Livre RDM Extra

Mécanique des structures

Modélisation des liaisons

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Chapitre 1 - Modélisation des liaisons SOMMAIRE

I - Définitions....................................... Définitions............................................................. ............................................ ............................................. ........................................ ................. 16 1°/ Solide Solide réel et solide solide parfait. ....................................................... ...................................................................................................... ............................................... 16 2°/ Système Système matériel........................................................................................................................ matériel........................................................................................................................ 16

II - Modélisation des liaisons parfaites. ........................................................ .............................................................................. ......................... ... 17 1°/ Définition Définition d’une liaison parfaite. .................................................... ............................................................................................. ......................................... 17 2°/ Repère local associé associé au contact. ........................................................ ............................................................................................... ....................................... 17 3°/ Notion de degré degré de liberté......................................................................................................... liberté......................................................................................................... 17 4°/ Etude Etude des liaisons parfaites. parfaites. .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 18 4.1 - Liaison encastrement................................ ............................................................................... ............ 18 4.2 - Liaison pivot........................................................ ..................................................................... ........... 18 4.3 - Liaison glissière......................................................................... .......................................................... 18 4.4 - Liaison appui plan. ..................................................................... ......................................................... 19 4.5 - Liaison rotule. .................................................................... ................................................................. 19 4.6 - Liaison linéique rectiligne. ................................................................ .................................................. 19 4.7 - Liaison ponctuelle. ................................................................ .............................................................. 19

5°/ Les trois liaisons usuelles en Génie Civil. ............................................................... ................................................................................ ................. 20

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I - DEFINITIONS. 1°/ Solide 1°/ Solide réel et solide parfait. Le solide réel est le solide tel t el qu’il apparaît réellement. Il possède une masse constante et un volume dont les limites varient lorsqu’il est soumis à des actions mécaniques, suivant une loi connue (le ressort) ou non connue à priori. En mécanique statique, nous utilisons un modèle idéalisé : le solide parfait. Pour considérer un solide comme parfait, nous devons faire certaines hypothèses. Le solide parfait est : - Indéformable : sa masse est toujours constante, mais les limites de son volume ne varient pas quelles que soient les actions extérieures appliquées au solide (contre exemple : le ressort). Donc, la distance entre deux points quelconque d’un solide indéformable ne varie pas. - Homogène : les éléments constitutifs du matériau sont de même nature en tout point du solide et leur répartition est uniforme (contre exemple : l e béton armé). - Isotrope : les propriétés physiques du matériau (notamment les propriétés mécaniques) sont les mêmes dans toutes les directions (contre exemple : le bois, sens parallèle ou sens perpendiculaire aux fibres). - Géométriquement parfait : les surfaces sont considérées comme parfaitement lisses, les surfaces sont modélisées par des plans, des cylindres, des sphères,… Un solide réel peut être considéré comme parfait dans le cas où les déformations de ce solide sont très petites.

2°/ Système 2°/ Système matériel. On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse reste constante pendant son étude. Cette définition est indépendante de la notion de solide dont nous venons de parler et elle très générale, elle peut s’appliquer à beaucoup de choses. En effet, un système matériel peut être : - un solide, - plusieurs solides, - un morceau de solide, - une masse de fluide,... Ce qui est important en mécanique, c’est de bien choisir le système matériel. Une fois le système matériel choisi, il nous est possible de l’« isoler », ce qui revient à le définir de façon très précise, dans le but par exemple d’étudier son équilibre. Isoler un système matériel revient à diviser l’univers en deux parties : - d’une part, le système matériel, objet de notre étude, - d’autre part, l’extérieur, c’est-à-dire tout ce qui n’est pas le système considéré.

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II - MODELISATION DES LIAISONS PARFAITES. Une liaison mécanique entre deux pièces (ou entre deux groupes de pièces) est un ensemble de dispositions constructives permettant à ces deux pièces d’avoir l’une par rapport à l’autre certaines libertés de mouvements et de permettre la transmission de certains efforts. Dans ce paragraphe, les deux solides en contacts sont supposés indéformable. indéformable.

1°/ Définition 1°/ Définition d’une liaison parfaite. Une liaison parfaite est une liaison telle que : - les possibilités de mouvement relatifs sont obtenues à partir de surfaces de contact géométriquement parfaites qui ont entre elles un jeu de fonctionnement f onctionnement nul. - le contact de ces surfaces se fait sans adhérence. Une liaison parfaite est donc une liaison théorique.

2°/ Repère 2°/ Repère local associé au contact. Pour décrire les contacts, on utilise un repère local associé au contact. Pour chaque cas, ce repère R(A , x , y, z ) est défini très clairement : - le point A est le centre géométrique de l’assemblage, - le vecteur x est porté par la normale au plan tangent commun ou par l’axe de symétrie de la liaison, - la base (x , y, z ) est orthonormée directe.

3°/ Notion 3°/ Notion de degré de liberté. Considérons deux solides 1 et 2 liés et R(A , x , y, z ) le repère local associé à cette liaison. Nous pouvons définir dans R les différentes possibilités de mouvements relatifs indépendants de 1/2 (ou de 2/1).

Dans l’espace, il y a 6 mouvements indépendants : - Tx, translation selon l’axe (A, x )

- Rx, rotation autour de l’axe (A , x )

- Ty, translation selon l’axe (A , y )

- Ry, rotation autour de l’axe (A, y )

- Tz, translation selon l’axe (A , z )

- Rz, rotation autour de l’axe (A , z )

Définition : Le nombre de degré de liberté d’une liaison est le nombre de mouvements relatifs indépendants que la liaison autorise entre les deux solides Ce nombre est au plus égal à 6. Quand le nombre de degrés de liberté est égal à 0, les deux solides sont en liaison complète ; on dit : liaison d’encastrement . Quand le nombre de degré de liberté est égal à 6, les deux solides n’ont aucune liaison ; on dit : liaison libre . Page 17/ 106



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4°/ Etude des liaisons parfaites. Parmi toutes les liaisons parfaites, intéressons nous à celles le plus souvent rencontrées en génie civil :

4.1 - Liaison encastrement.

Les surfaces de contact sont quelconques. Aucun mouvement relatif possible entre les deux solides. Le nombre de degrés de liberté est 0.

4.2 - Liaison pivot

Les surfaces de contact sont des surfaces de révolution complémentaires et non cylindriques. La rotation Rx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : T x, Ty, Tz, Ry et Rz.

4.3 - Liaison glissière.

Les surfaces de contact sont des surfaces cylindriques complémentaires et non de révolution (fréquemment prismatiques). La translation Tx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : T y, Tz, Rx, Ry et Rz.

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4.4 - Liaison appui plan.

Les surfaces de contact sont des surfaces planes (P la surface de contact). Deux translations Ty et Tz sont autorisées et une rotation Rx. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont : T x, Ry et Rz.

4.5 - Liaison rotule.

Les surfaces de contacts sont des surfaces sphériques de même centre et de même rayon. Les trois rotations R x, Ry et Rz sont autorisées. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont T x, Ty et Tz.

4.6 - Liaison linéique rectiligne.

Contact entre la génératrice (A , y ) du solide 1 et un plan (P) du solide 2. Deux translations Ty et Tz sont autorisées et deux rotations Rx et Ry. Le nombre de degrés de liberté est 4. Les 2 mouvements empêchés sont : T x et Rz.

4.7 - Liaison ponctuelle. Le nombre de degrés de liberté est 5. Le mouvement Tx est empêché.

Contact entre le point A de la sphère 1 et le plan (P) du solide 2. Deux translations Ty et Tz sont autorisées et trois rotations Rx, Ry et Rz. Page 19/ 106


Modélisation des actions mécaniques

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5°/ Les trois liaisons usuelles en Génie Civil. En génie civil, les études se font dans le plan. Le repère local associé est R(A, x , y ). Dans le plan, il y a 3 mouvements indépendants :

y

Rz

- Tx, translation selon l’axe (A , x )

Ty

- Ty, translation selon l’axe (A , y ) - Rz, rotation autour de l’axe (A , z )

Tx A

x

Trois liaisons sont utilisées : l’encastrement, l’articulation et l’appui simple.

Liaison

Mouvement(s) autorisé(s)

Modélisation y

Encastrement

-

A x y

Articulation

A

x

Rz

Nombre de degrés de liberté

Mouvement(s) empêché(s)

0

Tx Ty Rz

1

Tx Ty -

2

Ty -

2

Tx -

y A

Tx Rz

x

Appui simple y

A

x

Ty Rz

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Chapitre 2 - Modélisation des actions mécaniques SOMMAIRE

I - Définition d’une action mécanique. .................................................................................. 22 II - Les différents types d’actions mécaniques. ...................................................................... 22 1°/ Les actions mécaniques à distance ........................................................................................... 22 2°/ Les actions mécaniques de contact........................................................................................... 22

III - Modélisation des actions mécaniques............................................................................. 22 1°/ Notion de force........................................................................................................................... 23 2°/ Notion de moment d’une force par rapport à un point. ........................................................ 24 2.1 - Notion de moment - Exemple. ........................................................... ................................................. 24 2.2 - Définition du moment d’une force par rapport à un point.................................................................. . 25

3°/ Modélisation de l’action mécanique due à une force - Torseur associé................................ 27 4°/ Modélisation de l’action mécanique due à un ensemble de forces - Torseur associé. ......... 27 5°/ Isolement d’un système - Actions intérieures et extérieures.................................................. 28 6°/ Modélisation de l’action à distance Poids................................................................................ 29 7°/ Modélisation des actions mécanique de contact. .................................................................... 30 8°/ Modélisation des actions mécaniques de liaison. .................................................................... 31 8.1 - Relation entre les degrés de liberté d’une liaison et le torseur associé à cette liaison. ........................ 31 8.2 - Torseurs associés aux liaisons dans l’espace étudiées au chapitre précédent...................................... 31 8.2.1- Liaison encastrement. .......................................................................... ......................................... 31 8.2.2- Liaison pivot.................................................................... ............................................................. 31 8.2.3- Liaison glissière................. ..................................................................... ...................................... 32 8.2.4- Liaison appui plan. .............................................................. ......................................................... 32 8.2.5- Liaison rotule..................... ..................................................................... ...................................... 32 8.2.6- Liaison linéique rectiligne. .................................................................. ......................................... 32 8.2.7- Liaison ponctuelle. ............................................................. .......................................................... 33 8.3 - Torseurs associés aux liaisons dans le plan utilisées en génie civil..................................................... 33

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I - DEFINITION D’UNE ACTION MECANIQUE. On appelle « action mécanique » toute cause susceptible de : - maintenir un corps au repos, - créer un mouvement, - déformer un corps. Exemples : charges appliquées, précontrainte, tassements d’appui, température, …

Une action mécanique est toujours l’action d’un solide (ou un fluide) 1 sur un autre solide 2.

II - LES DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS MECANIQUES. On peut distinguer deux grandes familles : - les actions à distance, - les actions de contact.

1°/ Les actions mécaniques à distance L’action mécanique d’un solide 1 sur un solide 2 est dite à distance si les deux solides 1 et 2 ne sont pas en contact. La seule action mécanique à distance utilisée en Génie Civil est le poids, qui est l’action exercée à distance par la Terre sur le système matériel. Remarque : autres actions à distance non utilisées en Génie Civil : actions magnétique, électromagnétique ou électrostatique.

2°/ Les actions mécaniques de contact. Les actions mécaniques de contact existent dès qu’il y a contact entre 2 solides ou entre un fluide et un solide. Les actions de contact se répartissent en trois groupes : - les actions ponctuelles ou charges concentrées : l’effort de contact est concentré en un point ou sur une très faible surface. - les actions réparties sur une ligne ou charges linéiques : l’effort est réparti sur une ligne, droite ou non. - les actions réparties sur une surface ou charges surfaciques : l’effort est répartie sur une surface.

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Exemples d’actions mécaniques de contact : Mur Poteau Charge linéique représentant l’action du mur sur la semelle

Charge ponctuelle représentant l’action du poteau sur la semelle

Semelle de fondation Semelle de fondation

Charge surfacique représentant l’action de la neige sur la dalle

Dalle

Remarque : on s’aperçoit que dans tous les cas, les actions sont surfaciques, mais qu’on peut parfois les ramener à des actions linéiques ou ponctuelles pour simplifier les calculs.

III - MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES. 1°/ Notion de force. On appelle force une action mécanique de contact ou à distance. Elle est représentée par un vecteur et caractérisée par : -son point d’application, - sa direction, - son sens, - son intensité.

( ) Support

Intensité F1 2

A Point d’application

Le point d’application et la direction définissent le support ( Δ) (ou droite support ) de la force. L’unité de la force est le newton noté N. Une force s’exerce toujours d’un solide 1 sur un solide 2, on la note F12 .

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2°/ Notion de moment d’une force par rapport à un point. 2.1 - Notion de moment - Exemple. Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce solide. Prenons un exemple concret : étudions l’action du poids propre d’une buse en béton soulevée par une pelle hydraulique.

Dans un premier temps, le poids de la pelle hydraulique permet de stabiliser l’engin.

Poids de l’engin

Elément à poser Poids de la buse

Dans un second temps, le poids de la pelle hydraulique ne permet plus d’assurer la stabilité de l’engin. Point de basculement

Bras de levier du poids de l’engin

Bras de levier du poids de la buse

Le poids de la pelle tout comme celui de la buse sont inchangés, par contre la position de la buse a changée ; elle est nettement plus éloignée de la pelle, ce qui augmente sa capacité à la faire basculer.

Cette capacité à faire basculer la pelle est due au « moment » de la force. (Ici, moment de renversement de la buse auquel s’oppose le moment stabilisateur de la pelle.) Cette notion de moment est nécessaire pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position.

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2.2 - Définition du moment d’une force par rapport à un point. ( )

Le moment de la force F12 par rapport au

y

( )

F12

2

point A, noté M A F12 , est le vecteur perpendiculaire au plan défini par F1 2 et A, et dont le point d’application est A.

d A

L’intensité de ce vecteur moment, notée

(

O

M A F12 , est égale au produit de F12 par le

bras de levier d. L’unité newton×mètre noté N.m.

est

le

x

( )

M A F12

z

Convention de signe - Sens du vecteur moment : - Si la force F12 fait tourner le solide dans le sens trigonométrique autour de A, le moment est

(

dit positif :

M A F12

= + d.F

1

2

Exemple :

- F12 et A sont dans le plan (O, x , y ) ,

( ) y

( ) et perpendiculaire à ce

F12

donc M A F12

2

plan, c'est-à-dire parallèle à l’axe (O, z ) .

P

d

- F12 fait tourner le solide dans le sens

A O

( )

M A F1

z

// (O, z )

2

trigonométrique autour de A, donc le x

( )

moment est positif. M A F12

est de

même sens que z.

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- Si la force F1 2 fait tourner le solide dans le sens anti-trigonométrique autour de A, le

(

moment est dit négatif :

M A F12

= − d.F

1

2

Exemple :

- F12 et A sont dans le plan (O, x , y ) ,

( ) y

( ) et perpendiculaire à ce

F12

2

donc M A F12

( )

M A F12

P

plan, c'est-à-dire parallèle à l’axe (O, z ) .

d

- F12 fait tourner le solide dans le sens

A

anti-trigonométrique autour de A, donc O

( ) est de

le moment est négatif. M A F12

x

// O, z

z

)

sens opposé à z.

Attention, ceci est une convention (c’est-à-dire un choix arbitraire), on pourrait très bien choisir l’inverse. Il faudra donc toujours prendre soin d’indiquer le sens positif choisi sur vos schémas au début de chaque étude. Représentation du vecteur moment dans le plan : Comme il n’est pas aisé de représenter un vecteur perpendiculaire au plan, on adoptera la représentation suivante : ( ) y

( ) y

F12

F12

2

2

P

P

( )

M A F12

d

d A

A O

( )

x

Moment positif

M A F12

O

x

Moment négatif

Propriétés : - Cas de nullité : le moment d’une force F12 par rapport à un point A est nul si la droite

support (Δ) passe par A (d = 0), ou si F12 = 0.

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- Théorème de Varignon : le moment d’une

V

force F12 par rapport à un point A est égal à

la

somme

des

composantes U même point A.

(

M A F12

moments

et V

= MA

(U

de

TS

ses

F1 2

par rapport au

+ MA

A

(V

U

3°/ Modélisation de l’action mécanique due à une force - Torseur associé. Comme nous l’avons vu au paragraphe III, .2-1, la force seule ne suffit pas à caractérisée une action mécanique, le moment de cette force, compte tenu de sa position, est nécessaire pour traduire avec précision une action mécanique. L’écriture qui réunit la force et le moment de cette force par rapport à un point est le torseur. Soit une force F12 appliquée en P sur un solide 2, on note

⎧F = ⎪⎨ ⎪M A A⎩

{τ(F )} 1

Le torseur

τF

1

2

2

1

⎫ ⎧F ⎪= ⎪ ⎬ ⎨ ⎪⎭ P ⎪⎩ 0

1

2

2

(F ) 1

2

(

τF

1

2

le torseur tel que :

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

modélise l’action mécanique de la force F12 .

( )

F12 et M A F12 sont appelés les éléments de réduction du torseur

(

τF

1

2

au point A.

4°/ Modélisation de l’action mécanique due à un ensemble de forces - Torseur associé. Soit un système matériel S soumis à une action mécanique définie par un ensemble E de n forces :

E = F1S ; F2 S ; F3S ; F4 S ; ...; Fn S On appelle « résultante » de l’action mécanique de E sur S la somme vectorielle des

forces F i S : n

R ES

= ∑ F = F + F + F + F + ...F i

i =1

1 S

S

2

S

3

S

4

S

n

S

On appelle « moment résultant » au point A de l’action mécanique de E sur S la somme

vectorielle des moments au point A des forces F i S : M A (E S) =

n

∑ M (F ) A

i =1

i

S

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L’action mécanique de E sur S est donc modélisable par le torseur

{τ(E S)} tel que :

⎧⎪ R ⎫⎪ {τ(E S)}= ⎨ ⎬ ⎪ M A (E S)⎪ ⎭ A⎩ E

S

R E S et M A (E S) sont les éléments de réduction du torseur

{τ(E S)} .

5°/ Isolement d’un système - Actions intérieures et extérieures. Lorsque l’on isole un système matériel, on peut distinguer les actions mécaniques extérieures au système et les actions mécaniques intérieures au système matériel, suivant leur situation par rapport au système matériel choisi, c'est-à-dire isolé. Une action mécanique intérieure au système matériel est une action exercée par un élément de ce système matériel isolé sur un autre élément du même système matériel. Une action mécanique extérieure au système matériel est une action exercée par un élément qui n’appartient pas au système matériel isolé sur un élément du système matériel. Remarque : Le poids est toujours une action extérieure. Exemple : Manutention d’un panneau préfabriqué.

Câble de la grue

Selon l’étude que l’on souhaite menée, il est possible d’isoler chaque élément indépendamment des autres ou bien d’isolé l’ensemble des éléments.

Palonnier

⇒ voir figures ci-dessous.

Elingues

On s’aperçoit alors qu’une même action peut être une action intérieure ou une action extérieure en fonction des éléments isolés.

Panneau préfabriqué

Actions des élingues sur le panneau

Tension du câble de la grue Poids propre du palonnier Actions des élingues sur le palonnier

Palonnier isolé

G

Poids du panneau

Panneau isolé

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Tension du câble de la grue

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Actions du palonnier sur les élingues

Poids propre du palonnier

Elingues

G Actions du panneau sur les élingues Poids du panneau

Elingues isolées

Ensemble (Palonnier, Elingues, Panneau) isolé

Remarques : On s’aperçoit que lorsque les éléments sont assemblés (ensemble palonnier, panneau et élingues isolé), les actions entre ces solides (actions intérieures) n’apparaissent pas. En effet, les actions interieures s’annulent 2 à 2 (l’action du panneau sur l’élingue s’annule avec l’action de l’élingue sur le panneau), c’est le principe des actions mutuelles (principe d’action / réaction).

6°/ Modélisation de l’action à distance Poids. Le champ de pesanteur est l’action mécanique à distance exercée par la Terre sur un système matériel. Le torseur au point G des forces de pesanteur qui s’appliquent sur un solide peut se réduire à une force unique. En effet, le moment résultant par rapport au point G de toutes les forces de pesanteur qui s’appliquent sur un solide est considéré nul (le champ de pesanteur est considéré uniforme). Le champ de pesanteur est toujours vertical vers le bas. Ainsi, dans un repère (O, x, y) dont l’axe (O, y) est vertical ascendant, g

= −g ⋅ j

, avec g = accélération de la pesanteur.

Le poids d’un solide est donc représenté par un vecteur poids P dont les caractéristiques sont : - Point d’application : G, centre de gravité du solide, - Direction : la verticale passant par G, - Sens : vers le bas, - Intensité : P = m . g P en newton N, m la masse du solide en kg, g = 9.81 m.s -2 Remarque : en génie civil, on prend une valeur arrondie : g = 10 m.s

-2

Nous apprendrons à déterminer la position du centre de gravité d’un solide au chapitre « Caractéristiques géométriques d’une section ».

