UNIDAD II PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD La probabilidad y estadística se relacionan de manera importante, ya que la probabilidad se emplea como una herramienta, que permite evaluar la confiabilidad de las conclusiones respecto a la población cuando solo se tiene información de una muestra. Probabilidad: es la posibilidad numérica de que ocurra un evento particular. La probabilidad permite calcular la fiabilidad o el error en las conclusiones obtenidas mediante inferencia estadística, por lo que es la base para esta parte de la estadística. Para entender las propiedades de la probabilidad es importante conocer algunos conceptos Técnicas de conteo Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales, para esto se utilizan las técnicas de conteo que nos ayudan a enumerar eventos difíciles de cuantificar. Técnica de conteo 1: Si cualquiera de n eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de k intentos, el número de resultados posibles es igual a nk Ejemplo1: Si una moneda (con dos lados) se arroja 10 veces, el número de resultados es 210= 1,024. Ejemplo2: Si un dado (con seis lados) se lanza dos veces, el número de resultados es 62=36 Técnica de conteo 2: n1…nk (experimentos de etapas múltiples) Si un experimento se lleva a cabo en k etapas, con n1 maneras para llevar acabo la primera etapa, n2 maneras para realizar la segunda, . . . , y nk maneras de lograr la k-ésima etapa, entonces el número de maneras para completar el experimento es (n1)(n2)…(nk). Para estos experimentos, el espacio muestral se puede representar en forma gráfica en un diagrama de árbol. Cada nivel sucesivo de la ramificación en el árbol corresponde a un paso requerido para generar el resultado final. Ejemplo1: suponga que le es posible ordenar un automóvil en uno de tres estilos y en uno de cuatro colores. Para determinar cuántas opciones están disponibles, piensa en escoger primero uno de los m = 3 estilos y luego seleccionar uno de los n = 4 colores. Por medio de la regla de mn como se muestra en la figura se tiene mn = (3)(4) = 12 posibles opciones.
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Técnica de conteo 3: Permutación (nPr ) número de formas en que un subconjunto(r) del grupo completo (n) puede ordenarse, donde el orden es relevante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos del grupo completo de datos. Los mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente. nPr=
n! (n r )!
Donde n ! se denomina n factorial y 0! se define como 1. Técnica de conteo 4: Combinación (nCr ) Cuando el orden en que se seleccionan los objetos no importa, tenemos lo que se denomina una Combinación. El número de modos de seleccionar r objetos de n objetos sin tomar en cuenta el orden es igual a n n! nCr= = r r! (n r )! Comparando esta regla con la anterior, vemos que difiere sólo en la inclusión de un término r! en el denominador. Esto se debe a que cuando contamos permutaciones, todos los arreglos de r objetos eran distinguibles; con las combinaciones, los r! arreglos posibles de objetos no son importantes. *Nota: una manera rápida de usar estas técnicas es usando las teclas de la calculadora nCr para combinaciones y nPr para permutaciones.
Propiedades de la probabilidad 1. La probabilidad de un evento simple puede ser un valor entre 0 y 1 0 P(E) 1 2. La suma de todas las probabilidades de los posibles resultados(s) es igual a 1 P(E1)+ P(E2)+ P(E3)+ P(E4)+…+ P(En)=1 3. La suma de las probabilidades del evento A y su complemento es igual a 1 P(A)+ P(AC)=1 P(A)=1- P(AC) P(AC)=1- P(A)
LEYES DE PROBABILIDAD Ley aditiva general Para cualesquiera dos eventos A y B, no necesariamente excluyentes P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) Probabilidad Condicional e Independencia Probabilidad condicionada: Es cuando la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido con otro evento: P(A|B) probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido. P(A|B)=
(
)
P(A y B) P(A)
(
) ( ) 2
Probabilidad condicional de A P(A B). Es la probabilidad conjunta porque denota la intersección de dos eventos, A y B. P(A) y P(B) se denominan probabilidades marginales Ley multiplicativa Esta ley se deriva de la definición de probabilidad condicional y utiliza el concepto de intersección de eventos para su aplicación. Esta ley se utiliza para evaluar probabilidades ''y'', del mismo modo que la ley aditiva se utiliza para evaluar probabilidades "o". Ley multiplicativa de eventos independientes Si A y B son eventos independientes, entonces P(A B) = P(A) P(B)
P(A y B) = P(A) P(B)
Ley multiplicativa de eventos dependientes Si A y B son eventos dependientes, entonces P(A
B) = P(A | B) P(B)
P(A y B) = P(A dado B) P(B)
