UNIVESIDAD MILITAR NUEVA GRANADA
DANIEL GUZMAN - 5800070 EDWIN VALLEJO ESPINOSA - 5800088
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA INDUSTRIAL
EDGAR RODRIGUEZ
LABORATORIO # 9
PENDULO SIMPLE
27 DE MARZO DEL 2015 CAJICA, CUNDINAMRCA
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL
Determinar experimentalmente la dependencia del periodo de oscilación de un péndulo simple con la masa oscilante, la amplitud y su longitud, y hallar la aceleración de la gravedad (en el laboratorio) de manera indirecta a partir de las mediciones efectuadas.
MARCO TEORICO ¿Qué es un oscilador y cuáles son sus características? El oscilador armónico es uno de los sistemas más estudiados en la física, ya que todo sistema que oscila alrededor de un punto de equilibrio estable se puede estudiar en primera aproximación como si fuera un oscilador. La característica principal de un oscilador armónico es que está sometido a una fuerza recuperadora, que tiende a devolverlo al punto de equilibrio estable, con una intensidad proporcional a la separación respecto de dicho punto,
Donde k es la constante de recuperación, y es la posición de equilibrio, que sin pérdida de generalidad podemos tomar . La fuerza recuperadora es conservativa, por lo que tiene asociado una energía potencial,
¿Qué es un péndulo y en particular, qué es un péndulo simple? ¿Qué lo caracteriza? Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos el peso mg
La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial. Ecuación del movimiento en la dirección radial La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe man=T-mg·cosq Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo. La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0 Principio de conservación de la energía En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva v2=2gl(cosθ-cosθ0) La tensión de la cuerda es T=mg(3cosθ-2cosθ0) La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula). Ecuación del movimiento en la dirección tangencial La aceleración de la partícula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-mg·senq La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial (1) ¿Bajo qué condiciones a un péndulo simple se le puede considerar como un oscilador armónico simple? El oscilador armónico simple es el caso más sencillo, donde únicamente se considera la fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que , la ecuación (1) nos da la siguiente ecuación diferencial
Donde los puntos indican derivación respecto del tiempo, y es la frecuencia natural de vibración.
La solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma
Donde A y se obtienen imponiendo las condiciones iniciales. Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es: Ec = ½.m.v². Como v = -w.A.sen (w.t + δ) Ec = ½.m.w².A².sen² (w.t + δ). Como w² = K/m Ec = ½.K.A².sen² (w.t + δ) La energía cinética de un oscilador armónico varía periódicamente entre un valor mínimo en los extremos (Ec = 0) y máximo en la posición de equilibrio: Ec = ½.K.A² Energía potencial; Sabemos que W = -A.Ep. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es:
w = -A.Ep = -(Ep.C0) - Ep(x) = Ep(x) Ep(x) = ½.K.x² Como x = A.cos (w.t + δ) Ep = ½.K.A².cos² (w.t + δ) La energía potencial de un oscilador armónico varia desde un valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor máximo en los extremos: Ep = ½.K.A² Energía mecánica total: E = Ep + Ec E = ½.K.A².cos² (w.t + δ) + ½.K.A².sen² (w.t + δ) E = ½.K.A².[cos² (w.t + δ) + sen² (w.t + δ)] La energía mecánica de un oscilador armónico E = ½.K.A² permanece constante si no actúan fuerzas disipativas y su valor es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud: E = ½.K.A² ¿Qué predicciones teóricas soportan el comportamiento de un péndulo simple? El péndulo es un sistema masa-hilo: una masa suspendida por un hilo desde un punto fijo. Cuando se desplaza de su posición de equilibrio un ángulo Periodo de movimiento:
Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Oscilaciones. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). Frecuencia de movimiento: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N° de Oscilaciones. / T (número de oscilaciones dividido del tiempo) Amplitud: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura. Ciclo: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto. Oscilación: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo. Pasemos ahora al análisis del péndulo simple, un modelo abstracto estrechamente relacionado con el anterior. Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo suspendido de un hilo y que puede realizar oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable. ¿Qué montaje experimental se puede utilizar para relacionar el periodo de oscilación del péndulo simple con su masa, longitud y amplitud? PÉNDULO SIMPLE Es un modelo teórico que consiste en la implementación de un objeto de masa m, unido a un hilo de longitud l y cuya masa sea insignificante con respecto al objeto que está colgado de uno de sus extremos. En sistemas esféricos, cuando el radio de la esfera es despreciable con respecto a l y que puede considerarse, por tanto, la esfera como un punto material, se tiene el caso ideal del péndulo simple, cuyo periodo se convierte en:
Un péndulo simple es un punto pesante, suspendido en un punto fijo por un hilo inextensible, rígido y sin peso. Es, por consiguiente, imposible de realizarlo, pero casi se consigue con un cuerpo pesante de pequeñas dimensiones suspendido en un hilo fino.
