Menaksir Selisih Rata Dan Selisih Proporsi

MENAKSIR SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI

1. Menaks Menaksir ir Selisi Selisih h RataRata-Ra Rata ta Misalkan kita mempunyai dua buah populasi yang berdistribusi normal. Rata-rata dan

 μ1

simpangan simpangan bakunya masing-masi masing-masing ng dan

σ 2

σ 1

  untuk populasi kesatu, serta

 μ2

untuk populasi kedua. Dari masing-masing masing-masing populasi secara independen independen diambil diambil n1

sebuah sebuah sampel acak dengan dengan ukuran ukuran  x´ 1

sampel-sampel itu berturut-turut rata

  dan

( μ − μ ) 1

2

  dan s1

,

n2

. Rata-rata dan simpangan baku dari  x´ 2

, dan

s2

,

 μ − μ ) ( μ

. Jelas bahwa hwa titik taksi ksiran

1

2

. Akan ditaksir ditaksir selisih selisih rata-

( x´ − x´ )

  aad dalah

1

2

. Unt Untuk 

menentukan interval taksirannya, dibedakan berdasarkan hal-hal berikut 1.1

σ 1= σ 2 Jika kedua populasi populasi normal itu mempunyai mempunyai maka

100 γ 

 interval kepercayaan untuk

( x´ − x´ )− z 1

2

1 2

dengan

 z 1 2

√

1

+

 1

n 1 n2

 μ − μ ) ( μ 1

2

 dan besarnya diketahui,

ditentukan oleh rumus

< μ 1− μ2 < ( x´ 1− x´ 2) + z 1 σ  2

γ 

√

 1

+

diperoleh dari da!tar normal baku untuk peluang

1

.......(1)

n1 n 2 1

γ 

σ 1= σ 2=σ 

Dalam hal

γ 

σ 

σ 1= σ 2=σ 

2

γ 

.

 tetapi tidak diketahui besarnya, pertama-tama dari sampel-

sampel sampel kita kita perlu perlu tentukan tentukan varians varians gabungan gabungannya nya,, dinyata dinyatakan kan dengan dengan  s2 , besarnya diberikan oleh rumus ...........(2) 2 2 n s n s 1 1 − + − ( ) ( ) 1 1 2 2 2 s= n1 + n 2−2 "nterval kepercayaan ditentukan dengan menggunakan distribusi student. Rumus untuk

100 γ 

 interval kepercayaan untuk

( x´ − x´ )−t  p . s 1

2

√

 1

n1

+

 1

n2

1

2

adalah

< μ1 − μ 2< ( x´ 1 − x´ 2 ) + t  p . s

Dengan s didapat dari rumus #$% dan 1  p= ( 1 + γ )  dan 2

( μ − μ )

t  p

√

 1

+

 1

...........(3)

n1 n2

didapat dari da!tar distribusi &tudent, dengan

n ( ¿ ¿ 1 + n2− 2) dk = ¿

&edangkan untuk sampel kecil

(n

1

≤ 30dan n2 ≤ 30 )

 maka

100 γ 

 interval

1.2

σ 1 ≠ σ 2 Untuk populasi normal dengan

σ 1 ≠ σ 2

ada hanya bersi!at pendekatan. s 1=σ 1 Dengan menun'ukkan   dan

, teori diatas tidak berlaku. Dan teori yang s 2=σ 2

, untuk sampel-sampel acak 

 berukuran cukup besar, kita dapat melakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaannya ditentukan oleh

( x´ −´ x )− z 1

2

1 2

dengan

 z 1 2

γ 

√

 s1

2

n1

2

+

 s2

n2

< μ 1− μ2 < ( x´ 1−´ x 2 ) + z 1 2

γ 

√

2

s1

n1

+

s2

2

...........(4)

n2 1

γ 

diperoleh dari da!tar normal baku untuk peluang

2

γ 

.