Proceso Para Calcular la Probabilidad de un Evento. 1) Hacer una lista de todos los eventos contenidos en el espacio muestral, se puede apoyar en las técnicas de conteo 2) Asignar la probabilidad que corresponda a cada evento simple. 3) Determinar los eventos simples que dan como resultado el evento de interés. 4) Sumar las probabilidades de todos los eventos simples que dan como resultado el evento de interés, ya que la probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de los eventos contenidos en A 5) Si es la probabilidad de más de un evento utilizar las reglas de probabilidad (utilizar conceptos de operaciones con eventos) Ejercicios de probabilidad 1. Indicar todos los espacios muestrales de los siguientes experimentos aleatorios. a) b) c) d)
Lanzar una moneda al aire Realizar llamada para una venta Jugar un partido de futbol Lanzar una moneda al aire 2 veces
e) f) g) h)
Lanzar una moneda al aire 3 veces Lanzar un dado Lanzar una moneda y un dado Lanzar un dado 2 veces
2. En el experimento de lanzar dos monedas y un dado. Encontrar el espacio muestral y los eventos F y así como la unión e intersección de estos. Se define los siguientes eventos: F = {que aparezca dos caras y un número par}
G = {que aparezca un dos}
3. Un experimento requiere lanzar un solo dado. Éstos son algunos eventos. A: observar un 2 B: observar un número par C: observar un número mayor que 2 D: observar A y B E: observar A o B o ambos F: observar A y C
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a) Liste los eventos simples del espacio muestral b) Liste los eventos simples de cada uno de los eventos de A hasta F c) Asignar las probabilidades a cada evento. 4. Si se lanza una moneda al aire calcular la probabilidad del evento simple “salir águila” y decir el enfoque utilizado. 5. Se tiene experimento lanzar una moneda al aire y se repite 50 veces y se obtiene que el evento simple “salir águila” ocurre 45 veces, calcular su probabilidad y decir el enfoque utilizado. 6. Se lanzan dos dados no cargados. Indique la probabilidad de que: a) b) c)
Salgan un 3 en cada dado No salga ningún 5 Salga algún 5
d) e)
No salga ningún 5 ni ningún 6 Salgan solamente números pares
7. Una encuesta de 34 estudiantes de una universidad de México, mostró que estos tienen las siguientes especialidades Especialidad Total Contabilidad 10 Finanzas 5 Economía 3 Administración 6 Marketing 10 TOTAL 34 a) b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que tenga la especialidad en administración? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que tenga la especialidad en administración o en Finanzas? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que tenga la especialidad en administración y Marketing? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que no tenga la especialidad en administración?
8. Una encuesta de 34 estudiantes de una universidad de México, mostró que estos tienen las siguientes especialidades Especialidad Total biología 10 bioquímica 5 física 3 Administración 6 química 10 TOTAL 34 a) b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que tenga la especialidad en bioquímica? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que tenga la especialidad en bilogía o en física? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que tenga la especialidad en administración y química? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante que no tenga la especialidad en bioquímica?
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9. Se saca una bola de una urna que contiene 12 bolas, 7 azules y 5 rojas, a) ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? b) ¿cuál es la probabilidad de que sea azul? c) ¿cuál es la probabilidad de que sea azul o roja?, ¿cómo es el evento? d) ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?, ¿cómo es el evento? e) ¿cuál es la probabilidad de que sea azul y roja?, ¿cómo es el evento? 10. Se va a realizar una encuesta sobre un nuevo plan de cuidado de la salud, a una muestra de empleados de una empresa importante, los empleados se clasifican de la siguiente manera Clasificación Supervisor Mantenimiento Producción Administración Secretarias TOTAL a) b) c) d) e)
Número de empleados 120 50 1460 302 68
¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea de mantenimiento o secretaria? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea Supervisor? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea de administración? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea de Producción y Secretaria? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida no sea de administración?
11. Se tienen 10 latas de refresco en el refrigerador, 3 son fanta y 7 son coca-cola a) ¿Cuál es la probabilidad de que se saquen 2 latas sin reemplazo que sean fanta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se saquen 2 latas con reemplazo que sean fanta? 12. Al fabricar sistemas de computación, se ha observado que el 16% de los equipos recién ensamblados presenten exactamente un defecto, el 4% tiene exactamente dos defectos y el 1% tiene tres defectos o más. ¿Cuál es la probabilidad de un equipo seleccionado al azar no tenga ningún defecto?