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7°/ Modélisation des actions mécanique de contact. Compte tenu des déformations locales, tout contact réel entre deux solides a lieu suivant une surface. On peut considérer qu’une surface de contact entre deux solides est décomposables en n petites surfaces élémentaires si, ayant pour centre de surface le point Pi. (i variant de 1 à n). L’action mécanique du contact entre le solide 1 et le solide 2 se caractérise par une densité surfacique de forces f i s’exerçant sur chaque surface élémentaire s i. Le contact entre les solides est considéré parfait, c'est-à-dire sans adhérence. Dans ce cas théorique, f i est considérée perpendiculaire à s i.

f i est considérée comme uniformément répartie sur s i, puisque si est très petite, mais f i peut varier d’une surface élémentaire à l’autre. f i est homogène à une force divisée par une surface et s’exprime en Newton par m² [ N/m² ] ou en Pascal [ Pa ]. Ainsi, l’action mécanique du contact du solide 1 sur le solide 2 est modélisable en un point A quelconque par le torseur : n ⎧ ⎪⎪F = ∑ f i ⋅ si i =1 {τ(1 2)}= ⎨ n ⎪M (1 2) = ∑ M f ⋅ s A i i ⎪ A i =1 A⎩ 1

2

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

( )

Dans un repère R(O, x , y, z ) , on peut écrire les composantes de la résultante et du moment résultant :

⎛ F ⎜ F1 ⎜ F 2 ⎜ ⎜F ⎝

1

1

1

⎞ ⎟ ⎟ y ⎟ ⎟ z ⎠

2x

2

2

On peut alors écrire :

et

⎛ M A (1 2)x ⎞ ⎜ ⎟ M A (1 2) ⎜ M A (1 2)y ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ M A (1 2)z ⎠ ⎧F ⎪ {τ(1 2)}= ⎪⎨F ⎪ ⎪F A⎩

1

2x

1

2y

1

2z

M A (1 2)x ⎫

⎪⎪ ( ) MA 1 2 y ⎬ ⎪ M A (1 2)z ⎪ ⎭

La première colonne indique les composantes algébriques de F12 dans R(O, x , y, z ) . La deuxième colonne indique les composantes algébriques de M A (1 2) dans R(O, x , y, z ) . Pour plus de commodité, nous choisirons le point A comme centre géométrique de l’assemblage considéré entre les solides 1 et 2.

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8°/ Modélisation des actions mécaniques de liaison. 8.1 - Relation entre les degrés de liberté d’une liaison et le torseur associé à cette liaison. Dans le chapitre précédent, nous avons défini les 6 degrés de liberté dans l’espace (trois translations et trois rotations). Lorsqu’un mouvement du solide 1 par rapport au solide 2 est permis, c’est que rien ne s’oppose à ce mouvement. Par contre, si un mouvement est empêché, c’est qu’il y a une action qui s’y oppose. Autrement dit, à chaque degré de liberté bloqué par une liaison correspond une composante non nulle du torseur associé à l’action mécanique transmissible par cette liaison. Une translation est empêchée grâce à une force de même direction et de sens opposé. Une rotation est empêchée grâce à un moment de même axe mais de sens opposé.

8.2 - Torseurs associés aux liaisons dans l’espace étudiées au chapitre précédent. 8.2.1- Liaison encastrement. Le nombre de degrés de liberté est 0. Aucun mouvement relatif possible entre les deux solides.

⎧F ⎪ {τ(1 2)}= ⎪⎨F ⎪ ⎪F A⎩

2x

M A (1 2)x ⎫

1

2y

M A (1 2)y ⎬

1

2z

1

Le torseur associé est

⎪⎪ ⎪ M A (1 2)z ⎪ ⎭

8.2.2- Liaison pivot La rotation Rx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : T x, Ty, Tz, Ry et Rz. Le torseur associé est

⎧F ⎪⎪ {τ(1 2)}= ⎨F ⎪ ⎪F A⎩

1

2x

1

2y

1

2z

⎫ ⎪⎪ M A (1 2)y ⎬ ⎪ M A (1 2)z ⎪ ⎭ 0

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8.2.3- Liaison glissière.

La translation Tx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : T y, Tz, Rx, Ry et Rz. Le torseur associé est

⎧0 ⎪ {τ(1 2)}= ⎪⎨F y ⎪ ⎪F z A⎩ 1

1

2

2

M A (1 2)x ⎫

⎪⎪ ⎪ M A (1 2)z ⎪ ⎭ M A (1 2)y ⎬

8.2.4- Liaison appui plan. Deux translations Ty et Tz sont autorisées et une rotation Rx. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont : T x, Ry et Rz. ⎧F12 x ⎫ 0 Le torseur associé est

⎪ {τ(1 2)}= ⎨ 0 ⎪0 A⎩

⎪

M A (1 2)y ⎬

⎪

M A (1 2)z ⎭

8.2.5- Liaison rotule. Les trois rotations R x, Ry et Rz sont autorisées. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont T x, Ty et Tz.

⎧F ⎪ {τ(1 2)}= ⎪⎨F ⎪ ⎪F A⎩

2x

0⎫

1

2y

0⎬

1

2z

1

Le torseur associé est

⎪⎪ 0⎪ ⎪⎭

8.2.6- Liaison linéique rectiligne. Deux translations Ty et Tz sont autorisées et deux rotations Rx et Ry. Le nombre de degrés de liberté est 4. Les 2 mouvements empêchés sont : T x et Rz. ⎧F12 x ⎫ 0 Le torseur associé est

⎪ {τ(1 2)}= ⎨ 0 ⎪0 A⎩

⎪ ⎬ M A (1 2)z ⎪ ⎭ 0

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8.2.7- Liaison ponctuelle. Deux translations T y et Tz sont autorisées et trois rotations Rx, Ry et Rz. Le nombre de degrés de liberté est 5. Le mouvement Tx est empêché. ⎧F12 x 0⎫ Le torseur associé est

⎪ {τ(1 2)}= ⎨ 0 ⎪0 A⎩

⎪

0⎬ 0⎪

⎭

8.3 - Torseurs associés aux liaisons dans le plan utilisées en génie civil. Trois liaisons sont utilisées : l’encastrement, l’articulation et l’appui simple.

Liaison

) ) s s ( ( t ) t ) s s ( . n ( n é e é s L h . e i c m m D ê e r e . o v t D v p u u u m o a o e M M

Modélisation

Inconnues de liaison

Torseur de liaison

(Poutre isolée) y

y

Encastrement

-

A x

Ax

A

x

Ay

MA y

y

Articulation

0

Tx Ty Rz

A

Rz

x

1

Tx Ty -

Ax

A

x

Ay y

y A

Tx Rz

x

2

Ty -

A

Ay

Appui simple y

A

x

Ty Rz

2

Tx -

x

y

Ax

A

x

⎧A x {τ(Enc.)}= ⎪⎨A y ⎪0 A⎩

⎫ ⎪ 0 ⎬ MA ⎪ ⎭ 0

⎧A x {τ(Art.)}= ⎪⎨A y ⎪0 A⎩

0⎫

⎧0 {τ(A.S.)}= ⎪⎨A y ⎪0 A⎩

0⎫

⎧A x {τ(A.S.)}= ⎪⎨ 0 ⎪0 A⎩

0⎫

⎪ 0⎪ ⎭ 0⎬

⎪ 0⎪ ⎭ 0⎬

⎪ 0⎪ ⎭ 0⎬

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Principe fondamental de la statique

TS

Chapitre 3 - Principe fondamental de la statique Détermination d’actions mécaniques s’exerçant sur un système en équilibre SOMMAIRE

I - Notion d’isolement.............................................................................................................. 35 1°/ Isolement d’un solide. ............................................................................................................... 35 2°/ Isolement de plusieurs solides. ................................................................................................. 35

II - Equilibre d’un système matériel. ...................................................................................... 36 III - Principe fondamental de la statique ............................................................................... 37 1°/ Enoncé du PFS........................................................................................................................... 37 2°/ Système en équilibre sous l’action de deux forces .................................................................. 38 3°/ Système en équilibre sous l’action de trois forces................................................................... 38

IV - Degré d’hyperstaticité ...................................................................................................... 39 1°/ Hypostaticité, Isostaticité, Hyperstaticité et Degré d’hyperstaticité..................................... 39 2°/ Détermination du degré d’hyperstaticité. ............................................................................... 40

V - Organigramme de résolution d’un problème de statique. ............................................... 42 VI - Systèmes matériels composés de plusieurs solides.......................................................... 43

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TS

I - NOTION D’ISOLEMENT. La notion d’isolement est fondamentale dans l’analyse et la résolution des problèmes de mécanique. C’est la première étape de toute résolution en statique (et en dynamique).

1°/ Isolement d’un solide. Isolé un solide consiste à réaliser un dessin précis (si possible à l’échelle) du solide étudié, destiné à décrire et à définir : - toutes les actions extérieures qui s’y exercent : • actions à distance (poids), • actions de contact, … - tous les éléments connus concernant ces actions : • direction, • intensité, • sens, • point d’application, • distances entre les actions et les axes ou points choisis pour les calculs. Exemple : reprenons l’exemple du palonnier utilisé pour la manutention d’un panneau. 1,1 m Câble de la grue

1,1 m

Palonnier

T1

Tension du câble de la grue

A

y

Poids propre du palonnier

p

Elingues

O

B

C T2

0,5 m

x Actions des élingues sur le palonnier

T3 1,1 m

0,5 m

Panneau préfabriqué

Palonnier isolé

2°/ Isolement de plusieurs solides. Dans le cas de plusieurs solides, les actions mutuelles exercées entre les solides de l’ensemble deviennent des efforts intérieurs et ne doivent pas alors être comptabilisés dans le nombre des actions extérieures. Exemple : isolons cette fois l’ensemble palonnier + élingues + panneau :

- l’action du panneau sur les élingues s’annule avec l’action des élingues sur le panneau, - l’action du palonnier sur les élingues s’annule avec l’action des élingues sur le palonnier.

Tension du câble de la grue Poids propre du palonnier

G

Poids du panneau

Ensemble (Palonnier - Elingues - Panneau) Pageisolé 35/ 106



TS

II - EQUILIBRE D’UN SYSTEME MATERIEL. y

F2

F1

S

S

Fk

Soit un solide indéformable soumis à un ensemble de n forces extérieures E = Fi S

i =1 à n

S

S

R

. Fn

Les éléments de réduction en un point P du torseur associé à cet ensemble de forces sont : n ⎧ ⎪R = ∑ F ⎪ i =1 ⎨ n ⎪M E = M F P ⎪⎩ P S ∑ i =1 i

Résul tan te

S

( )

i

S

Fi

P

S

( S)

MP E

O

x

n

R =

∑F i =1

( )

S

i

S

= F1S + F2 S + ... + F i S + ... + Fn S n

Moment résul tan t

( S) = ∑ M (F ) = M (F )+ M (F )+ ... + M (F )+ ... + M (F ) =

MP E

i

P

P

S

1

P

S

2

S

P

i

S

i 1

Si ce solide est animé d’un mouvement provoqué par l’ensemble de forces extérieures, ce mouvement se décompose de la façon suivante : y

Translation G

y

y

Rotation x

R

(S)

( S)

x

MG E

G (S)

O

x

⇒ un déplacement d’ensemble du solide (selon une trajectoire définie par les différentes Tx positions du centre de gravité G du solide) défini par le vecteur translation : T Ty , Tz ce vecteur est directement lié à la résultante R des forces extérieures appliquées au solide. Rx

⇒ une rotation du solide autour de G définie par le vecteur : Ω R y directement lié au Rz moment résultant M G (E ) des forces extérieures appliquées au solide.

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P

n

S



TS

Equilibre d’un système : Un système matériel est en équilibre par rapport à un repère si, au cours du temps, chaque point de ce système conserve une position fixe par rapport à ce repère.

L’équilibre du système est donc défini par l’absence de mouvement de ce système. Nous venons de voir que :

⇒ R engendre un mouvement de translation du centre de gravité du solide, ⇒ M G (E ) engendre un mouvement de rotation du solide autour de G. Donc, pour que le solide soit en équilibre, il faut et il suffit que R = 0 et M G (E ) = 0 , c'est-à-dire {τ(E )} = {0} Remarque : si R = 0 et M G (E ) = 0 , alors le moment résultant par rapport à un point P

quelconque est nul M P (E ) = 0 .

III - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 1°/ Enoncé du PFS.

Un système matériel est en équilibre par rapport à un repère fixe si et seulement si les éléments de réduction du torseur des actions extérieures appliquées à ce système sont nuls :

⎧ ⎪F ⎪ = ⎨F ⎪ ⎪F P⎩

Ext

{(

R = 0 et M P (E ) = 0 , c'est-à-dire τ FExt Syst

)}

Ext

Ext

Syst x

Syst y

Syst z

( )⎪ ) ⎪⎬ = { 0 } M (F ⎪ ) ⎪⎭ M (F M P FExt Syst ⎫ x

P

Ext

P

Ext

Syst

y

Syst

z

Ce qui se traduit, dans l’espace, par 6 équations d’équilibre :

⎧F =0 x ⎪ ⎪ 3 équations de la résultante : ⎨F y = 0 ⎪ ⎪⎩F z = 0 ⎧M F =0 ⎪ P x ⎪ =0 et 3 équations du moment résultant : ⎨M P F y ⎪ ⎪M P F =0 z ⎩ Ext

Ext

Ext

Syst

Syst

Syst

( ) ( ) ( ) Ext

Ext

Ext

Syst

Syst

Syst

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TS

Lorsqu’il s’agit d’un problème plan (par exemple le plan (O, x, y) ), comme c’est habituellement le cas en génie civil, il ne reste plus que 3 équations d’équilibre : ⎧⎪FExt Syst = 0 x 2 équations de la résultante : ⎨ ⎪FExt Syst = 0

⎩

y

et 1 équation du moment résultant : M P FExt Syst

z

=0

2°/ Système en équilibre sous l’action de deux forces Soit un solide (S) soumis uniquement à l’action de deux forces A 1S et B 2 S , non nulles et de points d’application respectifs A et B. Ce solide reste en équilibre si les deux forces sont égales et opposées.

A1

(S) S

B2

B

S

A

3°/ Système en équilibre sous l’action de trois forces Soit un solide (S) soumis uniquement à l’action de trois forces A 1S , B 2 S et C 3 S non nulles et de points d’application respectifs A, B et C. Ce solide reste en équilibre si la résultante des trois forces est nulle et que les trois forces sont coplanaires et : - concourantes, (S)

B2

A A1

B2

B

S

S

C3

S

C

A1

C3

A1

S

S

S

S

+ B 2 S + C 3S = 0

- ou parallèles A1

(S)

C C3

S

A1

A

S

B2 S

B

B2

S

C3

S

S

A1

S

+ B 2 S + C 3S = 0

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TS

- ou de même droite support . B2

A1

B2

S

C3 S

C3

S

S

S

A1

A

B

(S)

S

C A1

S

+ B 2 S + C 3S = 0

IV - DEGRE D’HYPERSTATICITE 1°/ Hypostaticité, Isostaticité, Hyperstaticité et Degré d’hyperstaticité. Le PFS traduit le fait qu’un système matériel est en équilibre sous l’action d’actions mécaniques extérieures si tous les mouvements sont bloqués (empêchés), c’est-à-dire si tous les degrés de liberté sont supprimés. Ce qui se traduit par 6 équations d’équilibre dans l’espace et 3 équations d’équilibre dans le plan. Chaque degré de liberté supprimé engendre une inconnue de liaison à priori. Ainsi, le nombre d’inconnues varie de 1 à 6 dans l’espace et de 1 à 3 dans le plan. Pour pouvoir résoudre un problème de statique avec le PFS, il faut que le nombre d’inconnues soit égal au nombre d’équations d’équilibre. Le degré d’hyperstaticité permet de comparer le nombre d’inconnues au nombre d’équations : NINC ; le nombre d’inconnues, soit NEQU ; le nombre d’équations. et On note DH le degré d’hyperstaticité :

DH = NINC - NEQU

Si

DH < 0

tous les degré de liberté ne sont pas bloqués. On dit que le système est Hypostatique. Il n’y a pas de solution.

Si

DH = 0

le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations. On dit que le système est Isostatique. On peut résoudre avec le PFS.

Si

DH > 0

il y a trop d’inconnues. On dit que le système est Hyperstatique. On ne peut pas résoudre qu’avec le PFS.

Il faut aussi vérifier que le système ne comporte aucun mécanisme (aucun mouvement possible), auquel cas le système est hypostatique. Pour savoir si un problème de statique peut être résolu avec le PFS, il faut déterminer le degré d’hyperstaticité du système.

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TS

2°/ Détermination du degré d’hyperstaticité. ETAPES

OPERATIONS

EXEMPLE

a) Numéroter chaque solide (barre) du système.

1

1 Calcul de NEQU :

3 2

b) Comptabiliser 3 équations par barre : 4

5

N EQU = nombre de barres 3

N EQU = 5 3=15 a) Dénombrer les inconnues de liaison extérieures (entre le système global et l’extérieur) : - Appui simple : 1 inconnue - Articulation : 2 inconnues - Encastrement : 3 inconnues

Inconnues extérieures en rouge b) Dénombrer les inconnues de liaison intérieures (entre les solides constituant Inconnues intérieures en vert le système) : 4

- Articulation : n barres articulées 1

2

1

2 Calcul de N INC :

3 2

(n-1) 2 inconnues n

i

2

2 4 2

4

5

1

- Encastrement : n barres encastrées 1

n

2

(n-1) 3 inconnues i

c) NINC = nombre d’inconnues de liaison ext + nombre d’inconnues de liaison int

NINC = 15

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ETAPES 3 Calcul de DH


OPERATIONS

DH = NINC - NEQU

TS

EXEMPLE

DH = 15 –15 =0

a) vérifier qu’aucun solide ou ensemble de solide appartenant au système ne constitue un mécanisme (mouvement instable possible) ; si ce n’est pas le cas le système est HYPOSTATIQUE.

b) On dira que :

4 Nature du système

Si DH< 0 et/ou présence d’un mécanisme Le système est HYPOSTATIQUE et il n’y pas de solution

Le système ne comporte aucun mécanisme et DH = 0 , donc le système est isostatique ; on peut donc résoudre le problème avec les équations du PFS.

Si DH = 0 et pas de mécanisme : le système est ISOSTATIQUE et on peut trouver les inconnues de liaison grâce au PFS. Si DH>0 et pas de mécanisme : Le système est HYPERSTATIQUE et on ne peut pas trouver les inconnues de liaison avec le seul PFS.

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TS

V - ORGANIGRAMME DE RESOLUTION D’UN PROBLEME DE STATIQUE.

CALCUL DU DEGRE D’HYPERSTATICITE

LE SYSTEME EST HYPOSTATIQUE PAS DE SOLUTION

LE SYSTEME EST ISOSTATIQUE. JE PEUX APPLIQUER LE PFS

LE SYSTEME EST HYPERSTATIQUE LE PFS NE SUFFIT PAS

ISOLEMENT DU SYSTEME - Je dessine le(s) solide(s) dans la même position géométrique - Je place le repère - J’écrit les renseignements connus (repères A, B, C,…, les distances, les angles éventuels, …) - je fais le bilan des actions extérieures : Actions connues (en vert) ⋅ Actions de contact, ⋅ Actions à distance (Poids). Actions inconnues (en rouge) = inconnues de liaison Toujours dessinées dans le sens positif du repère.

PFS

(

τ A Ext Sys = {0}

OU

⎧ F =0 ⎪⎪∑ x ⎨∑ Fy = 0 ⎪ ⎩⎪∑ M I Fi = 0

()

SCHEMA RECAPITULATIF Je redessine le s stème isolé avec toutes les actions

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TS

VI - SYSTEMES MATERIELS COMPOSES DE PLUSIEURS SOLIDES DETERMINATION DES ACTIONS INTERIEURES. Prenons l’exemple d’un portique : y

+ F2 B

m 1

En A Articulation, En B et C Encastrement, En D Appui simple

C

F1 2

m 2

3

1 A

D

0

0 2m

x

F1 = 10 kN F2 = 15 kN

2m

On isole le portique, c’est-à-dire le système matériel composé des 3 solides (1+2+3) : y

+

F1

F2

F2

B

C

A 0 1x

F1 2 1

A 0 1x

A0 1y 3

D0 3x

A

D

A 0 1y

D 0 3x

x

B1 2x

B2 1x

B1 2y

B2 1y

M B1 2

M B2 1

C3 2 x

C2 3x

C3 2 y

C2 3y

M C3 2

MC2 3

BILAN DES ACTIONS EXTERIEURES INTERIEURES

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TS

Remarques : 

N EQU = 3 × 3 = 9 N INC

⎫ ⎬ ⇒ DH = 9 − 9 = 0 et il n’y a pas de mécanisme. = 1 ×1 + 1 × 2 + 2 × 3 = 9⎭

⇒Le système matériel (1+2+3) est isostatique, on peut déterminer les actions A0 1x , A0 1y et D0 3x en appliquant le PFS  Le principe des actions mutuelles dit :

B1 2x = - B2 1x

C3 2x = - C2 3x

B1 2y = - B2 1y

C3 2y = - C2 3y

M B1 2 = - M B 2 1

MC3 2 = - MC2 3

On cherche à déterminer les actions de liaison intérieures (aux nœuds B et C). L’outil à notre disposition pour déterminer des actions est le PFS. Mais le PFS s’applique pour des actions extérieures. Donc, pour déterminer les actions de liaison au nœud B et C, il faut isoler les barres 1, 2 et 3 séparément pour que ces actions deviennent des actions extérieures et pouvoir appliquer le PFS. Pour faire « apparaître » les actions intérieures, dessinons la structure éclatée : M B1 2

y

+

MC3 2

F2 B

C

C 3 2x x

B1 2x y

2

+

B1 2y

C 3 2y

y

B2 1x

M B2 1

B

MC2 3

C 2 3y

B2 1y

C

C2 3x

+

A 0 1x

STRUCTURE ECLATEE

1

F1 A

3

x

A 0 1y

D

x

D0 3x

Détermination des actions de liaison aux nœuds B et C ; Démarche à suivre : J’isole le portique, c’est-à-dire le système matériel composé des 3 solides (1+2+3). J’applique le PFS et je détermine les actions A 0 1x , A0 1y et D0 3x . Page 44/ 106



TS

J’isole la barre 1 : - les 3 actions F1 , A 0 1x et A0 1y sont connues, - il y a 3 actions inconnues B2 1x , B2 1y , M B 2 1 que je détermine avec le PFS. J’isole la barre 2 : - le principe des actions mutuelles me permet de déterminer les actions B1 2x , B1 2y , et M B1 2 (puisque B1 2x = - B2 1x , B1 2y = - B2 1y et M B1 2 = - M B 2 1 ).

