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PROBLEMARIO DE GEOESTADÍSTICA
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
PROFRA. ROSA MARIA AGUILAR RIVERA
Variables Aleatorias
Discretas
Una viga de concreto podría fallar ya sea por esfuerzo de corte (S) o flexión (F). Supóngase que se eligen al azar tres vigas con fallas y se determina el tipo de falla para cada una. Sea X = número de vigas entre las tres seleccionadas que fallaron por esfuerzo de corte. Enumere cada resultado del espacio muestral junto con el valor relacionado de X.
Dé tres ejemplos de variable aleatoria de Bernoulli (que no sean los mencionados en clase).
Para cada variable aleatoria definida a continuación describa el conjunto de valores posibles de la variable e indique si es discreta o continua.
X = número de huevos que no están quebrados, en una caja de cartón estándar seleccionada al azar.
Y = número de estudiantes ausentes el primer día de clases, de la lista de su grupo.
U = número de veces que un novato intenta golpear una pelota de golf, antes de lograrlo.
X = longitud de una serpiente de cascabel seleccionada al azar.
Z = pH de una muestra de suelo seleccionada al azar.
X = tensión a la que una raqueta de tenis seleccionada al azar ha sido encordada.
X = número total de veces que haya necesidad de lanzar una moneda al aire para que tres personas obtengan una partida (AAA o SSS).
Cada vez que se prueba un componente es un éxito (E) o fracaso (F). Supongamos que el componente se prueba repetidamente hasta ocurrir un éxito en tres pruebas sucesivas. Denotemos por Y el número de pruebas necesarias para lograr esto. Haga una lista de todos los resultados correspondientes a cinco valores mínimos posibles de Y e indique cual es el valor de Y asociado con cada uno.
A veces las aerolíneas registran más pasajeros del cupo normal de los vuelos. Supóngase que para un avión con 50 asientos, 55 pasajeros tienen boleto. Defina la variable aleatoria Y como el número de pasajeros con boleto que en realidad se presentan para el vuelo. En la tabla siguiente se ilustra la función masa de probabilidad de Y.
y
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
p(y)
0.050 0.10 0.12 0.14 0.25 0.17 0.06 0.05 0.03 0.02 0.01
¿Cuál es la probabilidad de que se pueda acomodar a todos los pasajeros con boleto que se presentan para realizar el vuelo?
¿Cuál es la probabilidad de que no todos los pasajeros con boleto que se presentan para realizar el vuelo puedan ser acomodados?
Si el lector es la primera persona en lista de espera (lo que significa que será el primero en abordar el avión si hay asientos disponibles después que han sido acomodados todos los pasajeros con boleto), ¿cuál es la probabilidad de que pueda realizar el vuelo? ¿Cuál es la probabilidad si es la tercera persona en lista de espera?
Un contratista es requerido por un departamento de planeación de un municipio para que remita una, dos, tres, cuatro o cinco formas (dependiendo de la naturaleza del proyecto) para solicitar permiso de construcción. Sea Y = número de formas requeridas del siguiente solicitante. La probabilidad de que y formas se requieren es proporcional a y, esto es p (y) = ky para y = 1, 2, 3, 4, 5.
¿Cuál es el valor de k?
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos se necesiten 3 formas?
¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten entre dos y cuatro formas?
¿Podría ser p (y) = y2/ 50 para y = 1, 2, 3, 4, 5 la fpm de Y?
Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis líneas telefónicas. Simbolicemos con X el número de líneas en uso en un momento específico. Supongamos que la fpm de X está dada en la tabla siguiente.
x
0
1
2
3
4
5
6
p(x)
.10
.15
.20
.25
.20
.06
.04
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.
{A lo sumo tres líneas estén en uso}l
{Menos de tres líneas estén en uso}
{Por lo menos tres líneas estén en uso}
{Entre 2 y 5 líneas estén en uso}
{Entre dos y cuatro líneas no estén en uso}
{Por lo menos cuatro líneas no estén en uso}
Muchos fabricantes tienen programas de control de calidad que incluyen la inspección de materiales recibidos para verificar que no tengan defectos. Supongamos que un fabricante de computadoras recibe tarjetas de computadoras en lotes de cinco y se seleccionan dos tarjetas de cada lote para inspeccionarlas. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par (1,2) representa la selección de la tarjeta 1 y 2 para inspeccionarlas.
Haga una lista de diez posibles resultados diferentes.
Supongamos que las tarjetas 1 y 2 son las únicas defectuosas de un lote de cinco y se van a escoger dos lotes al azar. Defina X como el número de tarjetas defectuosas observado entre las inspeccionadas. Encuentre la distribución de probabilidad de X.
Señale con F(x) la fpa de X. Primero defina F(0) = P(X 0), F(1) y F(2) y después obtenga F(x) para cualquier x.
Algunas regiones de California son particularmente propensas a temblores. Supongamos que en una parte de la región 30% de todos los propietarios de casa están asegurados contra daños por temblores. Cuatro propietarios son seleccionados al azar; sea X el número de propietarios, entre los cuatro, con seguro contra temblores.