Tabla de Contingencia o de clasificación cruzada En una tabla de frecuencia o de resumen los datos se organizan de modo que sólo consideramos una variable a la vez. Las tablas de contingencia son la clasificación cruzada que resume simultáneamente 2 eventos de interés, así como la relación de estos Probabilidad simple o marginal: probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia. Probabilidad conjunta (intersección) Se usa para referirse a la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos simples simultáneamente.
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1. ¿Cuál es la probabilidad conjunta y cuál es la probabilidad marginal de la siguiente tabla de contingencia? Fuma Si No TOTAL(marginal)
Sexo M 65 43 108
F 58 67 125
Total (marginal) 123 110 233
2. En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la Tabla de contingencia. Satisfecho con la carrera Si No TOTAL a) b) c) d) e)
Satisfecho con el progreso Si No 362 18 380
350 70 420
Total 712 88 800
Encontrar las probabilidades marginales Encontrar las probabilidades conjuntas Calcular la P(“Está satisfecho con su carrera” o “No está satisfecho con su carrera”) Calcular la probabilidad de que está satisfecho con la carrera dado que está satisfecho con su progreso en la misma Probabilidad de que está satisfecho con la carrera y con su progreso en la misma.
3. Se realizó una encuesta de 150 adultos clasificados según su género y la cantidad de películas que vieron el mes pasado. Cada entrevistado se clasifica de acuerdo a 2 criterios que son su género y cantidad de películas vistas Películas vistas 0 1 2 o más TOTAL a) b) c) d) e) f) g)
Genero M 20 40 10s 70
Total F 40 30 10 80
60 70 20 150
¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que sea mujer y haya visto 1 película? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que sea mujer y no haya visto películas? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que sea hombre y haya visto 2 o más películas? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que sea no haya visto ni una película? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que haya visto 2 o más películas? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que haya visto 2 o más películas dado que es hombre? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un encuestado que sea mujer dado que no ha visto ninguna película?
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VARIABLES ALEATORIAS Algunos experimentos dan origen a resultados de índole cuantitativa (como dólares, peso o número de niños); otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (como el color o género). Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado. Ya que en algunos casos es necesario cuantificar el comportamiento aleatorio de S (espacio muestral), nace el concepto de variable aleatoria, que permite relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa 2.3.1 Concepto de variable aleatoria Es la cantidad que da como resultado de un experimento, y este depende del azar, puede tomar valores diferentes, por eso se le denomina aleatoria Si se tiene un espacio muestral S, una variable aleatoria puede asignar un valor numérico a cada posible resultado del espacio muestral S. Las variables aleatorias se pueden dividir en v. a. discreta y v. a. continua.
Variable aleatoria discreta (X): Se le denomina aleatoria porque puede obtener cualquier valor tomado totalmente al azar y discreta porque solo tomar valores enteros y un número finito de ellos.
Variable aleatoria continua (X): Se le denomina aleatoria porque puede obtener cualquier valor tomado totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número finito de ellos. Ejemplos de V.A.X X=número de alumnos que faltaron a la clase de estadística el viernes. X=peso de un grupo de la alumnos. X=número de caras en el lanzamiento de 2 monedas. X=tiempo de traslado de la casa a la universidad. X=distancia de la universidad a nuestras casas
Para construir la v.a.X es necesario definir todos los posibles resultados del experimento de manera que al aplicar la regla o mecanismo se pueda asignar a cada resultado un valor numérico. Este valor será el de la variable aleatoria en consideración. Se acostumbra representar con letras mayúsculas a las variables aleatorias y a los valores posibles de una variable aleatoria se representan usualmente con las letras minúsculas correspondientes; Ejercicio1: Consideremos el experimento “Lanzar 3 veces 1 moneda al aire”, determinar el espacio muestral del experimento y determinar la variable aleatoria “Número de águilas en 3 lanzamientos”
2.3.2 Función de Probabilidad Es una regla de correspondencia que asocia a cada posible valor de X su respectiva probabilidad. Por lo general se representa por P(x) y puede tomar nombres diferentes según el tipo de v. a. X 2.3.3 Distribuciones de probabilidad Enlista todos los posibles resultados de un experimento, junto con su respectiva probabilidad Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, que muestra los valores posibles de X y su probabilidad p(X) 7
Ejercicio 2: Realiza la distribución de probabilidad de que caiga águila al lanzar 3 veces una moneda al aire
Con la forma de la gráfica se puede observar cómo se distribuyen las probabilidades, las formas más comunes son simétricas o sesgadas (a la derecha o a la izquierda).
