Lección 6: Factorización actorización de Casos Especiales Dra. Dra. Noemí Noemí L. Ruiz Limard Limardo o 2009 ©
Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: estudiantes:
• Identificarán Identificarán polinomios que representan una Diferencia Diferencia de Cuadrados, Cuadrados, una Suma Suma o Diferencia Diferencia de Cubos, y Trinomios Cuadráticos Perfectos.
• Factorizarán polinomios que representan productos especiales: Difer Diferencia encia de Cuadrados, Cuadrados, Diferencia Diferencia de Cubos, Suma de Cubos y Trinomio Cuadrático Perfecto.
• Factorizarán polinomios usando la estrategia de Agrupación conjuntamente con Trinomios Cuadráticos Perfectos o Diferencia de Cuadrados.
Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: estudiantes:
• Identificarán Identificarán polinomios que representan una Diferencia Diferencia de Cuadrados, Cuadrados, una Suma Suma o Diferencia Diferencia de Cubos, y Trinomios Cuadráticos Perfectos.
• Factorizarán polinomios que representan productos especiales: Difer Diferencia encia de Cuadrados, Cuadrados, Diferencia Diferencia de Cubos, Suma de Cubos y Trinomio Cuadrático Perfecto.
• Factorizarán polinomios usando la estrategia de Agrupación conjuntamente con Trinomios Cuadráticos Perfectos o Diferencia de Cuadrados.
Introducción • En la lección 2 estudiamos la multiplicación de polinomios y conocimos los patrones que se forman cuando tenemos productos especiales.
• Algunos de los productos especiales que estudiamos fueron: – Cuadrado de una Suma o una Resta – Diferencia de Cuadrados
• En cada uno de esos productos se obtiene como resultado resultado un polinomio po linomio que representa un método de factorización.
• En esta lección conoceremos los métodos de factorización factorización que se relacionan con estos productos especiales.
Trinomios Cuadráticos Perfectos
Explorando la factorización de Trinomios Cuadráticos Perfectos Factoriza los polinomios a continuación por el método de Trinomios Cuadráticos:
x2 + 6x + 9 =
(x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 x2 - 8x + 16 = (x - 4) 2 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3) 2 25x2 - 20x + 4 =
(5x - 2) 2
16x4 + 8x2 + 1 = (4x2 + 1) 2 Después de factorizarlos en tu libreta, haz clic para ver resultados
¿Qué patrón observas en el resultado? x2 + 6x + 9 =
(x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 x2 - 8x + 16 = (x - 4) 2 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3) 2
Observa que los trinomios están ordenados en forma descendente.
25x2 - 20x + 4 = (5x - 2) 2 16x4 + 8x2 + 1 = (4x2 + 1) 2 La factorización produce el Cuadrado de una Suma o el Cuadrado de una Resta. Estos representan dos productos especiales que estudiamos previamente.
Recuerda • El producto especial Cuadrado de una Suma o Cuadrado de una Resta se puede representar con la siguiente fórmula: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Producto Especial: Cuadrado de una Suma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Para elevar al cuadrado una suma, cuadramos el primer término (a2), añadimos luego el doble del producto de ambos términos (2ab), y finalmente sumamos el cuadrado del segundo término (b2).
Producto Especial: Cuadrado de una Resta (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
• Para elevar al cuadrado una resta, cuadramos el primer término (a2), añadimos luego el doble del producto de ambos términos (-2ab), y finalmente sumamos el cuadrado del segundo término (b2).
Reflexión • Si tenemos un trinomio cuadrático y deseamos obtener los factores que se multiplican para obtener ese polinomio, sin tener que factorizar por el método de Trinomios Cuadráticos, ¿qué debemos hacer?
• Observa que podemos usar el conocimiento de los patrones que se forman para obtener los factores sin tener que factorizar por trinomios cuadráticos.
• Veamos….
