KOSET TEOREMA LAGRANGE DAN SUBGRUP NORMAL

RESUME “KOSET TEOREMA LAGRANGE DAN SUBGRUP SUBGR UP NORMAL” NORMAL”

Dituju untuk memenuhi tugas Perkuliahan Perkuliahan Struktur Aljabar

Oleh: IIS ROSMERIA

(A1C215001)

FEBB AUNI ESA PUTRI

(A1C2150

SESI SUNDARI

(A1C2150

RIA NINGSI! SAPUTRI

(A1C2150

EKA RATIN RATINDRA DRA IK!S IK!SAN AN D!ANI D!ANI (A1C21 (A1C2150 50 DENI NO"ERA

(A1C2150#$)

D%&e' Pe'*+,: D-. SOFNIDAR/ M.S

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.











A. TUJUAN

Setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan subgrup normal, pembaca diharapkan untuk: 1. Memahami Memahami koset koset kiri, koset koset kanan, sifat-sifa sifat-sifatt koset dan dapat dapat menggunak menggunakanny annyaa dalam grup, 2. Memahami Memahami konsep konsep subgrup subgrup normal, normal, grup faktor faktor dan dapat menggun menggunakan akannya nya dalam dalam penyelesaian penyelesaian soal. Sebagai penjabaran tujuan di atas, setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan subgrup normal, pembaca dapat: 1. Menentuk Menentukan an koset koset kiri atau koset koset kanan kanan dari suatu suatu subgrup subgrup dalam grup grup tertentu tertentu 2. Menentuk Menentukan an teorema teorema yang berkenaa berkenaann dengan dengan koset-koset koset-koset suatu suatu subgrup subgrup dalam grup grup tertentu !. Menentuk Menentukan an banyakny banyaknyaa koset-koset koset-koset yang yang berbeda berbeda dari suatu suatu subgrup subgrup dalam grup tertentu ". Menentuk Menentukan an hubungan hubungan antara antara order order suatu suatu grup dan order order dari subgrupny subgrupnya a #. Menentuk Menentukan an hubungan hubungan antara antara periode periode suatu suatu elemen elemen dari grup grup dan order order dari grupnya grupnya $. Menentuk Menentukan an elemen-ele elemen-elemen men yang yang kongruen kongruen modulo suatu suatu subgrup subgrup dari grup tertentu tertentu %. Mengiden Mengidentifika tifikasi si apakah apakah subgrup subgrup dari suatu grup grup merupakan merupakan subgrup subgrup normal normal atau tidak &. Menentuk Menentukan an syarat-sya syarat-syarat rat agar suatu suatu subgrup subgrup merupakan merupakan subgrup subgrup normal normal dari grup tertentu '. Menentuk Menentukan an teorema teorema yang yang berkenaa berkenaann dengan dengan subgrup subgrup normal normal 1(. Menentukan banyaknya banyaknya elemen elemen dari suatu grup faktor. B. MATERI

)dapun materi yang akan dipelajari sesuai dengan tujuan di atas, adalah: 1. Menentuk Menentukan an Koset Koset K! Atau Atau Koset Koset Kanan Kanan Da! Suatu Suatu Su"#!u$ Su"#!u$ Da%a& Da%a& G!u$ Te!tentu

*efi *efini nisi si %.1 %.1 +ika +ika  sua suatu tu sub subgr grup up dar darii grup grup  

∘

/ dan a

∈

 maka a 0

{ h ∘ a|h ∈ H } disebut koset kanan dari  dalam , sedangkan a 0 { a ∘ h|h ∈ H } disebut koset kiri dari  dalam .











aS 0 { a + s|s ∈ S } dan Sa 0 { s +a|s ∈ S } apabila , / grup dan S subgrup dari  maka: aS 0 { a × s|s ∈ S } dan Sa 0 { s × a|s ∈ S } secara umum, a ∘ s ditulis as dan s ∘ a ditulis sa. 3ontoh 1.

