SOLUCIONARIO DE B. MAKARENKO
Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemát Catedrático de las principales Universidades de la Capital ■— —i
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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Variable Compleja y sus Aplicaciones Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. ► Solucionado de Leithold 2da. Parte. ► Geometría Vectorial en R2 ► Geometría Vectorial en R3
www.Solucionarios.net Eduardo (Espinoza Ramos L im a - P e r ú
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
SOLUCIONARIO
A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ
PROLOGO IMPRESO EN EL PERU
La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su
Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor*
0 9 -0 2 -2 0 1 0 1000
3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos
libros
3 a EDICIÓN
fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como
Eduardo*Espinoza Ramos
sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales
Este libro no puede reproducirse total ó parcialm ente por ningún m étodo gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros m agnéiicos o de alim entación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.
de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace.
El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los
DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 8 2 2
futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos
Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados
científicos, como técnicos relacionadas con la impresión.
RUC Ley de Derechos del Autor Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número
N° 20520372122 N° 13714
Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos,
N° 2007-12593
a fin que el beneficiado sea el estudiantado.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos
IN D IC E Pag.
1.
Conceptos Fundamentales.
i
2.
Ejercicios de Verificación.
2
3.
Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas
14
4.
Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas
48
5.
Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli
72
6. 7.
Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante
100
Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada.
8.
Ecuación de Lagrange y Clairout
9.
Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias.
130 143
154
10.
Soluciones Singulares
166
11.
Diversos Problemas
175
12 .
Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación.
196
13.
reducción del orden de la Ecuación
210
14.
Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n
245
15.
Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes
260
16.
Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes
272
17.
Ecuación de Euler
333
18.
Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables
345
19.
Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones
394
20.
Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series
396
21.
Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes
430
22.
Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n
431
23.
Método Operacional y su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial
454
24.
Propiedades de Transformada De Laplace
455
25.
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con
y^n): es decir: es una ecuación de la
Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación.
Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación.
La forma general de una ecuación de primer orden es:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada 489
de Laplace 27.
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; forma.
470
Transformada de Laplace). 26.
ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!
510
Apéndice
F(x,y;f) = 0 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta;
í
j nói38U33 «i 3b ksé
. .. (2) Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.
1
Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.
( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2) — ^ = r + x(2 + c V l-x 2) = - V l - x 2cc + VT- x 2cx + 2x
-x2’ V l-J
11.-
sen* y = -------, xy'+y = eos* x
(1 - j t 2)j^'+jcv = 2jc
Solución y - scn£
y'= x cos*
se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada.
14.-
j = x V l - x 2",
>y’= x - 2 x 3 Solución
jc eos jc-sen * X2
sen* *y
x 2 c o s x -x se n x v2 *
sen* .y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------ = —T 2* V i- * 2 V i- * 2
senx senx = eos X ---------+ ------- -- eos X X
X
r. 5". 1 —2jc , = W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3
.*. xy'-Hy = cosx >y' = JC-2:c3
12. -
>> = ce“2jr+ — , y + 2j = e*
15.-
, =
, x /= > ;tg (ln j;) Solución
Solución j; = ^aresener ^
l=
_ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada.
aresenex
' Jl -(cx )2
i "\lpfii-
X c e «*mcx
X ex y'+2y = -2 c e~ lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x 3 3 y'+2y = e x
xy -
xcy
r ■- = ^ = tg(ln_v).^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(c x )2
x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => 13.-
>>= 2 + c V l - x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x tg(lny) = — v h
Solución y = 2 + c V i- * 2 =>
2
y=
-ex 16.-
f* ^ = e J0
2
^F
dt+ceX > y ' - y = e
3
19.-
Solución y
=
e*
J *
e
' 1
dt
ce*
+
= >
y '= e x
£
e
' 2
dt
+
e* .e* '
+
ce*
X = COSÍ
y = sen /
Soiución , _ / (O _
eos/
* '( 0
sen í
y ' - y = e x+j;2 *+ f * sen t y =x\ — ~ d t, Jo t
x+ yy' = 0
, reemplazando
y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e~* * .e*1
17.-
L
,
cosí ^
sen/
, eos/ = cos/ + sen /(---------) = c o s /-c o s / = 0 sen/
x y = y + xsenx
JC+ J> /= 0
Solución 20. Sen t v —x l ------ dt ^ y J0 t ex
Cx sen i sen x y' = I dt + x 7 Jo t X
r > sen t . Jo
t
x = íet
(l + xy)y'+y2 =0
y =e - Idt +senx Solución
xy’= x (
*
18..
r* sen t r*sení ------ <* + senx) = x -------dr + xsenx Jo t Jo t x y '= y + x senx
te* v = x( — dx + c), J x
... y\ -e" y = —r = —--------------7 =>y ' = —-, reemplazando en la ecuación ' - ' e (1+ t) _ -/ (l + xy)/+j>2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0
x y '- y = xe
e' 0 + 0
Solución X
y_
(1 + xy)y'+y2 = 0
m ¿>X
dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada.
J
x = e »rctg(f)
21.-
x f €* x y'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c)
J x
Í
L y + xy’= 0 ^ = e -arctg(,)r* Solución
J x
ex f ex — dx •+■xc + xc —x I ——-dx —xc —xc X
J
X
arctg(/)
jx = esrctg<') | y = e-««8(0 ^
I= — e
xXt
1 +r e -arctg(/)
> != x y '- y = xex 4
1+ / 2 5
, y'= —
= e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')
y + jcy’= É -arc,8(,) + e arct*<')(_e -2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,)
= 0
>>} 1 + íeosr = - ---------- = t=>y'=t r ‘ _____ 1+ íc o sí_
l n y + s e n / = l n í + sení = . x = ln y + s e n y ’
y + xy' = 0 x = t ln í
22 . -
y’ f> y i n — = 4x y = í (21n í + l)j 4 2
x = t + aresen í , x = y + aresen /
Solución jt = /l n /
Solución
=> jcJ = l n f + 1
y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4í(ln/ + l) y [ = 4 r ( ln / + l ) =4¿ ^ '
x1
x; = 1+
x = í + aresení
1 1
y,= 4,
ln í+ 1
y i n — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 4 4
í(l+ / . i 1+
= t=>y'=t
1
y' ln— = 4x 4 y'+ aresen y' = t + aresen r = x 23.-
jc = ln / + sen í
, x = ln v’+ s e n j'’
x = y '+ a re s e n /
y = r(l + senO + co síJ Solución x = t 2 + er , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------
y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1+ senl + t e o s /—sen / = l + f eos/ 6
2í 3 y = — + (r-iy
y
+ey' = x
Solución
x = t 2 +e' 3
s
y = * -+ (,-l)e ‘
x\* = 2t + e' y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l) e ' =t( 2t + e‘)
28.-
y = ln(c+ex ) ,
y ' = e x~y Solución
y - ln(c+ex )=t> y ’= --------, además
, y\ t(2 t+ e ') , , y= - —---- — - = / = > / = í x\ 2t + e ‘
c+ ex
ex
ex
c+ ex
ey
y'-.---------- -- ---- = e ' - '
y ’2+ey' = t 2 + el = x y ' 2+ey = x
29.-
=> y ’= e x~y
y = -Jx2 - e x , ( x 2 + y 2) d x - 2 x y d y - 0
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas. 26.-
Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx x 1-ex
y = -------, y '- t g x . y = 0 cosx Solución
y
y= ln (c + ex)=>c + e x = e y
( 2 x - c ) d x - 2 ^ J x 2 - c x d y = 0 , dedonde (2 x2 - x c ) d x - 2 x y d y = 0
-------y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx
( x 2 - x c + x 2) d x - 2 x y d y = 0 entonces
(y2
+ x 2)d x -2 x y d y = 0
Q
y '- t g x . y = c s e c x .tg x - tg x . ------ = c .s e c x .tg x -c s e c x .tg .t = 0 cosx
30.-
j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0
y -tg x .^ = 0
27.-
=
3x + c
Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)d x -d x
y '= 3 y2
x d y = x ( c - \ n \ j f y d x - x d x , como y - x { c - lnjx|) entonces:
Solución
y =-
i 3x + c
3 /=
(3x + c)
x d y = y d x - x d x => ( x - y ) d x + x d y = 0 y =
(3x + c)
= 3(——— ) 2 = 3 ( - y ) 2 = 3 y 2 3x + c ••• y ' = 3 y 2
8
31)
x =ye**\
/ =
x ( ln x - ln ^ ) Solución 9
x-ye
=> \ n x - \ n y = cy + \
ln — = cy + \ , dedonde
=>
( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33)
x = y e V +l => e ^ 1 = -
e~y - e x = 1, jty'+l = e y Solución
jc =
l = / ^ +1+ o ^ +V 1
32)
= ^ ( 1 +00/
= ~ ( i n x - l n .y ) y
e~y
y '= -
= —( ln j c - ln y ) / entonces: ^
x (ln x - ln y )
- x e ~ yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 x
* = >>lncy, / ( * + >>) = .V
x y '+ l - e y = 0 => xy'+l = e y
Solución
x ey x = y hicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y
y
y e h * ^ f)-¿ y ' y
------------------------- = 0 y
-1
e y - ex - 1 => ---------= c derivando x
y
_
, a\ *4)
y
3
1
c
X
Xó
2j 3f dx , xy dy + y dx = — X
Solución
xy'
simplificando - ----- — - / = 0 => y - x y '- y y '= 0 y >>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x3
'(x + y )y '= y La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden.
3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => x y 2dx + x 2y d y = 3y
La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = -
dx
10
dy
Luego no es integral de la ecuación.
35)
x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 ,
(3x2 - 8 x y + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y 2)dy = 0 Solución
x 3 —4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene:
*
f(x ,y )
3x2dx - Sxydx - 4x 2d y + 2 y 2dx+ 4xydy - 3 y 2dy - 0 11
(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 - 4 x y + 3y2)dy = O 38)
x = yj^ se n t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2
Si es integral de la ecuación diferencial. Solución 36)
y 2 + 2cx - c 2 y yy'2 +2xy'=x +1 x = y ¡ se n í2dt => f sent 2dt = — , de donde
Solución
»0
y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJ x 2 + y 2 derivando se tiene:
0
= 1 ± —^ M = J x 2+ y2
x=yj0sen12^ l = 2xy'+yy'2
No es integral de la ecuación diferencial.
*=y'JQsenr2dt +y sen x 2, reemplazando se tiene:
= / y + . y s e n x 2 => y = xy'+y2 s e n x 2
Si es integral de la ecuación diferencial.
39)
Cx sen t
—-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y l n y
arctg—- \n (c J x 2 + y 2 ) = 0 , (x + y ) d x ~ ( x - y ) d y = 0 x
a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x
^| y2 x2
c.(xdx + ydy)
Solución f*senr x \ —— dt = y \ n y t
Solución
xdy - ydx x2
y
=>
x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y ' 2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y ' 2
37)
Jo
= 0 , simplificando
=>
f*senr y ln v ------ di = ------— Jo t X
cx sen t cx sen t J x Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene: y ln y — ---- hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + x sen x = x (\n y + l)y'
J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y No es integral de la ecuación diferencial.
xdy - ydx
xdx + ydy
x2+y2
x 2+y2
= 0 de donde x d y - y d x - x d x - y d y = 0
(x - y)dy - (x + y)dx = 0
entonces
(x + ^ ) á r - ( x -
Si es integral de la ecuación diferencial. 12
13
ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
f
dx
f
dy
J777r +J7 7 ^J
=C
arctgx + arctg.v = c x +y = c ( l- x y )
dy Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y ) dx se reduce a la forma:
tgA + tg B
Nota.-
tg (A + B) =
82)
(l + y 2)dx+ xyd y = 0
1-tgA.tgB
M(x)dx + N(y)dy = 0 donde M es una función solo dle x, y N es una funci'ón sola de y, a esta ecuación sé conoce con el nombre de “Ecm ición Diferencial Ordin aria de Variable Separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es clecir:
j
Solución (1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable.
M (x)dx + J[ N(y)dy = c
dx y dy \ ? — + ------ - = 0 integrando lnx + —ln (l+ v ) = A: X l +y 2 ° 2
Donde c es una constante cualquiera. La ecuación diferencial de la forma:
21n x + ln(l + >'2) = 2k
— = f ( a x + by + c) dx
83)
de donde
=> x(l + y 2) = c
( y 2 + x y2) y ’+x2 - y x 2 = 0
donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c.
Solución ( y 2 + x y 2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando
Integrar las ecuaciones: 81)
l n x 2(l + y 2)=¿
(\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0
y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. Solución
(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable dx dy „ . , ------ r- + ------ —= 0 integrando 1 +x 1+ y 2 14
1
y
^ - + — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c . De donde se tiene: - y 1+ x j 1- y i 1+ X
l +x ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n=c 1- y 15
84)
(1 + y 2)dx = xdy
v r ^ +v n = *
=> * = i
Solución V i- * 2 + V i- .v 2 = i (1 + y 2 )dx = x d y separando las variables 87)
< r '( l + / ) = l
dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y
x
1+ y
Solución y = tg(ln(fcc))
85)
e - * ( i + / ) = i => i + y = ^
x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0
— = dx
=> y = ^ - i
- 1, separando las variables, - — -- = d: , integrando se tiene: e y -1
Solución x^l +y 2 + y^l +x 2 ^
t dy c i ~ l = i d x+c
= 0 . Separando las variables.
c e ydy
=> J T 7 7 7 ^ +A:
l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V
xdx
ydy r + -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 +y 2
/.
r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde
+
-c
88)
=¡ e * = - L ( l - e - y ) e
e x = £ (1 - 0
>>ln.y<& + ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1 Solución
86)x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1
y ln y dx + x dy = O, separando las variables
Solución dx dy . . ---- 1-------- = O, integrando x y\n y
X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables xdx ydy -= = = +- = = a/T v ^ 7
= 0 , integrando
cr xdx xdx —
cc yd ydy
J V T ^r
J VTT > 2
•= c
ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde
para dé donde, 16
-\fl-x 2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1
c dx r dy I ----- v I ------- = k * x J yin y ln y = -
x = 1, y = 1 => l = e c => c = O x ln y = O =>
lny = O => y = 1
=> ln x + ln(lny) = k =>
=> y = e x
89)
92)
y ' = a x+y(a > O, a * \ )
(1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0 Solución
Solución
(1 + >>2 )(e2xdx - e ydy) - (1 + y)dy = 0 , separando
dy + — = a x y = a x .a y separando las variables dx a~yd y - a xdx
=> a xd x - a ydy = 0 integrando
e 2xdx -
J a xd x - J a~y dy = k
a x +a~y =c 90)
l +>>2
dy = 0 , integrando
j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c
e y (\ + x 2) d y - 2 x ( \ + e y )dx = 0
e 2x ^ - e y - a r c tg y - l n ^ l + y 2 = c
Solución e y (1 + x 2)dy - 2x(l + e y )dx - 0 . Separando las variables.
93)
(xv2 - y 2 + x - l) d x + (x 2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0 Solución
91)
e ydy 2xd x f e ydy r 2xdx ----------------- —= 0 , integrando ------7 - ------7 = k , de donde: l + e y 1+ x 2 J l + e y J 1+ x 2
(xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x 2j y - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando
ln(l + e y ) - l n ( l + x 2) = k
[ y 1 ( * - ] ) +(x -V ¡\dx+ [y(x2 - 2x + 2) + (x 2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando
. l +ey , l +e y ln ------ T = k => ------ t~—c 1 +x 1+ x l + e y =c(l + x 2)
(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable
( x - 1 )dx
(l + e x )y y '= e y , y\x=0 = 0
f ( x - 1 )dx f 7+1 I — I -------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ? ~-ln(x + 2x + 2) + —ln(j/ + 1) + arctg y = k
Solución dy (1 + e x )y — = e y , separando las variables dx dx r _v , c dx ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í l +ex J J 1 de donde (1 + y)e~y = ln( * 18
y+1 ,
-------------- + -------- dy - o , integrando x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l
)+ 1- x
- + c
ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k entonces:
( x 2 - 2 x + 2 )(y2 + l)e2arct8y = c 19
94)
y = s e n (x -j> )
(x + y ) 2y' = a 2
96) Solución
_ dz ( , Sea z = x - y => — = 1- y dx
entonces
Solución
. . dz y = 1----dx
Seaz = x + y
dz — = 1+ y' entonces: dx
=>
Como y = s e n ( jc -y ) reemplazando se tiene: dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a \ - — = senz => 1 - senz = — , separando las variables: dx dx
entonces
2 dz 2 z (— - 1) = a separando las variables: dx
dz dz — = 1- sen z => ---------- = d x , integrando dx 1- sen z
z Z — —dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k a +z a
í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1- s e n z J J simplificando
y
x + y = a . tg(—+ c)
tgz + secz = x + c => tg (jc-y ) + sec(jc-y) = x + c 2
95)
y' = ax + by + c , a,b,c constantes
97)
( l - y ) ey y '+ ^ — = 0 x\n x
Solución
Solución
Sea z = ax + by + c => — = a + by’ dx y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entonces b dx
(1 - y ) e y — + — — = 0 separando las variables dx x l n x (l-y)ey
dx
------ ----- d y + ---------- ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+ bz b dx dx dx
y L
separando la variable
r (l-y)ey
------ ----- dy+
a + Z>z
= dx integrando
í ---- ---= f dx + k ,de donde J 0 + ¿?z J
j
y ¿
r
~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+ bz = cebx b + c) + a = 20
- J
ey
d
0
.
, integrando
xlnx r
dx
r(y-l)ey
—— = c=> -
J xlnx
------ ----- dx + ln(lnx ) - c
J
(— ) + ln(ln x ) = c, de donde:
y 2
ey
- — + ln(ln x) = c
ey ln(lnx) = — + c y 21
98)
( l - y 2)dx = ( y - - J \ + y 2)(l + x 2)'/ i dy
Z3
Q2X2
~ 3 3 > %2 2 i
— = -------- + c=> 2x y 3 2 '
=3a x +k
Solución (1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables
100)
( x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0 Solución
dx y-yi+ y2 ------- = ---------------- ñ---- dy
l+ y2
(1 + X 2) A
f
dx ------- —rr =
J (1 + *2)X
J
integrando
0 Sea
, ----------^— dy + c entonces
(x 2y 2 +1 )dx + 2 x 2dy = 0 , reemplazando
l+y 2
Irf(7v i+x = r )= I{r1+^h - ~ V1+^ r =^
(z 2 +l)dx + 2 x 2( * -Z y ^ ) = 0 => (z 2 + \)dx + 2xdz —2z¿/z = 0 x
)dy+ c
( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando 2x (Z- l )2
'l + y 2
+c * -ln J\ +x 2 _y + -\jU y 2 _
ioo)
1 =c —m x --------2 xy- 1
jty2 ( V + > O = 0 2 Solución
Sea z = xy
dz x ----- z => y = — => y ' = — — 2"
Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene z X
dz dx
z x
X ------- ZH-----
= a , simplificando
z 2dz = a 2x d x , integrando se tiene: 22
z , xdz - zdx z = xy => y = — => dy = ------ -----x x2
101)
(1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0 Solución dz x ----- z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando x dz x ---- z (1 + z 2) —+ (z - 1)2x(— — ) = 0 , simplificando * x2 (1 + z 2)z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 dx
entonces 23
103) ( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O =>
—— + x
( x 6 - 2 x 5 + 2 x 4 - y 3 + 4 x 2y)dx+ (xy2 - 4 x 3)dy = 0
dz = O integrando
Solución
z¿ Sea y = tx =>
dy = td x + x d t
entonces reemplazando se tiene:
2 \ n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k => Z
JCJ>
(x 6 - 2 x 5 + 2 x 4 - f V
102)
+ 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt)
ln c y 2 = * y - — => c y 1 ^ e gr xl. 3ty *y
x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+ x3( t2 -4){tdx+xdt) = 0
( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0
(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t + í i - 4 í)d x+ (/2 - 4 )xdt = 0, simplificando (x 3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando
Solución
Sea z = xy
=>
dz x ------z / =— —
X3 2f3 ------x +2x-\------- 4t = c 3 3
entonces
2 3 3 2 * y + j>+ jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , dx
*3 y3 4y ------ x + 2 x + — ,------— = c 3 3x x reemplazando se tiene: 104)
Z
y + i=
dz
3
Z
1
por lo tanto:
JC-------- Z dx
(x + ^ (x +.>>)'’ + (* + > ')'’
— + —+ x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificando X X x2 Sea
dz
3
z=x+y
=>
y =
Z --------Z
— + —+ x - 2 + (z 2 + 1)(——----- ) = 0 X
Solución
X
_ i . Reemplazando en la ecuación diferencial
entonces
X
( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde dx
dx
(c
dz zn (— - 1) +1 = ---------z"+ z*
simplificando
z n + zp ------------d z - d x , integrando zm
( x - 2 ) d x + ( z 2 +l)dz = 0 rzn+z'
r
J ------— dz = j d x + c , de donde integrando
- - + z+
- -2 x =c
3 x 2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c
24
n - m + 1 / 7-/W + 1
= x+c , n
m * - 1, p - m ^ -1 25
105)
/ r xd t-td x_ ^ (x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0 x x x
(ln x + y 3) d x - 3 x y 2dy = 0
tí
Solución ( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+ l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q i
Sea z = ln x + y
dz
=> — = —+ 3y y dx x
1
^ 2 . xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando
3x y 2y % =
x2
, + 1 + 1 = Cj entonces:
- 1 reemplazando en la ecuación diferencial: dx
2 x 2 + 4/ 2 + 4í + l = c
ln x + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0
áx
=> /.
¿x
107)
2x2 + (2/ + 1) 2 = c
por lo tanto:
2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c
y - x y ' = a(\ + x 2y') Solución
ln|z + l j - l n x = ln c =>
z+l=xc
de donde
l n ^ - ^ = lnc
=>
y - x y ' = a + ax2y'
=> y - a = (x + ax2)-^- separando las variables dx
y 3 - e x - ln x -1 — Y ~— = — ^— integrando ax + x y - a
106)
(x y + 2x y ln 2 y + y ln y )d r + (2x 2 \ n y + x)dy = 0
xc
ax + \
Solución
I0K)
Sea x ln y = t => lnj> = — => y = etlx x
=y - a
f ( - -----— t )dx= — ln c entonces J x ax + l J y-a
. y = a + ex por 1lo .tanto
ax + l
(a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2dy = 0, }\x=a = 0 Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx
Reemplazando en la ecuación diferencial dada: ,
tlx
2e‘lxt 2
íet/x w
^ #
. tl
(xe 1x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e
x
26
x
2
xd í-íd x (-r— ) = 0
x
simplificando
f
dx
dy + —------ - = 0 integrando x ^ a x - x 2 a 2+y r
dy
27
Sea x = - => dx = —
f
*
.-f.
2x ^o x --x ^ -2
110)
, reemplazando en la integral
dt
*-1
'J a t-l
J ly fa t-l
-
a
Solución
( 2)
El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a dx las condiciones del problema se tiene: dy dy 's = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke como dx
reemplazando (2 ) en ( 1 )
-y- 1
i. — —+ —arctg — = c, x = a , y = 0 a a
y
entonces a
pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto II I)
a
109)
y% + sen(“ “
Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y.
a
a
Q = a 2 ln — a
--1
* -1 a
y = -2e 3 x
—----- + —arctg(—) = 0
0 + 0 = c => c = 0, Luego -
a
Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces.
Solución
=> y = a. tg
y = f(x)
) = sen(^ y^) Solución
— + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s ¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1
2
^
y sen —
2
28
sen(^) cos(™)
= - 2 cos(—)dx 2
separando las variables
integrando ln | tg(—) | = 4
Q=
= a 2 ln(—) , derivando se tiene:
a dy y - — •— , entonces ay dx -2
sen(—)+ c 2
de donde : y = c-x
J a1 d x ---- - dy = 0 y
integrando se tiene:
a1 x+— =c y
(hipérbola) 29
112)
Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución Como
t F = ma = k — donde v
Q = 4 cm /seg
2
X
t = 10 seg. v = 50 cm/seg.
1. 4
= Ar— => k = 20 y 50
m ^- =20dt v
Como y = bx
b , l =, x x Separando las variables se tiene:
=>
y dx + x dx = 0, integrando se tiene:
dy
x2+y 2 - k
v 2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg. 114) 502 =20(10) 2 +c
=>
c = 500 entonces
v2
= 2 0 í2
+500
x _,
para t = 60 seg. v = ? de donde: v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg k \
113)
'' t
-Vv>
\
\
*v v
' ^
,
*
^
Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia. Solución Sea
L n : y = b x , de donde
mLN =b
Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: dx 1 —d* - , es A decir que £h>= - — mLN = ---------= N mL, dy dy 30
‘
Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución F = ma = m
dv dt
condición del problema: m dv ----- T = dt k v
d^ . 2 m — = kv dt
integrando:
k vj
-r*
m rvi dv _ r' Jo k Jvf2 V
* V,
v0 31
... (1) k
v0v.
d 2x dv además m — = m dt dt2
2 dv dv dx kv = m — = m —r •" dt dx dt
entonces:
Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola.
m dv dx = — .— k v
r dv dx dv kv2 = m — = mvdx dx dt
Solución Se conoce que:
... (2) *
1» A > v0
mLt = k x . Luego ~ =
^ ln(— ) v0
Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C. Solución
(Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es. V0V1
í= 115)
40 ln(2.5)
seg.
Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la r e s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg. Solución
La descripción m ,Km id c , c. f tiene: V = Ae
entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,
que es una parábola.
reemplazando (2) en (1) j_
mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene
-* > '
Sean
T = temperatura del cuerpo. Tm = temperatura del aire = 20°C. T0 = temperatura inicial.
La descripción matemática es: * dt'”d' al resolver '*
“
dT — = ~k(T - T m ), de donde la solución es:
-kt
para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene t=5
s e g .,
-5k
10 =>V 10e para 1 8 k = — ln(— ) entonces: 5 10
60 = 20 + (100-20)éT2°*
10 - Ae° => A
v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e
F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5
32
T = Tm + ( r 0 - T m )e~kt
40 = 80e 20A => k = ^-^-
por lo tanto:
r = 20 + 8 0 .2 '//2°
T = 20 + 80e~(ln2/20)í
Sean
para t = ? , T = 30°C
s = el camino recorrido t = el tiempo en seg.
30 = 2 0 + 80.2”' 720 entonces 118)
I = 2~'/20 => t = 60’
v = ~ = velocidad del cuerpo
8
ds la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es: dt
Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.
s = A eh , para t = 10 seg. , s= 1 0 0 m . =>
100 = Á ei0k
Solución de donde
=
. . . ( 1) e
para t = 15 seg. , s = 200 m. => de donde se tiene : A =
200 = ,4e15* ... (2)
e 15A
a n comparando (/ 1) y (2) se tiene:
100
^
200 =— ¡^7- => ki = -l n 2
e reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será: dx
s = 25.2r,s
te 0 = n tg a entonces:
— = n(—) => dy = n(—)d x , de donde dx x x
— = —dx
ln y = n ln x + ln c =>
y
integrando;
In y —ln x nc , por lo tanto:
x
120)
El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora.
y-ex Solución 119)
Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. Solución
34
Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. x La concentración de la disolución saturada = -----; 300 35
— = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: dt
122)
Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto.
— - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación dt 3 300 diferencial se tiene: jc = 100( - A e k,' m ),
encontraremos
la
Solución
Como
constante A p a ra t = 0, x = 0 =>
2
y
x
x
mLt = ------- = ----- , entre los puntos P y A ----- X
A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para 1 1 299 t= l m in ., x = - k g . se tiene - = 100-100« * '300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU
2
Además ~~ = mL, => — = - ^ dx dx
de donde — + — = 0 xy x
x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100( 299)'
para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g.
porlotanto:
x = 18.1542 kg. 121)
Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros). Solución Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt dx 1 0 -x 1 problema la descripción matematica es: — =
Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c 123)
=>
xy = c
Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? Solución Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia
De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg. 36
(3 —s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire. 37
Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,
12 = humedad del aire saturado para 100 m 3
entonces: La descripción matemática es:
para t = 0, s = 3 => A =
t = 1 M ? ’99) mirL
2
1
ln — 2
125) de donde resolviendo se tiene:
1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - ) v/5 luego: 2
ds — = - k s (-s + 6 -1 2 ) = ks(s + 6)
— = A e6kt s+6
Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1m 2 ) al exterior durante un día.
para t —1, s —1.5 entonces:
Solución k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg. 6 7.5
Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es:
Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros deagua,después de 5 minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal.
de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015).
Solución Luego la descripción matemática es:
Sea s = cantidad de sal por disolverse. La descripción matemática es:
ds — = As, donde k es el factor de la
Resolviendo
dT O — = - — , donde Q constante dx kA
la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene:
2
T = —x ; 864000 cal/día. 3
proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es: s = A ekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2 126) Luego s = 2ekt, determinaremos k. Para t = 5 m in ., s = l k g .
=>
Demostrar que la ecuación
— con la condición inicial vi _n = 0 tiene dx x 1•r_u ’ infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyj x=0 —y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales.
k = -ln — Solución
Por lo tanto:
s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5
dy y dy dx . J t — —~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x 39
para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para }\ x=o =
* 0 =>
=0>
128)
dx
Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única.
cua^ contradice por lo tanto:
Solución
cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna. ~~ ~ y I ln y |° dx
=>
— —— = dx integrando | ln |a
| ln v |1_a i — --------= x + c => y = 0 , x = 0 => ------- 1ln v | “ = 0 + c 1- a I-« ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y
,
0
El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única. 129)
Demostrar que el problema
~~ = y a ,
y\ x=o —0, tiene al menos dos
Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1 , en los puntos de sus intersecciones con el eje O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY.
soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para
Solución -St gxdx r
y =e
Solución
i-«
.
— =
dx
ya
=> y~ady = dx integrando ------ = x + c
si x = 0, y = 0 3
y = e ln
ftgjratr
[Je
(x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal.
(tg x sec x+ sec x^d x + ^ efectuancj0 ia integral,
1 -a
gl-a ------ = c solo si 1 - a > 0 1- a
ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c
y
De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución.
y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces: y = x + c. eos x , interceptandocon el eje Y, para mL, = — ' dx
= (1 - e s e n x)\p = 1
L, : y - c = l( x - 0 )
de donde
=>
x = 0 , y = c => P(0,c)
mL, = 1
L, : x - y + c = 0 41
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 130)
133)
ln/=x Solución
co sy f= 0 ln y '= x
Solución
K
=> y '= e x
dy = e xdx =>
Como y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l) 134)
j dy = J e xdx
tg / =0
— = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. dx 2 2
Solución tg / =0
y = ^ (2 n + l)x + c, n e Z. 131)
=> y = ex +c
=> y ’= arctgO = nn
dy — = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c
ey = l Solución
e y =1 => y'= 0
=>
dy = 0 => y = c dx
Solución
donde c es constante. 132)
=jc
135)
e
~x
^
j d y = J ln x d x
s e n /= x
y = \nx
de
dy = l n x d x ,
donde
ahora
integrando
=> y = x l n x - x + c
Solución s e n / = J t => /= a r c s e n jt + fl7r entonces:
136)
tg y '= x Solución
— = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx integrando
Jdy = J(aresen x + n n)dx + c
y = jta rc s e n x -V l- * 2 + m x+ c donde n = 0, ± l , ± 2,.
tg y ' = x => y'= aictgx+ nn , n = 0, ± 1, ±2,... dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene
y = ^ { ttc tg x + njz)dx+c entonces:
y = x 2 x c t g x - ^ \ n ( \ + x 2) + njtx + c 43
En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. 137)
139)
jr3 y - s e n y = 1,
Solución
, 16 x y ' eos>>+ 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o
x 3y ~ sen v = 1 => x 3 - ^ = 1 + sen y , separando la variable dx
Solución
dy
1 +sen.y
x
r
* l+senj>
dy
-— ----- =
para y -+ 5 n , x -H-oo => c =
dx 1 eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c x x
por lo tanto 16 n parax -> + oo => c = sen — 16» . 1 cuando y - * — — luego sen . y - — -s e n l6n ^
r dx
— +c
Jx
1
y = 2 arctg(l — i—)
2x 140)
x 2 /+ c o s 2 ^ = l ,
dx
x
--------- = —r integrando
x 2 v’c o s y + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable
138)
y - * 5 i t => x-H-oo
(l + x2) y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^ ~ ti , x->-oo
10
y-+ — n => x->+*>
Solución
Solución
(l + x2) y - - c o s 2 2^ = 0 , separando la variable se tiene:
x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable
dy ___= — => — — = —j l - c o s 2 >' x 2 2 sen y x
eos 2y
integrando
dx 2 (1 +
x )
=k
= 0 integrando 2
y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» —n , x ->-oc¡ => c = — 2 2
f ——— = l —^r~ c de donde c t g y = —+ c J sen 2 y x x
tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x 10
2
2
1
¿
=>
y = —arctg(— + arctg x)
2
2
cuando y - * — n , x —H-ao => c - — j~ 141) 2
1
Luego c t g y = —+ —j^ => y - arct^¡T+ ^J'* 44
2
1
e y = e 4yy'+1, y es acotada para x —>+oo Solución
45
e y = e 4yy ' + l ; e 4yy'= e y -1
e Aydv entonces --------= dx ey -1
y'= 2x(n +y) => - — y +n
r e 4y f integrando J —---- dy = J dx + c entonces:
Í y +n = J
y + n =ke
í ^ y + e 2y + e y + — -— )dy = x + c y calculando la integral J e y -1
jr2
= 2xdx integrando
ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces:
, y es acotado para x —>00 entonces k = 0
Luego y + n = 0 => y = -n
e3y
e2
-----+ — + e y + ln(l + e y) = x + c , 3 2
144)
2 x y'+ sen 2y = 1,
como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. (x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo
11 4
y - * — rc => x-M-oo
Solución 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l-sen2ydx separando la variable
Solución
dy
dx
dy _ dx integrando se tiene: y-\ Jt + 1
f dy (• dx 2 y sec2 v 1 J l ^ 2 i 72 y = JJ x^2 ' C => t g 2- - - — —X + c 2
ln(y —1) - ln(x + 1) + ln c
iln ------= lni c => -------= y -i c y +1 x +1
- sen 2y
=> integrando se tiene: x2
(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1)dx separando la variable
1
cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que:
y = arctg(—x)
cuando x —>oo entonces —— — >0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í . o *+1 y'
=» y . 1
—2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo Solución
47
[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|
El método indicado no es aplicable cuando las rectas a 2x + b2y + c 2 = 0
p son paralelas, en este caso
a¡x + b{y + cx = 0
y
— = ^ - = A a la ecuación (2) se a x bx
puede escribir en la forma: A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad.
dy _ a xx + bxy + cx x ^ f x — ~ ------- r -------) = F (a xx + bxy) dx Á(axx + bxy) + c 2
... (3)
que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. ión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y) Una ecuación dx H es una función homogénea de grado cero. La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma:
P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0 Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.
... (1) dx
Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma:
x
A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1
Introduciendo una nueva variable incógnita
u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la
a la derivada — . dx
ecuación con variable separable: du , x x - — = \¡/(u)-u dx
Integrar las Ecuaciones: 145)
Observación.-
Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.
Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy _ ^ a xx-\-bxy + c l ^ dx
4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces:
... (2)
Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así:
a 2x + b2y + c 2 (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:
se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de
(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando
intersección de las rectas: a xx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z. + x 0 , y = w + y 48
(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando 49
(2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable dx 2u -3 , , 2 -----1-— -----------du= 0 , integrando x u -3u +2
simplificando
.\
separando
las
variables
dx 4u 2 —u + 1 .cdx c 4 u 2 —u + \ 4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- - — -------- d u = c entonces: X u3+ 1 J X J u 3 +1
„ f dx f , 2 « - 3 NJ 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c J x J u -3u + 2
entonces: 21n x + ln(w2 -3 w 4 2) = c => \ n x 2(u 2 - 3 u + 2) = c , levantando el logaritmo se tiene:
(4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 ,
41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u+l u - u + \
y 2 - 3 xy + 2 x 2 =k ln x 4 4-21n(w 4l)4ln| u 2 - u + l\= c => ln x 4 (w4 l) 2 (u2 - u 4 l) = c
146)
xy' = y + -yjy 2 - x 2 Solución A la ecuación escribiremos así:
x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto:
xdy = (y + ^
2 - x " ) d x , es homogénea.
148)
4x2 + x y - 3 y 2 + y '( - 5 x 2 +2xy + y 2) = 0
Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 ) d x , simplificando
xdu = J u 2 - \ d x
separando
las variables
du ------V« 2 -1
(x 4 y )(x 3 + y 3) = k
Solución
dx 9
X
integrando se tiene: ln | u + Vu2 - 11= lnx + ln c entonces:
(4x + x y —3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación (4x2 4 x 2w —3 x2u 2)d x4 (—5x2 + 2 x 2w 4xV )(w rf*4xrfw ) = 0, simplificando:
ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x
(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u —5)xdu = 0 , separando las variables se tiene: u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde
/. 2cy = c 2x 2 +1 dx
147)
u2+ 2 u -5 J ^ . + —^----- 1-----------du = 0 , integrando * W -W -4W4-4
4 x 2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) = 0
c dx f u 2 + 2 u - 5 "+ ----- 5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene; J x J u - u - 4^ 4-4
Solución La
ecuación
diferencial
(4x2 - xy + y 2 )dx + ( x 2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 ,
homogénea sea y = x => dy = u dx + x du,
es •••
( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5
reemplazando en la ecuación.
(4x2 - u x 2 + u 2x 2)dx + ( x 2 - u x 2 + 4u 2x 2)(udx + xdu) = 0 50
51
Solución
Ixydx - (3jc
9
- y
2'
151)
x y '= jy 2 - x 2
)dy = 0 , es homogénea entonces:
Solución
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
xdy = ^ y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du
2 x 2u d x -(3 x 2 - x 2u 2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0
ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2dx , simplificando
separando las variables
udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable
— + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du x u3-u J x J u 3 ~u
¿/w f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) J u u - 1 w+ 1
<¿x
^|li2 - l - U
J x
-
x
integrando
f
du
Cdx
..¡— ..........= — + c J ^Ju1 J..2 - l1- u_ J x
J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene:
2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2)
150)
y(y+Jy2~x2) Solución
y + ^ y 2 - x 2 = cx3e
2x(x2 + y 2)dy = y ( y 2 -h2x2)dx , es homogénea 152)
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
ax2 +2bxy + cy2 + y (fox2 + 2cxy + f y 2) = 0 Solución
2x(x2 + x 2u 2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx (ax2 + 2bxy +cy2)dx + (bx2 +2cxy + f y 2)dy = 0, es homogénea 2(1 + w2 )(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(u 3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables (ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u 2)(udx+xdu) = 0 , simplificando _ .. , fc dx C2{u ftfx 2¿(i* (u 2 + 1) l ) ,, c 2 (u2 + 1) 1) . _ r dx du - + —--------du = 0 9integrando — + — ------- d u - c => — + 2 —
dx
u 3 +u
entonces:
l n x + 21n w = c
J x
J u3 +u
J x
2 y => lnx.w =c => x — = c porlo tanto:
x
J u y
2
(a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable dx b + 2cu + f u 2 , ---- 1--------------- —--------—d u - 0 , integrando * <2+ 3¿w + 3ck + yi* 53
r dx C b + leu + f u 1 — + 1 ---------------- --------- du = c J x J a + 3bu + 3cu + fu fu
Solución entonces Sea y = z a => rfy = a z a-1, reemplazando en la ecuación
i 2 3 y \ n x + —\n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene: 3 x
z 3a¿¿r + 2(x 2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir:
f y 3 +3cxy2 + 3bx2y + ax3 - c 153)
( y 4 - 3 x 2)dy = -xydx
1
3a=a+l=3a
2
2
=> a = — r=> z~dx + (x - x ) d z = 0 , es homogénea,
Solución y = z a => dy - a z a ld z , reemplazando en ( z 4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z a dx
x = uz => dz = u dz + z du, simplificando
(y 4 - 3 x 2)dy = - xydx
zdu + u 2dz = 0 , separando la variable
=> ( z 5a~l - 3 x 2z a l )odz = - x z a dx
u2
para que sea homogénea debe cumplir: integrando
1
2
5 a - l = c t + l = a + l => a = — => (z —3jc
2
)¿/z
+— =0 z
1
— + ln z = c de donde para w 1 reemplazando en - —+ ln z = c por lo tanto: u
= - I x z d z , es homogénea
X
u= — , z y
z-y 2
2
= x ln ky
se tiene 1
x = uz => dx = u dz + z du entonces: 155) (z
2
- 3u 2 z 2 )dz
=
- 2 z 2 u(udz
+
zdu)
=>
(1-3w2)¿/z-2m(w¿/z +
( y - x y ' ) 2 = x2 +y 2
z¿/w)
Solución (w 2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando * w2 - l * ¿z r 2u f — = \ — ^— du + c =>
J^
J w2- i
( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y ' = ^ j x 2 + y 2 , es homogénea y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
lnz = ln(w2 - l ) + c (mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:
para w = — , z = y 2 por lo tanto: z
154) 54
y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0
x 2 = y 4 +c:y6 (u - ^ | l - - u 2 )dx- u d x -x d u = 0 , simplificando r T , dx du ___ : = 0 , integrando - V l + w dx - xdu = 0 => — + —- ■ -Y Vl + t/ 2 55
í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c
J*
x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene:
x
156)
dy = du - dx => (2u - 1)dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces
J y + J x 2 + v2 = &
v
(u + 1)dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando u -1 u 2 2x+y Jdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3
3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O Soiución
(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0 Sean
Z1 :3x + ^ - 2 = 0l ^ L2 : x - \ J
L X^ L 2 entonces existe un punto
Sean
3 x + y - 2 = Oj
3 P(xü, y a) & L x a ! 2 de donde:
x 0 =1 y 0 = - l ’ Lueg°
> => L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡
= P(1’~ l)
Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 ) d x + (x - l)dy = 0 (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u d z + z d u
entonces 1
2
3 v -7 jc + 7 = 0l Xq —\ ' . n => n 3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 = 0
x = z + l, y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy (3w —7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea,
(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:
(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:
dz du „ . — + --------= 0 , integrando z 2u + 3
(7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:
entonces:
r dz r du —+ =c J z J 2u + 3
(x - l)(3x + 2y - 1) = k
_ dz l u - 3 . . , 7 — + ——— du = 0 , integrando Z U2 - i dedonde:
2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0 Solución (2x + 2y —l)dx + (x + y —2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:
56
Lx : 3 y - l x + l = 0l
/>(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P (x0, y {)) se resuelve el sistema:
x _ 1= 0 j -
157)
Solución
.\
_ f dz c l u - 3 . 7 — + I —----du = c J Z J u 2+1
(x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c
(y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0 Solución
c z , xdz - zdx aea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuación x x2
Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación 4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando
(—+ —J —T- + l)dx + 2x(— Z ZC^X) = 0 9 simplificando X x \jx 2 *2 ,Z
Z
[~~4
(—+ —y ^ z X
X2
4jcz2of¿£c + (3jc 2z 2a_1 - z a~l )a d z = 0 para que sea homogénea debe cumplir: 2a + 1 = 2a + 1 = a —1 => a = -2, reemplazando en la ecuación
2x ^ (xdz - zdx) + x )dx + 2 -------------- = 0 entonces: X
4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz ) = 0, simplificando z(Vz4 + x 2 -x)d x-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2u d u 2 jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea
z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando
sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
z(*J~z^ +u 2 -u ) d u + u}dz = 0 , es homogénea
2uz2(udz + z d u )-( 3 u 2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando
sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación
(-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrando z u -1
z(>/z4 + z 4w 2 - z 2w 2 )(zchi’+ wdz) + z 3w 3dz = 0 ■dz C 2u í — - í du = c => ln z - ln (u 2 - 1) = c
wyjl + w 4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2
J Z
= 0 , separando la variable
Jlf 1 de donde para w= —, z = - p r se tiene:
dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w ---- h ---- ... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?)dw = c Z W l + VV4 ZW^/1+w 4
ln z + ln w — l n \ w 2 + ^ l + w 4 \=c 2
=> l n z w - — \ n \ w 2 + ^ l + w 4 |=< 2
J w2 -1
161)
.\
^
y ( x ^ y - l)
2
=£
(jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 Solución
para w = ^ , u = v x ,z = xy,
se tiene:
.\ ^ x 2^ 4
=cy2x 2 - \ y = za
4xy2dx + (3jc2jk -l)dy = 0
dy = a z a~ld z , , reemplazando en la ecuación
(x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando Solución (x + z 3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir: 59
1 - 3 a - 6a —l = 3 a
=> a = \ ' reemPlazan<^° en *a ecuación
163)
(2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0
Solución
(x + z)dz + (z —x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando Sean (u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando (u 2 + 1)dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables dz z
u+1
~ Y ~ ~ du = 0 , integrando U2 + 1
1
2
lnz + —ln(w
2
1
x
2
?
L x4 f L 2 =>3 P (xQ, y 0) e L x n L 2de donde
2x - 4y = 0 |
* o = 2sea x = z + 2 ,
x + ^ - 3 = 0j
Jo =1
y = w + 1, reemplazando
en
:
(2x-4y)¿fy + (x + y-3 )rfy = 0
(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea
x
sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
z
y3
=>
— du = c
J u2 +1
+ 1) + arctgu = c , para u = — ,
se tiene:
162)
f— + í
J z
Lx : 2 x - 4 y = 0 1 > L 2 : x + y - 3 = 0J
z =y3 (2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:
¿
(w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1)zdu = 0, separando la variable
arctg-— = —ln(x + y ) + k
— 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 z t/ - 3w + 2
2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx +x 3dy = 0 Solución 164)
(x —2y —l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0
Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: Solución
2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) 2 { z + 4 ü -z 2 )dx
0, simplificando
+ xí/z - 2z¿/x = 0
de donde 2^1 + z 2dx +xdz = 0, separando las variables
dx
dz
*
Vi +z2
_
2 — + —= ■■■■■■, = 0, integrando
Sea z = x —2y
=> dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación
(x - 2y —l)dx + (3x —6y + 2)dy = 0, se tiene: (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando (z —l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables (1 - —)dz + 5dy = 0 ; integrando z
J 2— + f — = lnc => x 2(x2y + ^ l + x 4y 2 ) = c x Vl + z 2 60
z - l n z + 5 y - c , como z = x - 2 y
entonces:
x + 3 y - l n |x - 2y| = c 61
165)
z dx + (z —l)(dz —dx) = 0, separando la variable
( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución Lj : x - y + 3= 0 1 L2 - 3x+y+l = 0\ ^
^
dx + (z —l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)d z = c entonces
2
Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde
x -y +3= 0 ] x0 = - l -» 1 * r =* ^ » sea 3x + y + l= 0 J .Vo = 2
x = z —1 ,
y= w+ 2
x + - - ~ - - = c porlotanto: 167)
2x + (x + y - l ) 2 =k
y cosx dx + (2y —sen x)dy = 0 Solución
(x —y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación (z —w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea (z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando sea y = uz
dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(1 —u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando uz dz + (2uz —z)(u dz —z du) = 0, simplificando (w2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables dz u —3 — + ~ 2— ------du= 0 , integrando z w + 2w+ l
2
ln z + ln(w + 1) ------- = c «+1
w
y- 2
w = — = -----z x+1
entonces
setiene
u dz + (2u - 1)(u dz + z du)= 0, agrupando
r dz r u —1 — + —----------- ¿w = c J z J u 2 + 2w+ l
2
ln z(u +1) ------ — = c «+1
dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , , ---- h---- -—du = 0 , integrando —+ —du■= c de donde z
2u2
J 2u
2y ln y + sen x = 2cy
donde
2x+2 -----y = 1- x + ce r+>’
J z
168)
y )¿/x + xcos — y dy = 0 ((x -y )c o s — x x Solución
166)
(x + y)dx + (x + y - l)dy = 0 Solución Sea z = x + y
62
dy = dz —dx, reemplazando en la ecuación
y Sea u = — => y = ux x
=> dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(x —ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0 63
(1 —u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =*0 , simplificando dx + x eos u du = 0, separando las variables 2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables — + eos udu = 0 , integrando
f — + f eos udu = c
x
J x
J
V
2dx 2a/w -1 , . . , -----h------- j=—du = 0 , integrando X u^lu
V
u = — => ln x + sen — = c x x
In x + sen u = c, como
2 [x 21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — Vw vy
x = ke~SQnylx
por lo tanto
c dx c du f du I — + ------— — = c J x J u J u3 2
y =
entonces
y
e
=
entonces
k
y 3dy + 3 y 2xdx + 2x3dx = 0 Solución y = ux
171)
dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. Solución
w3x 3 (udx + xdu) + (3x 3m2 + 2 x 3 )dx = 0, simplificando
u 3(udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables
dx
u3
x
u 4 +3u2 +2
---- 1_—__—— ----- du -
J x
,
0
, integrando
—U — ----- du = c J u 4 +3u + 2
de donde
cJx2+ y 2 = y2+
ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0
Por dato del problema d = x0 Solución
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: Lt : y - y o = mLt ( x - x 0) 65
Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta o /(* o )|
d (0 ,L ,)J^=
VO’(
o))2 + l
por condición del problema se tiene:
\yxo/(xoÍ F"" ■
¿/(O, Lt ) = x 0
J
= xo generalizando en cualquier punto se tiene:
- M * o))2+i
y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \
simplificando La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0 ), de donde
>’2 ~ * 2 —2xv;v' = 0 de donde
( y 2 —x 2 )<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
Lt : y = y '( x 0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0 parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0)
( u 2x~ —x ‘’)dx —2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando además (u -1 )dx —2u(udx + xdu) = 0 , agrupando
r r
7 Vn ~ y'(^o)(x n) = V*o “ .Vo » lueg° :-- 1— =*==— = 4 xo + y ¡
generalizando se tiene:
rr~ r
—(u ~ + l)¿¿r —2uxdu = 0 , separando las variables.
v -y 'x , j =C => y - x y =c^Jx + y i * 2 +jV2
^ = 0a, integrando •* ^ — + 2w ---- du * u 2 +l
(c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea
— + i x
f ------- ¿ fa= , ln c J u2 + 1
lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc x
sea y = ux
Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante.
(c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,
Solución
dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(c^l + u 2 -u ) d x + udx + xdu = 0 , agrupando 67
c^l + u 2dx + xdu = O, separando las variables
174)
Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
dx - ^du^ c--4= 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln& * é +u 2
Solución
x c (u +*K+u2 ) =k dedonde y +^Jx2 +y 2 - k x l c x 2 + y 2 = k 2x 2^~c>i -2kyxl~c + y 2 , dedonde ... 173)
1 k/ 1v—(T ----x 1 1+C y =— 2 *
k
Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Dato del problema d x = d 2 , la ecuación de la tangente es:
Solución
L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o)
dy , Á t a O -* ) + 4 7 2 + (i- * ) 2 — = tg ^ = c t g 0 = ----------- 2----------------dx y
ecuación de la normal:
L N : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y \ x o)
J J y = ----------X + ---------*0 de donde 1-y 0 / ( * 0) / ( * » )
parax = 0, dx =—^ - — + y 0 además y ' ( x 0)
d 2 =Jxo +y l
como dx = d2 => ——— + y 0 =J xo +.Vo »generalizando y \ * 0) '
+ y = -j x2 + dy
xdx + ( y- -Jx 2 + y 2 )dy = 0 , es homogénea y dy -( l- x) dx
_ .
r ~5 “
„
7
--p— ■ . ... = dx integrando ^ y + ( l - j t ) ~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = < 4 y 2 +( l - x ) 2 y 68
= 4 cjc
y = ux => dy = u dx + x du , simplificando (1 + w2 - u ^ l +u 2 )dx + x ( u - ^ \ +u 2 )du = 0 69
dx x
U -V l + M2 1 + u 2 -u V l
du= O, integrando y reemplazando
+ W^
u = y— se tiene: x
175)
y =1—/(cx2 —K) 2 c
Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
x 0d 1 = 2d \
=> x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l ) 2 , generalizando v (jc0 )
2 dx „ , 2 2\ x — +xy = 2(x + y ) dy x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u 2)(udx +xdu) = 0 , simplificando Solución dx + ( u - 2 - u 2)(udx +xdu) = 0 , agrupando (u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2)du = 0 , separando la variable dx u-2-u2 * u 2 - 2 u - u3+\
„ .
A
t
,
y x
— + —---------- ----- du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene:
Condición del problema
x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es:
Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0) ecuación de la normal es:
x
ln
'■y = — 77— y (Xfí)
LN : y - y 0 = —
7 7 — ( x - x 0) /(* o )
*o y (*0)
para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo y'(x0)
70
P°r 1° tanto:
71
ECUACIONES ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER DE BERNOULLI
ORDEN:
Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: 176)
y ’+2y = x 2 +2x Solución
La ecuación diferencial de la forma: La solución es: ^ - + P(x)y = Q(x) dx
donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden.
y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c]
. . . ( 1)
donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x
... (2)
luego reemplazando (2) en ( 1) se tiene: Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por:
- í 2dx
y =e J
r
' f 2 dx
[ \ eJ
2
(x +2x)dx + c] , efectuando la integral
- f p(x)dx
y = ce J
y = e~2x[ j e 2x( x 2 + 2x)dx + c]
y = e~2x[——
—- e 2x +—1-c] por lo tanto: 4 -
si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión.
2
2 x 2 + 2x — + ce -2 v V= 4
Ecuación de Bernoulli.
La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma:
^ + p (x )y = Q (x)yn dx
72
{ x 2 + 2 x - \ ) y '- { x + \)y = x - \ Solución
..(2)
donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución.
i-«
177)
/ 2 n , / ( x ¿ + 2 x -l)y '-(x + l)y = x - \
-\ p( x) dx r
y =e J
(p(x)dx
[\eJ
, x+l JC—1 => y '— ---------- = —---------- - la solución es: x + 2x-l x + 2x- 1
Q(x)dx + c]
73
donde P(x) = ----
+ *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene: + 2x-l x 2 + 2x - \
x
- \ - — ^ ± — dx , y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l
x -\ f _ J ----rfX + C]
J
y = e2
y = lnx[fí/(-^ --) + c] => y = lnx(-^— + c) J lnx lnx
x + 2 x-l
iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l)
x ~l
,
y = e mnx)[ j e -‘n(ln *> jr2(31nx U dx + c]
por lo tanto:
..
y = x 3 -f-clnx
“i------- ¿fo+ c]
[\e
x + 2x -1
y = V *2 + 2 * - l [ f
(a2 - x 2)y'+xy - a 2 Solución
J (x2 + 2 x -l)
/ 22-jc ^ » Xy+xy2= a(a
#^ =>. y +*—------ y =
a2_x2
y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ ( X ; = ) + c ], integrando j ^ x 2 + 2x - l como la solución es: .
y = a/ t 2 -4- ? r -1 (— * —- + <") por lo tanto: 4 x 2+ 2x-l
178)
x donde p(x) = — ----- — y a -x2
a2
Q(x) = — ----- —, reemplazando se tiene: a2 - x 2
x ln x y '-y = x 3 (3 ln x - 1) y =e
Solución , x ln x .y '-y = x (3 1 n x -l)
1 x 2(3 1 n x -l) => y --------- v = ----------------x ln x mx
-J -r -i* f ~2 a x [r I1V * *2- ' 2 - - — dx + c] J a -x
Un(a2-x2) r y =e 2
[ \ e 2— - -dx + c] a -x
J
como la solución es: y = e J
1 P(x) = — -— y x ln x
Q(x) =
p(x)dx f
reemplazando se tiene:
[p(x)dx
T
[I e JQ(x)ax + c] donde:
i j
x 3(3 1 n x -l) ln x dx
74
y = e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c]
y = x +c ^ x 2 + 2 x - l
r
dx
_f— - f— x 2( '( :31nx- l ) y =e xlnx [J e AlnA ^— dx + c] Inx
f
y = ^ja2 - x 2 [a2 — -—— — + c] entonces J (a2 - x 2)3/2
y = 4 a 2^ x 2 ( [ d ( ^ L = ) + c) Va - x por lo tanto:
y = x+c^a2- x 2
=>
y = V « 2 - x 2 ( ^ j L - ^ + c) -\la~ - x
180)
f 2
2xy'-y = 3x2 y =e
reemplazando se tiene:
r 2¿r
x+l[ j e x+l (x + l)3dx+c]
Solución y = e 2ÍBix+l)[ j e - mx+l)(x+ l)i dx+c]
^ ,- y = 3x -» 2 => v,------y 1 2xv =— 2x'
2
y = (x+ 1)2[J (x+\)dx+ c] = (x+1)2 como la solución es:
y =e ^
H
(x + 1)^
,
=e
181)
2x[ j e
182)
r dx
2x — dx + c\
y = — ■—
por lo tanto:
1 3x donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene: 2x 2 f dx
t
+c(x + l)2
/ = ---------- L ----xsen>> + 2sen 2y Solución 1 x sen y + 2 sen 2y
dy
1 x sen y + 2 sen 2^
1ln , x ^ — ln x — r— j r r— • y = e 2 [Je 2 xdx + c] => y = ^Jx(—j ^ x d x + c)
y = ----------------------------
y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx
¿/je — = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2v «V úfv
(x + \) d y - [ 2 y + {x + \)*]dx = ti
la solución es:
Solución (x + \)dy ~[2y + (x + \)A]dx - 0 dy
2
dx
Jt + l
n> J L = -----------------------------
dx
x =e
de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen 2 y , reemplazando se tiene: f sen v’rfv f
x=e J
f sen yrfy
[Je J
2 sen 2ydy + c]
V = (jc-hl)3, como la solución es: x = e cos>'[4j e cos>’ sen y c o s y d v + c]
’ = e ~ ^ x)Jx[ \ J P^ dxQ(x)dx + c] x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s
donde P(x) = — — y x+1 76
+ c)
* Q(x)dx + c]
Q(x) = (.v + 1) 3
por lo tanto:
x=ü
\e * * y + c ]
=>
x
= 4 ( l - e o s >■) + « > - cos v
n 2 -- + cí> C0S1' 77
183)
y'-2xy = 2xe*2
* r f X ~ 2 ¿jX x J +l J x 3
y = - 3 — - [ I -------—
n
x (x , + —1 + x 3 +l x2
+ c] = - y —
C)
Solución ex y = —— - + —
por lo tanto: y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq (x)dx + c]
reemplazando se tiene:
- f - 2 xdx r
y-e J
i-2.xdx
[\ei
x +1
q(x) = 2xex
donde p(x) = -2x y JJ.2
185)
2xe dx +c]
X
y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1 Solución
y = exl [^2xdx +c] = e * \ x 2 +c) por lo tanto:
/p(vWr[Je^p(x)d' q(x)dx + c]
y =e 2
donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x
y - ( x 2 +c)ex .
184)
x 2 —2
.
x(x +1)
, ecuación lineal en y, la solución es:
y = e \ p (x)= -^y— y J x(x + 1)
reemplazando se tiene:
, jr3+l -ln-------
y= e
78
r
[i e J
. , * 3+l . ln(-------)
x
y =e
í eos xd x
senx eosx d x + c]
f 2/-1 ^
+1) [ f e r(< " J
?(*) =
y = s e n x - l + céTsenK
1 = 0 —1 + c entonces c = 2, por lo tanto: y = 2e~scnx + s e n x - l
X (x +1)
f 2.v3- l ^
f
[\eJ
y = e~'senA[senx esen v - e senA + c]
dividiendo entre x(x3 + 1) entonces:
para x = 0 , y = l = > y'+ — -r— —y =
- I eos xd x
y =e J
y = e~ *enx [J esenx sen x eos x d x + c]
Solución x (x 3 + l ) / + ( 2x 3 + l)y = --------
.
reemplazando se tiene:
x 3 —2 x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = --------
2 3 x (x + 1)
186)
x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0 Solución
3
* • ^— dx + c] x 2( x 3 +l)
x ln x.y'-(\ + lnx)y+~
(2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l n x entonces se tiene:
, 3
(x - 2) , ~ 2— í----- dx + c] x 2(x3 + l)
1+ lnx (2 + lnx) .. i i y _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es: xl nx ' 2^¡xlnx 79
y = e ^p{x)
_jr reemplazando se tiene:
y
= eln(vln-*,[ - f e J
l+ln.v — d.x
v =e
' ln t
r
[- e
J
x \n x
y
q(x) = -
- f --dx
— 2-J xln x
cuya solación es:
1+ln.r If — — dx 2 + lnx
vln x
c
f - dx
x [\e
x x~dx + c]
'[ J\ífdx+c] r + c] z = e 2lnx[
— j=----- dx + c]
entonces:
=> v 3 = x y +cx2
2Vxlnx
188) [n{xAnx) 2^1x In x
z-e
8xy '- y = -
.dx+c]
1 yl)x + \ Solución
^ = x.ln x[- f —^ ^n X -— dx + c] = x. In x[ f d (—=------ ) + c] J 2 V x x ln x J 4 x\n x
y = x. In x(-jJ--+ c) por lo tanto:
y - Jx + ex ln x
-v/x ln*
187)
o8x y. - y = --- ■■p i=^L_1 entonces — dy i v = ----------y i ^— , ecuación de , ^Bernoulli -------y^Jx + 1 títe 8x %xy\lx + l
multiplicando por y 3 se tiene:
3xy'~2y = — y
y 3— - — v 4 = - * dx 8x ‘ 8xa/x+T
s e a z = y 4 entonces — = 4^ 3 — , reemplazando en la ecuación se tiene: ¿/x ' dx Solución \ dz \ 1 dz 1 1 ., .. — —— — z = ------ 7= = - ~ => —--------z = 7= , ecuación lineal 4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l -
x3 3xy'-2 y = — y•2
,2 x2 => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli 3x
3v
f^
¿/v 2x 2 _2 w. r , , 2 —--------y = — y multiplicidad por y dx 3 x ' 3
cuya solución es:
—lmr
2
sea z = v 3 '
=>
1 dz 2 x L _ JL ^ = í 3 dx 3x 3 80
z-e1
__3 = * 2 dx 3 x ’ 3 — = 3v2 , dx dx
reemplazando se tiene:
dz 2 _ i => — - -- z = x 2, ecuación lineal . dx x
/•
[-\e 2 J
z =e
^ 2* ----- ........+ c] 2x vx + l
ln.r
----- - + c] 2xV x+l
z = V x [ - f — j J ^ j = + c]
J 2V*W* + 1
’= V^(—7=~ + c) =
Vx
f ¿r
2* [ - 1 e J
entonces
=> Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]
J
V*
por lo tanto:v4=4x +\+c^fx 81
189)
y = e x[ j 2 x e x dx+c] entonces y = e x (ex +c)
(Jty + x 2y 3)y '= l Solución
y = e x x + ce
por lo tanto: (xy + x 2y 3)y '= l
=>
(xy + x 2y 3) ~ = \ 191)
xy' = y + x 2 senx
dy 1 dx 23 — = --------—— entonces — = xy + x y dx xy + x y dv
Solución
2
dy x
dy 1 ., => —----- y = x sen x , ecuación lineal dx x
xy = y + x sen x
-------- x y = x 2y 3 multiplicidad por x ->
la solución es: y = e
-2 dx -1 3 -1 v-2 dx ----- yjc = y , sea z = x => — = - x — dy dy dy
r dx
y-e
r dx
x [fe
x xsenxdx +c]
— - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es:
dy
^y
y = e lnx[ j e~lnxx sen x dx + c] = x(- eos x + c)
r
f
, zi
^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l
_zl
¿
=>
¿
por lo tanto: 192)
y = -x eos x + ex
x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)
z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:
Solución
1 = 2- y 2+ ce"T2 — x 2y'+2x3y = y 2(1+2jc2) entonces y'+2xy = y 2 190)
/ - y = 2*e*+x2
multiplicando por y~2 se tiene:
x
- , ecuación de Bemoulli
y~ 2y'+2xy~x
x2
Solución sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando
dx
Como y = e ^/(r)í/r[ | e ^ (v)í/X^(jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe*
Reemplazando se tiene: 82
y =e ^
[Je^
2xev+v dx + c]
dx
+2xz=— -— = > -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es:
x2
dxx2
83
- f - 2 xdx r
[\-2xdx - 2 xdx (l + + 22x~) x 2)
fr
, ------ -4-------d x + c]
[I— -U I pJ j
Z —e J
J
_
z = - y 2 + a 2 +cy
porlotanto:
x 2 + y 2 - a 2 =cy
X
= ^ [-j
194)
dx + c] = e "2[J r f ( ^ - ) + c]
2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc) Solución
1 + —+ ce — y *
por lo tanto:
2
x -y
2
-a
1
*2 2
sen x ./+ y eos x = y 3(jc eos x - sen x) de donde
dy c t g x 3, x e o s * - s e n * .., — + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli dx 2 2 sen*
2
Solución multiplicando por y 3 se tiene: y
2xy —-------- ------x2- y 1- a 1
dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx1__ y 2 +a2, — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x dy 2xv dy 2y 2y
. . multiplicando por x se tiene: y
sea z - x
0
sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2 senx
dx \ 2 v 2 + ¿z2 x —— — x = ------ ----dy 2y 2y
dz dx . \ dz \ y 2+#2 , A A => — = 2x — , reemplazando ——— ——z = ----- ----- de donde dy dy 2 dy 2y 2y
dz —— c tg x.z = -(x c tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx -\-cX%xdx
z-e 1 cuya solución es: dy y
y
1 p ( y ) = ---- y
q(y) =
J « y' * « , ) d y + c ] J
2+ a2 -----a
reemplazando se tiene:
r J v y +a [ - l e y - -------- dy + c] J
2
2
2
-
: = e ln;l'[-1 ——- dv + c] = y ( - y + — + c) J y2 ' ' y 84
entonces
f
f-rtgjr
dx
f J e
(x ctg x —X)dx+ c]
donde _
z-e
y
y
v
y 3 — + c ^ x y 2 —j [cosx_senx dx 2 2 sen x
_2
—2
lnsenjc«-
f
[- \ e
-ln s e n j r /
.
n
(x c tg x -l)a x + c]
r fx c o sx -se n x , = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces: J sen x XX
= sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------hc) sen x sen x
por lo tanto:
l — = x + c sen x
85
1 •*+ —
/t
y“V + ^ — —
JC + *+1
Solución
-
3
dz dx
—x = - +—x 2, ecuación de Bernoulli 3
multiplicando por x
2
. se tiene:
dz dx
2 <^X 1 2 V+1 .v ^ " 3 * = —
—
*
2
dx
2x + \ 2 ( jc 2 + j c + 1)
l-x2 3/ 2 ( x 2 + j c + 1)
2x +l x 2 -1 ^ = — i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es: 2(x2 +x + l) (x2 +x + l)3/2 r
2x+\
c
2x+\
—lníjc-+jc+l) f z —e * [\e
Z = 4 x 2 + JC+ 1(----- ----- + C) = ----j-.. * +Ca/x2 + JC+ 1 jc + jc+ 1 V*2 +x + l
x 3 = - y - 2 +cey
_
( x2 + x + d 3/2 2
z = ey[je y(y + l)dy +c] => x 3 =e-'[~e v(y + l ) - e y +c]
X+ 2
(x2 - l) —i----------ttv dx + c]
z ^ - J x 2 + jc + l [ f —— ----^-— dx + c] = ^lx2^ x +l [ [ - d (———-----) + c] J (x2 +* + l)3/2 J JC2 +JC+ 1
z = e ^ dy[je^ dy(y + l)dy + c]
■
I„C*2+.v+1)
J
de d o n d e----- z = y +1, ecuación lineal cuya solución es: dy
por lo tanto:
(* 2 - D ^ +c] (x2 + * + i )3/2
J
dz . 2 dx . , 1 dz 1 V+ l => — = 3x — reemplazando - - - z = —— tfy dy 3 dv 3 3
—d)
— = - y 2y V reemplazando en (1)
z.
sea z = x
3/2
(JC + * + l)3 2
sea z = y 1 =>
3x2 dx x3+y + l , , , y'=----------- => — = -------— de donde x3 + y +1 dy 3x
dy
y~ l = —
2\
y
-i
x
n
= — p7+c^x +jc + 1 ^ x 2 +x +l
d -* V
^ je2 H-a:-I-1 (x2 +Jf + l)3/2
m
3 y ^ ^ L --L ^ - f> X(x~ —ci^)
y2
x —a~
Solución Solución
Multiplicando por y 2 se tiene:
87
,
2
Multiplicando por y ¿ se tiene:
.
x2 +a2
3y y +
1
^
>' “
*(3jc2 - g 2) ^2 _ a 2
——ln(l-f-Ar2 >
z=e 2
M e2
iln ( l+ ^ 2)~ 2
r
---- 7¿* +c]
J
sea
ffe ,
■
z = y 3 => —
djc
■ y2 +fl2
=
al reemplazar se tiene:
3 y 2 y \
1
=
r
í *(**-*) [ f e j
^
jc2
J
ecuación lineal cuya solución es:
_r_£±5l_rf, , f x? fl ~
i
-^ - d x +c]
A
JC - f l
1+
i
( - —Vl + x 2 + —ln[x + Vl + x 2 ] + c
fjc - ±2 < *+ » V Solución
ln_ ^ f f ln¿±íl) ^3,2- fl2) z=e ¿ - '[ W
/
J
'dx +c]
x “- a
z = - ^ [ \ O x 2 - a 2)dx +c) = ^
Multiplicando por y
x -a 2
y -x +
sea
_ fl2
2
2
y
1
1
+
y " v'+ —— = — (jc+1)
se tiene:
1+
jc
= - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , 2
¿
jc
1+
jc
2
(l + x 2)y' = xy + x 2y 2 r
1+JC2
_
yy2 umultiplicando iu n ip u v a u u u
por jy
p v i
¿x dx
fc
dx
z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c]
Solución
2
—2 , x— 1 X se itiene: ,v u v . yy .y / - ^ r ~2 i Jy
ow
1+x2
1 . y 2
1 *
z = e ,n(,+*)[ f e - ' n(,+x>± (l + x ) 3dx + c]
2
sea z = y - ' =* — = - y _2y' entonces dx - [ - 1 —dx
,
f-A r *
z = e ¡ ,+x2 [ f e 1+jr j
88
2
z = y “1 => — = - y ”2y ', reemplazando en la ecuación: dx
—
y __ £ _— yy —=———
jc
?
