Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
FACULTAD DE CIENCIAS U N I C A
ESCUELA DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO TEMA 1
Números Reales PRÁCTICAS
Alberto Gutiérrez Borda
Ica, Perú Abril de 2014
TEMA 1
Números Reales
PRÁCTICA 1.1 TEOREMAS AFINES ================================= =============================================== ====================== ======== Alberto Gutiérrez Borda* Demostrar: 2 2 01. (a + b)(a – b) b) = a – b b -1 03. Si a > 0 a > 0
2
05. (a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
1 1 . , a 0, 0, b 0 ab a b a b 08. Si a b y c 0, c c 1 09. Si a > 0, entonces 0 a 1 1 10. Si 0 < a < b, entonces 0 b a 2 2 11. Si 0 < a < b a < b . 2ab ab 13. Si a > 0 y b > 0 entonces ab ab 2 14. Pruebe que las desigualdades 0 a < b y 0 c < d , implican ac < bd . 18. Demostrar que si a < b entonces existe c IR, tal que a < c < b. 3a b 2a 2b a 3b 19. Demuestre que si a < b, entonces a b. 4 4 4 a b 20. Demuestre que 0 < a < b, entonces a ab b. 2 a b 1 1 21. Si a y b son números reales positivos distintos, pruebe que 2 2 a b b a 22. Si a > 0, b > 0, c > 0, a, b, c números reales distintos, distintos, demuestre que (a + b)(b + c)(c + a) > 8abc. a 2 23. Si bx - ax = 0, b 0, demuestre que x = 0 ó x . b 24. Siendo a < b < 0, halle el el conjunto solución de ax2 - bx 0. ab 25. Demostrar que si a > 0 y b > 0, 0, entonces ab . 2 28. Sea a + b = 2, a y b IR, demostrar que a4 + b4 2.
07.
1
2
02. a = b a = b ó a = - b 0 4. a ( b – c) c) = a.b – a.c a b ab 06. c c c
entonces . 30. Demuestre que si entonces . 31. Demuestre que entonces . 32. Demuestre que si entonces . . 33. Demuestre que si entonces 34. Demuestre que entonces . 29. Demuestre que si
35. Si x > 0, m > 0 y n m, demuestre que Alberto Gutiérrez Borda
n x
m x
está situado entre
UNSLG-ICA
n
y 1.
m
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TEMA 1
Números Reales
PRÁCTICA 1.2 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ================================= =============================================== ====================== ======== Alberto Gutiérrez Borda* Borda* Resuelva las ecuaciones:
2 x 3 6 3x 2 3 1 04. 1 x 4 x 3
01. 6x – 4 4 = 0,5x – 0,4 03.
05. 06.
2 x 3 2
2
3
02.
4 33 6
3 2x
( 5 x 4 )3 8 5x 2 2 5x
2
3
√ √ 08. √ √ 07.
2
2
2
2
donde a b 09. ax a bx b , donde 10. 0,2x – 1,2333... 1,2333... = 0,222...x 0,222...x + 1 2
11. Si bx - ax = 0, b 0, demuestre que x = 0 ó x 12.
a
b
2
.
13. La ecuación, mx + (2m - 0,2)x = - 0,4 – m, con m 0 es una familia de ecuaciones
cuadráticas, encontrar el valor ( o valores reales ) de n para que la ecuación dada tenga dos soluciones reales distintas.
y . √ √ . 15. Demuestra que si y entonces 16. Resolver . 17. Calcular el valor de en la ecuación , si sus raíces cumplen . 14. Demuestra que si
18. Si
tiene raíces iguales. Encontrar el valor (o ( o valores) de para que la ecuación también tenga raíces iguales. PRÁCTICA 1.3 INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
================================= ======================================================= ======================
Alberto Gutiérrez Borda* Resuelva: 01. 6x + 5 x – 5 2 03. y 4 2 5 05.
6 2 3 3
02. 3x + 2 5x – 4 4 04. 0 - 2(3y – 2) 2) 2 3
Alberto Gutiérrez Borda
3 2 3
x
06.
