2 + ^ / c n_l x 2 =0
00 y = ^ w c nxn~1
00 j>M=
n=l
n_J_ OO^ | ^[ 4 « (n + -~)cn +cn_,]x 2 =0
+
- k j ' c nx n =0, operando tenemos n=l
n= 1
rt(rt-l)cn;cw“2 , reemplazando en la ecuación «=2
n=0
00
00
n=l
«=1
00 = 0, poniendo en la misma potencia a x.
4n(n + ~)cn + cn_x = 0 , de donde se tiene:
c„ =
Cn \
4n(« + i )
para n > 1, regla de recurrencia.
n-0
OO OO 00 ^ ( / i + l)cn+1xn +J ^nc nx n —kc0 - J 'k c nxn = 0, poniendo los inicios iguales n=0
n=l
n=l
405
c¡ —kc0 f ^ ][ (n + l)cB+i -nc„ -kc„]xn = 0 n=1 C, =¿Cn
Cj - £ c 0 = 0
(n + l)c n+i -( n + Ar)c„ = 0
P0 = lim xP(x) = lim — -■-* = li m —— = - — x-+o 9x(l - x) *->0 9( 1-* ) *_>o 3 ----
^
c„+1 = ----- - c „ , n > l (w+ 1)
, 1+ A (l + fc)Ar0 n= 1, c, = ------c, = ------------2 2 1 2 n = 2, c3 =
q0 = lim x 2Q(x) = lim x 2 ( x—>o
a -—>0
4 r ( r -l ) - — r = 0
(2 + Ár)c2 (2 + k)(\ + k)k c0 (2 + k)(l + k)kco 23 3 ~ ~ 3!
=>
9 j c ( 1 - x )
¡
para ^ = 0 , 7 =
de donde sus deriva das son n=0
00
n=l
c o
n=2 00
••• y = c o £ n=0 771)
00
&(&-1) ...( £ -w + 1) „ w!
OD
OD
OD
X 9»( » - D V M - X 9n(n_1)c»*" _X n=2
h=2
n=l
Sea j; = ^ T c n* n+'' la solución en series donde «=o r ( r- l) + /?0r+ ^r0 = 0 siendo p 0 = li m xP( x) jc-»0
n =2
n—2
n=l
y
q0 = //w x2g(x) jc->0
n=0
w=0
OO 00 18c2x+ ^ 9(n + X)ncn+xx n - ^ T 9 n ( n - \ ) c nx n -1 2 cx - 2 4 c 2 x n=2
n=2
OO 00 -^ 1 2 (K + l)cn+ix” +4c0 +4c1Jc+ ^ 4 c nx" = 0
12 y h-------------4 y = 0, n jdonde ^ y ------------9x(l-x) 9 x ( \ - x)
n=2
luego
4c 0 -1 2 c ¡ + (4q - 6c2 )x +
00 n=2
406
12nc»x" 1+ X 4c'>x" =0
OP OO 00 ^ 9 (n + l)/jcn+1xn -^ 9 « (n -l)c „x " - £ l2 ( n + l)cB+,x" + ]T4c„x" =0
00
Y g (x ) = Q- n4 - 9x(1-jc)
00
ponie ndo en una misma potenc ia a x.
Solución
9x(l-x)
00
9 x ( l - x ) ^ / j ( n - l ) c njr '’~2 - 1 2 ^ « c nx "‘ ‘ + 4 ^ c „ x " = 0 n=2 n=l n=0
9x(l-;t)y"-12y'+4y = 0
p (x) = Q , / 2
~~x)
y %= ^ w c nxn_1 => y = ^ ^ n ( n - l ) c n n ~ 2 , reemplazando en la ecuación
k ( k - l)...(A'-n + l) c n ~
x —> o 9 ( 1
1 n = 0, r2 = -
00
n\
—— ) = lim ——— = 0
----
n=2
[3(n+ 1)(3 n - 4)c„_1-(3n -4)( 3« + l)cn]xn =0
por el método de los coeficientes indetermina dos e igualando los coeficientes se tiene: 4 co - 1 2 c , = 0 4c, - 6c 2 = 0 3(«+1X3« - 4)cn+l - (3« - 4)(3n + l)c„ = 0
igualando las potencias de x se tiene. 30 ^
C l = C° 3
00 ^
3 -]T (3M + 8)(3H+ 3)cr,x" 3 =0
Z
4
C* = J J = J ¿
«+T i *»+— 3«(3« + 7)c„x 3 - 2 J3(3« + 8)(n + l)c„x 3 =0 «=0 „=0
(3« + l)c„
cn+1 = ----------- > n - 2. regla de recurrencia 3(n +1)
o>
7
XT"1
3.3
n
2
1.4.7
Y—' w+~ 2^3« (3« + 7)c„x 3 - /
3.3.3.3
3.6.9
n=0
4C() 2 1-4.7 2 ^0 3 = c 0 + c 1x + c 2x +. .. = c 0 + — x + — x + J ^ c o* +•••
»=0
ahora igualando los inicios
Z Z
3«(3« + l)cnx
x
4
2 1-4.7 3
.
n- 1
------
Oü
7 La otra solución se obtiene de la serie para r2 = — 3 7 «+— ~'¿LiCnX 3 ’ derivando = n=0 n=0
[3«(3« + 7)c b
^
m
QO
«
n=0
7 3
4 3
n+~
v”"’ n=0
i
7
n=1
*t n+— -3 (3 «+ 5)(«)]c„_jX 3 =0
3n(3n + l)cn - 3(3n + 5)ncn_x = 0 . ^
/ =
9ac( 1 - x ) ^ ( / 2 + - ) ( « + - ) c „x 3 - 1 2 2 ^ ( w + t ) c ^
rt+~4 x—i n+— 3 - £ 3(3« + 5)(» - l)c„_,x 3 = 0
«=0
w—i 7n+—5T~i/4T / ' = 2 ^(« + -)(« + -)c bx 2 j(« + -)c „ x 3 => *=o 3 >1=0 reemplazando en la ecuación diferencial QO
n+~ 3(3w + 5)(« + 2)cn_iC 3 =0
*=1
oo
x +...) v = c0(l + —+ — X + 0 ' 3 3.6 3.6.9
n+T
V""1 n+T + 4 2 . /" * =0 n=0
7 4 » n+í ® 7 4 ”+t v-> 7 ”+T ]T9(« + -)(« + -) c nx 3 - 2 ^ 9 (n+TKw+ T)c»jr 3 - X 1 2 (w+T)c"x + «=0 n=0 w=0 7 ra+—
n=0 408
4
7.2c0
n = 2, c, =— c? = ---------= ------- c0 3
^ 7
^ 9 n(n + -)c „x
(3w + 5)(/j) c" = — ^7" cn- 1* V n > 1, regla de recurrencia w(3w + 7) ----
m
Luego la solución general es:
por el método de los coeficientes indeterminados
x 14 , 1.4.7 i L •’' =C,(‘ V « * + 5 l 9 * + ”)+C!‘ ( 772)
8x 8.11 2 . 8.11.14 T ^ m í S * +T o H n I
, -)
c2 ~ ~
Í2 c 2 + C q
=0 \( n + 1)(« + 2)cn+2 +(n + 1)c„ = 0
c n+2 = ----- 2tr . V n > \ n +2
y"+ xy' +y = 0
para
Solución
Sea y = ^ icnxH => y ’= »=o
1 => / ' - £ « < » «=i
n = 2, c4
*=2
a n = 4, c6 = —C46
=0
n = c5,
C0 — 2.4.6
-----
l c5 c7 = — = c — 7 3.5.7 -----
y = c0 + q x + c2x2 +c 3x 3+ c4x4 + c5x5 + c6x6 +.. 7 = Co +Clx - ^ x 2 - ^ - x 3 + ^ x 4 + ^ - x 5 — ^ - x 6 x +. 2 3 2.4 3.52.4.63.5.7
poniendo los inicios iguales. 30
£ [( n + l)(» + 2)c1,+2+c,,]x', + ^
X
ncHXxn=0
00 2c2 + c0 + £ [ ( « + l)(n+ 2)cn+2 +c H]xn+2_j nc„xn = 0
X
773)
uu
X
X
X
/'-xv -V y- l = 0, y(0) = /(0 ) = 0 Solución
»=1
2c 2 + c 0 + y^[(w +l)(n + 2)c „+2 + (n + l)c„ ]x" = 0 »=1
X
y = c0 (1------ + -------------- + ...) + c, ( x ------ + -------------- + ...) 2 2.4 2.4.6 3 3.5 3.5.7
»=1
n=l
2.4
"=°
£ ( « + 1)(» + 2)cb+2x" + ¿ Jncnxn + 2¿ cnxn = 0 »=0 «=1 «®°
»=0
4
c\ n = ,3, c5 = —c 3- = — 5 3.5
poniendo las potencias de x iguales
00
n = 11, c3 = ~ C1 ~
n- 2
l)0«*
¿ ü ( i i “ l )c .* ,,"2 + ¿ « c . * ’ + ¿ c . * * = 0 >1=2 «=1 «=° ¿ « ( « - l ^ x " -2 + ¿ » c„ x " »=2 »=1
co
OO Sea y = ' £ c nx n => n- 0
00 00 / = ^ wc»x"_1 => y " = ^ n ( n - l ) c nx n~ n-2
w
oo
w
n-2
para _y(0) = y ( 0 ) = 0
+ ]T c nxn =1
52k(/i-1 )cnx n~2
»=0
n=1
=> c0 = 0
_ 1, C<¡ —— _ 5 C 2 — 1 y C3 — 0 , C A —— 2
2 " ( n " ' l)c «jc""2 _ Z ! ” c»x , , + S c »x " =1 n=2 n=l n=0
2
4!
8!
j = c0 +C]jr+ C2x 2 + c3x3 +.
ponie ndo las mism as potenc ias a x
x2
x4 4!
3x 6 3.5 jc8 6! 8!
(2n + l)e 2*+4 (2n + 4)!
y —--------1--------- 1----------- 1-------------- _j__ -f --------------------------- + . .. 00
00
^ 2
00
Y i(n + l)(n+2)cn+2x n- ^ n c ^ " + Yj cnx" =1 n=0
n=1
n=0 OO
00
^ [ ( /i + l)(w+ 2) c „+2 + n=o
^ /ic„*n = 1, poniendo ios inicios iguales.
En ios ejercicios 774 —778 hay que h allar sus térm inos del d esarrollo de y(x). 774) y" -{ \ + x 2) y = 0 , y ( 0) = -2, y' { 0) = 2
n=l
qo
Solución
2c2 + c0 + ]¡T [(« + l)(n + 2)c „+2 - (« - l)c„ ]c„ = 1 »=1
OP
por el método de los coeficien tes. l-c0
OO
par a
=0
cn+2 =
(w+ l)(w + 2)
, V «> 1
c3 = 0
n = 2,
c4 = c2 _ 1~g0 _ l~ c0 3 A ~ 2.3.4 ~ 4!
2c, n = 3, Ce = ----- = 0 =>
4.5
c5 = 0
412
c 4 _ 3 (1 - c 0) „ _— 3----—-----------
6
5.6
n=1 00
n-2 oo
X « ( » - l ) c Bx "" 2 - X c »x " - * 2 X C»*" = 0 n-2 i»=0 n=0
5
ponie ndo en una misma s poten cias de x. I OO OO oo X ("+W»+2)cn+2xn - X c»x”- Z!C'>-2X'’= 0 n=Q oo
„ -4 n —4,
_y"=]Tn(«- l)c„xn~2
f > ( « - l) c „ * " - 2 - ¿ c „ x " - ¿ c „ x n+2 = 0 »»=2 n=0 n=0
n = 1,
5
(n-1)cn
00
y '= '^ n c „ x ’’~1 =>
n=0
2c 2 +C q = («+1)(/ i + 2)c „+2 - ( n - l ) c „
00
Sea y = ' ^ c „ x n =>
6!
n- 0
*
n=2
x-
£ [ ( « + l ) ( n + 2)c n+2 - c j * " -J ^ c n_2xn = 0 n-Q
n-2
413
775) poniend o los inicios iguales. QO (2c2- c 0) + (2.3c3- c 1)x + ^ [( « + l)(n + 2)c„+2 -c „ -c„_2]xn n=2
y"+y,- * 2y= 0 , y(0) = 1, /(0 ) = 0 Solución Sea y = y£ J cnx n =>
y = ^ n c nxnl
n=0
lc2 -c 0 =0
2.3c3 =0 (n+ l) (n + l)c n+2 —c„ -c„ _2 = 0
c
=>
c2 = ^ 2 2 C3=^ 2.3
C +■ C ■)
"+2
= —2 «z£_n > 2, regla de recurrencia (n + í)(n + 2) 6 ----
=>
y"= ^/i(n-l)c„ x"
n- 1
n=2
^ n ( « - l ) c „ x " -2 + ^ n c „ x " _1 - x 2jT c „ x" =0 n=2
n=l
n~0
j r n( n- l)c „x "~2 + ^ n c „ x "'1 -'jj?cnxn+2 =0 n=2
n=l
n=0
poniendo en una mismas potencias de x. para
n = 2,
c2+ Cq 3c 0 c4 = 3.4 2.3.4
n = 3, c5 =
c3+q 4.5
7q 2.3.4.5
£ ( n + l)(n + 2)cn+2x n n =0
(n + l)c„+1xn ~ ^ c n_2x n = 0 n =0
n=2
¿ [(» +1)(«+2)cn+2 + (n+ l)c„+1]x" cn_2x n = o aj=0 n=2 y = c0 + !*+ c2x 2 + c3x3 + c 4 jc 4 + Cq 2 c \ 3 3 ^ 0 4 v = c0+CiX+ — * +— x + — —x + ----- — x 5 0 1 2 2.3 23.4 2.3.4.5
'
y = - 2, x = 0 => -2 = c0 / = C j + C 0X + ^ - X 2 + . . .
2=
2c 2 + Cj + (2.3c 3 +2 c 2)x +
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene: 2c 2 +Cj = 0 2.3c3+ 2 c2 - 0 (n + l)(n + 2)cn+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 = 0
+ 0 + 0 => Cj = 2 2 *3 *4 7 v = - 2 + 2 x - x z + - — — + — x 5 y 3 4 60
((n + l)(n + 2)c „+2 + (n + l)c „+1 - c „_2)*" = 0 n =0
c„+2 =
— (n + 1) c n +\
( n + l ) ( n + 2 )
^
2c2 - C j 3Ca — C 7 —
3
V n > 2, regla de recurrencia
=> c2 C1 2
C1 2.3
^C-3—
para
n = 2,
c 0 - 3 c 3 _ 2c0 c, _ . .2.3.4 . . 4| 3.4
cd
n = 3, c< =
> i 1 c, -4c 4 1 I O P j K 0 1 . . . . 4.5 2.3.4.5
5!
