Méthode des rotations
1 81
182
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
8.3.3 Exemple
8.4 SYSTEMES A NŒUDS FIXES
Soit à calculer les coefficients C Ai et λ Ai de la structure représentée à la figure 8.4. On a :
8.4.1 Exposé de la méthode
C Ai =
Afin de fixer les idées nous raisonnerons sur la structure représentée à la figure 8.5.
K Ai 4
∑ K
Aj
j =1
K A1 = K A3 =
B
4(3EI) L 3(5EI) L
= =
12EI
K A2 =
L 15EI
K A4 =
L
4(2EI) L 4(EI) L
=
=
C
E
Fi-
8EI L Figure 8.5
4EI L
D A
1 L ; 3EI
A
4 L ; EI
2 L ; 2EI
Figure 8.4
Dans ce cas, les moments aux extrémités de chaque barre, dus aux charges extérieures, peuvent être calculés par l'une des méthodes exposées dans les cha pitres précédents.
L ;5EI
3 4
∑
K Aj =
et
j =1
d’où :
C A1 =
Ces moments, désignés par M , sont appelés moments d'encastrement parfait ou plus simplement moments d'encastrement . Ainsi, aux appuis on a les moments :
39EI L
12 39
C A2 =
8 39
C A3 =
15 39
C A4 =
4 39
M AB en A , M DC en D , M EC = 0 en E et aux nœuds : M B = M BA + M BC en B , M C = M CB + M CD + M CE en C
De plus :
λ A1 = λ A2 = λ A4 =
Supposons que les nœuds B et C ont été bloqués (verrouillés) avant l'application des charges. Les barres sont donc bi-encastrées (barres AB, BC et CD) ou encastrée et articulée (barre CE ) et peuvent être con sidérées séparément.
1 2
et
λ A3 = 0
Du point de vue mécanique, bloquer les nœuds B et C revient à appliquer à ces nœuds des moments, dits de fixation ou de blocage, qui valent "-M B" et "-M C ", respectivement. Pour parvenir à l'état final réel, il faut que tous les nœuds soient débloqués (libres). Au lieu de déverrouiller tous les nœuds simultanément, avec la méthode de Cross on libère un n œud à la fois. Commençons par débloquer le nœud B par exemple qui va pouvoir tourner. Effectuer cette opération de déverrouillage, équivaut à appliquer un moment (1) M B = M B en B. Les nœuds A et C étant toujours bloqués, le couple M (1) B sera réparti entre les barres BA et BC selon la relation (8.3).
Méthode des rotations
1 87
8.4.5 Exemple d'application On veut résoudre le portique représenté par la méthode de Cross. La charge répartie vaut 1 t/ml . q 1
2
3
Figure 8.6
6m
4m
6m
Les facteurs de rigidité valent : K 12 = K 21 = 3 ; K 23 = K 32 = 2 ; K 14 = K 41 = K 25 = K 52 = 1 Solution :
C 25 =
Noeud (ou appui)
4
Barre (ou extrémité)
41
Coef. de répartition x -1 Mot. d’encastrement (tm) Nœud libéré
Mot de libér. (tm)
1
3
2
-4.125
1
1.031
2
-0.387
K 14
=
K 14 + K 12
1 4
= 0.25, C 12 =
K 23 K 21 + K 23 + K 25 K 25 K 21 + K 23 + K 25
1
0.097
2
-0.036
Mots aux extrémités des barres
a) Facteurs de répartition
C 23 =
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
1
2
14
12
21
-0.25
-0.75
-0.50
0.0
00
3.0
-3.0
- 0.375
-0.75
-2.25
-1.125
1.031
2.063
23
25
5
3
52
32
0.0
0.0
-0.333 -0.167 0.0
0.0
1.375
0.688
0.344 0.688
0.129
0.065
0.033 0.065
5
4
C 14 =
188
2
=
=
6 1 6
K 12 K 14 + K 12
= 0.333,
= 0.167
C 21 =
et
=
3 4
= 0.75, et C 14 + C 12 = 1 K 21
K 21 + K 23 + K 25
=
3 6
= 0.50
C 21 + C 23 + C 25 = 1
- 0.129
-0.258
-0.773 -0.387 0.097
- 0.012
- 0.516
-0.024
-1.032
-0.073 -0.036 0.009
0.018
0.012
0.006
0.003 0.006
1.041
-2.273
1.516
0.759
0.380 0.759
Diagrammes M, N et T Pour les diagrammes de M et de T , on étudie chaque barre séparément, sup posée isostatique et chargée par les sollicitations extérieures qui lu i sont directement appliquées et par des moments aux extrémités obtenus par la méthode de Cross (dernière ligne du tableau de Cross). Les efforts normaux dans les barres sont obtenus à partir des conditions d'équilibre de translation horizontale et verticale des nœuds 1 et 2.
