Colegio San Cristóbal - Talcahuano
MODULO DE FACTORIZACI! Nombre…………………… Nombre………………………………… …………………. …….
1medio
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Cuando realizamos realizamos las multiplicaciones multiplicaciones : 2x(x2 – 3x 2! " 2x3 – #x2 $x (x %!(x &! " x2 12x 3&
1. 2.
entonces 'emos ue las expresiones de la izuierda son los )actores * las de la derec+a son las expresiones a )actorizar, )actorizar, es decir , la )actorización es el proceso in'erso de la multiplicación. multiplicación. -a )actorización es de extrema importancia en la atem/tica, as0 es ue debes tratar de entender lo m/s ue puedas sobre lo ue 'amos a trabaar. trabaar. xisten 'arios casos de )actorización :
"# FACTOR COMU! MO!OMIO$ presente en cada trmino del polinomio polinomio : Factor co%&n %ono%io: es el )actor ue est/ presente )actor com5n monomio monomio en 12x 16* 7 2$z 8 E'e%(lo E'e% (lo ! "$ 4 cu/l es el )actor
)·2x ) 3* 7 )· $z " )(2x 3* 7 $z !
ntre los coe)icientes es el #, o sea,
·
com5n monomio en : &a2 7 1&ab 7 19 ac E'e%( E' e%(lo lo ! * : 4 Cu/l es el )actor com5n l )actor com5n entre los coe)icientes coe)icientes es & * entre los )actores literales literales es a, por lo tanto 2 &a 7 1&ab 1&ab 7 19 ac " +a·a 7 +a·3b 7 +a · 2c " +a(a 7 3b 7 2c ! com5n en #x2* 7 39x*2 12x2*2 E'e%( E' e%(lo lo ! , : 4 Cu/l es el )actor com5n l )actor com5n es #x* porue #x2* 7 39x*2 12x2*2 " #x*(x 7 &* 2x* ! ;ealiza t5 los siguientes eercicios : )actor com5n com5n de los siguientes siguientes eercicios : EERCICIOS.
#x #x 7 12 " 2$a 7 12ab "
2.
$x $x 7 6* " 19x 7 1&x2 "
1$m2n %mn "
$. #.
&. %. =.
6a3 7 #a2 "
6.
19. $a3 bx 7 $bx "
b$7b3 " 11. 1$a 7 21b 3& " 13. 29x 7 12x* $xz "
12.
29. 21. 22.
3 $ 1 2 $
2
x 2 y − 2 3
a b 2
3&
+
a b−
6
xy 2
= 1
$ 12
&
=
3 $
a b
3ab #ac 7 =ad " #x$ 7 39x3 2x2 "
1$. 1#. 12m2n 2$m3n2 7 3#m$n3 " 16. 19p23 1$p32 7 16p$3 7 1#p&$ "
1&. 19x * 7 1&x* 2&x* " 1%. 2x2 #x 6x3 7 12x$ " 1=. m3n2 p$ m$n3 p& 7 m#n$ p$ m2n$ p3 " 2
$m2 729 am " ax bx cx "
−
ab +
1 6 6
1&
2 &
a b
2 3
a b
+
−
1 1# 1#
$ 2
a b
2&
=
3
a b=
*# FACTOR COMU! .OLI!OMIO$ s el polinomio ue aparece en cada trmino de la expresión : >?-@ > ?-@ N 1. Factoriza xiste un )actor com5n ue es (a b ! °
>?-@ > ?-@ N 2. Factoriza
x(a b ! *( a b ! " " x /a 0 b 1 */ a 0 b 1 " " / a 0 b 1( x * !
°
2a(m 7 2n! 7 b (m 7 2n ! " " 2a/% - *n1 7 b /% - *n 1
2 /% - *n 1/ *a - b 1
EERCICIOS 23.
a(x 1! b ( x 1 ! "
2$.
m(2a b ! p ( 2a b ! "
2&. x ( p ! * ( p ! "
2#. ( a2 1 ! 7 b (a2 1 ! "
2%. 2=. 31.