Sea y = ^ ^ akxk la solución de la ecuación diferencial dada k=0 y ' - ^ j k a kx k 1 => y" = ^ k ( k - \ ) a k x k 2 , reemplazando en la ecuación *=1
c6 =. c 2 ~ 5 c s 5.6
n = 4,
n = 5,
n
6,
c7 =
Cg
1
< N 0 1
c3~6c6 6.7 c4 -7 c? 7.8
w
6!
£-2
*=0 k
62c0 - 69C[ 8!
y = c0 + c1* + c2.x2 +C3X3 +C4X4 +C5JC5 + c6x6 +C7JC7 +... C\ 2 3 ^Cq c i 4 7c, 2Ca « 2cn -19c , ¿ X + — 5------- l- x 6 + y= C0 + C,*----LXZ+-ÍJCJ +— y - Jt + i------ — 2 3! 4! 5! 6! ---
| 39c, - 2 c 0 ^ t 62c0 -69c, ^ + 1\ X 8! X l= c0+ 0
00
^ k ( k - l ) a kx k- 2+ ex ^ a kx k = 0
39c! -2c0 7!
----
k = 2
O s
=> c0 =l
£ * ( * - l ) a t j t * - 2 + ( ^ ~ r ) ^ a k x k = 0 *=2 *=0 *• *=0
*=2
Jfc=0 n=0 W'
igualando las potencias de x. I >
+ D(* + 2)a k+2xk + £
£=0
*=0 n =0
£ [ ( * + l ) ( * + 2)ak+2 + V ^ L ] * * = 0 t í 'i! *=0
c¡x2 y = c . -c,jc + --------+ ...
2
k
(k + l)(k+ 2)ak+2+
O= C] —O => Cj =0 2 xb , 2jc4 2 x 2 762 8 y = -1 + --------------+ ----------- x + — x8 + .. . 4! 5! 6! 7! 8!
776)
=0 n '
y ^ = 0 , V k> 0 '4-— ^ nf n=0n
l k+2 = ------------------ y - ^ L , V k > 0
(* + l)(* + 2 ) ¿ n!
y" +y ex = 0, y(0) = 1, /( 0 ) = 0
Solución
como y = ' ^ a kx k = a0 +a lx + a2x 2 + ... k = 0
es la solución de la ecuación diferencial usando la condición inicial
y(0) = 1 => a0 = 1 , y' (0) = 0 => ax - 0 para
k = 0,
a2
LV ^
k=l,
a3 = — 2.3 “
1.2 “n=0 ni
= _£o_ = _
1.2
^T/:£z¿.x* 1 = 1+ (^T akxk)2, dedonde k=o
k = l
- [ ^ j a kx k ] [ ^ / a kx k ] = 1
Jt=i
1.2
= - L (fl + a n\ 2.3 0 1
— 2.3
*=1
¿=o
¿=o
¿a*** -1 - ¿ [ ¿ á na *_ Jx * =1 fc=0 k = 0
ahora poniendo en una misma potencia de x.
k= 2> a4=~ ¿ ¿ ^ f = " ¿ (fl2+ai+? )=0
°°
oo
( k
+ 1) a k + \ X
— y
k=0
4.5 n—0 n!
1.2.4.5
k = 0
1 V « 4 - n
( -D 2 9
„!
41.5.6
oo
777)
2.3
1.2.4.5
1.3.5.6
y ' = l + y 2 , y(0) = 0
Solución
oo
Sea y = ^ a kx k ¿=0
=
...( 1)
la solución de la ecuación dada
*=1
ty^k+X ~~
^n^k-n ^ *=0
kakxk~l , reemplazando en la ecuación k=\
—^
ahora por el método de los coeficientes indeterminados ÍZj
£Zq .¿Zq = 1
—^
(l j — 1 4~
2
(*+l)at+1 ~ '^ j an.alc_n = 0 , V k > 1 n=0
Luego a{ = l + «o 1
°°
Vk> 1
n =0
Luego y' =
^*
k
oo
[_Cl\ ~ ^ \ ^n^k-n 1 ^ y
y = a0 +alx +a2x 2 +a3xi + a 4x 4+.
1.2
n a k - n 1X
k=0
*=0
como
>a
k=0
]?[( k + l)ak+1 - j ? a nak_n]xk =1 k = 0
5 .6 ^
k
, [ ’y
aplicando la condición inicial y(Q) = 0
Calculando y (k)( 0) como y = ^ a kx k = ao +a \x + a2x 2 + ..., es la solución entonces usando la *=o condición inicial obtenemos y(0) = 0 = a 0 => a 0 = 0 , de conde al = 1
y ’= e y + xy
=> y’(0) = e y(0)+0 = 1
y " = e y y'+ y + xy' =>
para
1 1 1 k= 1, a 2 = - ^ a „ a i - „ = - ( a 0 -a i + a , .a 0) = 0
yM(0) = l
y ' = ey y'2+ey y"+2y'+xy" => /"( O ) = 4
n-0
y lv = ey y' 3+2ey y' y' '+ ey y' y' '+ey y" '+ 3 / '+xy'" =>
1^ 1 1 k = 2, a 3 = —'^PJ a n-a 2-n =T(ao-a2 +a l2 + a2'ao) = T
y lv(0) = ll
reemplazando en la serie de Taylor se tiene: j 3 k = 3, a 4 = - ^ a n .a 3. „ = 0
X2 2!
ll *4 4!
53 5 269 4 120 720
Hallar las soluciones generales de la ecuación de Bessel.
, . 1 Vi 2 k = 4, a 5 = ~ 2 j an.ci4_n = — 5 “n=0 15
779)
x 2y" +x y'+ (4x 2 ~ ) y = 0
k = 5, íj6 = 0
como
4jc3 3!
y = jcH-------- 1--------- h ---------- 1-------- X H--------- X +...
'
Solución La ecuación parámetrica de Bessel es
6 17 k = 6, a1 = —¿¡^a n-a6-n = 315 n=0
jt2/'+ jty '+(A 2 x 2 - p 2) y - 0 cuya solución general es:
y = X"'' 2 j ak x ¿ ~ a o + a \ X + a2x 2 + a3x 3 +a Ax 4 +a 5x 5 + ...
y( x) = c, J p (Ax) + c2 y p (Ax)
k= 0
*3 2 5 17 7 y = Jt + — + — x + ----- x + . 3 15 317 778)
Luego A2 = 4 , p = ^ de donde X = 2, p = — Por lo tanto la solución es:
ÿ = e y + xy , y(0) = 0
Solución Usaremos la serie de Taylor y(jt) =
780) j— x
-----
k=0
k »
la solución pedida
y(x) = c1y1/3(2x) + c 2yi/3(2x )
*2y+ ^'+ (jt2--) 3 ' = 0 4 Solución
La ecuación diferencial de Bessel de orden p es
x 2y '-2xy'+4(x* - \) y = 0
783) x 2y" +xy '+ (x2 - p 2)y = 0, cuya solución general es:
Solución ^
y( x) = c{J p( x) + c2J - A x )
Se observ a que
5 5 /? = —y p - — 4 4
Luego la solución es dado por y( x) = clJ l/ 2( x) + c2J _l l2 (x)
781)
784)
y( x) = axy 2 [c1J 5l4( x 2) +c 2J_ 5/4 ( x 2)]
x y " + ~ y ' + ~ y = Q
Solución
/ , ’+, 1- /,+1 - y = 0 x 9
Se observa que p - ^ y p = - ~
Solución
Luego la solución correspondiente a la ecuación diferencial es:
Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial 2 ,,
v
y = $[x [cxJx/ 2{4 x ) 4- c2
, X 2
/ 2(a/*)]
x y +xy + — y = 0
785) de donde
7 1 ^ A= —, p = 0 9
j"+ --/+ ^ = 0
1 => A = —, p = 0 3
Solución Se observa que p = 2 y X= 1
La solución general dada es:
JC
JC
y(0) = cxJ0 (—) + c2y0 (—) Luego la solución general es:
782)
y ''+ — y'+4 y = 0
786)
X
y " + - y ' + 4 y = 0
Solución
Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial.
Luego la solución es:
(*) +
X
Solución
x 2y'' +xy '+ 4x2y = 0 , de donde A2 = 4 , p 2 =0
y = - —-[cj
Se observa que p = 1 y X = 2 entonces la solución general de la ecuación diferencial
=> A = 2 , p = 0
y( x) = cxJ 0 (2x) + c2y 0 (2x)
x
y = -[ c xJ l {2 x) +c 1y x(2x)]
(*)]
Demostrar la justeza de las siguientes relaciones
787)
789)
J p+l (x) =
Jp( x)-J p_i (x)
/ p (x) = J p_x( x ) - ^ J p(x)
Solución Solución
Como se conoce que:
d n Se conoce que — (xpJ (jc)) = x p J x (. x ) dx y y Xpj \ (x) +px p~[J p (x) = x pJ p_x(x)
J p (X) = J p - \ ( x ) - ~ J p (x) restando se tiene:
...(1)
j' p (x) = ^ j p ( x ) - j p+l(x)
además ~ (x~p J p (x)) =-x ~pJ p+x (x) (probar)
*~Pj \ (x)~px ~p lJ p (x) = -x~pJp+l (x)
2p
J p ( x ) - J p- l ( x ) - J p+1(x ) = 0 , de donde
... (2)
2 p
J P+1(*) = ~ J p (x>~ J p - i W
dividiendo a la ecuación (1) entre x p se tiene:
j' p (x) + ^ J p(x) = Jp_1(x) de donde j'p (x) = j p_l ( x ) - ~ j p (x)
790)
j 2(x ) = j \ ( x ) - - j { { x )
Solución 788)
j' p (x) = - J p+l(x) + ?-Jp(x) Se conoce que J p+l (x) = ^ J P (x ) ~ J P ( x ) Solución Como ~ ( x - p J p (x)) = - x - pJ p+1(x)
x~pJp (x) - px -pAJp (x)
=
- x - pJ p+l (x)
dividiendo entre x p se tiene:
p= l,
J 2( x) = - J 1(x ) - J [ ( x )
como Jq (x) = —J i (x)
=> j \ (x) = - j \ (x )
J p (x )- — J p (x) = - J p+1(x)
J pl (x) = ^ J p ( x ) - J p+l(x) 424
Para
J 2 ( x ) = J \ { x ) - - J [ (x)
425
791)
J 2{ x ) - J 0{x) = lJÍ (x) Solución Del ejercicio 790 se tiene: J 2(x) =
(x)- —,/J,(x)
... (1)
como j \ (x) = - J p+x(x) + t j p (X) para p = 2
2 p
como J p+1(x) = - £ - J p ( x ) - J p_1(x) para p = 1
J \ (*) = ~ J i (x ) + - J 2 (x)
2 J 2(x) = ~ J l ( x ) - J 0(x) para J¡(x) = -J¡, (x)
sumando (2) y (3) se tiene:
X
2 J \ (x) =
J 2( x ) = - - J ! 0( x ) - J 0 ( x )
(x) - J 3(x)
...(2)
X
... (4)
2J \ (x) = -7|, (x) - J 3(x)
a (1) multiplicamos por- 2 se tiene: - 2 J 2 ( x ) = -2 J,0( x )+ j J'0( x ) sumando (2) y (3) se tiene:
... (3)
sumando (1) y (4) se tiene ...(3)
2 J \ (x) + 2 j \ (x) - 2 J \ (x) = - 4 j \ (x) - j \ ( x ) - j 3 (x)
- J 2(x) = -2 /J (x) - J 0 (x)
J 3(x) + 37o (x) + 4/JJ (x) = 0
J 2(x) = 2J 0l (x) + J 0(x) de donde J 2( x ) - J 0(x) = 2/J(x) 793) 792)
x 27 ■(x) = ( p 2 - p - x 2)J p (x) + xJ p+l (x)
J 3(x) + 3/J, (x)+4 7* (x) = 0
Solución
Solución , (x ) = y — ___ ( ~)p+2b L a n\( n + P) \ ( 2}
J 2 (*) - Jo (x ) - 2/JJ (x) del ejercicio 791
4 (x )-y ¿(x ) = 27« (X)
2J[ (x) - 2J \ (x) = -4 /* (x) como J \ (x) = J p~\ (* ) ~ ^ J p (x) para p = 2
426
...(1 )
F '
¿—i 2
n=1
»!(»
+
/ > )!
V
j " ( x ) = y i . c -1)"(2w+ pX2 n P «!(n + /))!
(i) w - 2 2
,y i, M . ÿ < - 1>‘(2»+'’X2»+',- |)(£)-> L a
n=2
...(1)
2
n\(n++ p)\ n\(n d Y.
+y £ M á l ” A n\(n + p)\ 2
^ +y
( - d " 4W(i.+ /» X 2n+p «!(// +
/?)!
2
n=0
Z
°° p(j> -l)(-l)" n\(n + p)\ n -0
I h t, 2
y > 4(—1)” Lmin\(n + p)\ n=0
X 2n+P+2 2
»=2
(-l)"4w(w + /?) X 2n+p 4(p + l) x p+2 «!(« +» )! 2 0» + l)! 2
(2)
n=0
,(x) = — ( ~ ) ^ 2 - ÿ P+1 /> + l 2
*igualando (1) con (2) y (3)
( 1 ) " ?- - ( - ) 2n+^ (« + />)! 2
2|
n
2 (x (/7 + 1)! 2
2 y ( -l )" 2 n x 2„+n ¿-m \(n + p)\ 2 n= 2
ûo
(-l) (2n+p)(2n+p-ï) x)2„+„ _ y [^-l)+ 4w(» +^)-2 «3(-l)'- x 2n+n n!(/2+/>)!
2
^«=2
«!(«+»)! ^
4«2 +/7(/?-l) + 2«(/?-l) + 2n/7 = 4«2+ 4n p-2 » + p ( p - l )
OO n j ,r, _ V ^ /*x2n+p+l l) , ^ V i W - Z , 2 ^ ! (m+ n=0
x/
00
Z
tt—2
|y
. 4(/7 + l) X (p + 1)! 2
...(3)
2
[s
is t e m a s
d e
e c u a c io n e s
d if e r e n c i a l e s
d e
|
[COEFICIENTES CONSTANTES.!
