BAB I PENDAHULUAN
Metode penaksiran parameter didasarkan pada asumsi bahwa distribusi probabilitas normal dapat digunakan dengan ketentuan n ≥ 30, jika n<30 dengan syarat distribusi populasi adalah normal dan simpangan simpangan populasi diketahui.. diketahui.. Secara umum penaksiran penaksiran adalah dugaan dugaan atas sesuatu sesuatu yang yang akan terjadi dalam kondisi kondisi tidak pasti. pasti. Semakin Semakin tepat penaksira penaksirann atau perkiraan terhadap output yang dihasilkan, maka semakin efektif dan efisien alokasi sumber sumber daya yang dimiliki oleh pengusaha untuk mendukung realisasi output yang dihasilkan !alam membuat taksiran "pendugaan# sangat diperlukan konsep probabilitas karena sangat berguna dalam pembuatan keputusan pada kondisi ketidakpastian. Setiap orang selalu pernah membuat suatu dugaan, contoh hari ini cuaca mendung, maka dugaan kita bahwa hari ini akan hujan. Seorang Manajer juga harus melakukan dugaandugaan. Seringkali mereka dituntut untuk membuat dugaan yang rasional dalam kondisi yang penuh ketidakpastian tanpa informasi yang lengkap. $gar dugaan yang dilakukan dapat menghasilkan suatu dugaan yang baik, maka mereka harus menguasai menguasai konsep pendugaan secara statistik, contoh% manajemen memutuskan untuk memproduksi barang pada tingkat tertentu berdasarkan kemungkinan permintaan yang yang akan terjadi terhadap terhadap barang tersebut. tersebut. &ertim &ertimban banga gann yang yang dilaku dilakukan kan dapat dapat berdas berdasark arkan an pengal pengalama amann yang yang lalu lalu "data "data histories#, kondisi alam "musim hujan, musim kemarau#, pesaing, dan lain sebagainya. !alam analisis statistik, penarikan kesimpulan merupakan bagian yang sangat penting. 'esimpulan yang diambil mengenai sekelompok sampel akan digeneralisasikan terhadap populasinya. (eneralisasi kesimpulan tersebut mengandung risiko bahwa akan terdapat kekeliruan atau ketidaktepatan. !engan statistik kita berusaha untuk menyimpulkan populasi. )ntuk ini kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun sensus.
!alam kenyataannya, mengingat berbagai faktor, untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel sampel yang yang repres represen entat tatif if lalu lalu berda berdasar sarkan kan pada pada hasil hasil analis analisis is terhad terhadap ap data data sampel sampel,, kesimpulan mengenai populasi dibuat. 'elakuan populasi yang akan ditinjau disni hanyalah mengenai parameter populasi populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. !ata sampel dianalisis, nilainilai yang perlu, yaitu statistik, dihitung dan dari nilainilai statistik ini kita simpulkan bagaimana parameter bertingkah laku. *ara pengambilan kesimpulan tentang parameter yang pertama kali akan dipelajari ialah sehubungan dengan caracara menaksir harga parameter. +adi harga parameter yang sebenarnya tetapi tak diketahui itu akan ditaksir berdasarkan statistik statistik sampel yang yang diambil dari populasi populasi yang bersangkutan. bersangkutan.
BAB II PENAKSIRAN PARAMETER A. PENA ENAKS KSIIR
Secara umum, parameter populasi akan diberi symbol
rata , simpangan baku -, proporsi dan sebagainya. +ika ditaksir ditaksir oleh harga harga
, maka maka
θ,
θ . +adi θ bisa merupakan rata
yang tidak diketahui harganya,
dinamaka dinamakann penaksir penaksir.. +elas +elas bahwa bahwa sangat sangat dikehenda dikehendaki ki
/
θ,
yaitu bisa mengatakan harga θ yang sebenarnya. etapi ini merupakan keinginan yang boleh dibilang ideal sifatnya. 'enyataan yang bisa terjadi adalah a. Menaksir θ oleh terlalu tinggi b. Menaksir θ oleh terlalu rendah
!ibawah ini diberikan criteria untuk mendapatkan penaksir yang baik, yaitu % takbias, mempunyai 1arians minimum dan konsisten. 2eberapa defenisi% # idak bias "Unbiasedness#, $rtinya statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati parameter populasi penduga. &enaksir
dikatakan penaksir takbias jika ratarata
semua harga yang mungkin akan sama dengan Ԑₒ
" /
θ.
