Universidad Autónoma de Chiapas Facultad de Ingeniería Ingeniería Civil
Materia: Métodos numéricos Ing. Saúl Chanona Vázquez
Sergio Eduardo Liévano Torres 3°C
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; 08 de Marzo de 2014.
1
Contenido METODO DE BISECCION ...................................................................................................................... 3 Método de falsa posición .................................................................................................................... 8 Método de punto fijo ........................................................................................................................ 11 Método de Newthon-Raphson.......................................................................................................... 15 Método de Steffensen ...................................................................................................................... 20 Método de Gauss-Seidel ................................................................................................................... 23 Método de Jacobi .............................................................................................................................. 29 Método de Doolitle ........................................................................................................................... 33
2
METODO DE BISECCION 1.- Determine el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de s. Nota: la aceleración de la gravedad ⁄ . ( )
(
. /
)
Para obtener los valores iniciales hacemos la siguiente tabla:
c
f(c)
1 4 6 8 10 12 14 16 18
51.14440346 34.11488938 25.14248313 17.65345264 11.36912276 6.066949963 1.568709726 -2.26875421 -5.56078676
Por lo tanto al observar nuestro cambio de signo nuestro valor c estará entre 14 y 16.
3
termino
Xo 1 2 3 4 5 6 7 8
X1 14 14 14.5 14.75 14.75 14.75 14.75 14.765625
16 15 15 15 14.875 14.8125 14.78125 14.78125
f(Xo) f(X1) Xr f(Xr) f(Xo)*f(Xr) error observacion 1.56870973 -2.26875421 15 -0.42483189 -0.66643791 1.56870973 -0.42483189 14.5 0.55232821 0.86644263 0.03448276 continua 0.55232821 -0.42483189 14.75 0.05896283 0.03256684 0.01694915 continua 0.05896283 -0.42483189 14.875 -0.18411653 -0.01085603 0.00840336 continua 0.05896283 -0.18411653 14.8125 -0.06287413 -0.00370724 0.00421941 continua 0.05896283 -0.06287413 14.78125 -0.00203019 -0.00011971 0.00211416 continua 0.05896283 -0.00203019 14.765625 0.02844766 0.00167735 0.0010582 continua 0.02844766 -0.00203019 14.7734375 0.01320407 0.00037562 0.00052882 es raiz
Por lo tanto para un error mayor o igual a
nuestro valor del coeficiente de arrastre c será:
4
2.- Suponga que está diseñando un tanque esférico para almacenar agua para todo un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que puede contener se calcula con: ,
-
.
/ Donde , -
, -
, -
Si
¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 ,
( )
.
-
/
.
,
-
?
/
El primer paso es obtener los valores iniciales de h
h
f(h) 2 -0.67846857 4 53.7758041 6 83.09733553
5
termino
Xo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 2 2 2 2 2 2 2.015625 2.0234375 2.0234375 2.025390625 2.026367188 2.026855469 2.026855469
X1 4 3 2.5 2.25 2.125 2.0625 2.03125 2.03125 2.03125 2.02734375 2.02734375 2.02734375 2.02734375 2.02709961
f(Xo) f(X1) Xr f(Xr) f(Xo)*f(Xr) error observacion -0.67846857 53.7758041 3 26.5486678 -18.0124366 -0.67846857 26.5486678 2.5 12.5424005 -8.5096245 0.2 continua -0.67846857 12.5424005 2.25 5.78470382 -3.92473971 0.11111111 continua -0.67846857 5.78470382 2.125 2.51016616 -1.70306884 0.05882353 continua -0.67846857 2.51016616 2.0625 0.90434394 -0.61356894 0.03030303 continua -0.67846857 0.90434394 2.03125 0.1099656 -0.0746082 0.01538462 continua -0.67846857 0.1099656 2.015625 -0.28500649 0.19336794 0.00775194 continua -0.28500649 0.1099656 2.0234375 -0.0877077 0.02499726 0.003861 continua -0.0877077 0.1099656 2.02734375 0.01108233 -0.00097201 0.00192678 continua -0.0877077 0.01108233 2.02539063 -0.03832437 0.00336134 0.00096432 continua -0.03832437 0.01108233 2.02636719 -0.01362394 0.00052213 0.00048193 continua -0.01362394 0.01108233 2.02685547 -0.00127154 1.7323E-05 0.00024091 continua -0.00127154 0.01108233 2.02709961 0.00490521 -6.2372E-06 0.00012044 continua -0.00127154 0.00490521 2.02697754 0.00181679 -2.3101E-06 6.0223E-05 es raiz
Por lo tanto la profundidad a la que debe de llenarse el tanque con un error es:
6
3.- Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa
, la profundidad critica la
profundidad crítica “y” para dicho canal satisface la ecuación.
