Kelompok II:
Luh Putu Arya Melyana Setiawati
(1413011007) (1413011007 )
I Dewa Made Krisna Yasa
(1413011116) (1413011116 )
I Ketut Suartika
(1413011117)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 2015
POKOK BAHASAN : Subbab 15.3 Limit dan Kontinuitas Subbab 15.5 Turunan Berarah dan Gradien PRASYARAT
: 1. 2. 3. 4. 5.
Konsep Limit Sketsa Grafik Turunan Parsial Vektor Persamaan Satu Peubah
STANDAR KOMPETENSI
Mampu memahami limit dan turunan berarah serta mengaplikasikannya dalam masalah yang berkaitan.
KOMPETENSI DASAR :
1. Memahami berbagai permasalahan terkait limit dan kekontinuan. 2. Memahami berbagai permasalahan terkait t urunan berarah dan gradien.
INDIKATOR
1. Mahasiswa mampu menentukan nilai limit suatu fungsi dua peubah yang diberikan. 2. Mahasiswa mampu memeriksa kekontinuan suatu fungsi dua peubah yang diberikan. 3. Mahasiswa mampu menentukan vektor gradien dari fungsi dua peubah.
BAHAN DISKUSI
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Bagaimana menentukan nilai limit suatu fungsi dua peubah? Bagaimana membuktikan nilai limit suatu fungsi dua peubah? Bagaimana memeriksa kekontinuan suatu fungsi dua peubah? Bagaimana menentukan vektor gradien fungsi dua peubah? Bagaimana menentukan turunan berarah dari suatu fungsi? Bagaimana menentukan laju perubahan maksimum atau minimum?
15.3 Limit dan Kontinuitas Konsep mengenai limit telah dipaparkan pada sejumlah subbab sebelumnya, namun kita memerlukan konsep mengenai limit yang bersifat lebih umum sehingga pembahasannya dapat dipahami lebih dalam. Tujuan dari pembahasan kali ini adalah untuk memberikan pengertian mengenai simbol berikut
lim
f x, y L
x , y a ,b
Limit ini mempunyai pengertian umum, yaitu nilai - nilai dari f x, y akan semakin mendekati bilangan L ketika ( x,y) mendekati (a,b). Masalahnya adalah bahwa ( x,y) dapat mendekati (a,b) dengan cara yang takterhingga banyaknya. Seperti ilustrasi pada Gambar 1.1, dimana suatu titik (a,b) didekati dari berbagai arah oleh karena melibatkan dua buah sumbu yaitu sumbu x dan sumbu y, hal ini berbeda dengan limit fungsi satu peubah dimana limitnya hanya didekati dari kanan dan kiri karena melibatkan satu buah sumbu saja. Oleh karena pada fungsi dua peubah terdapat takterhingga banyaknya lintasan ( x,y) yang mendekati (a,b), sehingga kita harus menentukan sebuah definisi yang dapat menyatakan L sama.
Gambar 1.1
Definisi
Untuk mengatakan bahwa
lim x , y
f x, y L berarti bahwa setiap
a ,b
0 (tidak peduli seberapapun kecilnya), terdapat 0 yang bersesuaian, sedemikian rupa sehingga f x, y L , asalkan
0 x, y a, b .
1
Untuk menginterpretasikan
x, y a, b , perlakukan
( x,y) dan
(a,b) sebagai vektor, maka
x, y a, b x a2 y b2 dan titik – titik yang memenuhi 0 x, y a, b adalah titik – titik di dalam lingkaran berjari – jari 1.2).
tidak
termasuk titik pusat (a,b) (Gambar
Gambar 1.2
Berikut beberapa aspek dari definisi di atas : 1. Lintasan yang mendekati (a,b) tidak relevan. Ini berarti bahwa
jika lintasan pendekatan yang berbeda menuju nilai L yang berbeda, maka limitnya tidak ada. 2. Sifat dari f x, y di a, b tidak relevan; fungsi tersebut bahkan
tidak harus terdefinisi di
a, b .