θ
. !alam bahasa ekspektasi ditulis
&enaksir yang tidak takbias disebut penaksir bias. Misalkan 45 adalah
estimator yang nilai 65nya adalah estimasi titik dari parameter populasi tak diketahui 6 .entu diinginkan bahwa sebaran cuplikan 45 akan memiliki mean yang sama dengan parameter yang diestimasi. &arameter yang seperti ini disebut bersifat tak bias "7onald 8 7aymond 99:#. !engan kata lain penaksir tak bias bagi parameter 6 ; "65# / 6, jika dikatakan penaksir bias bagi parameter 6 ; "65# 6, jika . =amun penaksir bias dapat diubah menjadi penaksir takbias jika ruas kanan dikalikan atau ditambahkan dengan konstanta tertentu.
># ;fisiensi " Efficiency), $rtinya statistik sampel memiliki de1iasi standar yang kecil. &enaksir ber1arians minimum ialah penaksir dengan 1arians terkecil di antara semua penaksir untuk parameter yang sama. +ika 1arians untuk
dan
lebih kecil dari 1arians untuk
>
dua penaksir untuk θ dimana
maka
>
merupakan penaksir
ber1arians minimum. 3# 'onsistensi " Consistency#, $rtinya jika ukuran sampel meningkat maka statistik sampel akan semakin mendekati parameter populasinya . Misalkan penaksir untuk
θ
yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. +ika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan mendekati
θ, maka
disebut
penaksir konsisten ?# 'ecukupan " Sufficiency), $rtinya suatu taksiran dikatakan memiliki kecukupan jika taksiran tersebut dapat memberikan informasi yang cukup mengenai sifat populasinya.Statistik / "@, @>. @3,ABn# dikatakan cukup bagi parameter, jika fungsi kepadatan bersyarat & "B, B>, B3,ABn# C "B, B>, B3,ABn# / t tidak bergantung pada 6. $da dua jenis taksiran "pendugaan# yang dilakukan terhadap populasi, yaitu% 1. Penaksiran Titik ( Point Estimation)
&enaksiran titik mengandung pengertian bahwa suatu parameter "misal # akan ditaksir hanya dengan menggunakan satu bilangan saja "misalnya dengan @ratarata#. &enaksiran titik sering mengalami kekeliruan, sehingga probabilitas suatu penaksiran titik tersebut tepat adalah sangat kecil atau mendekati nol. Sehingga penaksiran titik jarang digunakan. aksiran titik untuk ratarata populasi "# dan proporsi populasi "# menggunakan ratarata sample "
Xrata-rata
# dan proporsi sample "p# yang dapat dihitung dengan
menggunakan rumus%
*ontoh% Seorang peneliti ingin mengetahui ratarata D;EF mahasiswa &rodi &endidikan 'imia &ascasarjana )=GM;! yang akan menempuh pendadaran periode bulan +anuari. !engan menggunakan sample sebanyak 0 orang dan data D;EF masingmasing mahasiswa sebagai berikut% Score TOEL Ma!asis"a
=D =$M$ D;EF ini 3H: > 2adu ?>: 3 +ono ?>: ? 7uli :00 : Meri ?H: I !idi 3J: H 2adu ?00 J uti ?00 9 Susi 3:0 0 !edi 3J: 2erdasarkan data tersebut, maka ratarata D;EFnya adalah% +awab% !iketahui % K@ / ?>0, n / 0 maka / +adi dapat disimpulkan ratarata D;EF mahasiswa &endidikan 'imia &ascasarjana )=GM;! yang akan mengambil pendadaran periode bulan +anuari >00H adalah ?>.