⁄ , Donde área de la sección transversal ( ) y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso se relacionan con la profundidad “y” por medio de: ; Resuelva la profundidad crítica con el uso de los valores iniciales
,
.
Sustituyendo B y Ac en la ecuación inicial ( ( ( (
) )
(
)
(
( )
termino
)
)
) ( (
Xo X1 1 0.5 2 0.5 3 1 4 1.25 5 1.375 6 1.4375 7 1.46875 8 1.484375 9 1.4921875 10 1.49609375 11 1.498046875
) )
2.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
f(Xo) f(X1) Xr f(Xr) f(Xo)*f(Xr) error observacion -32.2582147 0.81303218 1.5 -0.030946 -26.2269667 -32.2582147 -0.030946 1 -2.80405548 0.99826267 0.5 continua -2.80405548 -0.030946 1.25 -0.86262678 0.0867743 0.2 continua -0.86262678 -0.030946 1.375 -0.36856321 0.02669485 0.09090909 continua -0.36856321 -0.030946 1.4375 -0.18444484 0.01140556 0.04347826 continua -0.18444484 -0.030946 1.46875 -0.10428106 0.00570783 0.0212766 continua -0.10428106 -0.030946 1.484375 -0.06680583 0.00322708 0.01052632 continua -0.06680583 -0.030946 1.4921875 -0.04867941 0.00206737 0.0052356 continua -0.04867941 -0.030946 1.49609375 -0.03976424 0.00150643 0.00261097 continua -0.03976424 -0.030946 1.49804688 -0.03534308 0.00123054 0.00130378 continua -0.03534308 -0.030946 1.49902344 -0.03314154 0.00109373 0.00065147 es raiz
Por lo tanto la profundidad crítica con un error
será:
7
Metodo de falsa posicion 1.- Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r. Véase la figura. Cuando se llena de agua a una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es: 0
(
. /
)1
Suponga que el abrevadero.
( )
; determine la profundidad en
( )
0
(
)1
Para realizar el método de falsa posición necesitamos de dos valores:
h
f(h) 0 3.30796327 0.5 -6.25815151 1 -12.4
.