Misalnya  0 4..., -2, -1, (, 1, 2, ...5 sedangkan , / merupakan grup Misalnya S 0 4..., -$, -!, (, !, $, ...5 Maka S2 0 4..., 4..., (, 1, 2, #, &, ...5 adalah adalah koset kanan dari dari s S! 0 4..., -!, (, !, $, ', ...5 adalah koset kanan dari s 1S 0 4..., -#, -2, 1, ", %, ...5 adalah koset kiri dari s.

3ontoh 2.

Misalkan 6 adalah himpunan semua bilangan bulat. Maka 6 dengan operasi penjumlahan merupakan merupakan suatu grup. grup.  # adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan #. Maka  # dengan operasi penjumlahan juga merupakan semua suatu grup. # ⊂ 6, jadi # merupakan subgrup dari 6. 7oset kanan dimana  # dalam 6 untuk "

∈

6 adalah  #"

6 0 4..., -2, -1, (, 1, 2, ...5 # 0 4..., -1(, -#, (, #, 1(, ...5 #" 0 4h  " ' h 6# 0 4!  h ' h

∈

∈

#5

→

#5

→

#" 0 4..., -$, -1, ", ', 1", ...5 !# 0 4..., -%, -2, !, &, 1!, ...5

"# koset kiri dari  # dan 6. 3ontoh !.

Misalnya  0 4i, a, b, c, d, e5 sedangkan , ∘/ adalah grup dengan i 0 1/ 2/ !/ c 0 2 !/ a 0 1 2 !/ d 0 1 !/ b 0 1 ! 2/ e 0 1 2/, dan ∘ adalah operasi perkalian permutasi asil kali anggtota  disajikan dalam tabel berikut ini:











b c d e

b c d e

i d e c

a e c d

d i b a

e a i b

c b a i

Subgrup dari  adalah 4i, a, b5, 4i, c5, 4i, d5, 4i, e5 Misalnya S 0 4i, c5 7oset kanan dari S dalam  adalah: Si 0 4i, c5 Sc 0 4c, i5 Sa 0 4ia, ca5 0 4a, d5 Sd 0 4id, cd5 0 4d, a5 Sb 0 4ib, cb5 0 4b, e5 Se 0 4ie, ce5 0 4e, b5 7oset kiri dari S dalam  adalah: iS 0 4i, c5 cS 0 4c, i5 aS 0 4ai, ac5 0 4a, e5 dS 0 4di, de5 0 4d, b5 bS 0 4bi, bc5 0 4b, d5 d5 eS 0 4ei, ec5 0 4e, a5 3ontoh ".

Misalnya  0 41, -1, i, -i5 dengan i 0 √ −1 atau i2 0 -1. Maka ,/ merupakan grup dengan elemen identitas 1. Misalnya S 0 41, -15. Maka S merupakan subgrup dari  7oset kanan dari S dalam  adalah: S1 0 41, -15 Si 0 4i, -i5 S-1/ 0 4-1, 15 S-i/ 0 4-i, i5 7oset kiri dari S dalam  adalah: 1S 0 41, -15 iS 0 4i, -i5 -1/S 0 4-1, 15 -i/S 0 4-i, i5

3ontoh #.

Misalkan  0 48, 9, 9 2, ), 6, 35 menyatakan grup transformasi dari segitiga sama sisi )bc. Subgrup dari  adalah 48, 9, 9 25, 48, )5, 48, 65, 48, 35 Misalnya S 0 48, 9, 9 25 7oset kanan dari S dalam  adalah











S.9 2 0 49 2, 8, 95

S3 0 43, 6, )5

7oset kiri dari S dalam  adalah 8S 0 48, 9, 9 25 )S 0 4), 6, 35 9S 0 49, 9 2, 85 6S 0 46, 3, )5 9 2S 0 49 2, 8, 95 3S 0 43, ), 65 erhatikan lagi definisi koset. Misalkan S adalah subgrup dari  ∘/ Misalkan anggota dari S adalah h 1, h2, h!, ..., yang semuanya berlainan. +ika a