- il y a 3 actions inconnues C3 2x , C3 2y et M C 3 2 que je détermine avec le PFS J’isole la barre 3 : - l’action D0 3x est connue. - le principe des actions mutuelles me permet de déterminer les actions C2 3x , C2 3y et M C 2 3 (puisque C3 2x = - C2 3x , C3 2y = - C2 3y et M C 3 2 = - M C 2 3 ).

Toutes les actions appliquées au solide 3 étant connues, je vérifie que le solide 3 est bien en équilibre et donc que je n’ai pas fait d’erreur de calcul.

Application numérique : J’isole le portique (1+2+3) et j’applique le PFS pour déterminer les actions A 0 1x ,

A0 1y et D0 3x : y

+ F2 B

C

F1 2 1

A 0 1x

3

A

D

A 0 1y

D

x

0 3x ⎧ ⎧∑ F / x = 0 ⎪A 0 1x = − F1 = −10 kN ⎧A 0 1x + F1 = 0 ⎪⎪ ⎪ ⎪ PFS ⇒ ⎨∑ F / y = 0 ⇔ ⎨A 0 1y + D 0 3y − F2 = 0 ⇔ ⎨A 0 1y = F2 − D 0 3y = 15 − 12,5 = 2,5 kN ⎪ ⎪4.D − 2.F − 2.F = 0 ⎪ Mt 0 3 y 2 1 ⎩ ⎪⎩∑ / A ⎪D 0 3y = 2.F2 + 2.F1 = 30 + 20 = 12,5 kN ⎩ 4 4

y

⎧A 0 1x = −10 kN ⎪ ⇒ ⎨A 0 1y = 2,5 kN ⎪ ⎩D 0 3y = 12,5 kN

+ F2 B

C

F1 2 1

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3 D

x



TS

A

A 0 1x

A 0 1y

D0 3x

(10 kN)

(2,5 kN)

(12,5 kN)

J’isole la barre 1 et je détermine B2 1x , B2 1y , M B 2 1 avec le PFS. y

B2 1x

+

B2 1y

⎧∑ F / x = 0 ⎧− A 0 1x + F1 + B2 1x = 0 ⎪⎪ ⎪ PFS ⇒ ⎨∑ F / y = 0 ⇔ ⎨A 0 1y + B2 1y = 0 ⎪ ⎪ − 2. F − 3. B + M = 0 1 2 1x B2 1 ⎩ ⎪⎩∑ Mt / A

M B2 1

B

1

F1 A

A 0 1y (2,5 kN)

x y

A 0 1x

+

(10 kN)

B2 1y (2,5 kN)

(20 kN.m)

⎧B2 1x = 0 ⎧ B2 1x = A 0 1x − F1 = 10 − 10 = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨B2 1y = −2,5 kN ⇔ ⎨ B2 1y = − A 0 1y = −2,5 kN ⎪M = 20 kN.m ⎪ = = M 2 . F 20 kN . m B 2 1 1 ⎩ B2 1 ⎩

1

F1 A

A 0 1y (2,5 kN)

J’isole la barre 2. M B1 2

y

M B2 1

B

+

x

A 0 1x (10 kN)

MC3 2

F2 C

B

C3 2x x

B1 2x 2

Principe des actions mutuelles :

C3 2y

B1 2y y

B1 2x = - B2 1x , B1 2y = - B2 1y

⇒

+ F2

M B1 2 (20 kN.m)

MC3 2

B

C

C 3 2x x

et M B1 2 = - M B 2 1 .

B1 2y

2

C3 2y

(2,5 kN)

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TS

Je détermine C3 2x , C3 2y et M C 3 2 avec le PFS.

⎧C ⎪ 3 2x = 0 ⎪ ⇔ ⎨B +C −F = 0 1 2y 3 2y 2 ⎪ +M −M =0 ⎪− 2.F + 4.C 2 3 2y C3 2 B1 2 ⎩ ⎧C3 2 x = 0 ⎧C3 2 x = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨C3 2 y = 12,5 kN ⇔ ⎨C3 2 y = F2 − B1 2 y = 15 − 2,5 = 12,5 kN ⎪M ⎪M ⎩ C3 2 = 0 ⎩ C 3 2 = 2.F2 − 4.C3 2 y + M B1 2 = 30 − 50 + 20 = 0

⎧∑ F / x = 0 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨∑ F / y = 0 ⎪ ⎪⎩∑ Mt / A

PFS

y

+ F2

M B1 2 (20 kN.m)

B

B1 2y

C

x

C 3 2y

2

12,5 kN

(2,5 kN)

J’isole la barre 3. (Vérification) y

MC 2 3

C 2 3y C

C2 3x

+ y

3 D

C 2 3y

x

(12,5 kN)

C

D 0 3x (12,5 kN)

+

Principe des actions mutuelles :

D

C3 2x = - C2 3x , C3 2y = - C2 3y et M C 3 2 = - M C 2 3 .

3

⇒

x

D 0 3x (12,5 kN)

Le solide 3 est bien en équilibre, donc que je n’ai pas fait d’erreur de calcul. Page 47/ 106


Sollicitations

TS

Chapitre 4 - Théorie des poutres SOMMAIRE

I - Définitions.................... Définitions........................................... ............................................. ............................................ ............................................. .................................... ............. 49

1°/ Notion de poutre .......................................... ................................................................ ............................................ ........................................... ..................... 49 2°/ Géométrie des poutres - Cas courants ............................................ .................................................................. ............................ ...... 49 II - Hypothèses fondamentales de de la théorie des poutres poutres ............................................ ...................................................... .......... 50

1°/ Hypothèses sur la géométrie des poutres.......................................................... poutres.................................................................... .......... 50 2°/ Hypothèses sur le matériau........................................... matériau.................................................................. ............................................. ........................ .. 50 3°/ Hypothèses sur les déformations .......................................... ................................................................ ....................................... ................. 50 4°/ Hypothèses sur les actions extérieures..................... extérieures ............................................ ............................................. ............................ ...... 51 III - Sollicitations dans une section - Efforts internes......................................................... internes........................................................... .. 51

1°/ Notion de coupure........................................ coupure.............................................................. ............................................ ........................................... ..................... 51 2°/ Définition des sollicitations ........................................... .................................................................. ............................................. ........................ .. 52 3°/ Conventions de signe .......................................... ................................................................ ............................................. .................................... ............. 54 4°/ Sollicitations simples ou composées ............................................ .................................................................. ................................ .......... 55 5°/ Diagrammes des sollicitations.......................................................... sollicitations................................................................................ ............................ ...... 56 6°/ Relations entre Q(x), V(x) et M(x). M(x). .......................................... ................................................................. .................................... ............. 60

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Sollicitations

TS

I - DEFINITIONS 1°/ Notion 1°/ Notion de poutre On appelle poutre un solide engendré par une aire plane (S) dont le centre de gravité G décrit une courbe (G0G1), le plan de (S) restant perpendiculaire à cette courbe.

G

G0

G1 S0

S

(S) est appelée section droite , (S0) section origine, (S1) section extrémité, (G0G1) est la fibre moyenne de la poutre

S1

2°/ Géométrie 2°/ Géométrie des poutres - Cas courants Si la fibre moyenne de la poutre (G0G1) est : - contenue dans un plan on parle de poutre plane , ⇒ ⇒ - une droite on parle de poutre droite , - une courbe on parle de poutre gauche . ⇒ Si le plan (G0G1) est un plan de symétrie géométrique et mécanique (la section de la poutre est symétrique par rapport à ce plan et le chargement aussi), on parle de poutre à plan moyen .

Exemple :

Toutes les poutres étudiées seront planes (les problèmes étudiés sont des problèmes plans), généralement droites et à plan moyen. La section droite (S) peut être : - constante le long de (G0G1), poutre à section constante - variable en fonction des efforts qu’elle supporte, poutre à section variable .

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Sollicitations

TS

II - HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA THEORIE DES POUTRES 1°/ Hypothèses sur la géométrie des poutres Trois hypothèses sur la géométrie des poutres : - le rayon de courbure de la fibre moyenne est grand par rapport aux dimensions des sections droites, - la longueur de la fibre moyenne est grande devant les dimensions des sections droites (longueur supérieure à 10 fois la plus grande dimension transversale), on parle de solide élancé , - les éventuelles variations de l’aire de la section droite sont faibles et progressives.

2°/ Hypothèses sur le matériau Les matériaux envisagés sont supposés : - homogènes : tous les éléments du matériau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique, - isotropes : les propriétés mécaniques sont les mêmes en tous points et dans toutes les directions, - continus : les propriétés varient de manière continue d’un point à l’autre, - utilisés dans le domaine élastique : les relations entre contraintes et déformations sont linéaires = loi de HOOKE (voir plus loin).

3°/ Hypothèses sur les déformations Hypothèse de NAVIER-BERNOULLI : « les sections planes normales aux fibres avant déformation restent planes et normales aux fibres pendant et après la déformation. » Ce qui est correctement vérifié par l’expérience sous réserve d’avoir : - de petits déplacements, - de petites déformations. S N O I T A M R O F E D S E T I T E P E D S E S E H T O P Y H C E V A

S N O I T A M R O F E D S E T I T E P E D S E S E H T O P Y H S N A S

⇒ La contraction latérale des poutres est négligée. Page 50/ 106


Sollicitations

TS

4°/ Hypothèses sur les actions extérieures Hypothèse de SAINT-VENANT : les résultats de la résistance des matériaux ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région où sont appliqués les efforts concentrés.

III - SOLLICITATIONS DANS UNE SECTION - EFFORTS INTERNES. Nous allons, dans ce paragraphe, déterminer quels sont les efforts qui se développent à l’intérieur de la matière, appelés efforts intérieurs, efforts internes ou encore efforts de cohésion car il assurent la cohésion (la liaison) entre les particules constitutives du matériau.

1°/ Notion de coupure Soit une poutre droite en équilibre soumises à des actions extérieurs quelconques Fi et à des actions de liaisons quelconques R i . Fi

y

F2

F1

G

G0

G1 x

z S(x)

Ri

R2

R1

Pour connaître ce qui se passe à l’intérieur de la poutre, on effectue par la pensée à l’abscisse x une coupure fictive au droit d’une section notée S(x). Isolons le tronçon de poutre situé à gauche de la section S(x). Ce tronçon est en équilibre sous l’action : - des forces extérieures qui lui sont appliquées Fi , - des actions de liaisons R i , - des forces que le tronçon de droite (2) exerce sur le tronçon de gauche (1). Ces forces se développent à l’intérieur du matériau. On peut exprimer ces « efforts internes » sous la forme d’un torseur pris au centre de gravité de la section S(x).

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Sollicitations

TS

Tronçon de gauche (1) isolé : Fi

y

R2 (x) 1

G

G0

x

MG2 (x) 1

z S(x)

Ri Action du tronçon de droite (2) sur le tronçon de gauche (1) = torseur des efforts internes de cohésion :

⎧R (x) ⎫ ⎪ {τ(2 1)}= ⎪⎨ ⎬ ( x ) M ⎪ G ⎪⎭ G⎩ 2 1

2 1

2°/ Définition des sollicitations Par définition, on appelle sollicitations les projections sur les axes (G, x), (G, y) et (G, z) des vecteurs R21 (x) et MG21 (x) : R2 (x) : résultante générale des efforts de cohésion, 1 y

Vy (x)

R2 (x)

V(x)

1

N(x) x

G

N ( x ) : effort normal

Vz (x)

R2 (x) V y ( x ) : effort tranchant selon y z

1

VZ ( x ) : effort tranchant selon z

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Sollicitations

TS

MG2 (x) : moment résultant au point G des efforts de cohésion, 1

y

Mf y(x) MG2 (x) 1

Mf (x)

x

G

T(x)

Mf z (x)

T( x ) : moment de torsion M

G2 1

z

(x) M f y ( x ) : moment fléchissant autour de y M f Z ( x ) : moment fléchissant autour de z

Le torseur des efforts internes de cohésion s’écrit alors :

⎧N(x) T(x) ⎫ ⎪ ⎪ V ( x ) M ( x ) ⎨ y ⎬ f y ⎪ ⎪ V ( x ) M ( x ) f Z ⎭ G⎩ Z

⎧R (x) ⎫ ⎪ {τ(2 1)}= ⎪⎨ ⎬= ⎪ MG (x)⎪⎭ G⎩ 2 1

2 1

Ce torseur correspond à un torseur d’encastrement.

= N(x).x + Vy (x).y + VZ (x).z (x) = T(x).x + Mf y (x).y + Mf Z (x).z

R2 (x) 1

MG2

1

REMARQUE : les problèmes que nous sommes amenés à traités sont des problèmes plan, tous les efforts extérieurs étant situés dans le plan (O, x, y). Dans ces conditions, les seules composantes non nulles du torseur des sollicitations sont : - l’effort normal N(x), - l’effort tranchant suivant y, Vy(x), que nous noterons V(x), - le moment fléchissant suivant z, Mfz(x), que nous noterons M(x), représentés de la façon suivante : y

Fi

M(x)

V( x )

G

N( x )

x

Ri

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Sollicitations

TS

3°/ Conventions de signe Etudions l’équilibre des 2 tronçons de poutre séparés par la section S(x) : Forces extérieures de y

gauche : FExt

1

R2 (x)

Forces extérieures

1

G0

de droite : FExt

G x S0

S

R1 (x)

MG 2 (x)

2

= −R (x) 2

1

1

G

z

Tronçon de gauche (1) isolé

MG 1 (x) = 2

2

S

− MG (x) 2

G1

S1

1

Tronçon de droite (2) isolé

- Equilibre du tronçon 1 :

⎧R2 ( x ) + ∑ FExt = 0 ⎪⎪ 1 1 ⇒⎨ ⎪ M 2 ( x ) + ∑ M G ⎛ FExt ⎞⎟ = 0 ⎜ G ⎪⎩ ⎝ 1 ⎠ 1

⎧R2 ( x ) = −∑ FExt ⎪⎪ 1 1 ⇔⎨ ⎪ M 2 ( x ) = −∑ M G ⎛ FExt ⎞⎟ ⎜ G ⎪⎩ 1 ⎝ 1 ⎠

⎧R2 ( x ) = − Somme des forces à gauche de la sec tion S ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪ MG 2 ( x ) = − Somme des moments des forces à gauche de la sec tion S 1 ⎩ - Equilibre du tronçon 2 :

⎧R1 ( x ) + ∑ FExt = 0 ⎪⎪ 2 2 ⇒⎨ ⎪ M 1 ( x ) + ∑ M G ⎛ ⎜ FExt ⎞⎟ = 0 ⎪⎩ G 2 ⎝ 2 ⎠

⎧R1 ( x ) = −∑ FExt ⎪⎪ 2 2 ⇔⎨ ⎪ M 1 ( x ) = −∑ M G ⎛ ⎜ FExt ⎞⎟ ⎪⎩ G 2 ⎝ 2 ⎠

⎧R2 ( x ) = −R1 ( x ) ⎪ 1 2 Principe des actions mutuelles ⇒ ⎨ ⎪ MG 2 ( x ) = − MG 1 ( x ) 1 2 ⎩ ⎧R2 ( x ) = + ∑ FExt ⎪⎪ 1 2 ⇒⎨ ⎪ M 2 ( x ) = +∑ M G ⎛ ⎜ FExt ⎞⎟ ⎪⎩ G 1 ⎝ 2 ⎠ Page 54/ 106


Sollicitations

TS

⎧R2 ( x ) = Somme des forces à droite de la sec tion S ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪ MG 2 ( x ) = Somme des moments des forces à droite de la sec tion S 1 ⎩ REMARQUE : aucune convention n’est ni normalisée ni imposée. Les conventions de signe varient d’un livre à l’autre, d’un pays à l’autre, etc. Quelle que soit la convention retenue, on dispose toujours de deux possibilités (au signe près) pour déterminer les efforts internes : - somme des forces à droite de la coupure, - somme des forces à gauche de la coupure.

4°/ Sollicitations simples ou composées Si une seule composante N, V, T, ou Mf existe alors que les autres sont nulles, on dit qu’on a une sollicitation simple. Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit qu’on a une sollicitation composée. Cas

Schéma

N

Composantes V T

Mf

Traction

N

0

0

0

Cisaillement

0

V

0

0

Torsion

0

0

T

0

Flexion pure

0

0

0

Mfz

Flexion simple

0

Vy

0

Mfz

Flexion composée

N

Vy

0

Mfz

Flexion + Torsion

0

Vy

T

Mfz

Flambement ou Flambage

N

0

0

Mfz

Flexion déviée

Vy

Mfz

Vz

Mfy

0

Observations

s e l p m i s s n o i t a t i c i l l o S

Non traité en BTS

s e é s o p m o c s n o i t a t i c i l l o S

Non traité en BTS

REMARQUE : d’autres cas sont possibles : flexion+torsion+traction, traction+cisaillement, torsion+cisaillement…

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Sollicitations

TS

5°/ Diagrammes des sollicitations. La finalité de la théorie des poutres est de connaître le comportement des particules dans toute section d’une poutre. La première étape consiste à exprimer les sollicitations dans une section S(x) quelconque de la poutre en fonction : - des actions extérieures (connues), - des actions de liaisons (calculées en appliquant le PFS à la poutre entière). Connaissant les sollicitations dans une section quelconque S(x), il suffit alors de faire varier x le long de la poutre pour connaître les sollicitations dans toutes les sections. On obtient alors les diagrammes des sollicitations N, V et M en fonction de x.

Exemple : 25 kN 5 kN/m

Considérons pour exemple la poutre encastrée ci-contre soumise à des forces extérieures telles qu’elles sont représentées :

10 kN

1,5 m

0,3 m

Pour un problème dans le plan (O, x, y), le torseur est de la forme :

⎧N(x) 0 ⎫ {τ(2/1)}= ⎪⎨V(x) 0 ⎪⎬ ⎪ 0 M(x)⎪ ⎭ G⎩ Avec les conventions choisies, on obtient pour l’équilibre des tronçons de droite et de gauche : N(x) = Σ des forces horizontales à droite de la coupure = - Σ des forces horizontales à gauche de la coupure V(x) = Σ des forces verticales à droite de la coupure = - Σ des forces verticales à gauche de la coupure M(x) = Σ des moments des forces à droite de la coupure = - Σ des moments des forces à gauche de la coupure Page 56/ 106


Sollicitations

TS

Tracé des diagrammes des sollicitations : 25 kN

y

Le P.F.S. nous permet de déterminer les actions de liaison. Connaissant alors toutes les actions extérieures appliquées à la poutre, on peut s’intéresser aux sollicitations.

5 kN/m

10 kN

10 kN

x

34 kN 45,6 kN.m 1,5 m

0,3 m

Les diagrammes sont une représentation graphique des valeurs des sollicitations. Pour une abscisse x quelconque, on peut lire les valeurs des sollicitations. Donc, pour tracer ces diagrammes, on va faire varier l’abscisse x de la coupure, et on va calculer à chaque fois les valeurs des sollicitations. EFFORT NORMAL : y 10 kN

10 kN

x

x 1,5 m

Quel que soit x, on a

0,3 m

N(x) = Σ des forces horizontales à droite de la coupure N(x) = -10 kN

DIAGRAMME DE L’EFFORT NORMAL : N(x) [ kN ] 1,8

-

x [m]

- 10

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Sollicitations

TS

EFFORT TRANCHANT :

25 kN

y 5 kN/m

x x 34 kN

1,5 m

0,3 m

Il faut distinguer le cas où x > 1,5 m et x < 1,5m : x > 1,5 m :

V(x) = Σ des forces verticales à droite de la coupure V(x) = - 5 kN/m répartis sur (1,8 – x) m V(x) = - 5 × (1,8 – x) = 5 x - 9 C’est l’équation d’une droite : le diagramme est linaire. On a besoin de 2 points pour tracer le diagramme, 2 valeurs aux limites x = 1,8 m ⇒ V(1,8) = 0 x = 1,5 m ⇒ V(1,5) = - 1,5 kN

x < 1,5 m :

V(x) = Σ des forces verticales à droite de la coupure V(x) = [ - 5 kN/m répartis sur (1,8 – x) m ] + [ - 25 kN ] V(x) = - 5 × (1,8 – x) -25 = 5 x -34 C’est l’équation d’une droite : le diagramme est linaire. On a besoin de 2 points pour tracer le diagramme, 2 valeurs aux limites x = 1,5 m ⇒ V(1,5) = - 26,5 kN x = 0 m ⇒ V(0) = -34 kN

DIAGRAMME DE L’EFFORT TRANCHANT : V(x) [ kN ] 1,5

1,8

x [m]

-

- 1,5 - 26,5

- 34

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Sollicitations

TS

MOMENT FLECHISSANT 25 kN

y 5 kN/m

10 kN

10 kN

x

x 34 kN 45,6 kN.m 1,5 m

0,3 m

Il faut également distinguer le cas où x > 1,5 m et x < 1,5m : x > 1,5 m : M(x) = Σ des moments des forces à droite de la coupure M(x) = - 5 kN/m répartis sur (1,8 – x) m avec un bras de levier de [(1,8 – x)/2] m M(x) = [ - 5 (1,8 – x)² / 2 ] M(x) = - 2,5 x² + 9 x – 8,1 C’est l’équation d’une parabole. On peut calculer les 2 valeurs aux limites : x = 1,8 m ⇒ M(1,8) = 0 x = 1,5 m ⇒ M(1,5) = -0,225 kN x < 1,5 m : M(x) = Σ des moments des forces à droite de la coupure M(x) = [ - 5 (1,8 – x)² / 2 ] + [ - 25 kN avec un bras de levier de (1,5 – x ) m ] M(x) = - 2,5 x² + 34 x – 45,6 C’est l’équation d’une parabole. On peut calculer les 2 valeurs aux limites : x = 1,5 m ⇒ M(1,5) = -0,225 kN.m x = 0 m ⇒ M(0) = -45,6 kN.m DIAGRAMME DU MOMENT FLECHISSANT : M(x) [ kN.m ] 1,5

1,8

x [m]

-

- 0,225

- 45,6 Page 59/ 106


Sollicitations

TS

6°/ Relations entre q(x), V(x) et M(x). Considérons un tronçon de poutre chargé par une charge répartie q(x) (éventuellement variable) et délimité par deux sections S et S1 infiniment voisines, distantes de dx. y q(x)

V(x)+dV(x) M(x)

G

G1 x M(x)+dM(x)

V(x) S x

S1 x+dx

dV(x) et dM(x) représentent les variation élémentaires de V(x) et de M(x) sur la distance dx.