Contoh Kass! (. Diketahui dua buah sampel nilai matematika yang diambil dari dua buah populasi adalah sebagai berikut &el "  )*, +$, (, +, )*, /, , *, )$, + &el ""  ++, +0, ), +, +(, +, )+, /, 0, ) 1entukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaannya 02 'ika a. &impangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 0,  b. &impangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak diketahui nilainya. c. &impangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama. Pe"#ahasan! Diketahui

 x´ 1=

38 + 42 + 51 + 47 + 38 + 60 + 57 + 58 + 32 + 45 = 46,8 10

n1=10  x´ 2=

44 + 49 + 53 + 46 + 41 + 47 + 34 + 60 + 59 + 63 = 49,6 10

n2=10 p=

γ =95

1 ( 1 + γ )= 1 ( 1 + 0,95 )  =0,975 2 2 ❑

Dk 3 (/ 4 (/ 5 $ 3 (* Ditanya μ1− μ2 a.  'ika

σ 1= σ 2=9,5

 b.

μ1− μ2

 'ika

σ 1= σ 2

c.

μ1− μ2

 'ika

σ 1 ≠ σ 2

Jawab

a.

( x´ −´ x )− z 1

2

1 γ  2

σ 

√

 1

 1

+ < μ 1− μ2 < ( x´ 1−´ x 2) + z 1 σ 

n 1 n2

( 46,8 −49,6 )−Z 0,475 ( 9,5 )

2

√ ) √

( 46,8 −49,6 )−(1,96 ) ( 9,5

1

10

+

2 10

1 10

γ 

√

 1

+

 1

n1 n 2

< μ1− μ2 < ( 46,8− 49,6 ) + Z 0,475 ( 9,5 )

< μ1− μ2 <( 46,8− 49,6 ) +(1,96 ) ( 9,5 )

√

√

1 10

+

1 10

2 10

(−2,8 )−18,62 √ 0,2 < μ 1− μ2 < (−2,8 )+ 18,62 √ 0,2 (−2,8 )−18,62 ( 0,45 ) < μ1− μ2 <(−2,8 ) +18,62 ( 0,45 ) (−2,8 )−8,379 < μ1 − μ 2< (−2,8 )+ 8,379 −11,18 < μ1− μ2 < 5,58 "nterpretasi  02 percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu akan ada di dalam interval yang dibatasi oleh

−¿ ((,(* dan ,*

6enyelesaian dengan Microso!t 78cel (. "nput data pada sheet Microso!t 78cel

$. 9itunglah 'umlah dan rata-ratanya

√

 1

 1

). Mengitung nilai dari tabel : dikalikan dengan σ  n 1 + n2

+. ;utput titik taksir bawah dan atasnya

Diperoleh interval taksiran selisih rata-rata adalah

−11,127 < μ1− μ 2< 5,527

.

6erbedaan hasil dengan perhitungan manual karena !aktor pembulatan.

 b.

( x´ −´ x )−t  p . s 1

2

√

 1

n1

+

 1

n2

< μ1 − μ 2< ( x´ 1 −´ x2 ) + t  p . s

√

 1

+

 1

n1 n2

Dimana

( n −1 ) s + ( n −1 ) s 2

s

2

=

1

1

2

2 2

n1 + n 2− 2

=

&ehingga s 3 0,)

( 46,8 −49,6 )−t 0,975; 18 ( 9,36 ) ( 46,8 −49,6 )−(2,1 ) ( 9,36 )

√

( 10−1 ) ( 91,3 ) + ( 10 −1 ) ( 84,04 ) 821,7 + 756,36 = =87,67 10 + 10−2 18

√

1 10

2 10

+

1 10

< μ1− μ 2< ( 46,8− 49,6 ) + t 0,975; 18 ( 9,36 )

< μ1− μ2 <( 46,8− 49,6 ) +( 2,1 ) ( 9,36 )

(−2,8 )−19,656 √ 0,2 < μ1− μ2 < (−2,8 ) + 19,656 √ 0,2

√

2 10

√

1 10

+

1 10

(−2,8 )−19,656 ( 0,45 ) < μ1− μ 2< (−2,8 ) + 19,656 ( 0,45 ) (−2,8 )−8,85 < μ1 − μ 2< (−2,8 )+ 8,85 −11,65 < μ1− μ2 < 6,05 "nterpretasi  02 percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu akan ada di dalam interval yang dibatasi oleh

−¿ ((, dan ,/

6enyelesaian dengan Microso!t 78cel  (. Menggunakan data dari 'awaban a, mengitung varians dan simpangan baku masingmasing sampel

$. Menghitung s$ dan s

). Mengitung

t  p . s

√

 1

+

 1

n1 n 2

+. Diperoleh output sebagai berikut

−11,593 < μ1− μ2 < 5,993

Diperoleh interval taksiran selisih rata-rata adalah

.