#. Penaksiran Inter$a% ( Interval Estimation)
&enaksiran inter1al merupakan inter1al nilai " range# yang nilai parameter populasi berada di dalamnya.ujuan membuat penaksiran inter1al adalah mengurangi kesalahan penaksiran. &enaksiran inter1al memiliki batasbatas tertentu sehingga penaksiran akan berada di antaranya. 2atasbatas tersebut adalah batas bawah taksiran " lower limit estimate# yang merupakan nilai taksiran parameter populasi terendah dan batas atas taksiran " upper limit estimate#
merupakan nilai taksiran parameter populasi tertinggi.. 2atasbatas dalam
penaksiran dengan inter1al harus ditunjang dengan adanya derajat keyakinanLkepastian yang biasanya dinyatakan dengan prosentase. !erajat keyakinan tersebut disebut dengan Confidence Coefficient , besarnya derajat keyakinan sama dengan 1 & " / tingkat kesalahan
duga#, misalnya% derajat keyakinan 90N maka / 0NO derajat keyakinan 9:N maka / :N. Sedangkan batasbatasnya dinamakan
Confidence Interval . &enaksiran
inter1al dibedakan
menjadi > yaitu% . &enaksiran ratarata untuk data yang bersifat kontinu >. &enaksiran proporsi untuk data yang bersifat diskrit &enaksiran dilakukan terhadap angkaangka statistic atau angkaangka yang diperoleh dari sample. Sampel yang digunakan untuk perhitungan dibedakan antara sample kecil "n< 30# dan sample besar "nP/30#, pembedaan sample tersebut digunakan untuk pemilihan tabel distribusi yang akan digunakan dalam perhitungan. $pabila sample kecil maka digunakan ta'e% Distri'si Stent *t+
dengan degree of freedom "df# atau derajat kebebasan / n.
tL> "#.n "uji dua sisi# atau t. n "uji satu sisi# dimana% / tingkat kesalahan duga n / jumlah sample "obser1asi#
*ontoh% $pabila jumlah sample : dengan /:N "0,0:#, uji dua sisi maka% tL> "#.n / tL> "0,0:#. : t0,0>:. ? / #,1- "lihat tabel distribusi student QtR# *ara membaca table Ta'e% istri'si stent *t+
$pabila sample besar maka digunakan Ta'e% Distri'si Nor/a% Stanart . idak menggunakan degree of freedom "df# L> "uji dua sisi# atau "uji satu sisi# dimana% / tingkat kesalahan duga *ontoh% $pabila jumlah sample 3: dengan /:N "0,0:#, uji dua sisi maka% L> "#/ T "0,0:# 0,0>: maka "%># U 0,0>:/ 0,?H:0 0,0>: / 1,0 "lihat tabel distribusi =ormal Standart# &enaksiran dengan menggunakan inter1al dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu % a# &enaksiran ratarata b# &enaksiranproporsi
B. 2ARA&2ARA MENAKSIR
+ika parameter
θ
harganya ditaksir oleh sebuah harga
yang tertentu, maka
dinamakan penaksir, tepatnya titik taksiran. 2arangkali titik taksiran akan lebih enak bila cukup dikatakan penaksir saja. itik taksiran untuk sebuah parameter misalnya, harganya akan berlainan bergantung pada harga
yang didapat dari sampelsampel yang diambil. 'arenanya orang
sering merasa kurang yakin atau kurang percaya atas hasil penaksiran macam ini. Sebagai gantinya, dipakai dipakai inter1al taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batasbatas dua harga. !alam prakteknya harus dicari inter1al taksiran
yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. !erajat kepercayaan menaksir, disebut koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang. +ika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan V, maka 0 < V < . Warga V yang digunakan bergantung pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam mebuat pernyataannya. Xang biasa digunakan ialah 0,9: atau 0,99 , yakni V / 0,9: atau V / 0,99. )ntuk menentukan inter1al taksiran parameter
θ
dengan koefisien kepercayaan V,
maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilainilai statistik yang diperlukan. &erumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara $ dan 2 adalah % P (A 4 5 4 B ) 6 7
!engan $ dan 2 fungsi dari pada statistik, jadi merupakan 1ariabel acak,tetapi tidak bergantung pada 6. &erumusan @G"# diartikan % peluangnya adalah V bahwa inter1al yang sifatnya acak yang terbentang dari $ ke 2 dihitung harganya berdasarkan data sampel, maka $ dan 2 sekarang merupakan bilangan tetap. !alam hal ini, pernyataan diatas tidak lagi benar tetapi harus dikatakan sebagai berikut% 'ita merasa 00 V N percaya bahwa parameter
θ
aka nada di dalam inter1al "$,2#.
