Limit & Turunan

MODUL 7

LIMIT

Tujuan Instruksional Khusus: 1.

Dengan mempelajari limit, akan memudahkan mahasiswa dalam mendalami teori diferensiasi dan integrasi yang berhubungan dengan perubahan sangat kecil dalam variabel suatu fungsi.

1. PENDAHULUAN Teori tentang tentang limit sebuah sebuah fungsi merupakan merupakan “akar” “akar” dari aljabar kalkulus.

Oleh

sebab itu uraian mengenai kalkulus selalu diawali dengan bahasan tentang limit. Dimana aljabar kalkulus yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi. Diferensiasi

dan

integrasi

merupakandua

operasi

matematis

yang

saling

berkebalikan, seperti halnya antara penambahan dan pengurangan atau antara perkalian dan pembagian. Pada intinya,diferensial intinya,dif erensial (teori tentang diferensiasi) berkenaan dengan penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori tentang integrasi) berkenaan dengan pembentukan persamaan sutau fungsi apabila tingkat perubahan fungsi yang bersangkutan diketahui.

2. PENGERTIAN LIMIT Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variable didalam fungsi

yang bersangkutan terus menerus berkembang berkembang mendekati

suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari dari Y= f (x) akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f (x) (x) iniapabila variable x terus menerus berkembang hingga mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f (x) (x) mendekati L disebut limit fungsi f (x) (x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi:

Lim f (x) (x) = L x → a

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Luna Haningsih SE.ME.

MATEMATIKA EKONOMI

1

dan dibaca “limit fungsi f (x) untuk mendekati a

adalah L”. Artinya jika variable x

berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi x f (x) pun akan berkembang pula hingga mendekati

L .Atau sebaliknya, fungsi

f (x) dapat dibuat mendekati nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangkan

variable x sedemikian tupa hingga mendekati a . Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit diatas. Pertama, x →a

harus dibaca serta ditafsirkan dengan mendekati a , dan bukan berarti x = a !

Kedua, lim f (x) = L

harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit fungsi f (x),

dan bukan berarti L adalah nilai fungsi f (x). Ringkasnya, lim f (x) = L bukan berarti f (a ) = L x → a

Contoh praktis berikut ini akan menjelaskan bagaimana bekerjanya teori limit dan apa sesungguhnya yang dimaksud dengan limit. Andaikan y = f (x) = 1 - 2 x2 maka lim f (x) = lim (1 - 2x2 ) = -7 x→2

x→2

Perhatikan perkembangan fungsi f (x)

lim f (x) = lim (1 - 2x2 )= - 17 x→3

x→3

untuk perkembangan variable x sebagaimana

tercermin di dalam table berikut: Dari table dibawah ini terlihat bahwa jika x bergerak mendekati 2 (baik dari x=1 lalu menaik, maupun dari x=3.50 lalu menurun), maka f(x) akan mendekati –7. Sedangkan jika x bergerak mendekati 3 maka f(x) akan berkembang mendekati –17.

x

f (x) =1 - 2x2

3.5

1 - 2(3.50) 2 = - 23.5

3.1

1 - 2(3.10) 2 = - 18.22

3.05

1 - 2(3.05) 2 = - 17.605

3.01

1 - 2(3.01) 2 = - 17.1202

2.99

1 - 2(2.99) 2 = - 16.8802

2.95

1 - 2(2.95) 2 = - 16.405

2.90

1 - 2(2.90) 2 = - 15.82



MATEMATIKA EKONOMI

2

2.50

1 - 2(2.50) 2 = - 11.5

2.10

1 - 2(2.10) 2 = - 7.82

2.05

1 - 2(2.05) 2 = - 7.405

2.01

1 - 2(2.01) 2 = - 7.0802

1.99

1 - 2(1.99) 2 = - 6.9202

1.95

1 - 2(1.95) 2 = - 6.605

1.90

1 - 2(1.90) 2 = - 6.22

1.50

1 - 2(1.50) 2 = - 3.5

1.00

1 - 2(1.00) 2 = - 1.0

Pada contoh di atas variable x bergerak mendekati nilai-nilai positif tertentu, yakni 2 dan 3.Limit sebuah fungsi dapat pula dianalisis untuk perkembangan bagan variable yang menuju 0, bahkan menuju +



dan -

.

Dengan demikian,untuk setiap fungsi f(x)

kita dapat menganalisis lim f(x) untuk x→ +a , x → -a, x → 0, 

x → +  dan

x→-

. Seiring dengan itu dapat terjadi (untuk x mendekati seberang nilai tertentu) lim f(x)

= +L, lim f(x) = -L, lim f(x) = 0, lim f(x) = + atau lim f(x) = -. Limit suatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan : ada (terdefinisi, tertentu; yakni jika limitnya adalah L, atau –L, atau 0 atau +  atau tidak boleh tak tentu

0

atau



atau tidak ada sama sekali (tidak terdefinisi), ada

.