Equilibre du tronçon :

⎧− V( x ) + q( x ).dx + V( x ) + dV( x ) = 0 ⎧∑ Fy = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ dx ² ⎪⎩∑ M G F = 0 ⎪⎩− M( x ) + V( x ).dx − q( x ). 2 + M( x ) + dM( x ) = 0 1

(1)

()

⇒ q( x ) = −

(1) ( 2)

dV ( x )

= − V' ( x ) , dx soit V ' ( x ) = −q ( x ) ⇒ la dérivée de l’effort tranchant est égale à - q(x).

Si on néglige dx², infiniment petit du deuxième ordre : dM ( x ) = −M' (x) , ( 2) ⇒ V( x ) = − dx soit M' ( x ) = − V( x ) ⇒ la dérivée du moment est égale à -(l’effort tranchant). (1) + (2)

⇒ q( x ) =

d ²M(x )

= M' ' (x ) , dx ² soit M ' ' ( x ) = q ( x ) ⇒ la dérivée seconde du moment est égale à q(x).

REMARQUE 1 : s’il n’y a pas de charge entre S et S 1 : (1) ⇔ −V( x ) + V( x ) + dV( x ) = 0 ⇒ dV( x ) = 0 , l’effort tranchant est constant. (2) ⇔ −M( x ) + V ( x ).dx + M( x ) + dM( x ) = 0 dM ( x ) ⇒ V(x ) = − = − M ' ( x ) , la relation reste exacte dx Page 60/ 106


Sollicitations

TS

REMARQUE 2 : s’il y a une force concentrée entre S et S 1 : kdx

y F

V(x)+dV(x) M(x)

G

G1 x M(x)+dM(x)

V(x) S x

S1 x+dx

(1) ⇔ − V( x ) − F + V( x + dx ) = 0 ⇔ V( x + dx ) = V( x ) + F il y a une variation brutale de l’effort tranchant. (2) ⇔ −M( x ) + V( x ).dx + F.kdx + M( x ) + dM( x ) = 0 dM ( x ) = −M' (x) , ⇒ si on néglige kdx, on a encore : V( x ) = − dx et (1) indique qu’il y a une discontinuité dans la valeur de dM(x)/dx, donc un point singulier dans le diagramme de M(x).

REMARQUE 3 : on obtient des résultats analogues avec une poutre plane courbe supportant une charge quelconque, en se référant à l’abscisse curviligne (s) des sections : dV(s) q (s) = − ds dM (s) V(s) = − ds d ² M (s) q (s) = ds ²

Conséquences : dans un tronçon de poutre non chargé, V est constant et M varie linéairement. Si V est négatif, M est croissant et inversement. si le tronçon supporte une charge uniforme, V varie linéairement et M est une parabole. si V s’annule dans une section, M passe par un extremum. Dans le sens des x croissants, si V passe d’une valeur 0< à une valeur >0, M est maximum.

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Sollicitations

TS

. ) X S ( E M L P

T M E ) E X X

( E V , ) X ( N

E D S E M M A R G A I D S E D E C A R T U A S E L I T U S T E E C S N E E T U N Q A E T S R N O O P C M I S N O I T A L E

R

S N O I T A L E

R

. t n , , , e t a t r n s n i s i a a a s t é s o s n i r n i c o l é o t r c s c d t e t s ) s t s e x e e ) ( ) ) x V ( x ( x ( V s V V r s s s o r r r l o a l o l o l a t e a a 0 c 0 0 = = < > ) ) ) ) x ( x ( x ( x ( q q q q i i i i S S S S

) x ( q = ) x ( ’ V

t n o d , ) x m ( u ] M m ) e e x r b t ) r ( x e u V r e o u c 1 n [ p u a l , . n n r o a a + - à t i p u u x e . t a a e e t : l n t s - + f , t , n e s s ( e a a u u g e r n s t i p d d n e s n a a i a l ) a é s e t o e t s x s a s s i n i r ( a t s c s l n l o a é r a r n o t c d M p p o e i c s t t z s ) ) c e s s r t r x x a s ) e e l o ( r o ( t e x ) ) : h a ) V V t ’ ) ( x x e d d e l x M u l ( ( l ( e c a n u t n s M M p e M r s s a n n a u u n n v o s a o r r q r l a q o é z o l o ’ i i i o a l , t s l r e a a ) o x n t a t a i n n e x h m m i 0 c 0 0 ( o i e = < > V t t t p r o = ) s s ) n e e t ) x ) e d x x u x ( ( ( ) t n e o l ( g ) g a x x v V V V u n ( ( n a n ’ a i i i i t S S S S Q ( M M E l

) x ( V = ) x ( ’ M

e e é é n n r r u u o o t t t t s s e e ) ) x ( x ( M M e e b r b r u u o o c c a a l l e e d d é é t t i i v v a a c c n n o o c c a l a l s s r r o o l l a t a 0 u 0 s a < a > h b ) e ) e x l x ( s ( l q q s r i r e i e S v S v

) e l o b r e p y ) h ( e l d o b + a r x a c ) ( p e + r i c ² a x é + b n x i + l ( b 3 x b + a + ² x = a x ) a = x ( = ) x M ) ( x ( r M s o M s l r a s o r l e o r l a i a t e a 0 c é n = = i l ) ) ) x ( x ( x ( q q q i i i S S S

) x ( q = ) x ( ’ ’ M

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Caractéristiques géométriques des sections

TS

Chapitre 5 - Caractéristiques géométriques des sections SOMMAIRE

I - Centre de gravité ................................................................................................................. 64 1°/ Définition.................................................................................................................................... 64 2°/ Théorèmes de Guldin. ............................................................................................................... 65

II - Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan. ...................... 66 1°/ Définition.................................................................................................................................... 66 2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés ........................................................ 66 3°/ Moment statique des surfaces composées................................................................................ 66

III - Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan .............. 66 1°/ Définition.................................................................................................................................... 67 2°/ Théorème de Huygens............................................................................................................... 67 3°/ Moment quadratique des surfaces composées ........................................................................ 68 4°/ Rayon de giration ...................................................................................................................... 68

IV - Applications...................................................................................................................... 68 1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. ........................................... 68 2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés..................................... 68 3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. ............................ 69

Formulaire Centre de gravité.................................................................................................. 70 Formulaire Moment quadratique ........................................................................................... 71

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TS

I - CENTRE DE GRAVITE y

1°/ Définition Considérons, dans l’espace, un solide comme étant constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, M n, de masse respective dm1, dm2, …, dm i, …, dmn. Ce solide est de volume V.

Mi M1

Mn G

O

x

z

Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que :

∫

GM i .dm = 0

V

G est aussi appelé centre de masse.

Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition sous une forme plus facile à exploiter : GM i

⇒ ∫V

= GO + OMi = OM i − OG

(OM − OG .dm = 0 i

⇔ ∫V OM i .dm − ∫V OG .dm = ⇔ ∫V OM i .dm −OG ∫Vdm = ⇔ ∫V OM i .dm −OG .m =

⇔ OG =

0

0

∫ OM .dm i

V

0

(1)

m

Soient xi, yi et zi les coordonnées du point Mi. On obtient à partir de la relation (1) les coordonnées xG, yG et zG du centre de gravité G :

xG

=

∫

V

x i .dm

yG

m

Cas où le matériau est homogène : devient : →

xG

=∫

V

=

∫

V

zG

m

ρ = cte

=∫

x i .dV

yi .dm

V

avec m

= ρV et

∫

V

zi .dm m

= ρdV . La relation

dm

∫ =

yi .dV

=

V

z i .dV

yG zG V V V Les coordonnées du centre de gravité sont alors indépendantes de la nature du matériau.

Cas où le solide est d’épaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du solide. La relation devient : →

xG

=

∫∫ x .dS S

i

yG

=

S Dans ce cas, G est appelé centre de surface.

∫∫ y .dS S

i

S

zG

=

∫∫ z .dS S

i

S

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TS

Propriété : Si un solide possède un plan, un axe, ou un centre de symétrie, son centre de gravité est situé respectivement dans le plan de symétrie, sur l'axe de symétrie ou au centre de symétrie.

2°/ Théorèmes de Guldin. 1er théorème : « La surface engendrée par une ligne plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le traversant pas est égale au produit de la longueur de la ligne par la longueur de la circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. » Exemple : Détermination du centre de gravité d’un demi-cerceau :

R G ZG Surface décrite par la rotation du demi-cerceau = 4 π R² Longueur de la ligne = π × R Circonférence décrite par G = 2 π zG ⇒ 4 π R² = π R × 2 π zG 2R ⇔ zG =

π

ème

2 théorème : « Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le traversant pas est égale au produit de la surface par la longueur de la circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. » Exemple : Détermination du centre de gravité d’une plaque semi circulaire :

R G ZG Volume engendré par la rotation de la plaque = Surface du demi disque =

⇒

4 3

π R3 =

πR

πR

2

2 4R

⇔ zG =

4 3

π R3

2

2 × 2 π zG

3π

R EMARQUE : Les théorèmes de Guldin ne peuvent pas servir à la détermination des centres de gravité des volumes.

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TS

II - MOMENT STATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN. 1°/ Définition Considérons une surface plane S constituée de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de surface élémentaire dS1, dS2, …, dS i, …, dSn et un axe Δ situé dans son plan.

dSi

Mi

ri

S

Théorème 1 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe situé dans son plan est égal au produit de la surface par la distance de son centre de gravité à l’axe considéré. On appelle moment statique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :

WΔ (S) =

∫∫ r dS S

i

ri étant la distance de dSi à Δ.

2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés Théorème 2 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe (O, x) de son plan est égal au produit de la surface par la coordonnée yG du centre de cette surface. W( O , x ) (S) = yG .S

Soit dans un repère (O, x, y) :

Démonstration : y

Mi

Moment statique de la surface plane S par rapport à l’axe (O, x) :

dSi

Wx (S) = yi

S

yG O

W( O, y ) (S) = x G .S

et

∫∫ y dS⎫⎪⎪ S

y .dS = ∫∫ S

i

S

i

⎬ ⇒ Wx (S) = yG .S ⎪ ⎪⎭

x

Théorème 3 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan passant par le centre de cette surface est nul. La démonstration est évidente : si y G

= 0 alors

W( O , x ) (S) = 0

3°/ Moment statique des surfaces composées Le moment statique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, S n, est égal à la somme arithmétique des moments statiques des n surfaces :

WΔ (S) = WΔ (S1 ) + WΔ (S2 ) + ... + WΔ (Sn ) Page 66 / 106



TS

III - MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN

1°/ Définition Mi

dSi

Considérons toujours la même surface plane S constituée de n points matériels Mi, de surface élémentaire dSi, et un axe Δ situé dans son plan.

ri

S

On appelle moment quadratique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :

I Δ (S) =

∫∫

2

ri étant la distance de dSi à Δ.

ri dS

S

Dans un repère orthonormé (O, x, y) :

I (O, x ) (S) =

∫∫ y S

2 i

I(O, y ) (S) =

dS et

∫∫ x S

2 i

dS

2°/ Théorème de Huygens Théorème de Huygens : « Le moment quadratique d’une surface plane S par rapport à un axe quelconque Δ de son plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à un axe ΔG parallèle à Δ et passant par le centre de gravité G de la surface S, augmenté du produit de l’aire de la surface S par le carré de la distance entre les deux axes. » G

Théorème de Huygens :

Mi

IΔ (S) = IΔ G (S) + S.d

dSi G

ri G

2

S d

Démonstration : Par définition : I Δ (S) =

∫∫

S

2

ri dS

Remplaçons ri par sa valeur ri

= ri + d G

:

⇒ IΔ (S) = ∫∫S (ri + d )2 dS G

⇔ IΔ (S) = ∫∫S (ri 2 + 2ri d + d 2 )dS G

⇔ IΔ (S) = ∫∫S ri

2 G

G

.dS + 2d

∫∫ r .dS = 0 définition du centre de gravité⎫⎪ ⇒ I (S) = I ⎬ dS S surface de la sec tion considérée = ⎪⎭ ∫∫ S

iG

Δ

ΔG

∫∫ r S

iG

.dS + d 2

∫∫ dS S

(S) + S.d 2

S

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Remarque : le moment quadratique caractérise l’aptitude d’une section à tourner autour d’un axe : - plus le moment quadratique est grand, plus la section a du mal à tourner autour de l’axe, - plus l’axe s’éloigne du centre de gravité, plus le moment quadratique est grand.

3°/ Moment quadratique des surfaces composées Le moment quadratique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S 1, S2, …, Sn, est égal à la somme arithmétique des moments quadratiques des n surfaces :

IΔ (S) = IΔ (S1 ) + IΔ (S2 ) + ... + I Δ (Sn )

4°/ Rayon de giration Il est défini comme la racine carrée du moment d’inertie divisée par l’aire S de la surface :

ix

Ix

=

S

ou

Ix

= ix 2 ⋅ S ,

de même i y

=

Iy

ou

S

Iy

= iy2 ⋅ S .

IV - APPLICATIONS 1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. Par définition :

W( O , x ) (S) =

S=b×h

ici,

et

∫∫

y

yi dS = yG .S 2

S

yG

=

h 2

b

, G

W( O , x ) (S) =

d’où

h

bh 2 2 O

x

2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. y

y’

I(O, x ) (S) =

∫

b

∫

h

0

h

G

x’

0

O

x

S

2

∫∫

S

yi dx.dy = 2

b

∫ ∫ 0

dx

h

0

y 2dy

= [x ]0b = b h

dS

y

dx

∫∫

yi dS =

⎡ y3 ⎤ h 3 y dy = ⎢ ⎥ = ⎣ 3 ⎦0 3 2

x

b

d’où

I(O , x ) (S) =

bh 3 3

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TS

3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. I Δ (S) = I Δ G (S) + S.d 2

On applique le théorème d’Huygens :

⇒

I ( O , x ) (S) = I ( G , x ') (S) + S.y G

⇔

I( G , x ') (S) = I( O , x ) (S) − S.y G

⇔ ⇔

I ( G , x ') (S) =

I( G , x ') (S) =

bh 3 3

2

2

h ⎞ − (bh ).⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

2

bh 3 12

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FORMULAIRE : CENTRE DE GRAVITE

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FORMULAIRE : MOMENT QUADRATIQUE

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Traction - Compression

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Chapitre 6 - Traction - compression Etude de l’effort normal SOMMAIRE

I - Sollicitation étudiée : l’effort normal ................................................................................ 73 II - Loi de comportement des matériaux. ............................................................................... 73 1°/ Essai de traction sur une éprouvette en acier doux................................................................ 73 2°/ Analyse de la courbe contrainte - déformation - Loi de Hooke............................................. 74 3°/ Contraction ou dilatation latérale - Coefficient de Poisson . ............................................... 75 4°/ Généralisation............................................................................................................................ 76

III - Contrainte due à l’effort normal..................................................................................... 76 1°/ Notion de contrainte.................................................................................................................. 76 2°/ Contrainte due à l’effort normal.............................................................................................. 77

IV - Déformations dues à l’effort normal............................................................................... 78 V - Calcul de la variation de longueur d’une poutre droite soumise à un effort normal..... 79 VI - Dimensionnement des éléments soumis à un effort normal. ......................................... 79 1°/ Condition de résistance............................................................................................................. 79 2°/ Condition de déformation......................................................................................................... 79

VII - Quelques ordres de grandeurs ....................................................................................... 79

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TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE : L’EFFORT NORMAL On considérera qu’une poutre est sollicitée en traction simple ou en compression simple lorsque les éléments de réduction du torseur des efforts internes de cohésion se ramènent à un seul effort normal N :

N(x) ≠ 0

T(x) = 0

Vy (x) = 0 Mf y (x) = 0

y

VZ (x) = 0 Mf Z (x) = 0 z

G

N( x )

N(x) > 0 : traction simple, N(x) < 0 : compression simple

S(x)

x

⎧ N(x) ⎪0 { ( 2 1 ) } τ = ⎨ Torseur des efforts internes de cohésion : ⎪0 G⎩

0⎫

⎪ 0⎪ ⎭ 0⎬

II - LOI DE COMPORTEMENT DES MATERIAUX. 1°/ Essai de traction sur une éprouvette en acier doux. Considérons une barre d’acier doux de longueur initiale L0 et dont la section initiale S0 est constante sur la longueur L0. Soumettons cette barre à une sollicitation de traction en lui appliquant à chaque extrémité un effort F : x

x

F F L

Essai de traction sur une éprouvette d’acier doux.

S0 0

0

L

L

- F Représentation simplifiée d’une machine d’essai de traction

-F Page 73 / 106



TS

On peut enregistrer à l’aide de comparateurs l’allongement ΔL de l’éprouvette en fonction de l’intensité de l’effort F. ΔL est appelé l’allongement absolu. Pour pouvoir comparer les caractéristiques mécaniques des matériaux, celles-ci doivent être établies indépendamment des sections S 0 et longueurs L0 des éprouvettes. Ainsi, on reporte sur un graphique : - en abscisse :

l’allongement relatif ε x

=

ΔL L0

(ε = lettre grecque « epsilon »),

ε est sans unité puisque c’est le rapport de deux longueurs, - en ordonnée : la contrainte

σ=

F S0

(σ = lettre grecque « sigma »).

σ est l’effort par unité de surface en N/mm², ou MPa. On obtient alors la « courbe contrainte - déformation » du matériau de l’essai qui a l’allure suivante :

σ = FS 0 C

r

D

A

σ e = Fe S

B

0

Rupture Striction

Courbe contrainte déformation de l’acier doux

O

ε x = ΔL L

tan-1 = E

0

2°/ Analyse de la courbe contrainte - déformation - Loi de Hooke. - Partie OA : la courbe est sensiblement rectiligne, ce qui signifie que la déformation est proportionnelle à l’effort exercé (ou que l’allongement relatif est proportionnel à la contrainte). (OA = droite de pente E) Dans cette zone, si on décharge l’éprouvette, elle revient à sa longueur initiale, comme un ressort. On dit que le matériau a, dans cette phase, un comportement élastique linéaire. F

ΔL

σ = E×ε ou S L E est le module d’Young, ou module d’élasticité longitudinal (Ex), du matériau et caractérise la rigidité du matériau. E s’exprime en MPa

Ceci se traduit par la loi de Hooke :

= E×

Le point A marque la fin de la zone élastique de la courbe. La contrainte

σe = Fe S

correspondante est appelée la limite d’élasticité. Page 74 / 106



TS

- Partie AD : au-delà du point A, on rentre dans le domaine des grandes déformations, le domaine plastique, où les allongements ne sont plus proportionnels aux efforts. A ce stade, si on décharge l’éprouvette, celle-ci ne retrouve pas sa longueur initiale, on constate un allongement résiduel, c'est-à-dire une déformation permanente. - Entre A et B : l’éprouvette s’allonge alors que l’intensité de la charge ne varie pratiquement pas, cette partie de la courbe est appelée « palier plastique ». -Au-delà de B : on observe un allongement important pour une faible augmentation de la contrainte. La courbe se relève jusqu’à un maximum C qui correspond à la limite de rupture r. A ce stade, on observe une diminution de la section de la barre dans la zone où va se produire la rupture, c’est le phénomène de striction. Puis la rupture intervient (point D).

3°/ Contraction ou dilatation latérale - Coefficient de Poisson . Lors d’un essai de traction ou de compression sur une poutre, celle-ci subit une déformation longitudinale εx , respectivement un allongement ou un raccourcissement, mais aussi une déformation latérale ε ⊥ perpendiculairement à la direction de l’effort, respectivement une contraction ou une dilatation. x

x

F L

d0

Δd

F

L

d

Δd

2

Δd

2

d0

Poutre avant déformation

Δd

2

2

d

0

L

0

L

Poutre avant déformation

-F

-F

Cas de la traction Allongement longitudinal ; L > 0 Contraction latérale ; d < 0

Déformations longitudinale

εx =

ΔL L0

Cas de la compression Rétrécissement longitudinal ; L < 0 Dilatation latérale ; d > 0

et transversale

ε⊥ =

Le coefficient ν est le rapport de ces deux déformations :

Δd d0

.

ν=−

ε⊥ εx

ν est compris entre 0,1 et 0,5 (0,3 pour les métaux et 0,15 pour les bétons). Page 75 / 106



TS

4°/ Généralisation. Pour définir les caractéristiques mécaniques des matériaux, on réalise des essais sur des éprouvettes : - traction directe sur les métaux, - traction par flexion, par fendage ou directe pour les mortiers et les bétons, -compressions sur les bétons, - traction, compression, flexion sur les bois. Tous ces essais font apparaître deux phases : - une phase de déformation élastique linéaire pour laquelle s’applique la loi de Hooke et où les déformations sont réversibles, - une phase de déformation plastique où les déformations sont partiellement permanentes. En résistance des matériaux, on fera l’hypothèse que l’on reste dans la phase élastique du matériau. Ces essais permettent de déterminer les caractéristiques suivantes : - limite d’élasticité : e , - contrainte de rupture : r , - module d’Young : E , - coefficient de Poisson : .