CX
¿/jc
198)
_2
- T [xi - a 2x + c]
x2- a 2 3 por lo tanto:
jc 2
.-■■■■■■.[- dx + c] por lo tanto:
4 i+ 7
-_
1+
v;2
(------- T)dx + c] 1 + JC
---- ^ z = ^ , ecuación lineal. d* l+ x l+ x
z = (1 + x)[ J
+ ^ dx + c] por lo tanto:
1 = — —— + + c(l + x) — V
O
ecuación lineal cuya solución
e
200)
(x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0
z=e
-J-
f
J -
v fj e y (21n y + \)dy + c]
entonces:
Solución ,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = —[J (2y ln y + y)dy + c] xy — + x 2 + y 2 +l = 0 =» — + — x = dy dy y
x 1, ecuación de Bernoulli y Q
por lo tanto:
x = y ln y + —
dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + —x = ----- ---dy y y 202) sea
x(x - l)y ’+y = x 2 (2x - 1)
z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación dy dy
Solución 1
1 dz+__Z==_Z-----1 y2 + 1 ^ ----2 ¿y y y
~
(
=e
dx
r
dx
4*4) [ í j ^ ) x < ^ I ± ) d x + c] J x-l
¿/y+ c]
y =e + c]
X ~ X
— 1J
r
y
z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + J v v 4 2
(2j c - 1)
^+ --ñ^=---r x’ ecuaci°nünealcuyasolución es:
dz 4— 2 z = _2(i------ ), ecuación a vlineal i cuya solucion i - ^es: — dy y . y
1 / x X , JC— 1 / 2 x ~—l )dx w + c] xjc-T 1 r[ fj e Tx x(— J x-l
y = - ^ — [ \ ( 2 x - l ) d x + c] => X - l
J
por lo tanto:
/ =
•*W)
y ' - y tg x = sec;c,
y|^=o= 0
2 y ln y + y- j c Solución
¿/;t _ 2x ln y + y - x dy
90
= - ^ — ( x 2 - x + c) xx -- ll
, CX y = x.22 +x-l
por lo tanto:
201)
y
x
— + L x = 2 \n y + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ dy y
Solución y =e
- f - t g xdx f
f -tg jxdx
\\e J
sec x d x + c]
91
y = e Ulc:>s;c[Je lnsec* secxd x + c] entonces:
/ + 2 sen —^os —+ 2x co s2 — = 0
Csec x y = L . x x ( ------ dx + c) = secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0
2 y y sec “ — y1’+2 tg —+ 2x = 0 2 2
2
l sec x
por lo tanto: 204)
y = sec x (x + 0) =>
sea
X
y =eos X
2
2
entonces:
z = 2 tg — => — = sec2 —.y', reemplazando en la ecuación: 2 dx 2
dz — + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx
y' eos y + sen y = x + 1 Solución
z-e Sea
z = sen y =>
[ - 2 ^ e^‘lXx d x + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c]
— = eos y.y' , reemplazando en la ecuación: dx 2 tg 2' =
^+
* entonces
ig~- = ke x - x + l
+ z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es: dx z - e ^ [ je ^
(x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c]
206)
/ - - ^ = é>*(l + x)'1 x+l Solución
-x
por lo tanto:
sen y = x + ce'
- f — —<¿r /• f ——dx
y =e ' 205)
x+l [I e x+l e x (l + x ) ndx + c]
y'+ sen y + x eos y + x = 0 y = e -ninu+De X(i + Jc)»í¿c + c] entonces:
Solución Sea
y y sen y = 2 sen —eos — ,
2
2
2 y 2 y eos y = eos — - sen —
2
y y i y 2 y ^ y '+2 sen —eos —+ x e o s ----xsen —+ x = 0 2
2
2
>- = (x + l)"(c-t +c)
2
2
’07)
|V (ctt)¿/a = ny/(x) Jo Solución
y'+2 se n —eos —+ x eos 2 —- x ( l - e o s 2 —) + x = 0 , simplificando
2
2
2
2
93 92
En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas. J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando
1 ex
1
— \\ir{z)dz = n\¡f{x) x Jo como
= n\¡/(x), derivando:
fx
V(x)
=> — •lf(z)dz + X Jo x
f y/(z)da= n xyf'(x) Jo
(1- « ) ¥ { x ) L - - = n ¥ {x)
209)
y'-2 x y = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x Solución
,/ x
-f-2xdx f f-2xdt
n y /(x )
v =e J
[I e J
X2
, entonces:
y - e x [Jd(d~ x senx) + c] => y = e x (e x senx + c)
y /'(x )_ \-n —
.
210)
i-n
y'+xsen2y = xe
entonces: y/(x) = c.x
- x 2
x2
x —>qo => c = 0 ,
ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c n
ln y/(x) = ln c.x "
( e o s x -2 x s e n x )d x + c]
y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:
entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x)
y = 3 sen x + ce integrando
->oo
como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando por lo tanto:
y = sen x
i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo
n
Solución
2
,
eos y
1
senV *+ cosV *
.,
..
y ----- t= y = ------------- 7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: 2v *
Solución 2
y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x
2V*
y =_ee ~^TJ7{
f , l^ ~ Vsen^x+cos^x £±cow « 1
sea z = tg v
=>
i4 x
— = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz = dy “X
J z = e ~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces
2Vjc
tg y = e~x [J x d x + c]
y = e^[J y por lo tanto:
xe~x tg y = —- — + ce
eos~Jx+c)
-x1
y = eos a/x + c e ^
como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando
x -H -a o = > c = 0
por lo tanto
>■= eos Vx 95
211)
ln 2 = 2sen x (eos x -1 ) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo
por lo tanto:
y = -~n *
Solución y = e - \ - la2< lx[j J - ln2dx2 senx( c o s x - l ) l n 2 dx+c]
, sen 2 x y sen x - y eosx -------- -— , y —> 0 cuando x -> oo x Solución
y = e xln2 [ j e - xla22 seBX(eos x -1 ) ln 2 dx + 1]
y = e xla2[ j d (e ~x]n2 2 ieax ) + c]
. * sen x y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es: x
y = e xln2(e~xln22 senx + c) => y = 2 senx +ce xln2
y =e J
-j-ctgxdx
como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0
.. _
ln(senx)r
y - e por lo tanto: 212)
L“ J e J
>' = 2sen'
2 x 2y '-x y = 2x cosx - 3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo Solución
f j-ctgxdx [\e} J
se n x v , (-r~)dx + c] x¿
f lnsenjr^COSX
(— Y~) * + x
entonces:
senx y„ = senx[-J —f dx c] i => y = — — + csenx
como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x
1 2 x c o s x -3 se n x y ------y = ------------ --------2x 2x
por lo tanto:
- f f f t 2 x c o s x -3 se n x , y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]
(1 -f x 2) ln(l + x 2 ) y '- 2 xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~
lnjr
—
v = e 2 [\e J
y =
senx
/— r sen x y =Jx []d (-jjY )+ c]
/—^sen x sen x r~ => y = 'Jx(—^jY + c)= - +cV*
dy 2x //v ,1 . 2x, * 27^ dx (l+xz)ln(l+x2) f
1 2xarctfíc — 2“ ~ ---------r » ecuación lineal, la solución es: 1+x2 (1+x )ln(l+x ) f
-2 xd x
-2 a ¿v
v = í? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0 96
cuando x->-oo
Solución
lnx
r —t - 2 x e o s x -3 s e n x 2 (--------------5--------)dx + c] 2x
r=> c = 0
J
1
2x.arctgx
1+ x 2
(l + x 2)ln(l + x 2)
= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g
j (l + x 2)ln(l + x - )
215)
216)
y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-»+qo
y x + c,j
(1 + x )ln(l + x )
Solución - f - ln .v
f
í - l nj r ár
y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^ _) + c] •> ln(l + x )
y =e J
n, r arctgx , y = ln(l + x )[------^ + ^1 ln(l + x )
y = e xlDX- x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+ c]
y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c
y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~ 2xd x +c]
por lo tanto:
y - X xe~x[ j d ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)
y = arctg x
y' - e xy = - y s e n —-e * eos—, y —>2, cuando x —>-oo x * x
= ^ f e dx[J e ^
(l + 21nx)x
dx + c]
y - x ~ x +cxxe~x para y-> 0 , cuando x->oo => c = 0 por lo tanto:
Solución
[-1 e J
y - x~x
sen —-e * eos —)dx + c]
y = e € [[e~e (-^-sen —-e * eos —)dx + c]
x2
*
x
y = k e\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = e e [ e e c o s ^ + e]
y = eos —+ ce 6 cuando y ->2, x -> -oo x 1 ^ - eos — c
_ _________ £
=>
c
= 2 - 1 =>
y=e
98
C=
1 , por lo tanto:
1 -heos — x
99
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR
Primer Caso.-
Si u es una función solo de x.
in t e g r a n t e ! r: f Entonces: La ecuación diferencial de la forma: ... (1)
M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0
Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y)
^u dM dN du — = 0 => u(------------ ) = N — dy dy dx dx
du i M — - —( dx N y
1 dM dN J
x
u
N
dy
) de donde — = — (—----- —
dx
=> u = e ¡ f {x)dx
Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces:
la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición. dM dy
du
\ ln u = J f ( x ) d x
du du Mdx + Ndy = du = — dx + — dy ox oy
N
dN dx
... (2)
dU . — =0 ox du _
. ,d M dN ^ t r du luego m(—-------— ) = - M — dy dx dv u
dM
dN
du dedonde
v
1 dM = _¥
dN ^
,
J
(1 7 “ &"Mv = g (v )^ ’ mtegrand0
La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien. ln u = \ g ( y ) d y í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c Jx0 Jy0
=» u = J sWdy
... (3)
Integrar las ecuaciones. En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:
217)
x ( 2 x 2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2 )y'= 0
Solución
... (4)
du = u Mdx + u Ndy
Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se tiene:
dM ¡M = x (2x 2 + y 2) [N = y ( x 2 + 2 y 2)
duM d ------ = — uN dy dx
Ar A . . K1duA du.dM de donde N - — M — = (—------- —)u ox oy oy ox
consideremos los siguiente casos: 100
dN.
dy dN dx
Luego
dM _ dN dy
dx
= 2 xy = 2 xy
la ecuación es exacta 101
»
3 f(x ,y )
tal que
d f(x ,y ) v. • = M y Sx
f ( x , y ) —-V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y
d f(x ,y ) 5v
df(x,y) á 2 , ,r — ---- = 6x y + g (y) = N
dy d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x. cfcc
6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 + c 4
2
f ( x , y ) = j x ( 2 x 2 + y 2 )dx + g(y) = ^ + ~
- x 2y + g ' (y) = N entonces
2
- + g (v ) , derivando
x 2>y + g'(v ) —y( x +
)
5v
g ’(^) = 2 ^ 3 => g(y) =
f ( x , y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto:
2I9)
< - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - (' V* + / x y 4* + y y y ' Solución
+ c , reemplazando en la función M = ■ .—
f ( x , y ) = — + ^—^ 2 2
+ — + c porlotanto: 2
/. x * + 3 x 2y 2 + y 4 =k
x* + x ~ y 2 + y
x
1 1 = + —+ — ^
dM dy
y _____ i_i __ X ■yfx2 T y 2 y y 1
xv ( x 2 + y 2)3/2
y2
xy
(3 x 2 + 6x y 2 )d x +( 6x 2y + 4;y3 )dy = 0
218)
T dM Luego
Solución d
M _ \ m = 3 x 2 + 6xy 2
dy
Entonces 3/(x,_y)
= 12xy
[N = 6x 2y + 4 y ì
à f ( x ,y ) _ x 3x Vx2 + y 2
8N 10 — = 12xy . dx Luego = la ecuación es exacta d f(x ,v ) , , Entonces dy3 / ( x dx , v) tal que — ^ - — = M y
dN 1 —— = —- la ecuación es exacta <7y dx
f { x ,y ) d f( x ,y ) =N —
tal que df{X' y ) = M ox 1
1
*
.V
y QBgÉ. =n dy
de donde
integrando respecto a x.
f( i~—-----------_ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ + y 2 +lnxH ---------- h g(y), derivando J r + y2 v¿ *x > y y J Vx2
3 /(x ,y ) _
y
= — + g '(y) = N
y) _ 2x 1 + 6x y 2 integrando respecto a x. dx . 102
103
r +«'CK) = ^jx2 + y 2
g' (y)
= i.
y =>
J7+
1 X r + -----7 y y
¥ (x ,y ) 32 3y,, „ — ------ = x sec y + - y - + g ( y ) = JV oy x 3
g(y) = ln y + c', reemplazando en la función:
Ar
3
2
2
x 3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4 y 3 + -=y
f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + l n x + — + l n y + c por lo tanto
g ’(y) = 4 y 3 entonces
entonces
g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función:
/ ( x , y ) = x 3 tg y + - y + y 4 + c por lo tanto: x
J x 2 + y 2 +ln x y + — = k v ' y
4
3
V
3
,
x tg y + y + ~ = k . x
220)
(3x2 tg y - ^ Y - ) d x + (x 2 sec2 y + 4 y 3 + ~ - ) d v = 0 221)
(2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^ x 2y xy2
Solución Solución dM ~2 2 6y -----= 3x sec y ------ rdy x
2/ — M = 3x 2 tg y ----x N = x 3 sec2 y + 4 y 3 h
1 3
dN ,2 2 6.v2 ---- = 3x sec y ------ y dx x
M = 2x +
N =-
x 2 + v2
rW
x 2y
dy
y
x-
d N ____I_
x2+ y 2
ax "
A^2 Lueg0
1 1 ■—+ —r
/
+ x2
la ecuación es exacta, entonces: dy
dx
Luego
dM dN t -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx
3 / 0 , y)
Qf (*> y ) _ 3x2 tg y a* x3
integrando con respecto a x.
f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y ) = x 3 t g y + ^ y + g (y ), derivando
tal que—- = M y — ■ ox
=
A/- de donde
d /(x ,y ) x2+ y2 . —------— = 2x + — -integrando respecto a x se tiene: S* x y /•
f(x,y)=
^
|
y ^
y
(2x+ ---- —— )dx+g(y) = x 2 + ----- —+ g (y ), derivando y“ x x y 105
dy X
y
eos 2x
x
1
sen 2 x
— — + g W = y -------— 2y 2 y2 X
1
•—r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando: ,, . sen2 * eos2 x sen2 x v2 * j '2 * g (y) = y -------- ^-------------- 5 - + — y2 2y2 2y2 f ( x , y ) = x 2 + —- —+ c por lo tanto: .V x
8 '(.v) = y ------ r 2 v
2 * V x + ------- --= k y x
/ ( x , v )= -
sen 2x sen2 x x , . (—------ + x)dx + (y — —x— )dy = 0
222)
y
sen 2x M = -------- + x sen2 x
dM dy
sen 2x
dN _ dx
2 sen x. eos x
y
tal que
dx
y
2
106
^ dy
^
2y+
y
=M y
x 2 + y2 1 i---- 1----- = fc 2 2y
sen2 x x 2 + y 2 . , --------+ ------ =---= k
(■•-— + 2 x y - —)dx + (-Jl + x 2 + x 2 - \ n x ) d y = 0 Vl + * 2 Solución
dv
^ - = N de donde
cos2x x . + x)ífr + g(.y) = - ---- — + _ + g^y} ^ derivando 2y 2
+ g <( y ) = N
2y 2
sen2 jc
y 2
d f (x, y) _ sen 2x + x integrando respecto a x 5x sen 2x
1
sen2x
dM dN -----= ----- la ecuación es exacta. dy dx
Entonces 3 / ( x , y)
ld
+ -^- + c , reemplazando en la función 2y
^ + i L + X + > - + t;-= --COS X+ Sen~ JC+ f _ ± Z l + _ L = ^ 2_y 2 2>> 2 2y 2 2y
por lo tanto:
1
223) Luego
2
y
Solución
N = v-
=> g(y ) =
SM M = - A = + 2 xy - y Vi + x + x 2 + x 2 -ln x
Luego
3 /(x ,
x
+ 2x^/l + x 2 x , i
^ av —
^
= - 7=
+ 2 x —
“vi + x 2
x
dM dN , ——= —— la ecuación es exacta, entonces : dy ñr
tal que — ■*»^ = Af y ese
dy
= TV de donde 107
ñ —— X_V----1- 2 x y —— integrando respecto a x se tiene ' *
M = sen y + y sen x + — x
Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - l n x + g '(y ) = N
Luego
dy
-Jl+~x* + x 2 - l n x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - l n x g '(y ) = 0
dx
= cosy + senx
dM dN , —— = —— la ecuación es exacta, entonces : dy
3 / ( x , y)
¿k
tal que d^ x ' y) = m dx
y S ÍJ^Il =N dv
de donde
=> g(y) = c reemplazando en la función: d f( x ,y ) OX
/ ( x , y) = yV1+ x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto:
f ( x>y) -
y j l + x 2 + x 2v - y \ n x = k xdx+ydy + xdy - vdx _ ■p - + y 2 +
dN_
N = x eos y - eos x + — 7
f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g ( y ) , derivando
eos y + sen x
dy
d f( x ,y ) dy
*2
1 . = sen y + y sen x + — integrando respecto a x. X
J(seny+ y s enx+
+
g(y) = x seny —y cosx+ lnx+ g(y) derivando
= x c o s y - c o s x + g ’(y) = N
Solución x c o s y - c o s x + g '(y ) = x c o s y - c o s x + — y
agnlpando +.V2
* g' ( y) = —
d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término v ' x |d ( ^ / x 2 + y 2") + Jrf(—) = ¿* entonces:
Solución
g(y) = l n y + c reemplazando en la función:
f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: x s e n y - y c o s x + ln(xy) = £
-sjx 2 + y 2 + ~ = c
(sen v + y se n x + —)dx + (xcos y - c o s x + —)dy = 0 r x y
=>
226 )
y + senxcos xv . , x ------------ -ax + (------------- ----- + seny)dy = 0 eos2 xy eos xy Solución
109
M =
y + sen x. eos xy
-----= sec2 xy + 2 xy sec2 xy. tg xy dy
eos xy N =
SN 2 o 2 t — = sec xv + 2xy sec xy. tg xy dx
+ sen v
2
eos xy
. Luego
dM dN , ., . como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta dy dx entonces 3 f ( x , y )
tal que
d f (x, y)
y + sen x. eos xy
dx
eos2 xy
dx
y ■
dy
- N de donde
derivando
¥ { x , y ) = x sec xy + g '(y) = N dy
9
d f(x,y) dy
y + sen x eos 2 xy . integrando respecto a x se tiene: eos xy
f ( x ,y ) = J ( j s e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -c o s x + g(y) entonces:
integrando
/ ( x ,y ) = J(y se c2 xy + senx)dx + g(y) = tg x y -c o s x + g ( y )
d f (X y) dx
dM dN ——= —- la ecuación diferencial es exacta, entonces: dy dx
= xsec xy + g '(y )= N
X
x sec xy + g' (y) = ---- -— + sen y eos“ xy g ,( j ) = sen>; => g(y) = - c o s y + c reemplazando en la función
x sec2 xy + g ’(>>) = ----- :— + sen y eos2 xy g ’(y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función:
f ( x , y) = tg x y -c o s x -c o s .y + c , por lo tanto: tg xy - eos x - eos y = k
f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto: [n eos(nx + m y ) - m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O tg*y - c o s x - c o s y = k Solución 228) > X
^ d x + 2-— y\ y
dy = 0 ,
M = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny)
[dM dy
N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny)
dN
_Ht=1=1
Solución
dx 110
■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny) =-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny)
como dy
= — - la ecuación es exacta, entonces: dx
3 f(x,y) tal que dí ^ x ,y ) = M y cbc
d(arcsem/x2 + y 2 ) + d(aresen—) + e ' vd (—) = 0 , integrando término a término y y
- = JV de donde
d(arcsen J x 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = c J
— n cos(nx + my) - w sen(mx+ny)
y
J
y
integrando respecto a x se i ene
dx
aresen J x 2 + y 2 + aresen —+ e Jf'/
y
f ( x , y) = J[n cos( mx + m y ) - m sen (ms + ny )]dx + g(y) 231) = sen (nx + my) + eos (mx + ny) + g (y ) , derivando respecto a y se tiene
(—sen-------eos —+1 )dv + ( - eos - -------- sen —+ -^r-)dv = 0 y y x2 X X X v2 y y2 ’
Solución
fo .Z l = cos(nx + my) - n sen (mx + ny) + g' (y) = N dy m eos (nx + my) - n sen (mx + ny) + g'(y) = m eos (nx + ny) - n sen (mx + wy)
1 x v y . =—sen----- “ Cos—+1 y y x2 x
g'(j;) = 0 =>
1„ y X- sen—+ y —1 — cos-----X X y2 y y2
g(y) = c
reemplazando en la función
m 1 X 1 y y y ----= — - s e n eos—h——sen— dy x x x y x2 y y dN_ 1 X x x 1 y y y _ sen — eos------ - eos^ + -~ sen^ dx~" y v y x x v 3 jt v
y ) = sen (nx + my) + eos (mx + «y) + c , por lo tanto: sen (nx + wy) + eos (mx + wy) = k
230)
xdx + ydv +( 1 + ^ l L ) . ( y d x - xdy) = 0 ^í(x2~+v2 -v" ^í ^?~ +y2)) ^( \l - x 2 - y 22)) y jJ}y 2 - x 2
5M fflV como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx
3 f(x,y) tal que
Solución dx
xdx + ydy J ( x 2 + y 2 ) ( l - x 2 - y 2)
+ (— __ + — r-).(ydx- - xdy ) = 0 y j v 2-x
d ( ^ x 2+ y 2 ) [ y d x -x d y -Ji—(x 2 + y 2) 112
y^Jy —*
^ _x/v (y d x -x d y ) v2
=M y
dx
d^ * ' y) = N de donde dy
,z.x
1 X y —sen — y y x2 1 X y í—sen—-- - ~ c y y X2
y
d f ( x ,y ) x x 1 y ---------~ — 2 sen ~ + ~ cos—+ g (y) = N dy y
y
x
x
113
x x 1 y . 1 y x x 1 ---- -s e n —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5v2 V x x x x v .V J'
g(y) = + c -
g' (y) = - \ y
g' (y) = y + a 2y
. x 4 x 2y 2 a 2x 2 v 4 a 2y 2 f ( x , y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c 4 2 2 4 2
reemplazando en la función
x 4 + y 4 + 2x 2y 2 - 2 a 2x 2 + l a 2y 2 - k
por lo tanto:
x y 1 f(x , y) - - eos —+ sen —+ x ---- + c , por lo tanto: y x y 1 V-------- x sen---- eos —+ x —- = k
y4 a 2v2 => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función
233)
( x 2 + y 2 + \ ) d x - 2 x y d y = ti,
n = lución
232)
y ( x 2 + y 2 + a 2 )d y + x(x 2 + y 2 - a 2)dx = 0
dM
Solución
N = -2xy
dM = 2 xy dy
\M = x ( x 2 + y 2 - a 2)
, Luego
dN = 2 xv dx
\ N = y ( x 2 + y 2 + a 2)
Luego
= 2y dy dN = -2 v dx
M - x 2 + y 2 +1
dM dN . .. , -----= — la ecuación es exacta, entonces: dv dx
dM dN , ——* —— la ecuación no es exacta dy dx
Sea
=
N y dy
dx
=
- 2 xy
=
x
2dx
3 f(x,y) tal que
dx
=M y
— = N de donde
df(x,y) = x ( x 2 + y 2 - a 2 ) integrando respecto a x se tiene: dx f x A x 2 v 2 a 2x 2 f ( x , y ) = j x ( x 2 + y 2 - a 2)dx+ g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando
df(x,.v) = x 2y + g '(y) = N dy 114
entonces:
x ¿y + g '(y ) = y ( x 2 + y 2 + a 2)
u=e
*
(x + y 2 +l)dx— —dx —0 ósea M =\ + ~ - + -^— entonces: * x2 x2
dM
2y
dy
x2
dM dN , como—— = —— la ecuación es exacta, entonces: oy dx 115
3 f(x,y) tal que í O í l Z i = M de donde dx
^ ^ - -= l +^ dx x
f ( x , y ) = x - —----- - + g ( v ) derivando x x
dy
-? ^ L + g '(y ) = x
+-y x
M = -y -V x2 ’ N =y - x
integrando
- - = - — + g ' ( v) = N entonces: x
=>
dM = -1 dy dN = -1 dx
dM dN como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces dv dx
=> g '(y ) = o => g(y) = c reemplazando en la función x
3 f(x,y) tal que
y2 1 .f(x, y ) = x - ~ --------+ c , por lo tanto: x x
d f ( x ,y )
1
dx
x2
dx
-
m
y
= N de donde
dv
■y , integrando respecto a x se tiene:
y 2 - x 2 +1 = kx 234)
f ( x , y) = - ~ - xy + g ( y ), derivando x
( \ - x 2y)dx+x ( y - x ) d y - 0 , n =
Solución
^
= - x + g' (y) = W
g\(y) = y => g(.V )=-~- + c reemplazando en la función
= -* 2
\ M = \ - x ly
dy
U
dN . 2 — = 2.W-3.V dx
= x 2( y - x )
-*+£'00 = y - x
dv
1 v /( x ,y ) = ---- -xy + -------- he , por lo tanto: x 2 xy2 - 2 x 2y - 2 - k x
dM dM , como -—- * ----- la ecuación no es exacta. dy dx 235) _ n . 1 .dM dN Sea f ( x ) = — (— " — ) = 2 N dy dx x '(y -x ) ... ,
2
f(x) =—
¡f(x)dx
=> y = e J
X
-¡j- (1 - X 2y)dx + (y - x)dy = 0
1
Solución
x (y-x)
= — , multiplicando a la ecuación diferencial X
(3x2y + y 3)dx + (x3 +3xy2)dy = 0
dM _ 2 2 -----= 3x +3v dy ¿w = 3x2 +3 v 2
dt
117
116
u = y/(x 2 + y 2) como ® L = P1 L la ecuación es exacta, entonces dy dx
=> u = \|/(z) => lnu = ln\|/(z)
31nw 3 ln u dz _ 31nw —— =—— = 2 x ------dx dz dx dz
w-
31nwdlnw dz . Slnw r — = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: dy dz dy dz d f(x ,y ) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: dx f ( x , y ) = x 3y + x y 3 +g(y)
x 3 + 3y
2x
derivando
^
dM dN xrd ln u d ln u ----------— = N —------ M ------dy dx dx dy
= x 3 +3xy- + g '(y) = N
+ g ' ( y ) = x.33 +, 31..2 y zx entonces g '(y) = 0 => g ( y ) - c reemplazando
dz
f ( x ,y ) = x 3y + xy3 +c
- 3 x = (2x 3 + 2 x y - 2 x y + 2 x y 2) /. x*y + xy3 = k
por lo tanto: 236)
dz
xdx + y d y + x(xd y- ydx) = 0 ,
3
, 2,
--.(X 2
u -\j/(x2 +y )
2x3(lnw) dz
+
d(\nu) dz d(lnu) dz
=>
3
-i—
-z 2
zn \ 3<*z t 3, 1 i d(lnu) = —— => lnw = - —ln z entonces u - — r r r - => u = 2z 2 z 3/2 ( j ’ + j ,*)*'2
Solución A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente:
(x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante: (x - yx)dx + ( x 2 + y)dy = 0 m M *=.x-yx
dy
U =x 2+y
dN dx
como
entonces: TI (
-= - x
j/
x 2 -xy ivv/T o r * “ 1
g(~7=
±,-£L la ecuación no es exacta. dy ' dx
237)
v
+
„
x 2 +y J ^ = ®* poniendo bajo diferencial ^----- TTrT (x ¿ + y ) .
,
= ) = () integrando —
y -1
f 2
2
^
(x 2 + y ) d x - x d y = 0, n =
Solución 2
Sea z = * + y 118
2
=>
dz Sx
->
dz _ ? v ’ > dy 119
dM _ \M = x 2 + y
dy
\N = - x
8N_ = . dx
.. /(* )
238)
1 m
dN 1 2 = — (— — - r - ) = — ( l - ( - l ) ) dy dx x x
N
{x + y 2 )d x -2 xy d y = 0 , ji =
Solución dM „ ^ r = 2 -v
\M = x + y 2 -
[TV = -2 xy ,a¡T
u~-e
- e
x - l =k
_ i
dM dN , -----* — la ecuación no es exacta dy dx
como
sea
/ ( x , y ) = je- —+ c , por lo tanto:
x
2 x¿
=>
W=' T x
V
1
( x 2 + y ) d x - x d y = 0 => (1+—\ ) d x — dy = 0 X
dM
1
dy
oc2
X
*
dM dN , como —— * —— la ecuación no es exacta dy dx , 1 ,dM d N , 1 2 sea / ( * ) = — ( - ---- — ) = - — 2 ; + 2 j ) = N dy dx 2 xy x f f(*)d* Í~ T u =eJ =e x =e
éw =J_ Cbr " x 2 (x + y )d* - 2xydy = 0
■y (* + y 2 >d x - — dy = 0 entonces
como= —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx U 3 f(x,y) tal que
d /(* ..y )
dx
dy 120
. y
x2
*
= M y d^ X' V-- = N de donde dy
dx
— = - - + g '( y ) = N entonces: x
como
x
+ g'O 0 = - — => áf'OO = 0 => g(y) x
x2
_2Z
f ( x , y ) = x - — + g ( y ) , derivando
x
d M _ _ 2 y_ dy x2 dN _ 2 y dx -2 x 2
U¿
dM dN , —— = —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx
3 f(x,y) tal que
dx
=M y
dy
= N de donde
121
df(x,y) dx
1 y = —+ x x
integrando respecto a x se tiene: j í — (2y ( x 2 +1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0 x* +1 x '+ l
f i y2 v2 f ( x , y ) = ( - + -^r)dx + g ( y ) = In x - — + g(y) denvando J x x1 x
dy
(2y-\— -— )dx+ 2 xdy = 0 entonces: x 2 +1 dM
x M = 2y+ x2+l
y f ( x , y ) = l n x - - — + c , por lo tanto:
239)
x ln x -y
i
dN dx
N = 2x
— +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función x x
=
dy =
2 2
dM dN , como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx
=kx
(2x2y + 2y+5)dx + (2x 3 +2x)dy = 0 , n = cp(x) ctr
ay
Solución
\M = 2 x 2y + 2 y + 5 \ n = 2x 3 +2x
/ ( x , y ) = 2 yx + 5 arctg x + g(y )
¥ (x ,y )
dM dN -----* — no es exacta; entonces dy dx
corno
-4 x¿ ri \ ^ .dM dN 1 2 oz-2 sea / ( x ) = — (—------ — ) = — T-------(2x + 2 - 6 x - 2 ) = N dy dx 2 x 2 +2x 2x3 +2x -
u = e ^ ()
dy
= 2x + g '(y) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=»
= 0 => g(y) = c
/ ( x , y ) = 2 x y + 5 a rc tg x + c , por lo tanto:
- 2x x
derivando
2 +1
2xy + 5 arctg x - k
r -2xdx
= e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — x 2+l
(2 x y + 2 y + 5)dx + (2x3 + 2 x)dy = 0 entonces 122
d f( x,y) 5 . ---------- = 2_v + —----- integrando con respecto a x se tiene: dx x 2 +1
dM = 2x +2 dy dN_ = 6x 2 + 2 dx
240)
(x 4 ln x - 2 x y 3)
m
\m
~
x a
-----= -6 jcv dy
l n x - 2x y 3
d/ ( x, y)
3y 2
— r — =~ + g ( y ) = N -y
dN 2 — = 6xy dx
[jv = 3 * y como
2
3V2
í v2
X
X
entonces: - ± - + g ' ( y ) = J L .
X
=>
g(y) = c
f ( x , y ) = x \ n x - x + ^ —+ c , por lo tanto:
dM dN -----* — la ecuación no es exacta. dy dx
jc3(ln jc - l) + y 3 = k x 2 1 .dM SN. sea f ( x ) = — (-—— — N dy dx
1
,
= e u=
j/M dx
f--d*
— = Oe~
X'
2 2 12xy (-6xy - t o y )= = -——
, .
x
x
3x v
4 4 = — = > /(*)= — 3x2v x x
241)
(*+senx+seny)
— =e
4lnJr entonces
w = —r
factor de integración.
(x 4 In x - 2 xy^)dx + 3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante
-7 -(x 4 \ n x - 2 x y i )dx + ^ — dy = 0 =>
M = jr+sen x + se n y N = cosy
(ln x -- ^ -)< ic + ^ - a f v = 0 como
M = In x jV =
2 /
3 /
dM
6y¿
3y AV
x3 6y2
5«
x3
dx
dx
I M = xex + sen x e x + sen y.e N = e x eos y
a f(x ,y ) 2y3 . ------- — = ln x ----- — integrando respecto a x se tiene: dx x3
124
dy
=
entonces u = e x
(xe* + sen x £ x + sen y ¿ x )dx + ex eos ydy = 0
- yf y —í —1;2 = ¿V de donde dy
2 v3 3 f ( x , y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + + g(y) J x x
dM dN , —— * —— la ecuación no es exacta.
r . . 1 .dM dN,) = ---co sy -0 L -------j sea f ( x ) = — ( _ _ N dy dx eos y
dM dN , c o m o -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que
[dM = eos y dy dN = 0 dx
como
derivando
dM dy
dM = e cosy dy dN[ = e x cosy dy
=>
dN la ecuación es exacta, entonces: dx
3 f(x,y) tal que 8^ * ' y) =A / y dx
= w de donde dy 125
d f(x ,y ) = xe* + e x se n x + e x sen y integrando respecto a x se tiene: dx
¡g(y)dv í u = eJ =e
I 1 } = —-
f ( x , y ) = J (xex + e * sen x + e x sen y )d x+ g(.v) 2(xy- - 3 y 3 )dx + (7 - 3xy 2 )dy = 0 , multiplicando por el factor integrante f ( x , y) = xex - e x + e x sen y + e* (sen* ~ cosx2 + g ( v) derivando ( 2 x -3 y )d x + (— -3 x)d y = 0 d f(x , y ) _ gx CQS y + g '(y ) = N dy
dM
M = 2x - 3y e x eos y + g '(y) = e x eos y entonces g(y) = c reemplazando en la función
f(x ,y ) =xex - e + e
r
N =^ - - 3 x y
^
(2xy 2 - 3 y 3)dx + ( 7 - 3 x y 2)dy = 0 , p = cp(Y)
= -3
dN = -3 dx
X/s e n x -c o s x sen y-he (------- -------- ) + c , por lo tanto:
2 e x sen y + l e x (x - 1) + e x (sen x - eos x) = k 242)
dy
dM dN como — - = ---- la ecuación es exacta, entonces: dy dx
3 f(x,y) tal que
'V) = M y dx
d/(*,.v) = N de donde d\>
Solución
\ m = 2xy 2 -3 y * =V ™ =[N- 3 27 - 3 x y 2 como
126
SM A -----= 4xv - 9oy dv
df(x, y) = 2x - 3y integrando respecto a x se tiene: dx
2
f ( x , y) -
J (2x - 3y)dx + g(y)
- x " - 2xy + g(y)
derivando
.dX
dM dN ---- * — la ecuación no es exacta. dy dx
d f(x ,y ) dy
./
= -3 x + g '(y) = N
7
sea s iy ) = - - r 7 ^ - - ^ - ) = ~ ~ i - j ( 4xy ~ 6y 2) M dy dx 2 xy - 3 y
g (y) = —y v
g iy)= _ ^ z l y i =- l y\2 x-3 y) y
f ( x , y) = x - 3 x y ---- + c y
g(y)
=—
y
=>
-3x + g'(y) = — - 3 x
7
g(y) = ---- + c , reemplazando en la función y
x 2 -3 xv~ — = k y 127
243)
(3y 1 -x)dx + (2y3 -6xy)dy = 0,
u=y/(x + y 2) , a 3
dM
d(lnw) = “ —~ z
= 6v
\M = 3 y z - x
dy
[N = 2 y 3 - 6xy
aN = -6 v dx
,dln u dz
=>
lnu = -31nz
------ ------(3 y 2 - x)dx +^ y dv = 0
(* + y )
dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta. dy dx
Sea
a
.
. ?
d(lnw) dz
12y = (-4 v - 4 x v ) ------- entonces: ~ 3 = (y“ + x ) ---------
Solución
'
de donde
u=-^- =— — 2 z* (* + y )
dz
3 z
entonces:
agrupando se tiene:
O+V; )
x- 2 x - V2 d(—- —:~T_r) = 0 integrando se tiene: ------ 1— - = c (x + y 2)2 ( x + y 2r
2 , 3z i z - x + y => u = \f/(z) => — = 1 =>
dlnu _
x - y 2 = c(x + j 2) 2
dz —- = 2y
dx
dv
dM SW du _. 5a ------------ -- /v------- M ----- entonces: dy
dx
dM
dN
dy
dx
wdy
^d (\n u )
«dx
d ln u
dx
dy
u = vj/(z ) => lnu = in(y(z)) d ln w _ d ln w dz dy dz dy d ln u dx
d(ln«) 'V
d l n u dz _ dz dx
dz
d ln u dz
íS y - ( - 6y ) = ( 2 y 3 - 6 x y ) - ^ ^ - - ( 3 v 2 - x ) 2 v ^ * n dz dz
12y = (2y3 - 6x y - 6 y3+ 2xv) - ^ dz
128
129
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN»
xy '2 +2 x y '- y = 0
245)
NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA I.-
Solución ,2 ,- , „ xy +2 xy - y - 0
Ecuación de Prim er O rden y de G rado n con respecto a y ' .
( /) " +J°i(x,;yX/)" 1+... +
(x ,y ) y + P„(x, y)
, - 2 x ± J 4 x 2 +4xy - x ± J x 2 +xv y = ------------------------------------------------------------- -- ---2x x
=>
=0 - x ± J x 2 + xv y = — ---- ---------
resolviendo esta ecuación respecto a / , e s decir sean y ' = f \ ( x , y ) , y'= f 2 (x,y),..., y ’= f n(x,y), (k < n)
... (2)
las soluciones reales de la ecuación (1).
sea y = ux => {x íjx 2
=>
r—-,-----( x ± ^ x ~ + xy)dx + xdy = 0
dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación
+ ux 2 )dx + x{udx + xdu) = 0, simplificando
El conjunto de las integrales. (1 ± -J¡ +u)dx + udx + xdu = 0 (¡)l ( x,y, c) = 0 ,
<¡>2(x,y, c) = 0 , ... , k ( x,y, c) = 0
=>
— + ------- — X
... (3)
=0 ,
integrando
y
t/ H- 1di a/ 1 W
(y - c) 2 = 4ex
reemplazando se tiene: donde (¡>¿(x, y, c) = 0 es la integral de la ecuación. 246)
4y' 2 ~9x = 0
y'= f j ( x , y ) (i = l,2,...,k) representa la integral general de la ecuación (1). Solución Integrar las siguientes ecuaciones. 244)
y '2 ~(2x + y) y'+(x 2 + xy) = 0 Solución 2x+ y±^J(2x+ y )2 - 4 ( x 2 +xy) _ 2 x + y ± ; 2
2
147) y '= x + y
=»
y'~y - x
=>
y-ce~ x - x - 1
y ’2 - 2 y y ' = y 2 (ex - l ) Solución
y '= x 130
=>
v = — +c 2
y ,2 - 2 y y '= y 2 (ex -1 )
=>
y'= y ± y e xi2 131
— = ( [ ± e x l l )dx v
=>
250)
ln ve = x ± 2 e x' 2
/ 2-2 x y '-8 x 2 = 0
Solución 248)
x 2y'+3xyy'+2y2 = 0 |2 O I Q 2 A _ , 2 x ± ^ 4 x 2 + 32x2 2x± 6x y - 2 a>’-8 x = 0 => / = ----------------------- = -----------, entonces
Solución
2 2 , , 2 ^ , - 3 x v ± J 9 x 2 v 2 -8 x 2v2 -3xy±.Ty ¿ V +3xvv'+2.y =0 => v = ----- — ----- -------------------------------------:— = ----— , entonces y '= 4 x
2x
y y~ -± . x
r=>
dv dx — =— y x
=>
2x
y = 2x2 +c
/ = ~2x => y = - x 2 +C => xy = c
4 xy dy 2dx / = ----- 4- =» -<- = -------=> >’ = cx
entonces 251)
_2
y 'r +(x'+2)ey = 0 Solución
249)
y l3+(x + 2)ev =0 =>
xy' 2 -2yy'+x = 0
e~yl3dy = - ( x + 2)113 dx integrando -3 e ~ v/3 = - —(x + 2)4/3 + c 4
Solución , xy ¿ - 2 yy'+x = 0
=>
2v±J4v2 -4 x2 v±Jy2-x 2 y'= —-----— ----------- = :------ ------------, entonces 2* x
(y ± *[y 2 - x 2 )dx - jcrfy . La ecuación es homogénea Sea y = ux =>
y' = -(x + 2)173e v/ 3, separando la variable
de donde
212)
4e”>,/3 = (x + 2)473 + k
/ 3- j y 2- * V + * V = 0
dy =udx + xdu, reemplazando en la ecuación
Solución
(u x ± 4 u 2x 2 - x 2 )dx-x(udx + xdu) = 0 , simplificando ? 3- y / 2- x 2y + x 2y = 0
=>
v'2 ( v'->’) - x 2(y '-y ) = 0
(u ± Vw2 -1 )dx - udx - xdi/ = 0, separando lavariable 2
2
(y ' —x )(y'-y) = 0 entonces n 7, ±Vw -ld x + xdw = 0
132
dx du _. => — + - = = = =0 , integrando * V«2 - i
c ? 1 y = ~x +— 2 2c
y '= y
X2
y' = ±x entonces y = ± ----- 1-c
2
=> y = c e x 133
II.-
Ecuaciones de la forma f(y, y') = 0 y f(x, y’) = 0.
V V) dt + c x = | -—— - i V(t) y = y/(t)
Si en estas ecuaciones se puede despejar y f, resultan ecuaciones de variables separables. Por consiguiente, son de interés los demás casos. a)
por analogía con el caso b, se puede resolver la ecuación introduciendo un parámetro t.
En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 se puede despej ar y, y = y/ (y ’)
/( * ,/) = 0
Integrar las siguientes ecuaciones: haremos
y'= P
=> y = v(P), diferenciando esta ecuación y sustituyendo
dy por Pdx obtenemos pdx = y/'(p)dp
de donde
y '(p ) dx = ——— dp ,
y
253)
y= Solución
x _ f V (P\ dp + c , obtenemos la solución general de la ecuación en forma J P paramétrica.
y =y
dx
,2 v' dy e y => ~ = P
y = p 2e p y = v(P ) b)
\i/(t)dx = \j/'(t)dt
x- J
ly = y 2e p 254)
y ' = e y'/y Solución
Y(t)
por consiguiente, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial dada en forma paramétrica. 134
dx = (2 e p + p e p )dp entonces:
+ p e p )dp = e p (p + 1) + c , por lo tanto:
=> dx= ^ ■--- di de donde:
J y/(t)
=>
\x = ep {p + \) + c
dv y’= y/(0 , (p = , ) dx
entonces dy = p dx = V|/(t) dx , por otra parte dy = y/'(t)dt de modo que:
dy = (2 p e p + p 2e p )dp
pdx = (2 p e p + p 2e p )dp
En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 no se puede despejar y ni y' (o se despejan con dificultad) pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t. y = y(t) ,
=>
=> dy = pdx
dy_ - p dx yl/y
=>
dy = pdx
P = e ply
In p = -
135
y =
\np-\ , \np-\ dy = — -—— entonces pdx = ------- — (ln/>) (In V)
in p
dy
----------J dP />(ln p )
x = ln(ln p)-\------- + c In p
f ln /7 -1 x = ----------- d p J P ( ln p ) 2
255)
dx
y =
= ( 2 p - 2 )dp
=> dy = {2 p 1 - 2 p)dp
y = j ( 2 y 2 - 2 p)dp
=> y = ^ - - p 2 + c , porloi tanto:
In p
x = lny'+sen y' Solución x = In p + sen p
257)
y = y '\n y' Solución
diferenciando dx = — + cos pdp P y = p In p =>
dy — =p dx
dy => dx = — entonces: p
— = (— + cos p)dp P P y
=>
dy = ( l+ ln p ) d p => pdx = (1 + lnp)dp
l + ln/7 dx = (-------- ) d p
-J
dy = (1 + p cos p)dp , integrando (1 + ln /?)
entonces:
+ c , por lo tanto: (1 + ln p) x = --------^-L— + c 2 y =p \n p
x = In p + sen p
M K)
x = y ' 2 -2y'+2
y = arcsen / + ln(l + y t2 ) Solución
Solución x - p 2 - 2p +2 dy dx = 2 pdp - 2dp , dx = — , reemplazando en la ecuación P 136
d/?
= J (1 + p cos p)dp = p(l + sen /?) + cos p + c y por lo tanto:
y = /?(! + sen /?) + cos /? + c 256)
1+ In/?
y = arcsen p + ln(l + p ) , diferenciando se tiene
dy =
dp
2 pdp
-J i-p 2
i+ p 2
entonces
, pdx = -
dp
■Ji~ 2
1
2 pdp ì+p 2 137
d x-— p filp i
259)
tintegrando x = í ( — = L = = + ------ j ) d p por lo tanto 1+ P 2 J p ^ p 2 1+ /»
x{\ + y'2) = \ Solución
1+ J l - p , x = 2 arctg /? - l n | -------------- 1+c P
x(l + / 2 ) = l
=> x = —i — => l +y ' 2
y = arcsen /? + ln(l + /?2)
1 x --------— ==> i+ P 2
— =p dx
=> dx = ~ p
, -2 pdp dx = ------- - - - - entonces: a + p 2)2
y = (y '- \) e y Solución y = (p - l ) ^
dy 2 pdp — ----------- T -r /> (1+ P 2) 2
=>
2 p 2dp . _ ífy = ----- integrando (1+ P 2)1
diferenciando d y - e pdp + ( p - \)ep dp - p e p dp
f
pdx = p e pdp => dx = e pdp
=> x - e p +c
\x = e p + c \ \y = ( p - l) e p
por lo tanto:
y = - 2 — - - - - — haciendo p = tg 0 => dp = sec¿ 0 dO J (1+ P )
y
f tg 2 0.sec2 0 d 6 e ■< c ■- 2 \ ------------— -— = -2 i sen 9d0 = -F (1 - eos 20)¿0 J (1 + tg 0) •> 1
y = —(0 - sen 0 cosQ) + c = -(arctg p ----- ^ —-) + c 1+ p 260)
y 2 * - « 1"*
p Solución
p 2x = eVp
vp
=>
=>
P
\
+
por lo tanto:
y = — — - - arctg p + c
p ¿
1 x = ---l+p 2
eV p (\ + 2 p ) dx = - j - ^ - dp P
x(l + / 2 )3' 2 =a dy
=-j
e 1/ p ( l - 2 p ) , ------ —— dp
. t . por lo tanto: y = e V p (\ + - ) + c P
e llp
X = ---- r -
138
Solución x(\ + y u )i l ¿ =a
dy — =p dx
=>
=>
dy dx = — p
x-
(1+/ 2 )3/2
entonces:
x = -------1. (1 + P 2)V2
=>
A = dx
£' y = ----- ^pdp P a V ) s,!
, _ ----- 3p dp J « V ) !' !
y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando
Sea y '= y t reemplazando se tiene:
~ 3PdP (1+ P 2)5' 2
y - y t 4 - t 2 =0
=>
integrando: => dy =
>>= 1-t*
y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdO J ( \ + p 2)512
como
y ( l - ; 4) = / 2
2 i 5 + 2t
dt
...(1 )
(1 ~ t A)2
y '-p
=> y = -
y efectuando operaciones se tiene: y + c = -fl sen3 r
|
x = a c o s3 r ... (2)
>>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s
Sean
t 2 r +2í dt = ----- r dx de donde a - i 4) 2 '" i - í 4
de (1) y (2) se tiene:
Solución y = acos5 t y / = f l s e n 5 í = p
dx = -
2 (t +l)dt
. , integrando
0 4 -l)í2
dy - 5 a c o s 4 í.sení , c . 4 , j, dx = ^ - = ------------ -------- dt = -5c tg rdr /? asen* f
^C ,A B C D El F , x = —2 1 (— i------------- h--------- + + — +— )di J t t t+1 t- 1 t 1 -
263)
¿fy = ----- T*dx i-í4
2 . t +1 x = - —+ ln | — - 1-2arctg t + c
.2 dx = - 5c t g A t dt
=> * = - 5 - ^ ^ - 5 c t g / + 5í + c
y = .
porlotanto:
(p = yt)
i+r ¿65)
x = y+ sen y
- _
^ -i. - 5c tg t + 5í + c 3 y = fleos 5 í. 264)
y * - y ' 4-y y '2
dy — =p dx
=0 Solución
140
Solución =>
x = p + sen p
dy dx = -±p => dx = dp + eos p dp 141
dy
= (1 + eos p)dp
=>
dy = p (1 + cos p)dp , integrando:
ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll a)
1= J p( 1+ eos p)dp =
La ecuación de Lagrange es de la form a:
+ p sen p + cos p + c , por lo tanto: }>= ■*/(/) +
x = p + sen p p2 y = - y + />sen /? + cos p + c 266)
... (1)
dy para resolver estas ecuaciones se hace — = p de donde dy = pdx, reemplazando en la dx ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal de donde al resolverla se tiene la solución en forma paramétrica.
y = y '(1 + y'eos y ' ) x = \i/(p,c) {y = y / ( p ,c ) f ( p ) + g ( p )
Solución Sea y ' - p
=> dy = pdx => y = p( 1+ p cos p) entonces
l>)
La ecuación de C lairout es de la form a y = xy'+$(y')
dy = (1 + 2/7cosp - p 2 sen p)dp pdx = (1 + 2 p cos p - p 2 sen p ) d p , separando la variable
p es un parámetro
el método de resolver es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairout tiene la forma: y = ex + g(c)
dx = (— h 2 cos p - p sen p)dp integrando P
I a ecuación de Clairout puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones. x = (-—+ 2 cos p - p sen p)dp + c , por lo tanto: P
y = xp + g(p) , x + g'(p ) = 0
x = ln p + sen p + p cos p + c y = p( 1+ p cos p)
Integrar las siguientes ecuaciones: 207)
2y = xy'+y' ln y’ Solución y y \n y dy y = x — + -------- sea y = — = p => dy = pdx 2 2 dx
142
143
P P ln P y —x — i-------—
2 2
ir • j 7 P , x. dp \n p diferenciando se tiene: dv = — dx + — h------ 1-------dp
*
2 2
Sea y' = — = dx
2 2
dx 1 ln p + l , ---------x = ----------, que es lineal, entonces la solucion es: dp p p
entonces dy = pdx
y = x(l + p) + p 2 diferenciando dy = (1 + p)dx + xdp + 2pdp pdx = (1+ p)dx + xdp + 2pdp
, ln p + 2 x ^ , x = p{------------- \-c) = c p - m p - 2 , luego: P x - pe - ln /? - 2
entonces dx + xdp + 2pdp = 0 de donde
dx . — + x = - 2 p ecuación lineal cuya solución es: dp
x = e l Jp[ j e l dp (~2 p)dp + c], entonces: 268)
j> = 2 ^ '+ l n /
x = e~p [- 2 j p e pdp + c ] , por lo tanto: Solución j x = 2(1- p)ce~p
Sea
y %=
— - p dx
=>
dy = pdx
y = 2xp + ln p diferenciando ¿/y = 2pdx + Ixdp + — , de donde P
\ y = 2 { \ - p ) + ce p (1 + p) + p 2 270)
y = 2xy'+ sen y 1 Solución
— + — x = -----— es lineal, entonces la solución es: /> p 1 r i C 1 , x = ——[—p + e] = —-------, por lo tanto: P P P c 1
Sea y' = — = p entonces: dy = pdx dx y = 2xp + sen p , diferenciando dy = dxdp + 2pdx + cospdp
pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp simplificando 2xdp + pdx + cospdp = 0 fa + 2 x _ +— = dp p 269)
, ecuación lineal
._ ;Í 7 , (J — x =e p [J
y = x(i + y ) + y 2 Solución
144
eos p
x = e~'Dp[ - ¡ e lnp( ^ - ) d p + c] J
D
145
x = —y [ - í p eos pdp + c], por lo tanto:
x = ----- —:- [ - ( - — h— í—) + c ] , por lo tanto: ( p - 1)2 /i 2/7
eos p c x = - —-— - sen p + - y P P 2 c 2 eos p y --------------- —- sen p P P
cp + 2 /? - l
2 p 2 ( p - l )2 cp 2 + 2 / 7
+ 1
p
2(/7-l)
271)
y
1
y = xy'2- - i 272)
y = - x y ,+ e>;
Solución Solución dy y'= — = p entonces dy = pdx dx y = x p 2 —— diferenciando P pdx = p 2dx + lpxdp + ^ r p
y ' = ^ - = p => dx
dy = p 2dx + 2 pxdp + ~ P dedonde
, reemplazando
( p 1 - p)dx + 2 pxdp + —^ j = 0 P
— + —— — x = --------- ------- , simplificando dp p 2 - p p 2(p - p )
3 y = —xp + 2
dy = pdx
diferenciando
3 2
3 2
¿(y = —xdp + —pdx + ep dp , reemplazando
/>dx = —xdp + —pdx + e pdp de donde y dx + y xdp = - e p dp
dx 3 ep — +—x = -2 — , ecuación lineal cuya solución es: x=e dp p p
J— 2 ^ p [| e p (----- )dp+cl J P
— — — * = -------- í------, ecuación lineal cuya solución es: dp p 1 p \ p - 1) x = e 3lnp[-2 í e 3Xnp — dp + c] =-^—\ - 2 p 2ep + 2p ep - 4 e p + c ] , por lo tanto: J P p
.f-L * j V 1 [ í e p (-------------- )dP + c]
J
p 3(p~l)
x=
c P
x = e - w p - » [J e i w p - » _ j E _ + c ] = i p \ p - 1)( p - 1)2 146
_ ' {J P - ± dp+c] J p3
A 2 + — 2) 2^ e pp (------P
P
P
y = * - 2 ^ (1 -A + J_ ) 2P ¿ P P 147
275) xy'2- y y ' - y ' + 1 = 0
273)
Solución o dy = p Sea y ,=— dx
y = xp +
xy '2 -yy'-y'-t-1 = 0, expresamos en la forma siguiente:
dy = pdx
diferenciando P
, 1 y = xy + — y
dv = xdp + pdx dp , reemplazando * P
pdx = xdp + pdx - —^ dp de donde (x - ~~ )dp = 0 P P dp = 0 =>
Solución
t dV 1 , -f-= 7? dx
dy = pdx
y = xp-\------1 diferenciando dv = xdp + pdx P ' p
=> x = —— P
pdx = xdp - pdx P
p = c, Luego: x=
=>
2a
v = xc + -
de donde (x — \~)dp = 0 => x = - í - p = c, x = — P P c1
1 f y = x c -f — 1 => c
c-l y - x c ------- , ademas: c
y +]= xc +-
(y + l ) 2 = x 2c 2 + \ + 2 x
=>
C
274)
c2
y - xy ’+y' como Solución dy Sea y' = — = p dx y - x p +p
=> dy = pdx
276)
* =-y c
=>
(y + l) 2 =4x
y = xy'+a^l + y '2 Solución
diferenciando dy = xdp + pdx + 2pdp »2
pdx = xdp+pdx+2pdp de donde (x + 2p)dp = 0 => x = -2p => dp = 0 => p
i
-yy'-y'+ 1= 0 , expresamos en la forma siguiente:
1 i y = xy + - - l , y
luego:
[ y = XC + C
148
reemplazando
V= xp + — -1
dy ~j~ = p dx
diferenciando
=>
dy = p dx
dv = xdp + pdx -
reemplazando
149
pdx = xdp - pdx -
dp
1 ~ 1 1 de donde (x — , dp = 0 => x = — , p = c, * = — p2 p: P c
278)
^ 1 * = — + ---; y y ’2 Solución
1 t
y = xc + —-1 c V+ 1=XC
c -1
=>
y = xc - —
, ademas;
C
+ ™ => c
(y
+U2
- X 2C 2 + - ^ r +
c
J 1 X= - + 3 7
=>
dx .dx. 2 x = y — + (— ) ¿ dy dy
o dx Sea —- = p dy
=>
dx = pdy
2x
x - p y + p 2 =>
dx - pdy + ydp + 2pdp reemplazando
pdy = pdy + ydp + 2pdp entonces: (y + 2p)dp = 0 277)
xy'+
=> y = -2p
üy dy = 0 => p = c
J 7 /2
=>
ap y = xp + —----Vl + P 2
diferenciando
dx
¿/9)
dy = pdx . . adp av = /wx + .rap + , ■v1+ /,:
, . , a(l+ p 2 ) - a p 2 pdx = p d x + xdp+ -------,— dp
(\ + p 2)v2 d (* + --------r—7-T- )dp = 0 => (1 + /J2)3/2 dp = 0
=>
Cl JC= - ----- , (1+/?2 )3/2
apdp ---- -----j-y y (1+ -P }
Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante s = 2 a 2 . Solución
^ 2 be s = 2a = —
4 a 2 = be
4a2 - =b
4 a 2 — = b 2 además c 4 a 2y ' = b 2
p=c
y = -2c
x = cy + c 2 , 4x = - y 2
Solución Sea y' - — =
=>
=>
v'= — c
b - 2 a y ' xn
La ecuación de la recta tangente es y = mx + b que al reemplazar se tiene: y = xc +
l* Í =
^ +c2 150
,
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 y = y 'x + 2 ay 'x' 2 151
Sea — = p
=>
dx
y = px + 2 ap 112
2 L2 2 a2 b2 , a = b + c ; —— = —- + 1 entonces: c c
dy = pdx
=> dy = pdx + xdp t- ap 1 2dp , reemplazando
pdx - pdx + xdp + ap ~i n dp , simplificando a (a + —==)dp = 0 V/7
dp = 0
=>
y = ex + 2
=>
p=c
c=
x- 4~ c a 2x
1/2
2a 2
2a2
por lo tanto: 280)
7
a
y2=—
=>
, b y =— C
b = -^L = V i+ y 2 y = mx + b reemplazando
y = y' x + ty-- . VI+ / 2
de donde — = p dx
aP y = p x + - ¡i +=p r
*
=>
dy = pdx
J J -> / a aP 2 VJ d y = p d x + x d p + ii^j\+ r ^ p ~ i (i T + 7p ^) 2 )dp
pdx= pdx+---- adp~ ~ +xdp => (x + ------ ^r j j j ) d p = 0 => x = -------- (l+/>2)3/2 (l+/>2) 2 (1 + p 2)V2
, simplificando
* a1
;
La ecuación de la recta tangente es:
a x=—=
=>
a 2y '2 = b 2 (y' 2 +l)
b 2 L líb2 a — = b (— + 1); pero c c
2
2
x 2y 2 = a
4
además dp = 0 =>
p=c
. a ap ap + ap(l + p 2) , y = P(~ —-----TTTT^+ r----- ------ 7 . 3/2 ’ simplificando (i+ /7 2)3/2 ^/T+7 (i+ /? 2)
xy = ±a
Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a.
3
_ 1 /3
r ------- =» (l+/> )
(1 + /? )
Solución 2 3/2 (i+/> )
*
-< l)
1+ ^ „2/3 2/ 3
( i+ p )
i +p
a =
=•
„1/3
1/3 x—
_ 2/3„
^
i 1/2^ X=2~•••
de (1) y (2) se tiene: _ 2 /3
2/3
2
x 2/ 3 + y 213 = -----—+ ------- simplificando 1+ /72 1+ /?2
x 2/3+ y 2 /3 = a 2/3í l ± 4 2 = « 2/3 l + /> 152
por lo tanto:x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 153
COMPOSICION
DE
LAS
ECUACIONES
donde
a¡, a 2 ,—, a n
son parámetros, derivando (6) respecto a x, n veces y
eliminando los parámetros a 1 , a 2 ,...,an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma:
DIFERENCIALES DE LA S FAMILIAS DE CURVAS, PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
F(x, y, y ' , y " , . . . , y (n)) = 0 1.
Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas.
esta es la ecuación diferencial de la familia n-paramétrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6) es la integral general de la ecuación (7).
Consideremos la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas. Y
l|r(x,a)
(a es un parámetro)
... (1)
2.
... (1)
... (2)
dependiente de un parámetro “a”. La curva que en cada una de sus puntos forma un ángulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto, se llama trayectoria
eliminando el parámetro “a” entre (1) y (2) se tiene la ecuación diferencial. f ( x , y , y ') = 0
Problemas de Trayectorias.Consideremos una familia de curvas planas.
Derivando (1) respecto a x, se tiene: y' = v [ ( x , a )
... (7)
... (3)
71
isogonal de la familia. En particular, si a = — , se obtiene una trayectoria ortogonal.
esta ecuación expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1).
Suponiendo la familia (1) buscaremos las trayectorias isogonales. La ecuación (3) es la ecuación diferencial de curvas se determina por la ecuación.
... (4)
se obtiene la ecuación diferencial eliminando el parámetro “a” entre las ecuaciones.
a)
Trayectorias Ortogonales.Se forma la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas. F ( x , y , y ’) = 0
(2)
La ecuación diferencial de la trayectoria ortogonales tiene la forma: (¡>(x, y,a ) = 0 A d +± d .y '= 0 dx dy *
... (5)
154
... (3)
la integral general de esta ecuación es:
Supongamos ahora que se da la relación <¡>(x,y,al , a 2,...,an ) = 0
F ( x ,y - —) =0 y
... (6)
0, U ,y ,c ) = 0
... (4) 155
proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Suponiendo que la familia de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares.