El algoritmo de la falsa posición es: termino
Xo 1 2 3
X1
f(Xo)
f(X1)
(
)(
(
)
Xo - X1
) (
Xr
)
/ f (Xr)
f(Xo) * f(Xr) error
observacion
0 0.5 3.30796327 -6.25815151 -0.5 0.17290004 -0.13273029 -0.43906694 0 0.17290004 3.30796327 -0.13273029 -0.17290004 0.16623014 -0.00126434 -0.00418239 0.04012448 continua 0 0.16623014 3.30796327 -0.00126434 -0.16623014 0.16616663 -1.1791E-05 -3.9005E-05 0.00038221 es raiz
La distancia h con un error
será
Por lo tanto la profundidad del agua es 8
2.- una partícula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme, cuyo ángulo cambia con una rapidez constante de .3 Al final t segundos la posición del objeto está dada por: ( )
(
(
))
Suponga que la partícula se desplazó 1.7 pies en un segundo. Encuentre con una exactitud de
la rapidez w con que
cambia. Suponga que
( ))
(
( ) w
termino
( ))
(
f(w) -0.3 -234.123016 -0.35 73.96902124 Tomando estos valores iniciales tenemos: Xo
X1
f(Xo)
1 -0.3 -0.35 -234.123016 2 -0.3 -0.33799563 -234.123016 3 -0.33510329 -0.33799563 -1.4266251 4 -0.33510329 -0.33530246 -1.4266251 5 -0.33510329 -0.33529275 -1.4266251
f(X1) 73.9690212 19.2906017 19.2906017 0.07314018 0.00023409
Xo - X1 0.05 0.03799563 0.00289234 0.00019917 0.00018946
Xr -0.337995629 -0.335103288 -0.33530246 -0.335292747 -0.335292716
f (Xr) 19.2906017 -1.4266251 0.07314018 0.00023409 7.4877E-07
f(Xo) * f(Xr) error -4516.37383 334.00577 -0.10434362 -0.00033396 -1.0682E-06
observacion
0.00863119 contiuna 0.00059401 contiuna 2.8969E-05 contiuna 9.2703E-08 es raiz
Donde nuestra rapidez con que w cambia será de:
9
3.- Un objeto que cae verticalmente en el aire está sujeto a una resistencia viscosa y a la fuerza de gravedad. Si se deja caer un objeto de masa m desde una altura y que la altura del objeto después de t segundos está dada por: ( ) Donde
(
)
y k representa el coeficiente de resistencia del aire. Supóngase que , m=0.25 lb y
, calcule el tiempo que tarda un cuerpo con este
peso en caer al suelo. (
) (
( )
)
Primero obtenemos los valores iniciales para el tiempo: t
f(t) 0 2 4 6 8 10
termino
300 249.8692952 138.7686814 Calculamos el tiempo para un error 0.272521517 -150.533251 -306.870088
Xo 1 6 2 6.003614205
X1
f(Xo)
f(X1)
Xo - X1
Xr
f (Xr)
f(Xo) * f(Xr) error
observacion
8 0.27252152 -150.533251 -2 6.00361421 0.00819921 0.00223446 8 0.00819921 -150.533251 -1.99638579 6.00372294 0.00024653 2.0213E-06 1.81109E-05 es raiz
Por el tanto el tiempo en que el cuerpo caerá al suelo será:
10
Metodo de punto fijo 1.-El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado se expresa así: √
√ Dados los valores de parámetros
,y
. √
( )
( )
√
Ahora se evaluara f(c) para obtener el valor inicial: c
f(c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16 11.96 8.24 4.84 1.76 -1 -3.44 -5.56 -7.36 -8.84 -10
Por lo tanto nuestro valor inicial de c estará entre 4 y 5.
Evaluando a este valor mediante iteraciones de punto fijo tenemos:
iteracion
Co 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 4.40983006 4.75010116 4.5513183 4.66654527 4.599453 4.63841616 4.61575437 4.62892331 4.62126681 4.62571702
g(Co) 5 4.40983006 4.75010116 4.5513183 4.66654527 4.599453 4.63841616 4.61575437 4.62892331 4.62126681 4.62571702 4.62312997
error
Observacion Para un error
0.2 continua 0.13383054 continua 0.0716345 continua 0.04367589 continua 0.02469213 continua 0.01458701 continua 0.0084001 continua 0.00490966 continua 0.00284493 continua 0.0016568 continua 0.00096206 es raiz
el
valor para la concentración de estado estable c será:
11
2.- La torsión T ( interno
) y el esfuerzo cortante máximo
( ) y radio externo
)
, halle un para el cual como un valor inicial. (
cuando T es de 0.90
)
( (
)
(
Ro 0 1 2 3 4 5
0.4 0.29875334 0.28234207 0.27939506 0.27885587 0.27875688
Por lo tanto para un error
g(Ro) 0.29875334 0.28234207 0.27939506 0.27885587 0.27875688 0.2787387
.