+adi tidaklah dikatakan % peluangnya sama dengan V bahwa
θ
terletak antara $ dan 2,
melainkan seseorang hanya yakin 00 V N bahwa θ itu terletak antara $ dan 2. &erbedaan ini perlu dipahami, karena
θ
memang terletak atau tidak terletak antara $ dan 2 yang
peluangnya masingmasing atau 0
1. Menaksir Rata&Rata 3
Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran = dengan ratarata dan simpangan baku -. !ari populasi ini parameter ratarata akan ditaksir. )ntuk keperluan ini, ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik yang perlu, ialah
dan s. itik
taksiran untuk ratarata ialah . !engan kata lain, nilai besarnya ditaksir oleh harga yang didapat dari sampel. )ntuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan inter1al taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. 1.
Simpangan baku - diketahui dan populasinya berdistribusi normal. )ntuk ini rumus "># menjadi
!engan / koefisien kepercayaan dan
baku untuk peluang
/ bilangan didapat dari tabel normal
. 7umus dapat dinyatakan dalam bentuk lain, ialah untuk
memperoleh 00 N inter1al kepercayaan parameter dapat digunakan rumus %
2.
Simpangan baku - tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal. !alam kenyataannya, parameter - jarang sekali diketahui bahkan tidak diketahui, kecuali barangkali dari pengalaman. 'arena itu rumus "># harus diganti oleh %
!engan
/ koefisien kepercayaan dan
student dengan p /
/ nilai t didapat dari daftar distribusi
dan dk / "n# untuk inter1al kepercayaannya,rumus "3#
diganti oleh
2ilangan U bilangan yang didapat dari
dan
masing
masing dinamakan batas bawah dan batas atas kepercayaan. +ika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi =, yakni "
, maka rumus "3#
menjadi %
!an rumus ":# menjadi %
'husus dalam hal inter1al kepercayaan :0N yang memberikan
maka
rumus "3# dimuka menjadi Gni berarti peluangnya setengahsetengah bawa inter1al acak
akan mengandung ratarata . 2ilangan
dinamakan kekeliruan peluang untuk
ratarata. 1. Penaksiran rata&rata ntk 8ara/eter 9an: rata&rata an stanar e$iasin9a iketa!i en:an 8o8%asi tiak ter'atas
a. Sampel kecil "n < 30#
&enaksiran ratarata dengan sampel kecil menggunakan tabel distribusi student t, dengan derajat kebebasan " degree of freedomd.f # adalah nU / Y Z t > .n[ di mana% / ratarata parameter yang ditaksir X / ratarata statistik
S! / standar de1iasi statistik n / jumlah sampel yang digunakan t1;# .n&1 / batas keyakinan yang digunakan *ontoh% Sebuah FSM ingin mengetahui ratarata penghasilan pengamen yang ada di Xogyakarta. )ntuk penelitian tersebut diambil sampel >9 pengamen, dan diperoleh data bahwa ratarata penghasilan pengamen per hari adalah 7p. 9.:00, dengan standar de1iasi 7p. ?.>00,. !engan menggunakan inter1al keyakinan 9:N, tentukan penaksiran ratarata penghasilan pengamen di Xogyakarta tersebut\ !iketahui% n / >9 X / 9.:00
S! / ?.>00 / :N "0,0:# tL> . n / tL> "0,0:#. >9 / t0,0>:. >J / >,0?J +awab% / Y Z t > .n[ / 9.:00 Z >,0?J
/ 9 .:00 Z > ,0?J "HH9 ,9> # /9.:00Z.::9,J? /9.:00Z.:I0 " dibulat!an# /9.:00].:I0 / >.0I0 /9.:00[.:I0 /H.9?0 $tas dasar perhitungan tersebut dapat disimpulkan bahwa ratarata penghasilan pengamen yang ada di Xogyakarta paling besar adalah 7p 7p>.0I0 dan yang paling kecil adalah 7p H.9?0.