282)
x 2 - y 2 =ax Solución
... (5) x 2 - y2 => ---------- = a
x 2 - y 2 -ax
d(¡) donde a es un parámetro, eliminando el parámetro “a” entre (5) y ---- = 0 , d\f/ obtenemos la ecuación diferencial de la familia (5).
x (—
Jt
derivando
\ yy ) - ( x 2 - y 2) = 0 => 2 x 2 - I x y y ' - x 1 + y 2 = 0
F ( p ,y / ,p ') = 0 xA +. y,.2 - 2 xyy' = 0
por lo tanto: Sustituyendo en este p ' p o r ----- -
obtenemos la ecuación diferencial de la 283)
y = aexla
familia de las trayectorias ortogonales.
F (p ,v
Solución o
y = aexla
=>
b)
=a
=>
e x/a
p Trayectorias Isogonales.-
a =— y
Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada bajo un ángulo a , donde tg a = k. Se puede demostrar que la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma:
=>
y = — e x/a y
v'= — ' a
=> y ' = e x/a
lny'= — => a = ------ como a ln y'
y = aexla entonces:
y '-k F (x ,y ,-f-— ) = 0
l + ky’
y = - ^ — e lny ln y por lo tanto:
Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas. 281)
284)
y =-
entonces
y l n y ' = x e lny
y ln y'' = xy'
y =c x - c - c 2
X
Solución Solución
Entonces
156
y - — => x
xy = a, derivando
y = c x - c - c 2 => y' = c y + x y '= 0
=>
y = y ' x - y ' - y '2 entonces:
y '2 -xy'+y'+y = 0 157
285)
2c 2 3 _ y - —y x / ' = 2c2 derivando
y = ex (ax + b) Solución
3* 2y + * V ,,8=o y = e x (ax + b)
=>
289)
6 ^ .. .... = a
=>
e..S Z.— ¥-1 — e ^
286)
^™— = a
X
?).. = 0
( x - a ) 2 + ( y - ¿ ) 2 =1
entonces
Solución
y' - 2y'+y = 0
y 2- y 2 ( x - a ) 2 = ( x - a ) 2
Solución =>
yy' = c
y
=> y 2 = - 2 cx-hc 2 entonces
y 2 = 2 xyy''+y 2y '2 por lo tanto: y y '2 Y2xy'-y = 0
287)
/" + -/'= o
derivando
y 2 = 2 cx + c 2
y 2 = 2 cx + c 2
=>
— = ax + b derivando
y - a x 2 +bx + c
290)
a * / 2.)3 =>
288)
=>
y ' = 2 ax + b
=>
Solución Cj y = q x + — + c3 X
=>
, c2 y =c1 — y X
----------- 7TT37T = 1
y - c xe x +c2e x Solución
y " = 2a
=>
y'
y = c¡ex +c2e
=>
e xy + y ' e x - 2 cxe lx
y = c1x + — + c3 x
=>
y ,2 = ( i + y 2 ) 3
Solución y = ax2 +bx + c
y 2 = (l + / 2 )(x - a )2
y
=*~a
y = ( i + y 2 ) 3/2
=>
e xy = cle 2x + c 2 entonces
e x (y ''+ / ) ” ( y + y y * ...y \ x u =0 por lo tanto
= 2c¡ derivando
=>
=>
y ’+ y '- y '-y = o
y ' f- y = 0 159
291)
„ ■ É L -n -i,
y = asen(x + a)
y = ax” => — = a derivando --------------- — ,-= 0 Xn
Solución y
y = a sen(x + a )
=>
----- - ------= a sen(x + a )
sen(x + a ) / - y c o s ( x +_ g ) = 0
^
cambiando
derivando
sen (x + a )
por — — se tiene: dx
tg(x + a ) = ^
294)
y
entonces
X 2n
- x
dy
— -ny =0
- ^ - - n y =0 dx
integrando
d y '
x 2
y
+ n y 2 =c J
y = ae** , constante Solución
y' 2-yy" x + a = aretg^- => 1 = — ^— entonces 1 = - y' 1+ (Z ) 2 / 2V
=> y ' 2+ y 2 = y ' 2~yy" y = aeca =>
y' de donde y 2 +yy" = 0
=> y"+y = 0
u- t dy cambiando — dx
— e
-a
e° * $ L - aea*y derivando ----- — ----------= 0 e
=>
— ~ay =0 dx
dx dx dx p o r ----- se tie n e :---------- ay = 0 = > --------- t-av = 0 dy dy dy
=>
Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas. 292)
2 dx + aydy = 0 integrando x + ~ ~ = b entonces 2 x + a y 2 =c
y 2 +2ax = a 2 , a > 0 Solución 295) y 2 + 2 ax = a 2 =>
2 yy'+2 a = 0
=>
eos y = ae x
yy'= ~a Solución
reemplazando en y 2 + 2 ax = a 2 se tiene y 2 - 2 x y y '= y 2y '2 => y - 2 xy'= y y '2 eos y = ae~x => e x eos y - a cambiando
dy dx , . . dx ,dx. 2 — p o r ----- se obtiene y + 2 x — = y (— ~) dx dy dy dy
resolviendo la ecuación se tiene:
e x eos y ~ e x se n y .y = 0
y = axn , a es un parámetro. Solución
160
=> c o s y - s e n y — = 0 dx
y 2 - 2 bx - b 2 u• a cambiando
293)
derivando
dy dx —- por — — se tiene: dx dy
ln s e n y + x = b
=>
dx eos y + sen y — = 0 => ctgy dy + dx = 0 ' dy
sen y = c.e~x 161
?
296)
1
7
2
dy
x +2y
o
=>
4 t- 4 t ‘ 0 y kA x k~l
Solución
2 x + yy' = 0 77
=>
2 x - y — = 0 => dy
dy dy 2 x + y — = 0 cambiando — por dx dx
2— y
y k~2 ( k —2)
dx - — se tiene: dy
+
*-------= 6 entonces: — -------í-— = b(k - 2 ) para k * 2 x a_2(A:-2) x ^ 2 y * '2
dx dy dx para k = 2 => x - y — = 0 = > ----------= 0 dy y x
= 0 , integrando 21ny- lnx = lnc , entonces: x
lny — lnx = lnc => y = ex y2=c —
=> y 2 - e x 299)
297)
x 2 - y 2 =a2
Solución Solución
x 2 - y 2 = a 2 => 2 x -2 y y ' = 0 dy x —y — -—= 0 , cambiando * dx dx . x + y — = 0 => dy
entonces:
dy dx — por — — dx dy
dy dx — +— = 0 y x
integrando lny + lnx = lnc, por lo tanto: yx = c 298)
x 1 + y 2 = 2ay
xk + yk =ak
? 2 rs x 2 + y2 . x ~ + y = 2 ---------- = 2¿z derivando y y ( 2 x + 2y — ) - ( x 2 + y 2 ) — = 0 dx dx
entonces:
2xy + 2.y2 ^ - - ( x 2 + .y2) — = 0 dx dx , • j dy dx cambiando — p o r ----- entonces: dx dy dx
2 xy + (x2 - y 2) — = 0 de donde (x2 - y 2 )dx + 2xydy = 0 Solución
162
dy
x k + y k = a k => kx k~x + kyk~xy '=0 entonces:
sea y = ux => dy = udx + xdu entonces (x 2 - w 2x 2)dx + 2 x 2«(wdx + xdw) = 0
x k~x + y k~x — = 0 cambiando — por —-77 dx dx dy
(1 - u )dx + 2 u dx + luxdu = 0 => (u +l)dx + 2 uxdu =0 163
. du = 0
— +
x
x(\ + u 2) - c
300)
=>
lnjc + ln(l + « 2) = lnc
1+ u
302)
y 2 = 4 (x-a)
=> x 2 + y 2 =cx
Solución y
x2 - j y 2 = a2
2
^ „ dy = 4 ( x - a ) => 2yy = 4 entonces y — - 2 dx
y a dy dx cambiando — p o r -----dx dy
Solución x 2 - i y 2 = a 2 => 3
2x-^y~ =0 3 dx
dv y dx
dy dx
3x - y — = 0 cambiando — por
3x+ y— = 0 dy 301)
=>
dx . dy - y — = 2 entonces - d x = 2 — entonces -x = 21ny + c dy y ln y 2 = —x 4-c entonces y 2 - b e ~ x
dx —— dy
3 ^ - + — = 0 integrando y
31ny + lnx = c => y 3
x
p = a(l + cosy) Solución p = a(l+ co s\|/)
=>
---- ----- = a derivando 1 + eos y
dp
(1 + eos y/) ——+ sen y/ .p dw ------------------------------ = 0 (1 + cost//)2
dp (1 + cosí//)— + sen y/.p = 0 dp
entonces:
cambiando
p2 = ------ dy p dp
2 -
(1 + eos y/)(— ) + sen y/.p = 0 P'
=> (1 + eos y)pd\|/ = seny dp = 0
1t 22 ^ Ld\¡/=— integrando ln|cos^a//-ctgy/|+ln|seri//(=ln/?r => l-c o s v |/ seny/ p 164
165
A la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia (4), siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia (4).
SOLUCIONES SINGULARES) Una solución y = \j/(x) de la ecuación diferencial.
Si (4) es la integral general de la ecuación (1), la envolvente de la familia de curvas (4), en caso de que exista, será una curva integral singular de esta ecuación.
f ( x 9y ,y ') = 0 Se llama singular, si en cada uno de sus puntos, se infringe la propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0)» además de esta solución, pasa también otra solución y = \|/(x), pero que no coincide con esta última en ningún entorno del punto (jc0 , y0) arbitrariamente pequeño. La gráfica de una solución singular se llamará curva integral singular de la ecuación (1). dF 3F Si la función F(x, y, y') y sus derivadas parciales y son continuas con dx ^ 9 /
En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x , y, y 1 coinciden con los valores correspondientes a la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y); por consiguiente, en cada punto de la envolvente los valores: x ,y ,y ' satisfacen a la ecuación F ( x , y , y ’) = 0, es decir, la envolvente es una curva integral, por otra parte, en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto de la misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección: La envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto considerado.
respecto a todos los argumentos x , y, y ', cualquier solución singular de la ecuación (1) lis consecuencia, la envolvente es una curva integral singular.
satisface también a la ecuación. dF(x, y, y ) dy'
Por el curso de análisis matemático se sabe que la envolvente forma parte de la curva c-discriminante (abreviadamente CCD) determinada por el sistema de ecuaciones.
=0
y/(x,y,c) = o
por consiguiente, para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que eliminar y’ entre las ecuaciones (1) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y’:
' d y ( x , y , c)
...(5 )
de ... (3) Se denomina P-discriminante de la ecuación (1), y la curva determinada por la ecuación (3).
Una rama de la CCD es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones Niguientes: I-
Las derivadas parciales,
Curva P-discriminante (abreviado, escribiremos: CPD). Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone en unas cuantas ramas. En este caso se debe averiguar si cada una de éstas por separado es solución (1) y en caso afirmativo se debe de comprobar si es solución singular es decir, si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos.
| ^ | ÚM dx
'
166
... (4)
y
dy
, existen y sus módulos están acotados.
, \~ \^ N dy
...(6 )
donde M y N son constantes.
Se llama envolvente de una familia de curvas. <¡)(x,y,c) = 0
dx
W „ di „ — * 0 , o sino — * 0 dx dy
... (7) 167
f(l + y 2 ) y 2 ~4yy' - 4x = 0
... (1)
l
...( 2)
Observación 1.- Las condiciones 1) y 2) solamente son suficientes, por lo cual, pueden ser envolventes. También las ramas de la CCD en las que no se cumple alguna de estas condiciones.
Luego:
Observación 2.- En el caso general, el P-discriminante contiene:
Ahora eliminando y 1 de estas dos ecuaciones de (2) se tiene y'= — y reemplazando en (1).
1 2.3.-
A la envolvente (E) Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (c Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso)
A p = E £ 2.R
yy'= 2
2
). (R).
4 7 (1h— j ) y - 8 - 4 x = 0 ==> y
o y + 4 - 8 - 4.x = 0, de donde
-.(8 ) y 2 = 4*+ 4
El c-discriminante contiene: 304) 1 2.-
A la envolvente (E) Al lugar geométrico de los puntos anocdados al cuadrado (A
3.-
Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (i? ).
y '2 - 4 y = 0
).
Solución y ’2 - 4y = 0 , derivando con respecto a y 1
Ac =E.A2.Ri
(9)
2 y' = 0 entonces y'= 0
Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación diferencial.
Luego:
Esta figura tanto en la curva P-discriminante como en la curva c-discriminante a la primera potencia, circunstancias que facilita la averiguación de la solución singular. , 305)
¡y '2 - 4 y = 0 < [ /-O
y '3 - 4xyy'+Sy 2 =0
En los siguientes problemas, se necesita hallar las soluciones singulares, si esta» existen. 303)
(1 + y '2 ) y 2 -4yy'-Ax = 0 .
, de donde y = 0
Solución y'
3
2
- 4xyy'+%y = 0 , derivando con respecto a y'
Solución 3y '2 - 4xy = 0
=>
y'=
(1 + y a ) y 2 - 4 y y '- 4x = 0 , derivando respecto a y' i 2y' y - 4 y = 0
168
=> y' = —
2
SxyJxy 8xy J x y 2 ,— ,— ,— * —3*j3----------------------------------------- T¡3 ^+ =^entonces:x^Jxy-
3x^Jxy + 3^3y 169
9x10
- 2x-sfxy + 3-JJy ■ O
3^3y - 2x*Jxy
=>
10 9x -1 3 x 5y = 0 2
Q 3 - ^ —( x 5 - 2 x 5 - 4 y ) = 0 4 "
=>
2 1 y 2 = 4 x 2.xy => >’(27>'—4x3) = 0 4y + x 5 = 0
entonces: y = 0
306)
=>
4* 3 309)
Solución
y ' 2 - y 2 ** 0
y ( y - 2 xy ')2 = 2 y' derivando respecto a y \
Solución y 2- y 2 = 0 , derivando con respecto a y \ 2 y' = 0 y = 0, de acuerdo a las condiciones establecidas no tiene 307)
y ( y - 2 j ^ ’) 2 =2y
2 y ( y - 2 xy’) ( - 2 x) = 2 => 2 y ( y - 2 xy')x = -1
=> y = 0 de donde solución singular.
^ 2 A 2 , 1 , 2xy2 + l entonces 2xy - 4 x y y ——l => y = — — 4 x 2y
y ^ ^ J y 2 + a . ¿Para que valores del parámetro a tiene esta ecuación solución singular?
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: Solución
_
y-^¡y
, 2 x y 2 + l vx2 - » / 2 x y 2 + L )) = 2(—........ )
_
4x y
+ a » de acuerdo a las condiciones establecidas para hallar soluciones
4 x j
singulares se tiene que los valores de a es a = 0. 2xy +1 2 _ 2xv +1 308)
(xy'+y) 2 + 3jc5 (xy'-2y) = 0
2^ Solución
2xy - 2 xy -1 2 2 xy
2 x 2y
-
/ 1 2xy +1 1 2xy + 1 y{— t ~ j ) = ;— => — r~ = ------------?— 4x y 2x y 4 x y 2x y
(xy'+y )2 + 3x5 (*y-2>0 = 0, derivando respecto a y'
por lo tanto: 2x(xy’+y) + 3x6 = 0 => y '■ -
}
2x y 2 +l 2 x 2y
entonces: 1 = 4xy2 + 2
4x y 2 = -1
2jc 310)
8 y 3- 1 2 y 2 = 2 7 ( y - x )
Luego reemplazando en la ecuación diferencial Solución 3x^ ■+*2y 2 ^ 5/ + 2y A ------— - + y )2 + 3jT (----------- - 2 y) - 0 170
8y3-12y 2 = 2 1 ( y - x )
derivando con respecto a y' 171
2 4 / 2- 2 4 / = 0
entonces:
y ( y - 1) = 0
=>
=>
y'= 1
8 - 1 2 = 2 7 (y -x ) por lo tanto:
313)
(xy'+y )2 = y y \
y(c-x) =c 2
Solución
4 y =x ~ — Eliminando c del sistema íy(c -x) =c 2
311)
(/-l)2 = y2
\ Solución
(y -1 )2 =
=> / - I
de donde (1-1)2 = > '2
314)
=>
x2 2
x
o,.
^
, (X - C)2 + y 2 =\
Eliminando del sistema: ^
c=x
.-, 2 reemplazando en ex + c = y reemplazando en la ecuación 0 + y 2 = 1 => y = ± l
x2 4
---------- =
2 y
= >
y
=
como satisface en la ecuación diferencial entonces y = ± lson soluciones singulares.
x2 4
-----------—
x2 como y = ------es solución de la ecuación diferencial entonces 4 solución singular. 172
y 2y ,2+ y 2 = l
j(* -c )! + / - l [-2 (x -c ) = 0
c=—
x + 2c = 0
------------- +
„
Solución
Eliminando c del sistema
(
y _
y = cx + c 2
Solución
ic x + c 2 = y ^
^
como es solución de la ecuación diferencial entonces y = 4x es solución singular.
Mediante el c-discriminante, hallar las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden, sabiendo sus integrales generales.
y = xy'+y'2,
2
y ( c - x ) = c 2 => y ( - - x ) = — 2 4
entonces y = 0 pero esto de acuerdo a las condiciones establecidas no es solución singular por lo tanto no tiene solución singular.
312)
y = 2c
reemplazando en la ecuación
y 2 derivando con respecto a y'
2(/-l) = 0
c = y_
x2
ym~
es
315)
y ' 2 -yy'+ex = 0 , y = cex + c
Solución 173
4 x 2 - 9 y 2 + 6x y - x
Eliminando c del sistema , 1 y = ce + — c
= 0 simplicando 3x2 + 6 ;c y -9 y 2 = 0
x 2 +2 x y -3 y 2 =0 =>
c = e_-.t/2 (x + 3y)(x —y) = 0
reemplazando en y = ce* + - => y = e " " V c
y=- |
, y=x
como son soluciones de la ecuación diferencial entonces y - - — , y = x son 3 las soluciones singulares.
+ e Jr/2
y = e x l l + e x n = 2 e x' 2
=>
317)
y = Xy '+^a 2y '2 +b 2 , y = c x ^ a 2c 2 + b 2
como y = 2eJt/2 es solución de la ecuación diferencial entonces es solución singular.
Solución Eliminando c del sistema:
316)
3xy' 2 -úyy'+ x+ 2 y = 0 , x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 y = c x ^ a 2c 2 + b 2 Solución
...(1) 2
2
0
= W a V + ¿ 2 + ,* -,• ...(2) V aV +62 de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos c, obteniéndose la ecuación:
Eliminando c del sistema. x 2 + c(x-3y) +c 2 = 0
x2 y 2
_ 3y - x
x - 3 y + 2c = 0
——+ ——= 1 la cual es solución de la ecuación diferencial, por tanto: a b
2
reemplazando en la ecuación
x 2 y2
— h— —= 1 es la solución singular. a b
x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0
Diversos Problemas 2 ✓ ^ x 3 y - x , 3 y - x x2 x ¿ + ( x - 3 y ) — ----- + (—-----) 2 = 0 2 2
Integrar las siguientes ecuaciones
x2(
118)
^ 2
+( W 4
=0
(y - y 3)dx + ( I x y 2 - x - a y 1)dy = 0 Solución
2
x’ - S 'z f L . o 174
( y - y 3)dx + (2x y 2 - x - a y 2)dy = 0 entonces: 175
r sen jr-jrcos;r ,
( y - y ^ ) — + 2x y 2 - x - a y 2 = 0
dy
*.e¿zp.jsL
dy
*
y-y
r sen x - * eos .v
_ ------------dx r I---- —----- dx s e n x c o s x - x , _ ------------------ dx + c] Y\e xsenv x - e J xsenx J x sen x
entonces:
~ln---- r ln-----s e n x c o sx -x , senx x ------------------ dx + c] sen J xsenx xsenx
x ‘ = e s e n xsen [ \ xef |
cslinM,
y-y
sen x r r sen x eos x - x , x = ----[ ---------------- dx + c] x J sen x
t 2y -1 [ 2y -1 J -J— rT»? dy r ct JjI ^-----~ rT°y dy n.v2 J v-v V- V = [ j e y~y - V L ^ dy+c]
entonces:
y - y
x - a y 2 +c y ^ l - y 2
calculando las integrales se tiene: 319)
sen x y -------- (jn sen x + xc tg x - ln sen x + c) por lo tanto: x esen x y = eos x + --------
y '= ( x - y )2 +1 Solución 321) Sea z = x —y
=> y ' = \ - — entonces dx
y ' - ( x - y )2 + 1
=>
dz ---- 7 ~ z
1 — = X+C z
^
1 — ——z 2 + 1 dx
=>
Solución — + y c o s x = y n sen2x dx
entonces:
i z = ------ => JC+ C
1 A- y = -------x +c
de donde y - x — * x +c 320)
— + y c o s x = y n senllx , n * l dx
sea z - y Xn
Z
=e
-f (l-n )c o s jr ¿ r
J
.y
=> — = (l-w )y dx
* ^2 + eos x.z = sen 2x 1- n dx
x senxy'+(senx - x eosx)y - senx eosx - x
=>
f
[
-fcosx.j;1 " = sen 2 x
dx
entonces:
í( l- « ) c o s * á x
eJ
dx
— + (1 - n) eos x.z = (1 —n) sen 2x dx
(1 - w ) sen 2x dx + c]
Solución
176
x sen xy'+ (sen x - x eos x)y = sen x eos x - x
z = e (n_1)sen x[ j e (1~n)sen * (1 - n) 2 sen x. eos x d x + c]
dy s e n x - x c o s x se n x -c o sx -x _ + ---------------- = -------------------------dx x sen x x sen x
y '
entonces:
1- n
2
^ (n -l)s e n x
= 2senx + ------+ cev « -1
177
322)
Es una ecuación homogénea
(jc3 - 3 x y 2)dx + (y* - 3 x 2y)dy = 0
Sea x = uy => dx = udy + ydu
Solución dM
reemplazando en la ecuación diferencial
(5u y 2 - 4 y 2 - 6u 2y 2){udy + ydu) + ( y 2 - 8 u y 2 + 2.5w2y 2)rfy = 0 = - 6xy
M = x i -3 xy2
dy
N = y 3 - 3 x 2y
dN_ = -6 xy dx
+ ydw) + (1 - 8« + 2.5u 2 )dy = 0
(5w - 4 - 6«2
(5w2 -4 j/^ 6 w 3 + \-%u + 2.5u2)dy + y ( 5 u - 4 - 6 u 2)du = 0, simplificando
dM dN , como -----= — la ecuación es exacta entonces dy dx
(6u 3 - 7.5u 2 +12« -1 )dy + y ( 6u 2 - 5u + 4)du = 0 , separando la variable
3 f(x,y) tal que
dy 6«2 -5 « + 4 „ . — + — -----------------— du = 0 , integrando se tiene: y 6« -7 .5 « + 12« -1
dx
=M
de donde - - - - - - - = x 3 - 3x y 2 integrando dx
ln y + —ln |6 « 3 - 7 .5 « 2 + 1 2 « - l|= ln e 3
/ ( * , y) = J (x3 - 3xy 2 )dx + g ( y ) entonces:
porlotanto:
x
3x
/(*> y) = —-----— y 2 + g(y)
derivando
324)
de donde — = « v
15x2j'-24x>>2 -1 2 x 3 + 2 y 3 =c
(3x^2 - x 2) + (3jt2.y-6j>2 -l)rfy = 0 Solución
dy g '(y) = y
= - 3 x 2y + g'(y) = N
i r4
y =>g (y ) = — + c 1x2v 2
=> - 3 x 2y + g ' ( y ) = y i - 3 x 2y
entonces
v4
f ( x , y ) = —- — + ^ - + c porlotanto:
323)
SAZ , —— = 6xy dy
ÍA/ = 3xy2 - x 2 [w = 3x2y -6 j> 2 - l
x 4 + y 4 - 6x 2y 2 = k
dN £ — = 6xv dx
dM dN . como -----= ----- la ecuación es exacta entonces dy dx
( 5 x y - 4 y 2 - 6x 2)dx + ( y 2 - 8xy + 2.5x2)dy = 0 Solución
3 f(x,y) tal que
dx
= M , dé donde:
dx
- = 3xy2 - x 2 integrando V
178
179
f 2 2 3.x2y2 x3 /(x ,y )= J (3xy - x )dx+g{y) entonces: f ( x , y )= — ^----- -+ g ( y )
derivando
326)
(2xyex - x s e n x ) d x + e x dy = 0
Solución ~ ^ - = 3x2y + g ' ( y ) = N 5y g' (y) = -6>’2 -1
=>
=> 3x2y + g'(y) = 3 x 2y - 6 y 2 -1
fdM
g(>’) =
3- y +c
=* dN
N = e x2
entonces
1 * dx
2 2
= 2xe*
1 M = 2xyex - x s e n x
3
f{xyy ) - —~ - - — 2y3-j>+c por lo tanto:
= 2 xex
dM dN y .. , , como -----= — la ecuación es exacta entonces dy a*
9x 2y 2 - 3 x 2 - I 2 y * - 6y = k
325)(j> - jcy2 In x)dx + xdy = 0
3 f(x,y) tal que
Se
=M de donde:
dx
-- = 2xv^ - x s e n x , integrando
Solución xdy + ( y - x y
2
f ( x , y ) = | (Ixye *1 - x sen x)dx + g(y)
dy 2 lnx)dx = 0 => x — + }>= xy In x , Bernoulli dx
f (x, y) = y e * + x c o s x - s e n x + g( y) dy 1 2 2 — + —J = }> In x , multiplicando por y dx x y
-2 4y
1 -+ -y dx x
-l
,
= ln x , sea z = y
dz 1 — — + —z = ln x dx x r
z-e
dx r
-l
d f( x ,y ) = e x + g \ y ) = N de donde e x + g \ y ) = e x = >g(y) = c entonces dy
dz _2 dy => - — = y -fdx dx
dz 1 ., t ., = > -------z = - In x , ecuación lineal cuya solucion es: dx x
f (x,y) = yex + x co sx -sen x + c, por lo tanto:
327)
/. yex + xcosx-senx = A:
2y'+yl + \ = 0 Solución
dx
x [J e x ( - In x) dx + c] , efectuando la integral
2y '+ y 2 +—j = 0 ln* j + c]1 => y -1 —x(--------/ to2 x + c) z = xr[ - 1f -----dx J x 2 1 , In 2 x + k ^ _ , 2 — = x(------------- ) => 2 + x ^ ln x = kxy
180
derivando con respecto a y se tiene:
=>
..2 2 x. i¿ ~dy+ ,(/ x„ 2¿y i +l) = 0
*
2x 2dy + ((xy) 2 +1 )dx = 0 entonces u sea u = xy => y = — => x
, xdw - udx dy = ------ -----x 181
_ 2.x d u -u d x . . 2 ^ 2x (------ ------) + (u + \)dx ~ O entonces: x
330)
4 x 3y 2dx + (x 4 - 2 x 4y - l ) d y = 0
Solución
2 x d u - 2 udx + (u 2 + l)dx = 0 =>
2 xdu + (w -l) 2dx = 0
^ du dx ^ 2 , 2 ---------- + — = 0= > ---------- + ln x = c (w-1) x M -l
2 jcv-1
328)
y ’=-
= c - ln x
=>
dx t x (l- 2 y) _
dy
dy
4 x 3y 2
4y 2
1 4 x 3y 2
3 dx 1—2 y _2 1 . c — -»------r - x = — — entonces: dy 4y 2 4y 2
( l- x y ) ( c - ln x ) = 2
sea z = x 2 =>
1
-
2dx
= x 3 — , reemplazando en la ecuación dy
2x - y L dz 1- 2y 1 -------- 1-------—z = ----2 dx4 y 2 4y 2
Solución 1 dx ^2 entonces: y = -------- — => — = 2x - y 2x - y dy
de donde
dz 2y - 1 1 .. ,. , = > -----h------- z = - -.... . , ecuación lineal dx 2y 2 2y 2
-jlZZÍdy jlllld y j r~) + c ] , efectuando la integración 2 = e 2y [ [ e 2y (---- — J 2y
— ~ 2 x = - y 2 => x = e 2y[ f e 2y ( - y 2)dy + c] dy J
i z =e " ' * 5 [ J
x = — + —+ ce2y + — 2 2 4 331)
329)
dx + x 4 - 2x 4y - l _ ^
i e
M 2y2
onceS: V
J
Í „ ] 2y
xy y'-y 2 = * 4
x 2 +xy'=3x + y' Solución Solución x 2 + xy'=3x + y' 3x —x 2 dy = ----------dx x —1
=>
=>
— - —y = x 3y 1 multiplicando por y dx x dy 1 2 3 2 y — — y = x sea z = y => dx x
integrando
J* dy = J — —y - d x + c 182
(x - l) y '= 3 x -x 2
y = 2 x - ^ - + 21n 11-x |+ c
dz . dy — = 2y — dx dx
1 dz 1 3 dz 2 3 ----------- z = x de d o n d e ---------z = 2x 2 dx x dx x 183
r 2dx
ecuación lineal
z =e
z = e~1 XTÍX[ j 2 xdx + c]
[__2dx
x [Je
y = e ln(2T-i)[f 1 4* dx+c] => y = ( 2 * - l ) c + J (2x —1)3jc2 x
x 2x 3dx + c\
entonces: z = x 2[x 2 +c]
=>
y 2 = x A +cx 2
334)
(x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución
332)
dx
_
x 2 -xy-h y2
dy
2y 2 - x y
Sean
y L 2 : 3x+j> + l = 0
como LXUL 2 => 3 p ( x 0yy 0) e L x a L 2
Solución (2 y 2 -x y )d x = (x 2 - x y + y 2)dy es homogénea y = ux =>
: x -y + 3 = 0
de donde:
x-y +3=0 1 i 3 x + v + l = 0J
=>
p(-l,2) F
dy = udx + xdu , reemplazando en la ecuación diferencial sean x = z ~ l , y = w + 2 entonces:
( l u 2x 2 - x 2u)dx = ( x 2 - x 2y 2 + x 2u 2)(udx + xdu), simplificando dx
u 2 - u +1
*
w3 - 3w 2 + 2w
(x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 (z —w)dz + (3z + w)dw = 0, ecuación diferencial homogénea
du = 0
integrando w = uz
=> dw = udz + zdu, reemplazando en la ecuación diferencial
(z —uz)dz + (3z + uz)(udx + xdu) = 0, simplificando f — + f —r -----— dw = c J x J u 3 - 3 u 2 +2u 333)
dedonde
.\
—2 a: ) 3 = c ( y - x ) 2 (1 —u)dx + (2 + u)(udz + xdu) = 0, agrupando (u + 2u + 1)dz + (u + 3)zdu = 0, separando la variable
(2 x - l) /- 2 y = l ^
dz u +3 , A , — + -------- du= 0 , integrando Z (m+ 1)
Solución — — y = — -———r ecuación lineal cuya solución es: dx 2 x - l (2x - l ) x
z-e
. f_i^L i - 4x 2x~l [ \ e 2jc_1------------- dx+c] J
184
(2x-l)x2
integrando tenemos
f — + f — ~^— d u - c J ^ J (tt + 1)
entonces
ln z + ln|w + l | ---- — = c «+1
de donde:
2jt+2 u = — ■=.—------? z = x + 1 por lo tanto: x + y - l = cex+y~l Z
Jt+1
185
, x +y x-y y + cos---- —= cos 2 2
335)
337)
Xy 2y ' - y ì = —
Solución
Solución
, x y x y x v x v y + cos —eos----- sen —sen — = cos —eos —+ sen —sen —
2 2
2 2
y= 2senyseny
2 2
cosec— dy = 2 sen — dx
=>
y y x ln(cos ec — - c tg ~ ) = -4 cos —+ c
dy 1 X _2 - . i* j —------ y = — y multiplicando y dx x 3
2 2
integrando
2 dy 1 3 x 3 3 dz 2 dy t , >> —------y = — sea z - y => ----- = y — , reemplazando dx x 3 3Jjc
entonces:
fife 1 x3 dz 3 3 ----------z = — = > ------------ z = x , ecuación diferencial lineal 3dx x 3 á x
co sec— - c t g — = ke 4cosxi2 2
r 3dx
2
z =e * 336)
2
., .t l .,
r 3dx
[je
x x 3dx + c]
=>
z = e 3ìnx[ j dx + c]
y' (3x 2 - 2 x) - y ( 6x - 2) + - (9x - 4) = 0 X
entonces
z = x 3(x + c)
por lo tanto:
.\
y 3 = x A +cx 3
Solución dy dx
338)
(6 x -2 )
2 (9 x -4 ) _ ^ = ---- ---------- , ecuación diferencial lineal 3x2 - 2 x ' (3x 2 - 2 x ) x
y'=Xg2(ax + by + c ) , b * 0 , a b > 0 Solución
f (6x-2) (6*~2)
y = e ln|3 '
(6x-2) , f r(6x~ 2) 3x2-2x [ t j 3x2-2x (---- 2 (9 * -4 ) )dx + c], iintegrando (3xz - 2 x ) x
2x1[-2 f ----- —— dx + c] -
y =e
integrando
Sea z = ax + by + c
=>
y ' = \ g 2(ax + by+c)
=>
J ( 3x 2 - 2 x ) 2x
y = (3x 2 - 2x)[ f 2 d (■ ■ -------) + c] J (3x - 2x)x 2
-
y = (3x 2 - 2 x)(— —+ C) por lo tanto: (3x 2 - 2 x )x 186
calculando la integrai
2 y = — +c(3x 2 - 2x) x
dz 1 / = (------a) — dx b
ox
o
= tg 2 z
— = a + è tg 2 z de donde ----- — = dx dx 6 a + btg z dz a + b tg 2 z
-J £ +
ì c c
integrando
entonces:
187
141)
(x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0
x + c = —^—[ a x + b y + c - J — arctg[J— tg(ax+6y+ c) + c]] a -b \a \a
339)
(\+ exly)dx+exly( \ - ^ ) d y = 0 ,
Solución Sea z = x - y
^ =1=1
=>
dx = dz + dy, reemplazando en la ecuación diferencial
(x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0
=>
(z + 2)(dz + dy) + (z + 3)dy = 0
Solución z +
(z + 2)dz + (2z + 5)dy = 0 =>
y
Sea — = «
=> x = uy =>
dx = ydu + udy, reemplazando en la ecuación.
(1 + eu )(udy + ydu ) + e u (1 - u)dy = 0
í d z + [ dy =c J 2z + 5 J
entonces:
z 1 ~ - — ln(2z + 5) + y = c
(u + ue" )dy + eu (1 - u)dy + (1 + eu)ydu = 0 , agrupando
(u + eu )dy + (eu + \)ydu = 0
=>
— + - ..— dy = 0 y e" + u
=>
> '(e"+«) = c
=>
y (ejr/;’ +-^) = c
142)
integrando
í ( ——- ( — í— ))dz + y = c J 2 2 2z + 5 ' =>
entonces
2 z - ln(2z + 5) + 4y = k
2x - 2y —ln(2z - 2y + 5) + 4y = k
integrando
por lo tanto: l n y + ln(eu +w) = lnc
=>
2
--------dz + dv = 0 2z + 5
=>
2y + 2x - ln(2x - 2y + 5) = k
ln(2x - 2y +5) - 2(x + y) = k
(x y 2 + y ) d x - x d y = 0 Solución
p arax = l , y = l
=>
e+l=c
por lo tanto:
.*. x + y ex,y = l + e y(xy + l)dx - xdy = 0 sea xy = u
340)
=> y = — entonces
(x 2 + y 2) d -x y d y = 0 xdu-udx dy = ------ -----x2
Solución Sea u = yx =>
=>
u\ .xd u -u d x -(w + l)d x -x (------ ------) = 0 x x2
dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial u(u + 1)dx —xdu + udx = 0 =>
(x2 + u2x 2) d x - x 2u(udx + xdu) = 0 => dx x
dx —ux du = 0 = > ------udu = 0
(u 2 + 2 u)dx - xdu = 0
(l + u 2) d x - u 2dx-uxdu = 0
u2 => ln x ------ = c entonces 2
dx du -------- --------= o => x u 2 + 2u
, 1 , 2 , ln x — l n------- = ln c 2 u +2
, x 2(u + 2) x 2 (u + 2) 2/ ln ------------ = in c => ------- ----- = c => x (xy + 2) = xyc 2 1 n x -w 2 = 0 188
entonces
entonces
7 => x y + 2x = cy
2 x 2 ln x - y 2 = k x 2 189
343)
(x 2 4- y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0
x = y 2ev ’' [ [ e - V y ^ r + c }
=>
x = .y V ' > ( e u r + c)
Solución por lo tanto:
* = >'2(1 + ce1 1)
( x 2 + y 2 + 2 x)dx + 2 ydy = 0 => ( x 2 + y 2)dx + 2 xdx + 2 ydy = 0
dx+ x +y
x + ln(x 2 + y 2) = c 344)
346)
dx + d ln ( x 2 + y 2) = 0 integrando
=0
y cosx dx + (2y - senx)dy = 0
Solución => in(x 2 + y 2) = c - x
=> x 2 + y 2 =ke~
Sea z = senx
=> dz = cosx dx, reemplazando en la ecuación diferencial
ydz + (2 y - z )d y = 0, es homogénea
( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy
sea y = uz => dy * udz + zdu
Solución
entonces:
uzdz + (2uz —z)(udz + zdu) = 0
udz + (2u - 1 )(udz + zdu) = 0, agrupando
( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy separando la variable
2u 2d z + (2u - \)zdu = 0, separando las variables
x entonces
345)
u
1 t x 2 +X+1 rr 2x +1 2 y —i = -) = c —ln — ----------- V3 (arctg — -==- + arctg —■ 2 y 2 - y +l V2^3
21nz + 21nw+—= c
=> ln z 2w2 + - = c
entonces
(jc - 2xy - y 2 )y'+y2 = 0 2 sen x ln y + ------ = c
Solución ( x - 2x y - y 2) — + y 2 = 0 dx dx 1 - 2 y — + — i f - x = 1 es lineal dy y
=>
v 2 — + x - 2x v - y 2 = 0 ' dy r l-2 y
x=e
x = g2In>'+1/>'[ f e~2]ny~1/ydy + c] 190
2— + (—— \r)du = 0 integrando u
r J— y [ le j
t\-2y
y
347)
, a i ■ por lo tanto: 2y ln y + senx = cy
y - l = e x+2y Solución
.
dy + c]
entonces
Sea u = x + 2y => y ’= —(— -1 ) , reemplazando en al ecuación diferencial 2 dx — 2 dx
(— -1) -1 = e" de donde dx
= 2 e u +3 => — —— = dx 2eu +3 191
integrando:
-^ ln (2 + 3e u) = x + c
2
=> ln(2 + 3e “) = ~3x + c
+ 3e~u = ke~3x => 2+ 3e ^ 2y =ke~3x
—
2(x5 +2 x 3y - y 2x)dx + ( y 2 + 2 x 2y - x 4)dy = 0
z =e
f— d y
=x
dy
m
_2 dx — dy
dz 2 — + —z dy y
dz 2 n ---------- z = —y => dy y
2ex + 3 e ly = ke~2x 348)
dz
sea z - x 1 =>
0
f— d y
y [J e y y ndy+ c], efectuando la integración z = e~2hly[ I y n+2dy+c\
Solución i r[ If -----y n+3 + c] i => >;"+1 c z —— —1= -------+ 2 v J w+ 3 jc « + 3
Sea y = tx2 => dy = x 2dt + 2xtdx , reemplazando en la ecuación diferencial
2(x5 +2x5t 2)dx + (x4t 2 + 2 x * t - x 4)(x2dt + 2xldx) = 0 , simplificando
350)
( J l + x 2 +rty)dx+(sjl + y 2 + ny)dy = 0 , y\x () = n
(2 + 4/ - 2t2 )dx + (f2 + 2/ - 1)(xí* + 2/¿Ét) = 0 entonces
Solución
(2 + 4 / - 2 / 2 +2t3 + 412 -2t)dx + (t2 + 2 t-l)xdt = 0
y¡l + x 2dx + nydx +
(2í3 +2t2 +2í + 2)dx + (l2 +2t -l)xdt = 0, separando la variable
•fl + x 2 d x+ -Jl+ y^dy + n(xdy+ ydx) = 0
„dx í 2 + 2 í-1 j f ^ d x ( / 2 + 2/ -1 2 — + _ ----- --------------- dt = 0 integrando 1 2 —- + | —------- ;-d l - c x / 3 + í 2 +í + i i x J t i + t ¿ +t + 1 2 ln x + f (—1— + ? l- — )dt = c J t+ 1 /2+ l 349)
agrupando se tiene
~sj\ + x 2 dx + -Jl + y 2 dy + nd(xy) = 0 integrando
J ^ \ + x 2 dx + J -Jl + y 2dy + J nd (xy) = c
x 4 + y 2 = c(x2 + y)
de donde se tiene:
+ y 2dy + nydy = 0
entonces
i[x^Gi + x 2 +ln x] + 4 x 2 + l[v A/Í + .v2 +ln_v] + V^+>'2 +nxy = c
x 2y ny '= 2 x y '- y , n * - 2
Solución paE0„»x = 0 , y = n =>
x 2y ny '= 2xy'-y
=>
y = ( 2 x - x 2y n)y'
c = n^íl + ñ 2 + \n[n + ^[\ + ñ 2 ] por lo tanto:
entonces: v j l + x 2 + ln |x W l+ * 2 \ + y ^ + y 2 +ln|-y/l+>>2 |+2nx=W l+ «2 + ln |« + V l+ « 2
dx j „ v ------2 x = - x v ' dy ‘
192
=>
dx 2 2 n —------ x = - x y => ¿V V
-2 dx 2 x -------- x dy y
=-y
n 351)
[3(x+y) + a 2 ]y'=4(x + y) + b 2 193
Solución Sea z = x + y
=>y '= — -1 reemplazando en la ecuación diferencial dx
(3z + a 2)(— - l ) = 4z + 6 2 => dx 3z + a 2 l z +a 2 +b2
f ■)' - ? * + ¿
352)
2as — = - ( s - at - b) ± J (sat - b )2 + 4 ast ds
, dz = dx
integrando
efectuando operación, agrupando e integrando y reemplazando. x
(3z + a 2) — = 7z + a 2 + b 2 dx r 3z + a 2 f ---- — — —dz = í dx + c J 7z + a 2 +¿>2 J
353)
2
—s 9 y
2
• se tiene que:
=t
2
y -ex
2
be = --------1+ ac
( x - y 2)dx+2xydy = 0
por lo tanto:
(4a2 - 3¿2) l n l 7(^ + ^) + a2 +A2 I = c
axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) y '- x y = 0 (lasustitución x 2 = .y, y 2 = f )
Solución
2 xydy + ( x - y 2)dx = 0 => dy 1 y — + —---- -—- = 0 dx 2 y 2x
2x y - + x - y 2 = 0 dx
entonces:
dy 1 1 2 —------ y = ----- , ecuación de Bernoulli dx x y
=>
Solución axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) / - x y = 0
y
=
despejando y ’ se tiene:
- ( x 2 - a y 2 - b ) ± J ( x 2 - a 2 - b )2 + 4 a x 2y 2
---------------------------------------------------- ^
multiplicando por y, se tiene : 2y — - —y 2 = -1 dx x sea z - y
2
dz dy — = 2y — , reemplazando en la ecuación diferencial dx dx
=>
------------------------------------------------------------------
2axy sea
^ = x 2 =>
ds = 2xdx =>
t - y 2 => dt = 2ydy
dy _ [s dt de donde — = ------sustituyendo en la ecuación diferencial : dx Vr ds
-------- z = - 1 , es una ecuación diferencial lineal cuya solución es: dx x r dx
z =e
* [J e
f_ ^x
* (-<&) + c] =>
y 2 = e lnjc[ J - ~ + c]
2
y
194
~ ( x 2 - a v 2 - b ) ± S ( x 2 - ay 2 )2 + 4ax 2 y 2 ------- 1— 2axy
s dt
- (s - at - b ) ( s - at - b )2 + 4ast
t ds
2a j s t
y 2 = x [-\n x k ]
=> — = - ln jt¿ = ln(jcfc)-1
e y l' x = ( x k y x
=>
x e y I / x =c
195
y = e lx (c1 eos 2 x + c2 sen 2 x ),
- 4/+8>> = 0
Solución
REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION] y = e 2* (cj eos 2jc + c2 sen 2x)
entonces
Las ecuaciones diferenciales de n-esimo orden son de la forma:
y = e lx[2(ci + c 2)cos2x + 2(c2 - c 1)sen2x] F (x ,y ,y ',y " ,...,y M ) =0
... (1)
y = - S c ^ 2* senx
por lo tanto:
y " - 4y'+%y = 0
y = x(senx —cosx),
y' '+y = 2(eos x + sen x)
Donde al despejar y (n) se tiene: y (n) = f ( x , y , y ' , y " , - , y (n 1})
...(2)
Demostrar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas.
Solución y = x(senx - cosx) =>
y ’= s e n x - cox+ x(eos x + sen x)
y M= cosx + sen x + cosx + senx + x (c o s x - sen x) 354)
y = e~x (3 eos x - 2 sen x ) , / ’+2y'+2y = 0 y = 2 sen x + 2 cosx + x(cos x - sen x) Solución y '+y = 2 sen x + 2 eos x + x(cos x - sen x) + x(sen x - eos x) y - e ~ x (3 eos x - 2 sen x ) , derivando con respecto a x por lo tanto:
y ' '+>> = 2(cosx+ sen x)
y' = -e ~ x (3 eos x —2 sen x) + e~x (-3 sen x - 2 eos jc) = e~x (-5 eos x - sen jc) y = (C\ + c 2x)e~3x ; y ’'+6y'+9y = 0 y"= e~x (5 sen x - eos x ) - e ~ x (-5 eos x - sen x) Solución y" = e ~x(4 eos jc + 6 sen x) .y ^ C i + c2x)e-3jr y"+2y'+2y =
= £“*(4 eos x + ó s e n x -lO c o s x - 2 sen x + 6 c o s x - 4 s e n x) = e -Jf(10 c o sx -lO c o s x + 6 s e n x - 6 sen jc) = 0 por lo tanto:
=>
y = - e “3jf(2c2x + 3 c 1)
(4cosx+ ósenx) + 2£~*(-5cosx - senx) + 2e~xQcosx - 2senx)
y' '+2 y'+2 y = 0
y s ^ ^ í ^ x + P q - 2 c 2)
por lo tanto:
y = x 2 ln x , xyM,= 2 Solución
y"+6y'+9y = O
y = x 2 ln x
y " ' = - 3> X 359)
y ' = 2x \ n x + x
=>
xy'” = x ( - ) = 2 X
=> y " = 21n*+3 entonces
y ' ’= ---- —(>-+i)3
entonces:
=> x y " '= 2 yy”+y'ì - y '2 = y ( ^ T ) + ( - Z T )3 - ( - ^ r ) 2 = 0 ( y + l) y+1 y+l
x= y*+ y, Solución x=y
2+y
1 y’= —----2y+l
=> 1 = 2yy'+y'
por lo tanto:
yy’’+ y '3- y '2 = 0
=> 1 = 2yy’+y’ entonces .162)
-2 v ' => y " = ------- de donde (2 y + l)
y = c, + c 21 y d t ,
xy"+(l - x)y' = 0 Solución
-2
y " = ----------(2 y + l)3
y'y'"=
12 , (2 y + l)
por lo tanto:
12
=>
v,M= ----------(2y + l)
entonces
=> y / " = 3 ( ----- — y )2 = 3y"2 (2y + l)
f* y = cì + c2j — dt
M e * {x -\) y = c 2 — ~ —X2
e* y' = c2 —
=>
A i. / \ i / (jc —1)x . e* entonces xy + (-x ) y = x(c2— ^ — ) + 0 “"*)c2— X X
/ y " ' = 3y ' ' x " + (l-x )y '= c 2
360)
x + c = e_>' => y■»"=" = - e^>. y
por lo tanto:
=>
1 = -e_>,y y " = e ly
=> y= -ey
entonces
»63)y = q x + c2x
x v " + (l-x )y ,= 0
f2 c* — d t, x > 0 ,
= y 2 => y = ( y ) 2
x = y + l n y , y y ”+ y’3- y ' 2 =0
/•2
Solución x = y + ln y
=>
1 = y'+ — y
~> 1 x~y”-(x +x)y'+(x + l) = ( Solución
y = C1X-fC2X
198
_ Ì £ z l l C2e^ = 0
x + c = e~y , y " = y '2 Solución
361)
entonces
=>
y ' = - ^ r entonces y+1
Jx
|*2 £>*
--- => t
y = cl + c2
---------- dt-
'
Jx
t
e x e x = - e J (-----r / * + 1 )\ entonces: y = -------x x
199
x 2y ' '- ( x 2 + x)y'+x(x + l)y = x 2( - £ _ Í£ ÍÜ ) - (* + x)(c, + c , í - d t - e * ) + x A t
+ (x + l)(ci x +c2x j
365)
x = J ( 2 1 n í- l) + c . I I , y = t ]nt+c2 J
y ( l + 2 1 n /) -l
Solución
di )
dx = 1+ 2 ln í dt
fx = í(2 ln í- l) + C j
xy'
dy_ — = 2 í ln í + 2í
[.y = í 2 l n í + c 2
di
J
*e ¿¡í ------ ,
X > 1
dy
dy_ dy _ dt _ <0 + 2 lní) =í dx dx_ l + 2 ln í
* lní
x 2 ln 2 x.y' '- x ln x ./+ (ln x + 1)>' = O
=>
dt
d 2y = dy' = dt dx2 dx dx dt
1 1+ 2 ln í
Solución 1 (1 + 2 ln í ) = 1, por lo tanto: 1+ 2 ln í
y '(l+ 2 1 n /) =
y = C\ ln x + c2 ln x f
Jjr lní
derivando con respecto a x
/ ' ( l + 2 1 n /) = l
, c\ c2 t e dt , . .y = — + — I ------ c 2 nuevamente denvando x x Jx ln í 366) x2
r dt x 2 Jjf ln í
c2 xln x
x = (í + l ) e '+ Cl
y = t 2e ' + c 2
y " e y (y'+2) =1 j Solución
X2 ln2 x y " = - c i ln2 x - c 2 ln2 xj" ^ - - c 2x \ n x
dx íx = (r + l)e' + q
- x \ n x . y ’= - c 1 \ n x - c 2 ln x f — - + c2x ln x Jx lnr (lnx + lXy = Cj ln2 x + q lnx + c2 ln2 x f —- + c 2 ln x f Jx lní Jx lní Sumando las tres ultimas ecuaciones. x 2 ln 2 x.y''-x ln x ./+ (ln x +1)y = 0 200
~dl
l y = t 2e '+ c 2
dt
= e‘ (t + 2) = te1(í + 2)
dy_ cjy_= j L = fg,(<+2) = í dr fk e '(í + 2)
=>
dy
= í
dx
dt 201
2 d y
^ dy = j t _
dx2 dt
dx
dx_
1
_
e '(t + 2)
1 (/ + 2)e'
368)
x = —ln í h—— r 2 4í r 3
y 2 - 2/ y ,+ 3 =o
y ’e y ( y +2) = ----- ---- e ' ( t + 2) = 1 (í + 2)e' por lo tanto:
367)
Solución 3
lní 3 x = -----+ ——
y " e y (y ’+2) = 1
2
4/
í
3
dt
sen 2 r * = C2 + C ,(í------— )
r-3
21
2 í3
2í3
1
9
(f2 - 3 ) ( f2 +3)
4 í4
"
4 /4
2 (1 - j 0 / ’= 1 + / 2 y = l - c 2 sen2 t ¿V ate dt
Solución
x = c2
sen 2 r +c,(r, -----—)
dt dx_
dy'
r 2 +3 2t
2f2 - f 2 - 3
2r ±JL = V = dt_ = _______
— = -c? sen 21 dt 2
- c 2 sen2r c1(l-c o s 2 f)
2 /3(r2 —3)(r2 +3) 4r4 ( í2 - 3)
dx „ — = c, (1 - eos 2 r) dt 1
y = l - c 2 sen2 í dy dy dx dt
4y dt
dx2
entonces:
dx
dx <*
f2 -3 2 í3
í +3. y " ¿ - 2 y y + 3 = í ¿ - 2 í ( 1- ^ p ) + 3 = í 2 - í 2 - 3 + 3 = 0
por lo tanto:
y ,2 - 2 / y' ’+3 = 0
2
d y dy’ _ dt _ - 2cz eos 21 dx2 dx dx^ q (1 - eos 2t) dt = 2(1 - 1 +c. sen2 Q (-:f o cos2* ) = 2g2 * n * ( - 2c2 eos2Q q (1 - eos 2r) Cj (1 - eos 2t) por lo tanto:
202
2(1 - y ) y " = 1+ y '2
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones correspondientes. 369)
y = cl sepx + c 2 co sx ,
y"+y = 0 Solución
y = cx sen x + c2 eos x
=>
y'= cx eos x - c 2 sen x
entonces 203
y ' = -c¡ sen x - c2 eos x
entonces
<72)
y = >/(x + c1) 2 + c 2 ,
yy"+y,2 = l
y '+y = -c x sen x - c2 eos x + cx sen x + c2 eos x por lo tanto:
Solución
y"+y = 0 y = -J(JC+ Cl ) 2+C2
=>
/ = ^ /( X + C i ) 2 + C 2
370)
y = —(cxe x + c 2e x) ,
xy"+2y'-xy = 0
X
c, y '' = ----------- ------ —( ( x + q ) + c 2)
Solución
entonces:
yy''+y'2 = ^ [ ( x + c ^ y ---------- y -----((x + ci) + c 2) / = — \ ( c xe x + c 2e x) + —(c1e x - c 2e x) xl x
+— ( x + Cj ) 2 + c 2
y " - —j ( c xe x + c 2e x) — ~¡r(c¡e x - c 2e x) + - ( c 1e x + c 2e x) X
X
X
>73)
+
-----= 1 por lo tanto:
x + c 2 = y i + c ly ,
y"+6yy,3 = 0 Solución
x + c 2 = y 3 + c ly y = c1x - t c 2 ln x ,
=>
l = 3 y 2y ’+c¡y'
entonces
x 2 (l -] nx) y"+x y' -y = 0 1 y '= — -----3y 2 + c,
Solución i y = CjX-f c 2 ln x =>
c y i = cx + — => x
y »»= — 7x2
= -Cj + c 2 ln x + x q + c 2 “*CjX-~c2 lnx
por lo tanto:
x 2 (1 - ln x)y' '+xy'-y = 0
_=>
y.... =
~6yy' (3y2 + c ,) 2
6y (3y2 + c 2) 3
y''+6yy'3 = —-— - + 6y(— ------- ) 3 = 0 por lo tanto: (3y + q ) 3y + c
x 2( l - l n x ) / ,+xy'-y = x 2( l - l n x ) ( - - ^ - ) + xc1 + c 2 - q x - c 2 lnx x
204
yy''+y '2 = 1
(x + C j) 2 + c 2
por lo tanto:xy' \ 2 y ' - x y = 0
371)
+ ■■ (x + c^ — (x + c i) + c 2
y"+6yy'3 = 0 374)
x + c 2 = ln se n (y + C !), y " ~ y '(1 + y '2 ) Solución
205
x + c 2 = lnsen(y+c¡)
y - tSCv+ c i ) =>
=> 1 = — P +Ci)y' entonces; sen(^ + c ,) ,
y ” = sec 2 ( y + c¡ )y
entonces
Verificar que las relaciones dadas son integrales (generales o particulares) de las ecuaciones indicadas.
176)
(*-ci)2 + (y-c2)2 = 1, y = ( i + y 2)3/2 Solución
y ' '= sec2 ( j + c , ) tg(>> + c ,) (je-C j)2
+ ( y - c 2) 2 =1
=>
y - c 2 = tJ \ - ( x - C
i)2
.derivando
y ' = seo2( y +c¡) tg(x+c¡) = tg(y+c1) + tg3(y+ c¡) y —
y " = y '(l+ y 2)
=>
y 2 ( l - ( x - c , ) 2) = ( x - c , ) 2
=> y " = y ( i + / 2 )
J -x sen t 0~
, = Cl) , ^ ~ ( x ~ ci ) 2
v 9 ----- = (x - Cj) => i+ y 2 v " d t , x sen x.y' '-x eos x.y'+ eos x.y = 0
y x-cl = , nuevamente derivando 1 Ví + y 2
/ 2 *yV i + y— 1= ----------------- -!-----1+ / 2
Solución
entonces
( i + y 2 )3/2 = y + / 2 y - y y =>
377) Sei1^ y - c2 -------+ c2 eos x x
poriotanto:
y = ( i + y 2 ) 3/2
y = c 1+c2j * ^ d t + c2 sen* y 2 = l + ( l - x ) 2 , y 3y " = l
entonces:
y - x eos xy'+ eos x.y = —---------+ c2 eos x - c xx eos x x 1
J
. sen t —— d t - c 2x c o s x .s e n x + cxx c o s x + c 2xcos (**—n f dt 1 Jo t
Solución 2 y y '= 2 ( l - x )
=>
x —1 y = ------ , derivando nuevamente; entonces: y y - ( x - 2)2
> > - (x -i)y
^
.2
„2
,v2 - ( x - i ) 2 „3
y % x eos x.y'+ eos x.y - 0 y 3y ” = y 3
^
= y 2 - (x - 1)2 entonces: 207
y 3y " = y 2 - ( x - í ) 2 como y 2 =l + ( l - x ) 2 entonces (l+ e* ) y 2 —(1—x ) 2 =1 378)
porlotanto:
y 3y" = 1
y 'ln j> + —— K y = 2 x e jr
entonces:>’"lnj>+ +
sen( y - c 2) = e x~c , y " = y ' ( l + y ' 2 ) 2yxe^_ - ( l + e*2) 2
2 x y tS - ( l + e ^ ) 2
Solución
/ ‘(ln j'+ l)s e n Q - c 2)
—€
_c
(l" ^ ^ .... -
e x c o s ( y - c 2) y '- e x s e n ( y - c 2) „ — ---------------------= 0
=>
e*
e 2x
y '~ lS ( y ~ c 2 )
=>
y = s e c 2(jv -c 2) y
(l^ + 1,! y ( ln y + 1)
(2xyexl ~(l + e ' 2)) entonces:
.2 _ (ln_y+l)2 , (l + e x ) 2 ^(1 + ln y)_y"+_v’ = ^ (l + l n j ) ---------------------------1y(ln_y+l) (lny + 1)
y ’= sec2 (J - c2 ) tg(y - c 2 ) = tg(7 - c 2) + tg3(y - c 2 ) y = y + y 3= y (i+ y 2) 379)
CiX + C2 = ln (C jJ -l),
porio tanto:
y = y ( i+ y 2)
y y ''= y ,2+y'
y C + l n y ) / ' + / 2 ■=
>1 „ (ln;; + l) 2
por lo tanto:
(ln_y+l)
? r2 y(\ + ln y)y' '+y' = 2xye
Solución cix + c2 = ln(cly - l )
/= ^ - l
yy' '= yy'c 380)
>- l n = x +
=>
=> q = — q y -1
entonces
y = c 1y = c 12y = c1
de donde al reemplazar se tiene:
Cx 2
yy" = y ■ 2
2
e' d t , y{\ + ln y)y''+y'2 = 2xyex Solución
y \ n y = x + ^ e ' dt 208
=>
y i n j 9>'= l + e ^
entonces:
209
La sustitución y' - p permite reducir el orden de la ecuación en una unidad. En este caso se considera p como una nueva incógnita de y. p = p(y) expresamos todas las derivadas.
REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION!
Se consideran los siguientes casos:
■ y ' . y w 00 mediante las derivadas con respecto a y de la nueva función incógnita F.
I.
d ny dx"
m
donde f(x) es función solo x o constante.
, dy y = ^ =p
La solución se obtiene integrando n veces. y -
M_ dp _ dp dy ^ dx dy dx
(...( ( f ( x ) d x + cx) + c2)„¿n)dx dx
II.
dp ^ dy
Cuando la ecuación no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta el¡ orden k - 1 inclusive.
dy
dy
dy
dx
dy
dy
poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de
y'.y,,,...,y ('l), resulta
una ecuación diferencial de orden n - 1. se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución
IV.
y , y ' , y " , . . . , y;(/l) (n) ósea.
y (k) (x) = p(x) , después de la cual la ecuación toma la forma:
..
F ( x , p , p ' .....p (n~k)) = 0
se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la sustitución:
de esta ecuación determinamos: P —f
?^2»***’ cn~k )
y- e
siempre que esto sea posible, y hallamos después y de la ecuación
La ecuación no contiene la variable independiente. F ( y , y ’,y '', .. ., y m ) = 0
210
f zdx
donde z es una nueva función incógnita de x.
y^k) = f ( x , cx, c2,..., cn_k ) integrando k veces.
III.
La ecuación F(x, y , y '',..., y (w)) = 0 , es homogénea respecto a los argumentos
z = z(x) V.
La ecuación es tal, que al escribirla mediante diferenciales. F(x, y, dx, dy, d 2y,..., d ny) = 0 211
resulta
que
F
es
homogénea
respecto
de
sus
argumentos
382)
x , y , d x ,d y ,d 2y,...,d ny , donde se supone que x, dx son de primer grado e Solución
y , d y , d 2y,...f de grado m. dy d 2y En estas condiciones, — será de grado en m - 1, — — de grado m - 2 , etc. dx dx1
y ,v = x
Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e l , y - uemt, como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre u y t que no contiene a t explícitamente, la cual permite reducir su orden en una unidad.
y" = J (— + cl )dx + c 2 = — + c1x + c 2 entonces:
y ' ”= ^xdx+ cx = ^ Y + c l
=>
r x2
X3
*3 v. , x Cj 2 y . =]f ,(— ■ + clx + c 2)dx + c 3 => y = j 4- + — X + c 2x + c 3 Integrar las ecuaciones. 4
^
y = J"(~~ + x 2 + c2x + c 3)dx + c 4 por lo tanto: 381)
y " = x e x , y ( 0) = y '( 0) = /'( O ) = 0 x C,x c 2x y = ------ + —— h--------+c-,x + c4
Solución
120
0
2
y " = x e x => y"= ^ x e xdx + cx 383) y % = e x (x —l) + Ci9 y ' ' (0) = 0
entonces:
0 = - l + cx
/" = x ln x ,
y(l) = / ( l ) = y " (l) = 0
=> c¡ = 1 Solución
y = e x ( x - 1) + 1 => y ' = f ( e x ( x - l ) + l ) d x + c y " '= x ] n x y '= x e x + x + c, y'= x e x +x
y '( 0) = 0
entonces:
0=0+
c
y " = ^ — l n x - —— f-c, y"(l) = 0 entonces 0 = 0 - —+ c 2 4 4
c =1
x2 x2 1 y"= — ln x - — + 2 4 4 x 3x 3
y = (x -l)e * + — 212
entonces:
=>c = 0
=> y = J (xex + x)dx + c , dedonde
x2 y = xex - e x + — + c , y(0) = 0 => 0 = 0 - l + 0 + c =>
=> y ”= J x l n xdx+c
x3
X
=>
c=4
r x2 x2 1 => y ' = \ { — \ n x - — + - ) d x + c J 2 4 4
y '= — l n x -------------+ —+ c ^ 6 18 12 4
entonces:
y' (1) = 0
1
=> c = — 6 213
f .x 3 , 5x3 x 1 ^ J (T ln ,t“ l 6 - + 7 + 6 |,i,+ c
/ ' = ------- - r-+ ----- — r + c , 3(x+2) 4(x + 2 )
X 5x X X y = — l n x --h— + —+ c , y(l) = O 96 144 8 6 5= 0 + —i— 1 1 ye 144 8 6 -
A 0 n
por lo tanto: 384)
0a = — 1- + — 2- + c 3 4.3
37 => c = --144
x 45x3 x x 37 v = — lnx ------ -i----1- —+ ----96 36 4 6 144
=>
/ ’(1) = 0
c = -----1 162
„ 1 1 1 y = ------------ -+ ----------- -+ ----- , integrando 3(x+2) 2(x + 2) 162
1 r + -----------r 1 1 w)í£c + c V■- ír(-----------+ ----J 3(x+2) 2(x + 2) 162
/ " = x + cosx Solución
y ' = ------ 1—
=>
X y " = — ■+•senx +=> y'= 2
f x (— + senx + cl )dx + c2 J 2
-
x3 r x3 y = eos x + Cj x + c2 de donde y = (-------------- eosx + c1x + c 2)¿£t + c3 6 J 6 . por lo tanto:
385)
/" =— 1 (x + 2)
r4 riX r2 X C = — - s e n x + —— + c2x + c3
y (l)= /(l) = y ( l ) = 0
214
J (x + 2)
(x + 2)
/(1)=0
6(x + 2)162
0n = -—1 — - +1 — —+1 c 6.3 6.3 2.3
3 => c —--------162
1 1 x 3 v = ---------- ---------------—+ ------1------, integrando 6(x+2) 6(x + 2) 162 162
y =
f. 1 1 x 3 (---------- ---------------- + ---- + -----)dx J 6(x+2) 6(x + 2) 162 162'
1 1 x 3x ... . y = ------------- + ------------ - + - —- + ---- t + c , y(l) = 0 12(x + 2) 12(x + 2) 4.3 2.34 1 -------— 1 1 3H------- + c 0 = ---------1 -i------— 12.3 12.3 3.3 2.3
Solución
(x + 2)
------ J — + J L + C
6(x + 2)
y ” = J (x + eos x)dx + cl entonces:
-
y '" = x + c o s x
, por lo tanto:
* entonces:
1 1 x y = ------------ ----------------+ 12(x + 2)212(x + 2) 4.34
1 c= ----243 3x
1
2.34
243 215
386)
c —x p ------
/ ,2- 5 / + 6 = 0
c —X :=> dy = -------d x , integrando miembro a miembro: + cx l + cx
1
Solución y= p
. x In 11+ ex | y = ln(l + c r ) — + -------=----- + k c cl
=> v"= ~ de donde (— ) 2 -5/? + 6 = 0 entonces dx dx 388)
dx
=^ +
=> - ~ = = dx 4$p +6
4(5p + 6) = 25(x + q ) 2 entonces:
=>
/ ' 2- 2 y ”y'+3 = 0
- ^ 5 p + 6 = x + cx 5w
Solución dy — = p =>
20 — + 24 = 25(x + cx) 2 dx
d y dp — í- = — = t d x1 dx
20dy = [25(x + c¡) 2 - 24]¿£t, integrando tenemos: dx
25 2 20y = - j - ( x + c1) - 2 4 x + c2 , por lo tanto 5 ,x5 12
6x U
387)
dx
dp
c2
y = — (* + Ci)3 ---+ —
- 2 d- ? - . p + 3 = 0
= dx
^
, 2P ± V V - 1 _2!
dx
r r ^
2
integrando y reemplazando se tiene:
520 1,ln |, r |. h— 3- + q x=— 2 4r / 3 y = --T +1---—y: + c 2 4 4í
( l + x 2) / ’+ / 2+l = 0 Solución i dy y ' = —~ = p dx
, , j de donde
dp => y"= — , reemplazando en la ecuación diferencial dx 389)
x y " = /ln — X
(1 + x ) — + p 2 +1 = 0 , separando la variable se tiene: dx
pf c +1
+7l T+Zx T¿
de donde:
=0
integrand0
J\ p ^¿ +1 + J¡ 7I +^XJ = c'
arctg p + arctg x = arctg c arctg p = arctg c - arctg x
216
Solución Sea
z = ln —
V
=>
dz dx
x y " -y ' y " 1 xy' y' x
y” 1 y'
xy"= y ’ln — => — = —ln — , reemplazando se tiene: x y' x x 217
y'
x
x
=>
x
— y
x
dz 1 — = —(z -1 ), separando la variable dx x
entonces:
_y = Jsecíx + cVit + c,
(üi — - i ) x
x
391)
e cjr+1 y'= x -------dx c
=>
se tiene
y "' =
eac+\ e xc+1 y —x -------------C e ... y = e ^
390)
y"=
y => ln(-—) = 1+ xc
p
\
C
c
1
=>
) +k
dp dx
entonces:
y '" = - J -
J l-y 2
^
-
y + c 2 = l n |t g ( ^ + c ,) |
Solución
dz dx ----- = — => ln(z —1) = In xc entonces: z —1 X z —1 = xc => z = l + x c
y ” 2 + y " '2 =
=>
— dx
= >
=
Jl -
p 2
, separando la variable
= d x , integrando:
= [ ¿ r + c1 =>
aresen/; = jc + q
=>
/? = sen(x + q )
y " 2+y'2 = y 4 — j- = sen(jc + cj) dx
Solución dy — =p dx
d 2y dp — r- = p — , reemplazando en la ecuación diferencial: dx2 dy
=>
=> / = -co s(* + q ) + C2 entonces y = c2x - sen(jc + Cj) + c3
392)
/ ’(l + 2 1 n / ) » l
Solución =► &dy 2 - p 2 - 1
dy dp r~^ — =vP dy
7
1 =x+c árceos— P
dy
p = sec(x+c)
dx
=>'
dp —f =
dy — =p dx F
d 2y dp => — = — , de donde dx2 dx
= dy> integrando — (l + 21n/?) = l dx
=>
=>
—1=cos(;c + c) P — = sec(x + c), integrando
=>
J ( \ + 2\np)d p = J d x + c
(l + 21n/?)d/? = dx
=>
2 p \ n p - p - c +x x + c = p(2 ln j? - l) ^ + c = /?ln/?