) )
Entonces para un valor inicial iteracion
/ para un tubo de radio
( ) se relacionan por la ecuacion (
Si Tome
.
usamos el método de punto fijo error
Observacion
0.338897162 continua 0.058125492 continua 0.01054781 continua 0.001933582 continua 0.000355115 raiz
el radio externo será de
12
3.- El valor acumulado de una cuenta de ahorros que se basa en pagos periódicos puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida ( ) ,((
) )
-
En esta ecuación, A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de 750.000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar 1500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la tasa mínima de interés a que puede invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual? ,
La cantidad P será dada en un año por ()
(
) ,((
()
i
f( i ) 0.01 -353657.928 0.02 -312647.344 0.04 -213994.586 0.06 -87859.3583 0.08 73715.3574 0.1 280949.991
(
) )
-
)
Evaluamos para la función ( ) para obtener nuestro valor inicial
13
Ahora se lleva acabo las iteraciones con este valor y el método de punto fijo:
iteracion
io 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.06 0.06464153 0.0675084 0.0692087 0.07019338 0.07075585 0.07107465 0.07125454 0.07135579 0.0714127
g(i o) 0.06464153 0.0675084 0.0692087 0.07019338 0.07075585 0.07107465 0.07125454 0.07135579 0.0714127 0.07144467
error
Observacion
0.07180411 continua 0.04246685 continua 0.02456782 continua 0.0140281 continua 0.00794947 continua 0.00448536 continua 0.00252459 continua 0.001419 continua 0.00079696 raiz
Por lo tanto nuestro valor
Representa una tasa de interés de:
14
Metodo de Newthon-Raphson 1.-Se desea conocer el volumen específico del nitrógeno a 1000 kPa y 150 K utilizando la ecuación de estado de Van der Waals. /(
La ecuación es del tipo: . Donde
(
)
y
(
)
)
De las tablas de termodinámica se obtienen las siguientes constantes:
De aquí se calculan las constantes a y b obteniéndose:
Podemos reescribir nuestra ecuación de la forma cubica: ( )
(
)
Para desarrollar el método de Newton-Raphson aplicamos la formula ( ) ( ) ( )
(
)
Para encontrar el valor inicial evaluamos a f(v) y tenemos
v
f(v) 0 -0.00024114 1 3348.03616 2 26951.7962 3 91151.2798
Es claro que el valor inicial será:
15
iteracion
Xo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f (Xo) 0 -0.00024114 0.00138113 -7.1448E-05 0.00230189 -2.117E-05 0.00291574 -6.2728E-06 0.003325 -1.8588E-06 0.00359789 -5.5094E-07 0.00377996 -1.6343E-07 0.00390164 -4.8616E-08 0.00398345 -1.46E-08 0.0040396 -4.5273E-09 0.00408096 -1.5661E-09 0.00412058 -7.8559E-10 0.00427188 6.4329E-09 0.00423355 1.7291E-09 0.00421261 3.7083E-10 0.00420499 3.9406E-11 0.00420397 6.5251E-13
f' (Xo) error observacion 0.17459451 0.07759735 1 continua 0.03448738 0.4000012 continua 0.01532721 0.21052978 continua 0.00681131 0.12308541 continua 0.00302606 0.07584924 continua 0.00134312 0.04816592 continua 0.00059423 0.03118707 continua 0.00026003 0.02053832 continua 0.00010945 0.01389896 continua 3.9528E-05 0.0101362 continua 5.1924E-06 0.00961498 continua 0.00016783 0.03541642 continua 8.2589E-05 0.00905398 continua 4.865E-05 0.00496987 continua 3.8507E-05 0.00181271 continua 3.7236E-05 0.00024342 es raiz