Contoh: 1. lim (1- 2x2) = -7 x → -2 2. lim ( 1- 2x2) = 1 x →0 3. lim ( 1-2x2) = - x →+ 3. LIMIT SISI-KIRI DAN LIMIT SISI-KANAN Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilah menjadi dua bagian, tergantung pada sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya. Apabila kita menganalisis lim f(x) dari nilai nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x→a x


MATEMATIKA EKONOMI

3

x→a nilai-nilai x yang lebih besar daripada a ( x> a), berarti kita melihatnya dari sisi kanan. Lim f(x) X→a terdiri atas

Lim f (x) x → a(analisis sisi kiri) x → a dilihat dari nilai-nilai x < a

lim f (x) x → a+ (analisis sisi kanan) x →a dilihat dari nilai-nilai x>a

Limit sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (x →a dari sisi kiri, melalui nilai-nilai x < a). Jadi jika, Lim f(x) = Lx→a-

berarti L- merupakan limit sisi kiri dari f(x) untuk x→ a

Limit sisi kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil ( x →a dari sisi kanan melalui nilai-nilai x > a). Jadi jika lim f (x) = L+ x →a+

berarti L+ merupakan limit sisi kanan dari f(x) untuk x → a

Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi kiri dan limit sisi kanannya ada serta sama. Lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) x → ax → a+ x→a Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.



MATEMATIKA EKONOMI

4

Contoh: 1.

lim ( 1- 2x2) = -7 (terdefinisi) x→2 sebab lim ( 1-2x2 ) = lim ( 1-2x2) = -7 x →2x→2+

2. y = f (x) = -3/x maka limf (x) = lim (-3/x) = + x → 0x → 0+

lim f(x) = lim (-3/x) = x→0+ x→0+





Karena lim (-3/x)  lim (-3/x), maka lim (-3/x) tidak terdefinisi. X→ 0x→ 0+ x →0

1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Kuosien diferensi

y/ x

tak lain adalah lereng dari kurva y = f (x). Sedangkan

derivatif dy/dx adalah lim ( y/ x) untuk

x→0.

Jika

x

sangat kecil, lim ( y/ x) = y/ x

itu sendiri,dengan perkataan lain derivatif fungsi yang dengan kuosien diferensinya (dy/dx =

y/ x).

jadi untuk

x→0 

bersangkutan sama

x yang sangat kecil, derivatif

juga mencerminkan lereng dari kurva y = f(x). Uraian mengenai diferensial berikut ini akan semakin memperjelas makna tentang derivatif, serta mempertajam pemahaman akan ketiga konsep yang saling berkaitan: kuosien diferensi, derivatif, dan diferensial. Notasi derivatif dy/dx sesungguhnya terdiri atas dua suku, yaitu dy dan dx. Suku dy dinamakan diferensial dari y, sedangkan dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x (dx) mencerminkan perubahan sangat kecil pada variable bebas x. Diferensial dari x: dx =



x

Adapun diferensial dari y (dy) mencerminkan taksiran perubahan pada variable terikat y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variable bebas x.

Diferensial

dari variable terikat sebuah fungsi sekaligus merupakan diferensial dari fungsi yang bersangkutan, yakni hasil kali dari derivatifnya terhadap perubahan pada variable bebas.



MATEMATIKA EKONOMI

5

dy Diferensialdari y : dy

_____ dx dx

Berdasarkan penjelasan mengenai masing-masing dx dan dy di atas, maka derivatif dy/dx tak lain adalah lereng taksiran ( approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. diferensi



Lereng yang sesungguhnya (the true slope) adalah kuosien

y/  x. Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) dari,atau lebih

kecil(underestimated) dari atau sama dengan lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung dari jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas. Untuk fungsi y = f (x) yang linier,lereng taksiran selalu sama dengan lereng sesungguhnya, berapapun



x. Dengan perkataan lain derivatif fungsi linear tak lain

adalah kuosien diferensinya, dy/dx =



y/ x. Berapapun x (= dx),akan selalu dy =  y,

sehingga dy / dx = y/  x.

Untuk fungsi y = f(x) yang nonlinear, semakin besar

x

semakin besar pula

perbedaan antara lereng taksiran (derivatif,dy/dx) dan lereng sesungguhnya (kuosien diferensi, y/ x). Dengan x yang semakin besar,semakin besar pula perbedaan antara dy dan



y,sehinggamakin besar pulaperbedaan antara dy/dx dan

(ingat :dx=x). Sebaliknya semakin kecil

x



y/ x

semakin kecilpula perbedaan antara

lereng taksiran dan lereng sesungguhnya. Dan jika

x

sangat kecil ( x

0) , lereng

→

taksiran akan sama dengan lereng sesungguhnya (kalaupun ada perbedaan, nilainya sedemikian kecilnya sehingga boleh diabaikan).

