Modul Limit Fungsi Dan Turunan

MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 2012 TAHUN AJARAN 2011/2012

MATERI LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN UNTUK KALANGAN MA AL-MU’AWANAH

MADRASAH ALIYAH AL-MU’AWANAH BEKASI SELATAN 2012

Jalan RH. Umar Kp. Ceger Rt. 002/018 No. 61 Jakasetia Bekasi Selatan 17147 Website: http://www.ma-almuawanah.sch.id Telp. (021) 82416835

BAB XIV. LIMIT FUNGSI

~

2. Bentuk tak tentu

dapat diselesaikan dengan rumus :

~

a. membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut

Pengertian :

Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit.

1. Bentuk tak tentu

x Lim

Limit Fungsi Aljabar

0

Contoh :

x − 3

x →~ x

2

+

=

x − 12

Lim x →~ x x

2

dapat diselesaikan dengan 2 cara :

0

F ( x)

=

x → a ( x − a ) g ( x )

= Contoh : Lim

2 x 2

−

2

2( x 2

Lim

=

x → 1 x − 1 x → 1 Lim 2( x − 1)( x + 1) = x → 1 ( x − 1)

= =

Lim

2( x + 1)

x → 1

1

2(1 + 1) 1

−

( x − 1)

x →~ px n

x → 1

−

Lim

x − 1

(turunan 2 x 2

Contoh:

Lim x →~

( x

−

=

x →~ x 2

Lim

4 x

x → 1

1

2 x + 5 − x

2

Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2

2 a

=

−

2−2

2 1

Fungsi Irasional:

−

x

x

2

=0

1

−

+

... a

=

+

x − 12

= 0  karena pangkat pembilang

Lim

=

4.1 1

+

−

4

2

= -2

f ( x)

, Jika f(x) atau g(x) merupakan x → a g ( x) bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x).

Rumus lain: =1

Lim

(

2

2

)

bx + c

www.belajar-matematika.com

- 1

2 x + 11 =

ax

−

Lim sin k ( x − a) x → a

x − a

Lim tan k ( x − a) x → a

x − a

ax

= k

= k

+

px + q =

b − p

; x →~ 2 a berlaku jika konstanta kuadratnya sama (nilai a sama) +

6.

b − p

3

F ' ( x)

2 adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )

−

−

2

< pangkat penyebut

5. 2

qx n

x − 3

x → a G ' ( x )

2

1+ 0 − 0

x

x x 1 12

1+

0−0

12

maka dapat langsung dijawab dengan

Contoh : Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital 2 2 x

x →~

−

p Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0

3. Untuk

Lim

+

Jika m = 0 hasilnya

= 4

F(x) =

2

−

Lim

x → a

x

Bentuk soal tersebut adalah seperti berikut: Lim ax m + bx m 1 + ...

1)

b. L’Hospital pembilang dan penyebut didifferensialkan Lim

Lim

3 x

x

Lim ( x − a ) f ( x)

=

x → a G ( x)

+

−

1

a. Memfaktorkan : Lim

x 2

2

Contoh:

( x

Lim x →~

5. 2

−

2 x + 5 − x

2

+

2 x + 11 = 6.

Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2 b − p

2 a

=

−

2−2

−

=

2 1

4

2

Lim sin k ( x − a) x → a

x − a

Lim tan k ( x − a) x → a

x − a

= k

= k

= -2

Fungsi Irasional:

Jika menemui pembilang atau penyebut mengandung x -

bentuk

Contoh :

y maka bentuk tersebut disubstitusikan.

1 x

y

−

1

=

x x

=

y

−

x

+

y

x

+

y

y

+

x − y

Limit Fungsi Trigonometri :

1.

2.

3.

4.