III - CONTRAINTE DUE A L’EFFORT NORMAL. 1°/ Notion de contrainte. Dans une section droite de poutre, les sollicitations sont les éléments de réduction des forces internes de cohésion au centre de gravité de la section. Elles permettent de savoir quelle est la section la plus sollicitée mais ne donnent aucune indication sur ce qu’il se passe en chaque point de la section. Pour cela, il faut introduire la notion de contraintes. d

d

d

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TS

Etudions une poutre dans laquelle nous effectuons une coupure imaginaire de section S et d’orientation quelconque : Isolons le tronçon 1 et divisons la section S en surfaces élémentaires dS infiniment petites. Ces surfaces, également appelées « facettes », sont orientées par deux vecteurs unitaires : - n : vecteur unitaire normal à la facette et dirigé vers l’extérieur de la coupure,

( ) = + π2 .

- t : vecteur unitaire tangent à la facette et tel que n , t

Sur chaque surface dS s’exerce des forces de cohésion df i 2 1 dues à l’action de 2 / 1. Le vecteur contrainte

(

) df Φ (M, n ) = lim dS

Φ M, n en un point M, sur la facette dirigée par le vecteur n , est

défini de la façon suivante :

i2 1

dS→ 0

.

Le vecteur contrainte est donc le rapport d’une force à une surface : l’intensité d’une contrainte est homogène à une pression et s’exprime en Pa. 6

5

1 Pa = 1 N/mm² ; 1 MPa = 10 Pa = 1 N/ mm² = 1 MN/m² ; 1 bar ≈ 10 Pa = 0,1 MPa = 1 daN/cm²

(

)

Φ M, n sur les directions n et t on obtient respectivement la contrainte normale et la contrainte tangentielle (τ = lettre grecque « tau »). Si on projette

Autour du point M, selon l’orientation θ de la coupure, il existe une infinité de facettes et le vecteur contrainte varie d’une facette à l’autre : il n’existe pas qu’une contrainte en un point mais une infinité, on parle d’état de contrainte.

2°/ Contrainte due à l’effort normal. Sur une section droite S (facettes perpendiculaires à la fibre moyenne), suffisamment éloigné des points d’application des charges extérieures, on peut considérer que l’action de l’effort normal est une répartition uniforme de contraintes normales :

y

σ= z

G (x)

N S

et

τ=0

N ( x ) x

Le signe de N est défini par rapport à l’orientation de l’axe (G, x) : - si N > 0 : effort normal de traction, σ > 0, - si N < 0 : effort normal de compression, σ < 0,

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TS

Remarque :

On peut expliquer ici l’hypothèse de Saint Venant vue dans le chapitre sur la théorie des poutres : « dans une section, loin des points d’application des charges concentrées, les contraintes ne dépendent que des éléments de réduction des forces situées à droites (ou à gauche) de la section. » ⇒ Près des points d’application des forces extérieures, la distribution des contraintes est perturbée par la proximité du chargement (cas a). ⇒ Loin des points d’application des forces extérieures, σ ne dépend que de la valeur de l’effort normal N(x), qui peut pourtant être dû à des chargements différents (cas b).

(a) (b)

IV - DEFORMATIONS DUES A L’EFFORT NORMAL y

Isolons un tronçon élémentaire de poutre de longueur dx. Ce tronçon est compris entre les sections Si et Si+1. Sous l’effet de l’effort normal, chaque fibre du tronçon subit une déformation dx.

Fibre

Si

Si+1

S’i+1

N( x )

N( x ) x

dx

dx

Chaque fibre de poutre étant considérée indépendamment l’une de l’autre, on leur applique N ( x ) Δdx σ = E ⋅ εx la loi de Hooke : ou = E⋅ S dx Tous les tronçons de fibres de longueurs dx subissent une déformation :

Δdx =

N ( x ) SE

dx

Ce qui signifie que la section se déplace parallèlement à sa position d’origine. Cela est conforme à l’hypothèse de Bernoulli selon laquelle les sections droites restent droites après déformation.

− Δdx correspond à un allongement si N(x) > 0 (Traction), − Δdx correspond à un raccourcissement si N(x) < 0 (Compression),

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TS

V - CALCUL DE LA VARIATION DE LONGUEUR D’UNE POUTRE DROITE SOUMISE A UN EFFORT NORMAL (DEPLACEMENTS). L’allongement (ou raccourcissement) total de la poutre est égal à la somme des allongements de tous les tronçons élémentaires qui la constituent : L N ( x ) dx Pour une poutre de longueur L : ΔL = 0 SE NL ΔL = Si N et S sont constants, on a : SE

∫

VI - DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS SOUMIS A UN EFFORT NORMAL. 1°/ Condition 1°/ Condition de résistance. Dans les conditions normales d’utilisation, on doit vérifier que la contrainte maximale dans la section la plus sollicitée de la poutre reste inférieure à une valeur admissible) fixée expérimentalement ou réglementairement. Souvent,

σ

est calculée à partir de la limite d’élasticité

σ max =

N max S

≤σ=

σ

σmax

(contrainte

σe :

σe γ

sécurité . avec (γ = lettre grecque « gamma ») un coefficient de sécurité. Attention : pour les poutres élancées soumises à de la compression, compression, la vérification de la flambement, condition de résistance ne suffit pas, il faut se mettre à l’abri d’une ruine par flambement, phénomène d’instabilité de forme qui peut intervenir pour des efforts inférieurs à ceux que peut supporter le matériau (voir chapitre sur le flambement).

2°/ Condition 2°/ Condition de déformation En fonction du type d’élément, l’allongement ou le raccourcissement ne doit pas dépasser une limite admissible, qui, si elle était dépassée, compromettrait l’utilisation de l’ouvrage : ΔL ≤ valeur fixée

VII - QUELQUES ORDRES DE GRANDEURS Il est bon de connaître quelques ordres de grandeur en ce qui concerne les caractéristiques mécaniques des matériaux les plus employés en Génie Civil : Béton :

- Résistance à la compression : f cj = 20 à 40 MPa (60 à 120 pour les BHP) - Résistance à la traction : f tjtj ≈ 1/10ème de f cj cj (f tj tj = 0,6 + 0,06.f cj cj en MPa) 1/3 - Module d’Young : E ≈ 35000 MPa (Eij ≈ 11000.(f cj cj) )

Acier HA pour béton :

- Limite élastique : f e = 500 MPa - Résistance à la rupture : σr = 550 MPa - Module d’Young : E s = 200000 MPa

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Flexion

TS

Chapitre 7 - Flexion pure Etude du moment fléchissant SOMMAIRE

I - Sollicitation étudiée : moment fléchissant .......................................... ................................................................ ............................... ......... 81 II - Les effets du moment fléchissant : étude expérimentale expérimentale..................... ............................................ ............................ ..... 82 III - Contraintes normales de flexion ............................................. ..................................................................... ........................................ ................ 82 1°/ Principe d’équivalence ....................................................... .............................................................................................................. ....................................................... 82 2°/ Calcul des contraintes contraintes normales de flexion .................................................... ............................................................................. ......................... 83 3°/ Condition de de résistance aux aux contraintes normales. normales. ..................................................... ................................................................ ........... 84

IV - Etude des déformations dues au moment fléchissant.............................................. fléchissant..................................................... ....... 85 1°/ Etude des déformations. ...................................................... ........................................................................................................... ..................................................... 85 2°/ Etude de la déformée................................................................................................................. déformée................................................................................................................. 85 3°/ Exemple de calcul de la déformée par la méthode de de la double intégration........................ 86

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Flexion

TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE : MOMENT FLECHISSANT On considérera qu’une poutre (on se limite à l’étude des poutres droites) est soumise à de la flexion pure lorsque les éléments de réduction des efforts internes de cohésion se ramènent à un seul moment fléchissant (autour de l’axe Gz par exemple) Mz :

N(x) = 0

y

T(x) = 0

Vy (x) = 0 My (x) = 0 VZ (x) = 0 MZ (x) ≠ 0 z

G

x

S(x)

M z (x )

⎧0 ⎪ { ( ) } 2 1 τ = ⎨0 Torseur des efforts internes de cohésion : ⎪0 G⎩

⎫ ⎪ 0 ⎬ Mz (x)⎪ ⎭ 0

Essai de flexion réalisé en laboratoire : P

y

B

A

Vy

P= 1000daN

C

D

x

[daN]

1000 +

x

-

- 100 1000 Mz [daN.m] 1000 +

P

y

P= 1000daN B

A

C 1m

D 1m

1m

x x

Flexion simple

Flexion pure

Flexion simple

Vy Mz

Vy = 0 Mz = cte

Vy Mz

0 0

0 0

Entre C et D, on peut étudier les effets du moment fléchissant seul.

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Flexion

TS

II - LES EFFETS DU MOMENT FLECHISSANT : ETUDE EXPERIMENTALE Reprenons l’exemple de la poutre de laboratoire précédente et précisons que : - la ligne moyenne de la poutre est rectiligne, - la section droite de la poutre est constante, - la poutre admet un plan de symétrie longitudinal, - toutes les forces appliquées à la poutre sont perpendiculaires à la ligne moyenne et contenues dans le plan de symétrie longitudinal, - les hypothèses de la théorie des poutres s’appliquent, notamment : on reste dans le domaine des petites déformations et la loi de Hooke s’applique. L’expérience montre qu’entre les points C et D, les fibres de la poutre soumise au chargement décrit précédemment, se déforment selon des arcs de cercles parallèles (on parle de flexion circulaire) :

⇒ la ligne moyenne GG’ et le plan Gxz correspondant ne subissent aucune déformation : on parlera donc de fibre neutre et de plan neutre. ⇒ les fibres situées au dessus du plan neutre raccourcissent : elles sont comprimées ⇒ les fibres situées en dessous du plan neutre s’allongent : elles sont tendues

III - CONTRAINTES NORMALES DE FLEXION 1°/ Principe d’équivalence Considérons une section droite S de poutre soumise à de la flexion composée (N≠0, Vy≠0, Mz≠0) : Sur une facette infiniment petite dS de cette section s’exerce une force de cohésion df , ce qui correspond à une contrainte :

Φ=

df

. dS z Cette contrainte est la somme : - d’une composante perpendiculaire à la facette σx (contrainte normale), - d’une composante tangentielle τ (contrainte de cisaillement).

y

Vy ( x ) τ M z (x)

dS

df

ds

σx

G

N (x ) S(x)

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x


Flexion

TS

L’action des forces de cohésion sur la section se réduit en G au torseur :

⎧ N(x) 0 ⎫ {τ(2 1)}= ⎪⎨Vy (x) 0 ⎪⎬ ⎪ 0 M (x)⎪ z ⎭ G⎩ Le principe d’équivalence exprime juste le fait que les sollicitations sont les éléments de réduction des forces élémentaires df qui s’exercent sur chacune des facettes dS : N(x ) =

∫∫ σ S

x

⋅ dS

Vy (x ) =

∫∫ τ ⋅ dS

M z (x ) =

S

∫∫ − y ⋅ σ S

x

⋅ dS

2°/ Calcul des contraintes normales de flexion Le système des forces extérieures se réduit à M z qui est porté par Gz, axe principal de la section S. Nous verrons plus tard pourquoi cette précision est importante.

y P z G

M z (x)

dS

Considérons une surface élémentaire dS de la section S, dS est centrée sur le point P de coordonnées (y ; z) :

x

S(x)

- le principe d’équivalence donne : (1) (2)

∫∫ σ ⋅ dS , avec ici N(x) = 0 M (x ) = ∫∫ − y ⋅ σ ⋅ dS

N(x ) = z

Position après déformation

x

S

- d’après le principe de Navier - Bernoulli, les sections droites, planes avant leur déformation, restent planes après leur déformation. Donc la déformation des fibres est proportionnelle à y : ΔL = ε x = k 1 + k 2 y (équation d’une droite) L - de plus la loi de Hooke donne :

σx = E ⋅ εx

- l’expression (1) donne alors :

∫∫ σ S

x

(S) Raccourcissements relatifs

G y

x Allongements relatifs

L

L

Analyse des déformations longitudinales consécutives à la flexion.

σx = E(k 1 + k 2 y) = K 1 + K 2 y

⇒ on remarque que

y

x

S

(S’)

d’où

Position avant déformation

⋅ dS = ∫∫S(K 1 + K 2 y)dS = K 1S + K 2 ∫∫SydS = 0

∫∫ ydS est le moment statique de la section par rapport à Gz, donc S

que ce terme est nul (voir chapitre « caractéristiques géométrique d’une section »). Il reste alors : K 1A = 0 ⇒ K1 = 0 - l’expression (2) donne : M z (x ) =

⇒ on remarque que

∫∫ y dS = I 2

S

Gz

∫∫ − y ⋅ σ S

x

⋅ dS = −K 2 ∫∫Sy2dS

, moment quadratique de S par rapport à l’axe Gz.

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D’où :

K 2

Flexion

Mz

=−

I Gz

σx = K 2 y

, et il reste :

σx = −

Donc, finalement :

Mz I Gz

TS

y

⇒ σx est proportionnel à l’ordonnée y du point considéré, ⇒ σx = 0 pour y = 0 : (G, x, z) est le plan neutre et (G, z) est l’axe neutre. y y

G

G

z

x

x

(S) σ

Représentation de la répartition des contraintes normales dans une section droite S d’une poutre fléchie.

⇒ si le moment M z est positif : - σx > 0 si y < 0 (traction dans les fibres situées sous l’axe neutre), - σx < 0 si y > 0 (compression dans les fibres situées au-dessus l’axe neutre), et réciproquement si M z est négatif. y x< 0 : Com ression y

x

> 0 : Traction x

x < 0 : Compression x

x

> 0 : Traction Moment fléchissant négatif

Moment fléchissant positif

3°/ Condition de résistance aux contraintes normales. Dans les conditions normales d’utilisation, on doit vérifier que la contrainte maximale reste inférieure à une valeur limite Souvent

σ

σ

fixée expérimentalement ou réglementairement.

est calculée à partir de la limite d’élasticité

σmax = − avec

Mz ⋅ v IGz

≤σ=

σmax

σe :

σe γ

γ : coefficient de sécurité v : ordonnée de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre ; v = ±

h 2

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Flexion

TS

La relation précédente peut se mettre également sous la forme :

Le rapport

σmax = −

Mz IGz

≤σ=

v

σe γ

I Gz

est appelé module de flexion élastique, sa valeur est donnée dans les v catalogues de profilés métalliques commerciaux. Dimensionnement pratique d’une section :

L’inéquation précédente peut se mettre sous la forme :

I Gz

v

≥−

Mz

σ

Lorsque Mz et σ sont définis, il reste deux groupes d’inconnues : - la forme et les proportions de la section, - ses dimensions. En général, on choisit la forme et les proportions de la section et l’inéquation permet de déterminer une dimension. 3 ⇒ 1 inconnue a, Exemples : - section carrée : I/v = a /6 3 - section circulaire : I/v = π.D /32 ≈ 0,1 D3 ⇒ 1 inconnue D, - section rectangulaire : I/v = b.h²/6 ⇒ 2 inconnues, b et h, il faut choisir un rapport entre b et h.

IV - ETUDE DES DEFORMATIONS DUES AU MOMENT FLECHISSANT 1°/ Etude des déformations. Etudions un tronçon élémentaire de poutre de longueur dx : la section S’ tourne par rapport à S d’un angle d θ. La loi de Hooke nous permet de calculer l’allongement (ou le raccourcissement) d’une fibre : O

εx =

d

⇒ G

G’

y

x

d dx

S

dx

Δdx

dx Δdx dx

=

et

σx E

σx = E ⋅ ε x ⇔ Δdx =

σx E

dx

⇔ Δdx = −

L’angle de rotation en radians vaut : Δdx Mz = dθ ≈ tan dθ = dx − y E ⋅ IGz

Mz ⋅ y E ⋅ IGz

dx

(1)

S’

2°/ Etude de la déformée. Sous l’application de charges, la ligne moyenne d’une poutre se déforme. On se propose de déterminer l’équation y(x) de cette déformée en fonction de x.

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Flexion

TS

Soient deux sections distantes de dx, et soit ρ, le rayon de courbure entre ces deux sections :

En géométrie analytique,

dx

ρ=

dθ

3

=

(1 + y'²(x ) )

2

y' ' ( x )

Comme le terme y’²(x) est négligeable devant 1, on peut écrire : On peut donc écrire : y' ' ( x ) =

Or, d’après (1) : dθ =

Donc, (1) + (2)

⇒

Mz E ⋅ I Gz

y' ' =

1

ρ

=

dx ⇒

Mz

dθ

dx

1 y' ' ( x )

(2)

dx dθ

ρ=

=

Mz E ⋅ IGz

sous une autre forme : EI Gz y' ' = EIGz

E ⋅ I Gz

dθ dx

= Mz

Cette expression qui donne la dérivée seconde de la déformée en fonction du moment fléchissant est appelée loi moment-courbure ou formule de la double intégration. En effet, cette équation permet de déterminer l’équation de la déformée y(x) en intégrant deux fois l’équation du moment M z(x) (et en utilisant les conditions aux limites).

3°/ Exemple de calcul de la déformée par la méthode de la double intégration. y

Poutre sur deux appuis chargée uniformément :

Equation du moment : M(x) =

−

qx ² 2

+

q

B

A

ql x

+

2

x

x

Mz

q

⇒ EIy' ' ( x ) = − x ² + ql

x

2

⇔ ⇔

2 x3 x² EIy' ( x ) = EIθ( x ) = −q + ql + k 1 6 4 4 3 x x EIy( x ) = −q + ql + k 1x + k 2 24 12

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Flexion

TS

Calcul des constantes d’intégration :

⇒ k 2 = 0

- en A, x = 0 et y = 0

⇒ 0 = −q

- en B, x = l et y = 0

ème

24

+q

4

l

12

EIy( x ) = −q

L’équation de la déformée est donc : Cette équation du 4

4

l

+ k 1l ⇒ k 1 = −q x4 24

+ ql

x3 12

−q

3

l

24

3

l

24

x

degré ne nous intéresse qu’entre 0 et l .

y est maximum pour y’ = 0, c'est-à-dire pour x = l / 2. y B

A

Allure de la déformée :

ymax

A

Remarque : l’allure de la déformée

≈

x

B

- l’allure du moment.

Valeurs intéressantes : Flèche maximale :

⎛ EIy⎜ x = ⎝

l ⎞

l

2 ⎠

24 × 16

4

⎟ = −q

4

+q

4

l

12 × 8

l

−q

24 × 2

⇒ y max = −

5ql 4 384EI

Rotations aux appuis :

EIy' ( x ) = EIθ( x ) = −q

x3 6

+ ql

x² 4

3

−q

l

24

Rotation au point A, θ A pour x = 0 :

EIθ( x

= 0) = −q

3

l

24

⇒ θA = −

ql 3 24EI

Rotation au point B, θ B pour x = l : B

EIθ( x

= l ) = −q

3

l

6

+q

3

l

4

−q

3

l

24

⇒ θB = +

ql 3 24EI

Nous verrons aussi, en traitant d’autres exemples, que la méthode de la double intégration peut nous permettre de résoudre des structures hyperstatiques simples.

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Cisaillement

TS

Chapitre 8 - Cisaillement simple - Cisaillement de flexion Etude de l’effort tranchant SOMMAIRE

I - Etude du cisaillement simple.............................................................................................. 89 1°/ Sollicitation étudiée : l’effort tranchant. ................................................................................. 89 2°/ Essai de cisaillement - Loi de comportement du matériau. ................................................... 89 3°/ Contrainte de cisaillement simple. ........................................................................................... 90 3.1 - Définition ...................................................................... .................................................................... .. 90 3.2 - Répartition de la contrainte de cisaillement simple................................................................ ............. 91

II - Etude du cisaillement de flexion. ..................................................................................... 91 1°/ Sollicitation étudiée : effort tranchant concomitant à un moment fléchissant. ................... 91 2°/ Loi de réciprocité des contraintes de cisaillement .................................................................. 91 3°/ Expression et répartition des contraintes de cisaillement de flexion. ................................... 92 3.1 - Calcul de la contrainte tangentielle τ....................................................... ............................................ 92 3.2 - Calcul de la valeur maximum de la contrainte tangentielle τmax pour une section rectangulaire......... 94 3.3 - Section réduite........................ ..................................................................... ........................................ 94

III - Condition de résistance ................................................................................................... 95

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Cisaillement

TS

I - ETUDE DU CISAILLEMENT SIMPLE . 1°/ Sollicitation étudiée : l’effort tranchant. On considérera qu’une section droite de poutre est soumise à un effort tranchant lorsque les éléments de réduction des efforts internes de cohésion se ramènent à la seule sollicitation V. y

N(x) = 0

T(x) = 0

Vy (x) ≠ 0 Mf y (x) = 0

Vy ( x )

et / ou VZ (x) ≠ 0 Mf Z (x) = 0 z

G

x

S(x)

Vz ( x )

⎧ 0 0⎫ ⎪ ⎪ { ( ) } 2 1 V ( x ) 0 τ = ⎨ ⎬ y Torseur des efforts internes de cohésion : ⎪V (x) 0 ⎪ ⎭ G⎩ Z Exemples d’éléments soumis à un effort tranchant :

⇒Fil de fer que l’on tente

⇒Poutre appuyée sur un corbeau

de sectionner

-F Section cisaillée

-F S

S Section cisaillée

F F

2°/ Essai de cisaillement - Loi de comportement du matériau. Sans entrer dans les détails, les notions acquises pour l’effort normal peuvent être transposées à l’effort tranchant. En effet, lors d’un essai de cisaillement on observe : - un déplacement relatif : J

γ=

e

e

-F

-F

e

J

S

F

S

F A

R Page 89 / 106


Cisaillement

TS

- une zone de déformation élastique OA (droite de pente G), - une zone de déformation plastique AR. - La contrainte de cisaillement est représentée par τ, telle que, dans la zone de déformation élastique : J τ = G⋅ e (loi de Hooke pour le cisaillement). G est appelé module d’élasticité transversal, en MPa. E G= avec E : module d’élasticité longitudinal 2(1 + ν )

ν : coefficient de Poisson

et

Attention : contrairement au cas de la compression ou de la traction simple (où la contrainte normale σ est uniformément répartie dans la section droite), la contrainte de cisaillement n’est pas à priori uniformément répartie dans la section.

