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Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recorda…Descripción completa
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Descripción: Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recordar las p...
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Descripción: Algebra relacional bases de datos pizzeria
matemática, cálculo, límite, trigonométrico, una variableDescripción completa
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Descripción: limites operacionales aviacion
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Departamento de Ciencias
Calculo Calcul o 1_Ingeniería
SESIÓN 6 Límites y continuidad de una función – Cálculo de Limites Cálculo de Límites 1. Calcular los límites siguientes:
a)
lim 3 x
2
x
2
x 2
Solución: lim lim 3 x
2
x
28
x 2
b)
lim x 27
x 3
27
x
3
Solución: lim lim x 27
c)
lim x 16
x
27
3
x
3
x
4
lim lim x 27
x
3
27
x
2
3
3
x
9
3
x
3
x
4
3
x
2
3
3
x
lim lim
x
27
x 27
9
3
x
2
3
3
x
9
x
27
27
x 16
Solución: lim lim x 16
d)
lim x 3
x
4
x 16
x 16
2 x 3 x
lim lim
4
x
lim lim
x 16
x 16
4
x
x 16
x 16
x
1 4
8
x
3
Solución:
lim lim x 3
2 x
3
x
x
3
2 x
lim lim
lim lim x 3
3
2 x
x
3
x
x 3
x
3
x
x
3
2 x
3
3
x
x 1
2 x
3
x
lim lim x 3
x
x
2
3
2 x 2 x
3
3
x
2
3
1
Departamento de Ciencias
e)
lim x 4
3 x
2
4 x
2
17 x
Calculo 1_Ingeniería
20
25 x 36
Solución: 3 x
lim
4 x
x 4
f)
x
lim x 1
3
2
17 x
lim
2
25 x
4x
x
20
2
2
36
x 4
3 4
9
x x
5
1 4 4
x x
3x 2
13 x 14
Solución:
lim
x
x 1
g)
3
4 x
x
2
3 x
2
x
2
lim
13 x 14
x 1
2
5 x
2
x 14
x 1
8
x 1
15
x 8
lim x 64
4
3
x
Solución: x
lim
4
3
lim
3
x 64
x
x h
x
lim
x 64
h)
8
3
8
x
4
3
16 4
x
3
x
2
x
x
3
8 8
3
16 4
x
3
x
2
lim
x
x 64
3
64 16 4 x
x
864
x
3
x
2
3
x
h
h 0
Solución: 3
lim
x h
h 0
3 x
h
x h lim h x h x h x lim h x h x x h 3
h
h
x h
0
0
3
i)
lim x 4
3
5 x
1
5 x
3 x
2
3
2
3
2
3
3
3
x x h
x x h 3
3
x
2
3
x
2
3
x
2
x
3x
Solución: 2
Departamento de Ciencias
lim x 4
3
1
3
j)
5 x
lim x 0
lim
5 x
x
x 4
27
3
4
2
x
Calculo 1_Ingeniería
3
5 x
3
5 x
1
5 x
1
5 x
3
5 x
1
5 x
lim x 4
4 1 x
3
5 x
5 x
x
27 9
x
27 9
x
4
1
2
Solución: 3
lim x
0
3 27 3 lim 0 x 4 2
x
27 3 x 4 2
x
x
4 2 x 27 27 0 2 3 3 x 4 4 x 27 3 x 27 9
lim x
2 4 2 3 x 27 33 3 x 4 2 x 272 33
x
x
4 27
Límites Laterales
x 1 ; si x 1 2. Sea la función “f” definida por: f x x 2 ; si 1 x 1 1 x ; si x 1 Calcular: a) b)
lim f ( x) lim x 1 0
x 1
x 1
d)
1 lim x 1
lim f ( x) lim x
c)
x 1
lim f ( x)
x1
2
x1
2
x1
lim f ( x) lim 1 x 0
x1
x 1
4 x 2 ; si x 2 3. Sea la función “h” definida por: h x 2 ; si 2 x 5 x 5 ; si x 5 Calcular: a) b) c)
lim f ( x) lim 4 x 2
x2
x2
0
lim f ( x) lim 2 2
x 2
x2
lim f ( x) lim 2 2
x 5
x 5
3
Departamento de Ciencias
d)
Calculo 1_Ingeniería
lim f ( x) lim x 5 0
x5
x5
ax 2 bx 1; s i x 1 4. Sea la función “h” definida por: h( x) 2ax b; s i 1 x 2 . x 1; s i x 2 Calcular los valores de “a” y “b” tales que lim h( x) y lim h( x ) existan. x 1
x 2
Solución: a) Como lim h( x ) existe, tenemos: x 1
lim h( x) lim h( x)
x 1
lim x 1
ax
2
x 1
bx 1
lim 2ax b x 1
a b 1 2 z b
De lo cual se tiene: a
2b
1
b) Como lim h( x ) existe, tenemos: x 2
lim h( x ) lim h( x )
x 2
x 2
