Unidad 6 Metodos

Métodos Numéricos Índice de Unidad VI Solución de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Introducción........................................................................................................................................ Introducción........................................................................................................................................

1

6.1 Métodos de un paso paso..................................................................................................................... .....................................................................................................................

2

6.1.1 Método de Euler ..................................................................................................................... 2 6.1.1.1 Análisis de Error para El método de Euler ...................................................................... 5 6.1.1.2 Método de Euler Mejorado ............................................................................................ 6 6.1.2 Método Para la Serie de Taylor de Orden Superior ............................................................... 7 6.1.3 Método del punto medio (o del polígono mejorado) ........... .................... .................. ................... ................... .................. ............ ... 8 6.1.4 Método de Runge – Kutta ...................................................................................................... 9 6.1.4.1 Métodos Runge-Kutta de segundo orden ..................................................................... 11 6.2 Métodos de Pasos Múltiples...................................................................................................... Múltiples......................................................................................................

16

6.2.1 Método de Heun de No Auto inició ..................................................................................... 17 6.2.2 Métodos Multi paso de orden superior ............................................................................... 18 6.2.3 Método de Milne .................................................................................................................. 19 6.2.4 Método de Adams de cuarto orden ..................................................................................... 19 6.3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ..................................................................... 20 6.3.1 Método de Euler ................................................................................................................... 20 6.4 Aplicaciones ................................................................................................................................

24

Apéndices Apéndice A “Métodos Investigados” Investigados” ............................................................................................ 32 Apéndice B “Ejemplos” .................................................................................................................. 33

Conclusión......................................................................................................................................... Conclusión......................................................................................................................................... 46 Bibliografía........................................................................................................................................ Bibliografía........................................................................................................................................ 47

Unidad VI “Solución de Ecuaciones Diferenciales”

Introducción

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los l os principios científicos básicos. Pero en esta vez aplicaremos lo métodos numéricos para ecuaciones diferenciales y sus métodos para la solución de problemas mediante los métodos de un paso; así como también mediante los métodos de Pasos Múltiples.

Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1

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Introducción

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los l os principios científicos básicos. Pero en esta vez aplicaremos lo métodos numéricos para ecuaciones diferenciales y sus métodos para la solución de problemas mediante los métodos de un paso; así como también mediante los métodos de Pasos Múltiples.


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6.1 Métodos de un Paso

Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma general, que sólo va a diferir en la manera en la cual se estima la pendiente. Como en el problema del paracaidista en caída, el procedimiento más simple es usar la ecuación diferencial para estimar la pendiente derivada en xi al inicio del intervalo. En otras palabras, la pendiente al inicio del intervalo es tomada como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. Este procedimiento, llamado método de Euler. 6.1.1 Método de Euler

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en x i

Donde f ( xi , yi ) es la ecuación diferencial evaluada en xi y y i podrá sustituirse en la ecuación yi  1  yi   h en donde nos resultara la siguiente ecuación: yi  1  yi  f  xi , yi h   f ( xi , yi )

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio ). Se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x ) que habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño del paso h


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Enunciado del problema. (Ejemplo) Use el método de Euler para integrar numéricamente la ecuación dy dx

 2 x 3  12 x 2  20 x  8.5

Desde x  0 hasta x  4 con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en x  0 es y  1 . Recuerde que la solución exacta la da la ecuación

y  0.5 x  4 x  10 x  8.5x  1 4

3

2

Solución. Se puede usar la ecuación yi  1  yi  f  xi , yi h para implementar el método de Euler: y0.5  y0  f 0,10.5 Donde y0  1 y la pendiente estimada en x  0 es

f 0,1  20  120  200  8.5  8.5 3

2

 y0.5  1.0  8.50.5  5.25 La solución real en x  0.5 es

y  0.50.54  40.53  100.52  8.50.5  1  3.21875


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Así, el error es: E t = verdadero - aproximado = 3.21875 - 5.25 = -2.03125 o Expresada como error relativo porcentual, et  .63.1% Para el segundo paso, y 1  y0.5  f 0.5,5.250.5