∈

∉

 dan a

S, maka anggota dan koset kanan Sa adalah h 1 ∘ a, h2 ∘ a, h! ∘

a, ....., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam Sa yang sama, yaitu h i ∘ a 0 h j ∘ a, dengan sifat kanselasi diperoleh h i 0 h j. al ini tidak mungkin karena anggota dari S semuanya berlainan. 6egitu pula anggota dari koset kanan Sa tidak ada yang sama dengan anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan h i ∘ a 0 h j, dengan h i, h j

∈

S,

yang berarti: hi-1 ∘ hi ∘ a/ 0 hi-1 ∘ h j hi-1 ∘ hi/ ∘ a 0 hi-1 ∘ h j i ∘ a/ 0 hi-1 ∘ h j a 0 hi-1 ∘ h j S suatu subgrup maka S suatu grup. Sehingga, apabila h j ∈

S maka hi ∘ hi-1/

∉

dalam  untuk b

∈

∈

S maka h-1

∈

S pula. hi, hi-1

S karena sifat tertutup/. 7arena a 0 h i-1 ∘ hi maka a

ini pun tidak mungkin, sebab tadi mengambil a Sekarang ambil b

∈

 dengan b 0 a, dan b

∈ ∈

 dengan a

∈

∈

S. al

S.

S. Maka anggota dari koset kanan S

, yaitu Sb adalah h 1 ∘ b, h2 ∘ b, h! ∘ b, ... tentu anda dapat

menunjukkan bah;a anggota dari dalam Sb ini tidak ada yang sama. 6egitu pula anggota dari Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari S.











2/ +ika a

∉

∉

S dan b

S maka Sa

≠

S dan Sb

≠

S

Sa 0 4a, d5 dan Sb 0 4b, e5 Sa/a-1 0 Sa/b 0 4ab, ad5 0 4i, c5 0 S Sb/b-1 0 Sb/a 0 4ba, ea5 0 4i, c5 0 S

(. Menentukan Teo!e&a eo!e&a )an# )an# Be!kenaan Be!kenaan Den#an Den#an Koset*Koset Koset*Koset Suatu Su"#!u$ Su"#!u$ Da%a& Da%a& G!u$ Te Te!tentu !tentu

Teorema Teorema 7.1 7 .1

+ika S adalah subgrup dari , dan a

∈

S, maka Sa 0 S

6ukti: Sa adalah koset kanan dari S, yang anggotanya adalah hasil kali anggota S dan a, dari kanan. 7arena S adalah subgrup yang memenuhi sifat tertutup, dan a ∈

S maka hasil kali setiap anggota S dengan a merupakan anggota S pula.

+adi Sa ⊂ S ∈

7arena a

S maka a-1

∈

S. +adi, S 0 4sa-1/ a>s

∈

S 5 ⊂ Sa

+adi Sa 0 S Teorema Teorema 7.2 7 .2

+ika  adalah grup grup dan S adalah adalah Subgrup dari , maka Sa 0 Sb jika dan hanya hanya jika ab-1

∈

S.

6ukti: 1/ )kan )kan dibu dibukti ktika kann : Sa 0 Sb → ab-1 Misalkan Sa 0 Sb Maka Sa/b-1 0 Sb/b-1

∈

S













2/ )kan )kan dibu dibukt ktik ikan an ab-1

∈

S

→

Sa 0 Sb

Misalkan ab-1 ∈ S Menurut teorema di atas Sab -1 0 S Maka Sab-1/ b 0 Sb Sa/ b-1b/ Sb Sai 0 Sb Sa 0 Sb +adi ab-1 ∈ S → Sa 0 Sb *ari 1/ dan 2/ diperoleh Sa 0 Sb

↔

Teorema Teorema 7.3 7 .3 +ika S adalah subgrup dari grup , maka b

ab-1 ∈

∈

S

Sa jika dan hanya jika Sa 0 Sb.