2J8
219
393)
'
dp du — = — + u => dx d i
x = v " 2+1
d 2p ~ i , d 2u du — , = e (— -- + - —)» reemplazando en la ecuación dx2 d z 2 dz
Solución y ' ,2 = x - l
entonces:
394)
=>
y ”= 4 x - ^
y = — (x ~ l)
5/2
.du 2 x - t , d 2u du. i e 2z ... (— + u) - ue £ (— - + — ) = u—-—, simplificando dz d z2 dz e
=> / = - ( x - l ) 3/2+C!
d d d2 (— ) 2 + --------- —= 0 ydz dz d z 2
+ cxx + c 2
du — =w dz
4y'+y"2 = 4 y " = 4 x y ” Solución
2
=>
resolviendo y reemplazando se tiene: y = c 2(xe“* - - e c'*)+c3 C\
, reemplazando en la ecuación diferencial: dx2
dx 396)
Ap + (— ) 2 = 4jc— * dx
— = 2x±2Jx2- p 2 dx
y"(y'+2)ey' =1
de donde Solución ^ =p dx
es homogénea de donde al resolver esta ecuación se
obtiene: y = c1jc(x-c*1) + c2 =>
395)
2 dw _ => w + w ------= 0 entonces dz
w +w
#
Sea — = p *
d 2u dw — - = -— dz dz
=>
= dz
de donde haciendo la sustitución
^ = ~3~ + c
=>
dw2
( p + 2)epdp = dx
dx
integrando
e p ( p - l) + 2ep =jc + c
y 2- / y = ( 2 L ) 2
=> — (/? + 2 ) ^ = 1 entonces: dx ^ J
(p + 2)epdp = j dx + c
entonces:
x + c = ep (p + 1)1
Solución
y + cx = p Ve* — =p dx F
dx 220
=> — ^ = — de donde / ' ' = , reemplazando d x2 dx ' dx2
dx1
x
X ..- ,
p =
397)
y = ^ + 4 , JC >>
I
dy P
dx
y(2) = 0, y (2) = 4
Solución 221
y '- p
dp
ln | p +
=> y " = — de donde ^ — entonces: dx dx x p 1
p— — ——p dx x
2
*
2
dp
2
= x l => 2/7 — — P dx x
2
= 2/7 ^
=>
_*-(*+*> p ------------------- como 2
l
2x
dy sea z = /?2 =>
p 2 + 1 |= x + c
, reemplazando en la ecuación
e x+c-e ~ (x+c)
& ”
2
p + ^ p 2 +1 = e*+r despejando se tiene:
dy p = — , entonces se tiene dx f r e x+c- e ~ (*+c) J dy + c = J -------- ---------dx
integrando
entonces:
y + q =senh(x + c). — - —z = 2jc2 es una ecuación lineal cuya solución es: dx x 399) r 2<¿¡r z = e J~ [ j V
~ 2jc2
Solución , , dz y" ,dz ln y ' = z => — = — => y — = y dx y dx
z = jc2(2 x + c) = 2jc3 + cx 2 => p 2 =2jc3 + cx2 => p = x-J lx + c
~ = ^¡2x* +cjc2 , y'(2) = 4 dx
=> y = — 3
dx
y " = y ' L n y ' , y \ x=0= 0 , y ' \ x=0=l
=> 4 = -Jl6+4c => c = 0
x s /2 + k , y(2) = 0 => £ = - — 5
« i n . y = y in y
. dz , =s> y — = y z dx
ln z = x + c
=> z = e x*c => ln(lny’) = e*+c de donde
ln y ’= e por lo tanto: ^ 398)
2x2 /-— 16 y = ------ V 2 x -----5 5
400)
x+ c
dz , => — = dx entonces z
=> y ’= 1 para x = 0, c = 0 e integrando se tiene:
2 / 1ln y = y , y | ^
= -6e
y " = ^ l + y '2
2, y' \ ^
y = x.
= e “2
Solución Solución
dy - dx
—
d 2y _ dp dx~ dx
dy — =p dx
_
d 2y dp => — r = /7— d x2 dy
dx 2 ln p.dp = dy
= dx
I
dp 21n p.p — = p entonces: dy
=
í l = r =í
dx + c
=>
2J ln pdp = J dy + c
=> 2p in p - 2p = y + c
entonces: 2 — ln — - 2 — = y + c entonces: 2e~2 ln c = 0 dx dx dx
222 223
» y = 2p In p - 2p diferenciando dy = 2dp + 2 ln p.dp - 2 dp pdx = 2 In p dp => dx = — -— dp P
402)2 / / ’= l + / 2 , ^ L=0 = l n 2 - l ,
Solución
integrando — =p dx
jc = ln 2 p + c > x = 1 , y' = e -2 entonces 1 = 4 + c => c = -3
ln 2 /? = x + 3 => p = e ^ c => ^ = dx
/ | , =0= - 1
=>
^ ^ = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx dx
dp , 2 ' ~ ~ = 1+ /? => dx
2pdp 1+ /?
= dx
=>
f 2/?d/? J L-h/7
integrando ln(l + /?2) = x + c ,
y' —P —“ 1> x = 0 , ln2 = c
■= -2(V x+3 + l)e l n ^ - — =jc 2 401)
y " +y ^ y T- ¡ = 0 ,
=> l + /?2 = e 2* => p = ^ e 2x -1
=> — = ^ e 2x -1 dx
= 0 ,i dy = ^ e 2x - I d x integrando se tiene:
j; = x - ^ 2 e x -1 + ln 2
Solución 403) y = p =>
jcy,,,+ y ,- * - l = 0 Solución
y = — , reemplazando en la ecuación dada dx y"= p
— + P^j~P2 - 1 = 0 dx
J—
. = -d x integrando: ' J 7 -.2
---- = - j*¿fcr + c
x — + p - x - 1= 0 dx
ti,
y = Fl
x
ecuación lineal cuya solución es:
x
d 2y x 1 Ci — —= — h1H------+ — dx2 2 2x x X
y = c - ln | tg(- ~ -— ) + ~ | => y = 0 para x =
224
— + —/; = dx x
=> c = 2ti
dj> = sec(2/r-x)dx , integrando se tiene
por lo tanto:
=>
=>arcsen/? = c - x => p = sec(c —x) p - e
dy_ = se c (c -x ), x = dx
=> y '" = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx
f , ,271-x ^
K,
j = - ln | tg(— - — ) + — |
ti
=> c = 0
3
X
2
X
dy x 2 1, . entonces: — = — + x + —lnx + Ci lnx + c2 dx 4 2 X
_y = — + — + —ln x — + q x ln x - c]x + c 2x , por lo tanto : J.2 2 2 2 1 1 2 y = — (x + 6x ) + clx l n x + x(c2 - c 1) + c3 225
406)
404)
x V M+ 2 x V ' = l
y 'y " '-3 y ”2 = 0 Solución Solución dy — =p dx y
=>
/•= /?
d 2y dp — —= p — dx 2 dy
de donde
=> y ' " = ^ - de donde x 4 ^ - + 2x3/> = 1 dx dx
¿P —p 2 = —1 -£L+ dx x x
d^y dp 2 ¿ 2P ,,dp. 2 , d 2p „ „ i , d p 2 n — f = M I ) : + p — f = /> (M ) + />(— f )) - 3/»2 M ) = 0 dx ¿V dy2 4v dy2 ¿V
=>
p = e~2Xnx[ \ ^ r + c] J
resolviendo se tiene:
Y
2
r f í “* — + 0], ;,=*> - Í V*[] p = -Xr[—- + c]
x = cxy 2 + c2y + c3 rf2y 1 c ' , — = — r + — integrando <£c x3 xz
405)
entonces:
X
integrando
7 * X4 xy'2 / ’= / 3+ í _ se tiene:
y = - — - c ln x + cix 2x 1
Solucién 407) / = /> => y * = ^ de donde dx
x/ j 2 ^
dx
= />3 + — 3
-
3 3 sea z - p
dz 3 3 —------ z = x entonces dx x
=>
z =e
z = e 3]nx[ je ~ 3lnxx 3dx + c] =>
dy = x ljx + c integrando
3
dz - 2 dp — -3p — dx dx
- 3 Í - - f J— 3 x [\e x x dx + c] J z = x 3(x + c)
Solución y ' —p
de donde — p = — p 2 multiplicando por p 2 dx x 3 2 dp 3 3 p p =x dx x
V l - x V ’+ V T - / 2 = 0
=> p 3 = x A+cx3
y = — lj(x + c )4 - —(x + c )7/3 + q 4 4
=> / ' = — => V i - * 2 - ^ + J l + />2 = 0 ¿foc dx
dp - — r+
dx ......
„ =0
. integrando
VTV arcsen p + arcsen x = arcsen k, despejando se tiene: p = k cos(arcsen x) - cos(arcsen k)x entonces: dy =■[k cos(arcsen x) —cos(arcsen k)x]dx, integrando se tiene: 1 £ 2 2 kx r 2 k y - — V I- x x + — V I- x + —arcsenx 2 2 2 227
226
408)
(jc - \)y '' '+ 2 /' = ~ Y
y'= p =>
y ”= p — ay
de donde y p - - p 2 - 1 = 0
Solución y" = p
=>
entonces:
j y " ' = — , reemplazando en la ecuación diferencial dx
— =0 J
1+ p "
=> -^ln(l + ^ 2) - l n y = lnAr
l n |l + p 2 l - l n y 2 = l n i 2 => dp 2 l — + p = — r-, ecuación lineal dx x -1 2x
,
>2 . ** - k 2 => p 2 = k 2y 2 y
-
/ 1^ dP *+1 ( x - l ) - —+ 2/? = — — => dx 2x2
-
12dx
p = 4 k 2y 2 -1
12dx-%
~Í~¡T7r f J^T dx >= e x l [ | e x 1 — J 2x2
=>
^~-=^jk2y 2 -1 <£t
l r C( X~ l) , P ----------t U ----- v ” dx + c] (x - l ) 2 J 2jc
=>
^ -----= rfr
-1 |= ;r+ c
-
d 2y 1 x 1 — —= ------- —[— h* x + c] integrando dos veces se tiene: dx 2 ( x - l ) 2 2 2x l n | ^ + 7 * V 2^ -l N fcc+ q
x y = —lnx + c ln | jc-1 \+c3x + c 2 411) 409)
yk + ^jk2y ^ ~ l = e**+C|
3 / / ’= 2 y , y(0) = y ( 0 ) = l
y " y 3 =l Solución Solución
y ' - p => y " = p —
y ”y 3 = 1 '=>
y3
¿fe
de donde
dy
=~ —— => _y'— y'% = 3 entonces
y = -y
y3
entonces 3p 2dp = 2ydy y 2 1 — = - —-j-.+ Cj => 2 2y2
,
I
1 y = J c2 ---- 2 y y2
410)
=>
d‘ x = ^ y2 + C i’ x = 0 ,
-y -1
c 2y 2 -1 = (c2x + c 3) 2
d1 =yJ/l+Cj _ d x
yy”- y ’2- 1 = 0 Solución
228
=> p 3 = y 2 +cx entonces:
lntegrand0 P =^¡yT +ci
setiene:
3p.p — = 2y dy
=>
C[ = 0
=>•
— = íf y 2^ entonces:
y~í l i dy = dx integrando: 3y1/3 = x + c
=> 7y = (x + c )3 , x = 0, y = 1 229
i
de donde:
c=3
=>
y = ( ^ +1)2 dv' dv' y " = y '~ — de donde 3 y ' ~ - = y~s n entonces: dy dy
412)
y"-a ey
Solución y' —p =>
y " = y '— dy
3y'dy' = y 5lidy
de donde y ' ^ - = aey dy
y
—k —y
=> y' —-Jk —y 2/3
c2
entonces y' dy'= aeyu integrando —— = aey +cx => y'='J aey + c *•15) dy
,
.
,
. l , i
= (U dx lULbglOlIUU integrando »V se tiene: --- — UWUV.
entonces — — = - — y~2/}+c 2 2
1 + y '2 = 2y y”
\ a e y+ c 2 - c
Solución
c y a e y + c 2 +c y'= P => y " ~ P ~ dy
413)
4 / '=
) = i(2 c 2>’2/3 +1)-Jc2>,2/3 —1
x+ k - —l1U n | ------------------A 1ft.------i ...—-----------
y a e y +c
integrando se tiene:
1
dp _ 1 ¿y 2 ^
p 27
de donde
, ent° nCeS:
l + p 2 = 2 y » -~ ^ dy
dp
1 —
1 , ecuación de Bernoulli
Solución y " = y '~
=>
dy
8y ' 2 = y + c
=>
4 y ^ = —L dy 4^ y
y'
=> 16y'dy’=dy
y +c
dy
8
-Jy + c
_ dx
-) 1 2 1 2 ífe ¿fo 2 /> --------p l = - sea z —p => _ = 2 o -£ ^ y y '¿ y ¿z 1 1 3 -------z ~ — , ecuación lineal cuya solución es: dy y y
2^/2 z =e
entonces:
414)
i J y + c = —4 = + k i4 x
entonces:
=>
'
1
4 -J x J y + c =x+ 2kyfx z = -l+ c y dy i— — ~ =J c y - \
3y " = y ~ s n
l d y + c ] = e lDy[ j e - lay± + c] entonces
/?2 = - l + cy
=> p =
-\
dy 2 i------=> ^ z ¡ = dx =* - j y ^ ^ x + k
Solución por lo tanto:
4c1( ^ - c 1) = (x + /t)2
230 231
416)y V = - 1. y (l)= 1, / ( 1 ) = 0
y 2 = / + c , y '= 1, y = 1 => 1 = 1 + c => c = 0 entonces:
Solución y ”= y ' ~ dy
/
i
entonces:
= dx
— p- = x+c Jy
1 = — + c , y = 1, y '-Q
o = i + c => c = -i
íl => / = — y
=> y 2 = ~ - i y2
=> - - J l - y 2 = x + c
,2 418)
y y " - y ’1
y ’" = 3 y y ' \ y(0) = y'(0) = l ,
=>
- J y = -----V *-2
- 2 y ~ 112 = x + c
porlotanto:
y'= p =>
y = 4 lx -x 2
—p y
*"(<>)-1
_f_4v y
y " = p — dedonde dy
y
[Je
dp 2 2 y p - - p =y p dy
ecuación lineal cuya solución es:
f fZ ^
~ - = y(y + c) dx
dedonde P ~ j - = 3yp dy
entonces dp = 3ydy integrando
.
+ c] =>
=
eln>?[j dv + c]
419)
232
para y = 1 , y ”= \ 2
=>
y ^ - =^y 2
2 y 'd y '= 3 y 2d integrando:
=>
— —— = dx integrando y(y+c) y
cx+k = In | —^ —!
se tiene:
p = ^ y 2 +c
=>
y +c
y y ''= y '2
—- y = -^^2 entonces dx 2
Solución
y ’=
p
dp => p — = y " dy
dedonde
c = -2
4 “ (x -2 )2
Solución =!> y ' " = p — dy
y
Solución
p - e
y"= p
=í
= y 2y'
para x = 1, y = 1
dy 417)
=>
para x = 0, y = 1 => -2 = 0 + c
—%? = x - 2 fy
0 = 1 + c => c = -1 => —
1 - y 2 = x 2 - 2 x + l porlotanto:
=> y 3l2dy = dx
2
=> y 3y ' ^ r = - 1 => ? < % '= --% dy y
integrando:
ydy
y '= y in
dp 2 yp— =p dy
y— = p
— = cy
=> ln p = Incy => p = cy
z=e
y
y = « 2' , y (0 )'= 0 , / ( 0 ) = 1
=>
422)
=>
-T * É = = dx ^ T y
>’eos2(x + c) = k
y = i+ y 2 Solución y ,= p
para y = l , y s 0
dp => y 1= — dx
dp 2 de donde — = ! + /?“ , separando la variable dx
1 = 1 + c => c = 0 => y = e y => e~yd y - d x
dp , entonces ----- — = dx integrando: i+ p 1
- e -y = jc+ c, x = 0, y =0 => 1 = 0 + c => c = -1 => - e y = x - \
dy arctg p = x + c => p = tg(x + c) => — = tg(x + c) dx
y
ey =
1 1 -x
. . 1 . . . 1 ^ = l n |—— 1= ln | — - 1 entonces: 1 —x x-1
y = - ln¡x —11
de donde 423)
421)
p = -¡ ty l - 4 y
v’— = e 2y de donde: ¿y => y 2 = e 2>,+ c
y 'd y '= e 2ydy
v 4^¿/v + c ], integrando tenemos
integrando se tiene: Solución
y" = y’— ' ' ¿y
^ [J e
p 2 = .v 2[ - —+<■] » y
= cdx => In y = ex + k => y = Aec
=> “
dx
420)
=> — = ^ /> >>
y + k - ln |cos(x + c)| = 0
x y '( y y " - y '2 ) - y y ' 2 = x * y 3
2 yy "-3 y’2 = 4 y 2 Solución
Solución y '-p
=> y = p — dedonde dy
2 y p --3 p 2 -4 y2 dy
t x =e ,
dy < ^ dy dt y = ue => — = ~ dx dx
.du . , (— + u)e dt du ^ --------- = — + u e' dt
dt dp dy
3 — 2y
2y p
=>
dp 3 2 2p - f - ------- p dy y
A =4y d jy
sea
234
z-p
2
dz _ dp => — = 2/7— ¿V dy
dz 3 ' r i = > -------- z = 4 y , ecuación lineal dy y
d dy — (— ) d t_ d t _
d x 2 dx
d 2u du dt 2 + 'í/r
=e '(
du. d í2 + * >
Ut 235
después de reemplazar en la ecuación dada se tiene en la forma: />'+ — - - x p 3 X
d 2u _
d u du , d u . 2 du — —+ — = (— ) => — dt dt dt dt
d t2
, , du 2 de donde p — + p - p dp
dp =p -\ du
dp P du
sea z = p
2
=>
dz - _i , — = —2p p =>
dx
entonces:
e
ecuación lineal dp -d u p- 1
=> - 2 p 'dp’+ - p 2 =2x X
z-e
4 dx
dz 4 — — z = 2x dx x
c Adx
x [Je
r 2xdx + e\ entonces
=> l n ¡ p - l | = u + c => p - l = e u+c entonces: z = x A\ ¡ —~dx + c] J V
p = l + e u+c
du dt
=> p ~ 2 = x a ( - A t + c)
=> p~2 = c xA ~ x
= 1+e u+c resolviendo y reemplazando se tiene:
x^cx -1
(x2+c)}n
x^cx -1
x
y = ke
424)
x ^ c x 2 -1
x 4y " = ( y - x y ' ) 3 ; y(l) = y' (1) = 1
1
Solución x 4y " = ( y ~ x y ' f x 4y"
=> x 4y ” = - ( x y '- y ) i
(x y'-y)3
y
(x 2)3
X2
= (xy ~ y '
X2
dy dx xy - y = O => — = — y x
o
x2 236
, y v 3 =_> X
- - ( — )
2p + xp' x2
------------ -----------=
In I ~ ln 1 + c : r > c ~ 0 425)
3 =_>
,
=> lny = lnx + c, p a ra x = l, y = i
y"+ y’2+2y' = 0 , ^
=> Iny = lnx
p',2p X x2
— + —- = - p
_ 3
y=x
= ln 2 , y j ^ - l Solución
=> / ' = p + p + xp'
dy
- p
o
*
y " - 2p + xp' por lo tanto:
—
X ==> c = oo luego para x - 1, c —>oo ==> — =====. ->
entonces
= -(^ -)3 => ( ~ )'= p (x ) => ^ = ^p (x )d x
y = x j p d x derivando y ’= J pdx + xp
=0
^cx2- ¡
y'= p
dp -> y = /? — de donde se tiene
p - —+ p 2 + 2 p = 0 dy
=> - - ± p + 2 = 0 => dy
^ +dy = 0 p +2 237
ln|p + 2 | + y = c => ln|p + 2 | = c - y
entonces:
=> p + 2 = ke y
y - p
=> y '= p — rfy
de donde 3p~— = (l + /?2) 3/2 dy
— = k e y - 2 , para v ' = - 1, y = ln2 => - 1 = —- 2 ---- — dp = dy (i+ /> 2) 3' 2
entonces: entonces: k = 2 => — = 2(e
- 1) = 2(-—— ) — ^ y = (>' + c ) 2 i+ p
------- dy = - 2<¿x integrando ey -1
ln | e y - 11= —2x + c
-------- —-1
=>
7 = ln 11+ e~2jr |
=> P 2 + 1 = ^ 9 (y + c )
=»
^ =J— y(y+c)2
_ integrando se tiene:(jc + k) + (3/ 4- c) = 9
O'+e)
e y -1 = A e~2x, x = 0, y = ln 2 => 2 - l = A => A = 1 = l + e _2jr
=> - = J L = r = y + c J iV
428)
y '( l + 2 1 n y ) =
l,
y\x=0 = 0, y \ ^ = l Solución
426)
y=ya+ y*) y’= p Solución y= p
dp => y " = p — dy
dp ? de donde p — = /?(1 + P ) dy
=» y " = p — de donde p — (l + 21n/?) = l dy dy
p(l + 21np)dp~dx => J p(\ + 2 ln p)dp = j dv + c
y '2 l n y ' = y + c , y = 1, y = 0 => —'— 1
0 = 0 + c => c = 0
= ¿V => arctg p = y + c => p = tg(y + c)
+ /7
dy — = tg(^y * dx
y ' 2 l n y ' = y => y - p 2
diferenciando
dy = (2p ln p + p)dp => p dx = (2p ln p + p)dp entonces:
=> ctg(y + c)dy = dx por lo tanto:
dx = (2 ln p + l)dp integrando x + k = 2p ln p - p, x = 0, y'= 1 ln |sec(y +<)(/- x + k 0 + k = 0- l 427)
3 / ’= ( l + y 2 ) 3/2
429) Solución
238
=> k = -l
y"(y'+2)ey' = 1 , y |x=0
=>
x = 2p I n p - p + 1
y' |x=0 = - 1 Solución 239
y '-p
=> y" = p — de donde p — (p + 2)ep = l dy ay
( p 2 + 2 p )epdp = dy
entonces:
=> J c p 2 + 2p)epdp = j d y + c => p 2e ‘ ~ y + c
p '-t-v c
y
=> p = — + cf+ £ 2
y t , — = — + cr + k
+ c ln x + & integrando:
y p e p ‘2 - J y - c , y ' - - l , x = 0, y = e _1 entonces: ,ln 2 x
J — =J ^ - e 12 = y e 1 +c => e ¡ = e 1 + c = > c = 0
y = c 2e*(-j~ln2 x + c ln x + A)
+ c \nx+k)dx+cx
entonces 431)
\ x = (p + \) e ‘’ \ y = p 2ep
Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde la altura de 400,000 km. (aproximadamente esta es la distancia desde la luna hasta el centro de la tierra), si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de la misma es de 6,400 km. aproximadamente. Solución r = 400,000 km. R = 6,400 km.
Solución
t~ y (y y " '-y 'y " )-2 y '(y y " -y '2 )+ ^ (y y " - y '2 ) = 4
y
2 x V (^ " - y 2 ) | y y2
y2
Condicion del problema: F = ma de donde:
y2
GMm ------ — - ma r
x 2 (— )’- 2 jc2 (—)(—),h-a:(^-),= 1,
entonces:
d 2r d t2
x 2(/?'+p 2)'-2jc2pp'+xp' = 1 => x 2( p ''+ 2 p p ') -2 x 2pp'+xp' =1
M => a = — r CM „2
resolviendo el problema aplicado:
d 2r
.dr' - = r'~^~ se tiene que: t = 122 horas.
x 2p"+xp' = l sea x = e ' es una ecuación de Euler ■I <2) =. d r2 240
¿í
dt
á íf„ , d t2
Hallar la ley del movimiento de un punto material de masa m que se mueve por una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamente proporcional al cubo de la distancia del punto x=0 cm hasta el centro inmóvil 0. 241
Solución ni —#-
Ni
HN
Condición del problema:
F = —— = m
d 2x
resolviendo la ecuación se tiene:
d i1
x
2
S
« / ,2 j j d x k = — (í + c2) +c{ donde m — — = — Cj d i1 X
2 k = (— .v) — = ¥— V 2 2/
Condición del problema:
Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad v. Durante la caida, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.
2y'
Solución
; = k¡oydx derivando
ÿ 2- y 2" = 2 k y ÿ 2 entonces
2 ÿ 2- y y ”=2ky'2 sea p = ÿ => y" = p —
dy
-|v„
Condicion del problema:
reemplazando
2P 2 ~ y p ^ - = 2kp2 => - y p ^ ~ = ( 2 k - 2 ) — ay dy y
d 2x m — y- = mg - k(—~) d i2 di mg
- \n p c x = \n y 2k~2 => ~^— = y 2k 2 entonces:
al resolver esta ecuación se tiene: m ea t + é ' ca x = — ln(— — -----), k 2
-fig m
a = -----
PCi
t í x
xc = y 2k~l
4_
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, ordenada del mismo punto y el eje OX , sea proporcional al área del trapecio mixtiiineo formado por la curva, el eje OX , y la ordenada de este punto. Solución
d x - c xy 2k~2dy => 435)
Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constante. Solución Sea p el radio de curvatura ( p = ~ ) donde k
243
,
/" (* )
,
ECUACIONES
( ! + / ' (x)2) 3/2
( i + / ' w 2) 3/2
LINEALES
PEÍ
ORDEN “n”l
r w
r : r v 'M*:5 * / f r t
tondición del problenlá p = a, a constante VM'V,
DIFERENCIALES
-
Hp ,
;y -7 .AS r ,
¡DETERMINANTE DE WRONSKY (WRONSKIANO)I (1+ / ',(, / V — = á /" (* )
=* ( l + / ’W 2)3/2= / " W a Consideremos un sistema finito de n funciones
sea f ' ( x ) - ^ - = p
(l +/?2) 3/2 =a — =>
dx = — ^ ~ r p r
t
—
~-----
. (x + C l )d x
entonces:
(l + /> )
—
^
j
+
¿y =
JiC*), y 2(*),
=> /" (*) = -^
........—
=> y + c 2 =
a/ o
2
definidas en el intervalo (a,b), diremos que son linealmente dependientes en el intervalo (a,b), si existen constantes oc^,cx2,•••,#„ que no son todos iguales a cero tales que para lodos los valores de x de este intervalo se cumple la identidad. a 1 ?! (*) +g2y2 (*) + -
■■■■-
—(x + Cj)2
-(x
+ Cj ) 2
(*)
‘.i en esta igualdad se tiene que:
+a ny n (*) = 0
a l = a 2 =... = a n = 0
diremos que las funciones:
-Ja2 - ( x - c ¡ ) 2 y i t o , y 2M ^ y n(x)
por lo tanto:
( x + c , ) 2 + ( y + c 2) 2 = .R , /í = a 2 constante.
son lineaímente independiente en el intervalo (a,b). Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definición. 436)
4,x
> Solución
4 a + Px = 0 derivando se tiene: P = 0 => a = 0 como a = P = 0 => 4,x son lineal mente independiente. 437)
1, 8, x, x 2 Solución
244
a x + 2 a 2 + a 3x + a 4x 2 = 0 derivando a 3 + 2 a 4x = 0 derivando a A =0
=> a 5 =0
441)
l,senx, cos2x Solución
=> a l = - 2 a 1 son linealmente independíente.
a x + a 2 s e n x + a 3 cos2x = 0 derivando a 2 c o s x - 2 a 3 sen2x = 0 a a 2 - 4 a 3 senx = 0 derivando
- 4 a 3 cosx = 0 => a 3 = 0
Solución a 2 =0
ax + 2/ix + yx2 = 0 derivando a + 2p + 2yx = 0 derivando
=> a j = 0
=> a x = a 2 = a 3 = 0
por lo tanto las funciones son linealmente independiente. y = 0 => a = -2P por lo tanto no es linealmente independiente.
«
442) 439)
5, cos2 x , sen2 x
*'
e x , x e x , x 2e x Solución Solución 5«! + a 2 eos2 x + a 3 sen2 x = 0 derivando aex + xex +yx2ex = 0
=> a + /2r + )ct2 = 0 derivando - 2 a 2 sen xeo sx + 2a 3 sen xeos x = 0 entonces
a2=a3
P + 2yx = 0 => y = 0 = > P = 0 => a = 0 por lo tanto: entonces 5«! * a 3 entonces:
a = p = y = o entonces las funciones son linealmente independiente. 440)
a 3 = -5 a }
por lo tanto son linealmente dependiente.
senx, cosx, cos2x 443)
Solución
cosx, c o s(x + l), c o s(x -2 ) Solución
a x senx+ a 2 eosx + a 3 eos2x = 0 derivando a x c o s x - a 2 s e n x - 2 a 3 sen 2x = 0 =>
acosx + Pcos(x + 1) + ycos(x - 2) = 0
a x - a 2 t g x - 4 a 3 senx = 0
derivando
-asenx - Psen(x + 1) - ysen(x —2) = 0 derivando
- a 2 sec 2 x - 4 a 3 eos x = 0 de donde
- a 2 - 4 a 3 eos3 x = 0 derivando 12a3 eos2 x sen x = 0 entonces: a 3 = 0 => a 2 = 0
=> a! = 0
=> CL\ = a 2 = a 3 = 0
por lo tanto las funciones son linealmente independiente. 246
por lo menos uno de los a,p,y son
diferentes de cero por lo tanto son linealmente dependiente. 444)
1, sen2x, (s e n x -c o s x )2 Solución a + /?sen2x + /( s e n x - c o s x ) 2 = 0
=> a + Psen2x + y (l-s e n 2 x ) = 0 247
derivando 2|fcos2x - 2ycos2x = 0
p=y
por lo tanto son linealmente dependiente
X
X
449)2 ti, arctg— , arctg— 2n
2n
Boioniñ n as! oup KornegnoquZ Solución
445)
x, a 108"* *
x x 2na + p arctg— + yarcc tg — = 0 derivando
Solución
2n
1
p — 2 * ----r _
por lo tanto no son linealmente independiente.
i +<2
446)
2n
1
ax+ /falogax = 0 derivando se obtiene que a = V|/(P)
13
Í )!
2 | ---- o =. p-r
,+ < 2 Í )2
logflx , loga * 2> x > 0 las funciones no son linealmente independiente Solución 450)
e ' fl,2/í fXe a,1' 1dt Jo
a l o g a x + P loga x 2 = 0 => a loga x +2/? loga x = 0 = > a = -2p
Solución
las funciones no son linealmente independiente. 447)
x 2 /l
1, arcsen x, árceos x
px
ae-aX 1+pe~aJ 1^ e a,2,1dt
=> a + p ¡ * e a,2/2dt = 0
Solución derivando
a + P arcsen x + y árceos x = 0 derivando:
fie
n*2' 1
=0
=>p =0 = > a = 0
las funciones son linealmente independiente i h
~
i h
=0
*
P=Y 451)
las funciones no son linealmente independiente
fi x, x \ ■— r-d i , x > 0
J*0 t
Solución 448)
5, arctg x, arcetg x Solución 5 a + p arctg x + y arcetg x = 0 derivando: P l
248
Y = 0 => p = y las funciones no son linealmente independiente +x 2 l+ x 2
f1 e* ax+px\ - j d t =0
Jxo t se tiene
f1 e 1
=> a + fi I — d í= 0 derivando XQt
P = 0 => a = 0
las funciones son linealmente independiente 249
Supongamos que las n funciones y \(x ),y 2(x) .....y„ (x)
admiten derivadas hasta el
l,2 ,x 2
454)
orden (n—1)
Solución
El determinante:
y iW y !(*)
y 2(x)
y[(x)
y n(x)
y lw
2 x2
i k
w =
\
0 0
2x = 0
0 0
2
w =o
M . y i , y i , ~ , y n ) ss 455)
e
-x
^„ -X
, xe
y {r l)(x)
Solución 1
H
1
X
1
“ R" 1
1
7
-—eC ~2
H
1
1
y 2(x) y 3{x)
y[(x) y\(x) y \ (*) y\(x) .y 'w
>< *
1
w i y i , y 2. y i ) =
1
yi(x)
H
se llama determinante de Wronsky (o Wronskisniano), de estas funciones se observa que el Wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres fondones, el Wronskiano tiene la forma:
= e 2jr( l - x + x)
W ~e~--2x 456)
'"■i e*, 2 e \ e~x Solución
En los siguientes ejercicios se pide hallar el Wranskiano de los sistema de funciones indicadas. 452)
1, x. Solución
W=
453)
= 1 , 0 = 1 =>
w= 1
x, -
X
Solución
457)
ex
2ex
w = ex
2ex
ex
2ex
1 1
e x
1
- e x = 2ex 1 1 -1 = 0 e~x
i
entonces: W = 0
1 1 1
2, cosx, cos2x Solución 2
cosx
cos2jc
0
-se n *
- 2 sen 2x = 2(4 sen x eos 2x - 2 eos x sen 2x)
0
L cosx
- 4 eos2x = 4(2senx.eos2 jc -2 s e n 3 jt-4 s e n x .c o s 2 x)
W = ~8sen(sen2 x + eos2 x) = -8 sen x 251
458)
71,
aresen x
ti
sen x, sen(x + —)
1
W=
Solución
arccos x 1
J T -x 2 -2 x sen*
W= eos*
( l - x 2) 3' 2
sen(x + -—) / Ü\ 4 = sen x cos(x + K ) - eos x sen(x+ —) 71, 2 2 cos(x+—) 4
W =-
4 i-7 2 2x
7DC
2/Tt
(1-X 2) 2
í l - x 2) 2
W=—
461)
( l - x 2) 3/2
= 0 por io tanto; W = 0
4, sen2 x,cos2 x Solución
459)
X x aresen— , aresen — 7t 71
4 w = 0 0
Solución
sen2 A' sen 2x
entonces:
2 eos 2*
W = -4 sen2x.cos2x + 4 sen2x.cos2x = 0 aresen — 71
71
i
x, inx Solución
71
W=
X x W = ....... - ....... (arccos — haresen —) entonces V *2 - * 2 * *
w =-
462)
1
1
W:
71
w=0
X
X
arccos—
'163)
x
x
Inx
i
I x
= 1- ln x
=>
W = 1 —1n x
eMx Solución
, |x| < 71
-yj7 T 2 - X 2
Ai x
460)
ti, aresen x, arccos x
W= Solución
252
J 'x
e Vx e Ux ■— + —
x
X¿
e \!x =
_
_
( *
X
253
464)
e x sen x , e x cosx
467)
sen(~ - x ) , cos(- - x) 4 4
Solución Solución e' cosx
W= e senx + e cosx
W =e~
e c o s x - e senx W=
sen x
eos x
sen x + eos x
eos x - enx
entonces
W = e 2v(s e n x c o s x -s e n 2 x - s e n x c o s x - c o s 2 x) = - e 2x
8
e 3x sen 2x
e 3x cos 2x
-3e~3x sen2x + 2e“3x cos2x
- 3 e 3x c o s 2 x -2 e ~3A sen2x
sen 2x
cos 2x
- 3 sen 2x + 2 cos 2x
- 3 cos 2x - 2 sen 2x
W - e 6x[-3 se n 2 x c o s 2 x -2 s e n 2 2x + 3 s e n 2 x c o s 2 x -2 c o s 2 2x] w = e 6x (-2(sen2 2x + cos2 2x)) = - 2 e ' 6x cosx, senx Solución
W 254
cos x
sen x
- sen x
cos x
Si el sistema de funciones y , ( x ),y 2(x),...,yn(x) es linealmente
nulo en [a,b]. Asi, pues, el sistema de función sen x, sen(x + —), sen (x - —)
Solución
466)
sen(— - x) 4
dependiente en el segmento [a,b] su Wronskiano es idénticamente
e 3x sen 2 x , e 3x cos 2x
W =e-6 x
~ cos(~—- x) 4
^ - sen 2 (—~ x) + cos 2 (— - x) = 1 por lo tanto: W = 1 4 4
TEOREMA.-
W=
cos(—- x ) 4
W = -e Ix
entonces:
465)
s e n (---x ) 4
= cos2 x + sen2 x = 1 entonces W = 1
es
8
emente aependiente en el intervalo <-oo,oo> y como fácilmente se comprueba, su Wronskiano es igual a cero.
I.ste teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de funciones. El reciproco no se cumple, puesto, que el Wronskiano, puede ser nulo, sin embargo el sistema de funciones son linealmente independiente.
I n los siguientes problem as se pide dem ostrar que las funciones dadas son Ilnealmente independiente y su W ronskiano es idénticamente cero, construir las gráficas de estas funciones.
x 2 si - l < x ¿ 0 [o si - l < x < 0 yi(x ) ~ r J‘ , y 2( x ) = . 2 [0 si 0 < x < 1 ‘ \ x 2 si 0 < x < 1 Solución
255
Y t
yi Para demostrar que:
2
4
Por demostrar que:
qfx+P /2 = 0 => a = (3 = 0 si x e[-l,0] a a fx(x )+ Pf2(x) = 0 =>
a x 2 +P>0 - 0
+ a =0
=> a = p = 0 => si x
a.0 + p ( x - 2 ) 2 = 0
P = 0 => x
g
g [0,2]
<2,4]
entonces:
si x e [0,1 ] => afx(x) + Pf2 (x) = 0 entonces: a . ( x - 2 ) 2 +p.O = 0 a.O + P jc2 - 0
r=> p = 0
luego a = P = 0
por lo tanto a = p = 0 las funciones son linealmente independiente.
J\ y f 2 son linealmente independiente.
Consideremos el wronskiano en [0,2] y en <2,4]
Consideremos el wronskiano W en [-1,0] y en [0,1] w = W-
X2
oj
2x
o|.
=0 ,
W=
0 x0
=> a = 0
2x
0 (x-2)2 0
=0 , W =
2(x - 2)
(x-2)2 0 2(x-2)
0s i 2 < x < 4 (x-2 Y -> ’ y 2Í*) = 0 l(x -I >2 si 0 < x á 2
>'¡ (*) = ■{
Solución
256
yiw =
W [fx, f 2] ~ 0 e n [-1,1]
.
[V
SI
VI X V o
469)
W[yx, y 2 ] = 0
= 0
JE3 SÍ - 2 < x < 0 periotanto:
= 0 por lo tanto:
0
si 0 < x < 2
>
í°
si
i*
si
Solución
si 2 < x < 4 Por demostrar que: ay1(x) + Py2 (x) = 0 => a = p = 0
si
xg
[-2,0] entonces 257
aje3 +P. 0 = 0 =*■ a = O si x e < 0,1] entonces a . 0 + /3 jc 2 = 0
=>
p = 0
por lo tanto a
= p = 0
entonces y \ ( x ) , y 2(x)
son linealmente independiente.
Por demostrar que: ayx(x) +fiy2(x) = 0 => ot = p = 0 a je2 + P ( - x 2) = 0 a a 2 4- P jc1 = 0
Consideremos el wronskiano en [-2,0] y en <0,1]
W=
471)
x3 , 3x2
0 x2 d i1 - 0 . w = 0 2x 0!
por lo tanto:
y j(x ) = JC2 , y 2(x) = x | x | , - l á x á l
=> a —p = 0 si x e [0,1] entonces: a + p=0
a -p = 0
Luego:
W[y{ , y 2] = 0
=>
si x e[-l,0 > entonces:
a + fi =0)
=>
a =p =0
por lo tanto las fiinciones y x(x) , y 2 (x) son linealmente independiente. Consideremos el wronskiano en los intervalos [-1,0] y en [0,1]
W=
X2
-X2
2x
-2 x
X2
X
2x
2x
= -2 x 3+ 2x} =0
=> W = 0
Solución W= í- x 2 si — l á x < 0 y 2(x) = x \ x \ = \ 2 ¡xz si 0 < x < 1 258
por lo tanto:
2
= 2x} - 2 x 3 = 0 => W = 0
W \yx, y 2] = 0 259
y las demás son reales. Entonces el sistema fundamental de soluciones es:
Ie TITACTONES L INEALES HOMOGENEAS PEI
e ax eos /&,£** sen
cosSx^e** sen 8xyeS*x ,...,eXfíX
[COEFICIENTES CONSTANTES.] y la solución general es: Es la ecuación diferencial de la forma: 4 g0y (/l)+ q [y (w 1}+... + flwy = oj
y = cle ax cosßx + c2eca sen ßx + c ^ eosáx + c4e & senöx + c5eX*x +... + cneX”x ... ( 1) d)
donde a0, ax
a n , son constantes reales.
A j = a + i/3
es una raíz k-múltiplo de la ecuación (2) (k <
entonces
A2 = a - i( 5 también será una raíz k-múltiplo y el sistema fundamental de soluciones es:
Consideremos la ecuación característica
a0 An +axhn 1+ ... + an - 0
Si
e™ eos
... (2)
sen fk^xe0“ eos fk.xe™ sen fixJ...,xn~le ax eos )3r, x ^ 'e ™ sen
,...,eXnX
supongamos que Alt A2,...,An son las raíces de la ecuación (2), en las cuales se presentan los siguientes casos:
y la solución general es:
a)
y = cleax eo sP x+ c 2e
Si Ai, A.2 e\ x ' e^x
K
son reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es,
^e -x„x y ja soiuci5n general es: y = cxe Kx + c 2e ^ x +...+cneX' x
b)
Si Aj,A2,...,An son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo A, = A2 = ... = At = A , de modo X es una raíz k = múltiplo de (2), mientras
+ c 2kx k~le axfíx + C u + i X ^ e 0“ sen fix + ... + c ne X"x
Formar las ecuaciones diferenciales ecuaciones características. 473)
lineales
homogéneas
conociendo
sus
A2 + 3A + 2 = 0
que m - k reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es: Solución e **, x e * * x k-xe**, e^k*, x eKx d 2y n dy - + 3 — + 2y = 0 dx dx
y la solución general es: y = cle*x + c 2xe*x +... + cne Kx c)
Si alguna de
, A2
2A2 - 3 A - 5 = 0
A„ son raíces imaginarias supongamos que:
Aj =C£ + //3,A2 = ex —i ß , A3 = A + íA,A4 - y - i S 260
474)
Solución 2A2 - 3A - 5 = 0
=> 2y' '—3y'—5y = 0 261
.
480) 475)
Aj = 3 - 2 / , A2 = 3+ 2 / Solución
\(X + l)(X + 2) = 0 Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 /
Solución A(A+l)(A + 2) = 0
=>
A2 - 6A + 9 + 4 = 0 => y '-6y'+13_y = 0
A(A2 +3A + 2) = 0
481) . < A2 +1 ) 2= 0 (A2 +1)2 = 0
Solución =>
A4 +2A2 + 1 = 0
entonces
y = c,e3* eos2x + c2eix sen 2x (solución general)
Aj + 3A2 +2A = 0 =» y " '+ 2y" + 2/= °
" 6>
=> (A -3 )2 = - 4
Aj = 1, A2 = 1 , A3 =1 Solución
• Ai = 1, A2 = 1 , A3 =1
=> y ^ y ’+ y - o
=> ( A - l) 3 = 0
A3 -3A 2 + 3 A -1 = 0 => y - 3 y " + 3 y - y = 0 477)
A3 = 0
y = c¡ex + c2xex + c3x 2ex (solución general)
Solución
Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones. 482) "
sus ecuaciones características y escnoir 478)
e~x , ex
r” “ S“
Solución A = - 1, A = 1 =>
A) = 1 , A2 = 2
(A + 1)(A-1) = 0 => A2 -1 = 0
=> y " - y = 0
Solución 483) (X -l)(X -2 > = 0 =» A! - 3 i + 2 - 0
=> ¡ r - W
1,
Solución
* A = o , X = i => A2 - A = o
=> y - y = o
y = Clex + c 2e x (solución general) 484) 479)
A, = 1 , A2 = l
e~2x , xe~2x Solución
Solución
A = -2, A = -2 => (A + 2)2 = 0 => A2 +4A + 4 = 0 entonces: At = 1 , entonces:
=> W ' 1 ) ! = ° V. . 2v.+ 1 . 0 y -¿ y + i - u
*
por lo tanto:
*r - W + 1 ‘ ° y « , « ' « , » ' (solución gonertf
y ”+4y’+4y = 0 263
262
485)
sen3x , eos 3x Solución A, = 3 / , A2 = -3 i
486)
491)
Solución
=> A2 = 0 =>y = 0
¿i - O , A2 =i , A3 ± - i
l ,x
por lo tanto:
Solución X = 0, X = 0 => A2 = 0 => / ' = 0
1, senx, cosx
492)
=> A(A2 +1) = 0 => A3 +A = 0
/" + /= 0
e 2x, senx, cosx
Solución 487)
e * , e 2jt / e 3* Solución Aj =1 , A2 = 2 , A3 = 3 => (X - 1)(X - 2)(X - 3) = 0
A2= 2 , A2 = / , A3 = - i
=>
(A -2)(A 2 +1) = 0
A -2 A + A - 2 = 0 =>
y'"-2y"+y'-2y = 0
entonces
A3 - 6A2 + 1 1A - 6 = 0 => y " ' - 6 y ”+ lly'+ lly'-6 y = 0 493) 488)
1,
s e a x , e~x cosx
e x , x e x , x 2e x
Solución
Solución —
Aj =1 , A2 = 1 , A3 = 1 => ( A - l) 3 = 0
® » A2 = —1+/ , A3 = —1—i
A3 +2A2 +2A = 0
A3 -3 A 2 + 3 A -1 = 0 => y " '-3 y" + 3 y '-y = 0
=>
=> A(A2 +2A + 2) = 0 entonces
/ ”+ 2 / '+ 2 / = 0
Integrar las siguientes ecuaciones 489)
e x , x e x , e 2x Solución Aj = 1 , A2 = 1 , A3 = 2
494)
y=o
Solución
=> ( A - l ) 2( A - 2 ) = 0
A2 - 1 = 0 => X = ± 1 => _y = Cle Jr+C2g -Jr A3 -4 A 2 + 5 A -2 = 0
=> y '"-4y"+ 5 y '-2y = 0 495)
490)
3 y " -2 y '-S y = 0
Solución
l,\, ex Solución 3A —2A—8 = 0
At = 0 , A2 = 0 , A3 = 1 => A2 ( A - 1) = 0 A3 - A2 = 0 => y'" -y" = 0 264
(3A. + 4)(X - 2) = 0 entonces:
496)
/ ”- 3 / ' + 3 / + j / = O, y(0) = 1, / ( 0) = 2 , y "(O) = 3
e - c ¡ e x + c 2e 3x
Solución A3 -3 A 2 + 3A -1 = 0 => (A —1)3 = 0
=> y ' = c ¡ e x +3c2e 3x
para x = 0, y'= 10
= > 1 0 = c !+ 3 c 2
...(2 )
=> Á, = 1 de multiplicidad 3 de (1) y (2) se tiene:
jc¡+ c2 - 6 [c , + 3 c 2 = 1 0
1
y = c¡e* +c2xex +c3x 2e x => l = q => y = ex +c2xex +c3x 2ex Luego:
y '= e x +c2e x +2c3xex +c3x 2ex => 2 = 1+c2 => c2 =1 499)
y = 4ex +2e3x
y"'+6y"+ny'+6y = 0
y '= 2 e x + xex + 2c3xex + c3x 2ex entonces:
Solución A3 + 6A2 + 1 1A + 6 = 0
y " = 2 e x +ex +xex +2 c3e x +2c3xex +2c3xex +c}x 2e x y ”=3ex +xex +2c3e x +4c3xex +c3x 2e x => 3 = 3 + 2c 3 c3 = 0 497)
=> por lo tanto: y = ex +xex
1
6 -1
11 -5
6 -6
1
5
6
0
A2 + 5A + 6 = 0
/'+ 2 /+ j> = 0
-1 = Aj
=> (A + 2)(A + 3) = 0 => A2 = - 2 , A3 = - 3
Luego A, = - 1 , A2 = - 2 , A3 = -3
Solución
La solución general es:y = c, e “x + c2e ~2x + c3e~3x
A2 +2A + 1 = 0 => (A + l ) 2 = 0 => A. = -1 de multiplicidad 500)
la solución general y = cx~x + c 2
y ”- 2 y '- 2 y = 0 Solución
498)y ,-4 y + 3y = 0 , y(0) = 6, y(0) = 10 A2 ~ 2 A -2 = 0
=»
(A—1)2 =3
=> A, =1 + ^ 3 , A2 = l - V 3
Solución La solución general es: A2 -4 A + 3 = 0
501)
y * + 2 yv + y iv = 0
la solución general es y = c¡ex +c2e 3x p arax = 0, y = 6 => 6 = c , + c 2
266
y = cxe (1+^ * + c 2e (1- ^ )x
=s> (X -l)(A -3 ) => Aj = I, A2 = 3 Solución ... (1)
A + 2A + A = 0
=> A(A +1)2 = 0
de donde: 267
X = O de multiplicidad 4
505)
y '+2^ = 0 , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1
X = -1 de multiplicidad 2 la solución general es: 502)
Solución = Cj + c 2x + c3x 2 + c 4x 3 + c5e * + c 6xe
A2 - 2 A4-2 = 0
=>
(A—l) 2 = —1
Aj = 1 + i ; A2 = l - i
4y"-%y'+5y = 0 la solución general es:
7
eos x + c2e x sen x
para x = 0 , y = 0
0 = c¿+ 0= >
Solución 4A2 - 8A + 5 = 0
=>
cx = 0
=> A = l ± ^ / la solución general es: y = e x (c \c 0sx + c 2 senx) => / = £ * c o s x í q + c 2) + e x senx(c2 - q ) * x x x y = cíe eos — + c ?e sen — y 1 2 2
503)
para x = 0, >’’=1 por lo tanto:
y -8 jy = 0
=> l = q + c 2 + 0
=> c 2 =1
y = e x senx
Solución A3 - 8 = 0
=> (A -2)(A 2 + 2A + 4) = 0 entonces:
506)
y' '-2y'+3y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 3 Solución
Aj = 2 , (A *f 1) 2 ——3
504)
A2 ——1+ '\/3/ ^
A3 ——1 —->/3i
la solución general es:>>= cxe 2x + c2e x eos -s/3jc + c3e x sen -\¡3x
A“ ~2A + 3 = 0
y iv + 4 / M+ 1 0 /'+ 1 2 /+ 5 .y = 0
la solución general es: Solución
=> ( A - l ) 2 = - 4
para x = 0, y - 1 =>
=> Aj = 1 + 2/
1= ^ + 0
=> q =1
y = e x (cj eos 2x + c2 sen 2x)
Aj = -1
y% = 2 x eos x2x(c2 + 2c2) + e x sen x(c2 - 2cx)
A2 + 2 A + 5 = 0
=>
la solución general es:
A2 = - 1 + 2/ , A3 = - 1 - 2 / y —cxe~x + c2xe x + c$e x eos 2x + cAe x sen 2x
entonces se tiene:
para x = 0, / = 3 => 3 = cx + 2c2 => por lo tanto:
A2 = 1 - 2 /
y = cxe x eos 2x + c2e* sen 2x
A4 + 4A3 + 10A2 + 12A + 5 = 0=> (A + 1)2(A2 +2A + 5) = 0 de multiplicidad 2.
^
c2 = 1
.y = e* (eos2x + sen 2x)
268 269
507)
511)
y ” '+2 y ' 1'+4y'1'-2 y'-5 y = 0
y '" -y =0 Solución
Solución A4 + 2A3 + 4 A2 - 2A - 5 = 0 Aj = —1 , A2 —1,
A -1 = 0
(A+1)(A-1)(A2 + 2A + 5) = 0
(A2 + 1)(A" -1) = 0
y - q e * +c2e~x + c 3 cosx + c4 sen*
y = c¡e~x +c2e x +c3e x cos2x + c 4e~x sen 2x 512)
y v + 4 y iv + 5 / ' '-6 y '-4 y = 0
Solución
Solución A5 + 4A4 + 5A3 - 6A - 4 = 0 dedonde:
Ai0 = 0
=> (A2 -1)(A'+ 2)(A2 + 2A + 2) = 0
y =
=> A, = 0 de multiplicidad 10.
La solución general es:
Aj = - 1 , A2 =1, A3 = - 2 , A4 = - l + i , A5 = . - l - i
la solución general es:
de donde:
Ai = 1, A2 ~ —1, A3 =i*, A4 = —j la solución general es:
A3 = —1+ 2 ¿, A4 = —1~2/
la solución general es: 508)
=>
y = c¡ + c2x + c 3x 2 +c4x 3 + c 5x 4 + c6* 5 +c7x 6 +c%x 1 + c9;t8 + c 10x 9
+ c 2e* + c 3e“2* + c4e~x cosx+ C5e~* sen*
10
509)
/ " + 2 y " -y '-2 y = o
y = Y s c¡x i~l i=l
Solución A3 + 2A2 - A - 2 = 0
A2 (A + 2) - (A + 2) = 0
=¡> (A2 -l)(A + 2) = 0
513)
y ' ”- 3 y '- 2 y =*0 Solución
Aj = —1, A2 “ 1, A3 = -2 A3 -3A --2 = 0 la solución general es:
y = q e ' 1 + c2e x + c3e~lx I
510)
y ”- 2y + 2/ = o 1
Solución A3 - 2A2 +2A = 0
=>
Aj —0 y A2 = 1+ 1, A3 la solución general es: 270
A(A2 -2 A + 2) = 0
de donde: —1 i
y = q + c2e* eosx + c3e x sen x
0 1 1
-3 1 -2
2 2 0
1
A3 - 3 A - 2 = (A-1)(A + 2)(A-1)
=>
A3 - 3 A - 2 = ( A - l ) 2(A + 2)
de donde A = 1 de multiplicidad 2 y A, = -2 la solución general es:
y = cxe x + c 2x e x +c3e~2x
514)
Para que sea posible emplear el método de selección, el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tiene que tener en el caso general la forma:
2 / " - 3 / '+ / = O Solución 2A2 -3A 2 + A = 0
=> A(2A2 -3A + 1) = 0
f ( x ) = e°*íPn (x) eos f k + Q n (x) sen fk]
entonces:
(2)
La solución particular es de la forma: X(2X - 1)(A - 1) = 0 => A, = 0 , A2 = - ~ ,
la solución general es:
y = q + c2£
— jt/2
A3 =1
+ c3^
y p ~ x se0*[Pk (x)eos f3x + Qk (x) sen fix]
x
Donde k = max {m,n} y s es el orden de multiplicidad de la raíz. Resumiremos en un cuadro las formas de soluciones particulares para las distintas formas de segundos miembros.
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (O COMPLETAS) DE C O E F Í l i l S f i s CONSTANTES.-
N° de Segundo Miembro Raíces de la ecuacián Orden de la ecuación característica. diferencial. I 1) El # 0 no es raíz de la W ecuación característica. 2) El # 0 es raíz de la ecuación característica. 11 1) El # a no es raíz de la eaxPm(x) ecuación característica. (a es real)
Son las ecuaciones de la forma: d ny
a^dn ly
Donde a0, ax,..., an son constantes reales.
homogénea. En el caso general la integración de la ecuación (!) puede realizarse por el método de la variación de las constantes arbitrarias. No obstante cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor facilidad por el método de selección. 272
W x sPmM ea Pmíx)
2)
La solución general de ia ecuación no homogénea (1) (llamado también completa es igual a la suma de la solución general de la solución homogénea correspondiente y de cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas expuestas anteriormente. Por lo tanto el problema de la integración de ia ecuación (1) se reduce al problema de la búsqueda de una solución particular y p de la ecuación no
Forma de la Soludon particular, donde k = max {m, n}
III
IV
1
El # a es raíz de la x sem Pm{x) ecuación característica. Pn(x) eos ¡3x + 1) El # s ± ip no raíces de la l \ (-V) eos (ix + ecuación característica. +Qm (x)s enftx +Qk (x) sen [ix 2) El # s ± i (3 no raíces de la x s (Pk (x) eos [be + ecuación característica. +Qm(x) sen (3x) eax(Pn(x)cosíix + 1) El #s a ± ip no son raíces e,a (Pk (x) eos / i r + de la ecuación +Qm(x) sen ¡¡x) +Qk (x ) sen fa ) característica. 2) El #s son raíces de la x seca(Pk
D eterm inar la forma de ia solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea, si se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo miembro f(x). 515)
A¡ = 1, A2 = 2 , f(x ) = -a x 2 +bx+c
Solución a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces
521)
Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) - sen x + eos x
Solución
Solución
La solución particular es: y p - A x 2 + Bx+C 516)
Aj = 0 , A2 = l ,
y p = x 2e ' x (A x+ B )
Como ± i no es raíz entonces:
f ( x ) = a x¿ + bx + c
522)
Aj = - ; ,
Solución
y p =A sen x + B eos x
A2 = i , f ( x ) - senx + eosx Solución
Como el cero es raíz de la ecuación característica entonces la solución
Como ± i es raíz de la ecuación característica entonces:
particular es:y p = x(A x2 + Bx + C)
y p ~ x(A sen x + B eos x) 517)
Aj = 0 , A2 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c 523)
Aj = -2 /,
A2 = 2/, f ( x ) = A sen 2x + B eos 2x
Solución Solución
El cero es raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es:
Como ± 2i es raíces de la ecuación característica y p = x 2(Ax2 + B x + C )
y p = x(Al sen2x + B1 cos2jií) 518)
A j = l , A2 = 2 , f ( x ) = e~x (ax+b) 524)
Aj - - k i ,
h 2 = k i 9 f ( x ) - A sen Joc + B eos kx
Solución Solución a = “1 no es raíz
=>
y p - (Ax+ B)e~x Como ± ki es raíz de la ecuación característica.
519)
Aj = - 1 , A2 = 1, f ( x ) = e~x (ax + b)
y p = x(A { sen kx + B¡ eos kx)
Solución a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces
y p = xe
(Ax + B)
525)
A j = l , A2 = l , f (x ) ^ e~x (A sen x + B eos x) Solución
520) 274
Aj = - 1 , A2 = - 1 , f ( x ) = e X(ax + h) 275
531)
Como -1 ± i no es raíz de la ecuación, entonces: y 526)
A2 = - / , /(*)■—senx+ eosx
Solución
= e~x (Ax sen x + Bx eos x)
Como ± i es raíz de la ecuación característica.
A, = - 1 - / , A2 = - 1 + i , f ( x ) = e*(A scnx + B c o s x )
^ = x(Asenx + B cosx)
Solución
Ax = - 1 , A2 = U A3 = 2 , f ( x ) = ae~x +bex
532) Como -1 ± i es raíz de la ecuación, entonces:
Solución y p = xe~x (Ax senx + B Xcosx) Como -1 es raíz y 1 también es raíz entonces: 527)
A, = A2 = A3 =1, f ( x ) = a x 2 +bx + c yp =
+ Bxex = x(Ae~x +
x)
Solución Como cero no es raíz de la ecuación 528)
y p = A x 2 + Bx + C
533)
A! = A2 = 1, A 3 = 2 , / ( x ) = 0 senx + ¿cosx Solución
A , = 0 , A2 = l , Aj = 2, f ( x ) = a x 2 + bx + c
Como ± i no es raíz de la ecuación característica,
Solución
yp
El cero es raíz de la ecuación característica.y p = x ( A x 2 +Bx + C) 534) 529)
Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) = (ax2 +bx+c)ekx, k * 0 , k * 1
A, =A 2 = 0 , A3 = 1 , f ( x ) = a x 2 +bx+c Solución Solución Como k no es raíz de la ecuación característica . El cero es raíz de multiplicidad 2 de la ecuación
535) 530)
Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 i , / ( x ) = -e*(sen2x + cos2x)
A, =A 2 =A3 = 0 , f ( x ) = a x 2 + bx+c
Solución
Solución Como el cero es raíz de multiplicidad 3 entonces, 276
y p ■ (A x2 + B x + C )e kx
y p = x 2 (A x2 +Bx + C)
y p = x 3 (Ax 2 + Bx + C)
3
± 2i es raíz de la ecuación característica .y p = x (A e 3xsen 2 x + B eos 2x) 277
Determinar la forma de la solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
541)
y"-\0y'+ 25 y = e 5x Solución
536)
/ '+ 3 / = 3 A"' - 10A + 25 = 0
Solución A2 +3A = 0 537)
=> Aj = 0 , A2 = - 3 ei cero es raíz entonces:
entonces:
y p =Ax
=>
(A - 5 ) 2 = 0
=> X = 5 es raíz de multiplicidad 2,
y p = x 2A e5x es decir y p = A x 2e 5x 3
/ ’- 7 / = ( x - l ) 2 542)
Solución
4 / ’- 4 / = j t e 4* Solución
A2 - 7A = 0
Aj = 0 ,
A2 = 7
como el cero es raíz de la ecuación 4A2 -3A = 0
características entonces: 538)
=> Aj = 0 , A2 = — como a = — es raíz entonces: 4 4
y p = x(Ax 2 + Bx + C)
-jr 2 y p =(Ax + B )xe4 = (A x 2 +Bx)e 4
y"+3 y = e x Solución 543) A2 + 3A = 0
y ,- y - 2 y = e x + e '2x
=> Aj = 0 , A2 = -3 como a = I no es raíz entonces:
Solución
y p =Aex A2 - A - 2 = 0 => (A. - 2)(X + 1) = 0 => X = -1,2 => y p =Ae~x + B e lx 539)
y ”+ ly'= e~ lx 544)
Solución
y " - 4 y = x e Ax Solución
A2 + 7A = 0
=> Aj = 0 , A2 = - 7 como a = -7 es raíz entonces: r 2-4 r = 0
=»
= 0 , rj = 4 como a = 4 es raíz entonces:
y p = Ax e- 7* y p = x(Ax + B)eAx 540)
y '-iy '+ 16 v = (1 —x)eAx
545)
Solución
=> y p = (A x 2 +Bx)eAx
y M+25y = cos5jc Solución
A2 - 8A +16 = 0 entonces: 278
=>
(A - 4) 2 = 0
X=4
es raíz de multiplicidad 2,
= x 2 (Ax + B)e~Ax es decir y p =(Ax* + B x 2)e~Ax
2 A +25 = 0
=> A, = ± 5i como ± ip es raíz de la ecuación entonces: y p = x( A eos 5jc + B sen 5jc) 279
546)
551)
y' '+y = sen x - eos x
/ ’+A2>' = *sen(ADc+a)
Solución
Solución A2 +1 = 0
12 . .2 A +k2 -0
=> X = ± i como ± i|3 es raíz, entonces:
entonces:
y p = x(i4senx + ¿?cosx) 547)
=> A . - ± k i como ± ip es raíz de la ecuación característica
552)
y"+l6y = sen(4x+ a)
sen &r + 5 costo)
y " + k 2y = k Solución
Solución A2 +16 = 0
A2
=> X = ± 4i es raiz de la ecuación.
entonces:
y p = x(Aszn4x + B eos 4x) 548)
2 = 0= > A = ± k i
y"+4y'+iy = e 2x (sen2x+ cos2x)
553)
y"+ 4y
de donde el cero no es raíz de la ecuación yp - A
= sen x.sen 2x
Solución A2 +4A + 8 = 0
=>
Solución
X. = -2 ± 2i como a ± ip no es raiz de la ecuación
característica entonces:
senx.sen2x = senx + sen3x
=>
A2 +4 = 0
=>A = ±2i luego ± i p n o e s
raíz de la ecuación característica entonces:
y „ = e 2' (A sen 2x+ B eos 2x)
y p = A¡ s e n * + 5, cosx + /í2 sen3x + B2 cos3x 549)
y ’-4y'+&y = e 2x(sen2x + cos2x)
554)
y' '~4y ' = 2 eos2 4x
Solución A2 -4 A + 8 = 0
=> X = 2 ± 2i
característica entonces:
Solución
como
a ± ip
es raíz de la ecuación
/ '- 4 / = 2 c o s 2 4x = l + cos8x
y „ = x e 2x ( A sen 2x + B eos 2x)
entonces: 555)
550)
=> A2 - 4 A = 0 entonces: A, = 0 , A2 = 4
y p = Ax + B sen 8x + C eos 8.r
y"'+y = x Solución
y ’’+6y'+13y = e 3x eos 2x Solución A2 +6A + 13 = 0
=> X = -3 ± 2i
característica, entonces: 280
como a ± ip es raíz de la ecuación
y p = xe 3v(/í sen 2 x + B eos 2x)
A +1 = 0
=> A, = - 1 , A2 = - + £ , ,
A3 = i - ^ / , e n t o n c e s :
y p = x(Ax + B) 281
536)
y ' ”+6y"+lly'+6y = l
562)
/ ”- / " = 4
Solución A3 + 6A2 + 1 1A+ 6 = 0 557)
Solución
=> A1 = - l , A2 = - 2 , A3 = - 3 entonces:
y p =A
A 563)
/" + /= 2
A —0 => A - 0 , de multiplicidad 3, A = 1 entonces:
y v + 4 / ’'+ 4 / ' = 1
Solución A3 +A = 0 558)
=> A , = 0 , A2 = í\
= Ax3
Solución
A3 = - i entonces: y p =/ ü:
A4 + 4A3 + 4A2 = 0
/ " + / '= 3
entonces:
=>
A = 0 de multiplicidad 2, X = -2 de multiplicidad 2
= /íx 2 .