¿Cómo son el primer término y el último término de cada trinomio cuadrático? x2 + 6x + 9 =
(x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 x2 - 8x + 16 =
(x - 4) 2
4x2 + 12x + 9 =
(2x + 3) 2
25x2 - 20x + 4 =
(5x - 2) 2
4
2
16x + 8x + 1 =
Haz clic para ver los cuadrados perfectos.
(4x 2 + 1) 2
- El primer y tercer término de cada trinomio cuadrático son cuadrados perfectos. - Observa también que ambos términos son positivos.
¿Cómo son el primer término y el último término de cada trinomio cuadrático? x2 + 6x + 9 =
(x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 x2 - 8x + 16 =
(x - 4) 2
4x2 + 12x + 9 =
(2x + 3) 2
25x2 - 20x + 4 =
(5x - 2) 2
4
2
16x + 8x + 1 =
(4x 2 + 1) 2
- El primer y tercer término de cada trinomio cuadrático son cuadrados perfectos. - Observa también que ambos términos son positivos.
¿Qué relación hay entre el término del medio y los otros dos términos? x2 + 6x + 9 =
(x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 x2 - 8x + 16 =
(x - 4) 2
4x2 + 12x + 9 =
(2x + 3) 2
25x2 - 20x + 4 =
(5x - 2) 2
4
2
16x + 8x + 1 =
Haz clic para ver la relación.
(4x 2 + 1) 2
-El término del medio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término. -Observa que el término del medio puede ser positivo o negativo.
El término del medio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término x2 + 6x + 9 = 6x es el doble de la raíz cuadrada de x2, que es x, por la raíz cuadrada de 9, que es 3, o sea: 6x = 2(3x)
x2 + 10x + 25 = 10x es el doble de la raíz cuadrada de x 2, que es x, por la raíz cuadrada de 25, que es 5, o sea: 10x = 2(5x)
x2 - 8x + 16 =
-8x es el doble de la raíz cuadrada de x 2, que es x, por la raíz cuadrada de 16, que es -4, o sea: -8x = 2(-4x)
4x2 + 12x + 9 = 12x es el doble de la raíz cuadrada de 4x 2, que es 2x, por la raíz cuadrada de 9, que es 3, o sea: 12x = 2(3.2x)
25x2 - 20x + 4 = -20x es el doble de la raíz cuadrada de 25x 2, que es 5x, por la raíz cuadrada de 4, que es -2, o sea: -20x = 2(-2.5x)
16x4 + 8x2 + 1 = 8x es el doble de la raíz cuadrada de 16x 4, que es 4x2, por la raíz cuadrada de 1, que es 1, o sea: 8x2 = 2(1.4x2)
Trinomios Cuadráticos Perfectos •
Los patrones descritos anteriormente se pueden escribir mediante una fórmula: a2 + 2ab + b2 ó a2 - 2ab + b2
•
Esta clase de trinomios cuadráticos se llaman Trinomios Cuadráticos Perfectos
Después de verificar que el trinomio cuadrático es un Trinomio Cuadrático Perfecto… • En vez de factorizar por el método de los trinomios cuadráticos, podemos factorizar aplicando la siguiente fórmula: a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b ) 2 • O sea, sacamos la raíz cuadrada del primer término (a) y del tercer término (b) y escribimos éstas raíces dentro de un binomio elevado al cuadrado. • Observa que: – Si el signo del término del medio es suma, el binomio es de suma. – Si el signo del medio es de resta, el binomio es de resta.
Recuerda que… • Para poder aplicar la fórmula anterior, tenemos que asegurarnos primero que el trinomio cuadrático es un trinomio cuadrático perfecto. • Esto es, que se dan los patrones que distinguen el trinomio cuadrático perfecto: – El primer y tercer término son cuadrados perfectos y ambos positivos. – El término del medio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primero por la raíz cuadrada del tercero. El término del medio puede ser positivo o negativo.
a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b ) 2
Identifica si el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto 3x2 + 4x + 16
• Observa que el primer término 3x2 no es un cuadrado perfecto porque, aunque x2 es un cuadrado perfecto, el 3 no lo es.
