UNIDAD II. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES 2.1 Métodos de intervalo. Antes de la llegada de las computadoras digitales se disponía de una serie de métodos mé todos para encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes. En algunos casos estas raíces se obtenían con métodos directos, como la formula general. Sin embargo existen ecuaciones en que los métodos directos no se resuelven directamente y algunas veces no es posible encontrar la solución. Como la función que no se pueden resolver de forma analítica. En tales casos, la única alternativa es una técnica de solución aproximada.
Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención obte nción de estimaciones de las raíces, tienen el inconveniente de que son poco precisos. Sin embargo, los métodos gráficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raíz. Dichas aproximaciones s epueden usar como valores iniciales en los métodos numéricos.
Método gráfico Este método sirve para identificar el intervalo máximo donde existen las raíces de un polinomio o función racional. Es un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje x. este punto, que representa el valor de x para el cual , ofrece una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo 1. Encontrar el intervalo donde existen raíces positivas de la función siguiente, use el programa de Excel para la grafica.
Analizando la grafica se observa o bserva que el e l intervalo donde existen las raíces positivas po sitivas es:
Tarea 1. Encontrar el intervalo donde existen raíces positivas de la función siguiente, use el programa de Excel para la grafica.
Analizando la grafica se observa que el intervalo donde existen las raíces positivas es:
Y las raíces negativas de
, en esta unidad solo se verán raíces positivas.
Método de Búsqueda Este método sirve para dividir en N subintervalos, el intervalo Máximo (Xrmax) donde existen todas las raíces positivas (N es un valor arbitrario) y utilizar el cambio de signo sirve para identificar el intervalo de la raíz.
2
Ejemplo 2. Encontrar los intervalos donde existe una raíz positiva del polinomio. Si consideramos N=16, aplicar el método de búsqueda.
0 1.0625 2.125 3.1875 4.25 5.3125 6.375 7.4375 8.5 9.5625 10.625 11.6875 12.75 13.8125 14.875 15.9375 17
-320 -172.773193 -74.7949219 -18.8684082 2.203125 -4.38354492 -31.4316406 -71.7443848 -118.125 -163.376709 -200.302734 -221.706299 -220.390625 -189.158936 -120.814453 -8.16040039 156
Hay Raíz Hay Raíz
Hay Raíz
2.2 Método de Bisección El método de bisección es un método cerrado, que usa intervalos para encontrar las raíces. Estos métodos empiezan con intervalos que encierran o contienen a la raíz, y después reducen sistemáticamente el tamaño del intervalo. Dichos valores iniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz. Se parte del hecho de que las raíces cambian de signo en la vecindad de una raíz. Ya que el intervalo que contiene la raíz ha sido localizado por la técnica de búsqueda este puede aun subdividirse reiteradamente para encerrar aun mas a la raíz. Este proceso se continua hasta que el subintervalos sea tan pequeño que la raíz será determinada. El proceso es el siguiente:
Paso 1. Elija valores iniciales inferior , y superior que encierran la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que .
Paso 2. Una aproximación de la raíz
se determina mediante:
Paso 3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo esta la raíz: a) Si , entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2. b) Si , entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2. c) El proceso termina hasta que la raíz es localizada con la precisión deseada; usando la condición de:
Ejemplo 3. Por el método de Bisección. Determinar la raíz del polinomio dado en el intervalo con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.1875
3.71875 3.984375 3.984375 3.984375 3.984375 3.984375 3.99267578 3.99682617 3.99890137
4.25 4.25 4.1171875 4.05078125 4.01757813 4.00097656 4.00097656 4.00097656 4.00097656
-18.8684082 -4.425567627 -0.190677643 -0.190677643 -0.190677643 -0.190677643 -0.190677643 -0.088588392 -0.038216921 -0.013199286
-4.42556763 -0.19067764 1.229331493 0.575982392 0.206926055 0.011706353 -0.08858839 -0.03821692 -0.01319929 -0.00073247
3.71875 3.984375 4.1171875 4.05078125 4.01757813 4.00097656 3.99267578 3.99682617 3.99890137 3.99993896
4.25
2.203125 2.203125 2.203125 1.229331493 0.575982392 0.206926055 0.011706353 0.011706353 0.011706353 0.011706353
0.265625 0.1328125 0.06640625 0.03320313 0.01660156 0.00830078 0.00415039 0.0020752 0.0010376 0.0005188
NO NO NO NO NO NO NO NO NO SI
La solución es
con un Error permisible es de .