Hal tersebut didasarkan pada
pembatasan 0 x, y a, b sehingga pasti ( x,y) tidak sama dengan (a,b). 3. Definisi di atas dapat disusun sehingga dapat dengan mudah
didefinisikan pada fungsi – fungsi dengan tiga peubah (atau lebih). Cukup dengan mengganti ( x,y) dan (a,b) dengan ( x,y,z ) dan (a,b,c) kapanpun perubahan ini dikehendaki. Terkadang penentuan nilai limit cukup sederhana. Misalnya,
lim
[ x 2 y 3 y ] 12.2 3.2 8
lim
x 2 y 2 32 4 2 5
x , y
x , y
1, 2
3, 4
2
Kenyataannya, seluruh teorema limit normal juga berlaku untuk jenis limit ini. Tetapi, kita harus tetap berhati-hati, misalnya dalam mengerjakan contoh berikut. CONTOH 1. Tunjukan bahwa fungsi f yang dapat didefinisikan sebagai
f x, y
x 4 y 4 x 2 y 2
tidak mempunyai limit di titik asal ( Gambar 1.3)
Gambar 1.3 Penyelesaian. Fungsi f tersebut didefinisikan dimanapun pada bidang xy kecuali di titik asal. Di seluruh titik pada sumbu x atau sepanjang garis y = 0 selain titik asal, nilai f adalah
f x,0
x 4 0
x2
x 0 Jadi, limit dari f ( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) di seluruh titik pada sumbu y atau sepanjang garis x = 0 adalah
lim
f x,0
0, 0
x , 0
2
lim x , 0
x 4 0
0, 0
x 0 2
x2
Dengan cara serupa, limit dari f ( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) di sepanjang sumbu y adalah
lim 0, y
0, 0
f 0, y
lim 0, y
0, 0
0 y 2 0 y
2
y2
Dengan demikian, kita memperoleh nilai yang berbeda bergantung pada bagaimana ( x,y)→(0,0). Kenyataannya, memang terdapat sebarang titik – 2
titik yang berada dekat (0,0) di mana nilai f adalah x dan titik – titik
3
2
lainnya yang dekat dengan nilai di mana f adalah – y . Dengan demikian, limitnya tidak ada di (0,0).
Kontinuitas pada Sebuah Titik
Untuk mengatakan bahwa f ( x,y) kontinu (continuous) di titik (a,b), kita memerlukan: 1. f mempunyai nilai di (a,b). 2. f mempunyai limit di (a,b). 3. Nilai f di (a,b) sama dengan limitnya di titik tersebut. Singkatnya, kita memerlukan
lim
f x, y f a, b
x , y a ,b
Persamaan ini secara esensial sama dengan persyaratan untuk kontinuitas dari sebuah fungsi satu peubah. Secara intuitif, hal ini berarti bahwa f tidak memiliki batasan di (a,b). Seperti pada fungsi satu peubah, penjumlahan, perkalian, dan pembagian fungsi kontinu bersifat kontinu (asalkan pada kasus yang terakhir, kita menghindari pembagian dengan 0). Artinya bahwa fungsi polinomial dengan dua peubah akan kontinu di manapun, karena fungsi tersebut adalah hasil penjumlahan dan hasil kali dari fungsi – fungsi kontinu ax, by dan c di mana a, b, dan c adalah konstanta. Contohnya f(x,y) 2
3
= 5 x y – 2 xy + 4 kontinu di seluruh titik pada bidang xy. Fungsi rasional dengan 2 peubah adalah hasil bagi dari fungsi – fungsi polinomial sehingga akan kontinu di manapun asalkan penyebutnya bukan 0. Untuk mengilistrasikannya, f ( x,y) = (2 x + 3 y)/(y2 – 4 x) , kontinu 2
di manapun pada bidang xy, kecuali di titik pada bidang y = 4 x. Seperti pada fungsi dengan satu peubah, suatu fungsi kontinu dari fungsi kontinu bersifat kontinu. TEOREMA A Komposisi Fungsi-fungsi
Jika fungsi g dengan dua peubah kontinu di (a, b) dan fungsi f dengan satu peubah kontinu di g (a,b), maka fungsi komposit (composite function) f o g yang didefinisikan dengan ( f o g)( x,y) = f ( g ( x,y)) , kontinu di (a, b).
4
CONTOH 2
Tunjukan bahwa F ( x,y) = cos ( bidang. Penyelesaian
Fungsi g ( x,y) =
kontinu di setiap titik pada
sebagai sebuah polynomial, kontinu
dimana pun. Demikian pula, f (t ) =cos t kontinu di setiap bilangan t di R. Kita menyimpulkan dari Teorema A bahwa F ( x,y) = f ( g ( x,y)) kontinu di seluruh ( x,y) pada bidang tersebut.