METODO: REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACION DIFERENCIAL DE n-esimo ORDEN.Consideremos un sistema de dos ecuaciones:
Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones incógnitas x l =y /l (/), x 2 = y^2(t ), •••» x n =li/ n(t ) esdelaforma:
^ - = f l(t,xl,x2,...,xn)
dt ~ = f:2 (t , x x, x 2 , .. . ,x n) dt
d x
d ¡=ax+by + f(t)
...(1)
^ - = cx + dy + g(t)
...(2)
donde a,b,c,d son constantes, f(t), g(t) son funciones conocidas x(t), y(t) son funciones incógnitas. De la ecuación (1) despejamos: 1 ,d x
,
dt
fn
’ ’ •••’ xn ) xl x2
■
reemplazando en (2) se obtiene:
donde x { = y/{ (t ) , x 2 = V 2 ( 0 * •••* xn = \f/n(t) son diferenciables y con derivadas continuas en (a,b) llamadas soluciones del sistema. de donde al simplificar se tiene A Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de n funciones incógnitas se puede escribir en la forma:
dX¿ = ^ j an{t)+b' {t) H
Si b{(t) = 0 , el sistema se llama homogéneo, y si b¡(t)* 0 el sistema se llama no homogénea. v Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales lineales.
dt
+ B ~ + Cx + R(t ) = 0 dt
donde A,B»C, son constantes. Resolver los siguientes de ecuaciones diferenciales: d x
812)
dt
= 3 - 2 y
- = 2 x- 2 t dt
Solución
dx . — = x -2 y dt
... (1)
^ = x + 3y
...(2)
. dt
de (1) se tiene y = —(3 -— ) reemplazando en (2) di 2
dx 1 de (1) se tiene y = — ( x ) reemplazando en (2) dt 2
d i dx d 2x „ -(—(3 — —)) = 2x~21 => -----7r = 2x-2t dt 2 dt 2dt¿
d rl dr., 3 ¿r — [—(x ----- )1 = x + —(x ------- ) dt 2 dt 2 dt
d 2x d t2
-----
1 dx 1 d 2x _ 3 3 dx T J t ~ Y ~ i h 2 ~ XJr~2x ~ Y J t
+ 4x = 4t es una ecuación no homogénea
sea r +4 = 0
=>
rx=2i, r2 = -2/
^—^ - - 4 — + 5 x =0 dedonde r 2 -4 r+ 5 = 0 entonces: d t2 dt
(t) = c¡ eos 21+ c2 sen 2 í , la solución particula r es:
/•j =2 + i , r2 = 2 - i la solución general es: xp = At + B => x'p = A
=> y" = 0
de donde: 0 + 4At + 4B = 4t
=> 4t
=>
4 A = 4 B = 0
y = c3e 2’ co sí + c 4e 21 sen t
A = 1 5 =0
+ 3x+ y = 0 x p = t y la solución general es: =
=> x = c¡ e o s 2 í + c 2 s e n 2t+t dedonde:
814)
dy — - x + y = 0 dt
, x(0) = y(0 )= l
Solución
y = 1+ c, eos 2/ + c 2 sen 21 dx = x-2 y ~dt dy = x+ 3y
+ 3 x + y = 0 & - , +y . 0 dt
dt
...
(1)
... (2)
Solución de la ecuación (2) despejamos x, es decir
x = cl e 2' eo s t + c 22' sen t
dy
d x
x = y + — reemplazando en (1) dt
dt¿
de donde r + 4r + 4 = 0
dt
1
... (a)
dt 2 dt
t/y de la ecuación (2) — = 2 y - 2/ -1 reemplazar en (a) dt
d x . dy A — —+ 4 — + 4v = 0
1 dy
^dx
'
= 3-------y+ v + — 6r dt 2
=> r = -2 de multiplicidad 2.
d x .dx -—=--=3 y - 5 t dt dt
... (3)
dx o y = 6 x - 2 — - 6 t - t + 3 dt
...(P)
------
x = c¡ e 2t + c 2te»-2/ Lt - 2 cxe Lt + c 2e ¿t - 2 c 2te.-2/ x = - c xe 2t - c 2te 2t + c 2e 2t
x(0) = 1 => 1= —q + c2 y( 0) = 1 =>
reemplazando (P) en (3) se tiene: d 2x rdx -5 n 6x = 6r2 - 4í - 3 dt2 dt
ci ~ 1 c2 = 2
l= q
de la ecuación (1)
r 2 - 5 r + 6 = 0 entonces:
----
r x = 2 , r2 =3
=>
x = c1e2'+ c 2e 3r; y y
= A t 2 +B t + C de donde
Íjc = e 2t - 2t e 2t y
[y = e~2t +2 te~2t
=t + /
y la solución general es:
x - c xe 1+ c2e +t +t de donde y = 2c¡e ' +t + l — = 3 jc - —- 3 | J
815)
2
dt
f —
—
2 2
-
816) Solución
fatc , , 2 r 3 — = 3 jc -—- 3 / — + dt 2 2 2 = 2j>- 2í -1 derivando la ecuación (1) se tiene:
...
dx -Ix + y ~dt dy = -5y -2x dt
Solución
(1)
... (2)
dx = -Ix +y ~dt dy = -Sy - 2x dt
...
(1)
... (2) 435
de la e* uación (1) y = — + 7i reemplazando en (2) se tiene: dt 818) ^ - [ - t - + 7 x ] = -5(— +7x )-2x dt dt dt r +(12r + 37) = 0
=>
— + 12 — + 37x = 0 dt dt
r = -6 ± /
Solución dx — = y + z dt dy =z+x dt dz x +y ~dt
x = (c, eos t + c2 sen 0 e “6í de donde y = e 61[(q +c 2)cos/-(c! -c 2)sení]
817)
dx - n — = 2 x -9 y y di dy_ = x + 8y dt
dy
*
= 2x-9y
- (1)
= x + 8y
... (2)
(1) (2) , derivando (1) se tiene: (3)
d x dy dz = — + — reemplazando (2) y (3) d t1 dt dt
Solución
—
dx = j>+ z dt dy_ = Z + X dt dz — = x + y
d x — — = x + z + x + y dt1 '
, de la ecuación (2) d espejar x.
d x _ i , => — —= 2x + ;/ + z reemplazan do (1) d t2
d x dx , ,d x dx ^ — —= 2x h-----de donde — --------------2x = 0 entonces: d t2 dt ¿ r2 *
dy x = — - 8j> reemplazando en (1)
r 2 - r - 2 = 0 de donde rx = 2 , r2 = -1 L f . g ± . 2 ± . U y . 9y d t 2 dt dt y
x = Cje ' +c2e2' =>
— 7^ -10 — +25 y = 0 entonces: r 2 -1 0 r + 25 = 0 d t 2 di 819) entonces:
r = 5 de multipl icidad 2.
7 = CjC5/ + c2te5/ ded onde x = (q -3c xt- 3 c 2)e5t
dx — = y + z dt y dy — = 3x+ z dt dz
— = 3x + y
y = c i í +c2é?í (1) (2) (3)
=>
z = -( q + c 2)e ' +c 2e2'
Solución
reemplazando (3) en (4) se tiene: d 2y
Derivando la ecuación (1) se tiene:
—
d t2 d 2x dt 2
dy dt
dz dt
= - 4 x -1 6 z+ 4 z
.. .( 5)
reemplazando (2) en (5)
reemplazando (2), (3) en (4) se tiene:
d 2y dy — —= -A x -1 6 v - 2 — derivando esta ecuación se tiene: dt dt
d 2x = 3 x + z + 3 x + y de donde dt2
dt d 2x
d t2
reemplazando (1) en (6) se tiene:
reemplazando (1) en (5) se tiene:
— f + 2 — f + 16 ^ - + 32j> = 0
2 d x d x , . , , . , . — --------- 6x = 0, de donde r - r - 6 = 0 entonces: r, = 3 ; r7 dt 2 dt
r 3 + 2 r2 + 16r + 3 = 0 de donde:
d3y dt3
x = c¡e 2t + c¡e 3' de donde y = — c ¡e3' - c 2e 31- c 3e 1 dx
820)
dt 2
•■•(5)
dt1
= 6 x + y + z
dt
„
dt = 2x + 8y -2 z
dz = -2dt
r{ = -2 ; r2 =4 /, r3= -Ai => x =c¡e 2t + c2 cos4r + c3 sen 4/
... (1)
... (2)
z = - ~ cxe 2t +c2 sen 4 1+ c3 eos 41
... (3)
Derivando la ecuación (2) se tiene: d y
(r 2 + 16)(r + 2) = 0 entonces:
1 cos4í— „ 1 cssen4í v = — 1 cxe -2t + —es 4 2 22 3
Solución
dt
~d2y A,dy ^ dt2 dt
- = 2x + y - 2 z - t + 2 dt dy
... (1)
I —
-ro
— = x + .y - z - r + l ai ...(4)
... (3)
Solución
dx _ di ~
De (2) se tiene
d y reemplazando en (1) dt 2
y g = eje' +c 2 cosí + c3 sen t => y p =At + B de donde • --------------------
y - c xe* + c2 COS/ + C3 sen t + t de la ecuación x = 1- —
- ~r - = - 2 - 2 — + y - 2 z - t + 2 dt2
dy
dt
d y dy 2 z = — f - 2 — + y - t + 4 d t 2 dt y
jc = - c xe f - c 2 sen / + c3 eos / de la ecuación (4) se tiene: ...(4)
z = 1+ c2 sen t + c 3 cos r por lo tanto la solución del sistema es:
de la ecuación (3) se tiene:
x = -c le r - c 2 senr + c3 cosi
dz 2 - = 2x + 2 y - 2 z - 2 t + 2 entonces: dt
y = cl et +c 2 eos t + c3 sen t + t z - \ + cx sen t + c2 cos t
2 ^ *- = 2 - 2 ~ - + 2 y - ^ - ~ - + 2 — - y + t - 4 - 2 t + 2 dx dt d t2 dt 2
dz ---
dt
d 2y = -------T- + V -/ dt2 '
...(5)
derivando la ecuación (4) se tiene:
dz _ d y dt dt 3
2— =
d 2y 2 d 72 t2
dy —1 dt
reemplazando (6) en (5) se tiene:
i d 2y dy d 2y ; l r-+ 1= ------ - + V - Í d t 3 d t2 dt dt2
---
---
----
822)
— = - x + y + z + e dt dy -^- = x - y + z + e t dt dz A — = x + y + z + 4 dt
... (1) ... (2) ... (3) Solución
De la ecuación (1) y = - + x - z - e T dt reemplazando en (2)
-----
d 2x + -----------dx dz el t- x ---------dx z + z + et + z + e3 dt 2dt dt dt
-----
dt
d t2
dt
sea p (r ) = r 3 - r 2 + r - 1= 0 => r, = 1, r2 = i , r3
d 2x -dx dz _ . /31 A - a -------h2 ------------- 2z = 2e + e denvando
d r
dt
dt
-..(4)
d 3x
d i3
„ d 2x
+2
d t2
2e,+3e
d 2z _ 2 dz_ =
d t2
3,
dt
... (a)
C 2 e 2t — ^3- e y - — e -t + —
reemplazando (4) en (3) se tiene:
3
dz dx , . — = jch + x - z - e +z + 4 dt dt
d 2z
_ d x d 2x -e = 2— + dt dt 2 dt2
... (p)
«' + — 7 e3, - 2 — 6 20
6
y - -C1e - + — e
-
d 2x
- 4 — -4 x = -e 1+ e3' + 8 d t2 dt
resolviendo esta ecuación se tiene: p( r) = r 3 + r2 -4 r- 4 = 0 => ^ = -2, r2 = 1, r3= 2
jc = q e -2' + c2er + c3e2t y la solución particular es:
20
e -2/ ~ + — e3/ -2 6 2 6 20 C\ - t C2 21 ^ ^ z = — - e 1+— e l ----- + ----3 3 2 4
(r)
j 2 v j2 . Ì 4 + 2 L l . 2 ^ Ì 4 + e ' . i x . 2 ^ + 2 , - - 8 - V + 3 ^ dt dt dt2 dt dt3
d t3
2
x = cxe 2t + c2e' +c 3e2' + — + — e 3' - 2
reemplazando (P) y (y) en (a) se tiene:
d 3x
6
Luego la solución del sistema es:
----
dz „ dx , — = 2 x+ -------e + r dt dt
y de la ecuación (4) se tiene:
-----
dx — = x co sí dt
(1)
2 ^ = ( e , + e-‘)y dt
(2) Solución
De la ecuación (1) se tiene: dx
— = cos t.dt integrando lnx = sent + k entonces: x
--------------
x = kAe**nt ------- ------
de la ecuación (2) se tiene: e
3e
x n = — + --------2 la solución general es: p
6
20
j t s q e 2/ + c 2er + c3e 2/ h------1-----e3t - 2 1 2 3 6 20
2~ ~ = (er +e ~' )y dt
=> — = cosh t.y dt
dy — = cosh t.dt => ln y = senh t + c entonces: y
de la ecuación (P) se tiene: e 3t— z = -—c\- e -tc2—21e Lt et------+
La solución es:
[x = k xeSQTít < \ y = k 2eaeah'
------------ ~ y = k\ ea 1 ---------------
824)
dx , dt 6 y X dy 2, ’ — = e + x - 3 y dt
119
211
9 00 ’
900
— dt
d y ,d y _ dy dy - 9y + 8y => — — 3y) = -3 — f - 3 - ^ = - 3 - ^ - - y dt dt dt dt
dt
d 2v ■y = 0 d t¿
Solución sea p( r) = r 2 - 1= 0 => ^= 1 , r2 = - l
De la primera ecuación despejamos y es decir:
entonces:
y = e* - 5 x - — ahora reemplazamos en la segunda dt t .d x d 2x >> t .c ^dx 2/ e - 5 ---------- —= e + x -3 e +15x + 3— dt d t1 dt
x - - 4 c xel - l c 2e 1
luego:
d x „dx ^ A t ot — ~—h8 — + 16x = 4e -e d t2 dt
( = -c 1e t - 2 c2e t \x
t= 0 para x = 6 y = _2
| {y = cle , +c 2e~‘
6 = - 4 c { - 2c 2 2 ==Cj C2
Cj = - 1
por lo tanto:
4
,
1 ,
25
36
1 , 7 ,
y =— e +— e 25
o — = 3x + 8y dx
~
825)
36
= -3y - x
dx Ydt r y dy_ = -x dt
... (1)
x(0) = y(0) = 1
... (2) Solución
Reemplazando (1) en (2) se tiene: ... (1) í x(0) = 6 , y(0 ) = -2
*
826)
jx = 4c ' + 2e / [y = -e t ~e~‘
La solución de esta ecuación diferencial es: x = — c --------- e
y = cie t + c2e
... (2)
x=
d x ==> — - + x = 0 dt
p( r) = r 2 + 1 =>
Solución De (2) despejam os x es decir:
d ,dx. — (— ) = - x dt dt
3 y
rx = i , r 2 = - i entonces:
dx v = — = -v4senx + £cos x=> ^ dt
x = A eos t + B sen t
y - = -As ent + B cosí
\x = Ac os t + Bs cn t < , t = 0, x = y = 1 [y = -A sen t + B eos t
Luego: 1= A = 3 1
dx
827)
~dt
828)
x = eos ¿+sen í y = - sen r +c osí
por lo tanto:
-4 (x + y)
(1) x(0) = 0 , y(0) = 1
(2)
dt
Solución Reemplazando (2) en (1) se tiene:
... (1)
x(0) = 1 , y(0) = 0
dy + 4a — dy = -4ay — dt dt
d y -= 4a — dy - 5 y de donde d y - 4Ady — +5 = 0 d t2 dt d t2 dt
••• (2) Solución
De (1) se tiene:
— = 4x - 5y dt
dx - 4 y = — + 4 x , derivando dt
rx =2 + /
sea p( r) = r 2 -4 r + 5 = 0
Ady d 2x Adx 4 — = ------r 4 ---dt dt dt
r2 = 2 - i
---
y - c xe2t eos t + c2e 2t sen /
ahora reemplazando en la ecuación (2) , dx d 2x dx dx A ----------_ 4 — = \-4x de donde: dt dt dt dt -
sea p( r) = r 2 +4 r + 4 = 0
d, x dx + 4 — + 4x = 0 d t2 dt
como x = ^-= =2 cl e lt eo s t - c xe 2t scnt + 2c2e2t sen t + c2e2t eo s t jc = (2 cx +c2) e2r eost +(2c2 ~ cx)e2t se n t
r= -2 de multiplicidad 2.
