Casos de Factorización Factorización Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio): Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C.
Ejemplo: Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2a. El factor común común (FC) en los los dos términos es a por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a ( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de: a
2
FC
+
2a
FC
a =
2
a
+
2a
a
=
a
+
2,
por lo tanto: a (a+2). Así: a 2 + 2a = a (a + 2)
Caso 2. Factorización por factor común (caso polinomio) Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
Ejemplo: Descomponer x (a + b) + m (a + b ) Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea: x ( a + b )
( a + b)
= x
y
m( a + b)
( a + b)
=
m
y se tiene:
x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m )
Caso 3. Factorización por factor común (caso agrupación de términos) Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\, (ab+ac)+(bd+dc)\, = a (b+c)+d(b+c)\, = (a+d) (b+c)\,
Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+): ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by ) = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)
Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la expresión dada no se puede descomponer por este método. En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el 2o. y 4o. con el factor común b, y: ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by ) = a(x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b) Este resultado es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.
Caso 4. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo: Descomponer 4x 2 + 25y 4 x 2
=
2x y
25 y 2
=
2
- 20x y. Al ordenar el trinomio:
5 y , así: 4x
2
- 20x y + 25y
2
= (2x - 5y) (2x - 5y) = (2x - 5y) 2
Es importante destacar que cualquiera de las dos r aíces puede ponerse como minuendo, por lo que en el ejemplo anterior también se tiene: 4x 2 - 20x y + 25y
2
= (5y - 2x) (5y - 2x) = (5y - 2x ) 2
Porque al desarrollar este binomio resulta: (5y – 2) 2 = 25y 2 - 20x y + 4x 2 que es una expresión idéntica a 4x 2 - 20x y + 25y 2, ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.
Caso 5. Diferencia de cuadrados Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo.
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria productoria podemos definir definir una factorización para cualquier cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo:
Caso 6. Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo: resolviéndolo nos queda:
Aplicamos diferencia de cuadrados:
Caso 7. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c
Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.
Si los dos factores binomios tienen en medios signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos de los binomios.
Si los dos factores binomios tienen en medios signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio.
Ejemplo: Factorizar x
2
+ 5x + 6
Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz r aíz cuadrada 2 de x , o sea x: x 2 + 5x + 6 = (x
)(x
)
En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces: x 2 + 5x + 6 (x + )(x + ) Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3, luego: x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Caso 8. Trinomio de la forma ax 2 + bx + c En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, osea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así: Para factorizar una expresión de esta forma; primero se coge el término al lado de x 2, (en este caso el 4) y se multiplica por toda la expresión, dejando el segundo término igual pero en parentesis y dejando todo esto en una fracción. Usando como denominador el término que estamos multiplicando, multiplicándolo con el 1
Luego separamos en dos fracciones el término
Y después procedemos a eliminar eliminar las fracciones
Caso 9. Suma o diferencia de potencias a la n La suma de dos números a la potencia n, a n +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:
Caso 10. Cubo perfecto de Binomios Teniendo en cuenta que los productos productos notables nos dicen dicen que: y es decir que debe cumplir con las siguientes características: •
Debe tener cuatro términos.
•
Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
•
•
Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último.
Raíz cúbica de un monomio: esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
Ejemplos:
