MAKALAH Kelompok 4 Kalkulus 1 yang berjudul : “LIMIT DAN KEKONTINUAN”
Disusun oleh :
Tri Prastyo Utomo
Rivan Suwandi
Rian Rachmatsyah
Randi Kurnia
Sigit Widigdo
Ogih Ardi Ginanto
Miswanto
Sutoyo
Rulli
Program Sudi Teknik Informatika UNIVERSITAS PAMULANG Tahun Akademik 2012
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmaanirrahim Assalamu’alaikum Wr Wb Puji dan syukur syukur penyusun penyusun panjatkan panjatkan ke Khadirat Alloh SWT, SWT, karena karena atas curaha curahan n Rahmat Rahmat dan Karunia Karunia-Ny -Nyaa penyus penyusun un dapat dapat menyel menyelesai esaikan kan makalah makalah ini dengan baik. Sholaw Sholawat at beserta beserta salam salam semoga semoga selaman selamanya ya tercura tercurah h limpah limpahkan kan kepada kepada baginda alam yakni Kanjeng Nabi Muhammad Muhammad SAW. Makalah yang berjudul “Limit dan Kekontinuan” ini penyusun buat untuk memenuhi salah satu tugas mata pelajaran Kalkulus 1. Terimakasih Terimakasih penyusun ucapkan kepada semua pihak yang telah berperan dalam dalam pembua pembuatan tan makala makalah h ini, ini, khusus khususnya nya guru guru mata mata pelajar pelajaran an Kalkul Kalkulus us 1 dan teman-teman seperjuangan, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Orang bijak mengatakan mengatakan “tiada gading yang tak retak”, sehingga makalah ini pun masih jauh dari kesempurnaan, karena mengingat terbatasnya waktu dan pengetahuan yang penyusun miliki. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penyusun harapkan guna perbaikan pembuatan makalah dimasa yang akan datang. Akhirnya, penyusun berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian. Wassalamu’alaikum Wr Wb
Jakarta, 2012
Penyusun....
ii
DAFTAR ISI
1.1 Latar Belakang---Belakang-----------------------------------------------------------------------------------------------------------4 ---------------------------------------4 1.2 Rumusan masalah--------------------------------------------------------------------------4 1.3 Tujuan-----Tujuan----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4 ---------------------------------------4 2.1 Limit dan Kekontinuan--------------------------------------------------------------------5 3.1 Kesimpulan -------------------------------------------------------------------------------13
iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Latar Be Belakan lakang g
Kalkulus (bahasa latin : calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu ilmu meng mengen enai ai bent bentuk uk dan dan aljab aljabar ar adal adalah ah ilmu ilmu meng mengen enai ai peng pengerj erjaa aan n untu untuk k memecahkan memecahkan persamaan serta aplikasinya aplikasinya.. Kalkulus Kalkulus memiliki memiliki aplikasi aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah masalah yang tidak dapat dipecahkan dipecahkan dengan dengan aljabar aljabar elementer. elementer. Kalkulus Kalkulus memiliki memiliki dua dua caba cabang ng utam utama, a, kalk kalkul ulus us dife difere rens nsia iall dan dan kalk kalkul ulus us inte integr gral al yang yang sali saling ng berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerban gerbang g menuju menuju pelaja pelajaran ran matema matematik tikaa lainny lainnyaa yang yang lebih lebih tinggi tinggi,, yang yang khusus khusus memp mempela elaja jari ri limi limitt dan dan keko kekont ntin inua uan, n, yang yang secar secaraa umum umum dina dinama maka kan n anal analisi isiss matematika. 1.2 Rumusan Rumusan masala masalah h
1. Apa pengertia pengertian n dari limit limit dan kekontin kekontinuan uan ? 2. Bagaimana Bagaimana menyelesaika menyelesaikan n sebuah persamaan persamaan pada limit dan kekontinua kekontinuan n? 3. Apa saja sifat-sifa sifat-sifatt dari dari limit limit ? 1.3 Tuj Tujuan uan
1. Menjelaskan Menjelaskan dan memahami memahami tentang tentang limit dan kekontin kekontinuan, uan, 2. Mengetahui Mengetahui sifat-sifat sifat-sifat limit limit tersebu tersebut, t, 3. Meng Menget etah ahui ui cara cara meny menyel elesa esaik ikan an sebu sebuah ah perm permasa asala laha han n yang yang berk berken enaan aan dengan limit dan kekontinuan, dan 4. Menambah Menambah ilmu pengeta pengetahuan huan tentang tentang kalkulus kalkulus 1.