para t = 0, x = 0, y = 1
x = cl e 21 +c 2te 2r dx como - 4 y = ----- \-4x entonces: dt
2ci-fc2=0 ci = 1
- 4 y = -2c le 2t +c2e 2t - 2 c2te -2lt t +4 cxe - 2¿t t + 4 c2te - 2 t
para t = 0, x = 1, y = 0 entonces: =>
c1 = 1 c2 = -2
por lo tanto:
cx =1
c 2 ~ “ 2
, por lo tanto :
\x = -5 e 2t sení < \y - e 2t c o s t - 2 e 2t sení
- 4 y = 2cxe 2t +(c2 +2c2t)e 2t
Ci+0 = 1 2cx+c2 =0
=>
íx = (1 - 2t)e 1 < [ y = te~2t
829)
dx — = x+ y + t dt 7 dy^ = x - 2 v + 2t dt
(1) m
— j , m
•(2) Solución
De (1) despejamos y es decir:
— -
dx dt
y - ~ - x - t , ahora reemplazando en (2)
a/ 31 - 3
Vñ-i
y = — - — cl£>
d 2x dx +—-- 3 x = 4í + l => p(r ) = r +r - 3 = 0 entonces: dt2 dt
2
_ a / 1 3+3-c2e
—97 = c 1. + c 2, — 97
t 5 H-------3 9
[cx + c2= 0
5 ^3 1- 3 -VÍ3+3 •—= --------- c ------------ c2 9 2 2
1 ( V 3 1 + 3 ) 0 , - ( -7 Í 3 + 3 ) c 2
5 2
----
í+ViT
+ c2e
•'
para t = 0, x = —1 , y - — 5 9 9
1 13 r + r+ —= 3+ — => (rn—) = — entonces:
í+Jñ
V3I+1
4 3
x = ---- 1
2
de donde q = c 2 =0
por lo tanto:
7 3
7 9
----
5 9
y = — t --- x p = At + B
=>
=> y* =0 dx
0 + A —3At —3B = 4t + 1 => -3At + A —3B = 4t + 1 entonces: —3A = 4 A - 3 B = 1
dy — = -3 v - x
3
•JÍ3-1
■ 731-1 2
x(0) = -2 , y(0) = 1 (2)
dy De (2) despejamos x - - 3 y — — ahora reemplazamos en (1) dt
x = x + x =c ,e y = ------x - í dt
... (1)
Solución
4 7 =-----1 — p 3 9
dx
= x+5 y
-
713-1
+ c2e
2
3
d y .dy ,d y d 2y dy -3 — ------- 7 T - - 3 y ------ + 5 y entonce s: — f + 2 — + 2y = 0 d t2 dt dt dt 2 *
9
entonces:
7 15 +1 2 2
— -— c,e ¿ ----------c2e
sea p( r) = r 2 +2 r + 2 4 3
z ------ c,e 1
# i 2
-c2e 2
-# ! . 2
4, 7 3 9
+—+—-
y = c¡e 'eos t + c2e ' s e n t
>i = -1 + /' r, = -l - ¡
/?(r) = r -8 r + 15 = 0
x ^ - 2 y - ^ - = -3cle 'cosí-3c2e 'sen t + cxe reos t + cxe 'sení +
y = - l c xe*x +6 c2e 5t para t = 0, x = 2, y = -1 entonces:
jc = ( -2 c x - c 2 )e ' eos t + (cx - 2 c2)e ' senf
831)
q=l por lo tanto: c2=1
cx + c2 = 2
para t = 0, x = -2, y = 1 entonces:
-7cj + 6c2= -1
por lo tanto:
— + 2 - ^ = 17je+8 y dt di
- O)
13 — = 53x+2 y dt
... (2)
\x = -2e 1 cosí+ e r sení < I y = e eos í
832)
dx Y t =y dx dy -------- —= JC+v dt dt
...
Solución De (2) despejamos y es decir: y = —(13 — - 53x) 2
dx A^ d x „~dx dx h13— —- 53 — = 17 jc + 4(13 — - 53x) di dt 2 dt dt
* = e3'+ * 5' y = -7e 3' + 6e 5'
a) x(n) = -l , y(n) = 0
...(2) Solución
x(0) = 2, y(0) = -1
Ahora reemplazamos en (1) se tiene:
* ^ e 3' + c 2e 5'
j = —(13 — -53 jc) entonces: y = —(3 9cxe3x +6 5 c2e5t -53 q e 3/ -53 c2e5/) 2 dt 2
+ c2e ' senf-c2e ' eos/
cx = \ - 2 c x - c 2 +0 = -2 => c2 = 0 q + 0= 1
=> rx =3\ r2 =5 entonces:
Reemplazando (1) en (2) dx d x dx a ,, — ----- —= x + — , de donde dt dt 2 dt d 2X „ — —+ x = 0 rfr
2 sea p( r) = r +1
=>
Aj =1 r2=-/
----
1 3 - ^ - 1 0 4 — +195* = 0 dt d t1 d x
dt 2
n dx -8 — + 15x = 0
dt
como
dx v = — = -Ci sen r + c-, eos r entonces: ' ¿í 1 2
y = -Cj sen+ c2 eos t
para t = n , x = -1 , y = 0 entonces: - c x +0 = -1 |0 + c2=0
=>
C1=1 * _ c2 =0
por lo tanto:
x = eos t y = - sen t
451
833)
dx dy — + — = e - y dt y d t „dx dy 2 — -i ——= se n í- 2 v dt dt *
(1) , x(0) = -2 , y(0 ) = 1
834)
2 — = - 6 x - y- 6 t 2- t + 3 dt
(1) (2)
(2)
Solución
Solución Restand o (2) —(1) se tiene: dx = sen t - e dt
-y
De la ecuación (2) se tiene:
y = sen t - e
dx dt
-----
reempl azando en la ecuación (1) se tiene: dx -t +co s/+e ~dt d 2x d t2
d x — = e d t1
-----
- sen t+ e
-t
dx +dt
= cosí + sen t - e ' integrando
dx _t — = sen t - eos t + e + Cj integrando x - - c o s í - s e n / - e f +c xt+ c 2
como
y = - c o s í - s e n t - e
x(0) = 2 y(0) = 3
+ cxt + c2
dtL . dt
2y = - 2 1-1 ecuación lineal en y
-\-2dt f Í-2í// y = e J [ \ e 3 (- 2t -X )d t + y = e2,[ - j e ~ 2' (2t + \) dt +c {\ =>
y = e2'[- te -2' + c j
>>= l + í+ Cie 2» como
2— = 6x -y-6 2-í +3 dt 2 — = 6 x - l - í - c 1e 2' - 6 f 2 - r + 3 dr 1 2 — = 6 x - 6 t z - c , e 2' + 2 - 2 t dt 1
y = SQ nt -e ' - s e n t + c o s t - e ' + q / y = -2 e ' + eos t + Ci
para t = 0, x = -2 , y = l entonces: -1 + 0-1 + c2 =-2 Cj = 2 ¡x = -c o s/- se n í-e ’ +2t „ t => por lo tanto: < - 2 + l + Ci = 1 c2 =0 = -2e~' +COS+2
— -3 x = - 3 í2 dt
2
e 2' + 1- 1 lin ea lenx
resolviendo la ecuación y aplicando datos se tiene:
jx = e 2' + e 3' + í 2 + r [y = 2ez2t t+t + l 453
|MI TODO OPIÎRACIONAL Y SU APLICACIÓN PARA iLA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES. ..
1.
1 ffl+ioo F(t) = — i es f( s) d s 27TI Ja-ico
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES EL OBJETO Y SU IMAGENJ
Se llama función-objeto a una función compleja de Variable Real F(t) que cumple las siguientes condiciones: 1)
F(t) = 0 para t < 0
2)
F(t) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el*eje t, a excepción de algunos puntos en los que F(t) y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo finito el número tales puntos en cada intervalo finito del eje t.
3)
Si L{F(t)} = fi(s), en cualqui era de sus puntos de conti nuidad la funció n F(t) se determina así:
+wo
r
-ico
es f(s )d s = lim
ep f(s )ds
(la formula (2) se denomina formula de inversión para la transformación de Laplace). m
* \F (t )\ < M eSot Vt
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE. 1)
Propiedad de Linealidad.-
Js0
F(t )e~ stdt
L{aF (t) + pG(t)} = af(s) + pf(s)
... (4)
Donde L{F(t)} = f(s) y L{G(t)} = g(s)
...(1 )
El numero s0 se llama exponente de crecimiento de la función F(t), se llama imagen de la función-objeto (según Laplace), la función f(s) determinada por la formula: f ( s ) =
ña+ib
¿>—>+oo Ja-ib
Al aumen tar t, el crecimiento del modulo de la función F(t) no es superior al de alguna func ión exponencial, es decir existen unos número s M > 0 y s0 > 0 , tales que
... (3)
2)
Teorema de Semejanza.Para cualquier constante a >0
...(2)
L { F ( t ) } = - n - ) a a
‘ ...(5)
siendo s > s0 donde s0 es el expone nte de crecimien to de F(t). La ecuación (1) garantiza la existencia de la integral (2). La transformación (2), que hace corresponder a cada función objeto F(t) una función imagen f(s), se llama transformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo:
3)
Derivación de la Función Objeto.Si F'(t) es una función-objeto, se tiene: L{ F' (t) } = sf ( s ) - f ( 0 )
...(6)
L{F(t)}= f(s) Subsiste el siguiente teorema:
Gene ralizac ión.-
Si F(t) tiene derivadas continuas hasta el orden n en <0,+oo> siendo F (n) (t ) función objeto, se tiene:
Z,{F(n)(O} = s n/(5 )- 5 '’"1^ (0 )-5 '” 1^”( 0 )- .. .- F ("“1)(0) ... (7)
Teorema del Producto.-
La Derivada de la Imagen.Es equivalente a la multiplicación de la función objeto por el argumento tomado con el signo menos, es decir:
E1 producto de dos imágenes f(s) y g(s) es también una función imagen, siendo L~X{f (s )g (s )} = I 'F(u)G(t-u)du
f ' ( s ) = -íF(t)
... (14)
...(8) La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de Convolución de las funciones F(t) y G(t) y se denota por:
Generalizando. f M (s) = (- l ) nL {t nF(t) }
...(9)
La Integración de la Función Objeto.-
F * G = í F(u)G(t-u)du
Jo
El teorema IX afirma que la multiplicación de las imágenes es equivalente a la convolución de las funciones objetos.
Se reduce a la división de la imagen por s. JV (0< * = ^ Jo 5-
.
...(1 0)
f(s)g(s) = F*G
...(15)
La Integración de la Imagen.-
Teorema de la Imagen Racional.-
Es equivalente a la división de la función-objeto por t.
Para que la imagen f(s) sea una función racional es necesario y suficiente como la función-objeto F(í) sea una combinación lineal de funciones de la forma:
r f (S)d s =
Js
t
. . . (i i )
t ne ÁJ (n es un numero no negativo, X es un complejo).
Teorema de la Tardanza.-
Calculo de la función-objeto-
Para cualquier numero positivo a, se tiene:
Cuando la imagen es una fracción racional, supongamos que f(s) es una fracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simple es:
L { F (t -a )} = e- “sf ( s )
...(12)
Teorema del Desplazamiento.(Multiplicación de al función objeto por una función exponencial), para cualquier numero complejo X, se tiene:
/M - 1 1 7 7 7 7 k r-\ (P~ Pk) como M kr y p k son números complejos, entonces:
-< “ >
917)
Sera una función-objeto cuya imagen es la función f(s).