Lim

sin ax

x → 0

bx

Lim

tan ax

x → 0

bx

Lim

=

sin ax

x → 0 tan bx Lim x → 0

=

=

Lim

ax

x → 0 sin bx

=

=

Lim

ax

x → 0 tan bx Lim

x 2

=

Lim sin ax x → 0 sin bx Lim tan ax

x → 0 tan bx

=

=

a b a b

a

=

b

Lim 2 sin 2 ax x → 0

Lim 2 sin ax sin ax x

=

tan ax

x → 0 sin bx

1 − cos 2ax

x → 0

=

x

x

2

= 2 . a.a= 2a 2

catatan: cos 2ax = cos 2 ax - sin 2 ax cos 2 ax + sin 2 ax = 1 cos 2ax = 1 - sin 2 ax - sin 2 ax = 1 - 2 sin 2 ax www.belajar-matematika.com

BAB XV DIFERENSIAL DIFERENSIAL (Turunan)

17. y = cot x 18. y = sec x

- 2

→

→

19. y = cosec x Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dy ' dengan y’ = = f (x) dx Lim dy f ( x + h) − f ( x) dengan = h→0 dx h Rumus-Rumus Diferensial:

' 2 y = - cosec x y ' = sec x tan x

→

y ' = - cosec x cotan x

Penggunaan Turunan : 1. Garis singgung

BAB XV DIFERENSIAL DIFERENSIAL (Turunan)

17. y = cot x 18. y = sec x

→

→

19. y = cosec x

' 2 y = - cosec x y ' = sec x tan x

→

y ' = - cosec x cotan x

Penggunaan Turunan :

Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dy ' dengan y’ = = f (x) dx Lim dy f ( x + h) − f ( x) dengan = h→0 dx h

1. Garis singgung

Rumus-Rumus Diferensial: '

1. y = k

→

y =0

2. y = k x n

→

y ' = k. n x n −1

3. y = sin x

→

y ' = cos x

4. y = cos x

→

y ' = - sin x

→

y =u

5. y = u

v

±

'

'

persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) ' dimana m = f (x) v

±

'

apabila terdapat dua persamaan garis y= m 1 x + c 1 dan 6. y = u. v 7. y =

y' = u' v + v' u

→

u

y' =

→

v

8. y = k [f(x)]

n

9. y = sin f(x)

→

10. y = cos f(x) n

11. y = sin f(x) n

v

'

'

y = n sin

n −1

y ' = - n cos

f ( x )

→

y' = a

14. y = e

f ( x )

→

y =e

→

. [f’(x)]

diketahui y = f(x); - jika f ' (x) < 0 maka f(x) turun - jika f ' (x) >0 maka f(x) naik

y ' = - f ' (x). sin f(x)

13. y = a

16. y = tan x

2. Fungsi naik/turun

'

→

→

n −1

y = f (x). cos f(x)

→

15. y = ln f(x)

- tegak lurus apabila m 1 . m 2 = -1

2

y = k . n [f(x)]

→

12. y = cos f(x)

- sejajar apabila m 1 = m 2

u ' v − v' u

'

→

y= m 2 x + c 2 dikatakan

'

'

y = '

3. Menentukan titik stasioner diketahui y = f (x). Bila f ' (a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner

'

f(x). cos f(x) . f (x) n −1

f(x). sin f(x) . f ' (x)

f ( x )

. ln a . f’(x)

f ( x )

. f (x)

- (a, f(a) ) titik minimum jika f '' (a) > 0 '' - (a, f(a) ) titik maksimum jika f (a) < 0 '' - (a, f(a) ) titik belok belok jika f (a) = 0

'

3. Menentukan Kecepatan dan percepatan S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka - kecepatan v = S ' (t) - percepatan a = S '' (t)

f ' ( x ) f ( x) 2

y = sec x =

1 cos 2 x

www.belajar-matematika.com - 1

KUMPULAN SOAL UN MATEMATIKA

2012

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL (UN) TAHUN 2012 MADRASAH ALIYAH (MA) AL-MU’AWANAH KELAS XII PROGRAM IPS No 3

Standar Kompetensi Lulusan Memahami limit dan turunan dari fungsi aljabar serta menerapkannya alam pemecahan masalah.