Función de distribución acumulada de x Es la probabilidad de que la v. a. X asuma valores menores o iguales a x. P(X ≤ x) Como se observó en el primer parcial los conjuntos de datos se pueden describir por: sus medidas de tendencia central, de posición, de variación y por su forma. A continuación se estudiaran algunas de ellas aplicadas a las distribuciones de probabilidad.
2.5 Parámetros de una variable aleatoria X discreta a partir de una distribución de frecuencia 2.5.1 Valor esperado o esperanza de una v. a. X Mide donde está centrada la distribución de probabilidad de la v. a. X. Es el valor promedio que se esperaría observar si el experimento se pudiera repetir indefinidamente. Se representa como E [X] y se obtiene con la siguiente formula. [ ]
∑
( )
Donde [ ] Valor esperado o media x=valor que puede obtener x ( ) Probabilidad de x Ejercicio 3: Encontrar el valor esperado de la probabilidad de que caiga águila al lanzar 3 veces una moneda al aire Nota: Si se obtiene el valor esperado en un juego de azar, nos puede indicar que ganancia se esperaría obtener en el juego, una ganancia positiva indicaría que se ganaría esa cantidad y una ganancia negativa indicaría una perdida, en ambos casos el juego sería injusto porque no es equitativo, para que fuera justo o equitativo la ganancia tendría que ser igual a 0. 2.5.2 Varianza y desviación estándar de una v. a. X Se utilizan para describir el grado de dispersión o variación en una distribución de probabilidad de la v. a. X. La varianza se calcula con la siguiente formula ∑(
)
( )
Donde = Valor esperado o media x= valor que puede obtener x ( ) Probabilidad de x = Varianza ( La desviación estándar se obtiene al sacar la raíz cuadrada de la varianza
√
)
Ejercicio 3: Encontrar la varianza y la desviación estándar de la probabilidad de que caiga águila al lanzar 3 veces una moneda al aire 8
Ejercicios de distribuciones de probabilidad Ejercicio1: Juan Pérez vende automóviles nuevos de la agencia TroncoMovil. Generalmente, los sábados vende el mayor número de vehículos. El Sr. Pérez, tiene la siguiente distribución de probabilidad que espera vender en un día sábado en particular X=Número de automóviles vendidos
P(x)
0 1 2 3 4 Total a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l.
0.10 0.20 0.30 0.30 0.10 1.00
En un sábado común, ¿cuántos vehículos espera vender? ¿Cuál es la varianza de la distribución de probabilidad? ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución de probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de que venda 1 automóvil? ¿Cuál es la probabilidad de que venda 4 automóviles? ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0 automóviles? ¿Cuál es la probabilidad de que venda menos de 3 automóviles? ¿Cuál es la probabilidad de que venda más de 2 automóviles? ¿Cuál es la probabilidad de que venda a lo más 3 automóviles? ¿Cuál es la probabilidad de que venda a lo menos 1 automóvil? ¿Cuál es la probabilidad de que venda cuando mucho 1 automóvil? ¿Cuál es la probabilidad de que venda por lo menos 3 automóviles?
Ejercicio2: En una rifa se venden 10,000 boletos de a $10 cada uno y se van a otorgar 3 premios, el primero es una computadora con valor de $10,000, el segundo premio es un equipo de sonido con valor de $6000, el tercer premio es una televisor con valor de $3000. a. b.
Si tú compras un boleto ¿Cuál es la ganancia esperada? ¿consideras que el juego es equitativo o justo? ¿porque?
FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE LAS VARIABLES ALEATORIAS Se han desarrollado varios de modelos matemáticos para representar diversos fenómenos discretos que ocurren en las ciencias sociales y naturales, en investigación médica y en los negocios. A continuación se presentan algunos ejemplos de estos V.A.X DISCRETA Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución Hipergeométrica Distribución Geométrica Distribución Binomial Negativa
V.A.X CONTINUA Distribución Uniforme Distribución Normal Distribución Beta Distribución Gamma Distribución Exponencial Distribución t de Student
Las distribuciones de probabilidades más importantes que veremos en el curso son: Distribución Binomial y Distribución Poisson dentro de las variables discretas y Distribución Uniforme y Distribución Normal dentro de las variables continuas. 9
2.6 Distribución Binomial 2.6.1 Eventos Bernoulli Experimentos con dos posibles resultados mutuamente excluyentes, a los que se denominarán éxito y fracaso. Los siguientes son ejemplos de ensayos Bernoulli: Un tornillo, puede estar defectuoso o no defectuoso. El sexo de un bebé al nacer: niño o niña. La respuesta correcta o incorrecta en un examen. el hábito de fumar (sí/no) una persona puede estar enferma o saludable 2.6.2 La Función de probabilidad Binomial Es una distribución de probabilidad discreta ya que los datos son resultados de conteos y está basada en los Ensayos o pruebas Bernoulli,
2.6.3 Características la distribución binomial Se tiene un Número finito de ensayo idénticos (bajo las mismas condiciones) el cual lo podemos representar con n La v.a X de interés permite contar el número de éxitos en n ensayo independientes de Bernoulli, El resultado de cada ensayo de un experimento se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso. La probabilidad de éxito se denota con la letra p y la probabilidad de fracaso se denota con q y se obtiene con q=1-p, estas probabilidades se mantienen iguales para cada ensayo. Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo no influye en el resultado de otro. Ejemplo: Un examen incluye 20 preguntas de opción múltiple. Cada pregunta contiene cinco elecciones y solo una de ellas es correcta ¿Este será un caso de Distribución Binomial? ¿Cumple con las características de la distribución binomial?
¿Cómo se calcula una probabilidad binomial?
Para construir una probabilidad binomial en particular se necesita: n (número de ensayos o pruebas) B(n,p) → p (probabilidad de éxito en cada ensayo; 0≤ p≤ 1) P(X=x) → x (número de éxitos; 0≤ x≤ n) En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, la variable aleatoria X indicará los números de éxitos los cuales tomarán los valores 0, 1, 2, ...n. y la formula es la siguiente: La probabilidad de obtener x éxitos es
n P( X x) p xqn x x Dónde: P(X=x) = probabilidad de x éxitos dados los valores n y p n = tamaño de la muestra p = probabilidad de éxito q= probabilidad de fracaso 1 – p x = número de éxitos en la muestra (x = 0, 1, 2, … n) 10
La media y la desviación estándar de la distribución binomial La media de la distribución binomial puede obtenerse fácilmente como el producto de sus dos valores, n y p.
np
La varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad binomial con los valores n y p es: 2
npq
npq
Forma (Sesgo): Una distribución binomial puede ser simétrica o sesgada. Siempre que p = .5, la distribución binomial será simétrica sin importar qué tan grande o pequeño sea el valor de n. Sin embargo, cuando p≠.5, la distribución estará sesgada. Mientras más cercana esté p de .5 y mayor sea el número de observaciones n, menos sesgada será la distribución. Si p<.5 se tiene sesgo positivo y si p>.5 se tiene sesgo negativo
Tablas de probabilidad binomial: Con la fórmula de la binomial se construye una distribución de probabilidad binomial para cualesquiera valores de n y p. Sin embargo, si n es grande, los cálculos consumen más tiempo. Por conveniencia, hay tablas que muestran el resultado de la aplicación de la fórmula en el caso de varios valores de n y p e indica la probabilidad de obtener un valor específico de x (ocurrencia del evento).
Para localizar la probabilidad, buscar el valor de p a lo largo del encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localizar n y x en el margen izquierdo.
2.6.4 Aplicaciones de la distribución binomial Ejercicio1: En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de que caiga águila es .5 Si se realizan 3 lanzamientos cual es la probabilidad de: a) b) c) d)
El número de águilas sea igual a El número de águilas sea igual a El número de águilas sea igual a El número de águilas sea igual a
0 1 2 3
e) Encuentra el valor esperado f) Encuentra la varianza g) Encuentra la desviación
estándar
Ejercicio2: Juan el alumno más distinguido del salón tiene probabilidad del 40% de reprobar la materia, calcular la probabilidad de que apruebe 3 de los 5 exámenes parciales. Ejercicio3: Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve personas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) b) c) d) e) f) g)
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos? Exactamente cuatro personas hayan utilizado un agente de descuentos? Ninguna persona haya utilizado un agente de descuentos? A lo más dos personas hayan utilizado un agente de descuentos? Más de dos personas hayan utilizado un agente de descuentos? Menos de 3 personas hayan utilizado un agente de descuentos? Por lo menos 3 personas hayan utilizado un agente de descuentos?