N.B. : Tous les coefficients de transmission valent 1/2.
2.28 1.52
b) Moments d'encastrement parfait. Seule la travée 12 est chargée. Avec la convention d e Cross on a : M 12 = − M 21 =
qL² 12
1.03 0.76
= 3 tm M(tm)
Les autres moments sont nuls. Le reste des calculs est montré dans le tableau de la page suivante. La dernière ligne donne les moments recherchés aux extrémités des b arres.
0.194
0.52
0.38
0.76
Méthode des rotations
1 91
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
192
Exemples d’application
Barre AB : M AB = + P
B
E
C 2EI
q
2,00m
4,00m
M BA = −
2EI
I C
E
2)
4
; R BC =
2 I
C BC =
R BA + R BC R BC R BC + R BA
=
1 4+2 5
RCB
=
2 5 2 5 + 1 4 + 3 10
≅ 0.4210
14
C CB+C CD+C CE = 1 ; 0.4210 + 0.2632 + 0.3158 = 1
800
( b + a 2 ) = 960 kg .m
B
C
D
BC
CB
CD
CE
-0.3846
-0.6153
-0.4211
-0.2622
-0.3158
-800
0
0
0
E
DC
EC
960
0
0
-380.89
-158.73
0
-24.67
-10.28
- 1.60
-0.67
M B(1)=-800 M C(1)=1206.12
C débloqué
-253.95
-507.90
B débloqué
M B(2)=-253.95 +48.83
+97.67
+156.26
+78.13
C bloqué M C =M C(2)
M C(2)=78.13
C débloqué
-16.45
- 32.90
- 20.56
3ème Cycle bloqué M B=M B(3) B débloqué
M B(3)=-16.45 3.16
6.33
10.12
5.06
C bloqué M C =M C(3) C débloqué
Calcul des moments d’encastrement parfaits :
-317.45
2ème Cycle B bloqué M B=M B(2)
B
3)
l ²
BA
C bloqué M C =M C(1)
= ≅ 0.2632 C CD = RCD + RCB + RCE 1 4 + 2 5 + 3 10 RCE 3 10 = ≅ 0.3158 C CE = RCE + RCD + RCB 3 10 + 1 4 + 2 5 RCD
AB
B bloqué M B=M B(1)
2 5 = ≅ 0.6154 2 5+1 4
RCB + RCD + RCE
Pa .b
1er Cycle
≅ 0.3846
Vérification : Σ C ij=1 ; C BA+C BC = 0.3846 + 0.6153 = 0.9999 ≅ 1 C CB =
A
Barres
Moments d’encastrement parfait Mij
14
Nœuds
Coefficient de répartition Cij pris en (-)
5 3 2 I 3 I = ; RCE = . 4 5 10
R BA
b=3m
5,00 m
Coefficients de répartition des barres :
C BA =
M EC = 0 M CE =
a=2m
Raideurs des barres :
RCD =
CE
D 5,00 m
4 I
l=5m
P=10 kg
q = 600 kg/m A
I
12
M BA
M AB
= −800
Barre CE :
I
3
R AB =
12 ql ²
q=600 kg/m
= 800
3,00m
P = 10 kg
1)
ql ²
M C(3)=5.06 -1.07
-2.13
-1.33
0
Méthode des rotations
B bloqué M B=M B(4) B débloqué
1 93
M B(4)=-1.07 0.20
0.41
194
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
A
0.66
B
0.33 1600
4ème Cycle C bloqué M C =M C(4) C débloqué
Σ
1006
M C(4)=0.33
1006
-387.91
387,91 B
A
-0.07
-0.14
-0.09
-0.10
-0.04
0
387.74
-213.43
-339.43
552.74
-169.72
0
387,91
_ 707,22
q=600 kg/m +
Trace du diagramme de M 387,74
ql²/8=1200 1600
P
213,43
B
C
552,74
E
387,91
339,43
387,91
2,00 m
A
3,00 m
+
4,00 m q
492,78
2,00 m
169,72
1006
D 5,00 m
Diagramme de M le long de AB
5,00 m
Diagramme de M le long de CE
2,00 m
Méthode des rotations
1 95
196
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
Diagramme de M sur toute la structure 552,74 P=10
3
552,74
387,74
E
C
213,43 387,91 332,43
552,74 552,74
_ E
C
492,78
868,36
331,64
P=10
3
1006
E
C
+ 2,00 m
3,00 m
1200 552,74
+ 868,36
M le long de BC
387,74
M le long de DC
169,72
213,43 C
B
339,43 C
D
339,43
387,74 213,43 _ B
_ C
D
C +
169,72
196,72