Indikator 3.1 Menghitung nilai limit fungsi aljabar. 3.2 Menentukan turunan fungsi aljabar. 3.3 Menentukan aplikasi turunan fungsi aljabar


2012

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL (UN) TAHUN 2012 MADRASAH ALIYAH (MA) AL-MU’AWANAH KELAS XII PROGRAM IPS No 3

No 1

Standar Kompetensi Lulusan Memahami limit dan turunan dari fungsi aljabar serta menerapkannya alam pemecahan masalah.

Indikator 3.1 Menghitung nilai limit fungsi aljabar. 3.2 Menentukan turunan fungsi aljabar. 3.3 Menentukan aplikasi turunan fungsi aljabar

Soal

Penyelesaiannya Penyelesaiannya

 x 2 + x − 6   = ......... Nilai dari lim  3 x − > 2 − x 8   A.0 B. C. D. E.

2

2 8 3 8 1 2 5 8

Nilai lim

x − >∞

x 2 − 5 x + 2 − x 2 + 3 x − 5 = ....

A.-4 B.-1 C.0 D.1 E.4

3

Turunan pertama dari f(x) =

2 3

x 3 −

13

x 2 + 15 x − 6 adalah f ' (x) =……..

2 A. 2 x + 13 x + 15 2 B. 2 x − 13 x + 15 2 C. 2 x − 13 x − 15 2 D. 2 x − 16 x − 15 2 E. 2 x − 16 x + 15 2

4

Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x 3

−4 x + 3 di titik (1,-2) adalah ……. …….

A. y = 2x B. y = 2x – 1 C. y = 2x – 2 D. y = 2x – 3 E. y = 2x – 4

SKL3|KI 3.1-3.3

Madrasah Aliyah Al-Mu’awanah |1


No 5

Soal

2012


Nilai maksimum fungsi f(x) =

1 3

3 2 x − 4 x + 15 x − 3 di capai pada titik ……

A. 93 B. 43 C. 21 D. 18

6

E. 15 Suatu perusahaan akan memproduksi x unit barang perhari dengan biaya 3

2

C (x) = x − 500 x + 80.000 x . Biaya produksi paling rendah dicapai perhari bila perusahaan itu memproduksi ……barang. A.500 B.455 C.400 D.250 E.200

7

2

Lim x - x - 2 Nilai adalah …. x → 2 x 2 - 2 x

A. 5 B. 3 C. 2 12 D. 1 12 E. 1

8

Nilai lim 4 x2 + 7 x+ 1 − 4 x2 − 4 x+ 1 = ...... x →∞

A. B. C. D. E.

9

10

11

3 4 7 4 7 2 11 4 11 2

Turunan pertama dari

f ( x) = x3 − 2 x+ 4 adalah

…. A. f’(x) = 3x – 2 B. f’(x) = –2x + 4 C. f’(x) = 3x² – 2 D. f’(x) = 3x² + 4 E. f’(x) = 3x² + 2 Persamaan garis singgung kurva y = 2x³ – 8 pada titik (2,8) adalah …. A. 24x – y + 40 = 0 B. 24x – y – 40 = 0 C. 24x – y + 56 = 0 D. 24x – y – 56 = 0 E. 24x + y + 56 = 0 Sebuah persegi panjang diketahui panjang ( 2x + 4 ) cm dan lebar ( 8 – x ) cm. Agar luas persegi panjang maksimum, ukuran lebar adalah A. 7 cm B. 6 cm C. 5 cm D. 3 cm E. 2 cm

SKL3|KI 3.1-3.3



No 12

Soal Nilai

maksimum

2012

Penyelesaiannya Penyelesaiannya 2

dari

f ( x) = −8 x + 4 x− 5

adalah …. A. −6 12

13

B.

−4 12

C.

−3 12

D.

−1

E.

1 2

Nilai lim x → 2

A. B. C. D. E.

14

2

x − 3 + 9

0 1 2 3

≠−

3 2

f , ƒ

dari f, maka A. B. C. D. E.

15

16

ditentukan 1

oleh

f ( x ) =

4 x − 1 2 x + 3

;

adalah fungsi turunan pertama f 1 (3) = ....