• Por tanto, el polinomio no es un trinomio cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto x2 + 6x + 11
• Observa que el último término 11 no es un cuadrado perfecto.
• Por tanto, el polinomio no es un trinomio cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto x2 - 8x + 16 • El primer y tercer término son cuadrados perfectos y ambos positivos.
• El término del medio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primero, x, por la raíz cuadrada del tercero, -4. • Si el término del medio es negativo significa que la raíz cuadrada es negativa.
• Recuerda que la raíz cuadrada de 16 puede ser 4 ó -4, ya que 42 = 16 y (-4) 2 = 16.
• Por tanto, el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto x2 + 14x - 49
• Observa que el último término es negativo. • Por tanto, el polinomio no es un trinomio cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto 100x2 + 81 – 180x
• Observa que el trinomio no está en orden descendente. Para facilitar el poder identificarlo colocamos en orden descendente: 100x2 – 180x + 81
• El primer y tercer término son cuadrados perfectos y ambos positivos.
• El término del medio es el doble del producto de la raíz cuadrada del primero, 10x, por la raíz cuadrada del tercero, 9 .
• Por tanto, el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto.
Factorización de Trinomios Cuadráticos Perfectos
Importante • Cuando los polinomios son trinomios cuadráticos perfectos, se pueden factorizar aplicando la fórmula en vez de usar el proceso general para trinomios cuadráticos. • Pero, si se te olvida la fórmula de los trinomios cuadráticos perfectos, recuerda que siempre los puedes factorizar por el método de trinomios cuadráticos ya que siempre serán trinomios cuadráticos además de perfectos.
Ejemplo 1 aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos • Factoriza aplicando perfectos: x2 + 10x + 25
• Primero, nos aseguramos que el trinomio es un trinomio cuadrático perfecto. perfecto. En este caso el primer y tercer término son cuadrados perfectos positivos (x 2 y 25) y el término del medio es el doble del producto de las raíces cuadradas del primero y el tercero (2.5x), por tanto es un trinomio cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos perfectos, esto esto es: Construimos un binomio bi nomio compuesto por la raíz cuadrada del primero (x) y la raíz cuadrada del tercero (5). Expresamos el binomio elevado al cuadrado: x2 + 10x + 25 = (x (x + 5) 2
Ejemplo 2 aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos • Factoriza aplicando perfectos: x2 + 14x + 49
• Primero, nos aseguramos que el trinomio es un trinomio cuadrático perfecto. perfecto. En este caso el primer y tercer término son cuadrados perfectos positivos (x 2 y 49) y el término del medio es el doble del producto de las raíces cuadradas del primero y el tercero (2.7x), por tanto es un trinomio cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos perfectos, esto esto es: Construimos un binomio bi nomio compuesto por la raíz cuadrada del primero (x) y la raíz cuadrada del tercero (7). Expresamos el binomio elevado al cuadrado: x2 + 14x + 49 = (x (x + 7) 2
Ejemplo 3 aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos • Factoriza aplicando perfectos: 9x2 - 30 30xx + 25
• Primero, nos aseguramos que el trinomio es un trinomio cuadrático perfecto. perfecto. En este caso el primer y tercer término son cuadrados perfectos positivos (9x 2 y 25) y el término del medio es el doble del producto de las raíces cuadradas del primero y el tercero (2 . -5 . 3x), por tanto es un trinomio cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos perfectos, esto esto es: Construimos un binomio bi nomio compuesto por la raíz cuadrada del primero (3x) y la raíz cuadrada del tercero (-5). Expresamos el binomio elevado al cuadrado: 9x2 - 30 30xx + 25 = (3x (3x - 5) 2
Ejemplo 4 aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos • Factoriza aplicando perfectos: 16x2 + 49 + 56x
• Primero, acomodamos en orden descendente: 16x2 + 56x + 49
• Verificamos que cumple con las características de un trinomio cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos perfectos, esto esto es: Construimos un binomio bi nomio compuesto por la raíz cuadrada del primero (3x) y la raíz cuadrada del tercero (-5). Expresamos el binomio elevado al cuadrado:
16x2 + 56x + 49 = (4x + 7) 2
Ejemplo 5 • Factoriza aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos perfectos: -20xy + 4y2 + 25x2
• Primero, acomodamos en orden descendente: 25x2 - 20xy + 4y2
• Verificamos que cumple con las características de un trinomio cuadrático perfecto.