Encuentre la distribución de probabilidad de X. (Sugerencia: denotemos por S a un propietario de casa asegurado y con F a uno sin seguro. Entonces un posible resultado es SFSS, con probabilidad (0.3)(0.7)(0.3)(0.3) y valor 3 asociado a X. Hay otros 15 resultados.).
Dibuje el histograma de probabilidad correspondiente.
¿Cuál es el valor más probable para X?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los cuatro seleccionados tenga un seguro contra temblores?
Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla:
x
-5
-2
0
1
3
8
p(x)
0.1
0.2
0.1
0.2
a
0.1
Calcule la constante a.
Encuentre la función de distribución acumulada F(x).
Calcule P(X = 1), P(X = 2), P(X < 3), P(X 0) y P( -2 X 3)
Una compañía de seguros ofrece a sus tenedores de pólizas varias opciones diferentes para el pago de primas. Para un tenedor seleccionado al azar, sea X = número de meses entre pagos sucesivos. La fpa de X es como sigue:
¿Cuál es la fpm de X?
Sólo con el uso de fpa, calcule P (3 X 6) y P (4 X).
A partir de un tiempo fijo, se observa el sexo de cada niño recién nacido en un hospital hasta que nace un varón (B). Sea p = P(B) y suponga que los nacimientos sucesivos son independientes. Sea Y = el número de niñas nacidas antes de que termine el experimento. Con p = P(B) y 1 – p = P(G), ¿cuál es la función de masa de probabilidad de Y? [Sugerencia: primero ponga en lista los posibles valores de Y, inicie con el más pequeño y continúe hasta que encuentre una fórmula general]
VALORES ESPERADOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Una tienda vende unidades de memoria flash, ya sea con 1 GB, 2 GB, 4GB, 8 GB o 16 GB de memoria. La función de probabilidad de masa de la cantidad de memoria X (GB) en una unidad flash comprada está dada por:
x
1
2
3
8
16
p(x)
0.05
0.10
0.35
0.40
0.10
Calcule lo siguiente:
a. E(X)
b. V(X) directamente a partir de la definición
c. La desviación estándar de X
d. V(X) por medio de la fórmula abreviada
Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende tres modelos diferentes de congeladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9 y 19.1 pies cúbicos de espacio de almacenaje. Sea X = cantidad de espacio de almacenaje de un congelador comprado por el siguiente cliente. Supongamos que X tiene la siguiente función de probabilidad de masa:
x
13.5
15.9
19.1
p(x)
0.2
0.5
0.3
Calcule E(X), E(X 2) y V(X).
Si el precio de un congelador de capacidad X pies cúbicos es de 25 X – 8.5, ¿cuál es el precio esperado por el cliente que va a comprar un congelador?
¿Cuál es la varianza del precio 25 X – 8.5 pagado por el cliente?
Suponga que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la capacidad real es h (X) = X – 0.01X 2. ¿Cuál es la capacidad real esperada del congelador comprado por el cliente?
Con los datos del problema 5 de la sección anterior, calcule:
V(Y) y Y.
Determine la probabilidad de que Y se encuentre dentro de una desviación estándar de su valor medio.
Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla:
x
-2
0
x3
12
p(x)
p3
Si se sabe que E(X) = , calcule x3 y p3.
Sea X una va de Bernoulli con fpm
Calcule E(X 2).
Demuestre que V(X) = p (1- p).
Calcule E(X 19).
Un contratista ofrece realizar un proyecto, y los días X requeridos para la terminación siguen la distribución de probabilidad dada como:
x
10
11
12
13
14
p(x)
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
La utilidad del contratista es Y = 2000(12 – X).
Encuentre la distribución de probabilidad de Y.
Determine E(X), V(X), E(Y), V(Y).
Un resultado llamado desigualdad de Chebyshev establece que para cualquier distribución de probabilidad de una variable aleatoria X y cualquier número k que por lo menos sea 1, .Esto significa que la probabilidad de que el valor de X se ubique a por lo menos k desviaciones estándar de su media y es cuando mucho 1/k2.
¿Cuál es el valor del límite superior para = 2, =3, = 4 = 5 y = 10?
Calcule y para la distribución del ejercicio 4 de la segunda sección. Luego calcule con los valores de k dados en el inciso (a). ¿Qué indica esto para el límite superior en relación con la probabilidad correspondiente?
Sea X con los valores posibles – 1, 0, 1, con las probabilidades correspondientes . ¿Cuál es y cómo se compara con el límite correspondiente?
Dé una distribución para la cual = 0.4
Un comprador de una unidad generadora de energía requiere c arranques consecutivos exitosos antes de aceptar la unidad. Suponga que los resultados de arranques individuales son independientes entre sí. Sea p la probabilidad de que cualquier arranque sea satisfactorio. La variable aleatoria X = número de arranques que se deben llevar a cabo antes de aceptar. Dé la fpm de X para el caso c = 2. Si p = 0.9, ¿cuál es P(X 8)? [Sugerencia: para x 5, exprese p(x) "en forma recursiva" en términos de la fpm evaluada para los valores pequeños x – 3, x – 4,…,2]. (Este problema fue sugerido en el artículo "Evaluation of Start-Up Demostration Test", J. Quality Technology, 1983: 103 – 106.)
Binomiales
Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificarse como de "segunda".
Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea de "segunda"?
Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de "segunda"?
Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos sean seleccionadas cinco para encontrar cuatro que no sean de segunda?
Se selecciona al azar un individuo que tenga un seguro automotriz de cierta empresa. Sea Y la cantidad de multas que ha recibido durante los últimos 3 años, la fpm de Y es:
y
0
1
2
3
p( y)
.60
.25
.10
.05
¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar:
cuando menos 10 no tengan multas?
mas de la mitad tenga al menos una multa?
la cantidad de quienes tengan al menos una multa sea entre 5 y 10 inclusive?
De acuerdo con informes de CONACYT (enero de 2001), se estima que 75% de los estudiantes egresados de carreras científicas en México solicitarán una beca para estudiar la maestría, dentro o fuera del país. De cinco estudiantes recién egresados de profesiones científicas, elegidos al azar, encuentre la probabilidad de que:
Dos de ellos soliciten una beca para estudiar la maestría.
Cuando mucho tres soliciten una beca para estudiar la maestría.
De 10 estudiantes elegidos al azar, ¿cuántos se esperaría que solicitaran una beca?
Calcule la varianza
Según el fabricante de un líquido limpiador de manchas, este tiene un grado de efectividad de 0.8, es decir, elimina en promedio 8 de cada 10 manchas. Para comprobar que lo que afirma es cierto, se usará el producto en 15 manchas elegidas al azar, bajo el entendido de que si desaparecen por lo menos 11 de ellas y solo en ese caso se dará por válida la afirmación del fabricante.
Calcule la probabilidad de que la aseveración del fabricante sea rechazada cuando en realidad es cierta.
Determine la probabilidad de que por error se acepte lo que sostiene el fabricante, cuando la efectividad de su producto es en realidad de 0.6.
Un lote muy grande de componentes ha llegado a un distribuidor. El lote se puede clasificar como aceptable sólo si la proporción de componentes defectuosos es a lo sumo 0.10. El distribuidor decide seleccionar al azar 10 componentes y aceptar el lote sólo si el número de componentes defectuosos en la muestra es a lo sumo 2.
¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado cuando la proporción real de piezas defectuosas es 0.01?, ¿0.05?, ¿0.10?, ¿0.20? y ¿0.25?
Sea p la proporción real de piezas defectuosas del lote. Una gráfica de P(lote aceptado) como función de p con p en el eje horizontal y P(lote aceptado) en el vertical, se llama curva característica de operación para el plan de muestreo de aceptación del lote. Utilice los resultados del inciso (a) para construir esta curva en 0 p 1.
Repita los incisos (a) y (b) con "1" sustituyendo a "2" en el plan de muestreo de aceptación del lote.
Repita los incisos (a) y (b) con "15" sustituyendo a "10" en el plan de muestreo de aceptación del lote.
¿Cuál de los tres planes de muestreo, de los incisos (a), (c) o (d) parece más satisfactorio y por qué?
Un estudio realizado por periodistas del diario Crónica (octubre del 2000) mostró que en las oficinas de los servidores públicos (burócratas) de las distintas dependencias gubernamentales de México, aproximadamente 30% de las llamadas telefónicas que entran en horario de trabajo no son contestadas porque las personas no se encuentran en su lugar. Determine la probabilidad de que en las siguientes 20 llamadas que entran a una de tales oficinas en horario de trabajo:
mas de 7 no sean contestadas.
Entre 5 y 10 inclusive, no sean contestadas.
Por lo menos 10 no sean contestadas.
Un fabricante de productos electrónicos de consumo espera que 2% de las unidades fallen durante el período de garantía. Se hace un seguimiento del cumplimiento de la garantía de una muestra de 500 unidades independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna falle?
¿Cuál es el número esperado de fallas durante el período de garantía?
¿Cuál es la probabilidad de que más de dos unidades fallen durante el período de garantía?
Cuarenta por ciento de las semillas de mazorcas de maíz (maíz moderno) portan sólo una espiga y el 60 % restante portan dos espigas. Una semilla con una espiga producirá una mazorca con espigas únicas 29% del tiempo, en tanto que una semilla con dos espigas producirá una mazorca con espigas únicas el 26% del tiempo. Considere seleccionar 10 semillas.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de estas semillas porten una sola espiga y de que produzcan una mazorca con una sola espiga?
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de estas mazorcas producidas por estas semillas tengan espiga única? ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho, cinco mazorcas tengan espiga única?
Hipergeométrica y Binomial negativa
Cierto tipo de cámara digital viene en una versión de tres megapixeles y una de cuatro megapixeles. Una tienda de cámaras recibió un envío de 15 de estas cámaras, de las cuales seis tienen una resolución de tres megapixeles. Suponga que se eligen al azar cinco de estas cámaras para colocarlas en el mostrador; las otras 10 se colocan en el almacén. Sea X = número de cámaras de tres megapixeles, entre las cinco elegidas para colocarlas en el mostrador.
¿Qué clase de distribución tiene X (nombre y valores de los parámetros)?
Calcule P(X = 2), P(X 2) y P(X 2).
Calcule el valor medio y la desviación estándar de X.