Kontinuitas pada sebuah himpunan
f ( x,y) dapat dikatakan kontinu pada sebuah himpunan S jika f ( x,y) kontinu di setiap titik pada himpunan tersebut.
Gambar 1.4
Terdapat beberapa istilah yang perlu diketahui dimana istilah tersebut berhubungan dengan himpunan pada bidang dan ruang dengan dimensi yang lebih tinggi. Lingkungan (neighborhood ) berjari-jari δ dari sebuah titik P berarti himpunan seluruh titik Q yang memenuhi |Q- P|<δ. Dalam bidang berdimensi dua (two-space), lingkungan ber ada “di dalam” sebuah lingkaran. Dalam bidang berdimensi tiga (three-space), lingkungan berada di dalam sebuah bola (Gambar 1.4). Sebuah titik P adalah titik dalam (interior point ) dari himpunan S jika terdapat lingkungan P yang
dimuat dalam himpunan S . Himpunan dari seluruh titik dalam dari S merupakan bagian dalam (interior ) dari S . Sedangkan P merupakan titik batas (boundary point ) dari S jika setiap lingkungan dari P mengandung titik-titik yang berada di S dan juga titik yang tidak berada di S . Himpunan dari seluruh titik batas dari S disebut batas (boundary) dari S . Pada
5
gambar 1.5, A adalah titik dalam dan B adalah titik batas dari S . Jadi,
sebuah himpunan disebut terbuka (open) jika seluruh titiknya merupakan titik dalam, dan dikatakan tertutup (closed ) jika himpunan tersebut mengandung seluruh titik batasnya.
Gambar 1.5
Jika S adalah sebuah himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa f kontinu di S secara tepat berarti bahwa f kontinu di setiap titik di S . Di sisi lain, jika S mengandung beberapa atau seluruh titik batas maka harus berhati-hati dalam memberikan interpretasi yang benar tentang kontinuitas di titik-titik seperti ini. Untuk mengatakan bahwa f kontinu di sebuah titik batas P dari S berarti bahwa f (Q) harus mendekati f ( P ) ketika Q mendekati P melalui titik S. Berikut ini adalah sebuah contoh mengenai pemaparan di atas (Gambar 1.6).
Gambar 1.6
6
Misalkan
{ }
Jika S adalah himpunan bahwa bahwa
, adalah benar mengatakan
kontinu di S . Sebaliknya, tidak benar untuk mengatakan
kontinu di seluruh bidang.
Sebagian besar fungsi dengan dua peubah memiliki nilai
.
Dalam hal ini, urutan pendiferensialan dalam turunan parsial campuran tidak mempunyai nilai (immaterial).
Teorema B Kesamaan pada Turunan Parsial campuran
Jika
kontinu pada sebuah himpunan terbuka S , maka
Di setiap titik di S .
15.5 Turunan Berarah dan Gradien Turunan-turunan parsial
dan
mengukur laju
perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Tujuan pada subbab ini adalah mempelajari laju perubahan f pada sebarang arah. Hal ini mengarah pada konsep turunan berarah yang pada gilirannya berhubungan dengan gradien. Misalkan
, dan misalkan i dan j adalah vektor-vektor
satuan pada arah sumbu x dan sumbu y positif. Maka kedua turunan parisal di p dapat ditulis sebagai berikut :
Untuk mencapai konsep tersebut, yang harus di lakukan adalah menggantikan posisi i atau j dengan sebarang vektor satuan u.
7
Definisi
Untuk sembarang vektor satuan u, misalkan :
Limit ini, jika ada, disebut turunan berarah (directional derivative) dari f di p pada arah u.
Jadi,
dan
juga menggunakan notasi
. Gambar 2.1 menyatakan interpretasi
geometrik dari
bidang xy melalui
. Karena p = ( x, y), kita
. Vektor u menentukan sebuah garis L di
. Bidang yang melalui L ini tegak lurus terhadap
bidang xy dan memotong permukaan Persinggungannya di titik
pada kurva C .
mempunyai kemiringan
. Interpretasi berguna lainnya adalah bahwa
mengukur laju perubahan f terhadap jarak dalam arah u.
