Facultad de Ingeniería y Arquitectura Ingeniero Químico Fenómenos de Tr Transporte ansporte TAREA 3 Problemas capítulos 3, 11 y 19
Maestro de la materia: M.C. Rodolfo Rocha Villagóme Villagóme !om"re Ana Cristina Cristina Ramíre Carrasco Matricula: #$%%%&'
Monterrey( !ue)o *eón. M+,ico a mi+rcoles %- de maro de -%/ -% /
Problemas Capitulo 3 “Ecuaciones de Variación para Sistemas Isotérmicos”
3A.1 Momento de torsión necesario para acer !irar un co"inete de #ricción
(figura.3A.1). Calcular el momento de torsión, en lb f ⋅ pie, y la potencia en caballos que se necesitan para hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. a longitud de la superficie de fricción sobre el cojinete es ! pulg, el eje gira a !"" rpm, la #iscosidad del $ubricante es !"" c%, y su densidad es &" lb m'pie3. espreciar el efecto de la ecentricidad. *espuestas+ ".3! lb f ⋅ pie "."1! hp - "."" /0 .
T z = 0πµ Ωi R. L 1
K
.
% − K
k =
% %.--
2
= -.33'--0
k -.334-% 1 2 = = 03.' % − k -.--&3' k = -.334 µ = 1-- cp21%-
−&
kg 5 ms 5 cp2 = -.-- kg 5 ms
%min
Ωi = 1-- rpm21
4- s
21π radianes 5 rev 2 = -π 5 &radianes 5 s
R = %in 1%m5 &3.&$in2 = -.---40/ m
L = in = 5 &3.&$ m= -.-/-' m ρ = /-lbm 5
ft & 1-.0/&/3 kg 5 l bm21&3.&$ 5% ft 5 m2& = '--kg 5 m&
T z = 10 π 21-.-- kg 5 ms21-π 5 &radianes 5 s21-.---40/m 21-.-/-'m2103.'2
= -.& ft 6 lbf P = T z Ωi
= -.& ft 6 lbf 1- π 5 &s−% 21 = -.-% hp
&4-- s 21/.-/ x %- −$ hp6 h 5 ft 6 lbf 2
h
3A.$ Perdida de #ricción en co"inetes.
Cada una de las hlices en una gran embarcación de motor es impulsa2 da por un motor de """ hp. 4$ eje que conecta el motor y la hlice mide 15 pulg de di6metro y reposa en una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de ".""& pulg. 4l eje gira a &" rpm, el lubricante tiene una #iscosidad de &""" cp y hay !" cojinetes, cada uno de 1 pie de longitud. 4stimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. espreciar el efecto de la ecentricidad. *espuesta+ ".11&
conversiones k =
%4 %'6-.---/
= -.---&$/
-.--'$/% k 1 2 = = $33.4 % − k -.--%03 −& µ = /--- cp1%- kg 5 ms 5 cp2 = /kg 5 ms
Ωi = 1/- 5 4-rev 5 s21π rad 5 rev 2 = /π 5 &rad 5 s R = 1'5&3.&$m2 = -.-0%3 m L = 0- ft = 10-6% 5 &3.&$m2 = %.m
P = 10π 21/kg 5 ms21/π 5 &rad 5 s2 1-.-0%3m 6%.m21$33.42
= 4.3&' x %-/ kgm 5 s& P = 4.3&' x %-/ kgm 5 s& 1&.$/% x %-−$ hp6 h21kgm 5 s 2 − %1&4-- s 5 h2
= 3&-hp =
3&'---
= -.%%0
3A.3 E#ecto de la altitud sobre la presión del aire.