6erbedaan hasil dengan perhitungan manual karena !aktor pembulatan.

c.

( x´ −´ x )− z 1

2

1 γ  2

√

 s1

2

n1

+

 s2

( 46,8 −49,6 )−Z 0,475

√ ) √

2

n2

√

< μ 1− μ2 < ( x´ 1−´ x 2 ) + z 1 2

91,3 10

(−2,8 )−( 1,96 )

91,3

(−2,8 )−( 1,96

175,34

10

+

10

+

84,04

84,04 10

10

γ 

√

s1

2

n1

+

s2

2

n2

< μ1− μ2 < ( 46,8− 49,6 ) + Z 0,475

< μ1− μ2 < (−2,8 ) + ( 1,96 )

< μ1− μ 2< (−2,8 )+ ( 1,96 )

√

√

91,3 10

+

√

91,3 10

+

84,04 10

84,04 10

175,34 10

(−2,8 )−( 1,96 ) √ 17,534 < μ1− μ 2<(−2,8 ) +( 1,96 ) √ 17,534 (−2,8 )−( 1,96 ) ( 4,19 ) < μ1 − μ 2< (−2,8 )+ ( 1,96 ) ( 4,19 ) −11,01< μ 1− μ2 < 5,41 "nterpretasi  02 percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu akan ada di dalam interval yang dibatasi oleh

−¿ ((,/( dan ,+(

6enyelesaian dengan Microso!t 78cel 

(. Menggunakan data dari 'awaban a, mengitung varians dan simpangan baku masingmasing sampel

$. Menghitung s$ dan s

2

s1 ). Mengitung

n1

+

s2

2

n 2  dan

√

 s1

2

n1

+. Diperoleh output sebagai berikut

+

 s2

2

n2

−11,0071< μ 1− μ2 < 5,407073

Diperoleh interval taksiran selisih rata-rata adalah

.

6erbedaan hasil dengan perhitungan manual karena !aktor pembulatan.

1.$ O#ser%asi &er'asan(an Misalkan populasi kesatu mempunyai variabel acak < dan populasi kedua dengan

 μ x

variable acak =. Rata-ratanya masing-masing acak dari tiap populasi yang berukuran sama,

( x

1

, x2, … , xn )

( y

  dan

1

, y 2 ,…, y n )

  dan

n1= n2=n .

 μ y

. Diambil dua sampel

 Diperoleh data sampel 

. >edua data hasil observasi ini dimisalkan

 berpasangan sebagai berikut  x 1 berpasangan dengan y1

x 2 berpasangan dengan y 2

. . .  x n berpasangan dengan yn Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata  μB = μ x − μ y

, dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu

B 1= x 1− y 1 , B2= x 2− y 2 , … , Bn = x n− y n Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari rata-rata

´ B  dan simpangan baku

sB

B 1 , B2 , … , B n ,

 dihitung

 dengan menggunakan

n B −( ∑ B ) ´ = ∑ B  danS = ∑ B

2

2

i

i

Rumus untuk

n ( n −1 )

B

n

100 γ 

i

 interval kepercayaan

 μB

 adalah ...........(5)

´ −t  p . S B < μ B < B ´ + t  p . S B B √ n

Dengan

t  p

√ n

diperoleh dari da!tar distribusi &tudent dengan

 p=

1 ( 1 +γ )  dan 2

dk =( n− 1 ) Contoh Kass! Data ?erikut adalah mengenai tinggi anak laki-laki pertama #<% dan tinggi ayah #=% dinyatakan dalam cm. Tin((i anak

#(%

Tin((i a)ah #

%$&e*a +&,

&2

#)%

#+%

(* (/ () ( (+ (+ (0 (* ($ ((

(( (0 ($ (/ ( (0 () (/ (* (/

5) ( ( 5) 5$   5$ + ( 

"lah

0 ( ( 0 + $ ) + ( ( 1/0

Pe"#ahasan! Untuk menentukan interval taksiran beda rata-rata tinggi badan di buat kolom #)% dan #+% yang berisikan beda ? dan ?$ dengan ? 3 < 5 =

´ B 3/,* dan

2

SB=

10 ( 106 )−64 10 × 9

=11,07

Dengan mengambil asumsi tinggi badan berdistribusi normal dan tinggi anak  berpasangan dengan tinggi ayah, maka dari rumuskita dapat menentukan interval 02 untuk

 μB

´ −t  p . B

, ialah  SB

√ n

´ + t  p . < μ B < B

0,8−( 2,26 ) .