3°/ Contrainte de cisaillement simple. 3.1 - Définition Soit une section droite par laquelle nous isolons la partie gauche d’une poutre. Supposons que la seule sollicitation à laquelle soit soumise cette section droite est un effort tranchant Vy. y

y df 1

Vy ( x )

df 2

dS

G

z z

G S(x)

dS

df 3

x dS

Chaque surface élémentaire dS subit une force d’intensité df due à l’action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche. Les forces df i sont tangentes à S étant donné que la section n’est soumise qu’à un effort de cisaillement (il n’y a pas de force normale à S, donc pas de contrainte normale

σ).

Chaque force qui s’applique sur une surface dS permet de définir une contrainte tangentielle df ou contrainte de cisaillement : τ = i en MPa. dS

3.2 - Répartition de la contrainte de cisaillement simple. Page 90 / 106


Cisaillement

TS

En cisaillement simple, on peut considérer que la répartition des contraintes de cisaillement V est uniforme dans la section : τ = S Attention : ce n’est pas le cas en cisaillement de flexion (effort tranchant concomitant à un moment fléchissant). C’est ce que nous allons voir dans la suite du chapitre.

II - ETUDE DU CISAILLEMENT DE FLEXION. 1°/ Sollicitation étudiée : effort tranchant concomitant à un moment fléchissant. Une section droite de poutre travaillant en flexion est soumise à un effort tranchant et un moment fléchissant : y

N(x) = 0 Vy ( x )

z

Vy (x) ≠ 0 Mf y (x) = 0 VZ (x) = 0 Mf Z (x) ≠ 0

G x

S(x)

M z ( x)

T(x) = 0

Torseur des efforts internes de cohésion :

⎧ 0 {τ(2 1)}= ⎪⎨Vy (x) ⎪ 0 G⎩

⎫ ⎪ 0 ⎬ MZ (x)⎪ ⎭ 0

2°/ Loi de réciprocité des contraintes de cisaillement Pour comprendre le comportement des matériaux soumis au cisaillement, il faut connaître (admettre) la loi simple suivante (théorème de réciprocité de Cauchy) : Lorsqu’il existe en un point une contrainte de cisaillement dans un plan d’un élément, il existe la même contrainte dans le plan perpendiculaire. y y

τx = τy

x

Vy ( x )

y

z z

dS G

G

Mz (x)

S(x)

x

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Cisaillement

TS

Sur un petit élément de poutre isolé, les vecteurs contrainte tangentielle longitudinale τx et contrainte tangentielle transversale τy doivent être disposés symétriquement par rapport à l’arête des facettes et il y a donc deux orientations possibles :

τx

τx τy

τy

Cette propriété a un intérêt notamment quand la contrainte de cisaillement limite (admissible) du matériau n’est pas la même dans le sens longitudinal et dans le plan transversal. C’est le cas par exemple des poutres en bois lamellé-collé.

3°/ Expression et répartition des contraintes de cisaillement de flexion. 3.1 - Calcul de la contrainte tangentielle . On détermine l’expression de la contrainte tangentielle longitudinale F

F

τx :

F Soit une poutre droite de longueur L, de largeur b et de hauteur h soumise à des actions extérieures.

h y x z

b x x + dx L

y

On isole un petit élément de poutre situé entre les abscisses x et x + dx (la face intérieure de cet élément se trouve à l’ordonnée y.) et on reporte sur cet élément isolé l’ensemble des contraintes dont la projection sur l’axe x est non nulle.

σ x (x, y) σ x (x + dx, y)

y

x

τ x (x, y)

z

x

dx

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Cisaillement

TS

A l’équilibre, la somme des forces exercées sur cet élément est égale à zéro. En projection sur x, cela donne : h

h

τ x (x, y ) ⋅ b ⋅ dx + ∫ y σ x (x, y) ⋅ dS − ∫ y σ x (x + dx, y) ⋅ dS = 0 2

2

(1)

On connaît l’expression des contraintes normales de flexion :

σ x (x , y ) = −

M z ( x) I Gz

⋅y

On remplace cette expression dans l’équation (1) :

⇒ ⇔ ⇔

τx (x , y ) ⋅ b ⋅ dx − τx (x , y ) = − τ x (x , y ) = −

M z (x ) IGz

h

⋅ ∫y

2

y ⋅ dS +

M z (x + dx ) − M z (x )

dx

⋅

IGz 1

⋅

b ⋅ IGz

dx dM z (x )

M z (x + dx )

1

b ⋅ IGz

h

⋅ ∫y

2

∫

h

2

y

h

⋅ ∫y

2

y ⋅ dS = 0

y ⋅ dS

y ⋅ dS

⇒ on reconnaît l’expression du moment statique par rapport à l’axe Gz de la surface située au dessus de l’ordonnée y : WGz (y ) = ∫ y ⋅ dS y h

2

⇒ et on connaît la relation qui lie le moment fléchissant à l’effort tranchant : dM z (x ) V(x ) = − dx

⇒ finalement, on obtient pour la contrainte tangentielle longitudinale l’expression suivante : τ(y) =

Vy ⋅ WGz (y ) b.I Gz

Pour une section droite de largeur b variable :

y

⇒ on peut considérer que la contrainte de cisaillement est constante parallèlement à l’axe z (sur toute la largeur b pour y donné). Elle ne varie qu’en fonction de y.

τ(y) =

Vy ⋅ WGz (y )

x

y z

b G

I Gz ⋅ b(y ) x

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Cisaillement

TS

3.2 - Calcul de la valeur maximum de la contrainte tangentielle rectangulaire

max

pour une section

Pour une section rectangulaire, on peut exprimer la valeur de la contrainte en fonction de l’ordonnée y : y

IGz

=

bh 3

A

⎛ h − y ⎞ ⋅ 1 ⋅ ⎛ h + y ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠

y

z

12

WGz (A ) = b ⋅ ⎜ G

h

d’où :

τ(y ) =

6 ⋅ Vy ⎛ h 2

2 ⎞ ⎜ ⎟⎟ − y bh 3 ⎜⎝ 4 ⎠

C’est l’équation d’une parabole. τ est maximum pour y = 0 h τ = 0 pour y = ± 2

b

Répartition des contraintes

x

dans une section rectangulaire : y

max

G

x

3.3 - Section réduite. On appelle section réduite Ar (ou Av) la valeur minimale du rapport :

IGz ⋅ b(y ) WGz (A )

Cette valeur (que l’on retrouve dans les tableaux des profilés commerciaux) permet de calculer rapidement la contrainte de cisaillement maximale :

τ max =

Vy A r Page 94 / 106


Cisaillement

TS

Contrainte de cisaillement maximale pour des sections courantes :

Section rectangulaire : 3 Vy 2A A r = ; τ max = 3 2 A

Section circulaire 4 Vy 3A A r = ; τmax = 4 3 A

Section en I Ar ≈ Aâme ;

τmax ≈

Vy Aâme

III - CONDITION DE RESISTANCE Comme pour la traction ou la compression, on définit une contrainte limite (admissible) de cisaillement τ qui ne doit être dépassée en aucun point de la structure. Par contre le concepteur n’a, en général, pas à se soucier de la déformation due au cisaillement qui est très faible. On retiendra donc pour le dimensionnement une seule inéquation :

τmax ≤ τ

Quelques ordres de grandeurs pour τ :

- Acier : 100 MPa - Bois résineux longitudinalement aux fibres : 1,2 MPa - Bois résineux perpendiculairement aux fibres : 1,5 MPa Pour le béton, la résistance au cisaillement est très faible, ce qui explique que l’on ne fasse pas travailler ce matériau au cisaillement. Pour le béton armé, c’est l’ensemble béton+acier q

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Flexion composée

TS

Chapitre 9 - Flexion composée SOMMAIRE

I - Sollicitation étudiée : .......................................................................................................... 97 II - Contraintes tangentielles : ................................................................................................ 97 III - Contraintes normales ...................................................................................................... 97 1°/ Expression de la contrainte normale

x...................................................................................

97

2°/ Position du plan neutre ............................................................................................................. 98 3°/ Force excentrée équivalente ..................................................................................................... 98 4°/ Diagramme de représentation de

x

: les différents cas rencontrés...................................... 98

IV - Cas particulier d’une section rectangulaire ................................................................. 100 V - Noyau central .................................................................................................................. 100 VI - Dimensionnement en flexion composée........................................................................ 101

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Flexion composée

TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE : On considérera qu’une poutre est soumise à de la flexion composée lorsque les éléments de réduction du torseur des efforts internes de cohésion se réduisent à : y

Vy ( x )

N(x) ≠ 0

T(x) = 0

Vy (x) ≠ 0 My (x) = 0 z

G

N( x)

S(x)

Mz (x)

VZ (x) = 0 MZ (x) ≠ 0

x

Torseur des efforts internes de cohésion :

⎧N(x) 0 ⎫ {τ(2 1)}= ⎪⎨Vy (x) 0 ⎪⎬ ⎪ ⎪ ( ) M x 0 z ⎭ G⎩

II - CONTRAINTES TANGENTIELLES : Elles sont dues uniquement à l’effort tranchant V y et se calculent par la méthode vue au chapitre « Cisaillement ». Comme elles sont nulles sur les fibres extérieures où les contraintes normales sont maximum, elles ne jouent pas un rôle particulier dans la flexion composée. ⇒ On fait abstraction de V pour le calcul des contraintes normales.

III - CONTRAINTES NORMALES 1°/ Expression de la contrainte normale

x

L’effort normal N crée des contraintes normales uniformes

N

σN x =

qui sont des

S

compressions ou des tractions selon le sens de N. Le moment de flexion M z crée des contraintes normales σ F x = −

Mz I Gz

⋅ y qui sont des

compressions et des tractions en fonction de y. y

y

y N + Mz

Mz

N

G

+

x

y

x

y

Le plan neutre ( = 0) passe par G

σN x G

x

+

=

G

G

x

G

x

y

σ ( N + F) x G

=

x

σ Fx

σN x =

N S

+

σF x = −

Mz IGz

⋅y

Le plan neutre ( = 0) ne passe pas par G

=

σ( N + F) x =

N S

−

Mz IGz

⋅y

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Flexion composée

TS

En appliquant le principe de superposition, on obtient en un point de cote y : N M σx = − z ⋅ y S I Gz

2°/ Position du plan neutre Le plan neutre est défini par σx = 0 : ⇒

N

Mz

−

S

I Gz

⋅y = 0

N ⋅ I Gz

⇔ y1 =

S ⋅ Mz

La position du plan neutre est fonction des charges appliquées.

3°/ Force excentrée équivalente L’ensemble N+M peut être remplacé par une force équivalente N d’excentricité e et dont le moment vaut Mz = - N.e N

N + Mz

e G

=−

G

La contrainte normale peut alors s’écrire : σ x =

N S

σx =

la contrainte normale devient : y1 =

N ⋅ IGz S ⋅ Mz

=

−

IGz

S ⋅ (− Ne ) x

⋅y =

Mz N

N ⎛ S ⎞ ⎜⎜1 − e ⋅ y ⋅ ⎟⎟ S ⎝ IGz ⎠

IGz S

N ⎛ e ⋅ y ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ S ⎜⎝ i z ⎠⎟

N ⋅ IGz

4°/ Diagramme de représentation de

N⋅e

iz =

on rappelle l’expression du rayon de giration :

et le plan neutre :

avec e

⇒ y1 = −

I Gz S⋅ e

: les différents cas rencontrés

- Si σF x < σ N x : la contrainte normale maximum de flexion, σ F x , est inférieure à la contrainte normale due à N, σ N x ,en valeur absolue, la section est entièrement comprimée ou entièrement tendue. Dans tous les cas, le plan neutre ( σx = 0) est en dehors de la section

- Si σF x = σ N x :

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Flexion composée

alors le plan neutre est situé à l’ordonnée y1 = ±

TS

h 2

- Si σF x > σ N x : la contrainte normale maximum de flexion, σ F x , est supérieure à la contrainte normale due à N, σ N x ,en valeur absolue, le plan neutre est situé dans la section qui est donc divisée en 2 zones, l’une comprimée et l’autre tendue. Ordonnée du plan neutre :

y1 =

N ⋅ IGz S ⋅ Mz

=−

iz

2

e

DIAGRAMMES DE REPARTITION DES CONTRAINTES NORMALES dues à N et M z dues à N

N<0

N<0

N>0

N>0

dues à M z

M>0

M<0

M>0

M<0

Cas où

Cas où

Cas où

σF x < σ N x

σF x = σ N x

σF x > σ N x

Section entièrement comprimée

y1 = −

h

Section entièrement comprimée

y1 = +

h

Section entièrement tendue

y1 = +

h

Section entièrement tendue

y1 = −

h

2

2

2

2

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Flexion composée

TS

IV - CAS PARTICULIER D’UNE SECTION RECTANGULAIRE Plaçons nous dans le cas d’une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b : bh 3 S = b.h et IGz = 12 Les relations que nous avons vues donnent : N 12 N ⋅ e N ⎛ 12e ⎞ ⇒ σx = − ⋅y = ⎜1 − 2 ⋅ y ⎟ 3 bh bh bh ⎝ h ⎠

⇒ y1 =

et

N ⋅ bh 3 12 ⋅ bh ⋅ (− Ne )

=−

h2 12e

Calculons les contraintes extrêmes, c'est-à-dire pour y = ±

h 2

:

⎡ 1 12e ⎛ h ⎞⎤ N ⎛ 6e ⎞ N ⎛ 6 ⎞ σ x extrêmes = N ⎢ − 3 ⎜ ± ⎟⎥ = ⎜1 ± ⎟ ⇔ σ x extrêmes = ⎜1 ± e ⎟ bh ⎝ h ⎠ ⎣ bh bh ⎝ 2 ⎠⎦ bh ⎝ h ⎠ Trois cas sont alors possibles : 1

- e
: il n’y a pas de changement de signe 6 des contraintes. La répartition des contraintes est trapézoïdale.

2

1

-

e =h

6 triangulaire.

= 2N/S

: la répartition des contraintes est

2

-

e >h

=0

1

: il y a changement de signe des

6 contraintes, une zone tendue et une zone h2 comprimée, y1 = − 12e

y1 2

V - NOYAU CENTRAL Règle du tiers central : Dans le cas d’une construction fondée sur le sol, il ne peut y avoir de contrainte de traction dans la base (car le sol ne s’y oppose pas). De même, dans un ouvrage en maçonnerie, aucune section ne doit supporter de contrainte de traction. L’excentricité de la force extérieure doit donc rester ≤ h/6. D’où la règle suivante : R

« La résultante des forces extérieures doit passer dans le tiers central des sections. »

h/6 h/3

h/3

h/3

Noyau central : Page 100 / 106


Flexion composée

TS

Cherchons, pour toute une section, la forme et les dimensions de la région où on peut appliquer un effort de compression sans créer de contrainte de traction : - section rectangulaire : B

A

h/3

e k

i

section Dans le cas d’une rectangulaire, le noyau central est un losange.

h/3

j

h/3

D

C b/3

b/3

b/3

Lorsque la charge est en j, la ligne de contrainte nulle est AB ″ ″ ″ i, ″ ″ ″ ″ AD Lorsque la charge se déplace sur ij, la ligne de contrainte nulle passe par A

- section circulaire :

N

a

Du fait de la symétrie, le noyau central est un cercle de rayon a. Lorsque N est sur son contour, c’est-à-dire pour e = a, la ligne de contrainte nulle est tangente au contour de la section ⇒ y1 = R

R

y1 = −

I Gz

et

S = π R²

π R4 R2 ⇒ y1 = − =− = R et e = a 4 π R 2e 4e

d’où a =

S⋅e

avec

IGz =

π R4 4

R 4

VI - DIMENSIONNEMENT EN FLEXION COMPOSEE Il est en général trop compliqué de tenir compte des deux sollicitations (N et M z). On dimensionne une section en tenant compte de l’effet prépondérant et on vérifie les contraintes sous l’action des deux sollicitations.

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Flambement

TS

Chapitre 10 - Le flambement SOMMAIRE

I - Qu’est-ce que le flambement ?......................................................................................... 103 II - Mise en évidence du flambement ................................................................................... 103 III - Charge critique d’Euler N c ........................................................................................... 103 IV - Influence des liaisons aux appuis ................................................................................. 105 V - Contrainte critique d’Euler............................................................................................. 106 VI - Dimensionnement et vérification des sections .............................................................. 106

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Flambement

TS

I - QU’EST-CE QUE LE FLAMBEMENT ? Le flambement est en fait une sollicitation composée de compression et de flexion, mais dont l’étude est différente de la flexion composée parce que les méthodes sont différentes et que le flambement est un phénomène rapidement destructif. En effet, dans le cas du flambement, les déformations ne peuvent plus être supposées infiniment petites et négligées comme dans les chapitres précédents. De même, les forces extérieures ne sont plus proportionnelles aux déformations et, dans certains cas, de grandes déformations peuvent être causées par des accroissements de charge infimes. Tous ces phénomènes sont connus sous le nom d’instabilité élastique. Le risque de flambement d’un élément étant lié aux dimensions de cet élément, on dit que le flambement est un phénomène d’instabilité de forme .

II - MISE EN EVIDENCE DU FLAMBEMENT Considérons une pièce élancée (telle que sa longueur soit très supérieure à sa plus grande dimension transversale), de ligne moyenne rectiligne, de section droite constante, articulée à ses deux extrémités, et soumettons la à un effort normal de compression centré. On observe successivement deux types de sollicitation : - pour un effort N inférieur à une limite Nc, la poutre est comprimée, elle reste rectiligne et se raccourcit. - Lorsque N atteint Nc, la poutre fléchit brusquement et se rompt très vite. On observe que la flexion se produit dans le plan perpendiculaire à la direction de plus faible moment quadratique de la section de la poutre. Pour le schéma cicontre par exemple, la flexion se produit dans le plan (A, x, y), perpendiculaire à (G, z) (rotation de la poutre autour de l’axe z).

x N

B

z

y

l0

G

A

y

La valeur Nc (ou Fc) de l’effort de compression à partir de laquelle se produit le flambement s’appelle charge critique d’Euler . x

III - CHARGE CRITIQUE D’EULER NC

N

B

Modélisons la poutre par sa ligne moyenne AB et supposons que sous l’influence des efforts en A et B, cette ligne moyenne prenne une très légère courbure (accentuée sur le schéma ci-contre) Si x et y sont les coordonnées d’un point courant G de la fibre moyenne, y est la déformée de cette fibre.

l0 M(x) = - N y

Habituellement, en ce qui concerne l’équilibre statique, on considère que les déformations sont petites et que la fibre moyenne n’a pas bougé après déformation. Dans ce qui suit, nous allons au contraire prendre en compte l’influence des déformations sur l’équilibre statique et considérer le moment secondaire qu’elles provoquent. Ce moment de flexion dans la section vaut : M z (x ) = − N ⋅ y

y

y x

A -N

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Flambement

TS

Utilisons la formule vue au chapitre sur la flexion : EIGz y' ' = M z (x ) ⇔ EIGz y' '−M z (x ) = 0

⇔ EIGz y' '+ N y = 0 ⇔ y' '+

N EIGz

y=0

ème

équation différentielle du 2

ordre.

La solution générale de cette équation est de la forme :

y = A cos

x + B sin

x

avec ω²=

N EI Gz

(1)

Détermination des constantes avec les conditions aux limites : Pour x = 0, y(0) = 0 ; donc A = 0 Pour x = l0 , y(l0) = 0 ; donc B sin ω x = 0 A étant nul, il est évident que B ≠ 0 (sinon pas de flambement), ⇒ sin ω l0 = 0 ⇔ ω l0 = n π avec n = 1, 2, 3, … er n = 1 1 mode de flambement ⇒ ω =

π

l0

(2)

⎛ π x ⎞ ⎟⎟ l ⎝ 0 ⎠

Equation de la déformée ; y(x ) = B sin ⎜⎜ (1) ⎫

π2

N

⎬⇒ ω = 2 = (2) ⎭ EIGz l0 2

La résolution de cette équation permet de trouver N provoquant la déformée, c'est-à-dire la charge critique d’Euler N c au-delà de laquelle le flambement se produit : Nc =

π2EIGz l0

2

dans le cas de la poutre bi-articulée étudiée (lf = l0 - voir paragraphe suivant) et I Gz le moment quadratique le plus faible (ce n’est pas toujours le cas) Plusieurs cas sont possibles pour la poutre : - N < N c : compression simple, la poutre reste droite, elle est dite en équilibre stable. - N = N c : la poutre peut rester droite ou fléchir (flamber) avec une flèche égale à B, elle est dite en équilibre neutre. A noter que B = y maxi est en général petit. - N > Nc : il y a instabilité en position droite (équilibre instable) avec une forte tendance au flambement. B augmentera très rapidement avec un léger accroissement de N.