Solución A3 + A2 = 0
=> A , = 0 de multiplicidad 2, A2 = - 1 entonces:
yp -
=>
564)
y iv+ 2 y ”’+ y " = e x Solucion
x 2A
y p = Ax2 A4 + 2A3 + A2 = 0
559)
entonces:
Solución A4 —1 = 0
entonces: 560)
=>• A = 0 de multiplicidad
>. = -1 de multiplicidad 2
y iv- y = 1
=>
Aj = , A2 = - 1 » A3 = i , A4 = —i
565)
y^ = Ae4x
y v - f 2 y ,,+ y ,= ^
yp - A
Solucion A4 + 2A3 + A2 = 0
y iv - y ' = 2
=>
A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2
Solución entonces: A4 - A = 0
=> A[ = 0 , X.= 1, A2 +A + 1 = 0 entonces:
566) 561)
yp =
y p = Ax / v + 2 / " + / ’=*£>-*
y iv - y " = 2
Solución Solución A4 + 2A3 + A2 = 0
A4 - A 2 = 0
=> A, = 0 , A2 = ±1 de multiplicidad 2 entonces:
=>
A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2
y p = Ax2 entonces:
y p = x 2(Ax+B)e~x
282 283
567)
y lv + 4 y '+4 y = sen 2x
A4 - 2n 2A2 +?iA = 0 Solución
A4 + 4A2 + 4 = 0 entonces: 568)
entonces:
=> (A2 + 2)2 = 0 entonces A = ± ^ 2 i de multiplicidad 2
572)
=>
(A2 - n 2) 2 = 0
A = ± « de multiplicidad 2
= A sen nx + B eos nx
y v + 4 / " + 6 y ,+ 4 /+ y = senx
y p =(^ísen2x + ^cos2x)
Solucion
y lv + 4 / '+4y = cosx
A4 + 4A3 + 6A2 + 4A +1 = 0 Solución
A4 + 4A2 + 4 = 0
=>
entonces:
=> A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:
573)
=>
(A + 1)4
= 0de Aj = -1 de multiplicidad 4
y p = A sen x + B eos x
y iv - 4 / ,,4 4 / ,- 4 / +
y p = (,4 sen * + 2? cosx) Solucion 569)
y lv + 4 / '+4y = x sen 2jc
A4 - 4 A3 + 6 A2 —4A + 1 = 0(A —l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad Solución
A4 + 4A2 + 4 = 0
4
entonces:y p = A x Ae x
=> A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:
574)
y iv -4y"+ 4y"-4y+ y = x e x
= (A x + i?) eos 2x + (Cx + D) sen 2x Solución 570)
y lv + 2n 2y"+nAy = asen(nx + a)
A4 —4A3 + 6A2 —4A +1 = 0 => (A —l)4 = 0de donde X = 1 de multiplicidad 4
Solucion entonces: A4 + 2« 2A2 +/ j4 = 0
=>
(A2 + h 2) 2 = 0
=>
y p = x 4 (,4x + £)
A = ± ni de multiplicidad 2 Resolver las siguientes ecuaciones.
entonces: 571)
y
= x 2 (Asen nx +B eos nx)
575)
v "+ 2 /+ j; = -2
y lv - 2 n 2y"+)iAy = eos(/ix + a ) Solución
Solución A2 + 2A +1 = 0 =>
A = -1 de multiplicidad 2 285
1
0 + 2A = 1 ==> A - — 2
y g = cxe x + c2xe x además y p = A = - 2 por lo tanto:
x2 => y p = — entonces: 2 2
y = y p + y g de donde
= q + c 2* + c 3e
y = cxe~x + c2x e x - 2 579)
576)
5 y " ' - l y " —Z - 0
y"+2y'+2 = 0' Solución Solución 3
A2 + 2A = 0
=>
Aj = - 2 , A2 = 0 entonces:
y g = cx + c2e~lx y lp
=
A
A = -1
y\
=>
^
además y p - Ax entonces: =
=>y p = - *
0
=>
0 + 2A + 2 = 0
=>
=
2
5A -7 A = 0
de donde 0 - 14A - 3 = 0 => =*2* - *
A2 + 9 = 0 =
7 A= —
de multiplicidad
3 A =~— 14
=> =>
=
=>
entonces: y* =2^4
3x2
1 3*2 y = y g + y p = cl + c 2 +ci e 5 x -------
y"+ 9y-9 =0 580)
Solución
y
A= 0
7 — jr = c , + c 2x + c3e s yademás y p = A x 2 => y ' =2y4x
por lo tanto: 577)
=>
+ yp
=>
A = ±3/ de donde= cx cos3x + c 2 sen 3 x , y
3 y iv + y '" = 2 Solución
^ 3A4 + A3 = 0
= c x cos3x + c 2 sen3x + l
=> A = 0 de multiplicidad 3 y A = - j
entonces:
X
578)
y""+y"= 1
íg = c , + c2x + ci x 2 + c4e 3 yademás y Solución
A3 + A2 = 0
entonces: y lp = 3A x2 =>
y*p =6Ax => y* = 6A
de donde: 0 + 6A = 2 =>
1 A = — =>
=> A = 0 de multiplicidad 2 y A = -1 de donde 3
= Cj + c 2jc + c 3e~v yademás y p = A x 2 => y p =2Ax porlotanto: entonces: 286
=Ax3
x3 y„ = — /p
3
_í 3 >' = >'g + y p = c, + c 2jc + c3x 2 + c 4e 3 + ^ -
y p = 2A 287
581)
/ v - 6 / ”+6 = 0 entonces 4Ax2 + ( 4 5 - 8 A)x + 2 A - 4 B + 4C = x 2
Solución A4 - 6A3 = 0 entonces:
=> . A = 0 de multiplicidad 3 y
A= 6
A=±
Por lo tanto:
* =i , 2
Dedonde:
-íl+ í+ 2 4 2 8
y g = c ¡+ c 2x + c3x 2 + c4e 6x y además y p = A x 3
y = y g +y = c¡e2x+c2xe2x+ - + ± + 1
entonces: Entonces y^p = 3 A x2 =>
4
y pn =6Ax y® = 6A
de donde 0 - 12A + 6 = 0 =>
1 A = — => 2
x3 v„= — 2
584)
2
8
y"+8y'=8x
x3 y = >'s + y /, = C j + c 2x + c 3x 2 + c 4e 6 t + —
Solución A + 8A = 0
582)
C=| . »
=> A] = 0 , A2 = —8 . De donde
/ v - 2 y ’’+ 2 / '-2/+>> = 1
y g = ci + c 2e 6x,
y p
= x(Ax + B) = Ax2 +Bx, donde:
Solución
y P = 2Ax+B => y p = 2A . De donde 2A + 16Ax + 8B = 8x A4 - 2A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 . De donde A, = 1 de multiplicidad 2 y A2 entonces:
A3 = - / donde: y g = c¡ex + c2x e x + c 3 cosx + c4 senx, y ^ , = , 4 = 1
A = ± , B = - ~ , entonces: 2
^ ~ y g +y P = c¡ex + c 2xe'r + c3 cosx + c 4 senx+1 583)
Dedonde:y = y
g
8
+y
=C) +c2e~(,x + £ _ _ £
y ' '-4y'+4y = x
= íl_ £
y ’
p
2
2
8
8
Solución 585)
y"-2ky'+ k2y = e x , ( k * l )
A2 +4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2 Solución = c¡e2x + c2x e 2x y
= A x 2 + Bx+ C entonces: A - 2£A + k 2 = 0
=> A. = k de multiplicidad 2
y p = 2Ax + B => y \ = 2 A .
g =c\ekx +c2xekx, también, ^ = Aex , dedonde: De donde: 2 A - 8 A x - 4 B + 4 A x 2 +4Bx+4C = x 2
Aex -2kA ex + A k 2e x =lex
=> A -2 k A + A k 2 =1
288 289
2
A(k —1) =1
589)
1 e => A — — => y p — 2 (¿ -1 )2 (£ -1 )
y"+3y'=3xe~ix Solución A2 -i- 3A = 0
ex
=> Aj = 0 , A2 = -3 de donde:
y = y g + y P = c\ekx + c 2xelx + ( ~-¡p= C j+ c2e _3jr y además .y^ = (/lx 2 +fix)e~3jr obteniendo 586)
y + 4 y + 4 y = 8 e '2jr Solución +4 =o
=>
yp =
x2
x
1v y la solución general es:
X = -2 de multiplicidad 2 y = y g + y P = c \ + ci ^ x - ( ~ + ~ ) e ^ x
^
= cxe~2x+c2xe~2x, y ^
^
V
2' de donde: y , = 4 x V * 590)
entonces: 587)
y+ 5y+ 6_y = 10(1 - x )e ~ 2x Solución
y ~ y g +y p = cie ~* + c 2xe 2x + 4 x 2e A2 + 5A + 6 = 0
y"+4y'+3y = 9 e~ix
=> Aj = - 2 , A2 = - 3 , de donde: y g = c ^ -2* + c2e~3* ,
Solución además A2 + 4 A+ 3 = 0
= (A x2 + Bx)e~l x , obteniéndose y
= (20x - 5jc2 )e~2jr,
=> A, = - 1 , A2 = - 3 . De donde: y la solución general es:
y g = c te~x +c2e~ix y y p =Axe~i , entonces:
y p = - ^ - xe 3x dedonde:
y = y g + y p = cxe x + c2e ix -
to I so
y = y g + y p = c\ + c2e~3x + ( 2 0 x - 5 x 2)e~2x 591)
y '+ 2 y + +2y = l + x Solución
588)
ly " -y '= \4 x Solución
A2 + 2A + 2 = 0
=> A = -1 ± / , de donde
A
7
A2 - A = 0
=> A, = 0 , A2 = ^ . De donde y e = c x+ c2e 1
y p = A x 2 +Bx .entonces:
y p = - 7 x 2 -9Xx
entonces:
X
y = y g +y p =
y g = c xe~x cosx + c2e~x sen* además y p = Ax + B x obteniéndose y p = — y la solución general es: 2
y = y g +y p = cxe~x cosx + c2e~x senx + ^
+ c2e 7 —l x ~ —9Sx 291
592)
= (x + x 2)ex
y " + y '+ y
594)
y %'+y = 4x eos x
Solución
Solución
A2 +A + 1 = 0 => A = - - ± a/3 i dedonde:
A2 +1 = 0 => A = ± / de donde:
2
V3 i = q e 2 eos— x + c 2e
= q cosx + c2 senx y además:
y p = x[04x + 2?)cosx + (Cx + 2?)senx] obteniéndose:
V3 sen—
y p = x 2 sen x + x eos x y la solución general es: además
—(A x2 + Bx + C)cx obteniéndose
y = y g +yp = cx eosx + c2 senx + x s e n 2 x + xco sx X X
1
v = (----------i- —)ex y la solución general es: yp
V 3
595)
3 3
~~~
——
y = y g + y P =e 2
■\/3
X2
X
1
y '-2my'+m2y = sen /zx Solución
x
(q co s— x + c 2e 2 sen— x) + (— - - + -)** A2 - 2/wA + m 2 = 0
593)
=> A = m , de multiplicidad 2,
de donde: y = q e wt + c 2x e mx , y además y p = A sen nx + 2? eos /zx
y' '+4y'-2y = 8 sen 2x Solución
. ., , obteniendose:
A2 + 4 A - 2 = 0 => A = -2±-J(> dedonde:
y
(/w2 - w 2) s e n « x + 2/wfl.cos/2x = ----------- -------------------------(m 2 + n 2) 2
y la solución general es: mx, v (/w2 - w 2)sen«x + 2/w«coswx (q + c2x) + --------------------- — -----------(m +n )
y g = c1e(_2+^ )x + c2e ("2‘ ^ )Jr y además: >>p = /4 sen 2x + 5 eos 2x obteniéndose:
v _ y>
l 2sen2:c+16cos2:y y ia solución general es: 25 (-2+V6), + „ =
292
596)
= c ie
-(2+t/6)jt
12sen 2x+16cos2x +C2e25
y '+2y'+5y = e~x sen 2x Solución A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde: y g = qe~* eos 2x + c2e~x sen 2x
además: 293
599) y p = xe~* ( A s e n l x + B c o s l x )
obteniéndosey p = - —e~x c o s l x
y ’+2y =4ex (sen x + eos x)
y la Solución
solución general es: A2 + 2A = 0
=>
Aj = 0 , A2 = -2
de donde
y = y g + y p = (cl eos2x + c 2 senlx)e~x ~ ~ e * cos2x y g = cl + c2e 2x además: 597)
y"+ a2y = 2costfw + 3senmx, m * a
y p = e x (A se nx + B c o sx) obteniéndose:
e y p = — (6 sen x - 2 eos x) y la solución general es:
Solución
y =y g + y p = A2 + a 2 = 0
=> A =±a / de donde
598)
600)
-
y
A^+4A + 5 = 0
2 eos mx + 3sen mx - c x eos ax + c 2 senax + --------- ------r------a -m
+ y
8
y
y
Solución
además:
=> A ! = 0 , A2 = l dedonde y
A = - 2 ± i dedonde:
= c¡e 2a cosx + c 2 e 2* sen x además:
y g = cl + c 2e x
= e x(yísenx+jBcosx) obteniéndose:
= 5xe * sen x y la solución general es:
y - y g + y p - c xe 2xc o s x + c 2e 2* sen x + 5xe v senx 601)
y '+2y'+5y = e x (2x + sen 2x)
Solución
y p = — — (sen x + eos x) y la solución general es: A2 +2A + 5 = 0 y =y
" g
294
=>
y = xe 2x (A e o sx + B sen x) de donde se obtiene:
y " - y ' = e x senx
A2 - A = 0
y ’+ 4 /+ 5 y = 10e_2jr eosx Solución
2cosmx + 3senmx , ' ., . = ------------------------, a * m y la solucion general es: a2 -m y
2 e' + --(6senx-2cosx)
y g =Cj eos ax + c 2 sen ax
y además y p = A eos ms + B sen mx obteniéndose:
y
+ c2e
+y
p
e = cx + c2x + — (senx + cosx) 2
=> A = - 1 ± 2/ dedonde:
y g = cxe x cos2x + c%e Xsen2x además 295
yp - (Ax + B)e x + ye X(C sen 2x + B eos 2x) obteniéndose
604)
y''+ y'-2y = x 2e 4x
/ yP
x -x
Solución
x cos2* + —e * y la solución general es: ?
A +A-2=0
y = c¡e~x cos2x + c 2e x se n 2 x - —e~r cos2x + —e~ 4 2 602)
1
3
=> A = — ± —/ de donde 2 2
- - 3 3 — 3 y a = Cíe 2 cos —cos —x + ese 2 sen —x además 1 x 2 2 2
4y''+y' = x sen x Solución
y 4
A2 + 8A = 0
2 7 e 4* y„ = (x - x + — )----- y la solución general es: Jp 18 18 5
y g = c x + c 2e~lx además: y p = (.4x + 2?)senx + (Cx-f £>)cosx,
obteniéndose: y
= (Ax2 +B x +C )4x de donde:
=> Aj = 0 , A2 = - 2 de donde
x 7 y i = - ( ---------- > s e n x - ( — + — ) cos x , p 20 50 10 50
y la solución general es y = y g + y p es decir:
/ = c , + c 2e **
20
50
4x
-J 3 -t 3 2 7 e v = Cíe 2 cos —x + ese z sen —x + ( x - x + — ) — ' 2 2 2 18 18 605)
y' '-3y'+2y = (x 2 + x)e3jr Solución
Se n x - ( — + — ) cosx 10 50 A2 —3A + 2 = 0
603)
= ^ 2* +c2e lx además y
Solución A~ - 3A + 2 = 0
=> Aj = 1, A2 = 2
y g = c¡e + c2e
yp
3x
C
de donde
2 =— (.*— + x)ex
y la solución general es: y = y g + y p = cxe* + c 2e 2x- ( — + x)ex
= (A x2 +Bx+C)e
3jc
2
obteniéndose: y p = --------(x - 2x + 2) y la solución general es: e 3x y = cxe x + c2e 2x + - y ( x - 2 x + 2)
además y p (Ax + Bx)ex obteniéndose
x2 296
=> At = 1, A2 = 2 de donde:
y' '-3y'+2y = x e x
606)
y " ’- y " + y '- y = x 2 + x Solución 297
3
A3 - A2 + A -1 = O => A2(A-1) + (A-1) = 0 entonces: (A2 +1)(A-1) = 0 y
=>
Aj = 1, A2 = / , A3 = - /
- c xe x + c2 cosx + c3 senx además:
2
y p = x + 6x + 1 8x + 24 y la solución general es:
de donde
y p = A x 2 + Bx + C
y - y g + y p = c¡ex + c2xe x + x 3 + 6 x 2 +18 + 24 609)
5y' '-6y'+5y = \3ex coshx Solución
obteniéndose:
y
= - x 2 - 3x + 1 y la solución general es: 5yM-6y'+5y =
-1)
=>
5A2 -6A + 5 = 0 entonces
y = y g + y p = c1e x + c2 cosx + c3 s e n x - x 2 - 3 x + l 3
607)
3 jc
3 4 -x 4 — 4 A = —± —1 de donde y a = c }e 5 eos —x + Cie 5 s e n - x 5 5 ' * 1 5 1 5
y iv -2 y '" + 2 y "-2 y'+ y = ex Solución
e2x
2
además y p = A e x +B obteniéndose: y p = -----+ 1.3
A4 - 2 A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 de donde (A2 + 1)(A-1) 2 = 0 entonces A = l d e y la solución general es: 3
multiplicidad 2 y A2 = i , A3 = - i de donde se tiene
—X ~x 4 e 2x c ,e 5 eos —x„ + —^ - + 1.3 y = yv_g + + yvp_ = c1e 5 2
y g = c le~x + c2xe~x + c3 eosx + c 4 sen* además 610)
y ,v+ y M= x z + * Solución
x2
2
y p = Ax e x de donde y p = — e x y la solución general es: "A4 + A2 = 0 y
608)
x2 = c¡ex + c2xex +c3 eosx + cA senx + — e x
=>
Ai = 0 de multiplicidad 2
A2 = i , A3 = - i de donde: y g = C ! + c 2x + c3 cosx + c 4 senx además y p = x 2 (A x2 + £x + C)
y " - 2y ,+y = x 3 Solución
obteniéndose
x4
x3
12
6
y „ = — h------- x 2 y la solución general es: p
A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2, de donde y
298
= Cle x + c 2x e x además y p
=
Ax" + B x2 + Cx + D obteniéndose
y = y^
x4
= Cj + C 2 X + C3 COSX + C 4 S e n x + —
x3
+ —
- X
2
299
2
611)
A + 2A +1 = 0 =>
y v - y iv = xex - l
=> A = 0 de multiplicidad 4,
A = 1 de donde:
y p = e~x[(Alx 2 + A2x + A 3) cosx +(B\X2 + B 2x + B3) senx]
y g = c , + c2x + c ^ x l + c4x 5 + c 5e* , además:
y p = x(Ax + B)ex + Ax4 obteniéndose
de multiplicidad 2 de donde:
y g - c xe~x + c2xe~x además:
Solución A5 - A4 = 0
A = -1
obteniéndose: y
x2 y p = (— - 4x)ex
=e~x ( - x 2 eos x + 4x sen x + 6 eos x ) ,
y la solución general es: y = c¡e~x +c2xe~x +e~x ( - x 2 cosx + 4xsenx + 6cosx)
y la solución general es: x2 y = y g + y p = q + c2x + c3x 2 +cAx 3 + c5e x + (—— 4x)ex
614)
y '" -4 y '= x e lx + senx + x 2 Solución
612)
y"+y = x 2 senx
A3 - 4A = 0
Solución A2 +1 = 0
y g = cl +c2e 2x +c3e~2x además se tiene:
=> A = ±i dedonde y g = c¡ eosx + c2 sen x
además y p = x[(Ax2 + B x + C )sen x + (Cx2 + Dx + E)eosx]
y Pi =(Ax + B )xe2x, y ?i = C senx + Dc os x,
de donde se obtiene que:
Dedonde:
x x3 x2 y p = (—— —) eosx + — sen x y la solución general es:
Solución
300
+
j, obteniéndose:
21
£ 2*
2x
X3
- 2x
y = c1-hc2e ' + c 3é? 615)
y ' ,+2y'+y = x 2e x cosx
=
= ( ^ x 2 + A 2x + A3)x .
X
= -----(2x - 3x) + —eos x -------------, y la solución general es: 32 5 12 8
x x3 x2 v = Ci cos+ c-j sen x + (---------) eos x + — sen x J 1 4 6 4 613)
=> Ax - 0 , A2 = 2, A3 = -2 de donde
+
e 2*
2
x
(2x - 3x) h
COSX
X3
X
-----— - -
y -> > = se n x Solución
301
A4 - 2A2 + 1 = 0 A3 - 1 = 0
=> A. = 1, A2 =■-—+ — I, A
1
2
2
2
d
2
2
e
=> (A " -l)2 => A, =1 de multiplicidad 2, A2 = -1 de
donde multiplicidad 2. De donde:
=qe
y g = c ,e x + c 2xex + c3e~x + cAx e x además
JC T V3 2 V3 + c2e 2 cos — x + c3e 2 sen — x ademas y p = A eosx + B sen x de donde:
y p = y4senx-f ¿?cosx obteniéndose y p = —(c o sx -se n x )
eos X yp =— y la solución general es:
x x -r -r cosjc y = cxe + c 2xe +c3 + c4xe + -----4
y la solución general es y = y g + y p es decir: 618) x
~T
V3 2 - jc + c2e 2
y - c xe + c2e 2 c o s - ^
1 Í
y '+y = 2 sen x. sen 2x
\
Solución
sen-^-Jt + ~ (c o s x - s e n x ) 2senx.sen2x = cosx - cos3x
616)
y '+2y'+2y = e~x eos x + xe x
2 A +1 = 0
=> y '+y = eos x - eos 3x
=> A = í / de donde se tiene:
Solución y p - cx eos x + c 2 sen x además y Pi = x(Ax eos x + A2 sen x)
=>
A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1± /' de donde:
y P2 = Bx eos 3x + B2 sen 3x de donde y p = y Pl + y Pi y g =c¡e~x cosx + c 2~x senx
además
= xé~x (A sen x + B eos x ) ,
- j obtemendose:
=(Ax + B)e~x de donde
y p
xsen x
cos3x
2
8
,
.,
--------------------------------------------------------------------------1- - ------------- y
x sen x eos 3x y = Ci cosx + c 2 sen x-f---------+ --------
y p = y Pl + y p2 obteniéndose que:
2
jc
_
619)
/ ’+4y = jtsen2 x
xex
y = y g + y p =e x (c¡ eosjc + c 2 senx)h— -— senx+ xe
Solución 2 * XCOS2X -2 y +4y = x sen x = --------------- A + 4 = 0 2 2
j ‘v - 2 / '+ . y = eos* Solución
302
8
_
= —e * sen x + x e * y la solución general es:
617)
la solucion
de donde
= cx eos 2x + c2 sen 2x además y
^
=> A = ±2/ = A xx + A2 303
A2 + A = 0
y Pi = 4(SiX + C ,) eos2x + (B2x + C2) sen 2x] de donde:
% x xcos2x x 2 sen2x , , ., f v ---------------------------------y la solucion general es: ^ 8 32 16
yp = ypi +ypi +yp, obteniéndose que:
y / v + 2 y 1' '+ 2y '+2/+.y = xe*
sen2x cos2x e x , x 5 2 ~ - ------------------- + ---- + (------ X + 2 x ) p 20 10 2 3
y la solución general es:
Solución A4 + 2A3 + 2A2 + 2A +1 = 0 de donde (A2 +1)(A + 1)2 = 0 => A = —1
= (^ x +
sen2x cos2x e x x 3 2^ y = c1 + c2e x + ------------- ------ + — + ------- x +2x 20 10 2 3
)**
=*
y v + 4 y M= e x + 3sen2x + l Solución
.V/>2 = X(B\ sen x + B 2 cos x ) A5 + 4A3 = 0
de donde y p - y p + y Pi obteniéndose que:
de donde: x 1 x y „ = (-------)ex — cosx y la solución general es: y P v8 4 8 X
1
Solución 7
% *
304
9
y g = c¡ + c2x + c3x + c4 cos 2x + c5 sen 2x además
J
cosx
de donde:
yp =
cos 2 x ) , y p¡ = /í 4x 5
+ y pi + y p¡ obteniéndose
e x 3x x3 = — + — sen 2x + — y la solución general es:
/ ' + / = c o s 2 x + e* + x 2
y + y = eos x + e +x
=> A = 0 de multiplicidad 3 => A = ±2/
y P¡ = A e x , y Pl = *(^2 sen 2 * +
y = c1e~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx + (—~ ~ ) e * "
621)
y = y g + y p es decir:
A = ±i de donde:
j;g = c xe~x + c 2xe~x + c3 cosx + c 4 senx además: ^
de donde:
y Pi=A3ex , y p3 =x(B¡x2 + B2x + B3) dedonde:
x xcos2x x 2 sen 2x = q eos 2x + c 2 sen2x + - ----- —----16 ~
de multiplicidad 2.
Aj = 0 , Aj = - 1
y g =c1+c2e~x además y P{ = A¡ cos2x + A2 senx.sen2x
y p = y Pí + y Pl obteniéndose:
620)
=>
•
COS 2 x
r
2
=> y +y = -------- +-e' + x~ -
623)
y ''-3 y ’+3y '- y = e x cos2x
625)
y " + y '= x 2 - e ~ x + ex
Solución A3 - 3A2 + 3A -1 = 0 =>
(A - 1)3 = 0
donde: y g =cxe* +c2xe* +ci x 2e*
Solución => A = 1
de multiplicidad 3, de
A2 + A = 0
=> A) = 0 , A2 = -1 de donde _ve = í j + c 2e~
además: además y p¡ ~x(A,x2+A2x+A3) =>
y
”
= e x( A eos 2x+B sen 2x} obteniéndose y p = -
e* O
sen 2x yPx =Bxe X, y p =ce* de donde y p = y p¡ + y p¡ + y p¡
y la solución general es:
obteniéndose:
e* y = y g + y p = cxe x + c2xex + c3x e x - — sen 2x
y
Jf3 1 --------x 2 + 2x + xe x + —e x 3 2
y la solución general es: 624)
y = y g + y p es decir:
y 1' '-2y'+4y = ex eos x + x 2 + sen 2x y = c{ +c2e x + — - x 2 + 2x+ xe * + ~ 3 2
Solución A3 - 2 A + 4 = 0
=>
(A + 2)(A2 - 2 A + 2) = 0 de donde
626)
y '-2 y'-3 y = 2x + íTx - 2e3x
Ax = - 2 , A2 = 1+ / , A3 = l - / y además: ^
Solución A2 - 2A - 3 = 0
rre je ”2^ + c2e x c o s x + c 3e x senx ; y
j;^ = Axx 2 + A 2x + A3 entonces
y f2 = Bx sen 2x + B 2 eos 2 x ,
(cj eos x + c 2 sen x) de donde
.v„ = y P¡
+ y P3
1
1
8
40
x
y„ = —(2 x2 + 2x+ l) + — (sen 2x + 3 eos 2x +------(3 se n x -e o s* ))
y la solución general es: 306
y g - c xe~x + c2e 3x además: y Pl = Axx + A2 ,
y pi
= A 4x e ~x,
y p ~ y p , +ypr obteniéndose y 2
obteniéndose que:
yp
=> Aj = - 1 , A2 = 3 de donde
y la solución general es:
y p}
= Axe3x de donde:
2x 4 xc~x x i ------- + ----------------- e 3jr 3 9 4 2
y = y g + y p es decir
20
y = y g +y p
y = c,e
-x
+ c2e
3X2x
4 x e x xe 3x ----- + ------------------3 9 4 2 307
627)
629)
y"+4y = ex + 4sen2x + 2cos2 x - l
y' '+y = eos2 2a: + sen2 ^ Solución
Solución
2^ 2* 1+ cos4jc 1-cos* v + v = eos 2 x + sen —= -----------+ ----------
y"+4y = ex + 4sen2jc + 2cos2 j c - 1
2
y"+4y = ex +4sen2x + 2cos2jt => A2+4 = 0 => A = ±2/ de donde
2
« COS4;t COSJC
y + y = \ + ---------------- => 2 2
2
,2
,
, , , => A = ±i de donde
A +1 = 0
= c{ eos 2x + c2 sen 2x además y Pi=Aex y g = Ci eos x + c 2 sen x además
y Pi = x(B eos 2jc + C sen 2jc) de donde y p = y y Pí = A¡ , y Pi = (yí2 eos 4x + A3 sen 4 x ) ,y P3 = *(¿?j eos x + B 2 sen x)
obteniéndose:
1
y = — + *(—sen 2jc - eos 2x) 5
y la solución general es:
de donde y p = y p¡ + y Pi + y
4
=y
y
g + y p
, cos4x
es decir:
628)
, ., y la solucion general es:
y p = 1 ------------ ----—
1sen 2x - eos 2x) y = c j eos 2* + c 2 sen 2x + ---- + jc(— 5
xsenx
,
y% '+3y'+2y = 6 x e x(1 -e"'r)
630)
Solución = -2
A2 -4 A + 5 = 0
=>
A = 2±/ de donde
De donde y g = x(A2x + B2)e~2x además
y g = c xe 2x eosx + c2e 2x sen*
ypx = x(A xx + B l ) e
y p = xe2x (A sen x + B eos x) obteniéndose
obteniéndose:
y pi = x(A 2x + B 2)e~2x,de donde y p = y
*senx
y' - 4y'+5y = e 2x (sen x + 2 eos x)
Solución
;
cos4jc
y = y g + y P = ci eosx + c2 senx + 1 ----- --------- —
4
y+3y+ 2y = 6e~x -6xe~2x => A2 + 3A+ 2 = 0 , entonces: Aj = -1 , )t 2
obteniéndose
además
y p = 3(x2 -2 x )e ~ x +3(x2 + 2x)e~lx 9
X
y p = (x sen x - —eos x)e x y la solución general es: y la solución general es: y~.yg + yp =
308
c{e~x + c 2e~lx + 3(x2 -2x)e~x +3(x2 +2x)e~2x
y = c¡e
2x
eos x + c 2e
2x
senx+ xe
2x /
COS^f.
(se n * ---- —)
309
X
Solución A2 -4 A + 5 - 0
j
jr
e*
y = y g +y p = cxe c o sx + c 2e sen x + —
x e * sen x - -----
=> A = 2 ±i dedonde 633)
y
X
c xc sen x y p = y p + y pi ------------- ------ , y la solución general es:
631)y''-4y'+5y = 1+ eo s 2 x + e 2x
y " - 3 y '= l + e x + cosx+ senjc
= cxe 2x eosx + c 2e lx senx además:
Solución
„ ^ 3 eos2* 2x Como y -4 y +5y = —+ -------- + e , entonces tenemos: 2
A2 - 3A = 0
=> At = 0 , A2 = 3 dedonde
2
y g = Cj +c2e ix además y p¡ = Ax , ^
=5e"
y P i = A l9 y Pi = A2 eos2x + A2 sen 2x + A$ sen 2 x , y P i = B e 2 y P} = C s e n x + D eosx de donde
de donde:
^
^
y^ = y Pi + y P2 + y o b t e n i é n d o s e
x eos x _2 sen x obteniéndose, y p - - —— — + -------------------------------------------------- ---------- y la y w= e yp
2x
3 1 4 + — + ---- co s2 x ------ sen2x 10 130 65 y = y g + y p es decir:
y la solución general es:
y = Cie
y 632)
1
cosx + c^e 2
y M-2 y '+ 2 y = e sen
y = c, + c 2e 1 2
senx + e
2x
3c o s 2 jc 4sen2x 10 130 65
2^
además y 310
y '-2y'+5y = e* (1 - 2 sen 2 x) +10*+1 Solución y -2 y + 5 ^ = e x{l - 2 sen 2 x) + 10x + l y ,-2>'+5>' = e x cos2x +10 jc+ 1 ^
A2 -2 A + 5 = 0 entonces A = 1± 2/
y g = cxe x eos 2x + c2e x sen 2x además
ff , * 2* e* y -2 y + 2 y = r sen‘ - = - ------— eos x
=>
x e x eos x - 2 sen x — = — + -----------------3 2 5
+ — + --------------------
Solución
A2 -2 A + 2 = 0
634)
:\x
y Pi = x e x (A cos2x-hBsen2x)
=> y pj =Cx + D dedonde
y p = y p t +yp 1 obteniéndose
x y p = —e x sen2x + 2x+ l
A = l ± / de donde y g = cxex eosx + c 2e x sen x
= A e x , y pi = x e x (B eos x + C sen x)
dedonde:
311
, eos 2x + 7 sen 2x , ., = 1+ sen x h---------- —--------- y la solucion general es:
y la solución general es: y = y g + y p es decir: £ y = (q eos 2x + c2 sen 2x)ex + — sen 2x + 2x +1
4
y = c1e
+ c2xe
jc . i . ___ . eos 2x - 7 sen 2x + l + sen;t + 25
y' l-4y*+4y = 4* + sen x + sen 2x y"+y+y+l = sen x + x+ x2 Solución Solución A2 - 4A + 4 = 0
=>
A = 2 de multiplicidad 2. A2 + A +1 = 0 => A = ——±
^
2
= q e 2* + c 2xe2x además y Pi =Ax + B
2
/ de donde
y p - C s e n x + D c o sx , y Py = 2scos2x + Fsen2jc de donde yp ^y p i+ y p i+ y *
obteniéndose y p = A s c n x + B c o s x + Cx2 + Dx +E de donde:
y p = x +1 + — (4 eos jc + 3 sen x) + - eos 2x y la solución general 25 8
y s q e 2* + c2x e lx + x + l + — (4cosjc + 3 se n x )+ —cos2x 25 8
y' '+2y'+y = 1+ 2 eos x + eos 2x - sen 2x
2
- x - 2 - eos x
y = c{e Í z e o s S- ^ - x + c2e L sen — x + x - x - 2 - c o s x
y' '+6y'+9y = 9xe~3x +1 + 9 sen x Solución
Solución A2 + 2A +1 = 0 => A = -1
de multiplicidad 2.
= cxe~x +c2xe~x además:
y la solución general es: y - y g + y p
A2 + 6A + 9 = 0 yg
=> A = -3 de multiplicidad 2.
3* + c 2*e 3jr además
y Pi = A x , y Pi = i?cosx + C se n x , y Pj = D eos2x + E sen 2x
yp\ = A > y Pl = x [(5 1x + cx)e 3x],
de donde:
de donde y p = y pi + y f i + y Pi obteniéndose
y p = y Pl + y Pl + y P3 obteniéndose
y P} = (B 2 senx + C2 cosx)
y D = —+ —x 3e x + — (36sex-21 cosx) 9 2 50
y g = cxe 2x + c 2e 3x además y p = ( A x + B ) e x obteniéndose
y la solución general es:
y p = xe~x y la solución general es:
_3 r
+Cixe 2
-3 r
+ y p es decir:
1 3xe 1 , __ + —+ + — (36 sen jc-27cosjc) 9 2 50
x
y = y g + y p = cxe 2x + c3*3* +xe~x , para x =D, y = 0
-
y - c ye 1
y =y
Se tiene que: 639)
cx + c2 = 0
... (1)
y %'+2y+ l = 3 sen 2x + eos x y = 2cxe 2x +3c2e 3x + ex -x e ~ x entonces: Solución
y ’= 2c¡e2x +3c2e 3x +e~x -x e ~ xp a ra x = 0, v!=Q A2 + 2A = 0
=> Aj = 0 , A2 = -2 entonces: Se tiene que:
y g = q + c2e~2* además
+ 3c2 +1 = 0
... (2)
= .4 , >^2 = B sen 2x + C eos 2x de (1) y (2), se obtiene: c x - 1 ,
c2 *» -1
y P3 = D co s* + £ s e n x de donde: y p = y p¡ + y Pi + y P} por lo tanto: ., t x eos* 2 3, obtemendose: v„ = ------------------- h—senx — (sen 2 * -e o s 2x) 2 5 5 8 y la solución general es:y = y g + y p
y = c¡e2x + c2e 3x +xe~x entonces: y = e 2x - e 3x +xe~x
es decir: 641)y' *+9y = 6e3x, y (0) = y (0) = 0
_2r 2senx cosx x 3, v = Ct+Coe ' + ---------------------------- (sen2x + cos2x) 7 1 5 5 2
Solución
8 A2 + 9 = 0
En los siguientes problem as se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas. 640)y '-5 y '+ 6 y = ( \ 2 x - l ) e x , y ( 0) = y (0) = 0
=> A = ±3/ de donde:
y g = cx eos3x + c 2 sen3x además
y p = Á e3x de donde
e 3x y p = - y - y la solución general es:
Solución A2 -5 A + 6 = 0 314
=> Aj = 2 , A2 = 3 de donde
e 3x
); = y g +y p = cx cos3x + c2sen3x + — — 315,
643) para x = O, y = O => 0 = c , + ”
y v,+ 6yf+9y = 10 sen x ,
y ( 0) = f (0) = 0
=> c 1 = - ^
Solución 'y cos3x ^ e A A v * ——*------ + csen3x + ---- derivando y 3 3
A2 + 6A + 9 = 0 y
=>
A = -3 de multiplicidad 2
= c¡e~3x+ c2xe~3x además y p = ,4 senx + 2? cosx
y ’= sen 3 x + 3c2 cos3x + e 3* p a r a x - 0 , y f= 0 de donde 0 = 3c2 +1
=> c2 = - j
y^ = - (4 sen x - 3 eos x) y la solución general es:
por lo tanto:
1
y =r- —(c o s3 x + se n 3 x -e
3x
y = c¡e 3x + c 2xe 3x + -^ (4 se n x -3 c o sx )
)
3 para x = 0, y = 0 => 0 = q - 642)
=>
3 ci = “
y''-4y'+5y = 2 x 2e x , y(0) = 2, ,v’(0) = 3 y '= - Z c xe 3jr+ 3c2xe 3x + j(4 c o s x + 3 s e n x )
Solución i A2 - 4 A + 5 = 0
=> A = 2 ± i de donde
y g = q e 2x cosx + c 2e 2* senx
para x = 0, y '= 0
4 => 0 = - 3 q + c2 + — => c2 = 1
además y p = (ylx2 +Bx + C)ex por lo tanto:y = y e 3x +xe 3x + y (4 s e n x -3 c o s x )
obteniéndose
y p = (x + l)2e x y la solución general es parax = 0, y = 2
entonces 2 = c¡ +1
=> q = 1
644)
y"+ y = 2 c o s x , y(0) = 1, y'(0) = 0
Solución
el x (cosx + c2 senx) + (x + \)2ex , derivando tenemos: y = 2 e 2r(cosx + c2 senx) + e 2x(-se n x + c > x o s* ) + 2(x + l)eA+ (x + l)2e A p arax = 0, y f= 3 => 3 = 2 + c2 + 2 + 1 => c2 = por lo tanto: 316
y = e 2A(eos x - 2 sen x) + (x +1)2e*
A2 +1 = 0
=> A = ±i dedonde y g = q cosx + c 2 senx
además y p = x (^ eos x + B sen x)
obteniéndose
y^ = x sen x y la solución general es: 317
y = y g + y p = q c o s x + c 2 senjc + jrsenac, entonces:
A2 -
parax = O, y = 1
.yg = c¡e3x + c2xe3x además y p = A x 2 + Bx + C obteniéndose
1 = c,
y '= -C j senjc + c 2 cosx + senx + x c o s x , para x = 0, y '= 0
y
-
p entonces: 645)
0 = c 2 por lo tanto:
1
+ _
27
sen x
3x
+ c 2x 2
4 =C 1 i+ — 3 1 3
A = ±2/ de donde y g = cx eos 2x + c 2 sen 2 x , además
y p = A sen x + B eos x , obteniéndose y p =
y ^ y g + yp =
jc
+ —
9
^ = Cie 1
Solución =>
x2
—
y
3 J
la solución general es: 6
y = eos x + x sen x
y ’'+4y = sen x , j,(0) = .y’(0) = l
A2 + 4 = 0
6A + 9 = 0 => A = 3 de multiplicidad 2
X 2
X
1
4
+ — + — + —, para x = 0, y = — 9 27 3 ' y 3
i => Ci =1 1
X2 + ----x h— 1 entonces: y = e 3* + c ? x3xe + — 7 2 9 27 3
y = 3e3r + c2e 3x +3c2xe3x + — + — para x = 0, y' = — , entonces: 9 27 27
y la solución general es:
1 = 3^+ c2 h-----1 => — 27 2 27
sen x cos2x + c2 sen2x+ ——
1 . . por lo tanto:
para x = 0, y = 1 => 11 = q eos X y = -2 c x sen 2x + 2c2 eos 2x + —^ p a r a x = 0, y' =1
3*
647)
c 7 = -3 2
y= e
3X , 3X X2 X 1 - 3xe + — + — + 9 27 3
y"-4y'+ 4y = e 2xy y(0)= 2,
/(O ) = 8 Solución
1 entonces 1 = 2c 2 + — => c 2 = — 2 3 3 por lo tanto:
A2 -4 A + 4 = 0
sen2x senx y = eos 2x + — -— + —-—
=> A = 2 de multiplicidad 2
y = q e 2* + c 2xe2x además y
= A x 2e 2x obteniéndose
jc2
646)
y " - 6 y ' + 9 y - x 2 - x + 3 , y(0) = y
y'(0) = ~
Solución
318
y p = — e 2x y la solución general es y = y g + y p
es decir:
x2 y = c¡e2x + c2x e 2x + — e 2x, para x = 0, y = 2 => 2 = q 319
y
= 2elx + c 2x lx +
y = 4 e lx entonces:
2 A -A = 0
e 2x, derivando se tiene:
por lo tanto:
x2 y = 2elx + 4x e2x +~J~e2*
para x = 0, y = - 4 => - 4 = cx = c 2 - 2 => c x + c 2 = -2 / = c 2e x - e ~x(senx - 2 e o sx )+ e~x (eosx + 2 sen x)
Solución => A =±2/
para x = 0, y'= 5
de donde: y g =Cj eos2x + c 2 s e n 2 x , además
y p - x(A sen 2x + C eos 2jc)
obteniéndose y^ =
por lo tanto:
=>
5 = c2 +2+1
=> c 2 = 2,
c, = -4
y = - 4 + l e x + e~x (sen x - 2 eosx)
sen 2x - eos 2x) 650)
y la solución general es:
(/í sen x + B cosx), obteniéndose: y p ~ e ~ * (se n x -2 c o sx )
y la solución general es: y = c ¡ + c 2e* + e~ x(s e n x - 2 c o s x ) ,
=> c 2 = 4
y"+4y = 4(sen 2x + eos2x) , y(n) = y'Or) = 2/r
A2 + 4 = 0
A[ = 0 , A2 = 1 de donde y g - c¡ + c 2e *
además: y p =
+c2x e 2x + x e2x + x 2e 2x y para x = 0, y 1=8 8=4+q
=>
y ”-2y'+2y = 4ex c o sx ,
y(n) = nen , y ( ^ ) = e *
y = y g + y p es decir: Solución
y = c¡ eos 2x + c 2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) para x = n, y = 2n => 2n ~ c x - n
Az -2 A + 2 = 0 => A = 1± í de donde: y g = (Cíe* c o s x + c 2e* senx)
=> cx =3n además: y p = x e x ( A c o s x + B senx), obteniéndose: y p = 2 x ex senx
y = 3k eos 2* + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x) y la solución general es: y = y g + y p - e x (cx eos x + c 2 sen x ) + 2 x x sen x y = - 6n sen 2x + 2c2 eos 2x + sen 2x - eos 2x + 2x(cos 2x + sen 2x) para x = / r , y = jten para x = re, y '= 2 ;r
=>
2n = 2c2 —1+ 2/r
=>
rten = e ncx => q = n
c2 = ~
sen 2x , y = 3^r eos 2x H---------- t- x(sen 2x - eos 2x)
y ' = e x (cx c o s x + c 2 senx) + e x (~cx senx + c2 eos x) + (2e*x senx) para
y ' - y ' - -5é~x (sen x + co sx ), y(0) = -4, y'(0) = 5
=>
x
= k , y '= e n
c 2 = 1 —c¡
=>
=> e* = e n {-cx - c 2) entonces:
c 2 = 1 -« -
por lo tanto:
Solución y = e x {n cosx + (l-7T)senx) + 2xejr senx 321
651)
y " ' - y ' = - 2 x , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1, /'( O ) = 2
obteniéndose v;, = 2xex y la solución general es:
Solución A3 - A = 0
y = cxe x +c2e~x +c3 cosx + c4 senx + 2xex ,
=> Aj = 0 , A2 = l , A3 = - l
de donde:
para x = 0 , y = 0 ¡ =>
- l= c ,+ c 2 +c
y g =cl +c2e x +c3e~x además y p - x ( A x + B) de donde
y ’=c¡ex - c 2e x - c 3 senx + c4 cosjc + 2í’ r + 2 x e 1
y p = x 2 y la solución general es: y = y g + y p = cx +c2e x +c3e~
para x = 0, / = 0
para x - 0, y = 0 entonces:
0 = c ¡ + c 2 +c3
( 2)
c2 - c 3 =1
Cj
0 = q - c 2 +c4 +2
... (2)
Cj + c4 = —2
y''= c¡e +c2e x - c 3 c o s x - c 4 seax + 4ex +2xex
y '= c 2ex - c 3e x de donde para x = 0, y ’=l l = c2 - c 3 =
(1)
=>
para x = 0, y ”= 1
=>
l = c!+ c2 - c 3+4
Cj +Cj —c3 = —3
... (3)
y ”=c2ex +c3e x de donde para x = 0, y" =2 2 = c 2 + c 3 =>
... (3)
c2 + c 3 = 2
y " '= c ¡ e x - c 2e r + c 3 s e n x - c 4 cosjc + 6 e r +2xex para x = 0, / " = 0
de (2) y (3) se tiene:
=> 0 = c , - c 2 - c 4 + 6
c, - c 2 —c4 = - 6
c2 =
, c3 =
..(1)
... (4)
, c, = —2, por lo tanto: desarrollando (1), (2), (3) y (4) se tiene: 3 x h—1 e -x + x 2 v = - 2^ + —e 2
652)
2
y ív- y = 8ex , y(0) = -l, / ( 0 ) = 0 , / ’( 0 ) - l . / " ( 0 ) = 0
y 322
=» Aj = 1, A2 = - l , A3 = í , A4 = - i
= c,e* + c2e~x + c 3 cosx + c4 sen*
y = - 3 e r + é~x + cosx + 2 sen x + 2xex y " ’- y = 2 x , y(0) = y'(0) = 0 , y " ( 0) = 2
Solución A4 -1 = 0
= - 3 , c2 = 1, c3 = 1, c4 = 2 por lo tanto:
además y p = A x ex
Solución
, 'I V3 ~ -73 y g =c¡e + c2e 2 eos— x + c 3e ¿ sen— x
En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen en el infinito las condiciones dadas. 655)
además y p = Ax + B
/ '- 4 / + 5 y = sen x , y es acotada para x - H -00
obteniéndose y p = 2.v Solución
y la solución general es:
y - y g + y p es decir: Sea p(r) - r 1 - 4r + 5 = 0
,
y=
-f V3 i V3 , + c 2e 2 c o s -^ -x + c3e 1 sen-~~ x+ 2x
2v = q e ‘ eos x + c2e
=> ^ = 2 + / , r2 = 2 - i
2v• sen x . La solución particular es de la forma:
empleando las condiciones dadas se obtiene la solución particular. y p = A cosx + B sen x
^ x + 2x v = — 4¡= e _f¿ sen — -73 2 654)
/ v ->> = 8 e \ y(0) = 0, / ( 0 ) = 2 , / ’(0) = 4 , / " ( 0 ) = 6 Solución A4 -1 = 0
= - /ís e n x + i?cosx
=>
\ y \ = -./í c o s x - £ senx ahora reemplazando en la ecuación diferencial. - A eos x - B sen x + 4A sen x - 4B eos x+ 5A eos x + 5B sen x = sen x (4 A + 4 B) sen x + (4 A - 4 B ) eos x = sen x
=> Aj = - 1 , A2 =1, A3 = i\
A4 = - / dedonde
,
entonces:
1
Í4A + 4B = l ^
= cxe~x + c2e x + c3 cosx + c4 senx
además y p = Axex
[ 4 .4 - 4 5 = 0
^
g =l 8
obteniéndose:
y p = 2xe* y la solución general es:
cosx
senx
8
8
y = cxe~x + c 2e x + c3 cosx + c4 senx + 2xex La solución general es: para
x = 0, y = 0
==>
c1+ c 2 + c 3 = 0
para
x = 0, y f= 2
=>
Cj + c2 + ^ 4 = 0
para
x = 0 , / ’= 4
=>
para x = 0, y ' 1= 6
=>
entonces: 324
..
y = cxe
y = y g +y p 2x
eosx + c 2e
2x
eos x + sen x senx + -----------------------
cx + c2 - c 3 = O - c 1+ c 2 - e 4 = 0
cx = c2 = c3 = c4 = 0
de donde y = 2xex
y es acotado cuando x ->00 o
q = c 2 = 0 de donde la solución general es
eos x + sen x de la forma siguiente: y = ^ 325
656)
y '+2y'+5y = 4 eos 2x + sen 2 x , y es acotada para x ->-oo Solución Sea /?(r) = r 2 + 2r + 5 = 0 ^
y g = cxe x + c 2e *, la soluciónparticular y y lp = 0 => y*p = 0
=> rx = -1 + 2/, r2 = - 1 - 2 /
= q e - * cos2x + c2e~* sen 2 x , la solución particular es de la forma:
= A , de donde:
=> O —A = 1 =S> A = - 1
por lo tanto la solución particular es
y p = -1
y la solución general de la ecuación diferencial es:y = y g + y p de donde:
y p = ,4cos2x + i?sen2x, de donde: y —cxe x +c2e~x -1 y p = -2,4 sen 2x + 25 eos 2x
=>
= - 4 ^ eos 2x - 4B sen 2x
reemplazando en la ecuación diferencial.
y es acotado cuando x —>oo <=> c¡ = c 2 = 0 por lo tanto:
y = -1
-4Acos2x—4Bsen2x-4Asen2x+4Bcos2x + 5Acos2x + sen2x = 4cos2x + sen 2x (A + 4 B) eo s2x + (B - 4A) sen 2x = 4 eos 2x + sen 2* L4 + 4 5 = 4 \- 4 A +B = l
y r —y = - 2 eos x , y es acotada para x —>oo Solución
f¿ = 0 ^
[5 = 1
Sea p ( r ) - r 2 - 1 = 0
y p = sen2x
j y = C ie*+c2
La solución general es:
y - yg +yp
La solución particular es de la forma:
y = cxe~x eos2x + c 2e~x sen2x + sen2x ahora y es acotado cuando x ->-oo o es: 657)
y p = -A cosx-B senx
reemplazando en la ecuación diferencial.
y' - y = 1 , y es acotada para x ->oo Solución
326
{
>>* = - A s e n x + B cosx
cx = c 2 = 0 por lo tanto la solución
y = sen 2x
Sea p(r) = r 2 - 1 = 0
r j = l , r2 = - 1
=> ^ = 1 , r2 = - l
- A eos x - B sen x -
eos x - 5 sen x = -2 eos x
- 2 A eos x - 2 B sen x = -2 eos x y p = co sx
=> A = 1, B = 0
La solución general de la ecuación diferencial es: Por lo tanto la solución particular es: y p - e x + 3
y = cíe x + c2e~* +cosjí y es acotada para x - > o o por lo tanto:
La solución general de la ecuación diferencial es:
cx = c 2 - 0
<=>
y = y g + y p = c\e x + c2e
y = eosx
c¡ = c 2 = 0 por lo tanto: 659)
■00 si y solo si
+e * + 3, y ->3 cuando x y =ex +3
y"-2y'+'y = 4e~*, y - * 0 para x-»+oo 661)
Solución Sea p(r) = r 2 - 2r +1 = 0
y% '- y '- 5 y = 1, y
para x ->oo
=> r = 1 de multiplicidad 2.
Solución
y g - cle x + c2x e x la solución particular es y p =Ae~x => y \ = - A e - x
=>
Sea p(r) = r 2 - r - 5 = 0
y \ = Ae~x ^ g = c ,e
=> r, = 1+ ^ * , r2 = ^ - ~
1+V2Í 1-V21 C ----Jf ------J 2 +c2e 2
Ae~x + 2Ae~x + Ae~x = 4e~x entonces: A = 1, ó sea y p =e~x La solución particular es: y p = ^ => y p = o , ^
=0
La solución general de la ecuación diferencial es:
0
y = y * + y p = ° ieX + CiXex + e "x y —>0 cuando x —>00 <=> cx = c 2 = 0 por lo tanto: y = e 660)
—0 —5A = 1 => A = —— => 5 p
v = —— 5
La solución general de la ecuación diferencial es:
y ' ’+4y’+3y = 8 e * + 9 ,y - > 0 para x->-a>
1+V2T
1+V2I
2
2
>' = -Ví r + -v /> = = c l e
X + C 2e
*
Solución Sea p(r) = r 2 + 4r + 3 = 0 yg =
+ c2e “3*, la solución particular es de la forma:
y
Ahora
derivando
,
tenemos:
y p] = A ex , y J, =
¿£?*+4ér*+3e*+3¿J = 8é?JC+ 9 = > A = l , B = 3 328
V
=> ^ = - 1 , r2 = - 3 í>62)
1
—> - j
I
parax~>oo <=> cx = c 2 = 0 por lo tanto: y = - —
y"+4y'+4y = 2eA(senx + 7 co sx ), y - » 0 para x-»-oo
entonces:
Solución
329
p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0
=> r =
-2 de multiplicidad 2.
y p = e 2x (A eos 2x + B sen 2 x ) , ahora derivando tenemos:
y g = c 1e~2x + c2xe~2x
y \ = e~2x[(-2A - I B )sen 2x + ( 2 B - 2 A ) eos2x]
La solución particular es: y p - e x (A eos x + B sen x)
y®, = e~2jt (8A sen 2x - 85 eos 2x)
y^p = e*[,4(cosjc- sen jc) + 5(senx + cos x)]
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial:
yp = e x[ 2 B c o s x -2 A s e n x ]
y \ = e~2x (%Asen2x-%B eosx2x)
entonces:
- 5 y [p =e~lx [(\0A + \ 0 B) sen 2x + (1OA - 1OB) eos 2x]
e x[2B eos x - 2 A sen x + 4yí(cos jc - sen jc) + 42?(sen x + eos x) +
6
+ 4^(cos x + B sen x)] = 2 e x (sen x + 7 eos x)
y p = e~2x (6,4 eos 2x + 65 sen 2x) " 5y'p + 6y p = íT2* [(18/1 + 1 6 5 )sen 2x + (16A - 1 2 5 ) eos 2x] =
e x [(8B - 6A) sen x + (6B + 8,4) eos x] = 2 e x (sen x + 7 eos x)
= 2 e 2'<(9 sen 2 jc+ 4 eos 2x)
e x[(8B - 6 A) sen x + (6 B + 8^) eos x] = 2ex (sen x + 7 eos x)
{65 + 8,4 = 14
(18v4 + 165)sen 2x + (16,4-125) eos 2x = 18 sen 2x + 8cos2x
A= 1
[%B-6A = 2 ^
5 = 1 ^
= e r (cosjc + senjc)
por lo tanto:
Solución
^
= q e 2* + c 2e 3* , es lá solución general de la ecuación homogénea
La solución particular es de la forma:
664)
43 59
[16.4-125 = 8
y '-5'+6y = 2éT2* (9 sen 2jc + 4 eos 2 x ) , y - » 0 , para x -> +oo
Sea p(r) = r 2 - 5 r + 6 = 0 => rx = 2 , r2 =3
,
Í18.4 + 165 = 18 ^
y
p
5 =ü 59
= e “2jr (— eos 2* + — sen 2x) 59 59
/ ,-4 /+ 4 > ' = (9x2 + 5 x - l2 ) e ~ x, y —> 0 para x —> oo Solución Sea p(r) = r 2 - 4 r + 4 = 0 => r = 2 de multiplicidad 2 331
y
= cxe lx + c 2Jte2* , solución general de la ecuación homogénea.
La solución particular es de la forma:
e c ij a g io n e s d e e u l e r
I
Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:
y p = (A x 2 +Bx+ C)e~x , derivando tenemos
n d ny n - \ d n~Xy dy a „x -— + an_lx - — ¡- + ..- + a lx — + a0y = 0 dx dx dx
y \ = (2Ax + B)e~x + ( - A x 2 - B x + C)e~x = e _Jr( - A x 2 + (2A - B ) x + B - C ) f y \ =e~x (A x2 + ( B - 4 A ) x + 2 A - 2 B + C)
donde a n , a n_x,...,ax,a 0 son constantes. Para resolver estas ecuaciones se reducen a ecuaciones diferenciales lineales homogéneasde coeficientes constantes, mediante la sustitución.
e~x[Ax2 + ( B - 4 A ) x + 2 A - 2 B + C ]-4 e~ x ( - A x 2 + ( 2 A - B ) x + B - C ) + x-e + 4(Ax2 +Bx + C)e~x = e~*(9x2 + 5 x - \ 2 ) 9A x2 + (9 B -1 2 A )x + 2 A - 6 B + 9 C = 9 x 2 + 5 x -1 2
=> t = lnx además
dy_ dy _ dt = e -t dy _ . d y _ e _, dy dx
dx
dt
dx
dt
dt
9 B -12A = 5
=>
2 A - 6 B + 9 C = -12
5=H 9 C = ——9
^ = ( /x 22 + 1-7x - - )8 ae
17 8 >' = 3;g +JV = 9 e2* + c2x e 2x + ( x 2 +— x - - ) e
y —»0 cuando x -*oo
332
d^y_ _ dy' _ dt = e -t dy__ e -t
dt d 2y _ - i , ( d 2y
¿y.
dx2
dt
d t2
-
La solución general de la ecuación diferencial es:
por lo tanto:
dy'
A =1
9A = 9
o
cx = c 2 - 0
17 8 y = (x2 + — x - —)e *
También son ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales de la forma: „ d ny , d n~l \ a n(ax + b) — — + a n_l (ax + b )n — ^ - + ... + a 0y = 0 dx dx estas ecuaciones diferenciales se resuelven en forma análoga al caso anterior, mediante la sustitución. a x+ b = e‘ => t = ln(ax + b) 333
Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma:
666)
x 2y' '+3xy'+y = 0
Solución anx n ^ - ^ - + ... + a 1x ^ - + a 0y = x a Pm(ln(*)) cbt"_________ dx__________________
Sea x = e* => t = lnx además:
donde m es el grado de Pm(ln(x)) <*2y _ - 2>(<¡2y d t2 dt2
dy_ = e-,dy_. dx dt '
También estas ecuaciones se resuelven en forma similar al caso anterior.
dy dt
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: Integrar las siguientes ecuaciones de Euler. 665)
e 2t.e~2t
dt
dt
) + 3 e'.e- ' — + y = 0 , simplificando dt
x 2y"+xy'-y = 0 d 2y dy — r- + 2 — + y - 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes dt2
Solución Sea x = e* => t = lnx además:
dy_ .,d y dx
d 2y _ dt
dt
lt d ^ y dt
A2 + 2A +1 = 0 => A = - l de multiplicidad 2.
dy
/x _/ —t X 0 = ^i^ + c 2te
dt
que reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
667)
i * + de donde:
^1 x
^9 ln x —----x
x 2y' '+2xy’+6y = 0 Solución
e 2t ,e~2t (—— - — ) + - e l ,e~* — - y = 0 , simplificando d t 2 dt dt
Sea x = e* => t = lnx además: d 2y — - y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes. d t2 A2 -1 = 0
dy ~— - e dx
dy d y _2, , d 2y dy — ; — —= e (— ------—) reemplazando dt d t2 d t 2 dt
=> Aj = 1 , A2 = -1
la solución es:
y(t) = c^e1 + c1e~t
e » £ - » (£ z - ± )+ 2e' £ - , ! ! y +6, , 0 d t 2 dt dt d 2y dy — r - + — + 6y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: d t ¿ dt 335
2 A2 +A + 6 = 0
e 2' .e-2' (~7y - - 37) + 3e' .e“' — - 3y = 0 , simplificando
1 423 => A = — ± ------i de donde: 2 2
d y dt2
1 -723 , V23 . y = — [cxeos-ln x 4- c 2 sen ———ln x] - J x 2 2
„ ¿V
— iz- + + 22 -j— -3 ^ = 0
(1 4 V 23, -3 V 23, y (0 = c1e 2 eos —— f 4-c2e 2 sen - — r
por lo tanto:
dt
donde:
.
ecuación homogénea de coeficientes constantes de
dt
A2 + 2 A - 3 = 0
=> A] = - 3 , A2 = 1 => >»(/)«scj«' +c2e~3'
y =ci (x +2) +- C2 668)
(x+ 2) 3
xy"+y'=0 Solución
670)
(2x + l) 2y ’- 2(2jc + l)y + 4^ = 0 Solución
Sea x = e x => t = lnx además: 72 , d
dx
y
. r - 7t(d
dt ’ d i 2
y
dt2
Sea 2x + l = e ' = > t = ln(2x + l) además:
^ di
— = 2e~' — ;
úi*
669)
=>
dt1
j/ = cj4*c2 lnx
dt
dt
dt
d 2y a dy . A d 2y „ dy — f - 8 - f + 4 ^ = 0 => — f - 2 — dt
Solución
d2 y _ r - 2 ' ( J 2y d t2 d t2
dy , dt
dt
sea A2 - 2A +1 = 0
Sea x 4- 2 = e r => t = ln(x 4- 2) además:
dt ’
dt2
e 21Ae~2'(~—t~- — ) - 2e'2e~ ' — + A y ~ 0 , simplificando
(* + 2)2 y ’'+3(jc4- 2 ) / - 3 y = 0
dx
dx2
reemplazando en la ecuación diferencial
2^
d y = 0A => _ A2 1 2 = 0 ==> A = 0 de multiplicidad 2. .2 di1 y(t) = cl + c2t
í/í
-
reemplazando se tiene:
t -21 ,d y dy _t dy e .e (— —) 4- e — = U d i2 di di
dt
=> A = l d e multiplicidad 2.
y(t) = cle‘ +c2te‘ dedonde: 671)
dt
y - c l {2x+l) +c2(2x +l)ln(2x+l)
x 2y"'-3xy''+3y'=0 Solución
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 336
337
A - 3A2 = 0
Sea x = e ‘ => t = lnx además: dy
, dy
* ■ '
d 2y _ 2 l d 2y _ d y
i¡ ’
* r_
{w
* h
d 'y _
y
i ? - e
V
* d \y V
■ dy
=> Aj = 3, A2 = 0 de multiplicidad 2.