F (t ) = ( t - 2 ) \ ( t - 2 )
Solución
En particular, si todos los polos de f(s) son simples, se tiene:
f ( s ) = L{ F(t )} = L{ (t - 2)3 u(t - 2)} = e~2sL{t3} = A(s ) si f ( s ) = — ^ es una fracción racional, siendo el grado del polinomi o A(s)
918)
Z{e- «} = _ L s+ a 919)
F(t) = t2e‘+2te‘
/ ( * ) = I { í V +2te'} = (-1)2 ± T L {e '} + 2 ( - l ) ^ - L { e ' } = ds ds
F{t) = tl -2 t + 2
2Í-(-L) ii,_L). d s2 í - 1 ds s - 1
Solución
F(í) = t 3 + 4/2+4í
920) Solución
/( 5)= i {f (0}=¿{í 3+4/2+ 4 /} =s 4 +4-s4 +4s = s4 +4s +4s 458
__
?-+-?____— ( í- 1 )2 ( j- l) 3
(j- 1 )3
2s por lo tanto: f ( s ) = L{t 2e' + 2te ‘}= ------ — (s-iy
L{ F( t) } = L{ t2 - 2 t + 2 } = \ - ~ + - = f( s ) ss s S
916)
F( t) = (t + 2)te'
*'(**)
En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función objeto dada: 915)
=> ! { * “ }= — L _ (^+a)
Solución
F(t) = Y * ° J ± e ‘k '
r
s
Solución
... (i9)
donde sk son los polos de F(s), nk son sus ordenes de multiplicidad y la suma se extiende a todos los polos de f(s) son simples, la formula (19) se simplifica y toma la forma:
^
F(t) = t- e ~ cu
menor que el del polinomio B(s) la función objeto correspondiente a f(s) es: d Hk~l 1 tí lim ~ - ^ u m - s k ) nke st L? ( n k_x)\p->pk ds
s
F(/) = cosh2 at
Solución a,+e ~at e 2al +e~ 2(tt +2 F(t) = cosh2 at = (-—-£■— )2 =
459
/ ( J ) = i l { e 2" + e -2‘tf+ 2} = I ( - L - + — ! _ + ! ) 4 4 5- 2a (.y+ 2a) ^
924)
F (0 = é>A('~a) se n (/ -a )t /( f- a ) Solución
s -las f ( s ) = r------- — s(s -4a ) ----
L{ F(t )} = e ^ L i e “ senr} = -----------—
(s-a) +1
921)
F(t) = (/ -1) 2 u(t - l)e1-' 925)
Solución L{F(0} = c-í ¿{í2e-, } = (- l) 2e-í
ds
Solución 7T. V2 , . sen(í+—) = — (sen t + eos í)
&2 í +1
^
(J+ 1)2
2e~J (*+l)3
t <■ ^ = - =1 Z{sen t + eos r}^ = Z{sen(r + —)}
4
Z,{e" sen fit}
s2+ p2
(s-a )2 +p 2
926)
Solución cos(r + fi) = eos p eos í - sen /? sen r entonces: „ s , s en B eos f í s - s e n f i L{co s(t + P)} = eos P - y — — — = ------- j —-------
eos 31eos 4í = ™(eos It + eos i) 1
*s’+ l • n/2 ( í 2+1)
F{t) = ea cos(t + P) , P > 0
F( í) = e3' eos 3í eos 4/ Solución
.T + l
1
s
s
L{ 3' eos 3 í eos 41} = —[— S—^------+ — - —- — 1 2 (í - 3 ) + 9 ( j —1) +1
J +1
5 +1
H e “ COSÍH- f f ) ¡ - ( l ~ ‘> )c °s ^ ~ se° ^
Z,{cos3í cos4 í} = —Ajeos 7f+ cos) = —(—--------t- —— ) 2 2 í ‘ +49 j +1
460
^2
54-1 Lí e2' sen(/ + —)} = 4 -\/2(í 2 —4 j + 5)
Solución
923)
4
=
m9- < L (- L . ) m - e - ± (— L _ )
922)
F{t) = e 2t sen(í + —)
(s-a) +1
927)
.. sen í F(r) = ---------------------------461
Solución
L {t coshí} = L{t
t í 1 rfScní. f°° du /°° n 1 arctg s = arctg(— ¿{sen t} = — => I{ ------ } = — = arctg / = ) '* 2 s j +1 í w +1 ----
928)
----
-----
1 d 1 | 1 2
F (0 = e"Aí — t
s2-l-2s2
(s2 - l) 2
Solución . sení
1
senr
, 1 v
L{ ------ } = arct g(- ) => L{e m ------ }= arctg(------) t s s+ A í
929)
\ ~ r L { e ' + e '} — —) = — 2 2 ds
932)
1
2j
2ds í 2 - l
s2+l (s2 - l) 2
F(t) = í sen /
Solución
F(t) = sen 51sen 21 ,
Solución sen 5í sen 2t =
(eos 3f - eos 7r) entonces:
d , 1 . ds s 2 + 1
2í ( í 2 +1)2
I{í sen t} = ——Z,{sení} = ——(— 5— ) = — ------ j ds
933)
F( t ) = eos 2í eos 4r
Solución
1 1 »y v Z,{sen 51sen 2t) = —¿{eos 31- eos It } = —(—------------------ ) 2 2 s +9 s2+49
eos 2/eos 4? = -^(6 eos 6t + cos2í)
20í
s s L{ 6 eos6; + eos 2t\ = —(—----------------1- ,-) X{cos2í eos4í} = — v 2 2 j +36 s +4
i 4 + 58 j 2+141 930)
F(t) = sen 2 2í
j 3 +20i j 4 +40 s + 144
Solución 8 £{sen2 2í} = —Z,{l- cos4f} = — (— — ^ — ) = 2 s s 2 + 16 s ( s 2 +16) 2 931)
934)
F( 0 = cos 2 4í Solución
F(t) = t cosh t
Solución
¿{eos2 4f } =
2
¿{1 + eos 8í} = ^ (- + -y ^ — ) = — y*" ^ 2 s s + 6 4 í(í +64)
En los siguientes ejercicios están dados las imágenes y hay que hallar las funcionesobjeto correspondientes correspondientes. 935)
f ( s ) = - T^ ± 3 s +45 +5s
Como ¿{ í XO} = £{ '*} = -£ t O5 F(t) = tk = 1 1
Solución
F(t) = U x{/(í)} = L~l { 3 2S+.3-----} 5
938)
F( í )
por lo tanto:
I 1{ -£ f} = t k
(5-l)(5-3)
+ 4j + 5¿
Solución
3s __________2 _ 1 £-i f3 5 5 (j+ 2 )2 +1 (í + 2 ) 2 + 1
2 (í -1)( í - 3 )
m =
F(t) = —(3 - 3e_2í eos t - l e 1' sen í)
L + .1 5-1 s - 3
F(í) =2T>{-- * -+ J _ } = -e' + e3' 5 - 1 s - 3
936)
s2+a2 f ( s ) = — ----- —— (a es una constante) (s -a ) -
939)
/ ( , ) = _ 3 í+ 1 9 O 2 j* A +85+19
Solución
Solución 19
f / \ _ _ s 2 + o 2 _ la 2 1 ( s 2 - a 2) 2 s 2 - a 2 + ( s2 - a 2) 2
m
aplicando convolución se tiene:
~a
f(s) = - £ r
t t
-
/(5 ) = (5
2 + 5 +1) 2
Solución
5
I +Y 1-1*----- L
ÍTT 13 _2r 3 _a, F{t) =- e 2>cos^—t+— e se n ^ j j t
940) Solución
464
19
5H ---------
)
T + — = L ' {—1;----v 2T-^~„ 27\ 2>} = 1cosh at s 2 -- an 22 (( s2 a 1)
93?)
1
F(0 - i" 1
F(t) = 2T1{f(s)} = r 1{ ~ + a ' . } (s
_ 13 +2+ - f (--------^ - 1 ( ---------- ^ T 7 ) - T ( -------- ~ 7 T > ( 5 + 2)2+ — (5 + 2)2+ — 2 5 2 + 4 5 + ——■ 2 2 2 5 + ------
[íl
“ ÍT'
¿
g
| c | ü _ -2V2 | V 2- 1 1 - J 2 + 1
i - s Í 2 + s + J l + 5- l + 5 + l
-} = f H(u)G( t- u) du L 1{—-— (í +5+1) Jo ----
donde
i 1{ -r } = H(t ) = e~t2t sen ^ í 2 j ^ + í +I 943)
¿ _1 {—5— ---- - } = f e ~ “ / 2 sen — u£ 1 sen— (t-u)dt
Jo
5+ V 2
5-1
-
2
. t ,
por lo tanto:
5+1
1_ /(5)=-^ 5 + 5 + 11
m
2
Solución
= L~l { ■■1— -} = I - ‘{------ 1 = - | e - ,/2 sen s +s +1 (í+I)2+(ll)2
v
4-^3 _j/2 ^3 2 _//2 ^3 sen — r — te " z c os — r = -^ —e 9 2 3 2 941)
/( ,)
944)
1 (5 -l )Z(5 + 2)
A
B
C
5+ 2 + s- 1 + (j- 1)2
^
1 .1 9 5+ 2
1
3
v
n s ) = 2f - ~ 2f 5 - 35
S
Solución . . . 252 -2-725 2 j2 - 2 - J l s / ( J ) = 5„4 —35 , „2 + 2 = ------------------(5 —2)(5 —1)
í 4 - 1
2
2
1 ”
r-i
_ A
( 5 . - . 1 ) ( 5 + 1 )( 5
5 +1
2
+
1)
”
5 - 1
B +
5
+ 1
Cs + D +
J 2 + 1
entonces:
F ( í) = I _1{ - ( - / -------r — )} 2 s -1 s +1 945)
+2
”
2
Solución
/ ( i ) = ^ [ - ^ — — 2~ ]
5- l + (,- i> ?*
F ( r) = i x - 1{ - Í - — L + _ _ 3 _ _L(g~2/ _ e , + 3( e/ y 9 5 + 2 5- 1 ( j - l ) 2 9 ’ 942)
/(5 )= -1 5 —1 1
Solución v
5+ 1
F(í) = - 2 ^ 2 e ~ ^ ' +(V 2- l)e' +(^ 2+ l)e-'
I ’1{ 2 1 } - G(t) = e- '/ 2 s e n ^ f j +5+1 2
V + í+ 1 ) 2
. -2V2*{---------V2-1 + ---------} V2+1.
I
í + V2 + 5-1
=>
F(/) = ^(co shf-s ení) 2
m = se2s
s 2 +4
Solución
I “1^— } = eos 2/ => L 1{—— }= sen(2r - 4)w(í - 2) 5 +4 5 +4
946)
f(s) =
e-'2 949)
s 2 +9
/(í) = ^ —i 2
í4+ 2s¿-3
Solución 1{~T — } = |s e n 3 r s +9 3
l
947)
f ( s ) =
Solución
=> L l { - - } = - s e n 3 ( í - - ) u ( r - - ) V+9 3 2 V 2 ----
/ ( s ) = —— ~ ~ = —7-----~ 2--- j +2s - 3 (s +3)(í -1) ------
j 3 + 9 s2 + 27 j + 25 (í + 1)3(s + 2)2
/ ( Í ) = T4 ( - 2 Í -1, Solución
5 -1
6 r + - 1 /(•*) = -------(5 + I) 3 (s + 2) 2
- 1~' (i + 1)
m
s ¿2 +3
5 +3
1 J í F(í) = —(senh t ------- sen ^3 1) 4 3 ' 6 e" r ' <-> + • ~2' > (j +( 12)55
-
950)
3
- S
/( * )- -y -
F(t) = 3e~'t 2 +te~2’
Solución 948)
2 s + 5
/(* ) =
s 2
3
- 6 s + 12
Solución j„ (S)V-
r
2 j + 5 s 2 -65 + 12
{- —
l
2(^-3 ) + ll (j-3 ) +3
------------ _ --------- ------ entonces:
23 )
(5 —3) + 3
>+1i r 1{— - — } (s —3) + 3
F(t) = 2e3' eos V3í + -^L sen ~¿3t s
468
{-y> = í =* F (í) = ( í - | ) « ( í - | )
5-
=
2
Z
[ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTE! c o n s t a n t e s
1
sx( s)- x(0 ) + 3x(s) = —l — => ( i + 3 ) x ( í ) = ^ - => x(s ) = Js + 2)(s + 3)
]
Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes.
entonces:
x(t ) = L~l < + ^
x"(t ) + axx'{t) + a 2x(t) = f (t)
y las condiciones iniciales x(0) = x0 , x' (0) = x ,, se toma la Transformada de Laplace en la ecuación (1) es decir:
+ 3) >= 1 ' f e
~f e
x (í ) = e 2' ~e ~3'
952)
x ’-3 x = 3r3+ 3í2 + 2í +1 , x(0) = -l
Solución L{ x (í) + a¡x (t) +a2x{t)} = L {f (t )} , por propiedades se tiene:
L{x’-3x} = L{3 í 3 + 3í 2 + 2t +1} í 2 x( s) - íx' (0) - x(0) + a is x ( s ) - a l x(0) + a2x(s) = F(s ) 18
æ x(
( s 2 + a , +a2)x(s ) = /r (í) + x0í + x1+ atx, x (í
+
)=
2
1
18 6 2 1 . ( í- 3) x( s) = -T + T + - y + - - 1
+ x x + axjCj
S
s + axs + a 2
S
S
s
18 6 2 1 j 4( s -3 ) ' j 3( j - 3 ) ' í 2( s -3 ) ' *(* -3 )
ahora tomamos la transformada inversa. x(f) = L"1
6
s) - x(0)-3x (s) = - + — + — + s s s s
+ + + fli*i J s~ + a xs + a2 *(° - i
que es la solución general de la ecuación diferencial.
s-3
1, - s 4 + s 3 + 2 j 2+ 6s + 18 <----------T v ó ) ----------1
Resolver las sigu ientes ecuaciones: í (5-3) 951)
S
x'+3x = e ~2‘ , x(0) = 0 x( t) = -( í3 + 2/2+ 2í +1)
Solución Aplicando la Transformada de Laplace se tiene: L{x'+ 3x} = H e ' 21}
953)
x ’- x = eos t - sen r, x(0) = 0
Solución
s
S
s
}
Z{x'~x} = Z{cos t - sen í} entonces: x(.í) = ----- —y — — entonces x(t ) = L 1{ — - — ,.’(í + 3) 5(5 + 3) 5(5 + 3) í ( j + 3) -----
5*(5) - x(0) - X(j) = —-------- -i — 52+l 52+l g _ |
(í-I)x(j)— s2+l ----
por lo ta nto: 954)
1
|
=>
x( í) = —- entonces: x( t) = L ~l {—- } s2+ 1 V +l ----
e~3'
x( t) = e 3,L{ — - } --------entonces:
1
253
_ e~3í 2 e~3' x(í) =
2
----
956)
x’'+4 x’+3x = 1, x(0) = 3, x' (0) = -2
x(f) = sen t
Solución
x'+ x = 2 sen t , x(0) = 0
L{x" +4x' +3x\ = L{1}
Solución s 2Jt(f) - sx' (0) - x(0) + 4sx(s) - 4x(0) + 3 x(s ) = — s
L{x '~x } = L{2 sen/} íx
(j) - x(0) + x ( í ) = —
x(5) =
_i_1
r
s*+1
(5 + l)(52+l)
=>
1 2x - 7 entonces: ($ ? + 4s + 3)x(s) = —
(í -1 ) x (í ) = —^
j„22+ l
,
1 5 1 5 + 1 Í 2+1 í 2+l
\ - 2 s 2 - 7 s
— ------- ------- ------ ------ ------ ------ —
( í 2 +4 5 + 3)5
x (f ) = r 1{ - L - ^ _ + - ± 4 í + l s +1 s + 1
132 5+ 1 3(5 + 3) 1
5(5 + l)(5 + 3)
3i
x ( o = r 1{4 - ~ + :
3s
s + 1 3(^2+ 3)
x(t ) =e 1 - c o s / + s e n /
955)
- 2 s 2 - 1 s + \
— -------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ = ---------------------------------------------------------------
x (t) = - - 3 e - ' + - e -3' 3 3
2x'+6x = te~3t, x(0) = ~~
957)
x”-2 x’+2x = l , x(0) = i , x' (0) = 0
Solución Solución L{2x' +6x} = L{te~3t}
L{ x" -2x '+ 2x\ = L{\\
2sx( s) - 2x(0) + 6x(j) = — entonces: (2s + 6)x(í) = ------------- ——-1 (í + 3 )2 ( , + 3)2 -
472
-
s x(x) - 53t(0) - x ( 0 ) - 2sx(s) + 2x(0) + 2x(s) = s
1
2 - 2^ -f 2)x(.y) = —- —- 1 entonces:
s
2
x(t ) = L 1{— —}= 2s
958)
2
x(s ) — - —— = - — 2 s (s -2 s + 2) 2s -----
960)
x'' -2x'+\ = 0 , x(0) = x'(0) = i
Solución
por lo tanto: x(í ) = - — 2
L{x' -2j c,+1} = 0 entonces:
x' '- 5x' +6x = 12, x(0) = 2, x'(0) = 0 s 2*(.?) - 5jc(0) - x 1(0) - 2sx(s) + 2jc(0) + —= 0 s
Solución
^ ^ ^ = —1 H $ h---1 1i entonces: (s. 2 - 2í)jc(5) s 2 2
L{ x" -5 x' +6 x\ = ¿{12}
----
s2x{x) - 5x(0) - x ' (0) - 55x 0) + 5x(0) + 6jt(,y) = — s
W
2 12 (s - 5j + 6)x(.y) = — + 2^ -10 entonces:
, ,
2*2 -lí te + 12
2
r-i,2 .