 5.25   20.5  120.5  200.5  8.5 0.5  5.875 3

2

6.1.1.1 Análisis de error para el método de Euler

La solución numérica de los EDO involucra dos tipos de error (recuerde los capítulos 3 y 4): 1. Errores de truncamiento, o desratización, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y. 2. Errores de redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora. Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de Truncamiento local que resulta de una aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo. La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de los dos és el total, o error de truncamiento global. Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuación diferencial sujeta a integración será de la forma General: y´ f ( x, y) Donde y´

dy dx

, y x y y

son las variables independientes y dependientes,

respectivamente. Si la solución (es decir, la función que describe el comportamiento de y) tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansión de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio  xi , yi  como en y i  1  yi  yi ´h 


y i ´´ 2!

h  2

yi

( n)

n!

h n  Rn

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Donde: h  xi

Donde

1



xi yRn



término remanente, definido como Rn 

 está en algún lugar en el intervalo de x

i

y

( n 1)

( )

(n  1)!

h

n 1

a xi  1

6.1.1.2 Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método Euler simple, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre las pendientes de las rectas tangentes halladas.

Así, en la gráfica vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la recta tangente a la curva en el punto  x1 , y1  , donde y1 es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada. m

x



x

1


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La aproximación en cada paso queda determinada entonces por la fórmula:

h

f  xi , yi   f xi  1, yi  1 0

yi  1  yi 

2

Siendo:

y n  1  y n  h  f  xn , y n 

6.1.2 Método para la serie de Taylor de orden superior

Una manera para reducir el error del método de Euler podría ser la inclusión de términos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor para su solución. Por ejemplo, con la inclusión del término de segundo orden según la siguiente ecuación: f ´( xi , yi ) 2 yi  1  yi  f  xi , yi h  h 2! Un Error de truncamiento local

Ea 

f ´´( xi , yi ) 6

h

3

Aunque la incorporación de términos de orden superior es lo suficientemente simple para implementarse en los polinomios, su inclusión no es tan trivial cuando la EDO es más complicada. En particular, las EDO que son una función tanto de la variable dependiente como de la independiente, requieren diferenciación por la regla de la cadena. Por ejemplo, la primera derivada de f ( x, y) es

f ´ xi , yi  

 f  x, y   f  x, y  dy   x  y dx

La segunda Derivada es:

  f   f  dy    f   f  dy   f             x   y  dx   x   y  dx  dy    f ´ xi , yi    x  y dx


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Las derivadas de orden superior se hacen mucho más complicadas. En consecuencia, como se describe en las siguientes secciones, se han desarrollado métodos alternativos de un paso, Esos esquemas son comparables en desempeño con los procedimientos de la serio de Taylor de orden superior, pero requieren sólo del cálculo de las primeras derivadas.

6.1.3 Método del punto medio (o del polígono mejorado)

Otra modificación simple del método de Euler. Conocido como método del punto medio (o del polígono mejorado o el modificado de Euler), esta técnica usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo (véase la figura siguiente)


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yi  1  y i  f ( xi , yi ) 2

h 2

Después, este valor predicho se usa para calcular una pendiente en el punto medio:

yi 1  f   xi 1 , yi 1  2





2

2

el cual se toma para representar una aproximación válida de la pendiente promedio para todo el intervalo. Dicha pendiente es usada después para extrapolar linealmente desde x i hasta xi 1 

yi  1  yi  f   xi  1 , yi  1 h



2

2



Como en la sección anterior, esto procedimiento podrá también conectarse con las fórmulas de integración de Newton-Cotes 6.1.4 Método de Runge – Kutta

El objetivo de los métodos numéricos de Runge-Kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de Euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este. Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de una


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serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación

yi 1  yi    xi , yi , hh Donde  xi , yi , h es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo. La función incremento se escribe por lo general como:

  a1k 1  a2 k 2    an k n Donde las a son constantes y las k son:

Observe que las k son relaciones de recurrencia. Esto es, k 1 aparece en la ecuación para k 2 , la cual aparece en la ecuación para k 3 , etc. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos sean eficientes para cálculos en computadora. Es posible concebir varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. Observe que el método Rungue-Kutta (RK) de primer orden con n  1 es, de hecho, el método de Euler. Una vez que se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la ecuación 25.28 a los términos en la serie de expansión de Taylor. Así, al menos para las versiones de Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1

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orden inferior, el número de términos n con frecuencia representa el orden de la aproximación. Por ejemplo, los métodos RK de segundo orden usan la función incremento con dos términos Esos métodos de segundo orden serán exactos si la solución de la ecuación diferencial es cuadrática. Además, como los términos con h 3 y mayores son eliminados durante la derivación, el error de truncamiento local es y el global es . En secciones subsecuentes desarrollaremos métodos RK de tercer y cuarto orden Para esos casos, los errores de truncamiento global son y , respectivamente. 6.1.4.1 Métodos Runge-Kutta de segundo orden.