4
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Limit Limit dan dan Kekon Kekontin tinuan uan
Peng Penger erti tian an dan dan nota notasi si dari dari limi limitt suat suatu u fung fungsi, si, f(x) f(x) di suatu suatu nila nilaii x = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan di notasikan :
lim f ( x) = L
(i)
x → a +
Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk mendekati a dari arah kiri sama dengan 1 dan di notasikan :
lim f ( x) = l
(ii)
x → a −
Bila L = 1 maka di katakana bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L dan di notasikan :
lim f ( x ) = L
(iii)
x →a
Seda Sedang ngka kan n bila bila L
1 maka maka dika dikatak takan an bahw bahwaa limit limit fung fungsi si f(x) f(x) unt untuk uk
mendekati a tidak ada. Bentuk (i) dan (ii) disebut juga Limit Sepihak , sedangkan bentuk yang ke (iii) menyatakan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan (i) sama dengan nilai nilai limit kiri (ii).
5
Limit Kiri dan Limit Kanan
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri, notasi :
lim f ( x )
x→c
x → c −
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, notasi :
lim f ( x )
x →c
c←x
+
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) : lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x ) = L dan lim+ f ( x) = L
x →c
x →c
x →c
jika lim f ( x) ≠ lim+ f ( x ) maka lim f ( x) − x →c
x →c
Contoh, diketahui :
x →c
x 2 , x ≤ 0 f ( x) = x , 0 < x < 1 2 + x 2 , x ≥ 1
a. Hitung lim f ( x) x→ 0
b. Hitung lim f ( x)
jika ada
x →1
c. Hitung lim f ( x ) x → 2
d. Gamb Gambar arka kan n graf grafik ik f(x) f(x) Jawab: a. Karena Karena aturan aturan fungsi fungsi berub berubah ah di x=0, maka maka perlu perlu dicari dicari limit limit kiri kiri dan limit limit kanan di x=0, maka :
lim f ( x)
=
x → 0 −
lim f ( x ) x → 0
+
lim x x → 0
=
2
=
−
lim x = 0
0 lim f ( x)
x→ 0
x → 0+
6
=
0
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1, maka :
lim f ( x)
=
x → 1
lim f ( x) +
x → 1
lim x = 1
x → 1−
−
=
lim 2 + x
x → 1+
2
lim f ( x ) ≠ lim
=
x → 1−
3
x → 1+
lim f ( x) x →1
lim f ( x) x →1
Hasilnya tak ada
c. Kare Karena na atur aturan an fun fungs gsii tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2, maka : lim f ( x ) = lim 2 + x 2 = 6
x →2
x → 2
d. di x=1 limit tidak ada
Untuk x0
f ( x) = x Grafik: parabola
Untuk 0
2
f(x)=x Grafik:garis lurus
7
Untuk
f ( x) = 2 + x Grafik: parabola
2
Sifat-sifat Limit
Misal xlima f ( x) →
= L dan
lim g ( x) = G , maka : x →a
1. xlima[ f ( x) + g ( x)] = L + G →
2. xlima[ f ( x ) − g ( x )] = L − G →
3. xlima[ f ( x). g ( x )
=
L.G
→
4. xlima
f ( x)
→
=
g ( x)
n 5. xlima f ( x) →
L G
= n
,
bila
G
lim f ( x)
=
x → a
≠
0
n
L
untuk L > 0 bila n genap
Sebagai catatan bahwa sifat sifat di atas juga berlaku untuk limit sepihak, contoh :
x 2 + 1, x ≥ 1 Selesaikan limit fungsi f(x) = 2 x, x < 1 lim f ( x)
1.
x →1+
lim f ( x )
2.
x →1−
Jawab : 1.
2.
2
lim f ( x) = lim ( x
x →1+
+
x →1+
1) = 2
lim f ( x) = lim 2 x = 2
x →1−
x →1−
Contoh :
Selesaikan lim
x → −2
x 2
+ 3 x +
x
2
−
2
4
8
bila ada
Jawab :
lim
x 2
x→ −2
+
x 2
3 x + 2 −
4
= xlim2 →−
( x + 2)( x +1) ( x + 2)( x − 2)
= xlim2 →−
x +1 x − 2
=
1
− −
4
=
1 4
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). secara lebih jelas, f(x) dikatakan kontinu di x = a bila berlaku : 1. F(a) F(a) ter terde defi fini nisi si ata atau u f(a) f(a) ∈ R
lim f ( x ) ada, jika lim f ( x ) = lim f ( x)
2.
x →−a
3.
x →− a
lim f ( x )
x → − a +
=
x →− a −
f ( a )
Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x) dikata dikatakan kan tidak tidak konti kontinu nu atau atau diskon diskontin tinu u
di x = a dan titik titik x = a disebut disebut titik
diskontinu.
