Granična vrijednost funkcije Neka je data realna funkcija f : R → R;
Pojam granične vrijednosti funkcije Za nek neku u funkciju y == f ( x ) kažemo da ima graničnu vrijednost A u vrijednost A tački a ako je je f ( x ) − A < ε ε i pišemo: lim f ( x ) = A x − a < δ δ (ε ε ) x →a f ( x ) ii g ( x ) ii
Nreka su
tada važi: lim f ( x ) = A ii lim g ( x ) = B tada x → a
x → a
lim ( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B x → a
x → a
x → a
lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = A ⋅ B x → a
x → a
x → a
lim (c ⋅ f ( x )) = c ⋅ lim f ( x ) = cA x → a
x →a
f ( x ) lim f ( x ) x → a A = = lim g ( x ) x →a lim g ( x ) B x → a
k
k k a a ( ) = lim n lim n = a k ≠ ±∞ n→ +∞ n→ +∞ k lim k a n = k lim a n = a k ≠ ±∞ n→ +∞
n → +∞
lim k = k an
lim an
n→ +∞
= k a k ≠ ±∞
n→ +∞ 1
lim (1 + x ) x = e
lim
x →0
x →0
sin x x
=1
lim x → 0
a x − 1 x
= ln a
ZADACI ZADACI 1. Naći 1. Naći: Naći: x
lim
x → +∞
x + x + x
Rješenje x x
lim
x → +∞
x + x + x
x
= lim
x → +∞
1
= lim
x + x + x
x → +∞
x + x + x
1
lim
x → +∞
1+
1
= lim
x + x x 2
x → +∞
1+
1 x
1
= lim +
x → +∞
1+
x
x
x x 2
x → +∞
1+
1 x
1
= lim
=1 +
1 x 3
=
x + x x
2. Naći: 2. Naći: lim
x 2 − (a + 1) x + a x 3 −
x →a
3
Rješenje lim
x 2 − (a + 1) x + a x 3 − a 3
x → a
x − 1
lim
x → a x 2
+ ax + a 2
= lim
x → a
=
x 2 − ax − x + a
( x − a )( x 2 + ax + a 2 )
= lim
x →a
x ( x − a ) − ( x − a )
( x − a )( x 2 + ax + a 2 )
=
a −1 3a
2
3. Naći: 3. Naći: 3
x − 1
x →1 4
x − 1
lim
Rješenje 3
x − 1
x →1 4
x − 1
lim 4
lim
x →1
)
x + 1
3
3
= lim 4 x →1
x − 1 x − 1
⋅
3
x 2 + 3 x + 1
3
x + x + 1
)= 4
2
3
4
⋅4
x + 1
⋅
x + 1
x + 1 x + 1
= lim
x − 1
x →1 x
−1
( x + 1)( x + 1) = ⋅ 4
3
x 2 + 3 x + 1
x + 1
x 2 + 3 x + 1
3
4. Naći: 4. Naći: 2 2 x − 2 x + 6 − x + 2 x − 6
lim
2 x − 4 x + 3
x → 3
Rješenje lim
x 2 − 2 x + 6 − x 2 + 2 x − 6 x 2 − 4 x + 3
x → 3
lim
x 2 − 2 x + 6 − x 2 + 2 x − 6
( x − 3)( x − 1)
x → 3
lim
x → 3
= ⋅
x 2 − 2 x + 6 + x 2 + 2 x − 6 x − 2 x + 6 + x + 2 x − 6 2
− 4 x + 12
( x − 2 x + 6 +
( x − 3)( x − 1)
2
=
2
x + 2 x − 6 2
)
= lim
x → 3
−4
( x − 2 x + 6 +
( x − 1)
2
−4 1 =− 2(3 + 3 ) 3
5. Naći 5. Naći lim x →
π π
1 − 2 cos x π π − 3 x
3
Rješenje π 1 π 2 cos − cos x − cos x 1 − 2 cos x 3 0 = lim = 2 lim = = lim π π π π π π π − 3 x π − 3 x π − 3 x 0 x → π π π x → x →
2
3
3
3
x + 2 x − 6 2
