RACIONALNE FUNKCIJE Stefan Babuškov,
Jelena Stojanov
stewa93(et)hotmail.com
daj e se postupak njihovog razlaganja na Apstrakt. Definišu se racionalne funkcije, njihove osobine I daje elementarne racionalne funkcije. Ključne reči: polinomi, racionalne funkcije. Racionalna funkcija je količnik polinoma. polinoma.To je funkcija oblika:
Q
funkcija je oblika: Gde su P( su P( x) i Q( x) polinomi. Drugim rečima, racionalna funkcija
Gde je konstanta, a m i n celi negativni brojevi. Racionalna funkcija je definisana za sve vrednosti argumenta argumenta x nula. Zbir, razlika, proizvod i x,, osim kada je vrednost imenioca Q(x) Q(x) nula.
količnik racionalnih funkcija je racionalna funkcija. Kada je j e m=0 racionalna se naziva cela racionalna funkcija ili polinom. Kada je n=m=1 tada se P, se P, f naziva naziva bilinearna i ima oblik: n=m=1 tada
Nesvodiva racionalna funkcija
P/ Q je ona funkcija kod koje su su brojilac P brojilac P i i imenilac Q uzajamno prosti polinomi NS D (P , Q) =1 . Svaka racionalna funkcija identički je jednaka nekoj nesvodivoj racionalnoj funkciji, ako je:
D= NZ D( P, Q) , tada je: P= , pr i če mu j e : NZ D( =1 I tako:
Skraćivanju brojnih razlomaka odgovara skraćivanje funkcije:
Prava racionalna funkcija
je ona racionalna funkcija za koju važi:
deg P
inače neprava. Nepravi racionalni broj 7/ 5 se može razložiti na zbir celog broja i pravog razlomka 1+2/5. Analogno svaka neprava racionalna funkcija, može se na jedinstven način pretstaviti kao zbir polinoma i prave racionalne funkcije. Za nepravu racionalnu funkciju P/ Q , prema teoremi, postoje polinomi S i R takvi da je tražena reprezentacija:
P= SQ +R
P/Q
= S+R/Q, deg R
Elementarna racionalna funkcija, proste racionalne funkcije ili parcijalni razlomci nad poljem R su oblika
I
Prava racionalna funkcija P/ Q naziva se prosta ako je Q= stepen nekog nesvodivog polinoma S , gde je:
deg P
Kako su jedini nesvodivi polinomi nad poljem R oblika x- a i x +px+q, to su sve proste racionalne funkcije nad R gore navedenog oblika.
Teorema Svaka nesvodiva prava racionalna funkcija , gde je m< n , može se na jedinstven načon razložiti na zbir prostih racionalnih funkcija. Realnoj nuli a, reda k , imenioca Q, odgovara razlaganje:
Paru i konjugovano kompleksna nula reda k, polinoma Q, takvih da je
(x-a) (x- )= +px+q odgovara razlaganje:
PRIMERI:
1.)
1. Faktorisanje imenioca:
2.
Formiranje parcijalnih razlomaka
3. Određivanje konstanti:
A+B=3 => A=3-B
-6(3-B)-2B+C=-1 9(3-B)-3B+C=1 4B+C=17 -12B+C=-26 /*(-1) I saberemo ih
16B=43
B=
=> A=3-
= => C=-9A+3B+1 C=-9
+3
+1
C=
Rešenje:
2.)
: =2x-3 -( = -3 -(-3 = 12x+4
1. Faktorisanje imenioca:
2.
Formiranje parcijalnih razlomaka
3. Određivanje konstanti:
Pretpostavimo da je x= -1 => 12x+4=A(-1+1)+B(-1)+C -12+4=-B+C B=8-C A+8-C=12 A+C=4 Saberemo ih 2A=8 => A=4 => C=4-A=4-4=0 => B=8-0=8
REŠENJE:
3.)
1. Faktorisanje imenioca
2. Formiranje parcijalnih razlomaka
3. Određivanje konstanti (A,B)
Saberemo ova dva izraza
Rešenje:
4.)
1. Faktorisanje imenioca
2. Formiranje parcijalnih razlomaka
3. Određivanje konstanti (A,B,C)
/(2)
Nakon množenja prvog izraza sabiramo izmnoženi prvi sa drugim
Rešenje:
Dodatni primeri: Rastaviti na zbir prostih činilaca funkcije:
,
.
Literatura
Velimir Sotirović, Momčilo Bjelica, Zbirka zadataka iz matematike 1 , Tehnički fakultet “M.Pupin”, Zrenjanin.