La versión de segundo orden de la ecuación anterior es:

yi 1  yi  a1k 1  a 2 k 2 h Donde: k 1  f  xi  yi  k 2  f  xi  p1h  yi  q11k 1h  Al usar la ecuación debemos determinar los valores para las constantes a1, a2, p1 y p11. Para ello, recordamos que la serie de Taylor de segundo orden para yi 1 en 

términos de y t y f ( xi , yi ) esta escrita como:

yi 1  yi  f  xi , yi h 

Donde

f ´( xi , yi ) 2!

2

h ecu. 1

debe determinarse por diferencias usando las reglas de la cadena


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f ´ xi , yi  

 f  x, y   f  x, y  dy   x  y dx ecu. 2

Si sustituimos la ecuación ecu. 2 en la ecuación ecu. 1 se tiene1   f  x, y   f  x, y  dy  h 2  yi  1  yi  f  xi , yi h     x  y dx   2!

La estrategia básica que habrá de resaltarse en los métodos Runge- Kutta es el uso de manipulaciones algebraicas para resolver los valores de , lo cual provoca que las ecuaciones

yi 1  yi  a1k 1  a 2 k 2 h y la anterior sean equivalentes. Para ello, primero usamos una serie de Taylor para expandir la ecuación. k 2  f  xi  p1 h  yi q11 k 1 h La serie de Taylor para una función de dos variables se define como:

e x  r  y  s   g  x, y   r

g g s   x  y

Si se aplica este método para expandir la ecuación yi 1

 yi  a1k 1  a2 k 2 h tiene

f  xi  p1 h  yi  q11k 1 h  f  xi , yi   p1 h

 f  f  q11k 1h  Oh 2   x  y

Este resultado podrá sustituirse junto con la ecuación k 1  f  xi , yi  y yi1

 yi  a1k 1  a2k 2 h

para dar


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yi 1  yi  a1hf  xi , yi   a2 hf  xi , yi a2 p1h

2

 f  f  a2 q11h 2 f  xi , yi   Oh 3   x  y

O, al agrupar términos, 

yi 1  yi  a1 f  xi , yi   a2 f  xi , yi h  a2 p1



 f  f   a2 q11 f  xi , yi   h 2  Oh 3   x  y 

Ahora si comparamos términos comunes en las ecuaciones anteriores determinamos que para hacer equivalentes a las dos ecuaciones, se debe cumplir lo siguiente:

a1  a 2  1 a1 p 2  a1 q1 1 

1 2 1 2

Las anteriores tres ecuaciones simultaneas contienen las cuatro constantes desconocidas. Como hay una incógnita más que el número de ecuaciones, no existe un conjunto único de constantes que satisfagan las ecuaciones. Sin embargo, al suponer un valor para una de las constantes, podemos determinar las otras tres. En consecuencia, existe una familia de métodos de segundo orden más que una sola versión. Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos suponer el valor de una de estas incógnitas para determinar las otras tres. Suponga que especificamos un valor para a2. Entonces se puede resolver de manera simultánea las ecuaciones 25.31 a 25.33 para obtener:


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Debido a que podemos elegir un número finito de valores para a2, hay un número interminable de métodos RK de segundo orden. Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante. Sin embargo, se obtienen diferentes resultados cuando la solución es más complicada. A continuación presentamos tres de las versiones más comúnmente y usadas y preferidas: Método de Heun con solo corrector (a2 = ½). Si suponemos que a2 es 1/2 , las ecuaciones (25.34) y (25.35) podrían resolverse para a1 = ½ y p1 = qI 1= 1. Estos parámetros, al ser sustituidos en la ecuación (25.30), dan

Donde

Observe que k1 es la pendiente al inicio del intervalo y k2 es la del final. En consecuencia, este método Runge-Kutta de segundo orden es de hecho la técnica de Heun sin iteración. El método de punto medio (a2 = 1). Si suponemos que a2 es 1, entonces , y la ecuación es ahora


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Donde

Este es el método del punto medio. Método Ralston ( ). Ralston y Rabinowitz determinaron que al seleccionar se obtiene un límite mínimo sobre el error de truncamiento para los algoritmos de RK de segundo orden. Para esta versión,

Donde


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6.2 Métodos de Pasos Múltiples Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multi paso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multi paso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multi paso.

