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Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recorda…Descripción completa
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Descripción: Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recordar las p...
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Descripción: Algebra relacional bases de datos pizzeria
matemática, cálculo, límite, trigonométrico, una variableDescripción completa
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Descripción: limites operacionales aviacion
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CURSO: CÁLCULO I Tema :
Límite de una función: Cálculo algebaico del Límite! Límite" lateale" # al infinito
Ejercic Eje rcicios ios Propuest Prop uestos os Cálculo de Límites 1. Calcular los límites siguientes: lim 3 x 2 − x − 2 x →2
a) Solución: lim 3 x 2 − x − 2 = 8
x → 2
lim
x − 27
x → 27 3
x
−3
b) Solución: lim
x − 27
x →27 3
lim
x →16
x − 3
= lim
x − 27
x → 27 3
x − 3
3
x + 33 x + 9
3
x + 3 x + 9
×
2 2
3
= lim
( x − 27) 3 x 2 + 33 x + 9 x − 27
x →27
= 27
x − 4 x − 16
c) Solución: lim
x →16
lim x →3
x − 4 x − 16
= lim
x →16
x − 4 x − 16
×
x + 4 x + 4
= lim
x →16
x − 16
( x − 16) ( x + 4)
=
1 8
2 x + 3 − x x − 3
d) Solución: lim
x →3
2 x + 3 − x x − 3
= lim
2 x + 3 − x
x →3
x − 3
×
2 x + 3 + x 2 x + 3 + x
= lim
x →3
x 2 − 2 x − 3
( x − 3) ( 2 x + 3 + x )
( x − 3) ( x + 1) 2 =− x →3 3 ( x − 3) ( 2 x + 3 + x )
= lim
lim
x →4
e)
− 17 x + 20 4 x 2 − 25 x + 36 3 x 2
Solución:
( 3 x − 5) ( x − 4) =1 x →4 4 x 2 − 25 x + 36 x → 4 ( 4 x − 9 ) ( x − 4 ) lim
3 x 2 − 17 x + 20
= lim
1
+ 4 x2 − 3x − 2 x 2 + 13x − 14
x3
lim x →1
f)
Solución: lim
x 3 + 4 x 2 − 3 x − 2 x + 13 x − 14 2
x →1
( x = lim
+ 5 x + 2 ) ( x − 1) 8 = ( x + 14)( x − 1) 15
2
x →1
x − 8
lim
4 − 3 x
x → 64
g) Solución: lim
x
x → 64
−8
4 − 3 x 3
lim h →0
( x − 64) 16 + 43 x + 3 x 2 + 8 16 + 43 x + 3 x 2 = xlim × × = xlim = −3 3 2 64 → 64 4 − 3 x → 3 ( x + 8)( 64 − x ) x + 8 16 + 4 x + x
x + h −
x
3
−8
x
x
h
h) Solución: 3
lim
h →0
lim
x → 4
2 2 3 3 x 3 ( x + h ) + 3 x( x + h ) + x − = lim × h →0 3 h ( x + h ) 2 + 3 x( x + h) + 3 x 2 3 x ( x + h ) − x = lim = h →0 3 2 h ( x + h ) + 3 x( x + h ) + 3 x 2 3 x
x + h − 3 x
3
h
x + h
3 − 5 + x 1 − 5 − x
i) Solución: lim
x →4
3 − 5 + x 1 − 5 − x 3
lim
= lim
x → 4
3 − 5 + x 1 − 5 − x
×
3 + 5 + x 3 + 5 + x
×
1 + 5 − x 1 + 5 − x
= lim
x →4
( 4 − x ) (1 +
(3 +
5 − x
)
5 + x ( x − 4)
=−
1 2
x + 27 − 3 x + 4 − 2
x →0
j) Solución: 3
lim
x →0
x + 27 − 3 x + 4 − 2
= lim x→0 = lim x→0
3
x + 27 − 3 x + 4 − 2
×
x + 4 + 2 x + 4 + 2
×
3
( x + 27 ) 2 + 33 x + 27 + 9
3
( x + 27 ) 2 + 33 x + 27 + 9
( x + 4 + 2)( x + 27 − 27 )
=
4
( x + 4 − 4 ) 3 ( x + 27 ) 2 + 33 x + 27 + 9 27
Límites Laterales
2
. Sea la función “f” denida por:
x + 1 $ si x < −1 f ( x ) = x 2 $ si − 1 ≤ x ≤ 1 1 − x $ si x > 1
Calcular: lim − f & x% = lim ( x 2 = 1
lim f & x % = lim ( x + 1) = 0
x → −1−
a)
x → −1
lim + f & x% = lim ( x
x →1
c)
=1
2
x →−1
x →−1
x →1
d%
b) lim f & x % = lim (1 − x )
x →1+
x →1
=0
e)
!. Sea la función “h” denida por: f)
4 − x 2 $ si x ≤ 2 h ( x ) = 2 $ si 2 < x ≤ 5 x − 5 $ si x > 5
Calcular: lim− f & x% = lim ( 4 − x 2 ) = 0
x → 2
lim f & x % = lim 2 = 2
x →5−
x → 2
x →5
c)
a) lim f & x % = lim 2 = 2
x → 2 +
d%
x → 2
b)
3
lim f & x % = lim ( x − 5)
".
