II. Organización de la clase a) Apertura Sesión 1 Énfasis en Esta sesión tiene como propósitos que los jóvenes: n n
n
identifiquen las ecuaciones de segundo grado y sus características. reconozcan que los factores de una ecuación son los números que la resuelven; es decir, sus raíces. relacionen las raíces con la solución de la situación planteada por medio de la ecuación.
1. Abra la sesión explorando con los alumnos el proyecto del bimestre: ¿Te gustan los choquecitos? , páginas 130 y 130 y 131 131.. a) Mencione que, al trabajar este problema, comprenderán cómo se analiza un choque automovilístico al aplicar las matemáticas. b) Efectúe la lectura comentada de las páginas 130 y 130 y 131 131 y y explique a los estudiantes que el objetivo es hacer una simulación de la situación que se expone.
2. Durante la sesión, los adolescentes plantearán un problema inicial para estudiar la factorización comenzando con ecuaciones cuadráticas.
a) Antes de empezar con la sección “El puesto de cojines”,página 132, es importante averiguar si los estudiantes conocen el concepto deventa al mayoreo . Es decir que, mientras más productos se compren, en ocasiones el precio baja, pero que es imposible bajarlo continuamente porque, en algún momento, ya no conviene esa forma de pago. b) En la actividad 2, sección “La oferta de cojines” de la página 133, solicite a los menores que escriban, en su forma general, la ecuación que representa el pago por la compra de los cojines cuando se pagan $575. Se espera que la escriban como 120x – – x 2 = 575, y que la simplifiquen como: 120x – – x 2 – 575 = 0; – x 2 + 120x – – 575 = 0 c) No formalice el hecho de que es más conveniente que el término cuadrático sea positivo. 3. Para cerrar la sesión, revise con los colegiales la información del ejercicio 1, página 140, 140, sección UNO × UNO. UNO.
a) Le sugerimos responder con el grupo las primeras dos preguntas. b) Deje de tarea la respuesta a la tercera pregunta y, y, si lo considera conveniente, una investigación documental sencilla con la que los escolares confirmen la información del ejercicio.
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¿Y en la Secuencia digital? En esta sesión, encontrará recursos para las páginas 132 y 133.
http://bit.ly/Sd0ctv
En el siguiente enlace, los alumnos encontrarán un video sobre los accidentes automovilísti automovilísticos. cos.
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b) Desarrollo Sesión 2 Énfasis en Esta sesión tiene como propósitos que los alumnos: n
n
reconozcan algunos problemas particulares que tiene una interpretación matemática directa mediante una ecuación de segundo grado. comparen distintas formas de escribir una misma ecuación cuadrática para, después, calcular sus factores.
1. Para iniciar la sesión, verifique con el grupo las diversas respuestas a la última pregunta del ejercicio 1 de la página 140. 140.
a) Luego, revise con los estudiantes la información del ejercicio 2 de lapágina 140, sección UNO × UNO. b) Para comprobar que los escolares entendieron el tema, entre todos construyan las conclusiones modelo que propusieron y pida que las anoten en sus hojas de cuaderno. 2. Comente que durante la sesión continuarán con el desarrollo del método de factorización y los procedimientos relacionados para resolver ecuaciones cuadráticas.
a) En cada actividad de la sección “Solución por factorización”,páginas 134 a 136, invite a los educandos a reflexionar por qué el producto de dos o más factores debe ser cero. Esta reflexión es la que da soporte al método de factorización para calcular las raíces de una ecuación cuadrática. b) Destaque la importancia de separar los factores, cada uno igualado a cero, para para obtener las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente; también, reitere que es necesario evaluar la ecuación utilizando los valores de las raíces para comprobar si son soluciones del problema modelado por dicha ecuación. c) Se espera que los jóvenes sepan aplicar la fórmula del área del rectángulo para plantear la ecuación cuadrática en la actividad 4, página 135; por ejemplo: x 2 + 8x + + 12 = 117. Sin embargo, es probable que no sea tan fácil para ellos factorizar esa ecuación, dado el valor del término independiente. Puede orientarlos para que sigan dos pasos: que encuentren los factores primos de 105 (3, 5 y 7) y que determinen cuáles de ellos (o de sus productos) tienen una diferencia de 8: (3 × 5) y 7. 3. Cierre la sesión con las respuestas que den los menores a la actividad 6, página 136, 136, y, luego de constatar que sean correctas, organice una discusión sobre cómo deben ordenarse; es decir, cuál es la primera respuesta y cuál, la segunda.
a) Guíe al grupo para concluir que el orden no afecta los resultados.