3 x 2 3 2 x
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TEMA 1
Números Reales
2
2
07. a x 2a a , a 0. 09. (0,333. . .)x + 2,2x 2,2x > x – 0,5
2
2
08. x a a a x a , a 0 10.
1
2
2
3
4 x 2 x 3 4 Resuelva y grafica cada conjunto solución en la recta numérica, 2 3 x 11. – 2 2 x – 4 < 0 12. 2 2 2 2 1 1 1 13. 2 5 y 8 14. 2 x 5 4 2 4 2 15. – 2 3ax – 2 2 < 2a, a > 0 16. 2 1 x 2 2 1 3 x x 17. m n , siendo m y n números reales distintos de cero. m n Demuestre que: 18. Si x < 1, 4], entonces (4x – 1) 1) < 3, 15] 1 1 1 19. Si x [-2, -1], entonces , 2 3 x 8 5 20. Si 0 < x – x xo < , entonces xo < x < x o + . 21. Si x – x xo [ - a, a] entonces x [xo – a, xo + a] 22. Si x [xo – a, xo + a] entonces (x – x xo) [ - a, a]. 2 23. Si x < 2, 4] entonces (x – 4x) 4x) < -4, 0] 1 1 1 24. Si , entonces x < 2, 4 >. 2 x 3 11 7 Resuelva: 2 2 2 2 25. x – 4x > - 6 26. (x – 3) 3) + (x + 1) (x – 2) 2) + (x + 2)2. 1 1 2 27. 28. x - ax < a b – bx bx 0 x 1 x 29. a b – bx bx < x 2 – ax 30. x 1 21 x 2 x 5 31. 2 32. ax2 – 4x 4x < 2x 0 x 4 33. (2y – 3)(3y 3)(3y – 2) > 0 34. y2 – 13y 13y + 22 > 0
35. (1 – z)(z z)(z + 4) 0 37.
2 x 9 3 x 7
2
36. 38.
3
x 2 4 x 2 4 y 1
0
2 y 6 1
40
39. 2ax + b2 < 2bx + a2; a > b.
40.
41. x(x + 1) 0
0 5 x 3 44. x2 – 2x 2x – 8 8 < 0 x 2 46. 3 x 1
43. x2 + 2x – 1 < 2 45. 2x2 – 2x 2x – 3 3 < x2, 47.
x 2
3
42.
48.
x 2 2 3 x 5
0
x 49. Halle el conjunto solución de ax2 + bx 0, siendo a < b < 0.
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TEMA 1
Números Reales 2
50. Halle el conjunto solución de ax - bx 0, siendo a < b < 0. x 1 3x x 2 51. Resuelva , siendo k < 0. 2 4k k n n x 52. Si x > 0, m > 0 y n m, demuestre que está situado entre y 1. m m x 2 53. Encontrar el menor número número real M tal que se se cumpla, 6 + 4x – x x M, para todo x IR. 2 54. Hallar el mayor mayor número real m tal que se cumpla, m x – 6x 6x + 20, para todo x IR.
y { }, . Hallar el conjunto . }. 56. Sean los conjuntos y { Hallar el conjunto . 57. Dado el conjunto expresa en 55. Sean los conjuntos
conjunto A en forma de intervalo. 58. Encontrar el conjunto de números reales x que satisface la inecuación .
. 59. Si [ halle el intervalo a la cual pertenece la expresión 60. Si 〈〉, determine a que intervalo pertenece .
61. Considerando que n es un número real rea l negativo, halle el conjunto solución para x de
. 62. Resolver 63. Considerando que m es un número real positivo, hall e el conjunto solución para x de . la inecuación la inecuación
(√ √ ) 67. Demuestra que ( √ √ ) 68. Demuestra que 69. Demuestra que si para todo . 64. Demuestra que 65. Demuestra que 66. Demuestra que
PRÁCTICA 1.4 INECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR ================================= =============================================== ====================== ========
Alberto Gutiérrez Borda* Halle el conjunto solución de las inecuaciones: 1. (x - )(x + 4)(x – 2) 2) 0
Alberto Gutiérrez Borda
2.
x 2 3x 2 x 2
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2 x 2 x
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Números Reales
3.