• Aplicando la fórmula tenemos que la factorización es: 25x2 - 20xy + 4y2 = (5x – 2y) 2
Ejercicios de Práctica
Instrucciones • Factoriza completamente los polinomios a continuación en tu libreta. • Después de hacer el ejercicio, haz clic para ver resultados.
Factoriza aplicando la fórmula de Trinomios Cuadráticos Perfectos x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y) 2 9x2 + 6xy + y2 =
(3x + y) 2
36 - 12x4 + x8 =
(6 - x 4 ) 2
x4 + 8x2 + 16 =
(x 2 + 4) 2
Factoriza aplicando la fórmula de Trinomios Cuadráticos Perfectos 4x2 - 20xy + 25y2 = x2 + 12x + 4 =
(2x - 5y) 2
No es trinomio cuadrático perfecto. Tampoco se puede factorizar por trinomios cuadráticos. El polinomio es primo.
2
x + 16x + 64 =
(x + 8) 2
x - 6x + 9 =
(x 3 - 3) 2
x2 + 18x - 81 =
No es trinomio cuadrático perfecto. Tampoco se puede factorizar por trinomios cuadráticos. El
6
3
Diferencia de Cuadrados
Reflexión • Hay polinomios que representan una diferencia de dos cuadrados perfectos.
• Por ejemplo: x2 - 9 x2 - y2 16 - a2
• Recuerda que diferencia significa resta. • Para aprender a factorizar esta clase de polinomios, hagamos un ejercicio de exploración en la próxima pantalla . . .
Multiplica los siguientes binomios: (x + 5) (x – 5) =
x2 - 25
(y – 3) (y + 3) =
y2 - 9
(3x + 6) (3x – 6) =
9x2 - 36
(7 + 4y) (7 – 4y) =
49 – 16y2
Después de multiplicar en tu libreta, haz clic para ver resultados.
¿Qué patrón observas en el resultado? (x + 5) (x – 5) = x2 – 25 (y – 3) (y + 3) =
y2 – 9
(3x + 6) (3x – 6) = 9x2 – 36 (7 + 4y) (7 – 4y) =
49 – 16y2
El patrón es: 1. El resultado es un binomio. 2. El binomio es de resta. 3. Los dos términos del binomio son cuadrados perfectos. El resultado representa la diferencia de dos cuadrados perfectos.
¿Qué relación hay entre los dos binomios que se multiplican y el binomio que se obtiene en el resultado? (x + 5) (x – 5) =
x2 – 25
(y – 3) (y + 3) =
y2 – 9
(3x + 6) (3x – 6) = 9x2 – 36 2 (7 + 4y) (7 – 4y) = 49 – 16y
-Los dos factores son iguales, excepto que tienen signos contrarios, uno es de +, y el otro es de – . -Cada término de los binomios que se multiplican es la raíz cuadrada de cada término del binomio en el resultado. -El binomio en el resultado es una diferencia de dos cuadrados perfectos.
¿Cómo hallar los dos factores partiendo del polinomio que es una diferencia de dos cuadrados perfectos? 1. Se extrae la raíz cuadrada de cada término del binomio. 2. Se colocan las raíces cuadradas en dos factores diferentes. A uno se le coloca el signo de +, y al otro se le coloca el signo de – .