Tarea 1. Determinar la raíz del polinomio dado en el intervalo con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:
y
2.3 Método de aproximaciones sucesivas. En los métodos cerrados del tema anterior la raíz se encuentra dentro de un intervalo predeterminado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones cada vez más cercanas a la raíz. Se dice que tales métodos son convergentes por que se acercan progresivamente a la raíz a medida que se avanza en el cálculo. A diferencia de los métodos abiertos, estos se basan en formulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Estos, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.
Método de Newton-Raphson La formula de Newton-Raphson es la mas ampliamente utilizada en la localizacion de las raíces. Si el valor inicial para la raiz es , entones se puede trazar una tangente desde el punto de la curva. Por lo comun, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximacion mejorada de la raiz.
El metodo de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretacion geometrica. Y usando la aproximacion de que la primera derivada en x de una funcion es la pendiente:
Al despejar el siguiente valor de x.
, se tiene una formula para determinar el valor futuro
Se compara el Error aproximado con la siguiente funcion para definir el error permisible.
Desventajas: Si la derivada es difícil de calcular, no se recomienda. Si la derivada es aproximadamente cero, este método no intersecta al eje de las x, por lo que se recomienda cambiar el punto
Ejemplo 4. Por el método e Newton-Raphson. Determinar la raíz del polinomio dado en el intervalo , con una convergencia de Ep=0.001. Utilice los dos valores limite. Para el polinomio:
La derivada: . 1 2 3 4
3.1875
3.72497775 3.94710935 3.99726064
-18.8684082 -4.3043531 -0.67120217 -0.03296991
35.1054688 19.3774903 13.383549 12.0712459
-0.537477746 -0.222131609 -0.050151284 -0.002731277
3.724977746 3.947109354 3.997260638 3.999991915
0.14429019 0.05627703 0.01254641 0.00068282
NO NO NO SI
, la solución es con un Error permisible es de . Para
1 2 3 4
4.25
3.86263736 3.98397277 3.99973041
2.203125 -1.8962339 -0.1956702 -0.00323597
, . Para
5.6875 15.6280341 12.4174786 12.0070094
la solución es
0.387362637 -0.121335409 -0.015757643 -0.000269507
3.862637363 3.983972771 3.999730415 3.999999921
con
0.1002845 0.03045588 0.00393968 0.00006738
NO NO NO SI
un Error permisible es de
Método de la Secante Un problema potencial en la implementacion del metodo e Newton-Raphson es la evaluacion de la derivada, y se vuelve complejo para funciones muy dificiles de calcular. En dichos casos, la derivada se aproxima mediante una diferencia finita dividida hacia atrás.
Sustituyendo el nuevo
en la ecuacion de Newton-Raphson, se tiene:
Formula del Método de la Secante para determinar el valor futuro de x.
Se compara el Error aproximado con la siguiente funcion para definir el error permisible.
Ejemplo 5. Por el método de la Secante. Determinar la raíz del polinomio dado en el intervalo con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:
Valor inicial.
1
3.1875
3.71875
2
3.88153535
3
3.94609048
4 5
-4.425567627
3.1875
-1.60567873
-18.8684082
-0.06455513
3.94609048
0.01635926
NO
3.88153535
-0.684852
-1.60567873
-0.04801198
3.99410246
0.01202072
NO
3.99410246
3.94609048
-0.07122289
-0.684852002
-0.00557267
3.99967512
0.00139328
NO
3.99967512
3.99410246
-0.00389988
-0.071222886
-0.00032281
3.99999794
0.00008070
SI
, .