Ilustración gráfica de la diferencia fundamental entre los métodos para resolver EDO a) de un paso y b) de Multi pasos.


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6.2.1 Método de Heun de No Auto inició

Recordemos que el procedimiento de Heun usa el método de Euler como un predictor:

y yi0 1  yi´ f ( xi, yi )h Y la regla trapezoidal como un corrector:

f ( xi  yi )  f ( xi1  yi1 ) 0

yi1  yi 

2

h ec.1

Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de y , respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace débil en el método, pues tiene el error más grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el método de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de . Esto se puede cumplir al usar el método de Euler y la pendiente en , y una información extra del punto anterior como en: 0 yi 1  yi 1  f ( xi  yi  2h ec.2

Observe la ecuación ec. 2 alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de auto inicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podría no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones son llamadas método de Heun de no auto inició. La derivada estimada de la ecuación se localiza ahora en el punto medio más que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del método de Heun de no auto inicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

Predictor: Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1

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Corrector: Donde los superíndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente de j  1 a m para obtener soluciones refinadas. Observe mi

mi 1

& y que y son los resultados finales de las iteraciones del corrector en los pasos de tiempo anteriores. Las iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro: i 1

Ea 

yi 1´  yi 1 y

i i 1

100% ec. 3

Cuando Ea es menor que una tolerancia de error Es prestablecida, se terminan las iteraciones. En este punto j  m 6.2.2 Métodos Multi paso de orden superior

Ahora que ya desarrollamos de manera formal las fórmulas de integración de Newton-. Cotes y Adams, podemos usarlas para deducir métodos multipaso de orden superior. Como ocurrió con el método de Heun de no auto inició, las fórmulas de integración se aplican en serie como métodos predictor-corrector. Además, si las fórmulas abiertas y cerradas tienen errores de truncamiento local del mismo orden, es posible incorporar modificadores del tipo listado. Para mejorar la exactitud y permitir el control del tamaño de paso. Proporciona ecuaciones generales para esos modificadores. En la siguiente sección presentamos dos de los procedimientos multi paso de orden superior más comunes: el método de Milne y el método de Adams de cuarto orden.


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Método de Milne.

El método de Milne es el más común de los métodos multipaso basado en las fórmulas de integración do Ncwton-Cotes. Usa la fórmula de Newton-Cotes de tres puntos como un predictor:

y la fórmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpson 1/3) como un corrector:

Método de Adams de cuarto orden:

Un método popular de multi paso basado en las fórmulas de integración de Adams usa la fórmula de Adams-Bashforth de cuarto orden (véase la tabla 26.1) como el predictor:

y la fórmula de Adams-Moulton de cuarto orden como el corrector:


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Los modificadores predictor y corrector para el método de Adams de cuarto orden Podrán desarrollarse a partir de las fórmulas y los coeficientes de error.

6.3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Muchos problemas prácticos de ingeniería y ciencia requieren la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas más que una sola ecuación. Tales sistemas pueden representarse por lo general como:

dy1 dx dy 2 dx

 f 1 ( x  y1  y 2    y n  f 2 ( x  y1  y 2    y n 

dy n dx

 f n ( x  y1  y 2    y n

La solución de tal sistema requiere que se conozcan las n condiciones iniciales en el valor inicial de x.


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Unidad VI “Solución de Ecuaciones Diferenciales” Método de Euler.

Los métodos analizados anteriormente para simples ecuaciones pueden extenderse al sistema que se mostro antes. Aplicaciones en la ingeniería pueden involucrar miles de ecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar la técnica de un paso para cada ecuación en cada paso antes de proceder con el siguiente. Esto se ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el método de Euler simple. Ejemplo

Resolución de sistemas de EDO mediante el método de Euler Enunciado: Resuelva el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el método de Euler, suponiendo que de 0.5.

,

y

. Integre para

con un tamaño de paso

Solución: Se implemente el método de Euler para cada variable.

Observe que, se usa en la segunda ecuación mas que la calculada con la primera ecuación. Al proceder de manera similar se tiene:


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Nota.- Los metodos usados para la resoluciones de estos sistemas de ecuaciones son los utilizados en las secciones anteriores, por tanto pasaremos a ajustar el tamaño del paso directamente, claro esta despues de haber resuelto el sistema mediante uno de los metodos vistos anteriormente

Control de tamaño de paso.