2 81 4 9 7 9 14 9 14 81

Persamaan garis singgung kurva y = x 2 + 3x + 2 yang sejajar dengan garis y = 5x – 10 adalah .... A. y + 5x + 2 = 0 B. y - 5x - 1 = 0 C. y - 5x + 3 = 0 D. y + 5x - 4 = 0 E. y - 5x + 5 = 0 Jika fungsi y = x2 – (p +2)x +2 + 4 dan y = x2 - 4px + 8p mempunyai titik maksimum yang sama, maka nilai p = .... A. 2 B. 3 C. D. E.

17

= ....

∼

Fungsi χ

x − x − 6

2 3 4 3 5 3

Sebuah segitiga siku - siku, diketahui sisi-sisi penyikunya masing-masing 2x dan (x + 5). Laju perubahan luas terhadap x pada saat x = 8 adalah .... A. 8 B. 13 C. 16 D. 19 E. 21

SKL3|KI 3.1-3.3



No 18

19

Soal


Fungsi biaya total suatu produk sebanyak Q unit adalah C(Q) = 4Q2 -8Q + 5. biaya marginal ketika Q = 5 adalah .... A. 22 B. 28 C. 30 D. 32 E. 40 2

Nilai dari lim x →1

A. B. C. D. E.

20

2012

x − 1 2

x + 2 x − 3

= ....

½ 1 3/2 2 5/2

Nilai dari lim 4 x2 + 5 x−1 − 4 x2 − 3 x− 4 = ... x → ~

A. B. C. D. E.

21

22

23

½ 1 3/2 2 4

Turunan pertama dari y = (x – 3)(x2 – 9) adalah 2 A. x + 3 2 B. (x – 9) (x – 3) C. (x – 3) (3x + 3) 2 D. (x + 3) E. (x – 3) (x – x) Biaya untuk memproduksi x barang ditentukan oleh rumus B(x) = 2x2 – 8x + 25 dalam juta rupiah, maka biaya minimum yang dikeluarkan adalah .... A. 12 juta rupiah B. 15 juta rupiah C. 16 juta rupiah D. 17 juta rupiah E. 21 juta rupiah 2

Nilai dari lim

x →−4

A. B. C.

24

x ( x + 4 )

= ...

11 4 11 8

3 4

D.

−

E.

−

3 4 11 4

Nilai dari lim

x →∞

A. B. C. D. E.

x − 3x − 28

2

x + 4 x− 12 −

2

x − 2 x− 3 = .. ...

0 1 2 3 4

SKL3|KI 3.1-3.3



No 25

26

27

Soal


Turunan dari y = (x + 1)(x – 1) adalah .... A. x + 1 B. (x – 1) C. (x + 1)(3x – 1) D. (x + 1)(3x + 1) E. (x2 – 1)(3x – 1) Biaya produksi suatu x pasang sepatu yang dikeluarkan pabrik sepatu dirumuskan oleh B(x)= x2 – 6x + 16 dalam juta rupiah. Agar mendapat untung maksimum, maka biaya minimum yang dikeluarkanadalah .... A. Rp 4.000.000,00 B. Rp 5.000.000,00 C. Rp 6.000.000,00 D. Rp 7.000.000,00 E. Rp 8.000.000,00

lim

x − 4 x − 2

x → 4

A. B. C. D. E.

28

2012

= ....

– 4 – 2 0 2 4

2 lim x − 2 x+ 4 − x+ 3 = ...... x →∞

A. B. C. D. E.

29

0 1 2 3 4 3

Turunan pertama dari f ( x) = ( 2 x2 + 6 ) , maka f ’ (x) = … A. 12 x (2 x 2 + 6 )

30

B.

6 x ( 2 x + 6 )

2

C.

4 x ( 2 x + 6 )

2

D.

6 ( 2 x 2 + 6 )

E.

3 ( 2 x + 6 )

2

2

2

2

2

2

Diketahui f ( x ) =

x − 3

3 x + 2

, jika f’ adalah turunan

dari f, maka f’(-2) = A. B. C.