3,33

√ 10

SB

√ n

< μ B < 0,8 +( 2,26 ) .

−1,6 < μ B < 3,2 Perhitn(an *en(an Mirosot E3el (. "nput data

$. Menentukan ? dan ?$

3,33

√ 10

). Menentukan rata-rata, dll dan diperoleh output

Diperoleh interval taksiran selisih rata-rata adalah

−1,57748 < μ 1− μ2 < 3,17748

.

6erbedaan hasil dengan perhitungan manual karena !aktor pembulatan.

2. Menaksir Selisih Pro'orsi Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa yang sama

masing-masing

π 1

dan

π 2

. Dari populasi ini secara independen masing-masing

diambil sebuah sampel acak berukuran

n1

 dari populasi kesatu dan

n2

 dari populasi

kedua. 6roporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah

dan

 p2=

 x2 n2  dengan

 x 1

 dan

 x 2

 p1=

 x1 n1

 menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan

yang didapat di dalam sampel kesatu dan sampel kedua. Akan ditentukan interval taksiran

( π 1− π 2) . Untuk itu digunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan n dan (

untuk

100 γ 

n$ cukup besar. Rumus yang digunakan untuk interval kepercayaan

( π  − π  ) 1

2

  selisih

 adalah

( p − p ) −Z   γ  1

2

dengan

q1 =1− p1

 peluang

1  γ  . 2

1 2

√

 p 1 q 1  p 2 q 2 n1

q 2=1− p2

,

+

n2

  dan

< π 1− π 2 < ( p1− p2 ) + Z 1

 γ 

2

Z 1 2

γ 

√

 p 1 q1  p 2 q2 n1

+

......(6)

n2

 diperoleh dari da!tar normal baku untuk 

Contoh Kass! Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas // siswa dan // siswi &M6 di kota &emarang yang suka membaca. 1ernyata diperoleh bahwa )$ siswa dan +// siswi menyukai pela'aran Matematika. 1entukan interval kepercayaan 02 mengenai perbedaan  persentase siswa dan siswi &M6 di kota &emarang dan yang menyukai Matematika. Pe"#ahasan! Diketahui

6ersentase siswa yang menyukai Matematika

 p1=

6ersentase siswi yang menyukai Matematika

 p2=

Jadi,

 x1

=

n1

 x2 n2

=

325 500

× 100 = 65

400  × 100 =57 700

q1 =1− p1=1 −65 =35 dan q2=1 − p 2=1−57 = 43

Maka "nterval kepercayaan

( p − p ) −Z   γ  1

2

1 2

√

 p 1 q 1  p 2 q 2 n1

( 0,65− 0,57 )− Z 1 .0,95 2

+

√

n2

< π 1− π 2 <( p1− p2 ) + Z 1 2

 γ 

√

 p 1 q1  p 2 q2 n1

+

n2

√

( 0,65 ) ( 0,35 ) ( 0,57 ) ( 0,43 ) ( 0,65 ) ( 0,35 ) ( 0,57 ) ( 0,43 ) + < π 1−π 2< ( 0,65−0,57 )+ Z 1 + .0,95 500

700

2

500

( 0,65− 0,57 )−( 1,96 ) ( 0,0284 )< π 1−π 2< ( 0,65−0,57 )+ ( 1,96 ) ( 0,0284 ) 0,024 < π 1− π 2 < 0,136

Jadi, kita merasa 02 yakin #percaya% bahwa perbedaaan persentase siswa dan siswi &M6 di kota semarang yang suka membaca dan yang menyukai Matematika ada dalam interval yang dibatasi oleh $,+ 2 dan (),2 6erhitungan dengan Microso!t 78cel diperoleh output

700

Diperoleh interval taksiran selisih rata-rata adalah

−0,022966 < μ1− μ2 < 0,134177

6erbedaan hasil dengan perhitungan manual karena !aktor pembulatan.

.