pendulo fisico y teorema de steiner

[PRIMER LABORATORIO DE FISICA II]

UNI-FIM

"UNIVERSIDADNACIONALDE INGENIERÍA" FACULTAD DE INGENERÍA MECÁNICA 1° Laboratorio de Física II

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER PROFESOR:

Avila

INTE INTEGR GRAN ANTE TES: S: Arro Arroyo yo Apa Aparc rco, o, Joe Joell Elia Eliass Ñiquen Barrera, Juan Francisco SEIONES:

!F"

Lima – Perú 11 de abril del !1"

1


UNI-FIM

Índice

Objetivos

3

Fundamentación teórica 3

Hoja de datos 5 Cálculos !rá"cos # resultados 5

Conclusiones # recomendaciones 1$ %iblio!ra&'a 1(

)


UNI-FIM

I.OBJETIVOS: Comprobar experimentalmente experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metálica, midiendo el periodo de oscilación del mismo, para varias posiciones del centro de oscilación. Hallar la variación del T(periodo), respecto a la lonitud entre el C.!, y el e"e en #ue oscila. $eterminar el tipo de movimiento respecto al ánulo de iro de la barra metálica. %aber el procedimiento del cálculo de momento de inercia para cuerpos con eometría desconocida. desconocida. II.FUNDAMENTO II.FUNDAMENTO TEORICO: &éndulo 'ísico %e llama péndulo físico a a#uel cuerpo ríido capa de pivotar a través de un e"e *oriontal fi"o+ como se muestra en la fiura (a), este al ser desplaado de su posición de e#uilibrio, e#uilibrio, fiura (b), aparece un tor#ue tor#ue e"ercido por la fuera fuera de ravedad y teniendo como línea de acción al e"e *oriontal en el #ue se suspende el cuerpo ríido y con dirección contraria al desplaamiento anular , y de esta forma llevar al cuerpo ríido a su posición de e#uilibrio, e#uilibrio, posición #ue no lora obtener debido a la inercia del cuerpo ríido, llevándola así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un tor#ue recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio. -n el péndulo simple se cumple las siuientes relaciones (demostradas en el punto  de cálculos y resultados) $ónde

√

I T =2 π mgl

I O = I G + m l

T periodo. /o momento de inercia respecto al e"e. /! momento de inercia con respecto al centro de ravedad (cte).

2

m masa l lonitud del centro de ravedad al e"e #ue pasa por 0.

3l  lonitud del centro de ravedad a cada 2 de *ueco. 1

b lonitud de la barra(constante). a anc*o de la barra(constante).


2

I G =

•

UNI-FIM

2

m (a +b ) 12

3omento de /nercia $ado un e"e arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas #ue componen un sistema, y el cuadrado de las distancias 4r5 de cas partícula al e"e escoido. escoido. 6epresenta la inercia de un cuerpo a rotar. 3atemáticamente 3atemáticamente se expresa como

I =

∑m r i

2

i

&ara un cuerpo de masa continua (medio continua) lo anterior se eneralia como

∫

2

∫

2

I = r dm= ρ r dV V

v

-l subíndice 7 de la interal indica #ue *ay interar sobre todo el volumen del cuerpo. -ste concepto desempe8a en el movimiento de rotación un papel análoo al de masa

inercial en el caso del movimiento rectilíneo y

unifor uniforme( me(la la masa masa es la resist resisten encia cia #ue #ue presen presenta ta un cuerp cuerpo o a ser acele acelerad rado o en traslación y el momento de inercia es la resistencia #ue presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. III.EQUIPO: • • • • •

9na barra metálica de lonitud : con au"eros circulares. 9n soporte de madera con cuc*illa $os mordaas simples 9n cronometro diital 9na rela milimetrada

IV.PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y DATOS OBTENIDOS:

