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matemática, cálculo, límite, trigonométrico, una variableDescripción completa
Testimonios especiales
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Límites
Límites por definición Calcular un límite por definición significa encontrar una diferencia entre f(x) y L (es decir, f(x)-L), dado que x está cerca de c , pero no es igual a c. Gráficamente, puede verse de la siguiente manera:
Esta diferencia entre f(x) y L tiene que ser menor a un valor que llamaremos ε. Así, aseguramos que dentro de este rango de valores esté el límite. Para ello, se tendrá otro valor llamado δ, que da el rango en el cual se encuentra x cuando tiende a c.
Definición ε>0 ∃ δ>0 /si 0
La anterior definición puede ser separada de la siguiente forma para su mayor entendimiento: • • • • •
ε>0 :Para todo épsilon mayor que cero ∃ δ>0 : Existe un delta mayor que cero /:Tal que si 0
¿Cómo se demuestra un límite por definición? El objetivo de la demostración es hallar un valor para δ (que usualmente depende de ε, por ejemplo, δ=3ε). Esto se hace primero
partiendo de fx-L y desarrollando esta expresión matemáticamente hasta que se asemeje a x-c. Tomemos el siguiente ejemplo para ilustrar una demostración: Demostrar Demostrar que limx→23x-2 es igual a 4 Partimos de fx-L , que en nuestro caso es 3x-2-4, y queremos llegar a algo similar a x-2 ε>0 ∃ δ>0 /si 0
1 Elaborado por Ana Figueira. 2012
Límites
3x-6<ε Sacamos 3 como factor común 3x-2<ε Ya conseguimos la expresión similar que buscábamos. Ahora solo falta hallar la relación entre δ y ε Llegamos a esto: x-2<ε3 y sabemos que se debe cumplir esto: x-2<δ Por lo tanto, de ambas expresiones obtenemos que: δ=ε3, o bien 3δ=ε Si es necesario, luego de este último paso se puede escribir la demostración formal: Para ε>0, ε>0, se elije δ=ε3. δ=ε3. Entonces x-2<δ implica que: 3x-2-4=3x-6=3x-2=3δ=ε En algunas ocasiones, es necesario usar la propiedad triangular: triangular : a+b≤ a+b