b. Sampel besar "n ≥ 30# &ada penaksiran ratarata dengan sampel besar akan digunakan tabel "tabel kur1a normal standar# dengan rumus% / Y Z ^ > dimana % / ratarata parameter yang ditaksir X / ratarata statistik
S! / standar de1iasi statistik n / jumlah sampel yang digunakan <1;# .n&1 / batas keyakinan yang digunakan
*ontoh% Seseorang melakukan pengamatan mengenai lama usia bola lampu DW&. 2erdasarkan pengamatan pada I? buah bola lampu DW& dan ternyata mempunyai ratarata masa pakai :0 jam dengan S! selama ? jam. !engan menggunakan / :N, tentukan ratarata usia pakai yang sebenarnya dari bola lampu DW& tersebut menggunakan penaksiran ratarata inter1al.
+awab% !iketahui% n / I? X / :0 jam
S! / ? jam / :N "0,0:# L> "0,0:#./ t0,0>:/ ,9I Maka / Y Z ^ >
/ / :0 Z ,9I
/ :0 Z ,9I "0 ,: # / :0 Z 0,9J !apat disimpulkan ratarata usia pakai bola lampu DW& paling lama :0,9J jam ":0]0,9J# dan paling cepat ?9,0> jam ":00,9J#.
#. Penaksiran rata&rata ntk 8ara/eter 9an: rata&rata an stanar e$iasin9a iketa!i en:an 8o8%asi ter'atas.
a. Sampel kecil "n < 30# / Y Z tL>. n
*ontoh%
Suatu perusahaan alat elektronik ingin meneliti waktu yang diperlukan karyawannya dalam memasang komponen @. )ntuk itu diambil sampel 0 karyawan dan diperoleh data waktu ratarata :: menit dengan 1arian 00 menit. 2ila jumlah karyawan seluruhnya adalah 00 orang, hitunglah berapa ratarata waktu pemasangan untuk seluruh karyawan tersebut, gunakan / :N. b. )ntuk sampel besar "n ≥ 30# / Y Z ^ L> / ratarata parameter X / ratarata statistik
t1;# .n&1 / batas keyakinan yang digunakan 1;# / batas keyakinan yang digunakan = / jumlah populasi n / jumlah sampel S! / standar de1iasi statistik. Secara singkat dapat dilihat pada table berikut ini %
#. Menaksir Pro8orsi
&erhatikanlah populasi binom berukuran = dimana terdapat proporsi untuk pariasi $ yang ada didalam populasi itu. Sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi itu. Misalkan terdapat B peristiwa $, sehingga proporsi sampel untuk peristiwa $ / titik taksiran untuk adalah
. +adi
. +ika 00 N inter1al kepercayaan untuk penaksiran
dikehendaki, maka kedua persamaan berikut harus diselesaikan %
+awaban atau harga
yang didapat dari rumus "J# merupakan batas bawah inter1al
kepercayaan sedangkan jawaban dari rumus "9# menjadi batas atasnya. 7umus Urumus diatas sangat panjang dan tidak praktis. 'arenanya sering digunakan &endekatan binom untuk ukuran n sampel cukup besar. 7umus 00 N yakni untuk inter1al kepercayaan , dalam hal ini berbentuk
!engan
dan _ / & sedangkan
adalah bilangan ` didapat dari daftar
normal baku untuk peluang . )ntuk memudahkannya dapat diperhatikan table berikut ini %