*


UNI-FIM

a) %obre la mesa y apoyado sobre su base mayor, su"ete el soporte de madera con las mordaas simples b) Hallar Hallar el centro centro de masa de la barra suspendi suspendiéndo éndola la *orionta *oriontalmen lmente te en la cuc*illa( el punto de apoyo de la barra en e#uilibrio será su centro de ravedad C!) c) ;*ora suspenderla verticalmente por 1< de los =1 *uecos en la cuc*illa y *acerla oscilar separándola lieramente de su posición de e#uilibrio(>1?@) d) Hacer Hacer 1< oscilacion oscilaciones es para los A primeros primeros *uecos *uecos y para ? para los B #ue están mas cercanos al C!. e) ;notar el tiempo para lueo *allar el periodo (T) y también medir las distancias(/) del e"e de oscilación oscilación *acia el C!. C!. V.CALCULOS Y ERRORES: 1. TABLA I !c")

#1!$) ?<

.<

#%!$) B

.
B .B=

? .=<

#&!$)

# '("ed*

+ de $c*ac*,e$

T!S)

B.<

=<

<

BB .A

B=

B=

B=.1

.E=

.A?

B=.=

=<

<

B=.=B

B=.=?

B=.B<

B=.=D

=<

<

B1.E

B1.

B1.<

B1.D

=<

<

B1.<

B1.E<

B1.E

B1.E

=<

<

B1.??

B=.B=

B=.<

B=.
=<

<

BB.?

BB.BA

BB.B

BB.

=<

<

1A.1

1A.D

1A.A

1A.?A

1<

<

=<.<

=<.?B

=<.

=<.?

1<

<

=D.ED

=D.

=A.1

=D.E

1<

<

< .=< B? .<< B< .1< =? .<< =< .1< 1? .=< 1< .=< ? .=<

%. -RAFICA PERIODO !T) $ DISTANCIA DISTANCIA AL AL EJE DE OSCILACION !I)

5


UNI-FIM

;"uste de la curva curva mediante la parábola parábola mínimo mínimo cuadrática /*

0* ?. 1<. 1?.

/*0* /*% /%*0* /&* =.?ED 1?.
/2* 1E?.11= 11B1.DED 1=?E.A1= 1BD<.ED BE.B1= D=B=<.1=ED 1A1AA.BDE

=<.

1.D?D

B.

B=.D

A1D.?1

EE.E1=

D B
=?.

1.?EE

1.=?=

DD?.D

1
1A1AB.?1=

D EEE1A.E

B<. B?. <. ?. ?<.

1.?? 1.D
.1 ?A.BA D?. A.EAD .A?=

E.D 1=1.D 1DD.D =
1?
=E=1.11= ?=.A1= DAE1A.B1= ED
D 1D=D<1.
=B

1A.DA=

A<.EE=D

1<


<1A?.1=

1A<
3ediante las siuientes formulas n

n

n

❑ y = a n + a ∑ x + a ∑ x ∑ = = = 2

i

i

0

i

1

n

n

x y =a ∑ x ∑ = = i

i

i

0

i

1

i

1

❑ i

1

i

1

+a

n

x + a ∑ x ∑ = = 2

1

i

i

n

2

i

1

n

i

i

1

3

i

0

i

i

1

i

1

$e las ecuaciones (1), (= ) y(B) a
+

333333.!%)

n

2

i

3

i

1

x y =a ∑ x + a ∑ x + a ∑ x ∑ = = = = 2

3333.!1)

1

n

1

n

2

1

2

i

4

i

1

333333!&)


UNI-FIM

a1FG<.
T #$ l 3,,, )5,, 6 &./0,$ ,/2) - ,,/ 4 )( ),,, T

15,, 1,,, ,5,, -

1,,,

),,,

3,,,

*,,,

5,,,

+,,,

L

-ncontrar el valor de l para un mínimo como ya conocemos la función por la cual se rie rie #ue es una especi especie e de paráb parábola ola,, entonc entonces es *alla *allamos mos la prime primera ra deriva derivada da la iualamos a 4<5 Cero, asi obtenemos el máximo relativo 2

∂ ( 0.0011 x −0.0745 x + 2.8008 ) =0 ∂x

(

2 0.0011 x

) −0.0745=0

x =l =33.86 cm




UNI-FIM

b) E,c,#(a( e a( a( de  'a(a 45e e 'e(*d $ea $ea "6,*"