6ukti : 1/ )kan )kan dibu dibukti ktika kann b ∈ Sa → Sa 0 Sb *apat dilakukan dengan dua cara 3ara 1 a ∈ Sb → ab-1 ∈ Sbb-1 atau ab-1 ∈ S Menurut ?eorema ab-1 ∈ S → Sab-1 0 S Sab-1 b 0 Sb Sai 0 Sb Sa 0 Sb 3ara 2 Misalnya b ∈ Sa. Maka b 0 s j . a untuk suatu s j b a-1 0 s j a/ a-1 b a-1 0 s j a a-1/ b a-1 0 s j i b a-1 0 s j maka b a-1 ∈ S

∈

S











3ara 2 b ∈ Sb, sebab S memuat i sehingga ib 0 b b

∈

∈

Sb dan Sa 0 Sb. Maka b ∈

Sa

dari 1/ dan 2/ diperoleh b

∈

jadi Sa 0 Sb

→

b

Sa

Sa ↔

Sa 0 Sb

+. Menentuk Menentukan an Ban)akn)a Ban)akn)a Koset*K Koset*Koset oset )an# )an# Be!"e,a Be!"e,a Da! Suatu Suatu Su"#!u$ Su"#!u$ Da%a& G!u$ Te Te!tentu !tentu

?ujuan diatas sesuai dengan ?eorema berikut:

Teorema Teorema 7.4

+ika S adalah subgrup dari  maka: 1.  adalah adalah gabun gabungan gan semua semua koset koset kanan kanan Sa, Sa, dengan dengan a ∈

2.
∩

 maka Sa 0 Sb atau Sa

∈

.

Sb 0

∅

*apat pula dikatakan bah;a jika Sa ≠ Sb maka Sa ∩ Sb 0 ∅ 6ukti : 1/ )kan )kan dibu dibuktik ktikan an bah;a bah;a  0 ¿ a ∈ G Sa 6ukti menggunakan kesamaan dua himpunan a/ )mbil  ∈  dan S koset kanan dari S di , i ∈ S dan i 7arena i 0  maka  ∈ S dan  +adi  ⊂ ¿ a ∈ G Sa y

∈

+ika s1

∈

Sp, berarti ada S 1 ∈

7arena s1

S maka s1 ∈

¿ a ∈ G Sa

¿ a ∈ G Sa , berarti ada p ∈  sehingga

∈

b/ )mbil y

∈

 dan p

+adi ¿ a ∈ G Sa

⊂

∈

S dan y 0 s1 p

 ∈



 maka s 1 p

∈

 atau y

∈



∈

S











c +adi Sa

∩

Sb

≠

∈

∩

Sa ⇒

∅

⇔

Sb,

Sa 0 Sb 0 Sc

Sa0Sb ≠

7ontraposisi dengan implikasi ini benar, yakni jika Sa

Sb maka Sa

∩

Sb ≠ ∅ . ?erbukti *emikian pula untuk koset kiri dari S dalam . Teorema Teorema 7.5

Misalkan , o/ adalah grup dan S merupakan subgrup dari . +ika i adalah elemen identitas dari , a

Teorema Teorema 7.6

∈

 dan a

≠

i maka Sa bukan subgrup dari .

+ika , o/ adalah grup dan S adalah subgrup dari  maka berlaku S

∽

∀

a,b

∈



Sa.

6ukti: Misalkan a

∈

 dan a

erhatikan pemetaan pemetaan f : S

∉

→

S maka Sa

≠

S

Sa dengan fs/ 0 sa,

)nggota dari Sa diperoleh dari perkalian setiap s

∈

∀

s

∈

S dengan a

 ∈

. 6erarti setiap anggota dari Sa merupakan banyaknya anggota dari S. )kan dibuktikan pemetaan itu satu la;an satu. Misalkan s1 s2 ∈ S dan fs1/ 0 fs2/ 7arena: fs1/ 0 s1 a dan fs2/ 0 s2 a *engan pelenyapan, pelenyapan, yang berlaku dalam grup diperoleh s 1 0 s2 +adi f adalah pemetaan satu la;an satu. ∀ s s ∈ S, jika fs / 0 fs / maka s 0 s 1 2 1 2 1 2 Demikian

pula sebaliknya











?ujuan ini sesuai dengan ?eorema berikut. ?eorema Lagrange +ika  suat grup berhingga dan S adalah subgrup dari , maka order dari S membagi habis order dari  ditulis nS/ @ n//. 6ukti: 6ukti: Misalkan Misalkan  adalah adalah grup grup berhung berhungga ga dengan dengan order m dan subgrup subgrup dari dari S dengan order k. +adi  mempunyai tepat m buah angka berlainan dan S mempunyai k anggota berlainan. 6uatlah koset kanan dari S dalam . Menurut teorema:  0 ¿ a ∈ G Sa