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variable bebas x sebesar

x

(baca delta x), maka

bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi: Y = f (x) Y + y = f (x + x) y

= f (x + x) – y

y

= f (x + x) – f (x)



x adalah tambahan x dan

tambahan x. Jadi



sama dibagi dengan



y adalah tambahan y berkenaan dengan adanya

y timbul karena adanya 



x. Apabila ruas kiri dan kanan sama-

x, maka diperoleh:



MATEMATIKA EKONOMI

6

y

=

x

f (x + x) – f (x) x

Cat : bentuk Δy / Δx inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan atau

kuosien diferensi.

Contoh : Tentukan kuosien diferensi dari y = 3x² Y

= 3x²

Y + y

= 3 (x + x)² = 3(x² + 2x ( x) + (x)² ) = 3x² + 6x (x) + 3 (x)² y

= 3x² + 6x (x) + 3 (x)² - y

y

= 3x² + 6x (x) + 3 (x)² - 3x² = 6x (x) + 3 (x)²

Δy Δx

6x(Δx) + 3 (Δx)² =

Δx

= 6x + 3 Δx

Proses penurunan fungsi ini disebut diferensiasi. Limit dari suatu kuosien diferensi disebut derivative atau turunan. Sehingga,

Jika Y

= 3 x²

Maka kuosien diverensinya

Δy Δx


6x(Δx) + 3 (Δx)² =

Δx


= 6x + 3 Δx

MATEMATIKA EKONOMI

7

Dan derivative atau turunan fungsinya limit Δx →0

Δy

6x(Δx) + 3 (Δx)²

Δx

=

Δx

Δy Δx

= 6x + 3 Δx =6x

Cara menuliskan turunan dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi atau lambang. Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat dituliskan Limit Δx →0

Δy

= y‟ = f‟ (x) = yx = fx (x) = dy = df (x) = Δy

Δx

dx

dx

Δx

2. DERIVATIF DARI DERIVATIF

Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali.

Dengan perkataan lain,

turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya. Fungsiawal

: y = f(x)

Turunan pertama

:

dy

d f(x)

: y‟ = f „ (x)= ___ = ____

dx d2 y

dx d2 f(x)

Turunan kedua : y‟‟ = f‟‟ (x) = ____ = ______

dx2

dx2

d3y

d3f(x)

Turunan ketiga : y‟‟‟= f‟‟‟(x) = ____ = ______

turunan ke-n

dx3

dx3

dny

dnf(x)

: yn = fn (x) = ____ = ______ dxn


dxn


MATEMATIKA EKONOMI

8

Derivatif yang diperoleh dari derivatif sebuah fungsi dinamakan derivatif berderajad lebih tinggi (higher order derivatives).

Derivatif pertama dan derivatif kedua sangat

penting untuk menelaah fungsi yang bersangkutan.

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non linear.

Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first

derivative) dan turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Berdasarkan kaidah diferensiasi,dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajad “n” adalah sebuah fungsi berderajad “n -1”.

Contoh: y = f (x) = 1/3x 3 – 4x2 + 12x – 5 ………… fungsi kubik y‟= dy/dx= x2 – 8x +12

…………..

fungsi kuadrat

y‟‟= d2y/dx2 = 2x – 8

………….

fungsi linear

y‟‟‟= d3y/dx3 =2

………….

Konstanta

4. FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN

Derivatif pertama dari sebuah fungsi nonlinear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrim sebuah fungsi non linear. Jika derivatif pertama f‟ (a) > 0 (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f (x)

merupakan fungsi menaik pada kedudukan x = a, yaitu y = f (x) menaik pada saat x bertambah sesudah x = a. Sedangkan jika derivatif pertama f‟ (a)< 0 (lereng kurvanya

negatif pada x = a), maka y = f(x) merupakan fungsi menurun pada kedudukan x = a, yaitu y = f(x) menurun pada saat x bertambah sesudah x = a. Uji tanda. Apabila derivatif pertama f‟(x) = 0,berarti y = f (x) berada di titik ekstrimnya. Guna

menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah titik minimum, perlu dilakukan uji tanda terhadap f‟(a) = 0.



MATEMATIKA EKONOMI

9

i.

Jika f‟(x) > 0 untuk x < a dan f‟ (x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya

adalah titik maksimum. ii.

Jika f‟ (x) < 0 untuk x< a dan f‟ (x) >0 untuk x> a ,maka titik ekstrimnya adalah

titik minimum.



MATEMATIKA EKONOMI

10

Limit & Turunan

Recommend Documents