T i =2 π

√

I i mg li

%abemos por %teiner 2

I i = I G + m li

I

c) C"'a(ac*7, C"'a(ac*7, de $ a(e$ a(e$ de 8I9 b#e,*d$ e, b) c, e 45e b#*e,e de a (a;*ca e, a) $istancia obtenida mediante las ecuaciones (1.1) y (1.=)

/1 < &1.=> c"

$istancia obtenida en la rafica: rafica :

I% < &&.>= c"

$iferencia de error

:?.&@ c"

&orcenta"e de error

 E((( F F

33.86 – 31.68 33.86

x1<<

F D.  :a diferencia, se debe a #ue en los cálculos cálculos de las las ecuaciones ecuaciones (1) y (=), el momento de inercia del centro de ravedad de la barra (/!) fue calculado calculado suponiendo #ue dic*a dic*a barra era sólida y ríida, ríida, el cual, en la realidad no es así. así. ;demás, ;demás, la barra posee =1 au"eros. ;simismo, no se puede descartar el ran maren de error al medir la masa de la barra. d) C5 e$ e 'e(*d 'a(a e$#a d*$#a,c*a !d < &&.>= c")

%e tiene T5 F =I T5F 1.D<< s

$

√

0.18828 + 1.865 l

( 1.865 ) ( 9.81 ) l

2

, reemplaando reemplaando


UNI-FIM

e) De (a;*c e/*$#e d$ d$ '5,#$ de $c*ac*7, c, e "*$" "*$" 'e(*d I,d645e$ -xisten dos puntos con un periodo mas próximo uno cuando

/ B?. J TF1.D
J y el otro cuando / F <. y T F 1.D
Peri%d% &T' #$(Di$)a*+ia al e,e de %$+ila+i-* &d' 3 )-+ )-5 ) )

T&S'

1-)

1-+ 1-++ 1-+3 1-5( 1-+ 1-+1 1-+*

1-5

1

,-5

, ,

1,

),

3,

*,

5,

+,

d&+m'

Escriba aquí la ecuación .

&. TABLA % : N de G5ec

1

eHe de

!'e(*d)%

$c*ac*7,

T% !$%)

l !c") ?.>

M"e,# de

l ² !"%)

*,e(c*a Ι 

%.K@

!."%) D??A,E??

=?<,D

%

2?.>

%.=>

?D,BAA

=
&

2.>

%.?>

A,=E

1DD,D

2

&?.>

%.?K

=DB,A=E

1=1,D

(

[PRIMER LABORATORIO DE FISICA II] ?

&.>

%.?1

B?=,A1AB

E,D

=

%?.>

%.?=

B
DD?,D

K

%.>

%.K2

=D1,=<

B=,D

>

1?.>

%.@?

=1D<,<
=E,D

@

1.>

2.%

=<1=,<D

11D,D

1

?.>

=.K2

111,D?A

BB,D

2. aa( e (a;*c I * ,

SUMA

UNI-FIM

VS

I% I%

I*

I*  *%

I *%

1

D??A,E??

%?>.=2

1DE=B?DA.

B<
%

?D,BAA

=
11EB=1DA.1B

B=B?ADB=.E

&

A,=E

1DD.D

1=
=BAEAA?=.B?

2

=DB,A=E

1=1.D

?DA?<.
11
?

B?=.A1AB

E.D

BBEA<.E

1=B?DB.=?

=

B
DD?.D

=
EBDE
K

=D1.=<

B=.D

11=DE<.DA

DEA?ED<.D

>

=1D<.<
=1D<.<
DD?D=.E

DD?D=.E

@

=<1=.<D

=<1=.<D

<B=E.11

<B=E.11

1

111.D?A

111.D?A

B==1<1.
B==1<1.
BDD?D.ED1=

1?D??.1E

D1<1?EEA.EA

1,

1??1E=B.?