7 (í) =C] + c2f + c3e 3'
de donde
>» = C i+ c 2 lnjc + c3* 3
<*
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
673)
(x + l ) V " - 1 2 / = 0 Solución
d t3
d t2
dt
d t2
dt
dt Sea x + l = e' => t = ln(x + 1) además:
^ Z - 6 ^ - Z + 8— = 0 ecuación homogénea d t3 d t2 dt
de coeficientes constantes, dx
de donde:
A3 —6A2 + 8A = 0
dt
dx3 dt3
í/í2
í/í
Aj = 0 , A2 = 4 , , A3 = 2 reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
y la solución es: y(t) =Cj + c 2^ 4í
por lo tanto: e 2í£ 3, (-^ H p -3 -^ -^ + 2 -^ -)-1 2 e ' — = 0 , simplificando í* 3 rf/2 * <*
y - C i + c2x 4 + c 3x 2 672)
± J3L- -3, — Í J t— L - l(¡± 37 = ® d t3 d i2
x2y " = i y Solución
constantes.
ecuación diferencial homogénea de coeficientes
A3 - 2 A2 -10A = 0
=> A, = 0 , A2 = 5 , A3 = - 2 ,
Sea a x ^ e * => t = lnx además: y la solución general es: y(t) = cx + c 2e 5' + c3e “2' , por lo tanto: ± .,- á L ; ífo
£ ! f , e- 3 - ( £ ! z - e £ i + 2 ^ i dx dt dt dt
y = c1+ c2(x + i y + (x+ l)2
reemplazando en la ecuación diferencial dada
e 2' £~3' (r -^ - - 3 — —+ 2 — ) = 2e~' — , simplificando A3 <*2 dt dt
674)
(2 x + i)2y " + 2 ( 2 x + i) y ’+ y = o Solución
3
2
— Z. _-3 ^ _ ü = o ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: <*3 ¿ í2 338
Sea 2x +1 = e x => t = ln(2x + 1) además: 339
2 É L.u - ± dx dt
+
, dx2
dt
= ( 6 - r ) e r, sea
A2 +1 = 0
y g (t) = q eos t + c 2 sen t d t3
d t3
d t2
=>
Aj = / , Á2 = - i
dt
dt
dt
™ t ^ = ( ^ + 5 ) * ' =>
y g = q eos ln x + c 2 sen ln x
1 7 yP = --+ j
=>
lnx
7
reemplazando en la ecuación diferencial dada , * * - * ( í ! f - 3+ 2 ± ) + V .4«-" & d i3 d t2 dt
se tiene:
- * ) + 2 « - ÉL , o d t2 dt dt
*
676) 4
- 8 ^ -4 - + 5 — = 0 d t3 d t2 dt
.F = .V* + .F » = ci cos(ln x) + c 2 sen(ln x) ^
2
+— 2
x 2y"-;xy,+y = 2* Solución
ecuación homogénea de coeficientes constantes, de
Sea x = e r => t = lnx además: donde:
4 A - 8A + 5A = 0
=> A. = 0 , A2 = 1h— , A3 = 1—
2
2
¿/y — =e dx
úíy — , dt
2
2
_y(í) = Cj + 02«* cos-^ + c3e ' s e n - j, de donde e 2t .e~2t ,, ln(2x + l) ln(2x + l) y = c¡ + c2 (2 x + l)c o s—--------- + c3(2x + l)s e n ------------
675)
-
x 2y' '+xy'+y = x(6 - ln x)
¿ í2
¿ r2
— + v = 2 e ', simplificando dt
dt
2 — + y = 2 e ', de donde dt
A2 - 2A +1 = 0
Solución entonces:
A = 1 de multiplicidad 2.
Sea x = e' => t = lnx además: y g (t) = q e ' + c2e ' ^ L =e- '^ y dx dt
’
d y = e - 2,( - dx2 d t2
— dt
reemplazando en la ecuación dadas se tiene:
además
=>
y p (t) = A t 2e t
y g = q x + c2x ln x => y p (t) = t 2et
y p = x ln 2 x y la solución general es:
,2
e 2' £ 21 d t2 340
dt
+ e ' £ ' — + y = e ' ( 6 - 1), simplificando dt
y = y g + y^ es decir que:
y = q x + c2x ln x + x ln 2 x 341
677)
2 ,, , „ 16 lnx x 2y " -x y '-3 y = ----------x
reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene
Solución e £ 21
~ ~ ^ e ' £ ' ~¡~ + 2.v = e 2' - 2 e ' + 2 , simplificando
Sea x = e { => t = lnx además: Q L = e -<É>L dx dt ’
<(d2y dt2
d x2
-^ --3 -^ + 2 j> = = é > 2' - 2 e ' + 2 entonces A2 -3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2
dy dt
reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene
y g ( t)= c 1e ‘ + c2e 2'
e 2t£~2t
y p (í) = A te2' + Bte' + C
d i2
dt
) - e t .e ' — - 3 y = -16e ' X , simplificando dt
dedonde (L j L - 2 — - 3 y = -16te d t1 dt A¡ = 3, A2 = -1
v^ = c 1x 3 + —
=> y g = cxx + c 2x 2
y p (t) = te2‘ +2tel +\ => y p = x 2 \n x + 2\nxjc + \ entonces:
sea A2 - 2 A - 3 = 0 entonces: y = y g + y p = ci x + c2x 2 + ( x 2 + 2 x)inx+i
y g (t) = C\eht + c2e ' entonces:
además
y p (t) = t(At + B)e '
679)
x 2y''+xy'-y = x m, |m |* 1
y ^ íO = 2 r2e ' + íe /
Solución Sea x = e ‘ => t = lnx además:
siendo
2 ln x ln x . . , y = ---------+ ----- y la solucion general es: p x x
, . y = y _ + y _ es decir: ^ ^ 678)
3 c2 . ln “ x lnx y = cxx h------ 1-2-------- H----x x x
x 2y' f-2xy'+2y = x 2 - 2x + 2 Solución Sea x = e{ => t = lnx además:
dx
dt
’
tic2
e -2t(^ y d t2
^ y . = e ~‘ ^ L dx dt ’
d— y . = e - 2‘( ^ l z dx2 d t2
dy. dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada.
e .e 1(
dt
-¿-) + e r .e 1- y = e mt, simplificando se tiene: dt dt
d 2y mt ~ T ~ y - e y ecuación diferencial no homogénea. % dt
A2 -1 = 0
=> A¡ = 1, A2 = -1
de donde: 343
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPEl y g(t) = cle' +c2e~' => y g = ci* + y
( í) = A e m
y
e m1
=> y p (O = - 5 —
F
Porlotanto:
entonces:
COEFICIENTES VARIABLES. xm
Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:
y p = -5 —
m -1
m -1
c2 xm + y p = CjX + — + —^ 7 x w —1
y=
a n
d ny d n ly dy (x) “TV + a n - 1 W — — + ... + a¡ (x) —- + a0(x)y = f ( x ) dxn dxn dx
Dondea0(x),a x(x),...,an(x) y f(x) son funciones de variable realy continuas en un 680)
intervalo. Suponiendo que an (x) * 0 entonces se tiene:
x 2y"+4y'+2y = 2 l n 2 x + l2x
d ny
d n~l y dy + bx(x) — — +...+ bn_x(x) — + (x)y = g (x) dxn d xn 1 dx
Solución
...
(a)
Sea x = e ' => t = lnx además: La solución de la ecuación (a) es la suma de las soluciones particulares y la solución general de la ecuación homogénea correspondiente. g2' £ - 2t(— ^ - ^ .) + 4e'.e~f — + 2 y = 2 /2 +12e', simplificando v d ,2 dt dt
^ Z + 3 ^ + 2y = 2 í2 +12e' rfí2
Si se conoce una solución particular y x(;t) de la ecuación.
=> A2 +3A + 2 = 0 entonces:
d ny dxn
A. = - 1 , A2 = -2 de donde: y (í) = cxe ^ + c2e 2'
=> y g = - ^ + - j X
y p (t) = A t 2 +Bt + C + D e'
X
+
(x) ~ - ~J +... + b„_¡(x)^f + bn(x)y = 0 dx dx
... (1)
Se puede rebajar el orden de esta ultima en una unidad (sin dejar de ser lineal), haciendo, donde z es una nueva función incógnita y poniendo después z'= u [se puede hacer directamente la sustitución].
=> y p (t) = t 2 -7>t + l + 2 e '
y p = ln 2 x - 3 ln x + 7 + 2x y la solución general es:
Si se conoce un sistema fundamental de la ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la ecuación no homogénea (a), se puede hallar mediante cuadráticas por el método de variación de las constantes. La solución general de la ecuación (1) tiene forma:
y = y g +yp = — + -^ y + ln 2 x -3 1 n x + 7 + 2x x
Porlotanto:
X
y = — + —^-+ ln 2 x - 3 ln x + 7 + 2x x
344
y = cl y 1+ c2y 2 +... + cny n
...(2 )
Donde c¡, c 2,..., c„ son constantes arbitrarios.
x2 345
La solución particular de la ecuación (a) es: y = cl (x)y1 + c 2(x )y 2 +...+ c n(x)yn
w [ y i , y 2] = ... (P)
Donde c¡ (x), c 2 (x),..., c„ (x) son funciones incógnita de x por determinarse. c|(x) =
y1 y2 y\
y '2
0
y2
R{x)
y2
Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema:
W[yi,y2]
Sea c¡(x )yl + c 2(x )y 2 +.~+cn(x)yn = 0
y\
o
y\
*(x)
cj2(x) =
Entonces:
W[yx,y2]
y xc\ (x) + y 2c\ (x) + ...+ y nén (x) = 0 y\c\ ( x ) + y \ c \ (x) +... + y[c[ (x) = 0
(I)
'■y\y\-y\y2
entonces:
-R (x)y2 = ™ --------- entonces: W[yx, y 2] W T v„y,l
yi&(x) W[yu y 2]
f - R ( x ) v2 , c, (jc) = -----¿ dx U J ^ b w 2]
entonces¡s: c 2 (x) = J
,M (x )
dx
w [ y x ,y 2}
Integrar las siguientes ecuaciones ( y j ,y 2) son soluciones particulares de la ecuación homogénea. 681)
x V ’'-3 x 2/ '+6xy'-6y = 0 , y l = x , y 2 = x 2 Solución
y¡n' l)c\ (x) + y 2{ nc[ (x) + ...+ y „ (n~l)c[ (x) = f ( x ) x =e al resolver el sistema (I) se tiene:
donde:
c{ (x) = J
dx
— -1^ ~ = f j ( x ) , i = 1,2,..., n dx
(x)dx , este resultado se sustituye en ((3).
Veremos para una ecuación de segundo orden.
dt ?
dx
4 dt> '
dx
dt
dx
dt
dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada.
y"+P(x)y'+Q(x)y = R(x) Donde y Xfy 2 es un sistema de soluciones. dr
Luego la solución particular es: y p = cx(x )yx + c2 (x )y2 donde cx(x) y c 2 (x) Son funciones por determinarse, para esto formaremos el sistema siguiente: W w + w iM -o
(r|cj i*) + 7 I3C2(x) = R(x) 346
d 3y TT dr
dt
d t2
dt
dt
-
d 2y dy — T +11 —— 6y = 0 , ecuación diferencial homogénea. d t2 dt
A3 -6 A 2 + l l A - 6 = 0 =>
A, = 1 , A2 = 2 , A3 =3
y ( 0 = c¡er +c2e 2' +c3e3'
dedonde
dedonde y = cxx + c 2x + c 3x 3 347
682)
(x 2 - 1 ) / ' = 6 y , y es un polinomio.
686)
x 2( ln x- l) y" -xy '+ y
=0
, y¡ = x
Solución
Solución
Como y x es una solución particular luego otra solución particular es y 2 = y xz donde z es una función incógnita que se encuentre derivando y reemplazando en la ecuación dada obteniéndose la solución general.
y = y xz
=> y ' = y [ z + y xz' =>
y \ = y f z + 2y¡z + y,z"
x 2(ln x-lX y'} z+ 2 y[z'+ y1z " ) - x y \ z - x y í z'+y1z = 0 y = c¡ (x 3 -
x
) + c 2 (6x 2
-4 -3 (x 3- x ) l n |^ j | ( x 2(ln x - l)yf - xy\ + y x) z + 2 x 2(ln x - l)j>{z'+x2(ln x - l)y ,z " = xy¡z' = 0
En el mismo criterio se calcula los siguientes ejercicios. y¡ es solución => 683)
x 2(ln x -1 )^]1- xy\ + y¡ = 0
(2x + 1)y' '+(4x - 2)y'-Sy = 0 , y x =emx 2x 2 (ln x - l)j>| z'+x 2 (ln x - l)y , z' '-xyl z'= 0 Solución y = cxe~2x +
2 x 2 (ln x -1 )z'+x3 (ln x - l)z " ~ x 2z' = 0 , simplificando c
2 (4
x
2
+1) (2(ln x -1) - l)z’+x(ln x -1 )z' ’= 0 , separando la variable
684)
( x 2 - x ) y " + ( 2 x - 3 ) y '- 2 y = 0, y x es una fracción racional en cuyo derojminador figuran factores lineales (los divisores del coeficientes de y ' ').
zM 2 ( \ n x - l ) ~ k „ . _ + ---- ------------ = o , integrando se tiene: z x (ln jc-l)
Solución ln z’+2 ln x - ln(ln x -1) = ln c
Sea y j = y xz de donde la solución general es:
685)
i , x2 i i n z - -------- = lnc
Ci
y = c1y 1 + c 2y 2 de donde:
y = — + c2( 2 x - 3 ) x
\n x -l
, c (ln jc -l) . => z = ------ ------, integrando se tiene: x2
(3jc + * 2)y' -6(1 + x)y'+6y = 0, y x es un polinomio Solución Sea
y 2 = y xz
la otra solución particular donde z esla funciónincógnita
donde la solución general es: y = cxjc3 + c 2(x + \ ) - x 348
entonces:
y = ciyi + c2z = c1x + c 2 lnx de
687)
y''+(gx - 2c tg x ) y ’+2c tg 2 x.y = 0 ,
y x = sen x
Solución 349
y = zy¡
=> y ' = y \ z + y xz \
y"= y \ z + 2y\z'+yxz"
(.Vi + tg XA + eos 2 x.y¡ )z + y¡ z' '+2y\z'+ tg x.yxz'= 0
y' '+(tg x - 2c tg x)y'+2c tg 2 x.y - O
como y 1 es solución entonces: y \ + tg x.y J -feos x.yx = 0
y f z + 2 \ z '+ y 1z " + ( t g x - 2 c t g x ) y \z + ( t g x - 2 c tg x ) y ¡ z '+ 2 c t g 2 x.y¡ = 0
de donde
0>{ + ( tg x - 2 c tg x ) l1 + 2 c tg 2 x.yx)z + y xz"+{2y\ + tg x - 2 c tg x ) z ' = O
cos(sen x)z' '+(-2 sen(sen x). eos x + tg x. cos(sen x)z' = 0
como y x es solución entonces: .yj1+ (tg x - 2c tg x)y¡ + 2c tg x.yx = O
z" — - 2 eos x. tg(sen x) tg x = 0
de donde:
y xz’'+(2_vJ + (tg x - 2c tg x)_y, )z' = O
ln z'. eos2 (sen x). sec z = lnc
sen .z’’+(2 eos x + tg x. sen x - 2 eos x)z ’= O
, . cosx z = k ---- ---------- = 1+ cos(2 sen x ) , integrando eos (senx)
zf* — + tg x = O => ln z'+ ln sec x = ln c z' =>
z '= c o sx
por lo tanto
y 2 = y xz = sen x sen x la solución general es:
f cosx , z = l ---- ---------- d x - k tg(sen x) J eos (senx)
=> z = sen x
y = cly l + c 2y 2 = Cj cos(sen x) + c2 cos(sen x). tg(sen x)
y = c¡ senx + c 2 sen2 x y ' tg x ./+ eos2 x.y = 0,
y x = cos(senx) Solución
>>j = cos(sen x) y = z.y¡
=>
=>
y \ = ~ sen(sen x) eos x
y'= zy\ + z ' y x , y '= ^ } z + 2 ^ J z ’+>'1z"
y \ z + 2y[ z'+y¡ z ' '+ tg x . y \ z + tg x.z' y x + co s2 x._y,z = 0
entonces:
ln z’+2 ln(cos(sen x)) + ln sec x = ln c
sen x.z' '+(2 eos x + tg x sen x - 2c tg x. sen x)z' = O
z' sec x = c
y xz' '+(2yJ + tg xy)z' = 0
y x = cx cos(sen x) + c2 sen(sen x) 689)
(1 + x 2 )y"+xy'-y + 1 = 0 ,
=x Solución
y = zyx => y '= zy [ + z 'y x, y''= y \ z + 2y\z\ + y lz" (1 + x 2 )0 'J z + 2_y|z’+.V! z") + x(zy| + z ' y 1) - 2 y 1 +1 = 0
((l + x 2)yf +xyl1- y 1) + z + (l + x 2)(2y[ z'+y¡ z") + xy¡ z'+1= 0 351
como y x es solución entonces se tiene: ((l + x 2XyJ +xy\ - j | ) z + l = 0 691) x de donde
(4 xz - x)y''+2(2x-1 ) y ' ^ y = \ 2 x ¿ - 6 x , y , = -
(1 + x 2 )(2y\z'+yxz " ) + xyxz ' = 0, simplificando
( l + x 2)(2z'+xz")+x2z'=0
Solución En forma similar que el ejercicio anterior se tiene:
entonces:
y = 2y x obteniéndose:
(2 + 3 x 2 )z'+x(l + x 2)z" = 0 , separando la variable z" 3x2 + 2 — + ----------------------------------------- = 0 z' x 2 +l
entonces:ln
z'+3x - arctg x = c
692)
Cj y = cl (2x -1 ) + — + x
y y'-y'+ye2x = x e lx - 1, y x = sene x Solución
___ 2 x 2 z = x arctg- - J l + x ------- entonces:
Sea
2
y ’= z y \ + z ' y l
==>
/ ’= j^j1^ h - 2 j ^ j 2T1’
que reemplazando en la ecuación dada se tiene la solución general. y = cxx + c 2( x 2 a rc tg x -W l + x 2 - - y - ) y = y g + y p es decir: 690)
y = x +cx cosex + c2 sen e x
x 2y ''- x y ’- 3 y = 5x4, y x = 693) Solución
y +y tg x = --------senjc Soiución
e 2' _e~2r (— —- — ) - e' ,e~' — - 3 y = 5e4' , simplificando <*2 di í/í
C — dy = p => — d 2— y = dp Sea — dx d x2 dx
^ ! z _ 2 ^ . - 3 y = 5e4' d i2
dp — + tg x.p - c tg x. cos x dx
>-g (0 = c13' + c 2e -'
y p (t) = A e 4'
=>
=>
y ? =c,Ar3 + ^ -
=> jy,(í) = e 4'
y =^
352
A2 - 2 A - 3 = 0 => A, = 3 , A2 = -1
=>
P ~e ^8
c2
ecuación lineal, cuya solución es:
c tg x . cos xdx + c] , integrando
p = eln(cosjc)[J e ln(SQCx)ctgx.co sxdx + c]
^ = ^ 4 3
de dondei
4
+ y P = c xx +-— + x
p = cos x[ f c tg x. cos x sec xdx + c]— = cos x[ln(sen x) + c] J dx 353
695)
— = eos x. ln(sen x) 4- c. eos x dx
integrando:
y - J (eos x. ln(sen x) + c. eos x)dx + k
^ =x2
Solución Sea y =
entonces:
==> y¿= y jz + z 'y i , / ' = yj,z + 2yjz'+y1zlf
x(x - 1)0/ Jz + 2y {z'+j/j z’’) - (2x - l)(y{ z + z ' y l ) + 2yl z = x 2 (2x - 3)
v = c. sen x + sen x. ln(sen x) + k 694)
x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ,+2y = x ( 2 x - 3 ) ,
(x (x -l)y }1-( 2 x -l)y J + 2 y 1)z + 2 x (x -l)y lz ,+ x ( x -l)y 1zM-
(x +1)3y" '+3(x + 2)2 y + (x + l)y = 6 ln(x +1) Solución Sea x + \ = el
=>
dy__ rfx
¿ V = - n J 2)’ dx2 d t2
dy_ dt '
- ( 2 x - l ) z ' y 1 = x 2(2x -3 )
t = ln (x + l)
como y x es solución entonces se tiene: dy dt
(x(x- l)y} - (2 x - l)j/J + 2 y 1) = x 2 (2x - 3)x x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)y \z'+x(x - l)yt.zf!-(2 x - l)z' y x = x 2 (2x - 3)
reemplazando en la ecuación dada.
x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)2xz'+x(x - l)x 2¿ '-(2 x - l)x 2z' = x 2 (2x - 3) e~2t (— ^ - — ) + 3e2í .e 7 + e* y = 6 t , simplificando ~ ' d t1 dt dt
* 3r
x 3( x - l ) z ,f+ (4x3 - 4 x 2 - 2 x 3 + x 2)z '+ x 2( 2 x - 3 ) z = x 2(2 x - 3 )
(L j L + 2 — + y = 6?e_í ¿f2
*
=> A2 +2A + 1 = 0 => A = - 1 de multiplicidad 2.
x 3 (x - l)z' '+2x2 (2x - 3)z'+x2 (2x - 3)z = x 2 (2x - 3)
’
. + < *«
c, =.
>-«—
x(x - l)z' '+(2x - 3)z'+(2x - 3)z = (2x - 3)
cln(x +1) + x+1-
resolviendo la ecuación se obtiene que: = í 204r + 2?)e_í
y
-
=>
vp (t) = t 3e~t
y - c\y\ + ^ 2^1 + yp de donde al sustituir se tiene la solución general: y = x 3 +cxx 2 + c 2( 2 x - l)
de donde la solución general es: x+1 696) q + c 2 ln(x +1) + ln3 (x +1) y=>y*+y p^ = *
x+ 1
Una cadena de 6m. de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento. Si el movimiento comienza desde el momento en que cuelga lm. de la cadena. Cuanto tiempo tardara en deslizarse toda la cadena. 355
354
Solución
*L dt
y
+c
integrando y reemplazando sus valores se tiene: t = I— ln(6 + ~j35)seg
697)
Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia a la aceleración del tiempo se expresa por la formula a = 1.2 t, si para t = 0, la distancia s = 0 y para t —5 la distancia s = 20 Solución
m
a = 1.21
a = 1.21 M W = m g = (— —)y donde y es la longitud del trazo de la cadena que cuelga.
d t 2
▲T
~ = 0.61 2 +c dt
Wy - T = mya
=> í = 0.2í3 +ct + k
p arat = 0, s = 0
W„ entonces: 20 = 25.5 + 5c de donde c = -l por lo tanto:
Wy - m Ha = mya 698)
Wy =(mH +my )a = Ma
Como
ds _ r 1.2 td t + c d t~ J
entonces: k = 0 => s - 0.2í3 + ct para t = 5, s = 20
... (2 )
T = mHa
= 1.21 =>
M.
s = 0.2ti - t
Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la acción de un golpe que ha originado una velocidad inicial V. Sobre el cuerpo actúa la fuerza de rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo.
Ma =
Wy = (—— )y
Solución d y g = t y dt
Como
d 2y dr
356
,dy'
g
y ' 2 = — y 2 +c 7 L
t=0
F = -km = ma => a = -k
t
V
de donde
a=
d 2x ~dt2
=-k 357
dv d x . . a = — = -—=- = -/: => v = -kt + c dt di2
Entonces:
Para t = 0, v = v0
=>
700)
y"+4y =
1
eos 2x Solución
c =v0 A2 + 4 = 0 => Aj = 2/, A2 = -2/
v = -k t + vfì => 0
v = — = -/ri + v{) ==> v = 0 dt
t=-
fV0/* dx = -k t + v0 => x = Jo (-/tf + v0)di di
=>
= q eos 2x + c 2 sen 2x
La solución general de la ecuación diferencial dada es: y - c¡ (x) eos 2x + c2 (x) sen 2x donde cx(x ), c 2 (x) son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema:
v0 /A
/ kt
X = ( ------— +
699)
v00
=>
X =
eos 2xr{ (x) + sen 2 x.c[ (x) = 0
2*
Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a kx (x es la distancia del punto al centro) para t = 0, x = a,
= ka . Hallar la ley del movimiento.
- 2 sen 2x.cj (x) + 2 eos 2 x j c \ (x) = resolviendo el sistema se tiene:
Solución . V
, x cx(x) = x0 = x|
=
1 eos 2x
0
sen 2x
eos 2x
2 eos 2x
eos 2x
sen 2x
- 2 sen 2x
2 eos 2x
f
sen 2x.sec 2x
~ ~ , lncos2x sen 2x, sec 2x dx = ----------- + cx
además x/r2— x =ma cos2x
0 Ì - 2 sen 2x eos 2x 1 4 (x > = ------ ------------------- - — entonces: 2 eos 2x + 2 sen 2 x 2
V w — —= £i 2x para m = 1 , se tiene: ¿ r2 ¿ 2X f2 — - =k x d t1
*’dx' ,2 dx I 2 2 => ------ x => — = ^Jk x +c dx dt
Integrando y reemplazando los datos se tiene:
x = ae
\
x ,
. / ln(cos2x) ,v . ,x y = eos 2x(----- ----- *+ q ) + sen 2x(—+ c2 ) kt
Empleando el método de variación de las constantes integrar las siguientes ecuaciones. 358
/
c2 (x) = —+ Ci 2
por lo tanto :
eos2x.ln(cos2x) x y = ---------- -- ---------+ - sen 2x + c¡ eos 2x + c2 sen 2x 359
701)
~e x
y"+y = ì g2 x
702)
v "-v = - —
e* - l
Solución
A2 +1 = 0
=> A! = / , /*2 ”
de donde
Solución
= q cosx + c 2 senx
La solución general de la ecuación diferencial dada es: y = q O) eos x + c 2(*) sen x donde cx(x) , c 2 (x ), son funciones incógnitas de x, para hallarlas, formamos el sistema:
A2-1 =
0 => Aj = 1, A2 =-1 de donde _)/ = Cje* + c2e~x ,
la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = Cj (x)e ^ + c2 M e “*, donde cx(x ), c 2 (x)
0
sen*
tg 2 x * !(* )«
eos x
eos x
sen x
-s e n x
eos*
son funciones incógnitas de x, para hallar las formamos el sistema. = -tg ~ x.senx e xc\ (x) + e~xc 2 (x) = 0 e *c\ ( x ) - e ~ xc 2 (x) =
C\(x) = j*—tg 2 x.senx dx = J - ( s e c 2 x - 1 ) senxdx)
c x(x) = - J (tg x. sec x —sen x )d x —~ sec x —eos x + q
tg 2 X
eos*
senx
-s e n *
cosx
= eos X. tg X
ex
-e~ x
ex ex c2 (x) = ln[tg(-^ + ^ )] - sen X+ c 2 ,n x . >> = ( - sec x - eos x + c¡ ) eos x + (ln[tg(— + —)] - sen x + c 2 ) sen x ,n x_ y = c\ eos x + c 2 sen x + sen x ln[tg( ~ + —)] - 2 360
1 e-1 -1
0
2ex e x -1
ex
H 1
2
e x -1 2
ci(x) = j ~ - = in(ex - l ) - x + c,
c2(x) = -J tg 2 x.cosxdx = J ( s e c x - e o s x)dx
4
o *2 H 1
0
e~x
H
eos* -s e n *
0 2ex .... ex - i
— e x -1
ex
-e~ x
2ex ex - l -2
ex ex -
c 2(x) = - ¡ ^ - p ^ = j ( e x + l + - ^ — )dx • e -1 J e -1 361
|1
c 2(x) = ~
=
0 lo ex + l
e x (ex +l)
1 eJ
c 2(x) ~ e x - l n ( e x -1 ) + c 2
1
0
703)
y " - y '= -
dx
dx
dx
e x (ex +l)
ex
e x +1
c2(x )=
y = C\ eosx + c 2 s e n x - ( e x +ln(ex - l) s e n x + (ln(eA-1) - x ) cosx
c 2 (x) = — —+ln(ex +1) —x + c 2
1 e x +l
'• y = c 2 senx + (ln(ex + l)-e J - x ) senjí + q
Solución 704) A2 - A = 0
1
y"+y =
sen' x.cosx
=> A != 0 , A2 = 1 dedonde y g = c 1+ c 2e x
Solución
y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = c¡ (x) + c2 (x)ex, donde c, (x ), c 2 (x) son funciones incógnitas, para hallarlas formaremos el sistema:
= q cosx + c2 senx
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
e x +1
cos x.c\ (x) + sen x.c[ (x ) = 0
sen' x.cosx \ + ex
1 e*
0 1
l + ex
e' cj(x) =
C\ (x) = -
A j = / , A2 = - / dedonde
- sen x.c[ (x) + cos x j c \ (x) =
e x +1 0
=>
1
0 1 q (x ) =
A2 +1 = 0
y = ci (x) cos * + c2 (*) sen x donde(x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x, para hallarlas formaremos el sistema siguiente:
c\ (x) + e*c2(x) = 0 0r} (x) + e xc 2(x)
cosx + flnCe* +l)-x)cosx
dx
= ln(ex + 1) - x+c,
sen x cosx
sen' x.cosx cos x
sen x
-s e n x
cosx
senx Vsen5 x cosx
sen x cos x
J l +ex 362
363
cx (x) = _ j
0 1
...p .------- = 2 ^ t g x T c 1 Vsen x.cosx 0 1
-s e n x
sen‘5 x.cosx Vr*“ cosx senx
4 (x ) =
- sen x
cosx (X) =
sen xcosx -v/r—5
cosx
(cos 2x) 3 / 2
c\ (x) = cosx
senx
-J
cos x
senx
cosx
senx
- sen x
cos x
sen x dx
(cos 2x) 3 / 2
, integrando
cosx r= T = + ci Veos2x
(cos2x) 3/2 -
cosx
c2(x) = J
cos xd x
_ f sec 2 xt¿c _ ____ 2
+ c2
-sen x
tg 3 x
Visen5 x.cosx
(cos 2x) 3 / 2
COSX
cos x
sen x
(cos 2x) 3 / 2
-se n x
cosx
4 (x )=
>>„ = cos x (2 Jc tg x + c, ) + sen x(— + c 2) 3^/tg' x
, integrando
r
_y = c i cos x + c 2 sen x + 2 cos x-Jctg x +
2 sen x tg 3 x
l
y+_v =
(eos 2x)
cosx senx ----------. T-T-dx =. . ---------------+ c2 J (cos2x) Vcos2x
Cl (x)1= = I
/ cosx senx 7 = (— p = = - + c1)c o sx + (-^ = -----+ e2)senx Vcos2x vcos2x
3/2
Solución A2 +1 = 0
>' = q cosx+ c2 senx-Vcos2x
=» Ai = z , A2 = - i dedonde:
2x3 h- jc2 - 4 x - 6
=Cj cosx + c2 senx , y la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = q (x )c o s x + c2(x)senx
donde
q (* )»
ci(x)
incógnita de x, para hallar formaremos el sistema siguiente:
son funciones
Solución A3 -2 A 2 -A + 2 = 0
=>
y g = cxe~x + c2e x + c3e 2x
A, = - 1 , A2 = 1, A3 = 2 y la solución general de la ecuación diferencial
cos x.cj (x) + sen x.c2 (x) = 0 dada es:
- sen x.c\ (x) + cos xjc\ (x) = 1
y = cl (x)e~x +c2(x)ex + c3(x)e2x
donde
c¡(x),c2(x),c3(x)
— ------ rr
(cos 2x)^
son funciones incógnitas en x , para hallarlas formaremos el sistema. 365
707)
e Xc\(x + exc[(x) + e 2xc\(x) = 0
y" + y
I-----------m m m tm 3/ s_ _ 7 „ _ _ _ 8
'sen x.cos x
- e ~ xc\ (x) + e xc[ {x)+2elxc\ (x) = O 2x
Solución
2x3 + x 2 - 4 x - 6
\
e~xc\ (x) + e xc\ (x)+ 4 e iXc\ (x) = A2 +1 = 0
=> A¡ = i , A2 = - i de donde:
=c¡ eos x + c2 s e n x , y la solución general de la ecuación diferencial dada e~x W = -e~x
ex
e 2x
ex
2e
ex
4e 2 x
2x
= 6e 2 x
es: y = q (x) eos x + c 2(x) senx
donde
c¡ (x) ,
c2(x)
son funciones
incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. i, ^
3X/2x 3 + x 2 —4x —6
1
c¡W = e (--------j-------> - 2x
eos x.cj (x) + sen x.c\ (x) = 0 - sen x.c{ (x) + eos x r 2 (x) =
e~ ,2 x 3 + x 2 - 4 x - 6 . ' ---------------- ) integrar 6 x
c^(x) = 3e*(-
2x3 + x 2 - 4 x - 6 ^)-----1
0 1 entonces:
6e
,1 ) = 2(c\(x
. .
senx cosx
sen7 x.cos8 x
c (x) =
i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . c [ ( x ) --------- — «------- integrar: 2exx
senx
cosx
sen x
-s e n x
cosx
f
senx ate
Vsen7 x.cos8 x
3/
4
'v'sen Vi x. eos x
r1csc2 x dx
cAx)~->vsen - tx.cos :..., x, -J
---- l í —- ) —L— entonces: 2a* q (x) = 3^/dgx+ C j
i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 4 ( x ) = -------- — --------
3e2x
. „ integrar
y
= Cje*
entonces:
cosx
0
—sen r
1 -------------- --------
Vsen7 x.cos8 x
de donde la solución se tiene:
366
* ........... Vsen7 x.cos8 x
+
2*
+
cosx
senx
- sen x
eos x
cos* Vsen7 x.cos* x
367
f c 2 (*) =
eos x dx
f
I I 7 o ' \¡sen x. eos x
~ J
0
dx_______ 3/
7
„X
8
tgx.^sen x.cos x x2+l
c \ (x )= sec2 xd x c 2(*)= J
+c 2
tg x . ^ 7
4 tg 4/3x
y = Cj eosx + c 2 sen x + 3ljc tg x -
708)
xe
ex
e x (x+l)
(X) = J
4/3 ^
dx
—=------, integrando x2 +l
c 2 (x) = arctg x + c2
777
y = e x ( ~ l n 4 x 2 + l+ c 1) + xex (arctgx + c 2)
y"-2 y +y = — x l +1
y = e x ( - ln^/x2 +1 + CJ ) + xeJC(arctgx + c 2)
Solución A2 - 2A +1 = 0
e
=> A = 1 de multiplicidad 2.
J' = e Jr( - ln - J x 2 +1 + Cj + x arctg x + xc2 )
y g = c¡ex + c2x e *, y la solución general es: 709)
y"+2y'+2y =
1 e senx
y = Cl(x )e* +c2(x)xe* donde q ( x ) , c 2(x) son funciones incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema.
Solución A2 +2A + 2 = 0 => A j= - 1 ± / dedonde y g = ce x cosx+ ce x senx
e*c\ (x) + xe*c2(x) = 0
la solución general de la ecuación dada es:
I I e*c\ (x )+ e x (x + \)c\ (x) = - y —x +1
y = c¡ (x)e~x eosx + c 2 (x)e~x sen x , donde
c¡ ( x ) ,
c 2 (x)
son fondones
incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema. xe e x (x + X) q (x ) =
*2+l e" ex
-xe
2x
= * ±.L = ----- í — , integrando x 2 +1 e lx
xe e x (x + X)|
e x eos Xjc\ (x)+ e x sen x r 2 (x) = 0 - e~x (eos x + sen x)c¡ (x )+e~x (eos x - sen x)c\ (x) =
1 e senx
Resolviendo el sistema y reemplazando se obtiene la solución general. - xdx ci(x) = J 368
^
ci(x) = - ^ ln(x2 +1) + Cl
y = (cl - x ) e ~ x eosx + (c2 + in (s e n x )e x senx 369
710)
712)
y " - y = e - x cose*
y ”+3y'+2y =
X
(x+ 1)2
Solución
Solución A2 - A = 0
=>
^= 0,
A2 = 1 de donde
y = c1+ c2ex y la solución
A2 +3A + 2 = 0
general de la ecuación diferencial dada es: y = c¡(x) + c 2(x)ex , donde
c ,(x ),
c2(x)
=> A¡ = - 1 , A2 = - 2 ,
y = c¡e~x + c2e~2x
y la solución general de la ecuación diferencial es: funciones incógnitas de x,
son
y ~c¡ (x)e~x + c 2 (x)e~2x, donde
(x ), c2 (x)
son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema.
para hallarlas formamos el sistema.
e~xc\ (x )+ e~2xc[ (x) = 0
ílc| (x) + e xc 2(x) = 0 [0c{(x) + e*c2(x) = e 2x cosex
(* + l)2 resolviendo el sistema se tiene la solución general:
x
711)
y = c1e x +c2 - eos e '
resolviendo el sistema se tiene: 713)
/ ' + / = - —
y"+ y = \ X
Solución
Solución A2 +A = 0
=> A¡ = 0 , A2 = - l de donde
y = cl + c2e~x
2 A +1 = 0
=> A! = / , A2 = - i de donde:
y = cx eos x + c2 sen x
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y = Cj (x) + c 2 (x)e~x , donde c, (x ), c2 (x)
y = ci (x)cosx + c2(x )senx , donde cx(x) , c2(x) son funciones incógnitas
son funciones incógnitas de x,
de x, para hallarlas se forma el sistema.
para hallarlas formamos el sistema. c[ (x) + e~xc 2 (x) = 0 Y 0 r! ( x ) - e ~ xc[(x) = —
, por la regla de Cramer
x resolviendo el sistema se tiene la solución general.
y = cx+ c 2e 'x +e~xj ^ —d x - l n | x | 370
f e 2x y - cxe~x + c 2e~2x + e~2x | -dx J x+l
eos x.c[ (x) + sen x.c\ (x) = 0 , , i , por la regla de Cramer, - sen x.c\ (x) + eos xjc\ (x) = — x resolviendo el sistema se tiene: r cosx , r senx , y = cx eosx + c2 s e n x -c o s x ------ ¿üx-senx ------- dx j X j X 371
dy
xy'-{\ + 2x2 ) y ' = 4 x i e x
x 2 2 i = —s :c x + tg x + Cj sec x integrando se tiene;
Solución Sea y ' = p => y"= ~
y = cl tg x + ^-(l + x tg x ) + c 2
reemplazando en la ecuación diferencial dada 716)
x - - ( \ + 2 x 1)p = 4 x ye xl dx - í - ( —+2jt)aLt f
p =e
*
í - ( —+2jr)it
[je
*
— ~ x e x l[[4xdx+c]
¿y = xe** (2x2 + c)
=>
-
Solución
2
y ’= p =>
4x e x dx+c], integrando
=>
x l n x . / ’- y ^ l n 2 x
— - { —+ 2x)p = 4 x 2e xl ecuación lineal d x x
— = se* [2x2 +c]
— dx
-— p = x ln x f
integrando por partes se tiene:
^ =e
v " = ™ reemplazando x ln x — - p = ln 2 x dx dx
ecuación lineal cuya solución es:
x f
dx
jrln* [j*c
^ ^
*lnx - ^ d x + C j], efectuando la integración
y = c¡ex2 +(x2- l ) e x + c2 p = e xm x){ \ e A^ x)— y " - 2 t g x . y ’= l
J
dx + Cl}
X
Solución i y '= p => y " = — reemplazando dx
dy — = ln x(ln x + Cj) dr
J„
— - 2 tgx./? = 1 dx
integrando se tiene:
y = c1(ln x ~ l)x + x (ln 2 x - 2 1 n x - 2 ) + c2 .
ecuación lineal
- f - 2 tg jr.títr
p - e J
f f - 2 t g x. dx
[\eJ
dx + c]
717)
xy”+ ( 2 x - \ ) y ' = - 4 x 2
p = e 21n(secjc) [ j z i ^ ^ d x r + c ] entonces:
Solución
p = sec 2 x[J eos2 x dx + c] entonces:
y '= p => y M=
dy 2 .x . — = sec x(—+ sen x eos x + Ci) d* 2 1
x — + (2 x -l)/? = - 4 x 2 de donde —- + ( 2 - —)/? = ~4x dx dx x
dx
reemplazando en la ecuación diferencial dada
373
-f(2 ~ ) d x
ecuación lineal
p=e
1
f
719)
[(2--)dx
[le
x
y"+/+e-'xy = e-3x, y ¡ = c o s e “'
{-Ax)dx + cx] Soiución
p = xe~2x[—j 4elx d x+ cx]
=>
p = xe~2jr[-2 e 2* + c j Sea y = j i z
— = -2 x + cxxe~2x integrando tenemos: dx 718)
y = cx(x + \ ) e ~ 2x - x 2 + c2 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene: y \ z + 2y[z'+ylz' '+y\z + y¡ z'+e~2xy xz = 0
('x -l)y " - x y '+ y = ( x - l ) 2e x , y x = e x Solución Sea
(x - í ) y " - x y '+ y = 0
de donde
=> j ^ ^ j z + ^ z ’, / ,= y{lz + 2j;jz,+ yIz"
{y\ +y[ +e~2xy i )z + y l z''+2y\z'+yl z'=0 y = y¡z
siendo z una función por
determinarse es decir. y = y¡z => y '= y [ z + y {z' => y"= y \ z + 2y\z'+yxz"
como y j es solución entonces se tiene: y \ +y[ +e~2xy¡ = 0 de donde
(x - l)Cy j1z + 2y\z'+yxz " ) - x(y {z + y xz ' ) + y xz = 0
y¡z''+2y\z’+y¡z" = 0 => .yj = e~* sen e-*
((x - l)_y}' - xy[ + y l ) z + ( x - 1)(2y\z'+yxz " ) - x y xz'= 0
cose~*.z"+(2e~'t sen e’-' + co se 'Jr)z '= 0
como y¡ es solución entonces: ( x - l ) y \ - x y \ + vx - 0
de donde
7" _ _ — + 2e x tg +1 = 0 integrando;
{ x - \ ) { 2 y \ z \ y xz " ) - x y , z ' = 0 (x - \ ) ( 2 e xz'+exz " ) - x e xz' = 0
=> ( x - l) (2 z '+ z " ) -x z '= 0
(x - l)z' '+2xz'-2z'-xz' = 0 =>
( x - l) z " + ( x - 2 ) z '= 0
entonces:
z" 1 — + 1-------- = 0 z' x —1
entonces:
z = -c e '* =>
lnz'+21ncose~* + x = 0
z'= e~x .sec2 e~x => x = \ge~x Luego
=> ln z'= ln (x -l)- x + C ! y 2 = -ex
+ c2>'2 = c1e x + c2x
y 2 = y¡z = cose~x tge~x =sene~x
y g = cx cose~x + c2 sene~x
entonces:
y por variación de las constantes se tiene la
solución general:
y mediante variación de las constantes se y = c1 cose~x + c 2 sene~x +e~x
encuentra la solución general es decir: x2 y = cxe x + c2x + (— - x ) e x 374
=> lnz'.cos2 e~x = - x entonces:
110)
(x 4 - x 3)_y"+(2x3 - 2 x 2 - x ) y '- y -
i yx= X
X
375
Solución Para
=
y 2 = y xz ~ el/x dedonde
(x4 - x 3) /'+ ( 2 x 3 - 2 x 2 - x ) y ' - y = 0
=>
y
= cxe llx +
y la solución general de la ecuación diferencial por medio de variación de las constantes. Se tiene;
y ' = y \ z + y i z' ■ > y " —y \ z + 2 y \ z + y \ z
l/jr
c2
1 lnx
(x 4 - x 3)0>Jz + 2_y[z,+iy1z") + (2x3 - 2 x 2 - x ) { y \ z + y xz ')-^ y xz - 0 ((x4 - x 3) ^ 1+ (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y \ - ^ ) z + (x4 - x 3)(2^}z'+>'1z") + + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ z '
Kn los problemas que siguen se indica el sistema fundamental de soluciones y lf y 2 de la ecuación homogénea correspondiente. 721)
(eos x - sen x ) / '+2 sen x ./-(s e n x + eos x )y = e x (eos x - sen x ) 2, y 2 = senx .
y x = ex,
Solución
como y x es solución entonces se tiene:
La ecuación diferencial escribiremos en la forma: (x 4 - x 3)j>» + (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y \ - y x = 0 de donde:
2 senx , sen x + cosx y = e x (eos x - senx) -y-' eos x - sen x eos x - sen x
(x4 - x 3)(2.y|z'+v1z,,) + (2x3 - 2 x 2-- x)^1z'= 0
La solución general de la ecuación dada es; x 2 (x 2 - * ) ( - — x '+ - z " ) + (2 x 2 - 2 x - l ) z '= 0 x2 x - 2 ( x 2 -x)z'+xz”(*2 - x ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0
y = cx {x)yx + c2 (x)y2, donde cx(x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x por determinarse. entonces: c\ =
x (x2 - x ) z " - z '= 0
=s>
0
senx
e* (c o sx -sen x)
cosx
47 = — T — 7 z x(x - x)
ln z' = f ( - ~ — L. h— — )dx = - ln x + ln(x -1) + — J x jc2 x - l x i , i x-\ t ln z = ln ------+ 1 x
=>
t
z'x ln --- = 1 x-l
jn I .JL - _L => x-l x
z '= e l/x ——— integrando z = el/xx x
ex
senx
ex
cosx
cx = ~ senx
c\ =
=>
- e x sen x(cos x - sen x) e x (cosx -s e n x)
q (x) = eos x + cx
e*
0
ex
ex ( c o s x - sen x)
e 2x (cosx -s e n x )
ex
sen x
e x (c o sx -se n x )
ex
cosx 377
c \ = e x => c2 (x) = ex + c 2 , reemplazando en la solución general
722)
x y " -y ~ 4 x V = 1 6 x V 2, y x = e v‘ ,
-y = (cosx + c1)eA+ (ex + c2)senx
>2 = e '*2 .
Solución
/. y - c¡ex + c 2 sen x + e x (cosx + sen x) y " - —y ' - 4 x 2y = l6 x 2e Jf . La solución general es: 722)
xy”- y ' - 4 x i y = I6x3e x , y ¡ = e x , y 2 - e ~ A . Solución
>; = ci W J i + c2(x)_y2 => ^ =
c,(x) + e ' AÍc 2(x)
... (1)
1 y " — v'_4x v = l6x e x . La solución general es: x' y = c¡(x)y1 + c2(x )y2 => y = e ' c¡(x)+e~x c2(x)
... (1)
é?a c{(x)+e
jc2c2(x )
=0
2xex c j(x ) -2 x e _Jr2c 2(x) = 16x2e Jr¡ e x cj(x) + e a’ c2(x) = 0 0
e~x
16xV :
-2 x e ~ x*
2xex‘c \ ( x ) - 2 x e x c\(x ) = \6x~e c{(x) =
0 c\ (x) =
\ 6 x 2e x
-2 x e ~ x
- 16x -4 x
2xex c}(x) = 4x
=>
2xex
= 4x
- 2xe x
cj (x) = 4x
=>
c¡ (x) = 2x2 + C]
c1(x) = 2x‘ + q
e x'
0
2xe
ló x V '
xl e 2xexl
e
16xV *2 = -4 xe 2 x ¿ -4 x
c \ (x )=
2xexl exl
2xe
0 1 6 x V ’ \ 6 x2e2xl ~4x e -X2
= ~4xe I x 1
-2 x e ~ x*
- 2 x e “*2
Cj (*) = 4xe2j:2 =>
c2 (x) = e 2j2 + c 2 , reemplazando en la solución general
c 2 (x ) - ^xe
=>
c2 (x) = e*r + c2> reemplazando en la solución general
J> = (2x +c1)ex + ( - e 2x' +c2)e~
y = (2x¿ +c1)ex + ( - e lx + c2)e + c 2e -A +(2x - l ) e x 378
= 4x
- 2xe
ex*
4 (* )=
-1 6 x -4 x
/. y - c xe x + c2e x + (2 x2 - l ) e x
379
723)
x ( l - x l \x)y"+(\ + x 2 \n x)y '-(x + V)y = ( l - x l n x ) 2e x , y \ - e x , ,y2 - l n x Solución l + x 2 lnx
,
x +l
y ^ x(l —jclnjc) ■'
x ( l- x ln x )
4 (x 2 + x)) ' '+2(2x +1 ) y '- y = 2^1x 1 + x
I _ 2^2 , Wx--i i > y]^
42’
(l-x ln x )e * y=-
La solución de la ecuación diferencial es:
y i = a/ x , >>2 = Vx + 1 Solución
,, (2x + l) , 1 1 y + —-------— y ---------------- v = — ===== 2(x2 + x) 4 (x2 + x) 2-slx2 + x
y - c¡ (x ) y x + c 2(x )y2 = e*C\ (x) + ln x r 2(x) La solución de la ecuación diferencial es: e xc\ (x) + ln x.c2 (x) = 0 r i 1 i, 1 - x ln x x e *c (x) + - c\ (x) = -------------e x x lnx 0 1 1- x ln x /»•* * X
X
■C (x) =
e*
lnx
e*
I
1 - x ln x v , ----------- .e .lnx x ----- - = - l n x e x (— - ln x ) x
y = c\ (x)y\ + c2 (x )y2 de donde y = -Jxc{(x) + -~Jx + \c2 (x) formando el sistema: Vxcj (x) + -y/x + lc[ (X) = 0
i 2~sfx
e* e
=>
Cj (x) = - x ln x + x + c¡
0 1 - x ln x , -----------e
c \ (x )= ex
lnx
e*
x
c\ (x) = e x =>
1 - x ln x 2x -----------£ —= e e x (— lnx) x
c\ (x) =
cj, (x) = y = ( - x l n x + x+ c¡)ex +(ex + c2) lnx y = cxe x + c 2 ln x + (l + x - x ln x ) e * 380
i 2^[x/ + x
0 1
Vx + 1 1
2^x2+ x
2-^x + l
Vx 1
Vx+1 1
2-Vx
2^Jx + l
cJ(x) = Vx + 1 =>
c 2(x) = e x + c2 , reemplazando en la solución general
,;. 4 (x ) =
2^x +l
X
c\ (x) = —ln x
i
c[ (x) +
1 2->/x 1
= Vx + 1
2 ^x2+ x
c1(x) = | ( x + l)3/2+ c 1
1
0 1
2^[x
2^x2+ x
rx i
Vx + 1 1
2^[x
2-Vx + l
1 2Vx + 1 1 2^/x2 + x
= -V xT T
c\ (x) = tgx. secx
c[(x) = -yjx + Í => c 2(x) = — ( x + l )3/2 + c 2 , reemplazando en la solución
=>
c 2(x) = secx + c 2
y = (* - tg x + q ) sec x + (sec x + c2) tg x V= (—(x + l)3/2 +C]) J x + ( c 2 - ^ - { x + l ) i , 2 )4x +1 3
y = x secx + q secx + c2 tg x , para x = 0, y = 1 =>
y = cl -J x + c 2^ x + l+ —J x ( x + lhJx + l - — (x + l)
725)
eos x .y " - sen x eos x.y’- y = sen x , ^jí=0 =
y = x sec x + sec x + c 2 tg x , derivando tenemos: y '= s e c x + x sec x .tg x + secx.tgx + c2 sec2 x
= sec x ’ ^ 2 = tS ;
para x = 0, y'= 1 =>
Solución
i tanto: * * por lo
y ' t g x y '- sec2 x.y = tg x. sec x La solución de la ecuación diferencial dada es:
1 = cl
726)
l = l + 0 + c2 => c2 =0
*+1fy = x sec x + sec x = ----cosx
sen x.y ”+ 2 eos x.y'- sen x.y = 2 eos 2x
V= c, (*)>>! + c2 (x)j>2 es decir: y = sec x.q (x) + tg x.c2 ( x ) ,
calculando
los
q (x ),
c2(x),
2
y \ x=i = ° > 2
x y\ = — sen x
í sec x.cj (x) + tg x.c2 (x) = 0 se tiene el sistema:
r\ = q I< (*)
tgx
tgx. secx
sec2 x
secx
tgx
sec x. tg x
sec2 x
c¡(x) = - t g 2 x =>
tg 2 x.secx secx
= -tg
senx
Solución
sec x. tg x.c| (x) + sec xjc\ (x) = tg x. sec x
0
1 .vi i —
x
. . . . ~cos2x , y +c tg x.y - y = 2 -------- , cuya solucion general es: senx y = c¡ (x)y{ + c 2 (x)y2 , reemplazando el y 1, y el y 2 se tiene: x 1 y = -------.C\ (x) + --------c 2 (x ), donde c, (x) , c2 (x) sen x sen x
q (x ) = x - t g x + q se calcula formando el sistema de ecuaciones:
c'2(x) =
382
secx
0
sec x. tg x
tg x. sec x
sec x
tg x
secx. tgx
sec2 x
te x. sec x —----------- = tg x. sec x secx
x .c\ (x) + ------1 rJ 2- (x) = 0 sen x sen x ! = £ ! ! £ *i M - f S i *5 ( ; r ) . ! 2 i ? í sen x sen x sen x 383
y ''+ sen* c tg x
2 cos2jc cj(x) =
sen x
sen x 1
sen x 1 -x c tg x
2 eos 2x
2x
y'+ -7- y = — , la solución general es: 4x 4x
y = q (x)_v, + c 2 (x)_y2 de donde al reemplazar se tiene: = 2cos2x
-T "
7 = sen -Jx£¡ (x) + eos 4 x jc2 (x ), sistema de ecuaciones siguiente:
sen x
c tg x
para calcular c, (x ), c 2(x) se forma el
sen*
sen*
sen a/ x .c {(x) + eos -Jx~c\ (x) =• 0 c¡(x) = 2cos2x
=>
X senx 1 -x c tg x 4 (x ) =
senx X senx 1 -x c tg x
cosa/ x
0 2 eos 2x senx 1 senx ctg x senx
2xcos 2x sen2 x -1
_
2xeos2x sen2 x
c{(x) =
0 1 4x
eos Vx sen Vx 2Vx
sen Vx eos Vx
eos Vx sen Vx
2-[x
2Vx
eos -Jx 4x 1
eosVx l4 x
2^fx
I/ \ eos Vx ¡— ci \x) = j=~ => d (x) = sen -Jx + kx 2-Jx -
senx
i, „ sen V x , , 1 , por la regla de Cramer -rj(x )- — = - 4 ( x ) = — 2-Jx 2yX 4x
c,(x) = sen 2x+ *,
sen2 x
c2(x) = x 2 + 2 x c tg x + x 2 -2 1 n (sen x )+ * 2
sen Vx eos Vx
c2 (x) = 2 x 2 + 2 x £ tg x - 2 ln(senx) + k 2 4 (x )=
V=
(sen 2x+k x) + —— (2x 2 + 2xc tg x.2 ln(sen x ) +k 2) senx sen*
para x = ^ , y = l , y '= 0 se tiene: 727)
4xy"+2y'+y - 1,
lim y = 1,
2Vx
0 1 4x
sen Vx eos Vx
eos Vx sen Vx
2Vx
2-[x
sen Vx 4x 1
sen Vx 2 Vx
2Vx
y = senx
= s e n j x , y 2 =cos*Jx
i/ \ sen yx c 2 (*) = ------ 7=~ 2Vx
=>
/— C2 (x) = eos Vx + k2
y -++oo
Solución 384
j - ( s e n V x +kl )sQn-fx + (cosVx + k2)cos^[x , de donde:
385
para x =
y = 1+ c, sen J x + c 2 eo s J x , de las condiciones se tiene: Jim y = l
=> C[ = c 2 = 0 por lo tanto:
dy arctgx — = -----Zjdx 1+ x
y —1
jr->+oo
como 728)
4xy' ’+2y’+y = ^
0 , y'= 0 => 0 = c
y =1
arctg2 x f y = ---- 5— + ¿ 2 rr2 rr tc n2 f t /z/w y = — => — = — + ¿ => k = 0 *->+00 8 8 8
por lo tanto:
=>
y =
arctg2 x
Solución 730)
6+x , , , 1 .... * ____ 6 + x 4xy' '+2y'+y = - J - , de donde / ' + — / + — y -
( l - x ) / '+ x / - y = ( x - l ) V ,
72
Como la solución es tomamos
c, (x ),
c 2 (x) y ' ----- y'----- — = ~{x ~ l)e x , la solución general es: 1 -x l-x y = cl (x)y1+ c2(x )y2
729) '
* lim y ~ ~ T ’ ^ * = 0 '=0 x-*+oc O
'
l + x2
de donde:
(1+ * 2)
^ + - ^ r P = ------V t dx 1+x (1 + x )
f 2xdx
p~e
sea y z z p
^
dx
, por la regla de Cramer \c[ ( x ) - e x c \ (x) = - ( x - \)e
dx
ecuación Unea1’ cuya solución es:
c{(x) =
0
e‘
-(x-l)ex
e}
x
386
1
=e
e '( x - l )
e
+ c j
(1+X2) 2
c 2 (x) —
, __ ____ . arctg x (arctg x + c ) =
c
c1( x ) = e * + k 1
X
0
1
i vT i VH
—
-x (x-l)ex = - X
x dy
e 2x( x - l )
>efectuando las integrales c[(x) = e x =>
J
c2 (x) se calcula mediante el
1 e1
T+”? [J e ’ !+Jt2 ___ ^ 2 +
dx
cx( x ) ,
\x.c\(x)+e* ¿ [(x) = 0 d 2 y dP T T _X
r 2xdx
dy__
de donde
sistema de ecuaciones siguientes:
Solución ?r 1 v "+ ------T y ' = -------Y T
=1, y x = x , y 2 = ex
Solución y = cx(x)yx + c2 (x)v 2, al calcular
lim y = 1 obteniéndose la solución: ,v = — X->+00 _ X
1 (1 + x 2)y"+2xy'=----- y ' 1+ X
lim y = 0 , y\ y —>-oo
ex
e x { x - \)
1 e* 387
I c !j(x )= -x
y
=>
_^
Ci(*) = -T7T
c 1(x) = - ^ Y + k 1
=>
x
lnx 1
x2
= ( e x +kl )x + (— — + k 2)ex entonces:
0 2 -ln x
2
x2
731)
>' = ^ + x
2x (2 - ln x )y + x (4 - ln x ) y - y
( 2 - ln x ) 2 ------j=—
lnx _1_
-Jx
x
2-Jx
lim y - 0 , y x = l n x + y 2 =-Jx
1
..
'
c 2 (*) =
2-fx
lnx
1 ~ +^2
................................. >reemplazando en la solución general.
>>= (— ^ + c , ) l n x + ( — + - + c 2)4 x ■Jx X X
Solución ,
lnx TT
2x 2-7x 2 -ln x
1
I , -v lnx c2 W = —
y - > + 00
„ 4 -ln x
ln x(2 - ln x)
2x 24 x
4 (x > =
y = clx + c 2ex + xe x
Cj(x) = - = + C i Vx
y = cl \ n x + c 2J x - ^ í - + - ^ para que -s/x Vx cx = c2 = 0 de donde la solución es:
2 -ln x
lim y = 0 ; c, y c 2 deben ser y-^+cc
1 -ln x La solución general es: y = c¡ (x)y¡ + c 2 (x )y 2 es decir:
4~x 732)
y = ln x£\ (x) + 4~xc2(x) y formaremos el sistema para calcular c, (x ), c 2(x ).
y + l y - ym xX'
4e*t
^ =0, ^
¡¡m v— >— oo
' ljr=~
— I ,, j, » £'■£_*-O j, »J e ' *'1
2
_
x
Solución ln x.c\ (x )+ -Jx£ 2 (x) = 0 1 i/ \ 1 | ¡ -v 2 - l n x — £ J (x) + — r - £ 2 (*) 2 r~ x 2Vx 2x V*
388
rx 0
es decir: >^= c1(x)— + c 2(x)—
+ c 2(xXv2
donde cx(x ), c2(x).
2 -ln x
2 x l '[x 2-Jx lnx 1 X
diferencial dada es:
Calcular mediante el sistema siguiente:
0 ■Jx 1 2-ln x c}(x) =
La solución de la ecuación
2x2 _ 1 2 -ln x x 3/2
c\ (x) + ~ z r + —r x c 2W = 0 -x
2-Jx
e í( jc - 1 ) C c|jW rr'i
i
e ' x(*5------------+1) e_jt
2Vx
389
1 2cl e — = -------+ — entonces: e e 2
e x
- r *(* + !)
e
x
x2
~ 2
c}(x) = -
~-2x c i =-
-X
e —
e2 + 2
tomando
lìm y - 0 se tiene la solución general de la ecuación y —> - o o
- e ' x (x+\)
x
diferencial dada,
ex{x-\)
y = (x - \ ) e x
X 733) -2 x
x 3(Inx - l ) y ''- x 2y'+xy = 2 In x ,
lim y = 0 , y ¡ =x, y 2 = \n x
y-++oo
e 2x C\(X) = ---- — + q
c}(x) = -
Solución —
0
e*{x-X)
e~x
X
X2
C[ ( X) :
y
..
1 — ~ x (ln x -l)-
,
1 --~ y = x 2( l n x - l )
2 In* x 3( l n x - l )
X - e
e x
e'(jc-l)
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
- e *(*+!) y = ci (x)yx + c2 (x )y2 , donde c¡ (x ), c2 (x) se calcula mediante el sistema
1
c\ (x) = - — =>
X c 2 (jc) = - —+ c2, reemplazando en la solución general. x.c\ (x) + ln x.c\ (x) = 0
, e 2x .e x x e x y = (---- — + c ,) — + ( - —+ c 2) —— 4 x i x
ex
e~x
e~x
c ¡ ( ,) + l 4 , „ , x
ln x 1
x 3( ln x - l)
X
II X
i,
21n2 x
X
i
x 3( ln x - l) a
390
Inx
7
e
x
21n2 x
1
(x -1 ) e '( x + l) e x (x+l) t e — -j-------- ------ c2 ------ ^------*— 4x¿ para x = -l, / = —
x (ln x -1 ) 0 21nx
e~x
v = c , ------------ + e-, -------------- , derivando ' x 4x 2 x 2
2 In ^ _
X
, ,
se tiene:
In X ln x
C1 ( X ) = ------- —
X
xL
1
------ r----------- + Cj
X2
X
391
x
O
2 ln x
j
2x lnx
x ( ln x - l)
c\ (x) =
x
lnx
i
i
c\ (x) = -2(x -1) => c1(x) = - ( x - l ) 2 +c,
x 3( l n x - l ) __ 2 lnx 1 - ln x
x2 0 2 ( x - l)
x
x
2x
-
21nx c 2 (x) = -----------------21nx + c2
r2
e* (x 2 -2 x )
x
X
, ln 2 x lnx 1 v y = (----- y -------- 2— " + x2 x2 x
J-2 x
x 2 -2 x
4 (x ) = l/ ^ 21nx cU x) = r — =>
2 x 2 (x - 1 )
2x2( x - l ) e*
2x
.21nx
+
----------- 2 ln x + c 2 )ln x
2 4 ( » ) = 2* 1 — ‘i e*
=>
c 2 (x) = -2 e _Jt (x3 + 2x 2 + 4x -1 ) + c2
ln2 x lnx 2 i v = cix + c2 ln+ ---------------- - 2 I n x —1 X
734)
(x 2 - 2 x ) / f+(2“- x 2)/-2 ( l- x X y = 2 ( x - l ) ,
X
V i= x 2 , y 2 = e x
_y = (—(x —1)2 +cx) x 2 + -2e~*(x3 + 2 x 2 + 4 x - l + c 2)e* y = clx 2 +c2e x -2 e ~ x ( x s + 2 x 2 + 4 x - l ) - x 2( x - l ) 2
Solución „ 2 -x1 y x2 -2 x
, 2(1 - x )
_ 2 (x - l)
x 2- 2 x '
x 2 ~2x
La solución general de la ecuación dada es: y = Cj (x )y1 + c7 (x)>’2 , donde c¡ (x ), c2 (x) se calcula mediante el sistema x í c\ (x) + e xc\ (x) = 0 2xcJ (x) + e xc\ (x) =
0 2(x - l ) c[(x )=
e’ ,
x 2 -2 x x 2 er
2x 392
- :x -2 x
2 e * (x -l) x 2 - 2 x = —2(x —1) e* (x 2 - 2x)
ex
'
393
COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL!
736)
y x(x) = senh x , y 2 = cosh x
""d a d o EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE|
Solución
s o l u c io n e s ! Si el sistema de función
y,(.v).y: (x).....y„(x)
senh a: cosh a
linealmente independiente en el
segmento |a.b], que tiene derivadas hasta el orden n inclusive. Entonces la ecuación.
cosh x
senh x
senh a
coshx
y =0
entonces:
y
s e n h x ( s e n h x y 'coshx./!') - coshx(coshx.y' '-se n x.y') + y(cosh- senh2 x) = 0
y, (.v)
y ; (.v)
y¡(.v)
vU-v)
... ...
>„
y
y¡,(v)
y'(.v)
senh 2 x.y' =0
...(1 )
cosh2 x . y ' senh x cosh x.y’+ cosh .y'+y - 0
-y " + y = 0 entonces:
y ' '- y = 0
| v,
(a)
y
2
(v)
...
yn
737) (a)
y
(a)
y i(x ) = x , y 2(x) = e* Solución
donde y(x) es una función incógnita, es una ecuación diferencia! lineal, para !os cuales v, (j c) , y 2 ( a ) , . . . , y n ( a ) forman un sistema fundamental de soluciones.
x
ex
1 e* El coeficiente de
y (w) ( a )
en (1) es el Wronskieno.
0
y y = x(exy " - e xy ' ) - e x (y"-0) + y ( e x - 0 ) = 0
£?* y
VV[ v ,,y 2.....v„ 1 del sistema e x (x y " -x y '-y " + y )= 0 Los puntos en que se anula este determinante, son puntos singulares de la ecuación construida.