4n la desembocadura del rio 7ntonagon en la orilla sur del lago 8uperior (5"! pies sobre el ni#el medio del mar), un barómetro port6til indica una presión de 9&" mm :g. ;sar la ecuación de mo#imiento para calcular la presión baromtrica en la cima del ? y que se disminuye, al aumentar la altitud, a ra@ón constante de 3> ? por 1""" pies. a aceleración de la gra#edad en la orilla sur del lago 8uperior es aproimadamente igual a 3!.1 pies ' s !. su #ariación con la altitud puede despreciarse para este problema. *espuesta+ 913 mm :g - . 1" B'm!
d ln p Mg = dz R1/&- − -.--& z 2 p Mg %0% dz ln1 2 = ∫ p% R - 1/&- − -.--& z 2 Mg % ln1/&- − -.--& z 2 R -.--& Mg //.$&$ = ln1 2 -.--&R /&-
=
p 13lbm 5 lbmol 21&.%$ ft 5 s 2 ln1 2 = ln1//.$ 5 /&-2 p% 1-.--&R 5 ft 210.34' x %- 0 lbm ft 5 slbmol 6 R2
= −-.-/ p = p% e,71−-.-/-2 = $/-6-.3/-$ = $%&mmHg
3%.$ &lu"o laminar en un ducto trian!ular '#i!ura 3%.$(. $
4n la figura 3 B . b se muestra un tipo de intercambiador de calor compacto. %ara anali@ar el desempe=o de este aparato, es necesario entender el flujo en un ducto cuya sección trans#ersal es un tri6ngulo equil6tero. o anterior se logra m6s f6cilmente instalando un sistema de coordenadas como se muestra en la figura 3.!b. a) Comprobar que la distribución de #elocidad para el flujo laminar de un fluido neDtoniano en un ducto de este tipo est6 dada por b) A partir de la ecuación 3E.!21 encontrar la #elocidad media, la #elocidad m6ima y la #elocidad de flujo m6sico 4lemento de un intercambiador d e calor compacto, que muestra los canales de una sección trans#ersal triangular b) sistema de coordenadas para un ducto en forma de tri6ngulo equil6tero. -=
=
Ρ - − Ρ L L
Ρ - − Ρ L 0 LH
w = ρ 1
= − ρ 1
V z =
∂ v z ∂ v z + µ 1 + 2 ∂ x ∂ y
14 y − 4 H − 4 y + H 2
Ρ - − Ρ L L
Ρ - − Ρ L &&5 µ LH
2
21
∫ ∫ H
y 5 &
-
-
−H / -
y − H 1& x − y 2 dxdy
2 = ρ 1
&1Ρ - − Ρ L 2 H 0
1 Ρ - − Ρ L 2H
V z ma, =
4- µ L 1 Ρ - − Ρ L 2H $ µ L
=
3
6 V z
%'- µ L
3%.3 &lu"o )aminar en un *ucto Cuadrado.
a) ;n ducto recto se etiende en la dirección @ una longitud L y su sección trans#ersal es cuadrada, limitada por las rec2 tas + - 2B,y-+B. ;n colega comenta al lector que la distribución de #elocidad est6 dada ebido a que este colega a #eces le ha mal informado en el pasado, usted se siente obligado a comprobar el resultado. F4l resultado satisface las condiciones lGmite rele#antes y la ecuación diferencial rele#anteH b( 8egIn el artGculo de re#isión escrito por er/erH la #elocidad de flujo m6sico en un ducto cuadrado est6 dada. Comparar el coeficiente en esta epresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la ecuación 3%.3-1.
∂v z ∂ v z -= + µ 1 + 2 L ∂ x ∂ y x y Ρ − Ρ L Ρ − Ρ -= − µ 11 - L 21 − 1 2 1 2 2 L 0 µ L Ρ - − Ρ L
1Ρ − Ρ L 2 ρ w= 01 2
µ L
∫ ∫ 1%− ξ 21%− η 2 dξ dη %
%
-
-
1Ρ − Ρ 2 ρ -.0001Ρ - − Ρ L 2 ρ 215&2 = ρ 1 =1 - L 0
µ L
0
µ L
Problemas Capitulo 11 “Ecuaciones de Variación para Sistemas o Isotérmicos”
11A.1.- /emperatura en un co"inete de #ricción.