UNI-FIM

,,, &./0  1$+/ 4 1$+$

+,,, 5,,, *,,, m%me)*% de i*er+ia &./(+m' 3,,,

),,, 1,,, , ,

1,,,

),,,

di$)a*+ia  &+m '

?. De De (;*c (;*c de#e("*,a"$ I-0 M $e la ecuación / F /! K 3l= $onde 3L F 1.DA M /!LF1AA.A M.cm=

=. C"'a(a,d I- c, a ;("5a: /! F

1 12

3( :=Kb= )

bFB. cm : F11< cm 3 F1.D? M Entonces /! F 1=.AE M.cm=

11

3,,,


UNI-FIM

NO9- -66<6 -P&-6/3-QT;: %- 0RT970S

 -6606 /! F

7

1882.79

−1787.7

P 1<< 

1882.79

?

-sto se debe a #ue la barra no es *omoénea sino #ue tiene au"eros lo cual disminuye su 3omento de /nercia teórico. Q5 '5ede dec*( ace(ca de a "a$a

 -6606 3 F

1.865

−1.8647

1.865

P 1<<

 <.<1D También vemos #ue la masa es lieramente menor a la teórica , todo es debido a los =1 au"eros #ue presenta nuestro cuerpo ríido

K. E, E, e$#e e$#e ca$ ca$ Gaa(e" Gaa(e"$ $ e e45*ae,#e e45*ae,#e a ',d5 ',d5 $*"'e $*"'e de de a5He( + ?. T ? T ?

F =I

√

! " " g

F1.?EE s

g FE.1 mUs=

-ntonces

!" ! " "

1)

F

DB.?Bc


UNI-FIM

>. Ec5ac*7, 12.1

:a fiura fiura se muest muestra ra un cuerpo cuerpo de forma forma irreu irreula larr #ue #ue puede puede irar irar sin fricción fricción alrededor de un e"e #ue pasa por por el punto 0. -n la posición de e#uilibrio el el centro de ravedad esta directamente por deba"o del pivote+ en la posición mostrada en la fiura el cuerpo esta desplaado desplaado del e#uilibrio un ;nulo ;nulo  #ue usamos como coordenadas coordenadas para el sistema. :a distancia distancia de 0 al centro de ravedad ravedad es d, en momento de inercia del cuerpo alrededor del e"e rotación es / y la masa es m .Cuando el cuerpo se desplaa como se muestra, el peso m causa un momento de torsión de restitución. VF G(m )(dsen) -l sino neativo indica indica #ue el momento de torsión es *orario *orario si el desplaamiento desplaamiento es anti *orario y viceversa. %i se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de e#uilibrio. -l movimiento no es armónico armónico simple simple por#ue por#ue el momento momento de torsión V es proporcional proporcional al sen sen por  en radianes, y el movimiento es aproximadamente armónico simple. -ntonces VFG(md)

:a ecuación del movimiento es

# $ = I% , así #ue

13


UNI-FIM

2

d & −( mgd ) = I% = I 2

d'

2

d &

= 2 d '

−mgd & I

2

d & ¿ mgd − & =0 2 I d '

$e a*í vemos #ue la frecuencia anular esta dada por 

2



(

(=

√

mgd Ι

mgd Ι

:a frecuencia f es es 1U=I veces esto, y el periodo T es

T =2 π -C9;C/0Q 1.=

√

Ι mgd

-l momento de inercia para un sistema de n partículas con respecto de un e"e de iro es

1*


UNI-FIM

n

Ι =

mr ∑ = i

i

2

i

1

%i el cuerpo es tal #ue su masa esta distribuida en forma continua ,subdividimos su masa en elementos infinitesimales dm ubicados a una distancia r del e"e de rotación .esto sinifica #ue el momento de inercia esta dado por 

∫

Ι = r

2

dm

-n el diarama #ue se presenta presenta a continuación ,se da a conocer la ubicación ubicación del elemento de masa dm ,su ubicación relativa a los e"es (ubicados en el centro de masa y en & ,respectivamente). -l lector se da cuenta de forma inmediata #ue la separación entre los e"es es constante ,en este caso se simbolia con la letra a

:a fiura representa representa un cuerpo continuo ubicado ubicado en el plano de la *o"a ,donde ,donde el e"e  pasa por el centro de masa del cuerpo .esto sinifica #ue las coordenadas del centro de masa son dadas por

x cm ,

15

y cm ,


UNI-FIM

:as coordenadas del elemento de masa dm son 

8 r cos &

#r sen&

:as coordenadas del punto & son 

8a

#,

&or & pasa otro e"e de iro perpendicular perpendicular ala *o"a y paralelo al e"e e"e W . -l trao C& Fa . -l momento de inercia del cuerpo cuerpo con respecto al e"e W #ue pasa por por el centro de masa es 