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¿Y en la Secuencia digital? En esta sesión, encontrará recursos para la página 136.
http://tinyurl.com/3g8qdrh En el siguiente enlace, los estudiantes encontrarán una aplicación para hallar las soluciones de una ecuación.
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Sesión 3 Énfasis en Esta sesión tiene como propósitos que los escolares: n
n
revisen distintos aspectos de las ecuaciones de segundo grado para que establezcan procedimientos y técnicas mediante los cuales obtengan los factores en una forma eficiente. comparen técnicas y expresiones para el cálculo de factores y decidan cuándo usar unas u otras.
1. Abra la sesión retomando la actividad de inicio de secuencia.
a) Revisen nuevamente los datos y el planteamiento del del problema; pida a los menores que comenten si creen que este tipo de situaciones se presentan en los distintos comercios que hay en su comunidad o solo en algunos, o bien, no se suceden y se trata de una situación ficticia. 2. Solicite a los educandos que analicen de nuevo la sección UNO × UNO, UNO, página 140, 140, sobre algunos aspectos de las ecuaciones cuadráticas.
a) Retome con los escolares el problema de la actividad 7, página 136, y analicen su ecuación correspondiente; deben tener en cuenta que el signo del término cuadrático puede ser negativo si el que se cambia de lugar es el 575. Solicite a los menores que cambien de lugar los términos de la izquierda (hacia la derecha) para evitarlo. La factorización puede resultar laboriosa dado el valor del término independiente; recurra a la estrategia de hallar los factores primos de 575. Por otro lado, con la misma cantidad de dinero, pueden comprarse 5 o 115 cojines; por ello, diga a los colegiales que regresen a la situación original para decidir cuál es el número de cojines que pueden adquirirse según la oferta. b) Organice al grupo en parejas para resolver el ejercicio 3, página 141, sección UNO × UNO. Así, podrán discutir cada procedimiento y valorar sus ventajas y desventajas. En seguida, lleve a cabo una discusión grupal para decidir cuáles son las respuestas modelo más adecuadas a las preguntas del ejercicio; los jóvenes pueden escribir otras en sus hojas de cuaderno. c) Inste a los colegiales a resolver en parejas o en equipos de tres integrantes el ejercicio 4 de la página 141, sección UNO × UNO. 3. Para cerrar la sesión, organice a los estudiantes en las parejas del proyecto de la secuencia con el fin de revisar la sección “¿Cómo vamos?” de la página 137. 137.
a) Promueva que los alumnos comenten la información y lo que se pide empleando lo que trabajaron durante la sesión. Anímelos a efectuar una parte de la actividad en el salón de clase y que la completen de tarea si el tiempo no alcanza. b) Revise la sección que harán de tarea, actividad 8, página 137.
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¿Y en la Secuencia digital? En esta sesión, encontrará recursos para la página 137.
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Sesión 4 Énfasis en El propósito de esta sesión es que los alumnos continúen con el estudio y sistematización de la obtención de los factores de una ecuación de segundo grado mediante el trabajo directo con ecuaciones y también con la resolución de problemas concretos. 1. Para iniciar, promueva una discusión grupal sobre la información que se encuentra en la sección “Historias de vida”, página 138. 138.
a) Anime a los alumnos a clasificar las ecuaciones como se pide y a discutir si un tipo de ecuación de Al-Khwarizmi puede reducirse o escribirse como otra; es decir, si son equivalentes. 2. Para desarrollar la sesión, los estudiantes trabajarán con distintos aspectos del problema de los cojines.