Teorema Teorema 7.8

•

•

maka

∀

a,b

7arena S berhingga dan

∈

∀

 berlaku Sa a,b

∈

∩

Sb

S berlaku Sa

anggota Sa0 banyaknya anggota Sb. *emikian pula S

≠

∅

∽ ∽

atau Sa 0 Sb.

Sb, maka banyaknya Sa.

+adi nSa/ 0 nSb/ 0 nS/ 0 k )pabila banyaknya koset kanan yang terbentuk l buah buah maka m 0 l k. k. 6erarti k faktor dari m atau m habis dibagi oleh k, dan ditulis k @ m. +adi nS/ @ n/. Definisi 7.2 +ika  suatu grup dan S adalah subgrup dari , maka yang disebut indeks dari S

dalam  adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari S dalam , ditulis i g ( ) S/. +ika S suatu grup berhingga maka i g S/ 0 n ( S ) . n G

. Menentuk Menentukan an Hu"un#an Hu"un#an Anta! Anta!a a Pe!o,e Pe!o,e Suatu E%e&en E%e&en Da! G!u$ G!u$ ,an O!,e! Da! Da!











? 0 41, 2, !, ", #, $5 dengan operasi perkalian modulo % membentuk membentuk suatu grup. +a;aban :

B

A% 1 2 ! " # $

1 1 2 ! " # $

2 2 " $ 1 ! #

! ! $ 2 # 1 "

" " 1 # 2 $ !

# # ! 1 $ " 2

$ $ # " ! 2 1

1. Cperasi A% pada M% bersifat tertutup karna berdasarkan hasil operasi A % pada tabel terlihat bah;a semua hasil operasinya adalah anggota dari M %. 2. Cperasi A% pada M% bersifat komutatif,karena hasil operasi A % pada tabel simetris simetris terhadap diagonal utama. !. Cperasi A% pada M% tabel terlihat bah;a setiap baris maupun kolom memiliki anggota yang berbeda,selanjutnya berbeda,selanjutnya akan diperhatikan melalui contoh-contoh berikut : a. 2 A% !/ A% " 0 2 A%  ! A% " / $ A% " 0 2 A% # ! 0! b.  ! A% 1 / A% 2 0 ! A%  1 A% 2 / ! A% 2 0 ! A% 2 $ 0 $ c. 2 A% " / A% 1 0 2 A% " A% 1 / 1 A% 1 0 2 A% " 1 01  ?D96<7?8 / 6erdasarkan ! contoh diatas maka terbukti bah;a M %, A%/ bersifat assosiatif. ". 6erdasark 6erdasarkan an tabel terliha terlihatt bah;a ada ada 1 baris yang yang persis sama sama dengan dengan baris baris paling atas, maka 1 adalah elemen identitas kiri dan ada 1 kolom yang persis sama dengan kolom paling kiri, maka 1 adalah elemen identitas kanan. Sehingga 1 adalah elemen identitas pada M %, A%/ berdasarkan tabel 1 terlihat bah;a 1 A% 1 0 1 1 A% 1 0 1













