Pertemuan 7
TEORE T EOREM M A LAGRA L AGRANGE NGE DAN SUBGRUP UBGRUP NORMAL NORMA L A. Pendahuluan Modul ini membahas tentang teorema Lagrange, dilanjutkan dengan pengertian subgrup normal. Mahasiswa seharusnya telah menguasai konsep grup, subgrup, grup permutasi dan subgrupnya, grup siklik dan subgrupnya beserta koset-kosetnya, koset-kosetnya, untuk memahami materi dalam modul modul ini. Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat mencapai target berikut ini : - Dapat menjelaskan dan menggunakan teorema Lagrange - Dapat mengidentifikasi apakah suatu subgrup dari suatu grup merupakan subgrup normal atau tidak - Dapat menentukan syarat-syarat agar suatu subgrup merupakan suatu subgrup normal dari grup tertentu - Dapat membuktikan suatu subgroup merupakan subgrup s ubgrup normal
B. Te B. Teo orem rema L agran range Te T eorem rema L agrang range : Jika G suatu grup ber ber hing hingg ga dan H subgrup dari G maka order dari H
membagi habis order dari G ditulis o(H) | o(G). Bukti : Misalkan o(G) = m dan o(H) = k Menurut teorema 1. (pertemuan 6), bahwa :
Pengantar struktur struk tur Aljabar
32
Pertemuan 7
G = U aH , xH a∈G
≠ yH ⇔
xH
∩ yH = Φ dan xH ~ yH karena H berhingga
maka banyaknya anggota xH = banyaknya anggota yH. Jadi n(xH) = n(yH) = n(H) = o(H) = k. Jika banyaknya koset kiri yang terbentuk l buah maka m = l.k, berarti k merupakan faktor dari m, Dengan kata lain m habis dibagi k atau k membagi habis m, ditulis k|m atau o(H)|o(G).
Definisi 1.: indeks dari H dalam G Jika G suatu grup dan H subgruo dari G maka yang disebut indeks dari H
dalam G ditulis iG(H) adalah banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda. Jika G grup berhingga maka i G(H) =
o(G) n(G) = o( H ) n( H )
Contoh : G’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } adalah grup dengan perkalian modulo 7, maka H = {1, 2, 4 } dan K = { 1, 6 } masing-masing subgrup dari G’. 3H = { 3, 6, 5 } = 6H = 5H; 2H = {2, 4, 1} = 4H = H. jadi banyaknya koset kiri dari H dalam G’ adalah 2, atau iG’(H) = 2 =
o(G' ) n(G' ) = o( H ) n( H )
Silahkan periksa bahwa i G’(K) = 3 =
o(G' ) n(G' ) = o( K ) n( K )
Teorema : Misalkan G grup berhingga a. Jika x
∈ G maka p(x)|o(G) yaitu periode x membagi habis order dari G
b. Jika order dari G adalah bilangan prima maka G merupakan grup siklik
Pengantar struktur Aljabar
33
Pertemuan 7
Bukti : Misal o(G) = m a. Ambil x
∈ G
Jika x = e maka p(x) = p(e) = 1 dan 1 membagi habis m. jadi p(x) | o(G) Jika x ≠ e, buatlah subgrup siklik S dengan generator x dan misalkan p(x) k
2
3
k
= k maka x = e dan S = {x, x , x , …, x = e } dengan o(S) = k. menurut teorema Lagrange o(S) | o(G). dengan kata lain k|m atau p(x) | o(G) b. Misalkan m bilangan prima maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja, dan subgrup dari G hanyalah {e} dan G saja. Ambil x
∈ G dengan x ≠ e 2
3
maka himpunan perpangkatan bilangan asli dari x, yaitu H = { x, x , x , m
…, x = e } merupakan subgrup dari G. karena x
≠ e maka H = G. dan
karena H grup siklik maka G juga grup siklik.
C. Subgrup Normal a. Pengertian Subgrup Normal Definisi 2. : Subgrup normal Jika N subgrup dari G maka N disebut subgrup normal dari G jika
∀g ∈ G,
∀n ∈ N berlaku gng -1 ∈ N Contoh : G = S3 = { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) } maka H = { (1), (1 3) } dan K = {(1), (1 2 3), (1 3 2) } masing-masing subgrup dari G.
• K merupakan subgrup normal dari G sebab: –1 (1 2).(1 2 3).(1 2) = (1 3 ).(1 2) = (1 3 2) ∈ K (1 3).(1 2 3).(1 3) = (2 3 ).(1 3) = (1 3 2) ∈ K –1
(2 3).(1 2 3).(2 3) = (1 2 ).(2 3) = (1 3 2) ∈ K –1
(1 2).(1 3 2).(1 2) = (2 3 ).(1 2) = (1 2 3) ∈ K –1
Pengantar struktur Aljabar
34
Pertemuan 7
(1 3).(1 3 2).(1 3) = (1 2 ).(1 3) = (1 2 3) ∈ K –1
(2 3).(1 3 2).(2 3) = (1 3 ).(2 3) = (1 2 3) ∈ K –1
∀g ∈ G, ∀n ∈ K berlaku gng -1 ∈ K, jadi K subgrup normal. • Akan tetapi H bukan subgrup normal dari G, sebab : ∃(1 2) ∈ G, ∃(1 3) ∈ H, (1 2).(1 3 ).(1 2) –1 = (1 2 3 ).(1 2) = (2 3) ∉ H Tugas Mandiri : 1. Jika diberikan K dan L masing-masing subgrup normal dari grup G, maka selidiki apakah kompleks-kompleks berikut merupakan subgrup normal atau tidak : a. K ∩ L;
b. K ∪ L;
a 2. Diberikan P = c M=
a 0
c. KL = { xy | x∈K, y∈L }
| a, b, c, d ∈ Q, ad − bc ≠ 0 ; d b
| a, b, c ∈ Q, ac ≠ 0 dan c
b
a N= 0
0 | a , b Q , ab 0 ∈ ≠
b
masing-masing merupakan grup terhadap perkalian matriks. Selidiki di antara grup-grup di atas mana yang merupakan subgroup (misalkan apakah M subgroup dari P ataukah P subgroup dari M)? selanjutnya analisa kembali apakah subgrupnya merupakan subgroup normal atau tidak? tunjukkan! 3. Setiap mahasiswa menyelidiki subgroup yang dimiliki dalam kelompoknya apakah merupakan subgroup normal atau tidak 4. setiap mahasiswa mencari 1 contoh subgroup yang bukan subgroup normal dan 1 contoh subgroup yang merupakan subgroup normal. 5. mempelajari dan membuktikan teorema-teorema tentang subgroup normal
Pengantar struktur Aljabar
35