Ι cm 

∫r

2

dm

-l momento de inercia del cuerpo con respecto de un e"e #ue pasa por & y #ue es paralelo al e"e  del centro de masa es 

∫

2

Ι ) = r dm

$e la fiura y aplicando el teorema del coseno para un trianulo ,#ue relaciona las dimensiones dimensiones de dos de sus lados y el ánulo comprendido entre ellos ,se obtiene 

2

2

2

∫

2

2

2

r = * + a −2 a* cos & = * + a −2 a%

$e manera #ue

∫

2

2

2

Ι ) = r dm = ( * + a −2 ax ) dm

1+


UNI-FIM

Ι ) =∫ * dm+∫ a dm− 2∫ a x dm 2

2

2

$ado #ue a es constante ,tenemos 

Ι ) 

∫ * dm+ a ∫ dm−2 a∫ x 2

2

2

dm= Ι cm+ a

∫ dm−2 a ∫ x dm

2

&or otro lado sabemos #ue por definición de coordenadas del centro de masa

x cm 

∫ xdm

donde M 

+

∫ dm

$e manera #ue

∫ xdm= + ,

cm

J puesto #ue *emos dic*o #ue el centro de masa tiene coordenada.

Tenemos

, cm = 0

∫ xdm=0 $e manera #ue

Ι )  Ι cm 4 a2 +

1

2


UNI-FIM

@. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS:  -l cálculo de momento de inercia para cuerpo #ue no presenta eometría conocida, es más fácil calcularlo utiliando el péndulo físico.  -n un péndulo físico, cuanto más se acerca el e"e de oscilación al centro de ravedad, su periodo disminuye y lueo aumenta.  -n un péndulo físico y simple el ánulo de iro debe ser muc*o menor a 1? rados, para #ue sea un 3.;.% (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un 3.;.; (movimiento armónico amortiuado).  -n el experimento se pudo *allar la lonitud de un péndulo simple e#uivalente a la barra metálica, utiliando previamente el periodo experimental.  -n el experimento experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico *ec*as en clase. laboratorio nos dimos dimos cuenta #ue existe fueras #ue no  -n el desarrollo del laboratorio consideramos consideramos en los resultados como la temperatura, la fuera de fricción del aire.  -l momento de inercia obtenido con la rafica

Ι vs !2 , varia con

respecto al momento de inercia obtenido con los datos medidos en el laboratorio, laboratorio, esto se debe por los valores aproximados aproximados de la formula periodo X inercia, y también en los valores aproximados aproximados en los cálculos de potencia para *allar los coeficientes de la función

2 ! = - ( Ι ) . :o mismo ocurre con la masa

de la barra.  -l periodo del movimiento es independiente de la masa ya #ue en la formula dada

T i F

2 π

√

Ι i mg l i

reemplaando reemplaando del momento de inercia inercia la masa del del

péndulo se cancela, por lo tanto el periodo no depende de la masa sino de la lonitud del e"e al punto en #ue la masa esta situada.

VI . I!IOG I!IOG*/-I */-I/ /:

 C0:-% 3-T-6 -instein y el nacimiento de la ran ciencia, -ditorial !-$/%; =<
1$


UNI-FIM

 %-6Y;J. %-6Y;J. 'ísica .Tomo // -$/T06/;: 3c!raZ 3c!r aZ Hill .Tercera .Tercera -dición -dic ión .3éxico ,1EEB . ,$oulas .'ísica .%istema . %istema de partículas .9nidad B .-ditorial  '/!9-60; ,$oulas /talrafica Caracas ,1EE?.  *ttpUUes.scribd.comUdocUA==B=ABU&enduloG'isicoGyGTeoremaGdeG %teiner *ttpUUes.scribd.comUdocU1BE<DE< UdocU1BE<DE
1(

pendulo fisico y teorema de steiner

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