a) Pida que primero respondan los ejercicios 5 y 6, página 142, sección UNO × UNO. Tenga presente que puede formular respuestas modelo a las preguntas de ambos ejercicios por medio de una discusión grupal. b) Luego, especifique a los jóvenes que contestarán la sección “La tela para los cojines” de la página 138. Advierta que es posible que los educandos consideren los lados de las áreas bordadas como y – 2) y ( y – 3). En ese caso, las ecuaciones (y – y – que resultan no poseen soluciones enteras; aunque las soluciones pueden tener un sentido real (decimales de centímetros). Oriente las reflexiones preguntando: ¿Los centímetros que se quitan solo son en un lado del cuadrado original?
c) Al terminar, terminar, revise con el grupo el trabajo que desarrollarán en el ejercicio 7 de la sección UNO × UNO, página 143. Exhórtelos a trabajar en parejas. Si lo cree conveniente, puede encargar que resuelvan la última figura como tarea.
3. Para finalizar la sesión, retome el problema del bimestre: ¿Te gustan los choquecitos? a) Inste a los colegiales a leer el texto del portafolio 1 en la página 143, 143, sección UNO × UNO. UNO. b) Sugiera a los escolares organizarse en equipos de cuatro integrantes para que discutan acerca de la ecuación que deben escribir y de la gráfica que se requiere trazar. c) Cuando hayan concluido el trabajo, invite a algunos alumnos a anotar en el pizarrón la ecuación de la parábola y a comentar cómo dibujaron la gráfica.
d) Revise con el grupo grupo la tarea que llevarán a cabo, actividad 11,página 139.
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¿Y en la Secuencia digital? En esta sesión, encontrará recursos para la página 138.
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c) Cierre Sesión 5 Énfasis en Esta sesión tiene como propósitos que los jóvenes: n n
¿Y en la Secuencia digital?
hagan una síntesis de lo que estudiaron durante la secuencia. obtengan conclusiones generales de las ecuaciones de segundo grado, sus factores y la manera en que se obtienen.
En esta sesión, encontrará recursos para la página 139.
1. Para comenzar, promueva la participación con el objeto de que los menores respondan a preguntas relacionadas con la tarea, página 139. 139. Pregúnteles: ¿Cuál Pregúnteles: ¿Cuál fue el problema más difícil de resolver y por qué? ¿Qué es más difícil: obtener la ecuación de un problema o resolverla? ¿Por qué? Después, qué? Después, revise las situaciones planteadas en la tarea.
a) En el problema del rectángulo, considere que, en el primer inciso, solo se pide encontrar el binomio conjugado de (x + + 2) y que, en el segundo, es necesario plantear y resolver una ecuación cuadrática. b) Respecto del grupo de alumnos, deberán retomar la regla del producto para determinar el número de parejas que pueden integrarse. En la última parte, la intención es practicar la factorización, la simplificación, el signo positivo del término cuadrático y la posibilidad de que una raíz de la ecuación sea cero. 2. Durante la sesión, encomiende a los adolescentes que presenten sus trabajos del proyecto de la secuencia.
a) Procure que se comenten de manera grupal las respuestas que cada pareja plantee a las preguntas de la actividad 12, página 139. 3. Finalice la sesión comentando la sección “¿Cómo nos fue?”, página 139. 139. Motive a los colegiales a que hagan una reflexión personal sobre su participación en el trabajo en parejas. Trate de obtener conclusiones generales al contestar las preguntas de la sección. Evaluación Cuantitativa
2
216 u x
a) Inste a los escolares a resolver resolver el problema: 6
Usa una ecuación de segundo grado para determinar el área del cuadrado de color azul. El área es de 216 u2, incluye tanto la parte verde como la azul. (x + + 12) (x + + 6) = 216; x 1 = −24 y x 2 = 6 El área del cuadrado es de 36 u2. Cualitativa
b) Exhorte a los alumnos a explicar si fue útil solucionar las ecuaciones de segundo grado mediante el método de factorización, así como a aplicarlas para solucionar diversos problemas.
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+ x +
12
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