7esimpulan: 7arena M %, A%/ bersifat tertutup,bersifat assosiatif,memiliki identitas dan semua elemennya memiliki in=ers maka M %, A%/ terbukti suatu grup. Sub grup dari M %, A%/ adalah : ) 0415 *04 1, $5 S 0 4 1, 2, "5 3 0 4 2, #5 6 0 41, 2, !, ", #, $5 S 0 41, 2, "5 dan * 0 41, $5 terhadap operasi perkalian modulo % merupakan subgroup dari ?. 7oset-koset kana dari S dalam ? adalah S 1, S2, S!, S", S#, S$. *engan S1 0 S2 0 S " 0 S S! 0 41.!, 2.!, ".!50 4!, $, #5 S# 0 41.#, 2.#, ".#5 0 4#, !, $5 S$ 0 41.$, 2.$, ".$5 04$, #, !5 maka S ! 0 S# 0 S$ +adi banyaknya koset kanan Ss dalam  ada 2, atau i   S / 0 2 nampak bah;a nS/ 0 ! dan n?/ 0 $ sehingga i ?S/ 0

n ( T ) n( S)

.

7oset-koset kanan dari * dalam ? adalah * 1, *2, *!, *", *#, *$ dengan *1 0 *$ 0 *, *2 0 42,#5 dan * ! 0 *" 0 4!, "5 sehingga i ?*/ 0 !. ?entukanlah ?entukanlah periode setiap elemen dari ?. +a;aban: p1/ 0 1, p2/ 0 !, p!/ 0 $, "/ 0 !, #/ 0 $, dan p$/ 0 2 p"/ 0 ! sebab "! 0 $" kongruen 1 modulo %/. erhatikan bah;a periode setiap elemen dari ? ( T )

6











Teorema Teorema 7.10 7.1 0

6ukti:

jika  suatu grup berhingga yang yang berorder bilangan prima maka  merupakan merupakan grup siklik. Misalkan n/ 0 m dengan m suatu bilangan prima.maka pembagi dari m hanyalah 8 dan m saja. Sehingga  tidak mempunyai subgroup sejati.ambil a ∈

 dan a G 8 maka himpunan perpangkatan a yaitu S 0 4a, a 2, a!, H, am 0

i5 merupakan subgroup dari  karena  tidak mempunyai subgroup dan a G 8 maka S 0 . 7arena S suatu grup siklik maka  merupakan grup siklik pula. +ika a, b, m bilangan-bilangan bulat dan m I (, a kongruen b mod m/ bila dan hanya bila ada bilangan bulat sedemikian hingga a-b 0 km. /. Menentuk Menentukan an e%e&en*e%e e%e&en*e%e&en &en )an# kon#!ue kon#!uen n &o,u%o suatu suatu su"#!u$ su"#!u$ ,a! #!u$ #!u$ te!tentu.

*efinisi %.! Misalkan  suatu grup, dan S merupakan merupakan subgroup subgroup dari  maka a kongruen kongruen dengan b modulo S bila dan hanya bila a.b -1

∈

S.

Misalkan  subgroup dari , dan didefenisikan relasi kongruen modulo , yaitu a b mod / jika j ika dan hanya jika ab-1  a, b , maka relasi tersebut











i.

9efleksif Mi Misalkan a 0e

∈

, a

mod / a ii.

∈

∈

∈

 sebarang. 7arena  subgroup dari , Maka aa -1

. sesuai dengan defenisi relasi di atas diperoleh a J a

. +adi, relasi memenuhi sifat refleksif.

Sime imetri Misalkan a, b

∈

 sebarang dengan a J b mod /. 8ni berarti

bah;a jika a J b mod mod / maka ab-1   Kkarena  subgroup ba 01  b J a mod / +adi, relasi memenuhi sifat simetri. iii. iii. ?ransit nsitif if Misa Misalk lkan an a, b, c ∈  sebarang dengan a J b mod / dan b J c mod /. )kan ditunjukkan ditunjukkan a J c mod /. 7arena a J b mod  mod / maka ab -1 . *emikian juga, karena b J c mod / maka bc -1 . 7arena  subgroup dan ab 1