2 y 1
2
y
y 1 2
2
2
3
y 4
1
9
0
11
2 y 5
2
2
y
4.
2
2
2y 3
3
5
1 y 2 y
y 6 2 y 1 4 y 1 y 3
6. 9
7. (x2 – a2)(x2 – b2) < 0, b > a
8. (x2 – b2)(x2 – a2) < 0, a < b
11. 13. 15.
Resolver x x
0
12. x
14.
16.
x 2 x 3 x 1 x 1 x 3 x 2 x 4 3
x3 x2 x
2
17. x – 2x 2x – x x + 2 0 19. 21.
23. 1. 25.
18.
x 2 2 x 3 2 x x 2 6 x 2 7 x 5
x 2 1
( x3 2x 2 x )(6x 9 x 2 ) (4 x 2 4 x 1)(3 x)
22.
0
29. 27.
31. Sea el conjunto
1 y
2
(1 y )
1 x2
1
x 1 x 1 x 1 x
1
x 2 x 1 x 2 4 x 9
0 x 2 4 x 5 1 2 x
x
x 1 x 1 x 2 2 x 3
x3 3x 2 6 x 4
24.
26.
x 2
1
20.
0
1
0
y4 y5 y y 2
5. (x +5)(x + 16)(x – 4)(x 4)(x +1) > 0
y 2 1 y 1
4
0
0
( x 2 2 x a)(3 x 2 a) 2 x 2 a 1 2 a x
0 , con a >
30. , hallar [ ] 33. 28.
34. 35. 36. 32.
PRÁCTICA 1.5
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ================================= =============================================== ===================== =======
Alberto Gutiérrez Borda* 1.
Demuestre que a b a b o a b
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UNSLG-ICA
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TEMA 1
Números Reales
2.
a b a c b c , si a
c b.
3. a + b = a + b, si a.b 0. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
| | |||| |||| √ || | | | | | | ||
10. Halle el conjunto solución de la ecuación 11. Encontrar el valor de la expresión
8 x 94 3x 94
Resuelva las ecuaciones: 2 2 12. x - 9 9 = 5 - x - 4 4. 14. x - 2 2 + x + 5 5 - 4 4x + x + 4 4 = 0. x 2 x 6 16. x 1 19. 21.
6 5 x
2
3 x 2 x 5 x 1
8 3
25.
x 2
x x
13. x - 6 = 2x – 3. 3. 2 15. x + 2 2 - 1 1 - 5 5 x + 2 2 - 1 1 - 6 = 0. 18..
x 3 1 2 x x 2 x 2
1
1 2
22. 4x + 3 3 - x – 3 3 = 0
x 2
27. x – 2 2a - 2ax + 3 3 = 0 2 x 1 2 x 1
si x [-6, -4].
x
20.
23. 2x - 3 3 + x + 2 2 - 5x - 3 3 - 2 = 0 2
.
24. x + 3 3 - 6x - 3 3 + 6 = 0 x 2
26.
2 x 3
3 13
28. x – b b + x + a = a, con 0 < a < b. b.
2
| | x 3 | siendo . 31. || | 32. | | . 33. || || 29.
2
0
30.
34. Resuelva la ecuación 3x - 1 1 - 4x - 3 3 - 3m = 0, determinando determi nando la solución condicionada a los valores que debe tomar m.
35. Para x 1, simplifique la expresión
2 x 2 2x 6 x 2 x
E .
| ||| | simplificar la expresión || || | || || || ||| 37. Simplificar la expresión || || || | siendo ]. 36. Siendo
38. Resuelva x - 3 + 2x + 6 + 3n = 0. 39. Resuelva x - 2 + 2x + 4 4 + 2n = 0, acondicionadas a los valores de n. 40. Encuentra el conjunto solución de la ecuación
√ √ √ √ .
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TEMA 1
Números Reales
PRÁCTICA 1.6 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ================================== ====================================================== ====================
Alberto Gutiérrez Borda* Demuestre 1. 2.
3. 4.
a.b a b , , a, b IR. 2 2 a > 0, b > 0, a < b , entonces a < b
a a b b
| | || ||
5.
a b, b 0 b a b
6.
a b a b o a b
7.
a b a c b c
8.
ba
9.