Gambar 2.1
Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien
Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan bahwa dengan
dapat dinyatakan
8
Teorema A
Misalkan f dapat didiferensialkan di p. Maka f mempunyai turunan
berarah di p pada arah vektor satuan
Yakni,
dan
Bukti
karena f dapat didiferensialkan di p.
di mana
ketika
.sehingga,
Kesimpulan di atas benar dengan mengambil limit ketika
CONTOH 1
Jika
, tentukan turunan berarah dari p = (-1,2)
pada arah vektor a = 2i - j. Penyelesaian
√ √ 〈√ √ 〉 〈〉 √ √ √ Vektor satuan u pada arah a adalah dan
dan
. Demikian pula,
; sehingga,
. Konsekuensinya, berdasarkan Teorema A,
CONTOH 2
Tentukan turunan berarah dari fungsi f ( x,y,z ) = x + y sin z di titik (1,
1, ) pada arah vektor a = 2i + 4 j + 4k . Penyelesaian
9
Vektor satuan u pada arah a adalah
. Demikian pula
,
,
. Kita dapat menyimpulkan
bahwa
Laju Perubahan Maksimum
Untuk sebuah fungsi f yang diketahui pada titik p yang diketahui, adalah hal yang biasa untuk menanyakan ke arah mana fungsi ini berubah paling cepat, yaitu ke arah mana Du f (p) paling besar? Dari rumus geometri untuk hasil kali titik ( subbab 14.2), kita dapat menuliskan
di mana
|| | || adalah sudut antara u dan
dimaksimumkan ketika
. Sehingga, Du f (p) dapat
dan diminimumkan ketika
. Kita
dapat meringkasnya sebagai berikut :
Teorema B
Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju |
| |
) dan menurun paling cepat pada arah yang
berlawanan (dengan laju -|
).
CONTOH 3
Gambar 2.2
10
Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik
di titik (1,1,0) seperti pada Gambar 2.2. Ke arah manakah
seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar? Penyelesaian
Misalkan
√ . Karena
dan
Jadi, serangga tersebut seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah -2i + 2 j, di mana kemiringannya menjadi |-2i+2 j| =
.
Kurva Ketinggian dan Gradien
Gambar 2.3
Seperti yang telah dipaparkan pada subbab 15.1, kurva ketinggian (level curve) dari permukaan z = f ( x, y) adalah proyeksi pada bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan tersebut dengan bidang z = k yang sejajar dengan bidang xy. Nilai fungsi di seluruh titik pada kurva ketinggian yang sama adalah konstan ( Gambar 2.3). Kurva ketinggian dari f(x,y) yang melalui titik yang dipilih secara sebarang P(x0 ,y0 ) pada daerah asal dari f dinotasikan dengan L; dan misalkan vektor satuan u adalah persinggungan dengan L di titik P . Karena nilai f adalah sama di seluruh titik pada kurva ketinggian L, maka turunan
11
berarah
, yang merupakan laju perubahan f ( x,y) pada arah u,
adalah nol ketika u adalah persinggungan dengan L. Karena
maka kita dapat menyimpulkan bahwa
dan u saling tegak lurus, suatu
hasil yang layak dari status teorema. Teorema C
Gradien f di titik P tegak lurus terhadap kurva ketinggian f yang melalui P . Contoh 4 CONTOH 4
Untuk paraboloid z x 2 y 2 / 4 , tentukan persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P (1,4) dan sketsalah grafiknya. Tentukan vektor gradien dari paraboloid tersebut di P , dan gambarlah gradiennya dengan titik awal di P. Penyelesaian
Kurva ketinggian dari paraboloid tersebut
yang berhubungan
dengan bidang z = k mempunyai persamaan x 2 y 2 / 4 k . Untuk menentukan nilai k yang terdapat di kurva ketinggian yang melalui P , kita dapat mensubstitusi (1,4) ke dalam ( x,y) dan memperoleh k = 5. Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui P adalah elips. x 2 5 Kemudian misalkan
y2 20
1
f x, y x 2 y 2 / 4 . Karena
f x x, y 2 x dan
, maka gradien paraboloid tersebut di P (1,4) adalah
Kurva ketinggian dan gradien di P ditunjukkan pada Gambar 2.4.