26. 39. 32.
2
2
( 1 7 x ! &c( 1 7 x ! " (x * !(n 1 ! 7 3 (n 1 ! " (a( a b ! 7 b ( a b ! "
a(2 x ! 7 ( 2 x ! " (a 1 !(a 7 1 ! 7 2 ( a 7 1 ! " (2x 3 !( 3 7 r ! 7 (2x 7 & !( 3 7 r ! "
,# FACTOR COMU! .OR A3RU.AMIE!TO Ae trata de extraer un doble )actor com5n. >?-@ N 1. Factoriza ap bp a b Ae extrae )actor com5n (B de los dos primeros trminos * 4B de los dos 5ltimos ((a b ! 4( a b ! Ae saca )actor com5n polinomio (ab!(p! °
EERCICIOS : 33. a2 ab ax bx "
ab 3a 2b # " 2ab 2a 7 b 7 1 "
3&. 3%.
ab 7 2a 7 &b 19 " am 7 bm an 7 bn "
3#.
3=. $1. $3. $$.
3x2 7 3bx x* 7 b* "
$9.
3a 7 b2 2b2x 7 #ax "
$2. a3 a2 a 1 "
$&. $#. $%.
$6. $=.
$.
3$.
36. 3x3 7 =ax2 7 x 3a " #ab $a 7 1&b 7 19 "
ac 7 a 7 bc b c2 7 c " #ac 7 $ad 7 =bc #bd 1&c2 7 19cd " ax 7 a* 7 bx b* 7 cx c* " 3am 7 6bp 7 2bm 12 ap " 16x 7 12 7 3x* 2* 1&xz 7 19z "
1&
2
21
−
xz −
19
xy +
1$3
yz + & x − % z = $ 3 3 6 $ 1# am − am − bm + bn = 3 3 & & $ 2
x
FACTORIZACIO! DE U! TRI!OMIO DE LA FORMA 5* 0 b5 0 c
l trinomio de la )orma x 2 bx c se puede descomponer en dos )actores binomiales mediante el siguiente proceso : >?-@ N 1.
escomponer
°
5* 0 )5 0 +
1
5 5 ·
2
" + ó -" -+ ·
·
pero la suma debe ser # luego ser/n >?-@ ND 2: Factorizar
/5 0 " 1/ 5 0 + 1
5* 0 657 - "*7*
1D
pero la suma debe ser $ , luego ser'ir/n *
*
5 5 ·
#* · 72* ó $* · 73* ó 12* · 7*
ó 7#* · 2* ó 7$* · 3* ó 712* · *
#* * 72*, es decir
5 0 657 - "*7 2 / 5 0 )7 1/ 5 - *7 1 EERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :
&9. x2 $x 3 " &2. b2 6b 1& "
&1. a2 %a 19 " &3. x2 7 x 7 2 "
&$. r 2 7 12r 2% " &#. +2 7 2%+ &9 " &6. x2 1$x* 2$*2 " #9. x2 &x $ "
&&. &%. &=. #1.
s2 7 1$s 33 " *2 7 3* 7 $ " m2 1=m $6 " x2 7 12x 3& "
* +# FACTORIZACIO! DE U! TRI!OMIO DE LA FORMA a5 0 b5 0 c
>?-@ Factoriza 2x2 7 11x &
*5 5
1D l primer trmino se descompone en dos )actores 2D Ae buscan los di'isores del tercer trmino 3D ?arcialmente la )actorización ser0a pero no sir'e pues da : se reemplaza por * en este caso nos da :
·
+ " ·
ó
-+ -" ·
( 2x & !( x 1 ! 2x2 %x &
/ *5 - " 1/ 5 - + 1 2x2 7 11x &
EERCICIOS : #2. #$. ##. #6. %9. %2. %$. %#. %6.