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Ejercicio4: De todos los libros de Harry Potter comprados en el último año alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o mayores. Si 12 seguidores de Harry Potter quienes compraron los libros ese año son encuestados, encuentra las siguientes probabilidades a) b) c) d)
2 de ellos son de 14 años o mayores Menos de 3 de ellos son de 14 años o mayores Por lo menos 5 de ellos son de 14 años o mayores Exactamente 9 de ellos son de 14 años o mayores
Ejercicio5: US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh al Aeropuerto Regional de Bradford, Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.20. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de uno de los vuelos llegue tarde hoy? Ejercicio6: Cinco por ciento de los engranajes de tornillo producidos en una fresadora automática de alta velocidad Carter-Bell se encuentra defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que, en seis engranajes seleccionados, ninguno se encuentre defectuoso? ¿Exactamente uno? ¿Exactamente dos? ¿Exactamente tres? ¿Exactamente cuatro? ¿Exactamente cinco? ¿Exactamente seis de seis?
2.7 Distribución de Poisson Es una función de distribución de probabilidad de variable discreta que tiene muchas aplicaciones prácticas importantes. Un proceso de Poisson no sólo representa numerosos fenómenos discretos, sino que el modelo de Poisson también se usa para proporcionar aproximaciones a la distribución binomial. La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico, el intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen, etc. En esta distribución el número de eventos que ocurren por intervalos de tiempo espacio, es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado. La distribución Poisson posee diversas aplicaciones, los siguientes son algunos ejemplos de fenómenos con distribución de Poisson
Número de llamadas por hora que llegan al conmutador de una estación de policía. número de llegadas de clientes a la caja en un minuto número de accidentes en la carretera federal 75 en un periodo de tres meses, Número de averías de una maquina durante un día Número de chispas de chocolate en una galleta. Número de defectos en una tela por m2 Número de palabras mal escritos por pagina en un periódico
En cada uno de los casos anteriores, la v.a X cuenta el número de eventos que ocurren en un periodo de tempo o espacio (longitud, pieza, área, etc.) Durante el que se puede esperar que ocurra un promedio de μ de tales eventos, lo anterior representa de un proceso de Poisson.
Nota: Algo que es importante considerar es que por lo general la variable aleatoria no posee un límite superior específico.
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Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson. La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede asumir valores enteros (0,1,2,3 etc.) . La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula: 2.7.1 Función de probabilidad de Poisson
p ( x, ) p ( X x )
e ( ) x x!
x=0,1,2,... 0 Donde: p(x, ) =p(x)=p(X=x) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es = valor esperado o promedio de éxitos por unidad de tiempo, espacio, etc. e = 2.71828… (Base de logaritmo natural) x = número de eventos que ocurren en un periodo de tiempo o espacio x!= factorial de x Por lo tanto para el cálculo de esta distribución solo se debe tener definido el promedio o valor esperado ()
2.7.2 Características de una Distribución de Poisson
Forma (Sesgo) Cada vez que se especifica el parámetro , puede generarse una distribución de probabilidad de Poisson específica. Una distribución de Poisson siempre estará sesgada a la derecha cuando es pequeña, y se aproximará a la simetría (con un pico en el centro) al crecer .
La media y la desviación estándar Una propiedad interesante de la distribución de Poisson es que la media y la varianza son cada una iguales al parámetro. Por tanto
E[X ]
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Tablas de probabilidad Poisson: Con la fórmula de la Poisson se construye una distribución de Poisson con cualquier valor de λ, pero existen tablas para algunos valores de λ, solo que muestra la probabilidad acumulada.
La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial. La distribución de Poisson puede ser una razonable aproximación a la binomial, pero sólo bajo ciertas condiciones. Tales condiciones se presentan cuando n es grande y p es pequeña, esto es n=>20 p=<0.05
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2.7.3 Aplicaciones de la distribución Poisson Ejercicio1: Por estudios pasados se sabe que el número de llegadas de autos, a la rampa de un cajero automático en un lapso de 15 min. Es 10, se desea saber cuáles la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos Ejercicio2: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba… a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Ejercicio3: El número promedio de accidentes de tránsito en cierta sección de una autopista es 2 por semana. Suponga que el número de accidentes sigue una distribución Poisson a) Encuentra la probabilidad de que no ocurran accidentes en esta sección durante 1 semana b) Encuentra la probabilidad de por lo menos 2 accidentes en esta sección durante1 semana c) Encuentra la probabilidad de a lo más 3 accidentes en esta sección durante 2 semanas d) Encuentra la probabilidad de a lo más 3 accidentes en esta sección durante 2 semanas e) Encuentra la probabilidad de por lo menos 2 accidentes en esta sección durante 2 semanas Ejercicio4: El número promedio de clientes que llegan durante la hora del almuerzo de 12 a 1 PM a un banco localizado en el distrito comercial central de una ciudad grande, es igual a 180. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado lleguen exactamente dos clientes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos clientes lleguen en un minuto dado? Ejercicio5: Cada año ocurren en promedio 15 accidentes aéreos. a) ¿Cuál será el número medio de accidentes aéreos por mes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún accidente aéreo por mes? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente un accidente aéreo por mes? d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un accidente aéreo por mes?