)
=
π π π π + x − x 2 − 2 sin 3 sin 3 π π π π + 3 x π − 3 x π + π π 2 2 − 4 sin − 4 sin sin = lim 6 6 6 =− 3 lim = π π π π π π − 3 x π 6 3 π − 3 x x → x → 6 ⋅ 3 3
6
6. Naći 6. Naći cos
π π x
2 x → 1 1 − x lim
Rješenje cos
π π x
0 2 = = lim x → 1 1 − x 0 x → 1
π π π x π π π − sin (1 − x ) 1 + x 2 1 + x 2 2 ⋅ = lim = → x 1 1 − x 1 − x 1 + x
lim
lim
)
π π (1 − x ) 1 + x 1⋅ 2 2 = = π π 2 π 2 π ⋅ (1 − x )
(
sin x → 1
(
sin
π π
)
π π
2
7. Naći: 7. Naći:
1 + x x → +∞ x 2 +
x − x x 1− x
lim
Rješenje
1 + x lim x → +∞ 2 x +
x − x x 1− x
2 + x − 1 = lim x → +∞ 2 x +
)(
)
1− x
1 = lim 1 − x → +∞ 2 x +
x + x
2 + x 2 + x 1 lim 1 − x → +∞ 2 x + 1
(
x 1− x 1+ x
x + x lim 1 e − x → +∞ 2+ x
( )
=
1
1+
x lim x → +∞ 1 2 + x
( )
= e
−1
(
x 1+ x
= e −1
8. Naći 1
1 + tgx sin x x → 0 1 sin x + lim
Rješenje 1
1
1
1 + tgx sin x 1 + sin x − sin x + tgx sin x sin x − tgx sin x = lim = lim 1 − = lim x → 0 1 + sin x x → 0 x 0 → + + 1 sin x 1 sin x sin x − tgx − sin x tgx lim 1 − x → 0 1 + sin x 1+ sin x
sin x − tgx 1+ sin x
.
1 sin x
=e
− lim x→0
sin x − tgx 1+ sin x
.
1−
1 sin x
=e
− lim x→0
1
cos x 1+ sin x
******moguće su štamparske greške******
= e0 = 1
) =
2
225. lim
x − 3x + 1
2 x 2 + x
x →∞
2
2
( x − 3x + 1) / x = lim 2 2 x →∞ x→∞ (2 x + x ) / x
= = lim ∞ ∞
3 1 1− + 2 x
2+
1
x = 1.
2
x
5
3−
7
+
2 3 3 x 4 − 5x 2 + 7 x ∞ (3x 4 − 5x 2 + 7x ) / x 4 x x 226. lim 4 3 = ∞ = lim = lim = 3. 4 3 4 x →∞ x x →∞ →∞ 1 5 x − x + 5 ( x − x + 5) / x 1− + 4
x
2
2
5
3
1
−
x
3
+
2 3 5 x − x + 3 ∞ (5x − x + 3) / x 0 x x x 227. lim 3 lim = ∞ = lim = = = 0. x →∞ 3 x + 2 x − 4 x →∞ (3x 3 + 2 x − 4) / x 3 x→∞ 2 4 3 3+ 2 − 3
x
x
2 1 6− + 2
6 x 4 − 2 x 3 + x 2 ∞ (6x 4 − 2x 3 + x 2 ) / x 4 x x = 6 = ∞. 228. lim lim lim = = = ∞ x →∞ 2 x 3 + x 2 − 3 x →∞ (2 x 3 + x 2 − 3) / x 4 x→∞ 2 1 3 0 + − x
2
x − 2 x
229. lim
=
x + 1
x →∞
∞ ∞
2
1−
x2
x4
2
( x − 2x) / x x = = lim 1. x →∞ x→∞ 1 ( x + 1) / x 1+
= lim
x
230. lim
x + x 2 − x
2 x + 3
x →∞
( x + x2 − x ) / x = = lim = lim x →∞ x→∞ (2 x + 3) / x ∞ ∞
1+ 1− 2+
3
1 x
=
1+1 = 1. 2
x
4 2 + + [ 3 x x − 3 x + 1]/ x = ∞∞ = lim = 231. lim 4 2 4 2 x →∞ x →∞ 2 x − 4 + x − 5 [2 x − 4 + x − 5]/ x 4
x + 3 +
2 x − 3x + 1
3 3 1 1+ + 4 1− + 2 x
= lim
x
4
x →∞
2 1− + 1− 4
x
5
232. lim
5
= lim x →∞
3
2 +1 3
5
x2
5 3 x − 2 x + 4 + (3 x − 4) 3
x →∞
x = 1+1 = 2 .