Un profesor que el último período escolar dio dos secciones de estadística en ingeniería, el primero con 20 alumnos y el segundo con 30, decidió asignar un proyecto para los cursos. Después de recibidos todos los proyectos, los apilo en orden aleatorio antes de calificarlos. Considere los 15 primeros proyectos que se califican.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 de ellos provengan de la segunda sección?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 de ellos provengan de la segunda sección?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 de ellos provengan de la misma sección?
¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la cantidad entre los 15, que provengan de la segunda sección?
¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar, del número de proyectos que no estén entre los primeros 15 y que provengan de la segunda sección?
Un contratista ha recibido un embarque de 15 cilindros de concreto, 5 para un pequeño proyecto y los otros 10 para un proyecto más grande. Supongamos que 6 de los 15 tienen una resistencia a la compresión por debajo del mínimo especificado. Si los 5 para el proyecto más pequeño se seleccionan al azar de entre los 15 y X = número entre los 5 que tienen resistencia a la compresión por debajo del mínimo, entonces X tiene una distribución hipergeométrica con parámetros n = 5, M = 6 y N = 15. Calcule lo siguiente:
P(X = 2 )
P(X 2)
P(X 2)
E(X) y V(X)
Un director personal que entrevista a 12 ingenieros para cuatro vacantes ha programado 7 entrevistas para el primer día y 5 para el segundo día de entrevistas. Suponga que los candidatos son entrevistados al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que x de los mejores de los mejores cuatro candidatos sean entrevistados el primer día?
¿Cuántos de los mejores cuatro candidatos pueden esperar ser entrevistados el primer día?
Un lote de 75 arandelas contiene cinco en las que la variabilidad del espesor alrededor de la circunferencia de la arandela es inaceptable. Se selecciona al azar una muestra de 10 arandelas.
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas inaceptables esté en la muestra?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las arandelas inaceptables esté en la muestra?
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las arandelas inaceptables esté un la muestra?
¿Cuál es el número promedio de arandelas inaceptables en la muestra?
Suponga que p = P (de que nazca un varón) = 0.5. Una pareja desea tener exactamente dos niñas en su familia. Tendrán hijos hasta que se satisfaga la condición.
¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga x hijos varones?
¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga cuatro hijos?
¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga a lo sumo cuatro hijos?
¿Cuántos varones se esperaría que tenga esa familia? ¿cuántos hijos se esperaría que tenga esa familia?
La probabilidad de que un experimento tenga un resultado exitoso es 0.89. El experimento se repetirá hasta que ocurran cinco resultados exitosos.
¿Cuál es el número esperado de repeticiones necesarias?
¿Cuál es la varianza?
La probabilidad de que un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos es 0.8. Si los disparos son independientes, determine la probabilidad de un hundimiento dentro de los primeros dos disparos, y dentro de los primeros tres.
De acuerdo con la revista Chess Life, 40% de los grandes maestros de ajedrez del mundo consideran que Garry Kaspárov es el mejor ajedrecista de todos los tiempos. Si se les pregunta a varios grandes maestros su opinión a este respecto, encuentre la probabilidad de que le octavo a quien se le planteó la pregunta sea el cuarto que considera a Kaspárov el mejor ajedrecista de todos los tiempos.
Distribución de Poisson
Suponga que la cantidad de conductores que viajan entre cierto origen y destino, durante determinado período, tiene una distribución de Poisson con parámetro = 20 (sugerido en el artículo "Dynamic Ride Sharing: Theory and Practice", J. ofTransport Engr., 1997, pp. 308 - 312). ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de conductores:
sea máximo 10?
Sea mayor que 20?
esté entre 10 y 20 inclusive? ¿Esté estrictamente entre 10 y 20?
sea mayor que la cantidad media en más de dos desviaciones estándar?
Considere escribir en un disco de computadora y luego enviar el número de pulsos faltantes. Suponga que este número X tiene una distribución de Poisson con parámetro = 0.2 (sugerido en "Average Simple Number for Semi – Curtailed Samplig").
¿Cuál es la probabilidad de que un disco tenga exactamente un pulso faltante?
¿Cuál es la probabilidad de que un disco tenga menos de dos pulsos faltantes?
Si dos discos se seleccionan de manera independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga un pulso faltante?
Sea X el número de anomalías que ocurren en el material de una región particular de un disco de turbina de gas en aviones. El artículo "Methodology for Probabilistic Life Prediction of Multiple Anomaly Materials" (Amer.Inst. of Aeronautics and Astronautics J., 2006; 787 – 793) propone una distribución de Poisson para X. Suponiendo que = 4.
Calcule P(X 4) y P(X < 4)
Calcule P(4 X 8)
Calcule P(8 X)
¿Cuál es la probabilidad de que el número observado de anomalías sobrepase su valor medio por no más de una desviación estándar?
Suponga que aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto, según un proceso de Poisson, con tasa = 8 aviones por hora, de modo que el número de llegadas por un período de t horas es una va de Poisson con parámetro = 8t.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 aviones pequeños lleguen durante un período de una hora? ¿Por lo menos 5? ¿Por lo menos 10?
¿Cuáles son el valor esperado y la desviación estándar del número de aviones pequeños que lleguen durante un período de 90 minutos?
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 20 aviones pequeños lleguen durante un período de 2.5 horas? ¿De que a lo sumo 10 lleguen durante ese período?
