Limites Fundamentais Fundamentais
Para o estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as propriedades dos limites, que são: 1) O limite limite de uma constante constante é a própria própria constant constante: e: lim K = K com K ∈ R
x →a
Exemplo:
lim 7
x →−2
=7
2) O limite limite da soma soma ou diferenç diferença a é igual a soma ou diferença diferença dos limite limites, s, caso estes limites existam: lim [ f ( x ) ± g ( x)]
x →a
=
li lim m f ( x ) ± li lim m g ( x)
x →a
x →a
Exemplo:
3) O limite limite do produto produto é o produto dos dos limites, limites, caso estes estes limites limites existam: existam: lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x →a
Exemplo:
x →a
x →a
4) O limite limite do quociente quociente é igual igual ao quociente quociente dos limite limites, s, caso estes limit limites es existam:
lim
f ( x)
x → a g ( x)
lim f ( x) =
x → a
lim g ( x) x → a
Exemplo:
5) O limite limite da potência potência de uma função função f(x) f(x) é igual à potênci potência a do limite limite da função, caso esse exista:
lim [ f ( x )]
x →a
n
n
lim f ( x) = x →a
com
n ∈ N *
Exemplo:
6) O limite limite de uma constante constante vezes vezes uma função função é igual à constante constante vezes o limite limite da função, caso esse limite exista: li lim m [ K . f ( x) ]
x →a
= K ⋅
li lim m f ( x)
x →a
7) O limite limite da raiz enésima enésima de uma uma função é a raiz raiz enésima enésima do limite limite da função: função: lim n f ( x)
x →a
Exemplo:
=n
lim f ( x) com
x →a
n ∈ N *
e f ( x ) ≥ 0 se
n for par
Limites Fundamentais:
1º Limite Fundamental: “Se “Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual a 1”
lim
sen sen x
x →0
x
=1
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas Nestas condições, condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, 0,00009999, (obtido (obtido numa calculadora científica). Efetuando-se o quociente, vem:
sen x x
=
0,00009999 0,0001
= 0,99999 = 1
.
Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente
sen x x
do valor 1, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função. Observe o cálculo abaixo: lim x → 0
sen 4 x
x
=
lim x → 0
4. sen 4 x 4. x
=
lim x → 0
4 sen u
u
=
4. lim x → 0
sen u
u
=
4.1 = 4
se aproximará
Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 4x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 4, a expressão não se altera. Veja outro exemplo:
lim
sen sen 3 x
x →0
0
= = ? então, aplicando o 1º fundamental temos: 0
x
multiplicando o numerador e o denominador por 3 temos:
3 sen sen 3 x . x x →0 3 lim
sen sen 3 x m = 3. lilim =1 3x
Exercícios propostos: lim 1- lim x →0
1 − cos x 3 x
2
tg 3 x
=
lim = 2- lim x →0 2 x
lim m 3- li
x →0
1 + cos cos x
cox cox
=
2º Limite Fundamental:
x
1 lim 1 + = e x x →∞
onde e = 2,71828 ... nº de Euler
x
1
A tabela abaixo mostra os valores de 1 + a medida em que o valor de x “tende” a ser muito grande, ou seja
x (1+1/x)x
1 2
x
x → ∞
2 5 10 50 100 200 300 500 1000 5000 2,25 2,25 2,48 2,4883 832 2 2,59 2,5937 374 4 2,69 2,6915 159 9 2,70 2,7048 481 1 2,71 2,7115 152 2 2,71 2,7137 377 7 2,71 2,7155 557 7 2,71 2,7169 692 2 2,71 2,7180 801 1
Veja o exemplo:
Exercícios propostos:
1− x 2 2- lim 1 + = x x →∞
x 3 1- li lim m 1 + = x x →∞
3º Limite Fundamental: “ Seja um valor exponencial b x , onde b é a base, positiva e diferente diferente de 1. Sendo x o expoente, expoente, um numero real qualquer qualquer temos que: que: se o número x x
tender a zero então a expressão
b
−1
x
assumirá o valor de ln b .
b x − 1 lim = ln b x →0 x
De forma intuitiva, observe o que ocorre com o valor da expressão
2 x
o valor de x se aproxima de zero pela direita, ou seja vamos calcular:
lim
x →0 +
x 0,5
2 x
−1
x
2 x
−1
x 0,82843
−1
x
a medida em que
0,4 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,00 0,001 1 0,0001 0,0001
0,79877 0,74349 0,71773 0,7053 0,69797 0,69556 0,69 0,6933 339 9 0,6931 0,69317 7
Observe que o valor 0,69317 é igual a ln 2 = 0,69317
Exercícios propostos: 1- lim
6 x
−
4 x
3º Fundamental: lim x →0
=
x
x → 0
x 1 2- lim 1 + = 2 x x →∞ x
3- lim lim
e
x →0
5x x
4- lim lim
−1
e
−1
x →0 sen x
cos cos x − 1
=
= faça ... dividir
b) li lim m x →0
x e x
=0
−1 = 1
x
N ( x) e D ( x ) por x
5- lim lim x →0
x x
6- lim lim
x →0
e x
e
−1 x
−1 = z ⇒e
2
c) lim
=
z →0
= faça ... x
= z +1 ⇒ x = ln(
z +1)
seguir divida por z
Resumo
1º Fundamental: lim x →0
− 1 = ln b
x
Conseqüências dos Fundamentais:
a) lim x →0
ln( ln(1 + x)
b x
sen sen x x
=1
x
1
2º Fundamental: lim 1 + = e x x →∞
a
ln( ln( z + 1)
z
=1