5 5 3 [ 2 − + 4 + (3 x − 4)]/ x x x = ∞∞ = lim = 3 2 2 3 3 2 2 x→∞ + x − 4 + x − 1 [ x + x − 4 + x − 1]/ x
1−
2 x 2
+
4 x5
+ 3−
4 x
1 4 1 1+ − 3 + 1− 2 x
x
x
=
1+ 3 4 = = 2. 1+1 2
(− x) 2 − 2(− x ) x2 + 2 x =| x → (− x) |= lim = lim = 233. lim →∞ x →−∞ x→∞ x −x +1 −x +1 2 1 + ( x 2 + 2 x ) / x x = lim = lim = −1. →∞ x →∞ x 1 (− x + 1) / x −1 + 2
− 2 x = x + 1
234. lim
∞ −∞
x − x 2 + 3 x
2 x + 1
x →−∞
2 − − − + 3(− x) ( ) ( ) x x −∞ = −∞ =| x → (− x) |= lim = x→∞ 2(− x) + 1
2
2
− x − x − 3 x [− x − x − 3 x ]/ x = lim = lim = lim x →∞ x →∞ x→∞ −2 x + 1 [ −2 x + 1]/ x
ZADACI ZA VJEŽBU
2 x3 − x 2 + 1 235. lim 3 . x →∞ x + 2 x 2 − 4 4 x 2 − x + 10 236. lim 3 2 . x →∞ x + x − 1 2 x − 1 + x 2 − x 237. lim . 2 x →∞ 3 x + x + 7 2 x − 1 + x 2 − x 238. lim . 2 x →−∞ 3 x + x + 7 3
239. lim x →∞
x 3 − 2 x + 4 x − 1 2
2 x + 3x + x 3
240. lim
x →−∞
.
x 3 − 2 x + 4 x − 1 2
2 x + 3x + x
.
4 ⋅ x 2 − 5x + 1 + 3 x 3 + x 2 − 7 241. lim . 2 x →∞ 3 x + 4 + x − 2 x + 5
−1 − 1 − −2 +
1
3 x
−1 − 1 = = 1. −2
4 ⋅ x 2 − 5x + 1 + 3 x 3 + x 2 − 7 242. lim . 2 x →−∞ 3 x + 4 + x − 2 x + 5
RJEŠENJA
R 235.
2. R 236. 0. R 237.
R 241.
5 3 . R 242. − . 4 2
3 1 5 . R 238. . R 239. . R 240. − 5. 4 2 3
4.2 NEODRE ĐENI OBLIK
∞−∞
U ovoj točki ćemo računati limese funkcija kod kojih se nakon uvrštavanja = ∞ pojavljuje neodređeni oblik ∞ − ∞ . U tom slučaju je potrebno danu funkciju transformirati raznim “trikovima” (racionaliziranje, faktoriziranje, itd.) na oblik ∞∞ , te nastaviti u smislu prelaza sa beskonačno velikih na konačne i proizvoljno male veličine (dijeljenje brojnika i nazivnika sa najvećom potencijom), što je objašnjeno u prethodnom poglavlju.
RJEŠENI PRIMJERI
U slijedećim zadacima izračunati limese funkcija.
243. lim( x − x − 3) = lim( x − x − 3) x →∞
x →∞
= lim x →∞
3 x + x − 3
x + x − 3 x + x − 3
2
244. lim( x − x − 3x + 4) = lim( x − x − 3x + 4) x →∞
= lim
x →∞
x→∞
x−x+3 x + x−3
=
= 0.