Suponga que hay árboles distribuidos en un bosque según un proceso de Poisson de dos dimensiones, con parámetro y que el número esperado de árboles por acre es igual a 80.
¿Cuál es la probabilidad de que en cierto lote de un cuarto de acre haya a lo sumo 16 árboles?
Si el bosque cubre 85, 000 acres, ¿Cuál es el número esperado de árboles en el bosque?
Suponga que se selecciona un punto del bosque y se construye un círculo de 0.1 milla de radio. Sea X el número de árboles dentro de esa región circular, ¿Cuál es la fdm de X? ( 1 milla cuadrada = 640 acres)
En una prueba de tarjetas de circuitos, la probabilidad de que un diodo en particular falle es de 0.01. Suponga que una tarjeta contiene 200 diodos.
¿Cuántos diodos se espera que fallen y cuál es la desviación estándar del número que se espera que falle.
¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que por lo menos cuatro diodos fallen en una tarjeta seleccionada al azar?
Si se embarcan cinco tarjetas a un cliente en particular, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro de ellas funcionen bien? (Una tarjeta funciona bien sólo si todos los diodos funcionan).
Suponga que sólo 0.10% de las computadoras de cierto tipo experimentan falla del CPU durante el período de garantía. Considere una muestra de 10 000 computadoras.
¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar del número de computadoras de la muestra que tienen el defecto?
¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que más de diez computadoras muestreadas tengan el defecto?
¿cuál es la probabilidad (aproximada) de que ninguna de las computadoras muestreadas tengan el defecto?
Se supone que el número de imperfecciones en los rollos de tela de una fábrica textil tiene una distribución de Poisson con una media de 0.1 imperfecciones por metro cuadrado.
¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 imperfecciones en un metro cuadrado de tela?
¿Cuál es la probabilidad de que haya una imperfección en 10 metros cuadrados de tela?
¿Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones en 20 metros cuadrados de tela?
¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una imperfección en 10 metros cuadrados de tela?
Variables aleatorias continuas
Un maestro universitario nunca termina su clase antes de que suene la campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que suena la campana. Sea X = el tiempo que transcurre entre la campana y el término de clase y suponga que la fdp de X es:
Encuentre el valor de k
¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto después de que suene la campana?
¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 s después de que suene la campana?
¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 90 s después de que suene la campana?
Suponga que el error al hacer cierta medición es una va continua X con fdp
Trace la gráfica de f (x).
Calcule P (X > 0).
Calcule P(-1 < X < 1)
Calcule P (X < - 0.5 o X > 0.5)
La corriente de un determinado circuito, medido por un amperímetro es una variable aleatoria continua X con la función de densidad siguiente:
Grafique la función de densidad de probabilidad para verificar que el área bajo la curva de densidad es de hecho 1.
Calcule P(X 4). ¿Cómo se compara esta probabilidad con P(X < 4)?
Calcule la probabilidad P(3.5 X 4.5) y P(4.5 > X)
El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para un experimento tiene una distribución uniforme con A = 25 y B = 35.
Escriba la fdp de X y trace su gráfica.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda de 33 min?
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación se encuentre a 2 minutos del tiempo medio?
Para cualquier a tal que 25 < a < a + 2 < 35, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación esté entre a y a + 2 minutos?
La fda para X (= error de medición) es
Calcule P(X < 0)
Calcule P(-1 < X < 1)
Calcule P(0.5 < X)
Encuentre la función de densidad f(x).
Simbolice con X el tiempo que dura un libro prestado con fdp
Calcule E(X).
Calcule V(X) y .
Si a la persona que solicita el libro se le cobra una cantidad h(X) = X 2 cuando la duración del préstamo es X, calcule el cobro esperado E [h(X)].
"Avance del Tiempo" en flujo de tránsito es el tiempo transcurrido entre el tiempo en que un automóvil termina de pasar un punto fijo y el instante en que el siguiente automóvil comienza a pasar por ese punto. Sea X = avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar. Suponga que en un cierto ambiente de tráfico, la distribución del tiempo de avance tiene la forma
Determine el valor de k para el cual f(x) es una fdp legítima.
Obtenga la función de distribución acumulada.
Utilice la fda del inciso (b) para determinar la probabilidad de que el avance exceda 2 s y la probabilidad de que el avance esté entre 2 y 3 s.
Obtenga el valor medio y la desviación estándar del avance.
¿Cuál es la probabilidad de que el avance esté dentro de una desviación estándar del valor medio?
Exprese con X el tiempo para la falla (en años) de cierto componente hidráulico. Suponga que la fdp de X es f(x) = 32/(x + 4)3 para x 0.
Verifique que f(x) sea una fdp legítima.
Determine la fda.
Utilice el resultado del inciso (b) para calcular la probabilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y 5 años.
¿Cuál es el tiempo esperado para la falla?
Si el componente tiene un valor de rescate igual a 100/(4 + x) cuando su tiempo para fallar sea x, ¿cuál es el valor esperado de rescate?
Considere la fdp para el tiempo total de espera Y de dos autobuses
Calcule y grafique la fda de Y. (Sugerencia: considere de forma separada 0 y < 5 y 5 y 10 al calcular F(y). Una gráfica de la fdp podría ser útil.)