Secara Secara geometri geometris, s, grafik fungsi fungsi kontin kontinu u
tidak tidak ada loncat loncatan an atau tidak
terputus. Fungsi f(x) dikatakan continue pada interval terbuka (a,b) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan Kontinue pada interval tutup [a,b] bila :
1. f(x) f(x) kont kontin inu u pad padaa (a, (a,b) b) 2. f(x) f(x) kon konti tinu nu kan kanan an di x = a
3. f(x) f(x) kont kontin inu u kir kirii di di x = b
lim f ( x) = f (a) x → − a
+
lim f ( x) = f (b)
x →− a −
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x
∈
kontinu di mana mana. Contoh :
9
R maka di katakana f(x) kontinu atau
x 2 + 2kx + 1 , x < − 1 Tentukan nilai k agar fungsi f(x) = x + 1 x 2 + 2, x ≥ − 1
kontinu di x = -1
Jawab : Nilai fungsi di x = -1, f(-1) = Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka limit kiri juga sama dengan 3. Untuk Untuk itu pembil pembilang ang dari dari bentuk bentuk
x 2
+
2kx + 1
x + 1
haru haruss memp mempun unya yaii fakto faktorr x + 1.
Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut di dapatkan x 2
+
2kx + 1
x + 1
= x + 2k -1 +
2k + 2
−
x + 1
dari dari sisa pembag pembagian ian (-2k+2 (-2k+2)) sama
dengan nol maka di dapatkan k=1 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Penger Pengertia tian n limit limit tak hingga hingga dan limit limit di tak hingga hingga secara secara formal formal tidak diberi diberikan kan seperti seperti halnya halnya pada pada penger pengertia tian n limit limit di suatu suatu titik titik pada pada pembah pembahasan asan terdahulu. Secara instuisi diberikan melalui contoh berikut ini. Misal diberikan fungsi f ( x ) =
1 x
−
1
. Maka nilai fungsi f(x) menuju tak
hingga hingga ( ) untuk x mendeka mendekati ti 1 dari dari kanan, kanan, sedangka sedangkan n menuju menuju minus tak hingga hingga (
) untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut :
lim f ( x) = −∞ −
x →1
lim f ( x) = ∞
dan
x →1+
10
Bila f ( x ) =
1 ( x
−
f ( x) = ∞ dan maka didapat xlim →1
1) 2
−
lim f ( x) = ∞
x →1+
f ( x) = ∞ atau dituliskan lim x 1 →
Bentuk limit tersebut dinamakan Limit Tak hingga, yaitu nilai fungsi f(x)
untu untuk k mend mendek ekat atii 1 sama sama deng dengan an tak hing hingga ga ( ). Sedang Sedangka kan n bent bentuk uk limit limit di titik titik mendekati tak hingga di ilustrasikan berikut : Misal diberikan fungsi f ( x ) =
1 x
, maka nilai fungsi akan mendekati nol bila
nilai x menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan :
lim f ( x) = 0
x →∞
dan
lim f ( x) = 0
x →−∞
Secara umum, limit fungsi dari f ( x) =
1 x
n
B+ untuk x mendekati tak
,n
hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, maka dapat dituliskan : lim
x →∞
1 x
n
=
0
atau
lim
x →−∞
1
x n
=
0
Bila f(x) merupakan fungsi rasional, misal f ( x ) =
p ( x ) q ( x )
dengan P(x) dan q(x) merupakan polinom polinom maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan cara : membagi pembilang [p(x)] dan penyebut [q(x)] dengan x pangkat tertinggi yang terjadi Contoh : Hitung lim
x →3+
3 + x 3 − x 11
Jawab Nilai dari pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah a dalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negative bilangan yang sangat kecil. BIla 6 dibagi dibagi oleh bilangan bilangan negative negative kecil sekali akan menghasilkan menghasilkan bilangan bilangan yang sangat kecil. Jadi
lim x →3
+
3 + x 3 − x
= -
12
BAB III PENUTUP 3.1 Ke Kesim simpul pulan an
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedi sediki kitt bant bantua uan n cara cara nume numeri riss kemu kemudi dian an kons konsep ep ini ini bisa bisa dime dimeng nger erti ti.. Dan Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal hal itu, itu, maka maka pada pada bagi bagian an pert pertam amaa Bab Bab ini ini limi limitt dite ditera rang ngka kan n secar secaraa intu intuit itiv ivee (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
13
DAFTAR PUSTAKA
limit dan kekontinuan. kekontinuan . (2012, 10 2). Dipetik 11 12, 2012, dari limit dan kekontinuan: http://www.google.com
xiv