lim 2ax b lim x 1 x 2
x 2
4a b 3 De las dos ecuaciones anteriores, te nemos:
Resolviendo este sistema, tenemos: a
5
7
a 2b 1 4a b 3 y b
1
7
Límites al Infinito 5. Calcular los límites al infinito siguientes:
a)
lim x
2 x
2
3 x
2
3x 5
2x 1
Solución:
lim x
2 x 3 x
2 2
3 x 5
2
2 x 1
3
4
Departamento de Ciencias
b)
16 x
lim x
x
2
2
Calculo 1_Ingeniería
4
7
Solución:
16 16 x
lim
x
x
c)
lim x
2
2
x
2
7
x
lim
7
x
5x
6
x
4
7
1
x
7
2
x
0
2
Solución: lim
x
2
5 x
6
x
x
lim x
x
5 x
6
2
5 x
x
2
6 x
5 x
6
2
5 x
6
x
2
5 x
6
x
x
2
x
x
x x
lim
2
x
5 x
lim x
6
5
x
2
5 x
6
x
2
Límites y Gráficas de Funciones 6. Para la función “g”, abajo, calcular:
a)
lim g (t ) 1
x0
c) e)
7.
lim g (t ) 0
x2
g (0)
1
b) lim g (t ) 2 x 0
d) lim g (t ) 2 x 2
f) g (2)
1
En el caso de la función R, cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente:
a)
lim R( x)
b) lim R( x)
lim R( x)
d) lim R( x)
x 2
c)
x3
x5
x 3
5
Departamento de Ciencias 8.
Calculo 1_Ingeniería
En el caso de la función “f” cuya gráfica se muestra abajo, establezca lo siguiente:
a)
lim f ( x)
b) lim f ( x)
lim f ( x)
d) lim f ( x)
lim f ( x)
f) f (0)
x7
c)
x3
x0
e)
x6
x6
2
s(t ) 16t
9. En las siguientes situaciones, utilizar la función de posición
1000 , que da la altura (m)
de un objeto que lleva cayendo “t” segundos desde la altura de 10 00 m. La velocidad en el instante t
= a segundos está dada por:
lim
s ( a) s(t )
.
a t
t a
a) A un mecánico se le cae una llave desde una altura de 1000 m. ¿A qué velocidad está cayendo luego de 5 s? Solución:
lim
s (5) s (t )
5 t
5
t
lim
600 16t 2
1000
5 t
5
t
t
16 lim
2
25
5
t
16 lim
t 5
5
t
lim
16t 2
400
t 5
t 5t 5
160
t 5
5
t
El objeto está cayendo a una velocidad de 160 m/s. b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar en el suelo? ¿Llegará con qué velocidad? Solución: Para determinar el momento en que llega al suelo, hacemos lo siguiente: s (t )
16t 2
0
1000 0 t
7.90
Para determinar la velocidad con que llegará al piso, hacemos lo siguiente:
lim
t 7.90
s (7.90) s (t )
7.90 t
lim
1.44 16t 2
16 lim
t 7.90
1000
7.90 t
t 7.90
t
2
62.41
t 7.90
lim
t 7.90
16 lim
t 7.90
16t 2
998.56
t 7.90
t 7.90t 7.90 t 7.90
252.8
El objeto está cayendo a una velocidad de 252.8 m/s. 6
Departamento de Ciencias
Calculo 1_Ingeniería
10.Los impuestos de cierto Estado se aplican al 12% los primeros 20 000 euros y al 16% el resto del
capital. Se tiene la función: T ( x)
Se sabe que lim
T ( x)
x 0
a 0,12 x ; si x 20 000 b 0,16 x 20 000 ; si x 20000
1000 y además se sabe que lim
x 20000
T ( x) existe.
a) Hallar las constantes “a” y “b”. 1. Sabemos lim T ( x) 1000 , lo cual significa que: x 0
lim x 0
a
0.12
a 1000
2. Sabemos
lim
1000
T ( x) existe, lo cual significa que:
x20000
lim
x 20000
T ( x)
lim
lim (1000 0.12 x) lim
x 20000
x 20000
T ( x )
b 0.16 x 20000
x 20000
b
3400
b) ¿Cuál es la importancia de la existencia e stos límites? La existencia de los límites es importante pues de esa manera se obtienen los valores de a y b, ya que de lo contrario no sería posible. c) Graficar la función e indicar si e s o no continua. De la gráfica siguiente, podemos concluir que la función sí es continua.