Calcular la temperatura m6ima en el cojinete de fricci5n del problema 3A.1, suponiendo que la conductG#idad trmica del lubricante es ." local's 2 cm .C, que la temperatura del metal es !"" 7C y que la #elocidad de rotación es """ rpm. 2 2 1 μ Ω R T max−T 1=¿ 8 k s 8000 π / 60 rad /¿
¿
cm 2.54 ¿
¿ ¿2 ¿
[ 4 x 10− x 4.1840 x 10 ] g·cm / s · K 4
7
¿ ( 2 g / cm·s )¿ ¿ 1 T max −T 1=¿ ¿ 8
k 1 /¿
¿ ¿ 2− 1 ¿ ¿ 2 ln ( 1 / k ) ¿ ¿ ξ max =¿ √ ¿ J k =¿ 1 /1.002
2
1.002 ¿
2
−1
¿ ¿ ¿ ¿
2 ln ( 1.002 )
¿ ¿ ξ max=¿ √ ¿ 2
μΩ R T −T k = · k 1 2 1 / k ¿ −¿
¿ ¿2 ¿ ¿
1
¿ ¿
2
2
8000 π / 60 r ad / s ¿ ( 2.54 cm)
[ 4 x 10
¿
x 4.1840 x 10 ] g·cm / s · K
−4
7
2
¿ ·
¿ 1 2 1.002 −¿
¿ ¿2 ¿
(
2
·s )¿ cm
¿ T max −T k =¿ T max−T k =¿ 8.439 x 10 · [ 2 x 10 ] =16.9 C 6
6
T −T 1 1 / r −1 / R =¿ 1 / kR−1 / R T k −T 1
11A.3.- En#riamiento por transpiración.
a) Calcular la distribución de temperatura entre las dos en#olturas del ejemplo 11.2 para #elocidadesdeflujom6sicoradialesigualesaceroyl0&g's para las siguientes condiciones+
r, micras Ko
1"" 1
!"" ".39&
3"" ".1555..
"" "."5!&
&"" "
"" "."9"
&"" "
(1 x 10−5 g / s )( 0.25 cal / g·C ) R0=¿ ( 4 π )( 6.13 x 10−5 cal / cm·s·C ) R0=¿ 0.003245 cm =32.45 micras
( exp (−35.45 / 200 )−exp (−35.45 / 500 )) ¿ ¿ ¿ T −T 1 (exp (−35.45 / r )− exp (−35.45 /500 )) =¿ ¿ T k −T 1 r, micras Ko
1"" 1
ϕ Q =¿ Q0 expϕ −1
¿
exp R0 1−k R 0 ( 1−k )/ kR ¿ / kR ¿−1 ¿¿
¿
¿ exp ( 35.45 )( 0.8 )/ 100 (35.45 )( 0.8 )/ 100 ¿ −1 ¿ ¿ ¿
!"" "."5
3"" ".1E&
¿
0.2596 =0.876 exp ( 0.2596 )−1
11A.0.-Cambios de elocidad2 temperatura , presión en una onda de coue.
Aire a 1atm y 9" L? fluye a un nImero de Mach corriente arriba de ! a tra#s de una onda de choque estaciona2 ria. Calcular las siguientes cantidades, suponiendo que y es constante a 1. y que Cp- ".! t u ' l b , . ?+ a) a #elocidad inicial del aire. b) a #elocidad, la temperatura y la pesibn corriente abajo de $a onda de choque. c) os cambios de energia cintica e interna a tra#s de la onda de choque. a) v 1=¿ M a 1 √ γR T 1 / M 2
2
l bm f t / s ·lb·mol·R 28.97 lb 4 4.9686 x 10 ¿(¿¿ m / lb·mol )
¿
1.4 ( 530 R ) ¿
¿ v 1=¿( 2 ) √ ¿
v 1=¿ 2256 ft / s
b)
∅
2 1 γ −1 ! =¿ + γ + 1 γ +1 M 21
∅
! =¿
0.4 2 1 + =0.375 2.4 2.4 4
J4ntonces obtenemos la #elocidad+ v " =∅ v 1 ¿ ( 0.375 ) ( 2256 )=¿ 846 ft / s
Ja temperatura final es obtenida de el balance de energGa+
1 T "=T 1+ 2
( v 21−v 2" ) C p
1 T "=( 530 R )+ 2
(225621 −84 62 f t 2 / s 2)/ 2 (0.242 #t$ / l bm · R x 2.5036 x 104 l bm f t 2 / s 2 ·#t$ )
¿ 891 R JAhora obtenemos la presión final p" v " / T "=¿ %1 v 1 / T 1 v 1 T " v " T 1
p"= % 1
p" =(1 atm )
¿
891 530
(
2256 )(¿) 846
p"=¿ 4.48 atm
c) Cv & T =¿ Cp
^
¿ ' = ¿ ¿ (¿¿ γ ) & T ^
^
¿ ' =¿(¿[ 0.242 / 1.4 ] #t$(lb m · R)( 891− 530 R) ^
' = ¿ 62.4 #t$ / l b m ^
2
846
− 22562 ¿ ¿ ¿
1 & K =¿ ¿ 2
^
^
& K =¿− 87.4 #t$ / lb m
11A.4.- Compresión adiab5tica sin #ricción de un !as ideal.