Sea a 0, a
1 4
a , implica 1 a
3 4
a b
2.
10. Si a x b, entonces x a + b . n
11. Demuestre: Sean x1 , x2 , x3 , ..., xn IR , entonces
xi
n
xi
i 1
Resuelva las inecuaciones: 12. 2 3 x 1 14.
2 x
1
1
4
2
16. 18. 20. 22.
x 1 6 3 x x 3
x 1
2
15.
2 x
21.
2 3
26. x2 - 16 16 (x + 4) - x – 4 28. 1,2x – 1,222... 1,222... > 2,5x – 2,1333... 30. 1
x 4
x
2 3
3 x 2
2
2 x 7
2 3 x 3 x x 1 2 x
1 4 x 1 2 x
23. - 3x - 5 5 2 – 0,2x 0,2x
24. 2x - 4 4 6x - 3 3 x - 2 2
4 x
x 2
17. 0
19.
5 x 6 2
1
13. x 4 x 2
1
6 5 x 2
i 1
32. y - 4 - y y > 0
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25.
2 x 1 2 x 1
2
0
x 2 3 27. 2x - 3 3 x - 3 3 29. 3x - 2 2 < -x + 1 1 + 3 31. 6
1 3 x 2 2 x
0
33. y + 8 y - 6 6
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Números Reales
34. 36.
y 2 4 3 y x
1 x
3y 2
35. y2 - 4 4 < -2y + 4
0
2 0
37. x + 6 6 > 2 - x x + x + 9 9
38. 2 2x + 2 2 1 - x x + 3x + 3 3 2 40. x + x + 1 1 < 0
39. – 1 1 < y2 – y y - 1 1 < y2 + y y 2 41. x + 1 1 0
42. x 2 a 2 2ax 0, a 0
43. x 2 b 2 2bx 0, b 0
44.
x 2 2 x 2 1 3
x 1
45. x2 – b b2 < b2 .
0
46. x - 1 1 + x + 1 1 < 2 48. 2x + 2 2 > 5 50. 0 x 1
47. x + 2 2 < 2 49. 0,2x – 0,2 0,2 0,5
x 2 2 x 17
51. (x – 1)(x 1)(x + 2) 2) 2x – 2 2
52. Si a > 0 , b > 0, resuelva bx a
54.
a 2
.
|| 55. | || | 53
56. Hallar el mayor mayor número real k con la propiedad que que
x 2 6 x 12
k , si x [-2,
3 x 27
2]. 57. Hallar el mayor mayor número real m con la propiedad que
x 2 6 x 14 3
x 27
m , si x [-
2, 2]. 58. Resolver
x 2 2 x 1
x 1 .
59. Halle el conjunto solución de la inecuación
|| .
60. Hallar el conjunto solución de: x - a + x - b b + a – b b 0, si a > 0, b < 0. 61. Hallar el conjunto solución de: x - b b + x - a + b – a 0, si a < 0, b > 0. 62. Demostrar que si: x xo i)
2
y y yo
2
, entonces:
( x y) ( xo yo )
ii) ( x y) ( xo yo ) 63. Encontrar un número > 0, tal que si x <2, 5 >, entonces
x 2 2 x 3 x
2
1 2
.
Resuelva las inecuaciones 64.
x 1 x 2 4 x 8
1
x 1
66. 6 6x - 4 42 - x - 4 4 < 1
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0
65. 0 67.
x 2 x 1
x 2 x 6
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7
2 x 1
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Números Reales
68. x 3 2x
x
69.
70. Resolver: || | |
2 x 1 3 x 2 6 x x 1
71. Resolver:
1 x
√ √
GUÍAS DE PRÁCTICA Problema 1 Halle el conjunto solución de la inecuación
Resolución
.
implica Teorema: || Si es decir, aquí es conveniente separar la inecuación en dos, reduciendo resulta o bien representa intersección de conjuntos, Luego el conjunto solución S es: De
Dr. Alberto Gutiérrez Borda Docente Principal Universidad Nacional “San Luis Gonzaga“ Ica
Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas
[email protected] http://sabermatematica.blogdiario.com/
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