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Distribuciones de probabilidad continuas 2.8.1 Concepto de Área Se refiere a un espacio que se encuentra comprendido entre ciertos límites. En este sentido, un área es un espacio delimitado por determinadas características. Las distribuciones de probabilidad sirven para hacer afirmaciones relativas a los valores de una variable aleatoria. En el caso de distribuciones que describen una variable aleatoria continua, las áreas dentro de la distribución representan probabilidades, el área total de la distribución siempre será 1 y esta se obtiene según la figura que forma la distribución Dentro de las distribuciones de probabilidad continuas las más comunes son: la uniforme y la normal 2.8.2 Distribución uniforme La distribución de probabilidad uniforme es, tal vez, la distribución más simple de una variable aleatoria continua. La distribución tiene forma rectangular y queda definida por valores mínimos y máximos. He aquí algunos ejemplos que se rigen por una distribución uniforme. El tiempo de vuelo de una aerolínea comercial de Orlando Florida, a Atlanta Georgia, varía de 60 a 120 minutos. La variable aleatoria es el tiempo de vuelo dentro de este intervalo. Observe que la variable de interés, el tiempo de vuelo en minutos, es continua en el intervalo de 60 a 120 minutos. Los voluntarios de la Grand Strand Public Library elaboran formas para declaraciones de impuestos federales. El tiempo de elaboración de una forma 1040-Z se rige por una distribución uniforme en el intervalo de 10 a 30 minutos. La variable aleatoria es la cantidad de minutos que tarda llenar la forma, y puede tomar valores entre 10 Y 30.
Formula de la función de densidad uniforme
P( x)
1 ba
a x b,
ab
La media de una distribución uniforme se localiza a la mitad del intervalo entre los valores mínimo y máximo. Se calcula de la siguiente manera:
ab 2
La desviación estándar describe la dispersión de una distribución. En la distribución uniforme, la desviación estándar también se relaciona con el intervalo entre los valores máximo y mínimo.
(b a) 2 12 2
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En el caso de la distribución uniforme, su forma rectangular permite aplicar la fórmula del área de un rectángulo. El área de un rectángulo se determina al multiplicar la longitud por la altura. En el caso de la distribución uniforme, la altura del rectángulo es p(x), que es 1/(b - a). La longitud de la base de la distribución es b - a. El área total dentro de una distribución de probabilidad continua es igual a 1.00. En general:
Area (altura)(base)
1 (b a) 1 (b a)
Por lo tanto las probabilidades para las variables aleatorias uniformes se pueden encontrar geométricamente. 2.8.3 Aplicaciones Ejercicio1: suponga que Y está distribuida uniformemente entre 0 y 50. ¿Cuál es la probabilidad de que Y se encuentre entre 10 Y40? Ejercicio2: Una compañía que vende por correo programas de software para microcomputadoras, ha encontrado que entre el 5% y el 15% de los pedidos diarios requieren un envío especial. Suponga que, como una primera aproximación, consideramos que la distribución de Y = porcentaje de pedidos en un día seleccionado al azar es uniforme sobre el intervalo que va de 5 a 15. Encuentre la media y la desviación estándar de Y y la probabilidad de que Y se encuentre entre 9 y 12. 2.9 Distribución Normal La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística, ya que, sirve para modelar una gran cantidad de situaciones prácticas. A continuación se presentan algunos ejemplos por lo que es importante esta distribución Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras. Se puede usar para realizar aproximaciones de otras distribuciones La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés que se deseen estudiar. Proporciona la base de la inferencia estadística debido a su relación con el teorema del límite central 2.9.1 Características más importantes de la distribución normal
Tiene forma de campana y es simétrica en apariencia. Es simétrica respecto a la media µ. La media, la mediana y la moda son iguales. El área total debajo de la curva y por encima del eje x es igual a una unidad cuadrada La normal queda completamente determinada por los parámetros µ y σ Es asintótica, la curva se aproxima más y más al eje X, sin tocarlo en realidad, Es decir, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. La forma de la campana depende de los parámetros µ y σ. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica se desplaza a lo largo del eje horizontal. El parámetro σ indica la dispersión de los datos entorno a la media, así cuando mayor sea σ mas plana será la curva, tal como se indica en la siguiente figura.