(s- 2) (x + l) 2s(s2-2s)
s +l 2 s 2
1 1 > 1 1 x(t, )X= LT - l,{— + —y }= - + 2s 2 s1 2 2
*
x (s ) ------- z------------ — => x(í ) = L {—}= 2 entonces: s(s -5 s + 6) s s --
x(t) = 2
961)
1 1 2s 2 2s í + ' . x(t/X) = — por ,lo .tanto: 2
x”+3x'+2x= 2í2 +1 , x(0) = 4, x’(0) = -3 Solución
959)
x"+ 3x '-l = 0 , x(0) = 0, x'(0) = 3 Solución L{x' ,+3jc'-1} = 0 entonces:
L{jc,,+3jc’+2jc} = L{2r2 +l} s 2x(.y) - ^(O ) - x' (0) + 35x(5) - 3x(0) + 2x(s) = A r + — 2 \4 1 (j + 3s + 2)x(s) = — + —+ 4.S+ 9 entonces:
£ 2 x( s) - sx( 0) - x' (0) + 3^jc(^) - 3x(0) = r 2 +3s)x(s) t \ \= -1+ -1 => x(s + 3 = — 1 / )x= — S-------(s S 3 3j (j + 3) 3s x(t ) = L~l {-^-} = t por lo tanto: x(t ) = — s 3
( . ♦ 2 X . ♦ 1W») - 4J< * « 4 ± í l í l , < «+ 2X . + l X 4. ’ - 3 . + 2) s s . . 4 3 2 * (í) = 7s ~ s^ + 7T s x(t ) = L~l {— — \ + ~ t ) = 4 - 3 t + t 2 por lo tant o: s s 2 s3
x (i) = 4 - 3 t + t 2
*' '-2x'-3x = 3 + It + 3t2, x(0) =x'( 0) = l
(í 2 - 7s)x(j) = ——y — + 2s - 6 entonces: £
Solución
s ( * ) -2*3 - 5 f (2j --75) j ~—
L{x' ' -2 x' -3 x} = L{ 3 + It + 3t 2} entonces: ^
n
=>
^ ) = 7 s + J r + 7 + 7S T ?I S
S
/
^2*(.?) - .sx(O) - *' (0) - 2^ (5) + 2 jc(0) - 3*0?) = - + — + — s s2 s3
x(Ú = I “1{- + — + — +—— } porlo tanto: w s j 2 s3 í -7
~ 3^2 +7^ + 6 ------ entonces: 0 -2^ -3)oxx(^/ )x + .y+ 1l -2^ = -------s
x(0 = 1+ r + í2 +e7'
/ 2
964)
x"+2jt'= 6í 2, x(0) = 0, x'(0) = |
(2 o 3^2 +7.V + 6 s +1 (s -2x-3 )jc(»\ = ---------------s
Solución L{x ' '+2x'} = L{6í2} entonces:
t\ / \ = ---------------3 —í 4 + $3+ 3í------------2 + 7j + 6 t(j - 3)(j+ i\i . 1)x(í) j
,?2x(.s) - 5*(0) -
- í 4 + j 3 +3s2 + 7í + 6
s 2 + s + 2
í 3(í-3 )(í + 1)
í
x(t ) = L~X{~ —— \ -------------------------------- \-} entonces: s s s
(0) + 2 l2
3
(s 2 + 2s)x(s) = — + 2
12
- 2x(0) - -y
entonces:
x(t ) = - ( t 2 + t + 1) _
3í 2 + 24
•
2j (j + 2j)
x(s) =
x " - l x '=-(1 4f + 5 ), x(0) = 2, *' (0) = 8
Solución
i
. 3 , 1 . 1 ^
z----------- = —
3
2 s2 s
s
4 ’
x{t ) = - L A { \ - \ + ^ } entonces: s s s 2
x (t) = ^ t ~ t 2 + í 3
L { x" -l x '} = -Z,{14f + 5) entonces:
965)
x" +6 x' = í , x ( 0) = 0, *'(<>) = - j ¿
í 2x(s) - sx(0) - x' (0) - 7sx(s) + 7x(0) = - ^ - í 2 J (j 2 - 7s)x(s) - 2s - 8 +14 = --- ■■ 14 s
Solución L{x "+6 jc’}= í ,{í }
477
967)
s 2x( s) - sx( 0) - x ’(0) + 6jx( í) - 6x(0) = —-
s
7x”+14x'=(í--)e 2‘ , x(0) = 2, x’(0) = - 7 ~ 4 56 Solución
s2
36
T(J)_ 36 s 2( s 2 + 6 s ) , ,
36í
~36 _ (s + 6) (s -6 ) 36í 3( j + 6)
Is 2x(s) - 7sx(0) - 7x' (0) + 14jx(í) - 14x(0) = -— (s+2)2
1 1 j - 6 = ------- r = ------- ¡r + — r entonces: 36s 6s 3 36 j 3
~ i l
1
x ( t) = L {------- - + —-} 6s 36s
966)
I{7x"+14x'} = L { ( t - - ) e ~ 2'} 4
por lo tanto:
— 4(j + 2)
------
(7 j 2 + 14 j ) x (í ) - 14s+i - 28 = 4 8 4( í + 2) t
36
t2 —t x(t ) = -+ — =
12
36
2 , 112s3 + 671 j 2+ 1338s+896 (7í 2 + 14j)x(í) ------------------------ z------------8( j +2 )
--
+ 896 entonces: , '= ----------------------112 j 3+671í 2+1338 JC(iy) _ í-------56.í (í + 2)
x " + x = 2 e ', x(0) = 1, x ' (0) = 2
Solución ! 112i3+ 671 j2+ 1338í + 896 x(í) = L 1{---------------------- ----------- } por lo tanto: x(í) = 2 56í ( j + 2)3 -
L{ x *'+*} = -Z,{2ef} entonces:
968)
x’'-4x'+4x = ( / - l)e2í, x(0) = 0, x '(0) = 1
5-2x(^) - jx(0) - x’(0) + x(s ) = 2 s-l 2
(s + l)x(s) - s - 2 = , v x( s) =
s2+s (s-l)(s2+l)
2 -----
s-l
entonces:
1 s- l
1 s 2 +1
x(t ) = L 1{—— + — ^— } = e l + sen r por lo tanto: x(f) = e' + sen / *y-l s z + 1
Solución L{ x’ ’-4x'+4x} = L{( l - \) e 2' } entonces: s x(s )- sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0)+4x(í) :
(s 2 -4 j + 4)x(s) =
-—y (s-2)
----
-----
“ +1
s-2
1 (s-2)
s-2
+ 56
2,
969)
/ x s 2 - 5 s + 7 *(.?) = ---------- -— entonces: (í - 2 ) 4
x( s) = -------- -------------
x(í) = I _1{----- ^ i Z } = (L — t + í)e 2' por lo tanto: x(t ) = ( -— — + t) e21 (s - 2 ) 6 2 6 2
x(t ) = L {
4x' '-Ax'+x = e " 2, x(0) = -2, x' (0) = 0
x( í) = e~ t + te~t + e~2t - te ~ 2t porlotanto:
(2s + 3)(s + 3s + 3) i (2s + 3)(s + 3s + 3) ^ entonces x(í) = L l {-------- — --------(s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2)
Solución
„
1 1 1 1 , + -------- t- + ----------------- r-} í + 1 (s + 1)2 s + 2 ( s+ 2)
-----
971)
x(t ) = (\ + t)e~t + ( l- t) e ~ 2t
x''-x'-6x = 6e3' + 2e ~2' , x(0) = 0, x' (0) = |
L{ 4x" -4x '+ x} = L{et l2 } entonces:
Solución
4s 2 x( s) - 4sx( 0) - 4x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + x(s) = —— s — 2
L{x ' '- x' -6 x} = L{ 6e 3/ + 2e 2t) entonces: s 2 jt( j) - jx(0) - jc’(0) - £*($) + x(0) - 6*(.y) = —— +
(4.? 2 - 4s + l)x(s) + 8s - 8 = —— 2j- l
entonces x(.v) =
-----
----
( 2 s - l)
^ s - 3 s+ 2
+ — — (2s-l)3
4 / ¿\ / \ = 6 + -----------2 (s 2 -s-6)x(s) j - 3 s+ 2 5 -----
2 1 s 2 x(f) = L l {--------- -+ 8 -------^—} por lo tanto: x(í) = (— + f- 2 )e ,/2 (2s-l) (2s-l) 8
970)
, „ -2(2s2-22s-27) r_,-2(2 s2-22s-27). x (s ) = — ¿------ 5------- ^ entonces x(í) = l ‘{— ----------------------5- j 1 } 5( s-3 ) (s + 2) 5(s -3) (s + 2)
x''+3x'+2x =e ~‘ + e~2‘ , x(0) = 2, x'(0) = -3 x(í) = — L 1{------- -—- -——} por lo tanto: x(í ) = —[6íe3' - 2te~2’ ] 5 ( s - 3) (s + 2)2 5 ----
Solución L{x ' '+3x'+2x} = L{e~‘ + e ~2t} entonces:
s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) + 3sx(s) - 3x(0) + 2x(s) = —— +- 1 s+1 s+2 (i2 + 3s + 2)x(s)-2s + 3 -6 = 480
2í + 3 (s+l)(s+2)
972)
x"+4x'+4x = t2e~2‘ , x(0) = x'(0) = 0
Solución L{x' ’+4x'+4x} = - L { 2- e 2' } entonces: , ................................................ . . . s„2 x(s) - sx(0) - x' (0) + 4s(s) - 4x(0) + 4x(s) =
2
(s + 2)3
(í + 4í+4 )x(í) = -------- - => x( s) = -( j +2) ( j + 2) x(r) = ZT1{-— (s + 2) por lo tanto: 973)
975)
t <2
8
Solución
=> x(^) = 2e -2,U x{ \ ) J ~ e - ^, í 5 12 x(r) =
sen 9/
x' '+4x = 4 eos 21-------— , x(0) = 0, x' (0) = -
sen 2t L{x ' *+4x} = L{ 4 eos 2 í ----- —} entonces:
< v 2' 12
45
x' '-x ' = 2 sen f , x(0) = 2, x’(0) = 0
1
s x(5 )-5x (0)- x'(0 ) + 4x(5) = —-----------^— s +4 s +4
Solución <2
L{x ' '- x '}= L {2 sen í} entonce s:
(5
s 2x(s) - sx(0) - x' (0) -sx(s) + x(0) = ~ s L +1
,2 \ % 2 _ (í + s)x(j) = ——— 2s s2+1
974)
x' '+9x = 18eos 3í , x(0) = 0, x’(0) = 9
45-1
s 2 +4
, A s 2 + 325- 4 8(í2+ 4)2
1 8
2
x(r) = L~l {- +t 32- y ) por lo tanto: 8(s2+4)
.. - 2( j3 + j - 1) => x(s) = — --------- — (s —s)(s + 1)
s _1 1 1 x(t ) = L {— -+ —5,— } por lo tanto: x(t ) = e‘ + cos/-sen í s - l J2+l i2+l
AX / ^
+ 4 ) x ( 5 ) = — r-------------------------------------------+ - = > * ( • ? ) = -
976)
.