, bc-1 , maka ab -1 /bc-1/  atau ab-1 b/c-1 . 7arena b-1 b/ 0 e maka a

∈

c-1  e unsur identitas/. +adi, ac -1  atau dengan kata lain a J c mod /. al ini menunjukkan bah;a relasi memenuhi sifat transitif. 7arena ketiga sifat di atas dipenuhi oleh relasi kongruen mod N maka relasi tersebut merupakan relasi ekui=alen. ?elah ?elah ditunjukkan di atas bah;a jika  subgroup dari grup , dan relasi kongruen











kosong dan tiap dua koset kanan, akan saling lepas atau akan sama yang satu dengan lainnya, maka  juga akan merupakan gabungan dari semua koset kanan yang berbeda dari  di . 0. Men#,ent Men#,entkas kas a$aka2 su"#!u su"#!u$ $ ,a! suatu suatu #!u$ &e!u$aka &e!u$akan n su"#!u$ su"#!u$ no!&a% no!&a% atau t,ak.

*efinisi %." +ika O subgrup subgrup , maka O disebut disebut subgup normal normal dari  jika dan hanya hanya jika gO 0 Og untuk setiap g 3ontoh:

∈

.

 0 4i, a, b, c, d, e5 dan , ∘/ grup dengan ∘. erhatikan permutasi dan 8 0 1/ 2/ !/ c 0 2 !/ a 0 1 2 !/ d 0 1 !/ b 0 1 ! 2/ e 0 1 2/ erhatikan contoh subgrup S 0 4i, c5 pada kegiatan belajar 1, ∃ ∈  sehingga S G S +adi S 0 4i, c5 bukan subgrup normal. )mbil sekarang O04i,a,b5 subgrup dari . 7oset kanan O dalam  adalah Oi 0 4i, a, b5 Oc 0 4ic, ac, bc5 bc5 0 4c, e, d5 Oa 0 4a, b, i5 Od 0 4id, ad, bd5 bd5 0 4d, c, e5 Ob 0 4b, i, a5 Oe 0 4ie, ae, be5 be5 0 4e, d, c5











*efinisi %.# +ika O adalah subgrup subgrup dari grup 4,o/ 4,o/ maka O disebut subgrup normal normal dari  jika dan hanya jika untuk setiap g g.n.g-1 3ontoh 2

∈

∈

 dan n

∈

O berlaku hubungan hubungan

O

erhatikan grup , yaitu grup permutasi tiga elemen, misalnya 1, 2, dan ! seperti contoh di atas yaitu:  0 41/ 0 i, 12/, 1!/, 2!/, 12!/, 1!2/5. erhatikanlah pula suatu subgrup dari , yaitu O 0 41/, 1!2/, 12!/5. eriksalah bah;a n adalah subgrup dari . )mbil sembarang elemen g

∈

 dan sebarang elemen n

g 0 12/ dan n 0 1!2/. 7arena  suatu grup dan g

∈

∈

O, misalnya

, maka ada g -1

S. +ika g 0 12/ 12/ maka g-1 0 21/. eriksalah bah;a g ∘ g-1 0 g-1 ∘ g 0 1/ erhatikan sekarang sekarang komposisi berikut ini g ∘ n ∘ g-1 0 12/ ∘ 1!2/ ∘ 21/ 0 2!/ ∘ 21/ 0 12!/ ∈ O. )mbil elemen-elemen dari  dan O yang lain, dan bentuklah g ∘ n ∘ g-1 dengan g

∈

 dan n

∈

O. Misalnya: ∈

∈













a!

∘

g-1

∈

∘

a&

∈

a-! 0 a&

 untuk setiap g

 dan sebagainya. Oampak bah;a g ∈

∈

 dan h

∘

h

∘

. +adi  0 4i, a ", a&5 merupakan

subgrup normal dari . 3ont 3ontoh oh "

Misa Misalk lkan an 04i 04i,a ,a,b ,b,c ,c55 den denga gann ope opera rasi si perk perkal alia iann mat matri riks ks,, dan dan i0

( ) ,a0 ( 1

0

−1

0

1

0

0

)

−1 , b 0

(

1

0

0

−1

) ,c0 (

−1

0

0

1

)

, / merupakan grup dan O 0 4i, a5 merupakan subgrup dari . )pakah O merupakan subgrup normal dari P )mbil b b a b-1 0

∈

 dan i, a

(

− )( −

1 0

0

1

1

0

∈

− )( 0

1

∈

O. 8n=ers dari b adalah adalah b 1 0

− ) 0 ( 0

1

1 0

.