Por lo tanto el volumen especifico a 1000 kPa y 150 K con un error
será:
16
2.- Al tratar de encontrar la acidez de una solución de hidróxido de magnesio en acido clorhídrico, se obtiene la ecuación siguiente: ( ) Donde x es la concentración del ion hidrogeno. Calcule la concentración del ion de hidrogeno para una solución saturada (cuando la acidez es igual a cero). Para desarrollar el método de Newton-Raphson aplicamos la formula ( ) ( ) ( )
( )
Para una acidez cero tenemos: ( ) ( ) Evaluamos a ( ) para encontrar un valor inicial
x
f( x ) 0 1 2 3 4
-40 -35.5 -18 18.5 80
Se realiza el cálculo mediante la siguiente tabla: iteracion
Xo 0 1 2 3 4 5
1 4.55 3.20199558 2.66197645 2.57011646 2.56757341
f (Xo) -35.5 126.655125 28.7140576 3.66449588 0.09614607 7.2482E-05
f' (Xo) 10 93.9575 53.1722962 39.8921909 37.8073112 37.7503135
error
observacion
0.78021978 continua 0.42098884 continua 0.20286398 continua 0.03574156 continua 0.00099045 Raiz
17
Por lo tanto para una solución saturada la concentración del ion de hidrogeno será:
Con un error de
18
3.- La concentración de bacterias contaminantes c en un lago disminuye de acuerdo con la ecuación
Determine el tiempo que se requiere para que la concentración de bacterias se reduzca a 15 con el uso del Método de Newton-Raphson con un valor inicial de . Para desarrollar el método de Newton-Raphson aplicamos la formula ( ) ( ) ( ) ( ) Realizamos el cálculo iterativo mediante la siguiente tabla: iteracion
Xo 0 1 2 3 4
6 3.69337148 3.98189621 4.00156321 4.00163407
f (Xo) -2.23818123 0.45551923 0.02751951 9.8443E-05 1.2568E-09
f' (Xo) -0.97032583 -1.57878749 -1.39927316 -1.38930357 -1.3892681
error
observacion
0.62453196 continua 0.07245913 continua 0.00491483 continua 1.7707E-05 Raiz
Por lo que la concentración de bacterias se reducirá a 15 en un tiempo de
19
Metodo de Steffensen 1.- La siguiente formula es atribuida a Francis y se aplica a un vertedor con contracciones (
)(
)
Donde: Q= cantidad de agua que pasa por el vertedor en B= ancho del vertedor en pies H= carga sobre la cresta del vertedor en pies Si se sabe que el ancho del canal es de 5.8 pies y el gasto Q es de sobre la cresta. Se sugiere que el valor inicial ( )
(
( )
.
)( (
determine la carga
) /
)
Usamos el método de Steffensen y así mediante una sucesión de valores de la siguiente manera con y un error
iteracion
Ho
g (Ho)= H1 0 2.9 2.38438744 1 2.3515235 2.35155734 2 2.3515595 2.35155946
g( H1) = H2 error observacion 2.35349268 2.35155933 0.233243031 continua 2.35155946 1.52789E-05 es raiz
Como observamos la carga sobre la cresta del vertedor será de
20
2.- El desplazamiento de una estructura está definido por la ecuación siguiente para una oscilación amortiguada: (
)
Donde Utilice un método numérico para realizar una estimación del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5. ( ) ( )
( )
( )
.
.