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Definición Distribución Normal. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución de probabilidades normal con media µ y varianza σ2 se denomina N (µ, σ2) si su función de densidad es de la forma:
Donde x representa un valor de la variable que puede tener valores de -∞< x < ∞ 2.9.2 parámetros µ: media de la distribución, -∞< µ<∞ σ: desviación estándar de la distribución, σ > 0 Por lo que se puede observar que para el cálculo de estas distribuciones solo se necesitan los parámetros media y varianza o desviación estándar 2.9.3 Distribución Normal estándar Al usar la fórmula de estandarización cualquier variable aleatoria normal X se convierte en una variable aleatoria normal estandarizada Z. Mientras los datos originales para la variable aleatoria X tenían una media µx y una desviación estándar σx la variable aleatoria estandarizada Z siempre tendrá una media µ=0 y una desviación estándar σ= 1. Este proceso de normalización transforma la función original N (µ, σ) en una función estandarizada N (0; 1) resultando interesante en la práctica, ya que de esta distribución existen tablas publicadas a partir de las que se puede obtener la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z. La fórmula de estandarización es: x-µ
Z=
σ
Donde x = valor de la variable aleatoria de interés. µ = media de la distribución de la variable aleatoria. σ = desviación estándar de la distribución. z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución. (El uso de z es solamente un cambio de escala de medición del eje horizontal) Cálculo de área o probabilidad en bajo la curva normal estándar Se utiliza la tabla de áreas. Ejemplo 1: Calcular el área para z≤ 2
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Ejemplo 2: Si de la población de posibles valores de z, se elige uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre entre 0.84 y 2.45 inclusive? Ejemplo 3: Calcular P( z≥ 2.71). 2.9.4 Aplicaciones Ejercicio1: Los ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio se rigen por una distribución de probabilidad normal con una media de $1000 y una desviación estándar de $100. a) b)
¿Cuáles el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibe $1100 semanales? ¿Y para un supervisor que gana $900 semanales?
Ejercicio2: Los niveles de colesterol total en la población general se distribuyen normalmente con µ=200 y σ = 20. Si de esta población se selecciona un sujeto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) b) c)
tenga un valor entre 170 y 200? tenga un valor menor a 180? Tenga un valor de 190 o más.
Ejercicio3: La duración aleatoria de un determinado tipo de artículos, en horas, viene regulada por la ley de probabilidad N(180; 25). Encuentra la probabilidad de que la duración de tal artículo sea a) b) c)
superior a 170 horas. inferior a 165 horas. entre 165 y 170 horas.
Ejercicio4: En enero del 2003 un empleado estadounidense pasaba en promedio, 77 horas conectado a Internet durante las horas de trabajo (CNBC, 15 marzo del 2003). Suponga que la media poblacional es 77 horas, tiempos que están distribuidos normalmente y que la desviación estándar es 20 horas a) b) c)
¿Cuál es la probabilidad de que en enero del 2003 un empleado seleccionado aleatoriamente haya pasado menos de 50 horas conectado a internet? ¿Cuál es la probabilidad de que en enero del 2003 un empleado seleccionado aleatoriamente haya pasado entre 40 y 60 horas conectado a internet? ¿Cuál es la probabilidad de que en enero del 2003 un empleado seleccionado aleatoriamente haya pasado más de 70 horas conectado a internet?
Ejercicio5: Un artículo publicado en American Demographics afirma que la cantidad de personas que van de compras los fines de semana es más del doble que durante la semana. No solo eso, si no que gastan más dinero en sus compras los sábados y los domingos. Suponga que la cantidad de dinero gastada en los centros comerciales entre las 4 y las 6 p.m. los domingos tiene una distribución normal con una media de $85 y una desviación estándar de $10. Se elige al azar un comprador entre las 4 y las 6p.m. y se le pregunta acerca de sus patrones de gasto. a) b) c)
¿Cuál es la probabilidad de que haya gastado más de 90 dólares en el centro comercial? ¿Cuál es la probabilidad de que haya gastado menos de 110 dólares en el centro comercial? ¿Cuál es la probabilidad de que haya gastado entre 90 y 100 dólares?
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