Obtenga una expresión para el (100p)mo percentil. (Sugerencia: considere en forma separada 0 < p < .5 y .5 < p < 1.
Calcule E(Y) y V(Y). ¿Cómo se comparan con el tiempo esperado y la varianza de un solo autobús cuando el tiempo es uniformemente distribuido en ?
El diámetro (en centímetros) de unos balines metálicos para uso industrial, es una va aleatoria continua X cuya función de densidad de probabilidad está dada por:
Obtenga el valor de la constante c.
Halle la media, la desviación estándar y la mediana.
Dibuje la gráfica de f(x)
Distribución Normal
¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar esté entre 5 y Sea Z una va normal estándar, calcule las siguientes probabilidades, dibujando figuras siempre que sea posible.
P(0 Z 2.17)
P(0 Z 1)
P(-2.50 Z 0)
P(- 2.50 Z 2.50)
P(Z 1.37)
P(- 1.75 Z)
P(- 1.50 Z 2)
P(1.37 Z 2.50)
P(1.50 Z)
P(Z 2.50)
10 pulg?
¿Qué valor de c es tal que el intervalo (8.8 – c, 8.8 + c) incluya el 98% de todos los valores del diámetro?
Suponga que la fuerza que actúa sobre una columna, que ayuda a sostener un edificio, está normalmente distribuida con media de 15.0 kips y desviación estándar 1.25 kips. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza:
sea a lo sumo 17 kips?
Se encuentre entre 10 y 12 kips?
difiera de 15 kips en a lo sumo 2 DE?
El artículo "Monte Carlo Simulation – Tool for Better Understanding of LRFD"(J. Structural Engr., 1993, pp. 1586 – 1599) sugiere que la resistencia a la ruptura (ksi) para acero grado A36 está normalmente distribuida con = 43 y = 4.5.
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la ruptura sea a lo sumo 40? y ¿mayor de 60?
¿Cuál valor de resistencia a la ruptura separa de los otros al 75% más fuerte?
Suponga que X tiene una distribución binomial con parámetro n = 25 y p. Calcule una de las siguientes probabilidades usando la aproximación normal (con la corrección de continuidad) para los casos p = 0.5, 0.6 y 0.8 y compárelas con las probabilidades exactas calculadas de la tabla correspondiente.
P(15 X 20)
P(X 15)
P(20 X)
Suponga que 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso están fuera de las especificaciones, pero que se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra). Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y exprese con X el número de los que estén fuera de las especificaciones y se puedan volver a trabajar. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que X sea:
a lo sumo 30?
Menos de 30?
entre 15 y 25 inclusive?
Cuando se prueban tarjetas de circuito que se usan en la fabricación de reproductores de discos compactos, el porcentaje de defectuosos a largo plazo es 5%. Suponga que recibe un lote de 250 tarjetas y que la condición de cualquier tarjeta es independiente de las demás.
¿Cuál es la probabilidad aproximada de que al menos 10% de las tarjetas del lote esten defectuosas?
¿Cuál es la probabilidad aproximada de que haya exactamente 10 defectuosas en el lote?
El artículo "Computer Assisted Net Weight Control" (Quality Progress, 1983, pp. 22 -25) sugiere una distribución normal, con media de 137.2 onzas y desviación estándar de 1.6 onzas, para el contenido real de frascos de cierto tipo. El contenido establecido era de 135 onzas.
¿Cuál es la probabilidad de que un solo frasco contenga más que el contenido establecido?
Entre 10 frascos seleccionados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 contengan más del contenido establecido?
Si se supone que la media permanece en 137.2, ¿a qué valor tendría que haberse cambiado la desviación estándar para que 95% de todos los frascos contengan más de lo establecido?
a. Si una distribución normal tiene = 25 y = 5, ¿cuál es el 91no percentil de la distribución?
b. ¿Cuál es el sexto percentil de la distribución del inciso (a)?
El ancho de una línea grabada en un chip de circuito integrado está normalmente distribuido con media de 3.000 m y desviación estándar 0.150. ¿Qué valor separa al 10% más ancho de todas las líneas del otro 90%?
La distribución de resistencia para resistores de cierto tipo es normal, 10% de los resistores tienen una resistencia que excede los 10.256 ohms y 5% una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son los valores de la media y la desviación estándar de la distribución de resistencia?
La vida de un láser de semiconductores con una alimentación de energía constante tiene una distribución normal con una vida media de 7000 horas y una desviación estándar de 600 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que un láser falle antes de 5800 horas?
¿Cuál es la vida media en horas que excede 90% de los láseres?
¿Qué valor deberá tener la vida media para que 99% de los láseres excedan 10000 horas antes de fallar?
Un producto contiene tres láseres y el producto falla si cualquiera de ellos falla. Suponga que fallan de manera independiente. ¿Qué valor deberá tener la vida media para que 99% de los productos excedan 10000 horas antes de fallar?