//
Usamos como valor inicial un tiempo Así mediante el algoritmo de Aitken (
iteracion
)
; tenemos la tabla:
to
g (t o)= t 1 g( t 1) = t 2 error observacion 0 0 0.29284277 0.2682854 1 0.2701854 0.27041754 0.27039592 1 continua 2 0.2703978 0.27039776 0.27039776 0.000785326 raiz
Entonces el tiempo para un desplazamiento de 3.5 será:
21
3.- Encuentre una aproximación con una exactitud de población:
para la ecuación de
(
)
Donde es el índice constante de natalidad. Suponiendo que a tasa de inmigración se mantiene en 435000 personas por año. ( )
(
)
Usamos como valor inicial Así mediante el algoritmo de Aitken (
iteracion
)
; tenemos la tabla:
Xo g (X o)= t 1 0 0.1 0.10027778 1 0.1010049 0.10100293 2 0.1009979 0.10099793
g( X 1) = t 2 error observacion 0.10047877 0.10100152 0.009948857 continua 0.10099793 6.88443E-05 RAIZ
Donde el índice constante de natalidad será:
22
Metodo de Gauss-Seidel 1.- Una compañía de electrónica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada resistor requiere cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos de vidrio. Cada resistor requiere tres, tres y una unidades de dichos materiales respectivamente y cada chip de computadora requiere dos, una y tres respectivamente. Componente Transistores Resistores Chips de computadora
Cobre 4 3 2
zinc 1 3 1
vidrio 2 1 3
Los suministros de estos materiales varían de una semana a la otra, de modo que la compañía necesita determinar una corrida de producción diferente cada semana. Por ejemplo las cantidades disponibles de materiales son 960 unidades de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio. ¿Cuál es el número de transistores, resistores y chips de computadora por manufacturar esta semana? Primero definimos nuestras ecuaciones
Despejamos a las variables
23
Así entonces tabulando con la ayuda de Excel tenemos con un error de iteracion
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r 100 115 110.833333 120.972222 114.74537 122.712191 116.134902 123.051162 116.713195 122.977773 117.039461
c 100 103.333333 97.2222222 102.314815 97.3302469 102.224794 97.6316015 102.138274 97.8608801 102.011224 98.039328
Error 100 103.3333333 92.22222222 97.03703704 88.58024691 94.39300412 87.45027435 93.36619799 87.25313405 92.90424319 87.3444102
observacion
15.72330189 continua 13.34779309 continua 12.32534011 continua 11.6248398 continua 11.00976732 continua 10.60941317 continua 10.15592921 continua 9.789559387 continua 9.402410322 continua 9.052692936 continua
. . .
127 120.031471 100.020981 90.02907916 0.097303706 Raiz
Es de decir que
Nótese que bajo este método se necesitó de 127 iteraciones.
24
2.- Emplee el método de Gauss- Seidel para resolver el sistema siguiente. Si es necesario reacomode las ecuaciones para lograr convergencia.
Reacomodando para lograr convergencia tenemos:
DESPEJANDO TENEMOS:
Tabulando estos datos tenemos: iteracion
X1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0.5 0.5462963 0.6087963 0.59897977 0.58863812 0.58993941 0.59166058 0.5914976 0.59121269
X2 0 4.44444444 4.57407407 4.5159465 4.47436557 4.48318425 4.49019101 4.48895456 4.48777838 4.48794629
X3 0 -4.16666667 -3.9212963 -3.9220679 -3.94253687 -3.94354781 -3.94022751 -3.93996893 -3.94050227 -3.94055954
Error 6.11262607 0.28134286 0.08535608 0.04737422 0.01362868 0.00786209 0.00213497 0.00130169 0.00033564
observacion continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar RAIZ
25
Por lo tanto con un error de
:
26
3.- El sistema de ecuaciones siguiente está diseñado para determinar concentraciones (las c están en ) en una serie de reactores acoplados, como función de la cantidad de masa que entra a cada uno de ellos (los lados derechos están en g/día), resuelva para un error .