Factorización de Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 1 • Factoriza: x2 – 9 • Verificamos que el polinomio es una diferencia de dos cuadrados perfectos.
• Extraemos la raíz cuadrada de cada término del binomio y colocamos las raíces en dos factores diferentes. A uno le colocamos el signo de +, y al otro le colocamos el signo de – . x2 – 9 = (x + 3) (x – 3)
Ejemplo 2 • Factoriza: 25y6 – 49x2 • Verificamos que el polinomio es una diferencia de dos cuadrados perfectos.
• Extraemos la raíz cuadrada de cada término del binomio y colocamos las raíces en dos factores diferentes. A uno le colocamos el signo de +, y al otro le colocamos el signo de – . 25y6 – 49x2 = (5y3 + 7x) (5y3 – 7x)
Ejemplo 3 • Factoriza: x4 – y8 • Verificamos que el polinomio es una diferencia de dos cuadrados perfectos.
• Extraemos la raíz cuadrada de cada término del binomio y colocamos las raíces en dos factores diferentes. A uno le colocamos el signo de +, y al otro le colocamos el signo de – . x4 – y8 = (x2 – y4) (x2 + y4) Haz clic para ver continuación.
Ejemplo 3 x4 – y8 = (x2 – y4) (x2 + y4)
• Este ejercicio puede seguir factorizándose. • Observa que el primer factor (x2 – y4) se puede volver a factorizar por diferencia de cuadrados.
• Si factorizamos este factor tenemos: x2 – y4= (x – y2) (x + y2)
• La factorización completa sería: x4 – y8 = (x – y2) (x + y2) (x2 + y4)
• Observa que el factor (x2 + y4) no es una diferencia de cuadrados ya que es una suma.
Reflexión
¿Cómo reconocer cuando el polinomio se puede factorizar por Diferencia de Cuadrados? El polinomio tiene que tener las siguientes características: 1. El polinomio es un binomio. 2. El binomio es de resta. 3. Cada término del binomio es un cuadrado perfecto.
Recuerda cuáles son los cuadrados perfectos… De los coeficientes numéricos y constantes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 144, …
De las variables: x2, x4, x6, x8, x10, x12, x14, … Observa que el exponente de la variable es un número par. La raíz cuadrada de una potencia se obtiene dividiendo el exponente por 2.
Ejercicios de Práctica
Instrucciones • Factoriza completamente los polinomios a continuación en tu libreta y luego haz clic para ver los resultados.
• Recuerda que debes asegurarte de que está completamente factorizado.
• Esto significa que ya no puede factorizarse más, o sea, que todos los factores son primos.
Factoriza completamente x2 – 81 x2 – 25y2 =
=
(x + 9) (x – 9) (x + 5y) (x – 5y)
9x4 + 16 = No se puede factorizar. Hay una suma. El polinomio es primo. x8y6 – 144 = (x4y3 + 12) (x4y3 – 12) El orden de los factores no altera el resultado. Por eso puedes escribir los factores en cualquier orden, primero el de suma y luego el de resta, o al revés.
Factoriza completamente 4x2 – 9 =
(2x – 3) (2x + 3)
36 – 49x10 = 1 – 16x2 =
(1 – 4x) (1 + 4x)
64x2 – y2 = 2
x – 6 =
(6 – 7x5) (6 + 7x5)
(8x – y) (8x + y)
No se puede factorizar. El 6 no es un cuadrado perfecto. El polinomio es primo.
Suma o Diferencia de Cubos
Reflexión • A veces tenemos que factorizar polinomios que representan una suma o diferencia de dos cubos perfectos.
• Esta clase de polinomios se factoriza aplicando una fórmula.
• Para poder entender la fórmula, veamos un ejercicio de exploración.