2
x→∞
2
= lim
2
x − x + 3x − 4 x + x 2 − 3x + 4
=
∞ ∞
x + x 2 − 3x + 4 2
x + x − 3x + 4
=
3−
4
(3x − 4) / x 3 x = lim = . x →∞ [ x + x 2 − 3x + 4]/ x x→∞ 1 + 1 − 3 + 4 2 2
= lim
x
x
2
2
2
2
245. lim( x − 4 − x − 2 x + 5) = lim( x − 4 − x − 2x + 5) x →∞
x →∞
= lim
x →∞
x 2 − 4 − x 2 + 2 x − 5 x 2 − 4 + x 2 − 2 x + 5
2−
= lim
x →∞
1−
4 x 2
=
∞ ∞
x 2 − 4 + x 2 − 2 x + 5 2
2
x − 4 + x − 2 x + 5
(2 x − 9) / x = 2 2 x →∞ [ x − 4 + x − 2x + 5] / x
= lim
9 x
2
5
x
x2
+ 1− +
=
2 1+1
= 1.
x − 3 + x + 4 1 1 = lim = x →∞ x ( x − 3 − x + 4) x ( x − 3 − x + 4) x − 3 + x + 4
246. lim x →∞
x − 3 + x + 4
= lim
= − lim
x ( x − 3 − x − 4)
x →∞
1 x−3+ x+4 ∞ =∞= →∞ x 7 x
= − lim
1 [ x − 3 + x + 4]/ x 1 3 4 2 = − lim[ 1 − + 1 + ] = − . 7 x→∞ 7 x→∞ 7 x x x / x
247. lim ( x + x 2 − x + 2) = | x → (− x ) | = lim [(− x ) + (− x )2 − (− x ) + 2] = x →−∞
− x→−∞
2
= lim[− x + x + x + 2] = lim[− x + x + x + 2]
x →∞
= lim
x →∞
= lim x →∞
x→∞
− x 2 + x 2 + x + 2 2
x + x + x + 2
1+
=
∞ ∞
= lim
x
1 2 1+ 1+ + 2
=
1
1 1+1 2
x
ZADACI ZA VJEŽBU
248. lim ( x + x 2 − 3 x + 1). x →−∞
249. lim(
2
− 3 x + 1 − x ).
250. lim(
2
+ x + 1 − x 2 + 5 x ).
x →∞
x →∞
x →∞
x + x 2 + x + 2
2
[ x + x + x + 2] / x
= .
2
x + x + x + 2
( x + 2) / x
2
x
2
=
=
=
251. lim( x − 3 x3 + 2 x 2 − 1). x →∞
252. lim( 4 x 4 + x3 − 2 − 4 x 4 − x 2 + 3 x ). x →∞
RJEŠENJA
R 248.
3 3 2 1 . R 249. − . R 250. − 2. R 251. − . R 252. . 2 2 3 4
4.3 NEODRE ĐENI OBLIK
1∞
U ovoj točki računamo limese funkcija oblika y = f ( x) g ( x ) kod kojih nakon uvrštavanja x = ∞ dobivamo oblik 1∞ . Osim svojstava limesa, nabrojanih na po četku ovog poglavlja, koristit ćemo važan identitet: 1 lim (1 + ) x = e.
x →∞
x
Nadalje, treba primijeniti određene «trikove» pomoću kojih se dani oblik y = f ( x) g ( x ) ∞
transformira na eksponencijalni oblik oblika ∞∞ s početka ovog poglavlja.
e ∞ , pa potom u eksponentu primijeniti rješavanje
RJEŠENI PRIMJERI
U slijedećim zadacima izračunati limese funkcija. x
x
3
1 1 3 x + 3 3 ∞ 253. lim = 1 = lim 1 + = lim 1 + x = lim 1 + x = e3. x →∞ x →∞ x x x→∞ 3 x→∞ 3 x
x
x
x a a
1 1 x + a a ∞ 254. lim 1 + x = lim 1 + x = = 1 = lim 1 + = lim x →∞ x x x →∞ →∞ →∞ x x a a x
1 = lim 1 + x x→∞ a
x
x a
a
= ea .
x
1 x ∞ 255. lim 1 lim = = = x x →∞ x + 4 x →∞ x + 4 x
1 x+4 lim x →∞ x
x
=
1 e4
= e−4 .
x
1 1 1 x ∞ 256. lim 1 lim = = = = = e− a . x x a x →∞ x + a x →∞ e x + a x+a lim x →∞ x x x 2