La dispersión de las atomizaciones de pesticidas es una preocupación constante de los fumigadores y productores agrícolas. La relación inversa entre el tamaño de gota y el potencial de deriva es bien conocido. El artículo "Effects of 2,4 D Formulation and Quinclorac on Spray Droplet Size and Deposition" (Weed Technology., 2005; 1030 – 1036) investigó los efectos de formulaciones de herbicidas en atomizaciones. Una figura en el artículo sugirió que la distribución normal con media de 1050 m y desviación estándar de 150 m fue un modelo razonable de tamaño de gotas de agua (el "tratamiento de control") pulverizada a través de una boquilla de 760 ml/min.
¿Cuál es la probabilidad de que el tamaño de una sola gota sea de menos de 1500 m? ¿Por lo menos 1000 m?
¿Cuál es la probabilidad de que el tamaño de una sola gota este entre 1000 y 1500 m?
¿Cómo caracterizaría el 2% más pequeño de todas las gotas?
Si se miden los tamaños de cinco gotas independientemente seleccionadas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una exceda de 1500 m?
Distribución Gamma y exponencial
Evalúe lo siguiente:
(6)
(5/2)
F(4;5) (función gamma incompleta)
F(5,4)
e. F (0,4)
Suponga que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prueba acelerada de vida útil, la duración X (en semanas) tiene una distribución gamma con media de 24 semanas y desviación estándar de 12 semanas.
¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure entre 12 y 24 semanas?
¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure a lo sumo 24 semanas?
¿Cuál es el 99avo percentil de la distribución de duración?
Suponga que la prueba en realidad termina después t semanas ¿qué valor de t es tal que solo la mitad del 1% de todos lo transistores estarán funcionando al terminar la prueba?
Las llamadas partículas (o rayos) son en realidad electrones ordinarios expulsados de manera excepcional del núcleo de algunos átomos de ciertos elementos radiactivos. Dichas partículas jamás existen como tales dentro del núcleo, paro a veces llegan a crearse durante las transformaciones nucleares, pudiendo escapar a grandes velocidades para ser detectadas en una placa fotográfica. Si una pequeña porción de un elemento radiactivo expulsa en promedio 4 partículas por segundo, calcule la probabilidad de que transcurran:
Más de dos segundos para que se emitan dos partículas ;
Menos de tres segundos para que se emitan 10 partículas .
[Sugerencia: suponga que el tiempo de emisión de de dichas partículas sigue una distribución gamma.
Considere la tasa de falla de un componente eléctrico de una vez cada 5 horas. Es importante considerar el tiempo que transcurre para la falla de dos componentes.
Suponiendo que se aplica una distribución gamma, ¿cuál es el tiempo medio que transcurre para la falla de dos componentes?
¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes de que fallen dos componentes?
El artículo "Determination of the MFP of Positive Photoresists Using the Monte Carlo Method" (Photographic Sci. and Engr., 1983, pp. 254 – 260) propone la distribución exponencial, con parámetro = 0.93, como modelo para la distribución de la longitud (m) de la trayectoria libre de un fotón bajo ciertas circunstancias. Suponga que el modelo es correcto.
¿Cuál es la longitud esperada de la trayectoria y cuál es la desviación estándar de la longitud de la trayectoria?
¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de la trayectoria exceda 3.0? ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de la trayectoria se encuentre entre 1.0 y 3.0?
¿Cuál valor se rebasa por solo 10% en todas las longitudes de la trayectoria?
Un componente tiene duración X exponencialmente distribuida con parámetro .
Si el costo de operación por unidad de tiempo es c, ¿cuál es el costo esperado de operar este componente en su vida útil?
En lugar de un valor constante de costo c, como en el inciso (a), suponga que el costo es c (1- 0.5eax) con a > 0, de modo que el costo por unidad de tiempo es menor que c cuando el componente es nuevo y más costoso a medida que el componente envejece. Ahora calcule el costo esperado de operación durante la vida útil del componente.
Un mecanismo de aire acondicionado funciona con base en cinco componentes independientes, y la vida útil de cada uno sigue una distribución exponencial con parámetro (en años). Para que el mecanismo de aire acondicionado funcione se requiere que por lo menos dos de sus cinco componentes aún sirvan. Calcule la probabilidad de que el mecanismo de aire acondicionado continúe funcionando después de 8 años.
Según un reporte del periódico Uno Más Uno (octubre de 1998), muchos funcionarios y servidores públicos del gobierno mexicano ocupan la mayoría de sus horas de trabajo haciendo llamadas telefónicas personales. Suponga que la duración de las conferencias telefónicas personales de una funcionaria de la Secretaria de Gobernación es una variable aleatoria X que sigue una distribución exponencial, con parámetro = 0.012 (en minutos). Calcule:
La duración promedio de una conversación telefónica de esta funcionaria.
La desviación estándar de la duración de una llamada.
La probabilidad de que una conversación telefónica dura más de 50 minutos.
La probabilidad de que dure a lo sumo 30 minutos.
En una universidad hay un grupo de cinco estudiantes de ingeniería petrolera que presentaran un examen de termodinámica, de manera individual. Para cualquiera de ellos se estima que el tiempo promedio de solución del examen es de 1h 20 min y además la distribución del tiempo se asume que es exponencial. Si el examen inició a las 9:00 a.m., calcule la probabilidad de que:
Por lo menos un estudiante logre terminar el examen antes de las 9:40 a.m.
Entre dos y cuatro estudiantes, inclusive terminen el examen en el lapso comprendido entre las 9:50 y 10:00 a.m.