31

1 6 11 6 5

4

D. 2 E. 4 Persamaan garis singgung pada kurva y = x2 -2x + 4 di titik (2,3) adalah … A. 2x + y -1 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 C. 2x – y – 1 = 0 D. x – 2y – 1 = 0 E. x + 2y – 1 = 0

SKL3|KI 3.1-3.3



No 32

33

Soal Fungsi f ( x) =

1 3

3

x −

1 2

2012


2

x − 6 x+ 8 turun pada

interval A. -3 < x < 2 B. -3 < x < -2 C. 2 < x < 4 D. 2 < x < 3 E. -2 < x < 3 Nilai maksimum fungsi

3

f ( x) = x − 27 x pada

interval −4 ≤ x ≤ 4 adalah … A. – 54 B. – 44 C. 0 D. 44 E. 54

34

lim

x 2 − 3x + 2 x − 1

x →1

2 1 0 1 2

A. B. C. D. E.

35

2

x − 4

lim A. B. C. D. E.

= ....

2

x + 5 − 3

x → 2

36

= ....

– 6 – 2 0 2 6

2 lim x − 4 − x − 1 = ...... x →∞

A. B. C. D. E.

37

0 1 2 3 4 3

Turunan pertama dari f ( x) = 2 ( x2 + 3) , maka f ’ (x) = … A. 12 x ( x 2 + 3) B.

6 x ( x + 3) 2

C. 12 ( x 2 + 3)

38

39

2

2

2

D.

6 ( x 2 + 3 )

E.

2 ( x + 3 ) 2

2

2

Diketahui f ( x ) =

1 3 x − 2

, jika f’ adalah turunan

dari f, maka f’ (1) = A. 3 B. 1 C. 0 D. 1 E. 3 Persamaan garis singgung pada y = x2 - 4x + 4 di titik (1,2) adalah … A. 2x + y - 4= 0 B. 2x + y + 4 = 0 C. 2x – y + 1 = 0 D. 2x – y – 1 = 0 E. x + 2y – 5 = 0

SKL3|KI 3.1-3.3

kurva



No 40

Soal

2012


Nilai maksimum fungsi maksimum pada pada grafik di bawah adalah ... 6 2 3

41

42

5

A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 E. 20 Tempat parkir seluas 100 m2 hanya mampu menampung 18 mobil besar dan mobil kecil, tiap mobil besar membutuhkan 10 m2 dan mobil kecil membutuhkan 5 m2. biaya parkir tiap mobil Rp . 2 000 dan mobil kecil Rp 1 500. Jika parkir penuh, penghasilan maksimum petugas parkir tersebut adalah .... A. Rp 18 000 B. Rp 20 000 C. Rp 28 000 D. Rp 38 000 E. Rp 40 000 Nilai maksimum f ( x) = x2 − 4 x pada interval 0 ≤ x ≤ 6 adalah …

A. B. C. D. E.

43

Nilai A. B. C. D. E.

44

45

46

– 4 – 2 0 12 24

lim x 2 + 2 x − 8 x → 2

x−2

= ....

4 6 0 – 8 – 10

Nilai

lim

( x → ~

2

x − 2 x+ 7 −

2

)

x − 4 x+ 8 = ...

A. 6 B. 2 C. 1 D. 2 E. 5 Turunan dari f (x) = x 3 – 2x 2 + 4x – 5 adalah f ’ (x). Nilai f ’ (1) = .... A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 E. 15 Persamaan garis singgung pada kurva f (x) = x2 – 4x + 2 dititik ( 1, - 1) adalah .... A. y = x – 2 B. y = 2x – 3 C. y = – 2x + 1 D. y = – 3x + 2 E. y = – 4 + 3

SKL3|KI 3.1-3.3



No 47

48

Soal

2012


Nilai maksimum dari f (x) = – 2x + 4x + 7 adalah .... A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 E. 9 Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm2. agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah ... cm A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 16

SKL3|KI 3.1-3.3


Modul Limit Fungsi Dan Turunan

Recommend Documents