Multiplica los siguientes polinomios: (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8 (y – 1) (y2 + y + 1)
= y3 – 1 =
a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) =
a3 – b3
(a + b) (a2 – ab + b2)
Después de multiplicar en tu libreta, haz clic para ver resultados.
¿Qué patrones observas en el resultado? (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8 (y – 1) (y2 + y + 1)
= y3 – 1 =
a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) =
a3 – b3
(a + b) (a2 – ab + b2)
En el resultado el patrón es: 1. El resultado es un binomio. 2. El binomio es de resta o de suma. 3. Los dos términos del binomio son cubos perfectos.
¿Qué patrones observas en los factores que se multiplican? (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8 = y3 – 1
(y – 1) (y2 + y + 1) (a + b) (a2 – ab + b2)
= a3 + b3
3 – b3 a (a – b) (a + ab + b ) = 2
2
En los factores que se multiplican el patrón es: -Los dos polinomios que se multiplican son un binomio y un trinomio cuadrático. -En el binomio hay una suma o una resta. -Los dos términos del binomio son la raíz cúbica de los dos
¿Qué haríamos si queremos obtener los factores partiendo del polinomio en el resultado? • Para obtener el binomio sacamos la raíz cúbica de cada término en el polinomio del resultado. • Escribimos en el binomio el mismo signo que aparezca en el polinomio, ya sea + ó –. • Veamos... a3 + b3 = (a + b) (…) a3 – b3 = (a – b) (…) • Para obtener el trinomio cuadrático, veamos la próxima pantalla.
¿Qué haríamos para obtener el trinomio? • Para obtener el trinomio cuadrático, nos concentramos en el binomio obtenido en el primer factor. a3 + b3 a3 – b3
= =
(a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
• El primer término del trinomio es el cuadrado del primer término del binomio. (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
• El segundo término del trinomio es el producto de los dos términos del binomio, con el signo opuesto al signo que aparezca en el binomio. (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
• El último término del trinomio es el cuadrado del último término del binomio, con el signo de + siempre. (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
Fórmula para factorizar Suma o Diferencia de Cubos • El proceso anterior se puede resumir en una fórmula.
• Para factorizar la suma o diferencia de dos cubos, aplicamos la fórmula siguiente: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Pasos a seguir para factorizar cubos: • Sacamos la raíz cuadrada de cada término del polinomio y escribimos el mismo signo de + ó – . Esto nos dará el primer factor, o sea, el binomio.
• Luego, nos concentramos en el binomio construido en el paso anterior para obtener el otro factor que es un trinomio.
• Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer término del trinomio.
• Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo término del trinomio.
• Por último, elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será el
Importante recordar cuáles son los cubos perfectos En los coeficientes numéricos o constantes:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,... En las variables:
x3, x6, x9, x12, x15, x18, x21, x24, … Observa que los exponentes de las variables son múltiplos de tres. La raíz cúbica de una potencia se obtiene dividiendo el exponente por 3.
Importante • Cuando los polinomios representan cubos perfectos, se pueden factorizar aplicando la fórmula de factorizar cubos.
• Pero, para poder aplicar la fórmula hay que asegurarse de que el polinomio tiene las características que tiene que tener un polinomio que representa una suma o una diferencia de dos cubos perfectos.
• Veamos...
Características del polinomio que representa el método de cubos 1. El polinomio es un binomio. 2. El binomio es de resta o de suma. 3. Cada término del binomio tiene que ser un cubo perfecto.
Factorización de Suma o Diferencia de Cubos
Ejemplo 1 Factoriza: a3 + 8
• Verificamos que el polinomio tiene las características de una suma de cubos.
• Sacamos la raíz cúbica de cada término y lo colocamos en un binomio.
a3 + 8 = (a + 2)
• Para construir el trinomio nos fijamos en el binomio construido anteriormente y aplicamos la fórmula:
a3 + 8 = (a + 2) (a2 – 2a + 4) La fórmula: -Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer t érmino del trinomio. -Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo término del trinomio. -Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será el último término del trinomio.
