Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus, Penjumlahan, Pengurangan, Contoh Soal, Jawaban, Jumlah Selisih, Trigonometri, Matematika - Berikut ini adalah perkalian, penjumlahan, dan pengurangan sinus dan cosinus, :
1. Perkalian Sinus dan Kosinus
Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenaiTrigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)
Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :
cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β
Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, perkalian sinus dan cosinus :
Contoh Soal 1
Hitunglah:
a. cos 75° cos 15°
b. –2 sin 15°sin 75°
Pembahasan 1
a. cos 75° cos 15° = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
= 1/2 (cos 90 + cos 60)°
= 1/2 (0 + 1/2)
= 1/4
b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0 - 1/2)
= - 1/2
Contoh Soal 2
Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.
Penyelesaian 2
4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2(72°)
= 1 – cos144°
Contoh Soal 3 : (Soal Ebtanas 2000)
Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....
Penyelesaian 3
= 4 sin 36° cos 72°sin 108°
= 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°]
= 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°]
= 2 sin 36°[0 + sin 36°]
= 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°
2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus di sub bab 1. dapat ditulis dalam rumus berikut.
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)
sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)
Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh
p + q = (α + β) + (α – β) = 2α
α = 1/2 (p + q) ............................ (13)
p – q = α + β – α + β = 2β
β = 1/2 (p - q) ............................ (14)
Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14) pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut?
cos p + cos q = 2 cos 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)
cos p – cos q = –2 sin 1/2 (p + q) sin 1/2 (p – q)
sin p + sin q = 2 sin 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)
sin p – sin q = 2 cos 1/2 (p + q) sin (p – q)
Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.
Contoh Soal 4
sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105 + 15)° cos 1/2 (105 – 15)°
Jawaban 4
= 2 sin 1/2 (120)° cos 1/2 (90)°
= 2 sin 60° cos 45°
Contoh Soal 5
cos 75° – cos 15° = –2 sin 1/2 (75° + 15°) sin 1/2 (75° – 15°)
Jawaban 5
= –2 sin 45° sin 30°
Contoh Soal 6
Nilai dari sin 105° – sin 15° adalah ....
Jawaban 6
sin 105° – sin 15° = 2 cos 1/2 (105° - 15°) sin 1/2 (105° - 15°)
Anda sekarang sudah mengetahui Perkalian Sinus dan Cosinus. Terima kasih anda sudah berkunjung kePerpustakaan Cyber.
Referensi :
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250