738)
entonces:
y j( x )= s e n x 2, y ,(x ) = c o s x 2
Formas las ecuaciones diferenciales, para los cuales los sistemas dados de funciones forman los sistemas fundamentales de soluciones. 735)
y ,( a )
, y 2( a ) = a ,
= 1
v3(a) = a
Solución 1 X X
394
•y
(x - l)y"-xy'+y = 0
Solución senx 2x eos2
cosx -2 x se n x 2
y
y' - 0 - 4 x 2 s e n x 2 - 4 x 2 co sx 2 y "
entonces:
y
0
1 2x
y
0
0
2
y’
0
0
0
y"
sen* (-2 x y "sen x 2 + 4x 2y' eos x 2) - eos x 2(2xy'' eos x 2 + 4x 2y ’sen 2 x) + + y (-8 x 3 eos2 x 2 - 8 x 3 sen2 x 2) = 0 395
-2 .rv " sen 2 .r2 -2.vy" cos 2 .v: + 4 x 2y'sen.v 2 cos.v 2 - 4 * 2/ e o s *
2 sen a 2 -
Supongamos que los coeficientes P(x) y q(x), se expresan en forma de series, dispuestas según las potencias enteras positivas de x, de modo que la ecuación (1) ,e pueda escribir en la forma.
-8.vJ y co s2 x 2 - y 8 . r sen2 x 2 = 0 y''+(a0 + a1x + a 2x 2 +...)y'+(b0 +blx + b2x 2 +...)y = 0 - 2xy ' (sen2 .v2 + cos2 v2)-8 .t\v (c o s 2 x 1 + sen ‘ V ) - 0 jrv"+4jr\v = 0
busquemos la solución de esta ecuación en forma de una serie de potencias. 00
=> y"+4.v"y = 0
=
y 739)
y, ( v) = x , y 2(x) = e
... (2)
...(3)
*=0
<-12
poniendo en (2) la expresión de Y y de sus derivadas, obtenemos. Solución 00
1
xe
A2
x 12
0 e x l 2 ( x 2 + 1)
OO
00
£ * ( * ■ ! )c***~2 + £ « * * *
. x - 12
y =0
k=0
00
k=1
00
A=0
k=0
=o
- (4>
entonces: multiplicando las series de potencias, reuniendo los términos semejantes e igualando a cero los coeficientes en las distintas potencias de x, se obtiene una regla de recurrencia.
y'
^ • • ^ i/2 -y(x2+ i ^ í/2)-e‘J/2(y"-0) + > V í,2 +Jc2 +i)- 0 = 0 I n la practica es conveniente proceder del modo siguiente, por el esquema señalado se busca dos soluciones y x(x) e y 2(x), para y x{x) se toma c0 =1 e x 12 ( x 2 y " - x y '( x 2 + 1)- y"+y(jc2 + 1)) = 0
y c \ = 0 y para y 2 (x) se toma c0 = 0 y siguientes condiciones iniciales.
cx = 1, lo cual es equivalente a las
( x 2 - l)y " -(x J + .t)y’+(.v2 + l)y = 0
(0) = 1
,
y¡
y2(0 ) = o
,
y \ { o) = il
y\
INTEGRACION
PE
LAS
ECUAClONEjj
DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES^ 1)
Este método resulta muy usual al aplicarlo a las e c u a c i o n e s diferenciales lineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones de segundo orden. Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden. y"+P(x)y'+g(x)y = 0
396
(0) = o |
... (5)
Toda solución de la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones viW e y 2 0*0 • Si las condiciones iniciales son de la forma y(0) = A, y '(0) = B entonces es evidente que: y = Ay i (x) + By2(x) l inalmente enunciaremos (sin exponer la demostración) el teorema de existencia de soluciones de la ecuación (1) en la forma de serie (3).
Para hallar el exponente p y los coeficientes ck es necesario poner la serie (8) en la TEOREM A.-
Si las series p(x) =
a kx k y q(x) =
* son convergentes *=o para |x| < R, la serie de potencia (3) construida del modo indicado anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solución de la ecuación (1). k =o
ecuación (1), simplificar por x p e igualar a cero los coeficientes en distintas potencias de x (método de los coeficientes indeterminados). En este caso, el numero p se halla de la ecuación llamada determinativa. p ( p - l ) + a0p + b0 =0
En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x.
Donde
a 0 = lim xp (x ), b0 = lint x 2q(x) * -> 0
2)
...(9 ) ... (10)
x -> 0
7
y
Desarrollo de la solución en una serie de potencias generalizada. suponiendo que P\ y p 2 son las raíces de la ecuación determinativa (9)
DEFINICION.- Una serie de la forma. QO x p ^ c kx k , (c0 * 0 ) ...(6 ) k= 0 00 donde p es un numero dado y la serie de potencia ' ^ ¡ckx k es convergente en cierto *=o recinto |x| < R, se llama serie de potencia generalizada.
Distinguiremos tres casos. I o.-
00
00
y i(x ) = x Pl^ c l x k , (co * 0 ) , k=0
Si p es un número entero no negativo, la serie de potencia generalizada (6) se convierte en una serie de potencia ordinaria. 2o.TEOREM A.-
Si la diferencia p x - p 2 no es un numero entero o cero, se pueden construir dos soluciones de la forma (8)
Si x = 0 es un punto singular de la ecuación (1) cuyos coeficientes p(x) y q(x) admiten los desarrollos.
y 2( x ) - x A
Xk , (A0 * 0 ) k-Q
Si la diferencia p x - p 2 es un entero positivo, por lo general, solamente se puede construir una serie (solución de la ecuación(l)). 00
00 2 > .* ‘ * * '—
00 Z .
X
m
y \ { x ) = x p' ^ c kx k *=0
‘
—
- m 3o.-
X
Donde las series que figuran en los numeradores son convergentes en cierto recinto jxj < R, y los coeficientes ¿Zq , y bx no son simultáneamente iguales a ^ero, entonces la ecuación (1) posee al menos una solución en la forma de serie de potencia generalizada. 00
y = x p ^ c kx k , k= o
que es convergente al menos en el mismo recinto |x| < R.
...( íi)
(c00)
...(8 )
Si la ecuación (9) posee una raíz múltiple p x = p 2 también se puede construir solamente una serie (la solución (10)). Este claro que en el primer caso las soluciones y x(x) e y 2 (x) construidas son iinealmente independiente. En el segundo caso y tercer caso, se ha construido solamente una solución (10) señalemos sin exponer la demostración, que si la diferencia p x - p 2 es un número entero positivo o cero, además de la solución (10) habrá una solución de la forma.
399 398
00
y 2 = A yx(x )\n x + x Pi'Y áAkx k k=0
. ( 12) q + | > + 2 ) c B+2* ”+1- ¿ 2 ÍVt'’+1 = n=0
n=0
Vemos, pues, que ahora y 2 (*) contiene un sumando complementario de la forma A y2(x) Inx
C i + ¿ ( ( « + 2)cn+2- 2 c n)x n+1= o »=0
donde y x(jc) se expresa en la forma (10)
ci = 0
OBSERVACION.- Puede ocurrir que la constante A en (11) sea igual a cero, y entonces, para y 2 resulta una expresión en forma de una serie de potencias generalizada.
( n + 2 ) c b+2 =
2c„
c»+2 - •
2c„
n+ 2
para
a
2c0
n=0 ,
c2 =
n = 1i ,
c3 = - j2ci - =0
n=2 ,
c4
n= 3 ,
2c3- = 0« cs = — 5
n= 4 ,
c6
regla de recurrencia.
= c0
Integrar mediante series las siguientes ecuaciones diferenciales. 768)
y'-2 xy = 0 , y(0) = 1 Solución oo Suponiendo que y = ^ cnx n es la solución de la ecuación diferencial. n=0
oo y'=^T^ncnx n~l , reemplazando se tiene
00 ncnx n~l - 2 x ^ cnx n = O, poniendo en una misma potencia a x
n=l
400
C4
C0
3
2.3
n= 5 ,
2c5 c 7 = -— . = 0
n= 6
c
£o 3!
’
*
2Cfi 8
c° 4!
n=0
00 ^ (n + 2)cn+1x n+l n= - 1
2c4
n=0
00 00 £ ( n + l )cn+xx n = ^ 2 c nx n+l = 0 n~0
-
Cq 2
4+2
n=i
00
2c2 4
00 2cnx n+l = 0 , poniendo los inicios iguales n- 0
„ _c0 c2n ~ . n\ 401
00
y = 'YJ c 2nx n = X ^ 7 * 2" = c °eX n=O
n=O H’
- x 2n
para x = O, y = 1 = c0 , de donde
769)
00
4 * ]> \(flM )c „ ;t" “2 + 2 ^ > j c nx'’“1 + ]£ c „;c" = 0 «=2 n=l n=0 y =^
~
^
orí)
2 ] 4w(w - l)cnx nA + n=2 n=1
tl\
4 x / ’+2/+>> = 0
+ 2 ] cnx ” = 0 «=0
poniendo en una misma potencia a x. Solución
00 00 00 Y j 4»(» + l)cn+1JC" + 2(n + l)cn+1x n + Y j cnx n = O »=1 «=o
Como x = 0 es un punto singular regular entonces la solución en la serie
igualando los inicios se tiene: 00
y = ^T/ cnx n+r ,
donde
r(r - 1) + p 0r + q0 = O
y
p 0 = lim^xP{x)
y OO
B=0
x—>0
00
4«(« +1 )cn+1x n + 2c, + cn + ]T 2(» + l)cn+1x" + Y JCnx n = O W=1 «-1
q0 = lim x 2Q( x )
00
Luego
v"+ — v'+ — y = O siendo /*(*) = — , £?(*) = -r 2x 4x 2x 4x
P0 = lim xP(x) = lim x(— ) = —, 0 jr_>0 w x->0 y2x 2
q0 = lim x 2Q(x) = /iw x 2 — = O x->0 *-+o 4x
2cx + c0 + ^ [ 2 ( w + l)(2« + l)c„+1 + cn]xn = 0 n=O aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
2c1+ c0 =0
r ( r - 1)+—+ 0 => 2
r 1 - r +— = 0
2(w + l)(2w + l)cn+1+c„ = 0
2
^
_ ^ »
r r2— = 0
2
1 => r ( r — ) = 0
para rx se tiene:
2
=>
1 r{ = 0 , r2 = —
2
y = ^ ^ c nx n , de donde n=0
00
00
»=1
402
n=2
4-1
—
como
=
2! c„
~
para n = 1, c2 = — — = + - ^ ! — = — 2.2.3 2.3.4 4!
= Co + C j X + C 2 X 2 + c 3x 3 + . . . n= 0
y ' = ^ n c nx"~1 => _y"= ^ n ( n - l ) c nx n~2 , reemplazando en la ecuación
2
1
2(« + l)(2« + l) ’
«>1
n Para
La otra solución es para r = ~
1 c\ = -----c0 -- -----c0 n ~ 1, 1 2.3 3! ci co n = 2, c 2 = — —= — 2 4.5 5!
n+-1 y = ^ cnx n+r = ^ J cnx 2 » derivando rc=0 n=0
/ =
00 i n_ i Y ( n + -)c„ x 2
*=0
=»
v”
2
como y ^ c nx
00 1 \ n-= ^ ( k + - ) ( « - - )c „ x 2
1 2 = 4 x ( c 0 +clx + c2x 2 +...)
n=0
*=0
y = 4 x(c0 - —+ 3! 5!
reemplazando en la ecuación diferencial.
«c0V?(l-+----•••) 3! 5!
Luego la solución general es: V““"< 1 1 n~— 4 * ]T (n + - ) ( n - - - ) c nx 2 + 2 ¿ j (n + - ) c nx „=0 2 n=0
¿ 4 ( « + i ) ( n - |) c „ x „=0 2 2
2 + ¿ 2 {n + ~ )c nx »=0
2 + ¿ ^ c nx n=0
2 + Y J CnAx «=1
n+~Z ^ = q (1 - —+ 2! 4! 2 =0
770)
) + c 2V * (l- —+ — 3! 5!
(1 + x)y'-ky = 0 Solución
n—i 00^ n_L y ' i 4 « (« + —)c„x” 2 + y c „ _ 1x 2 = 0 , poniendo los inicios iguales
oo Suponiendo quecnx ” es la solución en series de potencias n=0
0° J 0+ ^ 4 « (n + -)c „ x
00 n_I 2 + ^ / cn_lx 2 = 0
00 y = ^ w c nx n~1
00 j>M=
n=l
OO^
|
^ [ 4 « ( n + -~)cn + c n_,]x
n_J_ 2 =0
rt(rt-l)cn;cw“2 , reemplazando en la ecuación «=2
+
- k j ' c nx n = 0 , operando tenemos n=l
n=0
n=1
00
00
n=l
«=1
00 = 0 , poniendo en la misma potencia a x.
4n(n + ~ )cn + cn_x = 0 , de donde se tiene:
c„ =■
Cn \ 4n(« + i )
para n > 1, regla de recurrencia.
n-0
OO OO 00 ^ ( / i + l)cn+1x n + J ^ n c nx n —kc0 - J ' k c nx n = 0, poniendo los inicios iguales n=0
n=l
n=l
405 404
c¡ —kc0 f ^ ] [ ( n + l)cB+i -nc„ -k c„ ]xn = 0 n=1
P0 = lim xP(x) = lim — -■-* = lim ---- —— = - — *_>o x-+o 9x(l - x) *->0 9(1 -* ) 3
C, = ¿ C n Cj - £ c 0 = 0
^
(n + l)cn+i - ( n + Ar)c„ = 0
c„+1 = - ----- c „ , n > l (w + 1)
, 1+ A (l + fc)Ar0 n = 1, c , = ------c, = ------------2 2 1 2 n = 2,
c3 =
(2 + Ár)c2 3
q0 = lim x 2Q(x) = lim x 2 (---- —— ) = lim ——— = 0 x —>o
a -—> 0
4 r ( r - l ) - —r = 0
=>
9 j c ( 1 - x )
(2 + k)(\ + k)kc0 (2 + k)(l + k)kco ~
23
~
para ^ = 0 , 7 =
3!
de donde sus derivadas son n=0
¡
=> y = ^ ^ n ( n - l ) c nn~2 , reemplazando en la ecuación n=2
c o 00
y= co £ n=0
w!
OD
00
OD
OD
00
X 9» ( » - D V M - X 9n(n_1)c»*" _ X 12nc»x" 1+ X 4c'>x" =0
9 x (l-;t)y "-1 2 y '+ 4 y = 0
h=2
n=l
Sea j; = ^ T c n* n+'' la solución en series donde «=o p 0 = lim xP(x) jc-»0
y
q0 = //w x 2g(x) jc->0
n=0
n—2
n=l
w=0
OO 00 18c2x+ ^ 9(n + X)ncn+xx n - ^ T 9 n ( n - \) c nx n -1 2 cx - 2 4 c2x n=2
n=2
OO 00 - ^ 1 2 ( K + l)cn+ix ” + 4 c0 + 4 c1Jc+ ^ 4 c nx" = 0
12 y h------------4 j ^ y ------------y = 0n, donde 9 x(l-x ) 9x(\ - x)
n=2
p (x ) = Q , / 2 Y g (x ) = Q-n4- 9 x (l-x ) 9x(1-jc)
n =2
OP OO 00 ^ 9 ( n + l)/jcn+1x n - ^ 9 « ( n - l ) c „ x " - £ l 2 ( n + l)cB+,x" + ]T 4 c „ x " = 0
00
siendo
n=2
poniendo en una misma potencia a x.
Solución
r ( r - l ) + /?0r + ^r0 = 0
00
9 x ( l - x ) ^ / j ( n - l ) c njr'’~2 - 1 2 ^ « c nx"‘‘ + 4 ^ c „ x " = 0 n=2 n=l n=0
&(& -1)...(£ -w + 1) „ •••
771)
00
y% = ^ w c nx n_1 n=l
k ( k - l)...(A'-n + l) c n ~
~~x)
1 n = 0 , r2 = -
00
n\
x —> o 9 ( 1
n=2
00
luego 4c0 - 1 2 c¡ + (4q - 6c2)x +
[3(n + 1)(3n - 4)c„_1 -(3n-4)(3« + l)cn]xn =0 n=2
406
407
por el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene:
igualando las potencias de x se tiene. 30 ^
4co - 1 2 c ,= 0
C l= C° 3
4c, - 6c 2 = 0 3(«+1X3« - 4)cn+l - (3« - 4)(3n + l)c„ = 0
00 ^
3 -]T(3M + 8)(3H + 3)cr,x" 3 = 0
Z
4
C* = J J = J ¿
«+T i *»+— 3«(3« + 7)c„x 3 - 2 J3(3« + 8)(n + l)c„x 3 = 0 «=0 „=0
(3« + l)c„ cn+1 = ----------- > n - 2. regla de recurrencia 3(n +1)
o>
n
4
Y—' w+~ 2^3«(3« + 7)c„x 3 - /
7.2c0 1.4.7 n = 2, c, = — c? = ---------= ------- c 0 3 3.3 2 3.3.3.3 3.6.9 7
XT"1
n=0
2 ^0 4C() 2 1-4.7 3 = c0 + c1x + c 2x +... = c 0 + — x + — x + J ^ c o* +•••
ahora igualando los inicios
Z Z
3«(3« + l ) c nx
4
2
1-4.7 3
.
n- 1
v = c0(l + —+ — X + ------ x +...) ' 0 3 3.6 3.6.9
Oü
7 La otra solución se obtiene de la serie para r2 = — 3
n=0
wQO—i 2 j(« + -)c „ x *=o 3 m
/=
^
3
QO
=>
/'=
2
n=1 *t
n+— [3«(3« + 7)cb -3 ( 3 « + 5)(«)]c„_jX 3 = 0
3n(3n + l)cn - 3(3n + 5)ncn_x = 0 «
i
. ^
^(« + - ) ( « + - ) c bx
7n+—5T~i/4T
>1=0
reemplazando en la ecuación diferencial 7 4 n+~ v”"’ 7 n+T V""1 n+T 9ac( 1 - x) ^ ( /2 + -) (« + - ) c„x 3 - 1 2 2 ^ ( w+ t )c^ + 42 . / " * =0 n=0 3 3 n=0 n=0 » 7 4 n+í ® 7 4 ”+t v-> 7 ”+T ]T 9 (« + -)(« + - ) c nx 3 - 2 ^ 9 (n + TKw+ T)c»jr 3 - X 1 2 (w+T)c"x + «=0 n=0 w=0 7 ra+—
n=0 408
4
rt+~ x—i n+— 3 - £ 3(3« + 5)(» - l)c„_,x 3 = 0
«=0
7 «+— ~'¿LiCnX 3 ’ derivando n=0
=
n+~ 3(3w + 5)(« + 2)cn_iC 3 = 0
*=1
oo
»=0
x
^ 7
^ 9 n(n + - ) c „ x
(3w + 5)(/j) c" = — ---- ^7" cn-1* V n > 1, regla de recurrencia w(3w + 7)
m Luego la solución general es: x
por el método de los coeficientes indeterminados
14 , 1.4.7 i L « * + 5 l 9 * + ”)+C!‘ (
•’' =C,(‘ V
8x 8.11 T ^ m íS *
8.11.14 +T o H n I
2 .
, -)
c2 ~ ~
Í2 c 2 + Cq = 0
\(n + 1)(« + 2)cn+2 +(n + 1)c„ = 0 772)
Sea y = ^ icnxH =>
y ’=
»=o
para
1 =>
/'-£ « < »
«=i
l)0«*
¿ « ( « - l ^ x " -2 + ¿ » c „ x " »=2 »=1
n = 2, c4
2.4
, c\ n = 3, c5 = —c 3- = — 5 3.5
a n = 4, c 6 = —C46
=0
-----C0— 2.4.6
"=° c n = 5,
c7 = —c 5- = -----c l— 7 3.5.7
y = c0 + q x + c 2x 2 + c 3x 3 + c4x 4 + c5x 5 + c6x 6 +..
£ ( « + 1)(» + 2)cb+2x" + ¿ Jncnx n + 2 ¿ c nx n = 0 »=0 «=1 «®°
7 = Co +Clx - ^ x 2 - ^ - x 3 + ^ x 4 + ^ - x 5 — ^ - x 6 x +. 2 3 2.4 3.52.4.63.5.7
poniendo los inicios iguales. 00
30
£ [ ( n + l)(» + 2)c1,+2+c,,]x', + ^
X
ncHXxn=0
00 2c2 + c0 + £ [ ( « + l)(n+ 2)cn+2 + c H]xn +2_j nc„xn = 0
X
X
773)
2c2 + c0 + y^[(w +l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„ ]x" = 0 »=1
X
X
/ '- x v - V y - l = 0 , y(0) = / ( 0 ) = 0 Solución
»=1
uu
X
y = c0 (1------ + -------------- + ...) + c, (x ------ + -------------- + ...) 2 2.4 2.4.6 3 3.5 3.5.7
»=1
n=l
4
*=2
poniendo las potencias de x iguales
»=0
1 c3 = ~ C1 n = 1, ~
n-2
¿ ü ( i i “ l) c .* ,,"2 + ¿ « c . * ’ + ¿ c . * * = 0 >1=2 «=1 «=°
410
c n+2 = ----- 2tr . V n > \ n +2
y"+xy'+y = 0 Solución
co
OO Sea y = ' £ c nx n n- 0
=>
00 / = ^ wc»x"_1
=>
00 y " = ^ n ( n - l ) c nx n~ n-2
411
w
oo
w
n-2
para
+ ]T c nx n =1
5 2 k(/i-1 )cnx n~2
_y(0) = y ( 0 ) = 0
=>
c0 = 0
»=0
n=1
_ 1, C<¡ —_—5 C2 — 1 y C3 — 0 , CA —— 2
2 " ( n " 'l)c«jc""2 _ Z ! ”c»x ,,+ S c»x " =1 n=2 n=l n=0
2
4!
8!
j = c0 +C]jr+C2x 2 + c 3x 3 +.
poniendo las mismas potencias a x
x2
x4 4!
3x 6 6!
3.5 jc 8 8!
(2n + l)e 2*+4 (2n + 4)!
y — --------1--------- 1----------- 1-------------- _j_ _ -f--------------------------- + ... 00
00
^ 2
00
Y i (n + l)(n+2)cn+2x n - ^ n c ^ " + Y j cnx" n=0
=1
n=0
n=1
OO
En ios ejercicios 774 —778 hay que hallar sus términos del desarrollo de y(x).
00
^ [ ( / i + l)(w + 2) c„+2 + n=o
^
/ic„*n = 1, poniendo ios inicios iguales.
n=l
774)y" -{\ + x 2 )y = 0 , y ( 0) = -2 , y'{ 0) = 2
qo
Solución
2c2 + c0 + ]¡T [(« + l)(n + 2)c„+2 - (« - l)c„ ]c„ = 1 »=1
OP
Sea
por el método de los coeficientes.
OO
2c 2 +Cq = («+1)(/ i + 2)c„+2 - ( n - l) c „ = 0
cn+2 =
( n - 1 )cn
(w + l)(w + 2)
, V
«>1
00
n-2 oo
X « ( » - l ) c Bx""2 - X c»x " - * 2X C»*" = 0 n-2 i»=0 n=0
c3 = 0
f > ( « - l ) c „ * " - 2 - ¿ c „ x " - ¿ c „ x n+2 = 0 »»=2 n=0 n=0
n = 2,
c4 = c2 _ 1~ g0 _ l ~ c 0 3A ~ 2.3.4 ~ 4!
poniendo en una mismas potencias de x. I OO OO oo
=>
c5 = 0 5
X ("+W»+ 2)cn+2x n - X
„ _—----3 c4 _—----------3 ( 1 - c0) 6 5.6 6!
n- 0
n=Q oo
„n — - 44,
_ y " = ] T n ( « - l)c„xn~2
n=1
n = 1,
2c, n = 3, Ce = -----= 0 5 4.5
412
00
y '= '^ n c „ x ’’~1 =>
n=0
l-c 0
para
00
y = ' ^ c „ x n =>
*
c»x ” -
Z!C'>-2X'’ = 0 n=2
x-
£ [ ( « + l ) ( n + 2 )c n+2 - c j * " - J ^ c n_2x n = 0 n-Q
n-2
413
775)
y"+ y,- * 2y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0
poniendo los inicios iguales. Q O (2c2 - c 0) + (2.3c3 - c 1) x + ^ [ ( « + l)(n + 2)c„+2 - c „ -c„_2]xn n=2
Solución
Sea
y = y£ J cnx n
=>
y = ^ n c nx n l
n=0
lc2 - c 0 =0 2.3c3
=0
=>
(n+l)(n + l ) c n+2 —c„ -c„_2 = 0
C +■C
c
"+2
^ n ( « - l ) c „ x " -2 + ^ n c „ x " _1 - x 2 jT c „ x " C 3=^ 2.3
■)
6
n=2
y"= ^ /i( n - l) c „ x " n=2
c2 = ^ 2 2
= —2---- «z£_n > 2, regla de recurrencia (n + í)(n + 2)
=>
n- 1
=0
n~0
n=l
j r n (n-l)c„x "~2 + ^ n c „ x "'1 - ' j j ? c nx n+2 =0 n=2
n=l
n=0
poniendo en una mismas potencias de x. para
n = 2,
c4 =
c2 + Cq 3.4
-
3c0 2.3.4
£ ( n + l)(n + 2)cn+2x n n =0
n = 3, c5 =
c3 + q 4.5
(n + l)c„+1x n ~ ^ c n_2x n = 0 n =0
n=2
7q 2.3.4.5 ¿
[(» + 1)(«+ 2)cn+2 + (n + l)c„+1]x" -
aj=0
y = c0 +
cn_2x n = o n=2
2c 2 + Cj + (2.3c 3 +2 c 2)x +
((n + l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c „+1 - c „_2)*" = 0 n =0
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene:
y = - 2, x = 0 => -2 = c0 2c 2 +Cj = 0 / = C j + C 0X + ^ - X 2 + . . .
2c2 -
+ 0 + 0 => Cj = 2 2 *3 *4 7 v = -2 + 2 x - x z + - — — + — x 5 y 3 4 60
=>
c2 -
2.3c3 + 2c2 - 0 (n + l)(n + 2)cn+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 = 0
2=
Cj
c„+2 =
— (n + 1) c n+ \ 2)
^
3Ca — C 7 —
3
C1 2
C1 2.3
^C-3—
V n > 2, regla de recurrencia
(n + l ) (n +
415
n = 2,
cd
n = 3,
c< =
c0 - 3 c 3 _ 2c0 c, _ . . . . 3.4 2.3.4 c, - 4 c 4
1 IjPi 1 K> O 0 1
para
4.5
.2.3.4.5 . . .
4|
Sea y = ^ ^ a kxk la solución de la ecuación diferencial dada k=0
5!
y ' - ^ j k a kx k 1 => y"= ^ k ( k - \ ) a kx k 2 , reemplazando en la ecuación *=1
c7 =
c3 ~ 6c6 6.7
k=2
Os
n = 5,
1 0
n = 4,
. c 2 ~5cs c6 = 5.6
w 00 ^ k ( k - l ) a kx k- 2 + ex ^ a kx k = 0 £-2 *=0
6! 39c! - 2 c 0 7!
k
n
6,
Cg
c4 - 7 c ?
62c0 - 69C[
7.8
8!
£ * ( * - l ) a t jt*-2 + ( ^ ~ r ) ^ a kx k = 0 *=2 *=0 *• *=0
y = c0 + c1* + c2.x2 +C3X3 +C4X4 +C5JC5 + c6x 6 +C7JC7 +... *=2 C\ 2 3 ^Cq c i 4 7c, 2Ca « 2cn -19c, ¿ y = C 0 + C,*----LXZ + -ÍJC J + — y---- - Jt + --- i------ —X + — 5------- -l x 6 + 2 3! 4! 5! 6! | 39c, - 2 c 0 ^ 1\ X
l= c0 + 0
t 62c0 -6 9 c , ^ + 8!
igualando las potencias de x.
I >
+ D(* + 2)ak+2x k + £
£=0
*=0 n =0
£ [ ( * + l ) ( * + 2)ak+2 + V ^ L ] * * = 0 *=0 t í 'i! k
(k + l)(k+2)ak+2+
O = C] —O => C j = 0 , 2jc4 2 x 2xb 2 762 8 y = -1 + -------------- + ----------- x + — x 8 + . . . 4! 5! 6! 7! 8!
y ^ =0, V k> 0 '4-— ^ nf n=n0
l k+2 = ------------------ y - ^ L , V k > 0
(* + l)(* + 2 ) ¿ n!
y"+yex = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0 Solución
como y = ' ^ a kx k = a 0 +alx + a 2x 2 + ... k=
416
=0 n'
=> c0 = l
c¡x2 y = c. -c ,jc + --------+ ... 2
776)
X
Jfc=0 n=0 W'
0
417
es la solución de la ecuación diferencial usando la condición inicial
y(0) = para
1
=> a0 = 1 , y' (0) = 0 => ax k = 0,
k=l,
a2
LV ^
1.2 “n=0
a3 = — 2.3 “
0
= _£o_ = _
1.2
ni
^T/:£z¿.x*
1 = 1+ (^T akx k)2,
k=l
— 2.3
*=1
dedonde
o
- [ ^ j akx k ] [ ^ / a kx k ] = 1 ¿=o ¿=o
Jt=i
1.2
= - L (fl + a n\ 2.3 0 1
k=
¿a***-1 - ¿ [ ¿ á na*_Jx* =1 fc=0 k = 0
ahora poniendo en una misma potencia de x. °°
k= 2> a4=~ ¿ ¿ ^ f = " ¿ (fl2+ai+? )=0
oo
(k
+
1)
a k + \X
— y
k=0
4.5 n—0 n!
1.2.4.5
k= 0
1
V « 4 - n
como
41.5.6
oo
777)
2.3
1.2.4.5
^*
k
ty^k+X ~~
^n^k-n ^ *=0
£Zq .¿Zq = 1
—^
(l j — 1 4~
2
1.3.5.6
y ' = l + y 2 , y(0) = 0 Solución
(* + l)a t+1 ~ '^ j an.alc_n = 0 , V k > 1 n=0
oo
Sea y = ^ a kx k
. .. ( 1)
¿=0
la solución de la ecuación dada
Luego
a{ = l + «o 1
°°
Vk> 1
n =0
Luego y' =
kakx k~l , reemplazando en la ecuación k=\
418
—^
ahora por el método de los coeficientes indeterminados ÍZj
1.2
=
oo
[_Cl\ ~ ^ \ ^n^k-n 1 ^ y *=0 *=1
y = a0 +alx +a2x 2 +a3x i + a 4x 4+.
n a k - n 1X
k=0
(-D 29
„!
>a
k=0
] ? [ ( k + l)ak+1 - j ? a na k_n]xk =1 k=0
5 .6 ^
k
, [ ’y
aplicando la condición inicial y(Q) = 0
Calculando y (k)(0) como
y = ^ a kx k = ao +a\x + a 2x 2 + ..., es la solución entonces usando la *=o condición inicial obtenemos y(0) = 0 = a0 => a0 = 0 , de c onde al = 1
y ’= e y +xy
=> y’(0) = e y(0)+ 0 = 1
y " = e y y'+y + xy' para
=>
yM(0) = l
1 1 1 k = 1, a 2 = - ^ a „ a i - „ = - ( a 0-a i + a ,.a 0) = 0 y ' = e y y '2+ey y"+2y'+xy"
n-0
k = 2,
=>
/" ( O ) = 4
y lv = e y y'3 +2ey y' y''+ey y' y' '+ey y" '+ 3 / '+xy'"
1^ 1 1 a 3 = —'^PJ a n-a 2-n = T (ao-a 2 + a l2 + a 2'a o) = T
=>
y lv(0) = l l
reemplazando en la serie de Taylor se tiene: j 3 k = 3, a 4 = - ^ a n.a3.„ = 0
' , . k = 4,
779)
como
íj6 = 0
k = 6,
6 17 a1 = — ¿¡^an-a 6-n = 315 n=0
4jc3 3!
ll*4 4!
53 5 269 4 H---------X + ... 120 720
Hallar las soluciones generales de la ecuación de Bessel.
1 Vi 2 a 5 = ~ 2 j a n.ci4_n = — 5 “n=0 15
k = 5,
X2 2!
y = jcH-------- 1--------- h ----------1--------X
x 2y"+xy'+(4x2 ~ ) y = 0 Solución La ecuación parámetrica de Bessel es jt2/'+jty'+(A 2x 2 - p 2) y - 0 cuya solución general es:
X"'' ¿ 2 3 4 5 y = 2 j akx ~ a o + a \ X + a 2x + a 3x +aAx +a5x + ...
y(x) = c, J p (Ax) + c2 y p (Ax)
k= 0
*3 2 5 17 7 y = Jt + — + — x + -----x + . 3 15 317 778)
Luego A2 = 4 , p = ^ de donde X = 2, p = — Por lo tanto la solución es:
ÿ = e y + xy, y(0) = 0 Solución
Usaremos la serie de Taylor y(jt) =
420
----- j— x k» k=0
780) la solución pedida
y(x) = c 1y 1/3(2x) + c 2yi/3(2x)
* 2y + ^ '+ ( j t 2 - - ) 3 ' = 0 4 Solución
La ecuación diferencial de Bessel de orden p es
x 2y '-2xy'+4(x* - \ ) y = 0
783)
x 2y"+xy'+(x2 - p 2)y = 0 , cuya solución general es:
Solución ^
y(x) = c{J p (x) + c2J - A x )
Se observa que
5 5 /? = —y p - — 4 4
Luego la solución es dado por y(x) = cl J l/2(x) + c2J_ll2(x)
781)
784)
v
y(x) = axy 2 [c1J 5l4( x 2) + c 2J_ 5/4( x 2)]
x y " + ~ y '+ ~ y = Q Solución
/ , ’+, 1- /, +1 - y = 0 x 9
Se observa que p - ^ y p = - ~ Solución Luego la solución correspondiente a la ecuación diferencial es:
Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial 2 ,,
,
y = $[x [cxJ x/ 2 {4x ) 4- c2
X2
/ 2 (a/*)]
x y +xy + — y = 0 785) de donde
7 1 A= —, 9
^ p =0
j" + --/+ ^ = 0
1 => A = —, p = 0 3
Solución Se observa que p = 2 y X = 1 JC
La solución general dada es:
JC
y(0) = cxJ 0 (—) + c2y 0 (—) Luego la solución general es:
782)
y ' '+ — y'+4y = 0
786)
X
(*) +
(*)]
y " + -y '+ 4 y = 0 X
Solución
Solución
Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial. x 2y''+xy'+4x2y = 0 , de donde Luego la solución es:
y = - —-[cj
A2 = 4 , p 2 =0
Se observa que p = 1 y X = 2 entonces la solución general de la ecuación diferencial
=> A = 2 , p = 0
y(x) = cxJ 0 (2x) + c2y 0 (2x)
x
y = - [ c xJ l {2x)+c1y x(2x)] 423
422
D em ostrar la justeza de las siguientes relaciones
787)
789)
J p+l (x) =
Jp(x)-J p_i (x)
/ p (x) = J p_x( x ) - ^ J p (x)
Solución Solución Como se conoce que:
d n Se conoce que — (x p J (jc)) = x p J x(.x) dx y y
J p (X) = J p - \ ( x ) - ~ J p (x) restando se tiene:
Xpj \ (x)+pxp~[J p (x) = x pJ p_x(x)
...(1 )
j 'p (x) = ^ j p ( x ) - j p+l(x)
además ~ (x~p J p (x)) = -x~pJ p+x (x) (probar)
*~Pj \ (x)~px~p lJ p (x) = -x~pJ p+l (x)
2p
J p ( x ) - J p- l ( x ) - J p+1( x ) = 0 , de donde
... (2) 2p
J P+1(*) = ~
J p (x>~ J p - i W
dividiendo a la ecuación (1) entre x p se tiene:
j'p (x) + ^ J p (x) = J p_1(x) de donde j'p (x) = j p_l ( x ) - ~ j p (x)
790)
j 2(x) = j \ ( x ) - - j { { x ) Solución
788)
j'p (x) = - J p+l(x) + ?- J p (x) Se conoce que J p+l (x) = ^ J P (x ) ~ J P (x ) Solución Como
~ ( x - pJ p (x)) = - x - pJ p+1(x)
x~pJp (x) - px-pAJp (x) = - x - pJ p+l (x)
dividiendo entre x p se tiene:
Para
p=l,
J 2(x) = - J 1( x ) - J [ ( x )
como Jq (x) = —J i (x)
=> j \ (x) = - j \ (x)
J p ( x ) - — J p (x) = - J p+1(x) J 2 ( x ) = J \ { x ) - - J [ (x)
J lp (x) = ^ J p ( x ) - J p+l(x) 424
425
791)
J 2{ x ) - J 0{x) = lJÍ( x) Solución Del ejercicio 790 se tiene: J 2(x) =
(x )- —,/J,(x)
... (1)
como j \ (x) = - J p+x(x) + t j p (X) para p = 2
2p
como J p+1(x) = - £ - J p ( x ) - J p_1(x) para p = 1
J \ (*) = ~ J i (x) + - J 2 (x)
2
... (3)
sumando (2) y (3) se tiene:
J 2(x) = ~ J l ( x ) - J 0 (x) para J¡(x) = -J¡,(x) X
2 J \ (x) =
J 2(x) = - - J ! 0(x ) - J 0(x )
(x) - J 3(x)
...(2)
X
2J\ (x) = -7 |, (x) - J 3(x)
... (4)
a (1) multiplicamos por- 2 se tiene: sumando (1) y (4) se tiene
- 2 J 2(x ) = - 2 J ,0 (x )+ j J'0(x )
sumando (2) y (3) se tiene:
...(3 )
2J \ (x) + 2 j \ (x) - 2 J \ (x) = - 4 j \ (x) - j \ ( x ) - j 3(x)
- J 2(x) = - 2 /J (x) - J 0 (x)
J 2(x) = 2 J l0 (x) + J 0(x) de donde
J 3 (x) + 37o (x) + 4/JJ (x) = 0
J 2( x ) - J 0(x) = 2 /J (x ) 793)
792)
x 27 ■(x) = ( p 2 - p - x 2)J p (x) + x J p+l (x)
J 3(x) + 3/J, (x )+47* (x) = 0 Solución
Solución ___(~ ) p+2b , (x ) = y — L a n\(n + P) \ ( 2 }
J 2 (*) - Jo (x ) - 2/JJ (x) del ejercicio 791 4 ( x ) - y ¿ ( x ) = 27« (X)
2J[ (x) - 2J\ (x) = - 4 / * (x)
como J \ (x) = J p~\ (*) ~ ^ J p (x) para p = 2
426
...(1 )
F '
¿ —i 2
n=1
» ! ( » +
/> )!
V
j " ( x ) = y i . c -1)" (2w+ pX2n P «!(n + /))!
(i) w - 2 2 427
, y i , M . ÿ < - 1>‘ (2»+ '’X2» + ', - |) ( £ ) - > La
n\(n+ dY. n\(n + p)\
n=2
. . . (1)
2
+y £ M á l ”A n\(n + p)\ 2
^ +y
( - d " 4W(i.+ / » X 2n+p « ! ( // +
/? )!
2
n=0
Z
°° p (j> -l)(-l)" n\(n + p)\
n- 0
Ih t, 2
y > 4(—1)” Lmin\(n + p)\ n=0
X 2n+P+2 2 00
Z
»=2
j V
(-l)"4w(w + /?) X 2n+p «!(«+»)!
2
4(p + l) x p+2
2 |
n
2 (x (/7 + 1)! 2
2 y (-l)" 2 n x 2„+n ¿ - m \ ( n + p)\ 2 n= 2
ûo
(-l) (2n+p)(2n+p-ï) x)2„+„ _ y [^-l)+4w (»+^)-2«3(-l)'- x 2n+n n!(/2+/>)!
2
^ «=2
«!(«+»)! ^
2
4 « 2 + /7 (/?-l) + 2 « (/? -l) + 2n/7 = 4 « 2 + 4 n p -2 » + p ( p - l )
tt—2 |y
. 4(/7 + l) X (p + 1)! 2
(2)
0» + l)! 2
OO n , r, _ V ^ /*x2n+p+l i W - Z , 2^ !(m+ l) ,^ n=0
n=0
x/
,(x) = — ( ~ ) ^ 2 - ÿ P+1 /> + l 2
( 1 ) " ?- - ( - ) 2n+^ (« + />)! 2
...(3)
*igualando (1) con (2) y (3) 429
[s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e |
METODO:
[COEFICIENTES CONSTANTES.!
REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACION DIFERENCIAL DE n-esimo ORDEN.-
Consideremos un sistema de dos ecuaciones: Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones incógnitas x l =y/ l (/), x 2 = y^2(t), •••» x n =li/ n(t ) esdelaform a:
^ - = f l (t,xl , x 2,...,xn)
dt ~ = f:2(t,xx, x 2,...,xn) dt
dx
d ¡ =ax+by + f ( t )
...(1)
^ - = cx + dy + g(t)
...(2)
donde a,b,c,d son constantes, f(t), g(t) son funciones conocidas x(t), y(t) son funciones incógnitas. De la ecuación (1) despejamos: 1 ,dx
,
dt
fn
xl’ x 2 ’•••’ xn )
donde x { = y/{ (t ) , x 2 = V 2 (0 * •••* xn = \f/n (t) continuas en (a,b) llamadas soluciones del sistema.
■
reemplazando en (2) se obtiene:
son diferenciables y con derivadas
de donde al simplificar se tiene A Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de n funciones incógnitas se puede escribir en la forma:
dt
+ B ~ + Cx + R(t) = 0 dt
donde A,B»C, son constantes.
Resolver los siguientes de ecuaciones diferenciales: dX¿
= ^ j a n {t)+b' {t) H
dx
812) Si b{(t) = 0 , el sistema se llama homogéneo, y si b¡(t)* 0 el sistema se llama no homogénea. v Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales lineales. 430
dt
= 3 -2 y
- =2x-2t dt Solución 431
dx . — = x -2y dt
... (1)
^ = x + 3y
...(2 )
. dt
de (1) se tiene y = —( 3 - — ) reemplazando en (2) 2 di
1 dx de (1) se tiene y = —( x ----- ) reemplazando en (2) 2 dt
d i dx -(—(3 — —)) = 2x~21 dt 2 dt
d rl d r ., 3 ¿r — [—( x -----)1 = x + —(x ------- ) dt 2 dt 2 dt
d 2x d t2
+ 4x = 4t
d 2x
„
=> -----7r = 2 x - 2 t 2dt¿
1 dx 1 d 2x _ 3 3 dx T J t ~ Y ~ i h 2 ~ XJr~2x ~ Y J t
es una ecuación no homogénea
sea r +4 = 0
=>
rx = 2 i, r2 = -2 /
^—^ - - 4 — +5x = 0 dt2 dt
dedonde
r 2 -4 r+ 5 = 0
entonces:
(t) = c¡ eos 21+ c2 sen 2í , la solución particular es: /•j =2 + i , r2 = 2 - i la solución general es: x p = At + B
=> x'p = A
=>
y"= 0 de donde:
0 + 4At + 4B = 4t
=> 4t
=>
x = cle 2' eost + c 22' sen t
4A = 4
A= 1
B =0
5 =0
y = c3e 2’ cosí+ c4e 21 sen t
+ 3x+ y = 0 x p = t y la solución general es: =
=> x = c¡ eo s2 í+ c 2 sen 2t+t
814) dedonde:
dy — - x + y =0 dt
, x(0) = y (0 )= l
Solución y = 1+ c, eos 2/ + c 2 sen 21 dx =x -2 y ~dt dy = x+ 3y dt
+ 3x + y = 0 & - , +y . 0 dt
...
(1)
... (2)
Solución de la ecuación (2) despejamos x, es decir 433
dy
x =y +— dt
reemplazando en (1)
de donde r + 4r + 4 = 0
=>
dt
^dx
d t¿
dt
1 dy 2 dt
1
... (a)
t/y de la ecuación (2) — = 2y - 2/ -1 reemplazar en (a)
d x . dy A — —+ 4 — + 4v = 0
d x
dt
'
= 3 -------y + v + — 6r dt 2
r = -2 de multiplicidad 2.
x = c¡e 2t + c 2te»-2/ Lt - 2 cxe Lt + c 2e ¿t - 2 c 2te.-2/
d x .d x -—=--=3------ y - 5 t dt dt
... (3)
dx o y = 6 x - 2 — -6 t - t +3 dt
...(P )
de la ecuación (1)
x = - c xe 2t - c 2te 2t + c 2e 2t reemplazando (P) en (3) se tiene: x(0) = 1 => 1 = —q + c2 y( 0) = 1 =>
d 2x
rdx - 5 ---- n 6x = 6r2 - 4í - 3 d t2 dt
ci ~ 1 c2 = 2
l= q
rx = 2 , r2 =3
=>
r2-5 r + 6 = 0
x = c 1e 2' + c 2e 3r; y y
entonces:
= A t 2 +Bt + C de donde
Íjc = e 2t - 2te 2t y
[y = e ~2t +2te~2t
=t + /
y la solución general es:
x - c xe 1 +c2e 815)
— = 3jc- —- 3 | J dt 2
f —
2
— 2
-
816)
dt
Solución fatc , , 2 r 3 — = 3 jc -—- 3 / — + dt 2 2 2 = 2j> - 2í -1 derivando la ecuación (1) se tiene: 434
dx ~dt dy
+t +t de donde y = 2c¡e ' +t + l
-I x + y =-5y-2x Solución
...
(1)
... (2)
dx = - I x +y ~dt dy = -S y - 2x dt
...
(1)
... (2) 435
de la e* uación (1) y = — + 7i dt
dx
reemplazando en (2) se tiene: 818)
^ - [ - t- + 7 x] = -5(— + 7 x )- 2 x dt dt dt r +(12r + 37) = 0
=>
— dt
+ 12 — + 37x = 0
dt
dx — = y+ z dt dy = z +x dt dz ■x + y ~dt
dx n — = 2 x -9 y di y dy_ = x + 8y dt
d x Solución
dy
—
*
d t1
de la ecuación (2) despejar x.
derivando (1) se tiene:
(3)
dy dz = — + — reemplazando (2) y (3) dt dt d x _ i , — —= 2x + ;/ + z reemplazando (1) d t2
=>
d x dx , ,d x dx ^ — —= 2x h-----de donde — -------------- 2x = 0 ¿ r2 * d t2 dt r 2- r -2 = 0
L f . g ± . 2 ± . U y . 9y d t2 dt dt y
r 2 -1 0 r + 25 = 0 819)
r = 5 de multiplicidad 2.
7 = CjC5/ + c2te5/ dedonde
dx — =y+z dt y dy — = 3 x+ z dt dz — = 3x + y
entonces:
de donde rx = 2 , r2 = -1
x = Cje ' + c 2e 2'
— 7^-10 — + 25y = 0 entonces: d t2 di
436
(2),
... (2)
dy x = — - 8j> reemplazando en (1)
entonces:
(1)
d x — — = x + z + x +y dt1 '
- (1) ,
= x + 8y
= Z + X
dt dz — =x+ y Solución
y = e 61[(q + c 2) c o s /- (c ! - c 2)sení]
= 2x-9y
= j> + z
r = -6 ± /
x = (c, eos t + c2 sen 0 e “6í de donde
817)
dt dy_
=>
y = c i í + c 2é ?í
=>
z = - ( q + c 2)e ' + c 2e 2'
(1) (2) (3)
x = (q - 3 c xt - 3 c 2)e5t 437
reemplazando (3) en (4) se tiene:
Solución
d 2y — dt2
Derivando la ecuación (1) se tiene: d 2x
dy
dz
d t2
dt
dt
...(5 )
reemplazando (2) en (5)
d 2y
reemplazando (2), (3) en (4) se tiene: d 2x
= -4 x - 1 6 z + 4 z
dy
— — = -Ax -1 6 v - 2 — derivando esta ecuación se tiene: dt dt
= 3 x + z + 3 x + y de donde
dt2
dt d 2x
= 6x + y + z
•■•(5)
dt3
d x d x , . , , . 2 , . — --------- 6x = 0, de donde r - r - 6 = 0 entonces: dt 2 dt
820)
„
dt = 2x + 8 y - 2 z
dt2
d 3y ~ d 2y A, d y ^ — f + 2 — f + 1 6 ^ - + 32j> = 0
reemplazando (1) en (5) se tiene:
dx
dt2
reemplazando (1) en (6) se tiene:
dt1
x = c¡e 2t +c¡e3'
dt
r, = 3 ; r7
de donde y = —c¡e3' - c 2e 31 - c 3e 1
dt2
dt
r 3 + 2 r 2 + 16r + 3 = 0 de donde: r{ = -2 ; r2 = 4 /, r3 = -Ai
( r 2 + 16)(r + 2) = 0 entonces:
=> x =c¡e 2t + c2 cos4r + c3 sen 4/
... (1)
1 co s4 „ í—1 cssen4í v = —1 cxe -2t + —es 4 2 22 3
... (2)
z = - ~ cxe 2t + c2 sen 41+ c3 eos 41
... (3)
Solución
- = 2x + y - 2 z - t + 2 dt dy
... (1)
I —
-ro
Derivando la ecuación (2) se tiene: — = x + .y -z - r + l ai d y dt 438
dz = -2 dt
...(4 )
...(3)
Solución
De (2) se tiene
dx _
d y
di ~
d t2
y g = eje' +c2 cosí + c3 sen t =>
reemplazando en (1)
y p =At + B de donde
• -------------------dy y - c xe* + c2 COS/ + C3 sent + tde la ecuación x = 1- —
-~r- = - 2 - 2 — + y - 2 z - t + 2 d t2
dt
jc = - c xe f - c 2 sen/ + c3 eos/ d y dy 2z = — f - 2 — + y - t + 4 d t2 dt y
de la ecuación (4) se tiene:
...(4)
z = 1+ c2 sen t + c 3 cos r por lo tanto la solución del sistema es: de la ecuación (3) se tiene:
x = - c le r - c 2 senr + c 3 c o s i
dz 2 - = 2x + 2 y - 2 z - 2 t + 2 entonces: dt
y = clet +c2 eos t + c3 sen t + t z - \ + cx sen t + c2 cos t
2 ^*- = 2 - 2 ~ - + 2 y - ^ - ~ - + 2 — - y + t - 4 - 2 t + 2 dx dt dt2 dt dz d 2y 2 --- = -------T -+ V -/ dt d t2 '
...(5 )
derivando la ecuación (4) se tiene: dz _ d y 2— = dt d t3
d 2y 2 d 72 t2
dy dt
822)
— = - x +y + z +e dt dy t -^- = x - y + z + e dt dz A — = x+ y+ z+ 4 dt
... (1) ... (2) ... (3) Solución
—1
reemplazando (6) en (5) se tiene:
De la ecuación (1)
i d 2y dy d 2y --- ;--- l ---- r - + ----- 1= ------ - + V - Í d t3 d t2 dt dt2
reemplazando en (2)
y = - +x - z - e T dt
d 2x dx dz t dx t 3 ----- + ------------ e l - x ----------z + z + e + z + e d t2dt dt dt dt
d t2
dt
sea p ( r) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 440
=> r, = 1, r2 = i , r3
d 2x - d x dz _ . /31 A - a -------h 2 ------------- 2z = 2e + e denvando dt dt dr
-..(4 )
d3x
„ d 2x
d i3
2e,+3e
d 2z _ 2 dz_ =
+2
d t2
3,
dt
d t2
y de la ecuación (4) se tiene:
... (a) C2 e 2t —^3- e y - — e -t + — 3 6 2
reemplazando (4) en (3) se tiene: dz dx , . — = jch---- + x - z - e + z + 4 dt dt
Luego la solución del sistema es:
dz „ dx , — = 2 x + -------e + r dt dt
... (p)
d 2z
_ dx d 2x -e = 2— + dt d t 2 d t2
-
(r)
reemplazando (P) y (y) en (a) se tiene: j2 v j2 . Ì 4 + 2 L l . 2 ^ Ì 4 +e ' . i x . 2 ^ + 2 , - - 8 - V + 3 ^ dt dt d t2 dt d t3 d 3x
d 2x
«' + — 7 e3, - 2 — 6 20
- 4 — - 4 x = - e 1 + e 3' +8
x = cxe 2t + c 2e' +c3e 2' + — + — e 3' - 2 6 20 C1 - + — e y - - e 6
2
6
20
C\ - t C2 21 ^ ^ z = — - e 1 +— e l ----- + ----3 3 2 4 dx — = x co sí dt
(1)
2 ^ = ( e , + e -‘)y dt
(2)
d t 2 dt
d t3
e -2/ ~ ----- + — e 3/ - 2
Solución
resolviendo esta ecuación se tiene:
De la ecuación (1) se tiene:
p (r) = r 3 + r 2 - 4 r - 4 = 0
dx — = cos t.dt integrando lnx = sent + k entonces: x
=> ^ = - 2 , r2 = 1, r3 = 2
-------------x = k Ae**nt --------------
jc = q e -2' + c2e r + c3e 2t y la solución particular es: de la ecuación (2) se tiene: e 3e x n = — + -------- 2 la solución general es: p 6 20 j t s q e 2/ + c 2e r + c3e 2/ h------1-----e 3t - 2
1
2
3
6
20
2~ ~ = (er +e~')y dt dy — = cosh t.dt y
=>
=> — = cosh t.y dt ln y = senh t + c
de la ecuación (P) se tiene: et e 3t— z = -—c\- e -tc2—21e Lt------+
442
La solución es:
[x = k xe SQTít < \ y = k 2e aeah'
entonces:
------------ ~ y = k\ ea 1 ---------------
824)
dx , dt 6 y X dy 2, ’ — =e + x - 3 y dt
119
211
900’
900
d y ,d y _ dy => — f - 3 - ^ = - 3 - ^ - - y dt dt dt
dy — 3y) = -3 — - 9y + 8y dt dt
— dt
d 2v
■y = 0
d t¿ Solución sea p(r) = r 2 - 1 = 0
=> ^ = 1 , r2 = - l
entonces:
y = ciet +c2e
De la primera ecuación despejamos y es decir: y = e* - 5x - — ahora reemplazamos en la segunda dt
x - - 4 c xe l - l c 2e 1
t . d x d 2x 2/ >> t .c ^dx e - 5 ---------- —= e + x - 3 e +15x + 3 — dt d t1 dt
luego:
d x „dx ^ A t ot — ~—h8 — + 16x = 4e - e d t2 dt
( t t \x = - c 1e - 2 c2e | {y = cle , + c2e~‘
6 = -4 c { - 2c 2 2 ==Cj
t= 0 para x = 6 y = _2
Cj = - 1
por lo tanto:
C2
jx = 4c' + 2e / [y = - e t ~e~‘
La solución de esta ecuación diferencial es: x =
4 , 1 , — c ---------e 25
36
1 , 7 , y = — e +— e 25
36
826)
dx Ydt r y dy_ = -x dt
... (1) x(0) = y(0) = 1 ... (2) Solución
Reemplazando (1) en (2) se tiene: dx ~ o — = 3x + 8y
... (1)
825)
í *
= -3 y - x
x(0) = 6 , y(0) = -2
... (2)
p(r) = r 2 +1
Solución De (2) despejamos x es decir: 444
x=
d ,dx. — (— ) = - x dt dt
3y
d x ==> — - + x = 0 dt =>
rx = i , r2 = - i
dx v = — = -v4senx + £ c o s x => ^ dt
entonces:
x = A eos t + B sen t
y - = - A s e n t + B cosí 445
Luego:
1= A 1= 3
\x = A co st + B scnt < , t = 0, x = y = 1 [y = - A sen t + B eos t
828)
x = eos ¿ +sen í
por lo tanto:
— = 4x - 5y dt
(1) x(0) = 0 , y(0) = 1
(2)
dt
y = - sen r + cosí Solución
dx 827)
-4 (x + y)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
... (1)
~dt
x(0) = 1 , y(0) = 0
dy + 4a — dy = - 4ay — dt dt
dy d y -= 4a — dy - 5 y de donde d y - 4A— +5 = 0 d t2 dt d t2 dt
••• (2) Solución dx - 4 y = — + 4 x , derivando dt
De (1) se tiene:
sea
rx = 2 + /
p(r) = r 2 - 4 r + 5 = 0
r2 = 2 - i
Ady d 2x A dx 4 — = ------r--- 4 ---dt dt dt
y - c xe 2t eos t + c2e 2t sen /
ahora reemplazando en la ecuación (2) dx d 2x dx ----------_ 4 — dt dt dt
dx A = -\-4x dt
sea p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0
, de donde:
d, x
dx + 4 — + 4x = 0 d t2 dt
como
x = ^-==2cle lt eost - c xe 2t scnt + 2c2e 2t sen t + c2e 2t eost
jc = (2cx +c2)e2r eost +(2c2 ~ c x)e2t sent
r = - 2 de multiplicidad 2.
para t = 0, x = 0, y = 1 x = cle 21 +c2te 2r dx como - 4 y = -----\-4x entonces: dt
2 c i-fc 2 = 0 ci = 1
- 4 y = -2 c le 2t +c2e 2t - 2 c2te - 2ltt + 4 cxe - 2¿tt + 4 c2te - 2 t - 4 y = 2cxe 2t + (c 2 +2c2t)e 2t para t = 0, x = 1, y = 0 entonces: C i+0 = 1 2cx + c 2 =0 446
=>
c1 = 1 c 2 = -2
por lo tanto:
=>
íx = (1 - 2t)e 1 < [ y = te~2t
829)
dx — = x+ y +t dt 7 dy^ = x - 2 v + 2t dt
cx =1
c2 ~ “ 2
, por lo tanto:
\x = - 5 e 2t sení < \y - e 2t c o s t - 2 e 2t sení
(1) m
— j , m
— -
•(2) Solución
De (1) despejamos y es decir: 447
dx dt
Vñ-i
y - ~ - x - t , ahora reemplazando en (2)
d 2x dx +—- - 3 x = 4í + l dt2 dt 1
r + r + —= 3 + —
a/3 1 - 3 y = — - — cl£>
p(r) = r + r - 3 = 0 entonces:
=>
_ a/ 13+3-c2e
2
13 (rn— ) = —
•'
9
—97 = c.1 + c,2 —97
entonces:
[cx + c2 = 0
1(V31 + 3)0, - (-7Í3 + 3)c2
5 ^ 3 1 -3 -VÍ3+3 5 •—= --------- c ------------ c2 ---9 2 2 2 í+Jñ
í+ViT
+ c2e x p =A t +B
2
de donde q = c 2 = 0
=>
por lo tanto:
=> y* = 0
0 + A —3At —3B = 4t + 1 =>
dx
-3At + A —3B = 4t + 1 entonces:
4 7 x = ---- 1---3 9 7 5 y = — t ---3 9
... (1)
= x+5y
dy — = -3 v - x
—3A = 4
t 5 H-------3 9
1 5 para t = 0, x = — , y - — 9
=>
V3I+1
(2)
3
x(0) = -2 , y(0) = 1
A -3B = 1 Solución
p
4 7 = -----1— 3 9
De (2) despejamos •JÍ3-1
x = x +x
dx
y = ------x - í dt ■731-1
=c,e
713-1
dy ,dy d 2y -3—------- 7 T - - 3 y ------ + 5 y dt d t2 *
2
+ c2e
3
9
entonces:
— -— c,e ¿ 2
-
dy x - -3 y — — ahora reemplazamos en (1) dt
sea p(r) = r 2 + 2 r + 2
715+1
----------c2e 2
2
z
4
------c,e 3
1
2
# i
- c 2e 2
2
-# !.
4,
7
3
9
+—+—-
y = c¡e 'e o s t + c 2e 's e n t
entonces:
>i = -1 + /' r, = - l - ¡
d y .d y — f + 2 — + 2y = 0 d t2 dt
/?(r) = r - 8 r + 15 = 0
x ^ - 2 y - ^ - = -3cle ' c o s í - 3 c 2e 's e n t + cxe r eo s t + cxe 'se n í +
j = —(13 — -53jc) entonces: 2 dt
+ c2e ' s e n f - c 2e ' eos/
y = - l c xe*x +6c2e 5t
jc = (-2 cx - c 2)e ' eost + (cx - 2 c2)e ' senf
para t = 0, x = -2, y = 1 entonces:
- 2cx - c 2 + 0 = -2 q +0=1
831)
=>
cx = \
por lo tanto:
c2= 0
— + 2 - ^ = 17je+8y dt di 13 — = 53x+2 y dt
\x = -2e 1 co sí+ e r sení < Iy = e eos í
q=l
- 7 c j + 6c2 = -1
c2 =1
...
Y t =y dx dy --------—= JC+v dt dt
y = —(13 — - 53x) 2
Ahora reemplazamos en (1) se tiene:
dt 2 450
n dx
- 8 — + 15x = 0
dt
y = - 7 e 3' + 6 e 5'
x(n) = -l , y(n) = 0 ...(2)
Reemplazando (1) en (2) dx d x dx a ,, — -----—= x + — , de donde dt d t2 dt d 2X „ — —+ x = 0 rfr
como
d x
* = e 3'+ * 5'
Solución
dx A^ d x „~dx dx ---- h 13— —- 53 — = 17jc+ 4(13 — - 53x) di dt2 dt dt
1 3 - ^ - 1 0 4 — +195* = 0 dt dt1
por lo tanto:
a)
x(0) = 2, y(0) = -1 ... (2)
y = — (39cxe 3x +65c 2e 5t - 5 3 q e 3/ - 5 3 c 2e 5/) 2
cx + c2 = 2
dx 832)
* ^ e 3' + c 2e 5'
para t = 0, x = 2, y = -1 entonces:
- O)
Solución De (2) despejamos y es decir:
rx =3\ r2 = 5 entonces:
=>
sea
2 p(r) = r +1
=>
Aj =1 r2 = - /
dx v = — = -Ci sen r + c-, eos r entonces: ' ¿í 1 2
y = -Cj sen+ c2 eos t
para t = n , x = -1 , y = 0 entonces: - c x + 0 = -1 | 0 + c2 = 0
=>
C1=1 * _ c2 = 0
por lo tanto:
x = eos t y = - sen t 451
dx dy — +— =e -y dt dt y „ dx dy 2 — -i——= s e n í- 2 v dt dt *
833)
(1) , x(0) = -2 , y(0) = 1
834)
2 — = - 6 x - y - 6 t2 - t +3 dt
(1)
Solución
Restando (2) —(1) se tiene:
De la ecuación (2) se tiene:
dx y = sen t - e ----dt
-y
dtL . dt
-t d x + c o s / + e ----- — = e ~dt d t1 d 2x
= cosí + sen t - e '
- sen t+ e
-t
2y = - 2 1-1 ecuación lineal en y
-\-2dt f Í-2í// y =e J [\e3 (-2t-X)dt +
reemplazando en la ecuación (1) se tiene: dx
y(0) = 3
(2)
(2) Solución
dx = sen t - e dt
x(0) = 2
dx +dt
y = e 2,[ - j e ~ 2' (2t + \)dt+c{\
=>
y = e 2'[-t e -2' + c j
>>= l + í+Cie 2»
integrando
d t2 dx _t — = sen t - eos t + e + Cj
como
integrando
2 — = 6 x - l - í - c 1e 2' - 6 f 2 - r + 3 dr 1
x - - c o s í - s e n / - e f +cxt + c 2 como
y = -c o sí-se n t-e
2— = 6 x -y -6 2-í + 3 dt
+ cxt + c 2
2 — = 6 x - 6 t z - c , e 2' + 2 - 2 t dt 1
y = SQ nt-e ' - s e n t + c o s t - e ' + q / — -3 x = -3 í2 dt
y = -2 e ' + eos t + Ci para t = 0, x = -2 , y = l
452
por lo tanto:
e 2' + 1 -1
linealenx
resolviendo la ecuación y aplicando datos se tiene:
entonces:
-1 + 0 -1 + c2 = - 2 Cj = 2 „ t => - 2 + l + Ci = 1 c2 =0
2
¡x = - c o s / - s e n í - e ’ +2t < = -2e~' +COS+2
jx = e 2' + e 3' + í 2 + r [y = 2ez2tt+t + l 453
|MI TODO OPIÎRACIONAL Y SU APLICACIÓN PARA ..
1.
iLA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
Si L{F(t)} = fi(s), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función F(t) se determina así:
Se llama función-objeto a una función compleja de Variable Real F(t) que cumple las siguientes condiciones: 1)
1 ffl+ioo
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES EL OBJETO Y SU IMAGENJ
F(t) = — i
27TI Ja-ico
-ico
... (3)
ña+ib
+wo
r
es f( s ) d s
e s f( s ) d s = lim
e p f(s )d s
¿>—>+oo Ja-ib
(la formula (2) se denomina formula de inversión para la transformación de Laplace).
F(t) = 0 para t < 0 m
2)
3)
F(t) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el* eje t, a excepción de algunos puntos en los que F(t) y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo finito el número tales puntos en cada intervalo finito del eje t.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE. 1)
Propiedad de Linealidad.-
Al aumentar t, el crecimiento del modulo de la función F(t) no es superior al de alguna función exponencial, es decir existen unos números M > 0 y s0 > 0 , tales que
* \F (t)\< M eSot Vt
Js0
F(t)e~stdt
... (4)
Donde L{F(t)} = f(s) y L{G(t)} = g(s)
...(1 )
El numero s0 se llama exponente de crecimiento de la función F(t), se llama imagen de la función-objeto (según Laplace), la función f(s) determinada por la formula: f(s)=
L{aF(t) + pG(t)} = af(s) + pf(s)
2)
Teorema de Semejanza.Para cualquier constante a >0
‘
...(2 ) L {F (t)}= -n -) a a
...(5 )
siendo s > s0 donde s0 es el exponente de crecimiento de F(t).