=. Menaksir Si/8an:an Bak >
)ntuk menaksir 1arians
dari sebuah populasi, sampel 1arians
berdasarkan
sampel acak berukuran n perlu dihitung, dan rumus yang digunakan ialah rumus% ernyata bahwa 1arians
adalah penaksir tak bias untuk 1arians - >. $kan tetapi
simpangan baku s bukan penaksir tak bias untuk simpangan baku -. +adi titik taksiran untuk - adalah bias. +ika populasinya berdistribusi normal dengan 1arians - >, maka 00
N
inter1al kepercayaan untuk - > ditentukan dengan menggunakan distribusi chikuadrat. 7umusnya adalah %
!engan n / ukuran sampel sedangkan
kuadrat berturutturut untuk & /
dan
dan
di dapat dari daftar chi
dengan dk / "n#.
)ntuk mendapatkan inter1al taksiran simpangan baku -, tinggal melakukan penarikan ketidaksamaan dalam rumus ">#. Wasil ini tidak eksak, akan tetapi cukup akurat untuk maksudmaksud tertentu.
-.Menaksir Se%isi! Rata&rata
Misalkan kita punya dua buah populasi, keduaduanya berdistribusi normal. 7atarata dan simpangan bakunya masingmasig dan - untuk populasi satu, > dan -> untuk populasi dua. !ari masingmasing populasi diambil sebuah sampel secara acak dengan
ukuran n dan n>. 7atarata dan simpangan baku dari sampelsampel itu berturutturut adalah , s dan
, s>. $kan ditaksir selisih ratarata " >#.
a. >1 6 >#
+ika kedua populasi normal itu mempunyai - / -> / - dan besarnya diketahui, maka 00 V N inter1al kepercayaan untuk " ># ditentukan oleh rumus%
!engan
didapat dari daftar normal baku dengan peluang T V.
+ika kedua populasi normal itu mempunyai - / -> / - tetapi tidak diketahui besarnya, maka dihitung terlebih dahulu 1arians gabungannya "s ># dengan rumus%
Gnter1al kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi student. 7umus untuk 00 V N inter1al kepercayaan untuk " ># adalah%
!engan s "1arians gabungan# dan t p didapat dari dstribusi Student "daftar (# dengan p / T " ] V# dan dk / "n ] n> U ># '. >1 ? >#
)ntuk populasi normal - - > , dengan memisalkan s / - dan s> / -> , untuk sampel acak berukuran besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. 7umus inter1al kepercayaannya ditentukan oleh%
*ontoh% $da dua pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu `at. *ara G dilakukan :0 kali yang menghasilkan / I0,> dan
/ >?,H. *ara GG dilakukan I0 kali dengan
/ H0,? dan
/
3H,>. entukan inter1al kepercayaan 9:N mengenai perbedaan ratarata kedua pengukuran tersebut +awab%
Selanjutnya dihitung%
!engan p / 0,9H: dan dk / 0J, dari daftar distribusi t didapat t / ,9J?
atau
+adi, 9:N percaya bahwa selisih ratarata pengukuran kedua cara itu akan ada dalam inter1al yang dibatasi J,0I dan >,3?