Ejemplo 2 Factoriza: 27x3 – 1
• Verificamos que el polinomio tiene las características de una suma de cubos.
• Sacamos la raíz cúbica de cada término y lo colocamos en un binomio.
27x3 – 1 = (3x – 1)
• Para construir el trinomio nos fijamos en el binomio construido anteriormente y aplicamos la fórmula:
27x3 – 1 = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) La fórmula: -Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer t érmino del trinomio. -Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo término del trinomio. -Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será el último término del trinomio.
Ejemplo 3 Factoriza: 64 – 125x3
• Verificamos que el polinomio tiene las características de una suma de cubos.
• Sacamos la raíz cúbica de cada término y lo colocamos en un binomio.
64 – 125x3 = (4 – 5x)
• Para construir el trinomio nos fijamos en el binomio construido anteriormente y aplicamos la fórmula:
64 – 125x3 = (4 – 5x) (16 + 20x + 25x2) La fórmula: -Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer t érmino del trinomio. -Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo término del trinomio. -Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será el último término del trinomio.
Ejemplo 4 Factoriza: 24a3 + 3
• Este polinomio no tiene las características de una suma de cubos ya que 24 no es un cubo perfecto, pero podemos factorizar por factor común. Veamos: 24a3 + 3 = 3 (8a 3 + 1)
• El polinomio dentro del paréntesis es una suma de cubos. Factorizamos la suma de cubos y tenemos: 24a3 + 3 = 3 (8a 3 + 1)
= 3 (2a + 1) (4a2 – 2a + 1)
Ejemplo 5 Factoriza: x6 – 1
• Este polinomio puede factorizarse por Diferencia de Cubos o Diferencia de Cuadrados. Siempre que tengamos esta situación, factorizamos primero por diferencia de cuadrados .
• Veamos: x6 – 1 = (x3 + 1) (x3 – 1)
• Ahora factorizamos cada factor por el método de los cubos y tenemos:
x6 – 1 =
(x3 + 1)
(x3 – 1)
= (x + 1) (x 2 – x + 1) (x – 1) (x2 + x +1)
Ejercicios de Práctica
Instrucciones • Factoriza completamente los polinomios a continuación en tu libreta.
• Después, haz clic para ver los resultados.
Factoriza completamente x3 - 27 3
3
x +y
= (x – 3) (x2 + 3x + 9) 2 - xy + y2) (x + y) (x =
5x3 + 40y3 = x6 + y 9
Sacamos el 5 como factor común primero y luego factorizamos la suma de cubos que resulta: 5 (x + 2y) (x 2 - 2xy + 4y2)
=
(x2 + y3) (x4 - x2y3 + y6)
Factoriza completamente x + 125
=
(x + 5) (x2 – 5x + 25)
216 – x3
=
(6 – x) (36 + 6x + x 2)
64 – x3
=
(4 – x) (16 + 4x + x 2)
64x3 + 9
=
3
No se puede factorizar. El 9 no es un cubo perfecto.
Agrupación
Reflexión • A veces tenemos un polinomio de cuatro términos que solo puede factorizarse usando la estrategia de agrupación.
• En la lección 3 estudiamos el método de factorización de factor común y la estrategia de agrupación.
• En esa ocasión vimos que cuando tenemos un polinomio de cuatro términos en el cual algunos de los términos comparten un factor común, pero no todos, podemos agrupar los términos que comparten el factor común para factorizarlos y luego es probable que se pueda volver a factorizar.
• En aquel momento, la estrategia de agrupación nos permitió factorizar dos veces usando el método de factor común en ambas ocasiones.
Reflexión • En esta lección veremos que podemos usar la estrategia de agrupación para factorizar el polinomio por alguno de los métodos estudiados hasta el momento, además de factor común.
• Veamos ejemplos en las próximas pantallas.