3)
Derivación de la Función Objeto.-
La ecuación (1) garantiza la existencia de la integral (2). La transformación (2), que hace corresponder a cada función objeto F(t) una función imagen f(s), se llama transformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo:
Si F'(t) es una función-objeto, se tiene: L{F'(t)} = s f ( s ) - f ( 0 )
...(6 )
L{F(t)} = f(s) Subsiste el siguiente teorema:
Generalización.-
Si F(t) tiene derivadas continuas hasta el orden n en <0,+oo> siendo F (n) (t) función objeto, se tiene:
Z,{F(n)(O} = s n/ ( 5 ) - 5 '’"1^ ( 0 ) - 5 '” 1^ ” ( 0 ) - . . . - F ("“1)(0)
... (7)
454 455
Teorema del Producto.-
La Derivada de la Imagen.Es equivalente a la multiplicación de la función objeto por el argumento tomado con el signo menos, es decir:
E1 producto de dos imágenes f(s) y g(s) es también una función imagen, siendo L~X{f(s)g(s)} = I 'F(u)G (t-u)du
f ' ( s ) = -íF(t)
... (14)
...(8 ) La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de Convolución de las funciones F(t) y G(t) y se denota por:
Generalizando.f M (s) = ( - l ) nL{tnF(t)}
...(9 ) .
F * G = í F (u)G (t-u)du Jo
La Integración de la Función Objeto.El teorema IX afirma que la multiplicación de las imágenes es equivalente a la convolución de las funciones objetos.
Se reduce a la división de la imagen por s. JV (0 < * = ^ Jo 5-
...(1 0 )
f(s)g(s) = F*G
...(15)
La Integración de la Imagen.-
Teorema de la Imagen Racional.-
Es equivalente a la división de la función-objeto por t.
Para que la imagen f(s) sea una función racional es necesario y suficiente como la función-objeto F(í) sea una combinación lineal de funciones de la forma:
r f (S)d s =
Js
t
. . . (i i )
t ne ÁJ (n es un numero no negativo, X es un complejo).
Teorema de la Tardanza.-
Calculo de la función-objeto-
Para cualquier numero positivo a, se tiene:
Cuando la imagen es una fracción racional, supongamos que f(s) es una fracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simple es:
L { F ( t - a ) } = e -“sf ( s )
...(1 2 ) /M - 1 1 7 7 7 7 k r-\ (P ~ Pk)
Teorema del Desplazamiento.como M kr y p k son números complejos, entonces: (Multiplicación de al función objeto por una función exponencial), para cualquier numero complejo X, se tiene:
-< “ >
917)
Sera una función-objeto cuya imagen es la función f(s).
F(t) = ( t - 2 ) \ ( t - 2 )
En particular, si todos los polos de f(s) son simples, se tiene:
Solución f ( s ) = L{F(t)} = L { ( t - 2)3u(t - 2)} = e~2sL{t3} =
A(s) si f ( s ) = — ^ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A(s)
918)
Z{e- « } = _ L s+ a
... (i9)
919)
/ ( * ) = I { í V +2te'} = (-1 )2 ± T L{e'} + 2 ( - l ) ^ - L { e ' } = ds ds
F{t) = t l - 2 t + 2
ii,_ L ). 2Í-(-L)__ ?-+ -?____— d s2 í - 1
Solución L{F(t)} = L{t2 - 2 t + 2 } = \ - ~ + - = f ( s ) ss s S F(í) = t 3 + 4 /2 +4í
por lo tanto:
920) Solución
/( 5)= i {f (0}=¿{í3+4/2+ 4/}=s 4+4-s4 +4s = s4 +4s +4s 458
F(t) = (t + 2)te'
F(t) = t 2e‘ +2te‘
En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función objeto dada:
916)
=> ! { * “ }= — L _ (^ + a )
Solución
F(t) = Y * ° J ± e ‘k ' r *'(**)
915)
s
Solución
1
donde sk son los polos de F(s), nk son sus ordenes de multiplicidad y la suma se extiende a todos los polos de f(s) son simples, la formula (19) se simplifica y toma la forma:
^
F(t) = t - e ~ cu
menor que el del polinomio B(s) la función objeto correspondiente a f(s) es: d Hk~l t í lim ~ - ^ u m - s k ) nke st L? ( n k_x)\p->pk ds
s
ds s - 1
(j-1 )3
(í-1 )2
(j-l)3
2s f ( s ) = L{t 2e' + 2te‘} = ------ — (s-iy
F (/) = cosh2 at
Solución a ,+e~at e 2al +e~2(tt +2 F(t) = cosh2 at = ( - —-£■— ) 2 = 459
/ ( J) = i l { e 2" + e - 2‘tf+ 2} = I ( - L - + — ! _ + ! ) 4 4 5 - 2a (.y + 2a) ^
924)
F ( 0 = é>A('~a) s e n ( /- a ) t/( f - a ) Solución
s -la s f ( s ) = ---- r-------— s(s - 4 a ) 921)
L{F(t)} = e ^ L i e “ senr} = -----------— ( s - a ) +1
F(t) = (/ -1 ) 2u(t - l)e1-' 925)
Solución
F{t) = e 2t sen(í + —) 4 Solución
L{F(0} = c - í ¿{í2e - , } = ( - l ) 2e -í
= ds 7T. V2 , . sen(í+ —) = — (sen t + eos í)
m9- < L (- L . ) m - e - ± (— L _ ) &2 í +1 ^ (J+ 1)2 922)
2e~J (* + l)3
^ 1 t <■ ^ *s’+ l Z{sen(r + —)} = - = Z{sen t + eos r} = 4 ^2 •n/2 ( í 2 +1)
Z,{e" sen fit}
54-1 L íe2' sen(/ + —)} = 4 -\/2(í 2 —4 j + 5)
Solución
s2+ p2 923)
(s-a )2 +p 2
926)
Solución
F (í) = e 3' eos 3í eos 4/
cos(r + fi) = eos p eos í - sen /? sen r entonces:
Solución
, „ s s enB eos f í s - s e n f i L{cos(t + P)} = eos P - y — — — = ------- j —------.T + l J +1 5 +1
eos 31eos 4í = ™(eos It + eos i)
1
1
s
s
H e “ COSÍH-f f ) ¡ - ( l ~ ‘>)c° s ^ ~ se° ^ ( s - a ) +1
Z,{cos3í cos4í} = —Ajeos 7f+ cos) = —(—--------t- —— ) 2 2 í ‘ +49 j +1 L{3' eos 3í eos 41} = —[— S—^------+ — - —-— 1 2 (í - 3 ) + 9 (j —1) +1 460
F{t) = ea cos(t + P ), P > 0
927)
.. sen í F(r) = ----------------------------
461
Solución L {tcoshí} = L{t tí 1 rfScní. f°° du /°° n 1 —---- = arctg / = ----- arctg s = arctg(—) ¿{sen t} = —---- => I {------ } = j +1 í w +1 '* 2 s
928)
1 d 1 | 1 2
F ( 0 = e"Aí — t
=>
sen r , 1 v L{e m ------} = arctg(------ ) í s+ A
932)
1
s2- l- 2 s 2
s 2 +l
(s2 - l ) 2
(s 2 - l ) 2
Solución . sení 1 L{------ } = arctg(-) t s
— —) = —\ ~ r L { e ' + e '} 2 2 ds
F(t) = í sen / Solución
929)
F(t) = sen 51sen 21 , d , 1 . 2í I{í sen t} = ——Z,{sení} = ——(—5— ) = — ------j ds ds s 2 + 1 ( í 2 +1)2
Solución sen 5í sen 2t =
(eos 3f - eos 7r) entonces:
933)
F(t) = eos 2í eos 4r Solución
1
1 »y v Z,{sen 51sen 2t) = —¿{eos 31 - eos It } = —(—------------------ ) 2 2 s + 9 s 2 +49
eos 2 /eos 4? = -^(6 eos 6t + cos2í)
20í s s X{cos2í eos4í} = —L{6eos6; + eos 2t\ = —(—----------------1- ,-) v 2 2 j +36 s + 4
i 4 + 58j 2 +141 930)
F(t) = sen 2 2í j 3 +20i Solución £{sen2 2í} = —Z,{l-cos4f} = —(—— ^ — ) = 8 2 2 s s 2 + 16 s ( s 2 +16)
j 4 + 40s + 144
934)
F(0 = cos2 4í Solución
931)
F(t) = t cosh t
Solución 462
¿{eos2 4f} =
2
¿{1 + eos 8í} = ^ ( - + - y ^ — ) = — y*" ^ 2 s s + 64 í ( í + 64) 463
En los siguientes ejercicios están dados las imágenes y hay que hallar las funcionesobjeto correspondientes. correspondientes 935)
Como ¿{ í XO} = £ { '* } = - £ t O5
f ( s ) = - T^ ± 3 s +45 +5s
F(t) = t k = 1 1
por lo tanto:
I 1{ -£ f } = t k
Solución F(t) = U x{ /(í)} = L~l { 3 2S+. 3-----} 5 + 4j + 5¿
938)
F (í )
(5-l)(5-3)
Solución _ 1 £ -i f3 5
5
3s__________2 ( j + 2 ) 2 +1
m =
(í + 2 )2 +1
F(t) = —(3 - 3e_2í eos t - l e 1' sen í)
2 (í -1)( í - 3 )
F(í) = 2T>{ --* -+ J _ } = -e' + e3' 5 -1
936)
s 2 +a2 f ( s ) = —------ —— (a es una constante) (s - a )
L + .1 5 -1 s - 3
939)
s-3
/ ( , ) = _ 3 í+ 1 9 O 2j*A +85+19
Solución
Solución 19 f / \ _ _ s 2 +o 2
_
( s 2 - a 2) 2
1
19
5 + ------
la 2 m
s 2 - a 2 + ( s 2 - a 2) 2
- f (--------^ 2
1
5 H ---------
-
5
_ 13 + 2+
- 1 ( ---------- ^ T 7 ) - T ( -------- ~ 7 T > ( 5 + 2)2 + — ( 5 + 2)2 + — 2 2 2
5 2 + 4 5 + ——■
aplicando convolución se tiene:
F(0 - i" 1
F(t) = 2T1{ f(s )} = r 1{ ~ + a ' . }
ttI +Y
1-1*-----L “ ÍT'
(s ~a )
3
93?)
f(s) = - £ r
940)
464
ÍTT
13 _2r sen ^ j j t
[íl
/(5 ) = (5 2 + 5
Solución
_a,
F{t) = - e 2>cos^— t + — e
= L ' {—;----T + —T ~ 7 ■>} = 1cosh at s 12 -- an 22 (( vs 22 -^ a„ 21)\ 2
+1) 2
Solución 465
¿
g
| c | ü _ -2V2 | V 2 -1 1 - J 2 + 1
i - s Í 2 + s + J l + 5 - l + 5+ l
L 1{—-— ---- - } = f H(u)G(t-u)du ( í + 5+ 1)
donde
I
Jo
5+V2
i 1{ - r } = H(t) = e~t2t sen ^ í j ^ + í +I 2 943)
. t ,
por lo tanto:
5+1
1_ /(5 )= -^ 5+5 +1 Solución
¿ _1 {—5— ---- - } = f e ~ “/ 2 sen— u£ 1 sen— (t-u )d t Jo
5 -1
5+ 1
F (í) = - 2 ^ 2 e ~ ^ ' + ( V 2 - l)e' + ( ^ 2 + l)e-'
I ’1{ 2 1 } - G(t) = e -'/ 2 s e n ^ f j + 5+ 1 2
V + í+ 1 )2
. - 2V2*{---------V2-1-+ ---------} V2+1.
í + V 2 + 5 -1
2
m
2
4-^3 _j/2 ^3 2 _//2 ^3 sen — r — te " z cos — r 9 2 3 2
=-^—e
944)
= L~l { ■■1— -} = I - ‘ {-----1 = - | e - ,/ 2 sen s +s + 1 (í+ I ) 2+ ( l l ) 2 v 2 2
/(5 )= -1 5 —1 Solución
941)
/(,)
1 ( 5 - l ) Z(5 + 2)
1
^
Solución v
A
B
C
5 + 2 + s- 1 + ( j- 1 ) 2
1 .1 9 5+ 2
1
3
n s ) = 2f - ~ 2f 5 -35
S
”
(5 . - . 1)(5 +
/ ( i ) = ^ [ - ^ — — 2~ ] 2 r - i 5 +1
5 - l + ( , - i> ? *
2 s -1
5 —35 + 2
466
2 j2 -2 -Jls = -------------------
(5 —2)(5 —1)
2+
1)
”
5 - 1
B +
5+
Cs + D 1
+
J 2 + 1
entonces:
=>
F (/) = ^ ( c o s h f - s e n í)
s +1
2
m = se2s s 2 +4 Solución
Solución . . . 252 -2-725 / ( J ) = „4 ,„2
1)(5
F (í) = I _1{ - ( - / -------r — )}
945)
+2
_ A
1
í 4 - 1
v
F (r) = i x - 1{ - Í - — L + _ _ 3 _ _L(g~2/ _ e , +3(e/y 9 5 + 2 5-1 ( j - l ) 2 9 ’
942)
”
I “1^— } = eos 2/ 5 +4
=>
L 1{— — } = sen(2r - 4)w(í - 2) 5 +4
467
e-'2 f(s) =
946)
s 2 +9
949)
/(í) = ^ — i 2 í 4 + 2s¿ -3
Solución
1{ ~ T — } = |s e n 3 r s +9 3
l
947)
Solución
=> L l { - ----- } = - s e n 3 ( í - - ) u ( r - - ) V +9 3 2 V 2
/ ( s ) = —— ~ ~------ = —7-----~ 2---j +2s -3 (s + 3)(í -1)
j 3 + 9 s 2 + 27j + 25
f(s) =
/ ( Í ) = T4 ( - 2 Í-1,
(í + 1)3(s + 2)2
s ¿2 +3
Solución 5 -1 6 1 /(•*) = --------r + (5 + I) 3 (s + 2)2
m
- 1 ~' (i + 1)
5 +3
1 Jí F (í) = —(senh t ------- sen ^ 3 1) 4 3 3
- - S
' 6e" r ' <->+ •~2' (j +(12)>55 950)
/(* )--y -
F(t) = 3e~'t2 +te~2’ Solución 948)
2 s +5
/( * ) =
s2
3
- 6 s + 12
Solución „ V j (S) -
r
l
{-
2j + 5 2 (^ -3 ) + l l ------------ _ --------- ------ entonces: s 2 -6 5 + 12 ( j - 3 ) +3
—
23 )
(5 —3) + 3
>+1i r 1{— - — } (s —3) + 3
F (t) = 2e3' eos V3í + -^L sen ~¿3t s 468
{-y> = í
=*
F (í) = ( í - | ) « ( í - | )
5-
=
2
Z
[ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTE!
1
s x (s)-x (0 ) + 3x(s) = —l— => (i + 3 ) x ( í ) = ^ - => x(s) =
co nstantes]
Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes.
entonces:
x(t) = L~l < + ^
x"(t) + a xx'{t) + a 2x(t) = f ( t ) y las condiciones iniciales x(0) = x0 , x' (0) = x ,, se toma la Transformada de Laplace en la ecuación (1) es decir:
+ 3) > = 1 ' f e
Js + 2)(s + 3)
~f e
x ( í) = e 2' ~e~3' 952)
x ’- 3 x = 3r3 + 3í2 + 2í + 1 , x(0) = -l Solución
L{x (í) + a¡x (t) + a 2x{t)} = L { f( t )} , por propiedades se tiene:
L{x’-3x} = L{3í3 + 3í2 + 2t +1} í 2x(s) - íx' (0) - x(0) + a is x ( s ) - a l x(0) + a2x(s) = F(s) æx(
( s 2 + a , + a2)x(s) = / r(í) + x0í + x1 + a tx,
x (í
+
) =
18 6 2 1 s) - x(0 )-3 x (s) = - + — + — + s s s s
18 6 2 1 . ( í-3 ) x (s ) = -T + T + - y + - - 1
+ x x + axjCj
S
s + a xs + a 2 18
ahora tomamos la transformada inversa.
S
S
s
6
2
1
j 4( s - 3 ) ' j 3( j - 3 ) ' í 2( s - 3 ) ' * (* -3 ) x(f) = L"1
+ + + fli*i J s~ + a xs + a 2
s-3
1 , - s 4 + s 3 + 2 j 2 + 6s + 18 *(° - i
que es la solución general de la ecuación diferencial.
<----------T v ó ) ----------1
Resolver las siguientes ecuaciones:
} í (5 -3 )
951)
s
S
s
x'+3x = e ~2‘ , x(0) = 0 x(t) = - ( í 3 + 2 /2 + 2í +1)
Solución Aplicando la Transformada de Laplace se tiene: L{x'+3x} = H e ' 21} 470
S
953)
x ’- x = eos t - se n r, x(0) = 0
Solución 471
Z{x'~x} = Z{cos t - sen í} entonces: x(.í) = ----- — y — — entonces ,.’(í + 3) 5(5 + 3)
x(t) = L 1{----- — - — 5(5 + 3) í ( j + 3)
1 e~3' x(t) = e 3,L{— - } --------entonces:
_ e~3í 2 x(í) =
5*(5) - x(0) - X(j) = —- ------- -i— 52 +l 52 +l g_ | ( í - I ) x ( j ) —---s 2 +l
| 1 x(í) = —----- entonces: x ( t) = L ~l {—----- } s 2+ 1 V + l
=>
253
956) por lo tanto:
e~3'
2
x’'+4x’+3x = 1, x(0) = 3, x' (0) = -2
x(f) = sen t Solución
954)
x'+x = 2 sen t , x(0) = 0 L{x"+4x'+3x\ = L{1} Solución s 2Jt(f) - sx' (0) - x(0) + 4sx(s) - 4x(0) + 3x(s) = — s
L{x'~x} = L{2 sen/}
íx (j)
- x(0) + x( í ) = —
r _i_1 s*+1
=>
1 5 5 + 1 Í 2 +1
x(5) = (5 + l)(52 + l)
? 1 ($ + 4s + 3)x(s) = — 2x - 7 entonces:
(í -1 ) x(í ) = —^
j„22+l
,
1 í 2 +l
\- 2 s2 -7 s
— --------------------------------------—
( í 2 +45 + 3)5
x ( f ) = r 1{ - L - ^ _ + - ± 4 í + l s +1 s + 1
1
132
------------------------------------ ---------------------------
5(5 + l)(5 + 3)
3i
5 + 1 3(5 + 3)
x ( o = r 1{43s - s~++1 : 3(^2+ 3)
x(t) =e 1 -c o s /+ s e n /
955)
- 2 s 2 - 1 s +\
— --------------------------------------------=
x(t) = - - 3 e -' + - e -3' 3 3
2x'+6x = te~3t, x(0) = ~ ~ 957)
x”-2 x ’+2x = l , x(0) = i , x' (0) = 0
Solución Solución L{2x'+6x} = L{te~3t} L{x"-2x'+2x\ = L{\\ -
2sx(s) - 2x(0) + 6x(j) = — entonces: (í + 3 )2
472
(2s + 6)x(í) = ------------- ——-1 ( ,+ 3)2
-
s x(x) -
53t(0)
-
x (0 )
- 2sx(s) + 2x(0) + 2x(s) = s
1
473
2 - 2^ -f 2)x(.y) = —- —- 1
s x(t) = L 1{— —} = 2s 958)
entonces:
2
2
por lo tanto:
x(s) — ------ —— = - — 2 s ( s - 2 s + 2) 2s
960)
x''-2x'+\ = 0 , x(0) = x'(0) = i Solución
x(í) = - — 2
L{x' -2jc,+1} = 0
entonces:
x' '-5x'+6x = 12, x(0) = 2, x'(0) = 0 s 2*(.?) - 5jc(0) - x 1(0) - 2sx(s) + 2jc(0) + —= 0 s
Solución
.2 ^ ^ ^ 1 $ 1 i (s - 2í)jc(5) = — H---- h---- 1 entonces: s 2 2
L{x"-5x'+6x\ = ¿{12} s 2x{x) - 5x(0) - x ' (0) - 55x0) + 5x(0) + 6jt(,y) = — s 2
W
12
(s - 5j + 6)x(.y) = — + 2 ^ -1 0 entonces:
, , 2*2 -l í t e + 12 2 x (s ) ------- z------------ -- — => s(s - 5 s + 6) s
r-i,2 . * x(í) = L {—} = 2 entonces: s
( s - 2 ) ( x + l)
s +l
2s(s2 - 2 s )
2s 2
, X T -l, 1 1 > x(t) = L {— + —y } = -1 + -1 2s 2 s 1 2 2
x(t) = 2
961)
1 1 2
s
2s 2
, . . por lo tanto:
/X í+' x(t) =— 2
x”+3x'+2x= 2í2 +1 , x(0) = 4 , x’(0) = -3 Solución
959)
x "+ 3 x '-l = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = 3 Solución L{x' ,+3jc'-1} = 0 entonces:
L{jc,,+3jc’+2jc} = L{2r2 +l} s 2x(.y) - ^(O ) - x' (0) + 35x(5) - 3x(0) + 2x(s) = A r + — 2 \4 1 (j + 3s + 2)x(s) = — + —+ 4.S + 9 entonces:
£ 2x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3^jc(^) - 3x(0) = -
r 2 +3s)x(s) t \ \ = -1+ -1 => x(s) / x = — S-------+ 3 = —1 (s S 3 3j (j + 3) 3s x(t) = L~l {-^-} = t s 474
por lo tanto:
x(t) = — 3
( . ♦ 2 X .♦ 1W») - 4J< * « 4 ± í l í l , <«+2X. + lX 4 .’ - 3 . + 2) s s . . 4 3 2 *(í) = 7s ~ s^ + 7T s x(t) = L~l {—— \ + ~ t ) = 4 - 3 t + t 2 por lo tanto: s s 2 s3
x (i) = 4 - 3 t + t 2 475
*' '-2x'-3x = 3 + It + 3t2, x(0) = x'(0) = l
( í 2 - 7s)x(j) = ——y — + 2s - 6 £
entonces:
Solución s ( * ) - 2*3 - f 2 - 5 j ~—
L{x' '-2x'-3x} = L{3 + It + 3t2} entonces: ^
n
/
2
~
ox
/ x
1
^
^ ) = 7 + Jr +7 +7T? s
S
S
S
I
/
^2*(.?) - .sx(O) - *' (0) - 2^(5) + 2jc(0) - 3*0?) = - + — + — s s2 s3
0
=>
5 (j-7)
x(Ú = I “1{ - + — + — + —— } porlo tanto: w s j 2 s3 í -7
x(0 = 1+ r + í 2 + e 7'
3^2 + 7 ^ + 6
-2 ^ -3 )x (^ ) + .y+ l - 2 = -------- ------ entonces: s
964)
x"+2jt'= 6í2, x(0) = 0, x'(0) = |
(2 o \ 3^2 +7.V + 6 (s - 2 x - 3 ) jc ( » = ------- ----------s +1 s
Solución L{x' '+2x'} = L{6í2} entonces:
t i \ i . t\ / \ —í 4 + $3 + 3 í2 + 7j + 6 (j - 3 )(j+ 1)x(í) = ---------------3------------j
12
,?2x(.s) - 5*(0) - í 4 + j 3 +3s2 + 7 í + 6
(0) + 2
- 2x(0) - - y
s 2 + s +2
í 3( í - 3 ) ( í + 1)
í
x(t) = L~X{~—— \ -------------------------------- \-} entonces: s s s
l2 3 ( s 2 + 2s)x(s) = — + 2
entonces:
x(t) = - ( t 2 + t + 1) _ x (s) =
•
x " - l x '= -(1 4 f + 5 ) , x(0) = 2, *' (0) = 8
Solución
3í 2 + 24 i
. 3 , 1 . 1 ^
z----------- = —
2j (j + 2j)
2 s2
x{t) = - L A { \ - \ + ^ } 2 s s s
3
s
s
4 ’
entonces:
x (t) = ^ t ~ t 2 + í 3
L { x " - lx '} = -Z,{14f + 5) entonces: 965)
x"+6x'= í , x ( 0) = 0,
í 2x(s) - sx(0) - x' (0) - 7sx(s) + 7x(0) = - ^ - í 2 J (j 2 - 7s)x(s) - 2s - 8 +14 = --- ■■ 14
s
*'(<>) = - j ¿
Solución L{x"+6jc’} = í ,{í } 477
967)
s 2x( s) - sx( 0) - x ’(0) + 6jx(í) - 6x(0) = —-
s
7x”+ 1 4 x '= ( í- - ) e 2‘ , x(0) = 2, x’(0) = - 7 ~ 4 56 Solución
s2
36
36í I{7x"+14x'} = L { ( t - - ) e ~ 2'} 4
T (J)_
~36 _ 36s 2(s 2 + 6 s )
, ,
I s 2x(s) - 7sx(0) - 7x' (0) + 14jx(í) - 14x(0) = -— ------ — ( s + 2 )2 4 (j + 2)
j -6 1 1 = ------- r = ------- ¡r + — r entonces: 36 j 3 36s 6 s3
x ( t) = L
966)
(s + 6 )(s-6 )
36í 3( j + 6)
~
i l 1 {------- - + — -} 36s 6s
por lo tanto:
(7 j 2 + 14j ) x(í ) - 14s+ i - 28 = 4 8 4(í + 2) t 36
t2 —t x(t) = -+ — = -12 36
2 , 112s3 + 671j 2 + 1338s+896 (7í 2 + 14j)x(í) ------------------------z------------8(j +2) , ' 112j 3 +671 í 2 +1338 í + 896 JC(iy) = ----------------------- _ -------- entonces: 56.í (í + 2)
x " + x = 2 e ', x(0) = 1, x' (0) = 2 Solución
! 112i3 + 6 7 1 j2 + 1338í + 896 x(í) = L 1{---------------------- ------------ } por lo tanto: x(í) = 2 56í (j + 2)3
L{x*'+*} = -Z,{2ef} entonces: 968) 5-2x(^) - jx(0) - x’(0) + x(s) = 2 s-l 2
2
(s + l)x(s) - s - 2 = ----s-l , v x(s) =
entonces:
s 2 +s
1
1
( s - l ) ( s 2 +l)
s-l
s 2 +1
x(t) = L 1{—— + — ^— } = e l + sen r por lo tanto: x(f) = e ' + sen / *y-l s z + 1 478
+ 56
2,
x’'-4x'+4x = ( / - l)e2í, x(0) = 0, x'(0) = 1 Solución L{x’’-4x'+4x} = L{(l - \)e2' } entonces:
s x ( s ) - sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0)+ 4x(í) :
1 (s-2 )
s-2
(s 2 - 4 j + 4)x(s) = ---- -— y ----- “ + 1 (s-2 ) s-2 479
/ x s 2 -5 s+ 7 *(.?) = ---------- -— entonces: (í - 2 ) 4
(2s + 3)(s + 3s + 3) x(s) = -------- -------------
(s + 1) (s + 2)
x(í) = I _1{----- ^ i Z } = (L— t + í)e 2' por lo tanto: x(t) = (-— — + t)e21 (s - 2 ) 6 2 6 2
969)
entonces
(s + 1) (s + 2)
„ 1 1 1 1 , x(t) = L {----- + -------- t- + ----------------- r-} í + 1 (s + 1)2 s + 2 (s+ 2 )
x(í)= e~ t + te~t + e~2t -te ~ 2t
4x' '-Ax'+x = e " 2, x(0) = -2, x' (0) = 0 Solución
^ i (2s + 3)(s + 3s + 3) x(í) = L l {-------- —---------
971)
L{4x"-4x'+x} = L{etl2} entonces:
porlotanto:
x(t) = (\ + t)e~t + ( l - t ) e ~ 2t
x''-x'-6x = 6e3' + 2e~2' , x(0) = 0, x' (0) = | Solución
4s 2x(s) - 4sx(0) - 4x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + x(s) = —— s— 2
L{x' '-x'-6x} = L{6e3/ + 2e 2t) entonces:
s 2jt(j) - jx(0) - jc’(0) - £*($) + x(0) - 6*(.y) = —— +
s-3
(4.? 2 - 4s + l)x(s) + 8s - 8 = —— 2 j- l
entonces x(.v) = ----- ---- + — — (2 s -l) (2 s -l)3
/ 2 - s - 6 )¿\x (/s )\ = ----6 + -----------2 4 (s j - 3 s+2 5
2 1 s 2 x(f) = L l {--------- - + 8 -------^—} por lo tanto: x(í) = (— + f - 2 ) e ,/2 (2 s -l) (2 s -l) 8
970)
^
s+2
, „ -2 (2 s2 -2 2 s -2 7 ) r_ , - 2 ( 2 s 2 - 2 2 s - 2 7 ) . x(s) = — ¿------ 5------- ^ entonces x(í) = l ‘ {— ---------------------- 5-j 1 } 5 (s -3 ) (s + 2) 5 (s -3 ) (s + 2)
x''+3x'+2x =e~‘ + e~2‘ , x(0) = 2, x '(0) = -3 x(í) = —L 1{------- -—----- - ——} por lo tanto: 5 ( s - 3) (s + 2)2
Solución 972)
L{x' '+3x'+2x} = L{e~‘ + e ~2t} entonces:
s 2x(s) - sx(0) - x' (0) + 3sx(s) - 3x(0) + 2x(s) = —— +- 1
s+1 s+2
( i 2 + 3s + 2 )x (s)-2 s + 3 - 6 =
2í + 3 (s + l)(s + 2 )
x(í) = —[6íe3' - 2te~2’ ] 5
x"+4x'+4x = t 2e~2‘ , x(0) = x'(0) = 0
Solución L{x' ’+4x'+4x} = -L { 2- e 2' } entonces: , ................................................ . . . s„2 x(s) - sx(0) - x' (0) + 4s(s) - 4x(0) + 4x(s) =
2
(s + 2)3 480
481
(í + 4 í+ 4 )x (í) = -------- (j +2) x(r) = ZT1{-— (s + 2) por lo tanto: 973)
=> x(s)=
-(j + 2)
975)
sen 9/
x' '+4x = 4 eos 21-------— , x(0) = 0, x' (0) = t <2
8
Solución
=> x(^) = 2e-2,U x{ \ ) J ~ e - ^, í5 12 x(r) =
sen 2t L{x' *+4x} = L{4 eos 2 í----- — } entonces:
< v 2' 12
45 1 s x (5 )-5 x (0 )-x '(0 ) + 4x(5) = —-----------^— s +4 s +4
x' '-x ' = 2 sen f , x(0) = 2, x’(0) = 0 Solución
<2
L{x' '- x ' } = L {2 sen í} entonces:
(5
s 2x(s) - sx(0) - x' (0) -s x (s ) + x(0) = ~ s L +1 ,2 \ % 2 _ ( í + s)x(j) = —— — 2s s2+ 1
=>
AX / ^
4 5 -1
1
, A s 2 + 3 25 - 4
s 2 +4
8
8 (í2 + 4 )2
+ 4 ) x ( 5 ) = — r------------------------------------------- + - = > * ( • ? ) = -
2 x(r) = L~l {-
.. - 2( j 3 + j - 1) x(s) = — --------- — (s —s)(s + 1) 976)
. „ cos2í. x(í) = í(sen 2/ + — -— )
+t 3 2- y ) por lo tanto: 8(s2 +4)
x' '+2x'+3x = t eos t , x(0) = - ^ , x' (0) = 0
1 s 1 x(t) = L {— - + —5, — } por lo tanto: x(t) = e ‘ + c o s /- s e n í s - l J 2 +l i 2 +l -
_1
974)
x' '+9x = 18 eos 3 í , x(0) = 0, x ’(0) = 9
Solución L{x' ’+2x'+3x} = L{t o s í}
entonces:
Solución L{x’’+9x} = 18£{eos 3} entonces:
J„2¿x( s) - sx(0) - x' (0 )+ 2ix(j) - 2x(0) + 3x(í ) =
s 2x ( s ) - íx(0) - x' (0) + 9x(j) = - -1--— s +9
o
18 (s 2 + 9)x(¿) = —-+ 9 entonces: s 2 +9
(s +9) por lo tanto:
s 2 s2- 1 + 2 í + 3)x(í ) + —+ —= —------ 4 4 (j 2 +1)2
,2-l (s 2 + l )2
entonces:
s 5 + 2 s4 + 2s3 +s + 6 ,. T- \ , s 5 + 2 s4 + 2 i 3 + s + 6 , x(i) = ---------------------- ------ r- => x(t) = L l {4 ( i2 + 2 s + 3 )(i2 +1)2 4 (í + 2 í + 3)(j +1) (i +9)
x{t) = 3(t +1) sen 31
x(/) = -—- (eos t + sen í) 4 483
977)
x"-2 jc'+10jc = cos3r,
1
x(0) = 1, x'(0) = ~
j ( s - 1) (s - 4 s - u5 ) x ( s ) - x - 2 + 4 = 2 -------- t—— ( s - 2 ) +1
Solución s 3 - 6 x 2 + lls -1 2 x(s) = --------- --------:-----------( ( s - 2 ) + l)(s -4 x + 5 )
L{x' '-2x'+\0x} = Z{cos 3r} entonces:
j 2 x(.y) - sx(0) - x' (0) - 2.yjc(1y) + 2x(0) +1 0x(» = s 2
S +9
/. x(t) = [(1 —í)co sí + (l + /)se n /]e 2'
979)
(s 2 - 2 s + 1 0 ) x ( s ) - s ~ — + 2 = - 5 37 í +9
r- i , s 3 - 6 s 2 + l l s - 1 2 , => x(t) = I {—-r ---- ——r —} (s - 4 s + 5)(s - 4 s + 5)
x’" - x " = 0 , x(0) = 1, x'(0) = 3 , x"(0) = 2 Solución
.. 37s3 + 37 3 s-494 - 56s2 x(.y) = — — ------ ——-----------entonces: 37(s +9)(s - 2 s + 10)
X{x"'-x"} = 1(0}
entonces:
s 3x(s) - s 2x(0) - sx’(0) ! 37s3 + 3 7 3 s -5 6 s2 -4 9 4 , x(t) = L {------- --------- ---------------} por lo tanto: 37(s + 9)(s - 2 s + 10)
(0) - s 2x(s) + 5x(0)+x'(0) = 0
(s3 - s 2) x ( s ) - s 2 - 3 s - 2 + s + 3 = 0 entonces: , x s2+2s-l 1 1 2 x(s) = — -----— = — + — + -----
(36ef + l)c f-6 se n 3 / X(t) = ----------L—o s3-------------37
s —s
s
s
entonces:
s“1
1 1 2 x(t) = L~l {----- 1— r-H-------} por lo tanto: s s 2 s —1 978)
x(t) = - \ + t + 2e‘
x''-4x + 5x = 2e2í(sení + eos/), x(0) = 1, jc’(0) = 2 Solución
980)
x '" - 4 x '= l , x(0) = 0, x’(0) = - i ,
x " (0 )= 0
Solución L{x' ’-4x'+5x} = 2 L{e21(sen t + cot)}
entonces: í,{x'"-4x'} = ¿{1}
s 2x(s) - sx( 0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + 5x(s) = 2[------ ------- + — -—\ — 1 ( s - 2 ) +1 ( s - 2 ) +1 484
s 3x(s) - s 2x(0) - sx' (0) - x" (0) - 4sx(s)+ 4x(0) = ~
485
(j 3 -4 s)x (s) + ^ = 4 s
982)
jt,,+* = 8>/2sen(f+;r \ 4
x(0)^=0, x'(0) = -4
Solución x(s) =
4 -5 2
=
4 í (s 3 - 4 í )
( j - 2 ) ( j + 2)
=_J _
4 í 2(í - 2 ) ( í + 2)
x(í) = - L l {—i—} = - — por lo tanto: 4í 4
4í 2
L{x' '+*} = 8V2Z{sen(í + -^)} entonces:
x(t) = - — 4
s 2x( s) - sx(0) - x'(0) + x(í ) = 8Í—— - + j 2 +l ( , 2 + l)x (í ) = 8 ( 4 l L ) _ 4 =
x,”+ x"-2x = 5 e ', x(0) = 0, x’(0) = l , x"(0) = 2
+1
z V r^ l2 )
5 + 1
5"+l
_ 4( 52 - 2 5 - 2 )
x(s) = — — —— r —- mediante convolución ( i 2 + i)2
Solución
-
981)
) j
£ {x "’+x"-2x} = L{5e' } entonces: x(t) = L 1{ — -—— (í 2 + D 2 j 3x ( í ) - j 2x(0) - sx' (0) - x" (0) + j 2x( j ) - íx (0 ) - x' (0) - 2x(s) = —
por lo tanto:
5 -1
(í 3 + í 2 - 2 ) x (j ) -
í
-2 -1 = —
983)
5 -1
= 4r(sen t - eos t)
x(í) = 4í(sen t - eos t)
x’'+4x = 2 eos2 t , cx(0) = x(0) = 0
Solución
3 2 5 (s + 5 -2 )x (5 ) = 5 + 3 + ----- entonces: 5 -1 í.{x"+4x} = 2I{cos t} , . s 2 +2s + 2 s 2 +25 + 2 x(s) = r-----«-----= -----------}-----------s 3 + s 2 - 2 (5 -l)(5 2 +25 + 2)
s 2x(s) - sx(0) - x' (0) + 4x(s) = - + S
x(,y) = - i — => x(t) = Z~1{—^—} por lo tanto: s-l 5 -1
x ( t) = e t
. ->\ 7 2(s 2 +2) f + 4 )x (j) = —^ -----s +4
s
+4
o / , 2+2) „r 1 , , 2(s 2 entonces: x(s) = — ------ = 2[—-------------------- ------ ( í + 4)
s2 +4
(í +4)
487
aplicando el teorema de convolución se tiene: i 1 2 x(t) = L~ {2(—---------- - ----- -} entonces: í -t4 (s +4) 984)
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
x(t) = - (1 - eos 2/ + í sen 2í) 4
Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.
x"+x’= l , x(0) = 0, x'(0) = 1 Solución
= a lx + b l y + /] (t) dt dy — = a 2x + b2y + f 2(t) dt
L{x' M-*'} = Z{1} entonces:
s 2(x) - soc(O) - JC'(0 )+ jx (í ) - x(0) = s (s 2 + s)x(s) = ^ + l
2
=>
x(S) ----- ^
-
=-1
que cumple las condiciones iniciales:
x(0) = x 0,
... (1)
y(0) = y 0
.y2 ahora se toma la transformada al sistema de ecuaciones diferenciales
x(t) = L 1{-^-} = t
.y
por lo tanto:
x(t) = t L{— ) = al L{x} + bl L{y} + L { f {(t)} dt L{‘^ } = a 2L{x)+b2L{y) + L { f 2(t)} dt sx( s) = fl] x(s) + ¿>j y(í) + F, (t) + x0 ^ ( s ) = a 2x(s)+ b2y(s) + F2(t) + y 0
mediante la regla de Cramer se tiene:
x(s) = f ( s ) y(s) = g(s)
í x(t) = L 1{x(s)} **
{•>,(,) = L-'{y(s)}
y se obtiene la solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales.
488
489
En los siguientes ejercicios hay que resolver los sistemas de ecuaciones por el método operacional (Transformación de Laplace).
dx
985)
+y = 0 dt dy — +x =0 dt
; x(0) = 2, y(0) = 0 Í ( í+ l) x ( í) - 2 y ( í) = l , , J „ { , por la regla de Cramer [W + (s + 4 M j) = 1
Solución -2
1 L { ^ } + L {y}= 0 ¿ Á +H y}= 0 dt i j reemplazando datos
*(*) =
2
1
0
5
25
5
1
5 2 - 1
1
5
1 sx(5) - x(0) + y(5) = 0
5
^ (5 ) -y (0 ) + x (5 ) = 0
[sx(5) + y(5) = 2 4 lx(5)+jy(5) = 0
5
+4
+1 1
5
y(í) = 5
= 2 cosh t = e ' +e s 2-l-
Rpta.
1
1
1
+1
x(t) = e ' +e '
5
por lo tanto:
Tomando Transformada de Laplace
490
2
5
2 + 5s + 6
s +2
+4
1 - ) = 3 e 2' - 2 e ~ 3' 5+3 ¡x(t) = 4e~2' -3 e~ 3' < 1 ^(0 = 3e ~ 2e
dx - d t = ~y
Solución
+2
3 5
3
5
5+2
y(t) = e~‘ - e '
! x(0) = y (0 ) = l
5
+3
+4
5 + 1
1
y(t) =
986)
5 2 + 5 5 + 6
por la regla de Cramer
x (t) = L 1{*(*)} = L 1
dx „ — +x - 2 y = 0 dt dy — +x+ 4y = 0 dt
4
5 + 6
2
;
x(0) = y(0) = l
^ = 2(x + y) dt
Solución
2
5
+3
L { ^ -} = -L {y) L Á
dt
Ííx(í) - x(0) + y(.v) = O W c o - j(0 ) - 2x(s) - 2y(s) = O
= 2L{x} + 2L{y}
L Á + 2L{y} = L{3tl dt *
sx(s) - x(0) + 2y(s)
L Á - 2 L { x } = L{4\ dt
s y (s)-y { Q )-2 x (s )
íx ( s) + 2>'(s)
|j x ( j ) + y ( í ) = l [(¿ -2 X y (j)-2 x (j) = l
, por la regla de Cramer
4 5
= — +2 s , por la regla de Cramer
- 2x(s)+ sy(J) = —+3
s 1 x(s) =
1
1
s- 3
s-1
s
1
(j-ir+i
(j-ir+i
-2
i-2l
x(t) = L 1{
y(s) =
-y + 2 2
-21
j
s (j - i ) 2 + i
—+ 3 x(s) =
—- } - 2 L l {-— L— } = e ' c o s r - 2 e ' senf ( s - l ) 2 +l (i-l) + l
s
1
-2
1
J+ 2
s-1
s
1
( j - l ) 2 +l
(j - 1 ) 2 +1
-2
s-2
5
s
2
-2
s
x(t) = L ~\(j - 1 ) 2 +1
2+4
s +4
12
5s
2s
¡x(t) = e' c o s r - 2 e ' senr
y(s) =
s
—+2 s
-2
-+3 s
s2+4
3^ + 8 S 2
Iy(t) = e ‘ eos t + 3e‘ sen t
; x(0) = 2 , y(0) = 3
i 35 + 8 y ( 0 = r 1{ 5 2 +4
5
(5
+4
Solución
52(52 +4)
} = —t + 3 eos 2t + +4) 2
dt
492
12
x (t) = 5 eos 2t - — - 1 2 sen 21
Rpta.
988)
í ( j 2 +4)
3 3s -------+x(s) = 2 . . s 2 + 4 2x s +4
y(t) = L ! {-------------- 1------- ------- } = e ' c o sí+ 3 e ' senr (j - 1 ) 2 +1 (í - 1 ) 2 +1
dx — + 2 y = 3r dt
6s + 5
2s s 2+4
3 13 y(t) = —í + 3 eos 2t + — sen 2í 2 4
13
sen 2/
dx
,
989)
;
x(0) = y ( 0 ) = l
990)
dx
dy
dt
dt
y +e
, ;
x(0) = y(0) = 0
dt dt
Solución
dt Solución
L { ~ ) + L { x } = L{y}+L{e'}
sx(s)-x(0) + x(s) = y(s)+
L{~ } + L {y} = L {x} + L{e'}
sy ( s) -y ( 0 )+ y ( s ) = x(s) +
L { ^ - } + L { % = L{y}+L{e‘} dt dt 2 Z .Á + dt
, operando tenemos
+ 2 L{y) = I{cos t }
dt
(s + 1)x(ì) - ^ (j) = _ L + 1 S~ 1
, por la regia de Cramer (s + O X i ) - x(s) = —— +1 J-l
5x( j) - x(0) + sy(s) - y( 0) = >>(ì ) +
s-l
2sx(s ) - 2x(0) + .?_y(i)->'(0) + 2y(5) = —---s +1 ì
-1 1
+ 1 -1 + 1 s+ 1 s +2
s-1 x( ì ) = ì +1 -1
_ s-l -1
+ (s+2)
(* + l)2 - l
íx ( í ) + (í
-1 )^ ( í ) =
s ¿ +2s (ì -1)( j 2 + 2 j )
j+ 1
-1 y(s) = ì
— +li j -1 + 1 -1
-1
x(s) =
— +l| j -1
s-l s-1-2
s2+ 1 s s-l 2s
s + 2 s +s ------- 1— ----S - 1 J 2 +l - ( s 2 -4 s)
s +2
s 2+2j [ ( J - 1 ) '- 1 ] ( J - 1 )
s-l
s+1
y ( t) - L 1{— -} = e' j-1
, por la regia de Cramer
2ìx(ì) + (.5 + 2)y(s) = - y — s +1
s-l s J+l
s- 1
x ( s ) = _____ _______________= - ( s - l)(i 2 + l)(i 2 - 4ì) por lo tanto:
\x (t) = e l W ) =e‘
_ 1 2s
1 J-l
11________ 3s 3 4 ( j- 4 )
17(s2 +1)
| _____ 5 17(52 +1)
494 495
/v» = —1 et' ----11 4, 3 x(t) e ----- eos t + —5 sen t 2
34
17
1
17
2s y (í) =
s 2^
52 + l s- 1
2s 5+1
3
0
0 5+ 1
5
-1
1
-1
5+ 1
0
-1
0
5+1
- ( s 2 - 4 s)
x(s) =
5+ 2
2 et + — 22 4, + — 4 c =— y(t)1= - —e' h-----ee " h-----eos í ------sen t 3 51 17 17
1
;
x(0) = i , y(0) = 2 , z(0) = 3
1
-1
y(s) =
-1
1
-1
5+1
0
-1
0
5+1
L { ~ } = L {y\-L {z} 5*(5) - x(0) = y(s) - z(s) syis)-y(Q ) = x(s) + y(s) sz(s) - z(0) = x(s) + z(s)
L { ~ } = L{x} + L{z) dt
5+1
- 1 0
2
5 ( 5 + 1)2
í+ i
(s + i)3
1
) + (x + 1)^(í) = 2 , por la regla de Cramer
2 3
35(5 +1) + 5
3
1
5 ( 5 + 1 )2
S+\
5
-1
-1
5+1
0
-1
0
5+1
Z(o = r 1{— 5+ 1
+
1
-+ -
(5 + 1 ) :
r} = 3e ”'+ e " 'í
(5 + 1) x(t) = e -
s x ( s ) - y ( s ) + z(s) = l
496
25(5 + 1) + 5
5 - 1 1
Z(5) =
-x (5 ) + (5 + l)z(5) = 3
0 5+1
y(t) = I “1{ ^ - + - - L r } = 2e~l +e~’t 5 + 1 (5 + 1)
Solución
x( í
1
3
-1
-
5+ 1
5(5 + 1 )2
5
dz — =x+z dt
L{^}= L{x}+ L{y}
1
x(t) = L 1{ ^ - \ = e -‘ 5+ 1
5+1
-12
dx * = y~Z ^ = x +y
(s + l) 2 - ( s + l) _
S-l
5
991)
1
2 2+ 1 x(s) =
s- 1 s
-1
La solución es:
y(t) = 2e~' +te~' + te~' z(í) = 3e~' +te~' 497
dx = 4y + z ~Jt dy —z
992)
;
dt
x(0) = 5 , y(0) = O , z(0) = r
y(j) =
dz =4y dt Solución
s
5 -1
0
0 -1
0 4
4s
í
s
-4
-1
0
í
-1
0
-4
i
s
-4
5
0
5
0
0 -4
4
-4
-1
1
s(s2 - 4 )
s2 -4
s- 2
s +1
L { ^ } = 4L {y)+ L{z) íx (j) - x(0) = 4y(s) + z(s) í { j } = ¿{z|
í >'(í )-> '(0 )
dt
= z (j )
sz(s) - 2(0) = 4y(.v) L { ~ ) = 4 L{y)
z(s) =
íx ( í- ) - 4 y ( j ) - z ( í) = 5 ■sy(s) - z(s) = O
5
, por la regla de Cramer
0
- 4 y ( i) + .sz(.y) = 4
1
T
í
-1 s
5s2 + 4 í - 4 s (s 2 - 4 )
s
-4
-1
0
í
-1
0
-4
s
x(í) = Z,-I{ i + — s s-2
x(t) = l+ 3e2r +e~2> 498
- 4 )
5 2 - 4
5
Z(0 = L~x { *S } = 4 cosh 21 = 2e2' + 2e~2' s -4
ti*
( )=
x j
5( 5 2
45
5 -1
0 -4
4 -4
0
45
z(t) = 2e2' + l e
dx
-21
. dy
— +2— +x+y+z=0
1 } =l + 3e2' + e~2' s+ 2
993)
dt dt dx dy — +— +x+z = 0 dt dt dz dy --------— y = 0 dt dt
;
x(0) = y ( 0 ) =l , z(0) = -2
Solución 499
y(£ = L l { - U = e “' => y(t) = e-‘ 5 +1
L { d t ] “ 2L{d t ] + z w + L { y } + L { z } = 0 ' L{— } + £{-—} + L{x} + Z,{z} = 0 at ai
, operando tenemos
Z(j) = ix (i) - x(0) + 2sy(s) - 2y(0) + x (s )+j>(j)+ z(s) = 0 • sx(s) -x (0 ) + jy(x) - ^(0) + x(s) + z(s) = 0
s +1
2 s+1
j+ 1
s
2
0
- ( 2 j +1)
-4
5+ 1
2s+ \
j +1
s
0 - (2s +1)
3
1
(5+1)(2 j +3) - s ( j + l)2
1___ 3 s+1
s
1 s
jz (ì) - z(0) - 2iy(i) + 2^(0) - y (i) = 0 1 3 z(/) = L~l {— --------------------------------- } = é T '- 3 =>z(t) =e~' -3 ì+ 1 s
(s + l)x(s) + (2 s + 1)>>(ì)+ z(s) = 3 - (j + l)jf(j) + sy(s) + z(s) = 2 - (2s + l).y($) + sz(s) = -4
, por la regia de Cramer
994) 3
25 + 1
1
2
5
1
-4
“ (25 + 1) s
5+ 1
25 + 1
1
5+ 1
5
1
0
_ 3(s + l)2 - 2 ( 2 j + 1)(ì + 2 ) - 2 - j (ì + 1)2
* _ & _ 2 * +2, , i_2, dt dt d 2x
dy +2— +x =0 A
5+ 3 5(5 + 1)
x(0) = y(0) = x’(0) = 0
Solución L & ~ U r f ) ~ 2L{x} + 2L{y} = I{1 - 2t) at at
- (2j +1) s
, operando tenemos
I{ — } + 2 !{ ^ -} + I W = 0 ¿ i'' dt
5+ 1
3
1
5+ 1
2
1
0
-4
5
sx(s) - x(0) - jy (j) + ^(0) - 2x{s) + 2y(s) = ~ ~ \ s s s 2*(5) - 5*(0) - Jt(0) - 2sy(s) - 5j>(0) + *(5) = 0
5+ 1
25 + 1
1
5+ 1
5
1
0
(2s+1) s
-s O + l)
1
- i ( i + l) 2
s +l
(í-2 )x (í)-(i-2 M í) = i - - 4 s s , por la regia de Cramer
(5 2 + 1)jc(5) + 257(5) = 0 501
1 2
/
^
5 S2 x(s) =
s-2
- ( s - 2)
s 2 +l
2s
s
s +l
s-2 y(s) = -
2 - —
2s
O
1
2
2
s2
s 2 +l
0
2
s-2
-(s-2 )
i
s 2 +1
2s
995)
d t‘ d 2y dt2
s2
s+l
1
s;
(s + l)
s2
-1
-1
s:
2 s 3 + s 2 +1
21
?4 -1
í-1
s 2 +l
x(t) = L 1{—í— + — } = 2e' + sen t s - 1 S+ l
y(s) =
(s + l)2
y (t)-2 -t-2 e
=y
2s + l
-1
l
(j+ir
s+i
1
1
s¿
-1
s4 -l
( s - l ) ( s 2 +l )
s-l
í 2 +l
-1
s:
d 2x - T T = x ~ 4y , d 2y 2
X
s
y (0 = L 1{—-t “— } =e' - sen; s - l s +1
- 2 te"
996) x(0) = y(O) = 1, x'(O) = 2 , / ( 0 ) = 0
=
s+l
2
-------r ------ ----------- 7 } entonces: s s 2 S + l (j + 1)2
d 2x
s
-} = 2 - 2 e ~ ‘ -2te~
1 2
-1
x(s) =
(s -2 ) (s + l)s(s + l)2
(í + i) :
2s+ l
d t2
=
- *
,
=>
v(t) = e' - s e n /
x(0) = 2 , y(0) = 0 , x’(0) = —^3 , / ( 0 ) = ^ 2
+ >’
Solución Solución 2 B ¿ -± )= L {y)
d 2x d t 2 *-
dt
Is x(s) - sx' (0) - x(0) = y(s)
d 2y L {—
(s 2y(s) - sy' (0) - y{ 0) = x(s)
=
dt
, por la regla de Cramer
502
r , . ,, . I{ — í - ) = - L { x ) + L{y\ dt í i i,
j s 2x (s )- s x '(0 )-x (0 ) = x (s)-4.y(s) | s 2y (s) - s / ( 0 ) - y(0) = - x ( s ) + _y(s)
(s 2 -l)x (s ) + 4y(s) = 2 - f í s JJ , por la regla de Cramer x(s) + (s 2 -l)y ( s ) = — — s 503
jc(j ) =
2 ~ j3 s
4
V3 s -----2
s 2-1 , 52 +l
5 ¿ -1
4
1
s2-ì
? 1 (s +1 )x(s) + y(s) = 2s + l + ----s- 1 , por la regia de Cramer 2 1 jc(5) + 5 y(s) = - s + — s
5-1-^3
25 + 1+ x(t) = L-1{
S 52 +l
-— 1 = cos/ + e 5 + V3
1 ----5 5
x(j) = 52 - l
2 -V 3 j
1
------ s 2
5^-1
4
y (i) = 1
2(5 2 + 1 )
y(t) = L i {
s
997)
d 2y
dx +— = 1 d t 2 dt
2(j + V 3 )
,
22
x ( 0 ) = l , y(0) = 0 , x'(0) = 2,
/ ( 0)
dt
,
operando tenemos
d 2x 998)
5 2x(5) - sx' (0) - x(0) + y(s ) = —----- x(5) 5 -1
* 2y ( s ) - s y ‘(0 )-y (0 ) + x(i) = -
,-1,1 V
i 2 +l
25 + 1+----5-1
1
-5+5
5
1 . 1 3654 5 -1
5+1
1
1
52
52 +l 5(5 + 1) + ---------2 5 -1 ------- , , 5 5-1 1, 1 5 24255 54 +52 - l
y(t) = L 1{-+■------i—r} entonces: s 24 5 ì-1
L { ^ l i + L { ~ ) = L{1\ d t¿ dt
504
1 -J- 1 3654 5 -1
y(s) = Solución
52
. 3 2 J 1 25 + 5 + --------------- + _________ 5 -1 5 s 4 +s 2 - 1
x(t) = t - — + e ‘ 6
} = —c o s i- —e
2(5 2 + 1 )
d x dy , — T +— = e ' - x d t 2 dt
1
1
52
s2-Ì
52
52 +l
1
2(ì + ^ 3 )
1
1 5 -1
y(t) = \ + - ^ - e ' 24
+ x+ y = 5
d t1 d 2y
. 1 i-1
,
x(0) = y(0) = 0 , x'(0) = / ( 0 ) = 0
-4 x -3 j> = -3
dt1 Solución 505
y(t) = L '{——j— - y } = 1 t senht - 17(cosh? -1 ) j ( j -1)
L * r - y } +L{x) + L{y) = ¿{5}
dt1
d 2y L {-f}-4 L {x}-3 L {y}= L {-3 }
, operando tenemos
v(0 = 7i. senh / - 1 7(cosh / -1)
dt
i 5 5 x(5)-5x'(0)-jt(0) + jt(5) + j>(>) = —
s 2y ( s ) - s y ' ( 0 ) - y ( 0 ) - 4 x ( s ) - 3 y ( s ) = - -
999)
— + 4v + 2x = 4/ + l dt dy 3 2 ——+ x —y = —f dt 2
x(0) = y(0) = 0
Solución ( s 2 -l)x (5 ) + >^(5) = s
, por la regia de Cramer
l Á
sx(s) - x(0)+ 4 y (ì) + 2x(s) = A r + — s2 S
+ 4 I M + 2 I W = I{4í + l}
at
- 4 x(ì ) + (ì 2 - 3 W s) = - -
L Á + L { x } - L { y } = L { - -} at l
- 3-
s 2 -3
x(s) = s¿+1
1
-4
s 2 -3
(s + 2)x(s) + 4 _ y (i)= ^ - + i = S^ s s , por la regia de Cramer
5j (ì 2 - 1 ) 2
*(■*) + ( j - l M - 0 = - y s 4 + -1 — s2 s
x(t) = L '{ —^ — } = 12coshí - 1 2 - —fsenht 2 (s 2 - l ) '
7
-
s+2
4
1
J -ll
s(j 2 + ì
-6 )
x(s) = x(f) = 1 2 c o sh í-1 2 — isenhr
2
x(j) = -,
-4
I7
4^
j
3(j 2 + í - 6 )
■r3 + 3 ^ 2 —4 j —12 j 3(í
2+J-6)
2(ì 2 + 5 -6 ) ì
3(ì 2 + j - 6 )
^(5) = +1
-4 506
1
5 2 -3 |
(s2 - i ) 2
, a 1 2 *(J) = -sT + -sT
x(/)=/+r s
s 507
s +4
s +2
y(s) =
- ( s z + s - 6) s +2
4
1
s- 1
1
53(52 + 5 - 6 )
x(t) = t + t
1 t y{t) = L~l {— —} = ----- por lo tanto: s 2
de
1000)
~dt di
2 1 3s 2 - 6 j + 1 2 * 2 2s 3 -1 1 s 2 +18 s - 9 s -2i +2 x(s) = s-2 1 ( j 2 - 2 s + 2)(s 2 - 4 s + 3) 1 s-2
A0 = - y
x(s) =
2 5 -3
2(j -1)
s 2-2 s +2
( i - l ) 2 +l
.. „ 1. 2(5-1) x(t) = L '{ 7 ( s - l ) 2 +l
( J - 1 ) 2 +1
( i - l ) 2 +l
+y - 2 x =0 ,
x(0) = 2 , y(0) = 3
x(t) = 2e' c o s i - e ' sen/
=>
x(t) = e' (2 cosí -s e n /)
+ x - 2 y = -5 e ‘ seni s-2 j Solución
y(s) =
2 3s2 - 6 i + l 3s3 - 1 4 j 2 + 1 7 ^ -6
s-2
1
1
s-2
(s 2 - 4 ì + 3)(s2 - 2 s + 2)
L { ^ } + L {y}-2 L {x} = 0 , operando tenemos /.{— }+ L{x) - 2L{y) = -5 L{e‘ sen /} dt
5 x (5 )
-
jc(0)
(5 —1) + 1
+ y ( 5 ) - 2x(s) = 0 -5
sy(s) - y(0) + x(s) - 2y(j) = ( ì - 1 ) 2 +1
3s- 2 3(5 -1 ) +1 y(s) = —-----------= -------- -— 52 - 2 5 + 2 (5 —1) +1
s
y(t) = 3e' eos t + e* sen /
entonces:
(5 —1) + 1
=>
y(t) = e1(3 eos t + sen t)
2 - 2 s + 2
por lo tanto:
\x(t) = e '( 2 e o s / - s e n t) Iy(t) = e 1(3 eos t + sen t
( s - 2 ) x ( s ) + y(s) = 2 (3s2 - 6 ì +1) , por la regia de Cramer x(i) + ( i - 2 ) y ( j ) = ( ì - 1 ) +1
508 509
APENDICE
7)
y = arc.senif (x))
DERIVADAS ELEMENTALES
dy
/'(* )
dx
•y/T -/2(x)
dy !)
y = f( x ) = c= > ^- = f'( x ) = o dx
2)
y
3)
8)
y = arc.cos(f (x ))
9)
y = are. tg (/(x )) =
y= f ( x ) ± g ( x ) ^ ^ - = f'(x )± g (x ) dx
10)
y = arc.cig(f{x))
4)
y = f { x ) = x n => — = f ' ( x ) = nxn~1
11)
5)
y = f ( x ) g ( x ) = > - ~ = r ( x ) . g ( x ) +f ( x ) .g '( x )
12)
6)
f(x) y =— g(x )
DERIVADA DE LOGARITMICAS
7)
y= (/(x ))n
dx
dx
=
k f ( x ) = c=> — = k f '( x ) dx
dy
g (x ).f'(x )-f(x ).g '(x )
dx
g(x)
=>— --------------- 2---------
dx
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS 1)
dy y = 3en(/(x)) => — = cos f ( x ) . f ' ( x ) dx
2)
j = cos(/ ( * ) ) =* ^ = - sen( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx
3)
J = tg(/(jc)) => — = sec2(/( x ) ) ./" ( x ) dx
5) 6)
dx
510
y = c t g ( f ( x ) ) => — = -c o se c 2( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dy = se c (/(x )) => — = s e c ( /( x ) ) .t g ( /0 ) ) ./'( x ) dx _y = co sec(/(x )) => — = ~ co s e c ( f ( x))£i g(f (x)). f' (x)
dx
V1 _ / 2w
dy
/'(* )
dx
\ + f 2(x)
dy dx
1+ /
dy
y = arc.sec(f(x))
(x) / ’(x) 1
dy - / '( * ) y = arc.cosec(/(x )) => — = dx 1 / w l V / 2 ^ ) " 1
LAS
FUNCIONES
1)
¿/v loe c y = logfl(/ ( x ) ) = > - j - = " dx f(x)
2)
dy / ' ( * ) ,y = ln (/(x ))= > — = — — dx / ( x )
3)
y = a f{x) => — = a f{x).Ln a . f ' ( x ) dx
4)
J =e
dx
5)
4)
-/■ (* )
—
EXPONENCIALES
Y
a *0,1
y = ( f ( x ) g{X) ^ — = g ( x ) ( f ( x ) f i*)~i . f ' ( x ) + ( f ( x ) f (X)M f ( x ) ) . g ' ( x ) dx
DERIVADAS INVERSAS
DE
LAS
FUNCIONES
HIPERBOLICAS
Y
SUS
dy 1)
dx
y = s e n h ( /(*)) => — = cosh ( / ( * ) ) • / ’(*)
dy 2)
v = c o s h ( /( x )) => — = s e n h ( / ( x ) ) ./'( x )
511
r = tgh(/(jr)) => — = sech2( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dv 9 ,y = c tg h (/(x )) => — = -cosech ( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx dy y = sec A( /( * ) ) => — = -se c A (/(x)).tgh( f(x ))./'(jc ) dx dy _y = cose h (f(x)) => — = -cosecA( f (x)).ctgh( f(x)). f ' ( x ) dx
4) 5) 6) 7)
ID
j = örc. senh(/(x)) => — = •
J a" - ¿/
1 ; u- a + c — Ln u+ a 2a
12)
f
d u ----— Ln
ia 2 - u 2
i
I Si
i u \ ,+s c. r.— _ =_ =idu = = = -= arc.sen(—) I 2 2 a Va —u
15)
f
16)
_ ______ 2 * J J a 2 - i c du --- " \/a' - h ’ + y « « . sen ^ + c
du
2a
u+a
+c
u - a
= Ln u +'yliF~+a* + 6*
V - 7a2
^ L - = i l +V ¡W
1
a/ / 2W + 1
¿V + f (*) j; = <2rc.co sh (/(x )) => — = • ¿¿r ¿ í 2(x)~ 1
17)
j Vm2 - "a2dit =
8)
18)
jV î/2 + a2dit = ^ 4 î ( + a" +— Ln u + \ ¡/' + a
9)
dy f '( x ) _y = arc. tgh(/(jr))= > — = —— ----- , dx l - f (x)
10)
dy f '( x ) y = arc .c tg h (/(x )) => — = —:— ---------------------- ,(f(x>)>1 dx 1- f { x )
i11) n
12)
dy
-f'(x )
dx
|/(x )|V l + / 2W
20)
J coshc/w = senw + c
J tg il du = - L/?jcob 4 + c‘
22)
J c tg udu = ¿«|sen «[+ c
23)
Jscc udu = /.«¡sec w+ Ig u\ + C
24)
25)
Jsec'' udu - tgw!+ c
26)
27)
J sec u tg z/ c/i/ -- sec £/ + c
29)
J senh udu = cosh
31)
Jtgh udu - ¿wjcosh m| + c
33)
J sec h udu —tgh u + c
35)
Jsec hu. tgh udu = - sec />« + c
37)
r \e au scn(bu)du =
„ fa sen(¿>z/) - b cos(bu)) -----------
f
/m (ùfCosèw + èsen(ÔM))
38)
j euU cos(bdt)du ~-:e' —
*19) 21)
Jscn
= -ÇOSM.+ 6*
TABLA DE INTEGRALES
1)
f a d x = ax + c
3)
f d ( / ( x ) ) = / ( x ) +c
5)
f Xn+* \ x ndx = ----- + c, J «+1
7) 9)
4) «*-1
= Ln\u\ + c L udu = ^ — +c, J
512
2)
Ina
8) a > 0, a * l
j kf(x)dx = k j f ( x ) d x
j ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = j f ( x ) d x ± j g(x)dx 6)
+:c
-1 < f(x) < 1
dy * / '( * ) y = arc.sec hu( f n( x ) )n => — = dx f ( x ) ^ l - / 2(x)
y = arc. cos e c h ( f (x))
>/«" - a2-* - 1—- Lnu + ^u2 - a2 +
r i/n+* i u ndu = ------- + c, J n+\
\ ~ * U - = la re tg - + c
J a 2 + w2
Jcos ec2udu = - c tg u + c
28)
J cos ecu. c tg udu = - cos ecu + c
30)
Jcosh udu = senh u + c
32)
Je tgh z/c/z/ = I^|sec hu\ + c
34)
Jcos ech2udu —- c tgh u 4- c
n * -1
j" e“du = eu+ c 10)
+c
J cos ecudu = Z.«|cos ecu - c tg w| + c
a
a
,
36)
j cos edi «. c tgh udu = - cos ecA » + c
-
a2 +b2
c