Despejamos para cada una de las variables:
Tabulamos con los datos anteriores y tenemos:
iteracion 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
c1
c2
c3
Error
0 253.333333 279.722222 307.222222 315.285494 318.188014 319.496528 319.925054 320.101285 320.167285 320.191891 320.20147 320.205048 320.206416 320.206936 320.207133
0 66.6666667 174.166667 208.564815 219.066358 224.421296 226.092678 226.782014 227.045253 227.141387 227.179281 227.193385 227.198768 227.200821 227.201596 227.201892
0 195.833333 285.833333 303.587963 315.621142 319.184028 320.597779 321.173232 321.373519 321.454199 321.484211 321.49557 321.499939 321.50158 321.502207 321.502445
327.067144 142.662621 47.4837811 17.8912313 7.05649664 2.55037626 0.99497005 0.37478892 0.14179941 0.05424035 0.02048775 0.00780165 0.00296277 0.00112438 0.00042749
observacion continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar continuar RAIZ
27
Por lo tanto nuestros valores son:
28
Metodo de Jacobi 1.- Supongase que tiene una estructura cuadrada. Con el fin de analizarla se forma una malla imaginaria sobre dicha estructura, como se muestra en la figura siguente:
En la aplicación del método de rigideces, para calcular los desplazamientos en los nodos de una estructura dada al aplicarse una carga en uno de los nodos, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
, Donde la matriz coeficiente es conocida como la matriz de nodos, , - son los vectores de desplazamiento de los nodos B y C, y respectivamente. Resuelva dicho sistema.
-
Con esta matriz obtenemos nuestras ecuaciones características:
29
Con estas ecuaciones tabulamos y llevamos acabó las iteraciones con el método de Jacobi y la ayuda de Excel iteracion
dxb
0 1 2 3 4 5
dyb Ob dxc dyc 0 0 0 0 0 0.00530351 0 -1.98882E-05 0.00523373 -1.67102E-05 0.01053022 3.4147E-05 -3.43197E-05 0.01041282 -3.76981E-05 0.0156965 6.3368E-05 -4.79848E-05 0.01553439 -5.89658E-05 0.02080472 9.1721E-05 -6.14337E-05 0.02059867 -8.00493E-05 0.02585572 0.0001197 -7.47255E-05 0.02560623 -0.000100902
Oc 0 -1.07186E-05 -2.25121E-05 -3.42981E-05 -4.5965E-05 -5.75026E-05
error
observacion
0.00745117 cotinua 0.00735822 cotinua 0.00727479 cotinua 0.00719322 cotinua 0.00711265 cotinua
. . . 180 0.40969909 0.00224545 -0.001084758 0.40614914 -0.001685641 -0.000934296 0.00099112 Solucion
Y estas son las soluciones de nuestro sistema; Observe que se llega hasta el resultado con un hasta la iteración número 180.
30
2.- Resuelva para el siguiente sistema con un error
Despejamos a cada una de las variables:
Tabulamos con estas ecuaciones y el método de Jacobi:
iteracion 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1
x2
x3
x4
0 0.6 -0.5 -0.72 -0.762625 -0.78149688 -0.79019461 -0.79420808 -0.79606012 -0.79691476 -0.79730913
0 2.2 2.64 2.72525 2.76299375 2.78038922 2.78841617 2.79212025 2.79382952 2.79461827 2.79498224
0 -0.275 -0.336875 -0.29579688 -0.27589805 -0.26670284 -0.26245949 -0.26050136 -0.25959778 -0.25918081 -0.2589884
0 -2.255 -2.267375 -2.25915938 -2.25517961 -2.25334057 -2.2524919 -2.25210027 -2.25191956 -2.25183616 -2.25179768
error
observacion
3.21879636 continuar 1.18641547 continuar 0.23962986 continuar 0.0604424 continuar 0.02732552 continuar 0.01260194 continuar 0.00581514 continuar 0.00268343 continuar 0.00123828 continuar 0.00057141 RAIZ