12
Gambar 2.4
Untuk memberikan ilustrasi tambahan mengenai Teorema B dan Teorema C, kita akan memanfaatkan komputer untuk menggambarkan
permukaan z xy , berikut peta kontur dan medan gradiennya. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5
Dimensi yang Lebih Tinggi
Konsep tentang kurva ketinggian untuk fungsi dua peubah dapat diterapkan pada permukaan ketinggian untuk fungsi tiga peubah. Jika f adalah fungsi tiga peubah, maka permukaan f ( x,y,z ) = k adalah konstanta, disebut permukaan ketinggian (level surface) untuk f . Di seluruh titik pada sebuah permukaan ketinggian, nilai asalnya adalah vektor norma, terhadap permukaan ketinggian dari f yang melalui P . Masalah-masalah yang terkait dengan konduksi panas pada sebuah benda homogen, di mana w = f ( x ,y, z ) menyatakan suhu di titik ( x, y, z ) , maka permukaan ketinggian f ( x, y, z ) = k disebut permukaan isotermal (isothermal surface) karena seluruh titik di sana mempunyai suhu yang
13
sama di k . Di titik tertentu pada benda tersebut, panas mengalir pada arah yang berlawanan dengan gradien (yaitu dalam arah penurunan suhu terbesar), sehingga panas tersebut tegak lurus terhadap permukaan isotermal melalui titik tadi. Jika w = f ( x, y, z ) menyatakan potensial elektrostatik (voltase atau tegangan) di titik tertentu pada sebuah medan potensial listrik, maka permukaan ketinggian dari fungsi tersebut disebut permukaan ekuipotensial (equipotensial surface). Seluruh titik pada sebuah permukaan ekuipotensial mempunyai potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah sepanjang gradien negatif, yaitu, dalam arah perputaran potensial yang terbesar.
Contoh 5
Jika suhu di titik tertentu pada sebuah benda homogen dinyatakan dengan T
1 2
2 3 e xy 2 xy xy z , berapakah arah penurunan suhu terbesarnya di
titik (2,-3,1)? Penyelesaian
Penurunan suhu terbesar di (2,-3,1) berada dalam arah gradien negatif di titik tersebut.
( ) Karena
, kita dapat menentukan bahwa
di (2,-3,1) adalah
14
Latihan Soal
1. Tunjukkan bahwa
tidak ada dengan memperhatikan satu lintasan ke titik asal di sepanjang sumbu x dan sebuah lintasan lainnya di sepanjang garis y = x.
Pembahasan
Limit dari f( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) di sepanjang sumbu x adalah
Limit dari f( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) melalui garis y = x maka diperoleh
Dengan demikian diperoleh nilai berbeda bergantung pada bagaimana ( x,y) (0,0). Dengan demikian, limitnya tidak ada.
2. Tunjukkan bahwa
lim
( x , y ) ( 0, 0)
xy 2 / x 2 y 2 0
Pembahasan
Dengan menggunakan fakta bahwa
x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 2 2 2 x y x y xy 2
sehingga
lim
( x , y ) ( 0, 0 )
x 2 y 2 0
oleh karena
xy 2 x 2 y 2
xy 2 x 2 y 2
selalu bernilai positif, maka nilai yang mungkin adalah
2 x 2 y 2 x 2 y 2 xy 2 2 x y yaitu 2 0 2 x 2 y 2 x y
15
maka xy 2
lim
( x , y ) ( 0, 0)
x 2 y 2
0
Jadi, terbukti bahwa
3. Misalkan
lim
( x , y ) ( 0, 0)
xy 2 x 2 y 2
0
Jika f kontinu di seluruh bidang, tentukan sebuah rumus untuk g ( x).
Pembahasan
Jika x
2y, maka
f ( x, y)
x 2 4 y 2 x 2 y
x 2 y x 2 y x 2 y
x 2 y
Untuk x = 2 y, maka substitusi nilai x = 2 y atau y =
x
2
, jadi
x g ( x) x 2 2 x 2
4. Tentukan turunan berarah dari f ( x,y) = e xsin y di titik p (0,
√
+
j.
) pada arah a = i
Pembahasan
√ √ √ Vektor satuan u pada arah a adalah , dan
, sehingga
. Demikian pula
0,
dan
. Jadi
16
〈 √ 〉 〈 √ √ 〉 √ √ √ √ 2
2
5. Ke arah manakah vektor u dimana f ( x,y) = 1 - x – y menurun paling cepat di p = (π/6,π/4)?
Pembahasan
〈〉
Jadi arah penurunan vektor tercepat adalah
〈〉 √ 〈〉
, dimana
vektor satuan pada arah vektor tersebut adalah u =
17
