Ejemplo Derivada por d efinición Determine la derivada de f x x 2 5 x 3 . Solución: como se mencionó antes, el procedimiento consta de cuatro pasos: 1) Damos una variación a x , la cual simbolizamos con x y repercute en una variación en la variable dependiente f x : 2
f x x x x 5 x x 3
Desarrollamos 2
f x x x x 5 x x 3 2 2 f x x x 2 xx x 5 x 5x 3
2) Determinamos la variación de f x , restando la función inicial a la última expresión. f x x x 2 2 xx x 2 5 x 5x 3
f x x 2 5 x 3
f x x f x x 2 2 x x x2 5 x 5 x 3 x 2 5 x 3 2 f x x f x 2 xx x 5x
3) Dividimos ambos lados entre x para establecer la razón de las variaciones. f x x f x
x
2 xx x2 5x x
Simplificamos f x x f x
x f x x f x
x
2
2 x x x 5 x x
2 x x 5
4) Determinamos el límite a ambos lados de la igualdad cuando x 0 . lim
x 0
f x x f x
x
lim 2 x x 5 2 x 5 x 0
df dx
f x
Ejemplo Derivada por d efinición Determine la derivada de f x
1 x 2
Solución: 1) Damos una variación a x , la cual simbolizamos con x y repercute en una variación en la variable dependiente f x : f x x
1 x x 2
2) Determinamos la variación de f x , restando la función inicial a la última expresión. f x x
1
x x 2 1 f x x 2
1
f x x f x
1
x x 2 x 2 x f x x f x x x 2 x 2
x 2 x x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2
3) Dividimos ambos lados entre x para establecer la razón de las variaciones. f x x f x
x
x x x x 2 x 2
Simplificamos f x x f x
x f x x f x
x
x x x x 2 x 2 1
x x 2 x 2
4) Determinamos el límite a ambos lados de la igualdad cuando x 0 . lim
x 0
lim
x 0
f x x f x
x f x x f x x
lim
x 0
1
x x 2 x 2
1 1 df f x 2 x 2 x 2 x 2 dx
Ejemplo Derivada por d efinición Calcule la derivada de f x x 2 Solución: 1) Damos una variación a x , la cual simbolizamos con x , llegando a una posición final x x y repercutiendo en que la variable dependiente f x también llegue a una posición final f x x : f x x
x x 2
2) Determinamos la variación de f x , restando la función inicial a la última expresión. f x x
x x 2
f x x 2
f x x f x
x x 2
x2
Multiplicamos por el conjugado para racionalizar (simplificar) f x x f x f x x f x f x x f x f x x f x
x x 2
x2
x x 2 x 2 x x 2 x 2
x x 2 x 2 x x 2
x2
x x 2 x 2 x x 2 x
x2
x x 2
x2 3) Dividimos ambos lados entre x para establecer la razón de las variaciones. f x x f x x x x x x 2 x 2
Simplificamos f x x f x
x f x x f x
x
x x x x 2 x 2
1 x x 2
x 2
4) Determinamos el límite a ambos lados de la igualdad cuando x 0 . lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
f x x f x
x f x x f x
x f x x f x
x
lim
x 0
1 x x 2
x2
1 x2
1 2 x 2
x2
df dx
f x
Ejercicio s Derivada por definici ón Determine la derivada de las funciones siguientes mediante la definición de la derivada: 1.