con
la solución es
3.88153535
-18.8684082
Para
-0.69403535
0.17880433
NO
un Error permisible es de
1
4.25
3.71875
2.203125
-4.425567627
0.17656727
4.07343273
0.04334606
NO
2
4.07343273
4.25
0.81148799
2.203125
0.10295948
3.97047325
0.02593129
NO
3
3.97047325
4.07343273
-0.36568046
0.811487987
-0.03198376
4.00245701
0.00799103
NO
4
4.00245701
3.97047325
0.02940566
-0.365680462
0.00238050
4.00007651
0.00059511
SI
, . Para
la solución es
con
un Error permisible es de
2.4 Métodos de interpolación. Método de Falsa Posición
Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de a en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de y . Por ejemplo si esta mucho más cercano a cero que . Es lógico que la raíz se encuentre más cerca de que de . Un método alternativo que aprovecha esta visualización grafica consiste en unir y con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta da una "falsa posición" de la raíz, de aquí el nombre. También se le conoce como método de interpolación lineal.
y , la intersección de la línea recta con el eje .
Usando triángulos semejantes de las se estima mediante,
El proceso es el siguiente:
Paso 1. Elija valores iniciales inferior , y superior que encierran la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que .
Paso 2. Una aproximación de la raíz
se determina mediante, Siendo:
y
Paso 3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo está la raíz:
a) Si , entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2. b) Si , entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2. c) El proceso termina hasta que la raíz es localizada con la precisión deseada; usando la condición de:
Si
a. Si b.
Ejemplo 4. Por el método de Falsa Posición. Determinar la raíz del polinomio dado en el intervalo , con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:
1
3.1875
4.25
-18.8684082
2.203125
0.95141077
4.13891077
1.4187591
0.02684021
---
NO
2
3.1875
4.13891077
-18.8684082
1.4187591
0.88487498
4.07237498
0.80078313
0.01633833
---
NO
3
3.1875
4.07237498
-18.8684082
0.80078313
0.84884946
4.03634946
0.41906485
0.00892527
---
NO
4
3.1875
4.03634946
-18.8684082
0.41906485
0.83040625
4.01790625
0.21071246
0.00459025
---
NO
5
3.1875
4.01790625
-18.8684082
0.21071246
0.82123512
4.00873512
0.10383023
0.00228778
---
NO
6
3.1875
4.00873512
-18.8684082
0.10383023
0.81674071
4.00424071
0.05065485
0.00112241
---
NO
7
3.1875
4.00424071
-18.8684082
0.05065485
0.81455393
4.00205393
0.02459234
0.00054642
---
SI
La solución es
con un Error permisible es de
2.5 Aplicaciones. La finalidad de esta sección es usar los procedimientos numéricos analizados en esta unidad para resolver problemas de ingeniería reales. Las técnicas numéricas son importantes en aplicaciones prácticas, ya que con frecuencia los ingenieros encuentran problemas que no es posible resolver usando técnicas analíticas. En esta situación, es conveniente implementar una solución numérica en una computadora. Aplicando el método de la secante.
Formula del Método de la Secante para determinar el valor futuro de x, para un valor desplazado en h.
Se compara el Error aproximado con la siguiente funcion para definir el error permisible.
Ejemplo 1. Usando el método de la Secante. Un abrevadero de longitud tiene una sección transversal en forma de semiciclo con radio . Cuando se llena de agua una distancia de la parte superior, el volumen de agua es:
Suponga que es e Determine la profundidad del agua en el abrevadero cuando se tenga un Volumen de es . Para un error permisible de Ep=0.001. Use y .
1
0.9
0.55
0.58725907
5.29091529
0.87898841
0.02101159
41.8335128
NO
2
0.02101159
0.9
15.2877625
0.58725907
-0.17266822
0.19367981
0.89151381
NO
3
0.19367981
0.02101159
11.8587229
15.2877625
0.02725584
0.16642397
0.16377352
NO
4
0.16642397
0.19367981
12.3949132
11.8587229
0.00025857
0.16616539
0.00155613
NO
5
0.16616539
0.16642397
12.4000127
12.3949132
-0.00000064
0.16616603
0.00000387
SI