Calcular la temperatura que alcan@a ai2 re comprimido, inicialmente a 1"" o? 1 atm, hasta ".1 d e su #olumen inicial. 8e supone que y - 1." y que la compresión es sin fricción y adiab6tica. Anali@ar el resultado en relación con la operación de un motor de combustión interna.
−γ
%p =¿ C 1 % =¿ R / M pT
JCombinando estas relaciones, obtenemos+ −γ
%Tp =Tp
1−γ
¿ C 3
p2 p1 T 2 T 1
¿ 1−γ ¿ =¿¿
Jespejamos N! para obtenerla+ 1.4 −1 T 2 =( 460 + 100 )( 10) ¿ 1407 R =947 )
Capitulo 16 “Ecuaciones de Variación para Sistemas de Varias Componentes” 16A.1.- *esumidi#icación del aire '#i!ura 16.7-1(.
%ara el sistema del ejemplo 16.7-12 sean el a- por y el gas estancado : ! " y aire, respecti#amente. 8upónganse las siguientes condicio2 nes (que son representati#as en acondicionamiento de aire)+ i) para y - 5, N - E" L? , X H ~ O "."1E ;) para y - 7, T - 08 L?. a) %ara p - 1atm, calcularel miembro derecho de la ecuación 1.2. b) Comparar la densidad de flujo de calor conducti#o y por difusión para y - 7. FCu6l es el significado fGsico de su respuestaH
%, 2 -. vapor 0.178 psia * + 0=¿ =¿ = 0.0121 14.686 psia %
2
/ +#=¿ 0.246 cm / s c = p / RT =¿ 4.18 x 10
−5
g·mol / cm
3
−5
k =¿ 25.5 x 10 0 / cm·K
Cp +=¿ 8 cal / g·mol·K =¿ 33.47 1 / g·mol·K
( )(
)
1− * a4 c/ +# Cp + 2 +3 Cp + 4 2 4 c/ +# Cp + =¿ +3 =¿ (ln )( ) 1 − * + 0 k c/ +# k k 0.0000418 x 0.246 g·mol / cm·s ¿ (33.47 1 / g·mol·K )
¿
1 −0.0180 ln ¿ · ¿ 1−0.0121
¿ (−0.00599 ) ( 1.350 ) =¿−0.0081 2 2 0.0081 ¿ + 5
¿
1 ¿ 2 0.0081 0.0081 1−exp (¿ ¿ +3 Cp + / k )=¿ =¿ ¿ 1−exp (−0.0081 ) 1−{ 1−0.0081 +
¿
−( 2 +3 Cp + / k ) 4 ¿ ¿
1 1 1 − ( 0.0081 )+ 5 2
=¿ 1.004
16%.1.- Eaporación en estado estacionario'#i!ura19.$1(.
Ool#er a trabajar elproblema que se resol#ió en 019.$2 que trata sobre la
e#aporación del lGquido A en el gas , empe@ando a partir de la ecuación 16.1-1:. a) %rimero obtenga una epresión para #P, usando la ecuación (M) de la tabla 19.E21, asi como la ley de ?ic/ en la forma d e la ecuación () de la tabla 19.E2!. b) emostrar que entonces la ecuación 1.1219 se transforma en la siguiente ecuacibn dife2 rencial no lineal de segundo orden+
c) *esol#er esta ecuaci5n para obtener e1 perfil de fracción molar que se proporcionb en la ecuación 1E.!211.
a) v 6=¿ * + v 7 − / +#
dx + / +# dx + o v 7 =−¿ 1− x + d6 d6
b)
dx + d6
¿ 2=¿ 0 ¿
2 2 − / +# dx + dx + d * + d * + 1 · = / +# o + ¿ 2 2 1 − x + d6 d6 1− x + d6 d6
c) 1 dx + d )=¿ 0 d6 1 − x + d6
( 1− x + ) (
dx + =¿ C 1 1 − x + d6 1
−ln (1 − x + )=¿ C 1 6 + C 2
16%.3.- *i#usiidad dependiente de la concentración.