Determine el número más probable de estudiantes que terminaran el examen antes de las 10:10 a.m.
¿Considera que la hipótesis de la distribución exponencial es un modelo adecuado para el tiempo de solución de un examen?
Distribución Lognormal
Sea X = la mediana de la potencia horaria (en decibelios) de señales de radio que se transmiten y reciben entre dos ciudades. Los autores del artículo "Families of Distributions for Hourly Median Power and Instantaneous Power of Received Radio Signals" (J. Research Natinal Bereau of Standars, vol. 67D, 1963, pp. 753 – 762) argumentan que la distribución lognormal es un modelo de probabilidad razonable para X. Si los valores de los parámetros son = 3.5 y = 1.2, calcule lo siguiente:
El valor medio y la desviación estándar de la potencia recibida.
La probabilidad de que la potencia recibida esté entre 50 y 250 dB.
La probabilidad de que X sea menor que su valor medio. ¿Por qué esa probabilidad no es 0.5?
Una justificación teórica, basada en el mecanismo de falla de cierto material, sirve de fundamento a la suposición de que la resistencia a la ductilidad X de un material tiene una distribución lognormal. Suponga que los parámetros son = 5 y = 0.1
Calcule E(X) y V(X).
Calcule P(X > 120).
Calcule P(110 X 130).
Si diez muestras diferentes de una aleación de acero de ese tipo se someten a una prueba de resistencia, ¿cuántas debería esperarse que tuvieran resistencia de por lo menos 120?
Si fueran 5% de los valores más pequeños de resistencia inaceptables, ¿cuál sería la resistencia mínima aceptable?
El artículo "The Statistics of Phytotoxic Air Pollutants" (J. Royal Stat. Soc., 1989, pp. 183 – 198) sugiere la distribución lognormal como un modelo para la concentración de SO2, sobre cierto bosque. Suponga que los parámetros son = 1.9 y = 0.9.
¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la concentración?
¿Cuál es la probabilidad de que la concentración sea a lo sumo 10? ¿Entre 5 y 10?
Se sabe que la tasa promedio de uso de agua (miles de litros por hora) en cierta comunidad implica una distribución logarítmica normal con parámetros = 5 y = 2.5 Es importante para propósitos de planeación obtener una apreciación de los períodos de alta utilización.
¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier hora dada, se usen a lo sumo 50 000 litros de agua?
¿Cuál es la probabilidad de que se usen entre 30 000 y 50 000?
¿Cuál es el valor esperado de galones de agua que se usan en cualquier hora dada?
En un período de 15 horas, ¿Durante cuantas horas se esperaría que se usaran a lo sumo 10 000?
Distribución Weibull
La vida útil X (en cientos de horas) de cierto tipo de tubos al vacío tiene una distribución de Weibull con parámetros = 2 y = 3. Calcule lo siguiente:
E(X) y V(X)
P(X 6)
P(5 X 6)
Los autores del artículo "A Probabilistic Insulation Life Model for Combined Thermal-Electrical Stresses" (IEEE Trans. On Elect. Insulation, 1985: 519 – 522) expresan que la distribución de Weibull se utiliza ampliamente en problemas de estadística relacionados con la obsolescencia de materiales aislantes sólidos sujetos a envejecimiento y esfuerzo. Proponen el uso de la distribución como modelo para el tiempo (en horas) hasta que fallan especímenes aislantes sólidos sometidos a un voltaje de CA. Los valores de los parámetros dependen del voltaje y la temperatura; suponga = 2.5 y = 200 (los datos de este artículo indican estos valores).
¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil de un espécimen sea a lo sumo 200? ¿Menos de 200? ¿Mas de 300?
¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil de un espécimen esté entre 100 y 200?
¿Qué valor es tal que exactamente 50% de los especímenes tienen vidas útiles que exceden ese valor?
Suponga que la vida de servicio, en años, de la batería de un aparato para sordos es una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull con = 2 y = 2.
¿Cuánto se puede esperar que dure la batería?
¿Cuál es la probabilidad de que tal batería esté en operación después de 2 años?
Sea X la resistencia a la tensión (ksi) a – 200ºC de un espécimen de acero de acero de cierto tipo que exhibe "fragilidad en frío" a bajas temperaturas. Suponga que X tiene una distribución de Weibull con = 20 y = 100.
¿Cuál es la probabilidad de que X sea a lo sumo 105 ksi?
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia se encuentre entre 100 y 105 ksi?
¿Cuál es la mediana de la distribución de resistencia?
En el artículo "Response of SiCf /Si3N4 Composites Under Static and Cyclic Loading – An Experimental and Statistical Analysis" (J. Engr. Materials and Technology, 1997: 186 – 193) se sugiere que la resistencia a la tensión en MPa de materiales compuestos bajo las condiciones especificadas se puede modelar mediante una distribución de Weibull con = 9 y = 180.
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de un espécimen seleccionado al azar sea mayor de 175? ¿De que esté entre 150 y 175?
Si se escogen al azar dos especímenes y sus resistencias son independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga resistencia entre 150 y 175?
¿Qué valor de resistencia separa al 10% más débil de especímenes del 90% restante?