„
cos2í.
x(í) = í(sen 2/ + —-— )
x' '+2x'+3x = t eos t , x(0) = - ^ , x' (0) = 0 Solución
L{x' ’+2x'+3x} = L{t o s í} entonces:
Solución J„2 ¿ x( s) - sx(0) - x' (0)+ 2ix(j) - 2x(0) + 3x(í ) =
L{ x’ ’+9x} = 18£{eos 3} entonces: s 2 x ( s ) - íx(0) - x' (0) + 9x(j) = - -1--—
s +9
o
18 (s 2 + 9)x(¿) = — + 9 entonces: s2 + 9
s 2 s2- 1 + 2 í + 3)x (í ) + —+ —= — ------ - entonces:
4
por lo ta nto:
4
( j 2+1)2
s5+ 2s4+2s3+s + 6 , . T-\, s5 + 2s4 + 2 i3+ s + 6 , x(i) = ------- -------------- r- => x( t) = L l {4(i2 +2s + 3)(i2+1)2 4(í +2 í + 3)( j +1) -
(s +9)
,2-l (s 2 + l ) 2
-----
(i +9) x{t ) = 3(t +1) sen 31
x(/) = - —- (eost + sen í) 4
977)
x "- 2 jc'+10 jc = cos3 r,
1 x(0) = 1, x'(0) = ~
j ( s - 1) (s - 4 s - u 5 ) x ( s ) - x - 2 + 4 = 2 -------- t —— (s-2) +1
Solución s 3 - 6 x 2 + l l s- 1 2 x(s) = --------- --------:-----------((s-2 ) + l)(s -4x +5 )
L{x ' '-2 x'+ \0 x} = Z{cos 3r} entonces:
j 2x(.y) - sx(0) - x' (0) - 2.yjc(1y) + 2x(0) +1 0x(» = s 2
S +9
r - i , s 3 - 6 s 2 + l l s - 1 2 , => x(t ) = I {—-r ——r —} (s -4 s + 5)(s -4 s + 5) ----
/. x( t) = [(1 —í)c os í + (l + /)se n/ ]e 2' 979)
(s2-2s+ 10)x (s)-s~— +2 = - 5 37 í +9
x’"- x "= 0 , x(0) = 1, x'(0) = 3 , x"(0) = 2 Solución
.. 37s3+ 373s-494 - 56s2 x(.y) = —— ------ ——-----------entonces: 37(s +9)(s -2 s + 10)
X{ x"'-x "} = 1(0} entonces: s3x(s) - s 2x(0) - sx’(0) -
! 37s3+ 373s-56 s2-4 94, 37(s + 9)(s -2 s + 10)
x(t ) = L {------- --------- ---------------} por lo tanto:
(s3- s 2)x(s )-s 2 -3 s- 2 + s + 3 = 0 entonces: , x s2+2s-l 1 1 2 x(s) = — ----- — = — + — + ----- entonces:
(36ef +l)cos3f-6se n3/ X(t) = ---------- L— --------------
s —s
37
978)
(0) - s 2 x(s ) + 5x(0)+ x'(0) = 0
s
s
s “ 1
2 1 1 x( t) = L~l { ----- 1— r-H-------} por lo tanto: x( t) = -\ + t + 2e‘ s s 2 s —1
x' '- 4x + 5x = 2e2í(sen í + eo s/) , x(0) = 1, jc’(0) = 2 980)
Solución
x'"-4 x'= l, x(0) = 0, x’(0) = - i , x"(0)= 0 Solución
L{x ' ’-4x'+5x} = 2 L{ e21(sen t + cot)} entonces:
í,{x'"-4x'} = ¿{1} s 2x(s ) - sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + 5x(s) = 2[------ ------- + — -—\ — 1
(s-2 ) +1
(s-2 ) +1
s3x(s) - s 2x(0) - sx' (0) - x" (0) - 4sx(s)+ 4x(0) = ~
( j 3-4s)x(s) + ^ = 4 s
982)
jt,,+* = 8>/2sen(f+;r \ x(0)^=0, x'(0) = -4 4
Solución x( s) =
4-52 = 4 í (s 3 - 4 í )
( j- 2 )( j+ 2) = _ J _ 4í 2( í - 2 ) ( í + 2) 4í 2
L{x' '+*} = 8V2Z{sen(í + -^ )} entonces:
s 2x( s) - sx(0) - x '(0) + x (í ) = 8Í—— - + ) j 2 +l j +1
x(í) = - L l {—i—}= - — por lo tanto: x(t) = - — 4í 4 4
( , 2 + l ) x (í ) = 8 ( 4 l L ) _ 4 =
981)
x,”+ x"-2 x = 5e ', x(0) = 0, x’(0) = l, x"(0) = 2
z V r^ l2 )
5 + 1
5 "+ l
_ 4( 52 - 2 5 - 2 )
x(s ) = — — —— r —- mediante convolución (i2+i)2
Solución £{x "’+x"-2x} = L{5 e' } entonces:
x(t) = L 1{ — -—— (í 2 + D 2 j 3x ( í ) - j 2x(0) - sx' (0) - x" (0) + j 2x( j) - íx(0) - x' (0) - 2x(s) = —
por lo tanto:
5-1
( í 3 + í 2 - 2 ) x ( j ) - í - 2 - 1 = —
983)
5- 1
3
2
(s + 5 -2 )x (5 ) = 5 + 3 +
= 4r(sen t - eos t)
x( í) = 4í(sen t - eos t)
x’'+4x = 2 eos 2 t , cx(0) = x(0) = 0
Solución
5 entonces: 5-1
-----
í.{x"+4x} = 2I{co s t} , . s 2+2s + 2 s2 +25 + 2 x(s) = r -----«----- = -----------}-----------s3 +s 2- 2 (5-l)(52+25 + 2)
x(,y) = - i — => x(t) = Z~1{—^—} por lo tanto: s-l 5-1
s 2 x( s) - sx(0) - x' (0) + 4x(s) = - + S
x (t )= e t
s +4
. ->\) o /,2 +2) „r 1 2(s 2 +2 7 , , 2(s 2 f + 4)x(j) = —^ ------ entonces: x(s) = — ------ = 2[— -------------------------- s + 4 ( í + 4) s2 +4 (í +4)
aplicando el teorema de convolución se tiene: i
1 í -t4
2 (s +4)
x( t) = L~ { 2(— ---------- - ----- -} entonces: x(t) = - (1- eos 2/ + í sen 2í)
984)
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
4
Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.
x"+x’= l, x(0) = 0, x'(0) = 1 Solución
= alx+b ly + /] (t) dt dy — = a 2x +b2y + f 2(t) dt
L{x ' M-*'} = Z{1} entonces:
s 2(x) - soc(O) - JC'(0) + jx (í ) - x(0) = s (s2 +s)x(s) = ^ + l
2
=> x( S)
-----
x(t ) = L 1{-^-} = t por lo tanto:
.y
^
- = -1 .y2
que cumple las condiciones iniciales:
x(0) = x 0,
... (1)
y(0) = y 0
ahora se toma la transformada al sistema de ecuaciones diferenciales
x(t) = t L{— ) = al L{x} + blL{y} + L {f {(t)} dt L{ ‘^ } = a2L {x )+ b2L {y ) + L{ f 2(t) } dt sx( s) = fl] x(s) + ¿>j y(í) + F, (t) + x0 ^(s ) = a2x(s)+b2y(s) + F2(t) + y 0
mediante la regla de Cramer se tiene:
x(s ) = f ( s ) y( s) = g(s )
**
í x( t ) = L 1{ x( s )} {•>,(,) = L-'{ y(s)}
y se obtiene la solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales.
488
489
En los siguientes ejercicios hay que resolver los sistemas de ecuaciones por el método operacional (Transformación de Laplace). dx +y 0 dt ; x(0) = 2, y(0) = 0 dy — + x = 0 dt =
985)
Í(í+ l)x (í)- 2y (í) = l
Solución L { ^ } + L{ y} = 0 ¿ Á + H y } = 0 dt
i j reemplazando datos
*(*) =
2
1
0
5
5
1
1
5
25
1 -2 1 5+4 5 + 1 2 1 5+4
sx(5) - x(0) + y(5) = 0 ^(5)-y(0)+x(5 ) = 0
y(í) = x (t) = L 1{*(*)} = L 1
5 2 - 1
dx „ — + x - 2 y = 0 dt ! x(0) = y( 0) = l dy — + x+4 y = 0 dt
Solución Tomando Transformada de Laplace
490
, J „
5+
6
5 2 + 5 5 + 6
4 5 +2
3 5 + 3
[sx(5) + y(5) = 2 4 por la regla de Cramer lx(5)+jy(5) = 0
s2-l-
5
= 2 cosh t =e' +e
Rpta.
986)
,
{ , por la regla de Cramer [ W + ( s + 4 M j ) = 1
x( t) = e ' +e '
y( t) =
5 + 1
1
1
1
5+2
y( t) = e~‘ - e '
por lo tanto:
dx -dt=~y
3
5
+1 - 2 1 5+4
5
2 + 5s + 6
s +2
1 - ) = 3 e 2' - 2 e ~ 3' 5+3 ¡x(t) = 4e~2' -3e~3' < 1^(0 = 3e ~ 2e
; x(0) = y(0) = l
^ = 2(x + y) dt
Solución
2
5
+3
L {^ -} = -L {y ) L Á dt
Ííx (í) - x(0) + y(.v) = O W c o - j (0 ) - 2x(s) - 2y(s) = O
= 2L{x} + 2L{y}
sx(s) - x(0) + 2y(s)
L Á - 2 L { x } = L{4 \ dt
sy(s)-y{Q)-2x(s)
íx (s ) + 2>'(s )
|jx(j)+ y(í) = l , por la regla de Cramer [(¿-2Xy (j)-2x(j) = l 1 1 1 j -21 x(s) = s 1 -2 i-2l
L Á + 2L{y } = L{3t l dt *
s-1
(j-ir+i
(j-ir+i
s
( j - i ) 2 + i
—+ 3 x( s) =
— - } - 2 L l { - — L— }= e ' c o s r-2 e ' sen f (s-l)2+l (i-l) + l
s
s-1 ( j -1)2+1
2
-2
s
( j - 1 ) 2 + 1
2s s 2+4
6s + 5 í(j2+4) 12
s +4
12 s2+4
5s 2 + 4 2s
x (t) = 5 eos 2t - — -12 sen 21
Rpta.
; x(0) = 2 , y(0) = 3
dt
Solución 492
s
x( t) = L~\ -
------
988)
5
3s 3 ------- + x( s) = 2 . . s 2 + 4 2x s +4
y( t) = L ! {-------1------- ------- }= e' cosí+3e' senr ( j -1)2+1 (í - 1 ) 2 + 1
dx — +2 y = 3r dt
= — +2 s , por la regla de Cramer
-y + 2 2
s- 3
J+2 (j-l)2+l
5
- 2x(s)+ sy(J) = —+3 s
x(t ) = L 1{
1 -2 1 y( s) = s 1 -2 s -2
4
¡x(t) = e' cosr-2e' senr
s
-2 y( s) =
—+2 s -+3 s
3^ + 8 S 2 +4
I y( t) = e ‘ eos t + 3e‘ sen t i 35 + 8 y ( 0 = r 1{ 5 2 +4 3 2
5
(5
13 4
52(52+4)
} = — t + 3 eos 2t + +4) 2
y( t) = —í + 3 eos 2t + — sen 2í
13
sen 2/
dx
,
989)
; x(0) = y( 0) = l
990)
dt
dx dt dt
Solución
dy , y + e dt
; x(0) = y(0) = 0
dt
Solución L { ~ ) + L { x } = L{y }+ L{ e' }
sx( s)-x (0) + x(s) = y(s)+
L{~ } + L{ y} = L {x} + L{e '}
sy(s) -y(0 )+y (s) = x(s) +
L { ^ - } + L { % = L{y }+ L{ e‘ } dt dt
2Z .Á + dt
dt
, operando tenem os
+ 2L{ y) = I{cos t }
(s + 1 )x (ì) - ^ ( j) = _ L + 1 S~1
(s + O X i)- x(s) = —— +1 J-l
, por la regia de Cramer
5x( j) - x(0) + sy(s) - y( 0) = >>(ì ) +
s-l
2sx(s ) - 2x(0) + .?_y(i)->'(0) + 2y(5) = — s +1 ----
+ 1 -1 -1 1 + 1 s + 1 s + 2 + (s+ 2) s 1 _ s - l x (ì ) = ì + 1 -1 (* + l)2- l -1 j+1 ì
J + l — +l| j - 1 -1 — +li j -1 y( s) = ì + 1 -1 -1 s + 1
) + (í -1)^( í ) =
( ì -1)( j 2 + 2 j )
s 2+2j [(J-1)'-1](J-1)
s- 1
, por la regia de Cramer
2ìx (ì) + (.5+ 2)y(s) = - y — s +1 s-l s-l s s- 1-2 s2+ 1 x(s ) = s s-l 2s s + 2
y (t ) - L 1{— -} = e' por lo tanto:
j - 1
íx (í
s¿+2s
s+2 s +s S - 1 J 2 +l
------- 1—
-
----
-(s2-4s)
s-l
x ( s ) = _____ _______________= - ( s - l)(i 2 + l)(i 2- 4ì) \x (t) = el W ) =e‘
_ 1
1
2s J - l
11________ 3s
34 (j-4)
17(s2+1)
| _____ 5 17(52+1)
www.mundoindustrial.net
11e 4, /v» = —1 e't ---- x(t) 2
34
3 eos t + —5 sen t 17 17
1
-----
x( s) =
2s
s- 1 s
52+l y(í) = s s- 1 2^ 5 + 2
2s 5 + 1 S -l - ( s 2 - 4 s )
22 ee "4, h+----2 e t h----4 eos +— — c í ------sen t y( t)1= = — - —e'
3
51
17
17
x ( s ) =
^ = x +y
; x(0) = i , y(0) = 2 , z(0) = 3
y( s) =
L { ~ } = L{ y \- L { z }
5*(5) - x(0) = y( s) - z(s ) L { ^ } = L { x } + L { y }
syis )-y(Q ) = x(s) + y(s) sz(s) - z(0) = x(s) + z(s )
L { ~ } = L{x} + L{z ) dt
3
1
-1
496
(s + l)2 -( s + l) _ 1 5+ 1 5(5 + 1 )2
x(t ) = L 1{ ^ - \ = e -‘
5+ 1
5 + 1
3
1 0 5+1
5 -1 1 -1 5+1 0 -1 0 5+1
25(5 + 1) + 5
2
5 ( 5 + 1)2
í+ i
(s+ i)3
35(5 +1) + 5
3
1
5( 5 + 1 ) 2
S + \
5 + 1 (5 + 1)
Z(5) =
5 - 1 1 -1 5+1 2 - 1 0 3 5
-1
1
-+ -
(5 + 1 ) :
-1 5+1 0 -1 0 5+1 1 r} = 3e”'+ e " 'í 5 + 1 (5 + 1)
Z(o = r 1{— +
x(t ) = e -
s x ( s ) - y ( s ) + z ( s ) = l
- x (í ) + (x + 1)^( í) = 2 , por la regla de Cramer -x (5 ) + (5 + l)z(5) = 3
5+ 1
0
5 -1 1 -1 5 + 1 0 -1 0 5+1