− − )( )( − 0

1

1

0

0 1

1

0

0

)

−1 0 a











( ) 2

)mbil g 0 ∈

1

3

2

(−

, g-1 0

)

−3

2

∈

1

2

∈

, dan p 0

( ) 1

0

0

2

O g

∘

(−

2 2

p

∘

)(

g-1 0

−3 −2 −2 4

6 6

( )( )(− 2

3

1

0

1

2

0

2

) @

∈

2 1

−3 2

)0( ) 2

3

1

2

S

+adi S bukan subgrup normal dari . 4. Menentuk Menentukan an Te Teo!e&a o!e&a )an# Be!kena Be!kenaan an Den#an Den#an Su"#!u$ Su"#!u$ No!&a%

6erdasarkan contoh sebelumnya sebelumnya diketahui bah;a O 0 4i, a, b5 merupakan subgroup normal karena telah memenuhi definisi subgroup normal. Selanjutnya akan ditentukan











Teorema Teorema 7.15 7.1 5 Misalnya ,o/ adalah grup. +ika O ∩

normal dari , maka O

dan  masing-masing adalah subgrup

 merupakan subgrup normal dari .

6ukti: ∈

)mbil sebarang a, b

O

∩



a

∈

O

∩

  a

∈

O dan a

∈



b

∈

O

∩

  b

∈

O dan b

∈



a

∈

O dan a

∈

  a o b

∈

O

b

∈

 dan b

∈

  a o b

∈



aob

∈

O dan a o b

∈

 maka a o b

∈

O

∩













7oset kiri aoi0a b o i 0 b coi0c

doi0d eoi0e

Teorema Teorema 7.17 7.1 7 Misalkan , o/ merupakan grup dan O adalah subgrup dari .

+ika i O/ 0 2, maka O adalah subgrup normal dari . 6ukti : erhatikan koset kanan dari O 0 4i, a, b5 Oi 0 Oa 0 Ob 0 4i, a, b5 b5 Oc 0 Od 0 Oe 0 4c, d, e5

i S/ 0

( n) G ( n) S

6

0

3

0 2











erhatikan O suatu subgrup normal dari . asil kali setiap dua koset kanan dari O dalam  adalah koset kanan dari O dalam  pula. Selanjutnya dipandang himpunan semua koset kanan O dalam , dan diberi notasi >O dibaca O faktor /. erhatikan bah;a elemen-elemen dari >O adalah himpunan-himpunan bagian dari  yang saling asing. Mengingat teorema !.&, hasil kali setiap dua koset kanan O dalam  merupakan koset kanan O dalam  pula. Maka Maka operasi perkalian perkalian elemen-elemen dalam >O merupakan merupakan operasi biner, yang yang tertutup. *engan *engan kata lain, hasil hasil kali setiap dua elemen elemen dari >O berada dalam >O sifat tertutup terhadap perkalian dalam >O dipenuhi/. Selanjutnya tunjukkanlah bah;a operasi perkalian dari elemen-elemen dalam >O bersifat assosiatif, >O mempunyai elemen identitas terhadap perkalian, dan setiap elemen >O mempunyai in=ers terhadap perkalian. Maka >O terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup. Selanjutnya >O disebut grup faktor grup kuosien/  oleh O.













n (G )

n>O/ ¿

n ( N )

12

=¿

4

0 ! dengan menunjukkan menunjukkan semua koset kanan

O dan  atau semua semua elemen dari >O Dlemen-elemen >O adalah Oi 0 O O

a

0 O

a

4

0O

a

7

0O

10

a

3

a

04

0 O a

a

6

a

4

0 O 7

a

a

9

0 O, 10

a

5 dan

KOSET TEOREMA LAGRANGE DAN SUBGRUP NORMAL

Recommend Documents