c. O'ser$asi 'e8asan:an
Misalkan populasi kesatu mempunyai 1ariabel acak @ dan populasi kedua dengan 1ariabel acak X. 7atarata masingmasing
. !iambil dua sampel acak masing
masing sebuah dari tiap populasi, yang berukuran sama, jadi n / n> / n. !idapat data
sampel% "B, B>,......,Bn# dan "y, y>,........,yn#. 'edua data hasil obser1asi ini dimisalkan berpasangan menjadi% B berpasangan dengan y B> berpasangan dengan y > ........................................... Bn berpasangan dengan y n 00V N inter1al kepercayaan untuk 2 ditentukan oleh%
!engan t p didapat dari daftar distribusi Student untuk p / T " ] V# dan dk / "n U #
*ontoh% !ata berikut adalah mengenai tinggi anak lakilaki pertama "@# dan tinggi ayah "X# dinyatakan dalam cm. inggi anak "# :J I0 I3 :H :? I? I9 :J I> I> +umlah
inggi ayah "># I :9 I> I0 :I :9 I3 I0 :J I0
2eda "2# "3# 3 3 > : I > ? J
entukan inter1al taksiran beda ratarata tinggi badan tersebut +awab%
2> "?# 9 9 ? >: 3I ? I 0I
)ntuk menentukan inter1al taksiran beda ratarata tinggi badan dibuat kolom "3# dan "?# yang berisikan beda 2 dan 2 > dengan 2 / @ U X.
!engan mengambil asumsi tinggi badan berdistribusi normal dan tinggi anak berpasangan denagn tinggi ayah, maka kita dapat menentukan inter1al kepercayaan 9:N untuk 2 ialah%
$tau
. Menaksir Se%isi! Pro8orsi
'ita mempunyai dua populasi dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing masing
dan
. !ari populasi ini secara independen masingmasing diambil sebuah
sampel acak berukuran n dari populasi kesatu dan n> dari populasi kedua. &roporsi untuk
peristiwa yang diperhatikan dari sampelsampel itu adalah
dan
dengan B dan B> adalah banyaknya peristiwa yang diperhatikan dalam sampel satu dan dua. $kan ditentukan inter1al taksiran untuk "
#. )ntuk ini digunakan pendekatan dengan
distribusi normal asalkan n dan n> cukup besar. 7umus yang digunakan untuk inter1al kepercayaan 00V N selisih "
# adalah%
!engan
,
dan
didapat dari daftar normal baku dengan peluang
TV. *ontoh% Suatu sampel acak yang terdiri dari :00 pemudi dan satu lagi terdiri dari H00 pemuda yang mengunjungi suatu pameran. ernyata 3>: pemudi dan ?00 pemuda yang menyenangi pameran itu. entukan inter1al kepercayaan 9:N untuk perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyenanginya +awab% &ersentasi pemudi%
&ersentasi pemuda% +adi _ / 3:N dan _ > / ?3N !engan n / :00 dan n > / H00, didapat%
!engan ` / ,9I, diperoleh%
$tau
+adi 9:N yakin bahwa perbedaan persentasi pemudi dan pemuda yang mengunjungi pameran dan menyenanginya akan ada dalam inter1al yang dibatasi oleh >,?N dan 3,IN.