y( t) = I “1{ ^ - + - - L r } = 2e~l +e~’t
dz — = x +z dt
Solución
1
0
5 1 - 12
dx * = y~ Z
991)
-1
2 2+ 1
La solución es:
y( t) = 2e~' +te~ ' + te~'
z(í) = 3e~' +te~' 497
www.mundoindustrial.net
992)
dx = 4 y + z ~Jt dy —z dt dz =4y dt
s 5 -1 0 0 -1
; x(0) = 5 , y(0) = O , z(0) = r
y(j) =
Solución
0
4
s -4 0 í 0 -4
í
-1 -1 i
4s s(s2 - 4 )
1
s2 -4
s- 2 s +1
L { ^ } = 4L {y )+ L{ z)
í { j } = ¿ {z | dt L { ~ ) = 4 L{ y)
íx(j) - x(0) = 4y(s) + z(s ) = z ( j ) sz(s) - 2(0) = 4y(.v) í >'(í )->'(0)
s
0 5 0 - 4 z(s) = -4 5 0 5 0 - 4
íx(í-)-4y(j)-z(í) = 5 ■sy(s) - z(s) = O , por la regla de Cramer - 4 y ( i ) + .sz(.y) = 4
x (j
)=
x(í) = Z,-I{ i + — s s -2
x(t) =l+ 3e 2r +e~2> 498
5 0 4 -1 -1 5
45 5( 5 2
45 - 4 )
5 2 - 4
Z(0 = L~x { *S }= 4 cosh 21 = 2e2' + 2e~2' s -4
T i 1 t *
0 í -1 s 4 - 4 s - 4 - 1 0 í -1 0 -4 s
-4
z( t ) = 2e2' + le -21
5s 2 + 4 í - 4 s(s2 - 4 )
dx . dy dt dt dx dy — + — + x + z = 0 dt dt dz dy ------- -— y = 0 dt dt
— + 2— + x +y + z= 0
1 } =l + 3e2' + e~2' s+ 2
993)
; x(0) = y( 0) =l , z(0) = -2
Solución
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y(£ = L l { - U = e“' => y(t) = e- ‘ 5+1
L { d t ] “ 2 L { d t ] + z w + L { y } + L { z }= 0
' L{— } + £{-—}+ L{ x } + Z,{z} = 0 at ai
, oper ando tenemos
s +1
2s+1 s j+ 1 0 -(2 j +1) Z(j) = 5 + 1 2s+\ s j + 1 0 - (2s +1) s
ix(i) - x(0 ) + 2sy( s) - 2y( 0) + x( s )+ j>(j)+ z(s ) = 0 • sx(s) -x (0) + jy(x) - ^(0) + x(s ) + z(s ) = 0 jz (ì ) - z(0) - 2i y( i) + 2^ (0) - y(i ) = 0
994)
1 1 s
_ 3(s + l)2 -2 (2 j + 1)(ì + 2) -2
1 1
- j (ì + 1)2
(5+1)(2 j +3) - s ( j + l )2
* _ & _ 2 * + 2, , i _2, dt dt d 2x dy + 2 — + x = 0 A
s + 1 s
5+ 3 5(5 + 1)
x(0) = y(0) = x’(0) = 0
Solución L & ~ U r f ) ~ 2L{x} + 2L{y} = I{1 - 2t) at at
s
1 ___ 3
1 3 z(/) = L~l {—--------------------------------- } = éT'-3=> z(t)=e~' -3 ì+1 s
(s + l)x(s) + (2 s + 1)>>(ì)+ z(s ) = 3 - (j + l)jf(j) + sy(s) + z(s ) = 2 , por la regia de Cramer - (2s + l).y($) + sz(s) = - 4
3 25 + 1 2 5 - 4 “ (25 + 1) 5 + 1 25 + 1 5+ 1 5 0 - (2 j +1)
3 2 -4 1 1
, operando tenemos
I {— } +2 !{ ^-} + I W = 0 dt ¿i''
5+ 1 3 1 5+ 1 2 1 0 -4 5 5 + 1 25 + 1 1 5+ 1 5 1 0 (2 s +1) s
sx(s) - x(0) - jy(j) + ^(0) - 2x{s) + 2y( s) =~ ~ \ s s s 2*(5) - 5*(0) - Jt(0) - 2sy(s) - 5j>(0) + *(5) = 0
-sO+l) -i ( i + l)2
1 s +l
( í -2 ) x ( í )- ( i- 2 M í ) = i - - 4 s s , por la regia de Cramer (5 2+ 1)jc(5) + 257(5) = 0
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1 2
/
^
5 S2
O 2 s x(s) = s - 2 - ( s - 2)
s2+l
s
2- —
x(s) =
(s-2 )(s + l)s(s + l)2
s
s+l
(s + l)
2s
(í + i):
s +l
1 2 2 s2 s2+l 0 y( s) = s-2 -(s-2) s2+1 2s
s
995)
s 2
d 2x =y d t‘ d 2y d t2
------ -
S
+l
y(s) =
2 (s + l)2
---------- 7} entonces:
(j + 1)2
2 s 3+ s2 +1
?4 - 1
s 2 -1 -1 s:
s - 1
s-2
------- r
-1 s;
y ( t ) - 2 - t - 2 e
x(0) = y(O) = 1, x'(O) = 2 , / ( 0 ) = 0
= X
s -1 s¿ -1
S+
2s + l l -1 s:
(j+ir s4-l
y(0 = L 1{—t “— } =e ' - sen; s - l s +1
- 2 te"
996)
d 2x -TT=x~4y
,
d 2y 2
d t2
2
dt
d 2y L {—
dt
=
Is x(s) - sx' (0) - x(0) = y(s) (s 2y(s) - sy' (0) - y{ 0) = x(s )
, por la regla de Cramer 502
í-1
s2+l
l
= - *
,
s+i (s-l)(s2+l)
1 1 s -l í2+l
=> v(t) = e' - s e n /
x(0) = 2 , y(0) = 0 , x’(0) = —^3 , / ( 0 ) = ^ 2
+ >’
Solución
Solución B ¿ - ±) = L { y )
21
x(t ) = L 1{—í—+ — }= 2e' + sen t
-} = 2-2e~‘ -2te~
2 1 2 i s 2 s+ l
2s+l 1
d 2x d t2 *-
r , . ,, . I{ — í-)=-L {x) + L{y\ dt í i i,
js 2x(s)-sx'(0)-x(0 ) = x(s)-4.y(s) |s 2y(s) - s / (0 )- y(0) = -x( s) + _y(s)
( s 2 - l ) x ( s ) + 4 y (s ) = 2 - f í s J J , por la regla de Cramer
x(s) + (s2 -l)y (s) = — — s
503
www.mundoindustrial.net
2~j3s 4 V3 s s 2-1 , -----2 jc( j ) = 5¿ -1 4 s2-ì 1 x(t ) = L- 1{ S
52 +l
y(i) =
2 - V 3 j
1
------ s
2 5^-1 4 s2-Ì 1
d x dy , — T + — = e ' - x d t 2 dt d 2y dx +— = 1 d t 2 dt
5-1-^3
2(5 2 +1)
s
i 2 +l 25+ 1+----5- 1 1 -5+5 y(s) = 5+1 1 1 52
L { ^ l i + L { ~ ) = L{1\ d t¿ dt
998) -----
5 -1
* 2y(s)-sy‘(0)-y( 0) + x(i) = -
x(5)
1 . 1 3654 5-1
52+l 5(5 + 1) + --------- 25-1 ------- , , . 5 5-1 1 , 1 1 5 24255 i - 1 54+52-l
------ i— y( t) = L 1{-+■r} entonces: y( t) = \ + - ^ - e ' 24 s 24 5 ì- 1
, operando tenemos
52x(5) - sx' (0) - x(0) + y( s ) = —
V
6
x( 0) =l , y(0) = 0 , x'(0) = 2, / ( 0)
dt
, -1, 1
5
x(t ) = t - — + e ‘
22
Solución
1 -J- 1 3654 5 -1
1 52
2 ( ì + ^ 3 )
2 ( j + V 3 )
,
1
1 25+ 1+ 1 5-1 1 J 1+ ---- 5 52 2. 5 3 + 5 2 + --------------5 _________ 5-1 5 x(j) = s4+s 2- 1 52+l 1 52 1
}= —co si- — e
2(5 2 + 1 )
997)
52+l
-— 1= cos/ + e 5 + V3
52-l
y( t) = L i {
?
(s +1 )x(s) + y(s) = 2s + l + ----s - 1 , por la regia de Cramer 2 1 jc(5) + 5 y( s) = -s + — s
d 2x + x+ y = 5 d t1 d 2y
dt 1
,
x(0) = y(0) = 0 , x'(0) = /( 0 ) = 0
-4x-3j> = -3
Solución
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y( t) = L '{— —j— - y } = 1 t s enh t - 17(cosh? -1)
L * r - y } +L {x) + L{y ) = ¿{5}
dt1
d 2y L { - f } - 4 L { x } - 3 L { y } = L { - 3 }
j( j -1 )
, operando tenemos
v(0 = 7i. senh / - 1 7(cosh / -1)
dt
5
i
5 x (5) -5x '(0 )-j t( 0) + jt(5) + j>(>) = —
s 2 y ( s ) - s y ' ( 0 ) - y ( 0 ) - 4 x ( s ) - 3 y ( s ) = - -
999)
— + 4v + 2x = 4/ + l dt 3 2 dy ——+x —y = —f 2 dt
x(0) = y(0) = 0
Solución (s 2 -l)x (5) + >^(5) = s
, por la regia de Cramer
- 4 x ( ì ) + ( ì 2 - 3 W s ) = - -
sx(s) - x(0)+ 4y (ì) + 2x(s) = A r+ — s2 S
l Á + 4 I M + 2 I W = I{4 í + l} at
L Á + L { x } - L { y } = L { - -} at l
x(s) =
- 3-
s 2 -3
s¿+1
1 s 2 -3
-4
(s + 2 )x(s) + 4_y(i)=^- + i = S^ s s , por la regia de Cramer
5 j (ì 2 - 1 ) 2
*(■*) + (j- lM -0 = -y s 4 + -1 — s2 s
x(t ) = L '{—^ — }= 12coshí- 1 2 -—fsenht
2
(s2-l)'
x( s) =
x(f) =12coshí-12 — isenhr 2
-,
-4
I7
7
-
s+2
4
1
J -ll
s ( j
x(j) = j
4^
2 + ì -6)
3( j 2 + í - 6 )
r3 + 3 ^ 2 —4 j —12 j
3(í 2 + J - 6 )
2( ì 2 + 5 - 6 ) ì
3( ì 2 + j - 6 )
^(5) = +1
-4
1
52-3|
(s2-i)2
, a 1 2 *(J) = -T s +-T s
s
s
x(/)=/+r 507
www.mundoindustrial.net
s +4
s +2
y(s) =
- ( s z + s - 6) s +2
1
4 s- 1
1
y{ t ) = L~l {— —} = s
2 1 3s 2 - 6 j + 1 s 2 - 2 i + 2 * 22s 3 - 1 1 s 2+18 s - 9 x( s) = s-2 1 ( j 2 - 2 s + 2)(s 2 -4 s + 3) 1 s-2
1
53(52+5-6)
t
x(t ) = t + t
por lo tanto:
-----
2
A0 = - y
x( s) =
..
25-3
2( j -1 )
s 2 - 2 s + 2 ( i - l ) 2 + l
„ 1. 2(5-1) 7 (s-l)2+l
x(t ) = L '{
1000)
de +y -2 x =0 ~dt di
,
x(0) = 2 , y(0) = 3
(i-l)2+l
x(t ) = 2e' c o s i - e ' sen/ => x (t) = e ' (2 cosí -sen /)
+ x - 2 y = - 5 e ‘ seni s-2
2 3s 2 - 6 i + l
j Solución
y(s) =
L { ^ } + L{ y} -2 L{ x} = 0
, operando tenemos /.{— }+ L{x) - 2L{ y) = - 5 L{ e‘ sen /} dt 5x(5) - jc( 0)
-5
sy(s) - y(0) + x(s) - 2y(j) = ( ì - 1 ) 2 + 1
3s-2 3(5 -1 ) +1 y( s) = —-----------= -------- - —
52 - 25 + 2
s
(s-2 )x( s) + y(s) = 2 (3s 2 - 6 ì+1) , por la regia de Cramer x(i) + (i-2 )y (j) = +1
entonces:
(5 —1) + 1
y( t) = 3e' eos t + e* sen / =>
y( t) = e1 (3 eos t + sen t)
2 - 2 s + 2
por lo tanto:
( ì -1)
(5 —1) +1
(5 —1) + 1
+ y ( 5 ) - 2x(s) = 0
3s3-14j2+17^-6 (s2- 4 ì + 3)(s2 -2 s + 2)
1 s-2
s-2
1
508
(J-1)2+1
\x(t ) = e ' ( 2 e o s / - s e n t )
I y( t) = e1 (3 eos t + sen t
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APENDICE
dy dx
7)
y = ar c. se ni f (x))
8)
y = arc.cos(f (x ))
DERIVADAS ELEMENTALES !)
y = f( x ) = c= > ^ - = f' ( x ) = o dx
dy dx dy
/'( * ) •y/T-/2(x) —
-/ (*)
V1 _/ 2w /'(* ) \ + f 2(x)
9)
y = are. tg(/(x)) =
y = f ( x ) ± g ( x ) ^ ^ - = f' ( x ) ±g ( x ) dx
10)
y = arc.cig(f{x))
4) dx
y = f{ x ) = x n => — = f' ( x ) = nxn~1
11)
y = ar c. se c( f( x) )
5) dx
y = f( x ) g ( x ) = > - ~ = r( x ) . g ( x ) + f( x ) . g ' ( x )
12)
dy -/'(*) y = arc.co sec(/(x) ) => — = dx 1 / w l V / 2^ ) " 1
f ( x ) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x ) y = — =>— --------------- 2--------g(x) dx g(x)
DERIVADA DE LOGARITMICAS
2)
y
3)
6)
7)
=
kf(x ) = c=> — = kf'(x) dx
y = ( / ( x ) ) n
dx
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS 1)
dy y = 3en (/(x)) => — = cos f ( x ) . f ' ( x ) dx
2)
j = cos(/(* )) =* ^ = - sen( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx
3)
J = tg(/(jc)) => — = sec2(/(x) )./"( x) dx
4)
y = ct g (f (x )) => — = -cosec2 ( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dy
5) 6) dx
= sec(/(x)) => — = sec (/(x)).tg (/0))./'(x ) dx
_y= co sec (/(x )) => — = ~cosec(f (x))£ig(f(x)).f'(x)
1) 2) 3)
4) dx 5)
2)
dx
1+ /
dy
(x) / ’(x) 1
LAS
FUNCIONES
¿/v loe c " y = logfl(/(x ))= > -j-= dx f(x) dy / ' ( * ) ,y = ln(/(x ))=> — = —— dx /(x)
EXPONENCIALES
Y
a *0,1
y = af{ x) =>— = a f{ x). Ln a . f ' ( x ) dx
J =e y = ( f ( x ) g{X) ^ — = g ( x ) ( f ( x ) f i*)~i. f ' ( x ) + ( f ( x ) f (X)M f ( x ) ) . g ' ( x ) dx
DERIVADAS INVERSAS 1)
dx dy
DE
LAS dy
dx dy
FUNCIONES
HIPERBOLICAS
Y
SUS
y = sen h(/(*)) => — = cosh (/ (* )) •/ ’(*)
v = c o s h ( / ( x ) ) => — = s e n h ( / ( x ) ) . / ' ( x )
511