Remarques : Page 104 / 106


Flambement

TS

- Le flambement se produit suivant un axe perpendiculaire à l’axe du moment quadratique le plus faible. Pour les deux sections représentées, Iy < Iz, le flambement se produit dans le plan (x, z). - Pour les cinq sections représentées, toutes de même aire, celle du triangle équilatéral (c) est celle qui résiste le mieux au flambement (21% plus résistante que la section circulaire).

IV - INFLUENCE DES LIAISONS AUX APPUIS On peut généraliser les résultats établis pour la poutre bi-articulée pour des poutres dont les conditions d’appuis sont différentes. L’expression générale de la charge critique d’Euler est : Nc =

π 2 EI Gz ou y l f

2

avec lf : longueur de flambement

Longueur de flambement lf en fonction des liaisons aux appuis Déplacement de B en tête de poteau

A et B sont sur la même verticale

d B

B

B

A

A

A

d

B

B

l0

lf = l0

lf =

2 2

l0

lf =

l0 2

A

lf = 2 l0

A

lf = l0

Il faut en pratique envisager lfy et l fz pour déterminer les conditions de flambement dans les deux directions.

V - CONTRAINTE CRITIQUE D’EULER

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Flambement

TS

A la force critique d’Euler Nc correspond une contrainte critique , qui peut prendre le nom de contrainte critique limite ou admissible, donnant un élément de sécurité vis-à-vis du flambement. Pour une poutre comprimée de section S, la contrainte critique c est définie par la relation :

σc =

on sait que

π 2 EI Gz ou y l f ⋅ S 2

i z ou y =

I Gz ou y S

le rayon de giration,

et on définit une nouvelle grandeur :

λ z ou y =

lfz ou y i z ou y

La contrainte critique s’exprime alors sous la forme :

l’élancement (sans unité)

π2E σc = 2 λ

(1)

Supposons que la poutre soit parfaitement rectiligne, que l’effort N soit centré et que le N matériau soit parfaitement homogène. Soit σ = la contrainte dans la poutre : S - si σc < σe (limite élastique) : il y aura ruine par flambement dès que σ atteindra la valeur σc. - si σc > σe : la poutre périra par écrasement (ou compression simple sans flambement) dès que σ atteindra la valeur σe. Dans ce cas, il n’y a aucun risque de flambement. Le dimensionnement se fait en compression simple. Attention : ce raisonnement n’est plus valable en flexion composée (si la poutre a un défaut de rectitude ou si N n’est pas bien centré,…). Le flambement surviendra dans ce cas avant que σ n’atteigne σc. La relation (1) fait apparaître la notion d’élancement critique (pour σc = σe ), à partir duquel la poutre devra être calculée au flambement :

λc = π

E

σe

Notons que cette valeur de l’élancement critique ne dépend que des caractéristiques mécaniques du matériau.

VI - DIMENSIONNEMENT ET VERIFICATION DES SECTIONS Les conditions réelles de liaisons sont différentes des modèles théoriques et varient selon les matériaux ; c’est pourquoi les différents règlements de calcul (acier, bois, béton armé, béton précontraint) adaptent la théorie d’Euler à ses particularités pour chaque matériau.

⇒ Voir les cours correspondants (BA, …)

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Méthodes énergétiques

MECANIQUE DES STRUCTURES METHODES ENERGETIQUES

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TS 2



SOMMAIRE

I - THEORIE DU POTENTIEL INTERNE. ......................................................................... 3 1°/ I NTRODUCTION: TRAVAIL D'UNE FORCE, NOTION DE POTENTIEL D'UNE STRUCTURE. ......... 3 a - Travail élémentaire d’une force.................................................................................... 3 b - Travail d'une force. ....................................................................................................... 3 c - Notion de potentiel d'une structure ............................................................................... 5 2°/ HYPOTHESES THERMODYNAMIQUES .................................................................................. 5 3°/ THEOREME FONDAMENTAL DE L'ENERGIE.......................................................................... 6 a - énoncé du théorème sous la forme utilisée en mécanique des structures..................... 6 b - Calcul de Wext , W déf. ..................................................................................................... 7 c - Exemples d'application : utilisation directe du théorème fondamental...................... 12 d - Limites de d'utilisation directe du théorème fondamental.......................................... 12 4°/ THEOREMES ENERGETIQUES ............................................................................................ 13 a - Notations utilisées pour les démonstrations. .............................................................. 14 b - Expression du potentiel, en tant que fonction des variables efforts extérieurs .......... 14 c - Recherche du déplacement en un point d'une structure: théorème de Maxwell-Betti et théorème de CASTIGLIANO. ........................................................................................... 16 d - Cas où il n y a pas d'effort extérieur appliqué au point et dans le sens où l'on cherche le déplacement: théorème de la charge fictive ................................................................. 19 e - Généralisation du théorème de Castigliano : théorème de la charge unité, ou théorème de MULLER-BRESLAU ................................................................................... 20

II - APPLICATION A LA RESOLUTION DE SYSTEMES HYPERSTATIQUES....... 22 1°/ I NTRODUCTION. ............................................................................................................... 22 2°/ METHODES DES FORCES................................................................................................... 22 a - Cas d’une structure hyperstatique de degré 1. ........................................................... 22 b - Structures hyperstatiques de degré supérieur à 1....................................................... 24 3°/ THEOREME DE MENABREA. ............................................................................................. 25

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TS 2

I - THEORIE DU POTENTIEL INTERNE. 1°/ Introduction: Travail d'une force, notion de potentiel d'une structure. REMARQUE : l'étude faite ici concerne essentiellement, sauf mention particulière, des structures planes chargées dans leur plan.

a - Travail élémentaire d’une force. Le travail élémentaire dW d’une force F dont le point d’application A se déplace de entre A et A’ ( dl

= AA'

) est égal au produit scalaire de F par dl .

dW

F

= F .dl = F.dl.cosθ

A’ A

dl

b - Travail d'une force. Il ne s'agit ici que de rappel de la notion de travail par l'intermédiaire de deux exemples: Exemple 1 : étude d'une poutre en flexion, soumise à l'effort P.

Lorsque P augmente, la flèche f de la poutre au droit du point d'application de P augmente proportionnellement à P si le matériau constituant la poutre est élastique linéaire. On suppose en outre que P est appliqué progressivement, c'est-à-dire de manière réversible (du point de vue thermodynamique) - on reviendra sur cette hypothèse dans le paragraphe suivant. Soit λ un paramètre compris entre 0 et 1 permettant de décrire l'évolution de l'effort appliqué, entre 0 et P.

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L'évolution de P et, conjointement, celle de f est représentée par le tableau suivant: P 0

f 0

. . .

. . .

λP (λ + dλ) P

λ f (λ + dλ) f

. . .

. . .

P

f

0 : état initial . . .

état (λ) état (λ + dλ) . . .

1 : état final

0≤λ≤1

où dλ représente une variation très faible du paramètre λ. Expression du travail élémentaire effectué pour passer de l'état (λ) à l'état (λ + dλ) : dW = [(λ + dλ) f - λ f ]. (λ + dλ) P = λ . dλ . f. P + (dλ)² . f . P on néglige le terme (dλ)² . f . P qui représente un infiniment petit d'ordre 2, par rapport au terme λ . dλ . f . P. Il reste alors:

dW = λ . dλ . f. P

W, travail total effectué entre l'instant initial (0) et l'instant final (l) représente donc l'intégration de dW entre 0 et l, d'où:

W=

1

∫

dW

0

1

= ∫0 f .P.λdλ

Soit W=

1 2

f. P

puisque ni f ni P ne dépendent de λ. Exemple 2 : Etude d'une barre en traction, travail à fournir pour l'allonger de Δ.

Comme dans l'exemple précédent, le matériau constituant la tige est élastique linéaire, et

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l'effort F est appliqué progressivement. Un tableau analogue à celui de l'exemple précédent, traduisant l'évolution de F et de l'allongement associé Δ, par l'intermédiaire du paramètre d'évolution λ, 0 ≤ λ ≤ 1 s'écrit:

0 : état initial . . .

état (λ) état (λ + dλ) . . .

1 : état final

F

Δ

0

0

. . .

. . .

λF (λ + dλ) F

λΔ (λ + dλ) Δ

. . .

. . .

F

Δ

0≤λ≤1

D'où l'expression du travail élémentaire, par un raisonnement analogue à celui utilisé pour l'exemple précédent: dW = λ . dλ . F . Δ Le travail global W qu'il est nécessaire de fournir au barreau pour l'allonger de Δ a alors pour expression: W=

1

∫ dW 0

soit W=

1 2

F. Δ

c - Notion de potentiel d'une structure En mécanique des structures, on parle aussi d'énergie potentielle d'un système. C'est le travail effectué de manière réversible par des forces pour passer de l'état initial (d'indice (0)) à l'état final (d'indice (1)).

2°/ Hypothèses thermodynamiques

REMARQUE : ces hypothèses sont applicables au chapitre sur les méthodes énergétiques dans son ensemble. Ces hypothèses sont les suivantes: - le matériau constituant les structures étudiées a une loi de comportement élastique linéaire, - les transformations sont réversibles: elles se produisent suffisamment lentement pour que le système soit à chaque instant dans un état d'équilibre, - les effets thermiques ne seront pas pris en compte, - on négligera le poids propre des structures.

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Justification du terme de potentiel: Avec l'hypothèse de réversibilité des transformations, on peut parler de potentiel pour le travail (en fait de différence de potentiel), car ce travail ne dépendra que de l'état initial et de l'état final du système, indépendamment des états intermédiaires - la force dont dérive ce potentiel étant appelée une force conservative -. Le potentiel est caractéristique des paramètres de l'état, et non de l'état lui-même. REMARQUE : le potentiel est toujours défini à une constante additive près, la notion de différence de potentiel élimine l'imprécision introduite par la présence de cette constante.

3°/ Théorème fondamental de l'énergie. a - énoncé du théorème sous la forme utilisée en mécanique des structures. Pour un solide isolé, en statique, la somme des travaux des efforts extérieurs et des travaux des efforts intérieurs au système est nulle, dans toute transformation réversible: Wext +Wint =0 REMARQUE : autre formulation du théorème fondamental: Les structures étudiées dans ce cours sont des structures déformables, l'énergie fournie par le travail des efforts extérieurs appliqués à la structure va servir à la déformer. Le matériau constituant ces structures ayant un comportement élastique linéaire, l'énergie apportée par l'extérieur sert intégralement à déformer le corps, de manière réversible. On a donc: Wext = Wdéf avec: Wext : énergie apportée par le travail des efforts extérieurs, Wdéf : énergie de déformation. Ceci nous conduit à l'autre énoncé du théorème fondamental de l'énergie: La somme des travaux des efforts extérieurs appliqués au système est égale à l'énergie de déformation de ce système. Corollaire:

on a en effet:

⎧Wext + Wint = 0 ⎨ ⎩Wext = Wdéf

on en déduit l'égalité:

Wint = - Wdéf

qui s'énonce encore: La somme des travaux des efforts intérieurs au système est égale à l'opposé de l'énergie de déformation de ce système.

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L'étape suivante va constituer maintenant en la détermination des différents termes Wext et Wdéf .

b - Calcul de Wext , Wdéf .

Expression de W ext, travail des efforts extérieurs. Reprenons les deux exemples traités au début du chapitre. L'effort extérieur est appliqué progressivement, il induit un déplacement de la structure, déplacement proportionnel à l'effort extérieur lorsque le comportement du matériau est élastique linéaire. Les deux exemples précédents nous permettent d'écrire, sous réserve de vérifier les hypothèses thermodynamiques:

Wext =

1 2

F (déplF)

F : représente l'effort extérieur appliqué (déplF) : représente le déplacement dans le sens de cet effort F encore noté yF

REMARQUE : la notion de travail s'écrit mathématiquement sous la forme d'un produit scalaire. Seule aura donc un effet la composante du déplacement ayant même direction que l'effort, ici F. On a donc:

Wext =

1 2

F . yF

Expression de W déf , énergie de déformation. Calculons maintenant l'expression de l'énergie de déformation Wdéf . Elle représente le travail dû aux contraintes et aux déformations engendrées par ces contraintes. REMARQUE : il serait plus exact - mais plus difficile à comprendre - de dire que l'énergie de déformation représente le travail dû aux contraintes, dans le champ de déformations engendré par ces contraintes (élasticité linéaire). Par analogie avec l'expression précédente (Wext), et avec une écriture purement formelle, l'énergie de déformation se met sous la forme:

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1

σ.ε) 2 avec une loi de comportement élastique linéaire. ( Wdéf =

Les parenthèses sont là pour montrer l'aspect formel de cette écriture. Cette expression de l'énergie de déformation va donc faire intervenir les différents types de contraintes dus aux diverses sollicitations, et les déformations engendrées par ces contraintes. Il nous faudra donc prendre en compte les différentes sollicitations, en se limitant ici à l'étude des structures planes, chargées dans leur plan: - traction, compression - flexion, . contraintes normales . contraintes tangentielles - torsion

:σ , ε :σ , χ :τ , γ :τ,γ

On calculera de cette manière chacun des termes de l'énergie de déformation de la structure, vis-à-vis des sollicitations élémentaires. En outre les déformations, ainsi que les déplacements sont infiniment petits, on sait que dans ce cas il est possible d'appliquer le principe de superposition, ce qui nous permet d'écrire l'énergie de déformation comme la somme des énergies de déformation relatives aux sollicitations simples:

Total Wdéf

T, C Fσ Fτ Torsion = Wdéf + Wdéf + Wdéf + Wdéf

Cette écriture est relative au cas de structures planes. T, C Wdéf : énergie de déformation relative à la traction (T), ou à la compression (C),

Fσ Wdéf : énergie de déformation relative à la flexion (F) et aux contraintes normales (σ),

Fτ Wdéf : énergie de déformation relative à la flexion (F) et aux contraintes tangentielles (γ),

Torsion Wdéf : énergie de déformation relative à la torsion.

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Calcul des différents termes de l'énergie de déformation:



Effet de la traction, ou de la compression.

Il s'agit ici de sollicitation de traction simple, ou de compression simple. On suppose donc, que s'il y a compression simple, il n'y a pas apparition du phénomène de flambement. La démonstration étant alors identique pour l'une ou l'autre des sollicitations, on se place dans le cas de la traction simple. Considérons le barreau en traction simple de la figure a ci-dessous. Les équations d'équilibre montrent que l'effort normal est constant, donc on adoptera la représentation de la figure b.

a

b

Isolons à l’intérieur un tronçon de longueur dx. Pour ce tronçon de longueur dx, N est un effort extérieur, on peut alors écrire que l’énergie de déformation du tronçon est égale au travail des efforts extérieurs appliqués à ce tronçon (soit ici N). dWdéf

=

1

N × (allongement du tronçon dx). 2 1 = N × dA 2 où l’on appelle dA l’allongement du tronçon de longueur dx. Si l’on se réfère au chapitre sur la traction simple, on avait trouvé : N dx où N représente l’effort normal N(x) dA = ES on a :

Ce qui nous permet d’écrire : dWdéf =

1 (N(x))² 2

ES

dx

d’où l’expression de l’énergie de déformation relative à la traction simple, ou à la compression simple :

Page 9



= ∫structure

T, C Wdéf

(N(x))² 2ES

TS 2

dx

L’intégrale étant faite sur toute la longueur de la structure.



Effet de la flexion:

Il faut ici distinguer l’effet des contraintes normales (traduction du travail en terme de moment fléchissant M (x)), de l'effet des contraintes tangentielles (traduction du travail en terme d'effort tranchant V (x)).

Expression du travail en terme de moment fléchissant M (x)

L'énergie de déformation élémentaire, due aux contraintes normales est donnée par : Fσ dWdéf

=

1 2

M(x).dα

Or on a vu, dans l'étude de la sollicitation de flexion que la courbure de la poutre, donnée par: χ =

M

=

1

=

dα

EI R dx Fσ En reportant la valeur de dα dans l'expression de dWdéf , on obtient: Fσ dWdéf

=

1 (M(x))² 2

EI

dx

D'où la valeur de l'énergie de déformation relative au terme de moment fléchissant: Fσ Wdéf

= ∫structure

(M(x))² 2EI

dx

où EI représente le module de rigidité en flexion de l'élément de structure étudié. Il s'agit là encore d'une intégrale à calculer sur toute la longueur de la structure.

Page 10

χ

était



Expression du travail en terme d'effort tranchant V (x) Par analogie avec l'étude conduite en terme de moment fléchissant, on détermine l'énergie de déformation relative au terme d'effort tranchant, pour laquelle interviennent: - la contrainte de cisaillement τ, - la déformation associée γ. On obtient pour cette énergie de déformation, sous sa forme intégrée : Fτ Wdéf

Où

= ∫structure

(V(x))² 2GS'

dx

S' représente la section réduite, à prendre en compte vis-à-vis du cisaillement, G représente le module d'élasticité transversal, défini en fonction du module d'Young E et du coefficient de Poisson v du matériau, par la relation: E G= 2(1 + ν)

Expression du travail en terme de moment de torsion M t On admettra le résultat, démontré d'une manière analogue à celle utilisée pour les effets de N(x), M(x), ou V(x). Sous sa forme intégrée, on obtient, pour l'énergie de déformation de la structure: Torsion Wdéf

où

= ∫structure

(M t )² 2GK 2GK

dx

GK représente le module de rigidité en torsion, K représente la rigidité en torsion, encore appelée constante de Leduc.

On en déduit la forme générale du POTENTIEL TOTAL de la structure, dans le cas d'une structure plane, chargée dans son plan:

Wdéf

V² M² M t ² ⎞ ⎛ N² = W = ∫structure ⎜ + + + ⎟dx 2ES 2GS' 2EI 2GK ⎝ ⎠

REMARQUES : 1. - Afin de simplifier l'écriture précédente, la dépendance vis-à-vis de x dans les termes N(x), V(x), M(x) n'apparaît pas explicitement; elle est toutefois toujours sous-entendue pour les calculs. 2. - Lorsqu'il n'y a pas de phénomène de torsion, l’énergie de déformation se réduit à trois termes:

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W=

⎛ N² + V² + M² ⎞dx ∫structure ⎝ ⎜ 2ES 2GS' 2EI ⎠⎟

3. - A l'intérieur de l'intégrale, le terme dx représente l'élément différentiel de longueur, pris sur la ligne moyenne de l'élément de structure considéré, mais l'intégrale est prise sur l'ensemble de la structure. V² 4. - Dans la plupart des calculs, il s'avère que la contribution apportée par le terme est 2GS' faible, pour la flexion elle est de l'ordre de quelques % par rapport à la contribution M² apportée par le terme .Dans la plupart des cas, on négligera donc l'effet du terme 2EI V² : on dit, dans ce cas, que l'on néglige l'effet de l'effort tranchant. 2GS' c - Exemples d'application : utilisation directe du théorème fondamental.

⇒ Voir T.D. d - Limites de d'utilisation directe du théorème fondamental.

Le calcul précédent nous a permis de calculer la flèche en B parce que l'effort P appliqué était vertical, donc dans le sens du déplacement cherché. Considérons maintenant la structure suivante:

On pourrait, ici encore, calculer directement le déplacement horizontal en B, car l'effort extérieur est, d'une part appliqué lui-même en B, d'autre part cet effort est horizontal (penser à la signification mathématique du travail sous la forme d'un produit scalaire). Mais si l'on s'intéresse à la rotation du nœud B (le terme déplacement est à prendre ici dans sa forme générale, translation ou rotation), il est impossible de la calculer en employant la méthode directe.

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On trouve là, donc, une première justification de l'intérêt de fabriquer une méthode plus générale, à partir d'idées analogues à celles qui ont conduit notre raisonnement jusqu'ici. En outre, l'application directe du théorème fondamental suppose que l'on peut accéder au calcul de N(x), V(x), M(x). Or N(x), V(x), M(x) se calculent à partir des équations d'équilibre de la structure, déterminées par la statique. Dans le cas de structures hyperstatiques, le théorème fondamental ne peut pas s'appliquer, il faudra donc avoir recours à une méthode plus générale. Enfin la méthode directe suppose l'existence d'un effort concentré au point et dans le sens où l'on recherche le déplacement, là encore elle ne permet pas de déterminer le déplacement en un point d'une poutre soumise à une densité de charge. Considérons par exemple la poutre suivante :

Si l’on s’intéresse au déplacement vertical en B, il n’y a pas ici d’effort concentré 1 F.YB . appliqué en B, tel que l’on puisse écrire le travail des efforts extérieurs sous la forme 2 Là encore il faudra avoir recours à une méthode plus générale. La construction de cette méthode générale va faire l’objet de la suite du cours. Le point de départ est l’expression du potentiel de la structure, et c’est à partir de lui seul, exprimé de plusieurs manières que l’on va fabriquer les théorèmes énergétiques généraux.

4°/ Théorèmes énergétiques Le potentiel sera maintenant exprimé: - tantôt en fonction des efforts extérieurs, - tantôt en termes d'énergie de déformation. On en déduira: - le théorème de Castigliano (théorème intermédiaire: Théorème de Maxwell-Betti), - le théorème de Menabrea (dans le seul cas des structures hyperstatiques). Pour les applications, deux méthodes de calculs peuvent être utilisées: - la méthode analytique (calcul de l'intégrale, analytiquement), - la méthode géométrique (théorème de Verechtchaguine). Page 13

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a - Notations utilisées pour les démonstrations. Considérons la structure suivante, (S) :

où i et j sont des indices muets. On appelle: Δi : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F i, dû à l'ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structure.