Ejemplo 1 Factoriza completamente: x3 + 3x2 – 4x – 12
• Este polinomio tiene cuatro términos. Si agrupamos los primeros dos términos y los últimos dos, podemos sacar un factor común en cada grupo. Veamos: x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x3 + 3x2) + ( – 4x – 12) = x2 (x + 3) + –4(x + 3)
•
Ahora podemos volver a factorizar ya que ambos comparten al factor común (x + 3).
• Continuamos en la próxima pantalla.
Continuación de Ejemplo 1 Factoriza completamente: x3 + 3x2 – 4x – 12
• Factorizando por factor común nuevamente, tenemos: x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x3 + 3x2) + ( – 4x – 12) = x2 (x + 3) + –4(x + 3)
= (x + 3) (x2 – 4)
•
Ahora, podemos continuar factorizando ya que el último factor (x2 – 4) representa una diferencia de cuadrados:
= (x + 3) (x – 2) (x + 2)
• La factorización completa sería: x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x + 3) (x – 2) (x + 2)
Ejemplo 2 Factoriza completamente: a3 + a2 – 16a – 16
• Agrupamos y sacamos factor común: a3 + a2 – 16a – 16 = (a3 + a2) + ( – 16a – 16) = a2 (a + 1) + –16(a + 1)
•
Ahora podemos volver a factorizar por factor común: = (a + 1) (a 2 – 16)
• Podemos seguir factorizando ya que el último factor (a2 – 16) es una diferencia de cuadrados: = (a + 1) (a + 4) (a – 4)
• La factorización completa es: a3 + a2 – 16a – 16 = (a + 1) (a + 4) (a – 4)
Ejemplo 3 Factoriza completamente: x2 + 6x + 9 – y2
• En este polinomio podemos agrupar los primeros tres términos ya que éstos representan un trinomio cuadrático perfecto: x2 + 6x + 9 – y2 = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3) 2 – y2
•
Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de cuadrados: = ([x + 3] + y) ([x + 3] – y ) = (x + 3 + y) (x + 3 – y )
• La factorización completa es: x2 + 6x + 9 – y2 = (x + 3 + y) (x + 3 – y )
Ejemplo 4 Factoriza completamente: x2 + 2x + 1 – y2
• En este polinomio podemos agrupar los primeros tres términos ya que éstos representan un trinomio cuadrático perfecto: x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1) 2 – y2
•
Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de cuadrados: = ([x + 1] + y) ([x + 1] – y ) = (x + 1 + y) (x + 1 – y )
• La factorización completa es: x2 + 2x + 1 – y2 = (x + 1 + y) (x + 1 – y )
Ejemplo 5 Factoriza completamente: y2 – 8y + 16 – 9x2
• En este polinomio podemos agrupar los primeros tres términos ya que éstos representan un trinomio cuadrático perfecto: y2 – 8y + 16 – 9x2 = (y2 – 8y + 16) – 9x2 = (y – 4) 2 – 9x2
•
Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de cuadrados: = ([y – 4] + 3x) ([y – 4] – 3x ) = (y – 4 + 3x) (y – 4 – 3x )
• La factorización completa es: y2 – 8y + 16 – 9x2 = (y – 4 + 3x) (y – 4 – 3x )
Ejemplo 6 Factoriza completamente: 64p2 – (x2 + 8x + 16)
• En este polinomio lo que está entre paréntesis es un trinomio cuadrático perfecto, podemos factorizarlo y tenemos: 64p2 – (x2 + 8x + 16) = 64p2 – (x + 4) 2
• Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de cuadrados: = (8p + [x + 4]) (8p – ([x + 4]) = (8p + x + 4) (8p – x – 4)
• La factorización completa es: 64p2 – (x2 + 8x + 16) = (8p + x + 4) (8p – x – 4)
Ejercicios de Práctica
Instrucciones • Factoriza completamente los polinomios a continuación en tu libreta.
• Después, haz clic para ver los resultados.