x →5 +
x → 5
=0 Sea
la
función
“h”
denida
ax 2 + bx + 1$ si x ≤ 1 h& x% = 2ax − b$ si 1 < x ≤ 2 x + 1$ si x > 2
lim h& x % x →1
. Calcular los valores de “a” “b” tales !ue lim h& x % x →2
e"istan. e) Solución: lim h& x % x →1
a) Como
e"iste# tenemos: lim h& x% = lim+ h& x%
x →1−
x →1
lim ( ax 2 + bx + 1) = lim ( 2ax − b ) x →1
x →1
a + b + 1 = 2 z − b
f) g)
a − 2b = 1
$e lo cual se tiene: lim h& x %
x →2
b) Como
e"iste# tenemos: lim h& x% = lim+ h& x%
x → 2−
x →2
lim ( 2ax − b ) = lim ( x + 1)
x →2
x → 2
4a − b = 3
h)
a − 2b = 1 4 a − b = 3 i)
j)
$e las dos ecuaciones anteriores# tenemos: 5 1 b=− a= 7 7 %esolviendo este sistema# tenemos:
&) Límites al I#$#ito
%. Calcular los límites al innito siguientes: lim
x→∞
a) l)
+ 3x + 5 3 x 2 − 2 x + 1
2 x 2
Solución:
+ 3 x + 5 2 = x →∞ 3 x 2 − 2 x + 1 3 lim
m) lim
x →∞
2 x 2
16 x 2 + 4 x 2 + 7
b) n)
Solución:
por:
16 lim
x → ∞
16 x 2 x 2
+7
x 2
= xlim →∞
+7
1+
7
+
x 4 7
=0
x 2
o) lim
x→+∞
(
x 2 − 5 x + 6 − x
)
c) p)
Solución: lim x
2
x →∞
− 5 x + 6 + x x 2 − 5 x + 6 + x − 5 x + 6 x 2 − 5 x + 6 − x 2 5 = xlim = = − lim →∞ 2 x 2 − 5 x + 6 + x x→∞ x 2 − 5 x + 6 + x
− 5 x + 6 − x = xlim ( →∞
x
2
− 5 x + 6 − x ) ×
x 2
!)
r) Límites & 'rá$cas de (u#cio#es
). 'ara la función “g”# abajo# calcular: s) lim g &t % = −2
lim g &t % = −1
x →0−
a*
x → 0 +
b) lim g &t % = 0
lim g &t % = 2
x → 2 +
t) c)
x → 2 −
d)
g &0% = −1
u) e)
g & 2% = 1 f)
v) +. (n el caso de la función %# cua grca se muestra# estable*ca lo siguiente: +) lim R& x% = −∞
lim R& x% = +∞
x → 2
a)
x →5
b) lim R & x % = −∞
lim R& x% = +∞
x →−3 −
x →−3+
") c) d) ) ,. (n el caso de la función “f” cua grca se muestra abajo# estable*ca lo siguiente: lim f & x% = −∞
lim f & x% = +∞
x → −7
a)
x →−3
b) lim f & x% = +∞
lim f & x% = −∞
x →6 −
x → 0
*) c)
d) lim f & x % = +∞
f &0% = +∞
x →6 +
aa) e)
ac*
f) ab)
s&t % = − 16t 2 + 1000
-. (n las siguientes situaciones# utili*ar la función de posición
# !ue da la altura ,m) de un objeto !ue lleva caendo “t” segundos desde la altura de - m. /a velocidad en el instante t 0 a segundos est dada por: s &a % − s &t % lim t →a a − t ad) . a) 1 un mecnico se le cae una llave desde una altura de - m. 21 !u3 velocidad est caendo luego de 4 s5 ae) Solución: lim
s &5% − s &t %
− 400 t − 5 5 − t 2 ( t − 5)( t + 5) t − 25 = −16 lim = − = −160 16 lim t →5 t − 5 t →5 t − 5 = lim t →5
5 − t
t →5
600 + 16t 2
− 1000
= − lim t →5
16t 2
af) ag) (l objeto est caendo a una velocidad de -6 m7s. b) 2Cuanto tiempo tardar en llegar en el suelo5 2/legar con !u3 velocidad5 ah) Solución: ai) 'ara determinar el momento en !ue llega al suelo# hacemos lo siguiente: s&t % = 0
− 16t 2 + 1000 = 0 t = 7!90 aj) a&) 'ara determinar la velocidad con !ue llegar al piso# hacemos lo siguiente: al) lim
t →7!90
s &7!90% − s &t %
7!90 − t
=
lim
1!44 + 16t 2
1000
7!90 − t
t →7!90
16 lim
−
t
2
−
= −
t →7!90
t −
62!41 7!90
= −
lim
16t 2
t →7!90
= −
16 lim
−
t −
998!56
7!90
( t − 7!90)( t + 7!90)
t →7!90
t −
7!90
252!8
= −
am) (l objeto est caendo a una velocidad de 848.9 m7s. /os impuestos de cierto (stado se aplican al -8 los primeros 8 1. euros al -6 el resto del capital. Se tiene la función: a + 0'12 ×x $ si x ≤20000 T & x % = b + 0'16 ×( x −20 000) $ si x >20 000 an) lim T & x% = 1000
lim T & x%
x → 20000
x →0+
ao) Se sabe !ue adems se sabe !ue a) ;allar las constantes “a” “b”. lim T & x % = 1000
x → 0 +
-. Sabemos
# lo cual signica !ue:
e"iste.
lim ( a + 0!12 )
x →0
⇒
ap)
= 1000 a = 1000
lim T & x %
x →20000
8. Sabemos
e"iste# lo cual signica !ue: lim
x → 20000+
T & x % =
lim
x →20000−
lim &1000 + 0!12 x % = lim
x→ 20000
T & x %
[ b + 0!16( x − 20000) ]
x →20000
⇒ b = 3400 a!) b) 2Cul es la importancia de la e"istencia estos límites5 ar) /a e"istencia de los límites es importante pues de esa manera se obtienen los valores de a b# a !ue de lo contrario no sería posible. c)
au%