Δii : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F i, dû à F i; on pose Δii = Fi δii. δii : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F i, dû à F i= 1 (déplacement unitaire). Δij : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F i, dû à F j ; on pose Δij = F j δij. δij : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F i, dû à à F j= 1 (déplacement unitaire) Δ ji : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F j, dû à Fi ; on pose Δ ji = Fi δji δ ji : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F j, dû à Fi = 1 (déplacement unitaire).

b - Expression du potentiel, en tant que fonction des variables efforts extérieurs Par analogie avec l'expression utilisée lors de l'étude du paragraphe précédent, et par généralisation, on obtient pour le potentiel exprimé comme fonction des variables efforts extérieurs: W=

1 2

n

∑FΔ i

i

i =1

Si n efforts extérieurs F i sont appliqués à la structure. On a d'autre part: n

Δi

= ∑ F jδ ij j =1

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On reporte l'expression de

Δi dans l'écriture de W :

W=

1 2

n

n

∑∑ F F δ

i j ij

i =1 j=1

où i, j sont des indices muets (jouant le même rôle) servant à numéroter l'effort extérieur appliqué : il y a ici n efforts extérieurs désignés par F i ou F j. REMARQUES : - W apparaît comme une forme quadratique des variables d'efforts extérieurs. - Les coefficients δij sont parfois appelés coefficients d'influence, on démontrera par la suite leur symétrie: δij = δ ji (MaxwelI-Betti). C'est en travaillant sur les deux expressions ci-dessous du potentiel, que l'on va mettre en place les théorèmes énergétiques: (1)

(2)

W

W

=

1 2

n

n

∑∑ F F δ i j

ij

i =1 j=1

N² T² M² = ∫structure ⎛ + + ⎞⎟dx ⎜ ⎝ 2ES 2GS' 2EI ⎠

(cas d'une structure plane chargée dans son plan, il n'y a pas de torsion).

Méthode utilisée pour la mise en place des théorèmes: Les égalités (1) et (2) ne sont que deux écritures différentes de la même quantité W, potentiel de la structure. l'égalité (1) → va être reliée au déplacement que l'on cherche, l'égalité (2) → donnera la valeur de ce déplacement en fonction des efforts extérieurs appliqués à la structure.

REMARQUE: De ce fait, il sera maintenant possible de calculer des déplacements en chaque point de la structure, indépendamment de l'existence ou non d'efforts extérieurs en ces points.

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c - Recherche du déplacement en un point d'une structure: théorème de Maxwell-Betti et théorème de CASTIGLIANO. Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti. Ce théorème, relatif à la symétrie des termes δij est nécessaire à la démonstration du théorème. Ce théorème concerne la symétrie du produit Fi Δij vis-à-vis des indices: Le déplacement d'un point j de la structure appartenant au support de F i, lorsqu’est appliqué en i l'effort Fi est égal au déplacement du point i appartenant au support de Fi; lorsqu’est appliqué en j l'effort F j . Les deux points sont supposés être à la même température Fi . Δij = Fj . Δji Démonstration: Considérons une structure de configuration initiale (S1) lorsqu'elle n'est pas chargée, son énergie de déformation est W1 - On charge cette structure de deux manières: cas (α ): on applique d'abord Fi → configuration intermédiaire (S2) puis on applique F j → configuration finale (S3 ) cas ( β ): on applique d'abord F j → configuration intermédiaire (S’2 ) puis on applique Fi → configuration finale (S3 ) Les deux trajets de chargement (α ) et ( β ) sont différents, mais conduisent au même état final : on suppose en effet vérifiées les conditions d'application du principe de superposition : petits déplacements, petites déformations. On a donc, pour l'état final, noté (S3 ) même valeur de l'énergie de déformation W3 . Cas de chargement ( ) : L'application de l'effort Fi, de manière progressive : le déplacement induit au point i est noté Δii, le point j s'est déplacé de Δ ji. La structure se déplace de S1 en S2. 1 Valeur du travail effectué : W2 - W1 = Fi Δ ii 2

A partir de l'état S2, on applique progressivement en j l'effort Fj , l'effort Fi étant déjà appliqué à la structure. La structure se déplace de S2 en S3 . La valeur du travail effectué entre S2 et S3 est égale à : Page 16

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W3 - W2 =

1 2

F j Δ jj

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+ Fi Δ ij

L'énergie de déformation globale est égale à : 1 1 W3 – W1 = Fi Δ ii + F j Δ jj 2 2

+ Fi Δ ij

Cas de chargement ( ) : Application de l'effort Fj , de manière progressive : le déplacement induit en j est noté Δjj, le point i s'est déplacé de Δij. La structure se déplace de S1 en S’2.

Valeur du travail effectué :

W’2 - W1 =

1

F j Δ jj

2

A partir de l'état S’2, on applique progressivement en i l'effort Fi , l'effort Fj étant déjà appliqué à la structure. La structure se déplace de S’2 en S3. La valeur du travail effectué entre S’2 et S3 est égale à : W3 - W’2 =

1 2

Fi Δ ii

+ F jΔ ji

L'énergie de déformation globale est égale à : W3 – W1 =

1 2

F j Δ jj +

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1 2

Fi Δii

+ F jΔ ji



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S3 représente le même état final que celui auquel on arrive par le trajet de chargement (α). On part du même état initial S1. Les énergies de déformation sont donc identiques, que l'on suive le trajet (α), ou (β) : 1 2

Fi Δ ii +

1 2

F j Δ jj

+ Fi Δ ij

=

1 2

F j Δ jj +

1 2

Fi Δii

+ F jΔ ji

Fi Δ ij = F jΔ ji

D'où REMARQUES:

1. Si Fi et Fj sont unitaires, cela signifie Fi = 1 et Fj = 1, Δ ij = Δ ji

δ ij

ou encore

=

δ ji

(symétrie des coefficients)

2. Seules interviennent ici les composantes des déplacements qui sont dans le sens de l'effort Fi , ou Fj : cela est dû au fait que le travail s'écrit sous la forme d'un produit scalaire.

Enoncé du théorème de CASTIGLIANO. Théorème: Le déplacement algébrique du point d'application d'une force sur son support est égal à la dérivée du potentiel par rapport à cet effort. Δi

=

∂W ∂Fi

REMARQUE : F i est pris au sens large de la définition d'un effort (force ou couple). Il en résulte que Δi constitue un déplacement au sens large (translation ou rotation). Démonstration du théorème: L'expression du potentiel en fonction des variables efforts extérieurs est donnée par: W

=

1 2

n

n

∑∑ F F δ i j

ij

i =1 j=1

Page 18



n

on a d'autre part

Δi

= ∑ F jδ ij

et

δ ij

=

TS 2

δ ji

j =1

Calcul de

∂W n = F j δ ij = Δ i ∂Fi ∑ j=1

REMARQUE: pour la démonstration du théorème de CASTIGLIANO, on constate que le théorème de Maxwell-Betti est fondamental. C'est en effet lui qui permet d'effectuer le regroupement, après dérivation, de tous les termes δij et δ ji égaux, donc de faire disparaître le 1 coefficient qui intervient dans W. 2 Exemples d'application:

⇒ voir T.D.

d - Cas où il n y a pas d'effort extérieur appliqué au point et dans le sens où l'on cherche le déplacement: théorème de la charge fictive Méthode utilisée: charge fictive. Le théorème de Castigliano permet de calculer le déplacement Δi dans le sens et au point où est appliqué un effort Fi , par la relation: ∂W Δi = ∂Fi

Si, à l'endroit où l'on désire calculer un déplacement, il n'y a pas d'effort appliqué, on fera intervenir un effort fictif X, au point et dans le sens du déplacement Δ cherché. L'expression de Δ sera donnée par la relation obtenue en appliquant sur X le théorème de Castigliano : Δ

∂W (P, X ) ⎞ = ⎛ ⎟ ⎜ ⎝ ∂X ⎠ X =0

où W(P, X) représente l'énergie de déformation de la structure, calculée en fonction de : P → désignant globalement l'ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structure, X → effort fictif.

Page 19



REMARQUE : X est un effort fictif, qui donc n'existe pas dans la structure réelle: c'est pour ∂W cette raison qu'après avoir calculé on prend la valeur de cette expression pour X = O. ∂X X ne fait que servir d'intermédiaire, afin de permettre le calcul de Δ par application du théorème de Castigliano.

Exemples d'application:

⇒ voir T.D.

e - Généralisation du théorème de Castigliano : théorème de la charge unité, ou théorème de MULLER-BRESLAU Enoncé du théorème : Le travail d'un effort unitaire appliqué à une structure chargée est égal au travail des efforts internes qu’il développe dans cette structure, dans les déformations élastiques dues aux charges extérieures.

Δi

⎡ M M i N N i V Vi ⎤ = ∫structure ⎢ + + ⎥ EI ES GS' ⎦ ⎣

(cas d'une structure plane chargée dans son plan) Démonstration : on a:

∂W ∂Fi

Δi

=

W

= ∫structure

(Castigliano)

(M(x ))² 2EI

dx

REMARQUE : La démonstration est faite sur le seul terme de moment fléchissant, ceci dans le but de simplifier les écritures. Elle est, bien évidemment vraie sur l'ensemble des termes que comporte l'énergie de déformation. M ∂M ∂W dx = ∫structure EI ∂Fi ∂Fi

Page 20

TS 2



TS 2

où M représente le moment fléchissant en un point courant de la structure. II faudrait écrire M(x). Fi représente un effort concentré appliqué en i.

Fi représente un effort concentré unitaire appliqué en i dans le même sens que Fi . M est toujours linéaire par rapport à un effort concentré : c'est le produit de cet effort par la distance au point en lequel on le calcule (en expression formelle). On peut donc écrire:

∂M = «distance» = M ( Fi = l ) = M i ∂Fi on note en effet M i le moment dû à Fi = 1 (ou Fi )appliqué en i. ∂M ∂W Si l'on reporte la valeur de dans l'expression de ; on obtient : ∂Fi ∂Fi

Δ=

MM i ∂W = ∫structure dx ∂Fi EI

Rappel: signification de Δi : c'est le déplacement dans le sens de Fi dû à l'ensemble des forces appliquées à la structure.

REMARQUE : Les intégrales du type

∫

MM i

structure

EI

appelées intégrales de MOHR

Exemples d'application :

⇒ voir T.D.

Page 21

dx ,

∫

structure

N N i ES

dx ,

∫

structure

V Vi GS'

dx , sont



TS 2

II - APPLICATION A LA RESOLUTION DE SYSTEMES HYPERSTATIQUES. 1°/ Introduction. Deux méthodes sont très utilisées pour le calcul des structures hyperstatiques, l’une pour laquelle le point de départ est la notion d’effort, l’autre qui prend comme point de départ les déplacements. Ces deux méthodes, différentes mais aboutissant aux mêmes résultats sont : - la méthode des forces, - la méthode des déplacements. Nous allons, en ce qui nous concerne, étudier la méthode des forces.

2°/ Méthodes des forces. a - Cas d’une structure hyperstatique de degré 1. Considérons une poutre de longueur l, de rigidité en flexion EI = constante, encastrée en A, sur appui simple en B et soumise à une charge uniformément répartie p. Soit (S) cette structure :

Cette structure est hyperstatique de degré 1. Choisissons pour inconnue hyperstatique l’action de liaison en B notée X1 .

La structure (S’) est la structure isostatique associée à (S). (S’) sera identique à (S) si l’inconnue hyperstatique X1 est telle que le déplacement vertical du point B sous l’effet de p et de X1 est nul (la liaison l’empêche). Soit

Δ1 = 0

Page 22



TS 2

En utilisant le principe de superposition, on peut écrire que (S’) est la superposition de 2 systèmes :

(S’) = (S0) + (S1) (S0) : structure soumise au seul chargement extérieur (ici p), (S1) : structure soumise à l’inconnue hyperstatique X1 . (S’) est identique à (S) si on rajoute la condition sur le déplacement Δ1, Δ1 = 0

⎧(S) = (S0 ) + (S1 ) ⎨ ⎩et Δ1 = 0

On a donc

Traduction au niveau des déplacements :

Δ1 = Δ10 + Δ11 = 0 Δ10 : déplacement dans le sens de X1 dû aux charges extérieures (structure S0 ) p

Δ10 Δ11 : déplacement dans le sens de X1 dû à X1 (structure S1). Δ11

= X1 ×

Δ10 + δ11 × X1 = 0 ⇔ X1 = −

δ11 1

X1 On peut donc écrire :

Δ11 = δ11 × X1

Δ 10 δ11

Page 23


Calcul de


10

et de

11

:

Pour cela, on applique le théorème de la charge unité :

Δ 10

et

= ∫structure

δ11 = ∫structure

M 0 (x) M 1 (x) EI M 1 (x) M 1 (x) EI

dx

dx

M 0 (x) : moment fléchissant dû au chargement extérieur (ici p),

M1 (x) : moment fléchissant dû à X1 = 1.

b - Structures hyperstatiques de degré supérieur à 1.

Le principe reste identique à ce que nous venons de voir. Considérons une structure hyperstatique de degré 2 :

Le nombre d’inconnues hyperstatiques étant égal au degré d'hyperstaticité. Lorsqu’on rend la structure isostatique, on fait apparaître 2 inconnues hyperstatiques X1 et X2, ainsi que deux conditions sur les déplacements en B et C :

Page 24

TS 2



En appliquant le principe de superposition, on peut écrire :

(S) = (S0) + (S1) + (S2) La traduction de ce principe au niveau des déplacements donne :

Δ1 = Δ10 + Δ11 + Δ12 = 0 Δ2 = Δ20 + Δ21 + Δ12 = 0 Ce système s’écrit encore :

⎧X 1 δ11 + X 2 δ12 = −Δ 10 ⎨ ⎩X 1 δ 21 + X 2 δ 22 = −Δ 20 On a un système de deux équations à deux inconnues que l’on peut résoudre. REMARQUE : 1.-Théorème de Maxwell-Betti, on a

δ21 = δ12

2.-Les inconnues hyperstatiques Xi peuvent être un effort ou un couple.

3°/ Théorème de Ménabréa. Ce théorème est une application de théorème de Castigliano au calcul des actions hyperstatiques. Le théorème de Castigliano permet d’écrire :

Δi

=

∂W ∂Fi

où W est l’énergie exprimé en fonction de toutes les variables et Δi le déplacement dans le sens de l’effort Fi . Si en remplace l’effort Fi par l’inconnue hyperstatique Xi , le déplacement Δi dans la structure réelle étant nul, on obtient : ∂W Théorème de Ménabréa : =0 ∂X i

Page 25

TS 2


Poutres continues – Théorème des trois moments

Poutres continues Théorème des trois moments

1 - Définitions et notations. 1.1 – Définitions. 1.2 – Notations.

2 - Poutre isostatique associée.

3 – Théorème des trois moments.

4 – Expression des sollicitations et actions de liaison.

5 - Formulaire des rotations usuelles.

Page 1 / 8

TS 2



TS 2

1 - Définitions et notations. 1.1 – Définitions. Une poutre continue est une poutre droite horizontale, reposant sur plus de deux appuis simples, sans encastrement. La poutre est soumise à des charges verticales et les actions de liaisons sont verticales. Soit par exemple la poutre continue suivante :

On remarque que les appuis sont constitués d’une articulation et de n appuis simples.

1.2 – Notations. Les appuis sont numérotés de 0 à n : A 0, …, Ai, …, An Les travées sont numérotées de 1 à n. On note i la travée située entre les appuis A i-1 et Ai. On note Li la portée ou longueur de la travée i.

Ai- 1

A0 A1 L1

Ai

An-1

An

A2

L2

Li

Ln

Il y a (n+1) réactions d’appui et on peut écrire 2 équations de la statique, donc le degré d’hyperstaticité est égal à (n-1).

Page 2 / 8



TS 2

2 - Poutre isostatique associée. Une poutre continue comportant n travées peut être décomposée en n poutres isostatiques sur lesquelles s’appliquent les mêmes charges que sur la poutre continue avec en plus les moments aux appuis. En fait, cela consiste à prendre comme inconnues hyperstatiques les (n-1) moments fléchissants sur appuis M 1, …, Mi-1, Mi, Mi+1, …, Mn-1 qui s’exercent au droit des appuis A1, …, A i-1, A i, A i+1, …, A n-1 et que l’on fait apparaître en représentant la structure isostatique associée à la poutre continue. Les valeurs de M 0 et Mn sont nulles puisque A 0 et An sont des appuis simples et qu’il n’y a pas de couple extérieur appliqué en ces points.

Par exemple, la poutre continue à trois travées suivante peut être décomposée en trois travées isostatiques : p2

p1 A0

p1

M1

=

L1

A1

M1

L2

p3 A2

p2

L1

A1

A3

M2

+ A0

L3

M2

p3

+ A1

L2

M0 et M3 = 0

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A2

A2

L3

A3



TS 2

De façon plus générale, considérons à présent la travée i d’une poutre continue et ses deux travées adjacentes, i-1 et i+1 : pi

pi-1 Ai-2

Mi-2

pi-1

Mi-1

=

Ai-1

Li-1

Mi-1

Li

pi+1 Ai

pi

Mi

+ Ai-2

Li-1

Li+1

Ai+1

Mi

Mi+1

pi+1

+

Ai-1

Ai-1

Li

Ai

Ai

Li+1

Ai+1

On appelle : désigne le moment sur l’appui A i (Mi < 0) Mi Mi-1 désigne le moment sur l’appui A i-1 (Mi-1 < 0) Mi(x) désigne le moment fléchissant dans la travée i de la poutre continue Moi(x) désigne le moment fléchissant dans la travée i isostatique associée et chargée seulement par p i(x) sans les moments sur appuis M i et Mi-1 désigne θi’ désigne θ0i’’ désigne associée θ0i’ désigne associée θi’’

E I Li

la rotation à droite de la travée i, donc à gauche de l’appui Ai la rotation à gauche de la travée i, donc à droite de l’appui A i-1 la rotation à droite de la travée i, dans la travée i isostatique la rotation à droite de la travée i, dans la travée i isostatique

Le module d’Young du matériau constitutif de la poutre Le moment quadratique de la poutre suivant l’axe de flexion concerné La portée de la travée i

Pour que nos poutres isostatiques associées se comportent comme la poutre continue d’origine il faut écrire l’égalité des rotations sur les appuis : Rotation à gauche de l’appui = Rotation à droite de l’appui

Soit pour l’appui Ai :

θi’’

=

θi+1’

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3 – Théorème des trois moments. Intéressons nous à la travée i :

Mi-1

pi

TS 2

Mi

Ai-1

Ai Li Ai-1

Calculons pour cette travée les rotations θi’ et θi’’ en appliquant le principe de superposition :

θi’

θi’’

Ai

Effet de Mi : Chargement

Diagramme du moment

Equation du moment

Mi M(x) Ai-1

Li

Ai

Li

M(x) =

x

⎛ x ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ L i ⎠

- M i ⎜⎜

Mi

Rotation θi’ à droite de Ai-1

Rotation θi’’ à gauche de Ai

Théorème de la charge unitaire : 1 1 θi’ = EI

∫

θi’

×

= -

dx

1 LM 6EI i i

Théorème de la charge unitaire : 1 θi’ = EI

∫

- Mi

× 1 1 θi’ = LM 3EI i i

- Mi

dx

Effet de Mi-1 : Chargement

Diagramme du moment

Mi-1

Equation du moment

M(x) Mi-1 Ai-1

Li

Ai


x

Li Théorème de la charge unitaire : 1 1 θi’ = EI

∫

θi’

Page 5 / 8

=

⎛ x ⎞ M(x) = M i−1 ⎜ 1 − ⎟ ⎜ L ⎟ i ⎠ ⎝

× Mi-1 1 LM 3EI i i-1

dx



Théorème de la charge unitaire : 1 θi’ = EI

∫


M × 1 1 θi’ = LM 6EI i i-1

dx

Effet de M0i : Chargement

Diagramme du moment

pi

M(x) Li

Ai-1

Equation du moment

Ai

Li

M(x) = M0i(x)

x


θ0i’


θ0i’’

Rotation

θi’

à droite de Ai-1 par superposition : θi'=

Rotation

θi’’

Egalité des rotations : −

1 1 L i Mi + L M +θ ' 6EI 3EI i i−1 0i

à gauche de Ai par superposition : θi''=

⇔

−

θi’’

=

−

1 1 L i M i-1 + L M + θ '' 6EI 3EI i i 0i

θi+1’

1 1 1 1 L i M i-1 + L i M i + θ0i'' = − L i+1 M i+1 + L M +θ ' 6EIi 3EIi 6EIi+1 3EIi+1 i+1 i 0i+1 ⇔

M i-1 L i M i ⎛ L L ⎞ M L ⎜ i − i+1 ⎟ + i+1 i+1 = θ0i+1' - θ0i'' + 6EI i 3E ⎜⎝ I i I i+1 ⎠⎟ 6EI i+1

Equation des 3 moments pour E = Cte et I différent selon les travées. Page 6 / 8

TS 2



TS 2

Dans le cas où on a toujours E = Cte mais aussi I = Cte, l’équation des trois moments se simplifie : ⇔

M i-1 L i +

2M i ( L i + L i+1 ) +

M i+1 L i+1

=

6EI (

θ0i+1'

-

θ0i''

)

4 – Expression des sollicitations et actions de liaison. Les sollicitations dans la travée hyperstatique sont déterminées par superposition des sollicitations dues au chargement extérieur et celles dues aux moments sur appuis. Soit, pour le moment fléchissant, on peut écrire : ⎛

M i (x) = M 0 i (x) + M i−1 ⎜⎜1 − ⎝

x ⎞⎟ x + Mi L i ⎠⎟ Li

De même pour l’effort tranchant : V i (x) = V0 i (x) +

M i−1 Mi − Li Li

On déduit les actions de liaisons des valeurs de l’effort tranchant à droite et à gauche de l’appui Ai :

YA i = Vi ( L i ) − V i+1 ( 0 )

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Livre RDM Extra

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