. Menentkan Ukran Sa/8e%
Sehubungan dengan teori menaksir, ukuran sampel dapat ditentukan antara lain berdasarkan kepada% a. $pa yang akan ditaksir\ b. 2erapa besar perbedaan yang masih mau diterima antara yang ditaksir dan penaksir\ c. 2erapa derajat kepercayaan atau koefisien kepercayaan yang diinginkan dalam melakukan penaksiran\ d. 2erapa lebar inter1al kepercayaan yang masih mau diterima\ 'etika menaksir parameter
oleh , dua hal yang terjadi ialah menaksir terlalu
tinggi atau terlalu rendah. &erbedaan antara
dan
ialah
. Makin kecil nilai b
maka semakin baik menaksir karena makin dekat penaksir yang dipakai kepada parameter yang sedang ditaksir. !alam arah ini, suatu ketika akan tiba pada ketentuan berapa besar beda b yang masih mau dterima dan dengan derajat kepercayaan berapa. 'etika menaksir ratarata oleh statistik
, maka beda
. )ntuk
koefisien kepercayaan V dan populasi berdistribusi normal dengan simpangan baku diketahui, maka ukuran sampel n dapat diketahui%
*ontoh% )ntuk menaksir ratarata waktu yang diperlukan oleh mahasiswa dalam menyelesaikan sebuah soal tertentu, diperlukan sebuah sampel. 'etika menaksir ratarata tersebut, dikehendaki derajat kepercayaan 99N dengan beda yang lebih kecil dari 0,0: menit. +ika diketahui simpangan baku waktu yang diperlukan / 0,: menit, berapa mahasiswa yang perlu diambil untuk sampel tersebut\
+awab% !engan - / 0,: menit, b / 0,0: menit, dan ` / >,:J, maka didapat%
Dleh karena ukuran sampel harus merupakan bilangan bulat diskrit, maka paling sedikit n / III mahasiswa. +ika yang ditaksur itu proporsi
oleh statistik
, maka beda yang terjadi besarnya
. !engan memisalkan bahwa pendekatan distribusi normal kepada kedua binom berlaku dan koefisien kepercayaan / , maka ukuran sampel dapat ditentukan dengan rumus%
'ecuali jika 1arians !alam hal ini 1arians
diketahui, maka dalam hal lain rumus diatas tidak digunakan. diganti oleh harga maksimumnya ialah 0,>:.
*ontoh% Misalkan !epartemen & dan ' perlu mengetahui ada berapa persen kirakira anakanak S! yang bercitacita ingin menjadi guru. 'etika melakukan perkiraan ini, koefisien kepercayaan diambil 9:N dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari >N. 2erapa anak S! yang perlu diteliti\ +awab% !isini 1arians
harus diambil 0,>: karena soal tersebut sama sekali tidak
menyebutkan tentang harga . !engan b / 0,0> dan ` / ,9I maka%
Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari >?0> anakanak S!. *ontoh% +ika untuk contoh diatas, dari pengalaman diketahui ada >N anak bercitacita ingin menjadi guru, tentukan berapa ukuran sampel sekarang +awab% 'edalam rumus disubstitusikan / 0,> dan
/ 0,JJ, b / 0,0> dan ` / ,9I, maka%
&aling sedikit sampel itu harus terdiri dari 0: anakanak S!. !ari kedua contoh diatas, dapat dilihat bahwa dengan diketahuinya harga , ukuran sampel telah sangat berkurang dari >?0> menjadi 0:. Gni menyatakan bahwa informasi terdahulu sangat bermanfaat, ikut membantu meringankan analisis dan biaya.
BAB III SIMPULAN
!alam membuat taksiran "pendugaan# sangat diperlukan konsep probabilitas karena sangat berguna dalam pembuatan keputusan pada kondisi ketidakpastian, $da jenis penaksiran yaitu penaksiran titik " "oint Estimation# dan penaksiran inter1al " #nter$al Estimation#. &enaksiran itik " "oint Estimation# % suatu parameter "misal # akan ditaksir hanya dengan menggunakan satu bilangan saja "misalnya dengan @ratarata#. &enaksiran inter1al merupakan inter1al nilai " range# yang nilai parameter populasi berada di dalamnya. )ntuk menentukan ratarata dalam penaksiran, digolongkan antara populasi terbatas dan populasi tidak terbatas dan sample juga digolongkan antara sample kecil dan sample besar &enaksiran proporsi akan digunakan apabila data yang ada bersifat diskrit. &enaksiran proporsi ini sebaiknya digunakan untuk sampel besar yang terdiri dari populasi terbatas dan populasi tidak terbatas .
DATAR PUSTAKA
Sudjana, 99H, %etoda Statisti!a, &enerbit QarsitoR 2andung, 2andung. materi1iteoripenaksiran.html