Los resultados son:
31
3.-Resuelva mediante el método de Jacobi el siguiente sistema con un error de
Con estas ecuaciones tabulamos con el método de jacobi: iteracion 0 1 2 3 4 5 6 7
x1
x2
x3
x4
x5
0 1.5 1.1890625 0.85082845 0.7828913 0.78330171 0.78616258 0.78668253
0 -2.5 -1.52135417 -1.03530219 -0.98701859 -0.998271 -1.00240703 -1.00271872
0 1.1 1.862395833 1.894363173 1.871616428 1.86614704 1.866069993 1.866283392
0 1.525 1.88252604 1.92747236 1.91687229 1.91279444 1.91245638 1.9125618
0 2.64375 2.25564453 2.0093738 1.98219533 1.98747365 1.98960692 1.98978976
error
observacion
4.36177018 continuar 1.38352012 continuar 0.64369259 continuar 0.09118776 continuar 0.0141841 continuar 0.00547379 continuar 0.00067645 RAIZ
Por lo tanto nuestra solución es:
32
Metodo de Doolitle 1.-En un experimento sobre una dieta a seguir se desea alimentar a una persona con una dieta diaria formada por una combinación de tres alimentos dietéticos comerciales: MiniCal, Silueta y Bajo Peso. Para este experimento es importante que la persona consuma exactamente 500 mg de potasio, 75 g de proteína y 1150 unidades de vitamina D cada día. En la siguiente tabla se ven las cantidades de esos nutrientes en una onza de cada producto.
¿Cuántas onzas de cada producto debe ingerir una persona al día para cumplir estrictamente las indicaciones del nutricionista? Aplicando la factorización LU Con nuestras formulas:
33
Tenemos nuestra Matriz , -* +
* +
Entonces por descomposición tenemos nuestras matrices A = L U A 50 5 90
L 75 10 100
Hacemos , -* +
10 3 50
=
1 0.1 1.8
U 0 1 -14
0 0 1
50 0 0
75 2.5 0
10 2 60
* +
Y con esto hacemos , -* +
* +
Por lo tanto se necesitan: 5 onzas de Minical 2 onzas de Silueta 10 onzas de Bajo peso
34
2.- La compañía LAWNCO produce 3 grados de fertilizantes comerciales que contienen nitrógeno, fosfato y potasio en cantidades diferentes (libras). Los nutrientes en un saco de 100lbs de cada grado se muestra. GRADO/NUTRIENTES NITROGENO FOSFATO POTASIO A 18 4 5 B 20 4 4 C 24 3 6 ¿Cuántos sacos de 100 lb de cada grado se deben producir si se dispone: 26400 lb de nitrógeno, 4900 lb de fosfato y 6200 lb de potasio y se utilizan todos los ingredientes? Aplicando la factorización LU Con nuestras formulas:
Tenemos nuestra Matriz , -* +
* +
35
Entonces por descomposición tenemos a la matriz A = L U A 18 4 5
L 20 4 4
Hacemos , -* +
24 3 6
1 0.22222222 0.27777778
=
0 1 3.5
0 0 1
U 18 20 24 0 -0.44444444 -2.33333333 0 0 7.5
* +
Y con esto hacemos , -* +
* +
Por sustitución hacia atrás tenemos: Se deben producir: 400 sacos de fertilizante A 600 sacos de fertilizante B 300 sacos de fertilizante c
36
3.- Un turista visita un supermercado en Madrid y paga un total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamón a la plancha y 12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche.
X: precio por litro de leche Y: precio por kg de jamón Z: precio por litro de aceite
Aplicando la factorización LU Con nuestras formulas:
37
Tenemos nuestra Matriz , -* +
* +
Aplicando la factorización en L U tenemos: A 24 -3 -4
6 0 1
Hacemos , -* +
12 1 -4
=
L 1 0 -0.125 1 -0.16666667 2.66666667
U 0 0 1
24 0 0
6 12 0.75 2.5 0 -8.66666667
* +
Y con esto hacemos , -* +
* +
Por lo tanto los precios son: Leche 1 euro el litro Jamón 16 euros el kg Aceite 3 euros el litro
38