Algunas condiciones son necesarias que se evalúen, para poder justificar las características del péndulo simple. Variaciones del periodo con la amplitud: El periodo de un péndulo varía con respecto a la amplitud, cuando se trabaja con ángulos muy pequeños, el periodo varía muy poco, esto físicamente es conocido como la ley del isocronismo. Variaciones del periodo con la masa del péndulo: Utilizando péndulos de la misma longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un péndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa que conforma al péndulo. Variaciones del periodo con la longitud del péndulo: Si se miden los periodos de un mismo péndulo simple, haciendo variar únicamente su longitud, se comprueba que, el periodo de un péndulo simple es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Variaciones del periodo con la aceleración de la gravedad: El estudio matemático indica que el periodo varía con razón inversa de la raíz cuadrada de la gravedad. El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los siguientes parámetros: Oscilación completa o ciclo: es el desplazamiento de la esfera desde uno de sus extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico (pasando por la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo hasta la posición inicial, es decir, dos oscilaciones sencillas. Periodo: es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa. Frecuencia: es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo. Amplitud: es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio, que depende del ángulo entre la vertical y el hilo. ¿Qué gráficas se pueden y se deben realizar? Se debe graficar la longitud de la cuerda vs el periodo para hallar la relación de estas variables. ¿Qué análisis y qué resultados se obtienen a partir de las gráficas? La longitud de la cuerda de nuestro péndulo deberá ser proporcional al cuadrado del periodo del péndulo.
DESCRIPCION D E LA PRÁCTICA Cuelgue en el soporte universal un péndulo simple de una longitud de 1 m.
Elegimos un ángulo de desviación para el péndulo menor a 20 0 desde la posición de equilibrio y déjelo oscilar unas 10 veces. Luego calculamos el valor promedio del periodo de oscilación.
Se repitió la operación para unas diez longitudes diferentes, representamos en una tabla las parejas periodo – longitud.
Realizamos una gráfica en papel milimetrado de periodo (T) en función de la longitud (L). Y como no es una línea recta se procedió a realizar una gráfica en papel logarítmico.
y
DATOS PARA EXPERIMENTO La tabla a continuación nos muestra 8 longitudes diferentes y el tiempo promedio de 10 oscilaciones. L(M) 0,15 0,25 0,34 0,46 0,52 0,585 0,665 0,72
t1(S) 7,55 9,78 11,22 13,27 13,78 14,83 15,57 16,34
t2(S) 7,53 9,88 11,52 13,04 13,8 14,74 15,79 16,48
t3(S) 7,56 9,92 11,51 13,12 13,74 14,76 15,71 16,49
t4(S) 7,51 9,77 11,57 13,26 13,67 14,7 15,8 16,59
t5(S) 7,51 9,8 11,52 13,16 13,7 14,66 15,72 16,42
Promedio t(S) 7,532 9,83 11,468 13,17 13,738 14,738 15,718 16,464
En esta tabla encontramos el periodo experimental y el periodo teórico calculado con la ecuación: 𝐿
𝑇 = 2𝜋√g = L(M) 0,15 0,25 0,34 0,46 0,52 0,585 0,665 0,72
2𝜋 1 𝐿2 √𝑔
1
= 𝐴𝐿2
T(EXP) T(CUADRADO) T(TEORICO) 0,7532 0,56731024 0,7773 0,983 0,966289 1,003 1,1468 1,31515024 1,17 1,317 1,734489 1,361 1,3738 1,88732644 1,447 1,4738 2,17208644 1,535 1,5718 2,47055524 1,636 1,6464 2,71063296 1,703
Graficas: Gráfica del periodo experimental contra la longitud de cada uno de los experimentos.