;na capa lGquida estacionaria de estia limitada por los planos z - 7 (una pared sólida) y @ - b (una interface gas2lGquido). 4n estos planos,la concentración de A es c ~y0CA~,respecti#amente. a difusi#idad 9Ab es una función de la concentración de A. a) 4mpe@ando con la ecuación 16.1-02 deducir una ecuación diferencial para la distribución de concentración en estado estacionario. b) emostrar que la distribución de concentración est6 dada por
a)
/ +# ( C + )
dc + d6
¿ d 0=¿ ¿ d6
b) / +# ( C + )
dc + =¿ C 1 d6
C+
b
∫ / ( C ) d 8 c +#
+
+
=¿ C 1∫ d6
C+ 0
0
C+
∫ / ( C ) d 8 c +#
+
+
=¿
C+ 0 Cb
∫ / ( C ) d 8 c +#
+
6 b
+
C+ 0
c) 4l flujo molar en la interface sólido2lGquido es entonces 2 +6 ¿ 6=o =− / +#
¿
dc + d6
¿ 6=o
C+
1 b / +#
¿− / +# (¿ ∫ / +# ( C + ) d 8 c + ) C+ 0
d) Cuando 4q. 1.323 se inserta a 4Q. 1.32!, obtenemos C + −C # 2 C + −C # ¿
¿
2 +6 ¿ 6 =o=¿
/ +# b
C+
∫ 1+¿ 9 (¿)+ 9 ¿ dc 1
C+0
2
+
¿
C + 0−C +# C + −C # ¿
2
¿ ¿
3
C+ 0
C + − C # ¿ ¿C+b + 5
/ +# b
1 2
¿+ 9 1 ¿
¿ 3 C + −C # ¿ ¿ C+ 0 ¿C+b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 ¿ ( c + 0 −C +b )−2 (C + 0−C +b) C +
1 2 e) 8i la difusi#idad es lineal en la concentración, de modo que los trminos de la ecuación. 1..323 que contiene trminos m6s altos que el trmino cuadr6tico puede omitirse, entonces el resultado en la ecuación. 1,32 es #6lida, pero la epresión entre parntesis es sólo la unidad. 4sto significa que se obtiene una epresión #6lida para el flujo de masa mediante el uso de la fórmula para difusi#idad constante, pero utili@ando la difusi#idad a la concentración promedio. 2 2 ¿ ( c + 0 −C +b )−2 ( C + 0−C +b ) ( C + 0−C +b )= 0
16%.0.- )as ecuaciones de Ma+;eu-Ste#an para me
4n la ecuación 19.21 se proporcionan las ecuaciones de MaDeli28tefanpara las densidades de flujo de masa en un sistema gaseoso de #arias componentes. emostrar que para un sistema buiario estas ecuaciones se simplifican a la primera ley d e %ic/, segIn se pmporcionó esta en la ecuación 19.12&. a) x + x# (v − v # ) / +# + e esta ecuación nosotros obtenemos+ c / +# ∇ c ( v + − v # )=−¿ x x + x # + x + =−¿ ∇
8i nosotros empe@amos con la segunda ecuación de MaDell28tefan obtenemos+
x + =−¿ ∇
1 ( x 2 − x 2 ) c/ +# # + + #
¿ o podemos obte:er : x # 2 + − x + 2 #=−¿−¿ c/ +# ∇ x +
2
− x + (¿ ¿ + + 2 # )=¿−¿ c/ +# ∇ x + ¿ ( x + + x # ) 2 + ¿ 2 x + (¿ ¿ + + 2 # )
¿
o podemos obte:er : 2 + =¿−¿ c/ +# ∇ x +