&x2 11x 2 " $x2 %x 3 " & %b 2b2 " &c2 11cd 2d2 " #x2 %x 7 & " 3m2 7 %m 7 29 " &x2 3x* 7 2*2 " #a2 7 &a 7 21 "
#3. #&. #%. #=. %1. %3. %&. %%.
3a2 19ab %b2 " $+2 &+ 1 " %x2 7 1&x 2 " 2x2 &x 7 12 " #a2 23ab 7 $b2 " 6x2 7 1$x 3 " %p2 13p 7 2 " 2x2 7 1%x* 1&*2 "
2a2 7 13a 1& "
)# FACTORIZACIO! DE LA DIFERE!CIA DE DOS CUADRADOS$ >?-@: =x2 7 1#*2 "
Factorizar
?ara el primer trmino =x 2 se )actoriza en 3x · 3x * el segundo trmino 7 1#*2 se )actoriza en $* · 7$* luego la )actorización de 85* - ")7* 2 / ,5 0 67 1/ ,5 - 67 1
EERCICIOS: %=. 61. 63. 6&. 6%.
69. 62. 6$. 6#.
=a2 7 2&b2 " $x2 7 1 " 3#m2n2 7 2& " 1#=m2 7 1=# n2 " = 2 $= 2 a − b 2& 3#
=
6=. 3x2 7 12 " =1. 6*2 7 16 " =3. $&m3n 7 29mn "
66.
1#x2 7 199 " =p2 7 $92 " $=x2 7 #$t2 " 121 x2 7 1$$ E 2 "
1 2&
x$
−
emplo: =x2 7 39x 2& "
1
EERCICIOS :
1#
=9. & 7 169) 2 " =2. 3x2 7 %&*2 " =$. 2a& 7 1#2 a3 "
9# FACTORIZACIO! DE U! TRI!OMIO CUADRADO .ERFECTO$
Factorizar
=
1 2 / ,5 - + 1*
*$
=
=&. b2 7 12b 3# " =%. m2 7 2m 1 " ==. 1#m2 7 $9mn 2&n 2 " 3#x2 7 6$x* $=*2 " 191. 193. 1 # =a2 " 2&a2c2 29acd $d2 " 19&. 1#x#*6 7 6 x3*$z% z1$ " 19%.
=#. 2&x2 %9x* $=*2 " =6. x2 19x 2& " $=x2 7 1$x 1 " 199. $a2 $a 1 " 192. 19$. 2&m2 7 %9 mn $=n 2 " 26=a2 #6abc $b2c2 " 19#.
EERCICIOS DI;ERSOS$ 196. 119.
2x*2 7 &x* 19x2* 7 &x2*2 "
b2 7 3b 7 26 " 112.&a 2&ab "
19=. 111. 113.
11$. 11#. 116. 129. 122.
11%. 11=. 121. 123.
$ 7 12* =*2 "
2ab $a2 b 7 #ab2 "
#x2 7 $ax 7 =bx #ab " 6x2 7 126 " x$ 7 *2 " (a b !2 7 ( c d! 2 " 3#m2 7 12mn n2 "
a2 #a 6 "
bx 7 ab x2 7 ax " 11&.ax a* x * " x2 2x 1 7 *2 " a2 12ab 3#b2 " x1# 7 *1# "
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< FACTORIZACI! .ARA LOS FUTUROS MATEM=TICOS# "# DIFERE!CIA DE CU>OS $ E'e%(lo :
6 – x3 " (2 – x!($ 2x x2!
a, 0 b, 2 /a 0 b1/a* ? ab 0 b*1
*# SUMA DE CU>OS$ E'e%(lo: 12&. 12%. 12=.
a, ? b, 2 /a ? b1/a* 0 ab 0 b*1
2%a3 1 " (3a 1!(=a2 – 3a 1! #$ – x3 " 2%m3 #n# "
1 6
x
3
+
6 2%
"
12#. 126.
6a3 b3 2% "
139.
x 3
x# – *# " −
1 #$
"