T vs L
y = 1,922x0,4896 1,8 R² = 0,9988 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Grafica del periodo al cuadrado contra las longitudes de cada uno de los experimentos.
T² vs L
y = 3,6766x + 0,0321 R² = 0,9984
3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
COMPARANDO: 1 𝐿 2𝜋 1 𝑇 = 2𝜋√ = 𝐿2 = 𝐴𝐿2 g √𝑔
𝑇² = 𝐴²𝐿 𝑇² = 𝐵𝐿 𝑌 = 𝐵𝑋 Grafica de T vs L evaluando (x) con el valor de cada una de las longitudes y = 1.922(𝑥)0.4896 y1 = 1.922(0.15)0.4896 y2 = 1.922(0.25)0.4896 y3 = 1.922(0.34)0.4896 y4 = 1.922(0.46)0.4896 y5 = 1.922(0.52)0.4896
= 0.7592 = 0.9749 = 1.1333 = 1.3141 = 1.3954
y6 = 1.922(0.585)0.4896 = 1.4782 y7 = 1.922(0.665)0.4896 = 1.5740 y8 = 1.922(0.72)0.4896 = 1.6364 Grafica de T² vs L evaluando (x) con el valor de cada una de las longitudes y = 3.6766(𝑥) + 0.0321 y1 = 3.6766(0.15) + 0.0321 = 0.5835 y2 = 3.6766(0.25) + 0.0321 = 0.9512 y3 = 3.6766(0.34) + 0.0321 = 1.2821 y4 = 3.6766(0.46) + 0.0321 = 1.7233 y5 = 3.6766(0.52) + 0.0321 = 1.9439 y6 = 3.6766(0.585) + 0.0321 = 2.1829 y7 = 3.6766(0.665) + 0.0321 = 2.4770 y8 = 3.6766(0.72) + 0.0321 = 2.6792
CALCULO DE ERRORES ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO 0,0241 0,031 0,02 0,020 0,0232 0,020 0,044 0,032 0,0732 0,051 0,0612 0,040 0,0642 0,039 0,0566 0,033
ERROR PORCENTUAL (%) 3,1 2,0 2,0 3,2 5,1 4,0 3,9 3,3
ANALISIS DE RESULTADOS
El periodo varia cuando modificamos la longitud ya que a medida que aumentamos la longitud, aumentaba el periodo, y por el contrarío si se disminuía L, el periodo también disminuía.
El periodo varia cuando modificamos la aceleración de la gravedad el periodo disminuye, y si la gravedad disminuye, el periodo aumenta.
Comencemos con la primera tabla, en esta vemos muy bien que el periodo y la longitud son directamente proporcionales, esto quiere decir que a apenas aumenta la longitud el periodo también aumenta. Lo anterior mirando la tabla ahora coloquemos una definición más adecuada; el periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrad de la longitud, esto viendo la formula.
Ahora vemos que para el péndulo en pequeñas oscilaciones hay un cambio muy pequeño, esto se debe más a los errores de las tomas de medidas en la práctica, ya que, la verdadera definición es que a pequeñas oscilaciones el periodo es igual.
CONCLUCIONES
Experimentalmente es un poco complicado tener valores exactos, pero lo mejor es tener valores lomas cercano posibles.
La aceleración de la gravedad es fácil obtenerla, si tenemos un péndulo simple en cualquier parte, eso si debemos ser muy cuidadosos con las medidas para no tener un porcentaje de error muy grandes.
La naturaleza no afecta el periodo, lo que afecta es si se cambia la masa.
Las pequeñas oscilaciones no deben afectar el periodo de un péndulo.
BIBLIOGRAFIA http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ http://aplicaciones.colombiaaprende.edu.co/ http://www.monografias.com/