Ahora que desarrollamos formas para estimar el error de truncamiento local, se puede usar para ajustar el tamaño de paso. En general, la estrategia es incrementar el tamaño de paso si el error es demasiado pequeño y disminuirlo si es muy grande. Press y Cols. (1992) han sugerido el siguiente criterio para cumplir con lo anterior:

Donde h-actual y h-nuevo = tamaño de paso actual y nuevo, ∆actual= exactitud actual calculada, ∆nuevo= exactitud deseada, y a= exponente constante que es igual a 0.2 cuando aumenta el tamaño de paso y 0.25 disminuye el tamaño de paso. El parámetro clave en la ecuación 25.47 es obviamente ∆nuevo ya que es su

vehículo para especificar la exactitud deseada. Una manera para realizarlo sería relacionar ∆ nuevo con un nivel relativo de error. Aunque esto funciona bien solo

cuando ocurren valores positivos, puede causar problemas para soluciones que pasan por cero. Por ejemplo, usted podría estar simulando una función oscilatoria que repetidamente pasa por cero, pero está limitada por valores máximos absolutos. Para tal caso, podría necesitar estos valores máximos para figurar en la exactitud deseada. Una manera más general de manejar esos casos es det erminar ∆ nuevo como:


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Donde E=nivel de tolerancia global. Su elección de y-escala determinara entonces como se ha escalado el error. Por ejemplo, si y-escala = y, la exactitud será manejada en términos del error relativo fraccional. Si usted trata ahora con un caso donde desee errores relativos constantes a un limite máximo prestablecido, existe ya una y-escala igual a ese límite. Un truco sugerido por Press y cols. Para obtener los errores relativos constantes excepto aquellos que cruzan muy cerca de cero, es:


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6.4 Aplicaciones Método de Euler y de Euler modificado un circuito eléctrico contiene una impedancia, una resistencia y una capacidad, la ecuación que rige este problema “LRC” cuando el sistema no esta sometido a ningún potencial es de tip o:

Se tomará con características del circuito una reactancia L de .4H, R= 300Ω y una capacidad de .001 F. En el tiempo inicial (t=0), la intensidad es de 3A y su derivada (es decir la carga eléctrica) de .5A/s. °C Solución Primero se debe transformar este problema en un conjunto de ecuaciones de primer orden. Se tomara Q igual a la derivada de la intensidad de corriente.

Si se utiliza el método de Euler tradicional se tiene que resolver dichas ecuaciones empleando las formulas:


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La tabla de resultados obtenida con un paso de .0005 es:

Si ahora se utiliza el de Euler modificado las formula son:


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Cabe recalcar que el problema se toma muy inestable si ese utilizan valores mas altos para L. Método de Butcher : implícito de segundo orden

Sea el siguiente PVI: Y|= .3y+et =f(t , y) Y(0) = 1 Resuelva este problema utilizando el método de Runge-Kutta de 2do orden construido a partir de la matriz de Butcher siguiente:

Solución: Cabe señalar que el esquema anterior es implícito al ser una matriz A densa. Aplicando las formulas genéricas de Runge-Kutta de segundo orden al arreglo de Butcher anterior queda:


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Sustituyendo en la función f por la expresión del ejemplo, queda el siguiente algoritmo de cálculo:

Nótese que ahora es necesario resolver un sistema de ecuaciones en K1 y K2 para cada paso de tiempo.

Se empiezan los cálculos con i=0, t=0, y0=1, es decir el valor inicial y se supone un valor del paso temporal h=0,1. La secuencia de los cálculos consiguientes se resumen en la tabla a continuación.


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Sistema de ecuaciones rígidas y estabilidad (SisRigid)

Sea el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Coya escritura en forma matricial conduce a:

Solución: Para hallar una solución analítica del problema es necesario diagonalisar la matriz A o desacoplar el sistema de ecuaciones mediante una transformación similar. Para Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1

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esto, se requiere calcular los auto valores y los auto vectores de la matriz A. los auto valores vienen dado al hace el determínate de |A- λI| igual a cero, lo que resulta en la siguiente ecuación cuadrática:

Y el matiz de los auto vectores correspondientes es:

Por lo tanto, mediante el siguiente cambio de variables:

Se transforma el sistema anterior de uno desacoplado:

Y la solución analítica es ahora inmediata:


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Unidad 6 Metodos

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